Capítulo 1

Ecuaciones del movimiento

Introducción

Uno de los objetivos principales de la física, y especialmente de la cinemática, es

describir y/o predecir la posición de un cuerpo en cada momento. Para hacerlo,

primero es necesario definir un sistema de coordenadas espacial, que define puntos

en , ; así como in sistema de coordenadas temporal que define el

tiempo t. Hecho esto, dar la posición de un cuerpo en función del tiempo, es

especificar la función:

Tal que a cada t le asigna un punto . Dar esta función es dar la ecuación del

movimiento. Usando las relaciones cinemáticas:

podemos obtener también la velocidad y la aceleración en cada instante de tiempo

- Consideremos el ejemplo más sencillo, el de un cuerpo que sigue un

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Examinemos la ecuación del

movimiento:

Donde , , son vectores constantes. No hay que confundir las

constantes , , con las funciones . Veremos ahora la gran

cantidad de información que contiene la ecuación del movimiento. Primero, su

nos preguntasen donde se encuentra el cuerpo en t=0, sólo necesitamos

sustituir t por 0 en la ecuación:

O sea, en t=0 el cuerpo se encuentra en el punto , justificando que llamemos

posición inicial al . Si queremos conocer la velocidad en todo momento,

aplicamos:

En particular, nos pueden preguntar cuánto vale la velocidad en t=0.

Sencillamente, de la ecuación anterior:

O sea, en t=0 el cuerpo tiene velocidad , justificando que denominemos

velocidad inicial a . Si queremos conocer la aceleración en todo momento,

aplicamos:

Fijémonos en que la banda derecha de esta ecuación es independiente del

tiempo (no aparece t). Esto quiere decir que la aceleración no depende del

tiempo; de hecho, vale en todo momento:

Esto justifica que el movimiento se denomine uniformemente acelerado o de

aceleración constante.

- Un ejemplo más complicado, pero tan sencillo como el anterior de operar es el

dado por la siguiente ecuación del movimiento:

Donde α, β, γ son constantes. Nótese que ahora escribimos en lugar de

. Esto quiere decir que quien ha escrito esta ecuación del movimiento, solo

tiene interés por el movimiento del cuerpo a lo largo del eje x, y no le importa lo

que pasa a lo largo de los ejes y, z. En la mayoría de los casos, la razón es que

el cuerpo se mueve a lo largo del eje x, manteniendo y=0, z=0. Pero podría ser

que, sencillamente, solo fuese de interés observar la proyección de su

movimiento a lo largo de solo uno de los ejes. Bien, nos repetimos las

preguntas del ejemplo anterior: ¿qué valen la velocidad y la aceleración en

todo momento? Solo hay que derivar:

Notad que ahora si depende del tiempo y, por tanto, seguro que el

movimiento no es uniformemente acelerado. Podríamos preguntarnos: en t=0,

¿Dónde se encuentra el cuerpo? ¿Qué velocidad tiene? ¿Y aceleración? Solo

necesitamos sustituir t por 0 en las ecuaciones del movimiento:

Fijémonos en que la primera de las ecuaciones nos permite interpretar la

constante α como la posición inicial; incluso podría valer la pena rebautizarla:

En cambio el significado de β y γ no es tan directo como para permitir su

interpretación ni como velocidad ni como aceleraciones iniciales.

Este problema es útil para recalcar una vez más la diferencia entre las

constantes , , y las funciones , ya que en este caso ni

siquiera aparecen y .

La física determina las ecuaciones del movimiento

La pregunta de qué ecuación del movimiento sigue un cuerpo en unas circunstancias

dadas queda totalmente resuelta, según la mecánica clásica, por la segunda ley de

Newton:

Donde es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, m es su masa

y es la función aceleración. Como veremos, totalmente resuelta salvo dos

constantes arbitrarias.

Vemos ahora como la ley de Newton determina la ecuación del movimiento, o sea, la

función . Solo necesitamos usar dos veces el hecho de que integrar es la

operación inversa a derivar. Comenzamos reescribiendo:

Por tanto, la segunda ley de Newton nos permite conocer el valor, no de la velocidad

sino de la derivada temporal, para conocer la velocidad, solo hay que integrar:

Donde es una constante arbitraria que no se puede determinar usando solo la ley de

Newron. Para ver que no se puede determinar, fijaos que lo que queríamos obtener al

integrar es una función tal que al derivarla nos de

; como la derivada de una

constante es cero, siempre se puede añadir sin afectar a la derivada.

Bien, ya tenemos como obtener Finalmente, para obtener , solo nos falta

volver a integrar:

Por tanto, como ya sabemos , ya podemos obtener . Nuevamente, hay una

constante arbitraria que no puede fijarse solo con la ley de Newton.

¿Por qué hay dos constantes arbitrarias? Físicamente, ¿cómo se entiende que la

segunda ley de Newton no fije absolutamente el movimiento? La respuesta es intuitiva.

La segunda ley de Newton solo fija la fuerza, pro se puede aplicar la misma fuerza a

un cuerpo que se encuentra en España o en China (por tanto, no fija la posición

inicial); y también se puede aplicar la misma fuerza a un cuerpo inicialmente quieto o a

un cuerpo inicialmente a 300 Km/h (por tanto, tampoco fija la velocidad inicial).

¿Cómo se determinan las dos constantes arbitrarias? Bien, para determinar dos

incógnitas siempre suelen necesitarse dos condiciones, así que es necesario dar dos

datos extra. Por ejemplo, se puede especificar la pareja posición y velocidad iniciales,

o sea, decir el valor de y de . Alternativamente, podríamos escoger

de entre una infinidad de posibles combinaciones de parejas de condiciones y fijar:

, y , …

Como ejercicio para asimilar estos conceptos, retomamos los dos ejemplos de la

sección anterior e intentamos hacerlos en el sentido inverso. Es decir, imaginaremos

que solo nos dan la aceleración en función del tiempo y que se pide deducir la

ecuación del movimiento .

- Movimiento uniformemente acelerado. En este caso la aceleración es

constante, por tanto:

Con constante. Para encontrar la velocidad, integramos

Para encontrar la posición, volvemos a integrar:

Ya solo falta determinar las constantes . Para hacerlo imponemos las dos

condiciones más típicas, es decir, que en t=0 el valor de y de son

conocidos e iguales a :

Ya esta, ya hemos deducido que la ecuación del movimiento es:

- Vamos ahora al segundo ejemplo. Nos dicen que en un movimiento, la

aceleración en cada momento vale:

Es cuestión de integrar dos veces demostrar que:

Que coincide con lo que ya sabíamos, excepto por las constantes arbitrarias.

Para fijarlas, necesitaríamos conocer más datos.

Recordatorio de las leyes básicas de la mecánica

Tres leyes de Newton

La dinámica es la parte de la física que estudia las fuerzas en relación con los

movimientos que producen en los sistemas. Ésta, se basa en tres principios básicos

formulados por Newton, que son:

- Principio de la inercia

- Principio de acción de fuerzas

- Principio de acción y reacción

Principio de la inercia

Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme

a menos que actúe sobre él una fuerza neta (resultante de todas las fuerzas

que actúan sobre él)

Así, es la fuerza la única causa capaz de producir una aceleración en un cuerpo. Esta

ley es muy semejante a los postulados de Galileo, pero introduce el hecho de que deja

de tener sentido la distinción entre objetos en reposo y objetos que se desplazan a

velocidad constante. Todo esto desemboca en el estudio de diferentes sistemas de

referencia:

- A partir de aquí introducimos el concepto de sistema inercial: sistema de

referencia que se desplaza a velocidad constante.

- Cualquier sistema de referencia que se mueve con velocidad constante

respecto a otro sistema inercial, es también un sistema inercial.

- La tierra se puede considerar un sistema inercial, si se desprecia la pequeña

aceleración centrípeta caudada por su translación alrededor del sol y la

aceleración de la superficie respecto al centro, causada por la rotación sobre sí

misma.

Por otro lado, el concepto de fuerza neta aporta la idea de que las fuerzas se

combinan (suman) como si fuesen vectores. Lo importante no es tratar cada una de

las fuerzas, sino trabajar con la resultante.

Principio de acción de fuerzas

La aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa y

proporcional a la fuerza neta externa que actúa sobre él

Matemáticamente, se escribe (a pesar de que la primera fórmula es la más usada, la

segunda es más intuitiva ya que presenta la aceleración como consecuencia de la

fuerza):

Esta definición nos indica que la masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca del

cuerpo y que no depende de su localización. En cambio, el peso de un objeto es la

fuerza resultante de su atracción con la Tierra, y por tanto, depende de su localización.

Principio de acción y reacción

Las fuerzas actúan por parejas: si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el

cuerpo B, este ejerce sobre A una fuerza igual pero de sentido contrario

Esta ley es muy fácil de malinterpretar: las fuerzas de acción y reacción no se

equilibran y se anulan, ya que se aplican sobre cuerpos diferentes.

Finalmente, estas tres leyes de Newton solo no dicen como los cuerpos se atraen

entre ellos, no por qué lo hacen.

Trabajo y energía

Algunos tipos de movimientos son difíciles de describir

directamente mediante las leyes de Newton.

Necesitamos analizar el movimiento mediante dos

conceptos científicos fundamentales: energía y

trabajo. Ambas son magnitudes físicas escalares

asociadas a las partículas y los sistemas de

partículas.

El trabajo es una magnitud física escalar, que puede

ser positiva, negativa o cero. El trabajo realizado por

el cuerpo A sobre el B es positivo si la energía se

transfiere de A a B y negativo cuando la energía se

transfiere de B a A. Si no se transfiere energía el

trabajo es cero.

Normalmente se dice que el trabajo es fuera por

desplazamiento. Desafortunadamente, la afirmación

es demasiado simple y engañosa. Se realiza trabajo

sobre un cuerpo cuando el punto de aplicación de la

fuerza se mueve a lo largo de un desplazamiento.

El trabajo se basa en la componente de la fuerza

que va en la dirección del desplazamiento del

cuerpo. Para un movimiento rectilíneo, es fácil calcular la componente de la fuerza en

la dirección del desplazamiento. Sin embargo, cuando la trayectoria es curvilínea, la

fuerza y el desplazamiento pueden tener cualquier dirección. En este caso, podemos

utilizar el producto escalar, que nos proporcionará la componente de una fuerza dada

en la dirección del desplazamiento.

El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza a lo

largo del desplazamiento.

Integral de camino: para resolverla es necesario establecer el camino de integración

En general hablamos del movimiento de un cuerpo bajo una fuerza.

¿Qué pasa cuando actúa más de una fuerza en cada punto? ¿Cómo se define el

trabajo en este caso? Cuando hay varias fuerzas que realizan trabajo sobre un

sistema, el trabajo total se calcula sumando el trabajo realizado por cada una de las

fuerzas:

Concepto de energía

- Cualquier fenómeno físico implica una alteración del sistema

- Energía y trabajo

- Energía y cambio de ej. posición, movimiento, constitución

- La energía se manifiesta por el trabajo que el sistema puede originar o por el

trabajo que se ha de hacer para llevar al sistema al estado en el que se

encuentra.

- Diversas manifestaciones de la energía: ej. energía cinética, potencial

En todos los procesos físicos está presente la energía. La energía de un sistema mide

su capacidad de hacer un trabajo.

La energía cinética está asociada al movimiento y la energía potencial es la energía

asociada a la configuración del sistema.

Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula realizan trabajo, el resultado es el

cambio asociado al movimiento de la partícula – la energía cinética. Para obtener la

relación entre energía cinética y trabajo, veamos qué sucede si una fuerza constante

neta actúa sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje x. Aplicando la segunda

ley de Newton:

La magnitud

recibe el nombre de energía cinética K de la partícula:

Obsérvese que la energía cinética depende solo del modulo de la velocidad de la

partícula y de su masa, pero no de la dirección de movimiento. Además, la energía

cinética no puede ser nunca negativa y solo es cero cuando la partícula está en

reposo. Así, la ecuación

Da la relación entre el trabajo total realizado sobre una partícula y el cambio de

energía cinética de dicha partícula.

Este resultado se conoce como teorema de la energía cinética o teorema de las

fuerzas vasa. Este teorema nos dice que cuando el trabajo total es positivo, la energía

cinética aumenta, lo que significa que la partícula se mueve más rápido. Cuando el

trabajo total es negativo, la energía cinética disminuye. Cuando el trabajo total es cero,

la energía no cambia.

El teorema de las fuerzas vivas a lo largo de una curva arbitraria puede establecerse

de la siguiente forma

Fuerzas conservativas: Cuando el trabajo asociado a una fuerza solo depende de las

posiciones inicial y final (no del camino seguido) la fuerza se denomina conservativa.

Campos de fuerza

- En una región del espacio existe un campo de fuerza si al situar en esta región

un cuerpo este experimenta instantáneamente el efecto de una fuerza.

- Campo vectorial (en cada punto del espacio toma un valor)

A Magnitud activa

Intensidad del campo

- Un cuerpo colocado en un campo, tiene capacidad para hacer trabajo

Campos de fuerza conservativos

- El trabajo realizado por las fuerzas del campo conservativo en el

desplazamiento de un cuerpo de un punto a otro solo depende de las

posiciones inicial y final del cuerpo

- Ejemplos de campos conservativos:

Campos centrales

- Campos conservativos: dependencia analítica solo función de r a un centro de

fuerza

Energía potencial

Trabajo realizado por las fuerzas conservativas del campo sobre un cuerpo en moverlo

de una posición inicial A a una posición final B

Capítulo 2

Oscilaciones

Introducción

Muchos son los sistemas físicos que oscilan. De hecho, cualquier perturbación en un

sistema que está en una posición de equilibrio estable, da lugar a un movimiento

oscilatorio. ¿Qué caracteriza estos movimientos? La principal característica de estos

movimientos es que son periódicos, es decir: se repiten. El ejemplo más paradigmático

de movimiento oscilatorio es el movimiento de un péndulo.

En general, los sistemas que oscilan periódicamente son útiles desde el punto de vista

de la física. Es por eso que, ya desde los tiempos de Galileo, se usa el péndulo simple

para medir intervalos de tiempo. La importancia del péndulo simple radica en que el

periodo de oscilación no depende de la amplitud de la oscilación.

Movimiento armónico simple

El tipo más importante y común de movimiento oscilatorio es el movimiento armónico

simple y es el movimiento característico del oscilador armónico. El estudio del

oscilador armónico es muy importante ya que, a pesar de que el montaje mecánico es

muy simple, es la basa para el estudio de fenómenos tales como el movimiento de un

péndulo simple, vibraciones de cuerdas, vibraciones en tubos, corrientes eléctricas,

etc.

Suponemos que hacemos el siguiente montaje:

En el estudio que sigue menospreciaremos el rozamiento, es decir, la fricción de la

masa respecto al suelo, así como la fricción con el aire. Supondremos también que el

muelle no tiene pérdidas. Bajo estas condiciones, podemos excitar la masa de dos

formas diferentes:

- Con un desplazamiento inicial: cogemos la masa de su posición inicial a x=0, la

desplazamos hasta x=L y la dejamos suelta

- Con una velocidad inicial: mientras la masa está en su posición de reposo x=0,

le damos una vez y, en consecuencia, se desplaza hasta la posición x=L.

Sea cual sea la excitación, las características del movimiento siempre serán:

- El movimiento siempre será periódico: en intervalos de tiempos iguales, la

masa adquiere la misma posición y las mismas características del movimiento.

- El movimiento es oscilante alrededor de la posición de reposo que

designaremos por x=0

- La separación máxima del cuerpo respecto a su posición de equilibrio (x=L y x=

- L) es siempre la misma.

Cuando la masa es desplazada de su posición de equilibrio, el muelle hace una fuerza

(fuerza elástica) – kx dada por la Ley de Hooke:

Donde k es la rigidez del muelle (propiedad intrínseca) y la x es el desplazamiento de

la masa. El signo negativo indica que la fuerza siempre se opone al movimiento. En la

figura esto significa que cuando el muelle está comprimido hace fuerza en sentido

positivo del eje x y viceversa.

Ecuación del movimiento

El movimiento de un cuerpo queda totalmente determinado (exceptuando dos

constantes arbitrarias) una vez decimos cual es la fuerza que actúa sobre él. En el

caso del oscilador simple, la ecuación central es la ley de Hooke.

Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos:

La aceleración es proporcional al desplazamiento y tiene sentido opuesto al de este.

Esta es una característica general del movimiento armónico simple. De hecho, siempre

que la aceleración de un objeto es proporcional y opuesta a su desplazamiento, el

objeto se mueve con movimiento armónico simple. A partir de la ecuación de arriba y

teniendo en cuenta que la aceleración es la segunda derivada de la posición respecto

al tiempo obtenemos la ecuación diferencial que define el movimiento del oscilador

armónico simple:

Que es lo mismo que:

La tiene unidades radianes/segundos y es la frecuencia propia del sistema.

Nótese que no depende de las condiciones iniciales, sino de las características

internas del oscilador: su masa y de la constante del muelle.

La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Para

encontrar la ecuación del movimiento x(t) es necesario determinar una función del

tiempo tal que, al derivarla dos veces, nos de la misma función que de la que

partíamos, sin tener en cuenta la constante multiplicativa. Funciones con esta

propiedad son el seno y el coseno. Se puede demostrar que la solución más general

de la ecuación es:

Como habíamos dicho, todo queda determinado salvo por dos constantes arbitrarias,

B y C.

De hecho, mucha gente prefiere usar trigonometría y reescribir la ecuación del

movimiento de estas dos maneras alternativas:

Nótese que en las dos ecuaciones también tenemos dos constantes arbitrarias que

son A y . A recibe el nombre de amplitud máxima y es la constante de fase. Estos

dos parámetros dependen de las condiciones iniciales del problema, es decir, que las

podemos modificar externamente. Denominaremos fase a toda la expresión que hay

en el interior del seno o coseno, es decir, a . Las características del

movimiento son:

El cuerpo siempre se encuentra entre – A y A- Efectivamente, dado que los valores

máximos y mínimos de la función seno son +1 y – 1, el movimiento resultante queda

confinado en la región comprendida entre +A y – A.

El movimiento es periódico. La función sin(x) es periódica con periodo 2π, por tanto, el

movimiento se repetirá cuando el argumento de la función seno, es decir, la fase, se

incremente 2π. Esta observación nos permite calcular el periodo, que denominamos T.

Sólo debemos de imponer que en dos instantes de tiempo separados por T, digamos

t0 y t0+T, la posición sea idéntica:

Es decir, cada vez que pasa un tiempo

, el movimiento se encuentra en el

mismo punto y con la misma velocidad. Resumiendo, tenemos las siguientes

magnitudes relacionadas con la periodicidad:

Periodo,

que expresa el tiempo que tarda el movimiento en

recuperar la misma posición y la misma velocidad.

Frecuencia,

que expresa cuantas veces por unidad de tiempo se

alcanza la misma posición con la misma velocidad.

Frecuencia angular,

no es más que un múltiplo de la

frecuencia f, y que sirve a menudo porque es la combinación que aparece en la

fase de la ecuación del movimiento.

A partir de ahora, por conveniencia, utilizaremos la forma de la ecuación del

movimiento con el seno, teniendo en cuenta que es solo una elección. Por tanto, es

arbitraria y podríamos haber escogido igualmente el coseno variando de forma

apropiada la constante de fase.

Velocidad y aceleración

Hemos visto que la posición de la masa en movimiento viene descrita por la ecuación:

Si hacemos la derivada respecto del tiempo, obtendremos la expresión de la velocidad

en función del tiempo:

Si volvemos a derivar respecto del tiempo, obtendremos la aceleración:

Que podemos observar concuerda con la segunda ley de Newton:

Las características de la velocidad, considerando el sistema de coordenadas de la

figura son:

- La velocidad es máxima cuando la masa pasa por el punto x=0 en sentido

positivo del eje x y mínima cuando pasa por el punto x=0 en sentido negativo

del eje x. El módulo de esta velocidad máxima viene dado por:

- La velocidad es nula en las posiciones de x= A y x= - A.

Las características de la aceleración, también considerando el sistema de

coordenadas escogido en la figura son:

- La aceleración es máxima cuando la masa está en el punto x = - A y mínima

cuando la masa está en la posición x = A. El módulo de esta aceleración

máxima viene dado por:

- La aceleración es nula cuando la masa pasa por el punto x=0

Sobre la fase

La constante de fase depende de que instante de tiempo escojamos como t=0. Si

por ejemplo, escogemos t=0 cuando la masa pasa por la posición de equilibrio x=0 con

la velocidad positiva (parte superior de la figura), la constante de fase será cero y la

ecuación del movimiento será simplemente donde ahora L es la

amplitud del movimiento (A=L). si escogemos t=0 cuando x=L obtendremos que la

constante de fase ha de ser

Energía del MHS

Hemos visto que en el movimiento oscilatorio del sistema mas-muelle la posición, la

velocidad y la aceleración varían con el tiempo. Esto implica que tanto la energía

potencial como la cinética varían con el tiempo. Aun así, la energía total se mantiene

constante (en el supuesto de que no haya fricción). La energía potencial de un muelle

de constante k al ser estirada una distancia x de su posición de equilibrio viene dada

por:

Por otro lado, la energía cinética de un objeto de masa m que se mueve con velocidad

v es:

La energía total será entonces:

Fijémonos que cuando el desplazamiento es máximo, x=A la velocidad es nula. La

energía total será entonces:

Concluimos entonces que la energía total del movimiento armónico simple es

proporcional al cuadrado de su amplitud.

Esta ecuación también se puede obtener sumando directamente la energía potencial y

la cinética empleando las ecuaciones de la posición y la velocidad en función del

tiempo.

El péndulo simple

El ejemplo más familiar de movimiento oscilatorio

es el movimiento del péndulo. El movimiento de

un péndulo es armónico simple tan solo si la

amplitud del movimiento es pequeña.

Consideramos la figura en la que tenemos una

bola de masa m colgada del techo con una

cuerda de longitud L. Las fuerzas que actúan

sobre la bola son su peso mg y la tensión T de la

cuerda. Cuando la cuerda hace un ángulo ϕ

respecto a la vertical, el peso se puede

descomponer en dos componentes: una

componente en la dirección de la cuerda (mg cos

ϕ) y una componente en la dirección

perpendicular a la cuerda (mg sin ϕ). Sea s la

longitud del arco medida a partir de la parte más

baja del círculo. Recordamos la relación entre el ángulo ϕ y el arco s: s = Lφ.

La componente tangencial de la aceleración de la bola es

. Aplicando la ley de

Newton a la componente tangencial:

Que es equivalente a:

En la última igualdad hemos supuesto que el ángulo es suficientemente pequeño

como para aproximar sin a . Observamos que la ecuación nos dice que la

aceleración es proporcional al desplazamiento. Así, el movimiento del péndulo para

pequeños desplazamientos es armónico simple. Nótese que la ecuación se puede

reescribir como sigue:

La solución a esta ecuación es simplemente , donde es el

máximo desplazamiento del arco. El periodo del movimiento es:

Nótense dos características del movimiento del péndulo simple:

- El periodo no depende de la masa de la bola

- El periodo y la frecuencia no dependen de la amplitud de oscilación. Esta es

una característica típica del movimiento armónico simple.

La última característica ha sido esencial en la historia de la humanidad, pues ha

permitido fabricar que un péndulo para medir el paso del tiempo sea realmente

sencillo. El hecho es que para que un péndulo tenga un periodo de, digamos, 1

segundo, no hace falta dejarlo caer desde una posición perfectamente precisa; es

suficiente con dejarlo caer desde una posición cercana al equilibrio. Mientras se haga

de esta forma, el periodo será el mismo.

Relación entre el MHS y el MCU

El hecho de trabajar con una frecuencia angular nos permite relacionar el MHS con

un movimiento circular uniforme (MCU) de velocidad angular . Consideramos una

partícula que se mueve con una velocidad angular constante sobre una

circunferencia. El desplazamiento angular de la partícula respecto al eje de las x viene

dado por:

Donde es el desplazamiento angular en el

instante t=0. En la figura podemos deducir la

interpretación del MHS como la proyección sobre

el eje X del extremo de un vector rotatorio de

longitud igual a la amplitud A, y que gira con una

velocidad angular ω (igual que la frecuencia del

MHS) en el sentido contrario de las agujas del

reloj.

Oscilador armónico amortiguado

En las situaciones reales, los movimientos armónicos disminuyen su amplitud a lo

largo del tiempo, hasta que el sistema se para. Esto es debido a las fuerzas de fricción

entre la masa y la superficie en la que se encuentra, entre la masa y el aire, etc. En

muchos casos, este rozamiento se puede considerar proporcional a la velocidad, y con

signo opuesto ya que las fuerzas de fricción siempre se oponen al movimiento. Así,

nos queda:

Donde b es la constante de proporcionalidad o coeficiente de fricción. Ahora la

ecuación diferencial a resolver será:

Que se puede escribir como:

Donde es la frecuencia natural de oscilación (a la que oscilaría el sistema en

ausencia de rozamiento) y es la constante de amortiguación.

Como siempre, habría que resolver la ecuación diferencial. Antes es necesario decir

que la solución explícita depende del valor relativo entre las constantes y .

Distinguiremos tres tipos de régimen:

- ( < ) Subamortiguado: la amplitud de oscilación decae lentamente.

- ( = ) Amortiguado críticamente: la frecuencia de oscilación es cero, y el

sistema se aproxima gradualmente hasta la posición de equilibrio. Este tipo de

amortiguación se usa ciando se pretende una eliminación rápida de las

oscilaciones, como por ejemplo en los sistemas de medida, amortiguadores de

vehículos, etc.

- ( > ) Sobreamortiguado: el sistema no oscila, sino que se mueve

lentamente hasta su punto de equilibrio.

Nos centraremos solo en el primero de estos casos.

Movimiento armónico subamortiguado

Si la solución del movimiento simple (sin fricción) era del estilo:

Ahora la solución pasa a ser:

Notad que hay solo dos cambios:

- Introducción de una exponencial decreciente en el tiempo , que hace que

la amplitud de las oscilaciones vaya menguando.

- Modificación de la frecuencia angular, de a . La última se define como:

Y, por tanto, es ligeramente inferior a la frecuencia . Como lo que importa

para el movimiento es la frecuencia que aparece en la ecuación del movimiento

denominaremos a frecuencia angular real del movimiento, y recordaremos

siempre que resulta inferior a , la que tendría el movimiento si no hubiese

fricción.

Habitualmente es conveniente reescribir la ecuación del movimiento. Podemos probar

que se puede reescribir de dos maneras:

El movimiento resultante se aprecia en la figura.

Recordad que la energía mecánica del oscilador, es

igual a la suma de la energía potencial asociada al

muelle y la energía cinética asociada a la partícula.

La expresión que resulta cuando el amortiguado es

pequeño ( ) es:

Esta ecuación muestra como la energía decrece exponencialmente con el tiempo con

una pequeña modulación causada por el segundo término.

Casos sobreamortiguado y amortiguado crítico

La solución anterior es válida solo en casos de

subamortiguado ( < ). Si vamos

incrementando el amortiguado, llegaremos a

un valor crítico en el que la constante de

amortiguación es igual a la frecuencia natural

de oscilación ( = ). Siempre que el

sistema no oscila sino que vuelve a la posición

de equilibrio lentamente. De hecho, en el caso

del amortiguado crítico, el sistema vuelve al

equilibrio más rápidamente que en el caso del

sobreamortiguado. Cuanto más grande es la

constante de amortiguación, más tarda el

sistema en volver a la posición de equilibrio.

Oscilaciones forzadas

Hasta ahora, hemos visto las oscilaciones naturales de un cuerpo, producidas cuando

lo apartamos de su posición de equilibrio y lo dejamos ir. Las oscilaciones forzadas se

producen cuando se aplica una fuerza externa y periódica sobre un sistema. El estudio

de estos fenómenos es extremadamente importante en la mecánica, acústica,

electrónica, etc.

Ecuación del movimiento

Consideraremos el caso en el que la fuerza externa es periódica del tipo:

Donde es la amplitud máxima de la fuerza externa y es la frecuencia de esta

fuerza externa. Con esto, la ecuación del movimiento nos quedará:

Que es lo mismo que:

La solución estacionaria de esta ecuación diferencial se puede escribir como:

Donde las variables A y vienen dadas por:

Régimen transitorio y régimen estacionario

Realmente, el movimiento del sistema está dividido en dos partes:

- Régimen transitorio: durante los primeros instantes del movimiento del sistema,

el efecto de la amortiguación es apreciable, pero decae rápidamente hasta

extinguirse.

- Régimen estacionario: cuando el régimen transitorio ha desaparecido, nos

queda el régimen estacionario donde el sistema vibrará a la frecuencia

impuesta por la fuerza externa. En el apartado anterior se indica la solución

correspondiente a este régimen.

Fijaos en que en el régimen estacionario tenemos una oscilación harmónica simple en

la que la frecuencia de oscilación del sistema coincide con la de la fuerza exterior

aplicada, de aquí resulta el nombre de oscilación forzada. Hay que darse cuenta de

que la fase del oscilador forzado está retrasada respecto a la fase de la fuerza externa.

Resonancia

Hemos visto como la amplitud del movimiento depende de la frecuencia angular de la

fuerza externa que aplicamos . Esto quiere decir, que si vamos probando por todas

las diferentes frecuencias, la amplitud del movimiento irá cambiando. Cuando la

amplitud del sistema sea máxima, diremos que el sistema ha entrado en resonancia:

Un sistema entra en resonancia cuando para un determinado valor de la

frecuencia externa, la amplitud de oscilación forzada es máxima.

El valor de la frecuencia de resonancia del sistema amortiguado con excitación forzada

se puede conseguir minimizando el denominador de la ecuación:

Ya que así haremos la amplitud máxima. Esta situación recibe el nombre de

resonancia en amplitud:

Es decir, que la frecuencia de resonancia del

sistema forzado se acerca a la frecuencia propia

del sistema en régimen libre (frecuencia natural

del sistema) a medida que disminuye el

rozamiento. En la figura tenemos la

representación de la amplitud según la frecuencia

de la fuerza externa, para diferentes valores de

amortiguación.

Desde un punto de vista energético, hay que

tener en cuenta que para mantener en el régimen

estacionario un sistema con oscilaciones

armónicas es necesario aportar energía al

sistema. Esto es una consecuencia necesaria del

hecho de que el sistema está oscilando en un medio viscoso y, por tanto, experimenta

pérdidas. Claramente quien suministra esta energía ha de ser la fuerza externa. El

sistema absorbe la máxima energía cuando esta es suministrada con la frecuencia

natural del oscilador. Esta situación recibe el nombre de resonancia en potencia o

energía y se produce cuando . En la mayor parte de los casos que resultan de

interés, la frecuencia de resonancia en amplitud y en potencia son muy semejantes.

En los sistemas mecánicos se busca minimizar la resonancia, ya que esto podría

provocar la destrucción del sistema. Hay otros casos, en los que la resonancia es

buscada, como en instrumentos musicales o sintonizadores de radio.

Capítulo 3

Dinámica de los sistemas de partículas y del

sólido rígido

Centro de masas y movimiento del centro de masas

8.1. Centro de masas

Si lanzamos una pelota al aire, seguirá un movimiento parabólico. Pero si lanzamos un

bastón al aire, el movimiento es más complicado. Cada extremo del bastón se mueve

de manera distinta y ambos extremos lo hacen de forma distinta a como se mueve el

punto medio. Sin embargo, si nos fijamos bien veremos que hay un punto del bastón

que se mueve siguiendo una curva parabólica aunque el resto de puntos no lo haga.

Este punto, llamado centro de masas, se mueve como si toda la masa del bastón

estuviera concentrada en este punto y todas las fuerzas externas estuvieran aplicadas

sobre él. Para determinar el centro de masas de un cuerpo, es útil visualizar el cuerpo

como un sistema de partículas.

El movimiento de un objeto o de un sistema de partículas se puede describir en

función del movimiento del centro de masas (que puede considerarse como el

movimiento global del sistema) más el movimiento de las partículas individuales en el

sistema relativo al centro de masas. Consideremos en primer lugar un sistema simple

formado por dos partículas en una dimensión. Sean x1 y x2 las coordenadas de las

partículas puntuales de masas m1 y m2 respecto a un origen elegido arbitrariamente.

La coordenada xcm del centro de masas viene definida por

Donde es la masa total del sistema. Si se elige el origen y la dirección

del eje x de tal forma que la posición de es el origen y está en la dirección

positiva del eje x, entonces y , donde d es la distancia entre las partículas

y el centro de masas viene dado por

En el caso de solo dos partículas, el centro de masas cae en un punto de la línea que

une las dos partículas; si las partículas tienen la misma masa, entonces el centro de

masas se halla justo en el punto medio entre ellas. Si las dos partículas tienen masas

distintas, el centro de masas estará más cerca de la partícula con mayor masa.

Podemos generalizar de dos partículas en una dimensión a un sistema de muchas

partículas en tres dimensiones. Para N partículas

Utilizando una notación más concisa

Donde es la masa total del sistema. Igualmente,

El vector posición de la partícula i es . El vector de posición del

centro de masas, , viene definido por

Donde .

Consideremos cuerpos extendidos como pelotas, bates de beisbol incluso coches.

Estos cuerpos contienen un gran número de partículas con una distribución continua

de masa. Para cuerpos con simetría elevada, el centro de masas coincide con el

centro de simetría. Por ejemplo, el centro de masas de una esfera uniforme o de un

cilindro uniforme está localizado en su centro geométrico. Para un objeto que tenga

una línea o plano de simetría, el centro de masas está localizado en alguno de los

puntos de esa línea o plano. Para determinar el centro de masas de un objeto

continuo, basta reemplazar el sumatorio de la ecuación anterior por una integral:

Donde dm es un elemento de masa localizado en la posición , como se muestra en la

imagen.

Energía potencial gravitatoria de un sistema

La energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas en un campo gravitatorio

uniforme es la misma que tendría si toda su masa estuviera concentrada en el centro

de masas. Sea hi la altura de la partícula i en un sistema que se encuentra por encima

de un nivel determinado de referencia. La energía potencial gravitatoria del sistema es

Por otra parte, teniendo en cuenta la definición de centro de masas, la altura de éste

viene dada por la expresión

Es decir,

Este resultado puede utilizarse para localizar experimentalmente

el centro de masas de un objeto. Por ejemplo, dos objetos

conectados por una barra ligera estarán en equilibrio sobre un

pivote situado en el centro de masas. Si pivotamos el sistema en

cualquier otro punto, el sistema girará hasta que la energía

potencial pase por un mínimo, lo cual tiene lugar cuando el centro

de masas se encuentra en el punto más bajo posible

directamente debajo del pivote.

Si suspendemos cualquier cuerpo irregular de un pivote, este

cuerpo colgará de modo que su centro de masas se encuentre en

un punto de la línea vertical que pasa por el pivote y debajo de

este si ahora suspendemos el cuerpo de otro punto y trazamos la

línea vertical que pasa a través del mismo, el centro de masas se

encuentra en la intersección de las dos líneas.

8.2. Determinación del centro de masas por integración

En esta sección se determina el centro de masas por integración

Para ilustrar la técnica de cómo establecer la integración, trataremos el problema

simple de determinar el centro de masas de una barra uniforme y delgada.

Barra uniforme. Primero, elegimos el

sistema de coordenadas. Una buena

elección es un sistema de coordenadas con

el eje x a lo largo de la barra, con el origen

en un extremo. En la figura se muestra un

elemento de masa dm de longitud dx

situado a una distancia x del origen. La

ecuación anterior nos lleva entonces a

La masa está distribuida a lo largo del eje x dentro del intervalo . El barrido

de dm a lo largo de toda la barra (y en la dirección positiva del eje x) se determina

mediante los límites de la integral 0 y L. El cociente dm/dx es la masa por unidad de

longitud λ; por tanto, dm=λdx:

Donde

Si la barra es uniforme, λ es constante y puede sacarse como factor en cada una de

las integrales, obteniéndose

Y

Despejando λ, de esta última ecuación, se obtiene . Entonces, para una barra

uniforme la masa por unidad de longitud es igual a la masa total dividida por la longitud

total. Sustituyendo en lugar de M en la ecuación, completamos el cálculo y

llegamos al resultado esperado

Aro semicircular. El cálculo para determinar el centro de masas de un aro

semicircular de radio R es más fácil si elegimos el origen sobre la línea de simetría del

alambre (eje y) en el centro de curvatura como indica la imagen. Para determinar el

centro de masas usamos la ecuación , donde . La

distribución de masa semicircular sugiere la conveniencia de usar coordenadas

polares, para las cuales x=rcosθ y y=rsinθ. Con estas sustituciones tenemos

Ahora expresamos dm en función de dθ.

Primero, el elemento de masa dm tiene longitud

ds=Rcosθ, por lo tanto,

Donde λ=dm/ds es la masa por unidad de

longitud. De esta forma tenemos

La evaluación de esta integral supone que dm

recorra la distribución de masa semicircular. Esto

significa que los límites de θ son . Se

integra en la dirección de θ creciente, por lo que

los límites van de 0 a π. Se obtiene entonces

El aro es uniforme y sabemos que λ=M/πR,

donde πR es la longitud de la semicircunferencia. Sustituyendo λ y reordenando

términos

El centro de masas está en el eje y a una distancia de 2R/π del origen. Curiosamente,

está fuera del objeto.

8.3. Movimiento del centro de masas

El movimiento de un objeto o de un sistema de

partículas se puede describir en función del

movimiento del centro de masas, que puede

considerarse como el movimiento global del sistema

más el movimiento de las partículas individuales en el

sistema relativo al centro de masas. La figura es una

fotografía obtenida con destellos múltiples de un

bastón lanzado al aire. Mientras el bastón está en el

aire, el centro de masas sigue una trayectoria

parabólica, la misma que seguiría una partícula

puntual. Las otras partes del bastón rotan en torno a

este punto cuando el bastón se mantiene en el aire.

El movimiento del centro de masas para un sistema de partículas está relacionado con

la fuerza neta que actúa sobre el sistema como un todo. Podemos demostrar esto

examinando el movimiento de un sistema de n partículas de masa M. para determinar

la aceleración del centro de masas, calcularemos primero su velocidad, derivando la

ecuación respecto al tiempo:

La derivada temporal de la posición es la velocidad y se obtiene

Una nueva diferenciación nos da las aceleraciones:

Donde es la aceleración de la partícula i-ésima y es la aceleración del centro de

masas. Sin embargo, de acuerdo con la segunda ley de Newton, es igual a la

suma de las fuerzas que actúan sobre la partícula i, por lo que

Donde el término de la derecha es la suma de todas las fuerzas que actúan en cada

partícula del sistema. Algunas de estas fuerzas son fuerzas internas (ejercidas sobre

una partícula del sistema por otra partícula del sistema) y otras son fuerzas externas

(ejercidas sobre una partícula del sistema por una partícula que no está en el sistema).

Así,

De acuerdo con la tercera ley de Newton, las fuerzas se presentan emparejadas

acción-reacción. Así, para cada fuerza interna que actúa sobre una partícula existe

una fuerza igual pero opuesta que actúa sobre otra partícula. Cuando se suman todas

las fuerzas internas, cada pareja acción-reaccion suma cero, de forma que .

La ecuación se convierte en

Esta ecuación nos dice que la masa total M multiplicada por la aceleración del centro

de masas es igual a la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema. Así,

tenemos:

El centro de masas de un sistema se mueve como una partícula de masa

sometida a la influencia de la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema.

Este teorema es importante porque nos muestra cómo describir el movimiento del

centro de masas de cualquier sistema de partículas. El centro de masas se comporta

exactamente igual que una sola partícula puntual sometida únicamente a las fuerzas

externas. Los movimientos individuales de los elementos del sistema generalmente

son mucho más complejos y no vienen descritos por la ecuación anterior.

Un caso especial del movimiento del centro de masas es aquel en el que sobre el

sistema no actúa ninguna fuerza externa neta. Por tanto, y el centro de masas

está en reposo o se mueve con velocidad constante. Las fuerzas internas y el

movimiento pueden ser complejos, pero el comportamiento del centro de masas es

simple. Además, si la fuerza externa neta no es cero, pero una componente de ella

permanece en una dirección dada, por ejemplo, la dirección x, es cero, entonces

y permanece constante.

Momento lineal, energía cinética de un sistema de partículas y conservación del

momento lineal

8.4. Conservación del momento lineal

Cuando Newton concibió su segunda ley consideró el producto de la masa y la

velocidad como una medida de la cantidad de movimiento de un cuerpo. Hoy en día,

llamamos momento lineal o cantidad de movimiento al producto de la velocidad de

una partícula por su masa:

La cantidad se designa como momento lineal de una partícula para distinguirlo del

momento angular.

El momento lineal es una magnitud vectorial. Es el producto entre un vector (la

velocidad) y un escalar (la masa). Su módulo es mv y tiene la misma dirección que .

Las unidades del momento son unidades de masa por velocidad; así, en el SI las

unidades del momento son kg·m/s2.

El momento puede considerarse como una medida de la dificultad de llevar la partícula

hasta el reposo. Por ejemplo, un camión pesado tiene mayor momento lineal que un

automóvil ligero que se mueve con igual velocidad. Es necesaria una fuerza mayor

para detener el camión en un tiempo determinado que para detener el automóvil en el

mismo tiempo.

La segunda ley de Newton puede escribirse en función del momento de una partícula.

Diferenciando la ecuación anterior se obtiene

Sustituyendo por la fuerza , resulta:

Por lo tanto, la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la derivada

respecto al tiempo del momento de la partícula. En realidad, el enunciado original de la

segunda ley de Newton tenía esta forma.

El momento total de un sistema de muchas partículas es la suma de los

momentos de las partículas individuales:

De acuerdo con la ecuación del centro de masas, es igual a la masa total M

multiplicada por la velocidad del centro de masas:

Derivando eta ecuación respecto al tiempo

Pero de acuerdo con la segunda ley de Newton, es igual a la fuerza externa

neta que actúa sobre el sistema. Por lo tanto,

Cuando la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema de partículas es cero,

la derivada del momento lineal total es también cero, y el momento lineal total del

sistema permanece constante:

Si , entonces

Este resultado se conoce con el nombre de ley de conservación del momento:

Si la fuerza externa resultante sobre un sistema es cero, el momento lineal total del

sistema permanece constante.

Esta es una de las leyes más importantes de la física. Es aplicable en un mayor

número de casos que la ley de conservación de la energía mecánica debido a que las

fuerzas internas ejercidas por una partícula del sistema sobre otra son frecuentemente

no conservativas. Así pues, estas fuerzas internas pueden hacer variar la energía

mecánica total del sistema, pero no pueden modificar la cantidad de movimiento total

del sistema. Si el momento lineal total de un sistema es constante, la velocidad

vectorial del centro de masas del sistema también es constante. La ley de

conservación del momento es una relación vectorial, por lo que es válida componente

a componente. Por ejemplo, si la suma de las componentes x de las fuerzas externas

que actúan sobre el sistema es cero, la componente x del momento total del sistema

permanece constante. Es decir,

Si , entonces

8.5. Energía cinética de un sistema

Aunque el momento lineal total de un sistema de partículas debe ser constante si la

fuerza externa resultante sobre el sistema es cero, la energía mecánica total del

sistema puede variar. Como vimos en la sección anterior, las fuerzas internas, que no

pueden alterar el momento lineal total, pueden ser fuerzas no conservativas y, por lo

tanto, modificar la energía mecánica total del sistema. Existe un importante teorema

que se refiere a la energía cinética de una sistema de partículas que nos permite tratar

más fácilmente la energía de sistemas complejos, así como los cambios energéticos

dentro de un sistema:

La energía cinética de un sistema de partículas puede escribirse como la suma de dos

términos: 1. La energía cinética asociada con el movimiento del centro de masas,

, donde M es la masa total del sistema; y 2. La energía cinética asociada con el

movimiento de las partículas del sistema respecto al centro de masas,

, siendo

la velocidad de la partícula i relativa al centro de masas.

Así,

Donde M es la masa total y es la energía cinética de las partículas relativa al

centro de masas.

Para demostrar este teorema, recordemos que la energía cinética de un sistema de

partículas es la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales:

Donde hemos utilizado que . La velocidad de la partícula i puede escribirse

como la suma de la velocidad del centro de masas y la velocidad de la partícula

relativa al centro de masas :

La energía cinética del sistema es, por lo tanto,

Que puede escribirse como suma de tres términos:

Donde en el sumando de la derecha hemos sacado factor común , ya que es el

mismo para todas las partículas, es decir, se refiere al sistema y no a una partícula

específica. La magnitud es el momento lineal del sistema referido al centro de

masas. Esta magnitud, que es igual a , es necesariamente cero. Por lo tanto,

Que completa la demostración. Cuando no hay fuerzas externas, es constante y la

energía cinética asociada con el movimiento global

no varía. Sólo la energía

cinética relativa puede cambiar en un sistema aislado.

8.6. Colisiones

Un coche colisiona frontalmente con otro. Un bate golpea una pelota de béisbol. Cada

uno de ellos son ejemplos de colisiones en los cuales dos cuerpos se acercan e

interaccionan fuertemente durante un breve periodo de tiempo.

Durante el breve periodo de colisión, cualquier fuerza externa es mucho menor que las

fuerzas de interacción entre los objetos. Entonces, los objetos que colisionan pueden

ser tratados como sistemas aislados durante la colisión. Por ello, las únicas fuerzas

importantes que actúan sobre el sistema formado por dos objetos son las fuerzas de

interacción, que son iguales y opuestas, de modo que el momento lineal total del

sistema permanece invariable. Es decir, el momento total del sistema en el instante

anterior a la colisión es igual al momento en el instante posterior a la colisión. El

tiempo de colisión es, normalmente, tan pequeño que el desplazamiento de los objetos

durante el choque puede despreciarse.

Cuando la energía cinética total de los dos objetos es la misma antes y después del

choque se trata de un choque elástico. Si la energía cinética total no es la misma

después del choque, se dice que es un choque inelástico. Un caso extremo es el

choque perfectamente inelástico, en el cual toda la energía cinética relativa al centro

de masas se convierte en calor o energía interna del sistema y los dos objetos

comparten la misma velocidad, pues quedan unidos después de la colisión.

Colisiones en una dimensión

Las colisiones en las que los cuerpos que colisionan se mueven en línea recta antes,

durante y después de la colisión, se denominan colisiones unidimensionales.

Consideremos un cuerpo de masa m1 que se mueve con velocidad inicial v1i hacia un

segundo cuerpo de masa m2 que se mueve con una velocidad v2i. si v2i < v1i los

cuerpos chocarán. Sean v1f y v2f las velocidades finales de los cuerpos después del

choque. Los dos cuerpos formarán un sistema aislado. El principio de conservación de

la cantidad de movimiento nos da una relación entre las dos velocidades

desconocidas, v1f y v2f:

Para calcular v1f y v2f es necesaria una segunda ecuación. Esta segunda ecuación, que

ahora desarrollaremos, depende del tipo de colisión.

Colisión perfectamente inelástica en una dimensión. En las colisiones

perfectamente inelásticas, las partículas tienen la misma velocidad después de la

colisión, pues quedan unidas tras el impacto. En una colisión perfectamente inelástica,

las velocidades finales son iguales entre sí e iguales a la velocidad del centro de

masas:

Combinando este resultado con la ecuación anterior nos da

Con frecuencia es útil expresar la energía cinética K de una partícula en función de su

momento lineal p. Para una masa m que se mueve con velocidad v tenemos que la

energía cinética inicial es

Después del choque, los objetos se mueven unidos como una sola masa con

velocidad . El momento lineal se conserva, de modo que el momento lineal final es

igual a Psist. La energía cinética final es, por lo tanto,

Colisiones elásticas. En las colisiones elásticas, la energía cinética del sistema es la

misma antes y después de la colisión. En el mundo macroscópico, las colisiones

elásticas son un ideal al cual la realidad puede aproximarse, pero nunca pueden llegar

a darse.

En la imagen se muestran dos objetos antes y después de que tengan una colisión

frontal unidimensional. Dado que el momento se conserva durante la colisión,

entonces

La colisión es elástica y, por lo tanto, la energía cinética es la misma, antes y después

de la colisión. Entonces,

Estas dos ecuaciones son suficientes para determinar las velocidades finales de los

dos objetos. Sin embargo, la naturaleza cuadrática de la ecuación complica

frecuentemente la solución. Tales problemas pueden tratarse más fácilmente si

expresamos la velocidad relativa de las dos partículas después del choque en función

de la velocidad relativa antes del choque. Reagrupando la ecuación para la

conservación del momento, se obtiene

De modo que

En las colisiones elásticas, el modulo de la velocidad de retroceso es igual a la

velocidad de aproximación.

La velocidad final de la partícula incidente y la de la partícula estacionaria

están relacionadas con la velocidad inicial de la partícula incidente por:

Y

Coeficiente de restitución. En general, un choque es una situación intermedia entre

los casos extremos de choque elástico, en el que las velocidades relativas se invierten,

y choque perfectamente inelástico, en el que no existe velocidad relativa después del

choque. El coeficiente de restitución e, que es la medida de la elasticidad de una

colisión, se define como el cociente entre la velocidad relativa de retroceso y la

velocidad relativa de aproximación:

En una colisión elástica, e=1; en una colisión perfectamente inelástica, e=0.

Colisiones en dos y tres dimensiones

En colisiones unidimensionales, las direcciones de los vectores velocidad inicial y final

se especifican simplemente mediante un + o un -. Este no es el caso de las colisiones

bi y tridimensionales. En este tipo de colisiones, el momento se conserva en cada una

de las direcciones x, y, z.

Colisiones inelásticas. En las colisiones de dos o tres dimensiones, el momento total

se obtiene sumando los vectores momento inicial de cada objeto implicado en la

colisión. Como tras la colisión perfectamente inelástica los objetos tienen la misma

velocidad final y el momento se conserva, tenemos

Por esta relación sabemos que los tres vectores velocidad, y la colisión, están en el

mismo plano. También, a partir de la definición de centro de masas sabemos que

.

Colisiones elásticas. Los choques elásticos

en dos y tres dimensiones son más complejos

que los estudiados previamente. La figura

muestra una colisión frontal entre un objeto

que se mueve paralelamente al eje x hacia

otro objeto que se encuentra inicialmente en

reposo en el origen. Este tipo de colisiones se

denominan colisiones no frontales (en

contraposición a las colisiones frontales). La distancia b se denomina parámetro de

impacto. Las velocidades finales dependen del parámetro de impacto y del tipo de

fuerza que ejerce un objeto sobre el otro.

La conservación del momento lineal nos da

En esta ecuación vemos que el vector debe encontrarse en el plano formado por

y , que a partir de ahora denominamos plano xy. Suponiendo conocida la

velocidad inicial, aun quedan cuatro incógnitas: las componentes x e y de cada

velocidad final; o alternativamente, los módulos de las dos velocidades finales y los

dos ángulos de desviación. Podemos aplicar la ley de conservación del momento en

forma de componentes para obtener dos de las ecuaciones que necesitamos:

Como la colisión es elástica, podemos usar la conservación de la energía cinética para

encontrar la tercera ecuación:

Para obtener el valor de las cuatro incógnitas, es necesaria una cuarta relación. Ésta,

depende del parámetro de impacto b y del tipo de fuerza de interacción ejercida por los

dos cuerpos entre sí. En la práctica, la cuarta relación se obtiene normalmente

midiendo el ángulo de desviación o el ángulo de retroceso.

Considérese el caso especial e interesante de un

choque elástico no frontal entre dos objetos de

igual masa cuando uno de ellos se encuentra

inicialmente en reposo. Si y son las

velocidades inicial y final del objeto 1,

respectivamente, y es la velocidad final del

objeto 2, la conservación de la cantidad de

movimiento nos dice

Los vectores velocidad final se suman formando el triángulo que se indica

en la figura. La conservación de la energía correspondiente a este choque

es

Esta última ecuación es el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo.

8.7. Colisiones en el sistema de referencia del centro de masas

Como hemos visto, la velocidad del centro de masas permanece invariable cuando la

fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema es nula, en cualquier sistema de

referencia inercial. A veces es conveniente hacer los cálculos en un sistema de

referencia alternativo que se mueve con el centro de masas. Entonces, con respecto al

sistema de coordenadas original, llamado sistema de referencia de laboratorio, este

sistema de coordenadas se mueve con una velocidad constante relativa al sistema

de referencia de laboratorio. Un sistema de referencia que se mueve a la misma

velocidad que el centro de masas recibe el nombre de sistema de referencia del centro

de masas. Si una partícula tiene la velocidad en el sistema de referencia original, su

velocidad relativa al centro de masas es . Como el momento total del

sistema es igual a la masa total por la velocidad del centro de masas, el momento total

también es cero en el sistema de referencia del centro de masas, el momento también

es cero en el sistema de referencia del centro de masas. Por ello, se llama también

sistema del momento lineal cero.

El análisis matemático de las colisiones se simplifica enormemente cuando se

consideran en el sistema de referencia del centro de masas. Las velocidades de las

partículas en el sistema de referencia del centro de masas son y . Los momentos

lineales de los dos objetos incidentes son iguales

y opuestos

Después de una colisión perfectamente inelástica,

los objetos permanecen en reposo. Toda la

energía original se pierde en forma de energía

térmica. Una colisión perfectamente elástica en

una dimensión invierte la velocidad de cada

objeto, pero no cambia su módulo.

Consideremos, por ejemplo, un sistema simple de

dos partículas en un sistema de referencia, en el

cual una partícula de masa se mueve con una velocidad y una segunda

partícula de masa se mueve con velocidad . En este sistema, la velocidad del

centro de masas es

Para transformar las velocidades de las dos partículas a sus velocidades en el sistema

de referencia del centro de masas, basta restar .

8.8. Sistemas de masa variable: la propulsión de los cohetes

En esta sección, exploramos situaciones en que el sistema que consideramos cambia

su masa continuamente. En este caso se elige el sistema formado por el cohete más

el combustible que aún está por usar. Cuando el combustible se utiliza, la masa del

sistema disminuye.

La propulsión de un cohete es un ejemplo interesante de la conservación de la

cantidad de movimiento. Ahora vamos a deducir la ecuación del cohete. La masa del

cohete cambia continuamente a medida que el motor quema combustible y expele los

gases resultantes. Consideremos un cohete que se mueve en línea recta con una

velocidad relativa a la tierra. Suponiendo que el combustible se quema a ritmo

constante, en el tiempo t la masa del cohete es:

Donde es la masa inicial del cohete. Los gases se separan del cohete a una

velocidad relativa al cohete, y el rito con el cohete consume combustible coincide

con la velocidad con la que disminuye su masa M. Elegimos como sistema el cohete y

el combustible no utilizado. Despreciando la resistencia del aire, la única fuerza

externa que actúa sobre el sistema es la fuerza de la gravedad. La ecuación del

cohete es:

La magnitud es la fuerza ejercida sobre el cohete por el gas que escapa y se

denomina empuje (o fuerza de impulsión) :

El cohete se mueve hacia arriba, por lo que se elige esta dirección como la positiva del

eje y, con lo cual expresamos

Para un cohete que inicia su movimiento del reposo en el tiempo t=0, resulta:

Donde . Reagrupando y sustituyendo t por y por b, da

Capítulo 4

Dinámica de rotación

Introducción

Si la posición relativa entre las partículas no varía, estamos ante un sólido rígido.

Podemos definir dos tipos de movimiento:

Traslación: todos los puntos se mantienen a la misma distancia.

Rotación: cada punto del sólido rígido describirá un movimiento circular

referente al eje.

9.1. Cinemática de la rotación: velocidad angular y aceleración angular

Cada punto de un cuerpo que gira respecto

a un eje fio se mueve en un círculo cuyo

centro está en el eje de rotación y cuyo

radio es la distancia de este punto al eje de

rotación. Imaginemos un disco que gira

alrededor de un eje fijo perpendicular a su

superficie y que pasa por su centro. Sea ri

la distancia desde el centro del disco a la

partícula i, y sea θi el ángulo medido en el

sentido contrario al de la rotación de las

agujas del reloj entre la línea radial que une

la partícula con el eje de rotación y una

línea de referencia fija en el espacio.

Cuando el disco gira un ángulo d θ, la

partícula se mueve un arco circular de

longitud dsi de tal manera que se cumple

Donde dθ se mide en radianes. Si el sentido positivo se define como el sentido

opuesto al avance de las agujas de un reloj, entonces dθ, θi y dsi, mostrados en la

figura son todos positivos. El ángulo θi, la longitud dsi y la distancia ri varían de una

partícula a otra pero el desplazamiento angular dθ, es el mismo para todas las

partículas del disco.

La variación del ángulo respecto al tiempo es la misma para todas las partículas del

disco y se denomina velocidad angular ω del disco. La velocidad angular instantánea

ω es un desplazamiento angular de corta duración dividido por el tiempo. Es decir,

De forma que ω es positivo o negativo en función de que θ sea positivo o negativo,

respectivamente.

La aceleración angular es el ritmo de cambio de la velocidad angular. Si el ritmo de

rotación de un cuerpo crece, la velocidad angular crece. La variación instantánea de la

velocidad angular respecto al tiempo se denomina aceleración angular α

La aceleración angular es positiva si la velocidad angular crece y negativa si decrece.

Las tres magnitudes angulares – desplazamiento angular, velocidad angular y

aceleración angular – son análogas a las magnitudes lineales:

La velocidad tangencial de la partícula está relacionada con la velocidad angular del

disco por:

De modo que

De igual modo, la aceleración tangencial de una partícula sobre el disco es

Es decir

9.2. Energía cinética de rotación

La energía cinética de un objeto rígido que gira respecto a un eje fijo es la suma de la

energía cinética de las partículas individuales que colectivamente constituyen el

objeto. Así, la energía cinética de la partícula i, de masa mi, es

Sumando la energía cinética de todas las partículas se obtiene

La suma del término de la derecha es el momento de inercia I de objeto respecto al eje

de rotación

Por lo tanto, la energía cinética del sistema resulta ser

Donde la c significa que depende del eje a través del cual estamos rotando.

9.3. Cálculo del momento de inercia

El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a experimentar

cambio en su movimiento de rotación respecto a un eje. Cuanto más lejos está la

masa del eje, mayor es el momento de inercia. Así, el momento de inercia es una

propiedad que depende de la localización de su eje de rotación así como de la

distribución de la masa del objeto.

El momento de inercia depende del tipo de objeto y del eje sobre el cual lo hagamos

girar.

Disco:

Esfera sólida respecto al diámetro

Barra respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro

Teorema de Steiner – Teorema de los ejes paralelos

El teorema relaciona el momento de inercia

respecto a un eje que pasa por el centro de masas

de un objeto, con el momento de inercia respecto

a otro eje paralelo al primero.

Donde Mh2 hace referencia al desplazamiento del

propio centro de masas.

Teorema de los ejes perpendiculares

*Flywheel