matemáticas - · pdf filehoja electrónica de cálculo, cuya consulta...

ISBN-978-968-24-8523-7

www.trillas.com.mx

Fortino EscareñoOlga Leticia López

2MATEMÁTICASMATEMÁTICAS 2

Fortino Escareño • Olga Leticia López

Matemáticas 2 ha sido elaborado con base en el enfoque de resolución de problemas, que consiste en proponer actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos, y que los inviten a reflexionar y a encontrar distintas formas de solucionar los problemas con argumentos

que respalden sus resultados.La obra consta de 5 bloques y cada lección inicia con el planteamiento de una situación

problemática, para introducir los conocimientos y habilidades propuestos por el programa de estudios. Dicha situación intenta provocar en los alumnos un conflicto cognitivo que los mueva

a buscar la colaboración de sus compañeros.Después de la situación problemática, se propone una sección de exploración y discusión en la que, mediante preguntas, se orienta la búsqueda de procedimientos de solución. El

tipo de preguntas invita a los estudiantes a trabajar en parejas y, en otras, de manera grupal. Cuando se requiere el uso de terminología o simbolismos que no pueden ser inferidos por los alumnos, se incluyen algunas notas matemáticas. A partir de allí, se usa la terminología formal.

Las actividades de exploración y discusión concluyen con un resumen de los conceptos y procedimientos estudiados. Con las actividades que cierran la lección, los alumnos aplicarán

lo aprendido en otros contextos y lo vincularán con situaciones de la vida cotidiana y de otras disciplinas.

Al final de Matemáticas 2, se incluye una Guía para el manejo de la hoja electrónica de cálculo, cuya consulta permitirá que los alumnos cuenten con un recurso más para la resolución de

problemas.

Fortino EscareñoOlga Leticia López

La presentación y disposición deMATEMÁTICAS 2son propiedad del editor. Ninguna parte de la obrapuede ser reproducida o trasmitida, mediante ningún sistemao método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado,la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamientode información), sin consentimiento por escrito del editor.

Derechos reservados© 2007, Editorial Trillas, S.A. de C.V.

División AdministrativaAv. Río Churubusco 385Col. Pedro María Anaya, C.P. 03340México, D.F.Tel 56884233 FAX: 56041364División ComercialCalzada de la Viga 1132C.P. 09439 México, D.F.Tel. 56330995 FAX: 56330870

www.trillas.com.mx_____________________

Segunda edición, agosto 2008ISBN 978-968-24-8523-7______________________

El libro que ahora presentamos a la consideración de docentes y alumnos, ha sido elaborado con base en el enfoque de resolución de problemas.

En cuanto a la metodología didáctica que se utiliza en el texto, es la que, de hecho, conforma el planteamiento central de este enfoque, y consiste en proponer en el aula actividades de estudio que “despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar dife-rentes formas de solucionar los problemas y a formular los argumentos que validen sus resultados”.

Con este fin, la estructura del libro está diseñada de modo que maestros y maestras inicien las sesiones de clase con el planteamiento de situaciones problemáticas, para introducir y desarrollar los conoci-mientos y habilidades propuestos para este nivel. Se ha procurado, en lo posible, que la situación problemática inicial provoque en los alum-nos un conflicto cognitivo que los mueva a buscar la colaboración de sus compañeros.

Después de la situación problemática se propone una sección de exploración y discusión, en la cual se orienta la búsqueda de procedi-mientos formales de solución mediante algunas preguntas. La manera en que se plantean estas preguntas invita a los alumnos y las alumnas a interactuar organizados en parejas; ocasionalmente, la interacción será en sesión plenaria, en la que se discutirán las aportaciones que el maestro juzgue de interés para el grupo. De hecho, algunas actividades en que, a nuestro juicio, es necesario el trabajo en parejas o grupal en el texto están señaladas con el icono .

Cuando los conocimientos y habilidades que se están estudiando requieren el uso de terminología o simbolismos que no pueden ser infe-ridos por los alumnos, se incluyen en el glosario en cuadros de color morado y algunas notas matemáticas identificadas en cuadros de color

Prólogo

�

verde. Esto permitirá continuar con la exploración y discusión utilizan-do la terminología y el simbolismo formales introducidos.

La lección continúa con la sección Actividades adicionales, cuyo propósito es que los alumnos apliquen lo aprendido en otros contextos y lo vinculen con situaciones de la vida cotidiana, de otras disciplinas o de la propia Matemática. Por otra parte, en cada lección se han selec-cionado (y señalado con el símbolo ✓ ) algunas actividades adicionales, con la intención de que el docente conforme con ellas instrumentos de evaluación.

La mayoría de los temas cierran con una nota denominada No olvi-des que…, en la cual se resumen los conceptos y procedimientos que se estudian a lo largo del desarrollo del tema.

Para que los alumnos, padres y maestros se enteren de los conoci-mientos matemáticos que deberán saber los alumnos y en qué medida, cada bloque inicia con la presentación de los aprendizajes esperados. Asimismo, en dos bloques se destina un espacio para proponer el des-

arrollo de proyectos educativos , con cuya realización los alumnos podrán relacionar los conocimientos matemáticos con los de otras asignaturas.

Por otra parte, al inicio del estudio de la mayoría de los temas, se sugiere la consulta de lecturas específicas relacionadas con el tema en cuestión. La lectura de estos materiales ayudará a los alumnos y alum-nas a profundizar y ampliar su aprendizaje.

Con objeto de familiarizar a los y las estudiantes en el uso de la tecnología computacional para aprender Matemáticas, en el texto se incluyen algunas actividades que pueden realizarse con calculadora.

Estas actividades están señaladas con el símbolo C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ .Al final de la obra, aparece el apéndice Guía para el manejo de la

hoja electrónica de cálculo, cuya consulta permitirá que los alumnos y las alumnas cuenten con un recurso más para la resolución de problemas matemáticos.

Los maestros y las maestras que utilicen esta obra encontrarán en ella un intento por satisfacer sus inquietudes relacionadas con el cumplimiento de la aplicación del enfoque, el logro de los aprendizajes esperados y el desarrollo de las competencias. Sus sugerencias serán bien recibidas y tomadas en cuenta en futuras ediciones, porque cree-mos que sólo alcanzaremos mejores resultados si todos los que interve-nimos en el proceso educativo trabajamos de manera conjunta.

Los autores

�

Índice de contenido

Prólogo 5

Bloque 1 9Tema 1. Números con signo 11Tema 2. Expresiones algebraicas equivalentes 24Tema 3. Adición y sustracción de expresiones algebraicas 32Tema 4. Medición y construcción de ángulos 40Tema 5. Rectas y ángulos 46Tema 6. Algunas propiedades de los ángulos de figuras geométricas 51Tema 7. Factor inverso de proporcionalidad 57Tema 8. Proporcionalidad múltiple 60Tema 9. Problemas de conteo 63Tema 10. Gráficas estadísticas 69

Bloque 2 81Tema 11. Jerarquía de las operaciones 83Tema 12. Multiplicación y división de expresiones algebraicas 88Tema 13. Características de los cubos, prismas y pirámides 96Tema 14. Fórmulas del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos 106Tema 15. Problemas de cálculo de volúmenes 110Tema 16. Comparación de razones 119Tema 17. Medidas de tendencia central 122

�

Bloque 3 127Tema 18. Patrones numéricos 129Tema 19. Ecuaciones de primer grado 136Tema 20. Relaciones funcionales 146Tema 21. Suma de los ángulos interiores de un polígono 149Tema 22. Recubrimiento de planos 153Tema 23. Gráficas de funciones lineales 157Tema 24. Familias de rectas paralelas 161Tema 25. Familias de rectas en rotación 167

Bloque 4 171Tema 26. Leyes de los exponentes y notación científica 173Tema 27. Triángulos congruentes 187Tema 28. Las líneas del triángulo 190Tema 29. Eventos de azar independientes 195Tema 30. Gráficas de línea 199Tema 31. Gráficas de segmentos 204

Bloque 5 207Tema 32. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 209Tema 33. Movimientos en el plano 218Tema 34. Gráfica de un sistema de ecuaciones 226Tema 35. Eventos mutuamente excluyentes 231

Apéndice. Guía para el manejo de la hoja electrónica de cálculo 236Bibliografía recomendada 239

�

BLOQUE1

Aprendizajes esperados

Que los alumnos:

1. Resuelvanproblemasqueimplican

efectuarsumas,restas,multiplicaciones

y/odivisionesdenúmerosconsigno.

2.Justifiquenlasumadelosángulos

internosdecualquiertriánguloo

cuadrilátero.

3.Resuelvanproblemasdeconteomediante

cálculosnuméricos.

4.Resuelvanproblemasdevalorfaltante

considerandomásdedosconjuntosde

cantidades.

5.Interpretenyconstruyanpolígonosde

frecuencia.

�

¿Qué tanto le llevó a la humanidad entender los números negativos?

Las ideas de número natural y número fraccionario están ligadas a las necesidades cotidianas de cuantificación; tienen su origen en la solución de problemas concretos:

todo mundo sabe qué tanto son 45 kg de maíz o 12

litro de leche. Sin embargo, el

origen de los números negativos es diferente. La idea de número negativo nació en la mente de algún matemático que se preguntó: “¿Qué número sumado a 2 da 0?”, o que se planteó la ecuación x + 2 = 0. Pero los números negativos no fueron aceptados tan fácilmente por los matemáticos; su historia, larga y azarosa, desde su aparición hasta su aceptación, duró más de 1000 años. Por ejemplo, para D’Alembert (1704-1788), que es llamado por muchos “el hombre del siglo xviii”, la aparición de una solución negativa al realizar un cálculo, significa que hay que modificar el enunciado del problema para evitar esa solución. El problema de los números negativos se cerró en el siglo xx, cuando los matemáticos dejaron de atormentarse buscando descubrirlos en la naturaleza y comenzaron a verlos como una creación del espíritu humano, necesaria para el avance de las Matemáticas.

BLOQUE

1

0

–1

–2

–3

–4

–5

1

2

3

4

5

Sótano (–5)

Elaboración de un plano de seguridad de la escuela

En equipo, investiguen cuáles son los riesgos por fenómenos naturales en su localidad (sismos, inundaciones, etc.) y los accidentes que pueden ocurrir en su escuela.Con base en esa información, elaboren un plano en que se destaquen las áreas más seguras de su escuela ante un siniestro. El plano podrá ser colocado en un lugar visible para toda la comunidad escolar.

Para ello, deberán contar con información sobre la forma y dimensiones tanto de la superficie que ocupa su escuela, como de sus edificios, salones y patios.

P Proyecto

10

Bloque 1

1.1. Problemas de adición y

sustracción de números con signo

Te sugerimos leer:

“La regla de los signos” y otros temas, en Ruiz, C. et al., Crónicas algebraicas, pp. 32-33.

11

1Números con signo

En el curso anterior aprendiste a reconocer que diversas situaciones pueden representarse mediante números con signo (enteros, fracciona- rios y decimales), y utilizaste la recta numérica como apoyo para entender de qué manera estos números pueden compararse, sumarse o restarse.

Ahora volverás a emplearlos para resolver también situaciones de multiplicación y división.

Javier está esperando el estado de cuenta que el banco le envía al terminar cada mes. Para contrastar sus cuentas con las del banco, él ha anotado en una tabla como la siguiente su saldo al empezar el mes, así como los depósitos y retiros que hizo después. Completa la columna de saldos.

Fecha (octubre) Concepto Retiro Depósito Saldo

3 Saldo anterior –500

4 Depósito personal 3000

6 Disposición de efectivo 4000

15 Sueldo

20 Despensa 2500

23 Mensualidad automóvil 3500

25 Depósito de efectivo 1500

28 Luz y teléfono 1500

31 Sueldo 7500

Totales

Exploración y discusión

a) Al empezar el mes, ¿su saldo es a favor o en contra?b) ¿Cuál es su saldo después de hacer un depósito personal de $ 3000?c) Una manera de calcular su saldo después de hacer el depósito perso-

nal de $ 3000, consiste en efectuar la adición: (–500) + (+3000). ¿Con qué adición se halla su saldo después de retirar $ 4000?

Tema 1

Actividades adicionales

12

1. Javier tiene un saldo de $ 800 en el banco. ¿Cuánto tiene que de-positar para tener $ 1300? ¿Qué operación debes realizar para sa-berlo?

2. Si Javier tuviera un saldo negativo de $ 500, y quisiera tener un saldo a favor de $ 700, ¿cuánto tiene que depositar?

3. ✓ La situación anterior puede representarse mediante la sustrac-

ción

(+700)–(–500), en la que se trata de encontrar un número que, sumado

a (–500), dé como resultado (+700). ¿Cuál es ese número?

a) Javier tiene un saldo negativo de $ 500. ¿Cuánto tiene que depo-sitar para tener un saldo a favor de $ 1500?

b) Ahora tiene un saldo negativo de $ 1000. ¿Cuánto tiene que depositar para tener un saldo a favor de $ 300?

c) Finalmente, tiene un saldo negativo de $ 1450. ¿Cuánto debe depositar para que su saldo siga siendo negativo pero de $ 700?

4. Utiliza el significado de la sustracción para resolver los si-guientes problemas. Comenta tus respuestas con un com-pañero o compañera.

5. ✓ Cada una de las adiciones de la izquierda tiene el mismo resultado que una sustracción de la derecha. Identifícalas y únelas con líneas. Explica a un compañero o compañera por qué tienen el mismo re-sultado.

(+12) + (+13) (–12) – (–13)

(–12) + (+13) (+12) – (+13)

(–12) + (–13) (+12) – (–13)

(+12) + (–13) (–12) – (+13)

d) Después de retirar $ 4000, ¿su saldo es positivo o negativo?e) ¿Con qué adición se halla su saldo después de depositar, por primera

vez, su sueldo de $ 7500?f ) ¿En qué momento su saldo es de $ 0 por primera vez? ¿Con qué adi-

ción se obtuvo ese saldo de $ 0?g) ¿En qué momento su saldo es $ 0 por segunda vez? ¿Con qué suma

de números opuestos se obtuvo ese saldo?h) ¿Cuánto suman todos los depósitos? ¿Y todos los retiros? ¿Cuál

es el saldo del mes? ¿Qué razones puedes dar para asegurar que tus respuestas a estas tres preguntas son correctas? Compártelas con un compañero o compañera, y después, con el grupo.

Recuerda que los pares de números como +2.5 y –2.5 se llaman números opuestos o simétricos. En la recta numérica, estos números se encuentran a la misma distancia con respecto al origen, pero uno está a la derecha y el otro a la izquierda del 0.Recuerda, además, que el valor absoluto de un número con signo es la distancia desde el 0 hasta dicho número, sin tomar en cuenta de qué lado está; es decir, sin considerar su signo. Así, por ejemplo, +5 y –5 tienen el mismo valor absoluto, aunque el primero es mayor que el segundo.

Bloque 1

Piso (+5)

Sótano (–5)

HOTEL

Nivel de entrada

3

–1

13

6. Un hotel tiene pisos por encima y sótanos por debajo del nivel de entrada. El elevador está en el nivel de entrada.

a) La recta numérica de la derecha representa la situación del pro-blema. Complétala. ¿En dónde queda ubicado el cero? ¿Qué re-presenta el cero en esta situación? ¿En dónde se ubican el +5 y el –5? ¿Qué representan estos números en esta situación?

b) El elevador parte del nivel de entrada y hace cinco servicios: sube 2 pisos, baja 4, baja 1, sube 5 y baja 7. La tabla de abajo presenta los movimientos sucesivos del elevador. Complétala anotando el número del piso en que se halla después de cada movimiento. Utiliza números con signo.

MovimientoEstá en el nivel de entrada

Sube 2 pisos

Baja 4 pisos

Baja 1 piso

Baja 5 pisos

Baja 7 pisos

Ubicación Piso 0 –500

c) ¿En qué piso quedó finalmente el elevador?d) El problema se resuelve también con la siguiente adición:

0 + 2 – 4 – 1 + 5 – 7

¿Cómo la resuelves? ¿Coincide el resultado de esta suma con el que encontraste en la tabla? Compara tu respuesta con la de un compañero o compañera.

e) Una persona aborda el elevador en el nivel (–3) y quiere ir al piso (+2). ¿Cuántos pisos tiene que subir? ¿Con qué sustracción se resuelve este problema?

Tema 1

14

1.2. Situaciones de multiplicación

de números con signo

La siguiente tabla presenta una secuencia de multiplicaciones. Observa con cuidado la regularidad que se manifiesta en los 11 resul-tados y también la que se manifiesta en el segundo factor de estas mul-tiplicaciones; si esta regularidad se mantiene, ¿qué factores completan las últimas cinco operaciones?

4 3 5 5 20

4 3 4 5 16

4 3 3 5 12

4 3 2 5 8

4 3 1 5 4

4 3 0 5 0

4 3 5 24

4 3 5 28

4 3 5 212

4 3 5 216

4 3 5 220


a) ¿De qué manera cambia sucesivamente el producto (resultado) de las 11 multiplicaciones?

b) ¿De qué manera cambia sucesivamente el segundo factor de las multiplicaciones?

c) ¿Qué valores deberán tener esos factores y qué signo tendrán, para que la regularidad que se manifiesta en las primeras seis multiplicaciones se conserve en las cinco últimas? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

d) Si se amplía la tabla del 4 para obtener los productos –24, –28, –32 y –36, siguiendo la secuencia de los segundos factores, ¿cuáles son éstos? ¿Tus respuestas coinciden con las de tus compañeros?

e) Si se conserva la regularidad que se manifiesta en los factores y en los resultados de esa tabla, ¿qué signo tiene el producto de un núme-ro positivo por uno negativo?

f ) Pensé un número. Al multiplicarlo por –6 y sumarle 30 obtengo cero. ¿De qué número se trata?

Factor. En Matemáticas, cada una de las cantidades o expresiones que se multiplican para obtener un producto.

Bloque 1Actividades adicionales

15

1. C CE %7 8 9

4 5 61 2 3

0. =

±

÷

×

–

+

Utiliza la calculadora para encontrar los resultados de las siguientes multiplicaciones:

(+2)(+3) (+2)(–3)

En la calculadora no es necesario teclear el signo (+) de los números positivos para realizar la multiplicación (+2)(+3). Para volver nega-

tivo un número positivo, recuerda usar la tecla de cambio de

signo. Así, para hallar el resultado de la multiplicación (+2)(–3), de-berás teclear:

a) Has multiplicado un número positivo por uno negativo. ¿Qué signo tiene el resultado? ¿Qué resultado da la calculadora para (+2)(–3)?

b) Halla en la calculadora el resultado de multiplicar un número po-sitivo cualquiera por otro negativo. ¿Qué signo tiene el resultado?

c) ¿A qué conclusión llegaste en cuanto a la multiplicación de un número positivo por uno negativo? ¿Cuál es el signo del produc-to? Comparte tu conclusión con un compañero o compañera, y luego con todo el grupo.

2. Encuentren el producto de las siguientes multiplicaciones apo-yándose en el procedimiento que acaban de encontrar.

a) (+1)(–1) =

b) (+2)(+2) =

c) 2(2.7) =

d) 5(–2.1) =

e) 1(–3.5) =

f ) 0(4.9) =

g) 1 3+ – 2 4

=

h) 2 3+ – 5 7

=

Las multiplicaciones como (+4)(–6) también pueden escribirse como 4(–6); es decir, 4(–6) = (+4)(–6) = –24.

3. Resuelvan los siguientes problemas. En cada caso, compartan las razones en que cada quien basa su respuesta.

a) Pensé un número. Al multiplicarlo por (–8), obtengo (–40). ¿De qué número se trata?

(?)(–8) = –40

Tema 1

16

b) Pensé un número. Al multiplicarlo por (–6) y sumarle 30, obtengo cero. ¿De qué número se trata?

(?)(–6) + 30 = 0

4. ¿Qué número debe sumarse en 3(–7) + ___ , para que el resultado sea cero?

5. ¿Qué factor falta en cada una de las siguientes expresiones?

a) 6(–4) + 3( ) = 0 b) 3( ) + 2(+ 11) = 0

1.3. Multiplicación de

números con signoLa siguiente tabla presenta una secuencia de multiplicaciones. Observa

la regularidad que se manifiesta en los resultados y en el segundo factor de estas multiplicaciones. Si esta regularidad se mantiene, ¿qué factores com-pletan las últimas cinco multiplicaciones?

(25) 3 4 5 2 20

(25) 3 3 5 2 15

(25) 3 2 5 2 10

(25) 3 1 5 2 5

(25) 3 0 5 2 0

(25) 3 5 15

(25) 3 5 110

(25) 3 5 115

(25) 3 5 120

(25) 3 5 125


a) ¿De qué manera cambia sucesivamente el resultado de las 10 multi-plicaciones?

b) ¿De qué manera cambia sucesivamente el segundo factor de las mul-tiplicaciones?

c) ¿Qué valores deberán tener esos factores y qué signo tendrán, para que la regularidad que se manifiesta en las primeras cinco multi-plicaciones se conserve en las cinco últimas? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

Bloque 1


17

1. Utiliza la calculadora para encontrar los resultados de las siguientes multiplicaciones:

(–2)(+3) (–2)(–3)

a) Para resolver la multiplicación (–2)(+3), deberás teclear:

Has multiplicado un número negativo por uno positivo. ¿Qué signo tiene el resultado? ¿Qué resultado da la calculadora para (–2)(+3)?

b) ¿El resultado de multiplicar (–2)(+3) es igual o diferente del re-sultado de multiplicar (+2)(–3)?

c) Prueba en la calculadora otros casos de multiplicación de un nú-mero negativo por uno positivo. ¿Cuál es el signo del resultado? ¿A qué conclusión llegas en cuanto al signo del producto de un número negativo por uno positivo?

d) El resultado de la multiplicación (–2)(–3) se halla tecleando:

Has multiplicado dos números que tienen signo negativo. ¿Qué signo tiene el resultado? ¿Qué resultado da la calculadora para (–2)(–3)?

e) Prueba en la calculadora otros casos de multiplicación de dos nú-meros negativos. ¿Cuál es el signo del producto? ¿A qué conclusión llegas en cuanto al signo que tiene el producto de dos números negativos?

d) Si se amplía la tabla del –5 para obtener los productos +30, +35, +40 y + 45, siguiendo la secuencia de los segundos factores, ¿cuáles son éstos? ¿Tus respuestas coinciden con las de tus compañeros?

e) Si se conserva la regularidad que se manifiesta en los factores y en los resultados de esa tabla, ¿qué signo tiene el producto de dos números negativos?

f ) Compara esta tabla con la de la lección anterior. ¿En qué se parecen la tabla del 4 y la del –5? ¿Serán iguales los productos de 4 × (–5) y (–5) × 4?

Tema 1

18

a) (–4)(+2) =

b) (–1)(–1) =

c) (–1.5)(4) =

d) (–6.4)(2) =

e) (–1)(–1.1) =

f ) (–8)(1.2) =

g) 1 1– – 3 2

=

h) 2 3– + 3 4

=

i) (+2)(–3.5) =

j) (+2.5)(+2.5) =

k) (–10)(–10) =

f ) Completa las siguientes afirmaciones y comparte tus respuestas con el grupo:

• El producto de dos números con signo es __________ si ambos tienen el mismo signo.

• El producto de dos números con signo es __________ si los números tienen signos diferentes.

2. Efectúen las siguientes multiplicaciones apoyándose en el acuerdo al que llegaron en el grupo.

3. Resuelvan los siguientes problemas. En cada caso, compartan las razones en que apoyan su respuesta.

a) Pensé un número. Al multiplicarlo por (–9) y restar 27, obtengo cero. ¿De qué número se trata?

(?)(–9) – 27 = 0

b) ¿Qué factor falta en la siguiente expresión?

( )(+4) + (–2)(–8) = 0

Cuando se multiplican más de dos números con signo, es posible determinar el signo del producto contando el número de factores negativos. Estudia los siguientes ejemplos.

• Hay un número impar de factores negativos: (–1)(+2)(+3)(+4) = (–2)(+3)(+4) = (–6)(+4) = –24

• Hay un número par de factores negativos: (–1)(+2)(–3)(+4) = (–2)(–3)(+4) = (+6)(+4) = +24

4. Realiza con un compañero o compañera la siguiente exploración. ¿Cuáles de los siguientes pares de operaciones tienen el mismo resultado? Subráyenlos.

a) (+2)(+5)(–3) y (–2)(–5)(–3)

b) (–1)(–8)(+4) y (+1)(+8)(–4)

c) (–1)(–2)(+3)(+4) y (–1)(–2)(–3)(–4)

Bloque 1

19

5. Respondan en su cuaderno:

a) Si en una multiplicación, el número de factores negativos es im-par, ¿el producto es positivo o negativo? ¿Por qué?

b) Si en una multiplicación, el número de factores negativos es par, ¿el producto es positivo o negativo? ¿Por qué?

6. ✓ Escribe en tu cuaderno una multiplicación de números con signo para cada uno de los siguientes problemas y resuélvela.

a) Juan pesaba 90 kg. Al seguir un tratamiento médico, perdió 11 2

kg

cada mes. ¿Cuánto ha bajado en seis meses? ¿Cuál fue su peso después del tratamiento?

b) ¿Cómo era el peso de Juan hace 6 meses en relación con su peso actual?

c) Pedro ha subido 1.250 kg de peso cada mes. ¿Cuánto ha subido en los últimos cuatro meses?

7. ✓ Al sumergirse lentamente, un submarino se hunde 1.4 m por minuto.

a) Completa la tabla que representa el nivel que alcanza cada minuto, durante los primeros seis minutos. Utiliza números con signo.

b) Completa la gráfica que también representa la situación anterior.

41

2

–2

–4

–6

–8

–10

0 2 3 5 6

Tiempo (min)

Niv

el (

m)

Tiempo (en minutos)

0 1 2 3 4 5 6

Nivel(en m)

0

Tema 1


20

1.4. Problemas de división de

números con signo

Sabemos que 12 ÷ 3 = 4, porque 4 × 3 = 12. ¿Cómo puedes usar esta relación entre la multiplicación y la división para encontrar los siguien-tes cocientes de números con signo?

(+12) ÷ (–3) (–12) ÷ (–3) (+12) ÷ (+3) (–12) ÷ (+3)


a) La división se comprueba mediante una multiplicación. Por ejem-plo, 250 ÷ 10 = 25 porque 25 × 10 = 250.

¿Te sirve esto para hallar el cociente de (+250) ÷ (–10)?b) Suponiendo que fuera cierto que (+250) ÷ (–10) = –25, ¿será también

cierto que (–25) × (–10) = +250?c) Para resolver la división (+12) ÷ (–3), debe encontrarse un número

que, multiplicado por (–3), dé (+12). ¿Cuál es ese número?d) Para resolver la división (–12) ÷ (+3), debe buscarse un número que,

multiplicado por (+3), dé (–12). ¿Cuál es el número? e) ¿Qué multiplicación debe efectuarse para resolver la siguiente divi-

sión (+12) ÷ (+3)?f ) ¿Qué multiplicación debe realizarse para hallar el cociente de

(–12) ÷ (–3)?g) Si, en una división, el dividendo y el divisor tienen signos diferen-

tes, ¿qué signo tiene el cociente? ¿Y si el dividendo y el divisor tienen signos iguales? Coméntalo con tus compañeros de grupo, y escriban sus conclusiones en su cuaderno.

1. ✓ Resuelve cada división; luego, únela con una línea con su com-probación.

a) (–20) ÷ (+2) (–10) × (–2) = +20

b) (+20) ÷ (–2) (–10) × (+2) = –20

c) (+20) ÷ (+2) (+10) × (+2) = +20

d) (–20) ÷ (–2) (+10) × (–2) = –20

Bloque 1

21

2. Efectúa las siguientes divisiones y luego contesta las preguntas que se plantean.

a) (+21) ÷ (+8.4) = c) (–21) ÷ (–8.4) =

b) (+21) ÷ (–8.4) = d) (–21) ÷ (+8.4) =

• ¿Los valores absolutos de los cocientes de las cuatro divisiones son iguales o diferentes? ¿Por qué?

• ¿En cuáles de las cuatro divisiones el cociente es positivo? ¿En cuáles es negativo?

• ¿Cuáles divisiones tienen el mismo cociente?

3. Un negocio reporta sus ganancias con cantidades positivas, y las pér-didas, con cantidades negativas. En los últimos cinco meses del año, el reporte fue el siguiente:

Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

1$ 15 000.00 1$ 1 000.00 1$ 2 000.00 1$ 30 000.00 1$ 45 000.00

• Obtén el promedio de pérdidas y ganancias mensuales.

4. Discute con un compañero o compañera las estrategias que se pueden utilizar para resolver los siguientes problemas:

a) El promedio de un listado de 10 números es +4. Si se agregan al listado los números –11 y +7, ¿cuál es el nuevo promedio?

• Si el promedio de los 10 números es +4, ¿cuál es la suma de todos ellos?

• Al agregar –11 y +4 a la suma, ¿cuál es la nueva suma?• ¿Cuál es el promedio de los 12 números?

b) ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?:

(+1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 49 – 50) ÷ 5

5. Escribe una lista de 10 números, tres positivos y siete negativos, cuyo promedio sea –1.

a) ¿Cuál tendría que ser la suma de los 10 números, para que su promedio fuera –1?

b) Si la suma de los tres números positivos fuera +20, ¿cuál tendría que ser la suma de los siete positivos, para que el promedio de los 10 números fuera –1?

Recuerda que el promedio de un conjunto de datos se obtiene dividiendo la suma de todos los datos entre el número de ellos.

Tema 1

225 0 125

22

1.5. Actividades sobre números

con signo

1. Alberto, Berenice, Carlos y Diana juegan al lanzamiento de dar-dos. Después de 5 juegos, los puntajes de cada uno fueron los si-guientes:

• Alberto ha obtenido en cada juego 25 puntos.• Berenice, en cambio, ha obtenido –25 puntos en cada juego.• Carlos ha obtenido igual cantidad de puntos en cada juego y al

final acumula 100 puntos.• Diana tiene un total de –75 puntos y en cada juego obtuvo igual

cantidad de puntos.

Responde:

a) ¿Cuál ha sido el puntaje total de Alberto?b) ¿Cuál ha sido el puntaje total de Berenice? c) ¿Quién tiene mejor puntaje: Alberto o Berenice? ¿Por qué?d) ¿Qué puntaje obtuvo Carlos en cada juego? ¿Y Diana? e) ¿Quién tiene mejor puntaje: Carlos o Diana? ¿Por qué? f ) Ubica en la siguiente recta numérica los puntajes por juego que

obtuvieron los jugadores. ¿En qué orden quedaron? g) Ubica en la siguiente recta numérica los puntajes finales de los

jugadores. ¿En qué orden quedaron?

2125 0 1125

2. ✓ Resuelve los siguientes problemas. Comenta tus procedimientos y resultados con un compañero o compañera.

a) ¿Cómo representas, mediante una división, el reparto de una uti-lidad de $ 400 entre 10 personas? ¿Cómo representas el reparto de una pérdida de $ 400 entre 10 personas, utilizando números con signo?

b) La suma de sumandos iguales (+2) + (+2) + (+2) + (+2) = +8 puede representarse con la multiplicación 4 × (+2) = +8.

¿Con qué multiplicación puede representarse la suma de sumandos iguales (–3) + (–3) + (–3) + (–3) + (–3) = –15?

Bloque 1

23

Para multiplicar dos números con signo, multiplicamos sus valores absolutos y:

• El producto es positivo si ambos tienen el mismo signo.• El producto es negativo si los números tienen signos diferentes.

Ejemplos:

• Cuando ambos factores tienen el mismo signo:

a) (+10) × (+4) = +40b) (– 10) × (–4) = +40

• Cuando los signos son diferentes:

c) (–8) × (+6) = –48d) (+5) × (–9) = –45

La regla de los signos de la división es similar a la de la multiplicación:

• El cociente de dos números con el mismo signo es positivo.• El cociente de dos números de signos diferentes es negativo.

(Ten presente que la división entre cero no tiene sentido.)

c) Por el manejo de su cuenta, el banco carga mensualmente $ 20 a la cuenta de Pedro. ¿Con qué multiplicación de números con signo puede representarse el cargo que le hacen a Pedro en 6 meses?

3. C CE %7 8 9

4 5 61 2 3

0. =

±

÷

×

–

+

Explora en tu calculadora. Oprime la siguiente secuencia de teclas:

a) ¿Qué resultado se obtiene?

b) Oprime una vez más la tecla . ¿Qué resultado da ahora tu calculadora? ¿Qué operación hizo en este caso la calculadora?

c) Vuelve a oprimir . ¿Qué resultado da? ¿Qué operación hizo ahora?

d) Supón que en total oprimes 100 veces la tecla . ¿Qué resul-tado mostrará la pantalla de la calculadora?

e) Ahora supón que oprimes 101 veces la tecla . ¿Qué resulta-

do mostrará la calculadora?

f ) Si oprimes un número par de veces la tecla , ¿qué signo tiene el resultado? ¿Y si la oprimes un número impar de veces?

Existen algunos modelos de calculadora en los que los resultados de la actividad anterior se obtienen oprimiendo una secuencia de teclas distinta de la que se muestra a la izquierda; por ejemplo:

Tema 1

2Expresiones algebraicas equivalentes

En la vida cotidiana utilizamos con frecuencia el hecho de que un número puede representarse de muchas maneras. Por ejemplo, sabemos que un billete de $ 20 puede cambiarse por cuatro monedas de $ 5, por dos de $ 10 o por una de $ 10 y dos de $ 5, porque 20 = 4 × 5 = 2 × 10 = 10 + 5 + 5.

En las siguientes cuatro sesiones verás que no sólo los números enteros positivos sino también las expresiones algebraicas, pue-den representarse en una diversidad de formas.

2.1. Expresiones aritméticas

equivalentes

24

La siguiente ilustración muestra, primeramente, la forma en que 12 cuadrados de 1 unidad pueden disponerse para formar un rectángulo de 3 por 4 unidades, y después, cómo éste se descompone en tres rec-tángulos.

3 × 4 2 × 2 2 × 3 1 × 2

Observa que las 12 unidades cuadradas se obtienen tanto con la operación (3 × 4) como con (2 × 2 + 2 × 3 + 1 × 2). ¿Qué otros rectángu-los, conjuntos de rectángulos o cuadrados pueden formarse con las 12 unidades? ¿Qué expresiones aritméticas les corresponden?


a) Transforma el rectángulo de 3 × 4 unidades como se indica ensegui-da (haz los dibujos en tu cuaderno):

• En un rectángulo diferente.• En dos rectángulos diferentes entre sí.• En tres rectángulos diferentes entre sí.• En dos rectángulos iguales entre sí.• En seis rectángulos iguales entre sí.• En tres cuadrados iguales entre sí.

Recuerda que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la medida de su base por la de su altura. Por ejemplo:

5

3

Área = 5 3 3 = 15

En este caso, los números 3 y 5 representan unidades de longitud, y el 15, unidades de área.

Bloque 1


6 3 x 2 3 x 4 3 x

6

x

xx

2 4

+=

25

b) En cada caso, escribe la expresión aritmética correspondiente. Compara tus respuestas con las de un compañero o compañera. ¿Son correctas las respuestas de ambos? ¿Cómo pueden asegurarlo?

1. ✓ Dibuja en tu cuaderno un conjunto de rectángulos que sea equivalente al de la derecha.

2. ✓ Dibuja en tu cuaderno el conjunto de rectángulos o cuadrados que puede asociarse a cada expresión aritmética.

a) 2 × 3 + 3 × 5 + 3 × 2

b) 3 × 3 + 2 × 2

3. ¿Cuáles de los siguientes pares de expresiones son equivalentes? Subráyalos. Presenta una justificación de tu respuesta a un compa-ñero o compañera, y escucha la suya.

a) 2 × 3 + 3 × 3 + 3 × 1 y 7 × 8b) 7 × 7 + 2 × 7 + 7 × 1 y 3 × 7c) 4 × 3 + 3 × 2 + 3 × 1 y 3 × 6d) 7 × 6 + 7 × 1 + 7 × 1 y 7 × 8

4. ✓ En tu cuaderno, escribe dos pares de expresiones aritméticas equivalentes.

2.2. Expresiones algebraicas

equivalentes a 1

La siguiente ilustración muestra la forma en que seis rectángulos de 1 × x de área pueden acomodarse para formar un rectángulo de 6 × x de área, y cómo éste se descompone en dos rectángulos, uno de 2 × x y otro de 4 × x.

¿Qué otros conjuntos de rectángulos pueden formarse con los seis rectángulos de 1 × x? ¿Qué expresión algebraica le corresponde a cada conjunto de rectángulos?

En el siguiente ejemplo, la medida de la altura es la unidad. La medida de la base no está especificada, pero puede ser cualquier valor; aquí lo representamos con la variable x. Su área es 1 × x o, simplemente x.

Área = x × 1 = x

1

x

Tema 2


26


a) De acuerdo con las siguientes ilustraciones, ¿qué otras expresio-nes son equivalentes a 6x?

b) En tu cuaderno, transforma el rectángulo de 6x unidades de área como se indica:

• En dos rectángulos diferentes.• En tres rectángulos diferentes.• En dos rectángulos iguales.• En seis rectángulos iguales.

c) Escribe en tu cuaderno las expresiones algebraicas equivalentes a 6x que resulten. Compara tus resultados con los de un compañero o compañera; si es necesario, corrijan su trabajo.

Recuerda que para indicar la multiplicación del valor de la variable por su coeficiente, no es necesario escribir el signo de multiplicar. De modo que la escritura de las expresiones 2 × x, 4 × x y 6 × x se reduce a 2x, 4x y 6x, respectivamente.

8

x

1. Dibuja en tu cuaderno un conjunto de rectángulos equivalente al que se muestra a la derecha.

2. Dibuja el conjunto de rectángulos que puede asociarse a cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

a) 5x + 5x

b) 7x + 2x

3. ¿Cuál de los siguientes pares de expresiones algebraicas no son equi-valentes? ¿Qué razones se pueden dar para asegurar que tu respues-ta es correcta? Compártelas con un compañero o compañera.

a) x + x y 2x

b) x + 3x y 3x

c) 8x y 2x + x + x + 2x + 2x

4. ✓ Escribe dos pares de expresiones algebraicas equivalentes. Tra-baja en tu cuaderno.

Expresiones algebraicas equivalentes. Son las que tienen el mismo valor. Los siguientes son algunos ejemplos de ellas:

2x + 3x = x + 4x4x + 3x = 5x + 2x

Bloque 1

27


equivalentes 2En la siguiente figura se muestra que la expresión algebraica 3(x + 2)

es equivalente a (x + 2) + (x + 2) + (x + 2) y también a (3x + 6).

¿A qué otras expresiones algebraicas es equivalente 3(x +2)? ¿Cómo verificas que las expresiones obtenidas son equivalentes a 3(x+ 2)?


a) De acuerdo con las siguientes ilustraciones, ¿a qué otras expresiones algebraicas es equivalente 3(x + 2)? Trabaja en tu cuaderno.

3(x + 2) = =(x + 2) + + 3 x + 6(x + 2) (x + 2)

2x3 (x + 2)

x + 2 x + 2 x + 2

+ x + +3 3

x +

+ +

x + + + +x 2 2 2

b) Transforma el rectángulo de área 3(x + 2) unidades, en:

• dos rectángulos.• tres rectángulos.

Después, escribe las expresiones algebraicas equivalentes a 3(x + 2) que resulten. Comenta con un compañero o compañera tus hallaz-gos. ¿Coinciden los hallazgos de ambos?

c) ¿De qué otras maneras puedes descomponer el rectángulo de área 3(x + 2). ¿Qué expresiones algebraicas se obtienen? Comparte tus re-sultados con un compañero o compañera, y analiza las suyas. ¿Son todas correctas? ¿En qué consistió el error, si lo hubo?

Tema 2


Base

a)

NOTA: 1x

b)

c)

d)

e)

f )

Altura Área

28

d) Asignen a x cualquier valor positivo y hallen los valores de las siguientes expresiones.

• 3(x + 2) =• (x + 2) + (x + 2) + (x + 2) =• 3x + 6 =

e) ¿Qué relación encontraron entre los valores de esas expresiones? ¿Son iguales o diferentes? ¿A qué se debe esa relación entre los valo-res de las expresiones?

1. En la siguiente tabla, anota las dimensiones y el área de cada uno de los rectángulos.

Bloque 1

29

3. ✓ En tu cuaderno, escribe dos expresiones equivalentes a 6x +10.


equivalentes 3En la siguiente figura se muestra que la expresión algebraica

(x + 1)(x + 2) es equivalente a x(x + 2) + (x + 2).

2. De acuerdo con las siguientes figuras, ¿a qué expresiones algebrai-cas es equivalente 2(x + 1) + 2(x + 3)? Trabaja en tu cuaderno.

2 ( x + 1) x + 2 ++ = 3 ( x + 2)

4 ( x + 2)

2 (2x + 4)

3 (x + 2) + (x + 2)

2 ( x + 3)

x 2

(x + 1)(x + 2) = x(x + 2) + (x + 2)

x + 2

x + 2

1

x 2x 2x

1

x

¿Qué otras expresiones algebraicas son equivalentes a (x + 1)(x + 2)?

Tema 2

x

x 1

1

1

30


a) La ilustración muestra que el rectángulo de la izquierda se ha des-compuesto en dos rectángulos. De acuerdo con esta descomposición, ¿a qué expresión algebraica es equivalente (x + 1)(x + 2)?

b) Y si la separación se realiza como se indica en la siguiente figura, ¿a qué expresión algebraica es equivalente (x + 1)(x + 2)?

c) Y si se descompone como se indica enseguida, ¿a qué expresión al-gebraica es equivalente (x + 1)(x + 2)?

d) ¿De qué otras formas pueden descomponer ese rectángulo? ¿Qué expresiones algebraicas equivalentes a (x + 1)(x + 2) obtienen?

Bloque 1


31

1. ✓ Expresa el área de cada rectángulo como producto de su base por su altura, y como la suma de dos o tres expresiones algebraicas.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

SumaÁrea = base × altura

Tema 2

3.1. Interpretación y evaluación

de expresiones algebraicas

x

A B

32

2. ✓ ¿Cuáles de los siguientes pares de expresiones algebraicas son equivalentes? Subráyalos. (Sugerencia: dibuja en tu cuaderno el par de rectángulos que corresponde a cada caso.)

a) (x + 1)(x + 3) y x2 + 4x + 3b) (x + 2)(x + 3) y x2 + 5x + 6 c) (x + 2)(x + 2) y x2 + 2x + 2d) (x + 3)(x + 3) y x2 + 6x + 9

Si x representa la distancia entre las ciudades A y B, ¿cómo se expresa la mitad de esa distancia? ¿Y el triple de esa distancia? ¿Qué

significa 3 x 4

en esta situación?

3Adición y sustracción de expresiones algebraicas

Si la inversión mínima en una empresa es de x pesos, y dos accionistas invierten (2x + 5000) y (3x + 1000), respectivamente, juntos han invertido (2x + 5000) + (3x + 1000), y la diferencia entre sus inversiones es (3x + 1000) – (2x + 5000). Tanto las expresiones algebraicas como las operaciones

que se han indicado tienen sentido, porque al representar x un número, se puede operar con él. En las siguientes tres sesiones interpretarás y utilizarás expresiones como éstas para resolver pro-blemas.


a) ¿Cuál es la distancia entre las ciudades A y B, de acuerdo con la si-tuación que se plantea? ¿Se especifica esa distancia?

b) La letra x ¿puede representar 10 km? ¿Puede representar 50 km? ¿Qué otras cantidades puede representar?

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la mitad de la distan-cia entre las ciudades A y B? Enciérrala.

1 x 2

2x x + 2

Te sugerimos leer:

“Los nombres del álgebra” y otros temas, en Bosch C. et al., Una ventana a las incógnitas, pp. 48-53.

Bloque 1


33

1. Contesta las siguientes preguntas: (¿Qué razones darías para convencer a un compañero o compañera

de tu equipo, de que tus respuestas son correctas?)

a) ¿Cuál de las dos siguientes expresiones algebraicas utilizarías para representar “el doble de un número más otro número”?

2m + n 2m + m

b) ¿Cuál de las dos siguientes expresiones algebraicas usarías para representar “la suma de un número más la cuarta parte de ese número”?

a + 1 a 4

a + 1 b 4

2. ✓ La variable x representa la cantidad de dinero en pesos que invier-te una persona en un negocio, y la expresión (2x + 800) representa la cantidad total obtenida luego de realizar el negocio.

a) ¿Qué significa 2x en esta situación?b) ¿Qué significa 2x + 800? c) Si la inversión inicial fue de $ 5000 (es decir, x = 5000), ¿cuál es el

valor de la expresión 2x + 800?d) ¿Cuánto dinero representa la expresión 2x + 800 cuando x = 1000?

¿Y cuando x = 2000?

e) Si la cantidad obtenida por la persona hubiera sido 1 x 2

en vez

de 2x + 800, ¿habría ganado o perdido en el negocio que empren-

dió? ¿Por qué?

d) Si x = 50, ¿cuál es el valor de las expresiones anteriores?e) Si y representa el precio de un libro, ¿cuál de las siguientes expresio-

nes representa el triple del precio de ese libro? Subráyala.

y + y + y 3y

f ) Si y = 50, ¿cuál es el valor de las expresiones anteriores?

g) Si 1 z 4

representa la cuarta parte del número de páginas leídas de

un libro, ¿qué representa 3 z 4

?

h) ¿Puede representarse 3 z 4

como 1 1 1 z + z + z? 4 4 4

Justifica tu

respuesta.

Recuerda que cuando en una expresión se usa una misma variable varias veces, como en x + x + x + x, esa variable representa un mismo número, por lo que puede representarse también como 4x. Si aparecen variables diferentes, como en x + y, esas variables pueden representar números distintos. Así, en la expresión 2a + b hay dos variables diferentes, y significa: 2 veces el valor de una de ellas más el valor de la otra.

Tema 3

34

3. María tiene x años de edad. Representa la edad de los demás miem-bros de su familia:

a) Su hermano mayor tiene 2 años más que ella.b) Su hermano menor tiene 3 años menos. c) Su mamá tiene 3 veces su edad más 4 años.d) Su papá tiene 4 veces su edad menos 2 años.

4. ✓ Supón que tú tienes n años de edad. ¿Cómo representarías la edad de los demás miembros de tu familia?

Comparte tu respuesta con un compañero o compañera, y expliquen por qué los resultados de uno y otro pueden ser diferentes.

3.2. Adición de expresiones

algebraicas

Daniel y Arturo invierten juntos x cantidad de dinero en un nego-cio. La expresión (2x + 2000) representa la cantidad total de pesos que obtuvo Daniel, y (3x – 1000), la que obtuvo Arturo.

Si vuelven a invertir esas cantidades, ¿qué expresión algebraica representa la nueva inversión?


a) Si la inversión inicial total fue de x pesos, ¿qué significan los binomios (2x + 2000) y (3x – 1000)?

b) Si x = 1500 (es decir, si la inversión inicial fue de $ 1500), ¿cuánto recibió Daniel al final de la operación?

c) ¿Y cuánto recibió Arturo?d) ¿Cuánto recibieron entre los dos? Sabemos que Daniel obtuvo (2x + 2000) pesos, y que Arturo recibió

(3x – 1000) pesos. e) ¿Qué expresión algebraica representa el total de dinero obtenido por

los dos después de realizado el negocio? Los binomios (2x + 2000) y (3x – 1000) representan la cantidad de

dinero que cada uno de los socios obtuvo en el negocio. f ) ¿Qué representa la suma de estos binomios, es decir, (2x + 2000) + (3x – 1000)?

Binomio. Es una expresión algebraica formada por dos términos unidos por los signos más (+) o menos (–). Son ejemplos de binomios: 5y + 8 y –5n + 2m.


35

g) ¿Cuáles son los términos semejantes que deben reducirse en la suma (2x + 2000) + (3x – 1000)? ¿Cómo se expresa el resultado de esta suma?

1. La suma (5a + 3) + (7a + 5) puede disponerse verticalmente, de ma-nera que coincidan los términos semejantes; observa:

5a + 37a + 5

a) ¿A qué se reducen los términos semejantes 5a y 7a? ¿Y los térmi-nos 3 y 5?

b) ¿Cuál es el resultado de la operación anterior?c) Si a = 10, ¿cuál es el valor del binomio 5a + 3? ¿Y el del binomio

7a + 5? ¿Cuál es la suma de estos dos valores?d) ¿Cuál debe ser el valor del resultado de (5a + 3) + (7a + 5), cuando

a = 10, para que el resultado del inciso anterior sea correcto?

Comparte tus respuestas a las cuatro preguntas anteriores con un compañero o compañera, y las razones en que las sustentas.

2. Consideren la suma de los polinomios (7a2 – 5b + 2) + (a2 + 3b – 1).

a) ¿Cuáles son los términos semejantes?b) ¿Cómo dispondrías verticalmente esta suma?c) ¿A qué se reducen los términos semejantes?d) ¿Cuál es el resultado de esta operación?

3. Resuelve en tu cuaderno las siguientes adiciones de polinomios:

Términos semejantes. Son los términos que contienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias. Son ejemplos de términos semejantes: +8m y –7m, y –5n2 y +3n2.Reducción de términos semejantes. Es el proceso de sumar términos semejantes. Por ejemplo, al sumar algebraicamente los términos +8m y –7m, se reducen a m; de igual manera, los términos –5n2 y +3n2 se reducen a –2n2.Polinomio. Es una expresión algebraica formada por dos o más términos unidos por los signos más (+) o menos (–).

Son ejemplos de polinomios: • 2x + 3y – 5z • –a + b – 7

a) (6m + 3) + (7m + 4)

b) (9.5a + 4.2b) + (3.5a – 1.8b)

c) (3x2 + 2x – 9) + (4x2 – 6x – 1)

d) (a – b + 3) + (a – b – 3)

e) (7x2 – 9x + 2) + (6x2 – 8x + 3)

f ) (4x2 – 9x – 8) + (2x2 – x + 1)

4b + 6

3b + 1 3b + 1

4b + 6

3a + 5

2a – 1 2a – 1

3a + 5

4x + 6 4x + 6

7x – 1

5x

4. ✓ Obtén el perímetro de los siguientes cuadriláteros.

Tema 3

36

x2

1x

2x2 3x 1

Utilicen los modelos para hallar las sumas de los siguientes polinomios:

a) (x2 + x) + (3x + 3)

b) (x2 + 3x) + (4x + 12)

c) (x2 + x) + (2x + 2)

d) (2x2 + 3x) + (2x + 3)

e) (2x2 + x) + (6x + 3)

f ) (6x2 + 2x) + (3x + 1)

g) (x2 + 4x + 1) + (3x2 + x + 2)

h) (x2 + 4x + 1) + (4x2 + 3x + 2)

i) (x2 + 5x) + (x2 + 2x + 3)

j) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

5. ✓ Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

a) El perímetro de un triángulo es 15m + 8. Dibuja un triángulo y anota en sus lados sus medidas posibles, de manera que den ese perímetro.

b) Al realizar un trabajo juntos, Rubén ganó (8m + 2c + 5d) pesos y Pe-dro ganó (7z + 9m – 3c – 2d) pesos. ¿Cuánto ganaron entre los dos?

c) En la situación del inciso anterior, si z = 10 000, m = 1000, c = 100 y d = 10, ¿cuánto ganó cada uno? ¿Cuánto ganaron entre los dos?

d) Escribe dos polinomios cuya suma sea 3. e) Escribe dos polinomios cuya suma sea x. f ) La suma de dos polinomios es cero. ¿Cómo son esos polinomios?

6. Reúnete con un compañero o compañera para realizar la siguiente actividad. Usarán modelos geométricos para representar polinomios y la suma de ellos.

Material: Cartoncillo de colores. Instrucciones: Recorten en cartoncillo las siguientes figuras: 12 cuadra-

dos de 13.5 por 13.5 cm, 12 cuadrados de 3 por 3 cm y 7 rectángulos de 3 por 13.5 cm. Como se indica en las siguientes figuras, cada cuadra-do grande representará una x2; cada cuadrado pequeño representará una unidad, y cada rectángulo representará una x. Las figuras de la derecha representan el polinomio 2x2 + 3x + 1.

Bloque 1


37

3.3. Sustracción de expresiones

algebraicas

En la sesión anterior dijimos que Daniel y Arturo habían invertido x cantidad de dinero en un negocio. Además, comentamos que la expre-sión (2x + 2000) pesos representa la cantidad total que obtuvo Daniel, y que (3x – 1000) representa la que obtuvo Arturo. ¿Cuál es la diferencia entre las cantidades obtenidas por Daniel y Arturo?


a) Si la cantidad que aportaron inicialmente fue de $ 2500 (es decir, x = 2500), ¿cuánto obtuvo Daniel? ¿Cuánto obtuvo Arturo? ¿Quién obtuvo una mayor cantidad de dinero? ¿Qué tanto más?

b) Si la cantidad inicial fue de $ 3000, ¿cuánto obtuvo cada uno de ellos? ¿Quién obtuvo una mayor cantidad? ¿Qué tanto más?

c) Si la cantidad inicial fue de $ 4000, ¿cuánto obtuvo cada uno de ellos? ¿Quién obtuvo una mayor cantidad? ¿Qué tanto más?

d) ¿En todos los casos la diferencia entre las cantidades fue la misma?e) Si desconocemos el monto de la inversión inicial x, ¿podemos saber

quién obtuvo una mayor cantidad de dinero en el negocio: Daniel, quien ganó (2x + 200) pesos, o Arturo, con (3x – 1000)?

f ) Como vimos en la sesión anterior, la expresión algebraica que represen-ta la cantidad total que obtuvieron entre los dos se encuentra mediante la suma (3x – 1000) + (2x + 2000). ¿Con qué operación algebraica se halla la diferencia entre las cantidades obtenidas por Arturo y Daniel?

g) ¿Cuál es esa diferencia? Reúnete con un compañero o compañe-ra y traten de encontrar un procedimiento para hallar esa diferencia con la operación algebraica correspondiente.

1. Al igual que en el caso de la suma, la sustracción de dos polinomios, como (6x – 3y + 1) – (5x + 2y – 3), puede disponerse verticalmente, de manera que coincidan los términos semejantes; observa:

6x – 3y + 1– (5x + 2y – 3)

a) Recuerda: en la sustracción de números con signo, para hallar la diferencia de dos números, se cambia el sustraendo por su opuesto y se suma. ¿Cómo expresarías la operación anterior considerando el opuesto del sustraendo?

Tema 3

38

3x + 2

2x + 3

?

?

5x – 1

x – 1

Perímetro = 10x + 1

Perímetro = 7x + 2

b) ¿Cuál es el resultado de esa operación?c) Si x = 10 y y = 5, ¿cuál es el valor del polinomio (6x – 3y + 1)? ¿Y

el del polinomio (5x + 2y – 3)? ¿Cuál es la diferencia de estos dos valores?

d) ¿Cuál debe ser el valor del resultado de (6x – 3y + 1) – (5x + 2y – 3), cuando x = 10 y y = 5, para que el resultado del inciso anterior sea correcto?

Comparte tus respuestas a las cuatro preguntas anteriores con un compañero o compañera, y las razones en que las sustentas.

2. Efectúa en tu cuaderno las siguientes sustracciones de polinomios:

a) (8x + 10y – 4) – (4x + 3y – 6)

b) (2a – 2b) – (a – b – 3)

c) (2a – 2b) – (a – b + 3)

d) (12r2 – r – 5) – (5r2 – 3r – 5)

e ) (12r2 – r – 5) – (7r2 + 2r)

f ) (5x2 – x – 2) – (7x2 + 2x)

3. Reúnete con un compañero o compañera para resolver los si-guientes problemas. Después, compartan sus respuestas con los de-más compañeros del grupo. En caso de que tengan diferencias de opinión, propongan argumentos suficientes para respaldar sus res-puestas.

a) ¿Qué es mayor: el perímetro de un cuadrado que mide por lado (2x – 1) o el perímetro de un rectángulo que mide (2x + 1) de largo y (2x – 5) de ancho?

b) Escriban las medidas faltantes en las siguientes figuras para que el perímetro sea el que se indica en cada caso.

Bloque 1

39

x + 3

x – 1 Perímetro = 4x + 4

?

?

c) Juan tenía monedas de tres tipos: x, y, z. En total, tenía 10x + 7y + 12z. Si gastó 3x + y + 4z, ¿cuánto le quedó?

d) Al siguiente cuadrilátero le faltan dos medidas. ¿Cuáles podrían ser?

La operación mediante la cual se calcula la diferencia entre dos cantidades es la sustracción. De modo que,

para hallar la diferencia entre dos polinomios como, por ejemplo, (6a – 3b + 1) y (5a + 2b – 3), habrá que restar.

Observa: 6a – 3b + 1 – (5a + 2b – 3)

Como en el caso de los números con signo, para calcular el resultado de una sustracción, se cambia el sustraendo por su opuesto y se suma:

6a – 3b + 1 + (–5a – 2b + 3)

Suma a – 5b + 4

El opuesto de 5a + 2b – 3 es –5a – 2b + 3

e) Escriban dos polinomios cuya diferencia sea 3. f ) Escriban dos polinomios cuya diferencia sea x. g) Si la diferencia entre dos polinomios es cero, ¿cómo son esos po-

linomios? h) Resten (2x – 3y + 1) de (4x + 5y – 4). i) Resten (4x + 5y – 4) de (2x – 3y + 1). j) Comparen la respuesta que dieron en el inciso h con la que die-

ron en el inciso i.

• ¿Qué sucede con el resultado de una sustracción si se invierte el orden de sus términos? Hagan la misma indagación con ejem-plos aritméticos (por ejemplo, 3 – 8 y 8 – 3) o con variables (como a – b y b – a).

• ¿A qué conclusión llegaron? Anótenla en sus cuadernos y ex-pónganla ante el grupo.

Tema 1

4.1. Medición de ángulos

40

4Medición y construcción de ángulos

En el plano de abajo pueden observarse algu-nas de sus calles, que se cruzan entre sí formando distintos ángulos. Las siguientes dos sesiones tratan acerca de los ángulos. En ellas aprenderás a resol-ver problemas que implican estimar sus medidas, así como a usar el transportador para medirlos, y la

regla y el compás para construirlos.

AVEN

IDA D

E LAS F

LOR

ESSANTA ROSA

U. HÉROES

LAS ARBOLEDAS

Lir

io

Margaritas

Jardines

Av. Benito Juárez

Pino

Nogal

Diagonal Del Laurel

Abedul

Av. D

el Á

lam

o

Sauce

Fresno

Tu

lip

án

Bu

gam

bil

iaF

ran

cisc

o V

illa

Am

apo

la

Azu

cen

a

Orq

uíd

ea

Dal

ia

Ign

acio

All

end

e

Em

ilia

no

Zap

ata

Vic

ente

Gu

erre

ro

Av.

Mig

uel

Hid

algo

Av.

Co

lori

nes

Fco

. I.

Mad

ero

Ign

acio

Ald

ama

A un vidriero le encargan un vidrio para una ventana que tiene la forma de un romboide. ¿Qué tiene que hacer el vidriero para que el vidrio que va a cortar tenga la forma deseada?


a) ¿Qué harías tú si estuvieras en la situación del vidriero? ¿Qué instru-mentos usarías para medir la ventana y copiar su forma? ¿En qué basas tu respuesta? Comenta tus razones con un compañero o compañera.

b) Si emplean una cinta métrica para medir los lados de la ventana, ¿será suficiente esta información para que puedan reproducir en el vidrio la forma de la ventana? ¿Por qué?

Bloque 1


180

150

160

170

140

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30

20 10

0

130

180 150

160 170

140

120 110 100 90 80 70 60 50 40

30

20

10

0

130

A

B

41

c) El vidriero corta dos pares de tiras de madera y los une con tornillos en las esquinas, de manera que las medidas de las tiras correspon-den a las de los lados de la ventana. ¿El marco así construido tiene una forma única o puede tener varias?

d) Si tuvieras el marco de madera anterior, ¿qué harías para que toma-ra la forma de la ventana? Y si no lo tuvieras, ¿de qué otro recurso te valdrías para resolver el problema?

e) ¿Qué información mínima necesitas dar en la vidriería para pedir el vidrio que se necesita para la ventana?

a) Observa en la figura anterior cómo se coloca el transportador so-bre un ángulo para medirlo. ¿Qué partes del transportador y del ángulo deben coincidir?

b) ¿Dónde se lee la medida del ángulo? c) ¿Cuánto miden los ángulos A y B?

2. En tu cuaderno, dibuja varios romboides diferentes y mide sus án-gulos con el transportador. (Recuerda que los romboides tienen la-dos opuestos paralelos.)

1. ¿Cómo se mide un ángulo usando el transportador?

A B

D C

a) ¿Qué relación hay entre los ángulos A y C (ángulos opuestos) del romboide? ¿Son iguales o diferentes?

b) ¿Qué relación hay entre los ángulos A y B, B y C, C y D, y D y A (llamados ángulos contiguos del romboide)?

Recuerda que a la abertura entre dos semirrectas o rayos se le llama ángulo. El tamaño de un ángulo depende únicamente de su abertura y no de la longitud de los lados. Así, en las siguientes figuras, el tamaño del ángulo B es mayor que el de A, pero el tamaño del ángulo C es el mismo que el de D.

A

B

C

D

Tema 4

( ) ( )

( ) ( )

a) Cerca de 40º

b) Cerca de 95º

c) Cerca de 85º

d) Cerca de 60º

42

3. Anota en los paréntesis de la izquierda la letra que señala la medida de cada ángulo. Luego usa un transportador para verificar tu estimación.

4. Observa cómo se construye un ángulo Y’X’Z’ igual al ángulo X. Reúnete con un compañero o compañera para escribir en su cua-derno una descripción de esta construcción.

a) ¿Por qué el ángulo Y’X’Z’ es igual al ángulo X?b) En sus cuadernos, prueben que su descripción es correcta: tra-

zando un ángulo cualquiera. Usen regla y compás para construir otro de la misma medida.

X

X

Y

Z

Paso 1

O

r

Paso 2

O

Y‘r

Paso 3

Paso 4

X

Y

Z

Paso 5

O

Y‘

Z‘

O

Paso 6

X‘

Y‘

Z‘

Bloque 1

43

5. Una persona desea sembrar flores en un terreno circular de 5 m de diámetro. Va a dividir el terreno en tres sectores circulares que

ocupen, respectivamente, 3 5

, 1 3

y 1 15

de la superficie total. ¿Cómo debe hacerlo?

Sector circular. Es la porción de un círculo limitada por dos radios.

Sectorcircular

a) En tu cuaderno, traza a escala 1:100 un círculo que represente el terreno circular. ¿Cuánto debe medir el diámetro del círculo en tu cuaderno? ¿Y el radio?

b) ¿Cómo trazas en tu cuaderno el sector circular que corresponda

a 1 3

de la superficie total del círculo? ¿De cuántos grados es el

ángulo de este sector? ¿Cómo lo trazarías en el terreno? ¿Qué instrumento requerirías en cada caso? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

c) ¿De cuántos grados es el sector circular que corresponde a 3 5

de

la superficie total del círculo? ¿De cuántos grados es el de 1 15

?

d) ¿Qué instrumento utilizarías para trazar en tu cuaderno estos dos sectores circulares? ¿Y para trazarlos en el terreno?

e) Compara tus dibujos a trasluz con los que hizo un compañero o compañera. ¿Son iguales o diferentes? ¿Hubo diferencias en los procedimientos que utilizaron para resolver el problema? ¿Qué procedimientos resultaron más eficaces?

f ) ¿Qué semejanzas tienen los procedimientos para dividir el círcu-lo en sectores circulares en el cuaderno y en el terreno?

4.2. El ángulo como medida

de una rotación

Aproximadamente, ¿con qué ángulo giras…

• …la llave para abrir la puerta de tu casa?• …el botón del radio desde la posición de apagado hasta el máximo

volumen?• …la tapa del tubo de la pasta de dientes?• …tu cabeza cuando volteas del extremo izquierdo al derecho?

Tema 4


44


a) Normalmente, cuando introducimos la llave en la cerradura, tene-mos que girarla un cuarto de vuelta para que la puerta se abra. Si una vuelta completa equivale a 360°, ¿de cuántos grados es una vuel-ta de la llave?

b) En un radio común, hay que dar 8 décimas de un giro completo al botón para pasar de la posición de apagado al máximo volumen. ¿De cuántos grados es este giro? Prueba con el radio de tu casa cuántos grados tienes que girar el botón.

c) ¿Cuántas vueltas debes dar a la tapa del tubo de la pasta de dientes para que se abra? ¿Aproximadamente, de cuántos grados es el giro?

d) ¿Puedes girar tu cabeza más de 180°? ¿Algún compañero o compa-ñera lo puede hacer? Hagan el experimento.

e) Hagan un listado de otros objetos familiares en los que es necesa-rio girar y estimen las medidas de los ángulos de giro.

1. Observa atentamente las siguientes figuras para contestar las preguntas que se plantean.

a) ¿Cuántos grados debe girarse la figura sombreada para que coin-cida con la no sombreada?

b) Si la figura sombreada se gira 540º, ¿coincide con la no som-breada? ¿Y si se gira más de 540º? Comenta con un compañero o compañera las razones en que basas tus respuestas.

2. ✓ ¿Cuántos grados gira el minutero de un reloj en…

a) …2 horas?

b) …112

horas?

c) …312

horas?

d) …15 minutos? e) …6 minutos?

3. En el disco de acetato, de los antiguos, gira 45 veces por minuto. ¿Cuántos grados gira en 20 segundos? ¿Y en un segundo?

Bloque 1

1''

45

5. En los siguientes cuadriláteros, la letra O señala el punto en que se cortan sus diagonales. Utiliza papel transparente para copiarlos.

O O O

4. Un tornillo tiene 12 hilos por cada pulgada. ¿Cuántos grados debe

girarse para que penetre 114

pulgadas? (Una pulgada se indica con el símbolo ".)

a) Coloca sobre el cuadrado la copia que hiciste y clava un alfiler en el punto O. ¿Cuántos grados, como mínimo, debe girarse la copia del cuadrado para que coincida con el original?

b) Haz lo mismo con el rectángulo. ¿Cuántos grados, como mínimo, debes girar la copia del rectángulo para que coincida con el origi-nal?

c) Haz lo mismo con el romboide. ¿Cuántos grados hubo que girar la copia para que coincidiera con el original?

d) ¿En cuál de los tres casos fue mayor el ángulo de giro?

Un ángulo puede generarse haciendo girar una semirrecta tomando el origen de la misma como centro de giro.

Observa que, en su giro en torno al punto O, la semirrecta barre una zona del plano. Esta superficie barrida está limitada por las posiciones inicial y final de la semirrecta. La superficie barrida es el ángulo. Esta forma de entender el ángulo permite considerar ángulos mayores de 360°.

Por ejemplo, el minutero de un reloj gira un ángulo de 450° en una hora y un cuarto. Sus lados inicial y final están representados por la manecilla del minutero al inicio y al final del giro, respectivamente, y el punto O es el extremo de dicha manecilla.

O

Tema 5

5.1. Rectas paralelas y perpendiculares.

Tipos de ángulos

Distribución en cuadrícula Distribución irregular

46

Muchas ciudades se planearon de modo que sus calles formaran una cuadrícula. Con su crecimiento, las calles de los barrios que se fue-ron agregando generalmente no presentaron esta forma regular.

5Rectas y ángulos

El trabajo que realizan los diseñadores gráficos, arquitectos e ingenieros tiene mucho que ver, por una parte, con el trazo de pares de rectas perpendiculares, paralelas u oblicuas, y por otra, con el reconocimiento de los ángulos que forman dos rectas cuando se cortan. En las siguientes dos sesiones

estudiarás algunas ideas relacionados con estas cuestiones.

A1

34

2B

D

C

Si consideramos las calles como segmentos de rectas de un plano, ¿qué relaciones hay entre ellas y entre los ángulos que se forman?


a) ¿En cuál de los dos mapas hay más calles que pueden identificarse como perpendiculares entre sí?

b) ¿En cuál de los dos mapas hay más calles paralelas?c) Algunas calles del mapa presentan la forma de rectas que no se cor-

tan perpendicularmente, como las siguientes:

Bloque 1


47

d) En la figura anterior, ¿qué relación tienen los ángulos 1 y 2?

• ¿Tienen un vértice común?• ¿Tienen un lado común?

e) Los ángulos 1 y 2 son adyacentes. ¿Qué otros pares de ángulos son adyacentes? ¿Cuánto suman las medidas de dos ángulos adyacen-tes? ¿En qué razones basas tu respuesta?

f ) Si la recta CD se gira de modo que el ángulo 4 mida 30º, ¿cuánto medirá el ángulo 1?

g) ¿Qué pares de ángulos son opuestos por el vértice?h) ¿Cómo se puede determinar la medida del ángulo 2, si se sabe que

el ángulo 4 mide 40º? ¿Qué debes tomar en cuenta para hallar la medida de ese ángulo? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera, y luego presenten su idea al grupo.

i) Si el ángulo 3 midiera 150º, ¿cuánto mediría el ángulo 2? ¿En qué razones basas tu respuesta?

j) Reúnete con un compañero o compañera, y escriban en sus cuader-nos sus conclusiones con respecto a la relación que existe entre los ángulos adyacentes y entre los ángulos opuestos por el vértice.

1. ✓ Observa la figura para contestar las preguntas que se plantean.

Ángulos adyacentes. Cuando dos rectas se cortan, los pares de ángulos que comparten un lado y un vértice son adyacentes. En la figura siguiente, los ángulos COD y DOA son adyacentes; también son adyacentes los ángulos DOA y AOB, así como AOB y BOC.

O

C D

BA

Ángulos opuestos por el vértice. Cuando dos rectas se cortan, los ángulos que no son adyacentes se llaman opuestos por el vértice. En la figura anterior, los ángulos COD y BOA son opuestos por el vértice; también son opuestos por el vértice los ángulos BOC y DOA.

a) Si las rectas AB y CD se prolongan hacia abajo, ¿se cortarían? ¿Por qué?

b) ¿Cuántos ángulos rectos hay en la figura? c) ¿Cuántos pares de ángulos adyacentes hay en la figura? d) ¿Cuántos pares de ángulos opuestos por el vértice hay en la figura? e) Si el ángulo menor que forman las rectas AB y MN es de 80°, ¿cuán-

to miden los otros tres ángulos?

A

B

E F

C

NM

D

Tema 5

48

A

B

2. ✓ Observa la siguiente figura:

Los ángulos A y B comparten un lado común. ¿Son adyacentes estos ángulos? ¿Por qué?

3. ✓ Observa la siguiente figura:

D

CE

a) Los ángulos C y E comparten un vértice común. ¿Son adyacentes estos ángulos? ¿Por qué?

b) ¿Son opuestos por el vértice los ángulos C y E?

5.2. Construcción de rectas

perpendiculares y paralelas

Luis trabaja en una compañía constructora. Le pidieron que dibu-jara el plano de lo que será un fraccionamiento habitacional. Todas las manzanas y el parque recreativo del fraccionamiento ocuparán te-rrenos rectangulares. El primer bosquejo del plano que hizo Luis es el que se muestra en la ilustración. ¿Con qué instrumentos geométricos reproducirías tú este plano? Explica cómo lo harías.

Cal

le A

Cal

le E

Cal

le D

Cal

le C

Cal

le B

Calle 4

Calle 3

Calle 2

Calle 1

Parque

N

S

EW

Bloque 1


49


a) ¿Qué relación existe entre las calles 1, 2, 3 y 4?b) ¿Qué relación existe entre las calles A, B, C, D y E?c) ¿Qué relación existe entre la calle 1 y la calle A?d) ¿Cómo trazarías con escuadras la acera sur de la calle 1 y la acera

oeste de la calle A? ¿Qué tomarías en cuenta para hacerlo?e) ¿Cómo realizarías el trazo anterior con regla y compás? ¿Qué toma-

rías en cuenta para hacerlo?

1. Observa cómo se traza una recta perpendicular a la recta r desde un punto P exterior a esa recta. Reúnete con un compañero o com-pañera, y describan por escrito esta construcción.

P

rBA

Q

P

rBA

Q

P

rBA

P

r

Paso 3

Paso 1

Paso 2

a) ¿Para qué se traza la circunferencia con centro en P?b) ¿Para qué se traza después una circunferencia con centro en A y

otra con centro en B?c) ¿Por qué las dos circunferencias anteriores se cortan en el punto P?d) ¿Qué relación existe entre los puntos P y Q con respecto de los

puntos A y B de la recta?e) Los puntos A y B determinan un segmento de la recta r. ¿Qué

relación existe entre la recta PQ y el segmento AB? ¿Y entre la recta PQ y la recta r?

Tema 5

50

2. En sus cuadernos, tracen una recta y un punto fuera de ella. Usen regla y compás para trazar una perpendicular desde el punto exte-rior a la recta.

3. Observen ahora cómo se traza una recta paralela a la recta r. Descri- ban por escrito esta construcción.

6. Trabaja en tu cuaderno. Usa compás y regla para construir un trián-gulo rectángulo de 6 cm de base y 8 cm de altura.

7. Trabaja en tu cuaderno. Usa compás y regla para construir un rectángulo de 9 cm de base y 12 cm de altura.

rBA

Paso 3

O

P Q

rBA

Paso 2

O

P Q

rBA

Paso 1

O

r

O

a) ¿Para qué se traza la circunferencia con centro en O?b) ¿Para qué se traza después una circunferencia con centro en A y

otra con centro en B?c) ¿Por qué los radios de estas dos circunferencias son menores que

el radio de la circunferencia cuyo centro está en O?d) ¿Qué relación existe entre los puntos P y Q con respecto de la

recta r?e) ¿Qué relación existe entre la recta PQ y la recta r?

4. En sus cuadernos, tracen una recta. Usen regla y compás para trazar una paralela a esa recta.

5. ✓ En tu cuaderno, traza con regla y compás un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto lo formen los siguientes segmentos.

Bloque 1

6.1. Rectas paralelas y rectas

transversales

51

6Algunas propiedades de los ángulos de figuras geométricas

En cualquier figura geométrica distinguimos sus elementos constitutivos: los lados y los ángu-los. En las siguientes tres sesiones analizaremos las relaciones que existen entre los ángulos de figuras geométricas, en particular, en el triángulo.

1 2

43

56

87

Carmen va a confeccionar el banderín del equipo de futbol en que participa su hijo Carlos. El diseño del banderín consiste en tres franjas paralelas:

En la figura aparecen ocho ángulos numerados. ¿Qué relaciones hay entre algunos pares de ángulos? ¿Habrá algunos pares de ángulos que tengan la misma medida?


a) ¿Cuántas parejas hay de ángulos opuestos por el vértice?b) De los ocho ángulos numerados, ¿cuántas parejas son adyacentes?

¿Cuántos grados suman juntos cada par de ángulos adyacentes? ¿En qué razones basas tu respuesta?

c) ¿Cómo puedes utilizar esta propiedad de la suma de dos ángulos adyacentes, para demostrar que los ángulos opuestos por el vértice son iguales? (Toma el caso de los ángulos opuestos por el vértice 1 y 3.) Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

Tema 6


52

1 2

43

56

87

1. ✓ En la siguiente figura, AB//CD y 7 = 143°. Encuentra las medidas de los siguientes ángulos. Justifica tus respuestas.

a) 1 =

b) 2 =

c) 3 =

d) 4 =

e) 5 =

f ) 6 =

Imagina que superpones la franja superior del banderín a la franja central, de modo que coincidan sus segmentos inclinados. El ángulo 1 caerá sobre el ángulo 5 y el ángulo 2 caerá sobre el 6.

d) Si ahora superpones la franja central a la inferior, ¿qué pares de án-gulos coincidirán?

e) ¿Qué pares de ángulos son iguales por ser correspondientes? ¿Qué pares de ángulos son iguales por ser opuestos por el vértice? En tu cuaderno, escribe una lista de pares de ángulos que son iguales y el nombre que recibe cada par.

f ) ¿Cómo puedes utilizar la propiedad de igualdad de los ángulos opuestos por el vértice y de los ángulos correspondientes, para demostrar que los ángulos alternos internos también son iguales? (Toma el caso de los ángulos alternos internos 3 y 5.) Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

g) Utiliza argumentos similares a los anteriores para demostrar que los ángulos alternos externos son iguales. (En la siguiente figura están señalados los ángulos alternos externos 1 y 7.)

A

C

B

D

1 32 4

57

6 8

Si dos o más rectas son paralelas, cualquier recta que las cruce es transversal a esas paralelas. En la figura, la transversal s cruza a las paralelas r y r’.

AB

r

r'

s

CD

A'B' C'D'

Ángulos correspondientes. Son dos ángulos no adyacentes, situados en un mismo lado de la transversal, uno interno y otro externo. Por ejemplo, los ángulos A y A’ son correspondientes y al superponerse son iguales.

Ángulos alternos internos. Son dos ángulos internos no adyacentes, situados en distinto lado de la transversal. Por ejemplo, en la figura anterior, los ángulos D y A’ son alternos internos.

Ángulos alternos externos. Son dos ángulos externos no adyacentes, situados en distinto lado de la transversal. Por ejemplo, los ángulos B y C’ son alternos externos.

Bloque 1

M

x

R

N

S

M R

N S

x129º

r

r'

12 3

85º

95º6 5

4

r r'

1011 12

81º7110º 9

8

r

r'

12

3

55º

120º

678

910

54

53

2. ✓ En cada una de las figuras siguientes, MN//RS . Encuentra el valor de x.

a) x = b) x =

3. ✓ En cada figura, encuentra la medida de los ángulos y di si las rec-tas r y r’ son paralelas.

a) 1 =

b) 2 =

c) 3 =

d) 4 =

e) 5 =

f ) 6 =

g) 7 =

h) 8 =

i) 9 =

j) 10 =

k) 11 =

l) 12 =

6.2. Actividades sobre rectas

paralelas y transversales

1. Utiliza la figura para encontrar la medida de cada ángulo numerado. Supón que r//r'.

a) 1=

b) 2=

c) 3=

d) 4=

e) 5=

f ) 6=

g) 7=

h) 8=

i) 9=

j) 10=

Tema 6

A

C

B

D

231 = 60º

4 50º

Pedro

Juan Carmen C

A B

?

45º 30º

r

r'

12

3

55º

120º

678

910

54

54

2. Observa con cuidado la figura de la derecha para identificar los pares de ángulos que se indican a continuación.

a) ¿Cuántos pares de ángulos opuestos por el vértice hay. Anótalos.

b) ¿Cuántos pares correspondientes? ¿Cuáles son?c) ¿Cuántos pares de ángulos alternos internos? Anótalos.

3. ✓ En la siguiente figura, AB//CD. Halla las medidas de los ángulos.

a) 2 = b) 3 = c) 4 =

Ángulo de nuestra mirada. Si imaginamos que nuestra mirada se dirige en línea recta, es el ángulo que forma esa recta con la horizontal.

4. Efectúa las sumas de ángulos del problema anterior.

a) 1 + 2 +3 =

b) 2 + 4 + 50º =

6.3. Suma de los ángulos

interiores de un triánguloPedro va a participar en una carrera de 400 metros, por lo que todos

los días entrena en una pista de su escuela. Hoy, desde una pista parale-la, Juan y Carmen lo miran correr. Desde el punto A, Juan ve la posición (C) de Pedro a 45°, y desde el punto B, Carmen ve la posición de Pedro a 30°. Si, en ese mismo momento, Pedro los hubiera visto desde el punto C, ¿cuánto mediría el ángulo de su mirada?

horizontal

Bloque 1

4 5

21 3

P

J C

55


a) Los puntos A, B y C, desde los cuales Juan, Carmen y Pedro se ven unos a otros, determinan un triángulo. Del triángulo se conocen las medidas de sus ángulos interiores BAC y ABC. ¿Cuánto mide el ter-cer ángulo? ¿Cuántos grados suman juntos los tres ángulos interiores de ese triángulo?

b) Pedro viene corriendo por una pista. Supón que Juan lo hubiera visto segundos antes (o segundos después) de como aparecen en la ilustración. ¿Cómo serían los triángulos ABC en uno u otro caso? Di-buja en tu cuaderno algunos ejemplos y mide sus ángulos. ¿Cuánto suman los tres ángulos interiores de cada uno de esos triángulos?

c) ¿A qué conclusión llegas después de realizar estas observaciones? Compártela con un compañero o compañera.

d) En la siguiente figura, mediante dos rectas paralelas, se han represen-tado las pistas; con los puntos J, C y P, las posiciones de Juan, Carmen y Pedro, y con 4, 5 y 2, los ángulos de sus miradas respectivas.

Ángulos interiores de un polígono. Generalmente se designa un ángulo con tres letras mayúsculas; la letra correspondiente al vértice va colocada en medio. Por ejemplo, los ángulos del triángulo ABC se nombran así: ángulo BAC, ángulo ABC y ángulo BCA. Con frecuencia, para abreviar, se sustituye la palabra ángulo por los símbolos ó ∠.

C

A B

ánguloABC

ánguloBCA

ángulo BAC

Utiliza la figura anterior y las propiedades de los ángulos que has estudiado, para demostrar que la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180º.


1. En cada caso, traza en tu cuaderno un triángulo que satisfaga las condiciones que se dan. Si ningún triángulo satisface tales condi-ciones, escribe No es posible y las razones que justifican esa imposi-bilidad. Comenta tus respuestas con un compañero o compañera, y después con el resto del grupo.

a) Un triángulo acutángulo isóscelesb) Un triángulo rectángulo isósceles c) Un triángulo obtusángulo isóscelesd) Un triángulo acutángulo escaleno e) Un triángulo rectángulo escaleno f ) Un triángulo obtusángulo escaleno g) Un triángulo con dos ángulos rectos h) Un triángulo con dos ángulos agudos i) Un triángulo con dos ángulos obtusos

Tema 6

56

• Pídele a un compañero o compañera que se coloque sobre la mar-ca A viendo hacia C. Dibuja una pequeña flecha delante de él o ella con dirección hacia C.

• Dile que gire hacia la marca B y que camine directamente hacia ella.• Luego, que gire hacia la marca C y que camine hacia ella.• Finalmente, pídele que gire hacia la posición A y que camine hacia

ella. Dibuja una pequeña flecha delante de él o ella con la misma dirección con la que llegó a la marca.

Observa que las flechas quedarán señalando hacia direcciones opuestas. ¿Por qué?

x

25º

a)

x25º

140ºb)

c) x

45º35º

x

35º

50º

d)

x

30º

e)

x

f )

25º35º

A

B

C

3. Realiza la siguiente actividad en el patio de la escuela. Dibuja tres marcas A, B y C no alineadas en el piso, como se indica en la figura.

2. Encuentra el valor de x. Las flechas indican que las rectas son pa-ralelas.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. A continuación se presenta una forma de demostrarlo. Se traza la rectar, paralela al lado AB del triángulo.

A B

CA' B' r

• Sabemos que: (1) A’ + C + B’ = 180° porque están sobre una misma recta.• Sabemos también que: (2) A = A’ y que B = B’ porque son alternos

internos.• Sustituimos en (1) los ángulos A’ por A y B’ por B, y obtenemos: A + C + B = 180° Por tanto, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Bloque 1

7.1. Problemas que implican

el uso del factor inverso

57

La estatua de un personaje mide 2.20 m de altura. El escultor la realizó

a una escala de 54

. ¿Cuál era la estatura real del personaje?


a) ¿Qué significa el hecho de que la estatua esté realizada a una escala

de 54

? ¿Qué representan el 5 y el 4 con respecto de la altura de la

estatua y la estatura del personaje?b) ¿Cuál sería una respuesta razonable a este problema? ¿La estatura

real del personaje será mayor o menor que 2.20 m? Comenta tu idea con un compañero o compañera.

c) ¿Cómo se obtiene la estatura real del personaje a partir de la escala y de la altura de la estatua?

d) ¿Podrías utilizar una tabla de valores proporcionales como la si-guiente, para resolver el problema?

7Factor inverso de proporcionalidad

Seguramente alguna vez has visto planos de casas habitación, de canchas deportivas o de modelos a escala de automóviles, trenes o aviones. En todos estos objetos se destina un espacio para indicar la escala con la que están hechos. Con este dato, puedes conocer las dimensiones reales

de los objetos que se reproducen a escala. De esto tratará la siguiente lección.

Te sugerimos leer:

“¿Cómo dibujo mi salón de clases?” en De la Peña, J. A., Geometría y el mundo, pp. 10-11.

Escala. Es la razón entre dos medidas:

Medidas del modeloMedidas del objeto real

Medida del modelo

Medida del objeto real

e) Si se tiene la medida del modelo, ¿cuál es el factor de proporciona-lidad que permite calcular la medida del objeto real? ¿Qué relación hay entre ese factor de proporcionalidad y la escala que se da en la situación? ¿Son iguales o diferentes?

Tema 7


2

zona de tirolibre

12

34

3

58

1. La maqueta de un edificio se construyó a una escala de 1240

. La

altura de la maqueta es de 30.5 cm. ¿Cuál es la altura real del edificio?

a) ¿Qué significa el hecho de que la maqueta esté realizada a una

escala de 1240

? ¿Qué representan el 1 y el 240 con respecto de la

altura de la maqueta y la altura del edificio?b) ¿Cuál sería una respuesta razonable a este problema? Comenta

tu idea con un compañero o compañera.c) ¿Cómo se obtiene la altura del edificio a partir de la escala y de

la altura de la maqueta?d) ¿Cuál de las tres siguientes ecuaciones podría servir para resolver

el problema? (A es el valor desconocido; en este caso, la altura del edificio.) ¿En qué argumentos basas tu respuesta?

A × 30.5 = 1240

A × 1240

= 30.5 A30.5

= 1240

2. ✓ Una cinta elástica de 2.4 m de largo puede estirarse hasta alcanzar 6 m de largo. ¿Cuál es el factor de alargamiento?

a) Si la cinta midiera 1 m y tuviera la misma elasticidad que la del problema, ¿qué longitud alcanzaría si se estirara al máximo? ¿Cómo obtendrías ese valor?

b) ¿Te serviría el valor que acabas de encontrar para hallar la lon-gitud máxima que alcanzaría una cinta de 2 m, con la misma elasticidad que la del problema?

3. Otra cinta puede estirarse hasta alcanzar 3.3 veces su longitud origi-nal. Cuando se estira al máximo, mide 13.8 m. ¿Cuál es la longitud de la cinta sin estirar?

4. ✓ El plano de una cancha de basquetbol se dibujó a una escala de 1300

.

¿Cuáles son las dimensiones reales de la cancha? (Las medidas indica-das en el plano están dadas en pulgadas.)

Bloque 1

59

a) Si el plano se dibujó a una escala de 1300

y el ancho de la zona

de tiro libre en el plano es de 12

pulgada, ¿cómo se obtiene la

anchura real de esa zona de la cancha? ¿Cuál es el valor de esa longitud?

b) ¿Cómo se obtienen la longitud y la anchura reales de la cancha?

5. ✓ En una bicicleta, por cada giro del pedal, el piñón trasero gira 5218

veces. Si en un recorrido, el piñón giró 780 veces, ¿cuántas vueltas dio el ciclista al pedal?

6. En el planeta, la distribución de la población es muy desigual. Así, por ejemplo, la isla de Groenlandia, la más grande del mundo, es casi 238 veces más grande que la de Puerto Rico, pero tiene aproxi-madamente 68 veces menos habitantes. Si la superficie de Groen-landia es de 2 166 086 km2 y tiene 57 100 habitantes (Enciclopedia Británica, 2005), ¿cuál es la superficie de las islas de Puerto Rico y cuántos habitantes tiene aproximadamente?

Si se conocen las medidas de un objeto y se quieren determinar las de una reproducción a escala de éste, se multiplican las medidas del objeto original por el factor de escala. Observa:

A × E = A’ Medidas Escala Medidas

originales utilizada aescala

Si se desconoce la medida de una de las dimensiones del objeto original (esto es,

el valor de A), pero se conocen el factor de escala por ejemplo, 32

y la medida

de esa dimensión en la reproducción a escala (por ejemplo, 15), se tendría que:

A × 32

= 15

El valor de A se halla:

a) Dividiendo la dimensión de la reproducción a escala entre el factor de escala:

A = 15 ÷ 32

b) Que es equivalente a multiplicar la dimensión de la reproducción a escala por el inverso del factor de escala:

A = 15 × 23

= 10

Inverso del factor de escala (o de proporcionalidad)

Tema 7

8.1. Problemas y más problemas

60

8Proporcionalidad múltiple

Hasta ahora has resuelto problemas de proporcio-nalidad en los que hay dos conjuntos de cantidades relacionadas, como el número de ventas realizadas por un vendedor y el salario que obtiene. En esta se-sión resolverás problemas de proporcionalidad en los que hay tres cantidades relacionadas. Por ejemplo,

tú sabes que el área de un rectángulo es proporcional a cada una de sus dimensiones. ¿Qué sucede con el área de un rectángulo si se duplica la medida del largo y se triplica el ancho?

En la familia de Juan, sólo los niños toman leche. Cada 3 días compran 3 litros para 2 niños. En unas vacaciones reciben la visita de 3 primos pe-queños por una semana. ¿Cuántos litros de leche se comprarán en la sema-na para los 5 niños si se mantienen los hábitos de consumo en la familia?


a) ¿Cuántos litros de leche supones que van a comprarse? ¿Más de 10 litros? ¿Más de 20? ¿En qué basas tu suposición? Coméntala con un compañero o compañera. Si hay diferencias de opinión, ¿qué argu-mentos darías para que el o ella se convenciera?

b) En la siguiente tabla se registran las tres cantidades que intervienen en el problema. ¿Cómo puedes utilizarla para resolver el problema? Reúnete con un compañero o compañera y juntos traten de encon-trar la solución.

Cantidad de leche Número de niños Número de días

c) ¿Qué cantidad de leche consumen 5 niños en un día? ¿Qué cantidad de leche consume un niño en 5 días? ¿Se requiere la misma cantidad de le-che en ambos casos o las cantidades son distintas? ¿Por qué?

Bloque 1


61

1. En una granja avícola, cada 3 gallinas producen, en promedio, 5 huevos en 2 días.

a) ¿Cuántos producirán 1500 gallinas en ese mismo tiempo?b) ¿Cuántos huevos producirán 1500 gallinas en un mes? c) Utiliza la siguiente tabla para registrar los datos y los resultados

que obtuviste.

Número de gallinas Cantidad de huevos Tiempo en días

2. José tiene 50 cubos de madera del mismo tamaño. Con algunos ellos formó un prisma rectangular como el que se muestra en la figura de la derecha

. a) ¿Cuántos cubos forman el cubo (Resultado 1.) b) ¿Cuántos cubos requiere si va a duplicar la dimensión a y a con-

servar las dimensiones b y c? (Resultado 2.) c) ¿Cuántos cubos necesitaría si quisiera triplicar la dimensión b y

conservar las dimensiones a y c? (Resultado 3.) d) ¿Cuántos cubos necesita si va a duplicar la dimensión a, triplicar

la b y conservar la c? (Resultado 4.) e) ¿Cuántos cubos necesita si quiere duplicar las dimensiones a, b y

c? (Resultado 5.) f ) ¿Y si quiere triplicarlas? (Resultado 6.) ¿Podrá José cons-

truir este prisma? ¿Por qué? Comparte tus argumentos con un compañero o compañera.

g) En la tabla siguiente registra los seis resultados que obtuviste en esta actividad.

a

b

c

ResultadosDimensión

aDimensión

bDimensión

cNúmero de

cubos

1 1 3 2

2

3

4

5

6

Tema 8

62

h) ¿En cuál o cuáles de los casos anteriores José pudo haber cons-truido el prisma? ¿Por qué? Comparte tus argumentos con un compañero o compañera.

3. ✓ Las dimensiones de un prisma rectangular son p, q y r.

a) ¿Con qué expresión algebraica se representa su volumen?b) Si se duplicaran las dimensiones del prisma, ¿con qué expresión

algebraica se representaría su volumen? c) Si las dimensiones p, q y r del prisma se multiplican, respectiva-

mente, por 13

, 2 y 3, ¿aumenta o disminuye su volumen? ¿Por qué?

4. ✓ Un paquete de 200 hojas, con las medidas que se indican en la figura, pesa 2250 gramos. Considera que todas las hojas tienen el mismo peso.

2.1 cm

p =

28 c

m

q = 21.5 cm

a) José forma un paquete de 1500 hojas, y reduce la dimensión p a 34

. ¿Cuánto pesa este nuevo paquete?

b) Luego toma 5000 hojas y hace los siguientes cortes: reduce la di-

mensión p a la mitad y la dimensión q a 34

. ¿Cuánto pesará este nuevo paquete?

Los problemas de proporcionalidad múltiple contienen al menos tres magnitudes relacionadas. Por ejemplo, en el siguiente problema se relacionan tres magnitudes: el área y

las medidas del largo y el ancho de un rectángulo.El área de una superficie rectangular que mide 20 m de largo y 15 m de ancho es

300 m2. ¿Qué cambio se da en el área si el largo se duplica y el ancho se reduce a la tercera parte?

La resolución de este tipo de problemas se facilita con el uso de tablas como la de la derecha:

Como puedes observar, al duplicar el largo, el área también se duplica, o al reducir el ancho a la tercera parte, el área se reduce en la misma

proporción. Por tanto, el área final se reduce a 23

de la inicial 1 22 × =

3 3.

Largo Ancho Área

20 m 15 m 300 m2

40 m 15 m 600 m2

40 m 5 m 200 m2

Bloque 1

9.1. Problemas de conteo.

¿Cuánto dinero es?

63

En México circulan, entre otras, monedas de 1, 2, 5, 10 y 20 pesos. Una persona tiene en su bolsillo cinco de estas monedas, todas de distinto valor. Si saca dos monedas al azar, ¿qué cantidades de dinero puede formar?


a) ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que puede formarse con dos monedas? ¿Cuál es la mayor cantidad?

b) ¿Cuántas cantidades de dinero diferentes pueden formarse con dos de las cinco monedas? ¿De qué manera puedes hacer una búsqueda de esas formas de modo que no te falte ninguna?

c) ¿Puedes usar un diagrama de árbol para realizar el conteo más fácilmente y presentar los resultados de una manera organizada?

d) ¿Puedes usar una tabla de doble entrada?e) ¿Qué procedimiento te parece más adecuado para resolver el pro-

blema? Comenta tus respuestas con un compañero o compañera, y luego con el resto del grupo.

f ) En la siguiente figura, une con segmentos cada moneda con cada una de las otras. ¿Cuántos segmentos resultan? ¿Cuántos pares de monedas se forman? Compara tus resultados con los de un compañero o compañera.

9Problemas de conteo

Con frecuencia nos enfrentamos a situaciones en las que es necesario responder a las pregun-tas: “¿De cuántas formas…? ¿Cuál será la más conveniente?” Así ocurre, por ejemplo, con un agrónomo que debe distribuir la siembra de cul-tivos en varios campos, o con el director de una

escuela al preparar el horario de las clases. En las siguientes dos sesiones aprenderás a resolver problemas en los que se plantea la pregunta: “¿De cuántas formas…?”.

Te sugerimos leer:

“Número de caminos posibles”, en Perelman, Y., Matemáticas recreativas, pp. 87-88.

Diagrama de árbol. Es una representación gráfica que muestra todas las posibilidades de elección o de resultados de un problema de conteo o experimento.

Tabla de doble entrada. Es aquella en la que se representa una operación o relación entre dos variables. En el encabezado de las columnas se anotan los posibles valores de una variable, y en el de los renglones se escriben los valores de la otra variable. En el resto de las celdas se anota el resultado de la relación de los dos valores que se cruzan (renglón y columna).


Tema 9

64

1. Imagina que tienes las cinco monedas del problema inicial: $ 1, $ 2, $ 5, $ 10 y $ 20.

a) ¿Cuántas cantidades de dinero diferentes puedes formar al sacar tres monedas? Reúnete con un compañero o compañera y bus-quen un procedimiento adecuado para resolver este problema.

b) ¿Se forman más cantidades de dinero diferentes con tres monedas que con dos monedas? ¿Por qué? Explica a tu compañero o compa-ñera las razones en que basas tu respuesta, y después, al grupo.

2. Ahora, con las mismas cinco monedas:

a) ¿Cuántas sumas de dinero diferentes puedes formar con cuatro de las monedas?

b) Con las cinco monedas se obtiene un total de $ 38. ¿Qué cantida-des de dinero se pueden hacer con cuatro monedas?

3. ✓ Los números telefónicos de la Ciudad de México son de ocho dígi-tos, el primero de los cuales tiene que ser 5 y el segundo no puede ser 0, 1 ni 9. Considera que cada secuencia de ocho dígitos puede leerse como si fuera un número, para contestar las siguientes preguntas:

a) Si el 2 es el segundo dígito, ¿cuál es el mayor número telefónico que puede formarse? ¿Y el menor?

5 2 __ __ __ __ __ __

b) ¿Cuántos números telefónicos hay si 3 es el segundo dígito? c) Si 4 es el segundo dígito, ¿cuántos números telefónicos pueden

formarse?d) En total, ¿cuántos números telefónicos pueden formarse, si el

segundo dígito no es 0, 1 ni 9?e) ¿Qué procedimiento utilizaste para contestar los incisos b y c? f ) ¿Qué diferencia encuentras entre este problema y los de las acti-

vidades 1 y 2?

4. ✓ En una botella hay cuatro canicas numeradas: una con el número 1, otra con el 2, y las dos restantes con el 3. Se agita la botella y se voltea para que caigan las canicas en el cuello. Un juego consiste en adivinar el orden en que caerán las canicas. Ejemplo: 2, 1, 3, 3.

a) ¿De cuántas formas distintas pueden caer?b) ¿Qué procedimiento utilizaste para resolver este problema? En

tu cuaderno, explica por escrito tu procedimiento.c) ¿Con qué situaciones tiene más semejanzas este problema: con

las de la actividad 3 o con las de las actividades 1 y 2? ¿Cuáles son esas semejanzas?

Bloque 1

65

9.2. Problemas de conteo. ¿En

dónde quedó cada estampa?

Luis tiene guardadas, en los bolsillos del pantalón, dos estampas de sus dos futbolistas favoritos. Cada estampa está en un bolsillo distinto. Si su pantalón tiene cuatro bolsillos (dos delanteros y dos traseros), ¿de cuántas maneras distintas pudo haberlas distribuido?


a) La siguiente ilustración muestra una manera en que Luis pudo ha-ber distribuido sus estampas: la estampa 1 (E1) está en el bolsillo delantero derecho (DD), y la estampa 2 (E2), en el bolsillo trasero izquierdo (TI). Encuentra otras formas de distribuirlas. Compara tus resultados con los de un compañero o compañera.

b) Si no las guardó en los bolsillos delanteros, ¿dónde podrían estar las estampas?

c) Si no las guardó en los bolsillos traseros, ¿dónde pudo haberlas guar-dado?

d) ¿Y si no las guardó en ningún bolsillo derecho o en ningún izquier-do? ¿De cuántas formas pudo haberlas distribuido?

e) En la siguiente tabla se muestran los cuatro posibles lugares en que Luis pudo haber puesto cada estampa.

DD DI TD TI

f ) Copia la tabla en tu cuaderno y extiéndela hacia abajo para que pue-das registrar todas las formas posibles en que Luis pudo haber dis-tribuido sus dos estampas.

g) ¿Qué procedimiento utilizaste para buscar de manera ordenada to-das las posibilidades de guardar las estampas? ¿Qué procedimiento utilizó tu compañero o compañera? ¿Cuál de los dos facilita más la realización del conteo?

Recuerda que es conveniente utilizar códigos para distinguir los diferentes resultados.

Así, en el problema anterior podemos ver que DD-E1 y DI-E2 representan una solución del problema: la estampa 1 en el bolsillo delantero derecho y la estampa 2 en el bolsillo delantero izquierdo.

Tema 9


66

1. Ahora Luis tiene tres estampas y guarda cada una de ellas en un bol-sillo de su pantalón. ¿De cuántas maneras puede guardarlas?

a) Luis trae una estampa en cada bolsillo del pantalón, excepto en el bolsillo delantero derecho. ¿De cuántas maneras pueden estar guardadas las tres estampas?

b) Supón que su único bolsillo libre es el delantero izquierdo. ¿Cómo podrían estar distribuidas las tres estampas?

c) Copia la tabla en tu cuaderno y extiéndela hacia abajo de modo que puedas registrar todas las formas posibles en que Luis pudo haber distribuido sus tres estampas.

d) ¿Encontraste un procedimiento sencillo para buscar de modo sistemático todas las posibilidades de guardar las estampas? Compártelo con tu compañero o compañera y pregúntale por el suyo. ¿Cuál de los dos facilita más la realización del conteo?

2. ✓ Luis compró una billetera con tres portarretratos para proteger sus estampas. ¿De cuántas maneras puede colocar las tres estampas en la cartera, una al lado de la otra, formando una hilera? Un ejem-plo de colocación es el siguiente: E3-E1-E2.

DD DI TD TI

3. ✓ Pedro tiene cuatro estampas y una billetera con cuatro portarre-tratos.

a) ¿Cómo podría designar cada estampa para distinguirla de las otras?

b) ¿De cuántas maneras podría colocar sus estampas en hilera?c) ¿Qué procedimiento utilizaste para buscar de manera ordenada

todas las posibilidades de guardar las estampas?d) ¿Qué semejanzas tiene este procedimiento con el que empleaste

para realizar la actividad 2?

Bloque 1

67

4. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse cuatro dinosaurios di-ferentes de plástico entre dos niños, de modo que cada uno reciba dos dinosaurios? Supongamos que los niños son Alberto y Bea-triz, y los juguetes se etiquetan como D1, D2, D3 y D4.

D1

D2

D3

D4

a) ¿Qué recurso puedes utilizar para buscar ordenadamente todas las posibilidades de hacer el reparto de dinosaurios entre Alberto y Beatriz? ¿Cuántas posibilidades resultaron? Coméntalo con un compañero o compañera.

b) Si a Alberto le toca el dinosaurio D1, ¿qué otro le puede tocar? En este caso, ¿qué dinosaurios le tocarían a Beatriz?

c) Si a Alberto le dan el dinosaurio D2, ¿qué otro le podrían dar? Ahora, ¿qué dinosaurios recibirá Beatriz?

d) Si uno de los dinosaurios que recibe Alberto es el D3, ¿qué otro le podrían dar? ¿Qué dinosaurios le tocarían a Beatriz en este caso?

e) Copia la tabla de la derecha en tu cuaderno y extiéndela hacia abajo de modo que puedas registrar todas las formas posibles en hacer el reparto de los cuatro dinosaurios entre los dos niños.

5. ✓ Supón que el reparto de los cuatro dinosaurios puede hacerse de manera que a cada uno de los dos niños le pueden tocar cuatro, tres, dos, uno o ningún dinosaurio. ¿De cuántas maneras puede efectuar-se esta distribución?

a) Si a Alberto le toca sólo un dinosaurio, ¿de cuántas maneras po-dría hacerse el reparto?

b) Si a Beatriz le toca un solo dinosaurio, ¿de cuántas formas podría realizarse el reparto?

c) Si a cada uno le tocan dos dinosaurios, ¿cuántas maneras habrá de hacer el reparto?

d) Y si los cuatro dinosaurios se los dan a uno de los niños, ¿de cuántas maneras se podrá hacer el reparto?

e) Elabora en tu cuaderno una tabla para mostrar todas las formas en que podrían repartirse los cuatro dinosaurios entre los dos niños. Compara tus resultados con los de un compañero o compañera.

Alberto Beatriz

Tema 9

68

6. Una familia de cuatro miembros se aloja en dos habitaciones dobles de un hotel. ¿De cuántas maneras pueden hospedarse?

a) ¿Cómo designarías a cada miembro de la familia para distinguir-lo de otro? ¿Cómo designarías cada habitación?

b) ¿Qué procedimiento utilizaste para resolver este problema?c) En tu cuaderno, elabora una tabla para presentar los resultados.d) ¿Qué semejanzas tiene este procedimiento con el que empleaste

para realizar las actividades 4 y 5?

Un tipo de problema de conteo consiste en encontrar todas las formas en que pueden colocarse algunos objetos en algunos recipientes.

Veamos un ejemplo: llevé dos cartas al correo en donde hay tres buzones. Si en cada buzón puedo depositar, como máximo, una carta, ¿de cuántas maneras puedo depositarlas?

Para realizar el conteo de manera sistemática, conviene utilizar una tabla como la siguiente, en la que cada celda representa el buzón (B1, B2 o B3) en que se deposita una de las cartas (C1 o C2):

En otros problemas de conteo se trata de encontrar todas las formas en que pueden repartirse algunos objetos entre varios receptores, de modo que a cada uno de éstos le pueden tocar todos, algunos o ninguno de los objetos.

Por ejemplo: a Andrea y Raúl, su papá les trajo de regalo tres banderines (de Argentina, Brasil y Uruguay).

El reparto lo hará de modo que a Andrea le toquen dos banderines y uno a Raúl. ¿De cuántas maneras puede hacerse el reparto?

Si nos centramos en Raúl, al cual le toca sólo un banderín, que puede ser de Argentina (A), Brasil (B) o Uruguay (U); a Andrea le tocan los restantes. Los resultados son los que se presentan en la siguiente tabla.

Raúl

A

Andrea

B, U

B A, U

U A, B

B1

C1

C1

C2

C2

B2

C2

C1

C1

C2

B3

C2

C1

C2

C1

Bloque 1

10.1. Histogramas

69

10Gráficas estadísticas

Las representaciones gráficas ayudan a interpretar y comunicar información, sobre todo cuando ésta comprende un gran número de datos. En las siguientes cuatro sesiones, aprenderás a construir dos tipos de gráficas: histogramas y polígonos de frecuencias; aprenderás también a interpretar

y comunicar información mediante estas gráficas.

La Ciudad de México es una de las más contaminadas del mundo. Por esta razón, las autoridades locales han desarrollado un Sistema de Monitoreo Atmosférico (SIMAT) que reporta los niveles de los princi-pales contaminantes.

El ozono es uno de los contaminantes que se monitorea todos los días del año. La gráfica siguiente muestra los niveles de concentración máxima diaria de ozono durante el año 2005.

Recuerda que un intervalo puede ser representado de varias maneras, por ejemplo:

• 0.111–0.148• de 0.111 a 0.148• 0.111 a 0.148

¿Cuántos días la concentración máxima de ozono fue menor a 0.037 partes por millón (ppm)?

La norma médica dice que la concentración de ozono no debe ser mayor que 0.110 ppm. ¿Qué es más frecuente encontrar: una concentra-ción menor a 0.110 ppm o una mayor?

Fuente: Bases de datos del año 2005 de la Red Automática de Monitoreo Atmosférico (RAMA) del Sistema de Monitoreo Atmosférico (SIMAT).0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0.000-0.036 0.037-0.073 0.074-0.110 0.111-0.147 0.148-0.184 0.185-0.221 0.222-0.258 0.259-0.295

Distribución de las concentraciones máximas diarias de ozono (O3), 2005.

Concentraciones de ozono en partes por millón (ppm)

Nú

mer

o d

e d

ías

Tema 10

70

Recuerda que la frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un dato y que la frecuencia relativa de un valor observado se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de ese valor entre el número de observaciones realizadas.

El porcentaje de veces que aparece un valor observado se obtiene multiplicando su frecuencia relativa por 100.


a) ¿Cuál es el título de la gráfica anterior? ¿Qué representa cada núme-ro del eje vertical de la gráfica?

b) Observa cómo está rotulado el eje horizontal. ¿Qué representan los rótulos 0.000-0.036, 0.037-0.073, 0.074-0.110, etc.?

c) La primera barra corresponde al intervalo 0.000-0.036. ¿Qué inter-pretación darías al 0 en este intervalo?

d) Imagina que unes dos barras de la gráfica y formas con ellas una sola barra. ¿Cuál será el rótulo del nuevo intervalo? ¿Qué altura tendría la nueva barra?

e) La gráfica se refiere a las concentraciones máximas diarias regis-tradas en los 365 días del año 2005. ¿Cuántos días el nivel de con-centración de ozono fue mayor a 0.110 ppm? ¿Y cuántos días fue menor a 0.110 ppm?

f ) En equipo, completen la siguiente tabla a partir de la información que presenta la gráfica.

Concentraciones máximas diarias de ozono en ppm

(Intervalos)

Números de días

(Frecuencia)

Porcentajede

días

0.37-0.073

0.111-0.148

Totales 100 %

g) ¿En qué porcentaje de días se tuvieron concentraciones máximas diarias entre 0.074 y 0.110 ppm?

h) ¿En qué porcentaje de días, los niveles de concentraciones máximas diarias superaron el valor límite de 0.110 ppm?

i) A partir de la información que presenta la gráfica y de la tabla del inciso f ), completen el siguiente párrafo (utilicen la opción correcta en cada caso):

Los niveles de concentración de ozono fueron durante altos / bajos

2005, debido a que en días, es decir, el % de los 365 / 221 / 144

días, se registraron concentraciones máximas diarias superiores a 0.110 ppm.


13 añosa 13 años11 meses



0

1

2

3

4

5

6

7

Edades

Edades de los jugadores de mi equipo de futbol

Nú

mer

o d

e ju

gad

ore

s

71

1. En mi colonia formamos un equipo de futbol.

a) Completa la tabla y el histograma.

Edades Número de jugadores

13 años a 13 años 11 meses

14 años a 14 años 11 meses 5

3

16 años a 16 años 11 meses 4

Totales

b) De acuerdo con la información de la tabla y la gráfica, completa en tu cuaderno el siguiente párrafo escribiendo la opción correcta.

En el equipo hay y menos de 20 jugadores / 20 jugadores / más de 20 jugadores

la edad que es más frecuente que tengan los jugadores es de

14 años a 14 años 11 meses /17 años a 17 años 11 meses

c) Compara la información que presentan la gráfica y la tabla de la distribución de las concentraciones máximas diarias de ozono, y la tabla y la gráfica de las edades de los jugadores del equipo de futbol, a partir de los siguientes aspectos.

• ¿Qué tipo de números se utilizan en el eje horizontal?• En cada situación, ¿de qué tamaño son los intervalos?• ¿Qué datos se presentan en el eje vertical y qué escala se utiliza?

Tema 10

72

10.2. Polígonos de

frecuencias

Muchos mexicanos abandonan el país en busca de mejores condi-ciones de vida; su destino más frecuente es Estados Unidos de América. En el periodo 1995-2000, el número de mexicanos que emigraron hacia ese país fue de 1 500 321, según los datos del INEGI en Mujeres y hom-bres en México 2005.

La siguiente gráfica presenta la composición por edad de ese grupo de emigrantes.

Con la información que te proporciona la gráfica, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es posible responder? Señálala escribiendo una “X” en el paréntesis.

( ) La mayoría de los migrantes mexicanos tienen 25 años o más.( ) Aproximadamente, el 50 % de los migrantes mexicanos tienen

entre 15 y 24 años de edad.( ) Solamente el 5 % de los migrantes mexicanos tienen 50 años

de edad o más.( ) La mayoría de los migrantes son hombres de entre 20 y 14 años

de edad.

0-14 50 o más

Número total de mexicanos que emigraron: 1 500 321

45-4940-4435-3930-3425-2920-2415-19

Grupos de edad (en años)

Porcentaje de mexicanos por grupo de edad que emigró a EUA de 1995 a 2000.

0

5

25

30

20

15

10

Po

rcen

taje

de

mex

ican

os

del

to

tal

qu

e em

igra

ron

Bloque 1

73

Edades, en años Porcentajes (%)

5

20-24

25-29

30-34

6

3

50 o más

Las principales causas por las que emigran los mexicanos son labo-rales (cambio o búsqueda de trabajo), familiares (reunirse con la fami-lia, casarse o unirse) y cuestiones de estudios.

d) ¿Cuál crees que sea la causa principal por la que emigraron los mexi-canos menores de 15 años de edad? ¿Y los mayores de 50?

e) ¿Cuál crees que sea la causa más importante por la que emigra-ron los de 15 a 29 años de edad? Comenta tus respuestas primero con un compañero o compañera y después con todo el grupo.

Investiga si en tu grupo hay personas que tengan familiares o cono-cidos que hayan emigrado a EUA.

f ) ¿En qué intervalo de edad están? Escribe cuáles son las causas por las que emigraron.

g) Lee la sección No olvides que…, al final del tema (pág. 80). Después, traza el histograma sobre el polígono de frecuencias que correspon-de a la gráfica de esta lección. Describe los cambios en el compor-tamiento del fenómeno de emigración de mexicanos a Estados Uni-dos. Coméntalo con el grupo.


a) ¿Entre qué edades emigraron a Estados Unidos los mexicanos, prin-cipalmente? Justifica tu respuesta.

b) ¿A partir de qué intervalo de edad empieza a decaer la emigración? ¿Por qué crees que suceda esto?

c) Utiliza los datos de la gráfica para completar la siguiente tabla.

Recuerda que la suma de las frecuencias absolutas es igual al número de observaciones realizadas y que la suma de las frecuencias relativas es igual (o aproximadamente igual) a 1. Recuerda también que la suma de los porcentajes es igual (o aproximadamente igual) a 100.

Tema 10


74

1. La siguiente tabla muestra las velocidades de conductores a quienes infraccionó la policía en una ciudad. Estos conductores circulaban en una zona con límite de velocidad de 50 km/h.

Velocidades en km/h

67-72 73-78 79-84 85-90 90-95

Frecuencia 26 13 6 4 1

Duración de las baterías de automóvil, en años

2.23.42.53.34.74.11.62.6

4.33.13.83.53.13.43.73.1

3.24.53.33.64.42.63.23.7

3.82.93.23.93.73.13.33.5

4.13.03.04.73.91.94.23.4

Duración de las baterías, en años Número de baterías

Intervalo Punto medio Frecuencia

1.5-1.9 1.7

2.0-2.4 2.2

2.5-2.9 2.7

3.0-3.4 3.2

3.5-3.9 3.7

4.0-4.4 4.2

4.5-4.9 4.7

a) Elabora en tu cuaderno el polígono de frecuencias que corres-ponde a los datos de la tabla anterior.

b) Describe esta situación con respecto al límite de velocidad esta-blecido por el Departamento de Tránsito.

c) En esta situación, ¿a qué corresponde la frecuencia?

2. ✓ Los datos de la siguiente tabla representan las duraciones de 40 baterías de carro similares.

a) Completa la siguiente tabla en que se han agrupado los datos en intervalos.

Bloque 1

75

0

0-14 50 o más45-4940-4435-3930-3425-2920-2415-19

5

25

20

15

10

Edades (en años)

Emigración de mexicanos a Estados Unidos (1995-2000)

Po

rcen

taje

VaronesMujeres

b) Elabora en tu cuaderno el polígono de frecuencias que corres-ponde a la distribución de frecuencias.

c) Si las baterías estaban garantizadas para durar 3 años. ¿Cuán-tas baterías duraron 3 años o más? ¿Qué porcentaje repre-sentan?

10.3. Interpretación de

polígonos de frecuencias

En el periodo 1995-2000, el volumen de mexicanos que emigraron a Estados Unidos fue de 1 500 321 personas, entre varones y mujeres, según lo publica el INEGI en Mujeres y hombres en México 2005.

Los siguientes polígonos de frecuencias muestran la distribución por edad de estas dos poblaciones.

Analiza las gráficas y haz un listado de aspectos que distingan una población de la otra y que te parezcan importantes.

¿Cuál crees que sea la razón por la que se haya considerado en un solo intervalo el grupo de edad 0-14?


a) ¿La mayoría de los emigrantes son hombres o mujeres? ¿En qué razo-nes basas tu respuesta? Comenta estas razones con un compañero o compañera.

Tema 10

76

b) ¿En qué grupo de edad es mayor la emigración de mujeres? ¿Qué porcentaje alcanza?

c) ¿Qué porcentaje de emigrantes son mujeres de 15 a 29 años de edad? Compara este porcentaje con el de varones del mismo rango de edades. ¿El número de mujeres alcanza la tercera parte del de los varones?

d) ¿Qué porcentaje del total de emigrantes son varones? ¿Qué porcentaje son mujeres?

e) ¿Qué porcentaje de emigrantes son varones de 15 a 29 años de edad? ¿Qué parte del total de emigrantes alcanza este grupo de varones?

f ) Utiliza los datos que presenta el polígono de frecuencias para completar la siguiente tabla.

g) ¿Qué porcentaje de mujeres de 22 años emigró a Estados Unidos? ¿Cuál crees que sea la principal razón por la que emigraron?

Del total de emigrantes (1 500 321), el 19 % son varones y el 6 % son mujeres de 15-19 años de edad.

h) ¿Cuántos varones y cuántas mujeres de ese rango de edades emi-graron en el periodo 1995-2000?

i) Elabora en tu cuaderno una tabla en la que presentes el nú-mero de mujeres y de varones que corresponde a cada porcentaje por intervalo de edad. Compara tus resultados con los del grupo.

j) Si se desea hacer un estudio o investigación sobre la población que emigra a EUA, a partir de la información de esta lección, ¿qué otros datos podrían analizarse?

Te sugerimos tres:

• Tipo de trabajo en que se ocupan.• En qué estados prefieren trabajar.• De qué estados de nuestro país se emigra más.

En equipo, propongan otros más.

Grupo deedad

Porcentaje de mujeres

Porcentaje de hombres

Porcentaje de emigrantes

0-14

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50 o más

Total

Bloque 1


77

Número de águilas con moneda de $ 2

Número de águilas

Número de series(frecuencia)

0

1

2

3

4

5

Total

Número de águilas con moneda de $ 1

Número de águilas

Número de series(frecuencia)

0

1

2

3

4

5

Total

1. Lancé 100 veces al aire una moneda de $ 1. Por cada serie de 5 lan-zamientos, conté el número de águilas que cayeron. Luego lancé 100 veces al aire una moneda de $ 2 y también conté el número de águi-las que cayeron en cada serie de 5 lanzamientos.

El número de águilas que cayeron sucesivamente con una y otra moneda fueron los siguientes:

• Moneda de $ 1: 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 4, 4, 2, 2, 2• Moneda de $ 2: 2, 4, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 3, 3

a) Completa las siguientes tablas.

Tema 10

78

b) En un mismo sistema de ejes, dibuja los polígonos de frecuencia de cada tabla.

c) ¿Encuentras algunas diferencias notables entre los resultados que se obtuvieron con una y otra moneda?

d) Si elaboras el polígono de frecuencias relativas en lugar del polí-gono de las frecuencias absolutas, ¿qué cambios se darán entre una gráfica y otra? ¿Qué escala se utiliza en el eje vertical para cada gráfica?

10.4. Actividades sobre

gráficas estadísticas

1. En equipo, lean la sección No olvides que…, al final del tema (pág. 80). Luego, analicen cuidadosamente las siguientes situa-ciones. Determinen qué tipo de gráfica (circular, de barras, his-tograma o polígono de frecuencias) es más conveniente utilizar para presentar los datos que corresponden a cada situación. En cada caso, justifiquen su respuesta. Comparen su trabajo con el de otro equipo.

a) Calificaciones en un examen. ¿Cuántos obtuvieron entre 60 y 80 puntos?

Ocupación Profecional Técnico Servicios Otros

Frecuencia 150 200 90 50

Deporte Futbol Basquetbol Beisbol Frontenis Total

Frecuencias 70 50 40 40

b) Ocupaciones de los vecinos de un barrio de la localidad. ¿Qué parte del total son profesionistas?

78 100 90 80 84 58 83 84 78 98

100 70 75 97 85 80 68 78 76 100

c) Preferencias deportivas de un grupo de alumnos de segundo gra-do. ¿Qué parte del total de alumnos prefiere el futbol?

Bloque 1

79

Salarios Número de empleados

7000-7999 6

8000-8999 8

9000-9999 12

10 000-10 999 14

11 000-11 999 7

12 000-12-999 3

Total

d) Salarios quincenales en pesos de los empleados de una compañía. ¿Cuántos ganan menos de $10 000? ¿Cuántos ganan $11 000 o más?

2. ✓ En una secundaria se realizó una campaña de salud. Una de las acti-vidades fue registrar el peso de los alumnos. Para mostrar los resultados se utilizó el siguiente polígono de frecuencias.

a) ¿Cuántos grupos de segundo grado hay en esa secundaria?

Tema 10

80

Un polígono de frecuencias es una gráfica de línea que se obtiene uniendo con segmentos los puntos medios de los techos de las barras de un histograma o gráfica de barras.

Los puntos corresponden a las frecuencias (también pueden ser frecuencias relativas o porcentajes).

Cuando se desea presentar un conjunto de datos mediante una gráfica estadística, debe decidirse cuál es la más adecuada.

Veamos:

• Un histograma, un polígono de frecuencias o ambas pueden ser más convenientes si queremos comparar visualmente la frecuencia con que ocurre un dato o grupo de datos cuantitativos.

• Un polígono de frecuencias permite representar y comparar las frecuencias de dos o más conjuntos de datos cuantitativos o cualitativos.

• Una gráfica de barras es recomendable cuando queremos comparar visualmente la frecuencia con que ocurre una cualidad o un atributo.

• Una gráfica circular puede ser más adecuada si vamos a comparar visualmente las distintas partes de un todo. El círculo completo representa el todo (el 100 % de los datos), y cada sector circular, una parte de los datos (que pueden ser cualitativos o cuantitativos).

b) ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo? c) ¿Qué representa cada valor del eje horizontal? ¿Y del eje vertical? d) ¿Cuál es el peso de mayor frecuencia en el grupo A? ¿Y en el B?

3. Investiga cuál es el peso promedio de un adolescente (hombre y mujer) de 13 años de edad.

a) De acuerdo con el dato que investigaste, ¿cuántos alumnos del gru-po A y B están por debajo de ese peso?

b) ¿Y cuántos están por arriba del peso promedio?

4. Obtén el peso de cada uno de tus compañeros de grupo y presenta los resultados sobre la gráfica anterior.

a) ¿Cuál es el intervalo de peso con mayor frecuencia en tu grupo? b) ¿Es menor, mayor o igual al de los grupos A y B?

BLOQUE2

Aprendizajes esperados

Que los alumnos:

1. Evalúen,concalculadoraosinella,

expresionesnuméricasconparéntesis

yexpresionesalgebraicas,dadoslos

valoresdelasliterales.

2.Resuelvanproblemasqueimpliquen

operaroexpresarresultadosmediante

expresionesalgebraicas.

3.Anticipendiferentesvistasdeuncuerpo

geométrico.

4.Resuelvanproblemasenlosquesea

necesariocalcularcualquieradelos

términosdelasfórmulasparaobtener

elvolumendeprismasypirámides

rectos.Establezcanrelacionesde

variaciónentredichostérminos.

5.Resuelvanproblemasqueimplican

compararoigualardosomásrazones.

6.Resuelvanproblemasqueimplican

calculareinterpretarlasmedidasde

tendenciacentral.

81

P Proyecto

¿Desde cuándo se conocen los poliedros regulares?

No se sabe exactamente en qué época llegaron a conocerse los cinco poliedros regulares convexos. Platón (428-347 a. C.) los menciona en uno de sus Diálogos (Timeo), razón por la cual se conocen también como sólidos platónicos. Para él, los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares. Considera que las figuras de los elementos fuego, tierra, agua y aire son los cuatro poliedros regulares. La tierra correspondía al cubo, la forma más sólida y menos móvil. El fuego, al tetraedro, pues es la más aguda y más móvil. El aire y el agua correspondían al octaedro y al icosaedro, respectivamente. Pero existe también un quinto elemento: el dodecaedro, del que Platón decía simplemente: “Quedaba sólo una última combinación: Dios la ha utilizado para el todo, cuando dibujó el orden final.”

BLOQUE

2

Elaboración de una maqueta de un sitio representativo de tu localidad

Elige una construcción que tenga la forma de un cuerpo geométrico, como el palacio de gobierno, el edificio o torre de mayor altura, una pirámide, etc. Puedes utilizar los materiales que consideres convenientes.

Tetraedro4 caras

Octaedro8 caras

Hexaedro (cubo)6 caras

Dodecaedro12 caras

Icosaedro20 caras Desarrollo plano del icosaedro

82

11.1. ¿En qué orden se realizan

las operaciones?

Bloque 2

2 2

23

2

4

1

1

83

La siguiente figura está formada por cuatro regiones. Para hallar el área total, deben encontrarse las áreas de esas cuatro regiones y luego su-marlas. La expresión que permite hallar el área total es 2 + 4 × 2 + 22 + 3. ¿En qué orden deben realizarse las operaciones de esta expresión arit- mética?

11Jerarquía de las operaciones

Cuando una expresión numérica contiene más de una operación, como es el caso de 3 + 5 × 6, con frecuencia queda la duda de cómo realizar el cálculo. En este caso, ¿el resultado es 33 o 48? ¿Qué operación debe realizarse primero: 3 + 5 o 5 × 6? En Matemáticas existe una conven-

ción acerca del orden en que deben efectuarse las operacio-nes. En las siguientes dos sesiones conocerás esta convención y la aplicarás al realizar diversos cálculos.


a) ¿Qué figuras geométricas forman la figura anterior?b) ¿Cómo se calcula el área de cada una?c) Una manera de visualizar el área de estas figuras consiste en divi-

dir cada región en cuadrados–unidad. Cuenta los cuadrados–unidad que forman cada región y halla el área total de la figura. ¿Cuál es el área total?

d) En la expresión para calcular el área de toda la figura (2 + 4 × 2 + 22 + 3) hay una potenciación, una multiplicación y una suma. ¿En qué or-den deben realizarse estas operaciones para resolver el problema?

e) ¿Coincide el resultado de estas operaciones con el que encontraste mediante el procedimiento de conteo?

Te sugerimos leer:

El capítulo VII: “El caso de los cuatro cuatros”, en Tahan, M., El hombre que calculaba, pp. 35-38.

Tema 11


2

2

34

2

3

2

23

84

1. Piensa un número que esté entre 1 y 100.

• Problema A: si le sumas 5 y el resultado lo multiplicas por 2, ¿cuánto te da?

• Problema B: si lo multiplicas por 2 y al resultado le sumas 5, ¿cuán-to te da?

a) Si el número pensado es el 15, ¿cuál es el resultado del proble-ma A? ¿Cuál es el resultado del problema B?

b) ¿Son iguales o diferentes estos resultados?c) Si el número pensado es el 20, ¿a cuál de los dos problemas le

corresponde la expresión numérica (20 + 5) × 2? ¿Y a cuál, la expresión 20 × 2 + 5? ¿En qué razones basas tu respuesta? Co-méntalas con un compañero o compañera.

2. ✓ Observa las siguientes figuras:

a) ¿Con cuál de las siguientes expresiones numéricas se calcula el área de cada una? Anota debajo de cada figura la expresión que le corresponda.

(2 + 3)2 + 1 y 2 + 32 + 1

b) ¿En cuál de las dos, el orden en que deben realizarse las operaciones es: elevar al cuadrado la suma 2 + 3, y al resultado su-marle 1?

c) ¿En cuál de las dos, el orden en que deben realizarse las operacio-nes es: elevar el 3 al cuadrado y al resultado sumarle 2 y 1?

3. ✓ Escribe una expresión numérica para calcular el área de cada región.

a) b)

Bloque 2

85

4. Los paréntesis de la expresión (2 + 3) × (4 + 5) indican que primero se suma 2 + 3 = 5; enseguida, 4 + 5 = 9, y finalmente se multiplica 5 por 9 para obtener 45.

¿Qué resultado se obtiene si no se escriben los paréntesis?

5. ✓ Escribe los paréntesis necesarios para que los resultados de las operaciones sean los que se indican:

a) 2 + 8 × 3 + 5 = 35b) 7 – 2 × 6 – 1 = 25c) 5 + 5 + 5 × 5 = 55d) 5 + 5 + 5 × 5 = 35

6. Luis tiene un empleo por la mañana y otro por la tarde. Este mes, en el empleo de la mañana ganó $ 6200, y en el de la tarde, $ 8500. Escribe una expresión numérica que represente lo siguiente:

a) Sus ingresos del mes pasado, si ganó el doble que en éste.b) Sus ingresos del mes antepasado, si ganó la mitad que en éste.c) Evalúa las expresiones numéricas que acabas de escribir.

Al operar con números, con frecuencia se requiere usar los paréntesis para expresar el orden de las operaciones que queremos realizar.

Por ejemplo, (3 + 5) × 4 es igual a 32; mientras que 3 + 5 × 4 = 3 + 20 es igual a 23.

Para evaluar una expresión numérica que tiene más de una operación, se toma en cuenta que las operaciones se realizan de acuerdo con el siguiente orden:

1. Se efectúan las operaciones que están dentro de paréntesis o signos de agrupación.2. Se evalúan las potencias.3. Se efectúan las multiplicaciones y divisiones.4. Finalmente, se realizan las adiciones y sustracciones.

Cuando las operaciones tienen la misma jerarquía, se opera del modo que mejor convenga. Por ejemplo, como la multiplicación y la división tienen la misma jerarquía, puede realizarse:

Primero la multiplicación: O bien, la división 20 ÷ 5:

15 – 20 × 2 ÷ 5 = 15 – 20 × 2 ÷ 5 = = 15 − 40 ÷ 5

= 15 – 4 × 2 = 15 − 8 = 7 = 15 – 8 = 7

Tema 11


86

11.2. Evaluación de polinomios

Carlos y Patricia son hermanos. Él es 3 años mayor que ella. Si representamos con x la edad de Patricia, ¿cómo se representa la edad de Carlos? Escribe esta representación en la siguiente tabla, debajo del letrero EdaddeCarlos.

Representa las edades de los dos en la tabla de valores, hasta que encuentres el momento en que Carlos tenga una vez y media la edad de Patricia.


a) ¿Qué significa, en términos de la situación, que x = 0?b) ¿Cuáles son las edades de Patricia y Carlos si x es igual a 0?c) ¿Cuántas veces es mayor Carlos que Patricia si x es igual a 1?d) ¿Cuántas veces es mayor Carlos que Patricia si x es igual 2?e) ¿En qué momento Carlos tiene el doble de la edad de Patricia?f) ¿En qué momento Carlos tiene una vez y media la edad de Patricia?g) ¿Qué tanto debes extender la tabla para encontrar el momento en

que Carlos tiene una vez y un cuarto la edad de Patricia?h) ¿Qué es lo que no cambia en la relación de las edades de estas perso-

nas?

Recuerda que a las expresiones algebraicas que contienen variables (como x + 3) se les llama polinomios. Si un polinomio consta de un solo término, como –5x, se llama monomio; si consta de dos términos, como a + b, es un binomio, y si consta de tres términos es un trinomio.

EdaddePatricia(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

EdaddeCarlos

1. El valor de un polinomio se calcula sustituyendo la variable por su valor y realizando las operaciones indicadas, siguiendo el orden de las operaciones.

Así, el valor de 4x + 1 para x = 3, es 4(3) + 1 = =12 + 1 = 13.

¿Cuál es el valor de esta expresión si x = 2?

Bloque 2

87

2. Considera la expresión 5n2. Para calcular su valor cuando n = 4, ¿qué operación debe realizarse primero: multiplicar por 5 o elevar 4 al cuadrado? ¿Cuál es el valor de esa expresión? Comenta tus res-puestas con un compañero o compañera.

3. Completa las siguientes tablas de valores de polinomios:

a)Valoresde

nValorde5n–10

b)Valoresde

nValorde3n2–12

–2 –2

–1 –1

0 0

1 1

2 2

El valor de un polinomio puede calcularse de la siguiente manera:

1. Sustituimos las variables por sus valores correspondientes.2. Realizamos las operaciones indicadas siguiendo el orden de las operaciones.

Ejemplo: evaluar el polinomio 2n + 8 para n = –3.

2n + 8 = 2(–3) + 8 = –6 + 8 = + 2

c)Valoresde

n

Valorde

x2

– 12

–2

–1

0

1

2

d) ¿Qué valor debe tener n en cada caso para que el polinomio sea cero?

12.1. Multiplicación de monomio

por polinomio

Tema 12

A

3

B

D x CF 2

E

88

12Multiplicación y división de expresiones algebraicas

Hay situaciones en las que el uso de las letras se hace necesario para representar cantidades. Veamos un ejemplo: el año pasado, Luis incre- mentó su deuda con un banco en $ 25 000. Esto es, al principio debía x pesos; el año pasado aumentó su deuda a x + 25 000. Este año, Luis debe

2(x + 25 000). En las siguientes tres sesiones plantearás, resolverás e interpretarás situaciones como ésta, en las que intervienen letras para representar números.

¿Cuál es el área de una superficie rectangular con las dimensiones que se indican en la figura?


a) La base del rectángulo ABCD está formada por los segmentos alinea-dos DF y FC. ¿Cuánto mide cada uno?

b) ¿Cuánto mide en total la base del rectángulo ABCD? ¿Cuánto mide la altura?

c) El rectángulo ABCD está formado por dos pequeños rectángulos. ¿Qué multiplicación debe hacerse para encontrar el área del rectán-gulo AEFD?

d) ¿Con qué multiplicación se halla el área del rectángulo EBCF?e) ¿Cómo encuentras el área del rectángulo ABCD, a partir de las áreas

de los rectángulos AEFD y EBCF?f) Expresa el área del rectángulo ABCD de dos maneras:

• como producto de su base por su altura.• como suma de las áreas de los dos rectángulos que lo forman.

Te sugerimos leer:

“Multiplicación de polinomios”, en Bosch, C. et al., Una ventana a las incógnitas, pp. 54-55.

Bloque 2


x

2x + 4 x + 2

2x

89

1. Efectúa las siguientes operaciones mediante el procedimiento que acaban de encontrar.

a) 3(m + 4)

b) 5(4x – 6)

c) b(b + 3)

d) 3m(2m – 1)

e) –2(3m + 5)

f) –4(–n – 5)

g) m(2m – 5)

h) –x(x – 3)

g) Si las dimensiones del rectángulo fueran: base = x + 5, y altura = 4, ¿qué expresión representaría el área del rectángulo ABCD…

• …como el producto de esas dos dimensiones?• …como la suma de las áreas de los rectángulos que lo forman?

h) ¿Qué procedimiento breve utilizarías para encontrar el producto de 4(x + 5), sin recurrir al recurso del área de rectángulos? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera, y después con el grupo.

3. El área de un terreno rectangular es 2x2 + 4x. Comprueba mediante una multiplicación que sus dimensiones pueden ser las que se indi-can en las figuras siguientes:

a)x

y5 b)

x

3y2

c)2x

5y 6d)

3x

5x y

2. Halla el área de los siguientes rectángulos mediante la multiplica-ción de sus dimensiones:

Tema 12

90

4. Cierto día, don Jorge vio que su ahijado Lalito se divertía jugando a las canicas, y le preguntó:

“¿Qué quieres que te regale el día de tu cumpleaños?” Lalito señaló una bolsa de canicas y 4 canicas sueltas, y contestó:

“Quiero el triple de estas canicas.” ¿Cuántas canicas le tendría que dar don Jorge para cumplirle su

deseo?

a) Si llamas x al número de canicas que hay en la bolsa, ¿qué valor puede tomar esa letra?

b) ¿Cómo expresas la cantidad de canicas que tiene Lalito?c) ¿Cómo se expresa, mediante una suma, la cantidad de canicas

que don Jorge tendría que darle a su ahijado?d) ¿Cómo se expresa, mediante una multiplicación, la cantidad de

canicas que tendría que dar don Jorge?e) ¿Cuántas canicas tiene Lalito si x es igual a 12? f) ¿Cuántas canicas tendría que darle don Jorge si le cumple su de-

seo?

La multiplicación de un monomio por un polinomio se realiza aplicando la propiedad distributiva; esto es, cada

término del polinomio se multiplica por el monomio.

Ejemplo:

• Multiplicar 2x (3x + 1):

Propiedad distributiva: 2x (3x + 1) =

=2x (3x) + 2x (1)=

Multiplicación de monomios: = 6x2 + 2x

Bloque 2

x

x x

x

3

2

x2 x2

Frente

Jardín original Jardín ampliado

Fon

do

Fon

do

Frente

91

12.2. Multiplicación

de polinomios

El jardín de la casa de Esther ocupaba una superficie cuadrada, pero Esther le agregó 3 m de frente y 2 m de fondo.

Si el área inicial del jardín era de x2 metros cuadrados, ¿qué área tiene el jardín ampliado? ¿Qué tanto aumentó el área del jardín?


a) El jardín original medía x metros por lado. ¿Cuánto mide de frente el jardín ampliado? ¿Cuánto mide de fondo?

b) ¿Cómo encuentras el área del jardín ampliado a partir de sus dimen-siones? Represéntalo mediante una expresión algebraica.

c) Mediante una expresión algebraica, representa ahora el área del jar-dín ampliado como la suma de las áreas de las cuatro regiones que lo forman.

d) ¿Qué relación encuentras entre ambas representaciones? e) ¿Puedes obtener la segunda representación a partir de la primera?

Comenta tu respuesta con un compañero o compañera, y después con el grupo.

Si las dimensiones del jardín ampliado fueran: frente = x + 5, y fondo = x + 4, su área se calcularía mediante la multiplicación (x + 5)(x + 4). f) ¿Qué procedimiento breve utilizarías para encontrar el resultado de esta

operación? Nuevamente, comenta tu respuesta con un compañero o compañera, y después con el grupo.

Tema 12


92

1. Efectúa las siguientes operaciones mediante el procedimiento que acaban de encontrar.

x + 3

x + 3

x + 4

x + 2

a) (x + 3)(x + 4)

b) (r + 5)(r – 3)

c) ( y – 4)(y + 3)

d) (b – 3)(b – 2)

e) (2x – 5)(4x + 3)

f) (3y – 1)(3y – 1)

g) (2x + 3)(2x + 3)

h) (5m + 2)(5m – 2)

i) (2x + 3)(x – 1)

j) (x – 7)(3x + 8)

2. Analiza las figuras de la derecha para contestar las preguntas que se plantean.

a) ¿Qué dimensiones tiene cada una?b) ¿Cuál es el área de cada una?c) ¿Cuál de las dos tiene mayor área? ¿Qué tanto más?d) Si x = 10, ¿cuál es el área de cada figura?e) ¿Cuál de las dos tiene mayor área? ¿Qué tanto más?f) Si x = 15, ¿cuál es el área de cada figura?g) ¿Cuál de las dos tiene mayor área? ¿Qué tanto más?h) ¿Por qué la diferencia entre las dos áreas siempre es la misma?

3. ✓ Anota en los paréntesis de la izquierda la letra del producto que corresponde a cada multiplicación.

( ) (x + 3)(x + 2) a) x2 – x – 6

( ) (x – 3)(x + 2) b) x2 – 5x + 6

( ) (x + 3)(x – 2) c) x2 + x – 6

( ) (x – 3) (x – 2) d) x2 + 5x + 6

Bloque 2

93

a)

x+y

x+y

b)

x+y

2x+y

c)

x+2y

x

d)

2x+ 2y

2x+2y

4. ✓ Halla el área de las siguientes figuras:

Para multiplicar polinomios, multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo, y enseguida reducimos (sumamos o restamos) los términos semejantes del producto. Veamos un ejemplo: multiplicar (3x – 2)(2x – 5).

Una forma de multiplicar polinomios es la siguiente:

Se aplica dos veces la propiedad distributiva:

Reducción de (–15x) + (–4x)

3x(2x – 5)

(3x – 2)(2x – 5) = 6x2 – 15x – 4x + 10

(–2)(2x – 5)= 6x2 – 19x + 10

Otra forma consiste en disponer verticalmente los polinomios. Se escriben los términos semejantes en una misma columna:

3 × – 2y + 1 2 × – 5 6x2 – 4 ×

– 15 × + 10)

6x2 – 19 × + 10

Propiedad distributiva

Reducción de términos semejantes

Tema 12


3

x

3

x

3

x

94


a) ¿Cuál es el área del rectángulo?b) ¿Cuánto mide su altura?c) Para calcular la medida de una de las dimensiones de un rectán-

gulo, si se conocen el área y la medida del otro lado, se realiza una división. En este caso, ¿qué división debe efectuarse para hallar la medida de la base del rectángulo?

d) ¿Cuál es el cociente de esa división?e) ¿Cuál de los siguientes dibujos ilustra esta situación? Comenta con

tus compañeros de grupo las razones en que basas tu respuesta.

1. Considera la siguiente figura para contestar las pre-guntas que se plantean.

a) ¿Cómo encuentras la medida de la base de este rectángulo, si conoces el área (10 unidades cua-dradas) y la medida de la altura (2 unidades)?

b) ¿Cuánto mide la base de este rectángulo?

2. ✓ Carmen tiene varios cortes de tela con las dimensio-nes del que se muestra enseguida. Para hacer manteles individuales, quiere cortar cada uno en partes, como se indica en la ilustración.

a) ¿Cuánto mide el ancho de cada corte de tela?

12.3. División de expresiones

algebraicas¿Cuánto mide la base del rectángulo que se muestra en la ilustración?

Área = 10 unidadescuadradas 2 unidades

?

2x18x

x

2x

3 unidades

?

Área = 6x + 18 unidades cuadradas

Bloque 2

95

Para dividir un polinomio entre un número, se aplica la propiedad distributiva; esto es, se divide cada término del polinomio entre el número.

Veamos un ejemplo: dividir (8x – 10) ÷ 2.

(8x – 10) ÷ 2

Propiedad distributiva = 8x ÷ 2 – 10 ÷ 2

4x – 5

La división también puede indicarse mediante una fracción:

8x – 10 8x 10 = − 2 2 2

= 4x – 5

En el texto se emplearán las siguientes dos maneras de indicar la división:

12x –153

= (12x –15) ÷ 3

b) ¿Cuánto mide de largo y de ancho cada mantel individual? ¿Qué forma tiene?

c) ¿Qué relación hay entre el ancho y el largo de cada mantel? ¿Es mayor la longitud 2x que la longitud x? ¿Cuántas veces?

d) ¿Qué relación hay entre el ancho y el largo del corte de tela? ¿Es mayor la longitud 18x que la longitud 2x? ¿Cuántas veces?

e) ¿Qué operación debe efectuarse para saber cuántos manteles in-dividuales se obtienen de cada corte de tela?

f) ¿Cuántos manteles obtendrá Carmen?

3. Don Pepe va de visita a casa de sus 6 sobrinos. Les lleva 12 cajas de chocolates y 6 piezas sueltas. Si don Pepe sólo encuentra a 2 sobrinos, ¿cuántas piezas de chocolate le tocarán a cada uno? ¿Y si encuentra a 3 sobrinos? ¿Y si encuentra a los 6?

a) Si llamas x al número de piezas de chocolate que contiene cada caja, ¿qué valor puede tomar esa letra?

b) ¿Cómo expresas el número de piezas de chocolate que lleva don Pepe?

c) ¿Cómo se expresa, mediante una división, el reparto de los chocolates entre 2 sobrinos? ¿Y el reparto entre 3 sobrinos? ¿Y entre 6?

d) ¿Cuántas piezas le tocarán a cada sobrino en cada caso?e) Si cada caja contiene 12 piezas de chocolate (x = 12), ¿cuántas

piezas le tocarían a cada sobrino si el reparto se hace entre 2 de ellos? ¿Y si se hace entre 3? ¿Y entre 6?

4. ✓ Efectúa las siguientes divisiones:

a) (24y + 18) ÷ 6

b) 12x − 15

3

c) −4m + 20

4

d) 12n − 18

−3

e) −12a − 18

−6

f) 24m2 − 12m + 15

3

Propiedad distributiva

Cocientes

Tema 13

13.1. ¿Cuáles son las características de los

cubos, los prismas y las pirámides?

96

13Características de los cubos, prismas y pirámides

¿En qué se parecen un cubo y un prisma rectangular? ¿En qué se diferencian? ¿En qué se parecen un prisma rectangular y una pirámide cuadrangular? ¿En qué se diferencian? Las siguientes tres sesiones tratan sobre algunas características de los cuerpos geométricos llamados prismas y pirámides.

En la clase de Alicia y Carlos, organizaron un juego de comunica-ción. La clase se ha dividido en dos grupos: los emisores y los recepto-res. Los emisores escriben un mensaje, sin dibujos, en el cual describen un cuerpo geométrico, sin dar su nombre; los receptores lo dibujan con base en la descripción recibida.

Alicia debe redactar un mensaje que describa un cubo, y Carlos, una pirámide hexagonal. ¿Cuáles podrían ser estos mensajes?


a) El mensaje de Alicia dice:

Dibuja en tu cuaderno el cuerpo descrito por Alicia. ¿Es un cubo? ¿Qué agregarías para que fuera un cubo?

b) ¿Cuántas caras tiene el cubo? ¿Cuántas aristas? ¿Cuántos vértices?c) ¿Cuántas aristas concurren en un mismo vértice?d) ¿Todas las caras del cubo tienen la misma forma?e) Redacta el mensaje de Carlos de modo que contenga tres característi-

cas de la pirámide hexagonal, y que empiece así:

Es un cuerpo geométrico de 6 caras; sus caras opuestas son parale-las; sus caras vecinas se cortan en ángulo recto.

Es un cuerpo geométrico que tiene…

Te sugerimos leer:

“Más sobre poliedros regulares”, en De la Peña, J. A., Geometría y el mundo, pp. 52-53.

Poliedro. Es un cuerpo geométrico limitado por caras planas poligonales, como triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etcétera.Caras de un poliedro. Son las superficies laterales que limitan al poliedro.Aristas de un poliedro. Son los segmentos en los que se cortan las caras del poliedro.Vértices de un poliedro. Son los puntos en que se cortan las aristas del poliedro.

aristacara

vértice

Pirámide hexagonal


97

1. ✓ ¿Qué características tiene el siguiente cuerpo geométrico? Redac-ta un mensaje que describa cuatro de sus características. Compara tu mensaje con el de un compañero o compañera.

2. ✓ ¿En qué se parecen y en qué se diferencian el prisma rectangular y el cubo? Escribe una característica que compartan estos cuerpos geométricos y una que los diferencie.

3. Trabajo grupal: en los paréntesis de la izquierda, anoten las letras de la derecha que correspondan. Comprueben sus respuestas dibu-jando el cuerpo geométrico descrito.

( ) Tiene 6 caras y 6 vértices a) Prisma cuadrangular

( ) Tiene 5 vértices y 8 aristas b) Prisma pentagonal

( ) Tiene 8 vértices y 12 aristas c) Pirámide cuadrangular

( ) Tiene 7 caras y 15 aristas d) Pirámide pentagonal

Algunos ejemplos de prismas y pirámides son los siguientes:

Prisma pentagonal

Prisma rectangular

Pirámide cuadrangular

Pirámide pentagonal

Tema 13

98

4. Completa la siguiente tabla. Luego, contesta las preguntas que se plantean.

Polígonodelabasedelprisma

Númerodecaras

Númerodevértices

Númerodearistas

Triangular (3 lados)

Cuadrangular (4 lados)

Pentagonal (5 lados)

Hexagonal (6 lados)

a) ¿Cuántas caras tiene un prisma cuya base tiene n lados?b) ¿Cuántos vértices tiene?c) ¿Y cuántas aristas?

5. Completa la siguiente tabla. Luego, contesta las preguntas que se plantean.

Polígonodelabasedelprisma

Númerodecaras

Númerodevértices

Númerodearistas

Triangular (3 lados)

Cuadrangular (4 lados)

Pentagonal (5 lados)

Hexagonal (6 lados)

a) ¿Cuántas caras tiene una pirámide cuya base tiene n lados?b) ¿Cuántos vértices tiene?c) ¿Y cuántas aristas?

Bloque 2


a) b)

99

13.2. Las vistas de un cuerpo

geométrico

Los diseñadores industriales dibujan los objetos antes de que se fa-briquen. Generalmente presentan cuatro vistas del objeto: de frente, de lado, desde arriba y desde abajo. ¿Cuáles son estas cuatro vistas del siguiente objeto?


a) Imagina que puedes colocarte enfrente de cada una de las caras de este objeto. ¿Cómo se vería el frente del objeto? Dibuja esta vista en tu cuaderno.

b) Ahora imagina que te colocas en el lado derecho del objeto. ¿Cómo lo verías?

c) ¿Cómo se verá el objeto desde arriba? ¿Y desde abajo?d) ¿Cuántas vistas diferentes tiene el objeto? Compara tus respuestas

con las de un compañero o compañera.e) ¿Cuál de las siguientes es una vista del objeto?

1. Dibuja las cuatro vistas de cada uno de los siguientes objetos. (El agujero que muestra el cuerpo del inciso a) se prolonga hasta la cara inferior.) Muestra tu trabajo a tus compañeros y, en caso de que haya diferencias, busquen posibles errores y corríjanlos.

Tema 13

100

2. Los policubos son construcciones geométricas realizadas con va-rios cubos iguales; cada cubo está unido a otro por una cara com-pleta. Los policubos formados por 2 cubos se llaman bicubos; por 3, tricubos; por 4, tetracubos; por 5, pentacubos, etcétera.

Sólo hay una posibilidad de formar un bicubo, pero hay dos de for-mar tricubos. Observa:

Bicubo Tricubos

A B

a) ¿Cuántas vistas diferentes tiene el bicubo? Dibújalas en tu cuaderno.b) ¿Cómo se vería de frente el tricubo A?. ¿Cómo se vería de lado?c) ¿Cómo se vería desde arriba? ¿Y desde abajo? Dibuja en tu cua-

derno esas cuatro vistas del tricubo A.d) ¿Cuántas vistas diferentes tiene el tricubo A? Comparte tu res-

puesta con un compañero o compañera.e) Consideremos ahora el tricubo B. ¿Cómo se vería de frente?

¿Cómo se vería de lado? ¿Cómo se vería desde arriba? ¿Y desde abajo? Dibuja esas cuatro vistas en tu cuaderno.

f) ¿Cuántas vistas diferentes tiene el tricubo B?g) ¿Cuál de los dos tricubos tiene más vistas diferentes?h) ¿A cuál de los dos tricubos corresponde la vista de abajo?

Lado

Frente

Techo

3. ✓ Un objeto tiene las siguientes vistas.

Dibuja el objeto en tu cuaderno. Compara tu trabajo con el de tus com-pañeros.

Bloque 2


101

13.3. Desarrollos planos de

cubos, prismas y pirámides

Julia va a construir cajas para un negocio. Las cajas deben ser simila-res a la que se muestra en la figura. ¿Qué necesita hacer Julia para cons-truir una?


a) ¿De cuántos rectángulos está formada la caja, suponiendo que tiene tapa? ¿Cuántos pares de esos rectángulos son iguales?

b) Imagina que colocas la caja sobre una mesa y que, sin levantar la caja, la desdoblas poco a poco hasta que todas las caras quedan ex-tendidas sobre la mesa. Dibuja en tu cuaderno el croquis de cómo quedaría la caja desdoblada. Compara tu resultado con el de un compañero o compañera.

c) Si colocan de otra manera la caja sobre la mesa (es decir, si descansa sobre la mesa otra de las caras de la caja), y la desdoblan, tendrían otro croquis del desarrollo plano de la caja. Dibújenlo en su cuaderno.

d) Supongan que las medidas de la caja de Julia son: 13 cm de an-cho, 23 cm de largo y 3 cm de alto. Tracen su desarrollo en cartonci-llo, agréguenle pestañas y armen la caja.

Desarrollo plano de un cuerpo geométrico. Es la figura que se obtiene al colocar y “desdoblar” ese cuerpo sobre un plano. Observa este desarrollo plano del cubo:

1. En la tabla se muestran las medidas de cuatro de los rectángulos del desarrollo plano de un prisma rectangular.

Figura Base Altura

2 rectángulos 8 cm 3 cm

2 rectángulos 5 cm 3 cm

a) ¿Cuáles son las medidas de los otros dos rectángulos?b) Usa tus escuadras y tu compás para construir con cartoncillo un

prisma rectangular que tenga estas características.

Tema 13

102

2. En la tabla se muestran las medidas de los seis triángulos isósceles que forman las caras de una pirámide hexagonal.

Figura Base Altura

6 triángulos 4 cm 5 cm

a) ¿Cuáles son las medidas de la base de la pirámide?b) Usa tus escuadras y tu compás para construir con cartoncillo una

pirámide hexagonal que tenga estas características.

3. ✓ Los siguientes son desarrollos planos del cubo. Cópialos en car-toncillo, agrégales pestañas y ármalos. Para que estos cubos sirvan como dados, es necesario dibujar en ellos los puntos que faltan; ha-zlo de manera que los puntos correspondientes a dos caras opuestas sumen 7 en cada caso.

a) c)b)

4. Consigue una caja de cartón que tenga la forma de un prisma rec-tangular (puede ser una caja de cerillos, de leche, de zapatos, etc.). Si la caja está abierta, deberás cerrarla con cinta adhesiva.

a) Corta la caja por las aristas cuidando que, una vez cortada, quede de una sola pieza y pueda extenderse sobre una mesa. Éste sería un desarrollo plano de ese prisma.

b) Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. ¿En qué orden debes aco-modar éstos en el desarrollo plano que obtuviste?

c) Compara el desarrollo plano que obtu-viste con los de otros compañeros. ¿En qué son diferentes? Copia algunos desa-rrollos planos del prisma rectangular, que sean diferentes del que obtuviste tú.

d) ¿La figura de la derecha es un desa-rrollo plano de un prisma rectangular? Cópialo y trata de armar el prisma. ¿Pudiste hacerlo?

Bloque 2

103

Base

Caras laterales

Base

5. La siguiente ilustración muestra una parte del desarrollo plano de un prisma rectangular; falta acomodar las bases.

a) Copia las bases, recórtalas y acomódalas en los bordes correspon-dientes de la superficie lateral, de modo que resulte un desarrollo plano de este prisma. Comprueba que en efecto lo es.

b) Usa el mismo procedimiento para obtener otros cinco desarrollos planos del mismo prisma.

c) Compara tus resultados con los de otros compañeros. ¿Cuántos desarrollos planos diferentes del prisma obtuvieron? Cópialos en tu cuaderno.

d) ¿Qué debes tomar en cuenta al “pegar” las bases en los bordes correspondientes de la superficie lateral para obtener un desarro-llo plano de este prisma?

6. Observa las siguientes figuras. Después, responde las preguntas en tu cuaderno.

a) ¿Cuál de las dos figuras es un desarrollo plano de un prisma triangular? ¿Por qué la otra figura no lo es?

Tema 13

104

b) A continuación se presentan tres desarrollos planos del prisma triangular anterior. Observa que las bases son triángulos escale-nos iguales y que las caras laterales son rectángulos. ¿En qué se diferencia el tercer desarrollo plano del prisma de los otros dos?

c) Dibuja otros dos desarrollos planos de este prisma triangular. Compara tus resultados con los de otros compañeros. ¿Cuántos desarrollos planos diferentes encontraron?

d) ¿Qué tomaron en cuenta para conectar las bases triangulares con los bordes de la superficie lateral para obtener un desarrollo plano de este prisma?

7. Las figuras son cuatro desarrollos planos de una pirámide cuadran-gular. Observa que las caras laterales son triángulos isósceles.

a) ¿Qué tienen en común los cuatro triángulos isósceles que forman las caras laterales de esta pirámide en cuanto a las medidas de sus lados?

Bloque 2

105

b) Compara las medidas de los ángulos de estos triángulos. ¿Son iguales o diferentes?

c) Dos triángulos isósceles que son contiguos en un desarrollo plano de esta pirámide, ¿pueden ser iguales? ¿Por qué?

d) Copia las cinco piezas que forman esta pirámide cuadrangular y construye otro desarrollo plano.

e) ¿Habrá alguna pirámide cuadrangular cuyas caras laterales sean iguales?

Las vistas de un cuerpo geométrico son dibujos que corresponden a cada una de sus caras cuando es observado perpendicularmente enfrente de cada cara.

Por ejemplo, el siguiente objeto tiene cuatro vistas:

Objeto

Frente Lado

Arriba Abajo

El desarrollo plano de un prisma recto está formado por un conjunto de rectángulos de igual altura, y dos polígonos iguales cuyos lados tienen la misma medida de la base que los rectángulos.

El desarrollo plano de una pirámide recta consta de un conjunto de triángulos isósceles y un polígono cuyos lados tienen la misma medida que la base de los triángulos isósceles.

El conjunto de polígonos que constituyen las bases y las caras laterales de un prisma recto, pueden conectarse de varias maneras para obtener desarrollos planos de ese prisma; lo mismo ocurre con las pirámides rectas, como pudiste darte cuenta en esta lección.

Tema 13

14.1. Volumen de cubos y

prismas rectos

106

14Fórmulas del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos

Cuando los estibadores introducen cajas en el depósito de un tráiler, el número de cajas que pueden acomodar depende tanto de la capaci-dad del depósito, como del volumen de las cajas. En las siguientes dos sesiones aprenderás a obte-ner las fórmulas para calcular el volumen de pris-

mas y pirámides.

Unos frascos de conservas están contenidos en empaques cúbicos de 1 dm3. Éstos, a su vez, deben empacarse en una caja como la que se representa en la figura. ¿Cuántas unidades cúbicas caben en la caja?

4 dm

1 dm

1 dm

1 dm

3 dm

5 dm


a) ¿Cuántas unidades cúbicas cubren la primera capa de la caja? ¿Pue-des calcular el número de unidades de esta primera capa mediante una multiplicación?

b) ¿Cuántas capas tiene la caja? ¿Cuántas unidades cúbicas caben en total?

c) Si representamos con la letra B el número de unidades cúbicas que hay en la primera capa de la caja, ¿cómo se representa el número de unidades cúbicas que hay en 3 capas?

d) ¿Cómo se representa el número de unidades cúbicas que hay en 5 capas?

e) Si se representa con la letra h el número de capas que tiene la caja, ¿cómo se representa el número de unidades cúbicas que caben en la caja?

f) ¿Cómo se representa con una fórmula el procedimiento para encontrar el número de unidades cúbicas que caben en una caja que tiene la forma de prisma rectangular?

Volumen de un cuerpo geométrico. es la medida del espacio que ocupa.

Bloque 2


107

Analiza con cuidado los siguientes prismas rectos.

g) ¿Qué forma tiene la base de cada uno de estos cuatro prismas? ¿Cuál es el área de cada una?

h) ¿Cuál es la altura de cada uno?i) ¿Hay alguno que tenga mayor volumen que los otros? ¿Por qué? Co-

menta con un compañero o compañera las razones en que basas tu respuesta.

j) ¿Cómo se representa con una fórmula el procedimiento para en-contrar el volumen de cualquier prisma recto?

k) El área de la base de un prisma triangular mide 12 cm, al igual que la de un prisma rectangular. Si ambos prismas tienen la misma altura, ¿qué relación hay entre sus volúmenes? ¿Son iguales o dife-rentes? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera, y después con el grupo.

1. La fórmula para calcular el volumen de un cubo es V = B × h, pero la más conocida es V = a × a × a. ¿Son equivalentes las dos fórmulas? ¿Por qué?

2. La fórmula para calcular el volumen de un prisma rec-tangular es V = B × h, donde B es el área de la base y h es la altura.

a) ¿De qué otra manera puedes escribir esta fórmula?b) ¿En qué te basas para afirmar que las dos fórmulas son

equivalentes? Coméntalo con un compañero o compañe-ra.

3. ✓ La fórmula para calcular el volumen de un prisma es V = B × h.

a) ¿De qué otra manera puede escribirse la fórmula del volu-men de un prisma cuya base es un triángulo?

a

h

b

Prisma recto. Es un poliedro que tiene por bases dos polígonos iguales e igualmente dispuestos, y cuyas caras son rectángulos. Si las caras fueran romboides, el prisma se llamaría oblicuo.

Prisma recto

Prisma oblicuo

Tema 1

108

b) ¿De qué otra manera puede escribirse la fórmula del volumen de un prisma cuya base es un trapecio?

El área de la base es B

h

c) ¿De qué otra manera puede escribirse la fórmula del volumen de un prisma cuya base es un pentágono regular?

14.2. Volumen de pirámides rectas

Sabemos que el volumen de cualquier prisma recto se calcula con la fórmula V = B × h, en donde B es el área de la base y h es la medida de la altura. Está claro que una pirámide con la misma área de la base B y la misma altura h tiene un volumen menor que el prisma, como puede verse en la siguiente figura, pero, ¿qué tan menor?


a) Usa tu juego de geometría para dibujar en cartoncillo las figuras que se muestran enseguida, con las medidas que se dan. Con ellas vas a construir dos cajas abiertas: una en forma de prisma, y la otra, de pirámide; la base de ambas es cuadrada. (En el caso de la pirá-

Bloque 2


109

3.5 cm

4.5 cm

4 cm

4 cm

4 cm

4 cm4 cm4 cm

b) Dobla y pega los desarrollos planos como se indica en las figuras, para formar un prisma abierto y una pirámide abierta.

c) Compara las áreas de las bases y las alturas del prisma y la pirámide. ¿Son iguales o diferentes?

d) Llena la pirámide con sal, azúcar u otro material similar, y vacía su contenido en el prisma. ¿Cuántas veces tienes que vaciar el conteni-do de la pirámide para que se llene el prisma?

e) ¿Cuántas veces es menor el volumen de la pirámide que el del prisma, cuando ambos cuerpos tienen la misma área de la base y la misma altura?

1. ¿Qué representa la letra B en la fórmula V = B × h?2. El volumen de un poliedro se representa con la fórmula

B × hV = 3

. ¿De qué poliedro se trata?

3. ¿Qué fórmula se requiere para calcular el área de la base de los si-guientes cuerpos geométricos?

a) Prisma rectangularb) Prisma triangularc) Pirámide de base cuadradad) Pirámide hexagonal

4. Las longitudes de los lados de la base de una pirámide y la de su altura se han medido en centímetros. ¿Cuál es la unidad más conve-niente para expresar su volumen?

5. ✓ ¿Qué relación hay entre los siguientes cuerpos geométricos ? ¿Cuál tiene mayor volumen? ¿Qué tanto es mayor?

3

2.12

3

3

2.12

3 3

mide, las medidas que aparecen en el desarrollo plano de la caja son aproximadas.)

Tema 14

15.1. Resolución de problemas

con ecuaciones

110

15Problemas de cálculo de volúmenes

Hay muchos objetos que tienen la forma de prismas o pirámides. Con frecuencia es necesario conocer el tamaño del espacio que encierran o la cantidad de producto que pueden contener. En las siguientes tres sesiones resolverás problemas en

los que sea necesario calcular cualquiera de los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos; asimismo, reconocerás la manera en que varía el volumen de estos cuerpos geométricos al variar una de sus medidas.

Te sugerimos leer:

“¿Cuánta agua cabe en tu tinaco?”, en De la Peña, J. A., Geometría y el mundo, pp. 44-45.

Tengo 84 dados cúbicos iguales. Al acomodarlos en una caja, me doy cuenta de que en la primera capa (la del fondo de la caja) caben 4 dados a lo largo y 3 a lo ancho. ¿En cuántas capas puedo acomodar los 84 dados?


a) ¿Qué es lo que se desconoce en el problema?b) ¿Qué información se conoce?c) ¿Qué forma geométrica tendrá la pila de dados, una vez que los aco-

mode? Dibuja este cuerpo geométrico y anota en él las medidas que se conocen y la que se desconocen.

d) ¿Qué procedimiento puedes utilizar para hallar el valor que se descono-ce en este problema? Compara tu procedimiento con el de un compa-ñero o compañera y, si es el caso, analicen las diferencias entre ellos.

Bloque 2


111

e) ¿Pueden plantear una ecuación para resolver el problema? ¿Cómo se resuelva esa ecuación?

f) ¿Cómo puedes comprobar que el resultado que obtuviste con el pro-cedimiento que aplicaste es la solución del problema?

1. En una maderería hay una pila de tablones iguales. La pila mide 1.2 m de ancho por 2.8 m de largo y 1.3 m de altura.

A B

8 cm 12 cm8 cm

8 cm

C

8.5 cm6 cm

11 cm8.5 cm

5 cm

2.8 m 1.2 m

1.3 m

a) ¿Qué volumen ocupa la pila de tablones?b) Si cada tablón mide 2.5 cm de grueso, ¿cuántos son en total?c) ¿Cuál es el volumen de cada tablón?

2. Al ver la pirámide de Keops, en Egipto, un visitante estimó que medía menos de 150 m de altura. La guía del viajero dice que originalmente esa gran pirámide tenía un volumen de 2 503 537 m3, y que la superficie de su base cuadrada era de 51 302 m2. Después de conocer esta infor-mación, ¿estarías de acuerdo con la estimación que hizo el visitante?

3. ✓ Para envasar un alimento en polvo se están considerando los si-guientes tres envases.

a) ¿Cuál de las tres cajas puede contener mayor cantidad de alimento?b) ¿Cuáles deberían ser las alturas de las cajas B y C, para que pudie-

ran contener la misma cantidad de alimento que la caja A?

4. En una bodega se recibió una carga de 14 aparatos eléctricos; la mitad de ellos estaban empacados en cajas cúbicas, y la otra mitad, en cajas con forma de prisma rectangular. Cada cubo mide 30 cm de arista, y cada prisma mide 30 × 45 × 55 cm. En la bodega sólo hay espacio disponible para 8 m3. ¿Qué volumen ocuparán 10 cargas de la misma mercancía?

30 cm

30 cm

30 cm

45 cm

55 cm

Tema 15

112

5. ✓ Encuentra el área de la base de los prismas que se describen ense-guida:

a) Su volumen es de 108 cm3 y su altura es de 15 cm.b) Su volumen es de 204 m3 y su altura es de 12 m.

6. ✓ Encuentra el área de la base de las pirámides que se describen enseguida:

a) Su volumen es de 162 dm3 y su altura es de 9 dm.b) Su volumen es de 147 m3 y su altura es de 6 m.

15.2. Variación del volumen de

un prisma o una pirámide

respecto a la variación

de alguna de sus medidas

Una caja de cerillos mide 6 cm de largo, 4 cm de ancho y 1 cm de alto. ¿Cómo aumentaría más el volumen de la caja: aumentándole 1 cm al largo, al ancho o al alto? ¿Por qué?

1 cm

4 cm

6 cm


a) Imagina que colocas la caja de cerillos sobre la mesa de tres maneras diferentes. Imagina también que el tamaño de la caja aumenta hacia arriba.

Aumento a lo alto

Aumento a lo largo

Aumento a lo ancho

Bloque 2

113

¿El volumen de la caja aumenta más al aumentar el alto, el largo o el ancho? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

b) ¿Cuál es el volumen de la caja? ¿Cuál sería su volumen si aumentas 1 cm al largo de la caja? ¿De cuánto es el aumento?

c) Aumenta 1 cm más al largo de la caja. ¿Cuál sería el nuevo volumen? ¿De cuánto es el aumento?

d) Haz lo mismo con el ancho y el alto. Para hacer los cálculos de manera ordenada, conviene registrar los resultados en tablas como las siguientes. Cópialas en tu cuaderno y complétalas.

• Aumentando el largo:

Largo (cm) Ancho (cm) Alto (cm) Volumen (cm3)

6 4 1

7 4 1

8 4 1

• Aumentando el ancho:


6 4 1

6 5 1

6 6 1

• Aumentando el largo:


6 4 1

6 4 1

6 4 1

• Aumentando el alto:

e) ¿Cuál de las tres dimensiones es necesario variar para que aumen-te más el volumen de la caja? ¿Por qué?

Tema 15


114

Reúnete con un compañero o compañera para resolver los siguientes problemas. Comenten las respuestas del equipo con las del grupo.

1. A continuación aparecen algunas expresiones algebraicas que re-presentan la relación de variación entre las medidas de la caja y su volumen.

V=6x V=4x V=24x

• ¿Qué representa la letra x en cada caso?• Las siguientes ilustraciones muestran tres cajas de cerillos.

Anota las dimensiones de cada una, con base en la expresión algebraica correspondiente.

4 cm

3 cm

x

2. ✓ Observa atentamente la siguiente pirámide para contestar las preguntas que se plantean.

V = 6x V = 4x V = 24x

a) Si el valor de x (la altura de la pirámide) es 6 cm, ¿cuál es el volumen de la pirámide?

b) Y si su valor es 7 cm, ¿cuál es el volumen de la pirámide?c) ¿Y si es 5 cm?d) Si aumenta la altura de la pirámide, y permanecen sin variar

las otras dos dimensiones, ¿aumenta su volumen?e) Si el valor de x está entre 8 y 10 cm, ¿entre qué valores está el

volumen de la pirámide?f) La expresión simbólica que representa la relación entre la al-

tura de esta pirámide y su volumen es V=12x. ¿Por qué?

Bloque 2

115

6 cm

4 cm

9 cm

6 cm

4 cm

9 cm

3. ✓ En el prisma y la pirámide siguientes, el área de la base y la medida de la altura son iguales, pero los volúmenes son dife-

rentes.

1 cm1 cm

1 cm3

1 cm

1 cm1 mm

a) ¿A cuánto debe reducirse la altura del prisma para que su volu-men sea igual al de la pirámide?

b) ¿Cuánto debe aumentarse la altura de la pirámide para que su volumen sea igual al del prisma?

c) ¿Cuánto debe aumentarse el largo de la base de la pirámide para que su volumen sea igual al del prisma?

d) ¿A cuánto debe reducirse el largo de la base del prisma para que su volumen sea igual al de la pirámide?

15.3. Conversión de medidas de

volumen y de capacidad

¿Cuál es la capacidad aproximada de un acuario casero común: 10 l, 200 ml, 40 l o 25 ml?


a) En la siguiente figura se muestra un decímetro real, dividido en cen-tímetros y milímetros, y la representación de un centímetro cúbico. ¿Cuánto debe medir la arista de un recipiente cúbico para que se llene con un litro de líquido: 1 mm, 1 cm, 1 dm o 1 m?

Tema 15

116

2.5 dm

2.5 dm

1.5 dm

2 dm

2.5 dm2 dm1 dm

1 dm

1 dm

1 dm1 cm

1 cm1 cm

1 dm

1 dm

b) ¿Qué capacidad, en litros, tienen los recipientes cuyas medidas se dan enseguida?

c) Ahora se muestra la representación a escala de 1 dm3, dividido en cm3. ¿Qué relación existe entre 1 dm3 y 1 cm3? ¿Cuántos centímetros cú-bicos hay en un decímetro cúbico?

d) ¿Cuál crees que podría ser la capacidad de un acuario casero?e) Normalmente, los acuarios caseros tienen la forma de un prisma

rectangular. ¿Cuáles crees que podrían ser sus dimensiones? Inves- tígalo y coméntalo primero con un compañero o compañera y luego con todo el grupo.

En muchos de los problemas que tratan de capacidad o volumen, se dan medidas en centímetros, decímetros o metros, pero los resultados se piden en litros. Te recomendamos que tengas presentes las siguientes equivalencias entre unidades de volumen y capacidad:

1 dm3 = 1 litro 1 cm3 = 1 ml 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 litros

Bloque 2


117

1. ¿Cuál sería el volumen o la capacidad aproximada de cada uno de los siguientes objetos? Subráyenla.

a) Alberca 30 m3 30 l 30 ml

b) Tina de baño 250 l 250 dm3 250 m3

c) Botella de aceite de cocina 1 l 1 ml 1 m3

d) Bote de pintura 4 l 4 ml 4 m3

e) Frasco de medicina 40 l 40 ml 40 m3

f) Tanque de gasolina de un auto 50 cm3 50 l 50 ml

g) Un gotero para los ojos 1 dm3 1 ml 1 l

2. C CE %7 8 9

4 5 61 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

Utiliza la tabla de conversiones de la derecha para realizar las conversiones que se indican.

a) 1 kl = m3 d) 1 dl = cm3

b) 1 hl = dm3 e) 1 cl = cm3

c) 1 dal = dm3 f) 1 ml = cm3

3. La medida de capacidad más usual del sistema inglés es el galón (gal), que equivale a 3.785 litros.

a) ¿Qué parte de 1 galón es un litro? Subráyala.

• Menos de 14

de galón

• Más de 14

de galón

• Más de 12

de galón

¿En qué razones basas tu respuesta?b) El tanque de gasolina de un automóvil se llena con 50 litros. ¿Con

cuántos galones se llenaría?c) Un automóvil rinde 53 km por galón. ¿Cuántos kilómetros rinde

por litro?

• Las unidades de capacidad mayores que el litro son:

1 kilolitro (kl) = 1000 litros1 hectolitro (hl) = 100 litros1 decalitro (dal) = 10 litros

• Las unidades de capacidad menores que el litro son:

1 decilitro (dl) = 0.1 litro1 centilitro (cl) = 0.01 litro1 mililitro (ml) = 0.001 litro

Tema 15

118

d) Al empezar el mes de febrero de 2008, en el estado de Texas, el pre-cio promedio de un galón de gasolina era de 2.86 dólares. ¿Cuál era el costo de un litro en pesos mexicanos? (En ese entonces, el tipo de cambio –o precio de venta– era $ 11.01 por un dólar.)

4. C CE %

7 8 94 5 6

1 2 30 . =

±

÷

×

–

+ Realiza las siguientes conversiones:

a) 2 gal = l d) 3.4 gal = dm3

b) 3 m3 = gal e) 1 l = gal

c) 212

gal = m3 f) 4 l = gal

5. ✓ Un recipiente de cartón contiene 34

de litro de leche. ¿A cuántos mililitros equivale?

6. Una cisterna contiene 2 12

m3 de agua. ¿Cuántos litros de agua contiene?

7. Una botella de alcohol contiene 750 ml. ¿Qué fracción de un litro representa?

Las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides pueden aplicarse para calcular otros datos diferentes del volumen.

Analiza el siguiente problema: un refrigerador tiene una capacidad de 0.304 m3. ¿Qué profundidad tiene, si su interior mide 0.45 m de ancho y 1.30 m de alto?

Se trata de calcular una de las dimensiones de un prisma rectangular, conociendo las otras dos y su volumen. Al sustituir en la fórmula V = l × a × h los datos que se conocen, se obtiene una ecuación que se resuelve aplicando las propiedades de la igualdad:

0.304 = 0.45 × 1.30 × h0.304 = 0.585 × h

0.304h = 0.585

h = 0.52

Por tanto, la altura del refrigerador es 0.52 m.

Bloque 2

16.1. Resolución de problemas de

comparación de razones


119

16Comparación de razones

Entre los problemas que más comúnmente enfrentamos día con día, destacan los que tienen que ver con razones y proporciones: comparamos el rendimiento de los automóviles en kilómetros por litro de gasolina, el costo de los alimentos por unidad de peso o de capacidad, la velocidad

de dos vehículos por la distancia que recorren por unidad de tiempo, etc. En esta lección aprenderás a resolver este tipo de problemas.

Luis y Carmen hicieron un viaje por carretera. Luis recorrió 315 km en 3 horas, y Carmen, 412 km en 4 horas. En promedio, ¿quién manejó a mayor velocidad?


a) ¿Quién de los dos, Luis o Carmen, supones que manejó a mayor ve-locidad, en promedio?

¿En qué argumento basas tu respuesta? Coméntalo con un compa-ñero o compañera.

b) ¿Cuántos kilómetros, en promedio, recorrió Luis por cada hora?c) ¿Cuántos kilómetros, en promedio, recorrió Carmen por cada hora?d) En el caso de Luis, ¿cuál es la razón entre la distancia recorrida y el

tiempo que tardó en recorrerla?e) ¿Y en el caso de Carmen?f) ¿Cuál de las dos razones es mayor?g) ¿Quién de los dos manejó a mayor velocidad, en promedio?

Razón. Es la relación entre dos cantidades; se expresa mediante una fracción. Puede interpretarse como el número de unidades del numerador que corresponden al número de unidades del denominador. Por ejemplo, si con 19 litros de pintura se alcanza a pintar una superficie de 200 m2, la

razón 19200

expresa el

rendimiento de ese tipo de pintura.

1. En una pequeña población, 3 de cada 4 mujeres son casadas, y 4 de cada 5 hombres también son casados. Todos ellos se han casado una sola vez. Si hay 120 mujeres casadas, ¿cuántas son solteras? ¿Cuántos hombres son casados? ¿Cuántos hombres son solteros? ¿Cuántos habi-tantes (casados y solteros, hombres y mujeres) tiene la población?

Tema 16

120

2. En la tabla, escribe como razones las siguientes cantidades rela-cionadas. Reduce el denominador a la unidad.

7000 metros en 5 segundos

$ 12 000 en 15 días

10 800 segundos en 3 horas

19 308 metros en 12 millas

168 horas en 7 días

$ 360 por 2 kg

2000 calorías en 500 gramos

3. ✓ En cada caso, subraya la razón que exprese la mejor compra:

a) Mermelada A: 550 g$ 45.50

Mermelada B: 475 g$ 40.00

b) Aceitunas A: 95 g$ 18.00

Aceitunas B: 125 g$ 23.50

c) Cajeta A: 1200 g$ 50.00

Cajeta B: 900 g$ 45.00

d) Salsa A: 510 g$ 22.50

Salsa B: 325 g$ 15.00

Bloque 2

121

4. Julia escribe a máquina 900 palabras en 20 minutos, y Teresa, 1000 en 25 minutos.

a) ¿Quién de las dos es más rápida?b) Si ambas mantienen constante su rapidez, ¿cuántas palabras

escribe Julia en 100 minutos? ¿Y Teresa?c) Es común medir la rapidez de una persona para escribir a

máquina, en el número de palabras que puede escribir por minu-to. ¿Cuál es la rapidez de cada una?

5. Un avión recorrió 1575 km en dos horas y media, y otro, 2000 km en tres horas.

a) ¿Cuál se desplazó con mayor rapidez, en promedio?b) ¿Qué procedimiento puedes utilizar para saber cuál de los dos

aviones se desplazó con mayor rapidez, en promedio?c) En promedio, ¿cuántos kilómetros recorrió cada avión en una

hora?

6. Cristina puede recorrer en bicicleta 18 km en 1 hora, y Beatriz, 15.5 km en 45 minutos?

a) ¿Cuál de las dos maneja con mayor rapidez, en promedio?b) ¿Qué procedimiento puedes utilizar para saber cuál de las dos,

Cristina o Beatriz, se desplazó con mayor rapidez, en promedio? ¿Qué resultado obtuviste? Coméntalo con un compañero o com-pañera.

c) ¿Qué podrías hacer para saber cuántos kilómetros recorrería Beatriz en una hora?

d) ¿Qué podrías hacer para saber cuántos kilómetros recorrería Cristina en 45 minutos?

7. ✓ En cada caso, de las palabras encerradas en los paréntesis, subra-ya la que haga verdadera cada afirmación.

Explica a un compañero o compañera en qué basas tus respuestas.

a) Si dos razones tienen el mismo denominador, la mayor es la que tiene (mayor, menor) numerador.

b) Si dos razones tienen el mismo numerador, la mayor es la que tiene (mayor, menor) denominador.

8. Anota dos situaciones en las que requieras realizar una comparación de razones. Coméntalas con tus compañeros.

Tema 17

17.1. Interpretación y cálculo de

la media de datos agrupados

122

El siguiente polígono de frecuencias muestra la forma en que están dis-tribuidas las estaturas de los alumnos de segundo grado de una escuela.

0

10

5

15

25

35

45

20

30

40

Nú

mer

o d

e al

um

no

sfr

ecu

enci

as

Estatura (cm)

Estaturas de los alumnos desegundo grado

130-139 140-149 150-159 160-169 170-179

¿Cuál es el promedio de estaturas de estos alumnos?


a) ¿Cuántos alumnos miden entre 130 y 139 cm?b) ¿Cuántos miden entre 170 y 179 cm?c) ¿Cuál es el intervalo de estaturas con mayor frecuencia?d) Hay 20 alumnos cuyas estaturas se ubican en el intervalo 140-149 cm.

17Medidas de tendencia central

En esta sesión aprenderás que, para tener una idea del comportamiento de un fenómeno, muchas veces no es necesario tener todos los datos: son suficientes algunos valores que los resumen. En el curso pasado aprendiste a presentar e interpretar estos valores a partir de listados de datos sin

agrupar; en éste lo harás a partir de información presentada en gráficas poligonales con datos agrupados en intervalos.

Bloque 2

123

Estaturasencm Númerodealumnos Frecuencia×

PuntomedioIntervalo Punto medio Frecuencia

130-139 4

140-149 144.5 20 144.5 × 20 = 2890

Total

¿Puedes saber cuánto suman las estaturas de estos 20 alumnos? ¿Por qué?

Para resolver de manera aproximada, este inconveniente se acos-tumbra tomar como representante de un intervalo el punto que está a la mitad de ese intervalo, y se calcula dividiendo entre 2 la suma de sus extremos. En el caso del intervalo 140-149, ese punto es 144.5,

porque 140 + 149 = 144.5 2

.

e) C CE %7 8 9

4 5 61 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

Si se toma 144.5 cm como la estatura promedio de los alumnos que se ubican en el intervalo 140-149, ¿cuánto suman las estaturas de los 20 alumnos?

f) C CE %7 8 9

4 5 61 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

¿Cuáles son los puntos medios de los demás intervalos? Anótalos en la siguiente gráfica.

0

10

5

15

25

35

45

20

30

40

Nú

mer

o d

e al

um

no

sfr

ecu

enci

as

Estatura (cm)

Estaturas de los alumnos de segundo grado

g) C CE %

7 8 94 5 6

1 2 30 . =

±

÷

×

–

+ ¿Cuánto suman en promedio las estaturas en cada uno de los de-más intervalos? Completa la siguiente tabla para obtenerlas.

h) ¿Cuántos alumnos son en total?i) ¿Cuánto suman las estaturas de todos los alumnos?j) ¿Cuál es el promedio (o la media) de las estaturas de estos alum-

nos?

Intervalo modal. Es el intervalo que tiene mayor frecuencia.

Media (o promedio). Es el valor estadístico que más comúnmente se usa y es el más conocido.

Para calcular la media de un conjunto de datos agrupados en intervalos, se procede como sigue:

1. Se encuentra el punto medio de cada intervalo.

2. Se multiplica el punto medio de cada intervalo por la frecuencia absoluta correspondiente.

3. Se suman los productos anteriores.

4. Se divide esta suma entre el total de frecuencias absolutas.

Tema 17


124

200 000

7

79 500

1 027 500

298 500

73 500 21 000

22 37 52 67

400 000

600 000

800 000

1 000 000

1 200 000

Edades (en años)

Distribución de emigrantes mexicanosa Estados Unidos por edad, de 1995 a 2000

Población total de emigrantes mexicanos: 1 500 000

Nú

mer

o d

e em

igra

nte

s fr

ecu

enci

as

FUENTE: INEGI en Mujeres y hombres en México 2005.

1. ✓ En el periodo 1995-2000, el número de mexicanos que emigró a Estados Unidos en busca de mejores condiciones de vida fue de 1 500 000, aproximadamente. El siguiente polígono de frecuencias muestra la composición por promedio de edad de cada grupo de emigrantes.

a) ¿Cuántos mexicanos emigran alrededor de los 7 años de edad?b) ¿Alrededor de qué edad emigran más mexicanos a Estados Unidos?c) ¿Cuál es el total de emigrantes mexicanos en el periodo 1995-2000?d) C CE %

7 8 94 5 6

1 2 30 . =

±

÷

×

–

+

Hay 79 500 emigrantes de alrededor de los 7 años de edad. ¿Cuánto suman las edades de todos estos emigrantes?

e) ¿Cuánto suman las edades en cada uno de los demás intervalos? Completa la siguiente tabla para obtenerlas.

EdadenañosNúmerodeemigrantes

Frecuencia

7 79 500 7 × 79 500 = 55 6500

Total

f) C CE %7 8 9

4 5 61 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+

¿Cuánto suman las edades del millón y medio de emigrantes?

Bloque 2

125

g) ¿Cuál es la edad promedio de los mexicanos que emigraron a Es-tados Unidos en el periodo 1995-2000?

h) En la gráfica anterior sólo se muestran los puntos medios de los inter-valos de edad. Por ejemplo, 7 es el punto medio del intervalo 0-14 años. ¿Cuáles son los valores extremos de los demás intervalos?

2. ✓ Al analizar 32 marcas diferentes de jugo de manzana, se encontró que la cantidad de mg de vitamina C, por cada 100 gramos, que con-tienen son las siguientes:

20, 24, 20, 27, 18, 22, 22, 35, 27, 25, 30, 18, 24, 27, 30, 18, 19, 25, 27, 24, 27, 20, 22, 28, 24, 21, 24, 32, 26, 34, 27, 16

a) ¿Qué cantidad de vitamina C se repite con más frecuencia en las marcas de jugo de manzana?

b) ¿Cuántas de estas marcas contienen más de 25 mg de vitamina C?

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de vitamina C que contienen estos productos?

d) Completa la tabla de frecuencias con los datos obtenidos en el estudio.

CantidaddevitaminaC,enmg

Marcasdejugodemanzana

Frecuencia3

puntomedioIntrvalo Punto medio Frecuencia

16-20

21-25

26-30

31-35

e) ¿En qué intervalo se encuentra el mayor número de marcas de jugo?f) ¿Cuánto suman las cantidades de vitamina C en cada intervalo?g) ¿Cuánto suman las cantidades de vitamina C de todos los datos?h) ¿Cuál es la media de las cantidades de vitamina C de estos pro-

ductos?i) Comenta con tus compañeros de grupo cómo se obtiene la

media de datos sin agrupar, y cómo se obtiene la media de datos agrupados.

j) Comparen el valor de la media sin agrupar los datos y el de la media de datos agrupados.

• ¿Estos valores están en el mismo intervalo?• ¿Qué representa el hecho de que ambos valores se encuentren

en el mismo intervalo?• ¿Cuáles son las ventajas de obtener la media de datos agrupados?

Tema 17

126

3. Obtén la estatura de cada uno de tus compañeros de grupo y copia en tu cuaderno la siguiente tabla para organizar los datos, agrega los renglones que necesites para registrar todas las medidas.

Estaturasencm Númerodealumnos Frecuencia3

puntomedioIntervalo Punto medio Frecuencia

130-134

135-139

140-144

a) ¿Cuántos alumnos en total hay en tu grupo?b) ¿Cuál es la estatura promedio (media aritmética ) en tu grupo?c) ¿En qué intervalo de estaturas se encuentra la mayor frecuencia?

¿Cuál es el punto medio de ese intervalo?d) Imagina que tu escuela ha comprado bancas nuevas y que son de

dos tamaños, grandes y chicas. El director ha decidido entregar bancas grandes a aquellos grupos en que la estatura promedio de los alumnos sea mayor o igual a 160 cm. ¿Cuál de los dos valores, el de la media aritmética o el del punto medio utilizarías como promedio para que en tu grupo dieran bancas grandes?

4. ✓ Un alumno solamente anotó algunos de los datos de la siguiente tabla. Complétala considerando que el valor de la media aritmética es 55.25 kg y el intervalo modal es 50 a 54 kg.

PesoenkgNúmero

dealumnosFrecuencia

3puntomedioIntervalo Punto medio Frecuencia

40 a 44 42 168

45 a 49 47 8 376

50 a 54 10

55 a 59 57 6 342

60 a 64 62 248

65 a 69 67 5

70 a 74 2

75 a 79 77 77

Total 40

matemáticas - · pdf filehoja electrónica de cálculo, cuya consulta...

Documents