Matemáticas para Maestros – Primer Curso – Grado en Primaria – 2015/2016

Ejercicios de Divisibilidad – Curso 2015 / 2016 Sesión 1 1. a) Demuestra que si 𝑎 = 7 · 𝑘 + 5 y 𝑏 = 7 · 𝑛 + 2 y, entonces 𝑎 + 𝑏 es múltiplo de 7.

b) ¿Es verdad que si 6 es divisor de 𝑎 + 𝑏 entonces 6 es divisor de 𝑎 y de 𝑏? c) Se sabe que 𝑝 + 𝑞 es múltiplo de 12 y que 𝑞 = 𝑚 · 12 + 7 para un cierto número natural 𝑚. Halla el resto de dividir 𝑝 entre 12. d) El resto de dividir 𝑏 entre 21 es 13. Halla el de dividir 𝑏 entre 7.

2. a) Encuentra todos los múltiplos de 39 que están entre 2000 y 2200.

b) ¿Cuántos múltiplos de 22 hay que son mayores que 3000 y no superan a 4400? 3. Da una expresión que represente, en cada caso, a) a cualquier múltiplo de 123. b) a todos los números enteros positivos que al dividirlos entre 15 den de resto 8. 4. Determina el valor de la cifra 𝑎 del número 77723𝑎 para que dicho número sea, en cada caso, a) múltiplo de 2 b) múltiplo de 3 c) múltiplo de 6 ¿Hay algún número de la forma 77723𝑎 que sea múltiplo de 12? 5. Di si es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes:

a) si 𝑎 no es múltiplo de 3, entonces lo es 𝑎 + 1 o lo es 𝑎 + 2. b) si 𝑎 = 56 · 𝑐 + 14 y 𝑏 = 56 · 1234567, entonces el resto de dividir 𝑎 + 𝑏 entre 56 es 0.

6. Don Retorcido ha cogido cuatro bolas numeradas respectivamente con los números 2, 5, 7 y 12. Después ha colocado una en cada caja de las siguientes, pero de manera que, en todos los casos, el número de la bola introducida no cumpliera la condición escrita en la parte superior de la caja. ¿Qué número tiene la bola de cada caja? (Indica el proceso seguido hasta llegar a la conclusión).

7. Determinar el menor número de la forma 55…500…0 (con tantos cincos como ceros) que sea múltiplo de 9. ¿El número resultante es múltiplo de 11?

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8. Prueba que si dos números 𝑎 y 𝑏 dan resto 2 al dividirlos entre 4, entonces 𝑎 + 𝑏 es múltiplo de 4.

9. Prueba que si 𝑎 y 𝑏 son números pares, entonces tienen al menos dos divisores comunes.

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Ejercicios de Divisibilidad – Curso 2015 / 2016 Sesión 2

10. En una habitación de 2,40 m de alto, vamos a alicatar, utilizando el mismo tipo de azulejos, una pared de longitud 2,80 m. En la tienda disponemos de azulejos cuadrados de lado 10 cm, 15 cm, 20 cm, 35 cm, 60 cm y 75 cm, respectivamente. ¿Qué tipo de azulejos usará el albañil si quiere emplear el menor número posible de ellos sin romper ninguno? 11. A tres almacenes de la empresa Divicon, han llegado cajas de manzanas de 140, 168 y 196 manzanas, respectivamente.

a) Los tres almacenes distribuyen la mercancía en bolsas con el mismo número de manzanas y sin que sobren manzanas en ninguna caja. ¿De cuántas formas pueden hacerlo?

b) El almacén de la empresa Divicon que recibe cajas de 140 manzanas ha de hacer frente a una serie de pedidos que suponen un total de 1960 manzanas. Si en el proceso de almacenaje se produce una pérdida de un 2% de la cantidad de naranjas almacenadas, ¿cuántas cajas ha de tener como mínimo para poder hacer frente a los pedidos? (Este porcentaje de perdida solo es para este apartado y no se aplicará en el apartado a)). 12. Un faro emite destellos luminosos según una secuencia regular fija. Cada faro tiene su propia secuencia. En el diagrama que figura a continuación puede verse la secuencia de un determinado faro. Los destellos de luz alternan con períodos de oscuridad. Una vez ha transcurrido un minuto y 57 segundos, ¿en qué situación se encentra el faro? 13. El general Ataulfo tiene bajo su mando un número de soldados entre 2000 y 4000 que se han desperdigado. Cuando salió el batallón del cuartel, Ataulfo ordenó que los soldados se dispusieran en columnas de 35 y descubrió que no sobraba nadie. Tras llamarlos a todos, les indicó que formaran en cuadrados de lado 7 y tampoco había ningún soldado fuera de la formación. Finalmente, les comunicó que debían situarse en filas de 21 soldados, resultando una formación rectangular. ¿Cuál es el número posible de soldados del regimiento?

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14. Determinar todas las parejas de números a y b tales que tengan 4 divisores en común y su mínimo común múltiplo sea 120. 15. Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos, y otra situada en una plaza cercana cambia cada 250 segundos. Si a las 9 de la mañana coinciden las dos fuentes con el mismo programa. ¿A qué hora volverán a coincidir? 16. En un club de atletismo se han inscrito 18 chicos y 24 chicas, y se desean formar equipos mixtos de manera que en todos ellos haya el mismo número de chicos y el mismo número de chicas. Si se desea que el número de equipos sea el mayor posible, ¿cuántos equipos se pueden formar? ¿Cuántos chicos y cuántas chicas forman cada equipo? 17. Pedro midió el largo de un terreno con pasos de 54 cm. Después lo midió su padre con pasos de 72 cm. Quedaron marcadas en total 61 pisadas, pero a veces la misma marca correspondía a dos pisadas, una de Pedro y otra de su padre. ¿Cuál es el largo del terreno? 18. Indicar los valores que pueden tomar C, D, E y F sabiendo que: b1) Los divisores de C distintos de él son 1, 2, 3, 6, 9. b2) Los factores primos de E son 2 y 3 y tiene 14 divisores. b3) D es divisor común de 18 y 24. b4) El mcm de F y 5 es 10.

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Ejercicios de Divisibilidad – Curso 2015 / 2016 Sesión 3 19. ¿Cuáles son los números que sólo tienen tres divisores? ¿Qué números son los que tienen un número impar de divisores?

20. a) ¿Qué número tiene exactamente ocho divisores si dos de esos divisores son 10 y 35? b) Si a es el número del apartado anterior, ¿cuántos divisores tiene 2 a⋅ ?, ¿y 3 a⋅ ?

21. Determina todas las parejas de cifras a, b para las que el número ababababa es múltiplo de 15. ¿Cuántos de los números encontrados son múltiplos de 60? 22. A las 6:00 h del 29 de enero cuatro timbres tocan simultáneamente y volverán a sonar cada 7, 8, 9 y 12 minutos, respectivamente.

a) ¿Cuántas veces habrán coincidido cuando sean las 20:00 h del 31 de enero? b) ¿Qué hora marcará el reloj empleado en los apartados anteriores la primera vez que vuelven a coincidir todos los timbres?

23. En un instituto hay 100 taquillas numeradas del 1 al 100. Cien alumnos participan en el siguiente juego: el alumno 1 abre todas las taquillas, el alumno 2 cierra todas las taquillas que son múltiplo de 2, el alumno 3 cambia el estado de todas las taquillas que son múltiplo de 3 (si está cerrada la abre y si está abierta la cierra), el alumno 4 cambia el estado de todas las taquillas que son múltiplo de 4, y así sucesivamente, hasta que el alumno 100 cambia el estado de la taquilla 100. Al terminar la actividad, ¿queda abierto el armario 12? ¿y el 81? ¿Podrías determinar las casillas que quedan abiertas?

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24. Indicar cuáles de los siguientes números son primos y cuáles son compuestos:

179, 311, 848, 3566. 25. Factoriza el número 342 y determina su número de divisores. 26. Decir si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

Si a y b son enteros positivos y x e y son números enteros tales que 18ax by+ = , entonces

18 es múltiplo de mcd a,b{ } .

27. De los cinco números: 123456, 123456, 456123, 123 · 456, 12 · 34 · 56,

¿cuántos son múltiplos de 9? 28. ¿Para qué valores de k los números de la forma 10k tienen un número impar de divisores?

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Ejercicios de Divisibilidad – Curso 2015 / 2016 Sesión 4 29. Si en un taller el importe de la nómina es de 180.000 euros, y en otro taller es de 264.000 euros, sabiendo que todos los trabajadores reciben el mismo salario ¿cuántos empleados hay en cada taller, si el salario es el mayor posible? 30. Sabiendo que 4300176 = 9408 ⋅457+720 , a) Sin hacer cálculo alguno, decir si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:

mcd 4300176,9408{ } =mcd 9408,720{ }

b) Explica, sin hacer demasiados cálculos, por qué podemos afirmar que el mcd 4300176,720{ } es

múltiplo de 8. 31. Halla todas las combinaciones posibles de las cifras ,x y , tales que el número capicúa

x76925y3443y52967x

sea múltiplo de 132. 32. Las hormigas son muy laboriosas. Pepita lleva este ritmo de trabajo: busca comida fuera del hormiguero durante 15 horas y luego descansa 2 horas en el hormiguero, Bertita busca comida durante 9 horas y luego se toma un descanso de 3 horas en el hormiguero. Un día coinciden las dos hormigas saliendo del hormiguero para buscar alimento, ¿cuántas veces coincidirán de nuevo saliendo del hormiguero transcurrido un mes desde el primer encuentro? 33. Halla el menor número de cuatro cifras que dividido por 4, 7 y 11 da de resto 3.

34. La matrícula del coche de Eloy tiene cuatro dígitos impares: los dos primeros son iguales y los tres últimos son distintos. Además, sucede una cosa curiosa: el número de la matrícula es nueve veces el número formado solamente por los tres últimos dígitos de ésta. ¿Cuál es el número de matrícula de Eloy?

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35. A Isa le van a regalar un teléfono móvil siempre que sea capaz de averiguar el PIN. Le dicen que es un número de cuatro cifras, cuadrado perfecto y tal que da de resto 1 al dividirlo por cualquier número de una cifra mayor que uno. ¿qué número de PIN tiene que decir Isa para conseguir el móvil? 36. La Asociación “Vida Silvestre” tiene 50 miembros. El sábado, cada uno de los presentes plantó 17 árboles y el domingo, cada uno de los presentes plantó 20 árboles. En total se plantaron 1.545 árboles. ¿Cuántos de los miembros de la Asociación faltaron el sábado y cuántos faltaron el domingo? 37. Determina todos los múltiplos de 34 comprendidos entre 700 y 860 y calcula para cada uno de ellos el número de sus divisores.