DEFINICIÓN DE MATRÍZ

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

A = (ai,j)=

MATRIZ: EJEMPLO

Aquí se muestra una matriz

÷÷÷

2 1 1

1 1 1

1 1 0

EXPRESIÓN MATRICIAL: EJEMPLO

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =

2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =

2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial:

2 5 –3

1 –4 1

x

y z

=

1

– 2

−=+=−+

2 z 4y - x

1352 zyxEl sistema

1 2 4

2 3 5

4 5 -1

0 2 -4

-2 0 3

4 -3 0

• Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )

• Matriz columna: A =

2

4 6

jiij aa =

Diagonalsecundaria

Diagonal principal

• Matriz cuadrada: A=

1 3 5

2 4 6 1 1 1

• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que:

CLASIFICACIÓN DE MATRICES: FORMA

jiij -aa =

⇒ A = AT

⇒ A = –AT

CLASIFICACIÓN DE MATRICES: ELEMENTOS

• Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.

• Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.

• Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.

• Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

• Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1.

33

000

000

000

O

×

=

23

00

00

00

O

×

=

−=

400

320

631

T

−=

100

030

002

D

=

100

010

001

I3

=

200

020

002

A

−=

453

023

001

T

OPERACIONES CON MATRICES

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número

Producto de matrices

Matrices inversibles

Propiedades simplificativas

OPERACIONES CON MATRICES I

1.- Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:

1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At)t = A.

MATRIZ TRASPUESTA: EJEMPLO Y PROPIEDADES

I. Para la matriz A, (At)t = A

II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt

III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At

IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At

V. Si A es una matriz simétrica, At = A

Propiedades:

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Ejemplo: Si A =

1 2 3

4 5 6 entonces At =

1 4

2 5 3 6

OPERACIONES CON MATRICES II

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz

S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (a ij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

2.- Suma y diferencia de matrices

Sin embargo, no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

SUMA DE MATRICES: EJ DE ORDEN 3

Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)

A + B = (aij ) + (bij ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

+

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa: A + B = B + A

• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

OPERACIONES CON MATRICES III

k . A = k . (aij) = k·

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33

= (kaij)

3.- Producto de un número por una matriz

PROPIEDADES CON LA SUMA Y EL PRODUCTO POR UN NÚMERO

• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

• Elemento neutro: 1 · A = A

• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

OPERACIONES CON MATRICES IV

4.- Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que

deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p,

no se pueden multiplicar

Ejemplos:

Pij = ∑ aik · bkj con k=1,….n