clase 1 conteo

C O N T E OC O N T E O

ESTRUCTURAS DISCRETAS I

C O N T E OC O N T E OIntroducción

• El estudio sistemático del conteo (o de combinatoria)comenzó en el siglo XVII, cuanto se plantearonproblemas combinatorios en el estudio de los juegos deazar

• Las técnicas de conteo son importantes en matemáticasy en las ciencias de la computación

• Hay que contar para determinar– la complejidad de un algoritmo– si hay suficiente números de teléfono o suficientes direcciones

IP para satisfacer la demanda de los mismos– las contraseñas permitidas en un sistema informático– Etc.


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“La combinatoria trata, antetodo, de contar el número demaneras en que unos objetosdados pueden organizarse deuna determinada forma.”

Introducción a la combinatoriaIan Anderson

CombinatoriaEl arte de contar


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En 1858 el egiptólogo escocésA. Henry Rhind compró en Luxor(Egipto) el papiro que actualmente seconoce como papiro Rhind o deAhmes, encontrado en las ruinas deun antiguo edificio de Tebas. Fueescrito por el escriba Ahmesaproximadamente en el año1650 antes de nuestra era.

Comienza con la frase:“Cálculo exacto para entrar enconocimiento de todas las cosasexistentes y de todos los oscurossecretos y misterios.”

El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm deancho. Representa la mejor fuente de informaciónsobre matemática egipcia antigua conocida.

El papiro Rhind (problema 79)


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Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución.Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas,fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones,repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones linealesy trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria.Veamos una versión “moderna”...

El papiro Rhind (problema 79)


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Según iba a St. Ivesme crucé con un hombre con 7 esposas.Cada esposa tenía 7 sacos,cada saco tenía 7 gatos,cada gato tenía 7 gatitos.Gatitos, gatos, sacos y esposas.¿Cuántos iban a St. Ives?

St. Ives Mother Goose(La mamá oca de San Ives)

C O N T E OC O N T E O¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora ydos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones ydiagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar queéstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en queocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio:•Aditivo (principio de la suma)•Multiplicativo (principio del producto)

C O N T E OC O N T E O Principios fundamentales

Principio de la suma

Una actividad puede realizarse de distintas maneras que son

mutuamente excluyentes, es decir, que no pueden ocurrir al mismo

tiempo. Si de una manera se puede hacer de n formas y de otra, de m

formas, entonces hay m+n maneras distintas de realizar la actividad.

A Bm formas

k formas

n formas

Hay k + m + n posibilidades

de ir desde A hasta B, de

tres maneras distintas

Se aplica en procesos deconteo susceptibles de ser

divididos en casos


Principio de la multiplicación

Si una actividad puede realizarse en dos pasos sucesivos (debe ocurrir

uno y después el otro) de manera tal que el paso 1 se realiza de n

maneras y el paso 2 de m maneras, entonces la actividad puede

realizarse de m*n maneras distintas.

A Bm formas n formas

Hay m * n posibilidades de

ir desde A hasta B


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Usted está comiendo en el restaurante de Emile y el camarero le informa de quetiene (a) dos opciones para los aperitivos: sopa o jugo (soup or juice); (b) trespara el plato principal: una carne, pescado, o vegetal plato (a meat, fish, orvegetable dish); y (c) dos de postre: helado o pastel (ice cream or cake).

El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12

DIAGRAMAS EN ÁRBOL O ÁRBOLES(un tipo sencillo de grafos)

La soluciónes el númerode ramas finalesdel árbol.


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El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2.El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3.El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1 y c2.

El total de posibilidades será: 2 * 3 * 2 = 12

c1 c2

b1 b2 b3

a1 a2

b1 b2 b3

c1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2c1 c2


12

Alfabeto Braille

¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?

6364222222654321


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La regla del producto o principio multiplicativo

Si una elección tiene m alternativasposibles y otra n, entonces larealización de ambas tiene m x n.

15

214

14

101,54334.332.961.518.999.

21122111111

Mozart compuso un vals con 11 posibilidadesdistintas para 14 de los 16 compases y 2posibilidades para cada unode los restantes. ¿Se habrán llegado a escucharalguna vez todas las realizaciones posibles?


14

¿De cuántas formas se

pueden escoger dos fichas

de dominó de las 28 que

hay, teniendo en cuenta el

orden, y de forma que se

puedan aplicar una a la otra

(es decir, de modo que se

encuentre el mismo número

de tantos en ambas fichas)?

Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n,entonces la realización de ambas tiene m x n.

C O N T E OC O N T E OEscojamos la primera ficha.Esto se puede hacer de 28 maneras:

En 7 casos la ficha elegida será un “doble”, esdecir, tendrá la forma 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66.

Y en 21 casos será una ficha con distintonúmero de tantos. Por ejemplo 05, 13, 46, etc.

En el primer caso (ficha doble), la segunda fichase puede elegir de 6 maneras. Por ejemplo, sien el primer paso fue elegida la ficha 11. En elsegundo se puede tomar una de las fichas

10, 12, 13, 14, 15 o 16.


En el segundo caso, la segunda ficha se puedeescoger de 12 maneras. Por ejemplo para la ficha 35servirán las 03, 13, 23, 33, 43, 63, 50, 51, 52, 54, 55, 56.

Según la regla del producto, en el primer casoobtenemos 7 x 6 = 42 elecciones, y en el segundo,21 x 12 = 252.

Así que en total tendremos:42 + 252 = 294 formas.

C O N T E OC O N T E O Algunos problemas

En una campaña electoral hay 8 candidatos de centro-derecha (CD) y 6candidatos de centro-izquierda (CI), nominados para el cargo dePresidente del Concejo municipal.

(a) Si el presidente es alguno de ellos, ¿Cuántas opciones de ganadorhay?

Ejemplo 1

CD CI

8 6

8+ 6 = 14 opciones

P PoCD CI

Proceso mutuamente excluyente.No puede ser al mismo tiempo

de CD y de CI


En una campaña electoral hay 8 candidatos de dentro-derecha (CD) y 6candidatos de centro-izquierda (CI), nominados para Presidente delConcejo municipal.

(b) Si en la contienda final hay dos finalistas, ¿Cuántas posibilidadesexisten de que sean una pareja de candidatos opositores?

Ejemplo 1

CD CI

8 6

8 * 6 = 48 opciones

P1 P2yCD CI

Proceso que ocurre en pasossucesivos e independientes.

Seleccionamos un candidato CDy después otro CI

independientemente de cualhaya sido el candidato de CD


• Muchos problemas de conteo no se puede resolver utilizando solo elprincipio de la suma o del producto. Es necesario utilización simultaneade ambos


Ejemplo 2:

¿De cuántas maneras distintas se puede ir de A hasta B?

A C B

Hay 3 caminos distintos para irdesde A hasta B sin pasar por C

Primer caso:Sin pasar por C

Hay 4*3 = 12 caminosdistintos para ir desde Ahasta B, pasando por C

Segundo caso:Pasando por C

Hay 12 + 3 = 15 caminos distintospara ir desde A hasta B

A C B


• En una versión del lenguaje BASIC, el nombre de una variable es unacadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, y las letras mayúsculas yminúsculas no se distinguen. Además, un nombre de variable debeempezar con una letra y debe ser diferente de las cinco cadenas de doscaracteres que están reservados por el lenguaje. ¿Cuántos nombres devariables distintos hay en dicha versión del lenguaje BASIC?

Ejemplo 3:

V1V2

El numero de variables compuestas por un solo carácterEl numero de variables compuestas por dos caracteres

V El numero de nombres de variables disponibles

V1 = 26 V2 = 26 * (26 + 10) – 5 = 931

Variables de un solocarácter (solo letra)

Variables de un solocarácter (letra + numero)

Combinacionesreservadas por lenguaje

V = V1+v2 = 26 + 931 = 957


Las placas de los vehículos hasta hace 6 años, estaban conformadas por 3letras y 3 dígitos

(a) ¿Cuántas placas distintas se podían formar?

Ejemplo 3

26 ABD102 BDA012,

AAA888 es una placa

Proceso que ocurre en pasossucesivos.

L L L D D D26 26 10 1010

26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 = 263 * 103

(b) Ahora se forman con 3 letras, 2 dígitos y 1 letra, ¿Cuántas placasdistintas se pueden formar?


• Cada usuario de una computadora tiene una contraseña, con una longitudde entre 6 y 8 caracteres, cada uno de los cuales es bien un digito o bienuna letra. Cada contraseña debe contener al menos un digito. ¿Cuántascontraseñas distintas admita el sistema?

Ejemplo 4:

P El numero total de contraseñas

P6 = 366 – 266 = 1 867 866 560

Numero de cadenas delongitud 6, incluyendo

que no contienen ningúndigito

P = P6 +P7 + P8

P6, P7 y P8 El numero total de contraseñas de longitud 6, 7 y 8

Numero de cadenas delongitud 6 que no

contienen un digito

P7 = 367 – 267 = 70 332 353 920P8 = 368 – 268 = 2 612 282 842 880

P = 2 684 483 063 360


Tomemos a 6 estudiantes, digamos A, B, C, D, E, F, para conformar unaplancha estudiantil cuyos cargos son Presidente (P), Tesorero (T) ySecretario (S)

(a) ¿Cuántas planchas pueden conformarse?

ABCDEF

P T S

6 * 5 * 4 = 120 planchas

BCDEF

BCEF

ABCDEF

BCDEF

BCEF

5 46 • •

Ejemplo 5


Ejemplo 5

2 * 4 * 3 = 24 + 4 * 3 * 2 = 24 ►►►► 24+24= 48

P T S

CEF

AB

CDEF

(b) Si A y B sólo se postulan para Presidente y no pueden ser tesorero nisecretario, ¿Cuántas planchas pueden conformarse?

Primer caso Segundo caso

CF

P T S

CDEF

CDF

Estudiamos casos separados


Ejemplo 5

5 * 4 * 3 = 60 planchas que no tiene A en ningún puesto

(c) Del número de planchas conformadas en la parte (a), ¿Cuántas tienenen algún puesto a A?

Parece mas fácil resolverlo por el complemento:El número total de planchas menos las que no tiene A en ningún puesto

BCDEF

P T S

BCEF

BCE

120 planchas en total

120 - 60 = 60 planchas que tienen A en algún puesto


Ejemplo 5

60 + 60 - 24 = 96 planchas que tienen A ó B en algún puesto

(d) Del número de planchas conformadas en la parte (a), ¿Cuántastienen A ó B en algún puesto?

60 planchas tienen A en algún puesto(por (c))

Ambos casoscontienen a las que

tienen A y B almismo tiempo

Primer caso

Segundo caso

Estudiamos casos separados

60 planchas tienen B en algún puesto(por (c))

¿Cuántas tienen A y B al mismo tiempo?

A

P T S

CDEFB

P T S P T S P T S P T S P T SB A A B B A A B B A

CDEF

CDEF

CDEF

CDEF

CDEF

Complemento

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24


Problema 1

El consejo directivo de una empresa farmacéutica tiene 10 miembros. Deestos, serán elegidos 4 para conformar una plancha cuyos cargos sonPresidente (P), Vicepresidente (VP), Tesorero (T) y Secretario (S).

(a) ¿Cuántas listas o arreglos distintos pueden conformarse?

(b) Si 3 miembros son médicos, ¿Cuántas listas tienen un médico en lapresidencia?

(c) ¿Cuántas listas tienen exactamente un médico?

(d) ¿Cuántas listas tienen al menos un médico?


Solución

10 * 9* 8*7 = 5.040 listas(a)VP T SP

10 9 8 7

3 * 9* 8*7 = 1.512 listas(b)VP T SP

3 9 8 7

3*7*6*5 = 630 listas tienen un médico en la presidencia(c)VP T SP

3 7 6 5

El médico puede estar en P, VP, T y S. 4*630=2.520 listas con un médico exacto

El complemento de los que no tienen ningún médico(d)

VP T SP7 6 5 4

5.040 - 7 * 6* 5*4 = 5.040 - 840 = 4.200 listas


• Supongamos que un modelo de camiseta se fabrica en 5 tallas diferentes:S, M, L, XL, XXL, además, cada talla se fabrica en los colores blanco(B),negro (N), rojo (R) y verde (V), excepto talla XXL, que solo se fabrica enverde y negro. ¿Cuántas camisetas diferentes debe haber en el almacénde una tienda se quiere tener disponible una de cada modelo ?

Ejemplo 6:

B R V N

S

B R V N

M

B R V N

L

B R V N

XL

V N

XXL

C O N T E OC O N T E O• Algunos problemas de conteo se puede resolver utilizando diagramas en

árbol

Diagrama en árbol

• Una eliminatoria entre 2 equipos consiste en, a lo mas, 5 partidos. Elprimer equipo que gane tres partidos resulta vencedor. ¿Cuántos posiblesdesarrollos de la eliminatoria puede darse?

Ejemplo 7:

Partido 1

Partido 2

Partido 3

Partido 4

Partido 5

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2

Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2

Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2

Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

Eq. 2 Eq. 1

clase 1 conteo

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