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1

MATEMÁTICAS III

UNIDAD 1

Se deben colocar los dígitos del 1 al 9, de tal manera que al sumar cualquier renglón,

columna o diagonal la suma sea igual a 15.

1

SOLUCIÓN DE

SISTEMAS DE

ECUACIONES

2

UNIDAD 1

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1.1 Propósitos de la Unidad, Conocimientos Conceptuales, Procedimentales

y Actitudinales. 3

1.2 Diagrama estructural. 4

1.3 Situaciones que dan lugar a un sistema de dos y tres ecuaciones lineales

con dos y tres variables respectivamente. 5

1.4 Sistema de Ecuaciones Lineales 2×2. 5

1.5 Sistema de Ecuaciones Lineales 3×3. 12

1.6 Sistemas de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas. 18

A) Con solución única. 18

B) Con solución múltiple. 20

C) Sin solución. 21

1.7 Métodos de reducción y de sustitución. 23

1.8 Sistema de Ecuaciones Equivalentes. 28

Forma triangular. 29

1.9 Determinantes. 32

1.10 Método de Crámer. 34

1.11 Ejercicios y problemas de aplicación. 40

1.12 Sistema de Ecuaciones no lineales 2×2. 43

A) Con una ecuación lineal y otra cuadrática. 43

B) Con ambas ecuaciones cuadráticas. 45

C) El significado gráfico de sus soluciones. 47

D) Solución por el método de sustitución. 49

1.13 Ejercicios. 53

Propuesta de Evaluación. 55

Glosario 57

Bibliografía 57

3

UNIDAD 1

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1.1 PROPÓSITOS DE LA UNIDAD 1: Ampliar el concepto de Sistema de Ecuaciones Lineales y desarrollar dos procedimientos algebraicos de solución. Hacer hincapié en el significado algebraico y gráfico de la solución de un sistema de ecuaciones. Proveer al estudiante de una herramienta para el manejo del método analítico así como avanzar en la práctica de la operatividad algebraica.

Sobre los diferentes conocimientos el alumno deberá ser capaz de: Conocimiento Conceptual.

• Construir un sistema de ecuaciones lineales a partir del enunciado de un problema.

• Identificar cuándo un sistema de ecuaciones es lineal o no, y cuáles son sus incógnitas.

• Recordará el método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones de 2×2, y comprenderá la forma en que se extiende a un sistema de 3×3.

• Reafirmará el concepto de sistemas equivalentes y entenderá que los métodos

algebraicos ofrecen más ventajas que los métodos gráficos.

Conocimiento Procedimental.

• Aplicará el método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones de 2×2, y comprenderá la forma en que se extiende a un sistema de 3×3.

• Graficar sistemas lineales de 2×2, utilizando los parámetros de una función lineal, o las intersecciones con los ejes para retomar conocimientos ya vistos....

• Completar una tabulación con el uso de una calculadora científica. • Dada una Tabulación construir la gráfica en el plano que le corresponde, e

inversamente. • Dada la gráfica de una función trigonométrica, proponer la regla de

correspondencia asociada a la misma. • Interpretar la gráfica y sus elementos de una función trigonométrica, con relación

a un fenómeno determinado. Conocimiento Actitudinal.

• Fortalecer la confianza en sus propias capacidades, fomentando la autoestima. • Mostrar interés en el planteamiento y resolución de problemas que involucren

procesos un sistema de ecuaciones lineales. • Lograr un mayor grado de disciplina en el cumplimiento del trabajo en clase y de tareas en casa.

1 Programas de Estudio de Matemáticas, Semestres I a IV. Colegio de Ciencias y Humanidades. UNAM. Junio, 2003.

Matemáticas III UNIDAD 1. Solución de Sistemas de Ecuaciones

4

1.2 DIAGRAMA ESTRUCTURAL

Sistemas de ecuaciones

lineales 2 ××××2 y 3××××3

Reducción

Solución de Problemas diversos

Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales

Situaciones que originan un sistema

de ecuaciones lineales Métodos de solución

Determinantes Forma triangular

Método de Cramer

Sustitución


5

1.3 Situaciones que dan lugar a un sistema de dos y tres ecuaciones lineales

con dos y tres variables respectivamente.

1.4 Sistema de Ecuaciones Lineales 2×2.

Se inicia el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el enunciado de

algunos problemas que dan origen al planteamiento o construcción de un sistema

de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Ejemplo 1 . Un camión de reparto de mercancía, llega a un cierto almacén con 8

cajas medianas y 5 cajas grandes. El cobro total por las cajas es $ 184.00. El flete

de una caja grande cuesta $ 3.00 más que el de una caja mediana. ¿Cuál es el

costo del flete por cada una de las cajas?

En primer lugar ¿Qué se pregunta?

¿Cuál es el costo del flete por cada una de las cajas ?

Podemos suponer una respuesta . Digamos que

Sea x el costo del flete de una caja mediana.

Sea y el costo del flete de una caja grande.

En segundo lugar, ¿que datos se tienen?

8 cajas medianas más 5 cajas grandes.

Costo total del flete $ 184.00

Flete de una caja grande $ 3.00 más que el de una pequeña. En tercer lugar, ¿Cómo relacionar los datos con la pregunta?


6

Si el costo del flete por cada caja mediana es x, y son 8 cajas medianas, el costo

por este tipo de cajas es 8x.

Si el costo del flete por cada caja grande es y, y son 5 cajas grandes, el costo por

este tipo de cajas es 5y.

De esta manera, el costo total del flete por todas las cajas $ 184.00, es igual a la

suma de los costos de los fletes por cada tipo de cajas, es decir

8x+ 5y = 184

Como el costo del flete de una caja grande es $ 3.00 más que el costo del flete de

una caja mediana, este es

y = x + 3

de esta manera se forma entonces el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales

con dos incógnitas(Modelo Algebraico), es decir

1) 8x+ 5y = 184

2) y = x + 3

Ejemplo 2 . En un taller de costura se fabrican cierta clase de pantalones y

chamarras . Si por cada pantalón se ganan $ 60.00 y por cada chamarra $ 50.00

y para elaborar un pantalón se necesitan 2 metros de tela y 1.5 metros para

elaborar una chamarra. Si por razones de conveniencia, se deben elaborar cien

artículos diarios para los cuales se requieren 180 metros de tela ¿Cuántos

pantalones y cuántas chamarras deberán producirse diariamente?

En primer lugar ¿Qué se pregunta? ¿Cuántos pantalones y cuántas chamarras deberán pro ducirse diariamente ?


7

Podemos suponer una respuesta . Digamos que

Sean x el número de pantalones y

Sean y el número de chamarras.


$ 60.00, ganancia de un pantalón.

$ 50.00 ganancia de una chamarra.

Para elaborar un pantalón se necesitan 2 metros de tela

Para elaborar una chamarra se necesitan 1.5 metros

Se deben elaborar 100 artículos diarios para los cuales se requieren 180 metros

de tela

En tercer lugar, ¿Cómo relacionar los datos con la pregunta? Si x es el número de pantalones, y el número de chamarras y 100 el número de

prendas que deben ser producidas por día, entonces

x + y = 100 (1)

Ahora, si para elaborar un pantalón se necesitan 2 metros de tela, para elaborar x

pantalones se necesitarán 2x metros de tela y de la misma manera, se necesitarán

3/2y para elaborar las y chamarras. Como se requieren 180 metros de tela

entonces,

2x + 3/2y = 180 (2)

es así como se forma el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas, es decir

1) x + y = 100

2) 2x + 3/2y = 180


8

Ejemplo 3 . Si la suma del doble de un número más el triple de otro es 16, y la

diferencia del doble del primero menos el cuádruplo del segundo es 2 ¿cuáles son

esos números?

En primer lugar ¿qué se pregunta?

¿Cuáles son dos números que tengan la propiedad de q ue la suma del doble

de uno más el triple de otro es 16, y la diferencia del doble del primero menos el

cuádruplo del segundo es 2?

Supongamos que

x es el primer número

y sea el segundo número.


La suma del doble de un número más el triple de otro es 16

La diferencia del doble del primero menos el cuádruplo del segundo es 2

En tercer lugar, ¿cómo relacionar los datos con la pregunta? La suma del doble de un número más el triple de otro es 16. Esto es

2x +3 y = 16

La diferencia del doble del primero menos el cuádruplo del segundo es 2, es

decir

2x - 4y = 2

es así como se forma el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas, es decir

1) 2x +3 y = 16

2) 2x - 4y = 2


9

Ejemplo 4 . Un propietario de bienes inmuebles, recibió $ 40 800.00 por la renta de

dos casas en un año. El valor de la renta de una de las casas es $ 800.00 por

mes, más cara que la de la otra casa ¿Cuánto recibió el arrendatario

mensualmente por cada una de las casas si, la casa cuya renta es más cara,

estuvo desocupada 4 meses?

¿Qué se pregunta? ¿Cuánto recibió el arrendatario mensualmente por cad a una de las casas si,

la casa cuya renta es más cara, estuvo desocupada 4 meses ?

Supongamos que

r1 es la renta mensual de la casa más cara.

r2 es la renta mensual de la casa menos cara.


Monto total recibido en un año, $ 40 800.00

En tercer lugar, ¿cómo relacionar los datos con la pregunta? La diferencia entre la renta de la casa más cara con respecto a la renta de la

casa menos cara es $ 800, es decir:

r1 = r2 + 800

r1 - r2 = 800

La suma de las rentas, corresponde a los ocho meses de la renta más cara más

doce meses de la renta de la casa menos cara. Esto es

8r1 +12 r2 = 40 800


10

Es así como se forma el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas,

1) r1 - r2 = 800

2) 8r1 +12 r2 = 40 800

Ejemplo 5 . Dos aeropuertos A1 y A2, están a 900 kms uno del otro; A2 se

encuentra al oeste de A1. Un avión voló de A1 a A2 en dos horas y media y

regresó nuevamente A1 en tres horas. Si el viento soplaba con un velocidad

constante desde el oeste durante todo el tiempo de trayecto. Hállese la velocidad

del avión con respecto al aire en reposo así como la velocidad del viento.

¿Qué se pregunta? ¿Cuál es la velocidad del avión con respecto al aire en reposo y cuál, la

velocidad del viento ?

Supongamos que

x es la velocidad del avión con respecto al aire en reposo.

y es la velocidad del viento.


Dos aeropuertos A1 y A2, situados a 900 kms uno del otro. Vuelo de un avión del aeropuerto A1 al aeropuerto A2 en dos horas y media.

Regreso del avión del aeropuerto A1 al aeropuerto A2 en tres horas

En tercer lugar, ¿cómo relacionar los datos con la pregunta? El vuelo del aeropuerto A1 al aeropuerto A2, comprende dos velocidades, a

saber; la velocidad del avión producida por el impulso de sus propios motores más la

velocidad del viento a favor. Dado que se conoce la distancia (900 kms) que recorre


11

el avión y el tiempo (2.5 hrs) que emplea en recorrerla y además, se sabe que la

velocidad es igual a la distancia entre el tiempo empleado en recorrerla. Esto

puede ser expresado mediante la siguiente ecuación,

1) x + y = 900 1800

3605 52

= =

El vuelo de regreso del aeropuerto A2 al aeropuerto A1, también comprende dos

velocidades pero, una es la velocidad del avión producida por el impulso de sus propios

motores menos la velocidad del viento en contra. Dado que se conoce la distancia

(900 kms) que recorre el avión y el tiempo que emplea en recorrerla, ahora (3 hrs)

y además, se sabe que la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo

empleado en recorrerla. Esto puede ser expresado mediante la siguiente ecuación

lineal,

2) x - y = 900

3003

=

Es así como se forma el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas, es decir;

1) x + y = 360

2) x - y = 300

Ejercicios. Sólo se pide que construyan el modelo m atemático del problema

1) Considérense dos fuerzas que actúan en la misma dirección sobre un objeto y

ejercen una fuerza total de 8 lb. Cuando las fuerzas actúan en direcciones

opuestas, el resultado es una fuerza de 5 lb. Hállese la magnitud de cada fuerza.

2) Las residencias de una nueva colonia fueron evaluadas en $30,000.00 y

$35,000.00, respectivamente, el valor total de la colonia fue de $ 3 200 000.00. Al

final de 6 meses, la mitad de las casas más caras y dos tercios de las otras habían

sido vendidos. Si la cantidad recibida de las ventas fue de $1 900 000.00,

¿cuántas casas de cada tipo hay en la colonia?


12

1.5 Situaciones que dan lugar a un sistema de tres ecuaciones lineales con

Tres variables.

Ejemplo 6 . Una compañía cuenta con tres tipos de máquinas expendedoras de

golosinas, las cuales proveen las cantidades que se muestran en la tabla

siguiente:

Golosinas M1 M2 M3

Jugos 20 24 30

Pistaches 10 18 10

Chocolates 9 12 15

Las máquinas son surtidas una vez al día y, se observa que el día siguiente están

vacías por lo que hay que volver a surtirlas. Se ha reportado que el número de

artículos vendidos diariamente es; 508 jugos, 266 pistaches y 246 chocolates.

Hállese cuántas máquinas de cada tipo tiene la compañía.

¿Qué se pregunta? ¿Cuántas máquinas de cada tipo tiene la compañía?

Supongamos la siguiente respuesta. Sean

m1 la cantidad de máquinas del primer tipo

m2 la cantidad de máquinas del segundo tipo.

m3 la cantidad de máquinas del tercer tipo.


Ventas totales diarias por cada tipo de artículos:

508 jugos

266 pistaches

246 chocolates

Más los datos de la tabla anterior.


13

En tercer lugar, ¿cómo relacionar los datos con la pregunta? A partir de los datos anteriores se observa lo siguiente:

(# de jugos vendidos en la primera máquina ) + (# de jugos vendidos en la

segunda máquina ) + (#de jugos vendidos en la tercera máquina ) = 508

La cual, expresada algebraicamente nos proporciona la primera ecuación,

1) 20m1 + 24m2+ 30m 3 = 508

De igual forma

(# de pistaches vendidos en la primera máquina ) + (# de pistaches vendidos

en la segunda máquina ) + (# de jugos pistaches en la tercera máquina ) = 266

La cual, expresada algebraicamente nos proporciona la segunda ecuación,

2) 10m1 + 18m2+ 10m 3 = 266

Finalmente,

(# de chocolates vendidos en la primera máquina ) + (# de chocolates

vendidos en la segunda máquina ) + (# de jugos chocolates en la tercera

máquina ) = 246

La cual, expresada algebraicamente nos proporciona la tercera ecuación,

3) 9m1+ 12m2+ 15m 3 = 246

De este modo se forma el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres

variables (o incógnitas), es decir:


14

1) 20m1 + 24m2+ 30m 3 = 508

2) 10m1 + 18m2+ 10m 3 = 266

3) 9m1+ 12m2+ 15m 3 = 246

Ejemplo 7 . En una industria se desea mezclar tres minerales de hierro; H1, H2,

H3, para producir una tonelada de mineral que contenga un 60% de hierro, con

30% de otros minerales y 10% de cenizas. En la siguiente tabla se muestra el

contenido de cada tipo de mineral.

Hierro Otro Ceniza

H1 70% 10% 20%

H2 60% 40% 0%

H3 50% 40% 10%

¿Cuántos tipos de cada material deberán emplearse en la mezcla.? ¿Qué se pregunta? ¿Cuántos tipos de cada material deberán emplearse en la mezcla?

Supongamos la siguiente respuesta. Sean

x es la cantidad de kilogramos de H1.

y es la cantidad de kilogramos de H2.

z es la cantidad de kilogramos de H3.


Necesidad de producir una tonelada de mineral, la cual debe contener:

60% de hierro,

30% de otros minerales y

10% de cenizas.


15

En tercer lugar, ¿cómo relacionar los datos con la pregunta? De acuerdo a los requerimientos señalados en la tabla anterior, verbalmente, la

relación que se desprende del enunciado del problema es:

En el primer caso, relativo al contenido de hierro, se requiere combinar una

cantidad del 70% de H1 + 60% de H2 + 50% de H3 la cual contenga el 60% de

hierro de la tonelada requerida. Esta relación al ser transformada a su equivalente

ecuación decimal, para poder operar con ella es

1) .70 x + .60y + .50z = .60(1000)

Análogamente, en el segundo caso, relativo al contenido de otros minerales, se

requiere combinar una cantidad del 10% de H1 + 40% de H2 + 40% de H3 la cual

contenga el 30% de la tonelada requerida. Esta relación al ser transformada a su

equivalente ecuación decimal, para poder operar con ella es

2) .10 x + .40y + .40z = .30(1000)

Finalmente, en el tercer caso, relativo al contenido de otros cenizas, se requiere

combinar una cantidad del 20% de H1 + 0% de H2 + 10% de H3 la cual contenga

el 10% de la tonelada requerida. Esta relación al ser transformada a su

equivalente ecuación decimal, para poder operar con ella es

3) .20 x + .0y + .10z = .10(1000)

De esta manera, se forma el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres

incógnitas (o variables), es decir

1) .70 x + .60y + .50z = .60(1000)

2) .10 x + .40y + .40z = .30(1000)

3) .20 x + .10z = .10(1000)


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Ejemplo 8 . Una empresa proveedora de artículos para jardinería, dispone de tres

tipos de fertilizantes los cuales contienen distintas sustancias químicas S1, S2 y S3

con diferentes porcentajes los cuales se muestran en la siguiente tabla.

Sustancias químicos

Tipos de fertilizantes

I II III

S1 6% 8% 12%

S2 6% 12% 8%

S3 8% 4% 12%

Hállese la proporción en que deberán ser mezclados los tres tipos de fertilizantes

para obtener una mezcla de 10 kg. que contenga 8% de cada una de las tres

sustancias químicas.

La primera ecuación es

1) .06x+ .08y+ .12z = 0.08(10)

Como ejercicio, constrúyanse las ecuaciones restantes para completar el sistema

de ecuaciones lineales que representa al problema dado.

Los problemas anteriores ilustran casos de sistemas de ecuaciones lineales. Los

primeros cinco, muestran sistemas que constan de dos ecuaciones con dos

incógnitas dichos sistemas se escriben a continuación:

1) 8x+ 5y = 184

2) y = x + 3

1) x + y = 100

2) 2x + 3/2y = 180

1) 2x +3 y = 16

2) 2x - 4y = 2

1) r1 - r2 = 800

2) 8r1 +12 r2 = 40

1) x + y = 360

2) x - y = 300


17

Los otros dos sistemas de ecuaciones lineales que constan de tres ecuaciones

lineales con tres incógnitas como se observa en seguida.

En general, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser

expresado por el siguiente conjunto de ecuaciones,

1) a11 x + a12 y = c1

2) a21 x - a22 y = c2

En el cual, x, y son las incógnitas. En el término a11, el primer 1 del subíndice

significa, que a es un coeficiente de la primera ecuación y el segundo 1, significa

que corresponde a la primera incógnita (o variable) x. De la misma forma, a12, es

el coeficiente de la primera ecuación y corresponde a la segunda incógnita o

variable y.

Análogamente, en el término a21, el subíndice 2, indica que a, es el coeficiente de

la segunda ecuación y el 1, indica que corresponde a la primera incógnita. El

término a21, el subíndice 2 indica que a es el coeficiente de la segunda ecuación y

el 1, indica que corresponde a la primera incógnita. El término a22, el primer

subíndice 2, indica que a, es el coeficiente la segunda ecuación y el segundo 2

indica que corresponde a la segunda incógnita. Los términos c1 y c2 se llaman

términos constantes o términos independientes.

De la misma forma se expresa un sistema que consta de tres ecuaciones con tres

incógnitas.

1) 20m1 + 24m2+ 30m 3 = 760

2) 10m1 + 18m2+ 10m 3 = 380

3) 30m2+ 30m 3 = 660

1) .70 x + .60y + .50z = .60(1000)

2) .10 x + .40y + .40z = .30(1000)

3) .20 x + .10z = .10(1000)


18

1) a11 x + a12 y + a13z = c1

2) a21 x + a22 y + a23z = c2

3) a31 x + a32 y + a33z = c3

En el cual, x, y, z son las incógnitas. Los términos a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31 , a32 y

a33 son los coeficientes de las variables y c1, c2 y c3 son los términos

independientes.

1.6 Sistemas de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas .

En general, un sistema que consta de un número arbitrario m de ecuaciones

lineales y, un número arbitrario n de incógnitas o variables , se expresa como se

muestra a continuación.

1) a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + , ... , + a1n xn = c1

2) a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + , ... , + a1n xn = c2

...

m) am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + , ... , + amn xn = cm

Sin embargo, nuestro interés radica en estudiar de manera detallada sistemas que

contengan tres ecuaciones con tres incógnitas.

Un recordatorio sobre la consistencia o inconsistencia de un sistema de

ecuaciones lineales, se muestra a continuación mediante ejemplos de naturaleza

algebraico-geométrica de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

A) Sistemas con solución única . Dado el sistema de ecuaciones

1) 5x – 2y = 1

2) x + y = 3


19

los puntos en que las rectas 1) y 2), se intersecan respectivamente con los ejes

coordenados, son:

Para la ecuación 1) 5x – 2y = 1

Cuando

1

0, 2

−

y 1

, 05

Para la ecuación 2) x + y = 3

cuando

( )3,0 y ( )0,3

2

10 −=→= yx ;

5

10 =→= xy

30 =→= yx ; 30 =→= xy

(1, 2)

5x – 2y = 1

x + y = 3

Y

X


20

Las rectas se intersecan en el punto de coordenadas (1, 2). Este punto es la

solución del sistema de ecuaciones, pues si se sustituyen los valores x = 1 e y = 2,

en las ecuaciones 1) y 2) del sistema dado, se encuentra que estos valores hacen

que se cumplan ambas igualdades. Verifíquese este hecho como ejercicio.

B) Sistemas con solución múltiple .

En el siguiente sistema de ecuaciones

1) x + y = 3

2) 4x + 4y = 12

Los puntos en que las rectas se intersecan con los ejes coordenados, son:

Para la ecuación 1) x + y = 3

Cuando

(0, 3) y (3, 0)

Para la ecuación 2) 4x + 4y = 12

EJEMPLO 2

x = 0 → y = 3 ; y = 0 → x = 3

Se dice que las ecuaciones de un sistema as í son independientes y

también, que el sistema es determinado, es decir, t iene una solución única.


21

Cuando:

En este caso los puntos de ambas rectas son comunes. ¿Qué significa este

hecho? Que todos esos puntos son solución del sistema de e cuaciones

dado .

C) Sistemas sin solución .

Sea dado el siguiente sistema de ecuaciones

1) 2x + y = 8

2) 2x + y = 3

x = 0 → y = 3 ; y = 0 → x = 3

(0, 3) y (3, 0)

EJEMPLO 3

En tal caso se dice que el sistema es indeterminado porque tiene un número

indeterminado de soluciones o también se dice que e s dependiente.

Y

X

4x + 4y = 12

x + y = 3

0


22

Procediendo como en los ejemplos anteriores, para determinar los puntos en que

ambas ecuaciones se intersecan con los ejes X e Y.

Para la ecuación 1) 2x + y = 8

Cuando

(0, 8) y (4, 0)

Para la ecuación 2) 2x + y = 3

Cuando

(0, 3) y (2

3, 0)

En cada caso se observa que ambas rectas son paralelas entre sí, carecen de

puntos comunes. Si se compara esta gráfica con las dos anteriores ¿Qué puede

decirse acerca de la solución de este sistema?, ¿tiene solución única? ó ¿NO

TIENE SOLUCIÓN?. Esta última es la respuesta. Por ello, se dice que el sistema es

inconsistente.

x = 0 → y = 8 ; y = 0 → x = 4

x = 0 → y = 3 ; y = 0 → x = 2

3


23

En resumen

1.7 Métodos de reducción y de sustitución.

a) Método de eliminación por sustitución. Sea el sig uiente sistema de

dos ecuaciones lineales con dos variables.

1) 2x + 4y = 10

2) x + 3y = 7

Puede ser despejada la variable x, o bien la variable y en una de las ecuaciones y

sustituir luego su valor en la otra ecuación. Por ejemplo, se despeja la x en la

ecuación 2), de donde resulta,

x = 7 – 3y, Si se sustituye este valor en la ecuación 1). Es decir,

2 (7 - 3y) + 4y = 10 Se aplica la propiedad distributiva se obtiene.

14 - 6y + 4y = 10 Se reducen términos semejantes en el primer miembro.

Independiente con exactamente una solución

(determinado)

Dependiente con una infinidad de soluciones

(indeterminado)

Inconsistente sin solución

Consistentes

0

Y

X 0

Y

X 0

Y

X

I II III


24

14 - 2y = 10 Se resta 14 en ambos miembros.

-2y = -14 Se dividen ambos miembros entre –2.

y = 2

Para hallar el valor de la variable x, se sustituye el valor encontrado para y = 2 en

por ejemplo en la ecuación 2),

x + 3 (2) = 7 en la cual, realizando la multiplicación y “despejando” x, se obtiene

x = 7 – 6, de donde,

x = 1

Luego, el conjunto solución del sistema de ecuaciones es la pareja ordenada (1,

2), el cual es fácilmente verificable. ¡Hágase como ejercicio!

b) Método de eliminación por reducción (sumas y res tas).

En este método destaca el concepto de ecuaciones equivalentes, de las

cuales se dice que son aquellas que tienen un mismo conjunto solución . Las

siguientes reglas permiten producir un sistema de ecuaciones equivalentes:

Para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, la tercera regla tiene

particular interés y es fácilmente verificable.

• Intercambiar el lugar de cualesquiera dos ecuacione s.

• Multiplicar ambos miembros de una ecuación del sist ema por

un número real distinto de cero.

• Multiplcar ambos miembro de una ecuación del sistem a por un número real distinto de cero y la ecuación resultan te sumarla a la otra ecuación .


25

EJEMPLO 1. Dado el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas.

1) 5x – 2y = 1

2) x + y = 3

Siendo la pareja ordenada (1, 2) el conjunto solución del sistema original de

ecuaciones. Verifícalo, como un ejercicio.

1) 5x – 2y = 1 2) 2x + 2y = 6

En ambas ecuaciones, se iguala el coeficiente de la variable y pero con signo contrario.

7x = 7 Se divide entre 7

Al sustituir x = 1 en cualesquiera de las ecuaciones del sistema original, encontremos que y =2. Por ejemplo, sustituyendo en la ecuación 1).

Se suma –5 en ambos miembros y se realizan

operaciones.

Se divide entre –2. De donde resulta

y = 2

1) 5x – 2y = 1 2) 2x + 2y = 6

7x + 0 = 7

5(1) – 2y = 1

5 - 2y = 1

5- 2 y-5 = 1 – 5

-2 y = - 4

y = 4

2

Sumando miembro a miembro las ecuaciones del sistema resulta,

x = 1

Si se multiplican ambos miembros de la ecuación

2) por el número 2, se obtiene el sistema de

ecuaciones equivalentes.


26

1. Dados los siguientes sistemas de rectas,

Escribir el o los incisos correspondientes según que los sistemas dados sean:

1. Consistentes:__________________________________ 2. Determinados:_________________________________ 3. Inconsistentes :________________________________ 4. Indeterminados:________________________________ 5. Independientes:________________________________ 6. dependientes:__________________________________

Ahora se resolverán algunos ejemplos de sistemas de tres ecuaciones lineales

con tres incógnitas por el método de reducción. El método se basa en las

propiedades enunciadas en la página 22 las cuales reescribimos a continuación,

EJERCICIOS

0 X

Y b)

0 X

Y a)

0 X

Y c)

0 X

Y f)

0 X

Y e)

0 X

Y d)

0 X

Y i)

0 X

Y h)

0 X

Y g)


27

Ejemplo . Sea dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

1) x + y - z = 3

2) x – 2y + z = -3

3) 2x + y + z = 4

1) x + y - z = 3 1) x + y - z = 3

2) x – 2y + z = -3 2) -3 y +2z = -6

3) 2x + y + z = 4 3) - y +3z = -2

En (II) se intercambian las ecuaciones 2) y 3) se tiene 1) x + y - z = 3 1) x + y - z = 3

3) - y + 3z = -2 3) y - 3z = 2

2) -3 y + 2z = -6 2) -3 y +2z = - 6

En (IV) se multiplica la ecuación 3) por 3 y se suma a la ecuación 2).

1) x + y - z = 3 1) x + y - z = 3

3) y -3z = 2 3) y -3z = 2

2) -7z = 0 2) z = 0

• Intercambiar el lugar de cualesquiera dos ecuacione s.

• Multiplicar ambos miembros de una ecuación del sist ema por

un número real distinto de cero.

• Multiplicar ambos miembro de una ecuación del siste ma por un número real distinto de cero y la ecuación resultan te sumarla a la otra ecuación .

Si la ecuación 1) se multiplica por –1 y el resultado se suma a la ecuación 2). Y luego, la ecuación 1) se multiplica por –2 y el resultado se suma a la ecuación 3) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones equivalentes.

(I) (II)

(III) (IV)

(V)

En (III) se multiplica la ecuación 3) por –1 resulta

(VI)

En (V) se multiplica la ecuación 2) por (-1/7)


28

1.8 Sistemas de ecuaciones equivalentes

Es así como se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, el cual ha quedado en

su forma reducida inferior. Se dice que éste, es un sistema de ecuaciones lineales

equivalentes al sistema original, en el que se obtiene directamente el valor de

z = 0 en la tercera ecuación como se ve en dicho sistema. Eso es,

1) x + y - z = 3

2) y -3 z = 2

3) z = 0

Los valores respectivos de las variables x , y se obtienen mediante un proceso de

“sustitución hacia atrás”. Esto es, si en la segunda ecuación se sustituye el valor

hallado de z = 0, es decir,

y + z = 2

y + 0 = 2

y = 2

Se encuentra que

y = 2

Ahora bien, conociendo ya los valores de las variables z =0 y y =2, para obtener

el valor la variable x, se sustituyen los valores hallados de z = 0 y y =2 en la

ecuación 1) del sistema de ecuaciones equivalentes. Esto es

x + 2 - 0 = 3

x + 2 = 3

de donde

x = 1

De esta manera se obtiene el conjunto solución { x = 1, y = 2, z = 0 } del sistema

de ecuaciones lineales.

(VI)


29

El método anterior puede ser aplicado al trabajar sólo con los coeficientes del

sistema de ecuaciones dado, con lo cual se simplifica de manera importante el

procedimiento, facilitando de ese modo la solución del sistema de ecuaciones

lineales.

A continuación, se resolverá el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior por el

método de reducción.

1) x + y - z = 3

2) x – 2y + z = -3

3) 2x + y + z = 4

Pero, ahora en lugar de trabajar con las ecuaciones directamente, se tomarán

solamente las columnas de los coeficientes de las incógnitas del sistema (las tres

primeras columnas), a las cuales se agrega la columna de términos constantes (la

cuarta columna), como se muestra más abajo en el primer arreglo de términos. A

un arreglo de términos en reglones y columnas, ence rrado en un par de

paréntesis se dice que es una matriz de coeficient es. En este caso, al agregar

a la matriz de coeficientes de las variables del sistema, la columna de términos

independientes, la matriz que se forma se llama matriz aumentada.

Forma triangular .

La aplicación de las operaciones elementales se realizará sobre los elementos de

los renglones. Por ejemplo, la expresión (-1)R1+ R2 significa que el primer renglón R1,

es multiplicado por (-1) y el resultado sumado al segundo reglón R2. De la misma

forma, la expresión (-2)R1+ R3 significa que el primer renglón R1, es multiplicado por

(-2) y el resultado sumado al tercer reglón R3. la expresión R2↔ R3, significa que el

segundo y tercer renglón intercambian sus lugares. Esto es

1 1 -1 3 1 1 -1 3 1 1 -1 3

1 -2 1 -3 0 -3 2 -6 0 -1 3 -2

2 1 1 4 0 -1 3 -2 0 -3 2 -6

(-1)R1+ R2

(-2)R1+ R3 R2↔ R3 -1R3

~ ~ ~


30

1 1 -1 3 1 1 -1 3 1 1 -1 3 0 1 -3 2 0 1 -3 2 0 1 -3 2 0 -3 2 -6 0 0 -7 0 0 0 1 0

Como ya no es posible reducir más la matriz, el proceso termina y entonces se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones equivalentes al sistema original de

ecuaciones,

1) x + y - z = 3

2) y -3z = 2

3) z = 0

En el cual se observa que el valor de la incógnita z = 0, resulta directamente en la

tercera ecuación. Ahora, sustituyendo “hacia atrás “ z = 0 en la ecuación 2)

y + z = 2

y + 0 = 2

y = 2

Se encuentra que

y = 2

Conociendo ya los valores de las variables z =0 y y =2, para obtener el valor la

variable x, se sustituyen los valores hallados de z = 0 y y =2 en la ecuación 1)

del sistema de ecuaciones. Esto es

x + 2 - 0 = 3

x + 2 = 3

De donde

x = 1

~ 3R2+ R3

~ (-1/7)R2+ R3


31

De esta manera se obtiene el conjunto solución { x = 1, y = 2, z = 0 } del sistema

de ecuaciones lineales.

Así entonces, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones en su forma reducida

inferior, el cual se dice que es un sistema de ecuaciones lineales equivalentes al

sistema original, en el cual se obtiene directamente ya el valor de z = 0 en la

tercera ecuación como se ve ene dicho sistema.

1) x + y - z = 3

2) y + z = 2

3) z = 0

Los valores respectivos de las variables x , y se obtienen “hacia a trás”. Esto es, si

en la segunda ecuación se sustituye el valor hallado de z = 0, es decir,

y + z = 2

y + 0 = 2

y = 2

Se encuentra que

y = 2

Ahora bien, conociendo ya los valores de las variables z =0 y y =2, para obtener

el valor la variable x, se sustituyen los valores hallados de z = 0 y y =2 en la

ecuación 1) del sistema de ecuaciones equivalentes.

Esto es,

x + 2 - 0 = 3

x + 2 = 3

De donde

x = 1


32

Finalmente se obtiene el conjunto solución { x = 1, y = 2, z = 0 } del sistema de

ecuaciones lineales, el cual es mismo que se obtuvo al resolver dicho sistema por

el método de reducción. Compruébese la solución como ejercicio!

Es importante que el estudiante se dé cuenta de que en ambos casos se hizo lo

mismo, salvo que al aplicar el método de reducción en el proceso de eliminación

de las variables, estas son “arrastradas” al tener que ser multiplicadas por un

escalar o sumadas o restadas a otra ecuación, lo cual hace que el proceso de

eliminación sea a veces mucho más engorroso que cuando se trabaja sólo

mediante los coeficientes del sistema como se hizo en la primera forma. Resulta

obvio decir las ventajas que representa aplicar el método de reducción de

coeficientes.

Tiene sentido señalar que en los ejemplos antes resueltos, los sistemas

equivalentes tienen igual número de ecuaciones que de incógnitas y, entonces la

solución del sistema es única ya que el sistema sólo se satisface para los valores

hallados de las variables en que está dado.

1.9 Determinantes.

Otra forma de resolver un sistema de ecuaciones lineales, es por determinantes

mediante el Método de Cramer. Para ello diremos qué es un determinante.

Por ejemplo, considérese la matriz de coeficientes de las variables del sistema

anterior, el cual se escribe a continuación. Esto es,

1) x + y - z = 3

2) x – 2y + z = -3

3) 2x + y + z = 4

Un determinante es un escalar asociado a una matriz cuadrada.


33

Y sea la matriz de coeficientes de las variables asociada a dicho sistema

El arreglo cuadrado en renglones y columnas de los coe ficientes de las

variables del sistema, encerrados entre un par de barras simples como se

muestra a continuación, define el determinante de la matriz.

Det.

Se dijo que es un número asociado a una matriz cuadrada de coeficientes del

sistema de ecuaciones lineales, en este caso a la matriz anterior. Existen varias

formas de calcular su valor. Definiremos a continuación la regla de Cramer. Esta

constituye una forma práctica para poder calcular el valor del determinante de una

matriz cuadrada, ya sea que contenga dos ecuaciones con dos incógnitas o tres

ecuaciones con tres incógnitas como es el caso que nos ocupa.

Para ello se utilizará la regla de Sarrus, se agregan las dos primeras columnas a

la derecha del determinante o también los dos primeros renglones pero en la parte

inferior. Para ilustrar el ejemplo, se hará agregando las dos primeras columnas a

la derecha como se muestra a continuación

Det. =

1 1 -1

1 - 2 1

2 1 1

1 1 -1

1 -2 1

2 1 1

1 1 -1

1 -2 1

2 1 1

1 1 -1 1 1

1 -2 1 1 -2

2 1 1 2 1


34

Se ejecutarán los productos cruzados en forma diagonal, considerando los de

izquierda a derecha como positivos, a cuya suma se restará la suma de los

productos de derecha a izquierda como se muestra a continuación. Esto es

Det. =

= [ (1)(-2)(1)+(1)(1)(2)+(-1)(1)(1)] – [(-1)(-2)(2)+(1)(1)(1)+(1)(1)(1)]

= [-2+2-1] – [4+1+1]

= -1 – 6

= - 7

Por tanto, Det. = - 7

Ejercicio , hállese el valor del determinante agregando los dos primeros renglones

en la parte inferior, es decir

Det. = =

1.10 Método de Crámer . A continuación, se procederá a resolver el sistema

anterior de ecuaciones por determinantes, mediante el método de Crámer.

1) x + y - z = 3

2) x – 2y + z = -3

3) 2x + y + z = 4

1 1 -1

1 -2 1

2 1 1

1 1 -1 1 1

1 -2 1 1 -2

2 1 1 2 1

+ - + + - -

1 1 -1

1 -2 1

2 1 1

+ 1 1 -1

1 -2 1

2 1 1

1 1 -1

1 -2 1

+

+

-

-

-


35

Sabemos ya que el valor del determinante de la matriz de coeficientes es – 7. Así,

para calcular el valor de cada una de las variable x, y, z, se procede de la

siguiente manera. Empezaremos por calcular el valor de la primera variable, la x.,

para ello, en el determinante original se sustituye la primera columna de

coeficientes (señalados en negritas), que son los que corresponden a la variable x,

por la columna de términos independientes de dicho sistema como puede

observarse y, el determinante así formado se divide entre el valor del determinante

original. Esto es

x = = = (-6+4+3 ) – (8 +3-3 )

= (1-8)/-7 = -7/-7 =1

Por tanto, x = 1.

y = = = (-3+6-4 ) – (6 +4+3 )

= (-1 - 13)/-7 = -14/-7 =2

Por tanto, y = 2.

z = = = (-8-6+3 ) – (-12 -3+4 )

= (-11 - 11)/-7 = 0/-7 =0

Por tanto, z = 0.

3 1 -1

-3 -2 1

4 1 1

-7

3 1 -1 3 1

-3 -2 1 -3 -2

4 1 1 4 1

+ - + + - -

-7 -7

1 3 -1

1 -3 1

2 4 1

-7

1 3 -1 1 3

1 -3 1 1 -3

2 4 1 2 4

+ - + + - -

-7 -7

1 1 3

1 -2 -3

2 1 4

-7

1 1 3 1 1

1 -2 -3 1 -2

2 1 4 2 1

+ - + + - -

-7 -7


36

Una vez más, se encuentra el mismo conjunto solución ya obtenido anteriormente,

es decir, { x = 1, y = 2, z = 0 }.

Ejemplo 3 . Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales simultáneas por

el método de reducción (forma triangular).

1) x + y + z = 3

2) x – 2y + 3 z = 5

3) 5x - 4y +11 z = 20

Partiendo de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones se tiene

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 -2 3 5 0 -3 2 2 0 1 -2/3 -2/3

5 - 4 11 20 0 -9 6 5 0 -9 6 5

1 1 1 3 1 1 1 3 0 1 -2/3 2/3 0 1 -2/3 -2/3

0 0 0 -1 0 0 0 -1

El proceso ha terminado y entonces el sistema equivalente asociado a la última matriz es:

1) x + y + z = 3

2) y – 2/3 z = 2/3

3) 0 = -1

En la última ecuación resulta un absurdo porque cero no es igual a –1, lo cual

significa que el sistema de ecuaciones es inconsistente, es decir, no tiene

solución.

(-1/12)R3

(-1)R1+ R2

-5R1+ R3 (-1/3)R2

(9)R2 + R3

~ ~

~ ~


37

Los términos independientes de los sistemas de ecuaciones de los ejemplos

anteriores, son distintos de cero . Por ello, tales sistemas se dice que son

sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas . Es suficiente con que al menos

uno de dichos coeficientes sea distinto de cero para que el sistema sea no

homogéneo . En caso contrario, cuando todos los términos independientes son

cero, entonces se dice que el sistema de ecuaciones es homogéneo.

Ejemplo. 4 Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas

1) x +2 y + 3 z = 0

2) 4x +5y +6 z = 0

3) 7x +8y +9 z = 0

A continuación se procederá a resolverlo mediante la forma reducida inferior de la

matriz aumentada de coeficientes (método de Gauss). Esto es

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0

4 5 6 0 0 -3 -6 0 0 1 2 0

7 8 9 0 0 -6 -12 0 0 -6 -12 0

1 2 3 0

0 1 2 0

0 0 0 0

El proceso ha terminado pero, se observa que en el último renglón todos los

elementos son ceros. Esto significa que allí, todas las incógnitas se han eliminado

y entonces el sistema lineal equivalente que resulta es

1) x +2 y + 3 z = 0

2) y + 2 z = 0

-7R1+ R3

(-1/3)R2 (6)R2 + R3

~ ~ ~ -4R1+ R2


38

Es un sistema en el aparecen dos ecuaciones con tres variables. Esto es, un

menor número de ecuaciones que de variables. Esa diferencia arroja un número

de variables libres, el cual se obtiene de restar al número de variables el número

de ecuaciones. En este caso, tres incógnitas menos dos ecuaciones, es igual a

una variable libre a la cual podemos asignarle una valor a arbitrario. Por ejemplo,

supóngase que z = a sea la variable libre, entonces, sustituyendo este valor de z

en la ecuación 2) se obtendrá el valor de la variable y. Esto es, al despejar y en

dicha ecuación se tiene

y = - 2 z y sustituyendo z por su valor a se tiene,

y = - 2 a

Igualmente en la ecuación 1), al despejar la variable x

x = -2 y - 3 z

Ahora, sustituyendo z = a y y = - 2 a en la ecuación 1), se encuentra que

x = -2(-2y) - 3 a

x = -2(-2a) - 3 a

x = 4a - 3a

x = a

De esta manera se tiene que el conjunto solución del sistema de ecuaciones es:

{a, -2a, a} el cual satisface al sistema de ecuaciones como se muestra en la

siguiente comprobación en el sistema original.

1) x +2 y + 3 z = 0. Sustituyendo los valores de las variables

a +2(-2a)+ a = 0

a - 4a + 3a = 0

4a - 4a = 0

0 = 0


39

2) 4x + 5 y +6 z = 0

4a + 5(-2a) +6 a = 0

4a – 10a +6 a = 0

10a – 10a = 0

0 = 0

3) 7x + 8 y +9 z = 0

7a + 8(-2a) +9 a = 0

7a -16a +9 a = 0

16a -16a = 0

0 = 0

Se dice que el conjunto solución {a, -2a, a} es la solución general del sistema de

ecuaciones lineales, a partir de la cual es posible obtener un sin número de

soluciones articulares. Esto quiere decir que para cada valor numérico que se

asigne a la literal a se obtendrá una solución particular. Así por ejemplo, si

hacemos a = 2, entonces la solución particular del sistema de ecuaciones es

{a, -2a, a} ={2, -4, 2}. A continuación comprobamos dicha solución.

1) x +2 y + 3 z = 0. Sustituyendo los valores

2 +2(-4)+ 3( 2) = 0

2 - 8 + 3(2) = 0

2 - 8 + 6 = 0

8 - 8 = 0

0 = 0

2) 4x + 5 y +6 z = 0

4(2) + 5(-4) +6 (2) = 0

8 – 20 +12 = 0

20 – 20 = 0

0 = 0


40

3) 7x + 8 y +9 z = 0

7(2) + 8(-4) +9 (2) = 0

14 - 32 + 18 = 0

32 -32 = 0

0 = 0

De lo anterior, se tiene entonces que para cada valor numérico que se asigne a la

literal a en la solución general del sistema, se obtendrá una solución particular del

mismo y, como el número de asignaciones que pueden hacerse es muy grande,

entonces se dice que un sistema como el anterior, después de ser reducido

inferiormente, si el número de variables es mayor que el numero de ecuaciones, el

sistema tiene una solución múltiple o infinita.

Ejercicio . Encontrar y comprobar la solución particular del sistema anterior

cuando: a = 3, a = -2, a = 1/2, a = -4 a = 7

1.11 Ejercicios y problemas de aplicación.

Ejercicios . Resolver por el método de reducción cada uno de los siguientes

sistemas de ecuaciones lineales.

x - 2y - 3 z = -1

4x + 5y + 6 z = 6

7x + 8y + 9 z = 13

1. 2x + 6y - 4 z = 1

x + 3y - 2 z = 4

2x + y - 3 z = -7

2. 5x + 2y - z = -7

x - 2y + 2 z = 0

3y + z = 17

3.

x + 3y + z = 0

x + y - z = 0

x - 2y - 4 z = 0

4. 2x + y + z = 0

x - 2y - 2 z = 0

x + y + z = 0

5. x + y -2 z = 0

x - y - 4 z = 0

y + z = 0

6.


41

7. Resolver los sistemas 1-6 por la forma triangular (reducida inferior).

Soluciones :

1. { 2, 3, -1} 2. No tiene solución 3. { -2, 4, 5 } 4. { 2a, -a, a }

5. { 0, -a, -a } 6. { 3a, -a, a }

Problemas.

8. Resolver cada uno de los problemas señalados a continuación:

El ejemplo 6 de la página 11.



9. Un comerciante adquiere dos clases de cacahuates para combinar con nueces

cuyos costos respectivos son: $3.00, $5.00, $8.00 por kilo, para obtener una

mezcla de 65 kg que cueste $6.00 el kg. ¿Cuántos kilogramos de cada clase

deberá utilizar, si además desea que la cantidad de cacahuates de la variedad sea

el doble que la de la variedad más cara? Respuesta : x = 40, y = 20, z = 70.

10. En una industria de productos químicos, se tienen tres soluciones las cuales

contienen 10%, 30% y 50% de un cierto ácido. Para obtener 50 litros de una

solución que contenga 32% del ácido, se ha decidido mezclar el doble de la

solución al 50% respecto a la de 30%. ¿Cuántos litros de cada solución deberá

utilizar? Respuesta : S1 = 17 al10% , y = 11 al 30% y z = 22 al 50%.

11. Un proveedor de productos para el campo tiene tres tipos de fertilizantes G1,

G2, y G3 los cuales contienen 30%, 20% y 10% de nitrógeno respectivamente. Se

requiere mezclar dichos fertilizantes con el fin de obtener 600 kg de un fertilizante

que contenga el 25% de nitrógeno. La mezcla debe contener 100 kg más del tipo

G3 que del tipo G3 . ¿Cuántas libras se deben utilizar de cada tipo?

Respuesta : 380 kg del G1, 60 kg del G2 y 160 kg del G3.


42

12. Una industria tiene tres máquinas M1, M2 y M3 para la producción de cierto

artículo. Por problemas de escasez de mano de obra capacitada, sólo es posible

operar dos de dichas máquinas simultáneamente. En la siguiente tabla se muestra

la producción que se obtiene en periodos de ocho días utilizando las distintas

combinaciones de dos máquinas.

Máquinas Horas de uso

Artículos producidos

M1 y M2 6 4500

M1, y M3 8 3600

M2 y M3 7 4900

¿Cuánto tiempo le tomaría a cada máquina, si se usara sola, producir 1000

artículos?

Respuesta : A =4hr, B =2hr, C =5hr.

13. El propietario de un lote de vehículos automotores, tiene 45 unidades entre las

que se encuentran, automóviles estándar, automóviles automáticos y camionetas.

Hay el doble de automóviles automáticos que de camionetas. Los automóviles

estándar cuestan $ 40,000.00 los automóviles automáticos $ 35,000.00 y las

camionetas $ 42,000.00. Si el importe total de vehículos es de $ 1, 720,000.00,

¿Cuántos vehículos hay de cada tipo? Respuesta : 15 carros estándar, 20 carros

deportivos y 10 camionetas.

14. Una caja registradora contiene $ 50.00 en monedas de cinco, de diez y de

veinticinco centavos. Hay 802 monedas en total y 10 veces más de cinco que de

diez. ¿Cuántas monedas de cada una hay en la caja registradora?2Respuesta :

32 monedad de veinticinco, 70 monedas de diez y 700 de cinco centavos.

15. Hay 52 escritorios en tres oficinas, el número en la segunda oficina es la mitad

del número en la primera. La primera oficina tiene 48 pies cuadrados de espacio

pro escritorio, la segunda 46 pies cuadrados por escritorio y la tercera 45 pies

cuadrados por escritorio. Si hay 2 424 pies cuadrados en las tres oficinas juntas,

¿cuántos escritorios hay en cada una? Respuesta : 24, 12, 16


43

1.12 Sistema de Ecuaciones no lineales 2 ××××2.

En la página 18, se tienen dos rectas las cuales se intersecan en el punto de

coordenadas (1, 2). Este punto es la solución del sistema de ecuaciones ya que

estos valores hacen que se cumplan ambas igualdades. Este concepto de

solución de un sistema de ecuaciones, es el mismo si se trata de un sistema de

ecuaciones cuadráticas de dos variables, es decir, la solución de un sistema de

ecuaciones cuadráticas estará dada por los valores de las variables x, y que

satisfagan dichas ecuaciones. Para ello, veremos a continuación algunos ejemplos

considerando distintos tipos de sistemas de ecuaciones cuadráticas.

A) Con una ecuación lineal y otra cuadrática.

Ejemplo 1. Sea dado el siguiente sistema de ecuaciones en el cual, una ecuación

es lineal y la otra es una ecuación cuadrática. Esto es

1) y = x2

2) y = x +2

Para construir la gráfica de la ecuación 1) se elaborará la siguiente tabla de

valores

De donde se obtiene la gráfica de la parábola como se muestra en la figura dada

abajo.

Para construir la gráfica de la ecuación 2) se elaborará la siguiente:

x 0 ±3 ±2 ±1

y 0 9 4 1

x -2 -1 0 1 2

y 0 1 2 3 4


44

Y así se obtiene la gráfica de la recta en la figura

a la derecha. Se observa que las dos gráficas se

intersecan en los puntos cuyas coordenadas son:

(-1, 1), (2, 4) como muestra la figura dada. Estos

puntos satisfacen simultáneamente a las dos

ecuaciones y por tanto definen el conjunto

solución del sistema da ecuaciones, es decir:

{(-1, 1), (2, 4)}.

Ejemplo 2. Sea el siguiente sistema de ecuaciones en el cual, una ecuación es

lineal y la otra es una ecuación cuadrática. Esto es

1) y = -x2+5

2) y = x +3

Para construir la gráfica de la ecuación 1) se elaborará la siguiente tabla:

x 0 ±3 ±2 ±1

y 5 -4 1 4

De donde se obtiene la gráfica de la parábola como se muestra en la figura dada

abajo. Para construir la gráfica de la ecuación 2) se elaborará la siguiente tabla:

De donde se obtiene la gráfica de la recta como

se muestra en la figura dada abajo.

Se observa que las dos gráficas se intersecan

en los puntos cuyas coordenadas son: (-2, 1),

(1, 4) como muestra la figura dada. Estos puntos

satisfacen simultáneamente a las dos

ecuaciones y por tanto definen el conjunto

solución del sistema da ecuaciones, es decir:

{(-2, 1), (1, 4)}.

x -3 -2 -1 0 1 2

y 0 1 2 3 4 5

y = x2

y = x +2

•

• •

• •

• •

y = -x2

x + y = 3 •

• •

• •

•

•

(-2, 1)

(1, 4)

•

•


45

B) Con dos ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 3. Sea el siguiente sistema de ecuaciones cuadráticas. Esto es

1) y = x2-4

2) 9x2 + 25y2 = 225

Para construir la gráfica de la ecuación 1) se elaborará la siguiente tabla:

x 0 ±1 ±2 ±3 ±4

y -4 -3 0 5 12

De aquí se obtiene la gráfica de la parábola como se muestra en la figura dada

abajo. Para construir la gráfica de la ecuación 2), la cual corresponde a una elipse,

se elaborará la siguiente tabla:

Se observa que las dos gráficas se intersecan en los siguientes puntos cuyas

coordenadas son: (-2.5, 2.5), (2.5, 2.5), (-1, -3), (1, -3) como muestra la figura

dada. Este conjunto de puntos satisfacen simultáneamente a las dos ecuaciones y

por tanto definen el conjunto solución del sistema da ecuaciones cuadráticas. Esto

es {(2.5, -2.5), (2.5, -2.5), (-1, -3), (1, -3) }

x -5 -4 -2 -1 0 1 2 4 5

y 0 ±1.8 ±2.7 ±2.9 ±3 ±2.9 ±2.7 ±1.8 0

• •

•

• •

y = x2 -4

• 9x2 + 25y2 =225

• • (2.5, 2.5) (-2.5, 2.5)

(-1, -3) (1, -3) •


46

Ejemplo 4. Dado el siguiente sistema de ecuaciones cuadráticas, cuya gráfica se

representa. Encuentra el conjunto solución, si existe, si no existe, explica porqué.

1) x2 + y2 = 1

2) 9x2 - 4y2 = 36

Ejemplo 5. Se observa que el sistema del ejemplo

3 tiene cuatro soluciones. El sistema del ejemplo 4

no tiene ninguna solución. En este caso, dado el

sistema de ecuaciones y su representación

gráfica, obsérvese dicha gráfica y dígase si el

sistema de ecuaciones dado a continuación tiene solución o no. Si tiene solución,

dígase cuántas soluciones tiene y determínelas gráficamente en forma

aproximada si no son exactas.

1) (x - 2)2 + y2 = 25

2) x2 + y2 = 25

Ejercicios. En los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticas, encuentra ya

sea: a) La solución exacta

b) La solución aproximada, redondeándola por exceso o por defecto según el

caso.

1.

1) x +y = 3

2) y2 = 4x

1) 2x -y = 1

2) y2 = 2x

2.

1) 5x2 - y2 = 35

2) x2 + y2 = 169

1) 4x -3y = 0

2) x2 +4 y2 = 41

3.

1) 4x2 -5y2 = -16

2) y2 = 4 x

1) y =5x

2) y2 - 9x2 = 9

4.

5.

6.


47

Respuestas :

1. (1, 2), (9, -6) 2. (12, 5), (12, -5) 3. (1, 2), (1, -2), (4, 4), (4, -4) 4. (1.5, 1.5),

(0, -5) 5. (2, 3), (-2, -3) 6) (1, 4), (-1, -4).

C) El significado gráfico de su solución.

A través de los ejemplos anteriores, quedó establecido que el conjunto solución

simultáneo de un sistema de dos ecuaciones cuadráticas de dos variables, es el

conjunto de todos los pares ordenados de valores co rrespondientes a las

variables x, y las cuales satisfacen a las dos ecuaciones.

Así entonces, el ejemplo 1 es un sistema que consta de una ecuación lineal y otra

cuadrática. Su gráfica muestrea una línea recta y una parábola y se observa que

las dos gráficas se intersecan en al menos dos puntos cuyas coordenadas

son: (-1, 1), (2, 4). Estos puntos satisfacen simultáneamente a las dos

ecuaciones y por tanto se dice que son el conjunto solución de dicho sistema de

ecuaciones.

Análogamente, el ejemplo 2 también consta de una ecuación lineal y otra

cuadrática. Su gráfica muestrea una línea recta y una parábola y se observa que

las dos gráficas se intersecan en al menos dos puntos cuyas coordenadas

son: (-2, 1), (1, 4). Estos puntos satisfacen simultáneamente a las dos ecuaciones

y por tanto se dice que son el conjunto solución del sistema de ecuaciones.

De la misma forma, si se observa el ejemplo 3 anterior, consta de dos ecuaciones

cuadráticas, una elipse y una parábola. Las dos gráficas se intersecan pero,

ahora en los siguientes cuatro pares de puntos, cuyas coordenadas son:(-2.5, 2.5),

(2.5, 2.5), (-1, -3), (1, -3) como muestra la figura dada. Este conjunto de puntos

satisfacen simultáneamente a las dos ecuaciones y entonces, se dice que son el

conjunto solución del sistema de esas ecuaciones cuadráticas.


48

Para terminar con este pequeño análisis acerca del significado gráfico de la

solución de un sistema de dos ecuaciones cuadráticas, al observar el sistema del

ejemplo 4, se encuentra que la gráfica de cada una de las ecuaciones, no tienen

puntos comunes, es decir, no se intersecan en ningún punto , entonces se dice

que el sistema es inconsistente , es decir, no tiene solución .

Ejercicios . Dados los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticas y su

correspondiente representación gráfica, encuentre el número de soluciones y los

pares de valores que las definen ya sean soluciones exactas o aproximadas según

se observe en la gráfica de cada sistema.

1) (x-2)2 +4y2 =9

2) y = -3x2+3

d)

Respuesta:

c)

Respuesta:

1) (x+2)2+y2 =9

2) -x+2y = 10

1) (x-3)2+y2 = 9

2) x = -1

b)

Respuesta:

1) y = 6x2

2) x2+ 4y2 = 4

a)

Respuesta:


49

D) Solución por el método de sustitución.

Del estudio de los métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales

de dos incógnitas, recordamos el método por sustitución. Esto es, cuando en un

sistema de dos ecuaciones de dos variables, se puede resolver una ecuación en

términos de otra variable, esta variable puede eliminarse por sustitución. Este es

un método algebraico el cual proporciona se pueden obtener los valores exactos

de todas las soluciones ya sean reales o imaginarias, pero un método algebraico

general conduce a una ecuación de cuarto grado en alguna de las dos variables y

la ecuación puede ser resuelta para obtener con exactitud sus raíces, hay que

decir que el proceso no es sencillo. Por ello, los sistemas cuadráticos que aquí se

consideran pueden ser resueltos a través de procedimientos que ya estudiados.

A continuación se resolverán algunos ejemplos de sistemas de dos ecuaciones

cuadráticas de dos incógnitas, empezando en primer lugar con un sistema que

contiene una ecuación lineal y la otra es una cuadrática.

Ejemplo 6 .

1) 2x + y = 5

2) y2+ 2y =3x -3

Primero se resuelve la ecuación 1) para la variable y, es decir, se despeja dicha

variable en la ecuación 1) obteniéndose

1) x +y = 3

2) y = 4x2

e)

Respuesta:

1) x2 – y2 = 100

2) x2+ y2 = 25

f)

Respuesta:


50

3) y = 5-2x

En segundo lugar, el valor de y en la ecuación 1) por 5-2x de donde resulta

(5-2x)2+2(5-2x)2 =3x -3 la cual se procede a resolver como sigue:

(5-2x)2+2(5-2x) = 3x -3

25 - 20x +4x2 +10 – 4x = 3x -3

25 - 20x +4x2 +10 – 4x - 3x +3 = 0

4x2– 27x+ 38 = 0

(4x)2– 27(4x)+ 152 = 0 4

(4x)2– 27(4x)+ 152 = 0 4 (4x - 8)(4x - 19) = 0 4

(x - 2)(4x - 19) = 0

De donde se resulta, x = 2 al hacer, x - 2 = 0

x = 19/4 al hacer, 4x - 19 = 0

De esta manera, cada una de las raíces obtenidas x = 2 y x = 19/4 es el primer

número de cada uno de los pares ordenados que definen el conjunto solución del

sistema de ecuaciones. Para obtener los valores de la variable y hay que sustituir

los valores de las raíces x = 2 y x = 19/4 en la ecuación 3) anterior

Se desarrolla el binomio cuadrado (5-2x)2 .

Se suma -3x +3 en ambos miembros.

Se reducen términos semejantes.

Se multiplica y divide por 4.

Se factoriza en numerador.

Se factoriza en numerador.

Se simplifica.


51

y = 5-2x

Así, para x = 2 ; y = 5-2(2)= 5 –4=1. Por tanto, y =1 Entonces, el punto (2, 1) es el

primer par ordenado de la solución simultánea del sistema.

Igualmente para x = 19/4 ; y = 5-2(19/4)= 5 –19/2= (10 – 19)/2 = -9/2. Por tanto,

y = -9/2 Entonces, el punto (19/4, -9/2) es el segundo par ordenado de la solución

simultánea del sistema. Se trata de un sistema de ecuaciones cuadráticas en el

cual, una de las ecuaciones es lineal y la otra una ecuación cuadrática. Por tanto,

el sistema tiene sólo dos soluciones determinadas por los dos pares ordenados

(2, 1), (19/4, -9/2).

De esta manera, se encuentra

por el método de sustitución el

conjunto de la solución

simultánea {(2, 1), (19/4, -9/2)}

del sistema de ecuaciones

cuadráticas el cual puede ser

corroborado en la gráfica de la

derecha.

Ejemplo 7 . Ahora se resolverá el siguiente sistema el cual contiene dos

ecuaciones cuadráticas de dos incógnitas.

1) y2 = 5x-35

2) x2 + y2 = 169

Primero se resuelve la ecuación 1) para la variable y2, pero es conveniente tomar

dicha variable al cuadrado en la ecuación 1) y sustituir su valor en la ecuación 2)

se obtiene:

•

•


52

3) y2 = 5x-35

En segundo lugar, el valor de y2 en la ecuación 1) por 5x-35, de donde resulta

x2 + 5x-35 = 169 la cual se procede a resolver como sigue:

x2 + 5x-35 - 169 = 0

x2 + 5x - 204 = 0

(x +17)(x -12) = 0

De donde se resulta x = -17 al hacer, x + 17 = 0

x = 12 al hacer, x - 12 = 0

De esta manera, cada una de las raíces obtenidas x = -17 y x = 12 es el primer

número de cada uno de los pares ordenados que definen el conjunto solución

simultáneo del sistema de ecuaciones.

Para obtener los valores de la variable y hay que sustituir los valores encontrados

de las raíces x = -17 y x = 12 en la ecuación 3) anterior

y2 = 5x-35

Así, para x = -17 ; y = 5( 17) 35 85− − = − no tiene raíces reales. Por tanto,

y = -17 la ecuación no tiene soluciones reales.

Para x = 12, y = 5(12) 35 25− = = ± 5. Por tanto, x = 12 es el primer número de

los pares ordenados que forman el conjunto de soluciones reales del sistema de

Se suma –169 en ambos miembros .

Se realizan operaciones .

Se factoriza el primer miembro .


53

ecuaciones como puede corroborarse mediante la representación gráfica del

sistema dada a continuación.

1.13 Ejercicios .

I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticas por el método de

sustitución y comprobar la solución obtenida.

1.

1) x +y = 3

2) y2 = 4x

1) ax2 –by2 = ab2-a2b

2) ax - by = 0

2.

1) 5x - y = 2

2) y2-2y = x +2

1) 16x2 + 3y = 91

2) 8x + 4 y = 13

3.

1) 4x – y = 3

2) y2- 2y = x-2

1) y =2x-1

2) x y = 6

4.

5.

6.

Respuestas :

1. (1, 2), (9, -6) 2. (1, 3), (6/25, -4/5) 3. (1, 1), (17/16, 5/4)

4. (b, a), (-b, -a) 5. (1, 5), (2, -3) 6. (-3/2, -4), (2, 3).

II. Dados los siguientes problemas, construye el sistema de ecuaciones

cuadráticas en dos variables. Resuélvelo y verifica los resultados.

•

•

(12, 5)

(12, -5)


54

1. La suma de dos números es 16 y la suma de sus cuadrados es 130. Encuentra

dichos números.

2. El perímetro de un rectángulo es 40 cm. y su área es 96 cm2 encuentra las

dimensiones de dicho rectángulo.

3. El área impresa de un desplegado rectangular es 704 cm2. El área impresa más

los márgenes dan una área total de 1200 cm2. Encuentra las dimensiones del

desplegado si cada uno de los cuatro márgenes tiene 4 cm. de ancho.

4. Un automóvil deja la población A y viaja con velocidad uniforme a la población

B. Un segundo automóvil, viajando a razón de 20 Km/hr más rápido que el primero

se desplaza de B a A. Los dos automóviles arrancan al mismo tiempo y se

encuentran después de una hora, y uno de los autos puede hacer el viaje en 50

min menos que el otro. Encuentra la velocidad de cada automóvil y la distancia

entre las dos poblaciones.

5. Un triángulo isósceles tiene 36 unidades de perímetro y una altura de 12.

Encontrar la longitud de los lados.


55

Propuesta de Evaluación.

UNIDAD 1. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

I. Dado el enunciado del siguiente problema: Considérense dos fuerzas que

actúan en la misma dirección sobre un objeto y ejercen una fuerza total de 8 Kg.

Cuando las fuerzas actúan en direcciones opuestas, el resultado es una fuerza de

5 Kg. Hállese la magnitud de cada fuerza.

a) Construye el modelo matemático del problema

b) Resuelve el sistema de ecuaciones y comprueba la solución.

II. Dados los siguientes sistemas de rectas:

Escribir el o los incisos correspondientes según que los sistemas dados sean:

1. Consistentes:__________________________________ 2. Determinados:_________________________________ 3. Inconsistentes :________________________________ 4. Indeterminados:________________________________ 5. Independientes:________________________________ 6. dependientes:__________________________________

III. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, dígase cual es un

sistema homogéneo y cual no homogéneo.

1) x + y + z = 3

2) x – 2y + 3 z = 5

3) 5x - 4y +11 z = 20

1) 2x + y + z = 0

2) x - 2y - 2 z = 0

3) x + y + z = 0


56

a) Calcular el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo.

b) Resolver el sistema no homogéneo por el método de la forma triangular.

c) Resolver el sistema homogéneo por el método de Crámer y comprobar la

solución.

IV. Resolver el problema dado a continuación. Un comerciante adquiere dos

clases de cacahuates para combinar con nueces cuyos costos respectivos son:

$3.00, $5.00, $8.00 por kilo, para obtener una mezcla de 65 kg que cueste $6.00

el kg ¿Cuántos kilogramos de cada clase deberá utilizar, si además desea que la

cantidad de cacahuates de la variedad sea el doble que la de la variedad más

cara?

V. Dados el siguiente sistema de ecuaciones cuadráticas y su correspondiente

representación gráfica, encuentre el número de soluciones y los pares de valores

que las definen ya sean soluciones exactas o aproximadas según se observe en la

gráfica de cada sistema.

VI. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones cuadráticas por el método de

sustitución y comprobar el conjunto solución obtenida.

5x - y = 2

y2-2y = x +2

VII. Dado el siguiente problema, construye el sistema de ecuaciones cuadráticas

en dos variables. Resuélvelo y verifica los resultados.

El perímetro de un rectángulo es 40, y su área es 96. Encuentra las dimensiones

de dicho rectángulo.


57

Glosario.

Coeficiente . El número que indica la veces que se suma una literal.

Conjunto solución . El conjunto de valores de la o las incógnitas que satisfacen

una ecuación o un conjunto de ecuaciones.

Sistema de ecuaciones. Es un conjunto formado por dos a más ecuaciones

lineales o cuadráticas.

Ecuaciones equivalentes. Son aquellas ecuaciones que tienen el mismo

conjunto solución.

Sistema de ecuaciones consistente. Un sistema de ecuaciones que tiene

solución.

Sistema de ecuaciones inconsistente. Un sistema de ecuaciones que no tiene

solución.

Determinante. Es un número asociado a una matriz cuadrada.

Matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales . Es la matriz que

se forma mediante las columnas de coeficientes de las incógnitas de un sistema

de ecuaciones líneas.

Bibliografía

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2. Jack R. Britton/ Ignacio Bello. Matemáticas Contemporáneas, Harla. México

1982.

3. Earl W. Swokowski. Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica. Gpo. Ed.

Iberoamérica. Mexico. 1988.

4. Rees / Sparks / Sparks Rees. Álgebra, Mc Graw Hill. México 1983.

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6. Hernández, Landa,et.al. Lecciones de Matemáticas 3, CCH-NAUCALPAN,

2004.

7. CCH-UNAM. Programa de Estudios de Matemáticas I a IV. México. 2004.

matemÁticas iii unidad 1 soluciÓn de sistemas de … · 2014. 4. 1. · matemáticas iii unidad...

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