UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
INTRODUCCIONLos futuros ingenieros civiles deben tener dominio de estos conceptos mecánicos que sustentan los sistemas de la ingeniería y usar adecuadamente modelos matemáticos para analizar y predecir el comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional.
COMPETENCIAS
- Analizar todo tipos de métodos de derivadas parciales la mecánica de los fluidos- Interpretar los métodos y procedimientos utilizados en la solución de problemas prácticos de Ingeniería Civil mediante la Teoría aplicaciones de derivadas parciales en la ingeniería civil.
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
APLICACIONES DE MÍNIMOS Y MÁXIMOS EN LA INGENIERÍA CIVIL
1. Aplicacionesde MáximosyMínimos
Los puntos máximos y mínimos locales de la gráfica de una función son lugares donde
la curva adopta una forma transitoriamente horizontal, más o menos como una carretera
que va subiendo a una montaña, cuando alcanza la cima, al menos una pequeña
sección de la carretera queda totalmente horizontaly lo mismo ocurre en los valles.
Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones se pueden
aplicar a la solución de algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden
expresarse verbalmente o por escrito. Para resolverlos hay que transformar sus
enunciados en formulas, funciones o ecuaciones. Como hay muchos tipos de
problemas en las aplicaciones, es difícil enunciar reglas específicas para encontrar
sus soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para
abordar tales problemas
2.
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
2. Aplicaciones en las ramas de ingeniería civil
Dentro de las aplicaciones del cálculo
vectorial a la ingeniería civil, es posible
encontrar numerosos ejemplos en
Latinoamérica, en especial en la parte
geométrica. A manera de ejemplo, se puede
nombrar la optimización del área agrícola en
los andenes incas, donde se presenta
claramente un ejemplo de curvas de
contorno y de maximización del área.
También se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la
construcción de caminos a través de pasos de montañas, aquí se puede ver una clara
influencia y utilización de los mínimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e
importante saber y tener en cuenta que las matemáticas son una creacion de la
humanidad y por lo tanto sus usos están completamente dirigidos al provecho de la
humanidad.
A manera de ejemplo, podemos recalcar la importancia que tuvo la matemática en la
civilización egipcia para la construcción de inmensos e imponentes monumentos. En el
continente americano, especialmente en las culturas prehispánicas utilizaron la
geometría en gran cantidad por ejemplo en la construcción o creacion de los andenes
incas o las pirámides mayas.
En la realidad de nuestra cotidianidad las matemáticas en general tienen innumerables
aplicaciones pero el problema radica en que en las cátedras donde se enseñan las
matemáticas, se hace desde una realidad muy lejana de la local. Aun así como en todo
no se debe generalizar en ningún momento y hay numerosos ejemplos de educadores
que hacen un muy gran esfuerzo por aterrizar al educando a una realidad muy cercana
a él.
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
2.1Transportes:Rama de la ingeniería
DISEÑO DE CARRETERAS
En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del cálculo vectorial se
encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente, en la
curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se
compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transición y la
curva como tal.
FUNCIÓN:
El objetivo principal de las curvas de transición consiste en evitar varias
discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta esto, las curvas de
transición deben cumplir con las mismas condiciones de seguridad y de estética de toda
la carretera
VALORES MAXIMOS:
Es recomendable que los valores mínimos dados no se excedan considerablemente, de
hecho, el máximo factor para excederse es de 1.5.
En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura y
derivadas parciales de (máximos y mínimos) en la vida real.
Puente JuscelinoKubitschek, Brasilia
(Brasil). Aquí se puede observar una
calada con curvas consecutivas muy
complicadas, donde su diseño tuvo
que haber tenido en cuenta las
numerosas curvaturas en la calzada de
tal manera que no se excedan los
valores máximos planteados por la reglamentación.
Las altas velocidades de los automóviles, unidas a unas curvaturas en las
carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en
estos trazados.
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
Construcción de una carretera. Antes de
iniciar un proceso constructivo de una
carretera, es necesario que se lleven a cabo
una gran cantidad de estudios que
conllevaran posteriormente a un diseño
preliminar. En este diseño la curvatura juega
un papel muy importante para garantizar la
suficiente seguridad al conductor.
ANDENES INCAS
Andenes incas ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio
geométrico que debió tener lugar
durante su diseño y construcción.
La civilización inca es conocida por
muchas características que la han
hecho cada vez más famosa, pero
quizá uno de sus principales logros fue
la erradicación del hambre por medio
de innumerables técnicas e
investigaciones en el área de la
biología. Los incas aprovecharon en gran cantidad las montañas secas y rocosas de las
que se componía su territorio para construir varios andenes o terrazas que sirvieran
como apoyo a sus cultivos agrícolas.
Para conseguir la construcción de estas estructuras fue necesario un trabajo y un
desarrollo tecnológico muy extenso, ya que debieron construir en primer lugar varios
muros de contención, los cuales posteriormente debieron ser llenados con piedras o
arena para posteriormente colocar en la parte superior una capa de tierra lo
suficientemente fértil.
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
Por otro lado, con el fin de mantener la humedad en el terreno para así mantener la
fertilidad del mismo, era necesario ubicar una capa de arcilla entre la capa fértil y el
terreno infértil del fondo. Los incas utilizaron también muchos fertilizantes para mantener
la fertilidad de sus terrenos.
Los andenes incas son un gran ejemplo del estudio de curvas de
contorno. Por ejemplo, podríamos imaginar una colina de forma
cónica donde la base se encuentra definida por la ecuación:
El vértice del cono de la colina se encuentra ubicado a 5 unidades
del origen, al ubicarlo en el sistema cartesiano. Por otro lado,
teniendo en cuenta que la simetría se mantiene entre la curva
de la base y el origen, entonces la ecuación que describe la
superficie de la colina podría ser:
Superficie original dibujada con el programa Maple.
Teniendo en cuenta esto, podemos definir la curva de contorno de nivel como:
Donde:
z=f(x,y) Es la superficie original en coordenadas cartesianas.
K es un número real.
Cuando se proyectan las curvas de contorno sobre la superficie
original, se puede encontrar un gráficomás aproximado de la
situación real.
Superficie con las curvas de contorno proyectadas.
2.2 Hidrología: Rama de la ingeniería
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
Problemas de aplicaciones de máximos y mínimos
En esta sección se muestra cómo usar la primera y segunda derivada de una función en la búsqueda de valores extremos en los llamados: “problemas de aplicaciones” o “problemas de optimización”. Aunque los ejemplos son esencialmente geométricos, ellos ilustran un procedimiento general.
Antes de enumerar los pasos que se deben seguir al abordar problemas que incluyen extremos absolutos, se enuncia sin demostración, un teorema, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar, de una manera más fácil, si un punto crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.
TEOREMA 1 (Criterio de la segundaderivada para extremos relativos)
Sea f unafuncióndosvecesderivableenunintervaloabierto I, sea c unpuntode I,tal que f'(c)0. Entonces:i. Si ii. Si
f''(c)f''(c)
0, entonces, f presenta un máximo relativo en c.0, entonces, f presenta un mínimo relativo en c.
Observación:
Si f''(c) 0,entonces,lanaturalezadelpuntocrítico c noquedadeterminada,como lo ilustran los siguientes casos:
Lafunción, f(x)=x4, satisface: f’(0)=0 y f’’(0)=0. Sinembargo,f(x)presenta un mínimo relativo en x = 0(fig. 4.21 (a)).
2.2.1 CANALES ABIERTOS
Aplicarlasderivadasparadeducirunafórmula degranempleoenelanálisisde canalesabiertos
Laaplicaciónse daenlalínea deaguas,másespecíficamente,eneldiseñodecanales.
PLANTEAMIENTODELPROBLEMA
Sesabe quelaecuaciónde energíaespecíficade unflujoenuncanal
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
abiertodesección rectangulareslasiguiente:
Donde
Yeslaprofundidaddelflujoenelcanal
g eslaaceleracióndegravedadqeselcaudal porunidaddeancho,es decir, la cantidaddeaguaque pasaenrelaciónal tiempoy al anchodelcanal
Encuentre unaexpresión quemuestreel valordey paraquelaenergíaespecificasealamínima
Solución
Derivamosrespectoay,
Igualandoladerivadaa0y despejandoytenemos
2.2.1 ALMACENAIENTO DE AGUAS
Aplicarlasderivadasparaencontrarlasdimensionesde untanqueoptimizandoel gastodematerial
Construiruntanque de almacenamientoquetenga cierta capacidadoptimizandolasdimensiones constructivas.
PLANTEAMIENTODELPROBLEMASedeseaconstruiruntanquecilíndricoen elquelabaseylaparedtienenelmismoespesor(e)y
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
sonhechosdelmismomaterial.Sielvolumenquedebetenereltanqueesde100 ,encuentre elradioen labaseparaelcualseconstruyeuntanqueconestacapacidadgastandoelmínimo material posible.
El volumendelcilindroestádadoporlasiguienteformula:
Ahorabienel gastodematerial,depende delasiguientefunción:
Igualamosladerivadaa 0,
Esdecir, conesteradioobtenemosel material mínimoparala construccióndeestetanque.
2.2.1.1 EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
CONCLUSIONES
Es de suma importancia conocer como es la aplicación de derivadas parciales máximos y mínimos dentro de nuestra carrera dado que en futuro nos servirá para posteriores trabajos dentro del campo profesional así como nos brinda conocimientos y una formación en relación del cálculo vectorial aplicado a la ingeniería.
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página
UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Calculo II
Bibliografíablogspot. (marzo de 2007). Obtenido de blogspot: http://ricardovazcalculo.blogspot.com/
ingenierocivilinfo. (octubre de 2010). Obtenido de ingenierocivilinfo: http://www.ingenierocivilinfo.com/2010/10/propiedades-del-acero.html
apuntesingenierocivil.blogspot. (marzo de 2011). Obtenido de apuntesingenierocivil.blogspot.: http://apuntesingenierocivil.blogspot.com/2011/03/limites-de-atterberg-ensayo-limite.html
viceacad. (octubre de 2012). Obtenido de viceacad: http://www.ing.unal.edu.co/viceacad_/images/stories/viceacad/programas/tutorias/Ejercicios_Ing_Civil_-_2012-1.pdf
Nash, W. (2007). Resistencia de materiales. Mexico D.F: Mc Graw-Hill.
Singer, F. (2006). Resistencia de materiales. California: Harpes & Raw.
young, S. T. (2003). Elementos de resistencia de materiales. Buenos Aires: Montaner y Simon.
Sharon Adriana Leiva MarinCód.: 013200135-C Página