máximos y mínimos
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Definición
Sea función y 0 À K © qqqqqp + − K‘ ‘8
Diremos que es :+
1.- un máximo absoluto de 0 ==3 ÐaB − KÑÐ0ÐBÑ Ÿ 0Ð+ÑÑ
2.- un mínimo absoluto de 0 ==3 ÐaB − KÑÐ0Ð+Ñ Ÿ 0ÐBÑÑ
3.- un máximo absoluto estricto de 0 ==3 ÐaB − KÏÖ+×ÑÐ0ÐBÑ 0Ð+ÑÑ
4.- un mínimo absoluto estricto de 0 ==3 ÐaB − KÏÖ+×ÑÐ0Ð+Ñ 0ÐBÑÑ
5.- un máximo relativo de 0 ==3 Ðb !ÑÐaB − K FÐ+ß ÑÑÐ0ÐBÑ Ÿ 0Ð+ÑÑ$ $
6.- un mínimo relativo de 0 ==3 Ðb !ÑÐaB − K FÐ+ß ÑÑÐ0Ð+Ñ Ÿ 0ÐBÑÑ$ $
7.- un máximo relativo estricto de 0 ==3 Ðb !ÑÐaB − K F Ð+ß ÑÑÐ0ÐBÑ 0Ð+ÑÑ$ $‡
8.- un mínimo relativo estricto de 0 ==3 Ðb !ÑÐaB − K F Ð+ß ÑÑÐ0Ð+Ñ 0ÐBÑÑ$ $‡
9.- un punto extremo de si satisface alguna de las definiciones anteriores, y se dice0que es el valor extremo de asociado al punto extremo0Ð+Ñ 0
Teorema
Sea función y punto extremo0 À K © qqqqqp + − K‘ ‘8
Entonces si existe , se cumple que `0 `0
`B `B3 3Ð+Ñ Ð+Ñ œ !
Observación
El Teorema anterior, nos da una condición necesaria pero no suficiente para que un punto sea punto extremo
Definición
Sea función y con abierto0 À K © qqqqqp + − K K‘ ‘8
Diremos que es punto crítico de + 0
ssi `0`B3
Ð+Ñ œ ! a3 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8×
ó para algún `0`B3
Ð+Ñ Â 3 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8ב
Teorema
Sea función y con abierto0 À K © qqqqqp + − K K‘ ‘8
Se cumple que
punto extremo de es punto crítico de + 0 Ê + 0
Observación
1.- Si un punto no es punto crítico ,entonces dicho punto no es punto extremo
2.- Para localizar puntos extremos, hay que buscar entre los puntos críticos ( si los hay)
Ejemplos
1.- Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp $B $B C D #C #D# # #
se tiene que :
`0 `0 `0`B `C `D œ 'B $ à œ #C # à œ #D #
luego
`0`B #`0`C
`0`D
"
œ ! Í 'B $ œ ! Í B œ
œ !
œ !
#C # œ !#D # œ !
C œ "D œ "
es decir punto crítico, y se tiene queT œ Ð ß "ß "Ñ"#
0ÐBß Cß DÑ œ $B $B C D #C #D# # #
œ $ÐB Ñ ÐC "Ñ ÐD "Ñ " ""# %
# # #
con lo cual, es claro que
0ÐT Ñ œ 0ÐBß Cß DÑ aÐBß Cß DÑ − ÏÖT ×""%
$‘
es decir es un punto mínimo absoluto estricto de yT 0
es su valor mínimo0ÐT Ñ œ ""%
2.- Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp B 'B C D #C #D# # #
se tiene que :
`0 `0 `0`B `C `D œ #B ' à œ #C # à œ #D #
luego
`0`B`0`C
`0`D
œ ! Í #B ' œ ! Í B œ $
œ !
œ !
#C # œ ! C œ " #D # œ ! D œ "
es decir punto crítico, y se tiene queT œ Ð $ß "ß "Ñ
0ÐBß Cß DÑ œ B 'B C D #C #D# # #
œ ÐB $Ñ ÐC "Ñ ÐD "Ñ ""# # #
con lo cual, es claro que
0ÐT Ñ œ "" 0ÐBß Cß DÑ aÐBß Cß DÑ − ÏÖT ב$
es decir es un punto máximo absoluto estricto de yT 0
es su valor máximo0ÐT Ñ œ ""
3.- Sea 0 À qqqqqqqqqp‘ ‘2
ÐBß C Ñ qqqqqp # ÐB C Ñ# # "$
se tiene que :
`0 `0`B $ `C $
" "# # # # œ ÐB C Ñ † #B à œ ÐB C Ñ † #C
# #$ $
luego
`0`B`0`C
#B
$ÐB C Ñ#C
$ÐB C Ñ
œ ! Í œ !
œ ! œ !
# ##$
# ##$
Í B œ ! • C − ÏÖ!×C œ ! • B − ÏÖ!×
‘
‘
es decir no aporta con puntos críticos, pero es claro que
no existen luego punto crítico`0 `0`B `B Ð!ß !Ñ à Ð!ß !Ñ T œ Ð!ß !Ñ
ademas 0ÐBß C Ñ œ # ÐB C Ñ# # "$
con lo cual, es claro que
0ÐT Ñ œ # 0ÐBß C Ñ aÐBß Cß DÑ − ÏÖT ב2
es decir es un punto máximo absoluto estricto de yT 0
es su valor máximo0ÐT Ñ œ #
4.- Sea 0 À qqqqqqqqqp‘ ‘2
ÐBß C Ñ qqqqqp B #B C #C# #
se tiene que :
`0 `0`B `C œ #B # à œ #C #
luego
`0`B`0`C
œ ! Í #B # œ ! Í B œ "
œ ! #C # œ ! C œ "
es decir punto críticoT œ Ð"ß "Ñ
ademas 0ÐBß C Ñ œ B #B C #C œ ÐB "Ñ ÐC "Ñ# # # #
y como 0ÐT Ñ œ !
y ademas, en cualquier vecindad centrada en se tiene que existenT
tales que ÐBß CÑ À 0ÐBß C Ñ ! ß 0ÐBß C Ñ !
es decir no es un punto extremo de T 0
5.- Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp #B 'B #C "&C D $'C #D$ $ # #
se tiene que :
`0 `0 `0`B `C `D
# # œ 'B ' à œ 'C $!C $' à œ #D #
luego
`0`B`0`C
`0`D
#
#
œ ! Í 'B ' œ !
œ !
œ !
'C $!C $' œ ! #D # œ !
Í B œ " ” B œ "C œ # ” C œ $D œ "
es decir T œ Ð"ß #ß "Ñß T œ Ð"ß $ß "Ñß" #
T œ Ð "ß #ß "Ñß T œ ÐÐ "ß $ß "ÑÑ$ %
puntos críticos, y se tiene que
0ÐBß Cß DÑ œ #B 'B #C "&C D $'C #D$ $ # #
con lo cual, es claro que por el tipo de expresión algebraica, no es posible en este caso clasificar dichos puntos.
Definición
Sea función y con abierto0 À K © qqqqqp + − K K‘ ‘8
tal que ` 0
`B `B
#
3 4 Ð+Ñ − a 3ß 4 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8ב
Llamaremos determinante Hessiano de en de orden , 0 + 5 5 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8× a donde :L Ð0ß +Ñ5
L Ð0ß +Ñ œ
Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Ð+Ñ
Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Ð+Ñ
Þ Þ Þ Þ
Ð+Ñ
5
` 0 ` 0 ` 0`B `B `B `B `B
` 0 ` 0 ` 0`B `B `B `B`B
` 0 ` 0`B `B `
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
# # #
#" # " 5 "
# # #
" # 5 ###
# #
" 5
B `B` 0`B# 5
#
#5 Ð+Ñ Þ Ð+Ñ
5 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8×,
L Ð0ß +Ñ œ Ð+Ñ ß L Ð0 ß +Ñ œÐ+Ñ Ð+Ñ
Ð+Ñ Ð+Ñ" #
` 0`B
` 0 ` 0`B `B `B
` 0 ` 0`B `B `B
#
#"
# #
#" # "
# #
" ###
â ââ ââ ââ ââ ââ âTeorema
Sea función y con abierto0 À K © qqqqqp + − K K‘ ‘8
tal que y f0Ð+Ñ œ ! L Ð0 ß +Ñ −8 ‘
se tiene que
1.- es un máximo relativo de + 0 ssi alternan signoL Ð0ß +Ñ ! ß L Ð0 ß +Ñ ! ß L Ð0 ß +Ñ !ß ÞÞÞ" # $
2.- es un mínimo relativo de + 0 ssi L Ð0ß +Ñ ! a 5 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8×5
Observación
Si no se cumplen las condiciones del Teorema , el Teorema no da información
Ejemplo
Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp #B 'B #C "&C D $'C #D$ $ # #
Determinar puntos críticos y clasificarlos, si es posible
Solución
se tiene que :
`0 `0 `0`B `C `D
# # œ 'B ' à œ 'C $!C $' à œ #D #
luego
`0`B`0`C
`0`D
#
#
œ ! Í 'B ' œ ! Í B œ " ” B œ "
œ !
œ !
'C $!C $' œ ! #D # œ !
C œ # ” C œ $D œ "
es decir T œ Ð"ß #ß "Ñß T œ Ð"ß $ß "Ñß" #
T œ Ð "ß #ß "Ñß T œ Ð "ß $ß "Ñ$ %
puntos críticos, y se tiene que
L Ð0ß ÞÑ œ
"#B ! !! "#C $! !! ! #
$
â ââ ââ ââ ââ ââ â Caso I si T œ Ð"ß #ß "Ñ"
L Ð0ß T Ñ œ"# ! !! ' !! ! #
$ "
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual
, ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2" " $ "
luego el Teorema no da información sobre T"
Caso II si T œ Ð"ß $ß "Ñ#
L Ð0ß T Ñ œ"# ! !! ' !! ! #
$ 2
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual
, ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2# # $ #
luego el Teorema no da información sobre T#
Caso III si T œ Ð "ß #ß "Ñ$
L Ð0ß T Ñ œ "# ! !
! ' !! ! #
$ $
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual
, ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2$ $ $ $
luego el Teorema no da información sobre T$
Caso IV si T œ Ð "ß $ß "Ñ%
L Ð0ß T Ñ œ "# ! !
! ' !! ! #
$ %
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual
, ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2% % $ %
luego el punto es máximo relativoT%
Ejemplo
Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp B C D BC $D )# # #
Determinar puntos críticos y clasificarlos, si es posible de la función ß 0 si deben cumplir la condición : #B $C D œ %
Solución
Se tiene que , #B $C D œ % Í D œ #B $C %
luego 0ÐBß Cß DÑ œ B C D BC $D )# # #
œ B C D BC $Ð#B $C %Ñ )# # #
œ B C Ð#B $C %Ñ BC 'B *C % œ 0ÐBß CÑ# # #
observe que los puntos con los que estamos trabajando (los del plano) son puntos de ,los cuales son puntos frontera, no son puntos interiores, por‘$
ello no es aplicable la teoria vista, pero al considerar como una función en0 dos variables, incorporando la condición definida por el plano en la expresión algebraica de , se tiene que el nuevo dominio de la función 0 0 esta constituido por puntos en , los cuales son puntos interiores ,por ello‘#
podemos aplicar en este caso la teoria vista. `0 `0
`B `C œ #B %Ð#B $C %Ñ C ' à œ #C 'Ð#B $C %Ñ B *
luego
`0`B`0`C
œ ! Í "!B ""C ## œ !
œ ! #!C ""B $$ œ !
Í "!B ""C œ ## Í C œ""B #!C œ $$ B œ
))(*(((*
es decir punto crítico se tiene queT œ Ð ß Ñ ß(( ))(* (*
con lo cual
L Ð0ß ÞÑ œ
# "" ## º º
L Ð0ß T Ñ œ œ $ ! ß L Ð0 ß T Ñ œ # !
# "" ## "º º
por lo tanto, como : , , se tiene queL Ð0ß T Ñ ! L Ð0 ß T Ñ !" #
es máximo relativo de con lo cual es el máximo absoluto de T 0ß 0
Definición
Sea función , y con abierto0 À K © qqqp + − K K‘ ‘8
tal que f0Ð+Ñ œ ! Diremos que es un punto de ensilladura ssi no es máximo y no es mínimo+
Teorema
Sea función , y con abierto0 À K © qqqp + − K K‘ ‘8
tal que con f0Ð+Ñ œ ! L Ð0 ß +Ñ −8 ‘ Dado 7 œ Ð7 ß 7 ß ÞÞÞß 7 Ñ − ß -98 m7m œ "" # 8
8‘
Sea LÐ0ß +ß 7Ñ œ 7 † f 0Ð+Ñ † 7#
œ 7 † Ð+Ñ 7 † 7 Ð+Ñ! !3œ"
8 8#3
` 0 ` 0`B
3ß4œ"à 3Á43 4 `B `B
# #
#3 4 3
Se cumple que
1.- es máximo relativo de + 0 ==3 LÐ0 ß +ß 7Ñ ! à a7
2.- es mínimo relativo de + 0 ==3 LÐ0 ß +ß 7Ñ ! à a7
3.- es punto de ensilladura de el signo de depende de + 0 ==3 LÐ0 ß +ß 7Ñ 7
Ejemplo
Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp #B 'B #C "&C $'C D $D )$ $ # #
Determinar puntos críticos de y clasificarlos, si es posible0 Þ
Solución se tiene que :
`0 `0 `0`B `C `D
# # œ 'B ' à œ 'C $!C $' à œ #D #
luego
`0`B`0`C
`0`D
#
#
œ ! Í 'B ' œ ! Í B œ " ” B œ "
œ !
œ !
'C $!C $' œ !#D # œ !
C œ # ” C œ $D œ "
es decir T œ Ð"ß #ß "Ñß T œ Ð"ß $ß "Ñß" #
T œ Ð "ß #ß "Ñß T œ Ð "ß $ß "Ñ$ %
puntos críticos, y se tiene que
L Ð0ß ÞÑ œ"#B ! !! "#C $! !! ! #
$
â ââ ââ ââ ââ ââ â Caso I si T œ Ð"ß #ß "Ñ"
con lo cual
L Ð0ß T Ñ œ"# ! !! ' !! ! #
$ "
â ââ ââ ââ ââ ââ â , ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2" " $ "
luego es mínimo relativoT"
Caso II si T œ Ð"ß $ß "Ñ#
con lo cual
L Ð0ß T Ñ œ
"# ! !! ' !! ! #
$ 2
â ââ ââ ââ ââ ââ â , ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2# # $ #
luego el Teorema no da información sobre , consideremosT#
si si
LÐ0ß T ß 7Ñ œ "#7 '7 #7 œ"# ß 7 œ Ð"ß !ß !Ñ ' ß 7 œ Ð!ß "ß !Ñ#
# # #" # $ œ
por lo tanto es punto de ensilladuraT#
Caso III si T œ Ð "ß #ß "Ñ$
con lo cual
L Ð0ß T $Ñ œ "# ! !
! ' !! ! #
$
â ââ ââ ââ ââ ââ â , ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2$ $ $ $
luego el Teorema no da información sobre , consideremosT$
si si
LÐ0ß T ß 7Ñ œ "#7 '7 #7 œ "# ß 7 œ Ð"ß !ß !Ñ' ß 7 œ Ð!ß "ß !Ñ3
# # #" # $ œ
por lo tanto es punto de ensilladuraT$
Caso IV si T œ Ð "ß $ß "Ñ%
con lo cual
L Ð0ß T Ñ œ "# ! !
! ' !! ! #
$ 2
â ââ ââ ââ ââ ââ â , ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2" " $ "
luego el Teorema no da información sobre , consideremosT%
si si
LÐ0ß T ß 7Ñ œ "#7 '7 #7 œ "# ß 7 œ Ð"ß !ß !Ñ
# ß 7 œ Ð!ß !ß "Ñ%# # #" # $ œ
por lo tanto es punto de ensilladuraT%
Ejemplo
Sea 0 À qqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp BC BD CD
Determinar puntos críticos y clasificarlos, si es posible de la función ß 0 si deben cumplir la condición : BCD œ "#&
Solución Se tiene que , BCD œ "#& Í D œ "#&
BC
luego 0ÐBß Cß DÑ œ BC BD CD œ BC B † C †"#& "#&BC BC
œ BC œ 0ÐBß CÑ"#& "#&C B
observe que los puntos con los que estamos trabajando ( ) sonBCD œ "#& puntos de ,los cuales son puntos frontera, no son puntos interiores, por‘$
ello no es aplicable la teoria vista, pero al considerar como una función en0 dos variables, incorporando la condición definida por ( ) en laBCD œ "#& expresión algebraica de , se tiene que el nuevo dominio de la función 0 0 esta constituido por puntos en , los cuales son puntos interiores ,por ello‘#
podemos aplicar en este caso la teoria vista. luego`0 `0
`B B `C C"#& "#&
œ C à œ B # #
`0`B B`0`C
"#&
"#&C
#
#
œ ! Í C œ ! Í B C œ "#&
œ ! B œ ! BC œ "#&#
#
Í œ " Í B œ C Í B œ &
BC œ "#& C œ "#& C œ &
BC
# $
es decir punto crítico , se tiene queT œ Ð&ß &Ñ
con lo cualL Ð0ß ÞÑ œ"
"#
#&!B
#&!C
» »$
$
L Ð0ß T Ñ œ œ $ ! ß L Ð0 ß T Ñ œ # !# "" ## "º º
por lo tanto, como : , , se tiene queL Ð0ß T Ñ ! L Ð0 ß T Ñ !" #
es mínimo relativo de con lo cual es el mínimo absoluto de T 0ß 0Observación
1.- No siempre es posible sustituir la condición en la función ,como lo hicimos en dos de los problemas anteriores
2.- Una condición de igualdad que condiciona el dominio der una función, en general convierte al dominio, en un dominio de puntos frontera, por lo cual no podemos aplicar la teoria vista ya que esta formulada para puntos interiores del dominio de una función
3.- Veremos un método que nos permite abordar problemas de optimización con condiciones de borde.
Definición
Sean funciónes diferenciables0 ß 1 À K © qqqp‘ ‘8
B qqqp Llamaremos función de Lagrange asociada a bajo la restricción 0 1ÐBÑ œ ! a la función que denotaremos por , dondeP
P À H © qqqp‘ ‘8"
Ð ß BÑ qqqp PÐ ß BÑ- -
donde PÐ ß BÑ œ 0ÐBÑ † 1ÐBÑ- -
Definición
Sean funciónes diferenciables en 0 ß 1 À K © qqqp + − K‘ ‘8
B qqqp Diremos que es un punto crítico de sujeto a la condición + 0 1ÐBÑ œ ! ==3 Ðb − ÑÐfPÐ+Ñ œ !Ñ- ‘
Observación
fPÐ+Ñ œ ! Í f0Ð+Ñ œ †f1Ð+Ñ
1Ð+Ñ œ !
-
Definición
Sean funciónes diferenciables0 ß 1 À K © qqqp‘ ‘8
B qqqp
tal que L Ð0ß +Ñ ß L Ð1ß +Ñ −8 8 ‘
Llamaremos determinante Hessiano de con restricción en de orden 0 1 + 5 a , donde conL ÐPß +ß Ñ 5 − Ö#ß ÞÞÞß 8×5" -
L ÐPß +ß Ñ œ
Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ
Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ
Þ Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ Þ
5"
` P` `B ` `B `
` 0 ` 0
` 0 ` 0 ` 0` `B `B `B`B
` 0` `B
-
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
#
#
# #
" 5# # #
" 5 ""#
#
- - -
-
-
5 5
# #
5# Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ` 0 ` 0
` `B `B-
œ
! Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ
Ð+Ñ Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ Ð+Ñ
Þ Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ Þ
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
`1 `1`B `B
`1 ` 0 ` 1 ` 0 ` 1`B `B `B `B `B`B `B
`
" 5
" 5 5
# # # #
" "# #
" "
- -
1 ` 0 ` 1 ` 0 ` 1`B `B `B `B `B `B `B5 " "
# # # #
5 5 5 5# # Ð+Ñ Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ Ð+Ñ- -
œ
! Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ
Ð+Ñ Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ Ð+Ñ
Þ Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ Þ
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
`1 `1`B `B
`1 ` 0 ` 1 ` 0 ` 1`B `B `B `B `B`B `B
`1
" 5
" 5 5
# # # #
" "# #
" "
- -
`B `B `B `B `B` 0 ` 1 ` 0 ` 1
`B `B5 " "
# # # #
5 5 5 5# # Ð+Ñ Ð+Ñ Ð+Ñ Þ Þ Ð+Ñ Ð+Ñ- -
Teorema
Sean funciónes diferenciables0 ß 1 À K © qqqp‘ ‘8
B qqqp
tal que : y fPÐ+Ñ œ ! L Ð0 ß +Ñ ß L Ð1ß +Ñ −8 8 ‘
Se cumple que
1.- es máximo+
ssi alternan signoL ÐPß +ß Ñ !ß L ÐPß +ß Ñ !ß ÞÞÞ#" $"- -
2.- es mínimo+
ssi L ÐPß +ß Ñ ! a 5 − Ö #ß ÞÞÞß 8×5" -
Observación
Si no se cumplen las condiciones del teorema, este no da información
Observación
Sean funciónes diferenciables0 ß 1ß 2 À K © qqqp‘ ‘8
B qqqp Llamaremos función de Lagrange asociada a bajo las restricciónes0
1ÐBÑ œ ! • 2ÐBÑ œ !
a la función que denotaremos por , dondeP
P À H © qqqp‘ ‘8#
Ð ß ß BÑ qqqp PÐ ß ß BÑ- . - .
donde PÐ ß BÑ œ 0ÐBÑ † 1ÐBÑ † 2ÐBÑ- - .
Observación
Sean funciónes diferenciables en 0 ß 1ß 2 À K © qqqp + − K‘ ‘8
B qqqp Diremos que es un punto crítico de sujeto a las condiciónes+ 0
1ÐBÑ œ ! • 2ÐBÑ œ ! ==3 ,Ðb − ÑÐfPÐ+Ñ œ !Ñ- . ‘
Observación
fPÐ+Ñ œ ! Í f0Ð+Ñ œ †f1Ð+Ñ †f1Ð+Ñ
1Ð+Ñ œ !
2Ð+Ñ œ !
- .
Teorema
Si función continua en .0 À K © qqqp K‘ ‘8
con cerrado y acotadoK Entonces alcanza un máximo y un mínimo0
Ejemplo
Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp B C D BC $D )# # #
Determinar puntos críticos y clasificarlos, si es posible de la función ß 0 si deben cumplir la condición : #B $C D œ %
Solución
se tiene que 0ÐBß Cß DÑ œ B C D BC $D )# # #
1ÐBß Cß DÑ œ #B $C D % œ !
luego como :
f0ÐBß Cß DÑ œ † f1ÐBß Cß DÑ1ÐBß Cß DÑ œ !
-
Í Ð #B Cß %C Bß #D $Ñ œ † Ð#ß $ß "Ñ#B $C D % œ !
-
Í #B C œ # Í œ %C B œ $ #D $ œ #B $C D œ %
œ #
#B $C D œ %œ #D $
-
-
-
-
#BC%CB $
#
#BC#D$
Í 'B $C œ )C #B Í )B ""C œ ! #B C œ %D ' #B C %D œ '#B $C D œ % #B $C D œ %
œ #D $ œ #D $- -
Í B œ
C œ
D œ
œ
""*
)*
"!*
(*-
luego punto crítico con T œ Ð ß ß Ñ œ "" ) "! (* * * *-
y como L ÐPß Þß ÞÑ œ
! # $ "# # " !$ " % !
" ! ! #
$"
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual, se tiene que
L ÐPß T ß Ñ œ ß
! # $ "# # " !$ " % !
" ! ! #
$" -
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
L ÐPß T ß Ñ œ
! # $# # "$ " %
#" -
â ââ ââ ââ ââ ââ â donde : L ÐPß T ß Ñ œ %' ! L ÐPß T ß Ñ œ ** !#" $"- -
por lo tanto se tiene que es un máximo relativo , el cual es absolutoT
Ejemplo
Determine la caja rectangular de caras paralelas a los ejes coordenados de volumen máximo que se puede inscribir en la elipsoide
B D$ "# #(
C# ##
œ "
Solución
sea el vertice de la caja que esta en el primer cuadrante, con lo cualÐBß Cß DÑ
es la función que determina el volumen de la caja, conZ œ 0ÐBß Cß DÑ œ )BCD restricción 1ÐBß Cß DÑ œ " œ !B D
$ "# #(C# ##
luego como :
f0ÐBß Cß DÑ œ † f1Ð Bß Cß DÑ1ÐBß Cß DÑ œ !
-
Í Ð)CDß )BDß )BCÑ œ † Ð Bß Cß DÑ
œ "
- # " #$ ' #(
B D$ "# #(
C# ##
Í )CD œ B Í œ %
)BD œ C
)BC œ D
œ "
œ *
œ "
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