Cálculo diferencial (arq)

Máximos y mínimos de una función.

Concavidad y puntos de inflexión

Introducción:Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivada.Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica de una función y en particular cómo nos ayudan a localizar valores máximos y mínimos de las funciones

Expliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.

Definición:Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f(c) ≥ f(x) para toda x en D donde D es el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f en D.De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) ≤ f(x) para toda x en D; el número f(c) se denomina valor mínimo de f en D.Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f.

x

y

a d

f(a)

f(d)

b c e

En la figura se muestra una función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a.

Si sólo consideramos valores de x cercanos a b, entonces f(b) es el mas grande de esos valores de f(x) y se conoce como máximo local de f.

Definición:Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en c si f(c) f(x) cuando x está cercano a c. [Esto significa que f(c)f(x) para toda x en algún intervalo abierto que contiene a c.]De manera análoga, f tiene un mínimo local en c si f(c)f(x) cuando x está cerca de c.

En la figura anterior...¿dónde se presentan extremos locales?

Ejemplo:Determine los extremos locales y globales de la gráfica de f(x)=x3.

x

y

y = x3

Ejemplo:Determine los extremos locales y globales de la gráfica de f(x)=3x4-16x3+18x2 en el intervalo –1 x 4.

x

y

Teorema del valor extremo:Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a; b], entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algunos números c y d de [a; b].

x

y

a c d b

x

y

a c d=b

x

y

a c1 d c2 b

x

y

x

y

Teorema de Fermat:Si f tiene un máximo o un mínimo local en c y si f ´(c) existe, entonces f ´(c) = 0.

x

yPero...qué pasa con y = x3??

x

y

Definición:Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que f ´(c)=0 o f ´(c) no existe.

Ejemplo:Encuentre los números críticos de f(x) = x3/5(4 - x).

Si f tiene un extremo local en c, entonces c es un número crítico de f.

Método del intervalo cerrado para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado [a; b]:

1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a; b).

2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.

3. El mas grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el mas pequeño es el valor mínimo absoluto.

Ejemplo:Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = x3 - 3x2 + 1, para - ½ x 4.

x

y

¿Cómo afectan las derivadas la forma de

una gráfica?

Introducción:Numerosas aplicaciones del cálculo dependen de nuestra capacidad para deducir hechos relativos a la función f a partir de información concerniente a sus derivadas. Como f(x) representa la pendiente de la curva y = f(x) en el punto (x; f(x)), nos dirá cuál es la dirección de crecimiento de la curva. Entonces f(x) nos ayuda a saber más de f(x).

x

y

Prueba creciente / decrecientea) Si f(x) > 0 sobre un intervalo, entonces f

es creciente en ese intervalo.b) Si f(x) < 0 sobre un intervalo, entonces f

es decreciente en ese intervalo

A

B

C

D

EjemploDeterminar dónde es creciente y dónde es decreciente la función f(x) = 3x4-4x3-12x2+5

x

y

Prueba de la primera derivadaSi c es un número crítico de una función

continua f.1. Si f(x) cambia de positiva a negativa en

c, entonces f tiene un máximo local en c.2. Si f(x) cambia de negativa a positiva en

c, entonces f tiene un mínimo local en c.3. Si f(x) no cambia de signo en c (esto es,

f es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados), entonces f carece de extremo local en c.

x

y

0)(' xf 0)(' xf

c

Máximo local

x

y

c

0)(' xf 0)(' xfMínimo local

x

y

c

0)(' xf

0)(' xf

x

y

c

0)(' xf

0)(' xf

Sin extremo

Sin extremo

Ejemplo:Halle los valores máximos y mínimos locales de la función

g(x) = x + 2 sen x 0 ≤ x ≤ 2

¿Qué dice f’’ acerca de f?

x

y

A

B

f

a b x

y

A

B

g

a b

(a) (b)

La figura muestra las gráficas de dos funciones que unen A con B, pero se ven distintas porque se tuercen, la primera hacia arriba y la segunda hacia abajo.¿Qué características de las funciones f y g nos permiten establecer diferencias entre sus comportamientos?

x

y

A

B

f

a b

(a)

x

y

A

B

g

a b

(b)

Al trazar las tangentes vemos que en (a), la curva queda arriba de las tangentes y se dice que f es cóncava hacia arriba en (a; b).

En (b) la curva esta abajo de sus tangentes, y se dice que g es cóncava hacia abajo en (a; b)

Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

DefiniciónSi la gráfica de f está arriba de sus tangentes en un intervalo I, se dice que es cóncava hacia arriba en I. Si queda debajo de sus tangentes en I, se llama cóncava hacia abajo en I.

x

y

a b c d e p q

A

B C

D EP

Q

x

y

a b c d e p q

A

B C

D EP

Q

CAB CAB CABCAR CAR CAR

Prueba de concavidada) Si f(x) > 0 para toda x en I, entonces la

gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.b) Si f(x) < 0 para toda x en I, entonces la

gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

DefiniciónUn punto P de una curva se llama punto de inflexión si en él la curva tiene recta tangente única y pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo y viceversa.

EjemploDibuje una gráfica posible para una

función f sujeta a las siguientes condiciones:

i. f(x) > 0 en (-∞; 1), f(x) < 0 en (1; ∞)ii. f(x) > 0 en (-∞; -2) y (2; ∞), f(x) < 0

en (-2; 2)iii. 0)(lim,2)(lim

xfxf

xx

Prueba de la segunda derivadaSi f es continua en la vecindad de c:a) Si f (c) = 0 y f (c) > 0, f tiene un mínimo

local en c.b) Si f (c) = 0 y f (c) < 0, f tiene un

máximo local en c.