materia doctoral ii: introducción a la física del plasma

INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL PLASMA

Javier García Molleja

Doctorado

Índice

I Descripción de la asignatura 7

II Resumen de la asignatura 10

1. La teoría cinética de gases 111.1. Medida del alto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Funciones de distribución de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Funciones de distribución de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. Funciones de distribución de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Colisiones entre partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Colisiones elásticas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Colisiones inelásticas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3. Interacciones heterogéneas en la superficie . . . . . . . . . . . . . . 141.3.4. Regímenes colisionales del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Características cinéticas en el modelo de esferas duras . . . . . . . . . . . . 141.4.1. Parámetros colisionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2. Flujo de partículas sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3. Flujo de potencia sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Fenómenos de transporte directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1. Transporte difusivo de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2. Transporte de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3. Transporte de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.4. Transporte de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

2. Movimiento de cargas en campos eléctricos y magnéticos 172.1. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. El electrón-voltio como unidad de energía . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2. Generador de Van de Graff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos . . . . . . . . . . 182.2.1. Dinámica magnética de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Trayectoria de partículas en campos magnéticos . . . . . . . . . . . 182.2.3. Separación electromagnética de isótopos . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos esta-cionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.1. Dinámica de partículas de campos cruzados . . . . . . . . . . . . . 192.3.2. Velocidad de deriva en campos cruzados . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3. Calentamiento magnetoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4. El flujímetro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.5. Espectrógrafo de masas de Bainbridge . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos lenta-mente variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.1. Calentamiento resonante por radio frecuencia . . . . . . . . . . . . 222.4.2. Espejos y boquillas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.3. Confinamiento magnético de plasmas industriales . . . . . . . . . . 23

2.5. Movimiento relativista de partículas cargadas . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.1. Transformaciones de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3. Cinemática en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.4. Transformación de Lorentz de campos eléctrico y magnético . . . . 262.5.5. Dinámica en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.6. Energía de una partícula en relatividad especial . . . . . . . . . . . 26

2.6. Teoría de diodos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6.1. Características del diodo planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6.2. Operación en el límite de vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6.3. Flujo de corriente limitada por la distribución espacial de carga . . 272.6.4. Diodos planares limitados por la distribución espacial de carga . . . 27

2.7. Diodo planar relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7.1. Características del diodo relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7.2. Flujo de corriente limitado por la distribución espacial de carga . . 282.7.3. Ley de Child relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8. Teoría de diodos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8.1. Características del diodo cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8.2. Operación en el límite del vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8.3. Flujo de corriente cilíndrica limitada por la distribución espacial de

carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2

2.8.4. Operación de diodos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Características del plasma 293.1. Propiedades másicas del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1. Resistividad y conductividad eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2. Movilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.3. Calentamiento óhmico de plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.4. Frecuencia de transferencia de energía . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.5. Ley de Ohm y fuerzas volumétricas en plasmas magnetizados . . . . 31

3.2. Cuasi-neutralidad del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3. Ecuación electrostática de Boltzmann (barométrica) . . . . . . . . . . . . . 323.4. Vainas electrostáticas simples del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5. Frecuencia del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6. La ecuación de Saha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7. Transporte difusivo en plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7.1. Ley de Fick de la difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7.2. Tiempo de confinamiento de plasmas dominados por difusión . . . . 353.7.3. Coeficiente de difusión en un plasma no magnetizado . . . . . . . . 363.7.4. Difusión clásica en un plasma magnetizado . . . . . . . . . . . . . . 363.7.5. Movilidad en un plasma magnetizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7.6. Relación de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7.7. Coeficiente de difusión de Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7.8. Difusión ambipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.8. Frecuencia electrónica de colisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8.1. Clasificación de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8.2. Datos tabulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9. Descarga eléctrica a baja presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9.1. Geometría clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9.2. Característica tensión-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.10. Fuentes de potencia para plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.10.1. Regímenes de frecuencia de fuentes de potencia . . . . . . . . . . . 393.10.2. Disponibilidad de fuentes de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.10.3. Tecnología de la fuente de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.10.4. Coste relativo de la entrada de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 393.10.5. Imposiciones operacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Descargas electrónicas oscuras en gases 394.1. Ionización de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Régimen de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Descarga Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1. Crecimiento de la corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4.3.2. Primer coeficiente de ionización de Townsend . . . . . . . . . . . . 414.3.3. Medición de α

py E

p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.4. Punto de Stoletow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4. Descargas corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4.1. Fenomenología de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.2. Aplicaciones de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.3. Efectos detrimentales de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5. Fuentes de coronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.1. Corona de un punto abrupto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.2. Corona de un cable o borde fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.3. Configuraciones generadoras de coronas . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.4. Apantallamiento de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.5. Características eléctricas de las coronas . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6. Ruptura eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.1. Corriente en la descarga de Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.2. Segundo coeficiente de ionización de Townsend . . . . . . . . . . . . 474.6.3. Criterio de Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.4. Potencial mínimo de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.5. La curva de Paschen universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.6. Ruptura a altas presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Descargas eléctricas glow DC en gases 495.1. Fenomenología de las descargas glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1. Descarga glow normal a baja presión . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.2. Regiones de la descarga glow normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.3. Descargas estriadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1.4. Descargas glow anormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1.5. Descargas obstruidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2. Teoría de las descargas glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.1. Teoría de Townsend de la región catódica . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.2. Plasmas lorentzianos no magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.3. Plasmas lorentzianos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3. Condición de Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.1. Te de la conservación de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.2. ne de la conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.3. Distribución de potencia en descargas glow DC . . . . . . . . . . . 565.3.4. Relaciones de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4. Teoría de las estrías móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.1. Características de la descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.2. Ecuaciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.3. Relación de dispersión para estrías móviles . . . . . . . . . . . . . . 57

4

5.5. Teoría de las vainas de plasma DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5.1. Aproximación de vaina a baja tensión DC . . . . . . . . . . . . . . 585.5.2. Modelo de Bohm de la vaina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5.3. Vainas de alta tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5.4. Vainas «matriz» transitorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5.5. Vainas de ley de Child . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6. Fuentes de plasma de descarga glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.1. Fuentes de descarga glow cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.2. Fuentes de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.3. Fuentes de haz plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.4. Fuentes de plasma de bombardeo electrónico . . . . . . . . . . . . . 625.6.5. Fuentes de plasma de descarga Penning . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.6. Fuentes de plasma de magnetrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.7. Características de los reactores de descarga glow . . . . . . . . . . . . . . . 635.7.1. Comparativa de características de operación . . . . . . . . . . . . . 635.7.2. Variables de control para descargas glow . . . . . . . . . . . . . . . 635.7.3. Ejemplos de descargas glow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.8. Cuestiones en la física de descarga glow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6. Descargas eléctricas de arco DC en gases 646.1. Régimen de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.1. Características tensión-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.2. Rangos de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2. Fenomenología de los arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.1. Nomenclatura clásica del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.2. Nomenclatura moderna del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3. Procesos físicos en arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3.1. Fuerzas volumétricas sobre arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3.2. Formación del chorro del electrodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3.3. Radiación de arcos térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3.4. Modelado de arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4. Ejemplos de operación de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.1. Arco no térmico de H. Ayrton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.4.2. Campo eléctrico axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.4.3. Arco térmico de Eberhart y Seban . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5. Fuentes de potencia para arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5.1. Fuentes de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5.2. Estabilización eléctrica de arcos no térmicos . . . . . . . . . . . . . 70

6.6. Mecanismos de iniciación para arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.7. Configuraciones aplicadas de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.7.1. Arcos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5

6.7.2. Arcos de expansión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7.3. Arcos rotatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.8. Cuestiones en física de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6

Parte I

Descripción de la asignaturaEl libro de referencia que se utilizó en el dictado de la asignatura fue: Roth J.R.:

Industrial Plasma Engineering. Volume 1: Principles ; Ed. IOP Publishing (1995).La asignatura trata de manera teórica todos los fundamentos de la física del plasma:

teoría cinética de los gases; movimiento de cargas en campos eléctricos y magnéticos;características macroscópicas del plasma; haces y fuentes de electrones, de iones y defotones; regímenes de las descargas eléctricas DC en gases (oscura, glow y arco); descargaseléctricas RF en gases (inductivas y capacitivas), y descargas de microondas. También sedescriben las diferentes configuraciones de los reactores de plasma.

Las fuentes de electrones estudiadas son:

Emisión termoiónica

Emisión fotoeléctrica

Emisión de campo

De cátodo hueco

Emisión secundaria de electrones

Las fuentes de iones son:

Kaufman

Descarga Penning

Haz plasma

Von Ardenne

Freeman

Rayo canal

Pulsadas de chispa

Emisión de campo

Ionización superficial

Las fuentes de fotones son:

Javier García Molleja 7

Ciclotrón

Betatrón

Sincrotrón

Pinzamiento esférico inductivo y resistivo

Plasma focus

Fuentes de descargas corona:

Punto abrupto

Cable o borde fino

Fuentes de descargas glow:

Descarga cilíndrica

Placas paralelas

Haz plasma

Bombardeo electrónico

Descarga Penning

Magnetrón

Fuentes de descarga arco:

Lineales

De expansión

Rotatorios

Fuentes RF inductivas:

Antorcha

Placas paralelas

Rotamak

Toroidales

Fuentes RF capacitivas:

8 Javier García Molleja

De barril

Hexagonal

Plano paralelo

Magnetrón

Electrodos extremales

Cilíndrico

Celda de referencia GEC

Fuentes de microondas:

Resonancia ciclotrónica de electrones (inmerso, distribuido)

No resonantes (flujo continuo, antorcha, distribuido y no resonante)


Parte II

Resumen de la asignaturaEn esta parte se expondrá detalladamente el trabajo de exposición que se llevó a cabo

para aprobar la materia. Los apartados de los que constó el contenido de la asignaturaserán enunciados de la manera más elaborada posible, dentro de la concepción de que serealizó un resumen de la asignatura, no una exposición completa y detallada.


1 LA TEORÍA CINÉTICA DE GASES

1. La teoría cinética de gasesPara comprender los procesos físicos que se dan en el plasma debe estudiarse de manera

microscópica, o sea, a nivel de partículas individuales. La rama física que permite estadescripción es la teoría cinética, que mediante la mecánica estadística se refleja en losprocesos macroscópicos.

1.1. Medida del alto vacío

La medida a bajas presiones se realiza con el torr, mientras que los estudios de altaspresiones utilizan como unidad la atmósfera. La unidad del SI (sistema internacional) esel pascal de dimensiones de N/m2. La relación entre estas unidades es: 760 Torr ≡ 1 atm≡ 101325 Pa. Normalmente, lo que interesa es la densidad numérica del gas de fondo másque el valor de la presión. El cambio de una magnitud a otra es sencillo, si aplicamos laley de los gases ideales: p = nkBT.

1.2. Funciones de distribución de partículas

Las partículas de un plasma no tienen la misma velocidad, ya que al interactuar entresí adoptan una distribución de Maxwell–Boltzmann.

1.2.1. Funciones de distribución de velocidades

En coordenadas cartesianas se puede determinar la función de distribución de v =√v2

x + v2y + v2

z

f(v) =4n√π

(m

2kBT

) 32

v2e− mv2

2kBT

Si el volumen es constante el área encerrada bajo la curva es constante, aunque su formacambie al variar la temperatura. Veamos el valor de los tres primeros momentos

Densidad numérica del gas:∫ ∞

0

f(v) dv = n

Velocidad térmica media: v =1

n

∫ ∞

0

vf(v) dv =

√8kBT

πm

Raíz de la velocidad cuadrática media: vrms =1

n

√∫ ∞

0

v2f(v) dv =

√3kBT

m

Otra velocidad útil es la más probable: vm =√

2kBTm

. Estas velocidades son válidas si ladistribución es maxwelliana.



Figura 1: Esquema de la función de distribución de velocidades de Maxwell–Boltzmanncon la velocidad más probable vm, la velocidad térmica media v y el segundo momento,la raíz de la velocidad cuadrática media vrms indicadas esquemáticamente en la funciónde distribución.

1.2.2. Funciones de distribución de la energía

Si definimos la energía cinética como w ≡ 12mv2, su distribución será también de

Maxwell–Boltzmann:

f(w) =2n√π

√w

(kBT )32

e− w

kBT

La energía más probable es wm = kBT2

y la energía media será

w =1

n

∫ ∞

0

wf(w) dw =3

2kBT

Si la distribución no es maxwelliana se puede definir una temperatura efectiva, que es laque tendría una distribución maxwelliana con igual w que aquélla. Para que la distribuciónsea de Maxwell–Boltzmann el gas debe estar en equilibrio: el termodinámico tiene flujosde energía insignificantes, el trayecto del fotón es menor que las dimensiones del gas yla radiación es la de un cuerpo negro; el cinético se alcanza cuando las colisiones hacenque el gas sea maxwelliano. Debido a las altas temperaturas se escoge como unidad elelectrón-voltio: 1 eV=11604 K.



Figura 2: Esquema de la función de distribución de energías de Maxwell–Boltzmann. Laenergía más probable, en el máximo, es wm = kBT/2 y la energía media es w = 3kBT/2.El área bajo la curva es igual a la densidad numérica de partículas.

1.3. Colisiones entre partículas

Las colisiones que hacen al gas maxwelliano pueden ser binarias o de muchos cuerpos.

1.3.1. Colisiones elásticas binarias

Sólo interaccionan dos partículas. Si es elástica la energía cinética total se conservadurante el proceso. En primera aproximación el proceso se considera de esferas duras enlas que siempre interviene, como mínimo, una partícula neutra. La sección eficaz σ sedefine el área de la sección transversal del blanco efectiva, con radio la suma de los radiosde cada partícula.

Las colisiones de Coulomb se dan cuando interaccionan dos partículas cargadas, dondela fuerza electrostática puede ser repulsiva o atractiva. Normalmente, interaccionan entresí varias cargas a la vez.

1.3.2. Colisiones inelásticas binarias

La energía cinética total se reduce al ocurrir el proceso. Esto puede ocurrir por laexcitación de un neutro o ión; por la disociación de una molécula; por la colisión ionizantede un electrón con un neutro o ión; por la colisión de intercambio de carga entre ión yneutro, o por la recombinación de un electrón y un ión frente a un tercer cuerpo.



1.3.3. Interacciones heterogéneas en la superficie

Ocurren entre diferentes estados de la materia. Casi siempre es el bombardeo departículas sobre una pared, en la que pueden arrancarse electrones o neutros. Tambiénpuede producirse recombinación o catálisis. Si aumenta el número de partículas en lasuperficie se pueden inducir reacciones químicas o la deposición de películas delgadas.

1.3.4. Regímenes colisionales del plasma

El modelo de Lorentz supone que las únicas interacciones son electrón-neutro, dondeel gas de fondo absorbe la energía y el momento. Los iones permanecen en reposo. Elmodelo de Krook parte de lo anterior y además indica que el tiempo efectivo de colisiónes independiente al momento y energía de la partícula. El modelo de Boltzmann–Vlasovdescribe un plasma de alta temperatura en donde los trayectos antes de la colisión sonmayores que las dimensiones del sistema. El modelo de Fokker–Planck analiza que lavelocidad de la partícula en plasmas muy ionizados y turbulentos depende de muchascolisiones débiles.

1.4. Características cinéticas en el modelo de esferas duras

1.4.1. Parámetros colisionales

Si tenemos un gas de partículas inmóviles en donde una partícula de prueba avanza,interaccionará con éstas cuando los centros de cada tipo están a una distancia inferior a lade la suma de los radios de las partículas. De esta manera se irá formando un cilindro conun eje que realizará un movimiento browniano cada vez que exista una colisión. Si hayuna densidad n1 de partículas del gas y una densidad n2 de partículas de prueba y ambasse mueven se puede definir el camino libre medio, que es la distancia promedio recorridaentre colisiones:

λ =v

n1〈σv〉

con 〈σv〉 = 1n

∫∞−∞ σ(v)vf(v) dv



Figura 3: Una partícula de esfera dura de prueba del tipo 2 interactuando elásticamentecon las partículas de esfera dura del fondo del tipo 1. La partícula de prueba colisionarácon todos los átomos de fondo del tipo 1 que yacen en un cilindro de radio 2a en latrayectoria de la partícula de prueba. El área de la sección eficaz del cilindro es σ duranteel proceso.

1.4.2. Flujo de partículas sobre una superficie

Se puede determinar el número de partículas de una corteza hemisférica y cierto in-tervalo de velocidad que colisionan con una pared. Esto dependerá de la componente dela velocidad que apunta a la pared

Γ =1

4nv =

1

4n

√8kBT

πm

1.4.3. Flujo de potencia sobre una superficie

Como las partículas poseen cierta energía calentarán la superficie, luego mediante wy Γ conoceremos la potencia entregada

P = 2kBT Γ =mn

2√

π

(2kBT

m

) 32

La energía media es 2kBT y no 32kBT. Esto se debe a que las partículas más energéticas

golpean a la superficie con mayor frecuencia.

1.5. Fenómenos de transporte directo

1.5.1. Transporte difusivo de partículas

El transporte de partículas se produce por la existencia de un gradiente de densidadnumérica, yendo de mayor a menor concentración. Si λ es mucho menor que la longitud



de escala de densidad característica se verificará la ley de Fick : Γ = nvd = −D∇n, conD el coeficiente de difusión, independiente de la posición

D ≈ 1

3νcλ

2 =1

3vλ =

1

3v2τ

Esto originará un transporte de partículas de tipo fickiano, que no será válido para plasmasturbulentos.

Figura 4: La difusión fickiana hace disminuir el gradiente de la densidad. Arriba: perfil dedensidad; abajo: esquema del flujo de partículas.

1.5.2. Transporte de momento

El momento cambia por un gradiente de densidad, que da origen a una fuerza denom-inada viscosidad, cuyo coeficiente se calcula mediante η = 1

3mvσ

.


2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS

1.5.3. Transporte de energía

Aparece con un gradiente de temperatura, creando una conducción de calor de laszonas de alta temperatura a las de menor. Esto depende de la conductividad térmica:κ = Cv v

3NAσ.

1.5.4. Transporte de carga

Se produce al existir un gradiente de potencial electrostático, creando así una corrienteeléctrica.

2. Movimiento de cargas en campos eléctricos y mag-néticos

Los plasmas responden fuertemente a los campos impuestos, por lo que es interesanteinvestigar las interacciones entre partículas.

2.1. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos

Entre dos electrodos se impone una diferencia de potencial, creando un campo eléctricoque se dirige del ánodo al cátodo: ~E = −~∇V, luego la partícula se ve sometida a una fuerza~F = q ~E. La energía total de movimiento será una magnitud conservada W = 1

2mv2 + qV.

2.1.1. El electrón-voltio como unidad de energía

La unidad de energía, el julio, es demasiado grande para describir partículas individ-uales así que se introduce el electrón-voltio, la energía para que acelere un electrón en unpotencial de un voltio 1 eV = 1,602 · 10−19 J. La energía cinética en eV es igual en valora la tensión requerida para acelerar la partícula desde el reposo. Es necesario considerarel estado de la carga de la partícula.

2.1.2. Generador de Van de Graff

Este aparato produce altos potenciales muy estables. Una corteza esférica hueca esel terminal de alta tensión, situado encima de una columna aislante. Dentro de ella dospoleas mueven una correa en la que se deposita carga que acaba en la corteza esférica,aumentando el potencial. Esto puede servir como acelerador de partículas si se le añadeun tubo al terminal. La aceleración de los iones será causada por la gran diferencia depotencial.



2.2. Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos

El campo magnético se origina al fluir una corriente a través de un conductor. Seestudia con la inducción magnética ~B. La dirección de ~B apunta al polo sur y sale delnorte.

2.2.1. Dinámica magnética de partículas

Una carga sometida a ~B posee la ecuación de movimiento ~F = q(~v × ~B). No seproduce ningún cambio en la energía cinética de la carga al ser perpendiculares entre sí~F , ~v y ~B, sólo cambia la dirección de movimiento. El equilibrio entre la fuerza centrífugay magnética nos dará el radio de giro R = mv

qB, por lo que la trayectoria será circular, con

una girofrecuencia ω = qBm

.

2.2.2. Trayectoria de partículas en campos magnéticos

Si la carga está sometida a un ~B que apunta hacia fuera se moverá circularmente. Sies positiva girará al igual que un reloj y si es negativa en contra del reloj. Si actúa ungradiente hacia arriba la carga se desplazará hacia un lado (dependiendo de su signo), yaque el radio de giro es menor cuando ~B aumenta.

Figura 5: La convención de signos para el movimiento de cargas positivas y negativas enuna inducción magnética que apunta hacia fuera del plano del diagrama. A la derecha semuestra el movimiento de las cargas positivas y negativas en un gradiente magnético.

2.2.3. Separación electromagnética de isótopos

También es llamado Calutrón. Una fuente produce iones que serán acelerados por unadiferencia de potencial. Llegarán a una ranura con igual energía cinética (con diferente m

y v para cada isótopo) tras la cual se impone un ~B que les hará girar. Tras medio ciclollegarán a un detector que debido a la diferencia de masas entre isótopos colisionarán enpuntos diferentes por su radio de giro distinto. La distancia entre los puntos de llegada



será

d =2

B0

√2m1VA

e

(√m2

m1

− 1

)≈ ∆m

B0

√2VA

em1

aproximación válida si m2 = m1 + ∆m.

Figura 6: Dibujo esquemático del separador electromagnético de isótopos Calutrón. Losiones son acelerados a una energía de VA electrón-voltios y se les permite realizar la mitadde una órbita en una cámara evacuada en la cual la inducción magnética posee un valorB0.

2.3. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos ymagnéticos estacionarios

Si la carga está sometida a ambos campos la fuerza sobre ella vendrá dada por laecuación de Lorentz : ~F = q[ ~E + (~v × ~B)].

2.3.1. Dinámica de partículas de campos cruzados

Si la carga se somete a un ~B sobre el eje z junto con un ~E sobre el eje y, dos de lasecuaciones de movimiento estarán acopladas, por consiguiente

x =Eq

mω2(ωt− sen ωt)

y =Eq

mω2(1− cos ωt)

z =vz0t



En el plano xy se describirá una cicloide que se desplaza.

Las velocidades del plano xy serán vy = EB

sen ωt junto con vx = EB

(1− cos ωt).

Figura 7: El movimiento de una carga positiva en unos campos eléctrico y magnéticocruzados, dando una velocidad de deriva promedio de E/B.

2.3.2. Velocidad de deriva en campos cruzados

El valor medio de vy es cero, pero no el de vx, que presenta entonces una velocidadde deriva: vx = vd = E

Bque apunta en la dirección de ~E × ~B. Si ~E|| ~B la partícula será

acelerada mientras se mueve circularmente. Si ~E posee una componente paralela a ~By otra perpendicular existirá un movimiento cíclico en el plano xy más un movimientoacelerado en el eje z.



Figura 8: El movimiento de cargas positivas y negativas en campos eléctrico y magnéticode manera separada, y en campos cruzados eléctrico y magnético. La inducción magnéticaapunta hacia fuera del plano del diagrama. El campo eléctrico apunta verticalmente haciaarriba.

2.3.3. Calentamiento magnetoeléctrico

Con un ~B se pueden confinar los plasmas y con un ~E se mejora el confinamientoaplicado al plasma confinará a los iones cuya velocidad de deriva es vd = E⊥

B. Esta ve-

locidad aumenta la energía de los constituyentes del plasma: W = 12mv2

d = 12m

E2⊥

B2 . Esteconfinamiento puede hacer turbulento al plasma.

2.3.4. El flujímetro electromagnético

Mide la velocidad de fluido conductores en regiones con ~B constante. El plasma pasaentre dos placas separadas d conectadas en un circuito con voltímetro. Normal a las placasy al plasma existe un ~B. Así pues al pasar el plasma entre las placas creará en ~E queevitará el haz se curve, por lo que vx = Vp

dB. Este medio de producción de una tensión de

denomina efecto Hall.

2.3.5. Espectrógrafo de masas de Bainbridge

Una fuente produce iones que entran en una zona con ~E y ~B1 cruzados. Sólo aquellaspartículas con una v determinada atravesarán la zona del selector entrando en el analizadorcon un ~B0 que les hará girar medio ciclo. Variando entonces E detectaremos cargas conmasa diferente: m = ZeB0B1

2EL, donde L es el diámetro del medio ciclo.



Figura 9: Un dibujo esquemático del espectrógrafo de masas de Bainbridge. Hay unafuente de iones energéticos en la parte inferior izquierda.

2.4. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos ymagnéticos lentamente variantes

La inercia de las partículas cargadas es suficientemente pequeña y pueden responderlibremente a las fuerzas ejercidas por los campos.

2.4.1. Calentamiento resonante por radio frecuencia

Los electrones dentro de un ~B realizarán círculos. Si en el plano de giro se aplica unEx = E0 sen ωt cuya frecuencia es idéntica a la de giro se dará una resonancia, siempre ycuando la fase angular θ = ωt permita el aumento de energía. Cuando el electrón apunteen la dirección y el campo eléctrico será nulo (θ = 0, π) y cuando esté en la dirección xel campo será máximo (θ = π

2, 3

2π) apuntando en el sentido opuesto a la velocidad del

electrón, por consiguiente sumando más energía a la partícula.Al ir calentando al plasma el radio de giro aumentará ∆R = πmE0

qB2 y para alcanzar una

energía determinada el número de vueltas necesarias serán N = BπE0

√2m

(W

12⊥ −W

12⊥0

).

El tiempo empleado en conseguir esto debe ser mayor que el tiempo de confinamiento oel de colisión.

2.4.2. Espejos y boquillas magnéticas

Es útil confinar plasmas mediante campos magnéticos. Para que esto sea efectivo elmovimiento de la partícula ha de ser adiabático, o sea, que el radio de giro sea muchomenor que la longitud de escala característica del gradiente. El momento magnético seráentonces constante y valdrá µ ≡ mv2

⊥2B

= W⊥B

.

Un espejo magnético es una barrera magnética de simetría axial con un Bmax en elextremo y un Bmin en la zona del plasma. Conforme la carga se acerca a Bmax los girosserán más pequeños al disminuir v||. En el espacio de velocidades se tiene que v⊥ = v sen θ,



aumentando al acercarse a Bmax. Si en el punto z = z0 se tiene que v|| 6= 0 se perderá lapartícula. Si es cero será reflejada de vuelta a Bmin. En ambos extremos se tendrá que

µ =mv2 sen2 θ

2Bmin

=mv2

2Bmax

con θ el ángulo del cono de escape que señala a las partículas que llegarán a Bmax conv|| 6= 0 situadas entre 0 y dicho valor. Fuera del cono las cargas seguirán confinadas amenos que las colisiones las lleven dentro del cono. La fracción de partículas atrapadasserá FT =

√1− Bmin

Bmax.

La boquilla magnética se basa en la ausencia de colisiones. Las partículas estarán enuna región de Bmax en una distribución isótropa. Si las partículas se dirigen a la regiónde Bmin se tendrá que v⊥ disminuirá, dando lugar a un haz de partículas con gran v||.

Figura 10: El movimiento de partículas cargadas positivamente en el gradiente de campomagnético de un espejo magnético.

2.4.3. Confinamiento magnético de plasmas industriales

El confinamiento aumenta la eficiencia del potencia, la ionización del gas, reduce elbombardeo de las paredes, mejoran la estabilidad y la uniformidad, y puede originarhaces. Para que esto suceda el plasma debe estar magnetizado, esto es, que la partícularealiza varios giros antes de colisionar y que el radio de giro sean menor que el radio delplasma. Magnetizando los electrones se consigue magnetizar el plasma debido a la pocamovilidad de los iones. El mejor método de confinamiento es usando el espejo magnético.Si su configuración es coaxial evita que el plasma toque las paredes pero se perderá porlos extremos. La botella magnética usa dos bobinas que conducen la corriente en el mismosentido. Esto consigue confinar al plasma en ambos extremos. La geometría de arista



se caracteriza por tener las corrientes de las bobinas circulando en sentidos opuestos,consiguiendo así el confinamiento en los extremos y entre ambas bobinas.

Estas configuraciones se pueden obtener también con imanes permanentes. El difusormagnético es parecido al espejo, pues se encarga de disminuir v|| y el radio del plasma,evitando que las partículas se reflejen. La boquilla magnética crea un gran haz uniformede partículas sin v⊥. En la zona de Bmin la densidad de partículas disminuye: n2 ≈ n1Rm,con Rm siendo la razón de espejo Rm ≡ Bmin

Bmax. La aproximación puede variar según la

aplicación que se dé (resonancia ciclotrónica, corrosión . . . ).El confinamiento magnéticomultipolar por aristas consigue aislar el plasma de las paredes. El vallado coloca en lacámara cables que conducen corriente en sentidos opuestos creando una zona de Bmax.En los puntos de posible salida del plasma se coloca refrigeración. Si utilizamos imanestenemos tres configuraciones: tablero de ajedrez (axial y azimutal), arista de simetría axialy arista longitudinal.

Figura 11: Arreglo de aristas longitudinales de imanes multipolares usados para el confi-namiento de un plasma cilíndrico de microondas.

2.5. Movimiento relativista de partículas cargadas

Su aplicación se centra en la física de altas energías y en los aceleradores de partículas.



2.5.1. Transformaciones de Galileo

Existen dos sistemas de referencia: uno fijo, el laboratorio, y otro móvil a la velocidadconstante. Las ecuaciones son entonces

x′ =x− vt

y′ =y

z′ =z

t′ =t

El sistema móvil es el primado. Estos sistemas se llaman inerciales al verificar la ley deNewton.

2.5.2. Transformaciones de Lorentz

El principio de Einstein establece que la velocidad de la luz en el vacío es constante eindependiente del movimiento relativo uniforme de la fuente u observador.

x′ =γ(x− vt)

y′ =y

z′ =z

t′ =γ

(t− βx

c

)El parámetro relativista es γ ≡ 1√

1−β2con β ≡ v

c. Estas ecuaciones presentan la contrac-

ción de Fitzgerald–Lorentz y la dilatación temporal.

2.5.3. Cinemática en relatividad especial

La transformación de velocidades entre los dos sistemas de referencia

x =x′ + v

1 + βx′

c

y =1

γ

y′

1 + βx′

c

z =1

γ

z′

1 + βx′

c



2.5.4. Transformación de Lorentz de campos eléctrico y magnético

E ′|| =E||

~E ′⊥ =γ( ~E⊥ + ~v × ~B)

D′|| =D||

~D′⊥ =γ

(~D⊥ +

~v × ~B

c2

)B′|| =B||

~B′⊥ =γ

(~B⊥ −

~v × ~E

c2

)H ′|| =H||

~H ′⊥ =γ( ~H⊥ − ~v × ~D)

Estas ecuaciones predicen el efecto Doppler relativista que puede ser longitudinal (cor-rimiento al azul cuando el emisor de frecuencia se acerca al observador y corrimiento alrojo cuando se aleja) y transversal (corrimiento al rojo).

2.5.5. Dinámica en relatividad especial

La ley de Newton se escribe como ~F = d~pdt

= ddt

(γm0~v), por consiguiente ~p = γm0~v.Estas ecuaciones reflejan un aumento de la masa en reposo al ir aumentando la velocidad.

2.5.6. Energía de una partícula en relatividad especial

La energía total de una partícula cargada en el sistema laboratorio es U = γm0c2, por

lo que la energía cinética es expresará como W = (γ − 1)mc2 al ser la energía en reposoU0 = m0c

2. La relación relativista energía-momento es

(γm0c2)2 = (m0c

2)2 + p2c2.

2.6. Teoría de diodos planares

Con su estudio comprenderemos la generación de haces y sus condiciones límite.

2.6.1. Características del diodo planar

Las cargas son emitidas por un electrodo y son aceleradas en la separación d a partir deuna velocidad nula gracias a una caida de potencial V0. Si no existen fuentes ni sumiderosla densidad de corriente es una constante: J = neeve.



2.6.2. Operación en el límite de vacío

En este caso J es muy pequeña para afectar el campo eléctrico. Partiendo de la ecuaciónde Poisson llegamos a que

V (x) = V0x

d.

2.6.3. Flujo de corriente limitada por la distribución espacial de carga

El cátodo emite electrones hasta que la distribución espacial de carga aumenta hastael punto en el que el campo eléctrico es cero en x = 0. En este punto no pueden fluirmás electrones del cátodo. Partiendo de la ecuación de Poisson y suponiendo que v0 ≈ 0

llegamos a que J = 4ε0

9

√2em

[V (x)]32

x2 . Analizando el ánodo, x = d, obtenemos la condiciónde Child

Jc =4ε0

9

√2e

m

V32

0

d2

2.6.4. Diodos planares limitados por la distribución espacial de carga

Si definimos el factor de Child como χ ≡ 4ε0

9

√2em

= 2,334 · 10−6 A/V32 se tiene que

Jc = χV

32

0

d2 por lo que el potencial valdrá V (x) = V0

(xd

) 43 . Recurriendo a la ecuación de

Poisson determinamos la densidad de partículas

ne(x) =4ε0V0

9ed2

(d

x

) 23

Se tiene que en x = 0 ⇒ ne → ∞ al suponer que v0 ≈ 0; en x = d ⇒ nA = 4ε0V0

9ed2 . Se

puede determinar el tiempo de tránsito en el límite del vacío t0 = d√

2meV0

y en el límite de

distribución espacial de carga tsc = 32d√

2meV0

.

2.7. Diodo planar relativista

El ánodo se construye con rendijas y el potencial se aplica de manera pulsada.

2.7.1. Características del diodo relativista

Utilizaremos la formulación covariante de la ecuación de Poisson. Asumiremos queE(x = 0) = 0 y v0 = 0.



2.7.2. Flujo de corriente limitado por la distribución espacial de carga

Si utilizamos unidades adimensionales podemos obtener la ley de Child:

Potencial: Φ ≡ VV0

Distancia: ξ ≡ xd

Energía: ε ≡ eV0

m0c2

Densidad de corriente: J ≡ JJc

2.7.3. Ley de Child relativista

La ecuación de Poisson adimensional queda de la siguiente forma

Φ′′ =d2Φ

dξ2=

4√

2ε

9J 1 + εΦ√

(1 + εΦ)2 − 1

que puede resolverse con funciones elípticas jacobianas:

J =9

8

√ε

2g2(1, ε)

La densidad numérica electrónica es N ≡ ne(x)nA

= J√

2(1+εΦ)√Φ(2+εΦ)

y el tiempo de tránsito

T ≡ trtsc

=(

2+ε2J

) 14 .

2.8. Teoría de diodos cilíndricos

Analiza los tubos electrónicos industriales de alta potencia en el límite de la distribu-ción espacial de carga.

2.8.1. Características del diodo cilíndrico

El cátodo posee un radio rc que está dentro del ánodo de radio r = a y se aplica unpotencial V0 entre ellos. Junto a ciertas condiciones de contorno se obtiene la ecuación dePoisson.

2.8.2. Operación en el límite del vacío

El potencial se escribe como V = V0ln r

rc

ln arc

, mientras que el campo eléctrico E(r) = V0

r ln arc

.


3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA

2.8.3. Flujo de corriente cilíndrica limitada por la distribución espacial decarga

Los cálculos se realizan a partir de la corriente por unidad de longitud. Al obtener laecuación de Poisson vemos que es una diferencial no lineal de segundo orden sin solucionesexactas analíticas (conocidas). Para resolverlo recurrimos a parámetros adimensionales:ρ ≡ ln r

rc, β2 ≡ 8πε0

9J ′

√2em

V32

r. Con esto se llega a una ecuación diferencial que sólo depende

de ρ y β y puede resolverse numéricamente.

2.8.4. Operación de diodos cilíndricos

El valor de JA se obtiene a partir de ρA = ln arc

cuyo valor en el cálculo numérico nospermite conocer βA. Sustituyendo éste en JA ya sabemos el valor en el ánodo. Luego, lavariación radial del potencial será

V (r) = V0

(r

a

) 23

(β

βA

) 43

3. Características del plasma

Estudiaremos cómo afectan los campos eléctricos y magnéticos al plasma desde unpunto de vista macroscópico.

3.1. Propiedades másicas del plasma

Consideremos un bloque de plasma de sección A y longitud L sometido a una tensiónexterna y con una resistencia interna R.



3.1.1. Resistividad y conductividad eléctrica

Figura 12: Movimiento de iones y electrones en un tubo de descarga eléctrica DC a bajapresión.

La densidad de corriente se define como J = IA. La resistividad másica depende del

material que forma el bloque, no de su geometría y vale

ρ = RA

L

De manera inmediata se conoce la conductividad eléctrica: σ = 1ρ. Al aplicar la tensión

las cargas de signos opuestos se moverán hacia uno de los electrodos colisionando conel gas neutro de fondo y alcanzando pues velocidades de deriva estacionarias, cuyo valorserá menor para los iones. Según esto la densidad de corriente se puede expresar como~J = e~Γ = en~vd, expresión que puede ser comparada con la ley de Ohm de un plasma nomagnetizado: ~J = σ ~E.

Si el plasma es lorentziano, a partir de la ecuación de movimiento se define el tiempode colisión, el tiempo promediado entre dos colisiones que hacen perder al electrón su vde

promedio en la dirección x. La velocidad en este intervalo se da por

vx(t) =1

2vde +

eE

me

t , con 0 ≤ t ≤ tc

Con este tratamiento se llega a que σ = e2ne

mνce. Si existen colisiones de electrones con

partículas cargadas ha de definirse la conductividad Spitzer, que es inversamente propor-cional al logaritmo de Coulomb:

ln Λ = ln12π (ε0kBT )

32

Z2e3n12e

.



Figura 13: Velocidad de deriva idealizada del electrón en un tubo de descarga eléctricasobre varios tiempos de colisión.

3.1.2. Movilidad

La velocidad de deriva promedio se expresará como vd = emνc

E = σene

E = µE, endonde µ es la movilidad :

µ ≡ e

mνc

Ésta relaciona vd con E y no varía si la presión de fondo es constante. La movilidad paraelectrones es mayor que para iones.

3.1.3. Calentamiento óhmico de plasmas

La energía de los electrones se adquiere del campo eléctrico impuesto y se disipamediante colisiones inelásticas y elásticas, la segunda por un proceso óhmico. La densidadde potencia es:

pc =meνce

e2ne

J2 =e2ne

meνce

E2

expresión válida si el plasma es de Lorentz.

3.1.4. Frecuencia de transferencia de energía

En los plasmas, σ y ρ dependen de la posición, mientras que el sentido práctico deestas magnitudes está en su valor constante. Acudiendo a la densidad de potencia delplasma p = Ueν∗, con Ue = 1

2ε0E

2 la energía electrostática por unidad de volumen yν∗ ≡

2ω2pe

νec= 2e2ne

ε0meνec= 2σ

ε0la frecuencia de transferencia de energía, que es la frecuencia

con la cual la densidad de energía suministrada por la fuente es transferida al plasma.

3.1.5. Ley de Ohm y fuerzas volumétricas en plasmas magnetizados

La densidad de corriente viene expresada por la ley de Ohm ~J = σ[ ~E +(~v× ~B)], luegola fuerza volumétrica actuando sobre un plasma será ~F = ~J × ~B.



3.2. Cuasi-neutralidad del plasma

Los plasmas muestran una fuerte tendencia a ser eléctricamente neutros, así que lasdensidades de carga de iones y electrones serán aproximadamente idénticas. Luego laseparación de las cargas estará provocada por campos eléctricos externos o la energíatérmica interna.

Si tenemos una pequeña región esférica en el plasma con exceso de carga negativa secreará un potencial en su superficie, por lo que para que un electrón se acerque a la esferadeberá tener una energía como mínimo igual a Ue = eV, suministrada por su temperaturacinética finita. Por tanto la salida relativa de la neutralidad será

δn

n0

=3T (eV)ε0

2er2n0

, con δn = ne − Zni � n0

Los plasmas de interés industrial presentan que δn ≈ 0, luego Zni ≈ ne, verificando asíla cuasi-neutralidad.

3.3. Ecuación electrostática de Boltzmann (barométrica)

Un plasma en equilibrio cinético se acomoda en un pozo de potencial electrostático,con mayor densidad de partículas en las regiones de menor energía y cayendo este númeroexponencialmente para las regiones de mayor energía. Si la pared que lo rodea está aun potencial V0 y en el borde del plasma escogeremos un elemento infinitesimal de éstepodemos ver que permanecerá en equilibrio, ya que posee una fuerza que empuja haciaarriba (debida a la presión cinética del plasma) de igual valor que la fuerza que empujahacia abajo (debida a la presión cinética de los electrones cercanos a la pared y a larepulsión electrostática). Todo esto da que

p = p0eV0−VT (eV)

Los electrones más energéticos podrán llegar a la pared, aumentando su carga negativa ycreando así una fuerza repulsiva que aleja al plasma de la manera indicada por la ecuación.



Figura 14: Vaina entre un plasma y una pared aislante. Las fuerzas volumétricas sobrelas partículas cargadas en el elemento infinitesimal son la suma de las fuerzas del campoeléctrico y de la presión cinética de partículas por arriba y por debajo del elementoinfinitesimal.

3.4. Vainas electrostáticas simples del plasma

Un electrodo o pared en contacto con un plasma afectará a sus inmediaciones, orig-inando una vaina superficial que apantallará al plasma de los campos aplicados (si elplasma no es turbulento y el campo no es interno). Consideremos la ecuación de Poissonunidimensional de un plasma con sus iones simplemente cargados fijos:

d2V

dZ2≈ e

ε0

(ni − ne)

Al ser el plasma cuasi-neutro, n0 ≈ ni, y a partir de la ecuación de Boltzmann (conV0 = 0) ne = n0e

− eVkBT podemos sustituir en la ecuación de Poisson y hacer un desarrollo

en serie en z = 0 para conocer así la solución:

V = V0e± z

λD

con λD =√

kBTeε0

nee2 siendo la distancia de apantallamiento de Debye. El potencial muestraque la vaina es exponencial. Para plasmas inactivos λD es pequeña configurando ellamisma la vaina que apantalla al plasma del exterior. Para plasmas magnéticos con granradio de giro o turbulentos la vaina es mayor.

3.5. Frecuencia del plasma

Si el plasma se forma entre dos placas plano-paralelas los iones irán al cátodo y loselectrones al ánodo provocando con el tiempo un estado estacionario. Si se desconectala batería los electrones serán atraidos por los iones fijos creando así un movimientooscilatorio sobre ellos que se amortiguará mediante colisiones. Analizando en la región del



ánodo un diferencial de volumen de electrones conoceremos la densidad de carga superficialy de ahí el campo eléctrico superficial. Este campo de polarización es igual y opuesto alaplicado. Considerando todo esto y escribiendo la ecuación de movimiento vemos que susolución es un movimiento armónico simple de frecuencia

ωpe =

√ne2

mε0

es la frecuencia electrónica del plasma con la que oscilan los electrones alrededor de losiones fijos. Se puede definir análogamente una frecuencia iónica del plasma.

Podemos analizar ahora la propagación de radiación electromagnética en un plasma.La fuente emite radiación de frecuencia ω sobre un bloque de plasma de ωpe. Si ω < ωpe, loselectrones tienen tiempo de responder al campo eléctrico impuesto y consumen su energíaevitando que la onda penetre demasiado en el plasma. En este caso los electrones de lascapas más superficiales actuarán como dipolos, volviendo a radiar a la onda incidente yprovocando su reflexión. En cambio, si ω > ωpe, los electrones poseen demasiada inerciacomo para responder al campo impuesto. De esta manera el plasma es atravesado por laradiación.

A partir de ω se puede definir una densidad crítica, que al compararla con la densidaddel plasma sabremos si la onda se refleja o se transmite. Para calentar un plasma concampos magnéticos ha de darse que ωce ≥ ωpe para que así la radiación penetre en todoel plasma.

Figura 15: Radiación electromagnética de una fuente con frecuencia ω = ω0 incidente sobreun bloque de plasma con densidad numérica ne y frecuencia electrónica del plasma ωpe.La radiación incidente sera reflejada o transmitida a través de este bloque, dependiendode la relación de la frecuencia incidente con respecto a la frecuencia electrónica del plasmaen el bloque.



3.6. La ecuación de Saha

En algunos plasmas industriales que operan a presiones atmosféricas se trabaja con elequilibrio termodinámico, por lo que la temperatura de electrones, iones y neutros seráidéntica. Además, si el plasma está completamente ionizado la relación entre las densidadesnuméricas de las especies viene dada por

neni

n0

=(2πmekBT )

32

h3

2gi

g0

e− eE′i

kBT

Se tiene que h es la constante de Planck; E ′i es el potencial de ionización de los átomos;

gi es el peso estadístico del estado fundamental del ión y g0 es el peso estadístico delestado fundamental del átomo neutro. Muchos plasmas son cuasi-neutros por lo que esútil definir la fracción de ionización: F ≡ ne

n0.

3.7. Transporte difusivo en plasmas

Al ser los plasmas industriales muy calientes es necesario confinarlos efectivamente conentrada razonable de potencia.

3.7.1. Ley de Fick de la difusión

Si el camino libre medio de las partículas λ es menor que la longitud de escala carac-terística del gradiente se puede aplicar la ley

Γ = nvd = −D∇n

3.7.2. Tiempo de confinamiento de plasmas dominados por difusión

Un plasma cilíndrico sin difusión axial ni fuentes ni sumideros, poseerá una difusiónfickiana, por consiguiente tendremos que

~∇ · ~Γ =∂n(r, t)

∂t

Aplicando separación de variables vemos que la parte temporal obedece una ley exponen-cial, mientras que la parte radial es una ecuación de Bessel. Combinando resultados:

n(r, t) = n0J0

(2,405r

a

)e−

tτ

J0 es la función de Bessel de orden cero, a el radio del plasma y τ el tiempo de confi-namiento. Entonces τ = τp = a2

D(2,405)2.



3.7.3. Coeficiente de difusión en un plasma no magnetizado

La difusión es provocada por las colisiones binarias de las cargas con el gas neutro.El transporte difusivo es una trayectoria aleatoria con tamaño de paso igual a λ. Si lafrecuencia de colisión es νc y la distancia entre colisiones ∆x se tendrá que D ≈ νc(∆x)2.

3.7.4. Difusión clásica en un plasma magnetizado

Hasta ahora hemos visto la difusión ordinaria. En cuanto a la clásica se tiene untrayecto aleatorio, con tamaño de paso igual al radio de giro. Representa la tasa máslenta a la que las partículas pueden ser transportadas a través de un campo magnéticohacia zonas de menor concentración en la ausencia de campos eléctricos. Si la partícularealiza un giro por colisión se tiene que

D⊥ ≈ ν(∆x)2 ≈ 1

τRg =

v2

ω2cτ

=m2v2

e2B2τ

Si se aplica el modelo de Krook la difusión es un tensor que depende de la matriz detransporte: ~D = D0

~T . La difusión entonces posee componente perpendicular, paralelay Hall. Estos coeficientes se pueden analizar en el límite colisional y acolisional. En elsegundo límite y bajo fuertes campos magnéticos los electrones poseen mayor difusión.Por este motivo

Dcl ≈mekBTe

e2B2τc

3.7.5. Movilidad en un plasma magnetizado

La movilidad no es un proceso difusivo, sino que es un movimiento impuesto por loscampos aplicados. El flujo de movilidad es ~Γmov = n~vmov = n~µ · ~E, con ~µ = µ0

~T = qτm

~Tsiendo un tensor. Así pues, el flujo total vendrá dado por

~Γ = nµ0~T · ~E −D0

~T · ∇n

Esto indica que los campos aplicados pueden contrarrestar a la difusión.

3.7.6. Relación de Einstein

Si comparamos la movilidad y el coeficiente de difusión mediante el tiempo de colisión,podemos obtener una relación entre ambos (ayudados por la expresión de la velocidadtérmica media):

D =mv2

3qµ =

8kBT

3πqµ



3.7.7. Coeficiente de difusión de Bohm

Este coeficiente derivado empíricamente describe la difusión radial del plasma en cier-tos arcos eléctricos:

DB =1

16

kBT

eB

3.7.8. Difusión ambipolar

Si el plasma está rodeado por una pared los electrones, al tener una movilidad mayor,llegarán a ella aumentando en la superficie la carga negativa. Llegará un momento enque esta carga empiece a atraer a los iones y cuando ambos flujos se igualen se alcanzaráel estado estacionario. Este proceso es la difusión ambipolar. En una geometría unidi-mensional simple los flujos de electrones e iones normales a la superficie serán iguales. Siadmitimos la cuasi-neutralidad del plasma se puede obtener el campo eléctrico ambipolar:~E = Di−De

µi+µe

∇nn

, por lo tanto el coeficiente:

Da ≡Diµe + Deµi

µe + µe

≈︸︷︷︸µe�µi

Di

(1 +

Deµi

Diµe

)=︸︷︷︸

Rel.Einstein

Di

(1 +

Te

Ti

)

3.8. Frecuencia electrónica de colisión

Las propiedades de transporte están determinadas por las colisiones electrón-neutro.También afecta a la disipación de potencia, a la transferencia de energía y a todos loscoeficientes de transporte (D, µ, η, κ, σ).

3.8.1. Clasificación de gases

Existen gases cuya νc es independiente de la energía, normalmente sólo se da en unrango de temperaturas cinéticas; gases nobles, que no sufren reacciones plasmo-químicaso disociación; aire que no tiene buena reproducibilidad pero posee buena disociación yreacciones plasmo-químicas, y otros gases, en los que se dan reacciones e influye muchola interacción plasma-superficie.

3.8.2. Datos tabulados

Hay que tener en cuenta que los antiguos experimentos pudieron ser contaminados porvapor de mercurio. Otro fenómeno importante es el efecto Ramsauer, en que a bajas Te

la sección eficaz de colisión para ciertos gases cae abruptamente a consecuencia de efectosmecano-cuánticos.



3.9. Descarga eléctrica a baja presión

3.9.1. Geometría clásica

Es un tubo de vidrio evacuado con electrodos circulares en los extremos conectados conuna fuente de potencia DC de alta tensión. Ajustando un lastre de resistencia (reóstato)se barre la curva tensión-corriente, que es altamente no lineal.

3.9.2. Característica tensión-corriente

Podemos distinguir tres zonas: la primera es la llamada descarga oscura, que se puedesubdividir en ionización de fondo, régimen de saturación, régimen de Townsend, descargascorona y ruptura eléctrica. La segunda zona es la descarga glow, que se subdivide endescarga normal y descarga anormal. La tercera zona es la descarga arco subdividida entransición glow a arco, arco no térmico y arco térmico.

Figura 16: Característica tensión-corriente de un tubo de descarga eléctrica DC a bajapresión.

3.10. Fuentes de potencia para plasma

Se pueden utilizar fuentes de corriente continua, alterna o radio frecuencia. Los re-actores de plasma DC ó AC poseen la fuente conectada directamente al reactor dandogran fiabilidad al proceso. La fuente RF necesita componentes adicionales y este costedebe justificarse por algunas ventajas que debe presentar. La potencia RF se transfierepor corrientes de desplazamiento, posee mayor estabilidad de operación, altas Te y graneficiencia eléctrica.


4 DESCARGAS ELECTRÓNICAS OSCURAS EN GASES

3.10.1. Regímenes de frecuencia de fuentes de potencia

El rango de aplicación está entre 1 kHz y 3GHz y la mayoría de aplicaciones impor-tantes en la industria están por encima de los 200 W.

3.10.2. Disponibilidad de fuentes de potencia

Los niveles de potencia de interés están entre 200 W y 50 kW. Si combinamos las apli-caciones en industria y comunicación se trabaja en las frecuencias VLF, LF y microondas.

3.10.3. Tecnología de la fuente de potencia

En las fuentes RF hay que tener en cuenta que el plasma es una carga variable, por loque se necesita una red de compatibilidad de impedancia. Si las impedancias de carga yfuente son resistivas el máximo de potencia entregada a la carga se dará cuando RS = RL yel valor será PL =

V 20

4RL, que es el 25 % del valor de una fuente ideal. Si se usan impedancias

complejas el valor puede aumentar.

3.10.4. Coste relativo de la entrada de potencia

La potencia RF es de 5 a 10 veces más cara, por watio, que la potencia DC ó AC. Poresto las ventajas han de ser justificadas.

3.10.5. Imposiciones operacionales

Las comisiones reservan ciertas frecuencias para uso industrial de alta potencia. Sedeben tener en cuenta ciertas cuestiones de seguridad: los arcos RF son bastante grandes;es necesario el apantallamiento RF de alta tensión; la producción de armónicos y loscambios de frecuencia no deben producir interferencias, y la exposición ocupacional debeestar por debajo de 1 mW/cm2.

4. Descargas electrónicas oscuras en gases

Vamos a examinar los regímenes de operación de la descarga eléctrica DC. Se empezarápor la descarga oscura que debe su nombre a que no emite suficiente luz (excepto en lascoronas muy energéticas) para que el ojo la capte.



Figura 17: Regiones del régimen de descarga oscura.

4.1. Ionización de fondo

La radiación de fondo, constituida por rayos cósmicos, materiales radiactivos en losalrededores y otras fuentes, es capaz de ionizar los átomos neutros que constituyen ungas. Si el gas está sometido a un campo eléctrico, los electrones e iones creados migraránhacia los correspondientes electrodos, originando una débil corriente.

4.2. Régimen de saturación

Si la tensión entre electrodos se aumenta, todos los iones y electrones creados entre loselectrodos serán colectados dando un valor constante a la corriente mientras se aumentala tensión. Si S es la intensidad de la fuente con la que se crean las cargas, A es la seccióntransversal y d es la longitud se tiene que IS = AdeS.

4.3. Descarga Townsend

Debemos considerar que el campo eléctrico E es constante. Se pueden originar elec-trones a partir del efecto fotoeléctrico o por procesos de emisión secundaria en el cátodo,con un flujo Γe0. La fuente volumétrica de ionización viene por Se = nen0〈σv〉ne querepresenta la ionización del gas de fondo por electrones acelerados.

4.3.1. Crecimiento de la corriente

El crecimiento será de tipo exponencial. Un par electrón-ión se crea por la radiaciónde fondo y son acelerados por el E. Si el electrón adquiere suficiente energía puede ionizara otros átomos antes de llegar al ánodo. Los electrones generados repetirán el proceso.Este proceso físico se denomina avalancha.



4.3.2. Primer coeficiente de ionización de Townsend

Es el número de colisiones ionizantes hechas por promedio por un electrón al recorreren metro a través del campo eléctrico. Se tiene que α ≈ 1

λicon λi el camino libre medio

de ionización, y si tenemos que los electrones de iniciación sólo se originan en el cátodo yque no existen pérdidas se puede llegar a que

Ie = A Je0︸︷︷︸eΓe0

eαx

Si existe una fuente volumétrica significativa será necesario que la introduzcamos en nue-stros cálculos, por lo que

Je =JS

αd

(eαd − 1

)Ahora debemos calcular analíticamente a α, relacionándolo con la probabilidad de queun electrón viaje una distancia axial mayor que la distancia ionizante xi (la distancianecesaria para ganar la energía de ionización). El valor de α dependerá de la atenuacióndel haz de electrones primario y del número de λi por metro, luego

α =1

λi

ne(x)

ne0

=1

λi

e− xi

λi = Ape−Apxi

Trabajaremos con el potencial de ionización efectivo V ∗ en vez del real Vi, ya que elprimero considera la posibilidad de colisiones elásticas e inelásticas en el trayecto anteriora la colisión, por lo que C ≡ AV ∗ y se llegará a que

α

p= Ae

− CEp = f

(E

p

)con A y C constantes experimentales.

4.3.3. Medición de αp

y Ep

Si el campo eléctrico es constante y la ionización se produce con avalancha se puederealizar una representación semilogarítmica del aumento de la corriente al aumentar laseparación entre electrodos. La pendiente de la línea recta dará E

p. Para grandes separa-

ciones la línea deja de ser recta. La producción de electrones secundarios en la superficiedel cátodo hará aumentar la corriente. La ligadura de electrones hace decrecer a la corri-ente al irlos eliminando de la avalancha.



Figura 18: Configuración de placas paralelas en el régimen de descarga oscura.

4.3.4. Punto de Stoletow

Si el campo eléctrico entre placas permanece constante, hay un valor de presión en ladescarga Townsend donde la corriente es un máximo. El valor de p para el aire se indicó demanera experimental como pmax = E

37200. Este punto se puede encontrar diferenciando α

respecto a p mientras se mantiene fijo d. Si utilizamos su dependencia funcional, f(

Ep

),

encontramos que el punto de Stoletow se puede encontrar gráficamente al representarαp↔ E

p: donde la tangente de la curva intersecte al origen, siendo así máxima la corriente.

En cambio, si recurrimos a la expresión analítica pmax = EC

= E36500

, para el aire.

En la representación gráfica se ve que el punto de Stoletow se da cuando Ep

= C,

sabiendo de manera inmediata el valor de αp. Si E

p→ ∞ ⇒ α

p→ A. Además, existe un

punto de inflexión en Ep

= C2. Un parámetro importante es el coste energético de generar

un par ión-electrón en el gas: η = cotg θ =(

Eα

)max

que será mínimo en el punto deStoletow.



Figura 19: La expresión teórica para el primer coeficiente de ionización de Townsend,representada contra el valor normalizado E/p con los mayores rasgos de la curva indicados.

4.4. Descargas corona

Es la llamada descarga unipolar que ocurre en regiones de alto campo eléctrico situadoen bordes abruptos, valores que llegan a la ruptura eléctrica. Esta descarga puede llegar aser visible. Fenómenos relacionados son la descarga eléctrica silenciosa (que es inaudible)y la de cepillo (donde el campo eléctrico no es uniforme y se crean rayos).

4.4.1. Fenomenología de la corona

Hay un fino cable de radio a, rodeado por un cilindro de radio b puesto a tierra. Lainiciación se dará cerca del cable, creando una corona luminosa. La corona es un fenómenode baja corriente y continuo, de pocos órdenes de magnitud. El campo eléctrico de rupturaes EB = 3000+ 1,35

d(kV/m). Cuando el campo local que rodea a un punto alcanza el valor

de EB aparece la corona. Si al cable se aplica un V0 muy alto alcanzará el valor de rupturaen un punto. Esta distancia se denomina radio activo y en el volumen que crea se daránreacciones químicas. Fuera del radio activo el potencial seguirá disminuyendo hasta unvalor mínimo.

A altas presiones el oxígeno captará rápidamente a los electrones, por lo que la cor-riente se llevará mediante iones positivos y negativos. En el segundo caso la corona seráintermitente (en forma de racimos) y pulsada, mientras que en el primer caso la coronaserá una luminiscencia cilíndrica y continua.



Figura 20: Fenomenología de la corona generada por un cable fino de radio a localizadoen el eje de un cilindro puesto a tierra de radio b.

4.4.2. Aplicaciones de la corona

Las coronas se aplican en la industria para el tratamiento de superficies, junto conaplicaciones antiestáticas. Otra tendencia es su uso en la química del plasma.

4.4.3. Efectos detrimentales de la corona

Poseen pérdidas de la línea de potencia y pueden producir reacciones químicas queataquen a los electrodos. A altas tensiones pueden producir rayos X e interferencias. Otroaspecto negativo es el ruido audible que pueden producir.

4.5. Fuentes de coronas

4.5.1. Corona de un punto abrupto

Consideremos una punta esférica de radio r = a a potencial V0 situada en el centrode una cavidad esférica de radio r = b y potencial V = 0. Ambos serán conductores,pudiéndose originar una corona hasta el radio r = r0. Si trabajamos en el caso de ρ(r) ≈ 0tendremos que

E(r) =abV0

r2(b− a)

V (r) =V0a(b− r)

r(b− a)



Para el caso de corrientes coronales significativas se puede llegar a que

E(r) =

√E2

S

(a

r

)4

− Ic

6πµiε0r

[1−

(a

r

)3]

d

dr

(r2dV

dr

)2

+Ic

2πµiε0

r2 =0

con ES el campo en el punto y la segunda ecuación de carácter no lineal sin solucionescompactas.

4.5.2. Corona de un cable o borde fino

Tenemos un cable de radio a dentro de un cilindro de radio b y ambos a distancia L.La corona llegará a r = r0. Este tratamiento es idéntico si analizamos un borde abrupto.Para una densidad de carga iónica despreciable

E(r) =V0

r ln ba

V (r) =V0

ln rb

ln ab

En el caso de una densidad significativa

E(r) ≈ V0

r ln ba

(1− Dr2

2B

)V (r) =V0

[D(r2−b2)

2B+ ln b

rD(a2−b2)

2B+ ln b

a

]El primer miembro de la primera ecuación es la contribución del vacío y el segundomiembro es la corrección de la distribución espacial de la corona. Se tiene que B ≡a2E2

S + Ica2

2πLµiε0y D ≡ Ic

2πLµiε0� E2

S.

4.5.3. Configuraciones generadoras de coronas

Cerca de un cable fino o punto abrupto, el potencial, el campo y el radio se relacionanmediante ES = V0

aF, con F siendo el factor de forma. Para un punto abrupto de radio a

separado d de un plano a tierra se tiene que F1 ≡ 1−ad. Para dos cables de radio a separados

una distancia S : F2 ≡√

S−2aS+2a

+ ln(

S2a

+√

S2

(2a)2− 1)≈ ln S

asi S � a. Para un cable

coaxial de radios a y b se conoce que F3 ≡ ln ba. Para un cable de radio a distanciado b de

dos placas planas a tierra F4 ≡ ln 4bπa

. Para un conjunto de cables de radio a distanciados

entre sí d y a distancia b de dos placas a tierra F5 ≡ ln 4bπa

+∑n

k=1

cosh( 12kπd)+1

cosh( 12kπd)−1

, con δ ≡ db.



Ahora bien, si queremos conocer el volumen de la corona debemos ver el radio activo,que será en donde el campo eléctrico sea el de ruptura. Para un punto abrupto r0p ≈

√aV0

EB

y para un cable fino r0w = V0

EB ln ba

.

4.5.4. Apantallamiento de la corona

A veces es necesario suprimir la corona. Si aplicamos un gran potencial a instrumentoscon bordes abruptos es necesario colocarlos en un recipiente con bordes de radio a sepa-rados a b del dispositivo (los electrodos). El campo eléctrico en la superficie está dado porES = V0

a ln ba

= bV0

ab ln ba

con valor Ei que es el valor necesario para iniciar la corona. Definiendo

el parámetro α ≡ ba

se tendráEib

V0

=α

ln α

Luego representando el primer miembro frente a α obtendremos una curva que nos indicael radio máximo de curvatura, así que un radio menor debe evitarse porque produciríauna corona.

4.5.5. Características eléctricas de las coronas

Para un punto de radio a separado a d de un plano el campo eléctrico de iniciación decorona es

Esc =1,8 · 105

√a

V/m

Para dos cables de radio a separados S

Esc = 3,1mδ

(1 +

0,0308√δa

)MV/m

com m el factor empírico de rugosidad superficial y δ ≡ 298p(atm)T

el factor relativo dedensidad atmosférica.

Para cilindros concéntricos se consigue determinar que

Esc = 3,0mδ

(1 +

0,0301√δa

)MV/m

En el caso de analizar puntos a r � a puede servirnos la corriente coronal para conocerel campo eléctrico radial límite. Este dato puede servirnos a la hora de calcular la densidadde carga en puntos lejanos. Para un punto abrupto

ρ(r)lim =1

r32

√−3Icε0

8πµi

C/m3



Para un cable fino

ρ(r)lim =1

r

√− Icε0

2πLµi

C/m3

Estos resultados contradicen la suposición de que la densidad límite debería ser constante.La corriente coronal de un punto abrupto sólo se determina de manera empírica:

Ic = CV0(C0 − Vc), con Vc la tensión de iniciación de la corona. En el caso de un cablefino tenemos que Ic = 4πLµiε0

b2 ln ba

V0(V0 − Vc). Ambas expresiones muestran un crecimientoparabólico. La potencia perdida por la corona de un cable se puede escribir como Pc =IcV0, lo que da una pérdida cúbica, lo cual está en contra de las expresiones empíricas queindican una pérdida cuadrática.

4.6. Ruptura eléctrica

Es una descarga de alta corriente, localizada y transitoria. Se da en la descarga deTownsend cuando se emiten electrones secundarios del cátodo, provocados por el impactode iones o fotones.

4.6.1. Corriente en la descarga de Townsend

El coeficiente de emisión secundaria γ es el número de electrones emitidos del cátodopor fotón o ión incidente. El flujo de electrones que llega al ánodo depende de α, d yel flujo emitido por el cátodo. Este flujo constará de los electrones creados por emisiónsecundaria y por procesos primarios (fotoemisión, radiación de fondo, etc.). En el estadoestacionario, el flujo de iones que llega al cátodo (y produce electrones) deberá ser iguala la diferencia entre el flujo de electrones que llegan al ánodo y salen del cátodo. Porconsiguiente, se llegará a que

J = J0eαd

1− γ(eαd − 1)A/m2

4.6.2. Segundo coeficiente de ionización de Townsend

El parámetro γ puede describir procesos diferentes a la emisión secundaria, tales comolos procesos volumétricos, la ionización por impacto ión-neutro y la fotoemisión debidaa fotones ultravioleta. Bajo tales condiciones se define el segundo coeficiente β ≡ γα,aunque no se usa mucho. Cuando tienen lugar estos procesos ya no se cumple el crecimientoexponencial de I, pudiendo aumentar el valor a causa de estos nuevos procesos generadoresde electrones. También es necesario considerar la reducción de éstos al generarse ionesnegativos.



4.6.3. Criterio de Townsend

Si la emisión secundaria y la fotoemisión son los procesos dominantes se llega al po-tencial de chispa VB en donde crece drásticamente la corriente, siendo limitada sólo porla resistencia interna de la fuente de potencia. Matemáticamente, si J →∞ es porque eldenominador se anula, obteniendo de esta forma el criterio de Townsend

γeαd = γ + 1

En el punto de ruptura eléctrica podemos conocer VB ayudados por el criterio, obteniendoasí la ley de Paschen

VB =Cpd

ln Apd

ln(1+ 1γ )

= f(pd)

4.6.4. Potencial mínimo de ruptura

Diferenciando la expresión de VB respecto a pd e imponiendo que su resultado sea cerotenemos que

(pd)min =2,718

Aln

(1 +

1

γ

)Este valor da el mínimo de potencial de chispa

VB,min = 2,718C

Aln

(1 +

1

γ

)Se ve que ambas expresiones dependen de γ.

4.6.5. La curva de Paschen universal

Si trabajamos con variables adimensionales determinaremos una representación uni-versal: X ≡ pd

(pd)miny Y ≡ VB

VB,min, así que la ley se expresará como Y = X

1+ln X.

Esta curva indica que para valores menores o mayores de (pd)min se necesitará mástensión para producir la ruptura eléctrica. Si pd es menor quiere decir que para d fijo haymuy pocos átomos neutros y las colisiones ionizantes serán escasas. Si pd es mayor se veque al ser d fijo existen tantos átomos neutros que entre colisiones los electrones no tienentiempo de alcanzar la energía ionizante.

El mínimo de la curva de Paschen corresponde al punto de Stoletow. Es necesariotener en cuenta el material con el que se fabrica el cátodo, ya que determina γ.


5 DESCARGAS ELÉCTRICAS GLOW DC EN GASES

Figura 21: La curva de Paschen universal mostrando el potencial relativo de chispa comouna función del parámetro de ruptura relativo en el mínimo de Paschen.

4.6.6. Ruptura a altas presiones

Normalmente, involucra la creación de rayos. La tensión de chispa para el aire atmos-férico seco será VB = 3000d + 1,35 kV. A altas presiones no se verifica la ley de Pascheny se comprueba que antes de la ruptura aparece la corona o rayos, incluso a valores depotencial superiores al descrito por VB.

5. Descargas eléctricas glow DC en gases

En este régimen el plasma se vuelve luminoso debido a que la densidad y energíaelectrónica son suficientemente altas para generar luz visible por colisiones de excitación.

5.1. Fenomenología de las descargas glow DC

Aumentando la tensión que afecta a un gas se recorre toda la región oscura del plasma.Cuando la tensión llega al nivel de ruptura pueden ocurrir dos cosas: que el plasmapermanezca como corona (a altas impedancias de la fuente de potencia) o que se vuelvaluminiscente (a bajas impedancias internas). Si en el régimen glow disminuimos la tensiónbajará la corriente a valores en los que antes era una descarga oscura. Disminuirá hastallegar a un punto en el que se cambia de régimen, formando así una histéresis.

5.1.1. Descarga glow normal a baja presión

Tras la ruptura eléctrica habrá una transición discontinua en el diagrama corriente-tensión llegando el plasma a una región en la que la tensión apenas aumenta al subir laintensidad. Esta región se conoce como glow normal. La densidad de corriente que llega



a los electrodos es también relativamente independiente de la corriente. Esto significaque el plasma sólo está en contacto con una pequeña parte de la superficie del cátodo.Al aumentar la corriente, aumenta la superficie de contacto para que J sea constante.Cuando se ocupa toda la superficie V y J aumentan al subir la corriente, entrando portanto en la región denominada glow anormal.

Puede aumentar tanto I que el cátodo comenzará a calentarse, llegando al punto depoder emitir electrones termoiónicamente, apareciendo así la transición de glow a arco.

Figura 22: Tensión y densidad de corriente como una función de la corriente total quellevan las descargas glow DC.

5.1.2. Regiones de la descarga glow normal

Una descarga glow DC a baja presión presenta una serie de zonas oscuras y luminosas(con intensidad variable). En cada zona existirá una intensidad, un potencial, un campoeléctrico y una densidad de carga neta características.



Figura 23: Variación axial de las características de la descarga glow normal.

El cátodo está hecho de un metal que conduce la electricidad. Es importante el ma-terial, a causa del coeficiente de emisión de electrones secundarios. También interesa suconfiguración. El espacio oscuro de Aston contiene electrones lentos que salen del cátodo.El glow catódico contiene átomos eyectados del cátodo en estado excitado e iones positivosque provienen del ánodo con gran energía. El espacio oscuro catódico de Crookes–Hittorfcontiene cargas con poca energía. Todo este conjunto configura la región catódica de longi-tud dc. En esta región se produce la mayor caida de potencial y de disipación de potencia.A bajas presiones dc se ajustará para verificar el mínimo de Paschen: dcp ≈ (dp)min, asíla descarga se mantendrá en la mínima caida de tensión.

El glow negativo es la zona en donde los electrones poseen la suficiente energía comopara excitar e ionizar. Es la zona de mayor luminosidad. El espacio oscuro de Faradaycontiene a los electrones anteriormente frenados. La columna positiva es cuasi-neutra yaquí se dan más excitaciones e ionizaciones. Como dc = cte, al separar los electrodos estazona será la que aumente de tamaño. El glow anódico está al final de la columna positivay representa el contorno de la vaina del ánodo. El espacio oscuro anódico es la propiavaina que se encarga de colectar a los electrones de la columna positiva.



5.1.3. Descargas estriadas

Las estrías son ondas viajeras o perturbaciones estacionarias en la densidad numéricaelectrónica que ocurren en gases parcialmente ionizados, incluyendo las columnas posi-tivas de las descargas glow. Debido a sus dos orígenes podemos distinguir entre móviles(negativas y positivas) y estáticas. Las estrías pueden aparecer como ondas fuera de fasey aleatorias de tal manera que el gas tiene la apariencia global de uniformidad. Normal-mente, las estrías son perjudiciales.

5.1.4. Descargas glow anormales

Cuando el plasma ocupa toda la superficie del cátodo la tensión aumenta rápidamenteal subir la corriente. Esto hace que el plasma se salga del mínimo de Paschen. El glowanormal es más luminoso y muchas zonas se fusionan entre sí, aunque su comportamientoes parecido al glow normal.

5.1.5. Descargas obstruidas

Si la longitud L de la descarga glow es menor que dc la caida de tensión en el cátodoserá mayor que su valor en el mínimo de Paschen. El glow puede ser normal o anormal.En estas descargas obstruidas la mayor variación de tensión se dará en la vaina y se puedeaplicar para la deposición de iones.

Figura 24: Reactor de placas paralelas operado en una descarga glow DC anormal.



5.2. Teoría de las descargas glow DC

Estudiemos los procesos físicos que relacionan las variables independientes y dependi-entes de las descargas glow.

5.2.1. Teoría de Townsend de la región catódica

La teoría de las descargas de Townsend se adapta muy bien a la descarga glow normalen la región del cátodo, siempre y cuando queramos un estudio aproximado. Los paráme-tros del plasma se ajustan de tal manera que se verifica que dcp ≈ (dp)min y Vc ≈ VB,min,con VB,min la tensión de chispa. Con esto y un análisis experimental se ve que

V (x) =Vcx(2dc − x)

d2c

y que

E =2Vc(dc − x)

d2c

La densidad de carga neta se obtiene a partir de la ecuación de Poisson: δn = 2ε0Vc

ed2c

5.2.2. Plasmas lorentzianos no magnetizados

Los electrones pierden su momento con el gas de fondo neutro con una frecuencia decolisión νc. Por lo tanto, la ecuación de movimiento es ~F = −νcm~v + e ~E, por lo que lavelocidad será

v(t) =eE0

νcme

+

(v0 −

eE0

νcme

)e−νct

En el estado estacionario se eliminará el término transitorio, obteniendo la velocidad dederiva

vd =eE0

νcme

≡ µeE0

Con todo esto podemos conocer la potencia por unidad de volumen

P = nep =nee

2E20

νcme

= Umaxν∗

con Umax = 12ε0E

20 la energía electrostática y ν∗ =

2ω2pe

νces la frecuencia de transferencia

de energía, que depende de ne, Te, el gas y su presión.



5.2.3. Plasmas lorentzianos magnetizados

Figura 25: Esquema del reactor de placas paralelas con un plasma de descarga glow normalmagnetizado, el campo magnético apunta a lo largo del eje z.

Si el B se aplica normal a los electrodos se reducen las pérdidas por los bordes y semejora la uniformidad. La situación más interesante es un campo magnético paralelo alos electrodos. De esta manera, las cargas girarán y sufrirán una deriva. La ecuación demovimiento será ~F = q[ ~E +(~v× ~B)]−mνc~v, luego las velocidades que obtendremos serán

vx = −vd,x − v0e−νct cos ωct, donde vd,x ≡

E0

B0

ωcνc

ν2c + ω2

c

vy = −vd,y − v0e−νct sen ωct, donde vd,y ≡

E0

B0

ω2c

ν2c + ω2

c

Atendiendo a estos resultados en condiciones estacionarias se puede comprobar que existendensidades de corriente tanto en la dirección x como en la y. La potencia será entonces

P = −enevx = −neE20

B0

ωcνc

ν2c + ω2

c

= Uν∗

con U = 12ε0E

20 y ν∗ =

2ω2pe

νc

ν2c

ω2c+ν2

c= ν∗0

ν2c

ω2c+ν2

c, es la tasa a la cual la energía se transfiere

de la fuente al plasma.Se ve que el campo magnético decrece el valor de ν∗. Si la presión del gas neutro (νc)

es constante y se varía la inducción magnética (ωc) el máximo de ν∗ se alcanza cuandoωc = 0, con un valor ν∗0. En cambio, si está fijo ωc y se varía νc el máximo de ν∗ se daráen ωc = νc con valor 1

2ν∗0.

5.3. Condición de Schottky

La temperatura cinética electrónica de una columna positiva cilíndrica en una descargaglow normal está determinada por la imposición de que la densidad numérica electrónica



va a cero en el radio externo del plasma r = a. A partir de la ecuación de continuidad delos electrones y de la ley de Fick de la difusión podemos encontrar la condición, siempre ycuando el coeficiente de difusión radial y la frecuencia de ionización sean funciones débilesde la temperatura

νi(Te)

De(Te)=

(2,405

a

)2

Por consiguiente, Te queda determinada por a.

5.3.1. Te de la conservación de partículas

En un reactor plano-paralelo con una descarga glow, el parámetro de ruptura, el pro-ducto de pd, es una función de sólo Te. Para ello compararemos las expresiones de lacorriente: la que fluye entre electrodos gracias a la fuente, y la debida a la tasa con lasque las cargas se crean en el plasma. Ambos valores son iguales y como ne ∝ p se obtieneque

1

pd≈ 1

n0d=〈σv〉ne

E0µe

= f(Te),

al ser E0 = cte. Este resultado se basa en parámetros axiales del plasma, no radiales comola condición de Schottky.

5.3.2. ne de la conservación de la energía

La densidad numérica electrónica en descargas glow DC se relaciona con la potenciatotal disipada en la descarga. La potencia total será PT = Pe + Pi = VAIA. Como en elestado estacionario Γe = Γi podemos calcular los sumandos:

Pe = eΓeA(V ∗ + We(eV)),

con V ∗ los electrón-voltios necesarios para crear un par ión-electrón y We = 2Te(eV), laenergía con la que los electrones inciden en el electrodo

Pi = eΓiAWi(eV),

con Wi la energía de bombardeo iónica.Relacionando el flujo de partículas con la movilidad, se tiene

ne =VAIA

eAµeE0(2Te(eV) + V ∗ + Wi(eV)),

con E0 = cte. Si no se cambian radicalmente los parámetros de operación y observamosque sólo hay una ligera dependencia con Te, se ve claro que ne depende de PT .



5.3.3. Distribución de potencia en descargas glow DC

Se tiene que P = 12ε0E

2ν∗ y la mayor parte se disipará en la región catódica, al ser aquímayor el campo eléctrico. Por lo tanto, la columna positiva casi estará libre de pérdidas.

5.3.4. Relaciones de similitud

Si un tamaño de descarga funciona bien es conveniente crear descargas en escala paraaprovechar sus ventajas. Dos descargas se llaman similares si sus dimensiones axiales ydiámetros se relacionan mediante: d1 = ad2 y D1 = aD2. Si a las dos se le suministra lamisma potencia conducirán igual corriente. Es escalado también afecta a p, λ, E, J, ne, α.La utilidad es que nos sirven los datos tabulados al ser constante el valor de dp, α

p, E

p.

5.4. Teoría de las estrías móviles

Se dan a baja presión, cuando la difusión no es fickiana. Aparecen a causa del retardode tiempo finito que hay entre colisiones e ionizaciones entre electrones y neutros enplasmas lorentzianos.

5.4.1. Características de la descarga

Es una glow normal DC, en la que hay un flujo convectivo de gas neutro creado por elmomento impartido por los impactos electrón-neutro. El flujo de gas se dirige axialmenteal ánodo.

Figura 26: Circulación del gas neutro en un tubo de descarga eléctrica glow normal DC.

5.4.2. Ecuaciones de continuidad

Debemos estudiar los neutros, electrones e iones. Si la difusión es fickiana y el plasmaes cuasi-neutro la variación temporal de las densidades dependerá de la difusión radialfickiana, de la convectividad a través del eje y a las colisiones entre electrones y neutros.Según esto, las ecuaciones serán oscilatorias y amortiguadas, pero no periódicas. Si ladifusión no es fickiana debemos de considerar el flujo de partículas neto a través de lasuperficie de una pequeña esfera centrada en el punto de interés. El flujo hacia afuera



depende de la densidad en su interior y el tiempo de análisis. El flujo hacia dentro dependede la densidad a una distancia λ en el instante anterior t− t0. Esto introduce un retardode tiempo en las ecuaciones de continuidad.

La variación temporal de la densidad dependerá entonces de la dirección del flujorespecto al cátodo; del efluvio de cargas promediado en el tiempo y el espacio; de ladifusión radial de las cargas; de la interacción neutro-electrón, y de las velocidades dederiva que influyen en la variación axial. Estas ecuaciones se pueden adimensionalizarsuponiendo una variación sinusoidal de las densidades: n = n0 + n1 sen θ. Agrupando lasecuaciones obtenidas de la forma neutros (metaestables) y electrones, y neutros e ionesobtendremos las ecuaciones de Lotka–Volterra, con soluciones periódicas.

5.4.3. Relación de dispersión para estrías móviles

Con un análisis lineal y de pequeñas perturbaciones con uno de los pares de ecua-ciones conocemos las curvas de dispersión de las estrías electrón-neutro. También podemosobtener las de las estrías ión-neutro aunque están fuertemente amortiguadas. Las curvasmuestran además el caso físicamente improbable de flujo de gas hacia el cátodo.

Es posible estudiar las estrías estáticas, que no son ondas estacionarias puesto queson el resultado de la propagación de estrías móviles con velocidad igual y opuesta a lavelocidad de deriva del gas neutro. A baja presión, la descarga entera oscila al unísono conuna fase y frecuencia. Si entonces, las ecuaciones de continuidad oscilan coherentementese creará una modulación indeseada.

Figura 27: Curvas de dispersión completas para estrías móviles en los tubos de descargaseléctricas glow normal DC.

5.5. Teoría de las vainas de plasma DC

Separan al plasma de las paredes y sus propiedades determinan la energía y el flujode las cargas que golpean a la pared.



5.5.1. Aproximación de vaina a baja tensión DC

Figura 28: El comportamiento de los electrones y los parámetros del plasma en una vainaentre una pared negativamente polarizada y un plasma a potencial cero. Se indica unesquema del potencial y el perfil de la densidad numérica de partículas cargadas en lavaina.

En este modelo ni es constante en el espesor de la vaina, mientras que ne cae ex-ponencialmente conforme a la ecuación electrostática de Boltzmann. Los electrones másrápidos llegarán a la pared aumentando así su carga. Esto deja una nube de iones queconformará el potencial del plasma. Una vez creada esta vaina el potencial negativo dela pared repelerá a los electrones. Los regímenes de saturación indican cuándo la paredexpulsará a todas las cargas de un tipo a la vez que colecta las del otro. En estos casos sepuede conocer el flujo. El potencial flotante es en el cual igual número de iones y electroneschocan con la pared.

Si la vaina repele a los electrones y está a potencial flotante podemos estudiar los flujospara demostrar que

vf = −1

2Te(eV) ln

MTe(eV)

mTi(eV)



Figura 29: La «sonda de Langmuir» característica de corriente-tensión de una pared (son-da) polarizada en el borde de un plasma cuasi-neutro.

5.5.2. Modelo de Bohm de la vaina

En este modelo no se desprecia la aceleración de los iones en la vaina. También indicaque la frontera de la vaina no es abrupta, sino que existe una prevaina cuasi-neutra endondo las densidades empiezan a decaer. Según esto, la auténtica vaina mide unas pocasλDe y tiene mayor densidad iónica. Si no hay ionizaciones en la vaina la ecuación decontinuidad de los iones será ni(x)vi(x) = nSvS, con x = S localizando la pared. A partir

de la conservación de la energía se tiene que vS ≈√

2eVp

M, luego sustituyendo Vp por Vp−V

obtenemos vi(x).

Con esto ya conocemos ni(x) al medir nS : ni(x) = nS

√Vp

Vp−V. Los electrones obedecen

a la ecuación de Boltzmann: ne(x) = nSeV

Te(eV) . Si estas ecuaciones son sustituidas en laecuación de Poisson e imponemos que en x = 0, V = 0, junto con E(0) = 0 y queV � Vp, Te (ambas suposiciones bastante cuestionables) llegamos a una expresión para elcampo eléctrico. De la fórmula podemos obtener el criterio de Bohm de la vaina:

Vp =Te(eV)

2,

así obtenemos la velocidad de Bohm: vB =√

eTe(eV)M

. Con estos datos y calculando los flujosde cargas (constante para iones y exponencial para electrones) se obtendrá el potencialflotante:

Vf = −Te(eV)

2ln

M

2πm



Figura 30: Esquema del potencial y la densidad numérica de partículas cargadas a travésde la prevaina y la vaina de un plasma cuasi-neutro. Los iones abandonan la prevaina conla velocidad de Bohm vb.

5.5.3. Vainas de alta tensión

En las descargas glow anormales la vaina es bastante grande y en ella se da que ne → 0,por lo que la pared se podría utilizar como sonda de Langmuir.

5.5.4. Vainas «matriz» transitorias

Si creamos un plasma en un reactor plano-paralelo con una gran tensión negativapodremos ver en los primeros instantes que los electrones abandonan una matriz de ionesinmóviles. En este modelo tenemos que

E =en0

ε0

x y V (x) = −en0S2

2ε0

(x

S

)2

Midiendo ciertos parámetros podemos conocer el espesor de la vaina: Sm =√

2ε0V0

en0.



5.5.5. Vainas de ley de Child

Tras pasar un tiempo t = Sm

vBen la vaina matriz los iones se mueven conforme a la

limitación de la distribución espacial de carga

J0 =4

9ε0

(2e

M

) 12 V

32

0

S2

El modelo considera que el espesor y los contornos de la vaina no se modifican con eltiempo, algo que es cuestionable. Ayudados por la velocidad de Bohm podemos calcularel espesor

S2c =

4ε0

9en0

√2

Te(eV)V

32

0

Suponiendo que no hay electrones en la vaina obtendremos que

V (x) =− V0

(x

S

) 43

E(x) =4V0

3S

(x

S

) 13

n(x) =4ε0V0

9S2

(S

x

) 23

Cuando x → 0, n →∞. Esto se corrige imponiendo que la velocidad inicial es vB, aunqueda lugar a ecuaciones no lineales.

5.6. Fuentes de plasma de descarga glow DC

Existen seis configuraciones principales.

5.6.1. Fuentes de descarga glow cilíndrica

La descarga glow puede ser normal o anormal. En las bases del cilindro se localizan loselectrodos. Normalmente, no se aplica un campo magnético, que sólo alteraría el transporteradial y disminuirá Te. Se utiliza para iluminación.

5.6.2. Fuentes de placas paralelas

El volumen de la columna positiva es bastante grande y en el régimen obstruido existeen la vaina gran caida de tensión. El ~B axial aumenta la eficiencia de potencia y previene depérdidas en bordes. El ~B paralelo a los electrodos se aplica para calentamiento resonante.Se aplica en química y en recubrimientos.



5.6.3. Fuentes de haz plasma

Con un haz de electrones o con un láser se genera el plasma de alta densidad. Se aplicacomo fuente iónica o para evaporar especies de interés. Los campos magnéticos mejoranel confinamiento.

5.6.4. Fuentes de plasma de bombardeo electrónico

Los electrones generados por un cátodo hueco ionizan el gas de una cámara a bajapresión. Los electrones de la descarga glow quedarán magnetizados por un ~B divergente.La vaina se encuentra entre la fuente y un plano a tierra. Se usa para sputtering.

5.6.5. Fuentes de plasma de descarga Penning

La descarga se obtiene mediante un gas a baja presión sumergido dentro de un campomagnético al que se le aplica una tensión. El λ es bastante grande gracias a que el ~Batrapa las cargas y el ~E les da suficiente energía para ionizar. Los electrones que generan ladescarga son secundarios o termoiónicos. Los iones producen gran cantidad de sputtering.La deriva azimutal provoca el calentamiento de las cargas: W = 1

2mE2

r

B2 .

Existen configuraciones alternativas: ánodo anular, dos anillos anódicos próximos alos cátodos, cátodos anulares, o filamento en un cátodo y el otro anular. Para mejorar elconfinamiento se utilizan espejos magnéticos. Estas descargas no tienen amplia aplicación.

5.6.6. Fuentes de plasma de magnetrón

Figura 31: Arriba: Formación del plasma de descarga glow en el magnetrón de placasparalelas. El glow negativo del plasma está atrapado en el espejo magnético formadopor los iones del magnetrón. Abajo: Plasma de descarga glow en la configuración demagnetrón coplanar. Sólo el glow negativo del plasma, atrapado por los extremos de lospolos magnéticos, es normalmente visible en esta configuración.



Se aplican en deposición y sputtering. Al originarse el plasma entre las placas el glownegativo queda confinado por el campo generado por los imanes. La columna positivaincluso puede estar ausente. El ~E entre placas acelerará las cargas originando sputteringen el cátodo, por lo que las especies eyectadas podrán llegar al ánodo si la presión es baja.La geometría coplanar posee a los electrodos de forma concéntrica. Otras configuracionesson los post magnetrones cilíndricos normal e invertido. En el primer caso el cátodo esel eje central poseyendo cerca el glow negativo. El ~B genera una deriva que provocauniformidad.

El magnetrón multipolar cilíndrico normal e invertido origina anillos de glow negativogracias a los imanes colocados en el cátodo. La deriva provoca uniformidad. La pistolade sputtering genera un anillo de glow negativo atrapado por un espejo magnético porencima del cátodo.

Figura 32: Anillo de un plasma de glow negativo formado por la configuración del mag-netrón de pistola de sputtering de simetría axial.

5.7. Características de los reactores de descarga glow

5.7.1. Comparativa de características de operación

En algunos casos faltan generalizaciones para el estudio. En la mayoría no se conoceTi no la distribución de energías de los iones, aunque indicios físicos apuntan a que estácerca de la temperatura ambiente. Las técnicas de diagnosis aún no se aplicaron a todaslas configuraciones.

5.7.2. Variables de control para descargas glow

En la industria el plasma se considera como una caja negra en donde se varían lasentradas hasta obtener la salida adecuada. Los contaminantes e impurezas afectan alplasma. La tensión de operación afecta al ~E axial y radial. El nivel de potencia controlalas ionizaciones por volumen y tiempo. La presión del gas controla la frecuencia de colisiónelectrónica. El tipo de gas controla el potencial de ionización. La inducción magnéticacontrola el transporte del plasma. La geometría de la descarga afecta a la entrada deenergía. El cátodo influye en el plasma por sus propiedades de emisión.


6 DESCARGAS ELÉCTRICAS DE ARCO DC EN GASES

5.7.3. Ejemplos de descargas glow

Una expresión empírica que relaciona la densidad de corriente con la tensión es J =J0V

9. La relación más general de la ley de la potencia es

J = J0Vk, 2 < k < 12.

Se puede encontrar en una descarga la distribución energética de los iones maxwelliana,calculando a partir de aquí Ti y el potencial flotante.

Tengamos una descarga glow DC en un campo magnético toroidal bacheado. Estaconfiguración provee un fuerte confinamiento de un plasma toroidal, sometido a un altopotencial (positivo o negativo) por anillos de electrodos localizados en la mitad del planode la disposición toroidal. Analizando la curva corriente-tensión observamos las transi-ciones de modo discontinuas que aparecen a presiones intermedias (a bajas se da queI ∝ V 2, mientras que a altas ocurre que I ∝ V 3). La curva ne − VA también presentatransiciones de modo para los dos regímenes de presión. Esto puede deberse a pérdidascreadas por transporte inducido por fluctuaciones.

5.8. Cuestiones en la física de descarga glow

Señalemos las mayores áreas de ignorancia. No se conoce el proceso físico que conllevaesta relación de la ley de la potencia. No se sabe qué procesos físicos son responsableso cuáles cambian en las transiciones de modo. La relación entre la entrada de potenciay la densidad numérica del plasma depende de la física del transporte radial en plasmasturbulentos. Las teorías, los experimentos y las simulaciones sobre la física de las vainasno están de acuerdo entre sí. La distribución energética de electrones a bajas presionespuede ser bi-maxwelliana, existiendo así una población fría y otra caliente.

6. Descargas eléctricas de arco DC en gasesLa descarga arco es el tercer régimen importante.

6.1. Régimen de arco

El arco es bastante luminoso y posee gran corriente y densidad de corriente. La caida detensión catódica es relativamente pequeña, aproximadamente 10 V o menos, al contrariode los 100 V de las descargas glow.

6.1.1. Características tensión-corriente

En la zona del arco aparecen tres divisiones: la transición glow a arco desencadenadapor la emisión de electrones del cátodo que resulta de los grandes aportes de calor al cátodo



suministrados por las densidades de corriente del glow anormal. La descarga, después deesto, se establecerá en un punto indicado por la impedancia interna de la fuente y elcircuito. El arco puede estar entonces en el régimen no térmico, de baja intensidad yresistencia negativa, o en el térmico, de alta intensidad.

6.1.2. Rangos de los parámetros

Los arcos no térmicos son difíciles de caracterizar teóricamente o modelar computa-cionalmente debido a que el mejor equilibrio que alcanzan es el cinético, y no se puedenaplicar fórmulas útiles. La densidad electrónica de los arcos térmicos es mayor que en losno térmicos. Los arcos térmicos están en un equilibrio termodinámico local, por lo quese comprenden mejor. La relación entre la temperatura cinética electrónica y del gas esuna característica definitiva de la división: en los arcos térmicos son iguales a causa delequilibrio que cumple, y en los arcos no térmicos son diferentes al existir pocas colisioneselectrón-neutro. Normalmente, los arcos térmicos se localizan a presiones y temperaturaselevadas.

Figura 33: La operación de arcos como una función de la presión.

6.2. Fenomenología de los arcos eléctricos

Los arcos pueden originarse con grandes corrientes a moderadas tensiones.

6.2.1. Nomenclatura clásica del arco

El cátodo es el electrodo negativo y emite electrones termoiónicamente. Las manchasdel cátodo son varios puntos de conexión del electrodo y el plasma, muy calientes y congran densidad de corriente. Las manchas pueden desplazarse por el cátodo vaporizando elmaterial. La vaina catódica posee de espesor 1 mm y caida de tensión catódica de 10 V.La columna positiva ocupa casi toda la separación entre electrodos y la caida de tensiónes muy poca.



La columna positiva presenta dos regiones: el núcleo del plasma, que es caliente y elgas está mayoritariamente disociado. Está en equilibrio termodinámico y radía como uncuerpo negro. La otra región es la aureola que rodea al núcleo y contiene gases llameantes.La vaina anódica posee una caida de tensión comparable al potencial de ionización delgas. La mancha del ánodo es una zona de alta densidad de corriente, aunque al ser grandesu valor es menor que en las manchas del cátodo. El ánodo posee mayor temperatura queel cátodo.

6.2.2. Nomenclatura moderna del arco

Figura 34: Representación esquemática de las regiones de un arco lineal, con su respectivadistribución de potencial.

La mejor comprensión sobre los arcos ha permitido el uso de nueva terminología. Elcátodo emite electrones a altas densidades de corriente. Para arcos no térmicos el plasmase une al electrodo de manera difusa en varias manchas del cátodo que se desplazan. Paraarcos térmicos la unión se hace mediante micromanchas móviles con altísimas J. La vainacatódica tiene longitud del orden de λDe y una caida de tensión catódica de 10 V. Laregión del cátodo mide dc ≈ 1 mm y posee gradientes de potencial y densidad. Más alláestá la zona de flujo del cátodo de 1 cm en donde se forma el chorro catódico, donde el gasneutro interacciona con la columna del arco poseyendo altas velocidades que provocan elcalentamiento del ánodo. La columna del arco es una región de bajos gradientes. Cerca delánodo, la zona de flujo del ánodo, la región del ánodo y la vaina anódica son comparablesen dimensiones a las correspondientes al cátodo, excepto por el mayor diámetro de lamancha del ánodo, dando por tanto una menor velocidad del chorro anódico. La caida detensión anódica es casi igual al potencial de ionización del gas usado, de 3 a 13 eV.

La caida catódica es baja y por tanto la emisión secundaria de electrones no es muyrepresentativa. Para arcos no térmicos se da la emisión termoiónica, normalmente au-tosostenida calentando al cátodo hasta la temperatura indicada y después mantenida porel flujo de calor del arco. Para arcos térmicos se da la emisión de campo y el calentamiento



del cátodo se rebaja mediante refrigeración. Las micromanchas se forman en las asperezas.Finalmente, se puede decir que el ánodo puede operar en el modo de ligadura difusa oen el modo «mancha», que se diferencian por el aumento de J, además de que en arcostérmicos la caida anódica es menor que el potencial de ionización al ser el gas ionizadopor electrones maxwellianos.

6.3. Procesos físicos en arcos eléctricos

El estudio de arcos se ha llevado a cabo durante mucho tiempo, aunque las simulacionesnuméricas han provocado gran avance. Vamos a centrarnos en teorías analíticas.

6.3.1. Fuerzas volumétricas sobre arcos

Como resultado de altas densidades de corriente se genera una fuerza ~J × ~B, que siademás, J = cte se tendrá entonces que

~F = ~J × ~B = −1

2µ0J

2z r N/m3

Esta fuerza apunta radialmente hacia dentro, pinzando al arco hacia un diámetro menor.El pinzamiento Bennett es un arco cilíndrico que ha alcanzado un equilibrio donde lapresión cinética expansionaria sobre el eje está balanceada con la fuerza volumétrica radialhacia dentro:

∇p = ~J × ~B

A partir de las ecuaciones de Maxwell y de la geometría del plasma se puede realizar laintegración:

p(r) =1

4µ0J

2z (a2 − r2)

en donde r = 0 se tiene que p0 = 14µ0J

2z a2. Viendo esto, la condición del pinzamiento

Bennett queda de la siguiente manera (tomando que I = pa2Jz)

p0 =µ0I

2

4πa2

La mayoría de los arcos no poseen la corriente suficiente para equilibrar la presión, por lotanto deben intervenir otros mecanismos. Si la configuración de los electrodos es coaxial, acausa de la inestabilidad diocotrón, el arco formado entre ellos rotará siguiendo la rotaciónamperiana (negativa): ~Fm = ~J × ~B. Sin embargo, en algunos arcos no térmicos el giroposee una dirección retrógrada.



6.3.2. Formación del chorro del electrodo

El estrechamiento del plasma cerca del electrodo, en las zonas de flujo, es lo queprovocan los chorros que se dirigen fuera de los electrodos. Calculando la presión en elradio externo del plasma para la zona de la columna (r = a) y para el estrechamiento(r = b) podemos calcular el gradiente de presión axial, que es el fenómeno que origina loschorros

∆p = pb − pa =µ0I

2

4π2

(1

b2− 1

a2

)≈︸︷︷︸

a�b

µ0I2

4π2b2

Comparando con la expresión p = 12ρv2

0 se llega a que v0 ≈ Iπb

√µ0

2ρ. Por último, se indica

que la fuente debe suministrar una tensión mayor que la suma de las caidas en cadaelectrodo.

6.3.3. Radiación de arcos térmicos

Si el arco, a altas presiones, se encuentra en equilibrio termodinámico, radiará como uncuerpo negro. Bajo estas condiciones no hay flujos de potencia netos, y los caminos libresmedios de los fotones son menores que las dimensiones del medio. Los cuerpos negrosradían según la ley de Planck :

dMe

dλ=

2πhc2

λ5

1

ehc

kBTλ − 1,

con Me la radiancia. La máxima emisión se dará para la longitud de onda:

λmax =hc

4,965kBT

Integrando para todas las longitudes de onda conoceremos la radiancia a partir de la leyde Stefan–Boltzmann

Me = ε2π5k4

BT 4

15h3c2= εσT 4

con ε el factor de cuerpo gris (que considera imperfecciones en el cuerpo negro) y σ laconstante de Stefan. Si el equilibrio es cinético no existirá radiación de cuerpo negro y ladistribución será de Maxwell–Boltzmann.



Figura 35: Función de distribución de Planck de la radiancia, en watios por metro cuadradoy por intervalo diferencial de longitud de onda, como una función de la longitud de ondade emisión.

6.3.4. Modelado de arcos eléctricos

Se aborda el problema desde la dinámica de fluidos, considerando las ecuaciones deconservación de masa, momento y energía. Se supone que el arco posee simetría axial y noestán en función del tiempo. El modelo más simple asume que todo el calor es generadopor efecto Joule y todas las pérdidas se deben a la conductividad térmica radial

σE2 = −∇ · (κ∇T )

Si sólo existen dependencias radiales se consigue la ecuación de Elenbaas–Heller. Si ademásse supone que son constantes (suposición que no es cierta) obtenemos el modelo parabólico,sencillo de manejar. El modelo predice que si los bordes del arco se enfrían, el centro secalienta, además de que la temperatura en el eje es proporcional a la disipación de potencia.

Modelos más elaborados incluyen mayor dificultad computacional, por lo que el pro-grama se complica en vez de intentar mejorar el formalismo analítico. Realizando unadiagnosis con la sonda de haz de iones pesados se comprueba que no posee una dinámicade simetría axial ni es independiente del tiempo. Por consiguiente, es necesario revisar losconceptos teóricos.

6.4. Ejemplos de operación de arco

Vamos a revisar dos informes para cada tipo de arco.



6.4.1. Arco no térmico de H. Ayrton

El arco se crea a 1 atm con electrodos de carbón. La relación tensión-corriente posee undecrecimiento casi hiperbólico y aparece una transición de modo hacia los arcos siseantes.Empíricamente, se tiene la ecuación de Ayrton

VA = C1 + C2L +C3 + C4L

I

Esta ecuación es un caso particular de la ecuación de Nottingham: VA = A + BIn donde

n = 2,62 · 10−4Tv, que depende de la temperatura de vaporización del ánodo.

6.4.2. Campo eléctrico axial

Es importante conocer la disipación de potencia total, que se relaciona con el campoeléctrico a través del eje en la columna positiva del arco. La ecuación fenomenológica esE = C0

pm

Ik .

6.4.3. Arco térmico de Eberhart y Seban

El cátodo es una punta separada del ánodo plano a tierra. La presión es de 1 atm. Lapotencia de entrada se dirige mayormente al ánodo y parte al cátodo y la pared. La grandeposición de calor se debe al chorro catódico y por eso es necesaria la refrigeración. Lacorrelación tensión-corriente es V = 17,1I0,25L0,30. Se obtiene a partir de medidas, ya queno hay teoría física disponible.

6.5. Fuentes de potencia para arcos eléctricos

6.5.1. Fuentes de potencia

Para la operación, los arcos requieren de corrientes reales y puede suministrarse me-diante DC ó AC. Los arcos AC se surten con una frecuencia invariable. La calidad depotencia se mejora con estabilidad y filtrado para evitar fallos eléctricos. La potencia esdel orden de kW y el circuito puede contener un reóstato para asegurar la resistencianegativa.

6.5.2. Estabilización eléctrica de arcos no térmicos

Es necesario considerar tanto la resistencia negativa como las transiciones de modo enlos arcos no térmicos. En este circuito, la relación entre la tensión de la fuente V0, y la delarco V1, está dada por V1 = V0− IR. V1 puede obtenerse con la ecuación de Ayrton. Si serepresenta junto con la línea de carga dV1

dI= −R existirán dos intersecciones. El criterio



de estabilidad de Kaufmann indica que el corte a mayor tensión será inestable

dV1

dI+ R > 0

6.6. Mecanismos de iniciación para arcos

La iniciación de los arcos es complicada debido al requerimiento de termoemisión oemisión de campo. Existen tres mecanismos principales. El primero es la ruptura eléctricaen la que se recorre todo el diagrama tensión-corriente, por lo que el inconveniente es la altatensión requerida y las imposiciones de la fuente. El segundo mecanismo es el dibujo delarco en el que se separan los electrodos, inicialmente en contacto. Esto permite la emisiónen las zonas de alta J, que serán las asperezas. El último es la ionización externa quepuede ser una chispa RF, un cable explosivo, una pistola de plasma, radiación ionizante,fotones energéticos o irradiación con láser, o por química.

6.7. Configuraciones aplicadas de arco

Normalmente, son para arcos térmicos.

6.7.1. Arcos lineales

Son de simetría exial y están confinados entre los electrodos. La configuración básica esel arco de quemado libre que si está dispuesto horizontalmente los gases calientes flotantesarquearán la descarga. Si está verticalmente, el cátodo se coloca arriba para compensar losaportes de calor sobre el ánodo. El arco estabilizado por electrodos obstruidos no presentacolumna y las vainas de ambos electrodos entran en contacto. El arco estabilizado por paredposee un cátodo axial y un ánodo hueco coaxial. Los bordes son refrigerados, por lo quela temperatura en el eje subirá. Esto aumenta la conductividad y el arco será empujado.Existe un flujo de gas que impide que el arco se una al ánodo cerca del cátodo (lo quecrearía inestabilidades). El arco estabilizado por pared segmentada es igual al anterior peroel ánodo posee secciones aisladas entre sí con longitud necesaria para que el arco no seuna, por lo que el contacto se hará en el segmento más grande, situado en el extremoopuesto. El diámetro de ánodo debe ser menor que el diámetro del plasma en el caso dequemado libre.



Figura 36: Dos configuraciones del arco estabilizado por pared: a) ánodo coaxial unitario;b) ánodo segmentado, con segmentos de anchura axial l.

El arco transferido posee un cátodo cilíndrico refrigerado. El plasma completará elcircuito al contactar con un ánodo situado en el exterior. El plasma rotará evitandoasí el calentamiento excesivo. El arco estabilizado por transpiración posee el aspecto delsegmentado, aunque se caracteriza por suministrar el gas a través de unas aberturas enla cámara que separa los electrodos. El arco estabilizado por flujo coaxial posee el ánodomuy alejado del arco y el confinamiento lo provee un flujo de gas.

El arco estabilizado por vórtice tiene la cámara muy alejada y se inyecta un flujo degas de manera tangencial al arco, provocando un vórtice que facilita el confinamiento. Elarco estabilizado aerodinámicamente inyecta el gas de manera tangencial cerca del cátodo.

6.7.2. Arcos de expansión

Se utilizan para eliminación de residuos tóxicos y química del plasma. El arco deslizantetiene dos electrodos a un alto potencial. La descarga se origina en el trayecto más cercanoentre ambos. Un flujo de gas lo empuja hacia zonas de mayor separación hasta que seextingue. Una configuración parecida se aplica para conmutadores: dos electrodos conbordes divergentes están en contacto entre sí; si se separan forman un ángulo creando unarco que es empujado hacia los bordes por un flujo de gas.

El arco no transferido se forma entre los dos electrodos refrigerados y cilíndricos. Eldiámetro será idéntico y estarán separados por un aislante. El arco originado entre ellos,cuyos contactos rotan, es empujado hacia un extremo abierto gracias a un flujo de gas.

6.7.3. Arcos rotatorios

La antorcha del plasma es un chorro de arco con simetría axial y no transferido. Elcátodo es axial y el ánodo es coaxial y está refrigerado. El gas de trabajo empuja al plasma,



que es capaz de rotar. El arco rotatorio estabilizado magnéticamente posee un ánodocilíndrico refrigerado y el cátodo en un extremo. El campo magnético ayudará entoncesa la estabilización. La antorcha de plasma estabilizada magnéticamente es idéntica a laanterior antorcha pero posee un espejo magnético cerca del plano de rotación del arco.Hay que decir que existen muchas variantes para las antorchas y que estos arcos son dealta presión.

6.8. Cuestiones en física de arcos

Aunque los arcos poseen mucha historia aún hay puntos desconocidos. No hay unateoría para la relación tensión-corriente, aunque seguramente estará relacionada con losfenómenos de transporte radial en medios turbulentos. No se conocen los procesos físicosresponsables de las transiciones de modo, ni la causa física de la rotación retrógrada.

El modelado computacional para los arcos térmicos está bien comprendido, pero ésteno es el caso para los arcos no térmicos, que al no estar en equilibrio termodinámico no sepueden aplicar muchas ecuaciones de imposición. El transporte radial en arcos turbulentosdebe seguir estudiándose para así analizar los plasmas magnéticos relacionados con lafusión.


materia doctoral ii: introducción a la física del plasma

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