tema 3.3 mecánica del medio continuo: el cuerpo elástico...

Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

TEMA 3.3Mecánica del medio continuo:

El cuerpo elástico: ley de Hooke generalizada


3.3.1. Introducción

ESTUDIO DE LOS SÓLIDOS DEFORMABLES: efectos de las fuerzas aplicadas

1) las TENSIONES INTERIORES que se engendran en un punto

MÉTODO DE ESTUDIO que hemos seguido:

2) las DEFORMACIONES que se originan alrededor de un punto



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

γβα

στττστττσ

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

ttt

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

αβα

εγγ

γεγ

γγε

εεε

zyzxz

yzyxy

xzxyx

21

21

21

21

21

21

2

2

1

ESTADO TENSIONAL:ESTADO DE DEFORMACIÓN:

uTt rr⋅= [ ] uD

rr⋅=ε



3.3.2. Sólido elástico

ESTADO TENSIONAL

ESTADO DE DEFORMACIÓN

CAUSA Y EFECTO:NO SON INDEPENDIENTES

Ecuaciones que relacionan TENSIÓN-DEFORMACIÓN complejas:

- dependientes de fuerzas de atracción molecular

- determinación experimental



PEQUEÑAS DEFORMACIONES

Tensiones y deformaciones son proporcionales:COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL

SÓLIDO ELÁSTICO:- una fuerza exterior lo deforma- recupera su forma inicial al cesar la fuerza

3.3.2. Sólido elástico


Medida experimental comportamiento mecánico: ENSAYO DE TRACCIÓN

3.3.3. Diagrama esfuerzos-deformaciones

PROBETA: pieza recta, dimensiones normalizadas

: área transversal inicial, : longitud inicial0S 0L

),( ii LF

0SFi

i =σ0

0

LLLi

i−

=ε



1. Oa : ley de Hooke: límite de proporcionalidad

2. ab : elástico no lineal: límite elástico

3. bc : deformación permanente: tensión de fluencia

4. cd : zona de fluencia

5. de : aumento de resistencia, acritud : tensión de rotura

6. ef : rotura: deformación de rotura

),( ii εσ : DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN

Pσ

eσ

Flσ

Rσ

rεZona plástica: estricción



MATERIALES FRÁGILES: la rotura aparece bruscamente

MATERIALES DÚCTILES



3.3.4. Ley de Hooke generalizada

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN O DE INDEPENDENCIA DE EFECTOS:

- efecto de un sistema de fuerzas: suma de efectos de fuerzas por separado

- tensiones, deformaciones: independiente orden de aplicación de fuerzas



PROPIEDADES DEL SÓLIDO ELÁSTICO :

- CONTINUIDAD- ISOTROPÍA- HOGOMENEIDAD

DEFORMACIÓN ε:

- suma de deformación debida a cada tensión

- sólido ISÓTROPO: deformación independiente de dirección (de 21 a 2 parámetros independientes)



SÓLIDO ELÁSTICO: relación entre componentes de tensor de tensiones y deformaciones

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zyzzx

yzyxy

zxxyx

Tστττστττσ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

D

εγγ

γεγ

γγε

21

21

21

21

21

21



EK x

xxσσε ==1

TENSIÓN :xσ

1) Alargamiento eje X:

2) Contracciones ejes Y y Z:

Ex

xzyσ

υυεεε −=== 111

Ey

yσ

ε =2 Ey

zx

συεε −== 22TENSIÓN :yσ

Ez

zσ

ε =3E

zyx

συεε −== 33TENSIÓN :zσ



PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:

Deformación longitudinal eje X:

⇒++= 321 xxxx εεεε )( zyx

x EEσσυσε +−=

Deformación longitudinal eje Y:

)( xzy

y EEσσυσ

ε +−=⇒++= 321 yyyy εεεε

Deformación longitudinal eje Z:

)( yxz

z EEσσυσε +−=⇒++= 321 zzzz εεεε



TENSIONES TANGENCIALES

⇓DEFORMACIONES ANGULARES

GK xy

xyxy

ττγ == ´

Gyz

yz

τγ =

Gzx

zxτγ =

Ley de Hooke:

: módulo de elasticidad transversal o módulo de rigidezG



LEY DE HOOKE generalizada para un cuerpo isótropo:

)( zyx

x EEσσυσε +−=

)( xzy

y EEσσυσ

ε +−=

)( yxz

z EEσσυσε +−=

Gxy

xy

τγ =

Gyz

yz

τγ =

Gzx

zxτγ =

Sólido elástico:

EJES PRINCIPALES ⇒ coincidentes para tensor de TENSIONESy de DEFORMACIONES



3.3.5. Ecuaciones de Lamé

Expresión de las tensiones en función de las deformaciones

Invariantes lineales o traza de los tensores de deformación y tensión:

zyx εεεε ++=3

zyx σσσσ ++=3

Ecuaciones de Hooke para deformaciones longitudinales:

[ ] [ ]33 )1(1)(1)( υσυσσσυσσσυσε −+=−−=+−= xxxzyx

x EEEE

[ ]3)1(1)( υσυσσσυσε −+=+−= yxz

yy EEE

[ ]3)1(1)( υσυσσσυσε −+=+−= zyxz

z EEE



Sumando las tres ecuaciones:

[ ] [ ]333 3)1(13)1)((1 υσυσυσυσσσεεε −+=−+++=++EE zyxzyx

3321 συε

E−

=

[ ]⇒−+= 3)1(1 υσυσε xx E xxxEEE ευ

ευυ

υευ

συ

υσ+

+−+

=+

++

=1)21)(1(11 33

[ ]⇒−+= 3)1(1 υσυσε yy Eyyy

EEE ευ

ευυ

υευ

συ

υσ+

+−+

=+

++

=1)21)(1(11 33

[ ]⇒−+= 3)1(1 υσυσε zz Ezzx

EEE ευ

ευυ

υευ

συ

υσ+

+−+

=+

++

=1)21)(1(11 33



Se escriben de la siguiente manera:

⇒+

+−+

= xxEE ευ

ευυ

υσ1)21)(1( 3 xx µελεσ 23 +=

yy µελεσ 23 +=

zz µελεσ 23 +=

Coeficientes de Lamé:

)21)(1( υυυλ

−+=

E)1(2 υ

µ+

==EG



Para las tensiones cortantes:

xyxyxy

xy GG

γττ

γ =⇒=

yzyzyz

yz GG

γττ

γ =⇒=

xzxzxz

xz GG

γττγ =⇒=



ECUACIONES DE LAMÉ PARA UN CUERPO ISÓTROPO:

yy µελεσ 23 +=

xx µελεσ 23 +=

zz µελεσ 23 +=

xyxy Gγτ =

yzyz Gγτ =

xzxz Gγτ =



3.3.6. Tensiones y deformaciones de origen térmico

- proceso reversible: dimensión original- temperatura uniforme

Cambio de forma:DILATACIÓN

Sólido en forma de barra, para cualquier dimensión:

TLLLLTLL LL ∆=∆=−⇒∆+= αα 00101 )1(

Lα - coeficiente de dilatación lineal- característico del material



CASO PARTICULAR (unidimensional):

a) DILATACIÓN LIBRE: b) DILATACIÓN NO LIBRE:

- DEFORMACIÓN LONGITUDINAL: - DEFORMACIÓN LONGITUDINAL:

- TENSIÓN:

TL

LLtérmica ∆=

−= αε

0

01

⇒−=⇒= térmicaEE

εσσε

TE ∆−= ασ

No se produce dilatación

- TENSIÓN:

No se producen tensiones



CASO GENERAL:

a) DILATACIÓN LIBRE:

- Deformaciones: sistema de fuerzas + dilatación térmica

- Cuerpo isótropo: dilatación térmica no produce variaciones angulares

- Estado tensional: sistema de fuerzas externas

),,,,,(),,,,,,( xzyzxyzyxxzyzxyzyx T γγγεεετττσσσ ⇒∆

Gxy

xyτ

γ =[ ] TE Lzyxxtérmicaxelásticax ∆++−=+= ασσυσεεε )(1

Gyz

yzτ

γ =[ ] TE Lzxyytérmicayelásticay ∆++−=+= ασσυσεεε )(1

[ ] TE Lyxzztérmicazelásticaz ∆++−=+= ασσυσεεε )(1

Gxz

xzτ

γ =



CASO GENERAL:

a) DILATACIÓN NO LIBRE:

- Deformaciones: sistema de fuerzas + dilatación térmica + ligaduras

- Estado tensional: sistema de fuerzas + tensiones de constricción

),,,,,(),,,,,,0( ´xzyzxyzyxxzyzxyzyx T γγγεεστττσσε ⇒∆=

[ ] ´´ 0)(1xLzyxxtérmicaxelásticax T

Eσασσυσεεε ∃⇒=∆++−=+=

Gxy

xyτ

γ =

[ ] TE Lzxyytérmicayelásticay ∆++−=+= ασσυσεεε )(1

Gyz

yzτ

γ =

[ ] TE Lyxzztérmicazelásticaz ∆++−=+= ασσυσεεε )(1

Gxz

xzτ

γ =



CASO GENERAL:

- se conocen las fuerzas exteriores

SOLUCIÓN:

- TEORÍA DE LA ELASTICIDAD: solución exacta en casos particulares

- RESISTENCIA DE MATERIALES: resolución utilizando métodos aproximados e hipótesis simplificadoras

TRACCIÓN Y FLEXIÓN

8.8. Problema elástico

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