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Academia de Ciencias Básicas

CURSO DE NIVELACIÓN ALGEBRAICA

Academia de Ciencias Básicas 2

CURSO DE NIVELACIÓN ALGEBRAICA

Contenido 1. Operaciones con signos. ................................................................................................................................................. 3

2. Operaciones básicas. Jerarquía de las operaciones. ..................................................................................................... 4

3. Operaciones con fracciones ........................................................................................................................................... 5

4. Polinomios ...................................................................................................................................................................... 6

5. Multiplicación. Propiedades de los exponentes. .......................................................................................................... 8

6. División de polinomios. ................................................................................................................................................ 10

7. Factorización. ................................................................................................................................................................ 10

7. Fracciones algebraicas. ................................................................................................................................................. 13

8. Ecuaciones de primer grado. ........................................................................................................................................ 14

9. Ecuaciones de segundo grado. ..................................................................................................................................... 15


1. OPERACIONES CON SIGNOS.

Valor Absoluto

Se define el valor absoluto de un número x, mediante,

|𝑥| = { 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Geométricamente, el valor absoluto de x representa la distancia del punto x al 0.

Leyes de los signos

(+)(+) = (+) (−)(−) = (+) (+)(−) = (−) (−)(+) = (−)

(+)

(+)= (+)

(−)

(−)= (+)

(+)

(−)= (−)

(−)

(+)= (−)

Ejercicio: A. Evalúe:

1. −(+7) 2. −(+12) 3. −(−8)

4. |+2|

5. |−27| 6. |−32| 7. −(0) 8. (−7) + (−3)

9. (+7) + (−3) 10. (−12) + (+8) 11. (+3) − (−9) 12. (+9) − (−3)

Ejercicio: B. Evalúe:

13. −[−(−3)] 14. −[−(+6)] 15. −(|−9| − |−3|) 16. −(|−14| − |−8|)

17. (−2) + (−6) + 3 18. (−2) + (−8) + 5

19. −2 − 3 + 6 − 2 20. −4 + 7 − 3 − 2 21. 6 − [3 − (−9)] 22. (−10) − [(−6) + 3] 23. [6 − (−8)] − [(−8) − 6] 24. [3 − 5] + [(−5) − (−2)]

Sustituya cada signo de interrogación por el número real adecuado:

25. −(? ) = 5

26. −(? ) = −8

27. (−3) − ? = −8 28. ? − (−2) = −4

Evalué cada expresión cuando x = 3, y = - 8 y z = - 2.

29. 𝑥 + 𝑦 30. 𝑦 − (𝑧 − 𝑥)

31. |(−𝑧) − |𝑦||

32. ||−𝑦| − 12|


Ejercicio: A. Efectúe las operaciones indicadas:

1. (−3)(−5) 2. (+6)(−3) 3. (−20) ÷ (−4) 4. (−2)(+9)

5. −9

+3

6. +12

−4

7. 0(−7) 8. (−6)0 9. 0/5

10. 3/0 11. −2/0

12. 0 ÷ 0

13. −21

3

14. −36

−4

15. (−7) + (−3)(+2) 16. (−7) − (−3)(−4)

17. 5 −−8

2

18. 7 −−16

−2

19. −12 +−14

−7

20. −10

5+ (−7)

21. 6(−4)

−8

22. 5(−3)

3

23. 22

−11− (−4)(−3)

24. 3(−2) −−10

−5

25. −16

2−

3

−1

26. 27

−9−

−21

−7

27. (+5)(−7)(+2) 28. (−22)(+36)(0) 29. [(+2) + (−7)][(+8) − (+10)] 30. [(−3) − (+8)][(+4) + (−2)]

Evalúe cuando w = +2, x = - 3, y = 0 y z = - 24.

31. 𝑤/𝑦 32. 𝑦/𝑥

33. 𝑥𝑦

𝑤− 𝑥𝑦𝑧

34. 𝑤𝑥𝑦 −𝑦

𝑧

35. −|𝑤||𝑥|

36. (|𝑥||𝑧|)

37. |𝑧|

|𝑥|

Evalúe cuando w = +2, x = - 3, y = 0 y z = - 24.

38. 𝑤𝑥 +𝑧

𝑤𝑥+ 𝑤𝑧 39.

8𝑥

𝑧−

𝑧−6𝑥

𝑤𝑥

𝑤−𝑥

𝑤+𝑥−

𝑧

2𝑥

2. OPERACIONES BÁSICAS. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.

Jerarquía de operaciones.

1. Potencias y radicales. 2. Productos y divisiones. 3. Suma y resta.

Nota: Uso de los paréntesis para alterar el orden de las operaciones.

Ejercicio: A. Evalué cada expresión.

1. 10 − 3 ∙ 2 2. (10 − 3) ∙ 2

3. 10 − 3(7 − 4)

4. (10 − 3)(7 − 5)

5. (10 − 2) − 2(7 − 4) 6. 12 − 2(7 − 5)


Evalué cada expresión algebraica cuando x = 9 y y = 2.

7. 𝑥 − 2𝑦

8. 𝑥 + 3𝑦 9. (𝑥 − 2)𝑦

10. 𝑥 − 3(𝑦 + 1)

11. (𝑥 − 3)(𝑦 + 1)

12. 𝑦(𝑥 − 2𝑦) 13. 3(𝑥 − 2) − 𝑥𝑦 14. 𝑥𝑦 − 2(𝑦 + 3)

Ejercicio: B. Evalúe cada expresión cuando u = 2, v = 3, w = 4, y x = 5.

15. 5𝑤 − 2(𝑢 + 𝑣) 16. 4(𝑥 − 𝑢) − 𝑤 17. 3[𝑥 − 2(𝑤 − 𝑣)]

18. 3{𝑥 − 3[9 − 4(𝑥 − 𝑣)]} 19. 2{[(𝑤 − 𝑢) + 3(𝑣 + 2𝑢)] − 𝑤} 20. 3{𝑤 + 3[(𝑥 − 𝑢) + 2(𝑢 + 𝑣)]}

Traduzca cada proposición a una ecuación algebraica con “x” como única variable.

21. 18 es igual a 3 veces (el triple) de cierto número. 22. 80 es igual a 3 veces más el doble de cierto número 23. 26 es igual a cierto número menos 12 24. 43 es igual al producto de 4 por cierto número menos 7 25. 62 es igual a 5 veces cierto número menos 9 26. 6 veces un número es igual a 4 más 3 veces dicho número 27. 7 veces un número es igual a 12 más 4 veces dicho número 28. Cierto número menos 6 es igual a 5 veces otro número que es igual a 7 más el primero. 29. 5 más cierto número es 3 veces otro número, que es igual al primero menos 4. 30. La suma de 4 números naturales consecutivos es 210. 31. La suma de 3 números nones consecutivos es 99. 32. La suma de 3 números pares consecutivos es 64

Ejercicio: C. Evalué cada expresión cuando u = 12, v = 3, w = 8, y x = 5.

33. 5{18 − 2[𝑢 − 𝑣(𝑥 − 𝑣)]} − 𝑣𝑤 34. 𝑢𝑥 − 2{2[(𝑤 − 𝑣) + (𝑢 − 𝑥)] + 1}

3. OPERACIONES CON FRACCIONES

Propiedad Ejemplo Descripción

Suma de fracciones

semejantes con numerador 1 a

c+

b

c=

a + b

c

3

7+

5

7=

3 + 5

7=

8

7

Para sumar fracciones con el mismo denominador, sume los numeradores.

Suma de fracciones no semejantes

a

b+

c

d=

ad + bc

bd

8

3+

4

7=

(8)(7) + (3)(4)

(3)(7)=

44

21

Para sumar fracciones con diferente denominador, encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores.


Producto de fracciones a

b(

c

d) =

ac

bd

1

5(

2

3) =

(1)(2)

(5)(3)=

2

15

Para multiplicar fracciones, multiplique numeradores y denominadores.

División de fracciones abcd

=ad

bc

2357

=(2)(7)

(5)(3)=

14

15

Para dividir fracciones, multiplique extremo por extremo y medio por medio.

Resolver

1. (3

−4) ÷ 8 =

2. (−6

5) 7 =

3. (−1

2) (−

3

4) =

4. (7

5) (−2) (

4

3) =

5. (−7)(−2) (−1

5) =

6. (−1) (3

4) (0) =

7. −

7

3

−4

5

=

8. −42

3

=

9. −4

5

−3

2

=

10.

3

5

−7=

11. 2

3− [5 − 5 (3 −

1

4)] =

12. −5 −3

4[−8 + 5 (

2

3− 2)] =

13. (1

5+

1

2) [3 −

4

3− (

1

3− 5)] =

14. 1

3

2[

5

3−

1

4(3 −

1

2)] =

15. (

1

3+

1

2)−(

1

3+

5

7)

1

2−

3

7+

4

5

=

16. [(

2

5)(

3

4)−

1

3]−2

2

3(

5

4÷

1

2)

=

17. [1

3(

4

−5)] − [

1

3(−

1

7)] =

4. POLINOMIOS

Un polinomio es una función de la forma:

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 Donde 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 son números, n es un entero no negativo y 𝑎𝑛 ≠ 0. Este polinomio es de grado n.

𝑎𝑛 se denomina coeficiente principal del polinomio.


Suma y resta de polinomios.

Para efectuar la suma y resta de dos o más polinomios se requiere únicamente reducir términos semejantes, es decir, términos con las mismas variables elevadas a las mismas potencias.

Las expresiones (multiplicaciones) que tienen literales con los mismos exponentes SON SEMEJANTES y pueden sumarse o restarse.

Ejemplo:

yxyxyx 222 1275

Nota: Expresiones no semejantes NO se pueden sumar o restar

- Recordar la propiedad distributiva (multiplicación) y reglas de los signos.

Ejercicio: A. Dado el polinomio 7𝑥4 − 3𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 3, indique:

1. El coeficiente del segundo término 2. El coeficiente del tercer término 3. El exponente de la variable en el segundo término 4. El exponente de la variable en el cuarto término 5. El coeficiente del cuarto término 6. El coeficiente del primer término

Suprima los paréntesis para simplificar (si los hay) y reduzca los términos semejantes que encuentre:

7. 9𝑥 + 8𝑥

8. 7𝑥 − 3𝑥 9. 2𝑥 − 5𝑥 + 𝑥

10. 2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑥

11. 5𝑚 + 3𝑛 − 𝑚 − 9𝑛 12. 3(𝑢 − 2𝑣) + 2(3𝑢 + 𝑣)

13. 2(𝑥 − 𝑦) − 3(3𝑥 − 2𝑦)

14. (2𝑢 − 𝑣) − (3𝑢 − 5𝑣) 15. (𝑥 + 3𝑦) − (2𝑥 − 5𝑦)

Sume:

16. 6𝑥 + 5 𝑦 3𝑥 − 8

17. 7𝑥 − 5, −𝑥 + 3, 𝑦 − 8𝑥 − 2

18. 5𝑥2 + 2𝑥 − 7, 2𝑥2 + 3, 𝑦 − 3𝑥 − 8

19. 2𝑥2 − 3𝑥 + 1, 2𝑥 − 3, 𝑦 4𝑥2 + 5

Reste:

20. 3𝑥 − 8 𝑑𝑒 2𝑥 − 7 21. 4𝑥 − 9 𝑑𝑒 2𝑥 + 3

22. 2𝑦2 − 6𝑦 + 1 𝑑𝑒 𝑦2 − 6𝑦 − 1 23. 𝑥2 − 3𝑥 − 5 𝑑𝑒 2𝑥2 − 6𝑥 − 5

Suprima los símbolos de agrupamiento (si los hay) para simplificar y reduzca los términos semejantes que encuentre.

24. −4𝑟3𝑡3 − 7𝑟3𝑡3 − 7𝑟3𝑡3 + 9𝑟3𝑡3 25. 𝑦3 + 4𝑦2 − 10 + 2𝑦3 − 𝑦 + 7


26. 3𝑥2 − 2𝑥 + 5 − 𝑥2 + 4𝑥 − 8

27. 𝑎2 − 3𝑎𝑏 + 𝑏2 + 2𝑎2 + 3𝑎𝑏 − 2𝑏2

28. 2𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 5𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 𝑥𝑦 − 4𝑥2𝑦 29. 𝑎 + 𝑏 − 2(𝑎 − 𝑏)

30. 𝑥 − 3(𝑥 + 2𝑦) + 5𝑦 31. −2(−3𝑥 + 1) − (2𝑥 + 4) 32. −2(𝑦 − 7) − 3(2𝑦 + 1) − (−5𝑦 + 7) 33. 4𝑡 − 3[4 − 2(𝑡 − 1)]

Ponga la expresión algebraica adecuada en lugar de cada signo de interrogación.

34. 5 + 𝑚 − 2𝑛 = 5 + ( ? ) 35. 2 + 3𝑥 − 𝑦 = 2 + ( ? )

36. 2 + 3𝑥 − 𝑦 = 2 − ( ? )

37. 𝑤2 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑤2 + ( ? )

38. Sume: 2𝑥4 − 𝑥2 − 7, 3𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥, 𝑦 𝑥2 − 3𝑥 − 1

39. Sume: 3𝑥3 − 2𝑥2 + 5, 3𝑥2 − 𝑥 − 3, 𝑦 2𝑥 + 4 40. Reste la suma de los dos primeros polinomios a la suma de los dos últimos:

3𝑚3 − 2𝑚 + 5, 4𝑚2 − 𝑚, 3𝑚2 − 3𝑚 − 2 𝑦 𝑚3 + 𝑚2 + 2 41. Reste la suma de los dos últimos polinomios a la suma de los dos primeros:

2𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2, 3𝑥𝑦 − 𝑦2, 𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦2, 𝑦 − 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 2𝑦2

Suprima los símbolos de agrupamiento y reduzca los términos semejantes.

42. 2𝑡 − 3{𝑡 + 2[𝑡 − (𝑡 + 5)] + 1} 43. 𝑥 − {𝑥 − [𝑥 − (𝑥 − 1)]}

44. 𝑤 − {𝑥 − [𝑧 − (𝑤 − 𝑥) − 𝑧] − (𝑥 − 𝑤)} + 𝑥 45. 3𝑥2 − 2{𝑥 − 𝑥[𝑥 + 4(𝑥 − 3)] − 5}

5. MULTIPLICACIÓN. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.

LEYES DE LOS EXPONENTES

Ley Ejemplo Descripción

𝑥𝑚𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛 𝑥2𝑥5 = 𝑥2+5 = 𝑥7 Para multiplicar dos potencias de la misma base, sume los exponentes.

𝑥𝑚

𝑥𝑛= 𝑥𝑚−𝑛

𝑥5

𝑥2= 𝑥5−2 = 𝑥3

Para dividir dos potencias de la misma base, reste los exponentes.

(𝑥𝑚)𝑛 = 𝑥𝑚𝑛 (𝑥2)5 = 𝑥(2)(5) = 𝑥10 Para elevar una potencia a una nueva, multiplique los exponentes.

(𝑥𝑦)𝑛 = 𝑥𝑛𝑦𝑛 (𝑥𝑦)2 = 𝑥2𝑦2 Para elevar un producto a una potencia, eleve cada una de las bases a la potencia.

(𝑥

𝑦)

𝑛

=𝑥𝑛

𝑦𝑛 (

𝑥

𝑦)

2

=𝑥2

𝑦2

Para elevar un cociente a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia.


FÓRMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES Si a y b son número reales o expresiones algebraicas, entonces:

Fórmula Ejemplo

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑥 + 2)2 = (𝑥)2 + 2(𝑥)(2) + (2)2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑥 − 2)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(2) + (2)2

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = (𝑥)2 − (2)2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 (𝑥 + 2)3 = (𝑥)3 + 3(𝑥)2(2) + 3(𝑥)(2)2 + (2)3

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 (𝑥 − 2)3 = (𝑥)3 − 3(𝑥)2(2) + 3(𝑥)(2)2 − (2)3

POTENCIAS

𝑎𝑛 n-ésima potencia de a

a1= a (no ponemos el exponente)

a2= a∙a -------------------------------- cuadrado

a3= a∙a∙a ----------------------------- cubo

a4= a∙a∙a∙a -------------------------- 4ª potencia de a

Ejercicio: A. Aplique la primera propiedad de los exponentes para simplificar.

1. 𝑦2𝑦3

2. 𝑥3𝑥2

3. (5𝑦4)(2𝑦)

4. (2𝑥)(3𝑥4)

5. (8𝑥11)(−3𝑥9)

6. (−7𝑢9)(5𝑢7)

7. (2𝑥3)(−3𝑥)(−4𝑥5)

8. (−3𝑥𝑦2𝑧3)(−5𝑥𝑦𝑧2)

9. (−2𝑥𝑦3𝑧)(3𝑥3𝑦𝑧)

Multiplique:

10. 𝑦(𝑦 + 7)

11. 5𝑦(2𝑦 − 7)

12. 3𝑎2(𝑎3 + 2𝑎2)

13. 2𝑦(𝑦2 + 2𝑦 − 3)

14. 7𝑚3(𝑚3 − 2𝑚2 − 𝑚 + 4)

15. 4𝑚2𝑛3(2𝑚3𝑛 − 𝑚𝑛2)

16. 2𝑐𝑑3(𝑐2𝑑 − 2𝑐𝑑 + 4𝑐3𝑑2)

17. 3𝑥2𝑦(2𝑥𝑦3 + 4𝑥 − 𝑦2)

18. (3𝑦 + 2)(2𝑦2 + 5𝑦 − 3)

19. (𝑚 + 2𝑛)(𝑚2 − 4𝑚𝑛 − 𝑛2)

20. (2𝑚2 + 2𝑚 − 1)(3𝑚2 − 2𝑚 + 1)

21. (𝑥2 − 3𝑥 + 5)(2𝑥2 + 𝑥 − 2)

22. (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

23. (2𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2)(𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2)

Desarrolle los siguientes productos notables

24. (3𝑥 + 2)2

25. (2𝑥 − 3)2

26. (3𝑥 + 4𝑦)2

27. (2𝑥 − 5𝑦)2

28. (𝑥 − 9)(𝑥 + 9)

29. (3𝑥 + 4)(3𝑥 − 4)

30. (𝑥 + 2𝑦)3

31. (2𝑚 − 𝑛)3

Simplifique:

32. (3𝑥 − 1)(𝑥 + 2) − (2𝑥 − 3)2 33. (2𝑥 − 1)3 − 2(2𝑥 − 1)2 + 3(2𝑥 − 1) + 7


34. −3𝑥{𝑥[𝑥 − 𝑥(2 − 𝑥)] − (𝑥 + 2)(𝑥2 − 3)}

35. 2{(𝑥 − 3)(𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 𝑥[3 − 𝑥(𝑥 − 2)]}

36. (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(2𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 1)

6. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

Ejercicio: A. Divida por el procedimiento largo de la división. Verifique los resultados.

1. (3𝑥2 − 5𝑥 − 2)/(𝑥 − 2)

2. (2𝑦3 + 5𝑦2 − 𝑦 − 6)/(𝑦 + 2)

3. (3𝑥2 − 11𝑥 − 1)/(𝑥 − 4)

4. (2𝑥2 − 3𝑥 − 4)/(𝑥 − 3)

5. (8𝑥2 − 14𝑥 + 3)/(2𝑥 − 3)

6. (6𝑥2 + 𝑥 − 13)/(2𝑥 + 3)

7. (6𝑥2 + 11𝑥 − 12)/(3𝑥 − 2)

8. (𝑦2 − 9)/(𝑦 + 3)

9. (12𝑥2 + 11𝑥 − 2)/(3𝑥 + 2)

10. (8𝑥2 − 6𝑥 + 6)/(2𝑥 − 1)

11. (8𝑥2 + 7)/(2𝑥 − 3)

12. (9𝑥2 − 8)/(3𝑥 − 2)

13. (−7𝑥 + 2𝑥2 − 1)/(2𝑥 + 1)

14. (13𝑥 − 12 + 3𝑥2)/(3𝑥 − 2)

15. (𝑥3 − 1)/(𝑥 − 1)

16. (𝑥4 − 81)/(𝑥 − 3)

17. (4𝑎2 − 22 − 7𝑎)/(𝑎 − 3)

18. (𝑥 + 5𝑥2 − 10 + 𝑥3)/(𝑥 + 2)

19. (3 + 𝑥3 − 𝑥)/(𝑥 − 3)

20. (3𝑦 − 𝑦2 + 2𝑦3 − 1)/(𝑦 + 2)

21. (9𝑥4 − 2 − 6𝑥 − 𝑥2)/(3𝑥 − 1)

22. (16𝑥 − 5𝑥3 − 8 + 6𝑥4 − 8𝑥2)/(2𝑥 − 4 + 3𝑥2)

23. (9𝑥3 − 𝑥 + 2𝑥5 + 9𝑥3 − 2 − 𝑥)/(2 + 𝑥2 − 3𝑥)

24. (12𝑥2 − 19𝑥3 − 4𝑥 − 3 + 12𝑥5)/(4𝑥2 − 1)

7. FACTORIZACIÓN.

Factorización de trinomios cuadrados de la forma x2 + bx + c

Las expresiones de este tipo, que representan polinomios que no son primos, son polinomios que pueden factorizarse y resultan de multiplicar dos binomios de la forma (x + m)(x + n) que tienen las características siguientes:

Tienen un término común, el cual es la raíz cuadrada del término x2, es decir, x.

Los términos no comunes son aquellos que al sumarse resultan en el valor del coeficiente del término bx; es decir, igual a b y cuyo producto es igual a c. De acuerdo con esto: mn = c m + n = b

Ejemplo:

Factoriza x2 + 3x - 10. Solución: (x + 5)(x - 2) es la factorización de x2 + 3x - 10 debido a lo siguiente:

Los binomios que se multiplican tienen a la literal x como término común.

El producto de los términos no comunes es -10.

La suma de esos términos no comunes es 5 + (-2) = 3.


Factorización de trinomios cuadrados de la forma x2 + bx + c Los factores de un trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c, no primo, son dos binomios con un término común, el cual se obtiene al sacar raíz cuadrada al término cuadrático (x2). Los otros dos términos de los binomios son dos números cuyo producto es c y cuya suma es b. Ejemplo: Factoriza el trinomio cuadrado siguiente: x2 + 7x + 12 Solución: Primero encuentra todos los pares de números enteros cuyo producto sea 12 y después, de esos pares, selecciona aquel cuya suma sea 7. Como el producto (12) es positivo, los dos números que se buscan deben ser del mismo signo, y como la suma (7) también es positiva, los dos números que se buscan deben ser ambos de signo positivo.

Suma de los factores

1 12 13

2 6 8

3 4 7

Los números buscados son 3 y 4. Ahora se factoriza el trinomio utilizando esos números: x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2 + bx + c, por agrupación, con a, b y c enteros y a ≠ 0 Los siguientes son los pasos que han de seguirse para factorizar este tipo de trinomios por agrupación. 1. Se encuentra el producto ac. 2. Se encuentran dos números cuyo producto sea ac y cuya suma sea b. 3. Con los números hallados en el paso anterior, se reescribe el término bx como la suma algebraica de dos términos cuyos coeficientes numéricos sean los números obtenidos en el segundo paso. 4. Se factoriza por agrupación.

Ejemplo:

Factoriza la expresión algebraica 5a2 - 8a + 3. Solución En este problema, a = 5, b = -8 y c = 3. Paso 1. ac = 5(3) = 15 Paso 2.

Suma de los factores

1 15 16

3 5 8

-1 -15 -16

-3 -5 -8


Paso 3. - 8a = -3a - 5a; por tanto:

Paso 4. 5a2 - 8a + 3 = 5a2 - 3a - 5a + 3 = (5a2 - 3a) + (-5a + 3) = (5a2 - 3a) - (5a - 3) = a(5a - 3) - (5a - 3) = (5a - 3)(a - 1)

Escriba en forma factorizada cada expresión, después de extraer los factores comunes a todos los términos.

1. 2𝑥𝐴 + 3𝐴

2. 9𝑦2 − 6𝑦

3. 6𝑢2 − 10 𝑢𝑣

4. 9𝑢2𝑣 + 6𝑢𝑣2 5. 𝑥𝑀 − 4𝑀

6. 14𝑢2 − 6𝑢

7. 14𝑥2 − 21𝑥𝑦

8. 2𝑥3𝑦 − 6𝑥2𝑦2

9. 10𝑥2 + 15𝑥

10. 20𝑚2 + 12𝑚

11. 10𝑚2𝑛 − 15𝑚𝑛2

12. 6𝑥2𝑦2 − 6𝑥𝑦3 13. 3𝑥(𝑥 + 2) + 5(𝑥 + 2)

14. 3𝑚(𝑚 − 4) − 2(𝑚 − 4) 15. 𝑥(𝑥 + 𝑦) − 𝑦(𝑥 + 𝑦)

16. 6𝑥4 − 9𝑥3 + 3𝑥2

17. 8𝑥3𝑦 − 6𝑥2𝑦2 + 4𝑥𝑦3

18. 8𝑥4 − 12𝑥3𝑦 + 4𝑥2𝑦2 19. 3𝑥(2𝑥 + 3) − 5(2𝑥 + 3) 20. 𝑥(𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)

21. 4𝑥(2𝑥 − 3) − (2𝑥 − 3)

22. 4𝑦(𝑦 + 3) + 7(𝑦 + 3) 23. 𝑥(𝑥 − 1) − 4(𝑥 − 1)

24. 𝑚(𝑚 − 𝑛) + 𝑛(𝑚 − 𝑛)

25. 6𝑚4 − 8𝑚3 − 2𝑚2

26. 10𝑢3𝑣 + 20𝑢2𝑣2 − 15𝑢𝑣3

27. 9𝑚4 – 6𝑚3𝑛 − 6𝑚2𝑛2

28. 2𝑢(3𝑢 − 8) − 3(3𝑢 − 8) 29. 3𝑢(𝑢 − 1) − (𝑢 − 1) 30. 3𝑦(4𝑦 − 5) − (4𝑦 − 5)

En lugar de los signos de interrogación, anote expresiones algebraicas que igualen ambos miembros.

31. 3x2 − 3x + 2x − 2 = (3x2 − 3x) + ( ? )

32. 2x2 + 4x + 3x + 6 = (2x2 + 4x) + ( ? )

33. 3x2 − 12x − 2x + 8 = (3x2 − 12x) − ( ? )

34. 2y2 − 10y − 3y + 15 = (2y2 − 10y) − ( ? ) 35. 8u2 + 4u − 2u − 1 = (8u2 + 4u) − ( ? )

36. 6x2 + 10x − 3x − 5 = (6x2 + 10x) − ( ? )

Extraiga los factores comunes de cada grupo y complete las factorizaciones posibles.

37. (3𝑥2 − 3𝑥) + (2𝑥 − 2)

38. (3𝑥2 − 12𝑥) − (2𝑥 − 8)

39. (8𝑢2 + 4𝑢) − (2𝑢 + 1)

40. (2𝑥2 + 4𝑥) + (3𝑥 + 6)

41. (2𝑦2 − 10𝑦) − (3𝑦 − 15)

42. (6𝑥2 + 10𝑥) − (3𝑥 + 5)

Factorice por agrupamiento, como productos de dos polinomios de primer grado. (Estos casos se relacionan con los problemas 31 al 42).

43. 3𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑥 − 2 44. 3𝑥2 − 12𝑥 − 2𝑥 + 8

45. 8𝑢2 + 4𝑢 − 2𝑢 − 1

46. 2𝑥2 + 4𝑥 + 3𝑥 + 6

47. 2𝑦2 − 10𝑦 − 3𝑦 + 15

48. 6𝑥2 + 10𝑥 − 3𝑥 − 5

Factorice por agrupamiento, como productos de dos polinomios de primer grado.

49. 2𝑚2 − 8𝑚 + 5𝑚 − 20 50. 3𝑢2 − 12𝑢 − 𝑢 + 4


51. 6𝑚2 + 4𝑚 − 3𝑚 − 2 52. 2𝑥2 − 4𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 2𝑦2

Factorice con coeficientes enteros, si es posible. Si el polinomio no es factorizable, indíquelo.

1. 𝑥2 + 7𝑥 + 10

2. 𝑥2 − 4𝑥 + 3

3. 𝑥2 − 5𝑥 + 6

4. 𝑦2 + 3𝑦 + 3

5. 𝑥2 − 3𝑥 + 5

6. 𝑥2 + 9𝑥𝑦 + 20𝑦2

7. 𝑥2 − 10𝑥𝑦 + 21𝑦2

8. 𝑢2 + 5𝑢𝑣 + 3𝑣2

9. 3𝑥2 + 7𝑥 + 2

10. 2𝑦2 − 13𝑦 + 15

11. 3𝑥2 − 11𝑥𝑦 + 6𝑦2

12. 𝑛2 − 2𝑛 − 8

13. 𝑥2 − 4𝑥 − 6

14. 3𝑥2 − 𝑥 − 2

15. 2𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 2𝑦2

16. 3𝑢2 − 11𝑢 − 4

17. 2𝑚2 − 3𝑚 − 20

18. 3𝑠2 − 5𝑠 − 2

19. 2𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 4𝑦2

20. 12𝑥2 + 16𝑥 − 3

21. 6𝑢2 − 𝑢𝑣 − 2𝑣2

22. 6𝑥2 − 13𝑥 + 6

23. 3𝑢2 + 7𝑢𝑣 − 6𝑣2

24. 12𝑥2 − 40𝑥𝑦 − 7𝑦2

25. 15𝑥2 + 17𝑥𝑦 − 4𝑦2

26. 12𝑥2 + 19𝑥𝑦 − 10𝑦2 27. 24𝑥2 − 31𝑥𝑦 − 15𝑦2

Factorice hasta donde sea posible con coeficientes enteros.

1. 𝑣2 − 25

2. 𝑥2 − 81

3. 9𝑥2 − 16𝑦2

4. 25𝑢2 − 4𝑣2

5. 𝑥3 + 1

6. 𝑦3 − 1

7. 8𝑥3 + 27

8. 𝑢3 − 8𝑣3

9. 2𝑥3𝑦 − 6𝑥2𝑦3

10. 12𝑥3 − 3𝑥𝑦2 11. 2𝑥4 + 2𝑥

12. 4𝑥2 − 4𝑥 − 24

13. 2𝑥3 − 2𝑥2 + 8𝑥

14. 𝑚2𝑛2 − 36

15. 𝑎3𝑏3 + 8

16. 3𝑥3𝑦 − 15𝑥2𝑦2 + 18𝑥𝑦3

17. 54𝑥3 − 2𝑦3

18. 60𝑥4 + 68𝑥3𝑦 − 16𝑥2𝑦2

19. 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑥𝑦 + 3𝑦

20. 2𝑎𝑚 − 3𝑎𝑛 + 2𝑏𝑚 − 3𝑏𝑛 21. 𝑟4 − 𝑠4

22. 𝑥4 − 3𝑥2 − 4

23. (𝑥 − 3)2 − 16𝑦2

24. (𝑥2 − 𝑥)2 − 9(𝑦2 − 𝑦)2

25. 18𝑎3 − 8𝑎(𝑥2 + 8𝑥 + 16)

26. 𝑎6 − 64𝑏6

27. 2𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 4 28. 16𝑥4 − 𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 9𝑦2

7. FRACCIONES ALGEBRAICAS.

En sus respuestas, no convierta las fracciones impropias en fracciones mixtas; es decir, escriba: 7

2, 𝑦 𝑁𝑂 3

1

2

Multiplique y reduzca a términos menores.

1. 10

9∗

12

15

2. 2𝑥

3𝑦𝑥∗

6𝑦

4𝑥

3. 2𝑎

3𝑏𝑐∗

9𝑐

𝑎

4. 2𝑥2

3𝑦2 ∗9𝑦

4𝑥


a

bx

ECUACIÓN

GENERAL

Divida y reduzca a términos menores

1. 9𝑚

8𝑛÷

3𝑚

4𝑛

2. 𝑎

4𝑐÷

𝑎2

12𝑐2

3. 𝑥

3𝑦÷ 3𝑦

4. 2𝑥𝑦 ÷𝑥

𝑦

Ejecute las operaciones indicadas y reduzca a términos menores.

1. 8𝑥2

3𝑥𝑦∗

12𝑦3

6𝑦

2. 21𝑥2𝑦2

12𝑐𝑑÷

14𝑥𝑦

9𝑑

3. 3𝑐2𝑑

𝑎3𝑏3÷

3𝑎3𝑏3

𝑐𝑑

4. 3𝑥2𝑦

𝑥−𝑦∗

𝑥−𝑦

6𝑥𝑦

5. 𝑥−2

4𝑦÷

𝑥2+𝑥−6

12𝑦2

6. 9𝑢4

4𝑣3÷

−12𝑢2

15𝑣

7. 6𝑥2

4𝑥2𝑦−12𝑥𝑦∗

𝑥2+𝑥−12

3𝑥2+12

8. 𝑚+𝑛

𝑚2−𝑛2÷

𝑚2−𝑚𝑛

𝑚2−2𝑚𝑛+𝑛2

9. 𝑥+3

𝑥3+3𝑥2∗

𝑥3

𝑥−3

10. – (𝑥2 − 3𝑥) ∗𝑥−2

𝑥−3

11. (𝑡2 − 𝑡 − 12) ÷𝑡2−9

𝑡2−3𝑡

12. 9−𝑥2

𝑥2+5𝑥+6∗

𝑥+2

𝑥−3

13. (𝑑5

3𝑎÷

𝑑2

6𝑎2) ∗𝑎

4𝑑3

14. 𝑥2−𝑥𝑦

𝑥𝑦+ 𝑦2 ÷ (𝑥2−𝑦2

𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2 ÷𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2

𝑥2𝑦+𝑥𝑦2 )

8. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Una ecuación es una igualdad que nos plantea el problema de hallar los valores desconocidos que la convierten en una afirmación verdadera

El conjunto de los valores desconocidos es el conjunto solución de la ecuación. A cada valor

de dicho conjunto se le llama SOLUCIÓN o RAÍZ.

Una ecuación de primer grado es de la

forma:

0 bax

0 bax aa

bax 0

0

a

b

a

ax 0

a

bx

a

b

a

b

a

bx 0


Resuelva las ecuaciones y verifique cada resultado.

1. 𝑥 − 7 = −9 2. −4𝑚 + 5 = −9 3. 2𝑡 + 9 = 5𝑡 − 6

4. 5𝑥 + 10(𝑥 − 2) = 40 5. 5 + 4(t − 2) = 2(t + 7) + 1 6. −5𝑚 = 0 7. 4𝑦 + 7 = 2𝑦 − 6

8. 𝑥 − 3 = 𝑥 + 7

9. 4(𝑥 − 2) = 4𝑥 − 8 10. 7𝑥 − (8𝑥 − 4) − 2 = 5 − (4𝑥 + 2)

11. 3(𝑥 + 2) = 5(𝑥 − 6)

12. 10𝑥 + 25(𝑥 − 3) = 275 13. 5𝑥 − (7𝑥 − 4) − 2 = 5 − (3𝑥 + 2)

14. 𝑥(𝑥 − 1) + 5 = 𝑥2 + 𝑥 − 3 15. −2{3 + [2𝑥 − (𝑥 − 4)]} = 2[(𝑥 + 2) − 3] 16. 𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) = 54

17. −3(4 − 𝑡) = 5 − (𝑡 + 1)

18. 𝑡(𝑡 − 6) + 8 = 𝑡2 − 6𝑡 − 3 19. −2{2 − [1 − 2(𝑥 + 1)]} = 2(𝑥 + 5) − 4

Resuelva cada ecuación.

1. 𝑥

5− 2 =

3

5

2. 𝑚

4−

𝑚

3=

1

2

3. 0.7𝑥 + 0.9𝑥 = 32 4.

5. 1

2−

2

𝑥=

3

𝑥

6. 1

𝑚−

1

9=

4

9−

2

3𝑚

7. 𝑥−2

3+ 1 =

𝑥

7

8. 2𝑥−3

9−

𝑥+5

6=

3−𝑥

2− 1

9. 0.1(𝑥 − 7) + 0.05𝑥 = 0.8

10. 7

𝑦−2−

1

2= 3

11. 2𝐸

𝐸−1= 2 +

5

2𝐸

12. 𝑛−5

6𝑛−6=

1

9−

𝑛−3

4𝑛−4

13. 5 +2𝑥

𝑥−3=

6

𝑥−3

14. 𝑥

7− 1 =

1

7

15. 𝑛

5−

𝑛

6=

6

5

16. 2

3−

𝑥

8=

5

6

17. 0.3𝑥 + 0.5𝑥 = 24

18. 1

2𝑡+

1

8=

2

𝑡−

1

4

19. 𝑥+3

2−

𝑥

3= 4

20. 3𝑥+4

3−

𝑥−2

5=

2−𝑥

15− 1

21. 0.4(𝑥 + 5) − 0.3𝑥 = 17

22. 9

𝐴+1− 1 =

12

𝐴+1

23. 3𝑁

𝑁−2−

9

4𝑁= 3

24. 1

3−

𝑠−2

2𝑠+4=

𝑠+2

3𝑠+6

25. 6

𝑥−2= 3 +

3𝑥

𝑥−2

9. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

La ecuación general de 2º grado es de la forma: 02 cbxax


a

acbbx

2

42

FORMULA

GENERAL

Ejercicio: A. Resuelva por medio de la raíz cuadrada.

1. 𝑥2 − 16 = 0

2. 𝑥2 + 16 = 0

3. 𝑥2 + 25 = 0

4. 𝑚2 − 12 = 0

5. 4𝑥2 − 9 = 0 6. 16𝑦2 = 9

Resuelva por factorización.

7. 𝑢2 + 5𝑢 = 0

8. 3𝐴2 = −12𝐴

9. 4𝑢2 = 8𝑢

10. 𝑦2 − 6𝑦 + 5 = 0

11. 𝑥2 + 11𝑥 − 5 = 0 12. 3𝑄2 − 10𝑄 − 8 = 0

Resuelva por medio de la raíz cuadrada.

13. 𝑦2 = 2

14. 16𝑎2 + 9 = 0

15. 4𝑡2 − 3 = 0

16. (𝑛 + 5)2 = 9

17. (𝑥 −1

3)

2

=4

9

Resuelva por factorización. (Primero, escriba las ecuaciones en forma general).

18. 𝑢2 = 2𝑢 + 3

19. 3𝑥2 = 𝑥 + 2

20. 3 = 𝑡2 + 7𝑡 21. 2𝑥(𝑥 − 1) = 3(𝑥 + 1)

22. 𝑡

2=

2

𝑡

23. 𝑦 =9

𝑦

24. 𝑚

4(𝑚 + 1) = 3

25. 2𝑦 =2

𝑦+ 3

26. 𝐿 =15

𝐿−2

27. 1 −3

𝑥=

10

𝑥2

Complete el cuadrado y factorice.

1. 𝑥2 + 4𝑥 2. 𝑥2 − 6𝑥 3. 𝑥2 + 12𝑥

Resuelva por el método de compleción del cuadrado.

4. 𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0 5. 𝑥2 − 6𝑥 − 3 = 0

Resuelva por el método de compleción del cuadrado.

6. 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

7. 𝑢2 − 5𝑢 + 2 = 0

8. 𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0

9. 2𝑥2 − 6𝑥 + 3 = 0

10. 2𝑢2 + 3𝑢 − 1 = 0 11. 2𝑢2 − 3𝑢 + 2 = 0


Especifique las constantes a, b y c para cada ecuación cuadrática, cuando quede escrita en la forma

general: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

1. 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 2. 𝑚 = 1 − 3𝑚2 3. 3𝑦2 − 5 = 0

Resuelva con la formula cuadrática.

4. 𝑥2 + 8𝑥 + 3 = 0

5. 𝑦2 − 10𝑦 − 3 = 0

6. 𝑢2 = 1 − 3𝑢

7. 𝑦2 + 3 = 2𝑦

8. 2𝑚2 + 3 = 6𝑚 9. 𝑝 = 1 − 3𝑝2

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones por cualquier método que no sea el de compleción del cuadrado.

10. (𝑥 − 5)2 = 7

11. 𝑥2 + 2𝑥 = 2

12. 2𝑢2 + 3𝑢 = 0

13. 𝑥2 − 2𝑥 + 9 = 2𝑥 − 4

14. 𝑦2 = 10𝑦 + 3

15. 2𝑑2 + 1 = 4𝑑

16. 2

𝑢=

3

𝑢2 + 1

17. 24

10+𝑚+ 1 =

24

10−𝑚

academia de ciencias básicas - itmatamoros.edu.mx · se denomina coeficiente principal del...

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