mÓdulo 1 curso: matemática el conjunto de los nÚmeros...

Magíster Iris Liseth Montenegro

MÓDULO 1

Curso: Matemática

EL CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS REALES UNIVERSIDAD DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO

Introducción Los estudiantes que inician el curso de Matemática a nivel superior buscan

profundizar los conocimientos adquiridos durante su instrucción de educación

media. Este módulo pretende orientarlos, de la mejor manera posible, en un

aprendizaje matemático más significativo y perecedero.


Objetivos Competenciales:

1. Define y ejemplifica los distintos conjuntos numéricos.

2. Emplea la notación y simbología adecuada para los conjuntos numéricos.

3. Resalta la importancia de extender el conjunto de los números naturales al conjunto de

los enteros.

4. Resuelve operaciones básicas en el conjunto de los números reales.

Un conjunto es una colección o agrupación de cosas, personas, objetos, animales.

Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas del alfabeto.

Ejemplos de Conjuntos:

1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro.

2. Las letras del alfabeto.

3. Los alumnos de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO.

4. 𝑀 = {5, 12, 21, 30, 62}

Un subconjunto es una parte de un conjunto.

De los ejemplos anteriores, obtendremos algunos subconjuntos.

1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro que son mayores de 35

años.

2. Las vocales.

3. Los alumnos del primer año de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO.

4. 𝑁 = {5, 30}

Se le denomina elementos a cada uno de los objetos, cosas, animales o personas que forman

parte de un conjunto dado. El símbolo matemático empleado para denotar que un elemento

pertenece a un conjunto es ∈ y cuando deseamos escribir que el elemento no pertenece a

un conjunto usamos el símbolo ∉.

Ejemplo.

Sea el conjunto 𝐴 = {2, 3, 5, 7, 11}

Podemos decir que 3 ∈ A y se lee “3 es elemento o pertenece al conjunto A”.

Sin embargo, 12 ∉ A y se lee “12 no es elemento de A”.


CONJUNTOS NUMÉRICOS. La historia ha demostrado que la evolución conceptual de los distintos conjuntos numéricos

ha evolucionado a lo largo de las distintas épocas de desarrollo del pensamiento humano.

En la actualidad conocer su génesis es de suma importancia para poder vencer las

dificultades epistemológicas de los aspectos relacionados con la teoría de los conjuntos.

Son los números que utilizamos para

enumerar o contar. Se denotan

mediante el símbolo ℕ y se definen

como ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}

Sistema de Numeración Decimal

Nuestro sistema de numeración fue ideado por los hindúes y generalizado por los árabes.

Por ello, recibe el nombre de indo arábigo.

Características:

1. Es posicional: Cada dígito tiene un valor diferente de la posición que éste

ocupa. Por ejemplo, si se escribe 10 el dígito ocupa la posición de las decenas.

2. La base de nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, de base 10.

3. Los dígitos que se utilizan para representar los números son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,

9}. Cada dígito posee un valor por sí mismo y esto recibe el nombre de valor

absoluto.

El número 3 representa la cantidad de objetos:

4. El valor relativo que posee el símbolo numérico va de acuerdo a la posición que ocupa

dentro del número escrito.

Lectura de los Números Naturales. Para poder realizar una lectura correcta de los números naturales se debe considerar:

a) Orden: El valor relativo o valor posicional se conoce como orden. Viene dado

por una sola cifra y se lee de derecha a izquierda.

b) La clase está formada por 3 órdenes.

c) El período está formado por 6 órdenes.

Período de Período de las unidades

Clase de miles de

millones

Clase de las

unidades de millones

Clase de las

unidades de millar

Clase de las

unidades simples

13°

orden

12°

orden

11°

orden

10°

orden 9° orden

8°

orden

7°

orden

6°

orden

5°

orden

4°

orden

3°

orden

2°

orden

1°

orden

Unidad

de billón

Cente

na de

miles

de

millón

Decena

de miles

de

millón

Unidad

de

miles

de

millón

Centena

de millón

Decena

de

millón

Unidad

de

millón

Centena

de millar

Decena

de millar

Unidad

de millar

Centena Decena Unidad


Tipos de Números a) Números Pares: Son aquellos cuya unidad termina en {0, 2, 4, 6, 8}

Ejemplos de números pares 56; 7890; 112358; 102

b) Números Impares: Son aquellos cuya unidad termina en {1, 3, 5, 7, 9}

Ejemplos de números impares 655; 1701; 247; 992173

c) Números Primos: Aquellos números cuyos únicos divisores son la unidad (1) y el propio

número.

Ejemplos de números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 1, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,…}

d) Números compuestos: todos aquellos números que no son primos. Ejemplos de números

compuestos = {24, 35, 78, 107, 94, 236, 459, 312, 39, 169,…}

e) Números Gemelos: son números primos cuya diferencia es dos.

Ejemplos: 5 y 3 son gemelos porque ambos son primos y al restarlos, 5 – 3, la diferencia

es 2.

Otras nociones básicas:

a) Múltiplo de un número dado: Un número entero r es múltiplo de un número entero s

cuando existe otro número natural que, multiplicado por s, nos da como resultado r.

Ejemplo, los múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36,42,48, 54, 60, 66, 7…}

b) Divisor de un número dado: Son los números naturales que dividen al número dado de

manera exacta. Ejemplo, los divisores de 15 = {1, 3, 5, 15}

Reglas de Divisibilidad Número Regla Ejemplo

2 Todo número par es divisible por 2. 3456 es par

3 La suma de sus dígitos es múltiplo de 3. 1167 al sumar

1+1+6+7=15 que es múltiplo de 3

4 Los dos últimos dígitos es múltiplo de 4

o son ceros.

2500 sus dos últimas cifras son

ambos ceros.

1148 sus dos últimos dígitos son

múltiplos de 4.

5 La unidad debe ser cero o cinco. 3435 su unidad es 5

7930 su unidad es 0

6 Debe ser divisible por 2 y por 3 de

manera simultánea.

216 es par y divisible por 2

La suma de sus dígitos 2+1+6 es

9 que es múltiplo de 3

Por tanto, es divisible por 6


Número Regla Ejemplo

7

La unidad se separa del resto de los

números y se duplica, es decir, se

multiplica por 2. Se efectúa la resta de

las cifras que quedaron al separar la

unidad del duplo de la unidad. Si la

diferencia es 0 o múltiplo de 7

entonces el número es divisible por 7.

¿427 es divisible por 7?

427 se separa la unidad que es

7 y se duplica, es decir,

7 × 2 = 14

Restamos 42 – 14 = 28 que es

múltiplo de 7

9 La suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

297 es divisible por 9 porque la

suma de 2+7+9=18 que es

múltiplo de 9

10 Su unidad debe ser cero. 360 es divisible por 10

11

Se suman los dígitos que ocupan la

posición par y análogamente, se suman

los dígitos que ocupan la posición impar.

Se restan estas sumas y la diferencia

debe ser cero o múltiplo de 11.

3839

De derecha a izquierda

Sumo los que ocupan la posición

par, esto es,

9+8=17

Sumo los que ocupan la posición

impar, esto es,

3+3=6

Restamos, 17 – 6 = 11

13


dígitos y se multiplica por 9. Se restan


unidad de este producto anterior

obtenido. Si la diferencia es cero o

múltiplo de 13 entonces el número es

divisible por 13.

¿624 será divisible por 13?

624 separamos la unidad que es

4 y la multiplicamos por 9, esto

es, 4×9=36

Restamos 62 que fueron las

cifras que quedaron al separar

la unidad y la restamos del

producto anterior.

62 – 36 = 26 que es múltiplo de

13.

17


dígitos y se multiplica por 5. Se restan


unidad de este producto anterior

obtenido. Si la diferencia es cero o

múltiplo de 13 entonces el número es

divisible por 13.

¿816 será divisible por 13?

816 separamos la unidad que es

6 y la multiplicamos por 5, esto

es, 6×5=30

Restamos 81 que fueron las

cifras que quedaron al separar


Número Regla Ejemplo

la unidad y la restamos del

producto anterior.

81 – 30 = 51 que es múltiplo de

17.

Descomposición Factorial:

Al descomponer un número natural lo que procede es dividirlo entre sus factores primos.

Ejemplo 1. Descomponer el número 1080 factorialmente.

1 0 8 0 2

5 4 0 2

2 7 0 2

1 3 5 3

4 5 3

1 5 3

5 5

1

Quiere decir que el número se puede escribir como 1080 = 23 × 33 × 5

Ejemplo 2. Descomponer el número 3003 factorialmente.

3 0 0 3 3

1 0 0 1 7

1 4 3 11

1 3 13

1

Quiere decir que el número se puede escribir como 3003 = 3 × 7 × 11 × 13

Mínimo Común Múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números

naturales.

Ejemplo: Determine el mcm de 18 y 45.

Usaremos la definición de mínimo común múltiplo.

Múltiplos de 18 = {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, 252,

270, 288…}

Múltiplos de 45 = {45, 90, 135, 180, 225, 270, 315…}

Múltiplos Comunes de 18 y 45 son {90, 180, 270…}

Menor de los múltiplos comunes es 90.

23

33


Veamos el método algorítmico para determinar el mínimo común múltiplo de 18 y 45

18 45 2

9 45 3

3 15 3

1 5 5

1

Luego, multiplicamos esos factores primos. Resulta que, 𝑚𝑐𝑚 = 2 × 3 × 3 × 5 = 𝟗𝟎

Máximo Común: Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números naturales.

Ejemplo: Determine el MCD de 18 y 45.

Usaremos la definición para hallar el máximo común divisor.

Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

18 2

9 3

3 3

1

Divisores de 45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

45 3

15 3

5 5

1

Divisores Comunes de 18 y 45 son {1, 3, 9}

El mayor de los divisores comunes es 9.

Aplicaciones del mcm y del MCD

Ejemplo 1. Juan asiste a la Escuela de Bellas Artes al curso de guitarra cada 6 días y José

a la clase de piano cada 4 días. Si se inicia el conteo desde el día 1° del mes, ¿qué días van

a coincidir en encontrarse ambos chicos en el mes en la Escuela de Bellas Artes?

Veamos la solución Múltiplos de 6 serán {6, 12, 18, 24, 30}

Múltiplos de 4 serán {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}

Múltiplos comunes es el 12. El día 12° y el día 24° van a coincidir ambos en la Escuela de

Bellas Artes.


Ejemplo 2. María tiene encajes de 3 distintas medidas. Como se muestra la figura. Ella

desea recortar las 3 cintas decorativas del mayor tamaño posible y de la misma longitud

sin que se desperdicie ningún pedazo. ¿De qué tamaño debe cortar cada cinta?

Solución

Determinemos el máximo común divisor de 12, 20 y 45

Divisores de 10 son {1, 2, 5, 10}

Divisores de 20 son {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Divisores de 45 son {1, 3, 5, 9, 15, 45}

Divisores Comunes {1, 5}

MCD = {5}

Entonces, María debe cortar cada cinta decorativa de 5 cm de longitud cada una.

A. Escriba numéricamente cada número natural.

1. Dos mil quinientos treinta y ocho. ______________

2. Trece millones doscientos cincuenta y dos mil cuatros cientos trece. ____

3. Mil dos. ______________

4. Novecientos diez. ______________

5. Novecientos veinte dos mil cuatros cientos ocho. ______________

B. Escriba alfabéticamente cada número natural.

a) 1327 ___________________________________________

b) 239 567 ___________________________________________

c) 27 345 976 ___________________________________________

d) 9 710 ___________________________________________

10 cm 20 cm 45 cm


C. Escriba la letra C si el enunciado es cierto o F si el enunciado es falso.

Enunciado Respuesta

La unidad de millar es 1000 veces mayor que la decena.

La centena es 100 veces mayor que la unidad.

La decena de millones es 10000 veces mayor que la centena.

La decena es 1000 veces menor que la decena de millar.

En una unidad de millar hay 100 decenas.

En el número 379 el dígito 3 tiene 300 unidades.

D. Encierre el número que cumple la condición dada.

Enunciado Números

Múltiplo de 8. 4 12 56 102 50

Número primo cuya suma de dígitos es 7. 34 511 25 205 133

Divisor de 430. 43 2 19 13 17

Número múltiplo de 45. 310 50 92 360 400

Número gemelo de 17. 18 17 20 15 19

E. Escriba en la línea el tipo de número resultante como par o impar, según sea el caso.

a. Número par + número par. _________

b. Número par + número impar. _________

c. Número impar + número impar. _________

d. Número impar – número par. _________

e. Número par – número par. _________

F. Determine el mínimo común múltiplo (mcm) o máximo común divisor (MCD) según lo

solicitado.

Números naturales Determine:

12 y 10 mcm

18, 21 y 60 MCD

70 y 90 mcm

60, 90 y 15 mcm

G. Resuelva los siguientes problemas de aplicación.

1. Se van a repartir 70 cuadernos y 90 lápices entre la mayor cantidad de niños

posibles que asisten a la escuela. Entre cuántos niños se puede repartir ambos

artículos.


2. El piso del salón de clases tiene forma rectangular el cual mide 245 cm de ancho

y 210 cm de largo. Se desea colocar baldosas cuadradas en el piso. ¿Cuánto debe

medir de lado la baldosa?

3. Carmen le escribe a su tía que vive en Estados Unidos cada 15 días y a su abuela

que vive en Argentina cada 18 días. Un día le tocó escribirle a ambas. ¿Dentro

de cuántos días le tocará escribirles el mismo día?

4. En una escuela hay 126 niños y 12 maestros. Se desean formar grupos de niños

y maestros de modo que se distribuyan equitativamente en la mayor cantidad de

grupos. ¿Cuántos niños hay en cada grupo?

H. Marque en la casilla una equis si el número es divisible o no por el número natural

dado. Justifique su respuesta.

Número ¿Es divisible por?

Justificación Divisor Sí No

748 13

591 7

234 6

5679 9

924 11

Los números enteros surgen de la necesidad del ser humano de representar cantidades que

requieren de un punto de referencia. Tal es el caso cuando se desea indicar temperaturas

por encima del cero y por debajo de él.

Temperaturas por debajo del cero Temperaturas por encima de cero


Los Números Enteros: Se denota mediante el símbolo ℤ es el conjunto formado por:

Los enteros positivos: ℤ+ = {+1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8…}

Los enteros negativos: ℤ- = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8…}

El número cero.

Ejemplo. Dado las siguientes situaciones del entorno, escriba el número entero que lo

represente.

Enunciado Entero

Un aumento de B/ 50 al salario base. +50

Deforestar 8 hectáreas de árboles. −8

Caminar 32 metros hacia el oeste. −32

Un submarino se halla a 75 millas bajo el nivel del mar. −75

Una temperatura de 25 grados centígrados sobre cero. +25

Valor absoluto de un número entero: se define como sigue:

|𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 00, 𝑠𝑖 𝑥 = 0

−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Observación: Cuando se determina el valor absoluto de un número entero nos interesa

su valor numérico pero no su signo.

Ejemplos: |−23| = 23 |+81| = 81 |0| = 0

Recta Numérica:

La recta numérica es una línea orientada y numerada la cual está dividida de la siguiente

forma:

En el centro de la línea se escribe el número cero.

A la derecha del cero se escriben los enteros positivos.

A la izquierda del cero se escriben los enteros negativos.


Orden en los Números Enteros

Los símbolos de relación de orden son:

a. Mayor que, >. Ejemplo, -2 > -9

b. Menor que <, Ejemplo, -9 < +2

c. Igual que =, Ejemplo, -5 = -5

Reglas Básicas.

1. Cualquier entero positivo es mayor que otro entero siempre que se halle más a la

derecha.

2. Un entero negativo siempre es menor que un entero positivo.

3. Entre un entero positivo y el cero, el mayor es el positivo.

4. Entre un entero negativo y el cero, el cero es mayor.

5. Entre dos enteros negativos el mayor es aquel que se halle más cerca del cero. Es

decir, el que este más a la derecha en la recta numérica.

Ejemplo. Trace la recta numérica y escriba un número entero que cumpla con la condición

dada.

Situación planteada Entero

Entero consecutivo negativo par mayor de -18 -16

Entero negativo múltiplo de +10. +20

Entero comprendido entre +8 y +12 +10

Entero positivo y primo que es par. +2

Entero negativo múltiplo de 3. -6

Operaciones Básicas:

1. Adición con números enteros. Los términos de la adición son sumandos (números que se

van a adicionar) y suma o total (resultado de la adición)

Para adicionar dos o más números enteros se deben seguir las siguientes reglas:

REGLA NÚMERO 1

Si los sumandos tienen signos iguales, se

adicionan los valores absolutos de los

sumandos y el total lleva el signo del

sumando de mayor valor absoluto.


Ejemplos:

a) (−3) + (−15) = −18 b) (−47) + (−58) = −105 c) +23 + 150 + 79 = +252

REGLA NÚMERO 2

Ejemplos:

a) (−425) + (+675) = +250 b) (−105) + (+87) = −18 c) (−56) + (+123) + (−71) + (−67) + (+21) = (−56 − 71 − 67) + (+123 + 21) =

−194 + 144 = −50

2. Sustracción: Los términos de la sustracción son minuendo, sustraendo y diferencia. La

resta se indica mediante el signo de menos (-). Para la sustracción se debe recordar que

el signo de resta le cambia el signo al sustraendo. Luego se aplican las mismas reglas de la

adición.

Ejemplos:

a) (−𝟖)(−𝟏𝟐) = +𝟗𝟔 b) −𝟑𝟓 × +𝟖𝟕 = −𝟑𝟎𝟒𝟓

Signos de Agrupación

En algunas ocasiones se debe emplear signos de agrupación para indicar el orden en que

debe realizarse las operaciones aritméticas.

Los signos de agrupación más empleados en matemáticas son:

a. Llave { }

b. Paréntesis circular ( )

c. Corchete [ ]

Ejemplo 1. Resuelva las operaciones de adición indicadas. −89 − {−72 + [−12 + (−36 + 21 − 17)]} Solución −89 − {−72 + [−12 + (−36 + 21 − 17)]} −89 − {−72 + [−12 + (−53 + 21)]} −89 − {−72 + [−12 + (−32)]} −89 − {−72 + [−12 − 32]} −89 − {−72 + [−44]}

Si los sumandos tienen signos distintos,

se restan los valores absolutos de los

sumandos y el total lleva el signo del

sumando de mayor valor absoluto.


−89 − {−72 − 44} −89 − {−116} −89 + 116 +27

Ejemplo 2. Resuelva de forma ordenada la siguiente operación [−81 + (+34 − (35 − 67) + 13) − 23] + {+56 − ⟨−14 + 56 + [−33 − 12]⟩} Solución [−81 + (+34 − (35 − 67) + 13) − 23] + {+56 − ⟨−14 + 56 + [−33 − 12]⟩} [−81 + (+34 − (−32) + 13) − 23] + {+56 − ⟨−14 + 56 + [−45]⟩} [−81 + (+34 + 32 + 13) − 23] + {+56 − ⟨−14 + 56 − 45⟩} [−81 + (+79) − 23] + {+56 − ⟨−59 + 56⟩} [−81 + 79 − 23] + {+56 − ⟨−3⟩} [−104 + 79] + {+56 + 3} [−25] + {+59} −25 + 59 +34

3. Multiplicación: Los términos de la multiplicación son factores (los números que se

multiplican) y producto (resultado de la multiplicación)

La multiplicación se puede indicar simbólicamente de tres formas:

a. Empleando el símbolo de por ×

b. Utilizando signos de agrupación: llaves { }, paréntesis (), corchete [ ]

c. Utilizando un punto (●) o un asterisco (*).

Para multiplicar dos o más números enteros se aplican las siguientes reglas:

Ejemplos:

a) (−6)(−13) = +78 b) −123 × 35 = −4305 c) +15 × +56 = +840

+ × + = +

- × - = +

+ × - = -

- × + = -


4. División: Los términos de la división son dividendo, divisor y cociente. La división se

puede denotar mediante el símbolo ÷ o por medio de una barra horizontal de la forma 𝑚

𝑛.

Para dividir dos números enteros se siguen las mismas reglas de los signos de la división.

Ejemplos:

a) −4966 ÷ −382 = +13 b) +1610 ÷ −230 = −7

c) −28×−34

−17=

+952

−17= −56

5. Potenciación.

La potenciación es una operación en la cual se multiplica un mismo factor un número de

veces dado.

Elementos de la potenciación:

1. Base: Factor que se multiplica.

2. Exponente: Indica el número de veces que se multiplica la base.

3. Potencia: Resultado de la operación potenciación.

+ ÷ + = +

- ÷ - = +

+ ÷ - = -

- ÷ + = -


Ejemplos:

Base Exponente Potencia

−25 = −2 × −2 × −2 × −2 × −2 = −32 -2 5 -32

(−35)4 = −35 × −35 × −35 × −35 = 1500625 -35 4 1500625

(−12)3 = −12 × −12 × −12 = −1728 -12 3 −1728

Regla de los Signos de la Potenciación:

1. Si la base es positiva o negativa y el exponente es par, la potencia resulta positiva.

2. Si la base es positiva y el exponente es impar, la potencia es positiva.

3. Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa.

Propiedades Básicas de la Potenciación:

Nombre de la

Propiedad Regla enunciada

Escritura

simbólica

Ejemplo

Práctico

Exponente uno.

Toda base elevada al exponente uno

resulta como potencia la misma

base.

𝑎1 = 𝑎 (−5)1 = −5

Exponente

cero.

Toda base, distinta de cero, elevada

al exponente cero resulta uno como

potencia.

𝑎0 = 1 (−5)0 = 1

Producto de

potencia de

igual base.

Al multiplicar potencias de igual

base se escribe la misma base y se

adicionan los exponentes.

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛

= 𝑎𝑚+𝑛

(−5)2(−5)4

= (−5)6

= −15625

División de

potencia de

igual base.

Al dividir potencias de igual base se

escribe la misma base y se restan

los exponentes.

𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛

= 𝑎𝑚−𝑛

(−5)12 ÷ (−5)8

= (−5)12−8

= (−5)4

= 625

Potencia de una

potencia.

Toda base elevada a un exponente y

a su vez está elevada a otro

exponente, se escribe la misma base

y se multiplican los exponentes.

(𝑎𝑚)𝑛

= (𝑎)𝑚×𝑛

(−52)4

= (−5)8

= 390625


Nombre de la

Propiedad Regla enunciada

Escritura

simbólica

Ejemplo

Práctico

Potencia de un

producto.

Al multiplicar dos potencias de

bases distintas pero de igual

exponente se debe multiplicar las

bases y se escribe el mismo

exponente.

𝑎𝑚 × 𝑏𝑚

= (𝑎 × 𝑏)𝑚

24 × 34

= (2 × 3)4

= 64 = 1296

Potencia de un

cociente

Al dividir dos potencias de bases

distintas pero de igual exponente se

debe dividir las bases y se escribe

el mismo exponente.

𝑎𝑚 ÷ 𝑏𝑚

= (𝑎 ÷ 𝑏)𝑚

153 ÷ 53

= (15 ÷ 5)3

= 33 = 27

Exponente

negativo

Toda base, distinta de cero, elevada

a un exponente negativo se debe

invertir la base y en exponente

cambia a positivo.

𝑎−𝑚 =1

𝑎𝑚

5−3 =1

53

=1

125

Radicación.

La radicación es una operación inversa a la potenciación. Se utiliza el símbolo √𝑎𝑛 para

indicar esta operación aritmética. Los elementos de la radicación son:

a) Radicando: Número que se escribe debajo del signo de radical.

b) Índice: Número que se coloca en la abertura del signo de radical.

c) Raíz: Es la solución.

La radicación consiste en determinar un número (raíz) que elevado a una potencia (índice)

resulte el radicando.

Procedimiento para extraer la raíz cuadrada.

1. Las cifras del radicando se separan de dos en dos de derecha a izquierda a partir

de la cifra de las unidades.


2. Se busca un número que elevado al cuadrado resulte o se aproxime al dígito o par de

dígitos que resultaron al separar las cifras de derecha a izquierda. Éste número

elevado al cuadrado hallado se coloca debajo de los dígitos del radicando y se restan.

3. Se bajan las dos siguientes cifras y se escriben al lado del resto de la diferencia

anterior.

4. El resultado parcial de la raíz se duplica (se multiplica por 2) y se escribe este

debajo de la barra horizontal.

5. Se escribe un número (del 0 al 9) al lado del duplo anterior de tal manera que el

producto de estas cifras por la última cifra de como resultado el número que está

en el radicando o muy próximo a él.

6. Se continua éste proceso análogo (se repiten los pasos 3, 4, 5) hasta que se terminen

las cifras del radicando o sea exacta la raíz.

Ejemplo. Halle √529

5 ‘29 23

-4 43

1 29

-1 29

Ejemplo. Halle √1521

15 ‘21 39

-9 69

6 21

-6 21

0

Cálculos realizados:

1. Se elevó 2 al cuadrado.22 = 4

2. Se restó 5 de 4 y quedó 1.

3. Al lado del 1 se colocó el 29 y se expresa 129.

4. El resultado parcial 2 se duplicó, esto es se

multiplicó 2 por 2 y resultó 4. Se colocó 4


5. Al lado del 4 se escribió el 3 y se multiplicó

43 por 3.

6. El producto 43 × 3 = 129

7. Ese producto se restó de 129. Es decir, 129 –

129 y quedó cero.

Cálculos realizados:

1. Se elevó 2 al cuadrado.32 = 9

2. Se restó 15 de 9 y quedó 6.

3. Al lado del 6 se colocó el 21 y se expresa 621.

4. El resultado parcial 3 se duplicó, esto es se

multiplicó 3 por 2 y resultó 6. Se coloca 6


5. Al lado del 6 se escribió el 9 y se multiplicó

69 por 9.

6. El producto 69 × 9 = 621

7. Ese producto anterior se restó de 621. Es

decir, 621 – 621 y quedó cero.


A. Cada una de las siguientes imágenes asócialas como positivas o negativas.

B. Escribe un número entero que represente cada situación.

Situación presentada Entero

Un submarino se encuentra a 1950 m bajo el nivel del mar.

La altura del Volcán Barú es de 2600 m sobre el nivel del mar.

La temperatura más baja en la Antártida es de 88 grados

centígrados.

Un ascensor subió 15 pisos.

Se realizó un retiro de la cuenta bancaria de $250.

Una persona consume 3 litros de alcohol diariamente.

Se deforestaron 5 hectáreas de árboles.

Ana hurtó B/ 10 de la cartera de su mamá.

Platón murió en el siglo 427 antes de Cristo.

18 unidades hacia la izquierda.


C. Escriba 3 situaciones de la vida cotidiana que se representen mediante acciones o

situaciones positivas o negativas.

Positivas Negativas

D. El conjunto de los números enteros se denotan mediante una letra estilizada ℤ:

ℤ+ significa enteros positivos. ℤ- significa enteros negativos.

Dada la lista, usted debe identificar si el número entero es positivo o negativo.

Número ℤ+ ℤ-

86

-90

0

-100

-9

-1608

E. Se tiene un edificio, en la cual hay un ascensor.

a. Julián está en el cuarto sótano y se desplaza 2

pisos hacia arriba, ¿en qué piso quedó?

____________

b. María está ahora en el primer piso y

anteriormente se había desplazado 2 pisos

hacia abajo. ¿dónde estaba inicialmente?

____________

c. Carlos está en la planta baja y asciende dos

pisos, ¿en qué piso se halla actualmente?

____________

d. Samanta está en el tercer piso luego se

desplaza un piso hacia arriba y desde esta

ubicación se desplaza cinco pisos hacia abajo,

¿en qué piso está ahora? ____________

Planta

Baja

Cuarto Piso

Tercer Piso

Segundo Piso

Primer Piso

Primer Sótano

Segundo Sótano

Tercer Sótano


e. Julián está en el segundo sótano, desciende 2

más, luego asciende 6 pisos y finalmente

desciende 3 pisos, ¿en dónde está ubicado?

f. María está en la planta baja y desciende 2

pisos, luego desciende otro piso, asciende

cuatro pisos y desciende 2 pisos, ¿dónde quedó

María?

F. Escriba un número entero que cumpla cada una de las situaciones presentadas.

Debe trazar la recta numérica en cada caso.

a) Un número entero par entre +30 y +34. _____________

b) Enteros impares negativos entre -22 y -10. _____________

c) Enteros que sean primos entre +16 y +20. _____________

d) Enteros negativos que sean múltiplos de 5. _____________

e) Naturales comprendidos entre -3 y +4 _____________

G. Juguemos a “qué prefiere usted”.

a. Ganar 5 canicas o perder 10.

__________________________

b. Perder 74 canicas o perder 50.

__________________________

c. Perder 12 canicas o no poseer ninguna.

__________________________

d. Ganar 16 canicas o ganar 30.

__________________________

e. No poseer ninguna canica o ganar 24.

__________________________

f. Perder 17 canicas o ganar 5 canicas.

__________________________


H. El signo < significa “menor que”, el signo > significa “mayor que” y = es el signo e

igualdad. Escriba el signo <, >, = según sea el caso que corresponda.

-45 ________ +90

-27 ________ -19

0 ________ +8

+13 ________ -24

-67 ________ 0

+31 ________ +15

-6 ________ -32

49 ________ +49

I. Escriba la situación opuesta.

Situación presentada Situación opuesta

Caminar 35 m al sur.

Ganar 10 balboas.

Sembrar 3 ha de árboles frutales.

Inhalar 4 paquetes de cigarrillo.

J. Escriba el entero opuesto.

a) -89 _______

b) +56 _______

c) -12 _______

d) -39 _______

e) 45 _______

K. Juego de Naipes.

Materiales: Cartulinas de dos colores diferentes, tijera.

Indicaciones:


Recorte cartas de 2 colores diferentes. Preferiblemente los colores fuertes representan

a los enteros positivos y los colores débiles a los negativos.

Reglas del Juego:

1. Dos cartas de colores iguales, se adicionan.

2. Dos cartas de colores distintos, se anulan una a una entre sí.

Para cada situación, escriba el entero resultante.

a) (−8) + (−2) = ______________________ b) (+3) + (+5) = ______________________ c) (+10) + (−6) = ______________________ d) (−4) + (−3) = ______________________ e) (+5) + (+4) = ______________________ f) (0) + (−5) = ______________________ g) (+68) + 0 = ______________________ h) (+6) + (−4) = ______________________ i) (−9) + (+5) = ______________________ j) (+3) + (−9) = ______________________

L. Debe resolver las operaciones indicadas.

a) −12 + [−16 + (8 + 11) − 15] b) (−5 − 10) + ⟨+19 + (−23 + 18) − 12⟩ c) {5 + (−12 − 6)} + {−16 + [13 + (−8 − 11)]}2

M. Resuelva los productos indicados.

a) −23 × 35 b) +28 × +12 c) −13 × −19

N. Resuelva el siguiente mategrama.

-28 ÷ = -4

÷ + +

÷ -2 =

= = =

- = +2


Este conjunto se denota con el símbolo ℚ. Se escriben de la forma 𝑎

𝑏. A los elementos del

conjunto de los números racionales usualmente se les llama fracciones.

Una fracción es una parte de la que se ha dividido la unidad.

Ejemplo:

Supóngase que usted tiene una barra de chocolate y desea compartirla usted con otras

personas más. Observe la figura.

Responda:

¿En cuántas partes iguales se dividió la barra de chocolate? Respuesta: 15

¿Cuántas partes le corresponden a usted? Respuesta: 1

Al escribir la fracción resulta 1

15

El número 1 recibe el nombre de numerador y el número 15 recibe el nombre de

denominador.

Los números racionales pueden ser:

a. Fracciones propias: son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.

Ejemplo, 3

5 es una fracción propia.

b. Fracciones impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el

denominador.

Ejemplo, 8

3 es una fracción impropia.

c. Fracción Mixta: poseen una parte entera y una parte fraccionaria.

Ejemplo, 57

12 es una fracción mixta ya que la parte entera es 5 y la fraccionaria es

7

12


Conversiones:

Para obtener el numerador de la fracción impropia se debe multiplicar el entero por el

denominador del mixto y a este producto se le agrega el numerador. El denominador sigue

siendo el mismo.

Ejemplo. Convertir la fracción mixta 36

11 a fracción impropia.

36

11=

(3 × 11) + 6

11=

33 + 6

11=

39

11

Para expresar una fracción impropia a fracción mixta se debe dividir el numerador entre

el denominador. El cociente obtenido será el entero de la fracción mixta. El residuo será

el numerador y el divisor será el denominador.

Ejemplo. Convertir la fracción 17

8 a fracción mixta

17 ÷ 8 = 2 (cociente)

16

1 (residuo) 17

8= 2

1

8

Representación Gráfica de Racionales. Una fracción es un número que representa una unidad dividida en partes iguales de la cual

se toman porciones o secciones.

Ejemplos: 1

4 es una fracción significa que la unidad se divide en 4 partes iguales de las

cuales se toma 1.

1

4


b) Si la fracción es 11

8, la unidad se divide en ocho partes iguales, y se toman en total 11 de

ellas, por ello se debe tener más de una sola unidad.

Orden en los racionales.

Para comparar dos o más números racionales emplearemos la regla fundamental de las

proporciones que se enuncia así: 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠í 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

Ejemplo.

Escriba el símbolo >, <, =, según sea el caso. 3

5 2

3 3 × 3 < 2 × 5

11

9 5

7 11 × 7 > 9 × 5

7

9 7

9 7 × 9 = 7 × 9

Amplificación de fracciones: significa multiplicar el numerador y el denominador de la

fracción por un mismo factor.

Ejemplo. Amplificar la fracción 3

4 por 5.

3 × 5

4 × 5=

15

20

Simplificación de fracciones: significa dividir el numerador y el denominador de la

fracción por un mismo número.

Ejemplo. Simplificar la fracción 60

72

60

72=

60

72=

30

36=

15

18=

5

6

Operaciones con números racionales:

1. Adición: para adicionar dos números racionales debemos considerar los denominadores.

Si los denominadores son iguales se dicen homogéneas.


Ejemplo de fracciones homogéneas.

1

6

3

6

5

6

4

6

Si tienen denominadores diferentes se llaman heterogéneas.

Ejemplo de fracciones heterogéneas.

1

3

2

7

Observación: Las reglas de los signos son las mismas que se aplican cuando se usan

números enteros.

1. Si las fracciones son homogéneas se adicionan los numeradores y se escribe el

mismo denominador.

Ejemplo. Adicione 1

6+

11

6−

4

6

1

6+

11

6−

4

6=

1 + 11 − 4

6=

12 − 4

6=

8

6=

4

3

2. Si las fracciones son heterogéneas se debe buscar el mínimo común múltiplo de los

denominadores, este número se divide entre cada denominador de los sumandos y el

cociente obtenido se multiplica por cada numerador. Luego, se adicionan las

fracciones homogéneas resultantes.

Ejemplo. Adicione 1

8−

5

18+

4

6

2

8−

5

18+

3

4=

18 − 20 + 54

72=

72 − 20

72=

52

72=

13

18

Los denominadores son 8, 18 y 4


Recordemos cómo se calcula el mínimo común de los denominadores.

8 18 4 2

4 9 2 2

2 9 1 2

1 9 1 3

1 3 1 3

1 1 1

Luego, se multiplica 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72

Se divide 72 entre cada denominador. 72 ÷ 8 = 9

72 ÷ 18 = 4 72 ÷ 4 = 18

Se multiplica los cocientes anteriores por cada numerador. 9 × 2 = 18 4 × 5 = 20

18 × 3 = 54

Veamos un segundo ejemplo.

Adicionar 34

7− 4 + 2

2

5

Solución:

−34

7− 4 + 2

2

5= −

25

7−

4

1+

12

5=

−125 − 140 + 84

35=

−265 + 84

35= −

181

35

2. Multiplicación: en esta operación se pueden simplificar numeradores con denominadores.

Luego, se multiplican todos los numeradores y todos los denominadores.

Ejemplo. Multiplique 27

75× −

13

30×

15

26

27

75× −

13

30×

15

26=

9

5× −

1

10×

1

2= −

9

100

3. División: para dividir dos números racionales se conserva igual la fracción dividendo

pero la fracción divisor debe invertirse.

Ejemplo. −20

120÷ −

50

72

−20

120÷ −

50

72= −

20

120× −

72

50= −

2

5× −

3

5=

6

25

4. Potenciación: Se multiplica la fracción tantas veces lo indique el exponente.

Ejemplo. Determine la potencia de (3

5)

4

(3

5)

4

=3 × 3 × 3 × 3

5 × 5 × 5 × 5=

81

625


5. Radicación: Es una operación que consiste en determinar el número que actúa como base

cuando se conoce la potencia y el exponente.

Ejemplo. Para la expresión √729

512

3

Solución

Para obtener la raíz enésima de un número dado, emplearemos el método de descomposición

de factores o factorización, el cual consiste dividir el número especificado entre los

números primos que lo dividan.

√729

512

3

= √36

29

3

=36÷3

29÷3=

32

23=

9

8

Factorización:

729 3

243 3

81 3

27 3

9 3

3 3

1

512 2

256 2

128 2

64 2

32 2

16 2

8 2

4 2

2 2

1

Observación: Cuando la 𝒓𝒂í𝒛 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂𝒔. 𝑬𝒔𝒕𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒖𝒄𝒆 𝒂 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂

𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒐 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔.

Números Decimales

Los números decimales constan de una parte entera y una fracción decimal.

Ejemplos de Números Decimales:

0,15 156,00725639…. 0,33333


Lectura de números decimales:

1 2 3 4 5 6 décima

centésima

milésima

diez milésima

Cien milésima

millonésima

Ejemplos:

a) 0,34 treinta y cuatro centésimos.

b) 3,012567 tres enteros con doce mil quinientos sesenta y siete millonésimas.

c) 1,0026 un entero con veintiséis diez milésimas.

d) 0,013 trece milésimas

Conversiones:

Los números racionales se pueden escribir de forma decimal y viceversa.

Caso 1. Cuando la expresión decimal es finita.

Para hacerlo debemos el numerador será la parte decimal y en el denominador al 1 se le

adicionan tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.

Ejemplo, escribir 0,125 de forma decimal.

0,125 =125

1000=

1

8

Caso 2. En algunos casos, la parte decimal resulta infinita y periódica pura (se repite el

mismo digito o grupo de ellos).

Para expresar el período se debe escribir una barrita horizontal por encima del dígito que

se repite.

Para escribir un decimal periódico puro como fracción se debe escribir como numerador el

período y como denominador tantos 9 como cifras tenga el período.

Ejemplo, escribir 1,55555 … = 1, 5̅ de forma racional.

1, 5̅ = 1 +5

9= 1

5

9=

14

9

Caso 3. En otros casos, la parte decimal resulta infinita y periódica mixta (tiene una parte

no periódica y una periódica).

Para escribir un decimal periódico mixto como fracción se debe escribir como numerador

el todo las cifras de la parte decimal y esta cantidad se le resta la parte decimal no


periódico y como denominador tantos 9 como cifras tenga el período y tantos ceros como

cifras tenga la parte no periódica.

Ejemplo, escribir 0,3872727272 … = 0,3872̅̅̅̅ de forma racional.

0,3872̅̅̅̅ =3872 − 38

9900=

3834

9900=

213

9550

Operaciones Aritméticas

1) Adición: se debe escribir atendiendo al orden de los números sumandos. Esto

significa que la unidad debajo de la unidad, decena debajo de decena y así

sucesivamente.

Ejemplo. Adicionar 0,345 + 1,59 + 0,04567

0 , 0 4 5 6 7

1 , 5 9

0 , 3 4 5

1 , 9 8 0 6 7

2) Sustracción: entendida como operación opuesta a la adición.

3) Multiplicación: se realiza el producto de la forma habitual solamente hay que

considerar que el colocar la coma decimal se suman la cantidad de dígitos que tienen

ambos factores en su parte decimal.

Ejemplo. Multiplicar 1,327 × 23,5

1,327 × 23,5

6635

3981

2654

31,1845

4) División: si el divisor no es un número entero entonces se corre la coma decimal

del divisor hacia la derecha hasta expresarlo como entero y el dividendo se le

correrá la coma decimal tantas veces se hizo en el divisor.

Ejemplo. Dividir 1,256 ÷ 0,16

Vemos que el divisor noes entero por lo cual le vamos a correr su coma decimal dos

lugares hacia la derecha. Resulta 0,16 = 16

Como se corrió la coma decimal a la derecha 2 lugares en el dividendo, por tanto, le

corremos la coma decimal a la derecha del dividendo. Resulta 1,256 = 125,6

Nos queda la siguiente división: 125,6 ÷ 16 = 7,85


A. Escriba numéricamente cada número racional.

a) Tres octavos. ________________

b) Dieciséis veinte tres avos. ________________

c) Tres medios. ________________

d) Un tercio. ________________

B. Escriba cada número racional de forma alfabética.

a) 11

19 ________________________________________

b) 7

25 ________________________________________

c) 32

9 ________________________________________

C. Calcule qué fracción representa de la unidad.

a) La mitad de la mitad. ____________________

b) La mitad de la tercera parte. ____________________

c) La tercera parte de la cuarta parte. ____________________

D. Diga si el enunciado es cierto (V) o falso (F).

1. Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad. _____

2. Un número racional es una fracción. _____

3. Cualquier número decimal se puede escribir como una fracción. _____

4. Los números enteros también son racionales. _____

E. Dada la representación gráfica, escriba numéricamente la fracción que corresponde.


F. Escriba el número racional representado en cada recta numérica.

a)

b)

c)

d)

e)

G. Represente en una misma recta numérica el siguiente conjunto de fracciones.

−3

5, 3

4

7,

9

2, −

23

5,

15

4

H. Exprese las fracciones impropias como número mixto. 85

4 91

10 23

6

101

38 37

9 47

5

-1

0

-5 -4

10 11

0 1


I. Exprese el número mixto como fracción impropia.

35

7 7

9

17 12

2

5

210

33 17

3

7 2

7

11

J. Simplifique las siguientes fracciones. 153

243

81

45

91

105

165

85

23

69

100

125

21

45

20

48

275

330

60

38

64

144

28

63

K. Amplifique las fracciones dadas por el factor numérico indicado.

Fracción Factor Amplificación Fracción Factor Amplificación

5

4 5 6

5 3

2

17 9 31

47 8

L. Escriba el signo mayor que (>), menor que (<) o igual que (=), según corresponda el

caso.

M. Exprese los siguientes números decimales como fracciones.

a) 0,35̅

b) 1,2626262626 …

c) 3,125

d) 0,124949494949 …


N. Resuelva las operaciones con números racionales.

a) 13

25−

7

15+

3

10+

12

5−

5

4

b) (−23

8+

5

3+ 3) − (

2

7−

7

8+

5

9)

c) 5

6− (

2

3÷

10

12)

d) [1 −15

9] ÷ [

5

9+

2

5]

e) (15

26×

39

40) ÷

11

2−

3

5

f) √100

3600− (−

3

7)

2

g) (1 ÷3

5) − (

2

5)

2

O. Escriba los siguientes números decimales en forma alfabética.

a. 0,345 _______________________________________________

b. 12,3048 _______________________________________________

c. 1,007695 _______________________________________________

d. 10,01010 _______________________________________________

e. 2,00675 _______________________________________________

f. 4,00005 _______________________________________________

P. Escriba los números decimales que correspondan.

a. Doce enteros con treinta y cinco cien milésimas. _____________________

b. Mil doscientos siete millonésimas. _____________________

c. Cuatrocientos doce diez milésimas. _____________________

d. Doscientas seis milésimas. _____________________

e. Mil doscientos veinte ocho cien milésimas. _____________________

Q. Resuelva las operaciones indicadas con números decimales.

a) 0,35 + 0,7978 − 0,0015 − 5,0123

b) −123,56 × 0,032

c) 12,15 ÷ −2,25

d) −0,046 × −56,7 × −3,2

e) 5,187 ÷ 3,8

f) −1200 ÷ 0,705

g) 0,0927 ÷ 0,075


Ya hemos visto que un número racional se puede expresar como un número decimal y en

esta representación la parte decimal puede ser finita o infinita periódica. Los números

irracionales son aquellos números cuya parte decimal es infinita y no periódica.

Operaciones con números Irracionales

1. Adición: Para adicionar números irracionales éstos deben ser radicales

semejantes, Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo

índice.

Ejemplo. Marque con un gancho los radicales que sean semejantes () y use una

equis (X) los radicales no semejantes.

Radicales

5√63

; −11√63

−8√7; 3

5√75

−4√126

; 7√126

2

3√105

; 2

3√35

Al sumar dos o más radicales semejantes se adicionan los factores numéricos

(número que precede al signo de raíz).

2


Ejemplo 1. Adicionar −13√7 + 32

3√7 + 10√7 −

1

5√7

Solución

−13√7 + 32

3√7 + 10√7 −

1

5√7

= (−13 + 32

3+ 10 −

1

5) √7 = (−13 +

11

3+ 10 −

1

5) √7

= (−195 + 55 + 150 − 3

15) √7 = (

−198 + 205

15) √7

=7

15√7

Ejemplo 2. Adicionar 0, 5̅√63

+ 0,17̅√63

− 0,175√63 . Exprese el factor numérico como

un número racional.

Solución

0, 5̅√63

+ 0,17̅√63

− 0,175√63

= (0, 5̅ + 0,17̅ − 0,175)√63

= (5

9+

8

45−

7

40) √6

3

= (200 + 64 − 63

360) √6

3=

264 − 63

360√63

=201

360√63

=67

120√63

2. Sustracción.

Ejemplo 1. De (12√5 − 11√17 − 8√5) 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 (7√17 − 13√5)

Solución

𝐷𝑒 (12√5 − 11√17 − 8√5) 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 (7√17 − 13√5)

= (12√5 − 11√17 − 8√5) − (7√17 − 13√5)

= 12√5 − 11√17 − 8√5 − 7√17 + 13√5

= (12 − 8 − 13)√5 + (−11 − 7)√17

= (12 − 21)√5 + (−18)√17 = −9√5 − 18√17

Ejemplo 2. 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 (2

3√13 − √3 − 7√3) 𝑑𝑒 (−

7

6√3 − 3√13 +

1

2√13)

Solución

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 (2

3√13 − √3 − 7√3) 𝑑𝑒 (−

7

6√3 − 3√13 +

1

2√13)

𝐷𝑒 (−7

6√3 − 3√13 +

1

2√13) 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 (

2

3√13 − √3 − 7√3)

= −7

6√3 − 3√13 +

1

2√13 −

2

3√13 + √3 + 7√3

= (−7

6+ 1 + 7) √3 + (−3 +

1

2−

2

3) √13

= (−7 + 6 + 42

6) √3 + (

−18 + 3 − 4

6) √13 =

41

6√3 −

19

6√13


3. Multiplicación.

Para multiplicar dos o más radicales deben tener el mismo índice.

Ejemplo 1. (3√83

)(−4√103

)

Solución

(3√83

)(−4√103

) = −(3 × 4)√8 × 103

= −12√803

= −12√23 × 103

= (−12 × 2)√103

= −24√103

Ejemplo. (2√3 + 5√7)(−2√3 + 5√7)

Solución

(2√3 + 5√7)(−2√3 + 5√7) = −4√9 + 10√21 − 10√21 + 25√49

−4(3) + 25(7) = −12 + 175 = 163

4. División

Para Dividir radicales los mismos deben tener el mismo índice.

Ejemplo 1. (15√913

) ÷ 25(−5√73 )

Solución

(15√913

) ÷ 25(−5√73

) =15

25√

91

7

3

=3

5√133

Ejemplo 2. 0,25√200

−8√150

Solución

0,25√200

−8√150=

0.25

−8√

200

150= −

148

√4

3= −

1

32√

22

3= − (

1

32× 2) √

1

3= −

1

16√

1

3

Ejemplo 3. −5

8√0,3964

÷ 0,23̅√0,0344

Solución

−5

8√0,3964 ÷ 0,23̅√0,0344 =

− 5 8⁄

− 7 30⁄√

0,396

0,034

4

=75

28√

396 1000⁄

34 1000⁄

4

=75

28√

198

17

4


Resuelva las operaciones indicadas con los números irracionales.

1. −87 √127

+ 35 √127

− 87 √127

+ 103 √127

− 55√127

− 36√127

2. 𝐷𝑒7

9√455

𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 11

56√455

3. 3

8√11 + 10√15 + 21√15 − 33√15 +

2

7√11 −

7

4√15

4. 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 (5√2 − 17√10 − 9√10) 𝑑𝑒 (23√10 − 27√2 + 35√2 − 67√10)

5. 0,56̅ √133

+ 3,725 √133

+ 1,25√133

− 3, 12̅̅̅̅

6. (7√7 − 5√5 + 3√6)(2√3 + 5√5 + 3√6)

7. (28√1003

) ÷ (56√30003

)

8. 036√450

0,07√175

9. (2√143

+ 6 √1083 )(−4√16

3+ 6√20

3 )

10. (12

19√1206 ) ÷ (−2

5

7√86 )

El conjunto de los números reales se denotan mediante el símbolo matemático ℝ. Es el conjunto

que resulta de la unión de los números racionales con los números irracionales.


Resuelva los siguientes problemas de aplicación con números reales.

1. Unos de los teoremas más famosos es el atribuido al griego Pitágoras de Samos y que se

enuncia así “En un triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

es igual a la suma de las áreas construidos sobre los catetos”. Aplique este resultado y

determine la longitud de un cable que debe colocarse para sujetar un poste eléctrico que

mide 12 pies a una distancia de 4 pies la base. Observe la figura.

2. Una persona posee un parcela de terreno y en 1

3 del terreno siembra pepino, en

1

4 del terreno

siembra maíz y en 2

5 del terreno siembra guandú. ¿Qué porción del terreno tiene disponible

para poder sembrar frijoles?

3. El salón de pre escolar mide 6,75 m de largo por 5 m de ancho. Se desea colocar baldosas

cuadradas de 50 cm de longitud. ¿Qué cantidad se deben comprar para recubrir el piso con

esas baldosas?

4. El 24 de mayo del 2008 fue sábado. ¿Qué fechas fueron lunes en ese mes?

5. Si las manzanas pesan 2,45 libras y la caja vacía pesa 0,32 libras. ¿Cuántas libras pesa la

caja con las manzanas dentro?


6. Un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones en matemática:

3,6 4,3 3,2 4,8 3,7 5,0

¿Cuál es el promedio de calificaciones de ese estudiante?

7. Hay cintas de color verde, azul y rosado. La verde mide 58 cm. La azul es dos veces la

verde y la rosada es 3 veces la azul. ¿Cuánto mide la cinta rosada?

8. En una plaza de un pueblo hay 3 bancas azules y 3 bancas rojas. Si 12 niñas están sentadas

en cada una de las bancas azules y 12 niños en cada una de las bancas rojas. ¿Cuántos niños

y niña están sentados?

9. Se tienen 1256 botellas de vidrio. Se desea acomodar las botellas en cajas que tiene

capacidad para 24 botellas. ¿Cuántas cajas se necesitan y cuántas botellas sobran?

10. Una niña pequeña ha elaborado un mapa de su comunidad, como se observa en la figura. Si

Teresa hace el siguiente recorrido: sale de su casa temprano en la mañana hacia la escuela,

al salir de la escuela va al comedor, después se dirige al hospital a ver a su tía enferma, pasa

a la tienda a comprar el mercado, va al parque a jugar con unos amigos, luego asiste a la clase

de catequesis y regresa a su casa. ¿Qué distancia total en km recorrió Teresa?

11. Ana compró 13

4 libras de ñame y le costó $2,80. Ella desea comprar 2

1

2 libras más

del mismo producto. -¿Cuánto deberá pagar ahora?

mÓdulo 1 curso: matemática el conjunto de los nÚmeros...

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