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Matemáticas para Maestros

Grado Magisterio en Educación Primaria

Curso 2014-15

Matemáticas para Maestros – Primer Curso – Grado en Primaria – 2014/2015

2

Tema 1. Proporcionalidad Geométrica


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0. Un repaso de conceptos básicos de geometría A continuación se da una relación de términos geométricos elementales junto con su significado. Se recomienda al lector que compare las definiciones establecidas a continuación con las que se dan para los respectivos términos en los textos de Primaria o en algunas páginas de internet. - Punto: es lo que no tiene anchura, ni longitud ni altura. Es el lunar o la mancha más pequeña que se puede dibujar. Nombraremos los puntos mediante letras mayúsculas: A, B, C,... - Recta: es un conjunto infinito de puntos sin anchura ni altura. Un hilo tensado que no tenga principio ni final es la situación física de la que podemos extraer la noción de recta. Utilizaremos letras minúsculas para referirnos a las rectas: r, s, t,... - Plano: es un conjunto infinito de puntos que no tiene altura. La situación física que nos proporciona la idea intuitiva de plano es un folio prolongado indefinidamente. Utilizaremos letras griegas para designar los planos: , , ,α β γ … - Espacio: es el conjunto de todos los puntos. - Segmento: Dados dos puntos A y B, llamamos segmento de extremos A y B al conjunto de puntos de la recta AB que están entre A y B. Lo denotamos por

!

AB . - Semirrecta: Un punto A situado en una recta la divide en dos partes llamadas semirrectas. El punto A se llama origen de cada semirrecta. Una semirrecta de origen A y que contenga al punto B se denota por AB. - Rectas secantes: Dos rectas r y s se dicen secantes si tienen un punto en común. - Rectas paralelas: Dos rectas coplanares r y s se dicen paralelas si no tienen puntos en común. En este caso escribiremos r / / s. - Región cóncava y región convexa: Una región del plano se llama cóncava si existen puntos A, B de dicha región tales que el segmento

!

AB no está contenido en la región. Se llama convexa si para cualquier par de puntos A, B de la región el segmento

!

AB está completamente contenido en la región.

- Ángulo: A una región del plano limitada por dos semirrectas de origen común la llamamos ángulo. Las dos semirrectas son los lados del ángulo y su origen el vértice del ángulo. Dos semirrectas con origen común determinan en el plano dos regiones, por tanto dos ángulos. Si las semirrectas no son complementarias, una de dichas regiones es cóncava y se llama ángulo cóncavo, y la otra convexa, y se llama ángulo convexo.

A B AB

A

B

O

O

Angulo cóncavo Angulo convexo


4

Si las semirrectas son iguales, la región convexa -que se reduce a una semirrecta- se llama ángulo nulo. Si las semirrectas son complementarias las dos regiones que se obtienen son convexas, y cada una de ellas se llama ángulo llano. Si A es un punto en una semirrecta de origen O, y B un punto en otra semirrecta con el mismo origen, el ángulo convexo que forman se denota

!

A ˆ O B . Si el contexto permite deducir claramente cuáles son los lados del ángulo, también se suele denotar éste utilizando sólo su vértice, es decir,

!

ˆ O .

!

Esta notación refleja el hecho de que cuando hablemos de “el ángulo” formado por dos semirrectas nos estaremos refiriendo al ángulo convexo, salvo que hagamos mención en contra. Dos ángulos se dicen consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado común y sólo eso es común. En la figura siguiente los ángulos

!

A ˆ O B y

!

B ˆ O C son consecutivos.

Dos ángulos se dicen adyacentes si son consecutivos y sus lados no comunes son semirrectas complementarias. En la figura siguiente los ángulos

!

A ˆ O B y

!

B ˆ O C son adyacentes.

Nótese que cada ángulo

!

A ˆ O B tiene dos ángulos adyacentes a él, que son los que se forman al considerar las semirrectas complementarias de OA y OB , respectivamente, como indica la figura siguiente (en la que los dos ángulos adyacentes a

!

A ˆ O B son

!

A ˆ O D y

!

B ˆ O C ).

Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y los lados de uno son semirrectas complementarias de los lados del otro. En la figura siguiente los ángulos

!

A ˆ O B y

!

C ˆ O D son opuestos por el vértice, y también lo son los ángulos

!

B ˆ O C y

!

D ˆ O A

A

B

O

Angulo AOB

A

B

O

C

A

B

OC

A

B

OC

D

A

B

O

C

D


5

- Ángulos alternos-internos Sean r1, r2 y r3 tres rectas tales que r3 es secante de las otras dos, formándose así ocho ángulos que en este caso denotaremos, por simplicidad,

!

ˆ 1 ,……,

!

ˆ 8 como se indica en la figura siguiente:

En la figura los ángulos

!

ˆ 3 y

!

ˆ 5 son alternos-internos, así como los ángulos

!

ˆ 4 y

!

ˆ 6 . Tanto la pareja de ángulos

!

ˆ 4 y

!

ˆ 5 como la pareja de ángulos

!

ˆ 3 y

!

ˆ 6 reciben el nombre de ángulos correspondientes internos. - Grado sexagesimal y radián.

Un grado sexagesimal es el ángulo que resulta de dividir el ángulo llano en 180 partes iguales. La división del grado en 60 partes iguales da lugar a lo que se entiende por minuto sexagesimal y a su vez la división de éste en 60 partes iguales da lugar al segundo sexagesimal.

Otra unidad de medida de ángulos es el radián. Esta unidad de medida se corresponde con un ángulo central en una circunferencia de radio r que abarque un arco de longitud r. (Ver definición de circunferencia más abajo) - Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos A y B es la longitud del segmento

!

AB , y se denota por d(A,B). - Punto medio de un segmento. Diremos que un punto C de un segmento

!

AB es el punto medio de dicho segmento si equidista de los extremos del segmento, es decir, si AC = CB . - Tipos de ángulos. Un ángulo se dice que es recto si mide 90º. Un ángulo es agudo si es menor que el recto. Un ángulo es obtuso si es mayor que el recto.

Si un ángulo es agudo, ¿de qué tipo es uno adyacente a él? - Ángulos complementarios y suplementarios Dos ángulos se dicen complementarios si suman 90º y se dicen suplementarios si suman 180º. - Rectas perpendiculares. Dos secantes son perpendiculares si las semirrectas que forman al cortarse determinan ángulos rectos. - Mediatriz de un segmento. Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. - Bisectriz de un ángulo. Una semirrecta con origen en el vértice de un ángulo y pasando entre sus lados es la bisectriz de dicho ángulo si divide a éste en dos ángulos iguales.

3

6

4

12

7

5

8

r1

r2

r3

r

rradián


6

- Proyección perpendicular de un punto sobre una recta, distancia de un punto a una recta, proyección perpendicular de un segmento sobre una recta Sean r una recta y B un punto. La perpendicular a r por B corta a r en un punto A que se llama pie de la perpendicular ó también proyección (perpendicular) de B sobre r, y el segmento AB se llama segmento perpendicular a r por el punto B. Nótese que incluimos en esta definición el caso degenerado en el que B pertenece a r; en este caso tenemos A = B, y el segmento AB se reduce a un punto. La distancia de un punto B a una recta r es la longitud del segmento perpendicular a r por B. Denotamos a este valor por d(B,r). Si B pertenece a r, entonces d(B,r)=0. Dada una recta r y un segmento BC contenido en uno de los semiplanos determinados por r, llamamos proyección (perpendicular) del segmento BC sobre r al segmento cuyos extremos son las proyecciones (perpendiculares) de B y C sobre r.

Figura: En cada caso el segmento ' 'A B es la proyección perpendicular de AB sobre r - Poligonal Observar las figuras siguientes. En cada una de ellas se distinguen una familia ordenada de puntos P1, P2, …, P7 y los segmentos determinados por cada pareja de puntos consecutivos de esa familia.

Figura 1 POLIGONAL

Figura 2 NO POLIGONAL

r

rradián

r

rr

A

B

A'B' A=A'

B

B'A=A'

B=B'

B

A'=B'

A

A

B

r


7

Figura 3 NO POLIGONAL

Pero si nos detenemos un poco, vemos que ♦ los segmentos de la primera figura “no se cortan” (sí en la segunda, !!!! con , !!!!) ♦ en esa primera figura cualesquiera que sean tres puntos consecutivos no están alineados (en la tercera P3, P4 y P5 sí lo están)

Esas dos características que diferencian la primera figura del resto la convierten en lo que se denomina en geometría una poligonal. En concreto se dirá que es una poligonal (abierta) de vértices P1, P2, …, P7. En general, el número de vértices de una poligonal es mayor o igual a 3. Si el punto inicial de la poligonal coincide con el punto final de la misma, la poligonal se dice cerrada. - Polígono. Su definición, algunos de sus elementos y algunas de sus características.

♦ Se llama polígono a la región del plano delimitada por una poligonal cerrada. Los vértices de la poligonal son los vértices del polígono y los segmentos que componen la poligonal se denominan lados del polígono. Si la región es convexa, el polígono se dice convexo, y en caso contrario cóncavo.

♦ Cada segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono recibe el nombre de diagonal del polígono.

♦ Perímetro de un polígono tiene dos acepciones distintas. Nos referimos tanto a la poligonal que delimita el polígono como a la suma de las longitudes de sus lados.

♦ Los polígonos de tres lados se denominan triángulos; los de cuatro, cuadriláteros; los de cinco, pentágonos, etc.

♦ Cada par de lados consecutivos en un polígono determinan un ángulo, “dentro” del polígono, con vértice en el extremo común. Cada uno de esos ángulos se considera un ángulo del polígono y se denomina ángulo interior de dicho polígono. Un ángulo adyacente a un ángulo interior de un polígono convexo recibe el nombre de ángulo exterior del polígono.

En la figura, la zona punteada representa el ángulo correspondiente a los segmentos P4P5 y P5P6.

♦ Polígono regular. Un polígono se dice regular si

todos sus lados son iguales y son iguales todos sus ángulos. En un polígono regular, las mediatrices de los lados se cortan todas en un mismo punto llamado centro del polígono regular y tiene la propiedad de distar lo mismo de todos sus vértices. Esta propiedad permite asegurar que hay una circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono regular. (Ver definición de circunferencia más abajo).

- Cuadriláteros Daremos a continuación la terminología clásica de los cuadriláteros convexos.

En un cuadrilátero convexo dos lados no consecutivos se dicen opuestos. Los cuadriláteros convexos se pueden clasificar según la posición relativa de sus lados opuestos, distinguiéndose los siguientes casos:

Paralelogramo: Cuadrilátero en el que los dos pares de lados opuestos son paralelos. Dentro de los paralelogramos llamamos:

* Rectángulo: Paralelogramo que tiene los cuatro ángulos iguales. * Rombo: Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales. * Cuadrado: Paralelogramo con los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos iguales.

P1P2

P3

P5

P4

P6

P7


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Trapecio: Cuadrilátero en el que sólo un par de lados opuestos son paralelos. Si el trapecio

tiene dos ángulos rectos lo llamamos trapecio rectángulo; y si los dos lados no paralelos de un trapecio son iguales lo llamamos trapecio isósceles.

Relaciona cada una de las figuras con todos aquellos términos de la lista que describan algunas de sus propiedades.

cuadrado paralelogramo rombo cuadrilátero cóncavo pentágono trapecio cuadrilátero convexo pirámide trapecio isósceles octaedro rectángulo trapecio rectángulo

- Clasificación de triángulos y elementos notables de un triángulo Dos clasificaciones habituales de los triángulos están dadas, una, en función de sus lados y, otra, en función de sus ángulos. Atendiendo a sus lados:

Los triángulos pueden tener los tres lados iguales, dos iguales o los tres diferentes, llamándolos entonces equilátero en el primero de los casos, isósceles en el segundo y escaleno si todos son diferentes.

Atendiendo a la amplitud de sus ángulos: Un triángulo se dice rectángulo si tiene un ángulo recto, obtusángulo si tiene un ángulo

obtuso y acutángulo si tiene todos sus ángulos agudos. Otros términos habituales son los que se introducen a continuación.

En un triángulo isósceles, si hay un lado cuya longitud es diferente a la de los otros dos se le denomina base y a los que son iguales, laterales.

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados, se llaman catetos.

En un triángulo se distinguen una serie de elementos ligados, en cierto sentido, a sus ángulos y/o lados.

Una mediana es el segmento que une cualquier vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. El punto de corte de las tres medianas de un triángulo recibe el nombre de baricentro.

Una bisectriz ( de un ángulo del triángulo ) es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. El punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo se denomina incentro.

La mediatriz (de cada uno de los lados del triángulo) es la recta perpendicular a un lado en su punto medio. El punto de corte de las tres mediatrices de un triángulo recibe el nombre de circuncentro.

Sea ABC un triángulo y H un punto en la recta AB. El segmento

!

CH se llama altura del triángulo relativa al lado

!

AB si

!

CH es perpendicular a la recta AB. El punto de corte de las rectas que contienen las tres alturas de un triángulo se denomina ortocentro.


9

En cada uno de los triángulos siguientes, dibuja, respectivamente, las tres medianas, las tres bisectrices, las tres mediatrices y las tres alturas.

Medianas Bisectrices

Mediatrices Alturas

- Circunferencia y círculo

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado centro. Cada uno de los segmentos iguales que unen el centro con los puntos de la circunferencia se llama radio. También se llama radio a la longitud de cualquiera de esos segmentos. Círculo es la región del plano encerrada por una circunferencia.

La figura de la derecha ilustra el rompecabezas conocido como tangram chino.

a) Describe cada una de las siete figuras que lo componen.

b) Utilizando las siete piezas del tangram construye dos figuras cóncavas y dos convexas.

c) Usando las siete piezas del tangram, construye un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo (que no sea cuadrado, ni rectángulo), un triángulo y un trapecio.


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1. Paralelismo de rectas Un criterio es una regla que permite, sabiendo que se cumplen ciertas condiciones, asegurar la validez de una cierta propiedad o relación. Aquí nos fijaremos en los ángulos que forman dos rectas al ser cortadas por una tercera, para poder saber si las dos primeras son paralelas o no. Sean r, s y t tres rectas tales que t es secante a las otras dos, formándose así ocho ángulos que en este caso llamaremos 1, 2 , … , 8 como se indica en la figura siguiente:

Figura 1.

Los cuatro ángulos que se encuentran entre las rectas r y s, es decir, los ángulos 3 , 4 , 5 y 6 en la figura, se llaman ángulos internos. Dos ángulos internos situados en distinto lado de la secante t y que no comparten ningún lado se llaman alternos-internos. En la figura los ángulos 3 y 5 son alternos-internos, así como los ángulos 4 y 6 . Dos ángulos internos situados en el mismo lado de la secante t se llaman correspondientes-internos. En la figura los ángulos 3 y 6 son correspondientes-internos, así como los ángulos 4 y 5 . Criterio de las paralelas. Si dos rectas son paralelas entonces los ángulos alternos-internos determinados por una secante común cualquiera son iguales. Además, si hay una secante común a dos rectas tal que los ángulos alternos-internos que determina son iguales, entonces las dos rectas son paralelas. En la figura siguiente, las rectas r y s son paralelas, ya que 3 = 5 y 4 = 6 .

¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo?

Usando el criterio de las paralelas se puede demostrar que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º. Dibuja un triángulo cualquiera y traza la paralela a uno de sus lados que pasa por el vértice opuesto. Comparando los ángulos que se forman podrás llegar a la demostración.


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Ejercicios y actividades relacionados con la adquisición de los términos geométricos básicos

1. En el plano geométrico usual, si tenemos un cierto número n de rectas,

diremos que este conjunto de rectas está en “posición general” si cada par de rectas se cortan en un punto y no hay tres que tengan un punto en común.

a) Dibuja tres rectas que estén en posición general y tres que no lo estén. b) Halla los cuatro casos de disposición mutua de tres rectas. 2. Indica

a) cuáles de las figuras siguientes son cóncavas y cuál convexas.

b) cuáles de las figuras siguientes son cóncavas y cuál convexas.

c) Los apartados anteriores permiten presentar dos materiales de uso común cuando se realizan

ciertas actividades de contenido geométrico, los poliminós y el geoplano

Se llaman poliminós a las formas que se obtienen juntando cuadrados lado a lado. Llamaremos dominós, triminós, tetraminós, ... a los poliminós obtenidos juntando dos, tres, cuatro, ... cuadrados respectivamente. El geoplano es un recurso didáctico para la introducción y/o adquisición de gran parte de los conceptos geométricos. El geoplano es un tablero cuadrado, generalmente de madera con una distribución de clavos en su superficie, simulando una trama cuadrada, triangular, circular,… La trama cuadrada que figura en el apartado anterior hace las veces, sobre papel, de un geoplano.

3. En la figura que se muestra a continuación, se da una triangulación de un cuadrilátero, de un pentágono y de un hexágono, todos ellos convexos.

a) La figura puede ayudarte a determinar la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero, de un pentágono y de un hexágono convexos.

b) ¿Cuánto crees que sumarán todos los ángulos de un polígono convexo de 1000 lados? Justifica tu respuesta.

c) Si un polígono convexo tiene n lados, ¿la suma de todos sus ángulos interiores será 180·(n-2)?


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d) Responde a cuestiones similares a las anteriores pero cuando se consideran ángulos exteriores (sólo se considera uno por cada ángulo interior).

4. En este ejercicio vamos a contar las diagonales de un polígono convexo. En la figura del ejercicio anterior, ¿los segmentos de trazo punteado son diagonales de los polígonos respectivos?

a) Desde cada vértice de un cuadrilátero (convexo), ¿cuántas diagonales se pueden trazar? ¿Y desde cada vértice de un pentágono? ¿Y de un hexágono?

b) ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero, un pentágono y un hexágono (convexos)? c) Justifica que el número de diagonales de un polígono convexo de n lados es n·(n-3)/2.

5. a) Deduce que si dos rectas son paralelas y están cortadas por una secante cada pareja de ángulos correspondientes-internos suman 180º y recíprocamente. b) Deduce que en un rectángulo, los cuatro ángulos son rectos. c) Deduce que en un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. 6. Uno de los ángulos de un rombo mide 37º, determina el valor de cada uno de los restantes. 7. Halla el valor de la suma de los ángulos marcados en la figura siguiente, teniendo en cuenta que todos los triángulos que aparecen en la figura tienen sus tres ángulos iguales.

8. Construye un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo (que no sea cuadrado, ni rectángulo), un triángulo y un trapecio en una trama cuadrada (similar a la dada a continuación pero tan grande como sea necesaria). Los vértices siempre han de ser puntos de la trama.

9. Cuando se trabaja la igualdad de triángulos, se puede probar que un triángulo que tenga todos sus lados iguales (equilátero), tiene todos sus ángulos iguales (equiángulo) y también un triángulo equiángulo, es equilátero, pero esto no es cierto cuando los polígonos tienen cuatro o más lados. a) Da un ejemplo de cuadrilátero con los cuatro lados iguales y que no tenga los cuatro ángulos iguales y otro, de cuadrilátero con los cuatro ángulos iguales y que no tenga los cuatro lados iguales.


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c) Comprueba que el octógono de la figura, construido sobre una trama cuadrada, tiene todos sus ángulos iguales pero no es regular. d) Comprueba que el hexágono de la figura, construido sobre una trama cuadrada, tiene todos sus lados iguales pero no es regular.

10. Recuerda cuánto suman todos los ángulos interiores de un polígono convexo, para deducir lo que vale cada ángulo interior de un polígono regular de n lados.


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2. Igualdad de polígonos Se dice que dos polígonos, con el mismo número de lados, son iguales o congruentes, si tienen los lados con la misma medida y los ángulos correspondientes son iguales. Ambas condiciones, igualdad de lados y de ángulos, son necesarias para que los polígonos sean iguales, no basta con una, como lo ilustran los siguientes ejemplos:

Los lados del cuadrado de la izquierda son iguales a los lados del rombo del centro, pero las figuras no son congruentes. El cuadrado y el rectángulo de la derecha tienen los mismos ángulos, pero no son iguales.

Congruencia o igualdad de triángulos Como ya se ha visto al repasar los puntos notables de un triángulo, los triángulos tienen muchas propiedades especiales. En relación con la congruencia o igualdad hay tres criterios que permiten deducir la congruencia de dos triángulos sin necesidad de comprobar la igualdad de los tres lados y los tres ángulos.

Intenta construir ( utilizando regla y compás) tres triángulos cuyas medidas de los lados sean:

a) 3, 4 y 7 b) 2, 5 y 9 c) 4, 3 y 6

¿Puedes conjeturar alguna condición sobre las longitudes de los lados de un triángulo?

Dados dos segmentos y un ángulo : a) ¿es posible construir un triángulo cuyos lados sean los segmentos dados y tal que el

ángulo comprendido entre ellos sea también el dado? b) ¿qué ocurre cuando el ángulo no es el comprendido entre los lados dados? Prueba con

distintas medidas de los segmentos y el ángulo: (3, 6, 40º ) (3, 6, 20º) (3, 6 , 30º) c) ¿qué ocurre en el apartado anterior si el ángulo es de 90º y nos dan la medida de un

cateto y la hipotenusa?

Dados un segmento y dos ángulos ¿es posible construir siempre un triángulo con estos tres parámetros?

Primer Criterio de Igualdad de Triángulos (LAL). Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Segundo Criterio de Igualdad de Triángulos (ALA). Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y los ángulos que se apoyan sobre ese lado iguales.

Tercer Criterio de Igualdad de Triángulos (LLL). Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.

Construye un triángulo isósceles y comprueba que tiene dos ángulos iguales. Construye un triángulo con dos ángulos iguales y comprueba que es isósceles. ¿Podríamos decir que es lo mismo ser triángulo equilátero que ser triángulo equiángulo?


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Clasifica estos triángulos por sus ángulos y por sus lados

3. Proporcionalidad entre segmentos En un día soleado la sombra en el suelo de cualquier objeto cambia de acuerdo con la hora del día, esto es, depende de la posición del sol. Cuanto más alto esté el sol en el firmamento, más corta será la sombra del objeto. Haciendo un dibujo de esta situación, se puede ver que el rayo de sol junto con la sombra en el suelo y el objeto considerado forman un triángulo rectángulo. Midiendo estas longitudes en dos objetos de diferentes tamaños a la misma hora se puede comprobar que las relaciones que existen entre estas longitudes son constantes, cualesquiera que sean las unidades de medida que se consideren en esa medición. Así para dos personas, Juan y Pedro, se tiene que el cociente entre la altura de Juan y la longitud de su sombra, es el mismo que el cociente entre la altura de Pedro y la longitud de su sombra. Dicho cociente se llama Razón de proporción o de proporcionalidad.

La razón de dos segmentos

!

AB y

!

A"B" es el número λ =

!

AB /

!

A"B" , cociente de las longitudes de ambos segmentos.

Se dice que los segmentos AB , CD son proporcionales a los segmentos A'B' , C'D' si las razones entre los segmentos correspondientes son iguales:

ABA'B'

= CDC'D'

Del mismo modo se puede definir la proporcionalidad de dos conjuntos ordenados de tres, cuatro o más segmentos.

Ordena convenientemente los segmentos de longitudes 2, 2 y 4, para poder decir que son

proporcionales a los correspondientes segmentos de longitudes 3, 3 2 / 2 y 6. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?


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Determinar si dos de los siguientes triángulos tienen sus lados proporcionales:

4. Triángulos semejantes Dos triángulos

!

"ABC y

!

"A1B1C1 son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales, es decir, si

!

ˆ A = ˆ A 1,

!

ˆ B = ˆ B 1 y

!

ˆ C = ˆ C 1 y

!

ABA1B1

=ACA1C1

=BCB1C1

. Escribiremos en este caso

!

"ABC ∼

!

"A1B1C1

Llamamos razón de semejanza de dos triángulos semejantes a la razón de sus lados correspondientes. Si la razón de semejanza es 1 entonces los triángulos son iguales. a) ¿Pueden ser semejantes dos triángulos tales que el primero contenga un ángulo de 70 grados y el segundo uno de 115?. b) ¿Es posible que dos triángulos sean semejantes, si el primero contiene ángulos que miden 45 y 72 grados, y el segundo ángulos de 72 y 85 grados?

Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario comprobar que tengan todos los lados proporcionales y todos los ángulos iguales. Es suficiente que cumplan algunas de las condiciones, para que las otras automáticamente estén garantizadas. Se establecen para eso los denominados criterios de semejanza, que enunciamos a continuación.

Criterios de Semejanza de Triángulos

Primer Criterio de Semejanza de Triángulos: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.

Segundo Criterio de Semejanza de Triángulos: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos iguales.

Tercer Criterio de Semejanza de Triángulos: Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus lados proporcionales.

c) Las longitudes de los lados de un triángulo

!

"ABC son

!

AB = 5,

!

AC = 3 y

!

BC = 7,y las longitudes de los lados de otro triángulo

!

"DEF son

!

DE = 9,

!

DF = 15 y

!

EF = 21, ¿son los dos triángulos semejantes? d) Las longitudes de los lados de un triángulo

!

"ABC son 36, 48 y 27 m., y las longitudes de los lados de otro triángulo

!

"DEF son 48, 64 y 36 m., ¿son los dos triángulos semejantes? e) Da un ejemplo de triángulos que tengan iguales cinco magnitudes (entre lados y ángulos) y sin embargo no sean triángulos iguales.

Prueba que 1. dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes. 2. dos triángulos rectángulos isósceles cualesquiera son semejantes.

3. si en un triángulo cualquiera unimos los puntos de sus lados, el triángulo queda dividido en cuatro triángulos iguales.


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Demuestra que si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente, entonces los dos triángulos son semejantes.

Propiedad. La razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón de semejanza de los mismos.

¿Ocurrirá lo mismo con las áreas? Dibuja un triángulo y luego otro cuyos lados midan el doble; es fácil, si duplicas dos de los lados, podrás comprobar que el tercero también resulta el doble. Además, los dos lados que no se superponen son paralelos. Los dos triángulos son semejantes, con razón de semejanza 2. Comprueba que el perímetro del triángulo ampliado también es el doble del otro perímetro. El área, ¿también es el doble?

Aunque el concepto de área ocupará la parte principal del tema siguiente, vamos a comentar brevemente la relación existente entre áreas de figuras semejantes. La respuesta a la pregunta del ejercicio anterior es negativa y la figura izquierda da idea de la relación existente entre las áreas de esos dos triángulos semejantes. El área del mayor es cuatro veces el área del triángulo pequeño: 4 = 22 .

La figura derecha representa a dos triángulos que son semejantes con razón de semejanza igual a 3, y una descomposición del mayor en la que se puede percibir que la razón entre sus áreas es

9 = 3!. En general,

Propiedad. La razón de las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza de los mismos.

Triángulos en posición de Thales La figura anterior ilustra un caso especial de triángulos, para el que es más evidente la semejanza.

Sea

!

"ABC un triángulo, y sea r una paralela a AB que corta a los lados

!

AC y

!

BC del triángulo en puntos que denotamos, respectivamente, por A' y B'. Los triángulos

!

"ABC y

!

"A#B#C son semejantes y diremos que están en posición de Thales.

Supuesto que los triángulos de cada una de las figuras siguientes se encuentran en posición de Thales, hallar, en todos los casos, la longitud del segmento

!

AB.

3 5

4

A

B

B

A

A

B

20

304

3

532


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5. Teorema de Thales Si tres o más paralelas son cortadas por dos secantes r y r’ , entonces los segmentos determinados por los puntos de intersección de las paralelas con una secante son proporcionales a los determinados sobre la otra secante. Es decir, las rectas paralelas dividen a las secantes en segmentos proporcionales: por ejemplo, en la figura:

!

ABA"B"

=ACA"C"

=CDC"D"

= ....

División de un segmento en partes iguales Como consecuencia del Teorema de Thales podemos realizar, usando regla y compás, la división de un segmento dado AB en n partes iguales. El proceso se describe a continuación, para el caso n = 4, y se ilustra en la figura siguiente:

• Trazamos una semirrecta con origen en A que no esté contenida en la recta AB.

• Usando el compás, marcamos sobre esta semirrecta 4 segmentos de igual longitud con origen en A. Denotaremos a estos segmentos por

!

AA1 ,

!

A1A2 ,

!

A2A3 y

!

A3A4 .

• Consideremos la recta r4 que pasa por A4 y por B. Trazamos las paralelas a ri que pasan por A1, A2 y A3.

• Cada una de estas rectas corta al segmento AB en un punto, obteniéndose de este modo los puntos B1, B2 y B3 que queríamos.

6. Polígonos semejantes En la vida cotidiana empleamos la idea de “ser semejantes” como “ser parecidos”: Esto matemáticamente no es válido. Las figuras siguientes muestran distintos rectángulos. Si nos preguntamos por los que son semejantes, estamos tentados a decir que lo son F2 y F3, y sin embargo matemáticamente hablando F2 y F3 no son semejantes. Desde este punto de vista sólo son semejantes F4 y F6 porque además de tener los ángulos iguales, los lados correspondientes son proporcionales; estas dos condiciones no se dan en el resto de los casos. Comprobar que las afirmaciones efectuadas son ciertas, sabiendo que los lados de F4 miden 3.3 cm. y 2.1 cm. respectivamente; los de F6 0.7 cm. y 1.1 cm; los de F2 son 5.1 cm. y 1.5 cm.; los de F3 son 4.4cm y 0.5 cm.

r r'

A A'

B B'

C C'

D D'


19

Definición: dos polígonos son semejantes si sus ángulos son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

En la figura siguiente los polígonos P1 y P2 son semejantes y son semejantes los polígonos Q1 y Q2. Indica en cada caso cuáles son los vértices correspondientes. Puedes hacer usar técnicas de medición de magnitudes.

¿Son semejantes los polígonos ABCD y ABEF?

Pero el estudio de la semejanza de polígonos, lo vamos a reducir al estudio de la semejanza de triángulos. Así diremos que dos polígonos son semejantes si pueden descomponerse en triángulos semejantes. Los cuadriláteros de la figura son semejantes puesto que existen para ambos triangulaciones cuyos triángulos correspondientes son semejantes. En el caso de la imagen ADC es semejante a GFE y ABC es semejante a GHE. La figura derecha representa a dos cuadriláteros, FGHI y ABCD, que son semejantes con razón de semejanza igual a 3, y una descomposición de FGHI en la que se puede percibir que la razón entre sus áreas es

9 = 3!. En general,

Propiedad. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza de los mismos.

7. Tres teoremas importantes La media proporcional o media geométrica de dos números positivos a y b es otro número x tal que:

!

ax

=xb

Teorema de la altura En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Q1

Q2

P1

P2

A B

C

D


20

Demostración: Consideremos un triángulo rectángulo

!

"ABC , en el que suponemos que

!

ˆ C es el ángulo recto. Sea D el pie de la altura relativa a la hipotenusa. Puesto que los ángulos A y B son agudos, D pertenece al segmento AB y se verifica que

!

Aˆ D C = B ˆ D C = 90º .

Por otro lado tenemos que

!

C ˆ A D = C ˆ A B = ˆ A = 90º - ˆ B = 90º - Aˆ B C = 90º - Dˆ B C = D ˆ C B. Así los triángulos

!

"ADC y

!

"CDB son semejantes, en virtud del Segundo Criterio de Semejanza de Triángulos. Entonces, la proporcionalidad de los lados indica que

!

ACCB

=CDDB

=ADCD

Por tanto

!

CD2 = AD . DB .

Teorema del cateto En todo triángulo rectángulo, cada uno de los catetos es media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa.

Demostración: Como en el teorema de la altura, consideramos un triángulo rectángulo

!

"ABC , en el que

!

ˆ C es el ángulo recto y D el pie de la altura relativa a la hipotenusa (véase la figura anterior). Los triángulos

!

"ADC y

!

"ABC son semejantes; en efecto, en virtud del Segundo Criterio de Semejanza de Triángulos, comparten el ángulo

!

ˆ A y ambos tienen un ángulo recto. Entonces, la proporcionalidad de los lados indica que:

!

ACAB

=CDCB

=ADAC

por tanto

!

AC2 = AB. AD.

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración: El teorema del cateto afirma, siguiendo su misma notación, que:

!

AC2 = AB. AD y

!

CB2 = AB DB

Sumando estas dos expresiones y teniendo en cuenta que D es un punto del segmento AB , se tiene:

!

AC2 + CB2 = AB AD + AB DB = AB . ( AD + DB ) = AB AB = AB2

Problema. Las dos partes en que divide la altura de un triángulo rectángulo a la hipotenusa miden 9 y 4 cm. Calcular la medida de los dos catetos.

Imagina un triángulo rectángulo (el ángulo recto es C).

a) Si ahora amplías un poco el ángulo C, ¿qué relación habrá entre AB2 , AC

2 y BC

2?

b) ¿Y si reduces el ángulo C? (para que mida, por ejemplo, 80º)

Enunciamos a continuación dos resultados correspondientes a los lados opuestos a un ángulo obtuso y agudo respectivamente:


21

En todo triángulo que tenga un ángulo obtuso, el cuadrado del lado opuesto a dicho ángulo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos.

En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Problema. Supongamos que tenemos una pieza grande de madera, y necesitamos saber si sus esquinas forman ángulos rectos. No poseemos transportador ni escuadra, pero tenemos una cinta métrica graduada y un lápiz. ¿Se te ocurre alguna forma de determinar si los ángulos son rectos?

8. Algunas cuestiones de carácter práctico

Cómo se determinan longitudes en una trama cuadrada Una de las aplicaciones del teorema de Pitágoras que con más frecuencia va a aparecer este curso es la de determinar longitudes en una trama cuadrada. Veamos por qué.

En una trama cuadrada, como la de la figura, lo habitual es tomar como unidad de longitud el segmento determinado por dos puntos consecutivos en fila o en columna, tal como se indica en la imagen.

Cuando se trata de determinar la longitud de segmentos con extremos en una misma fila o en una misma columna como es el caso de los segmentos ! y ! respectivamente, la operación es inmediata. Así, ! tiene longitud 3 y ! longitud 4 (en ! la unidad está contenida tres veces y en ! cuatro veces).

Pero si lo que se trata es de determinar la longitud de un segmento como el !, cuyos extremos están en líneas distintas, entonces se actúa de la siguiente manera.

1) Interpretamos el segmento como la hipotenusa de un triángulo rectángulo (cuyos catetos sí tendrán extremos en una misma línea de la trama). De esta manera, por ejemplo, el segmento ! es la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos ! y !.

2) Determinamos la longitud de los catetos correspondientes. En el ejemplo que se viene desarrollando, la longitud de ! es 2 y la de ! es 5.

3) Aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar la longitud del segmento considerado. En el caso que nos ocupa, la longitud de e es 2! + 5! = 29.

Se deja como ejercicio calcular la longitud del segmento ℎ.

Las longitudes de los lados de las piezas del tangram

En este caso, para medir los lados de las piezas del tangram, no siempre se toma la misma unidad de longitud. Por eso vamos a comentar el proceso tomando dos unidades distintas, el lado del cuadrado C y la hipotenusa del triángulo grande TG (pero pudieran ser otras las elegidas).


22

También en esta situación el teorema de Pitágoras es de utilidad. Si la unidad de longitud es el lado de C:

1) Los catetos de TP miden 1 y por tanto su hipotenusa es 2 = 1! + 1! .

2) Para obtener las longitudes de los lados del resto de la piezas podríamos aplicar de nuevo Pitágoras, pero también es posible usar la comparación directa entre las propias piezas y deducir que

a. Los catetos de TG miden 2 y por tanto su hipotenusa es 2 2.

b. Los lados del paralelogramo son iguales a la hipotenusa de TP o sus catetos, por tanto sus longitudes son 1 y 2 respectivamente.

c. En el caso de TM, su hipotenusa es 2 y cada cateto es 2. Si la unidad de longitud es la hipotenusa del triángulo grande TG:

1) Los catetos de TG son iguales y puesto que la hipotenusa de ese triángulo es 1, se tendrá !! + !! = 1!, es decir que !! = !

! y por tanto cada cateto es !

!= !

! .

2) De la relación anterior, por comparación directa, se deduce que los catetos de TP, los lados de C y los lados más cortos de P miden !

!.

3) De ser 1 la longitud de la hipotenusa de TG, también por comparación directa, se deduce que la hipotenusa de TP y los catetos de TM son !

! .

Desde http://nlvm.usu.edu/en/nav/topic_t_3.html se puede acceder a escenas interactivas de tangram y de tramas.

9. Resolución de algunos ejercicios tipo

9.1. Determina cuáles de los triángulos siguientes son semejantes entre sí. Indica en cada caso la razón de semejanza.

Solución Puesto que un triángulo acutángulo no puede ser semejante a uno rectángulo ni a uno obtusángulo, ni uno rectángulo a uno obtusángulo, se puede empezar clasificando los triángulos en función de sus ángulos y luego en cada categoría realizar el estudio pedido. - Son rectángulos: T6, T8, T4, T11.


23

Para justificar dicha afirmación: En T6 y T11 hay un ángulo que coincide con el de un cuadrado básico de la trama, que es recto. En los casos de T8 y T4, uno de los ángulos se puede expresar como suma de dos ángulos de 45º, determinando uno recto. - Son obtusángulos: T1, T2, T3, T5, T7, T9, T10.

Para justificar dicha afirmación: En todos los casos es posible insertar un ángulo de 90º en uno de sus ángulos (que será el obtuso). Ver imagen siguiente para los casos T3 y T7.

- Acutángulos, en este caso, no hay.

¿Cuáles de los triángulos rectángulos dados son semejantes entre sí? Ordenados de menor a mayor, los lados de tales triángulos son los siguientes.

T6: 1, 1, 2 T8: 2, 2, 2 T4: 2 2, 3 2, 26 T11: 2, 3, 13

T6 y T8 no podrán ser semejantes ni a T4 ni a T11 puesto que los primeros son isósceles y los otros no. Por tanto sólo queda estudiar la pareja T6 y T8 y la pareja T4 y T11. Pareja T6 y T8: ¿ !

!= !

!= !

! ?

La primera igualdad es obvia. ¿Será cierto que !!= !

! ?

Preguntarse ¿ !!= !

! ? es equivalente a preguntarse ¿ 1 · 2 = 2 · 2 ? Como la respuesta a

esta última pregunta es afirmativa, podemos decir que T6 y T8 son semejantes con razón de semejanza !

!.

Pareja T4 y T11: ¿ ! !

!= ! !

!= !"

!" ?

La primera igualdad es inmediata puesto que ambas fracciones equivalen a 2. ¿Será cierto que ! !!= !"

!" ?

Preguntarse ¿ ! !!= !"

!"? es equivalente a preguntarse ¿ 3 2 · 13 = 3 · 26 ? Como la

respuesta a esta última pregunta es afirmativa ya que 2 · 13 = 26, podemos decir que T4 y T11 son semejantes con razón de semejanza 2.

¿Cuáles de los triángulos obtusángulos dados son semejantes entre sí? Ordenados de menor a mayor, las longitudes de los lados de tales triángulos son los siguientes.

T1: 5, 10, 5 T2: 2, 2, 10 T3: 2, 10, 2 5 T5: 5, 3, 26 T7: 2, 10, 4 T9: 1, 2, 5 T10: 2, 5, 3


24

Pareja T1 y T2: ¿ !

!= !"

!= !

!" ?

Preguntarse ¿ !

!= !"

! ? es equivalente a preguntarse ¿ 2 5 = 2 10 ?

Como 2 10 = 2 2 5 = 2! 5 = 2 5, la respuesta a la pregunta anterior es SI.

Preguntarse ¿ !"

!= !

!" ? es equivalente a preguntarse ¿ 10

!= 2 · 5 ?

Como ambos miembros son iguales a 10, la respuesta a la pregunta anterior es SI.

De donde se deduce que T1 y T2 son semejantes, de razón de semejanza !! .

Pareja T1 y T3: ¿ !

!= !"

!"= !

! ! ?

La respuesta a la pregunta ¿ !

!= !"

!" ? es inmediata: NO, puesto que el segundo miembro es

igual a 1 y el primero no. De donde se deduce que T1 y T3 no son semejantes.

De los dos apartados anteriores también podemos concluir que T2 y T3 no son semejantes, puesto que si estos lo fueran lo hubieran sido T1 y T3.

El estudio del resto de las parejas se deja como ejercicio para el lector. 9.2. En la figura adjunta la recta FG es paralela a la recta BC y GH es paralela a AB. Si los lados del triángulo FGA miden 10, 8 y 4,5 m respectivamente y el segmento BC mide 25 m, ¿cuánto miden el resto de los segmentos que aparecen en la figura?

Solución 1) BHGF es un paralelogramo por tanto los lados opuestos son iguales. Entonces, de momento, se puede afirmar que el segmento BH mide 10 m y el segmento HC 15 m. 2) Los triángulos FGA y BCA son semejantes ya que están en posición de Thales. Lo mismo se puede afirmar de los triángulos BCA y HCG. (En definitiva, los triángulos FGA, BCA y HCG son semejantes dos a dos). 3) Como HCG es semejante a FGA, sus lados correspondientes son proporcionales:

!"!"

=!"!"

=!"!"

Y podemos escribir:

1510

=!"8=!"4,5

De donde se deduce que !" = 12 m y !" = 6,75 m. 4) Como BHGF es paralelogramo, !" = 6,75 m. 5) !" = !" + !" = 6,75 + 4,5 = 11,25 m. 6) Razonando análogamente, se deduce que !" = 20 m.


25

9.3. Una antena vertical está amarrada con dos cables como muestra la figura. Uno de los cables mide 47 m., está anclado a 30 m del poste y forma un ángulo de 50º con la horizontal. El otro cable forma un ángulo de 40º con la horizontal.

a) Hallar la altura de la antena. b) Hallar la longitud del segundo cable.

Solución

1) La antena es cateto del triángulo rectángulo BPH (ver la notación de la figura inferior). Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras se tiene !" = 47! − 30! = 2209 − 900 = 1309 ≈ 36,18 m La altura de la antena es de aproximadamente 36,18 m. 2) El segmento AB es lado del triángulo ABP. El ángulo opuesto al lado AB mide 90º, puesto que los tres ángulos de un triángulo suman 180º. 3) Al ser el triángulo ABP rectángulo, podemos aplicar el teorema de la altura:

!"!"

=!"!"

y deducir que

1309!"

=301309

de donde, !" = 43,63 m 4) La medida del segundo cable es, aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras,

!" = 10,3! + 1309!= 106,09 + 1309 = 1415,09 ≈ 37,61 m

9.4. Decidir razonadamente si las siguientes figuras, construidas con piezas del Tangram. son semejantes.

Solución

1) Las dos figuras dadas tienen sus ángulos respectivos iguales. En ambos casos los agudos miden 45º y los obtusos 135º. Así que la igualdad entre ángulos está garantizada.

2) Para poder afirmar si son o no semejantes hemos de ver en segundo lugar si los lados respectivos son o no proporcionales.

2.1. Como los ángulos correspondientes internos suman en todos los casos 180º, ambas figuras son paralelogramos y los lados opuestos son iguales.

2.2. Tomando como unidad de longitud el lado del cuadrado del tangram, tenemos que los lados de la figura izquierda son, empezando por uno de los pequeños: 2, 2 2, 2, 2 2; y en la figura de la derecha, comenzando igualmente por uno de los de menor longitud: 2, 2, 2, 2.

2.3. ¿Es cierto que se verifica la siguiente cadena de igualdades 22=2 22

=22=2 22

?

Por ser el tercer y cuarto miembros idénticos al primero y al segundo respectivamente, preguntarse lo anterior equivale a preguntarse si ¿ !

!= ! !

!?, que es equivalente a preguntarse si ¿es cierto que

2 · 2 = 2 · 2 2? Como ambos miembros son iguales a 4, la respuesta a esas preguntas es SI.

3) Los apartados 1) y 2) prueban que las figuras dadas son semejantes.


26

ANEXO 1: De este tema hay que saber, al menos,

v Definir con precisión todos los términos manejados a lo largo del mismo.

v Enunciar los diferentes criterios de igualdad y de semejanza.

v Enunciar el criterio de paralelismo.

v Enunciar el teorema de Thales y sus aplicaciones.

v Enunciar los teoremas del cateto, de la altura y de Pitágoras.

v Utilizar los diferentes conceptos, criterios y teoremas en la resolución de problemas y ejercicios.

v Reconocer la relación existente entre los perímetros y las áreas de polígonos semejantes.

v Medir longitudes de segmentos en una trama cuadrada tomando como unidad de medida el

segmento determinado por dos puntos consecutivos de una misma línea (fila o columna) y aplicarlo en las diferentes situaciones planteadas, por ejemplo en el estudio de si dos figuras en una trama son o no semejantes.

v Determinar las longitudes de los lados de las figuras del tangram tomando diferentes unidades

de medida y aplicarlo en las diversas situaciones planteadas, por ejemplo, en el estudio de si dos figuras construidas con piezas del tangram son o no semejantes.

Ø Que la definición de triángulos congruentes no se puede confundir con ninguno de los criterios de congruencia de triángulos.

Ø Reconocer que los criterios de congruencia de triángulos no son generalizables a otros

polígonos. Por eso con frecuencia para probar la igualdad entre polígonos se pasa a triangularlos.

Ø Que la definición de triángulos semejantes no se puede confundir con ninguno de los criterios

de semejanza de triángulos.

Ø Reconocer que los criterios de semejanza de triángulos no son generalizables a otros polígonos. Por eso con frecuencia para probar la semejanza entre polígonos se pasa a triangularlos.

Ø Que si no se sabe de antemano o se prueba previamente que dos figuras son semejantes, de nada sirve obtener la razón entre sus áreas o sus perímetros para garantizar dicha semejanza. Eso está relacionado con el hecho de que la razón entre áreas de dos figuras y la razón entre perímetros de dos figuras siempre se puede determinar, con independencia de si dichas figuras son o no semejantes.


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ANEXO 2: Plantilla para la construcción del tangram

matemáticas para maestros...matemáticas para maestros – primer curso – grado en primaria –...

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