Matemáticas Sesión #2. Polinomios y expresiones racionales.

Contextualización

Los polinomios son expresiones algebraicas que son las de mayor uso y

aplicación en cualquiera de las áreas de las matemáticas, tal es el caso del

cálculo diferencial e integral. En esta sesión aprenderemos a identificar y

clasificar los polinomios y sus tipos de factorizaciones, también

trabajaremos con las expresiones racionales las cuales representan a dos

polinomios que se están dividiendo para aprender a simplificarlas.

Una de las características principales de los polinomios y de toda expresión

algebraica es su grado exponencial, es por esta razón que aprenderemos a

identificar y trabajar expresiones algebraicas con Exponentes enteros y

calcularemos sus raíces reales.

Extraído de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/polynomial.gif solo para fines educativos

Introducción

En matemáticas existen muchas

expresiones algebraicas pero las

mayormente utilizadas son los

polinomios.

Los polinomios se forman de n

términos, donde cada termino se

compone de un coeficiente (número),

una variable (letra) y un exponente.

Con estas expresiones algebraicas

podemos realizar cualquier operación

aritmética que necesitemos, así como

también podemos factorizar o

simplificar con la ayuda de las leyes de

los exponentes.

Extraído de: http://2.bp.blogspot.com/-

F0wyVZrArRE/TZjBYo8LQmI/AAAAAAAAAAg/gXT5zQUUJZ8/s1600/POLINOMIOS%25286%2529+-

+operaciones.jpg solo para fines educativos.

Explicación

Polinomios y factorización

Un polinomio es una expresión que se forma con constantes, variables y exponentes, que están combinados a través de las operaciones aritméticas de sumas, restas y multiplicaciones,… pero no divisiones.

Los exponentes solo pueden ser números enteros positivos incluido el 0.

No puede tener un número infinito de términos.

Extraído de: http://laprofematematica.com/blog/wp-content/uploads/2010/02/elemento_polinomio-2.jpg solo para fines

educativos.

Explicación

Las operaciones que se pueden realizar con los polinomios son las mismas

operaciones aritméticas que conocemos tales como las suma, resta,

multiplicación y división y cada una de ellas se resuelven bajo ciertas

características.

Suma y resta de polinomios.

Realiza la suma de 3x3 – 2x2 + x -5 y 4x3+5x2+8x-12

Primeramente acomodamos nuestros polinomios en suma:

(3x3 – 2x2 + x -5) + (4x3+5x2+8x-12)

Explicación

Eliminando los paréntesis las expresiones nos quedan:

3x3 – 2x2 + x -5+4x3 + 5x2 + 8x - 12

Y ahora juntamos términos semejantes para realizar la operación que entre

ellos existe:

(3+4)x3 +(-2+5)x2 + (1+8)x +(-5-12)

7x3 + 3x2 + 9x -17 éste es el resultado de la suma de polinomios

Ahora sí utilizamos estos mismos polinomios para restar la solución será:

(3x3 – 2x2 + x -5) – (4x3+5x2+8x-12)

Explicación

El signo menos si afecta a todos los términos que están después de él, así

que se deberá de afectar este polinomio cambiando cada uno de sus signos

en cada término:

3x3 – 2x2 + x -5 - 4x3- 5x2 - 8x+12

Y ahora al juntar términos semejantes nos quedará:

(3-4)x3 +(– 2-5)x2 + (1-8)x +(-5+12)

-x3 -7x2 -8x+7 éste será nuestro resultado.

Explicación

Multiplicación de polinomios:

Realizaremos la multiplicación de los siguientes polinomios:

(x+4)(x2+4x+4) para resolver la multiplicación se deberá multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio:

x(x2) = x3 cuando tenemos términos semejantes multiplicándose se suman los exponentes.

x(4x)= 4x2

x(4)= 4x

Explicación

Y ahora el segundo término por cada termino del segundo polinomio

4(x2)= 4x2

4(4x)=16x

4(4)= 16

Ahora juntamos términos semejantes:

4x2 + 4x2 = 8x2

4x + 16x = 20x

Solamente acomodamos los términos con el mayor grado iniciando la expresión:

8x2 + 20x +16

Explicación

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la

multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Ejemplo: factoriza 3x2+x, se tiene de factor común “x” por lo tanto:

x(3x+1) es la factorización.

2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por

diferencia. Se basa en la siguiente fórmula:

Explicación

Ejemplo: factoriza 4x2 – 25, esta expresión nos muestra que sus dos

términos son cuadráticos y entre ellos hay una resta (diferencia), lo cual

caracteriza a este tipo de factorización por lo tanto:

(2x + 5)(2x – 5) son los factores de nuestra expresión.

3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un

binomio. Se basa en las siguientes fórmulas:

y

Explicación

Ejemplo: factorice x2 – 6x +9, para solucionar este trinomio primero

debemos de comprobar que su primer y tercer término tengas

raíces cuadradas.

y por lo tanto si es un trinomio

cuadrado perfecto ahora sólo se acomodan los términos como nos

muestra la fórmula: (x – 3)2

Explicación

Expresiones racionales.

Las expresiones racionales nos representan la división de dos

polinomios:

Con las expresiones racionales podemos simplificar a través de

factores los polinomios hasta reducir la expresión a su más mínima

forma.

Por ejemplo: Simplifica

Aquí como tenemos dos términos

iguales al de abajo se elimina uno con el de abajo así que ésta es la

expresión que nos queda de la simplificación.

Explicación

Exponentes enteros y raíces reales

Los exponentes enteros positivos representan la abreviatura del producto de

n factores (xn) a la letra n se le llama exponente y a la “x” se le llama base.

Si rn = x donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n-ésima de x.

Por ejemplo 32 = 9 y así 3 es la raíz segunda (por lo general llamada raíz

cuadrada) de 9.

Algunos números no tienen una raíz n-ésima que sea un número real, por

ejemplo los números negativos (-4,-9-16) no tienen raíces reales.

Explicación.

La raíz n-ésima principal de x

la denotamos como:

Existen algunas leyes de los

exponentes que nos ayudan a

dar solución a las operaciones

con polinomios.

Tabla de algunas leyes de los

exponentes:

Explicación.

Ejemplos del uso de las leyes de los exponentes:

Simplifique:

1. x6x9 = x6+9 = x15

2. w4w8 = w4+8=w12

3.

4.

Conclusión

Los polinomios son las expresiones algebraicas mayormente utilizadas, se manejan como ecuaciones y como funciones para el cálculo diferencial e integral, con estas expresiones podemos realizar cualquier operación aritmética que necesitemos y también podemos factorizarlas para reducir una forma de expresión de tipo polinomial.

Las leyes de los exponentes se trabajan siempre que se esté realizando algún proceso u operación con un polinomio.

En la siguiente sesión estudiaremos las Ecuaciones cuadráticas otra forma de manejar los polinomios.

Extraido de:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Ecua

ci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg/250px-

Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg.png solo para fines

educativos.

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Videos que ayudan a entender más claramente los polinomios y su factorización:

Math2me. Conceptos importantes de los polinomios. Recuperado el día 07 de abril del 2014:

https://www.youtube.com/watch?v=K7YOYztqaWY

Tareas plus. Suma y resta de polinomios. Recuperado el día 07 de abril del 2014:

https://www.youtube.com/watch?v=TiBL2zfO310

Video de simplificación de expresiones racionales y uso de la factorización:

Academia Vázquez. Simplificación de fracciones algebraicas (expresiones racionales).

Recuperado el día 07 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=mLflDFKp_sY

Video de las leyes de los exponentes:

Math2me. Leyes de los exponentes. Recuperado el día 07 de abril del 2014:

https://www.youtube.com/watch?v=6jNWN-o0__Y

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con

más éxito.

Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias

sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall

hispanoamericana, S.A.