Matemáticas Sesión #7. Sistemas de ecuaciones lineales

Contextualización

En un principio debemos de saber que en realidad para resolver adecuadamente un sistema de ecuaciones lineales consideremos que esto es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución.

La discusión que es antes que la resolución se basa en saber y analizar si el sistema tiene solución o no, y si la tiene iniciaremos el proceso de decidir por cuál de los métodos lo realizaremos.

Los métodos que se tienen pueden ser analíticos o gráficos, en esta sesión aprenderemos a resolver un sistema a través de los analíticos, que iremos conociendo uno por uno, los cuales son los mayormente utilizados: sustitución e igualación.

Introducción.

¿Podre conocer la base y la altura de un rectángulo si solamente conozco su área y su perímetro?

La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es comúnmente utilizado al tener dos conceptos que tienen relación entre sí, tal es el caso del área y el perímetro de un rectángulo, en los dos se utiliza la base y la altura para el cálculo de ellos, si estos valores llegaran a no ser conocidos pero se conoce el área y perímetro podemos encontrar estos valores desconocidos tomándolos como las incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones y dar solución a través de cualquiera de sus métodos. Fuente: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/images/a/areaofasquareorarectangle.gif

Explicación

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones

con 2 o más incógnitas y se requiere de encontrar los valores de estas

incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas.

Existen algunos métodos para la solución de este tipo de sistemas, a

continuación se explicara cada uno de ellos.

Explicación

Método de sustitución.

Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas se

siguen los siguientes pasos:

Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.

Se sustituye el despeje en la otra ecuación y se resuelve la ecuación

de que resulta de esta sustitución.

Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra

en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

Ejemplo: Resuelve 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 + 3𝑦 = 11

Explicación

Paso 1: y= 7-2x

Paso 2: x+ 3(7-2x) = 11 Se multiplica el 3.

x + 21 -6x = 11

x -6x = 11- 21 Se juntan términos semejantes.

-5x = -10 El -5 pasa dividiendo al otro lado de la

igualdad

x= 2

Paso 3. y= 7-2x y= 7 -2(2) = 7- 4 -- y = 3

Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3)

Explicación

Método de igualación.

Para utilizar este método hay que despejar una variable, la misma, en las

dos ecuaciones y se igualan ambos despejes, con lo que se obtiene una

ecuación de primer grado. Los pasos a seguir son:

Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.

Se igualan los despejes obtenidos y se resuelve la ecuación lineal.

Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que

ya se tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

Ejemplo: Resuelve 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 + 3𝑦 = 11

Explicación

Paso 1. 2x + y = 7 x + 3y = 11

𝑥 =7−𝑦

2

x = 11 – 3y

Paso 2. 7−𝑦

2= 11 − 3𝑦

3𝑦 −𝑦

2= 11 −

7

2 Se juntan términos semejantes

5𝑦

2=

15

2 Se saca factor común en 2 y se resuelve la resta

10𝑦 = 30 Se multiplica por 2 cada lado

y = 3

Paso 3. x = 11 – 3y x = 11 – 3(3) X = 2

Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3)

Explicación

Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas

Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables también pueden ser utilizados para resolver sistemas de tres variables. Una ecuación lineal general con tres variables x, y y z tiene la forma:

Ax + By + Cz = D

Ejemplo Resolución de un sistema lineal con tres variables

2x + y + z = 3

-x + 2y + 2z = 1

x – y - 3z = -6

Explicación

De la tercera ecuación se despeja x quedando x = y+3z-6 y se sustituye en las otras dos ecuaciones:

2(y + 3z - 6) + y + z = 3

-(y + 3z – 6) + 2y + 2z = 1

Simplificando nos queda:

3y + 7z = 15

y – z = - 5

De la segunda ecuación se despeja y quedando y = z – 5 y se sustituye en la otra ecuación:

3( z – 5) + 7z = 15

Despejamos en z dando como resultado z = 3

Explicación

Sustituimos en y = z – 5 = 3 – 5 = -2, por lo tanto z = 3, y = -2. Ahora estos dos valores los

sustituimos en nuestro primer despeje en x = y + 3z – 6 dando como resultado x = 1. Podrás

comparar en cada ecuación para verificar que se cumpla la igualdad en cada caso.

Solución: X = 1, y = -2 y z = 3

2x + y + z = 3 2(1) +(-2) + 3 = 3

2 -2 +3 = 3 por lo tanto la igualdad nos queda: 3 = 3

-x + 2y + 2z = 1 -(1) + 2(-2) +2(3) = 1

-1 -4 + 6 = 1 por lo tanto la igualdad nos queda: 1 = 1

x – y - 3z = -6 (1) – (-2) -3(3) = -6

1 + 2 – 9 = -6 por lo tanto la igualdad nos queda: -6 = -6

En las tres ecuaciones se cumplió la igualdad, la solución es correcta.

Conclusión

Como nos habremos dado cuenta no importa el método que se utilice para la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, todos nos llevaran a la misma solución pero con diferentes procedimientos es de elección particular el elegir cual método utilizar.

La siguiente sesión iniciaremos el uso de los determinantes los cuales representan un sistema de ecuaciones y aprenderemos a dar solución a los sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas.

Extraído de: http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/algebralineal/determinante1.GIF

solo para fines educativos.

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para

enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Vitutor. (2010). Sistemas de dos ecuaciones. Recuperado de:

http://www.vitutor.net/1/36.html

Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Sustitución.

Recuperado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-

01/secciones/sustitucion.html

Duarte, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Igualación.

Recuperado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-

01/secciones/igualacion.html

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te

permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias

sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall

hispanoamericana, S.A.