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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

COLEGIO PADRE SEGUNDO FAMILIAR CANO

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MÓDULO DE APRENDIZAJE #1

MATEMÁTICA Octavo Grado

CONCEPTO DE ÁLGEBRA Y OPERACIONES

DOCENTES:

Profa. Mari Rubiela Tello A – B – C – D – E

Prof. Carlos A. Gómez P. F – G – H – I – J

Profa. Zuleika Barría K – L – M – N

ESTUDIANTE:

_____________________________

8° ___

Segundo Trimestre

Octubre – Diciembre 2020

1


BIENVENIDOS a este nuevo trimestre.

Ya hemos tenido un poco de experiencia, en como se

desarrolla este año lectivo, respecto a su nueva

modalidad.

Les exhortamos a que continúen esforzándose por

aprender un poco cada día, tanto en materia

tecnológica como académica.

Los contenidos y actividades propuestas en esta Guía

de Aprendizaje están relacionados al grado que cursas

(8°) y a tu nivel de madurez intelectual. Por tal razón,

todas las actividades deben ser desarrolladas

aplicando lo expuesto en la teoría y ejemplos

desarrollados en esta Guía, y no debes utilizar

métodos alternos a los indicados.

La entrega de esta Guía de Aprendizaje resuelta debe

ajustarse a lo indicado por el docente.

“Sé responsable y puntual con la entrega.”

Área: Álgebra

Asignatura: Matemática

“El Maravilloso Mundo del Álgebra”

Objetivo de Aprendizaje:

• Reconoce el concepto de álgebra, expresión algebraica y sus elementos.

• Resuelve operaciones con expresiones algebraicas atendiendo a sus algoritmos, con el

fin de valorar su utilidad en la solución de ejercicios.

Indicadores de Logros:

• Clasifica correctamente términos y expresiones algebraicas, atendiendo a sus

características.

• Determina con exactitud el grado absoluto y relativo de una expresión algebraica.

• Ordena correctamente expresiones algebraicas en forma ascendente o descendente.

• Encuentra el valor numérico de expresiones algebraicas atendiendo a los valores

asignados.

• Elimina signos de agrupación aplicando la supresión de signos, en el orden correcto.

• Resuelve correctamente operaciones básicas con monomios y polinomios, aplicando

correctamente los algoritmos establecidos.

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“El tema de este módulo no es del todo nuevo, ya que

algunas reglas básicas de la aritmética que han sido

desarrolladas en grados inferiores se utilizan también en

álgebra, por lo que, debes estar en la capacidad de

recordarlas y aplicarlas en los momentos requeridos de la asignatura”

Para la indagación de los contenidos previos relacionados con este módulo de aprendizaje,

se recomienda resolver, de manera individual, la siguiente Actividad #1.

ACTIVIDAD #1 – Diagnóstica Responda, a partir de sus conocimientos sobre teoría de números, la siguiente tabla con la

información solicitada, para ello encierre con un círculo la letra correspondiente.

Interrogante… Tu respuesta es:

1. Al sumar: ‒ 7 + 3, el resultado es…

a) 4

b) 10

c) ‒ 4

2. Al multiplicar: ‒ 𝟏

𝟐 por ‒ 10, el resultado es:

d) 5

e) 20

f) ‒ 5

3. Al sumar: ‒ 12 ‒ 4, el resultado es…

g) 16

h) ‒ 16

i) ‒ 8

4. Al multiplicar: 𝟑

𝟓 por ‒ 15, el resultado es:

j) 45

k) ‒ 15

l) ‒ 9

5. La regla de los signos de la división es semejante a la de:

m) Suma

n) Multiplicación

o) Sustracción

OBSERVACIÓN: Si consideras que no puedes desarrollar la ACTIVIDAD #1 en forma correcta, continúe con

el módulo de aprendizaje pues estaremos reforzando esos contenidos.

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Evaluación Diagnóstica: ✓ ACTIVIDAD #1 desarrolla los saberes previos, con cinco (5) preguntas sobre conceptos básicos de la teoría de

números decimales.

Lista de Cotejo

Reforzamiento de saberes previos…

Si necesitas reforzar alguna de las operaciones de la Actividad #1, las mismas aparecen bien

explicadas en las Guías de Aprendizaje del primer trimestre.

Debido a que el conocimiento sobre las diferentes

operaciones básicas de aritmética tiene un papel

relevante en el desarrollo del álgebra, es importante

el dominio de la teoría de números, los conceptos, las diferentes reglas, propiedades y/o

características de los números reales, para su posterior aplicación en las operaciones básicas

del álgebra.

Conózcamos algo de historia sobre el descubrimiento del álgebra, para despertar su interés

por el tema y así motivarlos a adentrarse en el aprendizaje y dominio de la matemática:

En la historia de las matemáticas, si bien la palabra “álgebra” viene del vocablo árabe “al-Jabr”,

sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado

sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el

uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores

desconocidos.

Aspectos a considerar… Logrado No logrado

1. Resuelve correctamente el ejercicio de adición con signos diferentes.

2. Resuelve correctamente el ejercicio de multiplicación con signos iguales.

3. Resuelve correctamente el ejercicio de adición con signos iguales.

4. Resuelve correctamente el ejercicio de multiplicación con signos diferentes.

5. Identifica correctamente la operación inversa a la división.

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CONCEPTO

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que

mientras en Aritmética las cantidades se representan por números, en Álgebra las cantidades

están representadas por letras, las cuales, a su vez, pueden representar cualquier valor que le

asignemos.

Así pues, los símbolos utilizados en Álgebra para representar cantidades pueden ser de dos

tipos: números y letras.

En Álgebra se utilizan tres tipos de signos:

• Operación: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación,

• Relación: menor que “ < ”, mayor que “ > ” e igual que “ = ” , y

• Agrupación: paréntesis circular ( ), corchetes [ ], llaves { }.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama expresión algebraica a toda agrupación de números y letras unidas por los signos

de las operaciones aritméticas. Así, por ejemplo, una expresión algebraica será:

Las expresiones algebraicas pueden ser: enteras, fraccionarias, racionales e

irracionales.

Se llama término de una expresión algebraica a las cantidades que están separadas por los

signos más ( + ) o menos ( – ). Así, por ejemplo, la expresión algebraica 3a – 2b consta de dos

(2) términos que son: 3a y – 2b.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos:

• el signo,

• el coeficiente,

• la variable o parte literal y

• el exponente o grado.

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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #2 – Formativa

Complete el siguiente cuadro sobre los elementos del término…

TÉRMINO SIGNO COEFICIENTE PARTE LITERAL EXPONENTE

5 + 5 ------ ------

z + 1 z 1

‒ 3x4 ‒ 3 x 4

‒ 9m3n2r ‒ 9 m n r m: 3 , n: 2 , r:1

3x2y x: y:

‒ 5x3y2z x: y: z:

‒ 8m4n5p6 m: n: p:

Veamos ahora como se clasifican los términos…

CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS

Los términos suelen clasificarse individualmente en:

CLASIFICACIÓN CONDICIÓN EJEMPLOS

Término Entero Son aquellos que no presentan

denominadores. 4mn , 3m2n3

Término Fraccionario Son aquellos que presentan

denominadores literales.

2

3𝑚,𝑥𝑦

5𝑧

Término

Independiente

Dentro de una expresión algebraica, es

aquel que sólo es un número, es decir

no presenta variables o letras.

En x + 2, el término

independiente es 2.

Término Racional Son aquellos que no contienen letras

bajo el signo radical. √5𝑥𝑦, −9𝑚3𝑛2

Término Irracional Son aquellos que contienen letras bajo

el signo radical. √𝑚𝑛4

, −3

√5𝑥

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Ahora bien, cuando se comparan con otros términos se clasifican en:

CLASIFICACIÓN CONDICIÓN EJEMPLOS

Términos

Semejantes

Son los que tienen sus mismas

variables (parte literal) y elevado al

mismo exponente.

5xy y 7xy

1

3𝑚3𝑛2 y

2

5𝑚3𝑛2

Términos No

Semejantes

Cuando sus partes literales o variables

son diferentes o cuando tienen su

misma variable, pero exponentes

diferentes.

a2b2 y 3m2n3

6xy y 2x2y

Términos Opuestos Son dos términos semejantes pero sus

coeficientes son números opuestos. De 5m3n2, el opuesto es ‒5m3n2

De – 6ab, el opuesto es 6ab

Términos Iguales Son términos semejantes y tienen

coeficientes iguales. 7x2y y 7x2y

‒ 5mn y ‒ 5mn

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas se clasifican dependiendo de la cantidad de términos en:

• Monomios: Expresiones algebraicas que constan de un solo término.

Ejemplo: 4x2y3z

• Binomios: Expresiones algebraicas que constan de dos términos.

Ejemplo: 4x ‒ 5y

• Trinomios: Expresiones algebraicas que constan de tres términos.

Ejemplo: 2xy + 4y ‒ 6xz

En general, las expresiones algebraicas que constan de dos o más términos reciben el nombre

de polinomios.

Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…

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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #3 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de cada parte de esta actividad. Utilizando un lápiz,

Intenta hacerlo sin observar el contenido proporcionado, al terminar verifica con la teoría

proporcionada y corrige de ser necesario.

I. A partir de los datos proporcionados, complete el siguiente cuadro.

II. Clasifique los siguientes términos. Puede encerrar más de una categoría.

a) √2𝑥3

Entero Racional Irracional Positivo Negativo

b) ‒ 3x2z Entero Racional Irracional Positivo Negativo

c) √−8 3

a3bc Entero Racional Irracional Positivo Negativo

d) 2

5𝑚5𝑛7 Entero Racional Irracional Positivo Fraccionario

III. En la siguiente lista de términos, encierra cada grupo de términos semejantes. Utiliza colores diferentes para identificar cada grupo.

0,5x2y 4xy2 2,3ab2 3a4bc

2

3 𝑥𝑦

2

3 a4bc

x2y −6ab2

5ab −10𝑥𝑦

2

5𝑥2

8x2y

−3,4𝑥2 −7xy2 4𝑥𝑦 𝑥𝑦

TÉRMINOS SIGNOS COEFICIENTES PARTE LITERAL EXPONENTES

m

‒ 6

5xyz x: y: z:

mnr m: n: r:

‒ 7,9amx a: m: x:

10x3y x: y:

−𝟓

𝟖𝒎𝟓𝒏

m: n:

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IV. Indique si las expresiones dadas son: monomio, binomio, trinomio o polinomio.

a) (3x2)(4y) + 3x _______________________

b) (8mn)(4n) ‒ 7m ‒ 4n + 1 _______________________

c) (4xy)(3yz)(2xz) _______________________

d) ab + cd + ef _______________________

e) 1

3𝑥3 −

1

4𝑡4 _______________________

V. Clasifique, según la cantidad de términos, las siguientes expresiones algebraicas.

Encierre con un círculo el número correspondiente a la clasificación.

(1) Monomio / (2) Binomio / (3) Trinomio / (4) Polinomio

a) ( 4x3

3a2 ) (

8m

3n) 1 2 3 4

b) 5x3 + √ 3a − 25x

y 1 2 3 4

c) (17𝑎2)(−3𝑏2) + (−9𝑐)(5) 1 2 3 4

d) 2x4y3z 1 2 3 4

e) x5 + x4 + x3 ‒ x2 ‒ x + 7 1 2 3 4

GRADO DE UN TÉRMINO

El grado de un término puede ser: absoluto o relativo (con relación a una letra).

• Grado Absoluto: es la suma de los exponentes de sus factores literales.

Ejemplos: 3x (primer grado, 1°) , 2x2y4 (sexto grado, 6°) , 4x2y3z4 (noveno grado, 9°).

• Grado Relativo: es el valor que tiene el exponente de la letra que se asigna.

Ejemplo: en 6x3y2 (tercer grado con respecto a la x, segundo grado con respecto a la y).

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio puede ser: absoluto o relativo.

• Grado Absoluto: Es el grado del término que tiene el mayor grado absoluto en el

polinomio.

Ejemplo: El polinomio x5 ‒5x3 + x2 + 6x es de quinto grado, pues su término de mayor

grado es x5.

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• Grado Relativo: Es el grado con respecto a una letra del polinomio, luego el grado relativo

es el mayor exponente que tenga dicha letra.

Ejemplo: El polinomio a5 ‒ a4b2 + a3b + a2b3 es de quinto grado con respecto a la “a ” y

de tercer grado con respecto a la “b ”.

ORDEN DE UN POLINOMIO

Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra, si los exponentes de dicha

letra van aumentando o disminuyendo. La letra escogida recibe el nombre de letra ordenatriz.

• Orden Ascendente: Si los exponentes de la letra ordenatriz van aumentando desde el

menor hasta el mayor.

Ejemplo: 5x + 3x2 ‒ 4x3 + 5x4 está ordenado en forma ascendente con respecto a “x ”.

• Orden Descendente: Si los exponentes de la letra ordenatriz van disminuyendo desde el

mayor hasta el menor.

Ejemplo: b5 + 6ab4 ‒ 7a2b3 ‒ a3b2 + a4b está ordenado en forma descendente con

respecto a “b ”.


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #4 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de cada parte de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes

hacerlo con la ayuda del contenido proporcionado.

I. Escriba el grado relativo solicitado en los siguientes términos.

a) 6m5n3 m _____ , n _____

b) 3x8y5z x _____ , y _____ , z _____

c) a2b6c7 a _____ , b _____ , c _____

II. Diga el grado absoluto en los siguientes términos.

a) x4yz8 _____ b) 1,2ab3cd3 _____

c) 5m8n5 _____ d) mx7y5 _____

e) xyz6 _____ f) xy3z9 _____

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III. Escriba el grado absoluto de los siguientes polinomios.

a) x + x2 + x3 + x4 _____

b) 5b – 3b2 + 4b4 – 6 _____

c) a5 + a4b ‒6a3b2 + x2y4 ‒ 2y6 _____

d) 8 ‒ x6 + 2x5 ‒ x3 _____

IV. Escribe el grado relativo de cada polinomio con respecto a la letra solicitada.

a) t6 ‒ 3m3t4 ‒ 2m2 + 8 m _____ , t _____

b) m4nt5 ‒ 7m2t2 + 4n5t4 ‒ m3n2t3 m _____ , n _____ , t _____

c) r3s2t3 + x6y11 ‒ m10 + r15 ‒ s16 m _____ , r _____ , s _____ , t _____ , x _____ , y _____

d) 3b6m4 – 9bm3 + b4m6 + b5 b _____ , m _____

V. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios.

a) m6n5 + 3m2n7 ‒ m5n8 + m3n4 con respecto a:

Ascendente (m): ___________________________________________________________

Descendente (n): ____________________________________________________________

b) 7b3x2 ‒ 2b3 + 4b2x + x3 con respecto a:

Ascendente (x): ___________________________________________________________

Descendente (b): __________________________________________________________

c) ‒10t15n12 + 4t12n3 ‒ 8t6n5 ‒ 15t3n6 + n7 ‒ 8t9n4 + t18n con respecto a:

Ascendente (n): ___________________________________________________________

Descendente (t): ___________________________________________________________

d) y12 − x3y6 + x9y4 − x12y10 con respecto a:

Ascendente (y): ___________________________________________________________

Descendente (x): ___________________________________________________________

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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre Resuelve ahora la siguiente actividad como práctica general del tema…

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #5 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de cada parte de esta actividad. Utilizando un lápiz,

Intenta hacerlo sin observar el contenido proporcionado, al terminar corrobora con la teoría

proporcionada y corrige de ser necesario.

I. Indique al lado de cada expresión algebraica el grado absoluto y el grado relativo solicitado.

a) 5a4b3c _____ , b: _____

b) 4a3 − 8a2b4 + 5ab5 _____ , a: _____

c) 12m5n4 − 15m4n3 − 6m3n2 _____ , n: _____

d) − x6y + x5y2 − x4y3 + x3y4 _____ , x: _____

e) 2x3 + 4x4y5 − 3xy6 − 3xy6 + y7 _____ , y: _____

II. Clasifique, atendiendo a su condición, los siguientes términos. Coloque equis (X) en las casillas correspondientes.

Términos Positivo Negativo Entero Fraccionario Racional Irracional

2xy

5𝑧3

√3 p2qr

√−32 5

mn

– 8a3b

− 𝒘𝟐

𝟐𝐩

III. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios, según

lo solicitado en cada uno.

a) 2a3b2 – 5ab3 + 2a2b + b5 – 3a4

Ascendente (b): ___________________________________________________________

Descendente (a): ____________________________________________________________

¨En matemáticas no se deben despreciar ni los errores más diminutos¨

Isaac Newton

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Estudiante… Intenta ahora resolver la siguiente actividad sin mirar los contenidos ni las prácticas anteriores. Aplica los valores de honestidad y responsabilidad.

*** Debes utilizar bolígrafo con tinta de color NEGRO o AZUL***

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #6 – SUMATIVA #1 Total: 45 Obtenidos: ____ Calificación

I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Escriba en la raya a la derecha de cada enunciado, la letra que corresponda a la respuesta correcta. (10 puntos)

Toda agrupación de números y letras unidas por los signos de las operaciones ……………… ______

a. Expresiones Aritméticas b. Expresiones Geométricas c. Expresiones Algebraicas.

Son cantidades que están separadas por los signos de más o de menos………………………. ______

a. Términos b. Miembros c. Elemento

Término que presenta cuatro elementos…………………………...……………………................. ______

a. Aritmético b. Algebraico c. Geométrico

Son todos los términos que contienen letras bajo el signo radical ……………………………….. ______

a. Racional b. Independiente c. Irracional

Son aquellos términos que presentan denominadores literales ………………………………… ______

a. Entero b. Fraccionario c. Racional

Expresiones algebraicas que constan de dos o más términos…………………………………… ______

a. Binomios b. Trinomios c. Polinomios

Es el grado cuyo valor es la suma de los exponentes de sus factores literales………………… ______

a. Grado Absoluto b. Grado Relativo c. Grado literal

Letra que se utiliza para ordenar un polinomio recibe el nombre de: ……………………………. ______

a. Alfabética b. Vocal c. Ordenatriz

En un polinomio, si los exponentes van de mayor a menor, su orden es ...….…………………. ______

a. Trascendente b. Ascendente c. Descendente

Términos que tienen la misma variable y elevado al mismo exponente………………………… ______

a. Semejantes b. Iguales c. Independientes

II PARTE. Complete el siguiente cuadro respecto a los elementos de cada término. (9 puntos: 0,5 c/u)

TÉRMINO SIGNO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO RELATIVO GRADO ABSOLUTO

x2 x: ____

−5m5n8 m: ____ n: ____

𝟐

𝟓x3yz

x:____ y:____ z: ____

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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre III PARTE. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas en: monomio, binomio, trinomio o

polinomio, coloque al lado el grado absoluto. (10 puntos)

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

CLASIFICACIÓN GRADO ABSOLUTO

5x2 − 3y2

− 12x2y3z4

4x3 − 5x2 + 3x − 6

1 + x − x2

(−3x2)(8xy)(−5m)

IV PARTE. Compare las siguientes parejas de términos y clasifíquelos colocando una “X”, según

sea el caso. (6 puntos)

TÉRMINOS SEMEJANTES NO SEMEJANTES IGUALES

−8m3n ; 8m3n

2x4y2 ; 2x2y4

5abc ; 5bc

xyz ; xyz

7mn ; 8mn

V PARTE. Ordene los siguientes polinomios según se le indique. (10 puntos)

𝑥3 − 7𝑦3 − 2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 − 𝑥4𝑦5

Ascendente con 𝑥: _______________________________________________________ (2,5 p.)

Descendente con 𝑦: ______________________________________________________ (2,5 p.)

8𝑚5𝑥 − 10𝑚2𝑥3 + 3𝑚 + 5𝑚4𝑥6 − 2𝑚3𝑥5

Ascendente con 𝑚: _______________________________________________________ (2,5 p.)

Descendente con 𝑥: _______________________________________________________ (2,5 p.)

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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las

letras por números y realizar las operaciones indicadas, siguiendo la jerarquía para

operaciones combinadas. Una misma expresión algebraica puede tener distintos valores

numéricos, en función de los números que se le asigne a cada variable en la misma.

La utilidad de una expresión algebraica consiste en simplificar una situación real, por medio

de fórmulas matemáticas, en la que se han de realizar operaciones entre cantidades conocidas

(constantes) y cantidades desconocidas (incógnitas).

Ejemplos: Evalúe las siguientes expresiones algebraicas, según los valores asignados.

a) x2 + y + z si x = 5 , y = 1 , z = 3

x2 + y + z = (5)2+ 1 + 3 (sustituyendo)

= 25 + 1 + 3 (desarrollando la potencia)

= 29 (efectuando la suma algebraica)

b) 3x − 3y si x = 6 , y = 3

3x – 3y = 3(6) − 3(3) (sustituyendo)

= 18 − 9 (desarrollando los productos)


c) −4a + 2c si a = 3 , c = 1

2

−4a + 2c = −4(3) + 2( 1

2) (sustituyendo)

= −12 + 1 (desarrollando los productos)

= −11 (efectuando la suma algebraica)

d) b − (a − c) si a = 4 , b = 2 , c = 5

b − (a − c) = (2) − [(4) − (5)] (sustituyendo)

= 2 − [4 − 5] (eliminando los paréntesis)

= 2 − [− 1] (efectuando la suma algebraica dentro del paréntesis)

= 2 + 1 (eliminando el paréntesis y multiplicar signos)


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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #7 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo

apoyándote con los ejemplos resueltos.

I. Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, según los valores

asignados.

Utilice: a = – 3 , b = 1 , c = 2

1 , d =

3

1− , e = – 2

a) 3b − 2c

b) − 4a + 6c

c) − 3d + 5a

d) e + 6d

e) c − d

f) a2 + b2 + e

g) a − (b + e)

h) e − (b − a)

RESPUESTAS

a) 1 b) 15 c) −14 d) −4 e) 5

6 f) 8 g)) − 2 h) −6

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal (variables) y elevada

a los mismos exponentes, aunque tengan distintos signos y coeficientes.

Ejemplos: Los siguientes grupos de términos son semejantes.

a) 3x3 , 5x3 , −8x3 (parte literal semejante: x3)

b) 5xy2 , xy2 , −3xy2 (parte literal semejante: xy2)

Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reunir (reducir)

dos o más términos semejantes en uno solo.

En la reducción de términos semejantes pueden presentarse tres casos:

• Que todos los términos tengan igual signo. Para esto, se suman todos los coeficientes,

se coloca el mismo signo y la parte literal se mantiene igual.

Ejemplos:

Al reducir: 2xy + 4xy + 5xy tendremos: (2 + 4 + 5 = 11) entonces: 2xy + 4xy + 5xy = 11xy

Al reducir: −7x − 8x − 6x tendremos: (−7 − 8 − 6 = − 21) entonces: −7x − 8x − 6x = − 21x

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Reducir los siguientes términos semejantes de igual signo:

8a + 9a + 6a =

−9x − 5x − 11x =

5𝒙𝒎 + 7𝒙𝒎 + 9𝒙𝒎 + 𝟔𝒙𝒎 =

• Que los términos que se van a reducir tengan distintos signos. Primero, se suman los

coeficientes de los términos que tengan igual signo; seguidamente, se restan los coeficientes

con diferentes signos y se le coloca a la respuesta el signo de la cantidad cuyo valor absoluto

sea mayor.

Ejemplos:

al reducir: − 4x2y + 7x2y − 5x2y,

tendremos: − 4x2y + 7x2y − 5x2y = 7x2y − 5x2y − 4x2y (ordenamos términos de igual signo)

= 7x2y − 9x2y (reduciendo términos de igual signo)

= − 2x2y (reduciendo términos de diferente signo)

Reducir los siguientes términos semejantes de diferente signo:

− 𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟐𝒚 =

30mn – 70mn + 20mn =

− 28𝒙𝒂+𝟐 + 17𝒙𝒂+𝟐 − 31𝒙𝒂+𝟐 =

• CASO ESPECIAL. En caso tal que los términos que se van a reducir, no todos sean

semejantes entre sí, se sigue las indicaciones dadas en los dos primeros casos, y sólo se

reducen los que sean semejantes entre sí, y los que no sean semejantes se mantienen

iguales, dando como resultado una expresión algebraica de más de un término.

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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación permiten llevar un orden al

resolver operaciones. Si la situación matemática contiene más

de dos signos de agrupación, se elimina el que está más a lo

interno.

Por otro lado, si delante de estos signos de agrupación

encontramos un signo negativo, las cantidades que están

dentro del signo de agrupación cambian de signo. Si al signo de

agrupación le antecede el signo positivo, las expresiones que

están dentro del signo de agrupación no cambian de signo.

Ejemplos:

Eliminar los signos de agrupación en: −{𝟒𝒙 + [−𝟑𝒙 − (𝟓𝒙 − 𝟒𝒚) + 𝟖𝒛 ] }

−{4x + [−3x − (5x − 4y) + 8z ] }

= −{4x + [−3x − 5x + 4y + 8z ] } (eliminamos paréntesis circular, cambiamos signos)

= −{4x − 3x − 5x + 4y + 8z } (eliminamos el corchete, mantenemos signos)

= −4x + 3x + 5x − 4y − 8z (eliminamos las llaves, cambiamos signos)

= −4x + 8x − 4y − 8z (reducimos términos semejantes de igual signo)

= 𝟒𝐱 − 4y − 8z (reducimos términos semejantes de diferente signo)

Eliminar los signos de agrupación en: −{− [−(−𝟕𝐱 − 𝟐𝐲 ) ] } + {−[− (𝟐𝐲 + 𝟕𝐱) ] }

−{− [−(−𝟕𝐱 − 𝟐𝐲 ) ] } + {−[− (𝟐𝐲 + 𝟕𝐱) ] }

= −{− [ 7x + 2y ] } + {−[− 2y − 7x ] }

= −{−7x − 2y} + { 2y + 7x }

= 7x + 2y + 2y + 7x

= 7x + 7x + 2y + 2y

= 14x + 4y

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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…



I. Reduzca los siguientes términos semejantes.

a) −11ab − 15ab + 26ab

b) 12𝑚𝑛 − 23𝑚𝑛 − 5𝑚𝑛

c) −xy − 8𝑥𝑦 − 19𝑥𝑦 + 40𝑥𝑦

d) 13m + 4n − 8m + 12n + 5n −20n

e) 25a + 12a −78b + 13a + 15b

f) 5mx − 3nx+1 − 8px+2−5mx − 20 + 4nx+1 − 10 + px+2

II. Elimine signos de agrupación y reduzca términos semejantes.

g) 2x + [x − (x + y)]

h) 3a −[ a + b − (2a + b) ]

i) 2x− [ (x − y) − (x + y) + 1 ]

j) x2− {−7xy + [−y2 + (−x2 + 3xy − 2y2) ] }

k) 7m2−{−[ m2 + 3n − (5 − n) − (−3 + m2) ] } − (2n + 3)

l) 2a −(−4a + b) − {− [−4a + (b − a) − (−b + a) ] }

“La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas,

sino hacer las cosas complicadas simples”. S. Gudder.

19


Estudiante… Resuelve la siguiente actividad sin mirar los contenidos ni las prácticas anteriores. Aplica los valores de honestidad y responsabilidad.




Dado los siguientes términos − 4m2 − 8m2, su resultado es …………..……….…………….… ______

a. − 12m4 b. − 12m c. − 12m2

Dada la expresión {3𝑥 − [ (4𝑥 + 7) + 2𝑦] }, se elimina primero ……………..………………. ______

a. paréntesis circular b. corchete c. llave

Si tenemos − 8x2y + 3xy, obtenemos …………………………...……………………................... ______

a. − 5x2y b. − 8x2y + 3xy c. − 5xy

Si tengo −(2𝑎 + 5𝑏), su resultado es ……………………………..……………………………….. ______

a. 2𝑎 − 5𝑏 b. − 2𝑎 − 5𝑏 c. −7𝑎𝑏

Dada la expresión 𝑥 − 𝑦 , si 𝑥 = 2 , 𝑦 = −3; al reemplazar el valor de la expresión es…...…… ______

a. − 5 b. − 1 c. 5

II PARTE. Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. (16 puntos)

• 4a − 5b − 3c a = 2 , b = 3 , c = 1 (6 p.)

• x3 + 5y x = ‒ 1 , y = 3 (4 p.)

• m2 − 5mn + n2 m = 2 , n = 4 (6 p.)

20

Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre III PARTE. ENSAYO. Reduzca términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas. Coloque sus cálculos auxiliares. (7 puntos)

• 15mx+1 + 3mx+1 + mx+1 + 6mx+1 (1 p.)

• 0,6a2 ‒ 0,8ab + 7b2 ‒ 1,4ab + 0,5b2 + 3,2a2 (3 p.)

• 2x2 + 5x + 3 ‒ 4x2 + 2x + 8x (3 p.)

IV PARTE. Elimine signos de agrupación y reduzca términos semejantes. (12 puntos)

x2 − {−7𝑥𝑦 + [−𝑦2 + (−𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 2𝑦2) ] } (6 p.)

3a + {−5𝑥 − [−𝑎 + (9𝑥 − 𝑎 − 𝑥) ] } (6 p.)

21


OPERACIONES ALGEBRAICAS CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

CONCEPTO

Para el desarrollo de las diferentes operaciones algebraicas con monomios y polinomios, se

toma muy en cuenta las leyes de los signos. Por otro lado, en algunas de las operaciones habrá

que hacer uso de la reducción de términos semejantes (páginas 15 y 16).

ADICIÓN DE MONOMIOS

En la adición de monomios se toma en cuenta los signos y los coeficientes, como también se

verifica que los monomios sean semejantes. Primero se escriben como una suma algebraica,

eliminando las comas y colocando cada monomio con su propio signo Ejemplos:

a) Sumar 8ab , −13ab , 5ab

Escribimos todos los monomios como suma algebraica: 8ab − 13ab + 5ab

ordenamos la expresión algebraica: 8ab + 5ab − 13ab

reduciendo términos semejantes de igual signo: 13ab − 13ab

reduciendo términos semejantes de diferente signo: 0

b) Sumar − 0,5ax ; 0,8x ; − 2,7x ; 1,5x

− 0,5ax + 0,8x − 2,7x + 1,5x expresando como suma algebraica.

− 0,5ax + 0,8x + 1,5x − 2,7x ordenamos la expresión algebraica.

− 0,5ax + 2,3x − 2,7x reduciendo términos semejantes de igual signo

− 0,5ax − 0,4x reduciendo términos semejantes de diferente signo

c) Sumar 1

2𝑎 ; −

3

4𝑎 ;

1

3𝑎

Expresamos todos los monomios como suma algebraica y resolvemos como con fracciones:

𝟏

𝟐𝒂 −

𝟑

𝟒𝒂 +

𝟏

𝟑𝒂 =

6𝑎 − 9𝑎 + 4𝑎

12

= 6𝑎 + 4𝑎 − 9𝑎

12

= 10𝑎 − 9𝑎

12

= 1

12 𝑎

22


ADICIÓN DE POLINOMIOS

En la adición de polinomios, estos se ordenan en forma ascendente o descendente y se

colocan unos debajo de los otros de manera que los términos semejantes queden en la misma

columna. A continuación, se reducen los términos semejantes separando unos de otros con sus

signos correspondientes.

Ejemplos:

a) Sumar: b − c , 2b + 3c − d , − 4b + 5c

b − c 2b + 3c − d − 4b + 5c

− b + 7c − d

El resultado es: − b + 7c − d

b) Sumar: 0,3m − 1,2n + 4,2 ; 6n + 4p − 5 ; 0,8m − n − 4p

0,3m − 1,2n + 4,2 + 6n + 4p − 5

0,8m − n − 4p 1,1m + 3,8n − 0,8

El resultado es: 1,1m + 3,8n − 0,8

c) Sumar: 3x2 − 4xy + y2 , − 5xy + 6x2 − 3y2 , − 6y2 − 8xy − 9x2

Recuerde ordenar los polinomios con respecto a la misma letra y luego colocar los semejantes en columna.

3x2 − 4xy + y2

6x2 − 5xy − 3y2

− 9x2 − 8xy − 6y2

− 17xy − 8y2

El resultado es: − 17xy − 8y2


Se colocan los términos semejantes en una misma columna. Se dejan espacios en blanco para los términos faltantes.

Reduciendo términos semejantes por columna.

Se colocan los términos semejantes en una misma columna. Se dejan espacios en blanco para los términos faltantes.

Se reducen términos semejantes por columna

Recuerde que el dominio de las matemáticas, se fundamenta en el

conocimiento de la teoría, leyes y principios básicos, pero sobre todo, en

la constancia y práctica permanente, así como la disposición para

aprender.

23




I. Realice las siguientes adiciones de monomios.

a) m2 ; +3m2 ; +6m2

b) − 5x ; − 14x ; − 3x ; − 4x

c) mn ; − 0,05mn ; + 1,5mn ; +2mn

d) 6m2n ; +3xy ; + 8m2n ; − 7xy

e) 15z2 ; − 6zw ; − 8z2 ; − 7zw ; − z2w

II. Realice las siguientes adiciones de polinomios.

a) 3𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 ; 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐

b) 𝑥2 + 4𝑥 ; −5𝑥 + 𝑥2

c) 𝑚2 + 𝑛2 ; −3𝑚𝑛 + 4𝑛2 ; −5𝑚2 − 5𝑛2

d) 8xy − 2yz ; 2xy − z + 6yz ; 9yz − 7yx − 3z

e) −7𝑚2𝑛 + 4𝑛3 ; 𝑚3 + 6𝑚𝑛2 − 𝑛3 ; −𝑚3 + 7𝑚2𝑛 + 5𝑛3

SUSTRACCIÓN O RESTA

En aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta algebraica tiene un

carácter más general, pues puede significar aumento o disminución.

SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

Para restar monomios y polinomios debemos seguir los siguientes pasos:

1. Ordenar el minuendo y sustraendo en forma ascendente o descendente.

2. Escribimos el minuendo con sus propios signos.

3. La palabra restar se reemplaza por el signo de menos seguidamente el

sustraendo se coloca entre paréntesis.

4. Cambiamos todos los signos del sustraendo y luego se reducen términos semejantes si los

hay.

24


Ejemplos: a) De − 8a restar 5a

Escribimos el minuendo y reemplazamos restar por (−): − 8a − (5a)

Eliminamos el paréntesis y cambiamos signo al sustraendo: − 8a − 5a

Reducimos términos semejantes de igual signo: − 13ª

b) De 2a + 8b + 4c restar a + 3b + 2c

2a + 8b + 4c − (a + 3b + 2c) reemplazar restar por signo (−) y el minuendo en paréntesis

2a + 8b + 4c − a − 3b − 2c cambiar todos los signos del sustraendo al quitar el paréntesis

2a − a + 8b − 3b + 4c − 2c ordenamos términos semejantes

a + 5b + 2c se reducen los términos semejantes de diferente signo

c) Restar 3a2 + ab − 6b2 de −5b2 + 8ab + a2

De a2 + 8𝑎𝑏 −5b2 Restar 3a2 + ab − 6b2 ordenamos el enunciado y el minuendo

a2 + 8ab − 5b2 − (3a2 + ab − 6b2) reemplazar restar por signo (−) y el minuendo en paréntesis

a2 + 8ab −5b2 − 3a2 − ab + 6b2 cambiar todos los signos del sustraendo al quitar el paréntesis

a2 − 3a2 + 8ab − 𝑎𝑏 −5b2 + 6b2 ordenamos términos semejantes

− 2a2 + 7ab + b2 se reducen los términos semejantes de diferente signo



I. Realice las siguientes sustracciones de monomios.

a) De 5a restar 7a

b) 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 − 2𝑎 𝒅𝒆 9𝑎

c) Restar − 9ma+2 de − 5ma+2

d) Restar 0,75 s3t2 de 0,90 s3t2

II. Realice las siguientes sustracciones de polinomios.

e) Restar 4x − 3y + 12 de 6x − 2y + 9

f) De 8ax + 2by − 7cz restar 2by − 3ax − 7cz

g) Restar 67a + 49b − 37c − 51 de − 45 + 37b − 53c + 76a

h) De 0,85x2 − 0,8xy + 0,6y2 restar 0,05y2 − 0,3xy + 0,98x2

25


MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

Al multiplicar, tenemos que recordar las leyes de los exponentes y de los signos, en donde:

• En el producto de bases iguales los exponentes se suman: (x2)(x3) = x5

• El producto de dos cantidades con signos iguales es positivo: (3y)(9xy) = 27xy2

(− 8,2ab)(− 4a3b2) = 32,8a4b3

• El producto de dos cantidades con signos diferentes es negativo:

(−2

3𝑚5𝑛) (

1

4𝑚𝑛5) = −

1

6𝑚6𝑛6

• El producto de más de dos factores tendrá respuesta negativa cuando la cantidad de signos

negativos que intervienen sea impar, de lo contrario, siempre será positiva.

(3y)(− 9xy) (− x2)(− x3) = − 27x6y2

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Al multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes y a este resultado se le escriben las

letras de los factores en orden alfabético con sus respectivos exponentes y signos.

Ejemplos:

Multiplicar los siguientes monomios. Cálculos auxiliares

a) (− 2ab)(4x2) = − 8abx2

b) (2x3y2)(5x4y) = 10x7y3

c) (− 6xm+2)(4xm+1)(x) = − 24x2m+4

d) (− 0,2ab)(0,3a2c)(− 4a3b5c2) = 0,24a6b6c3

e) (1

4𝑎2𝑏3) (

1

2𝑎𝑏4) =

1

8𝑎3𝑏7

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

En estos casos, es muy importante ordenar el polinomio (generalmente en forma

descendente), luego se procede a multiplicar el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplos:

• Multiplicar: xy2 + 2x2y por 2x3y2

Forma horizontal: (2x3y2)(2x2y + xy2) = (2x3y2)(2x2y) + (2x3y2)(xy2) = 4x5y3 + 2x4y4

1

4𝑥

1

2=

1

8

(0,2)(0,3)(4) = 0,24

m + 2 m +1 +1 2m + 4

26


Forma vertical: La operación suele disponerse así:

2x2y + xy2

2x3y2

4x5y3 + 2x4y4

• Multiplicar: a2 + 3ab − 2b2 por 2ab

El resultado será:

a2 + 3ab − 2b2

2ab

2a3b + 6a2b2 − 4ab3


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #12 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo apoyándote con los ejemplos resueltos.

I. Realice las siguientes multiplicaciones de monomios.

a) (a2b)(a2)

b) (xy2)(x2y)

c) (4ab)(ab2)

d) ( 1

3𝑚3𝑛2) (

1

2𝑚𝑛)

e) (3ma+2 na+3)( − 6ma+4 na+5)

f) (− b3c4)(bc2)(5bmcn)( − 2b2)

II. Realice las siguientes multiplicaciones de polinomios por monomios.

g) m2 − 2m + 1 por m

h) 2xy2 por 3y + 4

i) 3xy por 2x2 + 4y2 − 1

j) mn3 por m3 − 2mn − 4n2

k) − 2x2y por x3 + 5x2y2 − 3y4

l) ma+5 − 4ma+3 − 2ma+1 + 5ma+4 por 3m2

27


Estudiante… Resuelve la siguiente actividad sin mirar los contenidos ni las prácticas anteriores. Aplica los valores de honestidad y responsabilidad.




Al sumar ‒ x ; ‒ 8x ; ‒ 2x ; ‒ 6x su resultado es: ...……………………………………. ______

a. ‒ 16x b. ‒ 17x c. 17x

De 6m restar 8m obtendremos: ………...…………………………………………………… ______

a. ‒ 2m b. 14m c. 2m

Al Restar 4x de ‒ 6x obtenemos: …………………………………………...……..…………... ______

a. 10x b. ‒2x c. ‒10x

Si sumamos: xy ; 3yz ; 4xy ; ‒ 9yz el resultado es: ….………………..………….. ______

a. 5xy ‒ 6yz b. 5xy + 6yz c. 4xy ‒ 6yz

Sumando 1

3 𝑥3 ;

4

3 𝑥3 obtenemos ………………………………………….…………........... ______

a. 7

3 𝑥3 b.

5

3𝑥3 c.

5

6 𝑥3

Al multiplicar (4xy2) (‒9x3y) su resultado es: ...……………………………............. ______ a. ‒36x3y3 b. ‒ 36x4y3 c. 36x4y3

Si multiplicamos (‒7abc4 )(‒ ab3c ) (a2b) obtendremos: ………………………. ______

a. 7a4b5c5 b. ‒7a4b5c5 c. 7a4b5c4

El resultado de multiplicar (‒3mn2)(‒2nm2)(m5) es: …………..……………. ______

a. 6m7n2 b. ‒6m8n3 c. 6m8n3

Si multiplicamos (− 2

5 𝑎𝑏2) (

1

9𝑎6𝑏𝑐𝑑) , 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔:………….……………………. ______

a. 2

45𝑎7𝑏3𝑐𝑑 b. −

2

45𝑎7𝑏3𝑐𝑑 c. −

2

45𝑎6𝑏2𝑐𝑑

El resultado de multiplicar (‒m4)(‒7n5z)(‒m2nz) es: ….……............................…… ______

a. ‒7m6n5z b. 7m6n6z2 c. ‒7m6n6z2

II PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Resuelva las siguientes adiciones y sustracciones de polinomios. Ordene de manera descendente. (24 puntos)

• Sumar: 9mn2 ‒ 4 + 8m2n ; ‒9mn2 + 5 ; ‒ 6mn2 + 16m2n (6 p.)

Proceso ptos ordenar 3 reducir términos semejantes 3

28


• Sumar: a3b ‒ b4 + ab3 ; ‒ 2a2b2 + 4ab3 + 2b4 ; 5a3b ‒ 4ab3 ‒ 6a2b2 ‒ b4 ‒ 6 (7 p.)

• De 3x2y ‒ 2x3y2 + xy restar ‒ 2x2y + x3y2 + 5xy (6 p.)

• Restar 0,5m ‒ 2,4n ‒ 8 de 2,5m ‒ 1,6n + 6 (5 p.)

III PARTE. ENSAYO. Resuelva las siguientes multiplicaciones con polinomios. Coloque sus cálculos auxiliares. Ordene de manera descendente. (8 puntos)

• Multiplique 8y3 + 2x3y + 3x2y2 por 4x2y (4 p.)

• Multiplique 2b2 ‒ 5ab + 3a2 por 4a (4 p.)


Proceso ptos ordenar 2 Cambio de signo 1 reducir términos semejantes 3

Proceso ptos Ordenar la resta 1 Cambio de signo 1 reducir términos semejantes 3



29


MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO

Regla: Se ordenan ambos polinomios (preferiblemente en orden descendente), luego se

procede a multiplicar cada término del primer factor polinomio por cada uno de los términos del

segundo factor polinomio.

Ejemplos:

• Multiplicar: x + 5 por x − 2

x + 5

x − 2

x2 + 5x − 2x − 10

x2 + 3x − 10

• Multiplicar: m + m 2 − m3 por m + 1

− m 3 + m 2 + m

m + 1

− m 4 + m 3 + m 2

− m 3 + m 2 + m

− m 4 + 2m 2 + m

Resp. − m 4 + 2m 2 + m

• Multiplicar: m3 − 3m2n + 2mn2 por −2mn − 8n2 + m2

m3 − 3m2n + 2mn2

m2 − 2mn − 8n2

m5 − 3m4n + 2m3n2

− 2m4n + 6m3n2 − 4m2n3

− 8m3n2 + 24m2n3 − 16mn4

m5 − 5m4n + 20m2n3 − 16mn4

Resp. m5 − 5m4n + 20m2n3 − 16mn4

30




I. Realice las siguientes multiplicaciones de polinomios.

a) x2 + 2x + 1 por 2x − 3

b) 6m3 − 3m2 por − 4m2 − 5m

c) 28x2 − 30y2 − 11xy 𝒑𝒐𝒓 4x – 5y

d) ma+2 − 4 ma − 2 ma+1 por − 2m + m2

e) 2y3 + y − 3y2 − 4 por 2y + 5

f) m x – 2 − 4m x – 1 − m x por m2 + m + 1

DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

En la división de expresiones algebraicas debemos recordar las leyes de los exponentes y de

los signos.

o En el cociente de potencias de bases iguales, se coloca la misma base y su exponente será

el resultado de restar el exponente del dividendo con el exponente del divisor.

( x4 ) ( x2 ) = 𝑥4

𝑥2 = x 4 − 2 = x2

o La ley de los signos en la división es similar a la de la multiplicación: el cociente de dos

cantidades con signos iguales es positivo y el negativo.

(+)

(+)= +

(−)

(−)= +

(+)

(−)= −

(−)

(+)= −

Signos Iguales Signos Diferentes

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Se escriben los monomios (dividendo y divisor) como una fracción, luego se divide el

coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y se escriben a continuación las letras en

orden alfabético con sus respectivos exponentes (aplica la propiedad de la potencia sobre el

cociente de bases iguales). El signo se coloca respetando la ley de los signos.

31


Ejemplos:

Resolver las siguientes operaciones con monomios:

• Dividir: 6x7 entre − 2x3

(escribimos como fracción el dividendo y divisor) 6𝑥7

−2𝑥3

(dividimos los coeficientes y aplicamos las leyes de los signos y potencias) 6𝑥7

−2𝑥3 = −3𝑥7−3

(resolvemos para la suma algebraica en el exponente) = −3𝑥7−3 = −3𝑥4

• Dividir: − 8x2y3 entre − 2xy2

en forma horizontal −8𝑥2𝑦3

−2𝑥𝑦2 = 4𝑥2−1𝑦3−2 = 4𝑥𝑦

• Dividir: 6xa ym zn entre 2xy2z3

en forma horizontal 6𝑥𝑎𝑦𝑚𝑧𝑛

2𝑥𝑦2𝑧3 = 3𝑥𝑎−1𝑦𝑚−2𝑧𝑛−3

• Dividir: xa+4 yb+2 entre xa+2yb+1

en forma vertical 𝑥𝑎+4𝑦𝑏+2

𝑥𝑎+2𝑦𝑏+1 = 𝑥𝑎+4−(𝑎+2)𝑦𝑏+2−(𝑏+1)

= 𝑥𝑎+4−𝑎−2𝑦𝑏+2−𝑏−1

= 𝑥2𝑦

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO

Se ordena el polinomio (preferiblemente en forma descendente), lo escribimos como fracción

y luego dividimos cada uno de los términos del polinomio entre el monomio separando cada

cociente con sus propios signos.

Ejemplos:

Resolver las siguientes operaciones con monomios:

Cálculos auxiliares:

a + 4 b + 2 – a – 2 – b – 1

+2 +1

32


• Dividir: 4x4 − 6x5 entre 2x3

(ordenamos y escribimos como fracción el dividendo y divisor) −6𝑥5+4𝑥4

2𝑥3

(separando cada término del numerador entre el denominador monomio) −6𝑥5

2𝑥3 +4𝑥4

2𝑥3

(resolviendo cada término y colocando el resultado) − 3x2 + 2x

• Dividir: − 2x2y + 12x5y2 − 6x7y3 entre 2xy

−6𝑥7𝑦3 + 12𝑥5𝑦2 − 2𝑥2𝑦

2𝑥𝑦 = −

6𝑥7𝑦3

2𝑥𝑦+

12𝑥5𝑦2

2𝑥𝑦−

2𝑥2𝑦

2𝑥𝑦

= − 3x6 y2 + 6x4 y − x

Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo anterior, falta poco.



I. Realice las siguientes divisiones de monomios.

a) 4x6 entre 2x2

b) − 6a8b7 entre 18a4b9

c) 9a2b5 entre 36a6b10

d) − 8ma + 3n a – 1 entre − 4m 4n3

e) 4x5y z2 entre – 24

4

1yzx

II. Realice las siguientes divisiones de polinomios entre monomios.

f) 4x – 8y entre 2

g) 6x4 – 4x2 entre 2x

h) 15xy + 5x entre 5x

i) – 30x2 y4 – 45x2 y3 z entre – 15x2 y3

j) 5m x + 2m x + 2 + 6m x + 4 entre 2m3

¨Dios usó las hermosas matemáticas al crear el mundo¨. Paul Dirac

33


DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO

Para efectuar esta división debemos seguir los siguientes pasos:

1. Ordenamos el dividendo y el divisor en el mismo sentido. (forma descendente)

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtenemos el

primer término del cociente.

3. Luego, el cociente obtenido lo multiplicamos por todo el divisor y el producto se coloca debajo

del dividendo con los signos cambiados, para efectuar la suma algebraica.

4. Se baja el siguiente término del dividendo original para obtener un nuevo dividendo.

De aquí en adelante, se repite el proceso tantas veces como sea necesario hasta que el residuo

sea cero; o en tal caso, un resultado cuya potencia mayor, sea menor que la potencia del primer

término del divisor.

Ejemplos: Resolver las siguientes divisiones con polinomios.

• Dividir:

5x + x2 + 6 entre x + 3

x2 + 5x + 6 x + 3 (ordenamos ambos polinomios en forma descendente)

x2 + 5x + 6 x + 3 (dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor)

x (obtenemos el primer término del cociente)

x2 + 5x + 6 x + 3 (multiplicamos el cociente obtenido por todo el divisor)

− x2 − 3x x (colocando el resultado debajo del dividendo con los signos cambiados)

x2 + 5x + 6 x + 3

− x2 − 3x x

2x + 6 (efectuamos la suma algebraica y bajamos el otro término del dividendo original)

x2 + 5x + 6 x + 3

− x2 − 3x x + 2 (dividimos el primer término del nuevo dividendo entre el primer término del

2x + 6 divisor y repetimos los pasos anteriores hasta obtener residuo cero)

− 2x − 6

34


Resolvemos ahora la siguiente división, aplicando el proceso antes detallado.

• Dividir:

27x2y2 − 9x4y + x6 − 27y3 entre − 3y + x2

Ordenamos ambos polinomios y luego dividimos:

x6 − 9x4y + 27x2y2 − 27y3 x2 − 3y

− x6 + 3x4y x4 − 6x2y + 9y2

− 6x4y + 27x2y2

6x4y − 18x2y2

9x2y2 − 27y3

− 9x2y2 + 27y3

• Dividir:

x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 entre x + 2

Como están ordenados los polinomios, procedemos a dividir:

x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 x + 2

− x4 − 2x3 x3 + x2 + x + 1

x3 + 3x2

− x3 − 2x2

x2 + 3x

− x2 − 2x

x + 2

− x − 2

• Dividir:

m6 + m5 − 4m4 − 4m + m2 − 1 entre m3 + m2 − 4m − 1

Ordenamos dejando los espacios de los términos ausentes y luego dividimos:

m6 + m5 – 4m4 ..... + m2 – 4m – 1 m3 + m2 – 4m – 1

− m6 − m5 + 4m4 + m3 m3 + 1

m3 + m2 – 4m – 1

− m3 − m2 + 4m + 1

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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre Resuelve la siguiente actividad para afianzar lo anterior, ya casi terminas.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #16 – Formativa

Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo


I. Realice las siguientes divisiones de polinomios entre polinomios.

a) x2 + 3x + 2 entre x + 1

b) 4y2 – 8y – 5 entre 2y + 1

Resolver en el cuaderno…

c) 9x2 + 6x + 1 entre 3x + 1

d) 8m2 + 2m – 5 entre m + 2

e) x2 – 2x – 24 entre x – 6

f) y2 + 7y + 28 entre y + 7

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Estudiante… Resuelve la última actividad sumativa. *** Debes utilizar bolígrafo con tinta de color NEGRO o AZUL***



Al dividir ‒ 14𝑎3𝑏4 entre ‒ 2 𝑎 𝑏2, su cociente es: ...…………………………………. ______

a. ‒ 7𝑎2𝑏2 b. 7𝑎2𝑏2 c. 1

7 7𝑎2𝑏2

Dividir 54x2y2z3 entre ‒ 6xy2z3 obtendremos: ……………………………………… ______

a. ‒ 9𝑥 b. 9𝑥𝑦𝑧 c. ‒ 9𝑥𝑦𝑧

El cociente de dividir ‒7m3n entre ‒21mn5 …………………………...……..…….. ______

a. 3𝑚2n4

b. ‒ m2

3n4 c.

m2

3n4

Si dividimos ‒ 48 𝑚4𝑛3 + 12mn entre 6mn es: ….………….………..…… ______

a. ‒8𝑚3n2 + 2 b. 8𝑚3n2 + 2 c. ‒8𝑚3n + 2mn

Al dividir 3

5m4n entre

1

5 𝑚𝑛 …………………………………….……………………… ______

a. 3m3n b. ‒3m3n c. 3m3

El cociente de dividir 40𝑎3𝑏6𝑐8 entre 5 a2bc5es …….……………………….… ______

a 8ab5c3 b. ‒8ab5c3 c. 8ab6c3

Al dividir 45𝑤7𝑦6𝑚 ‒ 35wy entre 5wy obtenemos: ………………………… ______

a. 9𝑤6𝑦6𝑚−1 ‒ 7 b. 9𝑤6𝑦6𝑚 ‒ 7 c. 9𝑤6𝑦6𝑚 ‒ 7wy

II PARTE. Resuelva las siguientes multiplicaciones de polinomios. (17 puntos) Ordene de manera descendente.

4mn3 + 5m2n2 ‒ 2m3n por 2m2n2 ‒ 3m3n (6 p.)

Proceso ptos Ordenar 1 multiplicar 3 reducir términos semejantes 2

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m + 4m3 ‒ 3m2 ‒ 1 por 3m + m2 ‒ 4 (11 p.)

III PARTE. Resuelva las siguientes divisiones de polinomios entre monomio. (9 puntos) Ordene de manera descendente.

– 30x5 y4 – 45x4 y3 z entre – 15x2 y3 (4 p.)

15x ‒ 5x3 + x4 entre ‒ 5x (5 p.)

Proceso ptos Ordenar 1 multiplicar 6 reducir términos semejantes 4

Proceso ptos expresar división / ordenar

1

expresar cocientes por separado

1

obtener cocientes 2

Proceso ptos expresar división / ordenar

1

expresar cocientes por separado

1

obtener cocientes 3

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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre IV PARTE. Resuelva las siguientes divisiones de polinomios entre polinomio. (17 puntos) Ordene de manera descendente.

5n2 + 6m2 − 11mn 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 m − n (6 p.)

7x − x3 + 2x4 − 3 entre 2𝑥 + 3 (11 p.)

Proceso ptos ordena descendente (m ) 1

obtener cociente 2

multiplica cocientes x el divisor

2

realiza la suma algebraica 1

Proceso ptos

ordena descendente 1

obtener cociente 4

multiplica cocientes x el divisor

4

realiza la suma algebraica 2

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BIBLIOGRAFÍA

*** Apuntes del profesor (Módulo #1 – Álgebra)

*** Cualquier libro de Matemática para 8° que contenga los temas de Álgebra y sus operaciones.

Sitios Web

www.matematicadeoctavo.weebly.com

Videos sobre reducción de términos semejantes https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-reduccioacuten-de-teacuterminos-semejantes.html

Videos sobre adición y sustracción de polinomios https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-adicioacuten-y-sustraccioacuten-de-polinomios.html

Videos sobre multiplicación de monomios y polinomios https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-multiplicacioacuten-de-monomios-y-polinomios.html

Videos sobre división de monomios y polinomios https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-divisioacuten-de-monomios-y-polinomios.html

Videos sobre división de polinomio entre polinomio https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos---polinomio-entre-polinomio.html

http://www.matematicadeoctavo.weebly.com/

https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-reduccioacuten-de-teacuterminos-semejantes.html

https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-adicioacuten-y-sustraccioacuten-de-polinomios.html

https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-multiplicacioacuten-de-monomios-y-polinomios.html

https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-divisioacuten-de-monomios-y-polinomios.html

módulo de aprendizaje #1 matemática 8° - ii trimestre c o n ......módulo de aprendizaje #1 –...

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