aplicaciones de mínimos y máximos en la ingeniería civil 2

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Calculo II

INTRODUCCIONLos futuros ingenieros civiles deben tener dominio de estos conceptos mecánicos que sustentan los sistemas de la ingeniería y usar adecuadamente modelos matemáticos para analizar y predecir el comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional.

COMPETENCIAS

- Analizar todo tipos de métodos de derivadas parciales la mecánica de los fluidos- Interpretar los métodos y procedimientos utilizados en la solución de problemas prácticos de Ingeniería Civil mediante la Teoría aplicaciones de derivadas parciales en la ingeniería civil.

Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página


Calculo II

APLICACIONES DE MÍNIMOS Y MÁXIMOS EN LA INGENIERÍA CIVIL

1. Aplicacionesde MáximosyMínimos

Los puntos máximos y mínimos locales de la gráfica de una función son lugares donde

la curva adopta una forma transitoriamente horizontal, más o menos como una carretera

que va subiendo a una montaña, cuando alcanza la cima, al menos una pequeña

sección de la carretera queda totalmente horizontaly lo mismo ocurre en los valles.

Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones se pueden

aplicar a la solución de algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden

expresarse verbalmente o por escrito. Para resolverlos hay que transformar sus

enunciados en formulas, funciones o ecuaciones. Como hay muchos tipos de

problemas en las aplicaciones, es difícil enunciar reglas específicas para encontrar

sus soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para

abordar tales problemas

2.



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2. Aplicaciones en las ramas de ingeniería civil

Dentro de las aplicaciones del cálculo

vectorial a la ingeniería civil, es posible

encontrar numerosos ejemplos en

Latinoamérica, en especial en la parte

geométrica. A manera de ejemplo, se puede

nombrar la optimización del área agrícola en

los andenes incas, donde se presenta

claramente un ejemplo de curvas de

contorno y de maximización del área.

También se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la

construcción de caminos a través de pasos de montañas, aquí se puede ver una clara

influencia y utilización de los mínimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e

importante saber y tener en cuenta que las matemáticas son una creacion de la

humanidad y por lo tanto sus usos están completamente dirigidos al provecho de la

humanidad.

A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemática en la

civilización egipcia para la construcción de inmensos e imponentes monumentos. En el

continente americano, especialmente en las culturas prehispánicas utilizaron la

geometría en gran cantidad por ejemplo en la construcción o creacion de los andenes

incas o las pirámides mayas.

En la realidad de nuestra cotidianidad las matemáticas en general tienen innumerables

aplicaciones pero el problema radica en que en las cátedras donde se enseñan las

matemáticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun así como en todo

no se debe generalizar en ningún momento y hay numerosos ejemplos de educadores

que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando a una realidad muy cercana

a él.



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2.1Transportes:Rama de la ingeniería

DISEÑO DE CARRETERAS

En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se

encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente, en la

curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se

compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transición y la

curva como tal.

FUNCIÓN:

El objetivo principal de las curvas de transición consiste en evitar varias

discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las curvas de

transición deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de estética de toda

la carretera

VALORES MAXIMOS:

Es recomendable que los valores mínimos dados no se excedan considerablemente, de

hecho, el máximo factor para excederse es de 1.5.

En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura y

derivadas parciales de (máximos y mínimos) en la vida real.

Puente JuscelinoKubitschek, Brasilia

(Brasil). Aquí se puede observar una

calada con curvas consecutivas muy

complicadas, donde su diseño tuvo

que haber tenido en cuenta las

numerosas curvaturas en la calzada de

tal manera que no se excedan los

valores máximos planteados por la reglamentación.

Las altas velocidades de los automóviles, unidas a unas curvaturas en las

carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en

estos trazados.


http://calculovectorial57.blogspot.com/2008/09/diseo-de-carreteras.html


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Construcción de una carretera. Antes de

iniciar un proceso constructivo de una

carretera, es necesario que se lleven a cabo

una gran cantidad de estudios que

conllevaran posteriormente a un diseño

preliminar. En este diseño la curvatura juega

un papel muy importante para garantizar la

suficiente seguridad al conductor.

ANDENES INCAS

Andenes incas ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio

geométrico que debió tener lugar

durante su diseño y construcción.

La civilización inca es conocida por

muchas características que la han

hecho cada vez más famosa, pero

quizá uno de sus principales logros fue

la erradicación del hambre por medio

de innumerables técnicas e

investigaciones en el área de la

biología. Los incas aprovecharon en gran cantidad las montañas secas y rocosas de las

que se componía su territorio para construir varios andenes o terrazas que sirvieran

como apoyo a sus cultivos agrícolas.

Para conseguir la construcción de estas estructuras fue necesario un trabajo y un

desarrollo tecnológico muy extenso, ya que debieron construir en primer lugar varios

muros de contención, los cuales posteriormente debieron ser llenados con piedras o

arena para posteriormente colocar en la parte superior una capa de tierra lo

suficientemente fértil.


http://calculovectorial57.blogspot.com/2008/09/andenes-incas.html


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Por otro lado, con el fin de mantener la humedad en el terreno para así mantener la

fertilidad del mismo, era necesario ubicar una capa de arcilla entre la capa fértil y el

terreno infértil del fondo. Los incas utilizaron también muchos fertilizantes para mantener

la fertilidad de sus terrenos.

Los andenes incas son un gran ejemplo del estudio de curvas de

contorno. Por ejemplo, podríamos imaginar una colina de forma

cónica donde la base se encuentra definida por la ecuación:

El vértice del cono de la colina se encuentra ubicado a 5 unidades

del origen, al ubicarlo en el sistema cartesiano. Por otro lado,

teniendo en cuenta que la simetría se mantiene entre la curva

de la base y el origen, entonces la ecuación que describe la

superficie de la colina podría ser:

Superficie original dibujada con el programa Maple.

Teniendo en cuenta esto, podemos definir la curva de contorno de nivel como:

Donde:

z=f(x,y) Es la superficie original en coordenadas cartesianas.

K es un número real.

Cuando se proyectan las curvas de contorno sobre la superficie

original, se puede encontrar un gráficomás aproximado de la

situación real.

Superficie con las curvas de contorno proyectadas.

2.2 Hidrología: Rama de la ingeniería



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Problemas de aplicaciones de máximos y mínimos

En esta sección se muestra cómo usar la primera y segunda derivada de una función en la búsqueda de valores extremos en los llamados: “problemas de aplicaciones” o “problemas de optimización”. Aunque los ejemplos son esencialmente geométricos, ellos ilustran un procedimiento general.

Antes de enumerar los pasos que se deben seguir al abordar problemas que incluyen extremos absolutos, se enuncia sin demostración, un teorema, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar, de una manera más fácil, si un punto crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

TEOREMA 1 (Criterio de la segundaderivada para extremos relativos)

Sea f unafuncióndosvecesderivableenunintervaloabierto I, sea c unpuntode I,tal que f'(c)0. Entonces:i. Si ii. Si

f''(c)f''(c)

0, entonces, f presenta un máximo relativo en c.0, entonces, f presenta un mínimo relativo en c.

Observación:

Si f''(c) 0,entonces,lanaturalezadelpuntocrítico c noquedadeterminada,como lo ilustran los siguientes casos:

Lafunción, f(x)=x4, satisface: f’(0)=0 y f’’(0)=0. Sinembargo,f(x)presenta un mínimo relativo en x = 0(fig. 4.21 (a)).

2.2.1 CANALES ABIERTOS

Aplicarlasderivadasparadeducirunafórmula degranempleoenelanálisisde canalesabiertos

Laaplicaciónse daenlalínea deaguas,másespecíficamente,eneldiseñodecanales.

PLANTEAMIENTODELPROBLEMA

Sesabe quelaecuaciónde energíaespecíficade unflujoenuncanal



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abiertodesección rectangulareslasiguiente:

Donde

Yeslaprofundidaddelflujoenelcanal

g eslaaceleracióndegravedadqeselcaudal porunidaddeancho,es decir, la cantidaddeaguaque pasaenrelaciónal tiempoy al anchodelcanal

Encuentre unaexpresión quemuestreel valordey paraquelaenergíaespecificasealamínima

Solución

Derivamosrespectoay,

Igualandoladerivadaa0y despejandoytenemos

2.2.1 ALMACENAIENTO DE AGUAS

Aplicarlasderivadasparaencontrarlasdimensionesde untanqueoptimizandoel gastodematerial

Construiruntanque de almacenamientoquetenga cierta capacidadoptimizandolasdimensiones constructivas.

PLANTEAMIENTODELPROBLEMASedeseaconstruiruntanquecilíndricoen elquelabaseylaparedtienenelmismoespesor(e)y



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sonhechosdelmismomaterial.Sielvolumenquedebetenereltanqueesde100 ,encuentre elradioen labaseparaelcualseconstruyeuntanqueconestacapacidadgastandoelmínimo material posible.

El volumendelcilindroestádadoporlasiguienteformula:

Ahorabienel gastodematerial,depende delasiguientefunción:

Igualamosladerivadaa 0,

Esdecir, conesteradioobtenemosel material mínimoparala construccióndeestetanque.

2.2.1.1 EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN



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CONCLUSIONES

Es de suma importancia conocer como es la aplicación de derivadas parciales máximos y mínimos dentro de nuestra carrera dado que en futuro nos servirá para posteriores trabajos dentro del campo profesional así como nos brinda conocimientos y una formación en relación del cálculo vectorial aplicado a la ingeniería.



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