Unidad I:

Unidad I: Obteniendo y estudiando magnitudes.Tema I: Un nuevo tipo de magnitudes, su representacin grfica.En este tema veremos que hay situaciones de la realidad en donde podemos reconocer la presencia de magnitudes que dependen de dos variables, el estudio de estas magnitudes resulta muy til para entender mejor a dichas situaciones. Un aspecto fundamental en el estudio de magnitudes que dependen de dos variables es la consideracin del espacio tridimensional como el ambiente natural para su representacin grfica.

La experiencia adquirida en la graficacin de magnitudes que dependen de una sola variable ser valiosa en la tarea de representar grficamente a magnitudes que dependen de dos variables.

Iniciamos este tema considerando la siguiente situacin-problema.

Una cuerda elstica tiene sus extremos bien fijos en los puntos (0,0) y (,0) del eje x en el plano xz. La cuerda se estira de tal manera que adopta la forma de la grfica de la funcin z = sen (x ), como se ve en la figura I.1.1, y en el instante t = 0 se suelta.

Suponiendo que cada punto de la cuerda tiene un desplazamiento estrictamente vertical, la altura z de cualquier punto de la misma depende de su posicin x y del tiempo t . Determina si la ecuacin

puede ser un buen modelo matemtico para describir el movimiento de la cuerda, es decir, si cumple con las condiciones iniciales del fenmeno: la forma inicial de la cuerda y el hecho de que los extremos permanecen fijos, y adems, que para diferentes tiempos, los perfiles correspondientes de la cuerda vayan de acuerdo al comportamiento esperado del fenmeno.

Iniciaremos el anlisis del modelo propuesto revisando si cumple con la forma inicial de la cuerda y con la condicin de que los extremos de la cuerda permanecen fijos.

Si en la ecuacin del modelo

sustituimos t por 0, nos queda:

t = 0

es decir

Esto es, de acuerdo al modelo, la forma inicial de la cuerda es z = sen x, lo cual concuerda con la realidad del fenmeno observado.

Ahora, si en la ecuacin del modelo

sustituimos x por 0 y luego por , nos queda:

x = 0 , es decir, z = 0.

, es decir, z = 0.

Esto es, en los puntos extremos de la cuerda, donde x = 0 tenemos que z = 0. Esto significa que de acuerdo al modelo los extremos estn fijos al eje x, lo cual concuerda tambin con la realidad del fenmeno observado.

Ahora veremos si los perfiles de la cuerda para diferentes tiempos concuerdan con el comportamiento esperado del fenmeno. Tomemos entonces a la ecuacin

y describamos la forma de la cuerda para tiempos, o valores de t, cada vez mayores.

Por ejemplo:Si =1.047 Si = 1.571 Si = 3.1416

Las grficas de estas tres ecuaciones aparecen en la figura I.1.2 junto con la forma inicial de la cuerda (t = 0).

Ahora, si tomamos un tiempo t ligeramente mayor a = 3.1416, tendremos que el factor cos (t/2) que multiplica a sen(x) en la ecuacin del modelo, ser una constante con signo negativo, por lo que la posicin de la cuerda en este tiempo estar por debajo del eje x.

Cuando t = 2, tenemos que cos (t/2) = -1 y la cuerda alcanza su posicin mas baja, teniendo como ecuacin que la representa en este instante a z = -sen (x ).

Por el comportamiento oscilatorio entre 1 y 1, del factor cos (t/2) del modelo

conforme el tiempo t transcurre, podemos anticipar la naturaleza oscilatoria del movimiento de la cuerda de acuerdo al modelo, tomando como posiciones extremas a las curvas con ecuaciones z = -sen (x ) en la parte inferior y z = sen (x) en la parte superior.

Este comportamiento queda manifiesto si llevamos a cabo la animacin del fenmeno ejecutando los siguientes comandos del Maple:

> with(plots):

> animate(cos(t/2)*sin(x),x=0..Pi,t=0..100,frames=50);

Por todo lo anterior podemos validar al modelo

como un modelo que describe adecuadamente el movimiento de la cuerda.

Grfica del modelo de la cuerda vibranteUna representacin grfica para una ecuacin del tipo z = f (x, t), como la considerada en el modelo de la cuerda vibrante, consiste en una coleccin de curvas como las mostradas en la figura I.1.2 . stas se obtienen fijando valores de t, esto es, , , , etc., y dibujando en el plano xz las ecuaciones correspondientes:

, ,

y as sucesivamente.

Sin embargo la representacin grfica ms comn se lleva a cabo en el espacio tridimensional. En ella se coloca un eje t perpendicular al plano xz pasando por el origen y las curvas con ecuaciones

, ,

se dibujan, pero ahora en planos diferentes paralelos al plano xz. Aclaremos mejor esta idea, la curva con ecuacin

se grafica en un plano que est a una distancia del plano xz, la curva con ecuacin

se grafica en un plano que est a una distancia del plano xz y as sucesivamente con las dems curvas. Podemos pensar que las curvas que tenamos en el plano xz han sido desplegadas sobre el eje t. En la figura I.1.3 ilustramos esto con la ecuacin

considerando algunos valores del tiempo t.

Si se realiza el proceso de dibujar estas curvas para todos los tiempos, lo que se obtiene es una superficie en el espacio tridimensional, como se muestra en la figura I.1.4, en donde se han tomado valores del tiempo desde 0 hasta . Esta figura nos da una visin completa de todo el movimiento de la cuerda, su historia a travs del tiempo.

La representacin grfica de una ecuacin de la forma z = f (x, y) es una superficie en el espacio tridimensional de las tres variables: x, y, z.

El nuevo sistema de referencia consiste de tres ejes mutuamente perpendiculares: el eje x, el eje y y el eje z, que se cortan en un punto del espacio llamado el origen. Esto se muestra en la figura I.1.5, en donde por convencin la parte positiva del eje x se considera hacia el frente, la parte positiva del eje y se considera a la derecha y la parte positiva del eje z se considera hacia arriba.

Los ejes coordenados definen tres planos coordenados, mutuamente perpendiculares, que son: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Tomando como referencia la figura I.1.5, podemos decir que:

El plano xy divide al espacio en la parte de abajo y la parte de arriba. El plano xz divide al espacio en la parte de la izquierda y la parte de la derecha. El plano yz divide al espacio en la parte del fondo y la parte del frente.

Los planos coordenados dividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas octantes, esto puede apreciarse en la figura I.1.6.

El primer octante es la regin del espacio que corresponde a la parte positiva de cada uno de los tres ejes.

Cualquier punto P del espacio queda representado por una terna de nmeros: x, y y z, que son sus coordenadas. Por ejemplo:

a) Las coordenadas del origen son (0, 0, 0).

b) El punto con coordenadas (3, 0, 0) est en la parte positiva del eje x a tres unidades del origen.

c) el punto (0, -4, 0) est en la parte negativa del eje y a cuatro unidades del origen.

d) El punto con coordenadas (0, 0, 5) est en la parte positiva del eje z a cinco unidades del origen.

e) El punto con coordenadas (3, 2, 0) est en el plano xy.

f) El punto con coordenadas (4, 0, 5) est en el plano xz.

g) El punto con coordenadas (0, 3, 6) est en el plano yz.Una estrategia sencilla para graficar o visualizar en el espacio un punto P cuyas coordenadas son conocidas, consiste en dibujar primero el punto P con coordenadas , que es la proyeccin de P en el plano xy, y enseguida levantar o bajar, segn sea el caso, una distancia perpendicular al plano xy, iniciando en P. Esto se ilustra en la figura I.1.7.

En la interpretacin de la grfica de una ecuacin de la forma

como una superficie en el espacio tridimensional, juegan un papel importante los planos paralelos a los planos coordenados, as como sus correspondientes ecuaciones. Tomemos por ejemplo un plano paralelo al plano xy, esto es, perpendicular al eje z, que corta al eje z en el punto con coordenadas , todos los puntos de este plano tienen como coordenada z el valor de , por lo que es la ecuacin de este plano. Similarmente es la ecuacin de un plano paralelo al plano yz y es la ecuacin de un plano paralelo al plano xz.

En la figura I.1.8 aparece una caja en el espacio tridimensional, una de cuyas esquinas esta en el origen y la esquina opuesta tiene coordenadas , tres de las aristas de la caja estn sobre los ejes coordenados y tres de sus caras descansan en los planos coordenados. Las otras tres caras estn sobre los planos con ecuaciones , y como se indica en la figura.

La estrategia desarrollada anteriormente para dibujar en el espacio a la superficie del modelo

puede entenderse mejor si hacemos uso de curvas de corte. Veamos este nuevo concepto.

Tomemos un valor fijo para t (t = k) y sustituymoslo en el modelo mencionado, se obtiene que z = A senx donde A = cos (k/2). La ecuacin resultante contiene a las variables x y z y su grfica es una curva en un plano de esas variables. Esta curva puede ser interpretada fsicamente como una imagen instantnea del fenmeno y tambin como la interseccin del plano t = k con la superficie del modelo; a la curva formada por esta interseccin la llamaremos curva de corte. Esto puede apreciarse en la figura I.1.9.

Ahora: Qu significar fijar x en lugar de fijar t ? Realicemos el anlisis correspondiente. Si tomamos un valor fijo para x, digamos x = c, la ecuacin se convierte en z = Acos (t/2), donde A = sen(c), esta ecuacin contiene a las variables t y z y su grfica es una curva en un plano de esas variables, esta curva puede ser interpretada fsicamente como la historia del movimiento del punto de la cuerda correspondiente a x = c y tambin como la interseccin de la superficie del modelo con el plano x = c . Esta curva tambin es una curva de corte. Vase la figura I.1.10 en donde tanto x como t varan de 0 a .

En general llamaremos curva de corte a la curva que se forma cuando una superficie en el espacio tridimensional, por ejemplo la grfica de una ecuacin del tipo z = f (x, y), es intersectada por algn plano paralelo a un plano coordenado, es decir un plano que tiene una ecuacin de la forma x = c, y = c o z = c.

Por ejemplo en la figura 1.1.11

se ilustra como un plano paralelo

al plano xy corta una esfera

formando una curva de corte

circular.

Abordemos ahora la siguiente situacin problema que nos dar la oportunidad de estudiar a un modelo diferente.

Se calienta una placa plana en algn punto; asignemos un sistema de coordenadas x, y a la placa, de tal forma que el origen sea el punto donde se aplica la fuente de calor.

Al momento de retirar la fuente de calor se tiene una temperatura en cada punto de la placa; supongamos que la temperatura es modelada por la ecuacin:

CDonde T (x, y) representa la temperatura de un punto arbitrario de la placa con coordenadas (x, y).

a) Calcula la temperatura en los puntos de la placa con coordenadas (0 , 0), (1 , 1) y (1 , 2).

b) Sustituyendo la x por un valor especfico se obtiene una ecuacin que relaciona a T con y. Obtn las ecuaciones que resultan al sustituir x por los siguientes valores: x = 0, x = 1 y x = 2. Da un significado a estas ecuaciones con relacin al fenmeno presentado.

c) Sustituyendo la y por un valor especfico se obtiene una ecuacin que relaciona a T con x. Obtn las ecuaciones que resultan al sustituir y por los siguientes valores: y = 0, y = 1 y y = 2. Da un significado a estas ecuaciones con relacin al fenmeno presentado.

d) Sustituyendo la T por un valor especfico se obtiene una ecuacin que relaciona a x con y. Obtn las ecuaciones que resultan al sustituir T por los siguientes valores: T = 10, T = 20 y T = 25. Da un significado a estas ecuaciones con relacin al fenmeno presentado. Qu tipo de curvas corresponden a estas ecuaciones?

Realicemos el anlisis de la situacin planteadaa) Las temperaturas en los puntos indicados son:

C

C

Cb) Si se sustituye x = 0 en la ecuacin

se obtiene:

Anlogamente, si se sustituye x = 1 y x = 2 en la ecuacin se obtiene:

Las ecuaciones obtenidas representan algebraicamente la temperatura de la placa a lo largo de rectas paralelas al eje y, segn sea el valor fijo de x que se haya tomado, como se muestra en la figura I.1.13:

Cada una de estas ecuaciones puede graficarse en el plano yT; en la figura I.1.14 se muestran las tres grficas juntas.

c) Si se sustituye y = 0 en la ecuacin

se obtiene:

Anlogamente, si se sustituye y = 1 y y = 2 en la ecuacin se obtiene:

Las ecuaciones obtenidas representan algebraicamente la temperatura de la placa a lo largo de rectas paralelas al eje x, segn sea el valor fijo de y que se haya tomado, como se muestra en la figura I.1.15

Cada una de estas ecuaciones puede graficarse en el plano xT; en la figura I.1.16 se muestran las tres grficas juntas.

d) Si se sustituye T = 10 en la ecuacin

se obtiene:

Esta ecuacin representa los puntos de la placa donde la temperatura tiene el valor constante de 10 C. Manipulando algebraicamente la ecuacin obtenida podemos reconocerla como la ecuacin de un crculo, como se muestra enseguida:

Es decir los puntos de la placa donde la temperatura tiene el valor constante de 10 C forman un crculo con centro en el origen y radio .

Anlogamente, si se sustituye T = 20 y T = 25 en la ecuacin se obtiene:

que equivale a

que equivale a

Estas ecuaciones representan los puntos de la placa en donde la temperatura toma los valores constantes de 20 y 25 C respectivamente. Vase la figura I.1.17.

En general, una curva en la placa cuyos puntos tienen la misma temperatura se llama Isoterma, en nuestro caso las isotermas son crculos con centro en el origen.

En la figura I.1.18 mostramos la grfica de

que corresponde a una superficie en el espacio tridimensional de las variables x, y, y T. En ella es posible visualizar las curvas de corte que se obtuvieron en los incisos b) y c) de la situacin problema 2.

En las figuras I.1.19 y I.1.20 se observan curvas de corte como las consideradas en los incisos b) y c) de la situacin problema 2, remarcando que son intersecciones de la superficie del modelo con planos paralelos a los planos coordenados yT o xT

En la figura I.1.21 se observan curvas de corte como las consideradas en el inciso d) de la situacin problema 2, remarcando que son intersecciones de la superficie del modelo con planos paralelos al plano coordenado xy.

En general cuando se tiene una magnitud z que depende de dos variables de referencia x y y, mediante la ecuacin z = f (x, y), se pueden resaltar los siguientes aspectos:

a) La grfica de z = f (x, y) es una superficie en el espacio tridimensional de las variables x, y y z.

b) Si una de las variables involucradas es sustituida por un valor constante se obtiene una ecuacin con slo dos variables cuya grfica se llama curva de corte. En particular, cuando se sustituyen los valores x = 0, o y = 0 o z = 0 las curvas de corte obtenidas se llaman trazas.

c) Las curvas en el plano xy correspondientes a las ecuaciones que resultan de sustituir z por valores constantes, forman una familia llamada curvas de nivel. Estas curvas son las proyecciones sobre el plano xy de las curvas de corte que se forman de la interseccin de la superficie con planos paralelos a dicho plano. Una visin bidimensional de la superficie se obtiene a travs de las grficas de algunas curvas de nivel, indicando para cada una de ellas su correspondiente valor de z (altura, profundidad, nivel).

d) Una excelente ayuda para visualizar la grfica de una superficie consiste en identificar las curvas de corte, ya que una superficie puede concebirse como la unin de stas.En esta seccin presentaremos algunas superficies tpicas y sus correspondientes ecuaciones.

La esferaLa ecuacin representa a una esfera con centro en el origen y radio . Podemos convencernos de esto comprobando que cualquier curva de corte con un plano paralelo a un plano coordenado tiene la ecuacin de un crculo en ese plano.

Por ejemplo la curva de corte de la superficie con ecuacin (esfera centrada en el origen y de radio 5) con el plano , nos da la ecuacin , que corresponde a un crculo con centro en el origen y radio 4 en el plano .

En la figura I.1.22 mostramos la esfera con centro en el origen y radio 3 (cuya ecuacin es: ) obtenida con el Maple. Si la esfera tiene radio pero centro en el punto , su ecuacin es

. La ecuacin de la esfera con centro en el origen se puede escribir as: , si alteramos esta ecuacin para que nos quede de la forma , resulta que cuando no son iguales los valores de , y , la superficie correspondiente no es una esfera y recibe el nombre de elipsoide.El conoLa ecuacin representa a un cono alrededor del eje y con vrtice en el origen. Podemos convencernos de esto comprobando que cualquier curva de corte con un plano paralelo al plano es un crculo y las curvas de corte con los planos y son rectas que pasan por el origen.Por ejemplo, la curva de corte con el plano es el crculo con ecuacin y la curva de corte con el plano es el par de rectas . Cabe sealar que la superficie est en realidad formada por dos hojas cnicas, una de ellas se extiende sobre la parte positiva del eje y la otra sobre la parte negativa del eje .En la figura I.1.23 mostramos una porcin de la grfica de la ecuacin, obtenida con el Maple. Si atravesamos este cono con un plano que pase por el eje , la curva de corte correspondiente es un par de rectas que forman una cruz. El ngulo que forman estas rectas con el eje es radianes. Existen otros conos para los cuales el valor del ngulo es distinto. En general la ecuacin representa a dos hojas cnicas alrededor del eje con vrtice en el origen, con se obtienen de esta ecuacin las rectas , en particular la recta tiene pendiente y el ngulo que forma con el eje es , por lo que el valor correspondiente para sera .El paraboloide circularLa ecuacin representa a una superficie llamada paraboloide circular. Esta superficie envuelve al eje y tiene su punto mnimo o vrtice en , que es un punto del eje . Podemos comprobar que las curvas de corte de la superficie con planos paralelos al plano son crculos y las curvas de corte con planos paralelos a los planos o son parbolas y esto es lo que le da nombre a la superficie.

En la figura I.1.24 mostramos una porcin de la superficie obtenida con el Maple. La curva de corte de esta superficie con el plano es el crculo con ecuacin y la curva de corte de la superficie con el plano es la parbola .Si la ecuacin es de la forma , su grfica es un paraboloide circular que se abre hacia abajo y el punto mximo o vrtice es .

Las ecuaciones generales de un paraboloide son y . La primera de las dos ecuaciones representa un paraboloide que se abre hacia arriba y tiene punto mnimo y la segunda representa un paraboloide que se abre hacia abajo y tiene punto mximo. Cuando las curvas de corte con planos paralelos al plano son elipses y no crculos, en este caso las superficies son llamadas paraboloides elpticos.

El planoLa ecuacin lineal representa a un plano en el espacio tridimensional que corta al eje en el punto

. Podemos convencernos que la superficie es un plano observando que las curvas de corte con planos paralelos al plano , esto es, planos con ecuacin

, siempre nos dan rectas con la misma pendiente (rectas de la forma , que tienen pendiente comn ) y las curvas de corte con planos paralelos al plano , esto es, planos con ecuacin , tambin nos dan siempre rectas con la misma pendiente (rectas de la forma , que tienen pendiente comn ).

En la figura I.1.25 mostramos una porcin de la grfica del plano con ecuacin obtenida con el Maple. La grfica se obtuvo haciendo variar tanto a como a de cero a uno.

CilindrosLa grfica de la ecuacin es un crculo con centro en el origen y radio 4 en el plano . Pero tambin se puede considerar la grfica de la ecuacin en el espacio tridimensional aunque la ecuacin no contenga a la variable . Esta grfica estar constituida por todos los punto del espacio cuyas coordenadas cumplan con la ecuacin . La totalidad de estos puntos configura una superficie con forma de cilindro circular recto que se extiende a lo largo del eje y que intersecta al plano formando el crculo que tiene como ecuacin . Veamos la figura I.1.26 .

Los puntos y

de la superficie cilndrica en la figura I.1.26, coinciden en sus primeras dos coordenadas y , su nica diferencia est en la altura. As es que si las coordenadas y del punto satisfacen la ecuacin , las coordenadas y del punto tambin lo tienen que hacer. Esto justifica que la grfica de la ecuacin en el espacio tridimensional es el cilindro circular recto que se extiende a lo largo del eje y corta al plano en el crculo con centro en el origen y radio 4.De forma general, la grfica de cualquier ecuacin que involucre slo a las variables y , es una superficie que se extiende a lo largo del eje , esto es, perpendicularmente al plano y que intersecta al plano formando la curva que es la grfica en el plano de la ecuacin considerada. Si la ecuacin considerada contiene slo a las variables y , por analoga con la que ya hemos analizado, la superficie correspondiente a la ecuacin se extiende a lo largo del eje , esto es, perpendicularmente al plano e intersecta al plano formando la curva que es la grfica en el plano de la ecuacin considerada.

Similarmente, si la ecuacin considerada contiene slo a las variables y , la superficie correspondiente a la ecuacin se extiende a lo largo del eje , esto es, perpendicularmente al plano e intersecta al plano formando la curva que es la grfica en el plano de la ecuacin considerada.A todas estas superficies que son las grficas de ecuaciones que contienen slo dos variables se les conoce con el nombre genrico de cilindros. Graficar un cilindro es sencillo, podemos empezar por dibujar la curva en el plano coordenado que corresponde a las variables de la ecuacin y luego desplegar esta curva perpendicularmente a este plano coordenado, en la direccin del eje de la variable ausente en la ecuacin.En la figura I.1.27 mostramos porciones de las grficas de los cilindros con ecuaciones y obtenidas con el Maple.

Ntese que la grfica de la ecuacin adems de ser un cilindro tambin es un plano, ya que es un caso particular de la ecuacin lineal , tomando , y . x

T

fig. I.1.19

y

T

x

T

fig. I.1.21

EMBED Equation.3

y

x

EMBED Equation.3

y

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Tipos de superficies

fig. I.1.20

fig. I.1.24

fig. I.1.23

fig. I.1.22

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

fig. I.1.27

fig. I.1.26

Problema 2

Situacin

fig. I.1.25

El espacio tridimensional

Anlisis

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Anlisis

Problema 1

Situacin

Curvas

de corte

Anlisis

24Unidad I Tema 1Elementos del Clculo23Unidad I Tema 1

Elementos del Clculo

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