función de varias variables: máximos, mínimos y puntos de

Extremos relativos y absolutosPuntos crıticos

Extremos relativos: procedimiento de calculoExtremos condicionados

Funcion de varias variables:Maximos, mınimos y puntos de silla

Extremos condicionados

Joaquın Bedia

Dpto. Matematica Aplicada y CC de la ComputacionUniversidad de Cantabria

Joaquın Bedia Extremos



Contenidos

1 Extremos relativos y absolutosExtremos absolutos. DefinicionExtremos relativos. Definicion

2 Puntos crıticosDefinicionPuntos de silla

3 Extremos relativos: procedimiento de calculoProcedimiento de calculoEjemplos

4 Extremos condicionadosDefinicionMultiplicadores de LagrangeEjemplos




Extremos absolutos. DefinicionExtremos relativos. Definicion

Extremos absolutos

Extremos absolutos. Definicion:

Sea f(x, y) una funcion definida en una region D y sea(x0, y0) ∈ D. Se dice que:

f(x0, y0) es una valor maximo absoluto de f en D si:

f(x0, y0) ≥ f(x, y) ∀(x, y) ∈ D

f(x0, y0) es una valor mınimo absoluto de f en D si:

f(x0, y0) ≤ f(x, y) ∀(x, y) ∈ D





Extremos relativos

Extremos relativos. Definicion:

Sea f(x, y) una funcion definida en una region D y sea(x0, y0) ∈ D. Se dice que:

f(x0, y0) es una valor maximo relativo de f en D si existe unentorno B(x0, y0) tal que:

f(x0, y0) ≥ f(x, y) ∀(x, y) ∈ B

f(x0, y0) es una valor mınimo relativo de f en D si:

f(x0, y0) ≤ f(x, y) ∀(x, y) ∈ B





Extremos relativos

Teorema de Weierstrass

Sea f : X ⊂ Rn 7→ R continua en X, siendo X un conjunto cerrado yacotado. Entonces, el conjunto Y =

{f(x)

/x ∈ X

}⊂ R posee un maximo y

un mınimo, es decir, existen dos puntos x1 y x2 pertenecientes a X tales que:

∀x ∈ X ⇒ f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)

El Teorema deWeierstrass garantiza laexistencia de extremosabsolutos parafunciones continuasdefinidas en conjuntoscerrados y acotados

Máximo absoluto Máximo relativo

Máximo relativo

D≡{(x,y) ∈ R2 / -3≤x≤2 ; -3≤y≤2}

Mínimo absoluto

Puntos de silla




DefinicionPuntos de silla

Puntos crıticos

Punto crıtico. Definicion:

Sea z = f(x, y) una funcion definida en una region D y sea un puntoP (x0, y0) ∈ D. Se dice que P es un punto crıtico si se cumple alguna delas afirmaciones siguientes:

1 P (x0, y0) es un punto de frontera, es decir, esta situado en elcontorno de D

2 P (x0, y0) es un punto estacionario. Por lo tanto,

∂f∂x

∣∣∣∣(x0,y0)

= ∂f∂y

∣∣∣∣(x0,y0)

= 0, es decir ∇f(x0, y0) = 0

3 P (x0, y0) es un punto singular, es decir @∂f∂x

∣∣∣∣(x0,y0)

o bien

@∂f∂y

∣∣∣∣(x0,y0)





Puntos crıticos

Teorema:

Si f(x0, y0) es un extremo relativo de f en una region abierta D,entonces el punto (x0, y0) es un punto crıtico de f .

Condicion necesaria para la existencia de extremos de funcionesdiferenciables. Teorema:

Sea z = f(x, y) una funcion diferenciable en D. Es condicion necesariapara la existencia de un extremo relativo de f en (x0, y0) ∈ D que(x0, y0) sea punto estacionario, es decir, que verifique que

∂f∂x

∣∣∣∣(x0,y0)

= ∂f∂y

∣∣∣∣(x0,y0)

= 0

Nota:

El Teorema anterior da una condicion necesaria pero no suficiente.Existen puntos estacionarios que no son maximos ni mınimos: puntos desilla.





Puntos de silla

Ejemplo:

Es condicion necesaria pero nosuficiente que el punto P (x0, y0) seaestacionario para que P sea un extremorelativo. En la figura, se ilustra unejemplo. La funcion f(x, y) = y2 − x2determina una superficie en la que elpunto P (0, 0) es estacionario, y sinembargo no es un extremo relativo (nimaximo ni mınimo).

Punto de silla:

A este tipo de puntos, que son a la vez maximos relativos en unadireccion y mınimos relativos en la direccion ortogonal a la primera, se lesdenomina puntos de silla




Procedimiento de calculoEjemplos

Extremos relativos. Procedimiento de calculo por pasos:

1 Calculo de los puntos crıticos, mediante resolucion del sistema:

∂f∂x

= 0∂f∂y

= 0

}2 Si el punto (x0, y0) es un punto crıtico, se estudia el valor del

determinante hessiano (particularizadas las derivadas parciales en(x0, y0)):

H =

∣∣∣∣∣ ∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

∣∣∣∣∣3 El valor del hessiano permite concluir:

Si H > 0 y ∂2f∂x2 > 0 ⇒ (x0, y0) es mınimo relativo

Si H > 0 y ∂2f∂x2 < 0 ⇒ (x0, y0) es maximo relativo

Si H < 0 ⇒ (x0, y0) es punto de silla.Si H = 0 el criterio del hessiano no permite concluir nada, ysera necesario recurrir a otro metodo (analisis de la grafica...) paraestudiar el comportamiento en el entorno del punto





Calculo de extremos: Ejemplos

Extremos relativos. Ejemplos:

Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones:

1 f(x, y) = −x3 + 4xy − 2y2 + 1

2 f(x, y) = x3 − y3 + 3xy

3 f(x, y) = x2y2

4 f(x, y) = xyex+2y

5 f(x, y) = senx+ sen y + cos(x+ y)





Calculo de extremos: Ejemplos

Extremos relativos y absolutos. Ejemplo:

Sea f(x, y) = xy(1− x2 − y2)

1 Hallar sus extremos relativos en R2

2 Hallar sus extremos relativos y absolutos en el dominio

D ≡{(x, y) ∈ R2

/0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1

}




DefinicionMultiplicadores de LagrangeEjemplos

Extremos condicionados

El objetivo es la obtencion y clasificacion de los puntos crıticos de una funcion f(x, y)(un campo escalar de dos variables en este caso), sujetos a una restriccion.

Extremo relativo condicionado auna curva en el plano:

Sea f : U ⊆ R2 → R donde U esun conjunto abierto y seag(x, y) = 0 una curva definida enU . Sea (x0, y0) un punto de lacurva tal que g(x0, y0) = 0Se dice que f alcanza un extremorelativo condicionado ag(x, y) = 0 si existe un entorno de(x0, y0) de modo que para todopunto (x, y) perteneciente a dichoentorno tal que g(x, y) = 0 severifica que:

Fuente: Elena Alvarez (2013)

https://personales.unican.es/alvareze/Descartes/

ExtremosCondicionados-JS/index.html

f(x, y) ≤ f(x0, y0) (Maximo relativo), o bien f(x, y) ≥ f(x0, y0) (Mınimo relativo)


https://personales.unican.es/alvareze/Descartes/ExtremosCondicionados-JS/index.html

https://personales.unican.es/alvareze/Descartes/ExtremosCondicionados-JS/index.html




Multiplicadores de Lagrange

Para encontrar la curva adecuadase usa la idea de que dos curvasson tangentes en un punto si y solosi sus vectores gradiente sonparalelos, y por lo tanto:

∇f(x, y) = λ∇g(x, y)

Al escalar λ se le conoce comomultiplicador de Lagrange

Source: https://en.wikipedia.org/wiki/

Lagrange_multiplier#/media/File:

LagrangeMultipliers2D.svg

Teorema de Lagrange

Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas (tipo C1), ytales que f tiene un extremo en un punto (x0, y0) sobre la curva suave derestriccion g(x, y) = c. Si ∇g(x0, y0) 6= 0, entonces existe un λ ∈ R tal que:

∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)


https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier#/media/File:LagrangeMultipliers2D.svg






Multiplicadores de Lagrange

Metodo de los multiplicador es de Lagrange

Sean f y g funciones que satisfacen las hipotesis del Teorema de Lagrange, ysea f una funcion que tiene un maximo o un mınimo sujeto a la restricciong(x, y) = c. Para hallar el mınimo o el maximo de f , se siguen los siguientespasos:

1 Resolver simultaneamente las ecuaciones ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) yg(x, y) = c, resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:

fx(x, y) = λgx(x, y)fy(x, y) = λgy(x, y)g(x, y) = c

2 Evaluar f en cada punto solucion obtenido en el primer paso. El valormayor da el maximo de f sujeto a la restriccion g(x, y) = c, y el valormenor da el mınimo de f sujeto a la restriccion g(x, y) = c





Ejemplos

1 Hallar el valor maximo de f(x, y) = 4xy donde x > 0 y y > 0,

sujeto a la restriccionx2

32+

y2

42= 1

2 Encuentra los extremos de la funcion f(x, y) = 49− x2 − y2

sujetos a la condicion x+ 3y − 10 = 0


función de varias variables: máximos, mínimos y puntos de

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