Matrices circulantesFiordelisi LucasGatts SamirMattan Juan CruzUllmann GustavoIntroduccin terica Dado un vector, de dimensin n, la matriz circulanteasociada est descrita por la forma e!"#servando la matriz del e!emplo $ podemos conocer al%unas de las caracter&sticas de estasLas dia%onales ' sus paralelas se forman con el mismo n(meroLa suma de cada fila ' columna da el mismo resultado, i%ual a la suma del vector %eneradorde la matriz

Caracter&sticas %eneralesSiendo ) ' $ de orden *, la suma de )+$ es,l producto por un escalar,l producto entre ) ' $La transpuesta de )La inversa de )-ropiedadesLa suma entre matrices circulantes, el producto de una matiz por un escalar, el producto entre matrices, la traspuesta ' la inversa de una matrizcirculante dan siempre como resultado otra matriz circulante.-or cumplirse el a/ioma de la suma ' producto por un escalar de matrices circulantes, decimos 0ue el con!unto de matrices circulantes de orden n forman un su#1espacio de las matrices cuadradas de orden n / n 2a&ces de la unidadLa ra&z n de 3 son n resultados diferentes-ara cual0uier n la primera ra&z es 3-ara n 4 5 se tendrn ra&ces reales ' comple!as con!u%adas eConsiderando la unidad como el numero comple!o z6 3+7i dondela ra&z de un numero comple!o esta dada porDonde cada ra&z estar aradianes de la ra&z anterior8alores propios)6-odemos o#servar 0ue el primer autovalor es %enerado tanto por la suma de los elementos de la filas como por los de las columnas de la matriz circulante ) ) continuacin mostraremos una particularidad 0ue presentan los valores propios de estas matrices -odemos ver 0ue cada uno de los valores propios de )puedenser o#tenidos a partir depolinomios, en los cuales los coeficientes son las componentes del vector 0ue %enera a la matriz circulante ' se encuentran evaluados en cada ra&z de la unidadGeneralizando los autovalores de una matriz circulante C%enerada por un vector se pueden e/presar comoDonde losson las n ra&ces de la unidad, numeradas en sentido anti9orario a partir de la ra&z 3 en el circulo comple!o8ectores propiosLos espacios de los vectores propios podemos o#tenerlos de la ecuacin"#tenemos los autovectores para la matriz ) utilizadaanteriormente -ara el autovector es -arael autovector es-ara el autovector esSi prestamos atencin a los vectores propios o#tenidos podemos ver 0ue estos estn formados por la ra&z de la unidad correspondiente a la dimensin de la matriz, elevada a distintas potencias,ntonces el autovector de una matiz circulante n / n es Como conclusin respecto a los valores ' vectores propios para matrices circulantes, podemos decir 0ue estos son mu' sencillos de calcularSlo es necesario plantear polinomios con las componentes del vector como coeficientes, evaluando el polinomio en cada ra&z de la unidad se tendr cada autovalor.,l autovector asociado a cada autovalor es el mismo polinomio pero con coeficientes i%ual a 3 ' con cada sumando como una componente del vector. 2elacin con la matriz de Fourier:ransformada de Fourier{ }3; < ; < .5if t f t e d= { } ; < ; .LaLa matriz de Fourier es tam#i?n una matriz de 8andermondeLa matriz de Fourier es orto%onalLa matriz de Fourier puede transformarse en ortonormal dividiendo por La matriz de Fourier ortonormal tiene como inversa slo su con!u%ada, su determinante es 3, sus valores propios slo pueden valer 3,13,i,1iSi se analiza un poco la e/presin de la matriz de Fourier se puede apreciar 0ue las columnas son los vectores propios de una matriz circulante de orden n, por ende todas las matrices circulantes son dia%onalizadas por F ' sus autovalores son los elementos de la dia%onal de la matriz dia%onalizada,!emplo dada la matriz )6-remultiplicando por la inversa de F ' postmultiplicando por F o#tenemos los autovalores de ) "tra forma interesante de o#tener los autovalores es multiplicar el vector fila 0ue %enera a la matriz circulante por FConvolucin es una de las operaciones matemticas avanzadas ms importantes. -ara el caso de la convolucin entre dos vectores el resultado es otro vector de la si%uiente forma,ste vector de convolucin se puede e/presar como el producto de una matriz por un vector, ' la matriz asociada al vector ' es una matriz circulante, en este caso est dada por la primera columna.6@7@@@3@@@5@@@@5@@@3@@@@@3@@@7@@@3@@@@*@@@5@@@@@5@@@3@@@7@ @ @@A@@@*@@@@@ @@ @@@@ @@@@5 @@@*@@@A@ @@@7 @@@3@@@@@@3 @@@5@@@*@ @ @@3@@@7@@@@@@@7@@@3@@@5@@@@5@@@3@@@@@Donde 6@., por lo tanto es la :ransformada Discreta de Fourier de z6;