Matemáticas I

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Matemáticas I. Telesecundaria fue elaborado por la Dirección General de Materiales Educativos (dgme) de la Subsecretaría de Educación Básica, Secretaría de Educación Pública.

Coordinación técnico-pedagógicaDirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos, dgme/sep María Cristina Martínez Mercado, Gabriel Calderón López, Alexis González Dulzaides

AutoresDiana Karina Hernández Castro, José Alfredo Rutz Machorro, Citlali Yacapantli Servín Martínez, Eladio Escobedo Trujillo, Francisco Ángel Vela Sánchez, Leonardo Jiménez Hernández, Adriana Rodríguez Domínguez, Olga Leticia López Escudero, Manuel García Minjares, Jesús Manuel Hernández Soto, Víctor Manuel García Montes, Ana María López Avilés, Mauricio Héctor Cano Pineda, Jesús Miguel Buendía Solorio

Revisión técnico-pedagógicaÁngel Daniel Ávila Mujica

Coordinación editorialDirección Editorial dgme/sep

Alejandro Portilla de Buen, Olga Correa Inostroza

Cuidado editorial Anne Alberro Semerena

Producción editorialMartín Aguilar Gallegos

Primera edición, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2012 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.

ISBN

Impreso en Méxicodistribución gratuita-prohibida su venta

Servicios editorialesRocío Mireles Gavito

Diseño y diagramaciónRocío Mireles Gavito, Bruno Contreras, Fernando Villafán

Investigación iconográficaCynthia Valdespino, Erandi Alvarado

Corrección de textosEduardo Méndez Olmedo

IlustracionesLeonardo Olguín Landa (pp. 20b, 73, 75, 83, 107, 129, 159, 169, 180, 183, 184, 185, 191c, 194, 203, 211, 212, 220, 244, 250, 259).

Créditos iconográficosAdam Wiseman (p. 239); Bruno Contreras (pp. 27, 28, 50, 53, 57, 59, 60, 147, 191b, 214-216, 271a); Cynthia Valdespino (pp. 8, 12, 14, 63, 78, 81, 93, 96, 99, 118, 119, 131, 134, 157, 160, 164, 176, 189, 207, 227, 234); Fernando Villafán (pp. 20a, 33, 62, 67, 166, 191a, 210, 242, 278); Rocío Mireles Gavito (pp. 98, 243); iStockphoto (pp. 22, 23, 29, 66, 71, 88, 94, 101, 103, 104, 105, 124, 128, 150, 151, 162, 175, 208, 248, 249, 252, 271, 279, 282)

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Presentación institucionalPresentación

En el marco del Acuerdo 592, por medio del cual se establece la Articulación de la Educación Básica, así como del Acuerdo 593 que señala los programas de estudio de la asignatura de Tecnología para la educación secundaria, la Secretaría de Educación Pública ha consolidado una propuesta de libros de texto, a partir de un nuevo enfoque centrado en la participación de los alumnos en su proceso de aprendizaje y en el desarrollo de las competencias básicas para la vida y el trabajo. Especialmente en el contexto de la Telesecundaria, el libro de texto se complementa con las Tecnologías de la Información y Comunicación (tic), con los objetos digitales de aprendizaje, los materiales y equipos audiovisuales e informáticos que, junto con las bibliotecas escolares, representan el soporte pedagógico de los niños mexicanos en su proceso de adquisición del conocimiento escolarizado.

Esta nueva generación de libros de texto para Telesecundaria responde al principio de mejora continua, por lo que ha puesto atención en el replanteamiento de las cargas de contenido para centrarse en estrategias innovadoras para el trabajo escolar, incentiva habilidades orientadas al aprovechamiento de distintas fuentes de información, busca que los estudiantes adquieran habilidades para aprender de manera autónoma incentivando el uso intensivo de la tecnología informática. Asimismo, con la intención de dar continuidad a la propuesta editorial iniciada en los libros de texto de primaria, en este libro se ha fortalecido la línea editorial que promueve una lectura integral capaz de interpretar tanto el discurso textual como el visual. Se ha incluido en sus páginas una muestra representativa de géneros y técnicas plásticas, así como propuestas iconográficas que no sólo complementan el contenido textual, sino lo enriquecen y conforman por sí mismos una fuente de información para el alumno.

En la preparación de este libro confluyen numerosas acciones de colaboración de organismos y profesionales, entre los que destacan asociaciones de padres de familia, investigadores del campo de la educación, instituciones evaluadoras, maestros, editores y expertos en diversas disciplinas. A todos ellos la Secretaría de Educación Pública les extiende un agradecimiento por el compromiso demostrado con cada niño residente en el territorio nacional y con aquellos mexicanos que se encuentran fuera de él.

Secretaría de Educación Pública

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Bloque 2

Bloque 1

Índice

Conoce tu libro 6

8

Secuencia 1 De fracción a número decimal 10

Secuencia 2 Fracciones y decimales en la recta 18

Secuencia 3 Sumas y restas de fracciones 26

Secuencia 4 Sucesiones de números y figuras 31

Secuencia 5 Literales en fórmulas geométricas 40

Secuencia 6 Trazo de triángulos y cuadriláteros 50

Secuencia 7 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los triángulos 56

Secuencia 8 Reparto proporcional 62

Secuencia 9 Juegos de azar 68

78

Secuencia 10 Criterios de divisibilidad 80

Secuencia 11 MCD y mcm 88

Secuencia 12 Sumas con fracciones y decimales 93

Secuencia 13 Multiplicación y división con fracciones 98

Secuencia 14 Propiedades de la mediatriz y bisectriz 106

Secuencia 15 Fórmulas para calcular área y perímetro 112

Secuencia 16 Proporcionalidad directa 118

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Bloque 5

Bloque 4

Bloque 3 124

Secuencia 17 Multiplicación con decimales 126

Secuencia 18 División con decimales 130

Secuencia 19 Ecuaciones de primer grado 134

Secuencia 20 Construcción de polígonos regulares 142

Secuencia 21 Cálculo de área y perímetro 149

Secuencia 22 Factor de proporcionalidad 154

Secuencia 23 Registro de una experiencia aleatoria 162

Secuencia 24 Análisis de frecuencia absoluta y relativa 170

178

Secuencia 25 Números positivos y negativos 180

Secuencia 26 El círculo y cómo construirlo 189

Secuencia 27 Pi en el círculo 196

Secuencia 28 Regla de tres 203

Secuencia 29 Proporcionalidad utilizando escala 210

Secuencia 30 Problemas de conteo 214

Secuencia 31 Tipos de gráficas 225

234

Secuencia 32 Sumas y restas con enteros 236

Secuencia 33 Notación exponencial 244

Secuencia 34 Raíz cuadrada 252

Secuencia 35 Sucesiones con progresión aritmética 262

Secuencia 36 Área y perímetro del círculo 269

Secuencia 37 Proporcionalidad múltiple 278

Hoja para las familias 284

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6

Bloque 1• Convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conocer y utilizar las convenciones para representar

números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

• Representar sucesiones de números o de figuras a partir

de una regla dada y viceversa.

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Bloque 2• Resolver problemas utilizando el máximo común divisor

y el mínimo común múltiplo.

• Resolver problemas geométricos que impliquen

el uso de las propiedades de las alturas, las medianas,

las mediatrices y las bisectrices en triángulos

y cuadriláteros.

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Bloque 3• Resolver problemas en los que se tengan que efectuar

multiplicaciones y/o divisiones con fracciones y números

decimales.

• Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones

de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde

a, b y c son números naturales y/o decimales.

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de

cualquiera de las variables de las fórmulas para encontrar

el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y

polígonos regulares. Explicar la relación que existe entre

el perímetro y el área de las figuras.

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Bloque 4• Construir círculos y polígonos regulares que cumplan con

ciertas condiciones establecidas.

• Leer información presentada en gráficas de barras

y circulares. Utilizar estos tipos de gráficas para

comunicar información.

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Bloque 5• Resolver problemas aditivos que impliquen el uso de

números enteros, fraccionarios o decimales positivos

y negativos.

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz

cuadrada y potencias de números naturales y decimales.

• Resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo

“valor faltante”, en los que la razón interna o externa es

un número fraccionario.

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Has estudiado Matemáticas durante toda la primaria. Ahora que inicias la se-cundaria, uno de los propósitos del plan de estudios es que uses lo que ya sa-bes para aprender los nuevos conocimientos que te serán presentados. Tu profesor, con el apoyo de este libro y con el uso de algunos recursos tecnológi-cos, te ayudará a que lo logres.

Lo primero será conocer tu libro y familiarizarte con los elementos que lo forman.

Tu libro de Matemáticas consta de cinco bloques. Cada uno contiene varias secuencias de aprendizaje. En cada secuencia estudiarás un tema del programa de Matemáticas a través de varias sesiones. Una sesión está diseñada para que la trabajes en una clase, aunque en oca-siones será necesario que le dediques un poco más de tiempo.

Conoce tu libro

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7

En cada secuencia de aprendizaje podrás encontrar los apartados siguientes:

196

Secuencia 27Pi en el círculo

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Sesión 108En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.

 ¿Qué sabes tú?Observa la siguiente imagen.

Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área del círculo de la imagen anterior.

¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?

círculocircunferencia

radi

o

diámetro

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176 177

Sesión 98Evaluación

Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.

1. Jacinto requiere comprar 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda en internet. ¿Cuántos pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en $14.30?

a) $ 2 152.534

b) $ 2 152.354

c) $ 2 152.435

d) $ 2 152.4035

2. Considera la ecuación 9 x = 270.

¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior?

a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm.

b) El área de un eneágono regular mide 270 cm.

c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm.

d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm.

3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se muestra en la tabla.

Tiempo (minutos) 21 min 42 min 55 min 84 min

Distancia 7 km 14 km 28 km

Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió?

a) 15.00 km

b) 20 km

c) 18.33 km

d) 22 km

4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas hojas higiénicas contiene el rollo?

a) 300.23

b) 499.10

c) 400.51

d) 420.19

5. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares el área es de 20 m2?

2 cm

a = 4

2 cm

a = 1.37

2 cm

a = 2.61

2 cm

a = 5.00

6. En una caja se colocan 12 lápices del mismo tamaño y textura, 3 son azules, 3 rojos, 2 amarillos, 2 negros, 1 verde y 1 morado. ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera?

a) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color morado que uno verde.

b) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color azul que uno rojo.

c) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color rojo que uno amarillo.

d) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color amarillo que uno negro.

La siguiente tabla ilustra el consumo de energía eléctrica en kilowatts (kW) de 4 casas durante 5 meses.

Mes Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo

Casa 1 86 95 105 88 102

Casa 2 78 89 110 80 97

Casa 3 76 98 89 78 114

Casa 4 89 100 65 117 76

7. ¿En qué mes se consumió la mayor cantidad de ener-gía eléctrica?

a) Enero

b) Febrero

c) Diciembre

d) Marzo

8. ¿Qué casa consumió menos energía durante los cinco meses?

a) Casa 1

b) Casa 2

c) Casa 3

d) Casa 4

9. ¿Qué polígono regular se puede generar a partir del ángulo mostrado?

a) Dodecágono

b) Undecágono

c) Pentadecágono

d) Icoságono

156°

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76

3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma

bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados?

Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?

Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Consideran que infl uye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?

Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más

frecuencia?

¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción?

Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más.

Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Describe un juego que sea de azar.

2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la canica por la salida 1?

a)1 1 112 2 223 33 4

b) c) d)

En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontar alguna estrategia de juego.

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Sesión 129En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.

 Manos a la obra1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los

integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.

Convivencia social

Asistencia a eventos culturales, deportivos y de entretenimiento

Deportes y ejercicio físico

Participación en juegos y aficiones

Utilización de medios masivos de comunicación

59.0

4.2

2.16.7

28.1

Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.

¿A qué actividad le dedican más tiempo?

¿A qué actividad le dedican menos tiempo?

A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato.

Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.

Consulta en…

Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas:

<http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico>

<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf>

<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf>

<http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P>

<http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html>

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110 111

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

También es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas de un ángulo.

Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres ángulos internos es también la mediatriz de los lados opuestos.

Sesión 60 Sesión 61En esta sesión continuarás aplicando las propiedades de la bisectriz de un ángulo.

 Manos a la obraFormen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.

Un dato interesante…

Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que esto es imposible.

Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de este punto a los lados del ángulo. Mídelas.

¿Qué observas?

En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las pro-piedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y tra-zo de esta situación.

Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tama-ños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen con color rojo las partes en las que se observen las propie-dades de dicho lugar geométrico.

En la figura de la derecha podemos observar un triángulo rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vérti-ce B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué pun-tos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre el puente?

b

ca

A

B

C

¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para colocar las tres cuerdas?

¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma distancia uno del otro?

¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?

En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.

 Manos a la obra1. Resuelve lo siguiente.

a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.

b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con un color los que, además de ser ejes de simetría, también sean mediatrices de algún lado de las figu-ras, y con otro color los que sean bisectrices de algún ángulo de las figuras.

c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres lados del siguiente triángulo (pista: re-cuerda que cualquier punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de los dos lados que lo forman).

 AutoevaluaciónTraza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad.

Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con color rojo las distancias de los puntos a los lados del ángulo. Define la propiedad.

Consulta en…

Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

P Q

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200

Sesión 111En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.

 Manos a la obraLleva a cabo las siguientes actividades.

1. Observa la imagen.

Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno.

¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?

¿Y con el área?

¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?

¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo?

2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.

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EvaluaciónSe te presentarán tanto ejercicios como problemas en los que podrás elegir la respuesta correcta entre cuatro opcio-nes, aunque en algunos casos tendrás que escribir una respuesta breve.

Consulta en…

Son sugerencias para que revises otros ma-teriales, de modo que puedas ampliar y ejercitar tus aprendizajes por medio de vi-deos, libros de la biblioteca y sitios de in-ternet, entre otros.

En cada bloque encontrarás:

Un dato interesante…

Es una información curiosa y a veces poco conocida.

AutoevaluaciónSu propósito es que valores los aprendi-zajes, tanto de conocimientos como de habilidades, que desarrollaste durante la secuencia, contestando una pregunta o completando alguna información.

 Manos a la obraInicia con una breve introducción, la cual continúa con una actividad en la que hallarás preguntas que te ayudarán a construir tu conocimiento y a analizar lo que estés aprendiendo. Algunas veces trabajarás individual mente y otras en equipo o con todo el gru-po. En esta sección también encontrarás las conclu-siones sobre los conceptos estudiados.

¿Qué sabes tú?Es una actividad que te permitirá diagnosticar y rescatar las ideas previas. Aquí se relaciona el nuevo conocimiento que aprenderás con algo que ya hayas estudiado.

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Bloque 1

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• Convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conocer y utilizar las convenciones para representar

números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

• Representar sucesiones de números o de figuras a partir

de una regla dada y viceversa.

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10

Secuencia 1

De fracción a número decimal

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Sesión 1En esta sesión identificarás lo que es una fracción decimal.

 ¿Qué sabes tú?Reúnete con un compañero y organicen en la tabla las fracciones siguientes, considerando si son decimales o no.

34

37

12

310

59

31100

16

58

231000

9210

411

Fracciones decimales Fracciones no decimales

Escriban en la tabla dos ejemplos más en cada columna.

Comenta con tu compañero cómo establecieron cuáles son las fracciones decimales.

Recuerda que toda expresión de la forma ab ,

donde b es diferente de cero, recibe el nombre de fracción común.

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11

1. Junto con tu compañero, revisen la tabla donde clasificaron las fracciones.

Contesten lo siguiente:

Las que se encuentran en la columna denominada fracciones decimales, ¿son también

fracciones comunes?

Observen las fracciones siguientes:

310

31100

231000

¿Qué pueden comentar sobre los denominadores?

2. En equipos, contesten lo que se les pide.

Escriban una fracción decimal que sea equivalente a 25 =

¿Cómo obtuvieron esa fracción decimal equivalente?

Encuentren una fracción decimal que sea equivalente a 23 =

¿Pudieron obtenerla?

¿Por qué?

Completen el siguiente enunciado:

Una fracción común puede expresarse como fracción decimal cuando…

A las fracciones comunes que tienen como denominador una potencia de 10, es decir 10, 100 y 1 000… se les conoce como fracciones decimales.

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12

Sesión 2En esta sesión representarás fracciones comunes en su notación decimal.

 Manos a la obra 1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

Adrián compró cuatro carretes de listón de 15 m cada uno, necesita hacer moños de dife-rentes tamaños y para ello cortará un carrete en 10 trozos iguales, un segundo en 30, el tercero en 5 y el cuarto en 2.

¿Cuánto medirá cada trozo?

Del primer carrete Del segundo carrete

Del tercer carrete Del cuarto carrete

¿Cómo determinaron lo que debe medir cada tramo de listón?

¿Realizaron alguna operación?

¿Cuál?

¿Cuáles trozos se pueden representar con una fracción decimal?

2. En equipos, realicen las divisiones que indican las fracciones comunes siguientes. Aproxi-men sus resultados a dos o tres cifras decimales.

a) 45 = b) 3

10 = c) 214 = d) 35

100 =

e) 57 = f) 4

9 = g) 715 = h) 3

2 =

Pongan atención en los residuos de las divisiones que efectuaron y contesten lo siguiente:

¿En cuáles casos pudieron calcular el cociente exacto, es decir, obtuvieron como residuo 0?

¿Qué observan en los cocientes donde no se obtuvo residuo 0?

Con la participación de todo el grupo y con la guía de su profesor concluyan cómo obtener la notación decimal de una fracción común. Anótalo en tu cuaderno.

En algunas ocasiones, las fracciones comunes representan divisiones como en el problema anterior, donde el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor, esto es

nd = d n

Una fracción se puede escribir también con nota-ción decimal.

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13

En esta sesión obtendrás la representación de números decimales como fracciones comunes.

Sesión 3

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

Al dividir ciertos números enteros entre una potencia de 10 (por ejemplo 10, 100 o 1 000) Noemí obtuvo los siguientes cocientes: 0.4, 0.45, 0.125, 0.564, 2.6 y 13.567. Indiquen un posible divisor y un posible dividendo correspondiente a cada cociente.

Cociente 0.4: divisor , dividendo

Cociente 0.45: divisor , dividendo

Cociente 0.125: divisor , dividendo

Cociente 0.564: divisor , dividendo

Cociente 2.6: divisor , dividendo

Cociente 13.567: divisor , dividendo

Comparen sus respuestas con las de otros equipos.

Obtengan las fracciones decimales correspondientes a las divisiones anteriores.

2. En parejas, contesten las preguntas siguientes.

a) En una clase de telesecundaria Martín dice que 0.4 corresponde a 410 , y Héctor que a 25 .

¿Quién de los dos tiene la razón?

b) Salvador afirma que 0.45 corresponde a 920 , y Guadalupe que a 45

100 .

¿Quién de los dos está en lo correcto?

¿Son equivalentes las fracciones 920 y 45

100 ? ¿Por qué?

c) Rosa dijo que al transformar ciento veinticinco milésimas a una fracción decimal y sim-

plificarla, obtuvo 18 . ¿Es correcto lo dicho por Rosa?

Expliquen brevemente por qué.

d) ¿Cómo se convierte un número decimal a fracción?

e) Describe en tu cuaderno cómo se puede simplificar una fracción a su mínima expresión.

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y con ayuda del profesor determinen un procedimiento para escribir un número decimal como fracción común representada en su mínima expresión.

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3. Relacionen los números decimales con su respectiva fracción.

0.9

0.58

0.276

0.75

0. 840

a) 69250

b) 34

c) 2125

d) 910

e) 2950

4. Resuelvan los siguientes problemas.

a) Víctor pidió 1 34 kg de tortillas, el encargado colocó en su báscula digital una pila de

tortillas y en la pantalla apareció 1.750 kg. Expliquen si le despacharon correctamente o no las tortillas a Víctor.

b) La mamá de Rubén quiere cambiar en el banco unos cheques que le dieron, por las si-guientes cantidades:

Ya en la ventanilla, la cajera le dijo que una cantidad está mal representada.

¿Cuál es la cantidad incorrecta?

Expliquen en su cuaderno por qué.

Comenta con tu grupo y con tu profesor un procedimiento que permita representar un número decimal como fracción común.

Su Banco Fecha:

Pague por este cheque a: $

CHEQUE 0000101 Firma

15 de agosto 2013

Luz María Archundia 2 538. 68Dos mil quinientos treinta y ocho pesos 68

100 M.N.

Su Banco Fecha:

Pague por este cheque a: $

CHEQUE 0000211 Firma

10 de agosto 2013

Luz María Archundia 561. 220

Quinientos sesenta y un pesos 220100 M.N.

Su Banco Fecha:

Pague por este cheque a: $

CHEQUE 0001201 Firma

11 de agosto 2013

Luz María Archundia 5 000. 06

Cinco mil pesos 6100 M.N.

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En esta sesión representarás números decimales como fracciones no decimales.

Sesión 4

 Manos a la obra 1. Reúnete con dos compañeros para realizar lo que se plantea a continuación.

a) Sumen el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

8 = 6 + 2

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.

b) Resten el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

750 = 500 + 250

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.

c) Multipliquen por el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

15 = 20 − 5

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.

d) Dividan entre el número que quieran distinto de 0, en ambos lados de la siguiente igualdad:

1000 = 500 × 2

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.

Después de haber conocido algunas propiedades de las igualdades, las cua-les usarás en este tema de fracciones, retoma el estudio sobre cómo repre-sentar las fracciones en su forma común o decimal.

2. Con tu mismo equipo, identifiquen un decimal o un grupo de decimales (periodo) que se repiten varias veces en los cocientes siguientes y enciérrenlo con color rojo.

29 = 0.2222… 3

11 = 0.27272727… 41333 = 0.123123123123… 1

6 = 0.16666…

Al expresar una fracción común en su forma decimal, en ocasiones el cociente se repite indefinidamente, se dice entonces que el cociente es periódico y esto se representa colo-cando un segmento sobre dicho periodo. Por ejemplo,

29 = 0.2 3

11 = 0.27 41333 = 0.123 1

6 = 0.16

De los números decimales anteriores:

a) ¿Cuál es el decimal periódico del primer cociente?

b) ¿Cuál de las fracciones tiene un cociente periódico de tres dígitos?

Cuando se tiene una igualdad, al operar en ambos lados de ésta con un mismo número, sumando, restando, multipli-cando o dividiendo se obten-drá otra igualdad.

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3. Continúa con tu equipo para analizar el siguiente procedimiento que permite obtener la fracción común de los números decimales periódicos.

Se quiere encontrar la fracción común correspondiente al número decimal 0.3

Como no se conoce la fracción, se dejará el espacio, representado por un cuadrado.

Para encontrar cuánto vale se iguala con el número decimal periódico:

= 0.3 Se multiplican ambos términos de la igualdad por 10 para tener una nueva igualdad, porque el periodo está formado por un decimal que se repite. Si el periodo tuviera dos dígitos que se repiten, se multipli-caría por 100, si tuviera 3 por 1 000, y así consecutivamente.

Entonces:

= 0.333 1

10 × = 10 × 0.333

10 × = 3.333 2

Para eliminar los decimales periódicos se resta la igualdad 1 de la igualdad 2 :

10 × − = 3.333 − 0.333

9 × = 3

Se dividen entre nueve los dos lados de la igualdad para dejar al sólo de un lado de la igualdad:

9 ×9 = 3

9

Entonces, como 99 = 1 se tiene:

= 39

Esto quiere decir que, 0.3 = = 39

Como 39 se puede expresar como 1

3 , se concluye que 0.3 = 13

4. Identifiquen el decimal periódico de los números decimales siguientes y con el procedi-miento anterior obtengan las fracciones comunes correspondientes.

a) 0.6666...

b) 0.36363636...

c) 0.135135135135135...

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Consulta en…

Busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro para conocer más sobre el tema: Luz María Marván, “Escritura decimal infinita” y “Otros símbolos para números no enteros”, en Representación numérica, México, SEP-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

Entra al sitio: <http://www.thatquiz.org/es-e/matematicas/fracciones/reducir/>. Elige en el recuadro de la izquierda las opciones “Fracción a decimal” y “Decimal a fracción”. Selecciona el nivel en el que quieras practicar estas conversiones.

AutoevaluaciónEscribe en tu cuaderno lo siguiente.

• Un procedimiento para expresar una fracción común como número decimal.

• Un procedimiento para expresar un número decimal como fracción común.

5. En equipos, contesten lo siguiente.

a) ¿Qué tipo de fracción da como resultado un número decimal periódico?

b) ¿Cuál es el denominador de las fracciones que obtuvieron en cada inciso del ejercicio

anterior?

c) ¿Qué relación encuentran entre la cantidad de nueves que tiene el denominador y la

cantidad de cifras que tiene el periodo?

d) Si se expresan 0.3 y 0.3 como fracción común, ¿se obtiene la misma fracción?

¿Por qué?

Comparen sus resultados y sus respuestas con otros equipos.

6. Relaciona ambas columnas escribiendo den-tro del paréntesis la letra que corresponda.

( ) 0.7

( ) 0.45

( ) 0.405

a) 511

b) 1537

c) 79

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Secuencia 2

Fracciones y decimales en la recta

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Sesión 5En esta sesión aprenderás que en la recta numérica se pueden representar números enteros, fracciones comunes y decimales, lo cual es muy útil porque permite comparar números o comprobar equivalencias.

 ¿Qué sabes tú?Gradúa las siguientes rectas numéricas según se te indique, es decir, marca las partes que corresponden a cada división.

En cuartos.

0 1

En quintos.

0 1

En décimos.

0 1

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 Manos a la obra1. En equipos de a lo más tres integrantes, escriban los números que hagan falta para com-

pletar la graduación de cada recta.

a)

0 210 5

10 910

b)

0 0.3 0.8

c)

0 0.4 510 0.9

2. Expliquen por qué en una recta se pueden ubicar tanto fracciones comunes como decimales.

3. En la siguiente recta escriban la fracción común o el número decimal correspondiente al punto donde se ubica cada letra.

0 a c b = 12 d

Ahora comenten qué es lo que deben considerar para representar en una recta numérica una fracción común y un número decimal.

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Sesión 6En esta sesión observarás cómo se puede representar en la recta numérica una fracción si se conoce la ubicación de otro par de fracciones.

 Manos a la obra1. En una escuela telesecundaria realizaron

competencias atléticas para conmemo-rar el 40 aniversario de su fundación.

En la tabla se muestran las tres mejores mar-cas obtenidas en salto de longitud por distin-tos alumnos:

En la siguiente recta se ha representado el salto de Erik López.

4 4 35

Reúnete con un compañero y representen en la recta anterior los saltos de los otros dos alumnos.

Considerando que el ganador es el que realizó el salto más largo, ¿cómo otorgarías las medallas?

Alumno Longitud aproximada del salto (metros)

Juan Godínez 4 12

José Sandoval 4 23

Erik López 4 35

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2. En parejas, ubiquen en la siguiente recta los números 73 , 1

3 , 126 , 0, 1 16 y 2

5 .

56 1

¿Qué hicieron para ubicar el 0?

¿Cuántos sextos se representan en la marca de 13 ?

¿Qué otro número representa 126 ?

¿Qué hicieron para ubicar a 25 ?

Comparen sus respuestas con las de otros equipos y escriban en su cuaderno un procedi-miento que les permita ubicar cualquier fracción cuando se tienen como referencia otras dos fracciones.

3. Localiza las fracciones que se indican en cada inciso.

a) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 23 , 7

9 y 96 .

0 13 4

6

b) En la siguiente recta numérica ubica el 0 y las fracciones 32 , 3

10 y 115 .

25

c) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 14 , 3

5 y 512 .

13 1

2

Comenta con un compañero qué deben hacer cuando en una recta hay previamente locali-zadas al menos dos fracciones que no tienen un denominador común y se desea ubicar otra.

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Sesión 7En esta sesión representarás números decimales en la recta numérica.

 Manos a la obra1. En parejas, completen la graduación de las siguientes rectas.

a)

5 5.5 6

¿Cuánto representa cada segmento de la recta?

b)

7.2 7.24 7.29 7.3

¿Cuánto representa cada segmento de la recta anterior?

2. En parejas, lean la información siguiente y realicen lo que se indica.

Entre las competencias atléticas, la carrera de 100 m planos es considerada la reina de las pruebas. Para determinar quién es el ganador se requiere manejar números decimales. Para tal efecto, consideren la siguiente tabla de resultados obtenidos por las tres alumnas más rápidas en las competencias conmemorativas del aniversario de su telesecundaria.

Alumna Tiempo (en segundos)

Ana Juárez 13.6

Sonia Martínez 13.3

Claudia Pérez 13.4

Ubiquen cada una de las marcas en la recta numérica siguiente.

12 14

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3. Lee la siguiente situación y realiza lo que se pide.

En la escuela también se hizo un torneo de salto de altura, en la tabla de abajo se registra-ron los diez mejores saltos.

Competidor Altura del salto (m) Competidor Altura del salto (m)

Braulio 1.43 Alexa 1.55

Efrén 1.50 Antonia 1.43

Teresa 1.45 Jesús 1.49

Daniel 1.48 Emmanuel 1.54

Reyna 1.51 Aline 1.40

a) Ubica en la recta numérica los saltos registrados.

1.3 1.7

b) Contesta las preguntas.

¿Por qué la recta numérica no inicia en 0?

Para ubicar saltos como 1.45, 1.48 y 1.49, ¿en cuántas partes se tendrá que dividir el

espacio que hay entre 1.4 y 1.5?

c) Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo y contesten.

¿Hay saltos que estén ubicados en el mismo lugar en la recta numérica?

Andrea dice que 1.06 y 1.60 se ubican en el mismo punto de la recta. Expliquen si es co-rrecta o no la afirmación de Andrea.

¿Qué otro decimal se ubica en el punto 1.5?

1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.6

1.52 1.521 1.522 1.523 1.524 1.525 1.526 1.527 1.528 1.529 1.530

1.4 1.5 1.6

Para ubicar números decimales en la recta, como 1.5, 1.52, 1.524, etcétera, es necesario dividir cada segmento en 10 partes iguales y cada una de éstas en otras 10, y así sucesivamente.

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Consulta en…

Entra al sitio: <http://miayudante.upn.mx/ficha.html?rgrado=5&rconsul=4&numfich=42>, ahí encontrarás más información sobre la ubicación de números en la recta numérica.

Sesión 8En esta sesión continuarás trabajando con la ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica.

 Manos a la obra1. Realiza lo que se te indica y contesta.

a) Ubica 12 , 3

5 , 14 y 7

8 en la recta numérica.

0 1

b) Ubica 0.75, 0.5, 0.6 y 0.25.

0 1

Al comparar las rectas numéricas de los incisos a y b, ¿qué fracciones comunes y números

decimales se ubican en el mismo punto?

¿Cómo puedes usar una sola recta numérica para ubicar fracciones comunes y números

decimales?

2. En parejas, ubiquen en la recta numérica 310 , 0.5, 1

4 , 0.75 y 34 .

0 1

¿Cómo ubicaron fracciones y decimales en la misma recta?

a) ¿Cómo graduaron la recta?

b) En una recta graduada con fracciones, ¿es posible ubicar también decimales?

c) ¿Cómo se haría?

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AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno lo siguiente.

• ¿Cómo se ubica una fracción en la recta numérica cuando ya están localiza-das otras dos?

• Describe una estrategia que te permita ubicar fracciones y números decima-les en la misma recta numérica.

3. Expresa las siguientes fracciones en notación decimal y ubícalas en la siguiente recta.

a) 38100 = b) 3

8 = c) 25 =

d) 720 = e) 365

1000 =

0 1

Explica cómo ubicaste las fracciones anteriores en la recta.

Para ubicar una fracción común en una recta numérica graduada con decimales, ¿qué im-portancia tiene expresarla en notación decimal?

4. Ubica 0.25, 0.3, 0.2 y 0.295 en la siguiente recta.

0 12

¿Qué hiciste para ubicar en la recta los números decimales?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros y escriban un procedimiento que les permita ubicar fracciones comunes y decimales en la misma recta numérica.

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Secuencia 3

Sumas y restas de fracciones

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Sesión 9En esta sesión identificarás cuándo un problema se puede resolver con una adición, y para solucionarlo aplicarás tus conocimientos sobre números fraccionarios.

 ¿Qué sabes tú? En la vida cotidiana no siempre se emplean cifras exactas; por ejemplo, al comprar ciertos productos es común el uso de fracciones para señalar la cantidad que se desea adquirir, por lo que es habitual escuchar expresiones como: “quiero un cuarto de queso, y medio de jamón”. Otro caso similar es indicar el nivel de combustible con el que cuenta un vehículo en términos fraccionarios, al decir: “le queda un cuarto de gasolina”, o alguna otra expresión semejante.

1. En parejas, resuelvan lo siguiente.

En carpintería, es habitual expresar las medidas en fracciones de pulgada. Observa la siguiente ima-gen y escribe abajo de cada clavo su medida en pulgadas.

Compara tus medidas de los clavos con las de otro compañero.

¿Cuál de los clavos mide 78 de pulgada?

¿Cuál clavo mide 23 de pulgada?

¿Cuántos clavos miden más de 12 pulgada?

¿Cuáles clavos miden menos de 34 de pulgada?

1 pulgada

12 pulgada

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 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) En el esquema de al lado se presentan pa-res de clavos de distinta medida, calculen cuál sería el tamaño total de cada pareja de clavos. Consideren las medidas de los cla-vos anteriores.

¿Cómo realizan una suma de fracciones con diferente denominador?

b) Las distancias entre la telesecundaria y las casas de Juan, Laura y María se ilustran en el siguiente esquema.

Con base en la información que se presenta contesten lo siguiente:

¿Cuál es la distancia total que recorrerá Juan si primero va por María y después van

juntos a la telesecundaria?

¿Qué distancia recorrerá Juan para ir a la telesecundaria si previamente va por Laura y

luego por María?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas.

c) Con base en la información del ejercicio an-terior resuelvan en equipos las siguientes preguntas.

Si consideramos el recorrido más corto de sus casas a la telesecundaria, ¿cuál es la distancia que recorren los tres estudiantes

en total?

Indiquen la ruta que muestra la siguiente suma de fracciones y elaboren un enunciado que describa el problema.

12 + 1

4 + 34

Para llevar a cabo la suma de números fraccionarios con denominadores distintos se emplean fracciones equivalen-

tes. Por ejemplo, para efectuar la operación 23 + 3

4 se

deben buscar fracciones equivalentes para ambos térmi-nos, con la consigna de que tengan el mismo denominador.

Algunas fracciones equivalentes de 23 son 4

6 , 69 , 8

12 y 1015 ,

y de 34 son 6

8 , 912 y 12

16 .

Para este problema las fracciones que tienen el mismo

denominador son 812 y 9

12 .

De esta manera:

23 + 3

4 = 812 + 9

12 = 1712

1 12 km

34 km

12 km

34 km

14 km

45 km

TELEsecundariaCasa María

Casa Juan

Casa Laura

Distancias entre las casas de Juan, Laura y María con la telesecundaria

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Sesión 10En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre sustracción de fracciones para resolver problemas.

Para resolver una sustracción de fracciones con diferentes denominadores deben buscarse fracciones equivalentes con el mismo denominador. Un problema que se soluciona con una sustracción de fraccio-nes responde a preguntas como: ¿cuánto falta?, ¿cuánto sobra?, ¿por cuánto es mayor?, ¿por cuánto es menor?, ¿cuál es la diferencia?

12 pulgada

 Manos a la obra1. Resuelve el problema que se plantea.

En la siguiente imagen se muestra un conjunto de clavos que se van a clavar en un bloque de madera. Considerando las medidas de los clavos de la sesión anterior, indica qué longitud de cada clavo quedará fuera de la madera.

¿Hay algún clavo cuya longitud coincida con el

grosor de la madera?

¿Cómo resolviste el problema?

2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) A una madera de 38 de pulgada se le colocó un clavo de 3

4 de pulgada. Si la punta del

clavo llega exactamente al otro lado de la madera, ¿qué longitud del clavo quedó sin

ser clavado?

b) La señora Julia compró 2 34 kilogramos de guayabas y 1 kilogramo y medio de naranjas,

¿qué cantidad de guayabas compró más que de naranjas?

c) Una jarra contiene 3 14 litros de agua de tuna. Si Marisol, Sara, Ángel,

Alejandro y Sofía se sirvieron cada quien un vaso con 12 litro de agua,

¿qué cantidad de agua queda en la jarra?

d) En parejas, planteen un problema que se resuelva con la operación 34 − 5

12 y resuélvanlo.

¿Cuál es el resultado?

Comparen su problema con el de otras parejas y revisen que éste impli-que una sustracción de fracciones.

e) Para que un problema pueda resolverse mediante una sustracción,

¿qué tipo de preguntas se deben hacer?

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Sesión 11En esta sesión aplicarás tu conocimiento sobre adición y sustracción de fracciones para resolver problemas.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

a) El siguiente cuadro presenta el total de litros de agua embotellada que consumen al día los alumnos de la telesecundaria 10 en los tres grados que la integran, divididos entre hombres y mujeres.

GéneroGrado

Primero Segundo Tercero

Masculino 6 14 L 7 18 L 7 34 L

Femenino 5 12 L 7 12 L 9 14 L

¿Qué cantidad total de agua toman los alumnos de la telesecundaria 10?

¿Quiénes toman más agua, los hombres o las mujeres?

¿Cuál es la diferencia en litros?

¿Cuál es la diferencia de la cantidad total de agua ingerida por las alumnas de segundo

respecto de las de primer grado?

La fracción 38 es resultado de sustraer…

9 14 − 7 34

7 12 − 7 18

De acuerdo con este contexto, escribe una pregunta que se resuelva con la operación del inciso anterior.

b) En cierta población, el canal XW es visto por 13 de los hombres y por 12 de las mujeres,

mientras que el canal XZ es visto por 15 de los hombres y por 5

8 de las mujeres.

¿Qué canal es más visto por la población?

¿En qué medida es más visto este canal?

Hasta aquí has aprendido a determinar cuándo aplicar una adición o una sustracción para resolver problemas de fracciones.

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Sesión 12En esta sesión aprenderás a identificar cómo resolver problemas, cuáles y cuántas operaciones son necesarias para su solución.

 Manos a la obra1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

a) Andrea compró y puso en una bolsa 12 kg de jamón, 3

4 kg de queso y 14 kg de salchi-

chas, y en otra bolsa lleva 12 kg de cebollas, 12 kg de jitomates, 14 kg de chile de árbol, 12 kg de tomates y 1

4 kg de aguacates. ¿Cuál de las dos bolsas pesa más?

b) El tiempo que destinó un joven para visitar a su novia la semana pasada fue: el lunes 34 de hora, el martes 1 hora 15 minutos, el miércoles 1

4 de hora, el viernes 2 horas 12 ,

el sábado 4 horas y media, y finalmente el domingo, 2 horas 34 .

¿Cuál fue el tiempo total que dedicó el joven a visitar a su novia?

¿Cuál fue el tiempo total de visita el fin de semana?

¿Qué diferencia hubo entre el tiempo total de viernes, sábado y domingo respecto del

resto de la semana?

2. En equipos, comparen sus resultados de los problemas anteriores y describan una estrate-gia para identificar cuándo deben utilizar la adición y cuándo la sustracción.

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• Indica la operación + o −, según corresponda en cada inciso.

24 2

8 = 68

13 1

9 = 29

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Secuencia 4

Sucesiones de números y figuras

31

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Sesión 13En esta sesión estudiarás la relación que existe entre varias figuras que se forman con un patrón, lo cual te permitirá conocer la formación de otras figuras que tengan las mismas características.

 ¿Qué sabes tú?Cuando al analizar una colección de figuras ordenadas es posible encontrar un patrón o una regla a partir de la cual se pueden generar cada uno de los elementos de dicha colección, se dice que conforman una sucesión.

Observa la siguiente sucesión y en tu cuaderno complétala hasta la figura 6.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Escribe con tus propias palabras una regla para encontrar cada figura de la sucesión.

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 Manos a la obra1. En parejas, analicen la siguiente sucesión de figuras y realicen lo que se indica en cada

inciso.

a) En su cuaderno, completen la sucesión dibujando hasta el término 10.

Término 1 Término 2 Término 3 Término 4

b) Completen la tabla con la información obtenida de la sucesión anterior y contesten las preguntas.

Número de término 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de puntos 1 3 5

¿Cuántos puntos debe tener el término 15?

¿Cuántos puntos tendrá el término 22?

¿Y cuántos el término 27?

¿Cómo determinaron el número de puntos en cada término?

c) Agreguen a su tabla una fila en la que puedan calcular la diferencia entre el número de puntos que tiene cada término.

Número de término 1 2 3

Número de puntos 1 3 5

Diferencia 3 − 1= 2 5 − 3 = 2

¿Cuántas puntos hay de diferencia entre cada término?

Escriban una regla que permita calcular la cantidad de puntos que tiene cada término.

d) Subrayen la regla que permite determinar el número de puntos que tendrá cada término de la sucesión.

• Losnúmerosimpares.

• Semultiplicapordoselnúmerodecadatérmino.

• Apartirdelsegundotérminoseagregadosalnúmerodepuntosdeltérminoanterior.

• Semultiplicapordoselnúmerodecadatérminoyselerestauno.

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33

2. A continuación se muestran algunos elementos de una sucesión.

a) Dibujen en su cuaderno los primeros diez términos de esta sucesión.

Término 5Término 2Término 1

b) Completen las siguientes tablas.

Número de término 1 2 3 4 5 8 10

Número de cerillos

Diferencia

Número de término 15 21 26 30

Número de cerillos

¿Cuántos cerillos hay de diferencia entre una figura y la siguiente?

c) Contesten las siguientes preguntas.

¿Cuál será el término con 51 cerillos?

¿Cuál será el término que tenga 63 cerillos?

¿Habrá algún término con 100 cerillos?

Explica tu respuesta.

Una sucesión de figuras es una colección de las mismas que está determinada por una regla de formación o de crecimiento, de tal manera que si se identifica la regla podemos generar los elementos de esa sucesión.

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Sesión 14En esta sesión estudiarás sucesiones con progresión aritmética.

 Manos a la obra1. Realiza lo siguiente.

a) Completa la sucesión

15, 27, , 51, 63, , 87, , 111, , , 147,…

Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una regla. Se llama término a cada uno de los números que la componen.

b) Encuentra una regla para obtener cualquiera de los términos de la sucesión anterior.

c) Completa la siguiente tabla.

Término 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Número de la sucesión 15 27 51 63 87 111

Diferencia 27 − 15 =

d) Encuentra una regla para obtener cualquier término de la sucesión anterior y completa la tabla siguiente, que es su continuación.

Término 21 22 23 24 25 30 40 50

Número de la sucesión 375 519

e) De las siguientes reglas, ¿cuáles son equivalentes a la que encontraste para obtener los términos de la sucesión?

• Sumar 12 al término anterior.

• Calcular algunos múltiplos del 12.

• Multiplicar por 12 el término y sumar 15.

• Multiplicar por 12 el término y sumar 3.

Compara las respuestas que obtuviste con las de tus compañeros.

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2. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que contenga la regla de formación correspondiente a cada sucesión.

Términos de la sucesión Reglas de formación de la sucesión

( ) 7, 11, 15, 19, 23,…

( ) 8, 13, 18, 23, 28, 33,…

( ) 2, 6, 10, 14, 18, 22,…

( ) 3, 8, 13, 18, 23, 28,…

( ) 7, 16, 25, 34, 43, 52,…

( ) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45,…

a) Sumar 4 al término anterior

b) Multiplicar el término por 5 y quitarle 2

c) A cuatro veces el término agregarle 3

d) Multiplicar el término por 5 e incrementarle 3

e) Multiplicar el término por 5 y sumar 4

f) Nueve veces el término y 2 unidades menos

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

3. Escribe un ejemplo de una sucesión numérica que sea progresión aritmética.

4. Crea una sucesión cuya regla de formación no genere una progresión aritmética.

5. Intercambia con un compañero las sucesiones que crearon en los incisos 3 y 4 y pídele que identifique cuál es la progresión aritmética. En caso de que su respuesta no sea correcta, explícale la regla de formación de tu progresión aritmética. Si no logran un acuerdo, consul-ten con su profesor.

Una sucesión numérica es una progresión aritmética si para obtener cada uno de sus términos se suma una cantidad constante, llamada diferencia, al término anterior.

Las reglas que permiten obtener los términos de una sucesión se pueden dar a partir del lugar que ocupa un término y la diferencia (es decir, la cantidad constante) que hay entre dos términos consecutivos.

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Sesión 15En esta sesión estudiarás cómo se forman las sucesiones de figuras con progresión geométrica.

 Manos a la obra

1. En equipos, analicen la siguiente sucesión.

a) Dibujen las dos figuras siguientes.

b) Respondan las siguientes preguntas.

¿Cuántos y de qué color serán los triángulos que forman la séptima figura?

¿Cuántos triángulos tendrá la octava figura?

¿De qué color serán los triángulos que forman la décima figura?

c) Completen la tabla.

Figura Número de triángulos Diferencia

1 2

2 4 4 – 2 = 2

3 8 8 – 4 = 4

4 16

5

6

¿Es constante la diferencia entre los triángulos que forman cada figura?

¿Encuentran alguna relación entre el número de triángulos de cada figura nueva respec-

to de la que le precede?

¿Cómo obtuvieron los triángulos que conforman la quinta y la sexta figura?

¿Cómo obtendrían el número de triángulos de cualquier figura de esta sucesión?

d) Andrea afirma que la regla es: El número de triángulos de cada figura se genera duplican-do el total de triángulos de la figura anterior. Expliquen si es o no correcta su afirmación.

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

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2. Analiza la siguiente sucesión y completa la tabla.

Figura 2Figura 1 Figura 3

Figura 1 2 3 4 5 6

Cantidad de triángulos

Azules 1 4 16 36

Naranjas

Total 108 324

¿Cómo estableciste la cantidad de triángulos de la cuarta figura?

¿Cómo determinaste el número de triángulos azules de cada figura?

¿Y de los triángulos naranjas?

¿Y el total de triángulos de cada término?

¿Cuál es la regla que determina la cantidad total de triángulos de cada figura (o término) de

esta sucesión?

3. Lee las siguientes afirmaciones con respecto a la regla de formación anterior.

• Raúl afirma que para obtener el número total de cada término se debe triplicar la canti-dad de triángulos del término anterior.

• Guadalupe dice que se obtiene multiplicando por 3 la cantidad de triángulos del término que le antecede.

• Ángel, por el contrario, dice que se suman 8 triángulos al término que le antecede.

De estas tres afirmaciones, ¿cuál es correcta?

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Sesión 16En esta sesión estudiarás sucesiones numéricas con progresión geométrica.

 Manos a la obra

Contesta lo que se te pide.

1. Con la siguiente regla dibuja las estrellas para cada uno de los términos que se marcan en la sucesión.

El quíntuple del anterior.

Término 1 Término 2 Término 3

Completa la tabla.

Término 1 2 3 4 6 9

Cantidad de estrellas 3 ¿Es constante la diferencia de la cantidad de estrellas entre los términos consecutivos de

esta sucesión?

2. Completa los términos que hacen falta en cada sucesión.

a) 2, 6, , 54, , ,…

¿Cuál es la regla para esta sucesión?

b) 2, 12, , 432, , ,…

Explica por qué la regla de esta sucesión es: El séxtuple del término anterior.

c) 3, , 48, 192, , ,…

Escribe la regla para esta sucesión

d) Encuentra el cociente entre cada par de términos consecutivos de la última sucesión.

3 = 48 =

19248 = 192 =

¿Cómo son los cocientes de dos términos consecutivos?

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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión aritmética, ¿cómo se obtiene la

regla de toda la sucesión?

2. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cómo se obtiene la

regla para generar la sucesión?

3. Indica con una A si la sucesión es una progresión aritmética, con una G si es una progresión geométrica, y con una X si no es ninguna de las dos.

5, 10, 15, 20, 25,… 15, 18, 17, 20, 19, 22

4, 6, 9, 13.5, 20.25 0, 3, 6, 9, 12,…

3. En parejas, organicen las piezas para crear dos sucesiones cuyas reglas son:

a) Cuatro veces el término anterior.

b) El triple del término anterior.

Las piezas son las siguientes:

20

80

270

90 12805

320 1030

810

Sucesión A: , , , , .

Sucesión B: , , , , .

¿Cuál es la razón de la sucesión A?

¿Y de la B?

4. En parejas, escriban la regla para generar una sucesión con progresión geométrica e inter-cámbienla con la de otra pareja. Obtengan los primeros cinco términos de la sucesión y revisen que sea correcta la construcción de los mismos.

Una sucesión numérica se denomina progresión geométrica cuando cada término se obtiene multipli-cando al anterior por una constante llamada razón.

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Secuencia 5

Literales en fórmulas geométricas

40

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

Sesión 17En esta sesión representarás números por medio de literales,

con las que realizarás operaciones.

 ¿Qué sabes tú?

4 cm

Figura 1

4 cm

4 cm 4 cm

3 cm

Figura 2

3 cm3 cm

2.5 cm

Figura 3

2.5 cm2.5 cm

2.5 cm 2.5 cm

¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1?

¿Y el de la figura 2?

¿Y el de la 3?

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 Manos a la obra1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes triángulos equiláteros.

3 cm

Figura 1

3 cm3 cm

4 cm

Figura 2

a

Figura 3

¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1?

¿Y el de la figura 2?

¿Y el de la figura 3?

Expliquen cómo calcularon el perímetro de las figuras, en particular el de las figuras 2 y 3, en las que solamente se conoce la medida de uno de sus lados.

Un triángulo equilátero mide b por lado, ¿cuál de las siguientes expresiones pueden utilizar para calcular su perímetro? Subrayen sus respuestas.

b + b + b b + 3 3b b 3

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2. Completen la tabla.

3 cm3 cm

3 cm

Figura 1

5 cm

Figura 2 Figura 3

Figura geométrica Longitud de sus lados Perímetro

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿Cómo representaron la longitud de los lados de la figura 3?

¿Cómo calcularon el perímetro de la figura 3?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas.

3. Usa literales para expresar el perímetro de las siguientes figuras.

Perímetro Perímetro Perímetro

3 cm3 cm

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Sesión 18En esta sesión trabajarás con figuras geométricas que se parecen en su forma y en sus propiedades, así como en la manera en que se calcula su perímetro.

 Manos a la obra1. En parejas, contesten las preguntas.

A algunos estudiantes les pidieron utilizar literales para indicar las longitudes de un rectán-gulo. Observen sus respuestas.

b

Figura 2

a

b

a

a

Figura 1

aa

a

Figura 3

ca

a

Figura 4

b

b

a

a) ¿En cuál de los rectángulos expresaron correctamente la longitud de los lados?

b) Expliquen por qué es o no correcta la forma en que se señalaron las longitudes en los rectángulos anteriores.

c) ¿Cuántos pares de lados de la misma longitud tiene el rectángulo?

d) ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo?

e) Para calcular el perímetro de un rectángulo se puede emplear alguna de las siguientes expresiones algebraicas:

a + b + a + b 2a + 2b 2(a + b)

¿Por qué son correctas estas expresiones algebraicas?

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2. En parejas, empleen cualquier literal para expresar la longitud de los lados de los siguientes romboides.

Usen las letras que anotaron y escriban una expresión algebraica para calcular el perímetro de cada romboide.

¿Es posible calcular el perímetro del romboide con la misma expresión algebraica que em-

plearon para el rectángulo? ¿Por qué?

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Sesión 19En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el perímetro de triángulos y trapecios isósceles.

 Manos a la obra1. En parejas, asignen una letra a la longitud de los lados de las figuras siguientes, tomen en

cuenta que son triángulos isósceles. Completen la tabla.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura Longitud de los dos lados iguales Longitud del tercer lado Perímetro

1

2

3

Una expresión algebraica que permite obtener el perímetro de un triángulo isósceles es:

¿Es la única? , ¿por qué?

Un triángulo escaleno tiene todos sus lados de diferente longitud, ¿cómo se puede expresar

su perímetro?

2. Observa el siguiente trapecio isósceles.

B (base mayor)

b (base menor)

ll

¿Cómo se puede expresar su perímetro?

En una figura geométrica señalamos con la misma lite-ral los lados que tienen igual longitud, y si éstos tuvie-ran longitudes diferentes se emplearían más literales. Por ejemplo, en un rectángulo, el perímetro se puede expresar como:

P = a + a + b + b, o bien P = 2a + 2b o P = 2(a + b)

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Para calcular el perímetro de un polígono regular se debe conocer el número de lados que lo forman y multiplicarlo por su longitud.

Sesión 20En esta sesión trabajarás con las fórmulas de los perímetros de polígonos regulares.

 Manos a la obra1. En grupo, contesten las preguntas que se plantean.

¿Qué figuras regulares conocen?

¿Cómo se calcula el perímetro de una figura geométrica que tiene todos sus lados iguales?

Escriban una expresión algebraica que les permita calcular el perímetro de una figura

regular.

¿Cómo se calcularía el perímetro de un polígono regular de 38 lados?

2. Completa la tabla.

Nombre de la figura Longitud de sus lados

Número de lados Perímetro

Pentágono regular a

Hexágono regular b

Octágono regular m

Decágono regular h

Heptadecágono x 17

Triacontágono s 30

Observa que en la tabla anterior la letra m representa una literal, sin embargo, la misma letra también es el símbolo de “metro”. Por ejemplo:

5m = m + m + m + m + m,

mientras que 5 m representa 5 metros.

Lo mismo ocurre con otras letras que también son utilizadas como sím-bolos de unidad de medida, tales como s (segundo), h (hora), etcétera.

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Sesión 21En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el área de distintas figuras.

Manos a la obra1. Lee la siguiente información y contesta.

Un ejemplo de unidad de superficie es un centímetro cuadrado, que es de este tamaño:

y se abrevia cm2.

Observa los siguientes rectángulos y mide su área.

6 cm

Rectángulo A

5 cm

1 cm

Rectángulo B

3 cm

s

Rectángulo C

t

El área del rectángulo B es:

Del rectángulo A es:

Del rectángulo C es:

2. Si e es el largo de un rectángulo y f el ancho, subraya de las siguientes expresiones alge-braicas cuáles son equivalentes y permiten calcular el área del rectángulo con resultados iguales.

A = e × f = e f A = 2(e + f) A = (2 e) (2 f)

A = 2 e + 2 f A = f e

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3. Subraya la fórmula que te permita calcular el área del siguiente cuadrado.

x

x

x

x

Expresiones algebraicas.

4 x x + x ( x )( x )( x )( x ) x + x + x + x ( x )( x ) 4 + x x 2

4. En parejas, observen las siguientes figuras y contesten.

b

a

b

a

a

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un cuadrado?

¿Y la del rectángulo?

¿Cómo determinan el área de la parte naranja del cuadrado?

¿Y la parte naranja de los rectángulos?

¿Qué fracción representa el área naranja con respecto a toda la figura?

a

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Sólo una de las siguientes expresiones no determina el área del triángulo azul, ¿cuál es? Márquenla.

A = 12 (a × b) A = a

2 × b2 A = a

2 × b A = a × b2

De manera grupal expliquen por qué la fórmula que comunmente usamos para calcular el

área de un triángulo es: A = b h2 , donde b es la base y h es la altura.

b

h

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Qué representan las letras o literales en una expresión algebraica?

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Secuencia 6

Trazo de triángulos y cuadriláteros

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Sesión 22En esta sesión aprenderás a trazar cuadriláteros y triángulos a partir de líneas paralelas, utilizando escuadras.

 ¿Qué sabes tú?¿Cómo puedes trazar líneas paralelas y perpendiculares con tu juego de geometría? Realiza tus trazos en hojas blancas.

Observa la imagen de la derecha. Sobre una hoja blanca coloca de la misma manera tu regla y tu escuadra y traza líneas paralelas y perpendiculares. Mueve la escuadra como lo indican las flechas.

Ahora observa las siguientes imágenes para trazar las lí-neas perpendiculares y paralelas que se obtienen al mover la escuadra.

Compara tus trazos con los de tus compañeros.

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 Manos a la obra1. Realiza las siguientes construcciones y responde las preguntas.

Usa las escuadras y el compás para trazar en una hoja blanca dos líneas rectas paralelas de 20 cm cada una. Las líneas deben tener una distancia de 5 cm entre ellas.

Traza las siguientes figuras geométricas, considerando que dos de sus lados deben estar sobre las líneas paralelas que ya trazaste.

• Un cuadrado.

• Un rectángulo, uno de sus lados mide 3 cm.

• Un romboide cuya base mide 7 cm.

• Un romboide, dos de sus lados miden 4 cm y uno de sus ángulos mide 60º.

Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.

a) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?

b) ¿Cuánto miden los otros lados del rectángulo?

c) ¿Cuánto mide la altura de cada romboide?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

2. Formen parejas y, en una hoja blanca, tracen un par de líneas paralelas para construir sobre ellas los trapecios que se enlistan a continuación.

• Trapecio recto.

• Trapecio isósceles.

• Trapecio escaleno.

Cada uno de los trapecios debe cumplir con las siguientes condiciones: la base mayor mide 8 cm; la base menor, 6 cm, y la altura, 4 cm.

¿A qué distancia deben trazarse las líneas paralelas?

¿Qué tienen en común los tres trapecios que trazaste, el perímetro o el área?

¿Por qué?

3. En una hoja blanca, y a partir de dos líneas paralelas, traza tres triángulos diferentes cuya base mida 6 cm y su altura mida 5 cm.

¿Cuánto mide el área de cada triángulo?

4. En grupo, construyan un romboide, un trapecio y un triángulo cuyas áreas sean iguales.

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Sesión 23En esta sesión construirás triángulos utilizando el juego de geometría.

 Manos a la obra1. Lee con atención las siguientes instrucciones y en una hoja blanca construye lo que se indica.

• Con tu regla traza una línea recta y marca en ella dos puntos; de esta manera has tra-zado un segmento. Los puntos son sus extremos.

• Ahora utiliza tu compás, su apertura debe ser mayor a la longitud del segmento que marcaste.

• Coloca la punta de metal del compás en uno de los puntos extremos del segmento y traza un círculo.

• Sin cambiar la apertura del compás y colocando la punta metálica en el otro extremo, traza otro círculo.

De las construcciones de la izquierda, marca con una palomita ( ) la que se parece a la que tú trazaste.

¿En cuál de las construcciones anteriores obtienes un triángulo equilátero al unir los extre-mos del segmento con uno de los puntos de intersección de las circunferencias?

¿Qué tipo de triángulo se obtiene con las instrucciones que seguiste?

2. Reúnete con un compañero y en sus cuadernos escriban las instrucciones para obtener un triángulo equilátero.

Lean sus instrucciones a otra pareja para verificar que sí se obtiene ese triángulo. Es impor-tante que solamente digan en voz alta lo que ustedes escribieron.

Hagan las correcciones necesarias para que sus instrucciones sean claras, de modo que cualquiera pueda construir un triángulo equilátero al seguirlas.

3. Identifiquen en cuál de las cuatro construcciones anteriores se obtiene un triángulo isósce-les. Trácenlo.

Comparen sus construcciones y sus respuestas con las de otras parejas.

4. En grupo, comenten qué cambios deben hacer al seguir las instrucciones para construir un triángulo equilátero que mida 3 cm por lado.

5. Con regla y compás, traza en tu cuaderno un triángulo escaleno cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 2 cm.

a) Al trazar la primera línea, ¿cuál es la apertura del compás con respecto a la distancia que hay entre los dos puntos que se marcan en ella?

Compara tu construcción con la de otros compañeros.

Construcción 1

Construcción 2

Construcción 3

Construcción 4

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Sesión 24En esta sesión seguirás construyendo triángulos y cuadriláteros utilizando el juego de geometría.

 Manos a la obra1. Considera las cuatro construcciones que aparecen en

la sesión anterior e identifica aquellas dos en las que al unir los puntos extremos del segmento con los dos puntos de intersección de las circunferencias se traza un rombo. ¿Cuáles son esas construcciones? Subraya tu respuesta.

• Construcción 1

• Construcción 2

• Construcción 3

• Construcción 4

2. Traza los rombos y marca en cada uno la diagonal me-nor y la diagonal mayor.

¿Qué tipo de ángulo se forma en el punto donde se

cortan?

3. En tu cuaderno escribe las instrucciones para cons-truir un rombo.

Intercámbialas con algún compañero y comprueba si al seguir tus instrucciones logra construir esa figura. Si es necesario hacer correcciones, anótalas y com-prueba nuevamente el procedimiento, pero ahora con la ayuda de otro compañero.

4. Observa los pasos de la columna de la derecha para trazar un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 3.5 cm y 4.5 cm. Síguelos y traza en tu cuaderno ese triángulo.

5. En tu cuaderno traza un triángulo con un lado de 6 cm y otro de 5 cm.

Compara el triángulo que construiste con los de tus compañeros y contesten las siguientes preguntas.

¿Por qué los triángulos no son todos iguales?

¿Qué dato hay que determinar para que todos los triángulos sean iguales?

Paso 3. Abrir el compás a 4.5 cm y apoyarlo en el otro extremo del segmento, trazar otro arco que corte al primero.

Paso 2. Abrir el compás a 3.5 cm y colocarlo en un extremo del segmento, trazar un arco.

Paso 1. Trazar un segmento de 5 cm.

Paso 4. Unir cada extremo del segmento con el punto de corte de los arcos para obtener el triángulo.

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Sesión 25En esta sesión trazarás cuadriláteros que cumplan con ciertas condiciones.

 Manos a la obra 1. Utiliza tu juego de geometría para completar los trazos y construir las figuras que se piden

en cada inciso.

a) Traza un rectángulo a partir del siguiente segmento. b) Traza un cuadrado.

c) El segmento siguiente es la base de un rectángulo. d) El segmento siguiente es una diagonal de un cuadrado.

2. En equipos, comparen los cuadrados y rectángulos que trazaron. Contesten las siguientes preguntas.

¿Cuáles de las figuras trazadas son iguales? ¿Por qué?

En el caso del rectángulo a), ¿qué datos habría que definir para que todos los rectángulos

que construyeron fueran iguales?

¿Y en el caso del rectángulo c)?

3. Utilicen el juego de geometría para trazar de manera individual lo que se indica a continuación.

a) Un rombo con una diagonal de 3 cm y la otra de 7 cm.

b) Un romboide de base 7 cm y altura de 4.5 cm.

Comparen sus trazos con los de sus compañeros, ¿todas las figuras fueron iguales?

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Sesión 26En esta sesión trazarás triángulos y cuadriláteros a partir de ciertas condiciones.

 Manos a la obra1. En equipos, contesten en sus cuadernos las preguntas

siguientes.

a) ¿Se puede trazar un trapecio con 10 cm de base mayor y 5 cm de base menor?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que definir para que sea única la solución?

b) ¿Se puede trazar un romboide con base de 7 cm?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que especificar para que sea única la solución?

c) ¿Se puede trazar un triángulo con lados de 3 cm, 2 cm y 4 cm, y un ángulo de 90º?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?

d) ¿Se puede trazar un rombo con una diagonal de 5 cm?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?

e) ¿Se puede trazar un cuadrado que tenga diagona-les de 4 cm?

Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?

Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro dato o datos se tienen que dar para que sea única la solución?

2. En seguida, verifiquen sus respuestas trazando las fi-guras en su cuaderno.

3. En grupo, y con ayuda de su profesor, comparen sus respuestas. Si se requiere, hagan las correcciones ne-cesarias.

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Utiliza tu regla y tus escuadras para trazar en tu cuaderno un cuadrado que tenga 3 cm por lado y un rectángulo que mida 7 cm de largo y 4 cm de altura.

2. ¿Cuántos rombos diferentes pueden construirse si se da la medida de sus lados?

Consulta en…

Entra al sitio: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/dibujoTecnico/trazadodetriangulos.html, donde encontrarás animaciones que muestran paso a paso procedimientos interesantes para que, dadas ciertas condiciones, construyas triángulos o cuadriláteros empleando solamente regla y compás.

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Secuencia 7

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Sesión 27En esta sesión aprenderás a trazar las alturas de cualquier tipo de triángulo,

y sus propiedades.

 ¿Qué sabes tú?Relaciona las imágenes con el nombre de la recta correspondiente.

( ) Altura

( ) Mediana

( ) Mediatriz1 2 3

A

B

C

 Manos a la obra1. En equipos, observen que en el siguiente

triángulo se marcaron con rojo las alturas. Contesten las preguntas en su cuaderno.

¿De dónde a dónde van los segmentos que indican las alturas del triángulo?

Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los triángulos

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a) ¿Qué tipo de ángulo se forma entre el segmento AB y su altura?

b) ¿Y entre el segmento BC y su altura?

c) Sin medirlo, ¿qué tipo de ángulo crees que se formará entre el segmento AC y su altura? Utiliza tu juego de geometría para comprobarlo.

d) ¿Cómo pueden trazar una altura en un triángulo empleando las escuadras?

e) ¿A qué se le llama altura en un triángulo?

f) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y elijan la técnica más práctica para encontrar las alturas en diferentes triángulos.

2. Encuentra el punto en que se unen las alturas en los siguientes triángulos.

La altura en un triángulo es el segmento de recta que va desde el vértice de un ángulo hasta el lado opuesto, formando un ángulo de 90º con el mismo. Las escuadras son un buen recurso para trazar la altura: se coloca la escuadra de 60° sobre el segmento al que se le va a trazar la altura, se desliza la otra escuadra, usando su ángulo de 90°, hasta encontrar el vértice opuesto a dicho segmento y se traza la altura.

altu

ra

Paso 1. Paso 2. Paso 3.Dado un triángulo, sus alturas siempre se intersecan en un único punto, llamado ortocentro.

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A B

CA B

C

A B

C

La mediana es el segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.

Las medianas se intersecan siempre en un único punto llamado baricentro.

Sesión 28En esta sesión conocerás otra recta notable de los triángulos: la mediana.

 Manos a la obra1. En equipos, analicen el segmento azul trazado en el triángulo ABC. A este segmento se le

denomina mediana.

a) ¿Cuánto mide la distancia de A a D?

b) ¿Cuánto mide la distancia de D a B?

c) ¿Desde dónde hasta dónde va la mediana que lle-

ga al segmento AB?

d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y contesten.

e) ¿Cuáles son las características de una mediana?

f) ¿Cuáles son los pasos a seguir para trazar una me-diana en un triángulo?

g) Tracen las medianas sobre los segmentos BC y CA de tal forma que tengan las mismas propiedades que el trazo de color azul.

h) ¿Las medianas tienen algún punto de intersección?

2. Traza las medianas en los siguientes triángulos y observa dónde se intersecan.

D

A

C

B

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Sesión 29En esta sesión te presentamos otra recta notable de los triángulos, llamada

mediatriz, y sus propiedades.

 Manos a la obra1. En equipos, observen la secuencia de trazo de la mediatriz en un segmento y coloquen en

el recuadro una instrucción que describa claramente lo que se hace en cada paso.

A

P

BA B A B

El segmento trazado en color rojo se llama mediatriz.

Respondan las siguientes preguntas.

a) ¿Cómo son los segmentos AP y PB?

b) ¿Qué ángulo forman la mediatriz y el segmento AB?

c) ¿De qué otra forma se podrá trazar la mediatriz de un segmento?

d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y describan el procedimiento para trazar una mediatriz sin usar el compás.

e) Explica brevemente qué es una mediatriz

2. Ahora dibuja en tu cuaderno tres triángu-los de diferentes formas y tamaños y traza las mediatrices de los lados de cada uno de ellos.

Llamen O al punto en el que se cortan las mediatrices.

En un triángulo, la mediatriz es la recta perpendicular a uno de sus lados que pasa por su punto medio.

El punto en el que siempre se intersecan las tres mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.

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Sesión 30En esta sesión trazarás las bisectrices de un triángulo.

 Manos a la obraFormen equipos de tres personas y desarrollen las actividades que se indican.

1. Tracen las diagonales en la siguiente figura.

A

BD

C

¿Cómo quedaron divididos los ángulos por las diago-

nales que trazaron?

Observen ahora la siguiente figura.

BD

C

Midan los ángulos en los que quedó dividido el án - gulo C.

¿Qué hace la recta roja al ángulo C?

Dividan los ángulos D y B de la misma forma en que está dividido el ángulo C.

Las rectas que trazaron se llaman bisectrices.

2. Observen detenidamente los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un ángulo y escriban en cada recuadro una instrucción clara para realizar dicho trazo.

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3. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 5 cm, un triángulo escaleno de 3 cm, 5 cm y 7 cm respectivamente, y un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el lado diferente, 3 cm. Traza las bisectrices de los ángulos interiores de cada triángulo con el método anterior.

Resalta en color rojo el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los triángulos. ¿Todas las bisectrices tienen un mismo

punto en común?

Ahora traza un triángulo cualquiera y sus bisectrices. Observa qué sucede con el punto que tienen en común las bisectrices.

Comenta tus observaciones con tus compañeros.

La bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

En un triángulo las bisectrices siempre se intersecan en un solo punto, llamado incentro.

AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno lo siguiente.

• ¿Cómo se puede diferenciar la altura de la mediana en cualquier triángulo?

• ¿En qué tipo de triángulo coinciden las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices?

Consulta en…

Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).

Un dato interesante…

La recta de Euler

En un triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro se encuentran en una misma recta (son colineales), a la que se denomina recta de Euler. Se llama así en honor del matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.

alturas H: ortocentro

medianas G: baricentro

mediatrices O: circuncentro

H

GO

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Secuencia 8Reparto proporcional

Resolución de problemas de reparto proporcional.

Sesión 31En esta sesión aprenderás a repartir basándote en ciertos criterios o en determinados factores.

 ¿Qué sabes tú?1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) Don Ernesto tiene un terreno de 94.5 hectáreas, él quiere repartirlo por partes iguales a sus hijos: Salvador, Martín, Héctor, Ricardo y Jesús, y a sus hijas: Rosa, Juana, Guada-

lupe y Carmen. ¿Qué cantidad de terreno le corresponde cada uno?

b) Tres amigos ganaron un premio de lotería de $100 000.00 con un boleto que costó $40.00. Para comprar el boleto Raúl aportó $8.00, Andrés colaboró con 4 pesos más que Raúl, y Braulio pagó el resto. Si reparten el premio de acuerdo con lo que aportaron,

¿a quién le corresponde la mayor cantidad del premio y a quién la menor?

¿Por qué?

¿Cómo resolvieron el primer problema?

¿Y el segundo? Ver

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 Manos a la obra1. En parejas, de acuerdo con el problema del premio, contesten.

¿Qué cantidad de dinero le corresponde a Andrés?

¿Y cuánto a Braulio?

¿Y a Raúl?

Registren en su cuaderno las operaciones que realizaron para obtener sus respuestas.

Comparen sus procedimientos con los de otras parejas, verifiquen que las cantidades ob-tenidas sean las mismas.

Si hay algún procedimiento diferente al suyo, explíquenlo.

2. Lee el siguiente problema y resuélvelo.

De los 24 metros de listón que trae un carrete, María ocupó 8 metros para hacer una tarea escolar, Ramiro empleó 11 metros, y Javier, el resto. El carrete les costó $60.00. Si se re-parten el costo del carrete de acuerdo con la cantidad de listón que cada quien utilizó,

¿quién de ellos deberá aportar $20.00? ¿Por qué?

¿Con cuánto dinero deberá contribuir Javier?

Verifica tu respuesta con un procedimiento diferente al que empleaste.

Reflexionen sobre cuáles son las diferencias que hay entre un reparto proporcional y un reparto equitativo.

De manera grupal escriban en su cuaderno las características que tiene un problema de reparto proporcional.

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Sesión 32En esta sesión continuarás con la solución de problemas de reparto proporcional, sólo que ahora utilizarás tus conocimientos sobre fracciones.

 Manos a la obra

Albañil Cantidad de m2 construidos

Fracción que representan del

total de m2

Cantidad de dinero que le corresponde

Alberto

Flavio

Gonzalo

Total

1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.

a) Tres albañiles levantaron una barda de 30 m2. Al-berto levantó 10 m2, Flavio 5 m2 y Gonzalo 15 m2. Por esta construcción les pagaron $2 100.00, y se repartieron el dinero de acuerdo con el número de metros cuadrados que cada quien levantó. Comple-ten la tabla.

¿Cómo obtuvieron la cantidad de dinero que le co-

rresponde a cada uno?

2. De acuerdo con el problema del premio de lotería de la sesión anterior, contesten las siguientes preguntas.

¿Quién de los tres contribuyó con la mitad del costo

del boleto?

¿Qué fracción del total del boleto aportó Raúl?

¿Qué cantidad del premio le habría tocado a Braulio si hubiera colaborado con la cuarta parte del costo del

boleto?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y en su cuaderno empleen fracciones para comprobar las cantidades que corresponden a cada uno de los tres amigos.

Expliquen si obtuvieron o no los mismos resultados que en la sesión anterior.

3. En equipos, resuelvan los siguientes problemas.

a) Para completar un pedido que deben exportar, cin-co artesanos de una comunidad juntaron los suéte-res de lana que tejen. Hortensia fabricó 24 prendas; Alonso, 40; Tomás, 30; Guadalupe, 16, y Blanca 10 piezas. Por este pedido les pagaron $22 200.00, que repartieron proporcionalmente de acuerdo con la cantidad de prendas que cada uno confeccionó.

¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada

uno de los artesanos?

b) Entre Angélica, Mónica y Francisco sacaron 400 co-pias fotostáticas de una invitación. El costo total lo pagaron en proporción a las invitaciones que cada uno quiere repartir. Angélica pagó $22.00 por la

cuarta parte de las copias; Mónica, 35 partes, y lo

demás lo aportó Francisco.

¿Cuánto pagó Francisco?

¿Cuánto se pagó en total por todas las copias?

¿Cómo obtuvieron la respuesta de la pregunta an-

terior?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y verifiquen que sean correctas. Reflexionen sobre el empleo de fracciones en los problemas de reparto proporcional. Ex-pliquen en qué situaciones de reparto proporcional es conveniente emplear fracciones.

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Sesión 33En esta sesión resolverás problemas de reparto proporcional considerando el valor unitario.

 Manos a la obra1. Lean la siguiente información y contesten.

¿Recuerdan que en el problema del boleto de lotería Raúl aportó $8.00 para comprar el boleto, Andrés, cuatro pesos más que Raúl, y el resto lo pagó Braulio?

¿Cuánto aportó cada uno de ellos?

Si se repartieron los $100 000.00 de acuerdo con lo que pusieron, ¿cuánto le habría toca-do a Raúl si únicamente hubiera aportado un peso de los $40.00 que costó el boleto?

¿Qué importancia crees que tiene saber la cantidad del premio que corresponde por cada

peso invertido?

2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) Cuatro campesinos rentaron un camión por la can-tidad de $4 200.00 para llevar al mercado las 2.5 toneladas de aguacate que recolectaron y que transportan en 120 cajas de madera. Observa el registro que realizaron y completa la tabla.

¿A quién de ellos le conviene más que se reparta el pago del camión de acuerdo con la cantidad de

cajas?

¿Cuál reparto le conviene más a Efrén?

¿Emplearon fracciones para resolver este problema? ¿Por qué?

¿Cuánto se pagó por cada caja que se transportó?

¿Y cuánto por kilogramo de aguacate transportado?

b) Yolanda pagó $2 280.00 por los 60 m2 de barda que pintaron entre Ernesto, Lorena y José. El prime-ro pintó 28 m2, Lorena, 19 m2, y José el resto. De acuerdo con el trabajo que cada uno realizó, ¿cuán-to se le debió pagar? Para responder, completa la siguiente tabla y en la última fila escribe la canti-dad de metros cuadrados que pintó José.

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y comprueben con algún otro procedi-miento sus resultados.

Nombre Cantidad de cajas

Peso (kilogramos)

Cantidad de dinero a pagar por el flete, de

acuerdo con:

Cajas Peso

Irma 30 605

Lorena 45 945

Armando 20 450

Efrén 25 500

Total 120 2 500

Metros cuadrados pintados Cantidad de dinero a pagar

60

1

28

19

El valor unitario se refiere a la cantidad que le corresponde a una pieza, objeto o unidad.

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Sesión 34En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre las diferentes formas aprendidas del reparto proporcional y resolverás diversos problemas que lo involucran.

 Manos a la obra1. Resuelve los problemas siguientes.

a) A Marina le pagaron $300.00 por podar la quinta parte de los 60 m2 de césped de un jardín. ¿Cuánto le pagaron a Anselmo si podó únicamente una cuarta parte de todo el

césped?

b) Cuatro amigos fueron al cine. Para pagar el total del costo de los boletos, Noemí aportó $80.00, Abraham, $50.00 y Jesús dio $70.00. Adriana dijo que a la salida los recom-pensaría. En agradecimiento por haber pagado su entrada, Adriana les obsequió $500.00 para los tres, con la condición de que se repartieran conforme a lo que cada uno de ellos aportó para su boleto.

¿Qué cantidad de dinero de los $500.00 le corresponde a cada uno?

c) El dueño de una fábrica de calzado quiere repartir un bono de $15 000.00 entre los cuatro vendedores que tiene. Para ello cuenta con la información de las siguientes grá-ficas, que corresponden a las ventas del tercer bimestre; además se sabe que en junio se vendieron 140 unidades.

35

30

25

20

15

10

5

0 Andrés Ana Lizbeth José

Ventas de mayo

Uni

dade

s ve

ndid

as

Andrés50%

Ana28%

Lizbeth10%

José12%

Ventas de junio

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AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

• ¿Cómo se calcula el valor unitario?

• ¿Qué diferencia hay entre el reparto proporcional y el reparto equitativo?

• ¿Cómo se debe interpretar el cociente de dividir 2 500 kilogramos entre $4 200.00?

Además, observamos que un problema de reparto proporcional también se puede resolver a través de fracciones, al determinar la fracción de la cantidad a repartir. Por ejemplo, Braulio aportó $20.00 de los $40.00 que costó el boleto, él aportó la mitad, por lo que le corresponde la mitad del premio, es decir, $50 000.00.

Para resolver un problema de reparto proporcional deben tomarse en cuenta distintos criterios a fin de llevar a cabo la distribución correcta. Entre otras formas, se puede resolver calculando el valor unitario, es decir, lo que le corres-ponde a una unidad; por ejemplo, en el problema del premio de lotería se gana-ron $100 000 y el boleto costó $40, por lo que por cada peso aportado a una

persona le corresponde el cociente de 100 00040 , es decir, 2 500.

Si el bono se reparte de acuerdo con la cantidad de unidades vendidas, ¿qué cantidad

del bono le corresponde a Andrés?

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Secuencia 9Juegos de azar

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos, y el registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Sesión 35En esta sesión aprenderás a identificar cuándo un juego es de azar.

 ¿Qué sabes tú? ¿Alguna vez has jugado “gato”? Si es así, describe en qué consiste y cómo se determina al ganador.

¿Alguna vez has jugado “volados”? Describe en qué consisten y cómo se determina al ganador.

 Manos a la obra1. Reúnete con un compañero para jugar “gato” cin-

co veces. Uno de los jugadores inicia marcando una cruz en una de las casillas. Luego, el siguiente jugador marca un círculo en otra casilla. Gana el primero que logra completar una fila, una columna o una diagonal.

Antes de empezar, contesta de manera individual las siguientes preguntas.

¿Quién ganará el primer juego?

¿Quién va a ganar más juegos?

¿Cuántos juegos ganará cada jugador?

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Después de jugar, contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.

¿Es cierto que en el juego del “gato”, el que inicia siempre gana?

¿Existe una estrategia para no perder en el juego? ¿Cuál es?

¿Conoces algún otro juego parecido al “gato”? ¿Cómo se llama y en qué consiste?

¿Hay alguna estrategia para ganar?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y lleguen a una conclusión grupal con la guía de su profesor.

2. Reúnete con un compañero para jugar el juego de la “es-calera”. Cada jugador deberá escribir su nombre en un extremo de la escalera. Coloquen una ficha sobre el centro de la escalera. Utilicen una moneda para hacer los lanza-mientos por turnos; cuando sale águila, la ficha se baja un escalón, y cuando sale sol, se sube uno. Gana el jugador cuyo nombre está escrito en el escalón al que llega antes la ficha.

Antes de empezar, contesta:

¿Quién consideras que va a ganar el juego?

Después de jugar, contesta las siguientes preguntas.

¿Consideras que existe una manera de ganar siempre en el juego de la escalera?

¿Es cierto o no que en el juego de la escalera el que pide primero siempre gana?

Si en un “volado” la moneda cae águila, ¿es seguro que en el siguiente “volado” no caerá águila?

¿Qué puede ocurrir?

¿Conoces algún otro juego, parecido al de la escalera, en el que antes de empezar no se sepa quién va a ganar? ¿Cómo se llama

y en qué consiste?

¿Es el juego del “gato” un juego de azar? Justifica tu respuesta.

En un juego de azar, como el de la escalera, no se puede saber con anterioridad cuál será el resultado, por lo que no se tiene seguridad de si se va a ganar o se va a perder.

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Sesión 36En esta sesión continuarás identificando si un juego es de azar o no.

 Manos a la obra1. En parejas, jueguen a “adivina el número”.

Tienes que pensar un número mayor que 0 y menor que 50. Lo anotas en un papelito, sin que lo vea tu compañero. Él debe adivinar el número que pensaste, y para ello puede ha-certe hasta seis preguntas. Tú sólo puedes contestar sí o no. Anoten las preguntas y res-puestas en la siguiente tabla.

Preguntas Respuestas

¿Tu compañero o compañera adivinó el número que pensaste?

¿Qué número pensaste? ¿Cuántas preguntas te hizo?

Ahora es tu turno, ¿podrás adivinar el número que piense tu compañero con menos de seis preguntas? Inténtalo.

Si este juego lo realizan muchas veces más, ¿podrían encontrar una manera segura de

adivinar el número? ¿Cuál? Ver

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2. En equipos, jueguen a la “oca”. Necesitan un par de dados y una ficha por jugador. Todos salen de Inicio y por turnos avanzan lo que sumen los dados. Gana el primero que logra llegar a 63.

¿Ganó quien avanzó primero?

Realicen el juego una vez más.

¿Consideran que hay una manera segura de ganar el juego?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con su profesor. Comenten cuál de los dos juegos anteriores es de azar y cuál no lo es, y por qué. Si encontraron estrategias para ganar en cada juego, pruébenlas para ver si lo logran.

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Sesión 37En esta sesión identificarás las principales características de un juego de azar.

 Manos a la obra1. Reúnete con un compañero para jugar “carrera al 10”. Las reglas del juego son las siguientes:

Se requieren dos jugadores. El jugador que inicia el juego puede anotar sólo el número 1 o el 2. El otro jugador puede sumar 1 o 2 al número que anotó el primer jugador. En los si-guientes turnos, siempre se le suma 1 o 2 al número que anotó el jugador anterior. Gana el juego el primero que llegue a 10. Observa lo siguiente:

Toño Manuel Los jugadores son Toño y Manuel:

Toño inició el juego y anotó el número 1.

Manuel decidió sumar dos y anotó el 3.

1

5

8

3

7

10

¿Qué número anotó después Toño? ¿Quién ganó?

Ahora juega con tu compañero y anota en cada caso quién ganó.

Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Jugador 2

Ganador: Ganador: Ganador: Ganador:

Jueguen varias veces hasta que encuentren alguna estrategia para ganar.

Comenten con sus compañeros si este juego es de azar o no y por qué. Ver

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2. Observa las siguientes tres cajas con canicas. Debes extraer una canica de una de las ca-jas, sin ver; ganas si la canica es blanca.

Caja A Caja B Caja C

¿De qué caja prefieres hacer la extracción?

Utiliza canicas y una caja o una bolsa para realizar varias extracciones. Recuerda que no debes ver la canica hasta que esté afuera, y después de registrar su color debes regresarla a la caja para seguir jugando.

Realicen el juego varias veces más, ¿hay una manera segura de ganar el juego?

Comenten en grupo y con su profesor si este juego es de azar o no y digan por qué.

3. Completa la siguiente tabla contestando Sí o No, para ello deberás tomar en cuenta los seis juegos que has realizado en esta secuencia.

Juego Se puede anticipar quién ganará

Se puede encontrar una estrategia para ganar

Se puede controlar el resultado

Es un juego de azar

Gato

Volados

Adivina el número

Oca

Carrera a 10

Extracción de canicas Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo, y con ayuda de su profesor contesten las siguientes preguntas.

¿Al lanzar un dado, se puede determinar el número de puntos que se mostrarán en la cara

superior? ¿Por qué?

¿Se puede determinar la cara que quedará a la vista al lanzar una moneda al aire?

¿Por qué?

¿Se puede determinar el color de la canica que se extrae de una caja o urna, sin ver?

¿Por qué?

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Sesión 38En esta sesión aprenderás a registrar los resultados posibles de un juego de azar.

 Manos a la obra1. En parejas, lleven a cabo la siguiente actividad, que consiste en lanzar varias veces

un dado.

a) Primero contesten las siguientes preguntas.

Antes de lanzar un dado, ¿saben en qué número caerá?

Si lanzan un dado muchas veces, ¿qué número saldrá más veces?

b) Ahora, lancen su dado veinte veces y registren sus resultados en la siguiente tabla.

Número de lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Puntos que marca el dado

¿Cuál es el número de puntos que más veces salió?

¿Qué número de puntos no salió?

¿Los resultados coinciden con lo que predijeron antes de lanzar el dado?

2. Comparen los resultados obtenidos por las diferentes parejas del grupo.

Concentren en una gráfica como la siguiente los resultados de cada equipo.

Núm

ero

de v

eces

que

sal

ió

Número de puntos

1 2 3 4 5 6

Si elaboraron una tabla, cópienla en el pizarrón y comparen los resultados con los de la gráfica.

¿Qué número se repitió más veces?

¿Qué número se repitió menos veces?

¿Hubo algún número de puntos que no saliera al

lanzar el dado?

Si se realiza un nuevo lanzamiento, y quieren ga-

nar, ¿qué número escogerían?

Hagan el lanzamiento, ¿ganó el número que es-

cogieron?

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Sesión 39En esta sesión encontrarás alguna estrategia para jugar un juego de azar en función del análisis de los resultados posibles.

 Manos a la obra1. En parejas, seleccionen una bolsa de canicas del siguiente grupo.

Bolsa 1 Bolsa 2 Bolsa 3 Bolsa 4

Consideren que utilizan esa bolsa para realizar el experimento de sacar canicas al azar, devolviendo cada vez la canica que se saca antes de la siguiente extracción. Si se realizan veinte extracciones, ¿cuántas canicas azules y blancas estiman que van a salir? Anoten sus predicciones en el siguiente cuadro.

Predicciones

Azules

Blancas

2. Utilicen una bolsa no transparente y canicas, de acuerdo con el número de bolsa que se-leccionaron, para realizar el experimento. Uno por uno deberá extraer una canica. Registren en sus cuadernos los resultados; por ejemplo, anoten A cuando sale una canica azul, y una B cuando sale una blanca. No olviden regresar la canica a la bolsa. Realicen cada uno veinte extracciones.

Después de hacer el experimento completen el cuadro con el total de canicas azules y blancas que salieron.

Resultado de veinte extracciones

Azules

Blancas

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3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma

bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados?

Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?

Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Consideran que influye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?

Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más

frecuencia?

¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción?

Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más.

Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?

AutoevaluaciónResponde lo siguiente.

1. Describe un juego que sea de azar.

2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la canica por la salida 1?

a)1 1 112 2 223 33 4

b) c) d)

En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontrar alguna estrategia de juego.

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Sesión 40

Evaluación

Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta a cada problema.

1. ¿Qué notación decimal corresponde a 510

?

a) 0.50 b) 0.050 c) 0.0050 d) 0.00050

2. ¿Qué punto corresponde a la ubicación de la fracción 216

?

0 a b c d 4

a) d b) c c) b d) a

3. Dos tablas, una de 34

de pulgada y otra de 78 de

pulgada, son unidas por un clavo de 2 pulgadas, ¿qué parte del clavo sobresale de las tablas?

a) 14

b) 38

c) 18

d) 34

4. La sucesión numérica 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,…

a) Aumenta de dos en dos.

b) Disminuye de dos en dos.

c) Cada término es el doble del anterior.

d) Cada término es el cuadrado del anterior.

5. ¿Qué expresión algebraica se puede usar para calcular el perímetro de un triángulo isósceles?

a) P = a + b + c c) P = 2(a + b)

b) P = 2a + b d) P = 3(a + b)

6. Dos mujeres compraron 80 gallinas en $3 200; Andrea aportó $1 420 y Susana el resto. ¿Cuántas gallinas corresponden al dinero que aportó Susana?

a) 50 b) 48 c) 42 d) 36

7. Utilizando sólo un compás marca los cuatro vértices que definen a un cuadrado. Toma como una de las aristas del cuadrado el segmento de recta siguiente.

A

B

8. ¿Cómo se llama la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales?

a) Mediatriz c) Bisectriz

b) Mediana d) Altura

9. Se lanzaron dos dados, gana Alberto si la suma es menor a 7; Gonzalo si cae 7; Carmen si cae una suma mayor de 10, y Ximena si cae 8, 9 o 10. ¿Quién de ellos tiene más posibilidades de ganar?

a) Alberto c) Gonzalo

b) Carmen d) Ximena

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