BOL.SOC.ESP.CERAM.VIDR. 27(1988)3, 123-135

MECÁNICA DE FRACTURA EN MATERIALES CERÁMICOS FRAGILES. I: PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

R. TORRECILLAS J. S. MOYA

Instituto de Cerámica y Vidrio, C.S.I.C. Arganda del Rey (Madrid)

RESUMEN

En el presente artículo se exponen los fundamentos teóricos básicos y la metodología de la mecánica de fractura. Los procesos de fractura, consisten en la propagación de una grieta preexistente o inducida por deformación o por corrosión bajo tensión. Esta propagación puede ser rápida (catastrófica) o, por el contrario, lenta. La mecánica de fractura trata de caracterizar la propagación de las grietas y de establecer ciertos criterios que permitan su control.

Se incluye un desarrollo teórico de la mecánica estadística de fractura, describiendo las funciones de riesgo específico de fractura, por medio de ecuaciones integrales, y la determinación de sus parámetros, cuando las funciones tienen una forma analítica conocida.

Fracture mechanics in brittle ceramic materials. I: Basic principles

This paper describes the basic theoretical principles and the methodology of fracture mechanics. Fracture processes consist in the propagation of preexisting crack or of one induced by deformation or stress corrosion. This propagation can be rapid (catastrophic) or slow. Fracture mechanics tries to characterize the propagation of cracks and to establish certain criteria to enable their control.

A theoretical development of statistical fracture mechanics is also included, describing the specific fracture risk functions by means of integral equations and also the determination of its parameters when the functions have a known analytical form.

Mécanique des fractures des matières céramiques fragiles. I: Principes fondamentaux

Les auteurs du présent article exposent les fondements théoriques de base et la méthodologie de la mécanique des fractures. Les processus de fracture consistent en la propagation d'une fissure préexistante ou induite par déformation ou par corrosion sosus tension. Cette propagation peut être rapide (catastrop­hique) ou, au contraire, lente. La mécanique des fractures tente de caractériser la propagation des fissures et de fixer certains critères pour en permettre la maîtrise. L'article comporte un développement théorique de la mécanique statistique des fractures, les auteurs décrivant les fonctions intégrales, et la détermination de leurs paramètres, quand les fonctions ont une forme analytique connue.

Bruchmechanik spröder keramischer Werkstoffe. I: Grundlegende Prinzipien

In der vorliegenden Arbeit werden die theoretischen Grundlagen und die methodische Vorgehensweise der Bruchmechanik dargestellt. Der Bruch wird ausgelöst durch die Ausbreitung eines Risses, der entweder bereits in der Probe vorhanden ist oder durch Deformation oder die kombinierte Einwirkung von Spannung und Korrosion eingebracht wird. Die Rißausbreitung kann schnell (katastrophal) oder auch langsam erfolgen. Aufgabe der Bruchmechanik ist es, die Rißausbreitung zu charakterisieren und Kriterien zu deren Kontrolle aufzustellen.

Eine theoretische Herleitung der statistischen Bruchmechanik wird dargestellt. Die Funktionen des spezifischen Bruchrisikos werden durch Integralgleichungen beschrieben. Für die Fälle, in denen diese Funktionen eine bekannte analytische Form annehmen werden die Parameter bestimmt.

1. INTRODUCCIÓN Fue el gran físico británico A. A. Griffith (1) quien

adelantándose más de treinta años a su tiempo, estableció su célebre criterio de balance de energía para fractura de sólidos frágiles al comienzo de los años veinte.

Pero no sería hasta bien entrados los cincuenta cuando los científicos empiezan a analizar el mencionado principio y a desarrollar lo que actualmente se conoce con el nombre de mecánica de fractura.

El objeto de la mecánica de fractura es caracterizar el comportamiento mecánico de una estructura en la que

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hay presente una grieta y elaborar las normas de diseño que deben seguirse para evitar la rápida propagación y, con ello, la fractura catastrófica de la estructura.

La mecánica de fractura trata de dar solución a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cómo varía la resistencia residual de un material en función del tamaño de la grieta?

b) ¿Cuál es el máximo tamaño de grieta, o tamaño crítico, que puede tolerar la estructura sin fractu­rarse catastróficamente?

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c) ¿En cuánto tiempo puede alcanzar una grieta el tamaño critico como consecuencia de una aplicación repetida de esfuerzos (fatiga) o de la combinación aplicación de esfuerzos —acción del medio ambiente (corrosión bajo tensión o fatiga con corrosión)?

d) ¿Cuál es el máximo tamaño inicial de grieta tolera­ble en una estructura, teniendo en cuenta que puede crecer por fatiga, por corrosión bajo tensión o por fatiga con corrosión?

e) ¿Con qué frecuencia debe inspeccionarse una es­tructura para anticiparse a la posibilidad de que se produzca fractura catastrófica?

Pero la mecánica de fractura intenta, por otro lado, relacionar las propiedades de resistencia de materiales con su microestructura (2), que a su vez depende de como se haya procesado dicho material.

Dada la importancia que están adquiriendo los mate­riales cerámicos avanzados para usos estructurales de alta responsabilidad, el estudio de los modelos y métodos experimentales que predicen y determinan el comporta­miento de un material cerámico sometido a un estado de tensiones dado, ha adquirido un papel preponderante en la moderna ciencia cerámica. Especialmente, en los últimos años se ha prestado una gran atención a la medida de los parámetros de la mecáncia de fractura en los materiales cerámicos y en este sentido se han propuesto numerosos y muy diversos métodos de evaluación. En este trabajo hacemos una revisión de los métodos seguidos hasta el momento, así como una recopilación de los conocimientos teóricos necesarios para abordar los problemas que pre­senta la fractura frágil.

2, PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS SOLIDOS CERÁMICOS: SIGNIFICADO FÍSICO, INFLUENCIA DE LA MICROESTRUCTURA (POROSIDAD, SISTEMAS MULTIFASICOS) Y EFECTO DE LA TEMPERATURA

El origen físico de la deformación elástica reside en la modificación del estado de equilibrio de los enlaces ató­micos, o sea, modificación de la distancia interatómica, así como de los ángulos de los enlaces. Por tanto, la energía de deformación elástica corresponderá a la suma de las variaciones de energía potencial de interacción in­teratómica.

Los módulos elásticos están, por tanto, ligados direc­tamente a las fuerzas de cohesión atómicas.

En ciertos casos, la energía elástica almacenada en el sólido debido a la deformación (elástica) no se recupera posteriormente en su totalidad debido a que una parte de esta energía es disipada en el interior del material (fricción interna). Se dice que el sóUdo tiene un comportamiento anelástico. La manifestación más típica es una pérdida de energía (ciclo de histéresis) cuando se somete el material a cargas cíclicas. Existe, por tanto, un desfase entre la fuerza y la deformación. El tiempo de relajación del fenó­meno caracteriza el retardo necesario para que el estado interno del material haya podido evolucionar para tener en cuenta las variaciones de las condiciones exteriores.

Las propiedades elásticas de los materiales cerámicos vienen definidas por el módulo de Young (E), módulo de

cizalla (G), módulo de rigidez (K) y el coeficiente de Poisson (v). Estos parámetros están relacionados entre sí según las expresiones:

2G - 1

K = 3 (1 - 2v)

[1]

[2]

El módulo de Young y el módulo de cizalla son las propiedades elásticas que se determinan por lo general experimentalmente, y a partir de estos módulos se obtiene V y K. No existe una base teórica que justifique diferencias entre los módulos de Ypung obtenidos experimentalmente mediante ensayos de tracción y compresión sobre mate­riales cerámicos de alta densidad. En estos materiales a temperatura ambiente se verifica la ley de Hooke, es decir, existe una dependencia lineal entre la tensión aplicada y la deformación hasta el momento en que se produce la fractura. Al aumentar la temperatura tienen lugar defor­maciones plásticas entrando en un comportamiento ine-lástico.

En la medida de las constantes elásticas hay que tener en cuenta una serie de características intrínsecas al material que pueden afectar los resultados obtenidos, como son: porosidad, tamaño y orientación de los granos y multi­plicidad de fases.

Cuando la porosidad aumenta, se observa una marcada tendencia a disminuir el valor de los módulos elásticos. La interpretación es muy sencilla ya que los poros cons­tituyen una segunda fase con valor nulo de los módulos elásticos.

Se han propuesto numerosas expresiones, tanto ana­líticas como empíricas, para cuantificar el efecto de la porosidad sobre los módulos elásticos. Una de las expre­siones más difundidas para el módulo de Young es:

E = Eo 1 - p ^

1 + Ap [3]

siendo Eo = Módulo de Young en ausencia de porosidad

p = Fracción de porosidad

A = Constante empírica

Esta expresión fue obtenida teóricamente por Hashin (3) y posteriormente Fryxell y Chandler con BeO (4), y Hassel-man con AI2O3 (5) mostraron con experiencias de control de porosidad, que esta expresión se ajustaba considerablemente a los resultados experimentales.

Estudios empíricos de Knudsen (6) y Springgs (7) pro­porcionan la expresión:

E = Eo e- p b = 3,95 (AI2O3) b = 4,74 (MgO) [4]

siendo b una constante empírica. Esta expresión ha sido criticada debido a que no obtiene un valor de E = O cuando p — 1.

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Mecánica de fractura en materiales cerámicos frágiles. I: Principios fundamentales.

Mackenzie (8) propone la expresión teórica simplifi­cada:

E = Eo (1 - kp) [5]

El módulo de Poisson también se puede medir a partir del primer y tercer modo longitudinal del vibración según la expresión (11):

donde se desprecian términos de orden superior en el desarrollo de la exponencial. El valor de k viene dado por

1 3 ( l - v )

7 - 5 v [6]

Para v = 0,2; k = 2, por lo que E = Eo (1 - 2p). Esta expresión da buenos resultados para el caso de la alúmina con porosidad inferior al 30%.Sin embargo, los datos experimentales no concuerdan en absoluto con los obte­nidos mediante las expresiones mencionadas anteriormen­te. Se han realizado investigaciones con ytria y se observa que los resultados se ajustan a la expresión anterior con k = 2,36 (9).

La variación del tamaño de grano tiene efectos casi despreciables en los valores de las constantes elásticas. En cuanto a la orientación, aunque un monocristal tenga un comportamiento completamente anisotrópico en lo que se refiere a las propiedades elásticas (12), los materiales cerámicos procesados generalmente no introducen direc­ciones privilegiadas en la orientación de los granos. Sin embargo, hay procesos especiales como los seguidos en la obtención de la cerámica pirolitica y el B4N hexagonal que manifiestan un comportamiento altamente anisotró­pico.

En los materiales cerámicos multifásicos, se supone en primera aproximación que el valor del módulo de Young es aditivo y puede ser determinado según la expre­sión:

S E.V,

8f, 4f

n d f . - - f 3 [10]

[7]

siendo d = diámetro de la sección de la barra. fi, fa = frecuencia de resonancia en los modos

l y 3 1 = longitud de la barra.

El tamaño de la probeta no afecta apreciablemente a las propiedades elásticas de los materiales. Sin embargo se están haciendo investigaciones en este campo debido al hecho de que los materiales frágiles pueden poseer distintas propiedades elásticas en la superficie que en el interior del material, por lo que las constantas elásticas se verían afectadas por el tamaño de la probeta de ensayo.

Los módulos elásticos están ligados a las fuerzas de cohesión interatómicas y a la armonicidad de los poten­ciales. Estos módulos se pueden caracterizar por el coefi­ciente de dilatación. Los materiales con altos módulos tienen un pequeño coeficiente de dilatación y una alta temperaturas de fusión. Si hacemos una comparación entre los materiales cerámicos y los metales, observamos que los materiales cerámicos poseen módulos más altos coeficientes de dilatación menores y altas temperatura de fusión. Esto pone de manifiesto las enormes ventajas de la utilización de los materiales cerámicos en sustitución de los metales convencionales (tabla I).

siendo N el número de fases, Ei el módulo de Young de la fase «i» y Vi la fracción volumétrica de fase «i». En general, en el caso de dos fases, el valor será menor que el obtenido por esta expresión. Hashin y Shtrikman (10) han obtenido unos magníficos resultados para diversas composiciones, con partículas de AI2O3 en una matriz de vidrio, con la expresión:

EiVi + E2 (V2 + 1)

E2V1 + El (V2 + 1) [8]

Los métodos de determinación de propiedades elásti­cas (13), se pueden clasificar en dos grupos:métodos está­ticos y métodos dinámicos. En los métodos estáticos se miden directamente las variaciones dimensionales en fun­ción de la tensión aplicada. En los métodos dinámicos se somenten cristales a sucesivos impulsos ultrasónicos. Me­diante un osciloscopio se registra el intervalo de tiempo entre impulsos, que será el tiempo de ida y vuelta del impulso ultrasónico. Con estos datos se calcula la veloci­dad de propagación del sonido en el material y, puesto que esta velocidad está relacionada con el módulo de Young según

E = v2 p [9]

siendo p la densidad del material, se puede determinar E.

TABLA 1

COMPARACIÓN ENTRE LOS PUNTOS DE FUSION, COEFICIENTES DE DILATACIÓN Y MÓDULOS DE YOUNG DE

LOS MATERIALES CERÁMICOS Y DE LOS METALES

Óxidos cerám. P.F. (°C) a (lO-^)K-' E (GPa)

AI2O3 2.050 7,6 385

MuUita 1.870 5,5 204

BeO 2.530 7,6 398

ZrOz 2.960 6,5 210

Si02(vid) 1.710 0,5 50-70

Metales P.F. (°C) a (10- )K-> E (GPa)

Mo 2.615 5,1 354.38

Ni 1.455 13,3 206.84

Cu 1.083 17 193,05

Al 660 23,5 68,94

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En cuanto a la influencia con la temperatura, la dis­tancia interatómica media aumenta con T (dilatación tér­mica) y, como consecuencia, la intensidad de los enlaces disminuye y, por lo tanto, los módulos elásticos.

3. FRACTURA DE LOS MATERIALES CERÁMICOS

Los materiales cerámicos pueden fracturarse de dos formas básicas:

— Fractura frágil — Fractura por fatiga estática.

La fractura frágil es catastrófica y se produce general­mente a bajas temperaturas cuando la tensión aplicada sobre el material excede un valor crítico. A temperaturas más altas e incluso a temperatura ambiente, cuando el material se encuentra en un medio corrosivo, la fractura se puede producir para tensiones inferiores a la crítica debido al fenómeno denominado crecimiento subcrítico de grietas. En este primer artículo sólo se tratará la fractura frágil.

El estudio del comportamiento de los materiales al ser sometido a un campo de tensiones, pasa forzosamente por el conocimiento de su estructura interna y la distribu­ción de tensiones dentro del material.

Si pudiéramos obtener un material homogéneo e isó­tropo, con una densidad igual a la teórica, esto significaría que el material no tendría defectos y, por lo tanto, su resistencia a lo rotura vendría dada por la resistencia de sus enlaces atómicos.

Sin embargo, en la práctica, aunque se consiguen den­sidades del orden del 99% de las teóricas, nunca se peuden suprimir los defectos en el material, lo que produce una disminución en su resistencia de hasta tres órdenes de magnitud.

3.1. Cáculo de la resitencia teórica. Aproximación de Oro-wan

Se denomina resistencia teórica a aquella que tendría un material libre de defectos y que se debe exclusivamente a los enlaces entre los átomos constituyentes del material.

La energía de estos enlaces depende de la distancia de separación entre los átomos, siguiendo curvas que res­ponden a expresiones del tipo:

u = A B

+ [11]

donde los valores de m y n dependen del tipo de enlace y A y B son constantes.

A distancias grandes, la energía correspondiente al sistema de dos átomos, corresponde a la de los dos átomos por separado. Sin embargo, según se van acercando co­mienzan a hacer efecto las fuerzas atractivas y repulsivas, obteniéndose el equilibrio entre ambas fuerzas a una dis­tancia ro (fig. 1).

Por otro lado ao será el desplazamiento atómico co­rrespondiente a la resistencia teórica y la fuerza de enlace vendrá dada por:

du

dr [12]

Fig. 1.—Energía y fuerzas que actúan en un sistema de dos átomos.

El máximo de la curva será la tensión teórica que soporta el material sin romperse.

La forma de esta curva no responde a una función analítica y es necesario recurrir a alguna aproximación.

Fue Orowan (14) en 1949 el que dio la primera solución a este problema, al suponer que la fuerza seguía una forma aproximadamente sinusoidal del tipo:

a = Cth sen 2ao

TT I I 2 7CU (r-ro)[ = Gth sen [13]

donde X = 4ao y u es el desplazamiento respecto a la posición de equihbrio. Para pequeños desplazamientos

sen 2 Tiu ) 2 7c u

y por lo tanto:

2 7 C U ^ - CJth

[14]

[15]

Sabemos por otro lado que según la definición de módulo de Young

E = tensión/deformación = -u/ro

Eu

"f7~ [16]

Igualando las dos expresiones de a obtenemos una expresión para la resistencia teórica:

CJth —

2 E ao

Tí ro [17]

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Cuando se reproduce la fractura, la energía almacenada en el material en forma de energía elástica debe ser al menos igual a la energía superficial necesaria para la formación de las superficies de la grieta. Si yo es la energía superficie por unidad de área:

[18]

es decir, que el trabajo, que vendrá dado por el área bajo la curva, tendrá que ser igual al trabajo necesario para crear las dos superficies. Integrando y despejando Oth ob­tenemos:

a t h = 2 71 yo

4ao [19]

Si entre las dos expresiones de Oth [17] [19] eliminamos ao, obtenemos finalmente:

Eyo CTth —

ro [20]

Cuando se comparan estos valores con los obtenidos experimentalmente, se observa que los valores teóricos son hasta tres órdenes de magnitud superiores. Esta dife­rencia se debe a la existencia de defectos en el material que actúan como concentradores de tensiones.

Veamos como ejemplo el caso de la resistencia teórica de la alúmina.Si partimos de los datos iniciales:

E ~ 4 • 10 ^ Nm-2

ro - 4 • 10'« m

yo -^ 1,25 Jm"2

y aplicamos la expresión calculada anteriormente se ob­tiene:

Eyo ath — = 35,3 GPa -

ath 0,1

ro

Sin embargo, los valores experimentales de ar obtenidos en materiales densos de alúmina son ~ 100 veces más pequeños (0,4 GPa).

En general, si partimos de la expresión [17] y supone­mos que ao = ro/2 para el caso del enlace covalente:

ath = 2 E ao

n ro 0,3 E

Cuanto mayor es la contribución de enlace covalente mayor es el módulo de Young. Así, en la tabla 2 se ob­serva que el diamante tiene E = 1.210 GPa y ath = 205 GPa, por lo que la relación ath/E es del orden de 0,1. Se puede observar claramente que esta relación oscila entre 0,1 y 0,3 según la contribución de cada tipo de enlace.

TABLA 2

RESISTENCIA TEÓRICA DE SOLIDOS IDEALES

Tipo de enlace Material Dirección ayiO'^Nm"'" a,h/E

Covalente (diamante)

C Si

<111> <111>

205 3,2

0,17 0,17

Covalente-iónico

A1203 SÍO2 (fun.)

[0001] 4,6 1,6

0,10 0,22

Iónico NaCl

MgO NaCl

<100> <100>

3,7 0,43

0,15 0,10

Metálico (b.c.c.)

W a-Fe

<100> <100> <111>

8,6 3,0 4,6

0,22 0,23 0,118

Metálico (h.c.p.)

Zn C(grafito)

[0001] [0001]

0,38 0,14

0,11 0,14

Metálico (f.c.c)

Cu Ag

<111> <111>

3,9 2,4

0,20 0,20

3.2. Cáculo teórico de la resistencia a la fractura de un material físurado

Este problema teórico se puede abordar según dos aproximaciones distintas:

a) Aproximación en términos de un balance de ener­gías: análisis de Griffith (1).

b) Aproximación en términos de concentración de tensiones: análisis de Irwin-Inglis (15) (16).

3.2.1. Análisis de Griffith

La aproximación de Griffith (1920) propone que la inestabilidad de una grieta tiene lugar cuando la energía potencial mecánica liberada al extenderse es superior a la energía absorbida durante la extensión, es decir, la energía potencial del sistema disminuye a medida que se propaga la grieta.

Griffith ideó un modelo para la propagación de grietas en términos de un proceso termodinámico reversible ba­sándose en el concepto de que todo sistema estático tiende al equilibrio buscando la situación de mínima energía libre.

Los términos individuales de energía que intervienen en la formación de una grieta son:

U e :

W:

Suponiendo que el material es elástico y se verifica la ley de Hooke, el material almacenará una energía elástica. Trabajo realizado sobre el sistema (negativo) por la fuerza aplicada. Energía necesaria para la propagación, que en el caso más general propuesto por Griffith es la energía superficial F = 2 • 2c • y«, siendo ys la energía su­perficial por unidad de extensión de la grieta y el factor 2 debido a la formación de dos superficies de fractura.

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Si la grieta pasa de una longitud 2c a 2 (c + dc), la energía potencial del sistema variará según:

dUT = (- dW + dUe) + 4 de Ys [21]

La energía entre paréntesis es la energía mecánica del sistema y tiende a extender la grieta. En cambio la energía superficial se opone a la extensión de la grieta. El equilibrio termodinámico se obtendrá por una compensación entre la energía mecánica y la de superficie.

La condición de equilibrio es:

dU

dc = 0 [22]

Si durante la formación de la grieta podemos conside­rar que la tensión es constante, por la teoría de la elasti­cidad se puede demostrar que la mitad de la energía reali­zada sobre el sistema es almacenada en forma de energía elástica, o sea W = 2Ue.

Por otro lado, en la teoría de la elasticidad (12) el tratamiento del problema se puede hacer, para simplificar, bien a tensión constante o bien a deformación constante. Según el caso, intervendrá o no el módulo de Poisson y se obtendrán valores distintos de Ue:

Ue = 71 c a :

TC C^ Gi

[23] situación de tensión plana

Ue = — (1 - v ) [24] situación de deformación plana E

A partir de aquí vamos a suponer la situación usual de tensión plana. Por lo tanto, la energía total del sistema será:

n c a; U = + 4c Yo [25]

Si derivamos respecto a c e igualamos a cero, despejando

Gf se obtiene:

Of 2 E Yo

n c [26]

De estas expresiones podemos deducir que, si queremos obtener un material de alta resistencia, debe tener alto módulo elástico, pequeño tamaño de defecto y una den­sidad de energía superficial muy alta, lo que se traduce en conseguir que los átomos estén lo más cerca posible, uni­dos por enlaces lo más energéticos posibles (enlaces cova-lentes).

Sin embargo, esta situación de equilibrio es inestable ya que corresponde a un máximo. Si representamos grá­ficamente los términos de energía de superficie y mecánica, vemos que al aumentar c hasta el punto de equilibrio, varía más rápidamente la energía superficial que la mecá­nica y por lo tanto, para aumentar el tamaño de la grieta hay que realizar un trabajo sobre el sistema (fig. 2).

Pero a partir del tamaño crítico en el que las pendientes son opuestas, y por lo tanto dU/dc = O, el sistema tiende

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- ^ C

= "Ue-HUs

Fig. 2.- -Representación gráfica de los términos energéticos operantes en el balance de Griffith.

a extender la grieta buscando una situación de equilibrio, para lo cual relaja la energía almacenada en forma de energía elástica y al no haber situación posible de equili­brio, el sólido se fractura.

En todo este tratamiento Griffith considera que el sólido se comporta como un medio elástico, homogéneo e isótropo. Un sólido real no es así y, por ello, los resul­tados que se obtienen con la teoría de Griffith no son exactos. La teoría sería exacta para el caso de materiales perfectamente frágiles. Para el caso de materiales semi-frágiles o no-frágiles, la teoría falla por completo. En realidad no hay ningún material que se comporte como perfectamente frágil y las desviaciones respecto a los re­sultados de Griffith se explican suponiendo que en el extremo de las grietas, donde las tensiones son tan altas, los materiales dejan de comportarse como elásticos, apa­reciendo una componente de deformación plástica capaz de difundir gran cantidad de energía. En este caso 4c Yo = Us y se suele incluir otro término correctivo (plásti­co):

r - Us + YP

Si se tienen en cuenta otras contribuciones, se siguen añadiendo a la expresión de F.

Supongamos el sistema de la figura 3. Si suponemos que estamos en situación de equilibrio y que por ser el cuerpo elástico se verifica la ley de Hooke, se cumplirá que la deformación es proporcional a la tensión aplicada:

u = a a [27]

Por otro lado la energía de deformación será:

Supongamos que la grieta crece un dc en cada extremo. La variación en la deformación se obtendrá por diferen­ciación de la expresión [27]:

du = a • do + da • a

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Mecánica de fractura en materiales cerámicos frágiles. I: Principios fundamentales.

Fig. 3.—Sistema correspondiente a una grieta sometida a tracción.

Es interesante observar y comparar las expresiones:

1 G da

a da

(dU).

(dUe)ucte — - •

Es decir, a deformación constante, la energía de de­formación disminuye al extenderse la grieta, mientras que, cuando la tensión aplicada es constante, dicha energía aumenta.

Teniendo en cuenta que a es una función creciente con el tamaño de la grieta c, si comparamos las expre­siones de G a tensión constante y deformación constante:

G -1 da

"dT

da

de

(G cte)

(u cte)

Al crecer la grieta de > O, la deformación aumenta, du > O y la tensión disminuye, dG < 0. Por lo tanto, forzosamente da > O siempre. Además, el término de energía mecánica (a favor de la propagación de la grieta) disminuirá d(W, + Ue) < 0.

Se puede demostrar que para cualquier sistema a trac­ción, tanto a tensión como a deformación constante, la energía mecánica relajada d(Wi + Ue) es la misma, así:

Si G = cte

dW( = Gdu = G (adG + Gda) = G^ da

dUe ^ — Gdu = — G da 2 2

luego

d (- W< + Ue) G da

Si u = cte, al no haber deformación, dWi = O, y co­

mo 1 u

Ue= ^ - ^ d U . = 1 u

da = - ^ ^ c j M a

luego

d (-W, + Ue) G da [29]

De aquí deducimos, que la variación en la energía mecánica cuando la grieta se incrementa en un de se puede definir como una «fuerza de extensión de la grieta» G:

G = - d (- Wi + Ue)/dc

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[30]

se oberva que al aumentar c el valor d G aumenta más rápidamente en el caso en que la tensión aplicada sea constante, ya que el término o? aumenta con c. Las con­figuraciones de grieta más estables se obtendrán para los casos en que la deformación sea constante.

La energía será:

UT = (-W, + Ue) + Us - dU/dc = - G + dUs/dc

Al aumentar el tamaño de la grieta dUs/dc = cte., es decir, la «fuerza» que hay que aplicar para crear nuevas superficies es constante. Interesa que la situación de equi­librio (fractura), se alcance para grietas lo más grandes posibles (longitud crítica mayor). Por lo tanto, interesa que G aumente lentamente, y esto ocurre para el caso en el que la deformación es constante. Es decir, el término energético G = dUe/dc no es otro que la energía disponi­ble para hacer progresar la fisura. La fisura se propaga cuando G es igual a la energía superficial (en el caso de Griffith) o a r en el caso en que se tengan en cuenta otros procesos disipativos.

3.2.2. Análisis de Inglis

En 1913 Inglis (16) estudió la distribución de tensiones en una placa sometida a tracción con una grieta de forma elíptica de longitud a y radio de curvatura p obteniendo para la tensión en frente de fisura:

2G, [31]

siendo G la tensión aplicada y a el semieje mayor de la elipse. Por tanto, en este modelo sencillo se observa cómo una grieta puede actuar como un «concentrador de ten­siones», ya que para el caso particular de una circunfe­rencia p = a y Gm = 2G, es decir, la grieta duplica la ten­sión en su extremo. Lógicamente, la resistencia del material se habrá reducido a la mitad.

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Se puede por tanto considerar que la ruptura se pro­duce cuando esta tensión a^ toma el valor de la resistencia teórica Gth".

de donde

Of

EYO [32]

E y

4a [33]

Pero vemos que este valor de Of depende de la relación p/a, es decir, para una elipse de semiejes a y b, depende de la relación a/b, ya que p ex: a/b. Esto implicaría que el tamaño de defecto no es un factor determinante en la resistencia a la fractura, lo que contradice los resultados experimentales.

Hay tres modos de propagación de una grieta según las direcciones relativas de las fuerzas aplicadas con la superficie de fractura. Todos los demás modos se reducen a combinaciones lineales de estos tres (fig. 5).

Modo I Modo II Modo I I I

Fig. 5.—Definición de los tres modos de fractura.

3.2.3. Análisis de Irwin

Irwin (15) supone una fisura en cuña y considera el campo de tensiones creado en el frente de la fisura (fig. 4).

\5'

" ^ C J e e

Fig. 4.—Sistemas de coordenadas utilizados en la representación del campo de tensiones creado en cífrente de la fisura.

Para una dimensión dada de defecto, el riesgo de frac­tura catastrófica es más importante si la orientación del defecto al sometimiento exterior corresponde al modo I. Por lo tanto, para hallar un límite superior a la tensión aplicada deberemos considerar el modo I.

Para este modo el tensor de tensiones tomará los va­lores:

K,

/ 27ra

Gz = 2v Ox [36]

El factor Ki es función de la geometría del sistema al que se aplica la tensión y de la geometría de la fisura:

Ki = aY a' [37]

Para el caso en que se considere una geometría plana, utilizando las funciones de Westergaard (16), se puede describir el estado de las tensiones y el de deformaciones en un punto M(r,6) situado a una distancia r del frente de la fisura (r « a).

a , = K(27cr)-»/2f;j(G)

Ui

K

( ^ ) ' g.(e)

[34]

[35]

Al factor K se le denomina factor de intensidad de tensiones y engloba toda la dependencia con respecto a las condiciones de contorno del sistema: tipo de tensiones aplicadas y geometría de la grieta. Los términos restantes de las expresiones nos dan la distribución del campo de tensiones que dependerá del modo de programación de la grieta.

donde a es la tensión aplicada, a es el tamaño de defecto e Y es un factor geométrico que tiene en cuenta la forma de la fisura y el tipo de sistema de carga empleado.

Cuando se produce la fractura, la tensión aplicada a será igual a Of y el factor de intensidad de tensiones tomará el valor crítico Kic:

Kic = Gf Y a>/2 [38]

e igualando a la expresión obtenida (26) en la aproxima­ción de Griffith:

Gf = 2Eyo Kic

Ya' •"Kic \¡2^ [39]

El factor crítico de intensidad de tensiones, K ic, es una propiedad intrínseca del material y representa la resistencia a la fisuración del material, tenacidad a la fractura.

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Mecánica de fractura en materiales cerámicos frágiles. I: Principios fundamentales.

4. EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARÁMETROS KcyGc

Si suponemos un sistema de grieta como el de la figu­ra 7, cuando la grieta se extiende de c a c + de, la energía de deformación relajada será:

r ^ (dUe)u — 2 - ^ (Oyy Uy H" G y Ux + G^ u^) d x

•'c + de ^

donde el factor 2 aparece debido a las dos caras opuestas de la grieta.

Si se sustituyen las expresiones [34] [35] y se tiene en cuenta que

G = - \ — ¿ ¿ — I = Gi (Ki) + G„ (K„) + Gm (Km)

al integrar, se obtiene para placas finas:

K 2 -rr 2 | r 2

I r^ii ^ i i i

G = ^ — +—Ë~" ~^'~~W~ ( " ^) tensión plana [40]

5. FRACTURA DE SOLIDOS REALES: COMPONENTES DISIPATIVAS

Si se comparan los valores de Ge experimentales con los valores de 2 y obtenidos a partir de los cálculos de ruptura de enlaces, se observa que los sólidos no siguen los resultados de Griffith, debido principalmente a que en el extremo de la grieta, al ser tan grande la concentra­ción de tensiones, el material deja de comportarse como elástico, apareciendo unos mecanismos de deformación plástica capaces de disipar grandes cantidades de energía. Por lo tanto, el ciclo termodinámico deja de ser reversible y es necesaria una extensión del concepto de Griffith.

Los procesos de disipación de energía pueden tenerse en cuenta ajustando la energía de fractura o energía de superficie termodinámica con el trabajo plástico. Se puede definir, por lo tanto, una energía de superficie efectiva Yef que tiene en cuenta las distintas formas de absorción de energía: y^t es la suma de todas las energías disipadas por unidad de superficie de fisura durante la propagación. Se puede poner:

G = K.

(1 - V2) + K„

• ( l - v 2 ) + K„

(1 + v) [41]

deformación plana

Vemos que la velocidad de relajación de energía de deformación es aditiva para los distintos modos.

En su forma diferencial el balance de energías de Gri­ffith se puede expresar como:

dU = d (-W, + Ue) + dUs = - G de + 27 de

En equilibrio dU/dc = O y G = Ge (K = K ) luego,

- G C + 2 Y = 0 GC = 2Y = K ? / E

Este será por tanto un criterio para la fractura. Hay un balance entre las fuerzas a favor y en contra de que se propague la grieta. Cuando la velocidad de relajación (a favor) sea superior a la energía superficial, la grieta se propagará. O lo que es igual, cuando Ki alcance el valor crítico Kic, habrá fractura.

Fig. 6.—Esquema del crecimiento de una grieta.

MAYO-JUNIO, 1988

Yef = TlYo + YP + Yu [15]

donde

Yo

Yu

es la energía de superficie termodinámica y r| un factor que tiene en cuenta la orientación del plano de la fisura. es la energía por unidad de superficie, disipada durante la deformación plástica. es un término que tiene en cuenta la energía térmica, acústica, cinética, etc., generadas por unidad de área, durante la propagación de la fisura.

Las expresiones obtenidas en el desarrollo de Griffith para el caso de sólidos ideales, pueden igualmente aplicarse para sólidos con otra forma de fractura, sin más que reemplazar Yo por la energía de superficie efectiva Yef:

Cíf = 2EYef

[43]

La disminución de la energía almacenada por unidad de extensión de la fisura, Gic para la propagación será:

Gic = 2Ycf [44]

Los valores de Gic y por consiguiente de Kic, permiten caracterizar el comportamiento a la fractura de un material frágil presentando o no deformación plástica en el frente de la fisura. Estos son los parámetros característicos del material, no así la tensión de rotura que depende de los defectos presentes en el mismo.

En el caso de monocristales, los datos de energía su­perficial oscilan entre 0,3 y 3 Jm" y hay algunas variaciones con la temperatura y orientación de cristales. En la tabla 3 se exponen valores de energía superficial calculados a partir de datos de energías de sublimación obtenidos de la lite­ratura.

En policristales los valores observados son mayores y oscilan entre 10 y 50 Jm^.

131

R. TORRECILLAS, J. S. MOYA

TABLA 3

VALORES DE ENERGÍA LIBRE SUPERFICIAL (mJm^) CALCULADOS A PARTIR DE DATOS DE ENERGÍA DE SUBLIMACIÓN

Material

Plano

mínima energía

Mínima energía libre

superficial (y^)

Promedio energía

libre superficial (ya)

Ym Ya

Material

Plano

mínima energía

Mínima energía libre

superficial (y^)

Promedio energía

libre superficial (ya) 20° C 1.500° C 20° C 1.500° C

MgO (100) 1.680-0,308T 2600-0,476T 1.590 1.150 2.460 1.756 BeO (0001) 2.140-0,321 T 2.400-0,359T 2.050 1.570 2.290 1.760 )?-SiC (110) 2.030-0,370 T 3.000-0,546T 1.920 1.370 2.840 2.030 SÍO2 (110) 616-0,128 T 925-0,193T 580 390 870 580 TÍO2 (110) 426-0,089 T 800-0,167T 400 270 750 500 AI2O3 (1014) 1.120-0,216T 1.200-0,232T 1.060 740 1.130 790 CraOs (1014) 875-0,186T 925-0,200T 800 530 870 570

6. MECÁNICA ESTADÍSTICA DE FRACTURA

La mecánica estadística de fractura o resistencia pro-babilística de materiales (17) (18) nació del hecho de que en los cuerpos frágiles, el fenómeno de fractura presenta un alto grado de dispersión. Para este hecho experimental WeibuU (19) desarrolló en 1939 la teoría estadística de fractura, teniendo en cuenta, que en diferentes muestras de un mismo material, preexisten grietas distribuidas alea­toriamente en orientación, tamaño y número. Para un esfuerzo dado existe una cierta probabilidad de que una de tales grietas sea crítica, se propague de forma catastró­fica y se rompa el material. El origen de la fractura no proviene necesariamente de la zona sometida a mayor tensión, sino que depende del nivel de tensión, del tamaño, orientación y número de grietas. Por este motivo, una misma estructura (una probeta) puede romperse bajo di­ferentes cargas.

WeibuU determinó la probabilidad acumulativa de fractura para un material frágil sometido a un estado uniaxial variable de tensiones. Pero, estadísticamente ha­blando ¿en qué se diferencia un material frágil de un cuasi-frágil?

Supongamos un cuerpo de volumen V, sometido a un ensayo de tracción uniaxial, y sea N el número de grietas preexistentes distribuidas aleatoriamente en V y n el nú­mero de grietas que al propagarse en una región de V hacen que el cuerpo se rompa catastróficamente. Esa re­gión de V se denomina volumen crítico. Ve. Si el número de grietas es uno y el volumen crítico coincide con el volumen del cuerpo, se trata de un material frágil puro, es decir, son materiales frágiles puros aquéllos en los cuales basta la propagación de una única grieta para que éste se fracture catastróficamente y aquellos cuerpos frá­giles que necesitan de la propagación de numerosas grietas, para fracturarse, se denominan cuasi-frágiles.

6.1. Ecuación funcional de la mecánica estadística de fractura

La mecánica estadística de fractura de materiales frá­giles se basa fundamentalmente en una sola hipótesis: si se divide el cuerpo en dos partes arbitrarias, la probabi­lidad de que no se fracture el total es independiente de esta descomposición y cada una de las probabilidades de las dos partes es independiente de la otra. Si consideramos

un cuerpo de volumen V sometido a una tensión constante a, la ecuación funcional se puede poner como:

F12 (V, + V . = V) = F , (VO F2 (V2) [45]

donde Vi y V2 son la descomposición imaginaria del vo­lumen V en dos partes disjuntas, F12 (Vi + V2) es proba­bilidad acumulativa de no fractura del cuerpo de volumen V = Vi + V2, Fl (Vi) es la probabilidad acumulativa de no fractura del volumen Vi.

Se ha demostrado (20) que la función de distribución F12 (V) es única y se puede hallar su expresión si se imponen las condiciones de contorno

F(0) = 1 F (00) = O

o sea, la probabilidad de que no se fracture un cuerpo de volumen muy pequeño es 1, y la probabiUdad de que no se fracture un cuerpo de volumen grande es nula.

Para incrementos pequeños de volumen y desarro­llando F en serie de Taylor, se tiene:

F (V + AV) = F (V) + F '(V) AV = F (V) F (AV) [46]

Pero

F(AV) = F (O + AV) = F(0) + F '(0) AV = 1 + F (0)AV

Luego teniendo en cuenta las expresiones anteriores [45] [46]

F(V) F(AV) = F (V) [1 + F (0) AV] = F(V) +

F(V) F ' ( 0 ) AV = F (V) + F '(V) AV

F (V) F(0) O (o)

F (V) F(0) V„

0(0) , o ' ( o ) > 0 ; 0 < o < o o [47]

donde 0(a) es una función positiva y creciente de la tensión, llamada función riesgo específico de fractura, y Vo es la unidad de volumen. El signo menos proviene de que, cuanto más grande es el cuerpo, más fácil se rompe.

132 BOL.SOC.ESP.CERAM.VIDR.VOL. 27 - NUM. 3

Mecánica de fractura en materiales cerámicos frágiles. I: Principios fundamentales.

Integrando la ecuación diferencial se obtiene:

í n F ( V ) = 0 ( G ) + C [48]

F(V) = exp - — O ( o ) + c [49] 1 Vo I

F (0) = 1 = e'^- c = O -

F(V) = exp - ^ ® ( ^ ) [50]

En consecuencia la probabilidad acumulativa de frac-

í V 1 tura

F(V) = 1 - F(V) = 1 - exp V„

<^(o) [51]

Para el caso de un cuerpo sometido a un campo varia­ble de tensiones y subdividido en volúmenes Vi:

F ( SVi) = nF(Vi) =- exp - S —^ O (oO [52]

y, en consecuencia, generalizando esta expresión [52]

F ( o , V ) = l - e x p ( - — í o [ c j ( r I Vo •'v r

o ( r ) < o f ( r ) ; | f ( r ) | < l

r)] dV e V

[53]

con f (r) obtenida de la teoría de la elasticidad, y siendo ésta la fómula de WeibuU.

Con la fórmula de WeibuU es posible determinar la probabilidad acumulativa de fractura, siempre que se co­nozca O (a), función riesgo específico de fractura, tanto en su forma analítica como numérica. Cuando se adopta para O (a) una forma analítica conocida, es posible realizar la integración para casos especiales obteniéndose los va­lores de los parámetros experimentales. Cuando se deja O (a) como una función incógnita, la fórmula de WeibuU debe ser considerada como una ecuación integral, donde F(a) viene dada experimentalmente y o (r) por la teoría de la elasticidad.

WeibuU (19) propuso para O (a) la forma siguiente:

O (a) = [54] a < G L

donde ao y m son constantes que dependen del proceso de fabricación del material y OL es la tensión por debajo de la cual no hay fractura. La tensión media de fractura está dada por:

G = C •'o

donde

dF (G, V)

d ^ dG = GL + Ge

V 1+ —

m

r( x ) = l e-^t-^ dt

[55]

[56]

es la función gamma de Euler. Luego G es función de los parámetros de la función de

WeibuU. Sin embargo O es independiente de estos pará­metros ya que:

O r dF G,v r~ V _v Vo ....

= \0 d O = — O e ^ o d O — [56] Jo dG ^' Vo V

es sólo función del volumen del cuerpo. La dependencia del volumen que se aprecia en la fór­

mula de WeibuU, ha sido estudiada sobre diversos mate­riales (23-26), pero es válida sólo cuando el material se rompe catastróficamente al propagarse la primera grieta que se activa.

6.2. Estimación de los parámetros

Los parámetros de WeibuU se pueden estimar (21-22) utilizando los métodos:

— métodos de máxima verosimilitud — momentos — mínimo chi-cuadro

Normalmente en el laboratorio se suele utUizar la téc­nica de estimación de momentos: el momento de primer orden que corresponde al valor medio y el de segundo orden correspondiente a la varianza están dados, respec­tivamente, por:

( . l/m

-^j Fin- j [57]

Mediante estas ecuaciones de momentos se pueden determinar GL y G«. Para eUo se igualan los momentos de primer y segundo orden con las medidas y las varianzas experimentales. Posteriormente se obtiene m por mínimos cuadrados.

La forma de operar es la siguiente. Partiendo de la expresión [50] y tomando dos veces logaritmos neperianos una vez sustituida O (a) según WeibuU obtenemos:

' • ' • (T3^)= i„

VoO-s + m 1„ (a - OL) [58]

que es una recta de pendiente m.

MAYO-JUNIO, 1988 133

R. TORRECILLAS, J. S. MOYA

A continuación se ordenan los valores de resistencia experimentales de menor a mayor

ai < 02 < 03 < ON

y se da como probabilidad al i-ésimo valor

F N (Vi) = N + 1

Con esto lo que hemos hecho es igualar los momentos de primer y segundo orden con las medias y varianzas experimentales.

A continuación se hace un análisis por mínimos cua­drados con lo que obtenemos m y todos los demás pará­metros.

Cuando la representación de resultados no es del todo lineal, se puede deber a varias causas. Por un lado, puede haber distintos tipos de defectos siguiendo cada tipo una distribución diferente (21), y por otro lado, que hasta el momento no hemos tenido en cuenta, el crecimiento sub-crítico de grietas.

Cuanto mayor es el parámetro de WeibuU «m», menor es la fragilidad del material. En la figura 7 se representa la función para varios valores de m.

0,5 +

Fig. 7.—Probabilidad de fractura para distintos valores del módulo de Weibull

El módulo de Weibull tiene una interpretación física, y es la de describir la distribución de tamaño de defectos. Por ejemplo, según el análisis de Poloniecki y Wilshaw se sugiere que la densidad de probabilidad de tamaño de defectos sigue una ley de la forma

f(a) = ( n - 2 ) a" e"

para a > O

siendo a el tamaño de defecto, c un parámetro de escala y n la velocidad a la que la densidad tiende a cero (fig. 8).

Cuanto mayor sea n, más estrecha será la distribución de defectos, por lo que la dispersión en la medida de la resistencia será menor. Pues bien, si se toma esta expresión y se halla la correspondiente para F, al compararla con la de Weibull se observa que los parámetros m y n están relacionados según:

m = 2 ( n - l )

134

Fig. %.^Densidad de probabilidad de tamaño de defectos.

lo que demuestra la interpretación física dada anterior­mente.

En la parte II del presente estudio se anaUzarán los mecanismos operantes en el crecimiento subcritico de grie­tas, asi como los métodos experimentales utilizados en la medida de la velocidad de crecimiento en relación al valor del factor de intensidad de tensiones.

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