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SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.

Resultado del aprendizaje Reconocer los términos semejantes, para reducir las expresiones algebraicas ya sea por medio de la suma o resta de términos, así como desarrollar habilidades para trabajar como mas de una expresión algebraica a partir del ordenamiento de la misma. Competencias a desarrollar: Genéricas: 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. Disciplinares: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. DESARROLLO Actividad 1. (Lectura y resumen del tema) Lee cuidadosamente la información que a continuación se presenta y realiza resumen de lo que consideres más importante del tema. Orden de un término Las literales de un mismo termino se ordenan alfabéticamente y, sin importar los exponentes, el coeficiente siempre debe ir antes que las literales. Este orden te ayudará en la identificación de términos semejantes. Por ejemplo:

Ordenar

Orden de un polinomio Ordenar un polinomio implica escribir sus términos de tal forma que el exponente de una misma literal disminuya o aumente de termino a término.

Orden descendente Orden ascendente

Reducción de términos semejantes En la resolución de problemas algebraicos frecuentemente se requiere reducir términos semejantes, por lo cual debemos tener presente los siguientes conceptos:

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Reducir: Es hacer algo más pequeño, menos largo. En matemáticas, es hacer más sencilla una operación o una expresión.

Semejante: Quiere decir que es parecido, pero no idéntico.

Términos semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal; es decir, cuando tienen las mismas letras afectadas de iguales exponentes.

Ejemplos:

Términos semejantes Términos no semejantes

Solo se pueden sumar o restar términos semejantes y la suma o diferencia es solo de sus coeficientes numéricos. Para reducir términos semejantes debes tomar en cuenta lo siguiente:

Reducir a un solo término todos los que tengan signos positivos.

Reducir a un solo término todos los que tengan signo negativo.

Determinar la diferencia de los resultados incisos anteriores. Ejemplo: Reducir por término semejantes.

- 7a + 2a - + a 5a

Primero reducimos los positivos 2a + a = 3a

Reducimos los negativos - 7a - 5a = - 12a

De acuerdo con los términos obtenidos tenemos:

3a - 12a = - 9a

Sumas y restas de polinomios Suma o Adición: Para efectuar la suma de dos o más polinomios se requiere reducir términos

semejantes de los polinomios que se suman. Resta o Sustracción: Para efectuar la resta de dos polinomios se suma el minuendo con el inverso aditivo

del sustraendo Para efectuar tanto la suma como la resta se pueden escribir los polinomios en renglones sucesivos de tal forma que los términos semejantes queden en una misma columna y a continuación se reducen términos semejantes. Es importante que los polinomios que se suman se ordenen todos con respecto a una misma literal, ya sea en la forma descendente o ascendente, es decir que los exponentes de una letra escogida vayan disminuyendo o aumentando de uno en uno. Recordemos que la ley de los signos en la suma y en la resta es como a continuación se muestra:

Signos iguales se suman Signos diferentes se restan

y el resultado lleva el signo que tienen.

y el resultado lleva el signo del número mayor.

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8 + 7 = 15 - 8 - 7 = - 15

8 - 7 = 1 - 8 + 7 = - 1

Ejemplo de inducción Efectúa la suma de los polinomios indicados:

; ;

Ordenando los polinomios tenemos:

Ejemplos de practica o mecanización: Resta el segundo polinomio del primero

;

De acuerdo con el orden tenemos: ( ) - ( )

Ordenando los polinomios y aplicando la regla de la resta resulta:

Actividad 2. (Ejercicio de práctica de suma y resta de polinomios.) Ejercicios de práctica. Efectúa la suma de los polinomios que se te indican.

1)

2)

Resta el segundo polinomio del primero.

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Actividad 3. (Ejemplos de aplicación) Ejemplos de aplicación. Lee los siguientes problemas y contesta en tu libreta lo que se te pide:

1) Sabemos que Ángel y Jessica se comieron el sábado

si al siguiente día Ángel y

Jessica se comen

( p = pizza, m = manzana, r = refresco )

a) ¿Cuánto consumieron en los dos días?

b) ¿Qué operación realizaste? ______________________________________ 2) Un depósito de agua rectangular se usa como criadero de peces y tiene 10 m mas de largo que de ancho. a) Representa en lenguaje algebraico las siguientes medidas: Ancho: _______________________ Largo:____________________ b) Encuentra el perímetro del depósito de agua

c) .Que operación realizaste para encontrar el perímetro? ______________________________________ Actividad 4. (Ejercicios de practica con expresiones algebraicas) Ejercicios de práctica. Encuentra el perímetro de las siguientes figuras

1) Cuadrado

2) Rectángulo

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Práctica 4. Reduce términos semejantes. Signos de agrupación Nombre:____________________________________________________Grupo:___________

1. 3x - [ x+ y - ( 2x + y )]:………………………………………………………………………….…...………….……(________) a) 4x b) 4x2 c) 4x + 1 d) 4x2 - 2y2

2. a + { ( - 2a + b ) - (- a + b - c ) + a }: ………………………………………………….………………..………(________) a) a + 2b - c b) a - 2b - c c) a2 + c2 d) a + c

3. 4x - [ 2x + ( y - 3 ) ] + [- 4y - ( 2x + 1 ) ]: …………………………………………..………………………(________) a) x - 5y + 2 b) x2 - 5y2 - 2 c) - 5y + 2 d) 5y + 2

4. ( 3x - y ) - [ ( 2x - y ) - ( 5a - b )]: ……………………………………………………………...……………(________) a) x + 5a - b b) x + 5a2 + b2 c) 5x - 2y + b d) 5x + 2y + b

5. 3a - [ 2a - ( a + b ) ]: ………………………………………………………………………………………….…(________) a) b2 b)5a2 - b2 c) - b d) 2a + b

6. 10x - { ( 3y - 4x ) - [ 2y - ( 3y - 2x ) ] }: ……………………………………………………………………(________) a) 4y2 - 16x2 b) 16x - 4y c) 14x - 4y d) 4y - 14x

7. 3m - [ 2m + 3n - ( m - n ) ] + 4 n: ……………………………………………………..……………………(________) a) 6n2 b) -6n c) 2m d) -2m2

8. ( 3x - 4y ) - { [ 5x - ( 3x + 2y ) ] - ( 2x - y ) }: ……………………………………………………...………(________) a) 3x2 - 3y2 b) 5x - 3y c) 3y - 3x d) 3x - 3y

9. - 5x + { - 3y - [ ( 5x + y ) - ( 3x + 2y ) ] }:…………………………………………………………..………(________) a) -7x - 2y b) -7x c) -7x2 - 2y2 d) 7x + 6y

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Operaciones fundamentales

Práctica 5. Suma y resta de polinomios

Nombre____________________________________________________________Grupo_______

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Resultado

Resultado

Resultado

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Resultado

Resultado

Resultado

Resultado

Resultado

Resultado

Resultado 0

Resultado

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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Resultado del aprendizaje Utilizar expresiones algebraicas partiendo de la reducción de términos semejantes para realizar operaciones de multiplicación y división, utilizando las reglas de los signos y las leyes de los exponentes. Competencias a desarrollar: Genéricas: 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. 5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. Disciplinares: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. Actividad 1. (Rescate de conocimientos) Rescate de conocimientos. En forma individual lee los siguientes problemas y contesta lo que se te pide. 1.- Mide el salón de clase o el laboratorio y contesta las siguientes preguntas: ¿Cuánto mide el largo?______________ ¿Cuánto mide el ancho?__________ ¿Cuánto tiene de área?_______________ Ahora a la medida del largo y ancho resta “x”

¿Cómo queda representado el largo y el ancho del salón o laboratorio?

Ahora con las nuevas medidas obtén el área

¿Qué operación realizaste? ________________________________________________________________________________ 2.- Te encuentras en la clase de física y el maestro plantea el siguiente problema “Un avión vuela a una

velocidad de (m – 2) km/h. A esta velocidad, ¿Cuànto tiempo le tomara volar m2 - 8m + 12 km?

Sugerencia:

¿Cuál es la velocidad del avión?________________________. ¿Cuál es la distancia que va a recorrer el avión?___________________________.

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¿Qué operación tienes que realizar para obtener el tiempo que tarda en recorrer la distancia indicada?

___________________________. DESARROLLO Actividad 2. (Lectura y resumen del tema) Lee cuidadosamente la información y subraya lo que consideres importante para realizar un resumen del tema.

Multiplicación de polinomios

Multiplicación: Operación en la que dos expresiones denominadas “multiplicando” y

“multiplicador”dan como resultado un “producto”. Al multiplicando y multiplicador

se les denomina “factores”.

La multiplicación se regula por las siguientes leyes de los signos

Para la multiplicación, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:

La multiplicación de bases iguales, los exponentes se suman: aman = am + n

Por ejemplo: a5 a4 = a5 + 4 = a9 Con respecto a la multiplicación y en relación con los polinomios distinguiremos tres casos:

Multiplicación de un:

Procedimiento: Ejemplo:

Monomio por un monomio

1.- Determinar el signo del producto.

2.- Multiplica los coeficientes numéricos.

3.- Multiplica las partes literales utilizando las leyes de los exponentes correspondientes.

Monomio por un polinomio

Se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación; es decir se multiplica cada termino del polinomio por el monomio.

Polinomio por un polinomio

Cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada uno de los términos del segundo polinomio y después se deben agrupar los términos semejantes, ya que son

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los que se pueden sumar o restar.

Actividad 3. (Ejemplos de mecanización) Ejemplos de practica o mecanización. Completa las siguientes multiplicaciones:

Actividad 4. (Ejercicios de multiplicación de expresiones algebraicas) Efectúa la multiplicación algebraica en cada una de las siguientes expresiones:

=

=

=

=

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Práctica 6. Multiplicación algebraica Nombre:____________________________________________________Gpo________ La multiplicación de expresiones algebraicas

Respuesta

Simplifique cuando sea necesario

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División de polinomios División:

División Operación en la que dos expresiones denominadas “dividendo” y “divisor” dan como

resultado un “cociente”.

La división se regula por las siguientes leyes de los signos:

Regla de los signos:

Para la división, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:

La división de bases iguales, los exponentes se restan:

Por ejemplo:

Con respecto a la división y en relación con los polinomios distinguiremos tres casos:

División de un: Procedimiento: Ejemplo:

Monomio entre un monomio

1.- Determinar el signo del cociente

2.- Dividir los coeficientes numéricos.

3.- Aplicar las leyes de los exponentes correspondientes

Polinomio entre monomio

Se utiliza la propiedad distributiva de la división, Se divide cada termino del polinomio entre el monomio y se suman o restan según sea el caso los cocientes obtenidos.

Polinomio entre polinomio

1.- Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente

2.- Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del

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divisor.

3.- Se multiplica el primer termino del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.

4.- Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos dos y tres hasta que el resultado sea cero o de menor exponente que el divisor.

Actividad 5. (Ejercicios de división de expresiones algebraicas) Efectúa la división algebraica en cada uno de los cocientes indicados.

Actividad 6. (Ejemplos de aplicación del álgebra en la solución de problemas) Ejemplos de aplicación. Lee los siguientes problemas y contesta lo que se te pide: 1. El volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de su base por su altura. ¿Qué volumen de agua se puede almacenar en un tanque en forma de prisma rectangular si el área de la base mide ( 3x2 + 12x + 12 ) y tiene una altura de (x - 6)? ¿Qué operación realizaste para obtener el resultado?

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2.- Si el área de un terreno rectangular, ésta dada por la expresión ( 2x2 + 15x + 18 ) y su largo se expresa mediante (2x + 3) . ¿Cómo se obtiene el área de un rectángulo?

¿Cuánto mide el ancho de dicho terreno?

¿Qué operación realizaste para obtener el ancho del terreno?

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Práctica 7. División algebraica.

Nombre: _________________________________________________________Gpo:______

División de expresiones algebraicas

I. Ejercicios: Efectuar la siguiente división entre monomios Resultados

II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes. Resultados

1

1

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III. Efectué las operaciones entre un polinomio y un monomio y simplifique. Resultados

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IV. Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes: Resultados

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Práctica 8. Multiplicación con signo de agrupación

Nombre___________________________________________________Gpo:_________

Multiplicación algebraica

1.

Resp:

2.

Resp:

3.

Resp:

4.

Resp:

5.

Resp: - x2 - 6x + 16

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6.

Resp: 2m2 n - 8mn2 - 10n3

7.

Resp: - 2x3y + 10x2y2 - 10xy3 + 2y4

8.

Resp: 9x + 22

9.

Resp: 8x2 + 31

10.

Resp: 10a2 + ax