matemáticas 4 eso edebé · web viewseguir cada uno de los pasos de los procedimientos para...

PROGRAMACIÓN DE AULA – Matemáticas ESO 4

Matemáticas 4 ESO edebé

PROGRAMACIÓN DE AULA

Depósito legal B-22126-2012

© grupo edebé 1

EXTREMADURA


UNIDAD DIDÁCTICA 01: Números reales

COMPETENCIAS BÁSICAS INDICADORES OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓNCompetencia matemática (M)• Interpretar y utilizar los

números reales en diferentes contextos, eligiendo la notación y la aproximación adecuadas en cada caso.

• Utilizar el cálculo con porcentajes para resolver problemas en situaciones contextualizadas.

• Utilizar e identificar el lenguaje matemático que describe

intervalos.

• Utiliza el cálculo con porcentajes para resolver problemas en situaciones contextualizadas. (M)

• Utiliza e identifica el lenguaje matemático que describe intervalos. (M)

• Interpreta y utiliza los números reales en diferentes contextos, eligiendo la notación y la aproximación adecuada en cada caso. (M)

• Reconocer, representar, ordenar y operar con números reales.

• Expresar en forma de intervalo un segmento de la recta real, y viceversa.

• Utilizar aproximaciones decimales adecuadas a la precisión requerida, reconocer las cifras significativas de un número real y controlar la propagación del error en la resolución de problemas numéricos.

• Identificar números racionales e irracionales.• Comparar y ordenar números reales.• Utilizar la notación científica para expresar números de

valor absoluto muy grande o muy pequeño.• Calcular los errores absoluto y relativo cometidos al

utilizar aproximaciones decimales de números reales.• Determinar el error cometido en operaciones con

aproximaciones de números reales. • Expresar en forma de intervalo un segmento de la recta

real y representar intervalos sobre la recta real.

Competencia en comunicación lingüística (CL)• Interpretar adecuadamente la

información de textos pertenecientes al lenguaje financiero.

• Interpreta adecuadamente la información de textos pertenecientes al lenguaje

financiero. (CL)

• Utilizar aproximaciones decimales adecuadas a la precisión requerida, reconocer las cifras significativas de un número real y controlar la propagación del error en la resolución de problemas numéricos.

• Operar con números expresados en notación científica con ayuda de la calculadora.

Competencia para aprender a aprender (AA)• Utilizar de forma eficiente

estrategias de cálculo mental y de estimación de cálculos para aplicarlos a nuevos aprendizajes.

• Utiliza de forma eficiente estrategias de cálculo mental y de estimación de cálculos para aplicarlos a nuevos aprendizajes. (AA / M)

• Efectuar aproximaciones decimales de números reales por redondeo y por truncamiento hasta un determinado orden de aproximación.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (CIMF)• Interpretar la información de

diversas fuentes y elaborar gráficos y tablas, identificando las relaciones entre magnitudes para aplicarlo a la resolución de problemas.

• Interpreta información de diversas fuentes y elabora gráficos y tablas, identificando

las relaciones entre magnitudes para aplicarlo a la resolución de problemas. (CIMF)

• Representar números irracionales, tanto de forma geométrica como de forma aproximada.

• Utilizar las TIC para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica.

© grupo edebé 2


CONTENIDOS

C P V

• Conjuntos numéricos N, Z y Q. • Número irracional. • Conjunto de los números reales R. • Recta real. • Orden en el conjunto de los números reales. • Intervalos de números reales. Operaciones con

números reales.• Aproximación decimal de un número real.• Órdenes de aproximación. • Cifras significativas. • Aproximación por redondeo y por truncamiento. • Error absoluto y error relativo. • Cota de error absoluto. • Instrumentos de medida de precisión.• Propagación del error. • Notación científica.

• Identificación de números irracionales. • Representación geométrica exacta y representación

aproximada de números irracionales sobre la recta. • Clasificación, comparación y ordenación de los

números reales. • Representación e interpretación de intervalos de

números reales.• Aproximación de un número real por redondeo o

truncamiento hasta un determinado orden de aproximación.

• Determinación de las cifras significativas de un número o de una medida.

• Cálculo y valoración de los errores absoluto y relativo cometidos al utilizar aproximaciones decimales de números reales.

• Cálculo de cotas del error absoluto cometido al tomar aproximaciones decimales de números reales.

• Uso de instrumentos adecuados para realizar medidas con precisión.

• Obtención gráfica de la suma de dos números irracionales.

• Cálculo del error cometido en operaciones con aproximaciones de números reales.

• Expresión de un número en notación científica e interpretación de números expresados en notación científica.

• Realización de operaciones con números expresados en notación científica.

• Utilización de la calculadora en cálculos exactos y aproximados con números reales, y para realizar operaciones con números expresados en notación científica.

• Aplicación de estrategias que faciliten el cálculo mental en las operaciones con números naturales.

• Valoración de la utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana.

• Sensibilidad por la presentación clara y ordenada de los ejercicios realizados.

• Cuidado y precisión en el uso de los diferentes instrumentos de medida y en la realización de mediciones.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y efectuar estimaciones numéricas.

• Perseverancia en la realización de cálculos numéricos y en la revisión de los cálculos efectuados.

• Valoración crítica de la utilidad de la calculadora para la realización de cálculos numéricos.

Enseñanzas transversales

Educación por el consumo. La realización de aproximaciones tiene una amplia aplicación en la vida cotidiana: calcular el importe aproximado de una compra, descubrir si una cantidad de dinero será suficiente para pagar el importe de una factura, detectar errores en tiques de compra...

© grupo edebé 3


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Orientaciones generales• Relacionar la imagen de presentación de la unidad y el texto que la acompaña con el contenido de dicha unidad.• Reflexionar sobre las preguntas planteadas en la presentación, revisar los contenidos previos y leer los objetivos que se pretende conseguir.• Observar el esquema de la unidad y escuchar la explicación del profesor/a.

1. De los naturales a los reales• Recordar la necesidad por la cual surgieron los números naturales y leer el símbolo que representa el conjunto de los números naturales.• Reflexionar sobre el hecho de que algunas situaciones de la vida cotidiana no pueden expresarse mediante números naturales, considerar la necesidad de ampliar dicho

conjunto con un nuevo conjunto y leer el símbolo que lo representa.• Reflexionar sobre el hecho de que algunas situaciones de la vida cotidiana no pueden expresarse mediante números enteros, considerar la necesidad de ampliar dicho

conjunto con un nuevo conjunto y leer el símbolo que lo representa.• Reconocer que el conjunto de los números racionales coincide con el conjunto de los números decimales limitados o ilimitados y periódicos.• Observar mediante un ejemplo que todo número racional puede expresarse como un número decimal limitado o un número decimal ilimitado y periódico.• Observar mediante un ejemplo que todo número decimal limitado y decimal ilimitado y periódico tiene una fracción generatriz asociada.• Recordar los siguientes conceptos: fracciones equivalentes, fracción irreducible, representante de un número racional y representante canónico de un número racional.• Recordar que el conjunto de los números racionales coincide con el de los números decimales limitados o ilimitados y periódicos, y observar un número decimal ilimitado no

periódico para reconocer la existencia de otro tipo de número y leer el nombre que recibe este nuevo tipo de número.• Leer la definición de número irracional y el símbolo que representa al conjunto de números irracionales.• Identificar diferentes ejemplos de números irracionales destacados.• Observar mediante un ejemplo la representación geométrica exacta de un número irracional sobre la recta.• Comprobar en una figura la representación geométrica exacta de números irracionales que son raíces cuadradas de números naturales.• Observar mediante un ejemplo la representación aproximada de un número irracional sobre la recta numérica.• Leer el nombre que recibe el conjunto formado por los números racionales y los irracionales, y el símbolo que lo representa.• Observar la clasificación de los distintos tipos de números.

@ Consultar una página web con información acerca de los números , e y • Considerar que los números reales llenan por completo la recta y leer el calificativo que se aplica a la recta. • Reconocer que los números reales pueden ordenarse siguiendo el mismo orden que el establecido en el conjunto de números racionales.• Observar la representación sobre la recta de dos números reales para compararlos y leer una regla que permite comparar dos números reales.• Señalar dos puntos de la recta y marcar el segmento comprendido entre ellos para definir el concepto de intervalo.• Reconocer los diferentes tipos de intervalos e identificarlos tanto por su representación gráfica como por su escritura.

@ Entrar una página web con una aplicación interactiva sobre los intervalos numéricos.

2. Las aproximaciones en los números reales • Reconocer que los números reales permiten expresar con exactitud la medida de cualquier segmento.• Leer un ejemplo en el que no puede obtenerse la medida exacta de un segmento utilizando una regla. • Examinar distintas aproximaciones decimales de un número real para clasificar dichas aproximaciones según si son menores o mayores que el valor exacto del número

© grupo edebé 4


real.• Reconocer que en la práctica se utilizan aproximaciones decimales de los números reales si el número tiene muchas cifras decimales o si procede de una medida.• Observar distintas aproximaciones por defecto y por exceso del número .• Observar dos números reales aproximados para reflexionar que al tener un número distinto de cifras significativas no representan la misma cantidad.• Leer la forma en que suele indicarse que los ceros en que termina un número entero no son cifras significativas. • Llegar a comprender la definición de orden de aproximación a partir de una tabla en la que aparece el número de cifras significativas y el orden de la última cifra significativa

de una serie de aproximaciones.• Fijarse, dadas dos aproximaciones del mismo orden de un número decimal, en cuál es la más próxima al valor real para definir la aproximación por redondeo.• A partir de una serie de números decimales con aproximaciones por redondeo y en la que aparece el orden de aproximación y la primera cifra suprimida, llegar a establecer

la norma que permite redondear un número hasta un cierto orden de aproximación.• Leer en qué consiste una aproximación por truncamiento y observar en una tabla el orden de aproximación, la aproximación por truncamiento y la aproximación por

redondeo de distintos números reales.• Fijarse en que al aproximar un número real por redondeo pueden obtenerse aproximaciones por defecto o por exceso mientras que al aproximar un número real por

truncamiento siempre se obtienen aproximaciones por defecto.• Reconocer que cuando se utilizan aproximaciones de números reales se comete un error.• Fijarse en la definición de valor absoluto de un número real.• Observar en una tabla la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado de distintas aproximaciones y el valor absoluto de esta diferencia para llegar a la definición

de error absoluto de una aproximación.• Reflexionar mediante una situación de la vida cotidiana acerca de que, aunque en algunos casos se comete el mismo error absoluto, este no tiene la misma importancia y

relacionar el error absoluto con el valor exacto de la medida para definir el concepto de error relativo.• Leer la definición de error relativo, observar que expresa el error cometido por unidad de medida y fijarse en que puede expresarse en porcentaje.• Considerar mediante un ejemplo que no siempre se puede calcular el error cometido al tomar una aproximación de un número pero sí un valor mayor o igual que dicho

error, y definir cota del error absoluto.• Reflexionar acerca de que al efectuar una medida no se puede calcular el error cometido al tomar una aproximación pero sí el error máximo cometido y observar la forma

de indicar dicha medida.• Observar en un cuadro algunos instrumentos de medida de precisión y su función.

3. Operaciones• Seguir los pasos para efectuar gráficamente la suma de dos números irracionales y verificar que no es posible obtener el valor numérico exacto de dicha suma.• Reconocer que para sumar dos números irracionales deben tomarse aproximaciones de estos números y que el resultado también será una aproximación decimal de un

número irracional.• Observar el error que se comete al sumar las aproximaciones decimales de dos números irracionales, observar las cifras decimales correctas del resultado y reconocer que

para obtener una mejor aproximación del resultado se deben tomar más cifras decimales en los sumandos.• Observar el error que se comete al multiplicar las aproximaciones decimales de dos números irracionales, observar las cifras decimales correctas del resultado y reconocer

que para obtener una mejor aproximación del resultado se deben tomar más cifras decimales en los factores.• Fijarse mediante un ejemplo en el error absoluto que se comete al resolver una operación combinada en la que se opera con un resultado aproximado.• Observar las expresiones de números expresados en notación científica que aparecen en la pantalla de la calculadora, traducir estas expresiones y leer el nombre que

reciben.• Leer la definición de número expresado en notación científica.• Leer sobre el número de cifras significativas de un número expresado en notación científica y fijarse en el número de cifras significativas de dos números expresados en

© grupo edebé 5


notación científica.• Observar en un ejemplo resuelto cómo se expresan distintos números en notación científica y cómo se escriben con un número determinado de cifras significativas.• Reconocer las teclas de la calculadora que permiten operar con números expresados en notación científica y observar la utilización de la calculadora para introducir dichos

números y para operar con ellos.4. Porcentajes

• Recordar la definición de porcentaje y como se expresa.• Observar en dos ejemplos como se aplican los aumentos y disminuciones porcentuales• Identificar la aplicación de los porcentajes en la vida cotidiana. Interés. Leer la definición de interés.• Entender el interés simple e interpretar su fórmula.• Leer el concepto de interés compuesto, su fórmula a partid de la explicación y un ejemplo resuelto.

@ Consultar una página web donde se explican el interés simple y compuesto.

Actividades resueltasAnalizar cada una de las fases del método general de resolución de problemas en cuatro pasos, como estrategia para resolver problemas, y aplicarla en diversas actividades CB

OTRAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN INICIAL Grupo clase• Resolver ejercicios diversos relacionados con los ítems indicados en la Preparación de la unidad.• Examinar los contenidos de la unidad que contribuyen al logro de las CB indicadas.

MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer y utilizar los números reales.• A partir del tamaño de las moléculas de los fullerenos (microscópicas formas cristalinas del carbono) y del perímetro de un balón de

fútbol, expresar algunas de sus medidas en notación científica.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Dadas las cotas de errores de tres radares al medir distancias a objetos, determinar la distancia a la que se encuentra un ovni respecto

uno de los radares, conocidas las distancias detectadas por todos los radares. Elaborar una tabla donde se refleje el capital acumulado después de un cierto tiempo si se coloca a interés simple o a interés

compuesto. Comparar ambos resultados y determinar los respectivos capitales acumulados.@ A partir de diversos enlaces elaborar una ficha de cada una de las cinco películas más taquilleras. Analizar sus recaudaciones expresando el resultado de la forma más adecuada.

© grupo edebé 6


COMPLEMENTARIAS En el apartado1, es necesario que los alumnos repasen y distingan todos los conjuntos de números que se han estudiado, subrayándo-se las diferencias entre las propiedades de cada uno de ellos. Para ello, será muy útil recurrir a ejemplos (contar objetos, en el caso de los números naturales; contar las plantas de un edificio, en el caso de los números enteros, y el reparto de un pastel, al tratar los frac -cionarios). Para diferenciar los números irracionales de los racionales debe remarcarse la expresión decimal del número, que no puede ser finita ni periódica. También será útil que el alumno entienda cómo representar algunas raíces irracionales y compruebe que es posi-ble hacerlo y ordenarlas en la recta real (junto con los racionales); en cualquier caso, debe insistirse en que no es fácil saber si un nú-mero determinado es racional. De igual modo debe destacarse que, en el mundo real, el uso de los números irracionales es poco habi-tual y se sustituyen por aproximaciones; de ahí la necesidad del estudio de errores.

En el apartado 2, puede resultar de gran interés la realización de mediciones con instrumentos de distinto tipo, acompañada de una re-flexión sobre el error cometido y su relevancia para el problema o la situación en que se inserta. Sería conveniente que los alumnos pu -dieran manejar instrumentos de precisión, como cronómetros, pies de rey... Ello brinda la oportunidad de realizar actividades en grupo e incluso plantear actividades conjuntas con otras áreas, como Tecnología o Física y Química.

En el apartado 3, se puede pasar a operar con aproximaciones, estimando el orden de magnitud del resultado. Cabe destacar el hecho de que la calculadora, cuando expresa un resultado en notación científica, nos está dando una aproximación de este ajustada a las ci -fras que caben en la pantalla. Es importante que los alumnos/as aprecien la utilidad de este tipo de notación para escribir tanto los nú-meros muy grandes como los muy pequeños, pues con ella se reduce mucho el número de cifras empleadas.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD REFUERZO PROFUNDIZACIÓN

1. De los naturales a los reales Ficha 1. Actividades 1, 2 y 3.

2. Las aproximaciones en los números reales Ficha 2. Actividades 1, 2, 3 y 4.

2. Las aproximaciones en los números reales Ficha 3. Actividades 5 y 6.

3. Operaciones Ficha 3. Actividades 1, 2, 3 y 4.

© grupo edebé 7


EVALUACIÓN DE LA UNIDAD DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS

Libro del alumno• Representar números irracionales sobre la recta numérica.• Elegir correctamente números racionales que pertenecen a un

intervalo.• Determinar la intersección de dos intervalos.• Aproximar números decimales a las centésimas y milésimas.• Reflexionar sobre el error cometido y su relevancia para el

problema la situación en que se inserta.• Aplicar la notación científica correcta a números grandes.• Resolver problemas geométricos, valorando la expresión de los

resultados.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Clasificar distintos números en racionales e irracionales.• Construir segmentos de longitud irracional.• Representar gráficamente números reales e intervalos de

números reales.• Localizar el error cometido al redondear números decimales.• Escribir el intervalo donde se sitúa la longitud de una

circunferencia al redondear π hasta las milésimas.• Expresar en notación científica números grandes y pequeños.• Efectuar operaciones mediante la calculadora con números

expresados en forma de notación científica.

Libro del alumno • Comprender el error cometido en diferentes medidas.• Calcular intervalos de distancias que dependen de la precisión de

los instrumentos de medida.• Construir e interpretar tablas y gráficos.• Analizar la conveniencia de abrir una cuenta a interés simple

compuesto, para tomar decisiones de forma autónoma.• Aplicar la notación científica a contextos de la vida cotidiana.• Indicar en qué casos es necesario realizar una aproximación de

un número real, y justificarlo.

Material complementario• Interpretar y seleccionar la información que contienen las tablas.• Utilizar gráficos de barras y diagramas de sectores para organizar

la información.• Realizar cálculos con porcentajes.• Analizar los errores cometidos relacionados con el cambio de

moneda.• Calcular algunas características físicas de Marte y la Tierra, y

expresarlas utilizando correctamente la notación científica.

© grupo edebé 8


ACTIVIDADES DE PROMOCIÓN DE LA LECTURA Y LA EXPRESIÓN

Lectura• Leer de manera comprensiva problemas, situaciones diversas y traducir al lenguaje científico.• Leer comprensivamente expresiones numéricas para elaborar enunciados.• Leer información diversa de las páginas web propuestas para obtener o ampliar información, investigar, acceder a programas de cálculo, experimentar… • Utilizar estrategias de comprensión lectora:

— Lectura silenciosa (autorregulación de la comprensión).— Traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje científico en problemas, en situaciones diversas, y viceversa (elaboración de la información).— Elaboración de síntesis, esquema, resumen (conciencia de la propia comprensión).

Expresión• Exponer, de forma oral y escrita, el planteamiento y desarrollo de la resolución de problemas de diversa índole.• Expresar adecuadamente los aprendizajes, utilizando el vocabulario preciso y propio de la ciencia.

ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ A partir de diversos enlaces, obtener información sobre algunos números irracionales relevantes: π, e, (Página 13).@ Realizar una actividad interactiva sobre intervalos de números reales. (Página 16).@ Ampliar los conocimientos acerca del interés simple y compuesto consultando una página web (Página 26)

Recursos en soporte digital

• Representación de la raíz de dos. (Animación).• Representación de la raíz de seis. (Animación).• Números reales. (Resolución de problemas).• Enlaces web

© grupo edebé 9


MÍNIMOS EXIGIBLES PARA UNA EVALUACIÓN POSITIVA

• Identificar números racionales e irracionales.• Comparar y ordenar números reales.• Utilizar la notación científica para expresar números de valor absoluto muy grande o muy pequeño.• Calcular los errores absoluto y relativo cometidos al utilizar aproximaciones decimales de números reales.• Efectuar aproximaciones decimales de números reales por redondeo y por truncamiento hasta un determinado orden de aproximación.• Utilizar las TIC para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica.

CRITERIOS DE CALIFICACIÓN

• Uso correcto de los conceptos y del vocabulario científico al transmitir y solicitar información.• Uso espontáneo en contextos cotidianos de los aprendizajes realizados.• Grado de elaboración personal de las ideas, las respuestas y los procesos personales desarrollados.• Grado de comprensión y comunicación de la información científica.• Orden y claridad en la presentación de actividades.• Porcentaje o número de aciertos en pruebas, ejercicios y trabajos escritos. • Comportamiento: respeto, interés y motivación, atención, tenacidad, perseverancia y compañerismo.• Autonomía en la resolución de los problemas y en la toma de decisiones.

© grupo edebé 10


METODOLOGÍA

MATERIALES Y RECURSOS ESPACIOS - TIEMPOS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

• Libro de texto MATEMÁTICAS 4 ESO; editorial edebé.

• Libro digital MATEMÁTICAS 4 ESO; editorial edebé.

• Cuaderno de Matemáticas ESO, n.º 10; editorial edebé.

• Cuaderno digital MATEMÁTICAS 4 ESO; editorial edebé.

• Recursos en soporte digital• Calculadora, ordenador y

programas relacionados con la unidad 1.

• Pizarra digital.• Material fungible.

• Aula• Laboratorio• Tiempo aproximado:

3 semanas

La metodología propuesta promueve la construcción de aprendizajes significativos a partir de la secuencia: – Evocación de conocimientos previos para abordar los nuevos contenidos.– Progresiva y cuidada incorporación de nuevos contenidos, mediante ejemplos extraídos de situaciones

cotidianas, que favorecen la comprensión de estos y su generalización por medio de modelos, esquemas, planteamiento de problemas... Esto posibilita la transferencia de aprendizajes a la vida cotidiana, conectando con la adquisición de las competencias básicas propias de la materia y el trabajo sistemático de las mismas en cada unidad.

– Elaboración de síntesis.– Recursos digitales de diferente índole, preparados para impartir clases desde la metodología de la pizarra

digital o de los ordenadores propios de los alumnos. Estos recursos incluyen actividades interactivas, animaciones, cazas del tesoro, enlaces a Internet, banco de imágenes, presentaciones...

– Resolución de problemas con los que el alumno/a desarrolla y perfecciona sus propias estrategias, a la vez que adquiere otras generales y específicas.

– Actividades diversificadas (de refuerzo, de ampliación, trabajo en grupo, uso de las TIC...), secuenciados por niveles de dificultad y que facilitan la adquisición de competencias básicas a todos los alumnos.

Estructura de la Unidad 1: Números reales– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de los números

enteros en una situación real y contextualizada.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del

desarrollo de los aprendizajes. – Contenidos: presentación de los contenidos de la unidad que sirve como organizador de los aprendizajes.– Preparación de la unidad: conocimientos previos necesarios para abordar los contenidos de la unidad 1. – Contenidos: secuencias de aprendizaje para cada contenido de la unidad, abordadas a partir de situaciones o

ejemplos contextualizados, con actividades de aprendizaje en el proceso deductivo que finaliza con una conclusión (definición) y con actividades de aplicación.

Se proponen también actividades complementarias, actividades TIC, actividades de trabajo de las CB, y de refuerzo y profundización. Todo el trabajo de los contenidos está orientado al desarrollo y adecuación de las competencias básicas definidas en la unidad.

– Resolución de problemas: presentación de una estrategia específica, método general de resolución de problemas (comprensión del enunciado, planificación, ejecución del plan, revisión del resultado y proceso seguido) y aplicación para resolver un problema modelo.

– Síntesis: esquema que relaciona gráficamente los contenidos básicos de la unidad acompañado de una breve definición/explicación de cada uno.

© grupo edebé 11


– Actividades finales organizadas según los contenidos principales de la unidad y de tipología diversa: refuerzo, profundización (Más a fondo), aplicación de calculadora, trabajo en grupo, actividades TIC.

– Actividades de trabajo sistemático de CB. – Evaluación: actividades para comprobar si se han comprendido y asimilado los contenidos desarrollados en la

unidad.– Crónica matemática: interpretar algunos datos astronómicos, el concepto de infinito y la irracionalidad del

número p. Y por otra parte, comprender la limitación de las calculadoras al representar números ilimitados.

© grupo edebé 12


PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

ESCRITOS ORALES OTROS

• Tareas diversas del alumno/a que realiza en la actividad diaria de la clase.

• Actividades diversas de evaluación de aprendizajes y de competencias básicas.

• Proceso seguido en la resolución de problemas.• Actividades TIC: interactivas, cazas del tesoro, enlaces

web...• Cuaderno del alumno.• Dossier individual.• Valoración del planteamiento y procesos seguidos, así

como del resultado obtenido.

• Preguntas individuales y colectivas.• Observación y valoración del grado de participación de

cada alumno/a y la calidad de sus exposiciones e intervenciones en clase.

• Ficha de registro individual. • Registro para la evaluación continua del grupo clase.• Autoevaluación (oral y escrita). • Blog del profesor.• Portfolio.• Rúbrica de evaluación de las CB de la unidad.• Rúbrica de evaluación trimestral de las CB.• Rúbrica de evaluación del Proyecto.• Rúbrica de evaluación de habilidades generales.

© grupo edebé 13


EVALUACIÓN DE LA PRÁCTICA DOCENTE

ADECUACIÓN DE LA PLANIFICACIÓN RESULTADOS ACADÉMICOS

PROPUESTAS DE MEJORA

Preparación de la clase y los materiales didácticos

Hay coherencia entre lo programado y el desarrollo de las clases.

Existe una distribución temporal equilibrada.

Se adecua el desarrollo de la clase con las características del grupo.

Utilización de una metodología adecuada

Se han tenido en cuenta aprendizajes significativos.Se considera la interdisciplinariedad (en actividades, tratamiento de los contenidos, etc.).

La metodología fomenta la motivación y el desarrollo de las capacidades del alumno/a.

Regularización de la práctica docente

Grado de seguimiento de los alumnos.

Validez de los recursos utilizados en clase para los aprendizajes.

Los criterios de promoción están consensuados entre los profesores.

Evaluación de los aprendizajes e información que de ellos se da a los alumnos y familias

Los criterios para una evaluación positiva se encuentran vinculados a los objetivos y contenidos.

Los instrumentos de evaluación permiten registrar numerosas variables del aprendizaje.

Los criterios de calificación están ajustados a la tipología de actividades planificadas.

Los criterios de evaluación y los criterios de calificación se han dado a conocer:– a los alumnos.– a las familias.

Utilización de medidas para la atención a la diversidad

Se adoptan medidas con antelación para conocer las dificultades de aprendizaje.

Se ha ofrecido respuesta a los diferentes ritmos y capacidades de aprendizaje.

Las medidas y los recursos ofrecidos han sido suficientes.

Aplica medidas extraordinarias recomendadas por el equipo docente atendiendo a los informes psicopedagógicos.

PROGRAMACIÓN DE APOYOS A NEE Alumnos

© grupo edebé 14


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..

Atención individualizada en el aula para la realización de las actividades propuestas.Adaptación de las actividades de la programación.Atención individualizada dentro y fuera del aula para la realización de las actividades adaptadas.Adaptación curricular significativa por NEE.Adaptación curricular por alta capacidad intelectual.Adaptaciones en el material curricular por incorporación tardía en el SE.…

© grupo edebé 15


UNIDAD DIDÁCTICA 02: Potenciación y radicación

COMPETENCIAS BÁSICAS INDICADORES OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓNCompetencia matemática (M)• Realizar cálculos en los que

intervengan distintos tipos de números, utilizando las propiedades y aplicando el método de cálculo más adecuado (mental, algoritmos, calculadora…) en diversas situaciones.

• Realiza cálculos en los que intervienen potencias, aplicando el método de cálculo más adecuado (mental, algoritmos, calculadora…) en diversas situaciones. (M)

• Utiliza las propiedades de los logaritmos. (M)

• Operar con potencias de base real y exponente racional.

• Operar con radicales.• Conocer las propiedades de los

logaritmos.

• Expresar raíces enésimas en forma de potencia de exponente racional.

• Operar con potencias de base real y exponente racional.

• Utilizar la calculadora para hallar potencias.• Expresar raíces enésimas y calcularlas cuando sea

posible.• Determinar el signo y el número de raíces de un radical.• Efectuar operaciones con radicales.• Extraer e introducir factores de un radical.• Utilizar la calculadora para hallar raíces.• Utilizar las propiedades de los logaritmos para

simplificar expresiones.Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (CIMF)• Utilizar los conocimientos

matemáticos y científicos para interpretar y explicar fenómenos naturales.

• Utiliza los logaritmos para interpretar y explicar fenómenos naturales. (CIMF / M) • Operar con logaritmos.

• Calcular logaritmos decimales.• Valorar con actitud crítica el uso de la calculadora en la

realización de cálculos numéricos.

Autonomía e iniciativa personal (AIP)• Confiar en las propias capacidades

para efectuar operaciones matemáticas diversas.

• Confía en las propias capacidades para efectuar operaciones matemáticas diversas. (AIP)

• Expresar un radical en forma de potencia cuya base sea un número real y el exponente un número racional.

• Calcular potencias de base real y de exponente natural entero.

• Operar con potencias de base real y exponente entero, aplicando las propiedades de estas operaciones.

• Expresar raíces enésimas en forma de potencia de exponente racional.

Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar los recursos tecnológicos y

las aplicaciones de las TIC en situaciones en que intervienen potencias, radicales y logaritmos.

• Utiliza los recursos tecnológicos y las aplicaciones de las TIC en situaciones en que intervienen potencias, radicales y logaritmos. (TI-D)

• Conocer las TIC como herramientas útiles para trabajar con potencias, radicales y logaritmos, y utilizar los recursos tecnológicos adecuados en cada momento.

• Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación como herramientas útiles en el proceso de aprendizaje.

© grupo edebé 16


CONTENIDOS

C P V

• Potencias de base real y exponente natural. • Propiedades de las operaciones con potencias de base

real y exponente natural. • Potencias de base real y exponente entero. • Propiedades de las operaciones con potencias de base

real y exponente entero.• Raíz cuadrada de un número real. • Raíz enésima de un número real. • Expresiones radicales semejantes. • Potencias de base real y exponente racional. • Propiedades de las operaciones con potencias de base

real y exponente racional. • Racionalización. • Logaritmo en base 10 o decimal. • Propiedades de los logaritmos. • Logaritmos en bases distintas de 10.

• Cálculo de potencias de base real y exponente natural o entero negativo.

• Aplicación de las propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente natural o entero negativo.

• Determinación del signo de una raíz en función de la paridad del índice y del signo del radicando.

• Reconocimiento de radicales semejantes. • Cálculo de radicales y de operaciones con radicales. • Extracción e introducción de factores en un radical. • Cálculo de potencias de base real y exponente

racional. • Aplicación de las propiedades de las operaciones con

potencias de base real y exponente racional. • Transformación de raíces en potencias. • Racionalización de denominadores. • Cálculo de logaritmos decimales. • Transformación de una igualdad en forma de potencia

a otra en forma logarítmica y viceversa. • Aplicación de las propiedades de los logaritmos. • Cambio de base de un logaritmo. • Utilización racional de la calculadora para realizar

operaciones complicadas y para comprobar resultados.

• Aplicación de estrategias que faciliten el cálculo mental en las operaciones numéricas.



• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y efectuar operaciones numéricas.

• Valoración critica del uso de la calculadora en la realización de cálculos numéricos.

© grupo edebé 17




1. Potencias de base real y exponente entero• Reconocer la utilización de las potencias en distintos ámbitos y la necesidad de conocer sus propiedades.• Observar la expresión en forma de potencia de dos productos de factores iguales tomando como factor un número racional y tomando como factor un número real, para definir

potencia de base un número real y exponente un número natural.• Reconocer que no puede aplicarse la definición de potencia si el exponente es 1 y recordar el valor de una potencia de base entera y exponente 1.• Deducir el valor de una potencia de base real y exponente 1 y leer su definición.• Observar en una tabla, mediante ejemplos concretos, las propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente natural y la forma de efectuarlas.• Observar la utilización de la calculadora para hallar el cuadrado de un número y para calcular cualquier potencia de un número.• Deducir, a partir del cumplimiento de las propiedades de las potencias y mediante un ejemplo concreto, el valor de una potencia de base real y exponente 0, y leer su definición.• Deducir, a partir del cumplimiento de las propiedades de las potencias y mediante un ejemplo concreto, el valor de una potencia de base real y exponente un número entero

negativo, y leer su definición.• Reconocer que cualquier potencia de base real y exponente entero negativo puede escribirse como una potencia de base real y exponente entero positivo.• Seguir los pasos en un ejemplo resuelto de los procesos de transformación de una multiplicación y de una división de potencias de una misma base, de la potencia de un

producto y de la potencia de una potencia, y reconocer que se pueden resolver aplicando las propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente entero.

2. Radicales• Recordar que el número obtenido a partir de elevar otro número al cuadrado tiene por raíz cuadrada el número que se eleva al cuadrado y razonar que también tiene por raíz

cuadrada el opuesto de dicho número.• Leer la condición que deben cumplir las raíces cuadradas de un número real y la forma de expresarlas.• Fijarse en las raíces cuadradas de números reales que son racionales y en las que son irracionales.• Comprobar, en dos ejemplos concretos, el cálculo de raíces cúbicas para definir la raíz enésima de un número real.• Leer la expresión de la raíz enésima de un número real y el nombre que recibe cada uno de los números que intervienen en dicha expresión.

@ Consultar una página web donde se explica una estrategia para calcular mentalmente raíces cuadradas. • Analizar la información de una tabla que muestra la raíz cúbica y la raíz de índice 4 de pares de números reales opuestos y la relación del signo de la raíz con la paridad del

índice y con el signo del radicando.• Observar el resultado de la suma de tres expresiones radicales semejantes para identificar el coeficiente de una expresión radical.• Observar distintas expresiones radicales cuyas diferencias se limitan a los coeficientes para definir expresiones radicales semejantes.• Leer la definición de radicales semejantes.

@ Consultar una página web con ejemplos de radicales semejantes. • Reconocer que podemos multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer una raíz de cualquier radical pero que para sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes. • Comprobar, en una tabla, los procedimientos para sumar o restar radicales semejantes, para multiplicar y dividir radicales del mismo índice y para hallar la potencia y la raíz de

© grupo edebé 18


un radical, y observar la aplicación de dichos procedimientos en ejemplos concretos.• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de operaciones combinadas en las que intervienen raíces cuadradas.• Reconocer que si en el producto de una suma por una diferencia intervienen raíces cuadradas el resultado no tiene radicales; observar este hecho en un ejemplo concreto e

identificar la expresión conjugada.• Considerar la conveniencia de extraer factores de un radical y reconocer que solo es posible si el exponente del factor es mayor o igual que el índice del radical.• Seguir los pasos, en unos ejemplos concretos, de cómo proceder para extraer factores de un radical y reconocer que si el exponente es múltiplo de la raíz, el resultado no

contiene ninguna raíz.• Seguir los pasos, en un ejemplo resuelto, del cálculo de raíces cuadradas a partir de la descomposición factorial del radicando y de la extracción de factores del radical.• Leer en un texto el procedimiento para extraer factores de un radical. • Reconocer que se pueden introducir factores en un radical; observar en unos ejemplos concretos cómo proceder para introducir factores en un radical, y leer el procedimiento

para introducir un factor en un radical.• Considerar que el exponente de una potencia puede ser un número racional y leer la definición de potencia de base real y exponente racional mediante radicales.• Observar en un ejemplo resuelto distintas operaciones de potencias de exponente racional aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero.• Considerar que las potencias cuyo exponente es un número racional negativo se pueden transformar en potencias cuyo exponente es un número racional positivo y observar en

un ejemplo esta transformación.• Leer las propiedades de las potencias de base real y exponente racional.• Fijarse en que la manera de definir las potencias de exponente racional permite que se cumplan las propiedades de las potencias.• Observar las teclas de la calculadora que permiten hallar las raíces cuadradas, cúbicas y de cualquier índice de un número, y su utilización en ejemplos concretos.• Comparar, mediante un ejemplo, dos procedimientos para efectuar operaciones con radicales: directamente o transformándolos en potencias de exponente racional.• Comprender la necesidad de racionalizar el denominador de una expresión y observar la racionalización de distintas expresiones en un ejemplo resuelto.• Fijarse en que podemos racionalizar numeradores o denominadores y en cómo racionalizar el denominador de una expresión.

@ Entrar en una página web y practicar la racionalización de radicales.

3. Logaritmos• Analizar una situación de la vida cotidiana en la que intervienen los logaritmos, leer la definición de logaritmo en base 10 y observar su expresión.• Observar en ejemplos concretos el cálculo de logaritmos de números que son potencias de 10 y analizar mediante una tabla la relación entre los logaritmos de números que son

potencias de 10 y los exponentes de dichas potencias.• Leer el nombre que reciben los logaritmos de base 10; fijarse mediante un ejemplo concreto que es posible calcular logaritmos en bases distintas de 10 y leer la definición de

logaritmo en cualquier base positiva distinta de 1.• Observar cómo se calcula el logaritmo decimal de un número mediante la calculadora.• Reconocer que el logaritmo de un número real negativo no existe.• Leer, en una tabla, las propiedades de los logaritmos y seguir la demostración de cada una de dichas propiedades.• Reconocer que las propiedades de los logaritmos permiten escribir el logaritmo de una expresión como sumas y restas de logaritmos, y observar esta transformación en un

ejemplo resuelto.• Leer unas pinceladas históricas acerca de la aparición de los logaritmos y de las tablas logarítmicas.• Fijarse en que las propiedades de los logaritmos pueden generalizarse para bases distintas de 10.• Leer la propiedad que permite cambiar la base de los logaritmos y observar su aplicación en un ejemplo.

Actividades resueltas• Analizar cada una de las fases del método general de resolución de problemas en cuatro pasos, como estrategia para resolver problemas, y aplicarla en diversas

actividades.

© grupo edebé 19


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de operar con potencias y raíces.• Calcular la superficie de lona necesaria y el coste correspondiente para montar un toldo conocidas sus dimensiones.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Realizar diversos cálculos a partir de determinados valores según funciones potenciales.• Expresar diversas medidas de dos cubos cuyos datos iniciales se expresan mediante radicales.@ A partir de diversos enlaces responder algunas cuestiones relacionadas con la escala logarítmica de Richter utilizada para medir la intensidad de los terremotos.

COMPLEMENTARIAS En el apartado 1, se ha de llevar a cabo un repaso de las potencias de exponente natural. Para hacerlo, pueden presentarse situaciones propias de las ciencias físicas en las que las potencias se usan para determinar magnitudes, expresar leyes, etc.

En el apartado 2, se introduce la radicación como una operación inversa de la potenciación para lo cual pueden utilizarse situaciones ins-piradas en el mundo físico; estas resultan especialmente adecuadas para un tratamiento didáctico interdisciplinario, debido a sus múlti-ples conexiones con otras áreas de conocimiento. Por otra parte, el trabajo con la calculadora permite que se experimenten los nuevos conocimientos en el cálculo de radicales teniendo en cuenta que los fenómenos de propagación del error pueden producir resultados erróneos. Por tanto, es importante que el alumno/a tome conciencia de la importancia de dominar con fluidez este tipo de operaciones si se desean obtener resultados fiables, introduciendo el uso de la calculadora solo en el paso final del cálculo. Para la comprobación de este fenómeno, puede proponerse a los alumnos que efectúen operaciones de dos maneras diferentes: que apliquen con la calculadora las propiedades de los radicales y que, por otra parte, relacionen los resultados obtenidos.

En el apartado 3, es importante que el alumno/a entienda la necesidad y la utilidad de los logaritmos como es el caso de la escala logarít -mica de uso común de los decibelios cuya unidad (dB) representa la intensidad sonora. Las actividades pueden consistir en relacionar las propiedades de los logaritmos con las del sonido medido en decibelios.


1. Potencias de base real y exponente entero Ficha 1. Actividad 1.

2. Radicales Ficha 1. Actividades 1, 2 y 3. Ficha 2. Actividades 1, 2, 3, 4 y 5.

2. Radicales Ficha 3. Actividades 1, 2, 3 y 4.

3. Logaritmos Ficha 3. Actividades 5, 6, 7 y 8.

© grupo edebé 20



Libro del alumno• Resolver potencias cuyas bases son números reales y los ex-

ponentes números enteros.• Resolver operaciones con radicales.• Extraer factores de un radical.• Expresar radicales en forma de potencia.• Operar mentalmente logaritmos decimales.• Hallar el logaritmo de un determinado número expresándolo

como potencia cuya base es la base del logaritmo.• Aplicar las propiedades de los logaritmos.• Calcular un logaritmo expresándolo como logaritmo de una

potencia.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Efectuar una serie de operaciones con potencias de base real

y exponente racional. Realizar operaciones con radicales cua-dráticos aplicando las propiedades de las potencias de expo-nente racional cuando sea conveniente.

• Expresar diferentes radicales en forma de potencia de base real y exponente racional. Expresar potencias de exponente racional en forma de radical e identificar los radicales semejan-tes.

• Extraer factores de diversos radicales.• Identificar los errores cometidos en la racionalización de frac-

ciones y expresar los resultados correctamente.• Hallar el logaritmo de diversos números positivos.• Expresar unos determinados logaritmos en forma de suma y

resta de logaritmos, aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, logaritmo de un cociente, logaritmo de una potencia y logaritmo de una raíz).

Libro del alumno •Interpretar diferentes casos particulares de funciones exponenciales

y extraer conclusiones prácticas.•Hallar la superficie y el volumen de un cubo utilizando las potencias.•Utilizar las TIC para entender la utilidad y las aplicaciones de los lo-

garitmos en situaciones de la vida real.•Analizar la escala de Richter como un ejemplo de escala

logarítmica.

Material complementario• Utilizar las potencias para la comprensión de sucesos y predic-

ción de consecuencias.• Determinar los volúmenes de diferentes cubos.• Relacionar unidades de volumen y capacidad.• Hallar incógnitas en expresiones con radicales.• Racionalizar y simplificar expresiones con radicales.• Transformar sumas y restas de logaritmos en un solo logaritmo,

aplicando las propiedades correspondientes.

© grupo edebé 21






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Conocer una estrategia para calcular mentalmente raíces entre 1 y 1000. (Página 38).@ Reconocer la posible semejanza de dos radicales mediante diversos ejemplos. (Página 39).@ Practicar la racionalización de radicales. (Página 47).

Recursos en soporte digital• Potencias, radicales y logaritmos. (Actividad)..• Potenciación y radicaciónn. (Resolución de problemas).• Enlaces web

© grupo edebé 22



• Operar con potencias de base real y exponente racional.• Utilizar la calculadora para hallar potencias.• Expresar raíces enésimas y calcularlas cuando sea posible.• Determinar el signo y el número de raíces de un radical.• Efectuar operaciones con radicales.• Utilizar la calculadora para hallar raíces.• Calcular logaritmos decimales.• Calcular potencias de base real y de exponente natural entero.• Operar con potencias de base real y exponente entero, aplicando las propiedades de estas operaciones.



© grupo edebé 23


METODOLOGÍA






• Recursos en soporte digital.• Calculadora, ordenador y



• Aula• Laboratorio• Tiempo

aproximado: 3 semanas







Estructura de la Unidad 2: Potenciación y radicación– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de las

potenciación y radicación en una situación real y contextualizada.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 24




unidad.– Crónica matemática: interpretar datos sobre la medida de los terremotos y la datación de rocas. Conocer

algunos métodos de cálculo de raíces cuadradas utilizados en la antigüedad (Babilonia, India) y comprobar algún ejemplo.

© grupo edebé 25






• Proceso seguido en la resolución de problemas.• Actividades TIC: interactivas, cazas del tesoro,

enlaces web...• Cuaderno del alumno.• Dossier individual.• Valoración del planteamiento y procesos seguidos,

así como del resultado obtenido.




© grupo edebé 26


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 28


UNIDAD DIDÁCTICA 03: Polinomios y fracciones algebraicas

COMPETENCIAS BÁSICAS INDICADORES OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Competencia matemática (M)• Identificar el significado de la

información numérica y simbólica para resolver situaciones de la vida cotidiana.

• Efectuar operaciones con polinomios y fracciones algebraicas.

• Identifica el significado de la información numérica y simbólica para resolver situaciones de la vida cotidiana. (M)

• Efectúa operaciones con fracciones algebraicas. (M)

• Reconocer qué es una fracción algebraica.

• Efectuar operaciones con fracciones algebraicas.

• Reconocer qué es un polinomio y efectuar diversas operaciones con polinomios.

• Calcular el valor numérico de un polinomio.• Efectuar correctamente la suma, la resta, la

multiplicación y la división de polinomios.• Aplicar el teorema del resto para hallar las raíces de un

polinomio.• Valorar la utilidad del lenguaje algebraico para

representar y comunicar diferentes situaciones de la vida cotidiana.

• Simplificar fracciones algebraicas.• Reducir fracciones algebraicas a mínimo común

denominador.• Efectuar correctamente la suma, la resta, la

multiplicación y la división de fracciones algebraicas.

Competencia en comunicación lin-güística (CL)• Interpretar adecuadamente

información de carteles sobre prevención de accidentes de tráfico.

• Interpreta adecuadamente información numérica y simbólica presente en situaciones cotidianas. (CL / M)

Competencia para aprender a apren-der (AA)• Gestionar y controlar las propias

capacidades y conocimientos como base para la propia formación.

• Gestiona y controla las propias capacidades y conocimientos como base para la propia formación. (AA)

• Hallar los múltiplos y los divisores de un polinomio dado.

• Calcular el M.C.D. y el m.c.m. de dos o más polinomios.

• Aplicar la regla de Ruffini en la división de polinomios.

• Factorizar un polinomio.• Calcular el máximo común divisor y el mínimo

común múltiplo de dos o más polinomios.Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar los recursos

tecnológicos y las aplicaciones de las TIC en situaciones que requieran del uso del lenguaje algebraico.

• Utiliza los recursos tecnológicos y las aplicaciones de las TIC en situaciones que requieran del uso del lenguaje algebraico. (TI-D)

• Conocer las TIC como herramientas útiles para trabajar con polinomios y fracciones algebraicas, y utilizar los recursos tecnológicos adecuados en cada momento.

• Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación como herramientas útiles en el proceso de aprendizaje.

© grupo edebé 29


CONTENIDOS

C P V

• Polinomio. • Grado de un polinomio. • Valor numérico de un polinomio. • Regla de Ruffini.• Múltiplos y divisores de un polinomio. • Teorema del resto. • Raíces de un polinomio. • Polinomio irreducible. • Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de

dos o más polinomios.• Fracciones algebraicas. • Fracciones algebraicas equivalentes.

• Cálculo del valor numérico de un polinomio. • Expresión de polinomios en forma ordenada y

reducida. • Operaciones con polinomios (suma, resta,

multiplicación y división). • Aplicación de la regla de Ruffini. • Obtención de múltiplos y divisores de un polinomio. • Obtención de las raíces de un polinomio aplicando el

teorema del resto. • Descomposición factorial de un polinomio. • Obtención del máximo común divisor y mínimo

común múltiplo de dos o más polinomios a partir de su descomposición factorial.

• Simplificación de fracciones algebraicas. • Reducción de fracciones algebraicas a mínimo

común denominador. • Operaciones con fracciones algebraicas (suma,

resta, multiplicación y división).

• Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana.



• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar operaciones algebraicas.


Educación cívica. La imagen de entrada de la unidad presenta la Torre de Pisa, y puede servir para establecer un diálogo sobre arte: arquitectura, artistas, museos... de manera que el alumno tome consciencia de distintas formas de expresiones culturales.

© grupo edebé 30




1. Operaciones con polinomios• Observar la forma de expresar la suma de las áreas de tres figuras y recordar el nombre que recibe la expresión algebraica obtenida.• Leer la definición de polinomio en una indeterminada.• Determinar, en un ejemplo concreto, el grado de un polinomio y leer la definición de grado de un polinomio.• Analizar, mediante un ejemplo, el cálculo del valor numérico de un polinomio y leer la definición de valor numérico de un polinomio.• Observar, mediante un ejemplo, las características de un polinomio y su valor numérico para un valor establecido de la indeterminada.• Recordar la conveniencia de escribir los polinomios de forma reducida y con sus monomios ordenados de mayor a menor grado.• Seguir cada uno de los pasos de los procedimientos para efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios, y observar en ejemplos resueltos la aplicación

de dichos procedimientos.• Observar en un ejemplo concreto la relación que existe entre el grado del cociente y los grados del dividendo y del divisor de una división de polinomios.• Leer la relación existente entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de una división de polinomios.• Observar una división de polinomios cuyo divisor es de la forma (x – a) y leer el nombre de una regla que permite resolver esta división.• Seguir cada uno de los pasos del procedimiento para dividir polinomios mediante la regla de Ruffini y observar su aplicación en un ejemplo resuelto.

2. Divisibilidad de polinomios• Considerar una multiplicación entre números naturales para recordar los conceptos de múltiplo, divisor y divisibilidad.• Fijarse en las distintas relaciones de divisibilidad que pueden establecerse a partir de una multiplicación de dos números naturales.• Observar el producto de dos polinomios y establecer que el polinomio obtenido es múltiplo del primer polinomio y leer la definición de múltiplo de un polinomio.• Reconocer que la división entre el producto de dos polinomios y el primero de ellos es exacta; establecer que este último es divisor del anterior o que el anterior es divisible

por el primero de ellos, y leer la definición de divisor de un polinomio.• Observar, mediante un ejemplo concreto, que el valor numérico de un polinomio para x = a es igual al resto de la división de dicho polinomio entre x – a, comprender que

este resultado puede generalizarse y leer el nombre que recibe su generalización.• Leer el enunciado del teorema del resto• Observar, mediante un ejemplo, que si el resto de dividir un polinomio por x – a es 0, el valor numérico del polinomio para x = a es 0.@ Utilizar una calculadora online para comprobar el teorema del resto. • Recordar el concepto de 0 o raíz de un polinomio, y leer en qué caso se puede afirmar que a sea una raíz de un polinomio.• Fijarse en qué consiste descomponer de manera factorial un polinomio y la conveniencia de factorizar un polinomio hasta conseguir factores de primer grado.• Observar, mediante un ejemplo, el método de sacar factor común para factorizar un polinomio.• Recordar las identidades notables y observar mediante un ejemplo concreto la aplicación de una identidad notable para factorizar un polinomio.• Comprobar, mediante un ejemplo concreto, el método de factorizar un polinomio hallando los divisores de la forma x – a.• Observar un polinomio que no puede descomponerse en factores y leer el nombre que recibe.

© grupo edebé 31


• Leer la definición de polinomio irreducible y reconocer que, al descomponer de manera factorial un polinomio como producto de polinomios de primer grado, este queda expresado como producto de polinomios irreducibles.

• Determinar la definición de máximo común divisor y la de mínimo común múltiplo de dos o más polinomios.• Observar, en un ejemplo resuelto, la forma de proceder para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos polinomios, y leer las reglas prácticas para

hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos polinomios a partir de su descomposición factorial.

3. Fracciones algebraicas• Considerar una fracción como la expresión de una división entre dos números para establecer una fracción algebraica como una división entre dos polinomios; fijarse en

distintos ejemplos de fracciones algebraicas, y leer el nombre que reciben los polinomios que representan los dividendos y los que representan los divisores.• Leer la definición de fracción algebraica y observar la forma de representarla.• Leer la definición de fracciones algebraicas equivalentes y fijarse en la forma de expresar esta equivalencia.• Observar, en un ejemplo concreto, la comprobación de la equivalencia de dos fracciones algebraicas.• Considerar la conveniencia de simplificar una fracción algebraica antes de operar con ella y observar en un ejemplo resuelto la simplificación de una fracción algebraica.• Recordar en qué consiste reducir fracciones a mínimo común denominador.• Reconocer que para sumar y restar fracciones algebraicas es necesario que tengan denominador común y observar en un ejemplo resuelto el procedimiento utilizado para

reducir dos fracciones a mínimo común denominador.• Recordar cómo proceder para sumar y restar fracciones numéricas.• Seguir los pasos necesarios para sumar fracciones algebraicas y observar la aplicación del procedimiento en un ejemplo resuelto.• Seguir el procedimiento para restar fracciones algebraicas y observar la aplicación del procedimiento en un ejemplo resuelto.• Recordar cómo proceder para multiplicar o dividir fracciones numéricas.• Seguir los pasos para multiplicar fracciones algebraicas y observar la aplicación del procedimiento en un ejemplo resuelto.• Seguir el procedimiento para dividir fracciones algebraicas y observar la aplicación del procedimiento en un ejemplo resuelto.@ Realizar el test interactivo que se propone para profundizar en los temas tratados en la unidad.

Actividades resueltas• Analizar cada una de las fases del método general de resolución de problemas en cuatro pasos, como estrategia para resolver problemas, y aplicarla en diversas actividades.

s CB

© grupo edebé 32


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de utilizar los polinomios y las fracciones algebraicas.• A partir de la función polinómica de caída de los cuerpos, con o sin velocidad inicial, calcular las alturas a las que se encuentran

determinados objetos al cabo de tiempos distintos.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Expresar de forma polinómica el área de una zona geométrica determinada.• A partir de la función polinómica que determina la distancia de seguridad para un vehículo, elaborar una tabla de datos a partir de

diversas velocidades iniciales, tiempos de reacción, aceleraciones de frenado, etc.@ Mediante diversos enlaces, obtener información sobre algunos polinomios generadores de números primos.

COMPLEMENTARIAS En el apartado 1, habrá que tener en cuenta que la utilización y la manipulación de símbolos, imprescindibles para el trabajo con polino-mios, son dificultades con las que se encuentra gran parte del alumnado. Por ello, es necesario facilitar la asimilación del lenguaje alge-braico como puede ser el variar la letra de la indeterminada para que no siempre sea x, introducir el concepto de polinomio utilizando ejemplos físicos, etc. Antes de efectuar operaciones con polinomios se debe recordar y repasar las propiedades operativas de los núme-ros racionales mientras que al introducir la regla de Ruffini para la división de polinomios, debe subrayarse el hecho de que el divisor ha de ser un polinomio cuya expresión sea del tipo (x − a). Para ello, pueden efectuarse ejercicios preparatorios antes de explicar la regla en la que el alumno/a, una vez reconocida este tipo de división y mediante la aplicación de dicha regla de Ruffini, sepa deducir el valor a del dividendo.

En el apartado 2, debe insistirse en los conceptos numéricos de múltiplo y divisor para posteriormente aplicarlo a los polinomios. Cabe resaltar que, si bien es más complejo establecer cuándo un polinomio es múltiplo/divisor de otro, el concepto es igual de sencillo que en el caso numérico. Esto permitirá una comprensión más rápida del teorema del resto así como su aplicación para establecer la divisibili -dad de un polinomio entre otro del tipo (x – a), a partir del valor numérico del primero y para un determinado valor de x.

En el apartado 3, se tienen que subrayar los paralelismos entre los conceptos numéricos y los conceptos algebraicos.


1. Operaciones con polinomios Ficha 1. Actividades 1 y 2.

2. Divisibilidad de polinomios Ficha 2. Actividades 1, 2, 3, 4 y 5.

1. Operaciones con polinomios Ficha 3. Actividades 3 y 4.

2. Divisibilidad de polinomios Ficha 3. Actividades 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14 , 15,

16, 17 y 18.

3. Fracciones algebraicas Ficha 3. Actividades 19 y 20.

© grupo edebé 33



Libro del alumno Traducir directamente la información de un problema al len-

guaje algebraico o utilizando estrategias. Resolver operaciones básicas con polinomios de manera cla-

ra y ordenada. Hallar el valor numérico de un polinomio. Señalar múltiplos y divisores de un polinomio dado. Factorizar polinomios de tercer grado. Calcular con soltura el M.C.D. de dos polinomios. Identificar fracciones algebraicas.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación) Efectuar las operaciones de suma, resta y multiplicación de

polinomios. Determinar el cociente y el resto obtenidos de la división de

varios polinomios. Utilizar la regla de Ruffini para un divisor x −a en la división

de diversos polinomios. Factorizar distintos polinomios e indicar sus raíces. Obtener un polinomio múltiplo de dos polinomios y hallar una

raíz de este polinomio múltiplo a partir de los polinomios ini-ciales.

Calcular el M.C.D. y el m.c.m. de dos polinomios. Simplificar una fracción algebraica mediante factorización del

numerador y del denominador. Calcular la suma, la resta, la multiplicación y la división de

fracciones algebraicas.

Libro del alumno Expresar el área de un triángulo mediante el lenguaje algebraico. Comprender la información de carteles sobre prevención de acci-

dentes de tráfico. Elaborar tablas de valores y gráficos. Generar números primos utilizando polinomios.

Material complementario Traducir de lenguaje verbal a lenguaje algebraico. Factorizar polinomios. Dividir polinomios y fracciones algebraicas. Utilizar el lenguaje algebraico con precisión para expresar e inter-

pretar información. Aplicar los polinomios y las operaciones con polinomios a la

resolución de problemas contextualizados.

© grupo edebé 34






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Aprender a utilizar una calculadora de división sintética para verificar el teorema del resto. (Página 65).@ Aplicación de diversos tests interactivos sobre conceptos trabajados en esta unidad. (Página 72).

Recursos en soporte digital• Fracciones algebraicas. (Actividad).• División de polinomios. (Animación).• Regla de Ruffini (Animación)• Polinomios y fracciones algebraicas. (Resolución de problemas).• Enlaces web

© grupo edebé 35



Calcular el valor numérico de un polinomio. Efectuar correctamente la suma, la resta, la multiplicación y la división de polinomios. Aplicar el teorema del resto para hallar las raíces de un polinomio. Aplicar la regla de Ruffini en la división de polinomios. Factorizar un polinomio. Efectuar correctamente la suma, la resta, la multiplicación y la división de fracciones algebraicas.



© grupo edebé 36


METODOLOGÍA






• Recursos en soporte digital.• Calculadora, ordenador y











Estructura de la Unidad 3: Polinomios y fracciones– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de los polinomios

y las fracciones algebraicas en una situación real y contextualizada.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 37




unidad.– Crónica matemática: interpretar un cuadro de texto sobre el ajuste de curvas mediante polinomios.

Determinar el número de raíces de una serie de polinomios aplicando la regla de los signos previa información sobre la misma. Por último, calcular todas las raíces de dichos polinomios y comprobar los resultados obtenidos anteriormente.

© grupo edebé 38


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 41


UNIDAD DIDÁCTICA 04: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones


Competencia matemática (M)• Utilizar el lenguaje algebraico para

simbolizar, generalizar e incorporarlo al planteamiento y la resolución de ecuaciones, empleándolo como una herramienta fundamental en la resolución de problemas diversos.

• Utiliza el lenguaje algebraico para simbolizar, generalizar e incorporarlo al planteamiento y resolución de ecuaciones (de primer grado con una y con dos incógnitas y de segundo grado) y de sistemas de ecuaciones, empleándolo como una herramienta fundamental en la resolución de problemas diversos. (M)

• Consolidar los procedimientos de resolución de ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas.

• Consolidar los procedimientos de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

• Consolidar los procedimientos de resolución de los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita por los métodos general, de tanteo y de las iteraciones.

• Representar gráficamente las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita, completas e incompletas.

• Resolver gráficamente sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y clasificarlos según sus soluciones.

• Resolver por los métodos algebraicos de sustitución, igualación y reducción distintos sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Expresar en lenguaje algebraico diferentes situaciones en las cuales intervienen ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Emplear recursos digitales para la

resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.

• Emplea recursos digitales para la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones. (TI-D)

• Conocer las TIC como herramientas útiles para trabajar con ecuaciones y sistemas, y utilizar los recursos tecnológicos apropiados en cada momento.

• Comprobar las soluciones de ecuaciones, de sistemas de ecuaciones y de problemas.

Competencia social y ciudadana (SC)• Valorar la constancia en la búsqueda

de soluciones y la flexibilidad para tantear distintas posibilidades.

• Valora la constancia en la búsqueda de soluciones y la flexibilidad para tantear distintas posibilidades. (SC)

• Ampliar el estudio de ecuaciones y sistemas de ecuaciones con las ecuaciones bicuadradas, las irracionales y los sistemas no lineales.

• Resolver ecuaciones bicuadradas y ecuaciones irracionales.

• Resolver sistemas no lineales.

© grupo edebé 42


CONTENIDOS

C P V

• Ecuación. • Solución de una ecuación. • Ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. • Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones de segundo

grado completas e incompletas. • Ecuaciones bicuadradas. • Ecuaciones irracionales.• Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos

incógnitas. • Solución de un sistema de ecuaciones. • Clases de sistemas de ecuaciones según sus

soluciones. Sistema compatible determinado. Sistema compatible indeterminado. Sistema incompatible.

• Sistemas no lineales.• Pasos del método general de resolución de problemas.

• Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita por los métodos general, de tanteo y de las iteraciones.

• Representación gráfica de las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

• Clasificación de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita según el valor de los coeficientes.

• Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita y completas aplicando la fórmula general.

• Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita e incompletas utilizando diferentes procedimientos.

• Resolución de ecuaciones bicuadradas y de ecuaciones irracionales.

• Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Resolución algebraica de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por los métodos de sustitución, de igualación y de reducción.

• Resolución de sistemas no lineales.• Traducción al lenguaje algebraico de diferentes

situaciones en las que intervienen ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

• Comprobación de las soluciones de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y problemas.


• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas mediante el planteamiento y la resolución de ecuaciones matemáticas.

• Actitud crítica frente a las soluciones obtenidas.• Constancia en la búsqueda de soluciones a problemas

algebraicos y flexibilidad para tantear distintas posibilidades.

• Flexibilidad ante las diversas estrategias matemáticas de resolución de un problema.

• Perseverancia y actitud positiva en la resolución de problemas.

• Sensibilidad y gusto por la presentación clara y ordenada del proceso seguido y de los resultados obtenidos en la resolución de problemas.


Educación del consumidor. Las actividades relacionadas con transacciones comerciales pueden aprovecharse para fomentar el conocimiento y la defensa de los derechos y responsabilidades del consumidor.

© grupo edebé 43




1. Ecuaciones de primer grado• Leer la definición de ecuación y el nombre que reciben las expresiones algebraicas que la forman.• Reflexionar sobre una situación de la vida cotidiana en la que puede plantearse una ecuación e identificar las incógnitas y los miembros de dicha ecuación.• Leer la definición de soluciones de la ecuación. • Observar, en un ejemplo concreto, la obtención de una ecuación en la que solo aparece una incógnita con exponente 1 y leer la definición de ecuación de primer grado con

una incógnita.• Fijarse en la expresión general de las ecuaciones de primer grado con una incógnita y leer el nombre que recibe el valor de la incógnita que verifica la ecuación.• Comprobar en una tabla la asignación de distintos valores a la incógnita de una ecuación y la comprobación del cumplimiento de la igualdad.• Recordar las propiedades de las ecuaciones que permiten efectuar transformaciones y pasar de una ecuación a otra equivalente.• Leer el procedimiento para resolver una ecuación y observar en un ejemplo resuelto el método general de resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita.• Fijarse en algunas expresiones particulares que suelen tratarse como ecuaciones de primer grado con una incógnita y en sus soluciones.• Seguir cada uno de los pasos de los procedimientos de resolución de ecuaciones por el método de tanteo y por el método de las iteraciones.• Observar una ecuación en la que aparecen dos incógnitas, leer la definición de ecuación de primer grado con dos incógnitas y fijarse en la expresión general de dichas

ecuaciones.• Fijarse en que una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y que estas pueden representarse gráficamente.• Seguir los pasos para representar gráficamente las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

2. Ecuaciones de segundo grado• Reflexionar sobre una situación de la vida cotidiana que no puede resolverse mediante una ecuación de primer grado, plantear una ecuación y observar que en la ecuación

equivalente obtenida solo aparece una incógnita cuyo máximo exponente es 2 y leer el nombre que recibe dicha ecuación.• Leer la definición de ecuación de segundo grado con una incógnita.• Observar un valor que, al sustituirlo en la incógnita, verifica la ecuación, y leer el nombre que recibe dicho valor y la definición de solución o raíz de una ecuación.• Fijarse en la expresión de una ecuación de segundo grado con una incógnita.• Observar, en una tabla, la clasificación de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita según el valor de los coeficientes.• Analizar y distinguir, en ejemplos resueltos, los diferentes procedimientos para resolver ecuaciones incompletas de segundo grado con una incógnita.@ Utilizar una aplicación interactiva para practicar la resolución de algunas ecuaciones de segundo grado. • Fijarse en la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita y en el discriminante, y reconocer que su valor numérico permite determinar

el número de soluciones de la ecuación sin resolverla.• Observar, en un ejemplo resuelto, el procedimiento para resolver una ecuación completa de segundo grado con una incógnita mediante la fórmula general.• Leer el nombre que reciben las ecuaciones de grado cuatro sin términos de grado impar y reconocer su expresión.• Leer el procedimiento para resolver las ecuaciones bicuadradas y observar en un ejemplo resuelto la aplicación de dicho procedimiento.• Reconocer que el número máximo de soluciones de una ecuación bicuadrada es cuatro pero que no todas las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro soluciones.

© grupo edebé 44


• Leer el nombre que reciben las ecuaciones que tienen la incógnita bajo el signo radical y seguir los pasos, en un ejemplo concreto, de la resolución de una ecuación irracional.

• Observar en un ejemplo de ecuación irracional que la ecuación que se obtiene al elevarla al cuadrado no es equivalente a la dada.@ Practicar la resolución de ecuaciones irracionales mediante una aplicación interactiva.

3. Sistemas de ecuaciones• Identificar dos ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente con un sistema de ecuaciones y leer la definición de sistema de ecuaciones.• Observar que, para dos valores concretos, se verifican simultáneamente todas las ecuaciones del sistema para definir la solución de un sistema de ecuaciones.• Fijarse en que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones y recordar cuál es el método para comprobar la solución obtenida.• Fijarse mediante un ejemplo resuelto en cada uno de los pasos de resolución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. • Observar cómo están determinadas las soluciones de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.• Leer la clasificación de los sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas según sus soluciones.• Reconocer la necesidad de resolver sistemas por métodos algebraicos debido a la imprecisión del método gráfico.• Observar mediante ejemplos resueltos cada uno de los pasos que deben seguirse para resolver un sistema por los métodos de sustitución, de igualación y de reducción.• Leer el nombre que recibe un sistema de ecuaciones en el que una de sus ecuaciones no es de primer grado y observar en un ejemplo la resolución de un sistema no lineal.

4. Resolución de problemas• Aprender, mediante el estudio de un problema resuelto, los pasos que deben seguirse en la resolución de problemas por medio de: la lectura atenta del enunciado, la

elección de la incógnita, el planteamiento de la ecuación, la resolución de la ecuación, la respuesta y la comprobación.• Observar la resolución de un problema a partir del planteamiento de un sistema no lineal.s CB

© grupo edebé 45


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.• Determinar el precio de las entradas de dos espectáculos culturales a partir de distintas casuísticas.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Determinar el precio de un transporte público y el descuento que se puede obtener con una tarjeta multiviaje a partir de la adquisición de

diversos billetes en casuísticas distintas. • Determinar las ecuaciones de dos rectas que se vinculan con las autopistas que unen tres ciudades según diversos puntos de paso

dados en forma de coordenadas cartesianas.• Utilizar un programa informático para representar gráficamente diversas rectas, hallar las intersecciones entre ellas y determinar el

perímetro y el cuadrilátero que forman entre ellas.@ Mediante diversos enlaces, conocer y aplicar un método de resolución de ecuaciones de segundo grado consistente en completar cuadrados.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, es imprescindible que el alumno/a recuerde las propiedades de la manipulación algebraica básica así como las principales fórmulas que existen para simplificar los cálculos. Por ello, sería conveniente repasar fórmulas como la del cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia, suma por diferencia y otras.

• En el apartado 2, la resolución de una ecuación de segundo grado debe afrontarse de una manera más mecánica que la de primer grado dado que la explicación de la fórmula que la resuelve se aleja de los objetivos básicos de este apartado. De ahí que deba insistirse en la memorización de la fórmula y en la correcta interpretación de sus elementos. Conviene impulsar la reflexión sobre las soluciones que ofrece dicha fórmula así como la práctica de la comprobación de las soluciones, para evitar los errores de cálculo. Esto último permitirá observar que las soluciones de ecuaciones bicuadradas y de ecuaciones irracionales no provienen siempre de todas las soluciones de las ecuaciones de segundo grado asociadas (ya que las raíces y los cuadrados que aparecen no permiten las soluciones de signo negativo).

• En el apartado 3, es recomendable insistir en la mecanización de los diversos métodos una vez que el alumno/a los sepa diferenciar y realizar los diferentes pasos. Ello se conseguirá con la realización de muchas actividades.

• En el apartado 4, conviene recalcar que uno de los pasos principales para la resolución de un problema que involucre la solución de una ecuación es la traducción del texto planteado a la formulación algebraica. Además, hay que insistir en que la respuesta siempre debe contestar a la pregunta del enunciado (en las unidades y los términos que se demanden) y que nunca debe consistir únicamente en un número. Debe distinguirse, finalmente, entre la solución de la ecuación y la solución del problema; estas, pese a coincidir numéricamente en muchas ocasiones, no siempre se corresponden pues los enunciados pueden contener restricciones en cuanto al signo de la solución.

© grupo edebé 46



1. Ecuaciones de primer grado• Ficha 1. Actividades 1, 2, 3 y 4.

2. Ecuaciones de segundo grado• Ficha 1. Actividad 5.

3. Sistemas de ecuaciones• Ficha 2. Actividad 1.

2. Ecuaciones de segundo grado• Ficha 3. Actividades 5 y 6.

3. Sistemas de ecuaciones• Ficha 3. Actividades 1, 2, 3 y 4.


Libro del alumno• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita que

incluyen paréntesis y denominadores.• Determinar las soluciones de una ecuación de primer grado

con dos incógnitas.• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.• Determinar las soluciones de una ecuación bicuadrada y otra

irracional.• Resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.• Resolver problemas sobre situaciones cotidianas utilizando

ecuaciones y sistemas.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita que

incluyen paréntesis y denominadores.• Representar gráficamente las soluciones de una ecuación de

primer grado con dos incógnitas.• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita y

determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado con una incógnita.

• Resolver una ecuación bicuadrada y otra irracional.• Resolver problemas sobre situaciones cotidianas utilizando

ecuaciones y sistemas.• Hallar las soluciones de tres sistemas de ecuaciones

aplicando en cada uno de ellos uno de los métodos algebraicos conocidos.

Libro del alumno • Resolver problemas sobre situaciones cotidianas utilizando

ecuaciones y sistemas.• Utilizar recursos digitales para representar gráficamente

elementos y figuras del plano y determinar áreas y perímetros.• Utilizar recursos digitales para obtener información sobre el

método de completar cuadrados.• Resolver una ecuación y deducir una fórmula general para la

resolución de ecuaciones, a partir del análisis y la aplicación de la información recogida.

Material complementario• Aplicar el planteamiento y la resolución de un sistema de

ecuaciones a una situación relacionada con movimientos sísmicos.

• Plantear y resolver un sistema de ecuaciones para solucionar un problema sobre el movimiento de dos ciclistas.

• Elaborar una tabla de valores a partir de ecuaciones previamente planteadas.

• Representar gráficamente los datos de la tabla de valores de ecuaciones lineales.

• Resolver un problema de geometría aplicando una ecuación de segundo grado.

© grupo edebé 47






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Conocer y practicar una aplicación interactiva para resolver ecuaciones de segundo grado. (Página 88).@ Conocer y practicar una aplicación interactiva para resolver ecuaciones irracionales. (Página 90).

Recursos en soporte digital• Ecuaciones de segundo grado. (Actividad).• Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones. (Resolución de problemas).• Enlaces.

© grupo edebé 48



• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita por los métodos general, de tanteo y de las iteraciones.• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita, completas e incompletas.• Resolver gráfica o algebraicamente sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y clasificarlos según sus soluciones.• Plantear y resolver problemas en los cuales intervienen ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Comprobar las respectivas soluciones.• Resolver ecuaciones bicuadradas y ecuaciones irracionales.



© grupo edebé 49


METODOLOGÍA






• Recursos digitales (actividades interactivas, animaciones, cazas del tesoro, enlaces a Internet, banco de imágenes, presentaciones...).

• Calculadora, ordenador y programas relacionados con la unidad 4.










Estructura de la Unidad 4: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de resolver

ecuaciones y sistemas de ecuaciones en una situación real y contextualizada.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 50




unidad.– Crónica matemática: interpretar un cuadro de texto sobre el álgebra y algunos algebristas famosos. Leer una

noticia acerca de las posibles civilizaciones de nuestra galaxia. Resolver una actividad en la que se relacionan la propiedad distributiva, el cuadrado de una suma y el teorema de Pitágoras.

© grupo edebé 51


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 54


UNIDAD DIDÁCTICA 05: Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones


Competencia matemática (M)• Utilizar los símbolos propios de las

desigualdades, así como sus principales características.

• Resolver problemas mediante el planteamiento y la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

• Utiliza los símbolos propios de las desigualdades, así como sus principales características. (M)

• Resuelve problemas mediante el planteamiento y la resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones. (M)

• Expresar en lenguaje algebraico diferentes situaciones en las que intervienen relaciones de desigualdad.

• Valorar la utilidad del lenguaje algebraico para expresar diferentes situaciones de la vida cotidiana.

• Resolver inecuaciones e interpretar geométricamente la solución.

• Resolver sistemas de inecuaciones e interpretar geométricamente la solución.

• Expresar en lenguaje algebraico diferentes situaciones en las cuales intervienen relaciones de desigualdad.

• Utilizar el lenguaje y los símbolos propios de las desigualdades, para interpretar y transmitir información.

• Aplicar correctamente las propiedades de las desigualdades.

• Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretar geométricamente la solución.

• Representar gráficamente las soluciones de las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

• Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretar geométricamente su solución.

Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar los recursos tecnológicos y

las aplicaciones de las TIC en situaciones relacionadas con las inecuaciones.

• Utiliza los recursos tecnológicos y las aplicaciones de las TIC en situaciones relacionadas con las inecuaciones. (TI-D)

• Conocer y aplicar las TIC como herramientas útiles para trabajar con inecuaciones. • Utilizar las tecnologías de la información y la

comunicación como herramientas útiles en el proceso de aprendizaje.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (CIMF)• Utilizar los datos, las herramientas y

los procedimientos relevantes de las matemáticas en contextos reales.

• Utiliza los datos, las herramientas y los procedimientos relevantes de las matemáticas en contextos diversos. (CIMF)

• Resolver inecuaciones e interpretar geométricamente la solución.

• Resolver sistemas de inecuaciones e interpretar geométricamente la solución.

• Aplicar la resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones para resolver problemas e interpretar sus resultados.Autonomía e iniciativa personal

(AIP)• Tener predisposición para comprobar

los resultados obtenidos en la resolución de problemas.

• Tiene predisposición para comprobar los resultados obtenidos en la resolución de las actividades. (AIP / M)

© grupo edebé 55


CONTENIDOS

C P V

• Relaciones de desigualdad. • Propiedades de las desigualdades.• Inecuaciones.• Soluciones de una inecuación. • Conjunto solución. • Inecuaciones equivalentes. • Inecuaciones de primer grado con una incógnita. • Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.• Sistemas de inecuaciones de primer grado con una

incógnita.

• Aplicación de las propiedades de las desigualdades.• Obtención de inecuaciones equivalentes a una dada. • Resolución algebraica y geométrica de inecuaciones

de primer grado con una incógnita. Representación gráfica del conjunto solución.

• Resolución de inecuaciones sencillas de primer grado con una incógnita mediante el cálculo mental.

• Resolución geométrica de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Representación gráfica del conjunto solución.

• Resolución de inecuaciones sencillas de primer grado con dos incógnitas mediante el cálculo mental.

• Resolución algebraica y geométrica de sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Representación gráfica del conjunto solución.

• Pasos del método general de resolución de problemas. • Resolución de problemas mediante el planteamiento y

la resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones.

• Traducción al lenguaje algebraico de diferentes situaciones en las que intervienen inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

• Análisis de las soluciones de inecuaciones, sistemas de inecuaciones y problemas.


• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas mediante el planteamiento y la resolución de inecuaciones.

• Constancia en la búsqueda de soluciones a problemas algebraicos y flexibilidad para tantear distintas posibilidades.

• Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas algebraicos distintas de las propias.

• Flexibilidad ante las diversas estrategias matemáticas de resolución de un problema.

• Perseverancia y actitud positiva en la resolución de problemas.

• Actitud crítica frente a las soluciones obtenidas. • Sensibilidad y gusto por la presentación clara y

ordenada del proceso seguido y los resultados obtenidos en la resolución de problemas.


Educación del consumidor. Las actividades relacionadas con transacciones comerciales pueden aprovecharse para fomentar el conocimiento y la defensa de los derechos y responsabilidades del consumidor.

© grupo edebé 56




1. Desigualdades• Observar, en casos concretos, la utilización de los signos < y >, con la finalidad de indicar que una cantidad es menor o mayor que otra para definir las relaciones algebraicas

menor que y mayor que entre dos números.• Observar diversos números para comprobar si son menores o iguales que otro, para definir las relaciones algebraicas menor o igual que y mayor o igual que. • Fijarse en el significado de cada uno de los signos de desigualdad.• Leer cuáles son los números que constituyen el primer miembro de una desigualdad y cuáles son los que constituyen el segundo miembro.• Calcular la diferencia entre el primer y el segundo miembro de una serie de desigualdades, comprobar que en las desigualdades con el signo < la diferencia es un número

negativo, mientras que en las desigualdades que utilizan el signo > la diferencia es un número positivo para establecer un criterio para determinar, dados dos números, cuál es el mayor.

• Recordar que al sumar o restar el mismo número a los dos miembros de una igualdad, ésta se mantiene y que también se mantiene al multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número diferente de cero.

• Sumar un número positivo y un número negativo a los dos miembros de una desigualdad y determinar la desigualdad resultante para comprobar que al sumar un mismo número a los dos miembros de una desigualdad se obtiene una desigualdad del mismo sentido y observar la visualización gráfica de dicha propiedad.

• Fijarse en la definición de desigualdades del mismo sentido.• Multiplicar por un número positivo y por un número negativo los dos miembros de una desigualdad y determinar el signo de la desigualdad resultante para comprobar que la

multiplicación por un número positivo conserva el sentido de la desigualdad inicial, mientras que la multiplicación por un número negativo no lo conserva.• Observar en un ejemplo resuelto la aplicación de las propiedades de las desigualdades.

2. Inecuaciones• Observar diversas desigualdades entre expresiones algebraicas para definir inecuación.• Leer la definición de incógnitas, de primer miembro y de segundo miembro de una inecuación, y observar en un ejemplo los miembros y las incógnitas de una inecuación. • Sustituir diversos valores en una inecuación y comprobar en cada caso si se cumple la desigualdad para definir las soluciones de una inecuación.• Advertir la igualdad de las soluciones de dos inecuaciones para definir inecuaciones equivalentes.• Recordar y aplicar las propiedades de las desigualdades para obtener las reglas que permiten pasar de una inecuación a otra equivalente.• Fijarse en que, a partir de las reglas que permiten pasar de una inecuación a otra equivalente, se deduce que al transponer términos o al despejar la incógnita en una

inecuación se obtiene otra inecuación equivalente.• Observar los símbolos de implicación y de doble implicación, y fijarse en su significado.• Observar la incógnita y el exponente de una inecuación para advertir que se trata de una inecuación de primer grado con una incógnita; leer el nombre que recibe el conjunto

formado por todas sus soluciones y el símbolo que lo representa. • Seguir el procedimiento para resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita y observar en un ejemplo resuelto la aplicación de dicho procedimiento.@ Visualizar un video en el que se explica la resolución de una inecuación de primer grado con una incógnita .

© grupo edebé 57


• Fijarse en que las semirrectas representan intervalos de la recta real y observar ejemplos de cada uno de los diferentes tipos de semirrectas.@ Entrar a una página web y practicar la resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita. • Leer, cuál es el conjunto solución de las inecuaciones de primer grado con una incógnita más sencilla, expresado mediante intervalos y mediante la representación gráfica y

leer el nombre y el símbolo que representa el conjunto solución de las inecuaciones que no se verifican para ningún número real.• Observar en un ejemplo la resolución de una inecuación cuyo conjunto solución está formado por todos los números reales y la de otra inecuación cuyo conjunto solución es

el conjunto vacío.• Fijarse, mediante ejemplos, en cómo obtener el conjunto solución de una inecuación sencilla de primer grado con una incógnita mediante el cálculo mental.• Observar una inecuación en la que aparecen dos incógnitas y fijarse en que existen pares de valores que son la solución de esta inecuación.• Seguir los pasos para representar gráficamente las soluciones de una inecuación de primer grado con dos incógnitas.• Fijarse, mediante un ejemplo, en cómo obtener la solución de una inecuación sencilla de primer grado con dos incógnitas mediante el cálculo mental.• Comprobar, mediante ejemplos resueltos, la resolución gráfica de dos inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.• Observar el exponente de una inecuación para advertir que se trata de una inecuación de segundo grado con una incógnita; leer el nombre que recibe el conjunto formado

por todas sus soluciones y el símbolo que lo representa.• Seguir, mediante ejemplos resueltos, la resolución de distintas inecuaciones de segundo grado con una incógnita.• Fijarse en el símbolo de unión y su significado cuando se halla entre dos intervalos.• Fijarse en que algunas inecuaciones de segundo grado con una incógnita pueden resolverse sin efectuar ningún cálculo.

3. Sistemas de inecuaciones• Identificar dos inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente con un sistema de inecuaciones y leer la definición de sistema de inecuaciones de primer grado con una

incógnita.• Observar, en un caso concreto, la resolución de un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita.• Recordar cómo se representa de manera simultánea que un valor es mayor que un número y menor que otro.@ Visualizar un video en el que se explica la resolución de un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita . • Leer en qué consiste resolver un sistema de inecuaciones y seguir los pasos de resolución de un ejemplo concreto de sistema de inecuaciones de primer grado con una

incógnita.• Leer que, en caso de que no existan valores que verifiquen a la vez todas las inecuaciones, el sistema no tiene solución.

4. Resolución de problemas

• Aprender, mediante el estudio de un problema resuelto, los pasos que deben seguirse en la resolución de problemas mediante: lectura atenta del enunciado, elección de la incógnita, planteamiento de la inecuación, resolución de la inecuación, respuesta y comprobación.

s CB

© grupo edebé 58


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones.• Expresar algebraicamente las inecuaciones que representan el número de piezas defectuosas fabricadas por tres máquinas de distinta

fiabilidad y cuya producción es de 1 000 piezas cada una.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Determinar y resolver la inecuación que representa la fabricación de un producto teniendo en cuenta todos los gastos y el precio de

venta final con el fin de obtener beneficios.• Determinar la inecuación que expresa la longitud de un cilindro para que este tenga una masa mayor o igual a las dos semiesferas a las

que está unido. Para ello, se disponen de las magnitudes necesarias que afectan a este caso.@ Mediante diversos enlaces, plantear y resolver inecuaciones basadas en posibles envíos postales en función del número de efectos a enviar, de las tarifas vigentes, del tipo de destino y del presupuesto del que se dispone.

ACTIVIDADES FINAL BLOQUE-I• A partir de la información nutricional de tres tipos de leche, del calcio recomendado diariamente por persona y del volumen de un vaso,

responder determinadas cuestiones cuantitativas y cualitativas relacionas con algunas magnitudes en función de los diversos datos que se presentan.

• Disponiendo de los precios de diversos envases y forma de embalaje de zumos de fruta, calcular el coste de determinadas compras y porcentajes de ahorro en las mismas.

• Resolver un problema de móviles mediante ecuaciones consistente en dos coches que salen simultáneamente en sentido contrario desde dos puntos distantes entre sí.

• Calcular un salario mensual y anual a partir de diversos datos: retenciones, cuotas de la Seguridad Social, pagas extras, etc.• Determinar la velocidad a la que va un conductor si se le han restado diversos puntos por velocidad excesiva en función del baremo

sancionador en estos casos.• Calcular diversos porcentajes de ahorro y opciones de billetes más ventajosas en función de las tarifas de un transporte público.• Completar una factura del suministro de agua a partir de diversos datos que se presentan: volúmenes consumidos, tarifas, tasas,

impuestos, etc.

PROYECTO BLOQUE-I: Exposición: «El agua en el mundo».

Fase 1: EscogeA partir de la presencia y necesidad del agua en nuestro planeta, buscar información y debatir con los compañeros algunas cuestiones que

© grupo edebé 59


se proponen.

Fase 2: PlanificaEl proyecto se planifica en cinco fases: Análisis de la situación, Sensibilización, Recogida de la información, Preparación de la exposición y Aprender a aprender. Cada una de estas fases conlleva la realización de diversas cuestiones que los alumnos deben responder adecuadamente.

Fase 3: DesarrollaLos alumnos deben buscar información sobre el consumo, disponibilidad y contaminación del agua en el mundo; para ello deben crear un wiki que contenga información diversa (gráficos comparativos de la distribución del agua en el mundo, formación sobre el consumo del agua en nuestro entorno más cercano, costes que conlleva depurar el agua, etc.). También deberán tener en cuenta los temas a tratar, buscar fotos impactantes, organizar la información obtenida y el modo de publicarla.

Fase 4: ReflexionaPara evaluar el proyecto y con la ayuda de la elaboración de un diario reflexivo sobre las actividades realizadas y algunas cuestiones que se plantean, se utilizará el dossier individual del alumno con las evidencias correspondientes a las tareas ejecutadas, adjuntando la rúbrica de evaluación en la que se contemplan las competencias y su grado de consecución por parte de los alumnos.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, buena parte de las dificultades que encuentran los alumnos en cuanto al trabajo con desigualdades radica en una comprensión insuficiente de las modificaciones que sufre el signo de la desigualdad ante una multiplicación por un número negativo. Con el fin de solucionar este problema, puede ser útil detenerse en la interpretación gráfica de este tipo de manipulaciones algebraicas. Los símbolos algebraicos no son solo representaciones formales, sino que son receptores de significado. Para fomentar el uso del lenguaje algebraico, el profesor/a puede introducir elementos de debate en clase, como discusiones sobre situaciones problemáticas que, si están contextualizadas, suelen motivar a los alumnos. El profesor/a tendría que tratar de crear en clase un lenguaje común, usando significados próximos al entorno social y cultural del alumno/a, para conseguir, a partir de estos, un acercamiento progresivo y comprensivo de la simbología y de los formalismos algebraicos.

• En los apartados 2 y 3, antes de abordar la resolución de inecuaciones, es preciso que los alumnos representen sobre la recta real diferentes intervalos no acotados, pues estos tipos de intervalos se introducen por primera vez en esta unidad.

• En el apartado 4, el método general de resolución de problemas mediante inecuaciones o sistema de inecuaciones consta de una serie de pasos que coinciden con los que ya hemos visto para las ecuaciones. El hecho de haber afrontado anteriormente la resolución de problemas con ecuaciones dotará a los alumnos de una serie de recursos procedimentales y de confianza en sus propias capacidades, que podrán aprovecharse en el trabajo con inecuaciones. En especial, conviene llamar la atención sobre dos pasos clave para abordar con éxito la resolución de problemas y que ya fueron discutidos al tratar con ecuaciones: la traducción del texto planteado a la formulación algebraica y el análisis crítico de las soluciones obtenidas. Estos pasos requieren una mayor insistencia, pues en ellos los alumnos encuentran las principales dificultades para resolver correctamente un problema.

© grupo edebé 60



2. Inecuaciones• Ficha 1. Actividades 1, 2 y 3.

3. Sistemas de inecuaciones• Ficha 2. Actividades 1, 2 y 3.

3. Sistemas de inecuaciones• Ficha 3. Actividades 1, 2 y 3.


Libro del alumno• Interpretar desigualdades.• Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita.• Obtener inecuaciones equivalentes a una dada.• Resolver gráficamente inecuaciones de primer grado con dos

incógnitas.• Resolver problemas en los que hay que plantear condiciones

de desigualdad y solucionar la inecuación o el sistema de inecuaciones resultante.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Expresar en forma de desigualdad algebraica situaciones co-

tidianas y reconocer las soluciones de una inecuación.• Obtener inecuaciones equivalentes a una dada.• Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita y

representar gráficamente el conjunto solución.• Resolver sistemas de dos inecuaciones lineales con una in-

cógnita y representar gráficamente el conjunto solución.• Escribir una inecuación o sistema de inecuaciones de primer

grado con una incógnita a partir de los intervalos representa-dos como conjunto solución.

• Resolver problemas en los que hay que plantear condiciones de desigualdad y solucionar la inecuación o el sistema de inecuaciones resultante.

Libro del alumno • Resolver problemas sobre situaciones cotidianas utilizando inecuacio-

nes.• Resolver problemas geométricos utilizando sistemas de inecuaciones.• Utilizar recursos digitales para obtener información sobre las tarifas pos-

tales vigentes.• Resolver un problema de inecuaciones utilizando la información obteni-

da.• Utilizar recursos digitales para representar gráficamente inecuaciones.

Material complementario• Aplicar el planteamiento y la resolución de una inecuación a una situa-

ción cotidiana de comparación de tarifas de telefonía.• Confeccionar un diagrama de barras para comparar información sobre

varias ofertas comerciales.• Determinar la oferta comercial más ventajosa para diversas necesida-

des de varios clientes.• Resolver un problema de inecuaciones relacionado con estadísticas

deportivas.• Emplear las inecuaciones en una situación cotidiana de física aplicada.

Actividades Final Bloque-I• Operar con medidas de masa, capacidad y volumen, y calcular

porcentajes.• Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas.• Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer

grado.

© grupo edebé 61






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Visionar un vídeo sobre la resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita. (Página 112).@ Utilizar una aplicación interactiva para resolver gráficamente inecuaciones de primer grado. (Página 113).@ Visionar un vídeo sobre la resolución de sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. (Página 117).

Recursos en soporte digital• Representación gráfica de la solución de una inecuación. (Animación).• Inecuaciones. (Cazas del tesoro).• Inecuaciones sistemas de inecuaciones. (Resolución de problemas).• Enlaces web.

© grupo edebé 62



• Expresar en lenguaje algebraico diferentes situaciones en las cuales intervienen relaciones de desigualdad.• Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretar geométricamente la solución.• Representar gráficamente las soluciones de las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.• Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretar geométricamente su solución.• Aplicar la resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones para resolver problemas e interpretar sus resultados.



© grupo edebé 63


METODOLOGÍA






• Recursos digitales.• Calculadora, ordenador y











Estructura de la Unidad 5: Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de resolver

inecuaciones y sistemas de inecuaciones en una situación real y contextualizada.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del



Se proponen también actividades complementarias, actividades TIC, actividades de trabajo de las CB, y de refuerzo y profundización.

Todo el trabajo de los contenidos está orientado al desarrollo y adecuación de las competencias básicas definidas en la unidad.


– Síntesis: esquema que relaciona gráficamente los contenidos básicos de la unidad acompañado de una breve

© grupo edebé 64


definición/explicación de cada uno.– Actividades finales organizadas según los contenidos principales de la unidad y de tipología diversa: refuerzo,

profundización (Más a fondo), aplicación de calculadora, trabajo en grupo, actividades TIC.– Actividades de trabajo sistemático de CB. – Evaluación: actividades para comprobar si se han comprendido y asimilado los contenidos desarrollados en la

unidad.– Crónica matemática: interpretar dos cuadros de texto acerca de la evaluación del riesgo de incendios y un

problema de transporte de mercancías. Reflexionar sobre las propiedades de la relación de orden «ser menor o igual que», y resolver la actividad sugerida en el texto.

– Actividades de evaluación de las CB del Bloque-I.– Proyecto Final Bloque-I: Exposición: El agua en el mundo.

© grupo edebé 65


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


UNIDAD DIDÁCTICA 06: Semejanza en el plano y en el espacio

© grupo edebé 68



Competencia matemática (M)• Utilizar sistemas convencionales de

representación espacial (maquetas, planos, mapas…), y elegir el más adecuado para la obtención, la interpretación, la comprensión, la elaboración y la comunicación de informaciones relativas al espacio físico, y para la resolución de problemas diversos de orientación y representación que puedan aplicarse en situaciones reales.

• Utiliza el conocimiento de las relaciones geométricas para resolver situaciones cotidianas que lo requieran. (M / CIMF)

• Elige el sistema de representación geométrica más adecuado para la resolución de problemas diversos de orientación y representación que puedan aplicarse en situaciones reales. (M / TI-D)

• Calcular la razón de semejanza entre figuras semejantes e identificarlas.

• Aplicar la homotecia y la semejanza para realizar construcciones de figuras y cuerpos semejantes.

• Conocer los criterios y los teoremas relativos a la semejanza de triángulos, y aplicarlos al cálculo de distancias en triángulos.

• Identificar figuras semejantes en el plano y en el espacio.

• Relacionar la razón de semejanza entre dos figuras semejantes con la razón entre sus perímetros, sus áreas y sus volúmenes.

• Aplicar movimientos a figuras en el plano y construir figuras geométricas homotéticas y semejantes.

• Aplicar los criterios y los teoremas relativos a la semejanza de triángulos semejantes para resolver situaciones diversas.Competencia cultural y artística

(CA)• Comprender obras artísticas

(mensaje, contextos, elementos característicos...).

• Comprende obras artísticas (mensaje, contextos, elementos característicos...). (CA)

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (CIMF)• Analizar la presencia de la

representación geométrica en el entorno.

• Analiza la presencia de representaciones geométricas en el entorno. (CIMF / M) • Interpretar planos dibujados a escala

y representar gráficamente figuras a escala.

• Valorar la importancia de la representación geométrica de objetos en el plano.

• Reconocer el concepto de escala aplicado a mapas y planos, y calcular longitudes y áreas a partir de estas representaciones.

• Efectuar representaciones a escala de figuras geométricas.

• Mostrar una actitud de interés por la realización sistemática y ordenada, y por la presentación cuidadosa de construcciones geométricas.

Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar recursos digitales para

representar cuerpos y figuras geométricas.

• Utiliza recursos digitales para representar cuerpos y figuras geométricas. (TI-D)

© grupo edebé 69


CONTENIDOS

C P V

• Figuras y cuerpos semejantes: razón de semejanza.• Propiedades de las figuras semejantes.• Transformaciones isomorfas: homotecia y semejanza.• Propiedades de la homotecia y la semejanza.• Perímetros y áreas de figuras semejantes.• Volumen de figuras semejantes. • Mapas y planos. Escalas.

• Identificación de figuras semejantes.• Construcción de figuras semejantes.• Cálculo de la razón de semejanza. • Obtención de las relaciones numéricas entre

perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes. • Interpretación de representaciones a escala y

obtención de la escala de una representación.• Representación gráfica de figuras a escala. • Cálculo de la razón de semejanza entre figuras y

cuerpos geométricos.

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de la semejanza para la construcción de figuras.

• Utilización cuidadosa y precisa de los instrumentos de dibujo adecuados para la construcción de figuras geométricas.

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de los instrumentos de dibujo para construir figuras de manera precisa.

• Gusto por la realización y la presentación esmerada y ordenada de trabajos que incluyan representaciones a escala.


Educación del consumidor. En la unidad hay actividades de interpretación y cálculos de escalas de planos y mapas que ayudarán a los alumnos a apreciar la importancia de ajustarlos al máximo a la realidad

© grupo edebé 70




1. Figuras y cuerpos semejantes• Observar varias parejas de cuerpos y figuras de distintos tamaños para comprender el concepto de semejanza.• Reconocer que la distancia entre dos puntos cualesquiera de una figura y la distancia entre sus dos puntos homólogos de otra son proporcionales. Leer el nombre que recibe

esta proporcionalidad.• Leer la definición de razón de semejanza.• Observar mediante un ejemplo el cálculo de la razón de semejanza de dos figuras.• Recordar el método de Tales o de radiación para construir figuras semejantes.• Observar en una tabla las propiedades de diversas figuras y cuerpos semejantes.• Recordar las condiciones de semejanza de triángulos.

2. Construcción de figuras y cuerpos semejantes• Observar que la palabra semejanza se aplica a dos conceptos distintos: una relación métrica entre dos figuras y una transformación isomorfa. Recalcar la importancia de

diferenciar dichos conceptos.• Observar, mediante un ejemplo, la transformación de un polígono en otro aplicando el método de homotecia.• Reconocer las relaciones de proporcionalidad que se establecen entre las distancias de un polígono y el centro de homotecia y las distancias homólogas del otro y dicho

punto.• Leer la definición de homotecia.• Considerar que también se puede aplicar la homotecia para construir cuerpos o figuras semejantes en el espacio.• Observar en una tabla los cuatro casos distintos que pueden producirse en función del valor de la razón k.• Reconocer las condiciones que cumple una homotecia a partir de un caso representado gráficamente.• Leer la definición de identidad.• Leer la definición de simetría central.• Observar a partir de tres ejemplos gráficos los datos necesarios para determinar una homotecia.• Observar mediante un ejemplo la transformación de un triángulo en otro aplicando el método de semejanza. Destacar que este proceso implica una homotecia de centro O y

razón k, seguida de una simetría axial de eje e.• Leer la definición de semejanza.• Reconocer las condiciones que cumple una semejanza.• Recordar el concepto de transformación isométrica o movimiento.• Observar una tabla en la que se recogen los resultados de aplicar a una figura la composición sucesiva de dos transformaciones.@ Consultar una página web con un applet interactivo que permite experimentar con figuras semejantes.• Fijarse en que se obtiene la misma figura al invertir el orden de los dos movimientos.

© grupo edebé 71


3. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes• Observar dos polígonos semejantes para determinar las relaciones de proporcionalidad que se establecen entre algunas de sus longitudes homólogas. • Leer la definición de la razón entre dos longitudes homólogas de dos cuerpos o figuras semejantes.• Observar en un ejemplo resuelto cómo se calculan algunas longitudes características de un cuerpo semejante a otro.• Reconocer el perímetro de una figura como una de sus longitudes características y establecer la razón entre los perímetros de dos figuras semejantes.• Observar, mediante la correspondiente demostración analítica, la razón entre las áreas de dos polígonos semejantes.• Leer la definición de la razón entre las áreas de dos cuerpos o figuras semejantes.• Observar en un ejemplo resuelto cómo se calcula el área de un cuerpo semejante a otro.• Observar, mediante la correspondiente demostración analítica, la razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes.• Leer la definición de la razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes.• Observar en un ejemplo resuelto cómo se calcula el volumen de un cuerpo semejante a otro.• Analizar la aplicación del concepto de semejanza para representar sobre el papel objetos demasiado grandes o demasiado pequeños: mapas, planos, etc.• Reconocer que las representaciones de los planos o los mapas son proporcionales al objeto o territorio que representan.• Leer la definición de escala de un mapa o un plano.• Interpretar la expresión de una escala en forma de cociente así como su representación gráfica.@ Consultar un mapa topográfico de España y visualizarlo a distintas escalas.

Actividades resueltas• Analizar cada una de las fases del método general de resolución de problemas en cuatro pasos, como estrategia para resolver problemas, y aplicarla en diversas actividades.

CB

© grupo edebé 72


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer y aplicar la semejanza en el plano y en el espacio.• Resolver una situación real en la que hay que aplicar una escala determinada para determinar distancias en un plano cartográfico.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Aplicar una homotecia y una traslación a una figura plana utilizando los datos propuestos; comprobar el resultado a partir de algún

programa informático.• A partir de los datos que se dan sobre el plano de un piso, determinar su escala de reproducción y algunas superficies que se solicitan.@ Mediante diversos enlaces, recopilar información sobre pintores y escultores que utilizan formas geométricas en sus obras, realizando a continuación las actividades que se proponen.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, el concepto de semejanza puede ser motivo de confusión entre el alumnado a causa del diferente significado que tiene dicho concepto en el lenguaje coloquial y en el lenguaje matemático. Coloquialmente, semejante es sinónimo de similar; sin embargo, el término semejanza en matemáticas se refiere a dos figuras geométricas que tienen la misma forma pero difieren en el tamaño.

• En el apartado 2, el concepto de homotecia puede introducirse utilizando un proyector de diapositivas y comparando la imagen de la diapositiva con la imagen sobre la pantalla; o con una linterna, comparando una figura plana con su sombra sobre una pared. En este apartado aparece otra acepción de la palabra semejanza, que hace referencia a la transformación de una figura en otra semejante. Es importante que los alumnos sepan diferenciar entre los distintos significados de este término.

• En el apartado 3, es importante que el profesor/a insista en que la razón de semejanza de dos cuerpos es una razón de proporcionalidad entre cualquiera de las longitudes homólogas. Un ejercicio que puede ayudar a comprender este concepto consiste en dibujar dos puntos cualesquiera en una figura, y encontrar sus puntos homólogos en la figura semejante a esta. Para comprobar la relación entre áreas y volúmenes de cuerpos semejantes con la razón de semejanza, es conveniente construir cuerpos geométricos con papel o cartulina y comparar la cantidad de papel utilizado y la capacidad que tiene cada cuerpo. Es necesario insistir en que el concepto de escala de un mapa es una constante de proporcionalidad igual que la razón de semejanza y que la única diferencia entre ambas es la forma de expresarse. Conviene que los alumnos trabajen con mapas y maquetas reales, y que calculen distancias, áreas y volúmenes sobre ellos.

© grupo edebé 73



2. Construcción de figuras y cuerpos semejantes Ficha 1. Actividades 1, 2, 3 y 4.

3. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes

• Ficha 2. Actividad 1, 2, 3 y 4

1. Figuras y cuerpos semejantes• Ficha 3. Actividades 4 y 8.

2. Construcción de figuras y cuerpos semejantes Ficha 3. Actividades 1, 2 y 3.

3. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes

Ficha 3. Actividades 5, 6, 7, 9 y 10.


Libro del alumno• Calcular las medidas de dos triángulos semejantes.• Obtener el área de dos polígonos semejantes.• Determinar el perímetro de un triángulo al que se le ha

aplicado una simetría seguida de una homotecia.• Calcular las longitudes, las áreas y los volúmenes de dos

cubos semejantes.• Determinar el área de una figura a partir de la semejanza de

triángulos.• Resolver un problema, aplicando el concepto de escala de un

plano.• Calcular la razón de semejanza de una figura a partir de las

relaciones de semejanza entre otras dos.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Determinar qué homotecia se ha aplicado a dos polígonos

semejantes.• Identificar triángulos semejantes.• Calcular el área de dos polígonos semejantes.• Obtener el volumen de dos cuerpos semejantes.• Determinar el área y el volumen de dos cilindros semejantes a

otro y encontrar la razón de semejanza entre ellos.• Calcular las medidas de dos pirámides semejantes.• Resolver un problema, aplicando el concepto de escala en una

maqueta.

Libro del alumno • Representar una figura geométrica a la que se ha aplicado una

homotecia seguida de una translación, y calcular su área.• Utilizar recursos digitales para representar figuras geométricas.• Determinar la escala de un plano.• Calcular áreas, aplicando el concepto de escala de un plano.• Utilizar recursos digitales para buscar información sobre figuras

geométricas presentes en el arte.• Elaborar fichas técnicas y crear una presentación a partir del

análisis y la gestión de la información obtenida.

Material complementario• Elegir el sistema de representación geométrica más adecuado

para la resolución de problemas.• Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas

geométricos.• Aplicar los criterios de semejanza de triángulos para calcular

distancias.• Utilizar los sistemas de ecuaciones para la resolución de

problemas geométricos.

© grupo edebé 74






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Utilizar una aplicación interactiva para experimentar con figuras semejantes. (Página 144).@ A partir de un enlace determinado, conocer y experimentar con un mapa topográfico nacional a diversas escalas. (Página 148).

Recursos en soporte digital• Homotecia. (Animación).• Semejanza en el plano y en el espacio. (Resolución de problemas).• Enlaces web.

© grupo edebé 75



• Identificar figuras semejantes en el plano y en el espacio.• Relacionar la razón de semejanza entre dos figuras semejantes con la razón entre sus perímetros, sus áreas y sus volúmenes.• Aplicar movimientos a figuras en el plano y construir figuras geométricas homotéticas y semejantes.• Aplicar los criterios y los teoremas relativos a la semejanza de triángulos semejantes para resolver situaciones diversas.• Reconocer el concepto de escala aplicado a mapas y planos, y calcular longitudes y áreas a partir de estas representaciones.



© grupo edebé 76


METODOLOGÍA

















Estructura de la Unidad 6: Semejanza en el plano y en el espacio– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de reconocer y

aplicar la semejanza en el plano y en el espacio en situaciones reales y contextualizadas.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 77





unidad.– Crónica matemática: interpretar diversos cuadros de texto acerca de la descripción objetiva de las formas, las

representaciones bidimensionales de obras arquitectónicas y el travelling en el cine. Leer una noticia sobre el uso del contra-zoom en el cine. Calcular las medidas de un dibujo obtenido a partir de una ampliación y una posterior reducción de un dibujo anterior.

© grupo edebé 78


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 81


CONTENIDOS

C P V

• Ángulo. Ángulo recto. • Unidades de medida de ángulos. Radián y grado

sexagesimal. • Ángulos orientados. Ángulos positivos y negativos.• Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno,

coseno y tangente. • Razones trigonométricas inversas: cosecante, secante y

cotangente. • Razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y

60°.• Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. • Razones trigonométricas de los ángulos de 0º y 90°. • Circunferencia goniométrica. • Valor y signo de las razones trigonométricas según el

cuadrante al que pertenezca el ángulo. • Relaciones entre las razones trigonométricas de un

mismo ángulo. • Relaciones entre las razones trigonométricas de un

ángulo del segundo, tercer o cuarto cuadrante y las de un ángulo del primer cuadrante.

• Conversión de unidades angulares de radián a grado y viceversa.

• Representación de ángulos orientados. • Reducción de un ángulo al primer giro.• Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo

agudo. • Deducción de las razones trigonométricas de los

ángulos 30º, 45º y 60°. • Resolución de triángulos rectángulos. • Determinación de alturas y distancias mediante la

aplicación de la trigonometría. • Uso racional de la calculadora para la conversión de

unidades angulares y para hallar razones trigonométricas de ángulos o ángulos a partir de sus razones trigonométricas.

• Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera a partir de su representación gráfica en un sistema de coordenadas.

• Representación sobre la circunferencia goniométrica de los segmentos correspondientes al seno, el coseno y la tangente de un ángulo.

• Determinación del signo de las razones trigonométricas de un ángulo según el cuadrante al que pertenezca.

• Reducción al primer cuadrante. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera si se conocen las de los ángulos del primer cuadrante.

• Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.

• Resolución de diferentes tipos de problemas mediante la aplicación de la trigonometría.


• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje propio de la trigonometría para representar, comunicar o resolver situaciones de la vida cotidiana.

• Interés por el aprendizaje de los procedimientos de utilización de la calculadora y por el uso racional de esta.

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar operaciones con razones trigonométricas.

• Sensibilidad por la presentación clara y ordenada de los ejercicios y los problemas resueltos.


© grupo edebé 82




1. Medida de ángulos• Recordar la clasificación de los ángulos según su amplitud o medida.• Observar que dos rectas perpendiculares en el plano forman cuatro ángulos iguales y cada uno de ellos es un ángulo recto.• Recalcar que a partir del ángulo recto se definen las unidades de medida de ángulos.• Leer la definición de grado sexagesimal.• Leer la definición de radián.• Fijarse en la equivalencia entre grados y radianes.• Observar en un ejemplo resuelto la transformación de grados sexagesimales a radianes y viceversa.• Considerar los ángulos como giros y clasificarlos según el sentido de giro.• Recordar que los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro regiones, leer el nombre que reciben y cómo se enumeran.• Seguir el procedimiento para representar un ángulo orientado en un sistema de coordenadas cartesianas.• Leer cómo se clasifican los ángulos orientados.• Reflexionar acerca de la posibilidad de definir ángulos mayores de 360º; observar en un caso concreto la coincidencia entre la representación de un ángulo mayor de 360º y

la de un ángulo menor de 360º, y leer que este último ángulo es el resultado de reducir al primer giro el ángulo mayor de 360º.• Seguir el procedimiento que permite reducir un ángulo al primer giro y observar en un ejemplo resuelto la aplicación de dicho procedimiento.

2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo• Observar un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y leer el nombre que reciben los cocientes entre las longitudes de cada dos de sus lados.• Leer el nombre, la definición y la fórmula de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.• Observar diversos triángulos rectángulos semejantes con un ángulo agudo común y razonar que el seno de dicho ángulo es independiente del triángulo rectángulo escogido.• Advertir que las razones trigonométricas de un ángulo son adimensionales.• Leer el nombre que recibe cada una de las razones trigonométricas inversas y su fórmula.@ Analizar las razones trigonométricas de distintos triángulos a partir de una actividad interactiva.• Seguir el procedimiento que permite calcular el seno de un ángulo mediante la calculadora y el procedimiento que permite hallar el valor de un ángulo si se conoce una de sus

razones trigonométricas.• Obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y de 60º considerando un triángulo equilátero de lado la unidad y las de un ángulo de 45º considerando un cuadrado

de lado la unidad.• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo.• Leer, en una tabla, los diferentes casos que pueden presentarse en la resolución de triángulos rectángulos y observar su resolución.• Fijarse en el nombre que recibe el ángulo que forma la visual con el plano horizontal que pasa por el ojo del observador según si el punto observado está por encima o por debajo

de dicho plano.• Observar, en ejemplos resueltos, la determinación de alturas y de distancias.

3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera• Observar la representación de un ángulo y considerar las coordenadas de un punto de su lado extremo para definir las razones trigonométricas de dicho ángulo.

© grupo edebé 83


• Reconocer que las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera no dependen del punto del lado extremo del ángulo escogido.• Fijarse en que las definiciones dadas para las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera coinciden con las dadas para un ángulo agudo.• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo del valor de las razones trigonométricas de un ángulo si se conocen las coordenadas de un punto de su lado extremo.• Reconocer que, para calcular las razones trigonométricas de un ángulo, se puede considerar un punto de su lado extremo situado sobre una circunferencia de radio 1 centrada

en el origen de coordenadas; leer el nombre que recibe dicha circunferencia, y observar que el seno y el coseno del ángulo coinciden con la ordenada y la abscisa de ese punto.• Observar en una figura los segmentos representativos del valor del seno y del coseno de un ángulo.• Seguir el procedimiento para hallar un segmento representativo del valor de la tangente de un ángulo.• Observar, en un ejemplo resuelto, la forma de proceder para dibujar en una circunferencia goniométrica todos los ángulos cuya tangente tiene un valor determinado. @ Analizar los signos de las razones trigonométricas de distintos a partir de una actividad interactiva• Razonar sobre los valores entre los que están comprendidos el seno y el coseno de un ángulo y acerca del signo del seno, del coseno y de la tangente.• Deducir la relación que puede establecerse entre el seno y el coseno de un mismo ángulo y el nombre que recibe la fórmula obtenida, y deducir también la que puede

establecerse entre el seno, el coseno y la tangente de un mismo ángulo.• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo si se conoce una de ellas y a partir de las relaciones entre las razones trigonométricas

de un mismo ángulo. • Comprobar en una tabla que las razones trigonométricas de un ángulo coinciden, excepto en el signo, con las de algún ángulo del primer cuadrante.• Observar, en ejemplos resueltos, el cálculo de las razones trigonométricas de distintos ángulos a partir de la reducción al primer cuadrante.

Actividades resueltas• Analizar cada una de las fases del método general de resolución de problemas en cuatro pasos, como estrategia para resolver problemas, y aplicarla en diversas actividades s

CB

© grupo edebé 84


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer y utilizar la trigonometría.• Determinar el ángulo con el que se observará un faro desde un barco dado algún ángulo de elevación y diversas distancias.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Determinar diversas distancias a partir de las longitudes de dos triángulos semejantes formados por puntos de observación y la altura de

unas farolas.• Hallar la altura de un puente y la longitud del cable que lo sujeta a partir de diversas distancias y ángulos.@ Mediante diversos enlaces, conocer el funcionamiento y aplicaciones del astrolabio así como resolver un caso práctico a partir de su utilización.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, es fundamental que los alumnos comprendan que cualquier ángulo puede reducirse al primer giro, con un valor entre 0º y 360° y un signo asociado al sentido de giro. La conversión de unidades angulares no debe presentar dificultades a los alumnos de este nivel si bien es conveniente dedicar algún tiempo a que el alumno/a se familiarice con el radián como unidad de medida y con la expresión de ángulos con el factor π indicado.

• En el apartado 2, debe insistirse en que la definición y valor de las razones trigonométricas no dependen exclusivamente de un determinado triángulo rectángulo. Para ello, sería conveniente realizar algún ejercicio práctico para comprobar que en dos triángulos semejantes los valores del seno y el coseno del mismo ángulo son exactamente iguales. Si en el cálculo de las razones trigonométricas aparecen raíces, conviene recordar que estas deben conservarse y, como mucho, puede calcularse una aproximación después de simplificar al máximo la expresión radical; esto es especialmente importante en los problemas porque la simplificación puede llevar a errores. En cualquier caso, si se lleva a cabo la aproximación, debe darse un número mínimo de cifras significativas.

• En el apartado 3, es importante el dominio de la circunferencia goniométrica como recurso para obtener gráficamente las razones trigonométricas de cualquier ángulo. Mediante una simple representación del mismo en esta circunferencia, el alumno/a puede observar el signo del seno, coseno y tangente y, si emplea papel cuadriculado, también su valor aproximado. También es fundamental conocer las relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo pues permiten determinar las de cualquier ángulo, en valor absoluto, una vez conocida una de ellas; para ello deberá tenerse en cuenta que el signo se determinará a partir del cuadrante al que pertenece el ángulo. El estudio de la trigonometría, por su carácter eminentemente gráfico, debe seguirse con herramientas informáticas potentes que completen y/o amplíen los conceptos explicados. En este sentido se pueden utilizar programas informáticos para representar las razones trigonométricas sobre la circunferencia goniométrica y para calcular su valor.

© grupo edebé 85



2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo• Ficha 1. Actividades 1, 2 y 3.

2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo• Ficha 2. Actividades 1, 2, 3, 4 y 5.

3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera• Ficha 2. Actividades 6, 7 y 8.


Libro del alumno Convertir medidas de ángulos de grados a radianes. Reducir ángulos al primer giro. Resolver triángulos rectángulos a partir de dos datos. Determinar razones trigonométricas a partir de las relaciones

que se establecen entre ellas. Calcular alturas y distancias en situaciones cotidianas aplican-

do la trigonometría.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación) Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de

un triángulo rectángulo. Resolver los triángulos rectángulos, dado el valor de los dos

catetos o el valor de un cateto y un ángulo agudo. Determinar la altura de un edificio por aplicación del concepto

de tangente. Representar en la circunferencia goniométrica los segmentos

correspondientes al seno, coseno y tangente de unos ángulos determinados.

Hallar los ángulos entre 0° y 360° que presentan el mismo va-lor para unas razones trigonométricas determinadas.

Reducir el ángulo al primer cuadrante para calcular sus razones trigonométricas.

Libro del alumno Determinar la altura de un objeto cotidiano aplicando el método

de la doble observación. Calcular alturas y distancias en situaciones cotidianas aplicando

la trigonometría. Utilizar recursos digitales para obtener información sobre un ins-

trumento de medida antiguo. Identificar las partes de un instrumento de medida y efectuar cál-

culos a partir de la información recopilada.

Material complementario Calcular distancias en situaciones cotidianas aplicando la trigono-

metría. Aplicar la trigonometría para resolver una situación de paisajismo

urbano. Resolver un problema de física aplicada utilizando las razones tri-

gonométricas. Elaborar una tabla de valores a partir de una expresión

matemática obtenida previamente.

© grupo edebé 86






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Utilizar una aplicación interactiva para analizar las razones trigonométricas de triángulos rectángulos. (Página 160).@ Utilizar una aplicación interactiva para determinar los signos de las razones trigonométricas. (Página 167).

Recursos en soporte digital• Resolución de triángulos rectángulos (Actividades)• Trigonometría (Caza del tesoro)• Trigonometría. (Resolución de problemas).• Enlaces web..

© grupo edebé 87



• Transformar unidades angulares de radianes a grados, y viceversa.• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo.• Resolver triángulos rectángulos a partir de dos datos dados en diferentes casos.• Determinar un ángulo conocida una de sus razones trigonométricas.• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera conocida una de ellas.• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera reduciéndolo previamente al primer cuadrante.• Determinar alturas y distancias en situaciones cotidianas aplicando la trigonometría. • Usar la calculadora de forma autónoma y racional.



© grupo edebé 88


METODOLOGÍA

















Estructura de la Unidad 7: Trigonometría– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de conocer y

utilizar la trigonometría en situaciones reales y contextualizadas.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 89



– Actividades finales organizadas según los contenidos principales de la unidad y de tipología diversa: refuerzo, profundización (Más a fondo), aplicación de la calculadora, trabajo en grupo, actividades TIC.


unidad.– Crónica matemática: interpretar un cuadro de texto sobre el nacimiento y primer desarrollo de la

trigonometría y otro sobre el sextante. Resolver tres problemas prácticos sobre la sombra del Sol, la altura de un faro y la anchura de un río aplicando la trigonometría.

© grupo edebé 90


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 93


UNIDAD DIDÁCTICA 08: Geometría analítica en el plano


Competencia matemática (M)• Utilizar los vectores y las

distintas ecuaciones de una recta para resolver problemas diversos geométricos en el plano.

• Valorar la exactitud y la claridad en la representación de puntos, vectores y rectas en el plano.

• Utiliza los vectores para resolver problemas geométricos diversos en el plano. (M)

• Valora la exactitud y la claridad en la representación de puntos y rectas en el plano. (M)

• Utiliza las distintas ecuaciones de una recta para resolver problemas geométricos diversos en el plano. (M / CIMF)

• Realizar operaciones, gráfica y analíticamente, utilizando vectores.

• Obtener las coordenadas de un punto en un sistema de referencia determinado.

• Utilizar los vectores para obtener la ecuación de una recta en un plano.

• Identificar vectores en el plano a partir de su representación gráfica o a partir de sus componentes.

• Calcular las componentes de un vector en una base determinada y representar un vector a partir de sus componentes.

• Expresar un vector libre como combinación lineal de otros vectores.

• Conocer y utilizar los conceptos de sistema de referencia y de coordenadas de un punto del plano.

• Hallar las componentes del vector determinado por dos puntos.

• Hallar las coordenadas del punto medio de un segmento.

• Calcular la distancia entre dos puntos determinados.• Obtener la ecuación de una circunferencia de un radio

determinado centrada en el origen.• Calcular la ecuación de una recta.• Determinar la pendiente y la ordenada en el origen de

una recta.• Resolver problemas de incidencia, paralelismo y

perpendicularidad de rectas.Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar los recursos digitales de

representación gráfica en situaciones en que intervienen vectores.

• Utiliza los recursos digitales de representación gráfica en situaciones en que intervienen vectores. (TIC)

• Conocer las TIC como herramientas útiles para el cálculo y la representación gráfica de vectores, y utilizar los recursos adecuados a cada situación.

• Efectuar operaciones con vectores libres a partir de su representación gráfica o a partir de sus componentes.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (CIMF)• Utilizar adecuadamente los

conocimientos matemáticos en su contexto para aplicarlo a explicaciones científicas o técnicas del mundo natural.

• Utiliza adecuadamente los conocimientos matemáticos en su contexto para aplicarlo a explicaciones científicas o técnicas del mundo natural. (IMF)

• Identificar situaciones en contextos científicos técnicos en las que intervienen vectores.

• Conocer diversas magnitudes vectoriales y determinar sus características.

© grupo edebé 94


Competencia social y ciudadana (SC)• Colaborar con los compañeros y

compañeras de manera desinteresada en el trabajo en equipo.

• Colabora con los compañeros y compañeras de manera desinteresada en el trabajo en equipo. (SC)

© grupo edebé 95


CONTENIDOS

C P V

• Vector fijo. • Módulo, dirección y sentido de un vector. • Vectores equipolentes. • Vector libre. • Operaciones gráficas y analíticas con vectores libres. • Combinación lineal de vectores. • Dependencia de vectores. • Bases de V2. • Componentes de un vector en el plano.• Sistema de referencia. • Coordenadas de un punto.• Ecuación de la recta. • Pendiente y ordenada en el origen de una recta. • Vector director de una recta. • Condiciones para que dos rectas sean secantes,

perpendiculares, paralelas o coincidentes.

• Utilización del vocabulario propio de los vectores para recibir y transmitir información.

• Identificación de vectores equipolentes. • Obtención del módulo de un vector. • Realización de operaciones, de manera gráfica y

analítica, con vectores libres. • Representación gráfica de una combinación lineal de

vectores libres y expresión de un vector libre como combinación lineal de otros vectores libres.

• Cálculo de las componentes de un vector respecto a una determinada base y representación gráfica de vectores si se conocen sus componentes.

• Obtención de las coordenadas de un punto en un sistema de referencia determinado.

• Cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento.

• Cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos.

• Cálculo de la distancia entre dos puntos. • Obtención de la ecuación de una recta. • Obtención de la pendiente y la ordenada en el origen

de una recta. • Determinación de la posición relativa de dos rectas. • Obtención de la ecuación de una circunferencia con

centro en el origen.

• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje propio de los vectores para representar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana.

• Hábito favorable a la revisión y mejora del resultado de cualquier cálculo o problema.

• Sensibilidad y gusto por la representación de puntos, vectores y rectas en el plano.


Educación vial. Los contenidos tratados en la unidad pueden utilizarse para interpretar representaciones planas de espacios (planos y mapas).

© grupo edebé 96



Orientaciones generalesRelacionar la imagen de presentación de la unidad y el texto que la acompaña con el contenido de dicha unidad.Reflexionar sobre las preguntas planteadas en la presentación, revisar los contenidos previos y leer los objetivos que se pretende conseguir.Observar el esquema de la unidad y escuchar la explicación del profesor/a.

1. Vectores en el plano• Reconocer, a partir de distintos ejemplos de magnitudes, que para determinar algunas de ellas es necesario disponer, además de un número y una unidad de medida, una

dirección y un sentido; leer el nombre que reciben dichas magnitudes y precisar la forma de representarlas. • Advertir que un segmento tiene una dirección pero no tiene sentido y definir en un segmento un origen y un extremo para obtener un vector fijo.• Leer la definición de vector fijo y la de sus características.• Observar que los distintos vectores fijos representados en una figura tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido para definir la relación de equipolencia

en el conjunto de vectores fijos.• Leer la definición de vectores equipolentes.• Reconocer que la relación de equipolencia permite clasificar los vectores fijos en conjuntos de vectores para establecer el concepto de vector libre y leer su definición.• Considerar cada uno de los vectores fijos que componen un vector libre como un representante del vector libre y observar la forma de representar un vector libre.• Leer las definiciones de módulo, dirección y sentido de un vector libre.• Seguir los pasos del procedimiento que permite efectuar gráficamente la suma de dos vectores libres y observar la aplicación de dicho procedimiento en un ejemplo

concreto.• Fijarse en la forma de calcular la suma de dos vectores libres mediante la regla del paralelogramo.• Observar que todo vector libre tiene un vector opuesto y fijarse en el módulo, la dirección y el sentido de dicho vector.• Considerar que la existencia del vector opuesto permite restar vectores libres y observar, en un ejemplo concreto, la resta de dos vectores libres.• Leer acerca de cada una de las características del vector libre que resulta al multiplicar un número real por un vector libre, y observar distintas multiplicaciones de números

reales por vectores libres.• Observar, en un ejemplo concreto, una combinación de operaciones con vectores libres y leer el nombre que recibe este tipo de expresión.• Fijarse en que el resultado de una combinación lineal de vectores libres es un vector libre.• Observar, en un ejemplo concreto, la manera de proceder para expresar un vector libre como combinación lineal de otros dos vectores libres.• Recordar que cualquier vector libre del plano puede escribirse como combinación lineal de otros dos vectores libres no nulos de diferente dirección para establecer el

concepto de base de V2 y leer su definición.@ Consultar una página web con una aplicación interactiva que permite ver como cambian las componentes de un vector al cambiar la base.• Fijarse en las componentes de un vector en una determinada base y en la expresión de un vector libre según sus componentes y observar, en un ejemplo concreto, las

componentes de un vector libre y su expresión según sus componentes.@ Consultar una página web con una actividad interactiva y una propuesta de trabajo de suma y resta de vectores.• Observar, en un ejemplo resuelto, la determinación de las componentes de un vector según una determinada base.• Fijarse en la coincidencia de las componentes de un vector respecto a una determinada base con las coordenadas de su extremo en la cuadrícula definida por los vectores

de dicha base.• Reconocer la conveniencia de considerar bases formadas por vectores perpendiculares y unitarios.• Observar, en ejemplos concretos, cómo proceder para sumar dos vectores expresados por sus componentes y para multiplicar un vector por un número real.• Observar, en un ejemplo resuelto, distintas operaciones con vectores expresados según sus componentes.

© grupo edebé 97


• Observar, en un ejemplo resuelto, cómo expresar un vector como combinación lineal de otros dos si se conocen las componentes respecto de una cierta base.

2. Sistema de referencia• Leer el nombre que recibe el conjunto formado por un punto fijo del plano y por una base de V2, reconocer que permite determinar la posición de cualquier punto del plano y

observar cómo se denota.• Reflexionar acerca del vector de posición de un punto y de las coordenadas de dicho punto en el sistema de referencia considerado. • Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de las coordenadas de un punto en un sistema de referencia determinado.• Fijarse en la coincidencia de las coordenadas de un punto en un sistema de referencia cuya base está constituida por dos vectores perpendiculares unitarios con las

coordenadas cartesianas del punto.• Seguir los pasos que demuestran cómo hallar las componentes de un vector determinado por dos puntos.• Fijarse en la aplicación del teorema de Pitágoras para calcular el módulo de un vector.• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos.• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de la distancia entre dos puntos del plano.

3. Rectas en el plano• Observar, en un ejemplo resuelto, la obtención de la ecuación de una recta si se conocen las coordenadas de dos de sus puntos.• Recordar la expresión de la ecuación general de una recta.• Recordar las ecuaciones de algunas rectas características dada su situación respecto a los ejes de coordenadas cartesianas.• Observar, en un ejemplo resuelto, el proceso analítico y gráfico que demuestra que el valor de la pendiente de una recta coincide con el de la tangente que la forma con el

semieje positivo de abscisas.• Leer la definición de pendiente de una recta.@ Distinguir rectas según el valor de su pendiente a partir de una aplicación interactiva.• Leer la definición de vector director de una recta.• Observar, a partir de las gráficas correspondientes, que una recta queda definida por un punto y una dirección. • Observar, en un ejemplo resuelto, la obtención de la ecuación de una recta dadas las coordenadas de uno de sus puntos y su vector director.• Observar en una tabla las posiciones relativas de dos rectas del plano.• Reconocer que la posición relativa de dos rectas del plano puede determinarse a partir de la resolución del sistema que forman sus respectivas ecuaciones. • Observar, en dos ejemplos resueltos, la determinación de la posición relativa de dos rectas.• Fijarse en las gráficas y las correspondientes ecuaciones de diversas rectas así como en sus posiciones relativas. • Observar una tabla que relaciona las posiciones relativas de dos rectas con los valores de sus pendientes y sus ordenadas en el origen.• Observar, en un ejemplo resuelto, la obtención de la ecuación de una recta dadas las coordenadas de uno de sus puntos y la ecuación de una recta paralela a ella.

Actividades resueltas• Analizar cada una de las fases del método general de resolución de problemas en cuatro pasos, como estrategia para resolver problemas, y aplicarla en diversas actividades

CB

© grupo edebé 98


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer y familiarizarse con las magnitudes escalares para poder trabajar con ellas.

• Buscar información sobre las magnitudes escalares y citar algunos ejemplos.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Determinar los vectores libres relacionados con tres rectas dadas y un eje de coordenadas que entre sí forman un cuadrilátero.• Calcular la fuerza de tensión de dos cuerdas que sujetan un cuerpo pesado.• Determinar las ecuaciones de las tres rectas que forman un triángulo rectángulo dado uno de sus ángulos y el valor del lado opuesto.@ Mediante diversos enlaces, buscar información sobre las direcciones que puede adoptar el viento y relacionarla con los vectores, realizando además algunas actividades prácticas.

ACTIVIDADES FINAL BLOQUE-II• Realizar los cálculos necesarios para restaurar una piscina de la que se conocen sus medidas y a la que hay que recubrir el suelo con

baldosas, pintar sus paredes, colocar un zócalo en el borde superior y, finalmente, llenarla de agua. Para ello, se facilitan algunas características y precios de los materiales a emplear.

• Calcular la superficie necesaria de hojas para construir 1000 sombreros de forma cónica y de los que se saben sus medidas.• Dibujar por el método de radiación el resultado de una homotecia dados los datos correspondientes de la misma.• A partir de la maqueta a escala de una bicicleta y de la escala de representación, calcular las dimensiones reales de la misma.• Calcular el perímetro y el coste de un cercado que debe vallarse conociendo las medidas de la parcela y el coste del material.• Calcular el área total y la superficie de la azotea que corresponde a un edificio de oficinas que tiene forma de prisma pentagonal regular.• Calcular la altura de un faro y su distancia a un barco utilizando las razones trigonométricas correspondientes y conociendo una

determinada distancia para un cierto ángulo de observación.• Identificar triángulos semejantes en la intersección de dos triángulos rectángulos que contienen a su vez un cuadrado.• Realizar dos homotecias y una traslación sobre una figura plana dibujada sobre una cuadrícula, para lo cual se facilitan los datos

necesarios.

PROYECTO BLOQUE-II: Maqueta de una instalación deportiva.

Fase 1: EscogeTeniendo en cuenta las características que debe tener toda instalación deportiva que deba albergar grandes eventos, debatir con los compañeros las cuestiones que se proponen, algunas de ellas relacionadas con la geometría.

Fase 2: Planifica

© grupo edebé 99


El proyecto se planifica en cuatro fases: Análisis de la situación, Obtención y gestión de la información, Diseño y maquetación de la instalación y Aprender a aprender. Cada una de estas fases conlleva la realización de diversas cuestiones sobre las que los alumnos deberán informarse previamente para que sus respuestas sean las adecuadas.

Fase 3: DesarrollaLos alumnos deben buscar información sobre el tipo de instalaciones deportivas que hacen falta y sus características necesarias. Una vez elegido el tipo de instalación, realizar alguna visita a una de las mismas características que la elegida y dibujar a escala la propuesta a desarrollar. Habrá que tener en cuenta los accesos para personas con movilidad reducida, los materiales a emplear, la escala de reproducción que se usará, etc. Con toda esta información podrá hacerse una exposición oral ante el resto de la clase.

Fase 4: ReflexionaPara evaluar el proyecto y con la ayuda de la elaboración de un diario reflexivo sobre las actividades realizadas y algunas cuestiones que se plantean, se utilizará el dossier individual del alumno con las evidencias correspondientes a las tareas ejecutadas, adjuntando la rúbrica de evaluación en la que se contemplan las competencias y su grado de consecución por parte de los alumnos.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, debe recalcarse la diferencia entre vectores fijos y vectores libres. La aridez algebraica del tema debería suavizarse utilizando algunas simulaciones por ordenador para la definición y las operaciones con vectores; un recurso muy completo en castellano puede encontrarse en http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Vectores_en_el_plano/Vectores_indice.htm, donde se introduce la noción de vector de forma intuitiva y geométrica. Conviene insistir en el procedimiento de la obtención gráfica de las componentes de un vector en una base determinada hasta que los alumnos muestren competencia suficiente, antes de introducir la obtención de la expresión analítica.

• En el apartado 2, es interesante proponer actividades contextualizadas en las que se utilice la relación entre las coordenadas de dos puntos de un sistema de referencia dado y las componentes de un vector, para que el alumno/a asuma la aplicación de dicha relación en la vida cotidiana (para el estudio de mapas, planos, distancias...).

• En el apartado 3, conviene repasar el procedimiento de obtención de la ecuación de una recta a partir de las coordenadas de dos de sus puntos y resaltar el concepto de pendiente de una recta. Es importante practicar ampliamente la determinación de ecuaciones de distintas rectas dados dos de sus puntos, dado un punto y el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas, o bien a partir de una gráfica. Una vez los alumnos muestran soltura en los procedimientos anteriores, ya puede practicarse el cálculo de la pendiente de una recta a partir de las componentes de su vector director y, posteriormente, la obtención de la ecuación de dicha recta dados su vector director y uno de sus puntos. Los alumnos deberían habituarse a determinar la posición relativa de dos rectas a partir del número de soluciones del sistema formado por sus ecuaciones, y viceversa. Conviene destacar que, sin embargo, no es necesaria la resolución del sistema de ecuaciones para determinar la posición relativa de las rectas.

© grupo edebé 100



1. Vectores en el plano Ficha 1. Actividades 1, 2 y 3.

3. Rectas en el plano• Ficha 2. Actividades 1, 2 y 3.

1. Vectores en el plano• Ficha 3. Actividades 1, 2, 3 y 4.

2. Sistemas de referencia• Ficha 3. Actividades 1, 2, 3 y 4.

3. Rectas en el plano• Ficha 3. Actividades 5, 6, 7 y 8.


Libro del alumno• Efectuar gráficamente sumas y restas con vectores.• Efectuar operaciones con vectores analíticamente.• Determinar las componentes de un vector a partir de las

coordenadas de dos puntos.• Calcular las coordenadas de diversos puntos a partir de una

gráfica.• Hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos.• Determinar la ecuación de una recta a partir de un punto y de

su posición relativa respecto a otra recta.• Indicar la posición relativa de dos rectas a partir de sus

ecuaciones.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Realizar gráficamente sumas y restas con vectores.• Efectuar analíticamente operaciones con vectores.• Determinar las componentes de dos vectores a partir de las

coordenadas de dos puntos. Expresar la relación entre dichos vectores.

• Calcular las coordenadas de diversos puntos a partir de una gráfica.

• Hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos.• Determinar la ecuación de una recta a partir de un punto y de

su posición relativa respecto a otra recta.• Indicar la posición relativa de dos rectas a partir de sus

ecuaciones.

Libro del alumno • Conocer la ecuación implícita de la recta y utilizarla correctamente para

resolver problemas.• Representar gráficamente rectas en el plano.• Resolver problemas de aplicación práctica de magnitudes vectoriales.• Utilizar las operaciones con vectores.• Determinar las ecuaciones de las rectas que limitan una figura

geométrica.• Comparar la representación de los vientos con los vectores.

Material complementario• Interpretar indicaciones para situar un punto en un plano.• Determinar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.• Localizar coordenadas en el plano.• Calcular la distancia entre dos puntos.• Hallar el punto medio dados dos puntos.

Actividades Final Bloque-II• Operar con medidas de longitud, superficie, volumen y dinerarias.• Calcular áreas laterales, totales y volúmenes de prismas y cuerpos

redondos.• Realizar homotecias y translaciones en el plano.• Identificar y utilizar las escalas de planos y maquetas.• Identificar figuras semejantes a partir de la composición de otras

distintas.• Utilizar la trigonometría para resolver situaciones en contextos reales.

© grupo edebé 101






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Utilizar una aplicación interactiva para representar gráficamente vectores. (Página 182).@ Utilizar una aplicación interactiva para sumar y restar vectores. (Página 183).@ Analizar una aplicación interactiva que permite diferenciar las rectas en función de su pendiente. (Página 188).


• Operaciones con vectores. (Animación).• Obtención gráfica de las componentes de un vector en una base. (Animación)• Cambio de base• Geometría analítica en el plano. (Resolución de problemas).• Enlaces web.

© grupo edebé 102



• Identificar vectores en el plano a partir de su representación gráfica o a partir de sus componentes.• Expresar un vector libre como combinación lineal de otros vectores.• Conocer y utilizar los conceptos de sistema de referencia y de coordenadas de un punto del plano.• Hallar las componentes del vector determinado por dos puntos.• Calcular la distancia entre dos puntos determinados.• Calcular la ecuación de una recta.• Determinar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta.• Resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad de rectas.• Efectuar operaciones con vectores libres a partir de su representación gráfica o a partir de sus componentes.



© grupo edebé 103


METODOLOGÍA

















Estructura de la Unidad 8: Geometría analítica en el plano– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de reconocer y

operar con las magnitudes vectoriales.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 104





unidad.– Crónica matemática: interpretar diversos cuadros de texto acerca del pavimento como primer sistema de

coordenadas, de la utilización de la geometría en el arte, la arquitectura y la navegación y las aplicaciones de los vectores en cristalografía, física e ingeniería. Representar un itinerario en un sistema de coordenadas empleando vectores.

– Actividades de evaluación de las CB del Bloque-II.– Proyecto Final Bloque-II: Maqueta de una instalación deportiva.

© grupo edebé 105


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


UNIDAD DIDÁCTICA 09: Funciones de primer y segundo grado

© grupo edebé 108



Competencia matemática (M)• Aplicar las operaciones aritméticas y

las funciones para trabajar aspectos cuantitativos de la realidad y llegar a soluciones prácticas.

• Deducir las características de una función a partir de su representación gráfica.

• Deduce las características de una función a partir de su representación gráfica. (M)

• Aplica las operaciones aritméticas para trabajar aspectos diversos de las funciones de segundo grado. (M)

• Distinguir y representar gráficamente funciones de primer y segundo grado.

• Determinar los elementos de la parábola.

• Determinar la pendiente de una recta y la ordenada en el origen de una función.

• Utilizar la representación gráfica de funciones para resolver problemas.

• Distinguir funciones de primer y de segundo grado, y determinar sus características.

• Interpretar y determinar las características generales de una función dada por su gráfica.

• Clasificar y determinar el tipo de gráfica de una función de primer o de segundo grado a partir de su expresión algebraica.

• Representar gráficamente funciones de primer y de segundo grado, y asociar su representación a rectas y a parábolas.

• Reconocer una parábola y determinar sus elementos.• Identificar el vértice de la parábola con un máximo o con

un mínimo de la función cuadrática.Competencia en comunicación lin-güística (CL)• Comprender e interpretar

adecuadamente la información de anuncios para tomar decisiones.

• Comprende e interpreta adecuadamente la información asociada a las características de las funciones. (CL / M)

• Comprender el concepto de función y sus características. • Construir tablas de valores y obtener la fórmula de

dependencias funcionales dadas (de funciones de primer grado) mediante descripciones verbales.

Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar las tecnologías digitales en la

representación, la simulación y el análisis gráfico.

• Utiliza las tecnologías digitales en la representación, la simulación y el análisis de gráficas. (TI-D)

• Utilizar las tecnologías de la información en la representación gráfica de funciones. • Utilizar las tecnologías de la información en la

representación, la simulación y el análisis de gráficas.

© grupo edebé 109


CONTENIDOS

C P V

• Función. • Imagen y antiimagen. • Dominio y recorrido. • Expresión algebraica y gráfica de una función.• Función constante.• Función lineal. • Función afín.• Función cuadrática. Tipos de funciones cuadráticas. • Elementos de la parábola.

• Interpretación y determinación de las características ge-nerales de una función dada por su gráfica: puntos de corte con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máxi-mos y mínimos, continuidad y discontinuidad, simetrías y periodicidad.

• Cálculo de imágenes y de antiimágenes analítica y gráfi-camente.

• Determinación del dominio y del recorrido de una fun-ción.

• Clasificación de las funciones según su expresión alge-braica.

• Utilización del vocabulario propio de las funciones para recibir y transmitir información.

• Determinación del tipo de gráfica de una función según su expresión algebraica.

• Uso racional del ordenador y la calculadora.• Cálculo de la pendiente de la recta y de la ordenada en

el origen de una función de primer grado. • Utilización de la representación gráfica de funciones

para la comprensión de distintas situaciones. • Construcción de tablas de valores, obtención de la fór-

mula y representación gráfica de una función de primer grado dada mediante una descripción verbal.

• Representación gráfica de funciones y obtención de la fórmula de una función de primer grado dada mediante una tabla de valores.

• Resolución de problemas relacionados con las funciones de primer grado.

• Uso de las TIC en la representación, la simulación y el análisis gráfico.

• Representación gráfica de una parábola según sus ele-mentos característicos.

• Determinación analítica del vértice, del eje y de los pun-tos de corte de una parábola con los ejes de coordena-das.

• Identificación del vértice de la parábola con un máximo o con un mínimo de la función cuadrática.

• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje gráfico para recibir y transmitir información.

• Hábito de realizar una cuidadosa presentación de gráfi-cas de funciones.

• Interés por conocer las posibilidades que ofrece el uso del ordenador y la calculadora.

• Predisposición a formular de manera analítica los fenó-menos cotidianos.

• Valorar la importancia del uso de gráficas en la prensa en general y en revistas científicas en particular.


Educación cívica y para la salud. La actividad inicial puede servir para hablar de la práctica del deporte y del cuidado del cuerpo.

© grupo edebé 110


• Obtención de una función cuadrática a partir del vértice y de un punto de la parábola, y a partir de tres puntos de la parábola.

• Construcción de tablas de valores, obtención de la fór-mula y representación gráfica de una función de segun-do grado dada mediante una descripción verbal.

• Representación gráfica de funciones y obtención de la fórmula de una función de segundo grado dada median-te una tabla de valores.

• Resolución de problemas relacionados con las funciones de segundo grado.

© grupo edebé 111




1. Concepto de función• Leer la definición de función.• Observar a partir de un ejemplo concreto las diversas formas de expresar una función.• Leer la definición de imagen e antiimagen de un valor de una función. • Determinar el intervalo de valores que puede tomar la variable independiente, leer el nombre que recibe dicho intervalo, observar la forma de simbolizarlo y leer su definición.• Determinar el intervalo de valores que puede tomar la variable dependiente, leer el nombre que recibe dicho intervalo, observar la forma de simbolizarlo y leer su definición.• Escribir una fórmula que exprese una función, leer el nombre que recibe y leer su definición.• Observar en un ejemplo concreto la forma de simbolizar una función a partir del dominio, del recorrido y de la expresión algebraica.• Seguir los pasos del procedimiento para representar gráficamente una función y leer la definición de gráfica de una función.• Observar la descripción de las características de una función.• Fijarse en la descripción de una función definida a trozos.• Observar, en un ejemplo resuelto, la determinación y la descripción exhaustiva de las características de una función.• Observar en dos ejemplos resueltos el análisis de algunas características de una función.

2. Función constante• Considerar una función expresada mediante una tabla de valores, observar su gráfica y fijarse en que a cualquier valor de la variable independiente le corresponde un mismo va-

lor de la variable dependiente para reconocer que se trata de una función constante.• Reparar en que las funciones constantes son funciones polinómicas de grado cero; observar su expresión algebraica y su representación gráfica, y leer la definición de función

constante.

3. Función de primer grado• Considerar que las funciones de primer grado son funciones polinómicas de primer grado y observar su expresión algebraica.• Leer la clasificación de las funciones de primer grado y cómo es su representación gráfica.• Observar una función expresada mediante una tabla de valores; reparar en que su gráfica es una semirrecta cuyo punto inicial es el origen de coordenadas; fijarse en la pendien -

te; considerar su expresión algebraica, y leer el nombre que recibe dicha función.• Reconocer que la función lineal expresa la relación entre dos variables directamente proporcionales y leer su definición.• Observar una función expresada mediante una tabla de valores, reparar en que su gráfica es una semirrecta, fijarse en el punto inicial y en la pendiente, considerar su expresión

algebraica y leer el nombre que recibe dicha función.@ Conocer la generación de una función lineal en un caso real a partir de una aplicación interactiva• Observar una función expresada mediante una tabla de valores; reparar en que su gráfica es una semirrecta cuyo punto inicial es un punto del eje de ordenadas; fijarse en la

pendiente; considerar su expresión algebraica, y leer el nombre que recibe dicha función.• Leer la definición de función afín.

4. Función de segundo grado

© grupo edebé 112


• Considerar que las funciones de segundo grado son funciones polinómicas de segundo grado, observar su expresión algebraica y leer cómo es su representación gráfica y el nombre por el que son conocidas.

• Leer dos situaciones de la vida cotidiana en las que se expresan funciones mediante unas tablas de valores, considerar las expresiones algebraicas de dichas funciones, leer el nombre que reciben y el dominio y observar sus gráficas.

• Observar una parábola que presenta un máximo y que es simétrica respecto a una recta y leer el nombre que recibe el punto en el que se alcanza el máximo y el que recibe la recta.

• Leer la definición de función cuadrática y las características de su gráfica.• Observar en una tabla la forma de proceder para obtener analíticamente el vértice de la parábola, el eje y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.• Observar en una figura las distintas transformaciones que presenta una parábola.• Fijarse en que puede representarse gráficamente una parábola obteniendo solo los datos para dibujar una de sus ramas.• Seguir, en distintos ejemplos resueltos, el procedimiento para obtener la gráfica de una parábola a partir de sus elementos característicos.• Observar en una tabla las diferentes expresiones algebraicas de una función cuadrática según el valor de los coeficientes y reconocer mediante ejemplos concretos que las pará-

bolas que se obtienen al representarlas son diferentes.@ Analizar las formas que adopta una parábola al variar sus parámetros a partir de una aplicación interactiva• Observar en una tabla las gráficas de los diferentes tipos de función cuadrática según su expresión algebraica.


© grupo edebé 113


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer y utilizar las funciones de primer y segundo grado.• Determinar la altura y longitud máximas que alcanza una pelota de béisbol de la que se conoce la función de su trayectoria al ser

bateada.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Hallar las funciones que determinan los precios en dos empresas de alquiler de coches según el kilometraje a realizar y la tarifa por

kilómetro.• Determinar las características de una función cuadrática dada.@ Mediante diversos enlaces, obtener información de algunos métodos de construcción y trazado de parábolas y practicar alguno de ellos.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, debe tratarse detenidamente la definición de función y dar ejemplos que ilustren el concepto. Los diagramas de Venn son útiles para mostrar qué tipos de relaciones pueden considerarse una función y cuáles no. Los ejemplos pueden ser tanto numéricos como prácticos (relaciones entre dos magnitudes, cálculo de intereses, o cualquier otra relación que pueda extraerse de una gráfica o ta-bla de valores). Antes de representar una función debe recordarse cómo se representa un par ordenado en el plano y, a continuación, in-troducir intuitivamente el concepto de continuidad de los puntos de una gráfica.

• En el apartado 2, sería conveniente proporcionar diversos ejemplos reales de funciones constantes de entre los cuáles puede destacarse la variable «tiempo». En este punto puede introducirse la observación histórica de que los procesos de cambio (de posición, de peso...) a lo largo de un intervalo temporal son uno de los motores que han impulsado el estudio de las funciones.

• En el apartado 3, puede completarse una serie de actividades para que el alumno/a consiga relacionar las características algebraicas con las gráficas de una función. Es deseable que las preguntas se dirijan a la intuición de los estudiantes y no se centren en el cálculo preciso.

• En el apartado 4, deberían repasarse las ecuaciones de segundo grado y sus soluciones para posteriormente relacionarlas con la repre-sentación de la función. Para comprobar que los conceptos estudiados se han aprendido correctamente pueden realizarse actividades sencillas que no requieran ningún cálculo, o bien que este sea mental y aproximado. Por ejemplo:

- Dada una parábola, indicar diversos puntos que pertenezcan a esta función, el vértice y los puntos de corte.- Ordenar diversas funciones según los coeficientes de sus términos.- Escribir una ecuación de segundo grado cuyos ceros sean los cortes con el eje X de una parábola.

© grupo edebé 114



1. Concepto de función Ficha 1. Actividad 1.

2. Función constante Ficha 1. Actividades 2 y 3.

3. Función de primer grado Ficha 1. Actividades 4 y 5.

4. Función de segundo grado Ficha 2. Funciones de segundo grado.

1. Concepto de función Ficha 3. Actividad 1.

3. Función de primer grado Ficha 3. Actividad 5.

4. Función de segundo grado Ficha 3. Actividades 2, 3, 4 y 5.

© grupo edebé 115



Libro del alumno Determinar una función de primer grado a partir de su gráfica. Construir una tabla de valores, representar gráficamente y ha-

llar la expresión algebraica de una función de primer grado. Representar gráficamente una función cuadrática y determinar

su expresión algebraica. Determinar la expresión algebraica de una función de primer

grado a partir de la pendiente y la ordenada en el origen. Hallar el vértice de una parábola a partir de su expresión alge-

braica. Determinar el valor de una variable en una función cuadrática

dado un punto de esta. Obtener la expresión de una función cuadrática dados el vérti-

ce y la relación con otra función.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación) Construir una tabla de valores y representar gráficamente una

función de primer grado. Determinar la pendiente de la recta y la ordenada en el origen

de una función de primer grado, y clasificarla. Obtener la expresión algebraica de una función afín a partir de

una tabla de valores y representarla. Reconocer las funciones de segundo grado y su representa-

ción gráfica. Calcular el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte de

una función cuadrática, y representarla gráficamente. Determinar ciertas características que presentan las funciones

cuadráticas en su expresión algebraica a partir de la gráfica. Determinar las diferencias de dos gráficas a partir de las

diferencias en su expresión algebraica.

Libro del alumno Comprender e interpretar adecuadamente la información de dos

anuncios para resolver una situación. Aplicar las operaciones aritméticas y las funciones para trabajar

aspectos cuantitativos de la realidad y llegar a soluciones prácti-cas.

Determinar las características de una función a partir de su ex-presión algebraica.

Utilizar recursos digitales para dibujar una parábola aplicando un método determinado.

Comparar dos parábolas representadas utilizando un programa digital.

Material complementario Escribir la expresión algebraica de funciones a partir de distintos

enunciados asociados a situaciones cotidianas. Construir tablas de valores de funciones. Determinar analíticamente valores de una función a partir de su

expresión algebraica. Representar gráficamente funciones lineales. Determinar e interpretar valores de funciones a partir de su

representación gráfica.

© grupo edebé 116






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Conocer la generación de una función lineal en un caso real a partir de una aplicación interactiva. (Página 214).@ Analizar las formas que adopta una parábola al variar sus parámetros a partir de una aplicación interactiva. (Página 221).


• Funciones de primer y segundo grado. (Actividad).• Elementos de una parábola. (Animación).• Dependencia entre variables. (Animación).• Funciones de primer segundo grado. (Presentación).• Enlaces web.

© grupo edebé 117



• Determinar la pendiente de una recta y la ordenada en el origen de una función.• Utilizar la representación gráfica de funciones para resolver problemas.• Interpretar y determinar las características generales de una función dada por su gráfica.• Clasificar y determinar el tipo de gráfica de una función de primer o de segundo grado a partir de su expresión algebraica.• Representar gráficamente funciones de primer y de segundo grado, y asociar su representación a rectas y a parábolas.• Reconocer una parábola y determinar sus elementos.• Construir tablas de valores y obtener la fórmula de dependencias funcionales dadas (de funciones de primer grado) mediante descripciones verbales.



© grupo edebé 118


METODOLOGÍA

















Estructura de la Unidad 9: Funciones de primer y segundo grado– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de conocer y

utilizar las funciones de primer y segundo grado.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 119





unidad.– Crónica matemática: interpretar diversos cuadros de texto sobre el método del sastre para construir parábolas

y sobre las máximas pendientes permitidas en las carreteras y en los túneles. Resolver unas cuestiones referentes a la trayectoria parabólica que describe una pelota.

© grupo edebé 120


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 123


UNIDAD DIDÁCTICA 10: Estudio de otras funciones


Competencia matemática (M)• Aplicar las funciones de

proporcionalidad inversa, exponenciales y logarítmicas en el estudio de situaciones reales.

• Utilizar racionalmente la calculadora científica en situaciones que requieren cálculo exponencial y logarítmico.

• Aplica las funciones de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica para interpretar situaciones reales. (M)

• Utiliza racionalmente la calculadora en situaciones que requieren cálculo exponencial y logarítmico. (M)

• Representar gráficamente e interpretar las funciones de proporcionalidad inversa, exponenciales y logarítmicas.

• Utilizar de forma crítica la calculadora y el ordenador en los cálculos y la representación de funciones.

• Interpretar y presentar la información a partir de funciones de proporcionalidad inversa, exponenciales y logarítmicas.

• Identificar magnitudes inversamente proporcionales y relacionarlas con la gráfica de una función de proporcionalidad inversa.

• Deducir las características de las funciones de proporcionalidad inversa, de las exponenciales y de las logarítmicas.

• Calcular la función inversa de funciones de primer grado, de funciones cuadráticas, de funciones exponenciales y de funciones logarítmicas.

• Identificar la función logarítmica como la inversa de la función exponencial.

• Distinguir y representar gráficamente las funciones de proporcionalidad inversa, las exponenciales y las logarítmicas.

• Reconocer la aplicación de las funciones de proporcionalidad inversa, exponenciales y logarítmicas en el estudio de diferentes situaciones.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (CIMF)• Reconocer la influencia de la

actividad científica en el medio ambiente que permita la preservación de especies.

• Reconoce la influencia de la actividad científica en el análisis del medio ambiente y la preservación de las especies. (CIMF)

Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar las tecnologías digitales en la

representación, la simulación y el análisis gráfico.

• Utiliza las tecnologías digitales en la representación, la simulación y el análisis gráfico. (TI-D)

• Usar de forma adecuada la calculadora y el ordenador en la realización de cálculos y representación de funciones.

© grupo edebé 124


CONTENIDOS

C P V

• Magnitudes inversamente proporcionales. Constante de proporcionalidad inversa.

• Función de proporcionalidad inversa. • Gráfica de una función de proporcionalidad inversa. Hi-

pérbola.• Función exponencial. • Gráfica de la función exponencial.• Función logarítmica. • Gráfica de la función logarítmica.• Función inversa de una función. • Función inversa de la función exponencial. • Función inversa de la función logarítmica.

• Obtención de la tabla de valores y de la expresión analí-tica de una función de proporcionalidad inversa a partir de un enunciado verbal.

• Representación gráfica de una función de proporcionali-dad inversa.

• Resolución de problemas relacionados con las funciones de proporcionalidad inversa.

• Construcción de tablas de valores y representación grá-fica de las funciones exponenciales.

• Identificación de las características de las funciones ex-ponenciales.

• Comparación de las gráficas de las funciones exponen-ciales según si la base es mayor o menor que 1.

• Utilización de la representación gráfica de funciones para la comprensión de distintas situaciones.

• Construcción de tablas de valores y representación grá-fica de las funciones logarítmicas.

• Identificación de las características de las funciones lo-garítmicas.

• Comparación de las gráficas de las funciones logarítmi-cas según si la base es mayor o menor que 1.

• Obtención de la función inversa de una función de pri-mer grado, de una función cuadrática, de una función exponencial y de una función logarítmica.

• Identificación de la función logarítmica como la inversa de la función exponencial a partir de sus gráficas.

• Adquirir el hábito de realizar una cuidadosa presentación de gráficas de funciones.

• Valorar el uso de las funciones para describir procesos de la naturaleza y de la vida cotidiana.

• Uso racional del ordenador y la calculadora. • Análisis crítico de las informaciones del entorno presen-

tadas en forma de tablas y gráficas. • Utilización racional de la calculadora y las TIC para efec-

tuar cálculos logarítmicos. • Colaboración con los compañeros y compañeras en la

aplicación de las funciones a otras áreas.


Educación para la salud. La actividad inicial puede servir para hablar de los beneficios de distintos alimentos.

© grupo edebé 125




1. Función de proporcionalidad inversa• Reconocer en un ejemplo concreto una situación de dependencia entre dos magnitudes inversamente proporcionales.• Observar la tabla de valores, la representación gráfica y la expresión algebraica de dicha función.• Leer el nombre que recibe dicha función así como su gráfica.• Leer la definición de función de proporcionalidad inversa.• Analizar, a partir de la expresión algebraica y la correspondiente tabla de valores de dos ejemplos concretos, la gráfica de la función de proporcionalidad inversa.• Leer la definición de hipérbola.• Observar, en dos gráficas, la situación de las ramas de la hipérbola en los cuadrantes dependiendo del signo de la constante de proporcionalidad inversa.

2. Función exponencial• Conocer la existencia de funciones en las que la variable independiente va asociada al exponente de una potencia y leer el nombre que reciben dichas funciones.• Exponer que las funciones exponenciales se plantean en diversas situaciones de la vida real y leer acerca de una situación en la que la relación de dependencia entre las dos va-

riables viene dada por una función exponencial.• Leer la definición de función exponencial.• Recordar las teclas de la calculadora que permiten calcular una potencia y cambiar el signo de un número.• Leer que si la base de una función exponencial es mayor o menor que 1 existen dos tipos de gráficas.• Construir la gráfica de una función exponencial cuya base es mayor que 1 y observar sus características.• Construir la gráfica de una función exponencial cuya base es menor que 1 y observar sus características.• Fijarse en que la función y = ax es un caso particular de la función y = kax y en el valor que representa la constante k.• Fijarse en que las gráficas de las dos funciones exponenciales del texto son simétricas respecto del eje de ordenadas.

3. Función logarítmica• Conocer la existencia de funciones en las que la variable independiente va asociada a un logaritmo y leer el nombre que reciben dichas funciones.• Exponer que las funciones logarítmicas se plantean en diversas situaciones de la vida real y leer acerca de una situación en la que la relación de dependencia entre las dos varia-

bles viene dada por una función logarítmica.• Leer la definición de función logarítmica.• Fijarse en los logaritmos más utilizados, en el nombre que reciben dichos logaritmos y en la forma de escribirlos.• Recordar las teclas de la calculadora que permiten calcular el logaritmo decimal y el logaritmo neperiano de un número positivo.• Leer que si la base de una función logarítmica es mayor o menor que 1 existen dos tipos de gráficas.• Construir la gráfica de una función logarítmica cuya base es mayor que 1 y observar sus características.• Construir la gráfica de una función logarítmica cuya base es menor que 1 y observar sus características.• Fijarse en que la calculadora científica solo permite hallar los logaritmos decimales o neperianos, y leer la manera de obtenerlos mediante la fórmula del cambio de base.• Fijarse en que las gráficas de las dos funciones logarítmicas del texto son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.@ Visualizar los gráficos de funciones de la forma y = abx a partir de un applet. (Página 235).

© grupo edebé 126


4. Función inversa de una función• Considerar una tabla de valores correspondiente a una función de primer grado; leer que la tabla de valores que se obtiene al intercambiar entre sí los valores de las dos varia-

bles corresponde a la función inversa de la función inicial, y observar cómo se denota la función inversa.• Observar las gráficas de una función y de su función inversa, y percatarse de que son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.• Seguir los pasos del procedimiento que permite obtener la expresión algebraica de la función inversa de una función de primer grado.• Reconocer que la función inversa de la función de proporcionalidad inversa es la misma función.• Considerar una tabla de valores correspondiente a una función cuadrática; advertir que la tabla de valores que se obtiene al intercambiar entre sí los valores de las dos variables

no corresponde a ninguna función, y leer la condición necesaria para que una función tenga inversa.• Leer la definición de función inyectiva.• Fijarse en que la función obtenida al restringir el dominio de una función cuadrática tiene inversa; observar la manera de proceder para obtener la expresión algebraica de la fun -

ción inversa, y advertir en una figura que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Leer la correspondiente definición.• Considerar una función exponencial concreta y construir la tabla de valores y la gráfica correspondientes.• Obtener la tabla de valores correspondiente al intercambio de los valores de las variables y observar que dicha tabla corresponde a la función inversa de la anterior. Construir la

gráfica de dicha función inversa.• Representar en una sola gráfica ambas funciones y constatar gráfica y analíticamente que la función inversa de la función exponencial es la función logarítmica. • Leer la definición de la relación entre las funciones exponencial y logarítmica.@ Consultar una página web y observar la gráfica de una función, su identificación y sus características.

5. Representación gráfica de funciones con ordenador• Observar las explicaciones de cómo representar las funciones exponencial y logarítmicas utilizando el programa GeoGebra.• Comprobar con el programa que las funciones exponencial y logarítmica y sus funciones inversas son simétricas


© grupo edebé 127


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer otros tipos de funciones a las ya estudiadas.• Construir la gráfica de la función que representa el crecimiento de una bacteria del cuerpo humano teniendo en cuenta el tiempo de

incubación y la cantidad de bacterias reproducidas.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Dadas las funciones que representan el crecimiento de dos especies antagónicas de cangrejos, elaborar las tablas y gráficas

correspondientes así como valorar la tendencia evolutiva de ambas especies.• A partir de la función que corresponde a la velocidad del vaciado de una piscina, representar la gráfica correspondiente y calcular

determinados volúmenes y porcentajes en función de determinados tiempos.@ Con la ayuda de diversos enlaces, conocer y practicar el cálculo de la magnitud que mide el brillo de las estrellas.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, antes de abordar la definición de función de proporcionalidad inversa, sería conveniente que el alumno/a identifique el uso de este tipo de proporcionalidad en la vida cotidiana. Es importante trabajar el procedimiento para obtener la expresión algebraica de una función de proporcionalidad inversa en caso de que la función esté expresada a partir de una tabla de valores o de su gráfica, hallan-do primeramente el valor de la constante de dicha proporcionalidad.

• En el apartado 2, pueden introducirse aspectos relacionados con la educación para la paz y la salud, por ejemplo, explicando que la des-composición de los materiales radiactivos sigue una ley de decrecimiento exponencial.

• En el apartado 3, pueden introducirse los logaritmos a partir de aspectos relacionados con la educación para la salud y con la educación cívica. Así, la intensidad sonora, medida en decibelios, es una medida logarítmica. Las autoridades públicas en todo el mundo utilizan la denominada escala dB(A), o decibelios (A), para cuantificar las medidas de sonido; de este modo, pueden llevarse a cabo estudios sobre el sonido/ruido (de locales, de leyes contra el ruido, etc.) y los trastornos que provocan, utilizando los medios de comunicación para hallar los datos, y discutir sobre los límites (en dB) máximos permitidos.

• En el apartado 4, para tratar la función inversa puede recurrirse a los diagramas de Venn o a tablas para facilitar su comprensión. Para ello, pueden proponerse ejercicios sencillos con la tabla de una función de manera que el alumno/a deba completar la tabla de la función inversa [f -1 (x)] y, posteriormente, llevar a cabo su representación gráfica y obtener su expresión algebraica.

© grupo edebé 128



1. Función de proporcionalidad inversa Ficha 1. Función de proporcionalidad inversa.

2. Función exponencial Ficha 2. Actividad 1.

3. Función logarítmica Ficha 2. Actividad 2.

4. Función inversa de una función Ficha 2. Actividades 3 y 4.

2. Función exponencial Ficha 3. Actividad 1, 3, 7, 8, 9 y 10.

3. Función logarítmica Ficha 3. Actividades 1, 2, 4, 5 y 6.

© grupo edebé 129



Libro del alumno• Contestar preguntas sobre características generales de las

funciones exponenciales y logarítmicas.• Interpretar la relación de inversabilidad de las funciones logarít-

mica y exponencial.• Representar gráficamente distintas funciones, determinar el

punto de corte y comparar su crecimiento.• Representar una función exponencial y una logarítmica, y obte-

ner el dominio y el recorrido de cada una.• Resolver un problema sobre una situación cotidiana relativa a

funciones de proporcionalidad inversa.• Determinar el valor de una variable a partir de una expresión

logarítmica y su representación gráfica.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Representar gráficamente una función y determinar su cons-

tante de proporcionalidad.• Responder a preguntas sobre características de las funciones

exponenciales y logarítmicas.• Obtener el dominio y el recorrido de funciones exponenciales y

logarítmicas.• Asociar cada expresión algebraica a la gráfica correspondien-

te.• Resolver un problema sobre una situación cotidiana mediante

la aplicación de una ecuación logarítmica.• Resolver dos problemas sobre situaciones cotidianas relativos

a funciones de proporcionalidad inversa.

Libro del alumno • Resolver situaciones prácticas mediante funciones de proporcio-

nalidad inversa, exponenciales y logarítmicas.• Confeccionar tablas de valores y las correspondientes gráficas.• Utilizar los procedimientos de la metodología científica en la inter-

pretación de datos para sacar conclusiones y hacer predicciones.• Entender los conceptos de magnitud aparente y absoluta de una

estrella, y relacionarlos con la distancia a que se encuentra.• Representar gráficamente una función logarítmica y observar su

dominio, su crecimiento y su decrecimiento.

Material complementario• Calcular la edad de muestras de fósiles a partir del análisis de una

función exponencial.• Determinar pares de valores de la expresión analítica de una fun-

ción.• Elaborar la tabla de valores de una función y representarla gráfi-

camente.• Decidir el dominio de una función para dibujarla.• Hallar expresiones algebraicas de funciones de proporcionalidad

inversa y exponenciales que describen situaciones reales.

© grupo edebé 130






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Visualizar los gráficos de funciones de la forma y = abx a partir de un applet. (Página 235).@ A partir de un enlace, observar la gráfica de una función, su identificación y sus características. (Página 241).


• Estudio de otras funciones. (Resolución de problemas).• Enlaces web.

© grupo edebé 131



• Identificar magnitudes inversamente proporcionales y relacionarlas con la gráfica de una función de proporcionalidad inversa.• Deducir las características de las funciones de proporcionalidad inversa, de las exponenciales y de las logarítmicas.• Calcular la función inversa de funciones de primer grado, de funciones cuadráticas, de funciones exponenciales y de funciones logarítmicas.• Identificar la función logarítmica como la inversa de la función exponencial.• Distinguir y representar gráficamente las funciones de proporcionalidad inversa, las exponenciales y las logarítmicas.



© grupo edebé 132


METODOLOGÍA

















Estructura de la Unidad 10: Estudio de otras funciones– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de conocer y

utilizar el estudio de otras funciones en situaciones reales y contextualizadas.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 133





unidad.– Crónica matemática: interpretar diversos cuadros de texto sobre: la carga y la descarga de un condensador y

los decibelios. Leer una nota histórica acerca de Euler. Resolver una actividad relativa a las funciones exponenciales.

© grupo edebé 134


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 137


UNIDAD DIDÁCTICA 11: Estudios estadísticos


Competencia matemática (M)• Formular y resolver problemas

relacionados con la interpretación y la organización de datos en contextos reales.

• Interpretar y presentar la información a partir del uso de tablas, gráficos y parámetros estadísticos, y valorar su utilidad en la sociedad.

• Formula y resuelve problemas relacionados con la interpretación y la organización de datos en contextos reales. (M)

• Interpreta y presenta la información a partir del uso de tablas y gráficos, y valora su utilidad en la sociedad. (M)

• Interpreta y presenta la información utilizando parámetros estadísticos. (M)

• Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos sin agrupación de datos y con agrupación de datos, tanto unidimensionales como bidimensionales.

• Calcular e interpretar los parámetros estadísticos más usuales.

• Identificar los siguientes conceptos en un estudio estadístico: población, individuo, muestra, variable estadística, dato.

• Distinguir los diferentes tipos de variables estadísticas.• Elaborar e interpretar tablas de distribución de

frecuencias, tanto con los datos sin agrupar como agrupados.

• Construir los diferentes tipos de gráficos estadísticos.• Leer e interpretar información estadística expresada

mediante tablas de distribución de frecuencias o mediante gráficos.

• Conocer, calcular e interpretar los parámetros de centralización y de dispersión de una distribución estadística.

• Mostrar hábitos de precisión, orden y claridad en el tratamiento de la información por medios estadísticos.

Competencia social y ciudadana (SC)• Participar activamente en las

iniciativas que se propongan en un equipo de trabajo para conseguir un objetivo común.

• Participa activamente en la realización de estudios estadísticos. (SC)

Autonomía e iniciativa personal (AIP)• Generar ideas, propuestas... en

diferentes contextos y situaciones, partiendo de una información y componentes previos.

• Genera ideas y propuestas a partir de contextos estadísticos, partiendo de una información previa. (AIP)

Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar la calculadora y el ordenador

para efectuar cálculos estadísticos.

• Utiliza la calculadora y el ordenador para efectuar cálculos estadísticos. (TI-D)

• Valorar la utilidad del uso de la calculadora y el ordenador en los estudios estadísticos.

• Utilizar correctamente la calculadora y el ordenador en los estudios estadísticos.

© grupo edebé 138


CONTENIDOS

C P V

• Población, individuo, muestra, variable estadística, dato. • Tipos de variables estadísticas. • Tablas estadísticas para datos no agrupados y

agrupados. • Gráficos estadísticos: diagrama de barras, diagrama de

barras horizontales, pictograma, diagrama de sectores, histograma, polígonos de frecuencias, cartograma, pirámide de población, gráfico evolutivo y gráfico comparativo.

• Parámetros de centralización: moda, mediana y media aritmética.

• Parámetros de dispersión: recorrido, desviación media, varianza y desviación típica.

• Variable estadística bidimensional y distribución bidimensional.

• Tablas estadísticas de doble entrada para datos no agrupados y agrupados.

• Gráficos estadísticos: diagrama de barras tridimensionales, histograma tridimensional, diagrama de dispersión o nube de puntos.

• Relación entre variables estadísticas: dependencia funcional, dependencia estática o correlación, independencia.

• Grado, sentido y tipo de correlación. • Covarianza y coeficiente de Pearson. • Recta de regresión lineal.

• Elaboración e interpretación de tablas de distribución de frecuencias para datos no agrupados y agrupados.

• Construcción e interpretación de diagramas de barras, diagramas de barras horizontales, pictogramas, diagra-mas de sectores, histogramas, polígonos de frecuen-cias, cartogramas, pirámides de población, gráficos evo-lutivos y gráficos comparativos.

• Elección y construcción del tipo de gráfico más adecua-do en cada estudio estadístico.

• Cálculo de la media aritmética, la moda y la mediana de una distribución de datos.

• Cálculo del recorrido, la desviación media, la varianza y la desviación típica, y el coeficiente de variación de una distribución de datos.

• Interpretación de los valores de los parámetros de cen-tralización y de los valores de los parámetros de disper-sión.

• Elección y construcción del tipo de gráfico más adecua-do en cada estudio estadístico.

• Determinación del tipo de dependencia entre dos varia-bles estadísticas.

• Cálculo de la varianza y del coeficiente de Pearson de una variable bidimensional.

• Predicción sobre rectas de regresión.

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de la estadís-tica para conocer y resolver diversas situaciones relati-vas al entorno.

• Uso racional de la calculadora y el ordenador en el cál-culo estadístico.

• Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la clari-dad en el tratamiento y la presentación de datos y resul-tados.

• Valoración de las TIC en la obtención, procesamiento y transmisión de la información.

• Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como una forma eficaz para realizar determinadas actividades.

• Análisis crítico de las informaciones del entorno presen-tadas en forma de tablas y gráficas.


Educación ambiental. La actividad inicial puede utilizarse para comentar planes de actuación en el medio ambiente de nuestro entorno.

© grupo edebé 139




1. Estadística unidimensional• Leer y comprender la definición del concepto de estadística.• Recordar los conceptos de población y de individuo.• Recordar el concepto de variable estadística y leer la clasificación de las variables estadísticas según el valor que puedan tomar sus datos.• Recordar el concepto de muestra, leer acerca de una forma de obtener muestras representativas y el nombre que recibe, y reflexionar acerca del tamaño de la muestra.• Reflexionar sobre el hecho de que las tablas y los gráficos facilitan la ordenación y el análisis de los datos que se recogen en un estudio estadístico.• Considerar que al construir una tabla estadística se debe tener en cuenta la clase de variable estadística.• Fijarse en una serie de datos correspondientes a una variable cuyos datos no están agrupados y observar cómo proceder para calcular cada una de las columnas de la tabla de

distribución de frecuencias: frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada y frecuencia relativa acumulada.• Reflexionar acerca de la necesidad de agrupar en intervalos los datos correspondientes a una variable cuantitativa continua.• Seguir cada uno de los pasos del procedimiento para efectuar la agrupación en intervalos de una serie de datos; fijarse en los conceptos de recorrido, intervalo de clase y marca

de clase, y observar la aplicación del procedimiento en un ejemplo concreto.• Observar la tabla de frecuencias correspondiente a una variable cuyos datos están agrupados.• Reflexionar sobre el hecho de que los gráficos estadísticos facilitan la interpretación de las tablas estadísticas.• Leer una descripción y observar los gráficos estadísticos más empleados para variables cualitativas y cuantitativas discretas: diagrama de barras, diagrama de barras horizonta-

les, pictograma y diagrama de sectores.• Leer una descripción y observar los gráficos estadísticos más empleados para variables cuantitativas continuas: histograma, polígonos de frecuencias, cartograma y pirámide de

población.• Leer una descripción y observar un cartograma, una pirámide de población, un gráfico evolutivo y un gráfico comparativo.• Reflexionar sobre el hecho de que es necesario analizar los datos recogidos en un estudio estadístico y leer el nombre que reciben los valores que permiten describir la informa-

ción contenida en las tablas y en los gráficos.• Leer la definición de moda y su representación; considerar como moda la marca de clase del intervalo con mayor frecuencia absoluta si los datos están agrupados en intervalos,

y leer el nombre que recibe dicho intervalo.• Fijarse en el significado del símbolo de sumatorio.• Leer la definición de media aritmética y su representación; considerar como valores las marcas de clase si los datos están agrupados en intervalos, y leer la fórmula para calcular

la media aritmética.• Leer la definición de mediana y su representación; la manera de calcularla si el número de datos es impar, la de calcularla si los datos están agrupados en intervalos y, en este

caso, leer la fórmula para calcularla si el número de datos es impar y la manera de hallarla si el número de datos es par.• Observar en un ejemplo resuelto el cálculo de los parámetros de centralización de una distribución de datos.• Comprobar la existencia de unos valores que informan sobre la dispersión de los datos y leer el nombre que reciben dichos valores.• Leer la definición de recorrido y su representación, y la manera de hallarlo si los datos están agrupados en intervalos.• Leer la definición de desviación media y su representación; considerar como valores las marcas de clase si los datos están agrupados en intervalos, y leer la fórmula para calcu-

lar la desviación media.• Leer la definición de varianza y su representación; considerar los valores de la variable y las frecuencias que deben tomarse si los datos están agrupados en intervalos, y leer las

dos fórmulas equivalentes para calcularla.

© grupo edebé 140


• Leer la definición de desviación típica, la forma de representarla y la fórmula para calcularla.• Observar en un ejemplo resuelto el cálculo de los parámetros de dispersión de una distribución de datos.

2. Estadística bidimensional• Reflexionar sobre la necesidad de estudiar conjuntamente dos características de una misma población.• Fijarse en una serie de datos correspondientes a la observación conjunta de dos características de una misma población y en la forma de anotarlos.• Leer la definición de variable estadística bidimensional y la forma de representarla.• Leer el nombre que recibe el conjunto de todos los datos procedentes de una variable estadística bidimensional.• Fijarse en que en los estudios de estadística bidimensional se pueden utilizar los mismos conceptos que en estadística unidimensional.• Reconocer en un ejemplo resuelto la variable estadística bidimensional considerada.• Reflexionar sobre el hecho de que las tablas y los gráficos facilitan la ordenación y el análisis de los datos que se recogen en un estudio estadístico.• Leer sobre la existencia de tablas en las cuales los datos se agrupan en filas y en columnas.• Fijarse en una serie de datos correspondientes a variables con datos no agrupados y observar cómo proceder para calcular cada una de las columnas y las filas de una tabla de

doble entrada.• Fijarse en los valores que contienen la última fila y la última columna de la tabla de doble entrada.• Observar que la suma de las frecuencias absolutas de una columna es la frecuencia absoluta del valor de X correspondiente a esa columna y la suma de las frecuencias absolu-

tas de una fila es la frecuencia absoluta del valor de Y correspondiente a esa fila.• Reflexionar sobre la necesidad de agrupar en intervalos los datos correspondientes a variables cuantitativas continuas.• Seguir cada uno de los pasos del procedimiento para efectuar la agrupación en intervalos de una serie de datos y fijarse en los conceptos de intervalo de clase y marca de clase.• Observar la tabla de doble entrada correspondiente a la serie de datos y fijarse en el número de columnas y de filas que tiene y en la manera de obtener los números de cada

una de las celdas.• Reflexionar sobre el hecho de que los gráficos estadísticos facilitan la interpretación de las tablas estadísticas de doble entrada.• Observar la manera de elaborar los gráficos más empleados en estadística bidimensional: diagrama de barras tridimensionales para representar variables cualitativas y cuantitati-

vas discretas, histograma tridimensional para representar variables cuantitativas continuas y diagrama de dispersión o nube de puntos para representar variables cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas.

• Reflexionar sobre el hecho de que es necesario analizar los datos recogidos en un estudio estadístico y averiguar si las dos variables estadísticas unidimensionales que forman la variable estadística bidimensional presentan algún tipo de relación.

• Analizar, en una situación de la vida cotidiana, una dependencia entre dos de las variables estadísticas consideradas y leer el nombre y la definición de dicha dependencia.• Reflexionar, mediante un ejemplo, acerca de la relación que cabe esperar entre dos variables estadísticas y leer el nombre y la definición de dicha relación.• Observar, mediante un ejemplo, que no existe ninguna relación entre dos variables estadísticas consideradas y leer el nombre y la definición que reciben dichas variables.• Leer un texto referente a la correlación espuria.• Observar la nube de puntos de una dependencia funcional; la de una dependencia estadística o correlación, y la de independencia entre dos variables.• Observar, mediante diagramas de dispersión, la clasificación según el grado, el sentido y el tipo de distintas situaciones de dependencia estadística o correlación.@ Visualizar en una página web un ejemplo de relación de dependencia estadística.• Recordar algunos de los parámetros que se definen para una variable estadística y sus fórmulas.• Leer sobre la existencia de valores que miden la correlación entre dos variables estadísticas. • Leer la definición de covarianza y las fórmulas equivalentes para calcularla.• Observar el significado del símbolo de doble sumatorio.• Leer la definición de coeficiente de Pearson y la fórmula para calcularlo.• Conocer los valores entre los que está comprendido el coeficiente de Pearson y observar en unos diagramas de dispersión la relación que existe entre el coeficiente de Pearson

y la correlación.

© grupo edebé 141


• Observar, mediante un ejemplo resuelto, la manera de proceder para calcular el coeficiente de Pearson de una distribución bidimensional.@ Utilizar una aplicación interactiva para practicar la representación de datos y el cálculo de correlaciones entre dos variables estadísticas. • Reflexionar sobre la necesidad de encontrar alguna manera de predecir los valores de una de las variables de una distribución bidimensional si se conocen los de la otra y consi -

derar que esto es posible si hay una curva en torno a la cual se agrupan los datos.• Leer el nombre que recibe el análisis que pretende determinar la curva que mejor aproxima un diagrama de dispersión y el que pretende determinar la recta que se aproxima a

una nube de puntos.• Observar que es fácil hallar una recta que se aproxime a una nube de puntos y reconocer que es un método subjetivo.• Leer el nombre de un criterio que permite determinar la recta que mejor se ajusta a la distribución y fijarse en dos formas de expresar la ecuación de dicha recta y en el nombre

que recibe.• Leer cuál es la base del criterio de los mínimos cuadrados. • Reconocer que la recta de regresión de Y sobre X permite predecir para un valor de x, el valor de y pero que, en general, el resultado obtenido no será el valor real.• Ser conscientes de que, para hacer predicciones de un valor de X a partir de un valor de y se deberá considerar la recta de regresión de X sobre Y y fijarse en dos formas de ex-

presar la ecuación de dicha recta.• Relacionar el grado de proximidad de las dos rectas de regresión con la correlación lineal entre las dos variables estadísticas.• Reflexionar acerca de las limitaciones que presentan las predicciones realizadas a partir de una recta de regresión.• Fijarse en el punto por el que pasan las dos rectas de regresión, en la pendiente de ambas rectas y en la relación entre las dos pendientes.• Observar, mediante un ejemplo resuelto, la manera de calcular las rectas de regresión y valorar las predicciones efectuadas.


© grupo edebé 142


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer y aplicar los estudios estadísticos.• A partir de los datos del reciclaje de vidrio de algunas comunidades, realizar determinados cálculos y elaborar gráficos comparativos por

habitante de dicho tipo de reciclaje.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Representar en algunos gráficos y calcular valores de dispersión a partir de las temperaturas medias mensuales y de la lluvia caída en

una población determinada.• Hallar los datos perdidos del importe de unas ventas de las que se conoce información anterior y posterior a dicho período.@ Con la ayuda de diversos enlaces, conocer los niveles de reciclaje de vidrio en distintas comunidades autónomas y elaborar un estudio estadístico a partir de las cuestiones que se plantean.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, es muy conveniente mostrar ejemplos de las utilidades prácticas de la estadística. Además, como objetivo para las en-señanzas transversales educación moral y cívica y educación del consumidor, debe potenciarse una mirada crítica sobre toda la informa-ción presentada de forma estadística. Pueden buscarse estudios de este tipo en los medios de comunicación y analizar sus elementos (tablas, gráficos, parámetros y, especialmente, conclusiones). Para ello, deben analizarse cuestiones como las dimensiones de los gráfi -cos, la aparición de todos los datos relevantes en las tablas o la ocultación de algunos parámetros, y dedicar especial atención al estudio de las conclusiones. Finalmente, puede analizarse la conveniencia o no de ciertas estadísticas, por la poca información que aportan, o bien por su nula capacidad de predicción.

• En el apartado 2, uno de los principales obstáculos con que puede encontrarse el alumnado al trabajar la estadística bidimensional no es conceptual, sino práctico ya que la manipulación y el tratamiento de listados de datos bidimensionales pueden resultar, además de tedio-sos, una fuente de errores. Por ello, hay que insistir en que debe prestarse mucha atención al tratamiento de los datos y su plasmación en tablas así como en la interpretación de los datos, una vez realizado el estudio descriptivo puesto que en la mayoría de los estudios, las variables acostumbran a tener relaciones complejas que no pueden ser reducidas a afirmaciones sin matices. Tanto en este apartado como en el anterior sería muy interesante, y casi imprescindible, presentar algún tipo de aplicación o programa para efectuar el trabajo estadístico; para ello se pueden utilizar las herramientas que ofrece cualquier hoja de cálculo. También podría proponerse realizar y pre-sentar trabajos por grupos en los que se estudiasen variables bidimensionales como las siguientes: horas de estudio semanales y resul-tados en las diferentes materias, edad y altura (en todo el instituto), número de hermanos y resultados en las diversas asignaturas..., para la clasificación de las configuraciones en los problemas de contar. A partir del esquema de las diferentes configuraciones, el alumno/a adquiere una visión global de todo lo aprendido en la unidad.

© grupo edebé 143



1. Estadística unidimensional Ficha 1. Estadística unidimensional.

2. Estadística bidimensional• Ficha 2. Estadística bidimensional.

1. Estadística unidimensional Ficha 3. Actividad 1.

2. Estadística bidimensional Ficha 3. Actividades 2, 3, 4 y 5.


Libro del alumno• Indicar el tipo de variable estadística de distintos estudios.• Calcular la media aritmética y la moda de un conjunto de valo-

res.• Construir una tabla de doble entrada y el diagrama de barras y

el diagrama de dispersión correspondiente.• Indicar la clase modal de un conjunto de valores, construyendo

previamente una tabla de doble entrada.• Hallar el tipo de relación entre distintos pares de variables.• Hallar el valor aproximado del coeficiente de Pearson a partir

de un diagrama.• Calcular el coeficiente de Pearson de una distribución y extra-

polar un resultado a partir de la distribución.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Completar una tabla de distribución de frecuencias para una

variable estadística discreta y representar el diagrama de ba-rras de la variable.

• Completar una tabla de distribución de frecuencias para una variable estadística continua y representar el polígono de fre-cuencias de esta variable.

• Completar una tabla de doble entrada para una variable cuanti-tativa continua y determinar el histograma tridimensional co-rrespondiente.

• Calcular el coeficiente de correlación de unos determinados datos, representar el diagrama de dispersión y hallar la recta de regresión de Y sobre X.

• Relacionar cada gráfica con su correspondiente coeficiente de correlación.

Libro del alumno • Reconocer y diferenciar los distintos tipos de variables estadísti-

cas.• Elaborar tablas de valores estadísticos de doble entrada.• Confeccionar gráficos estadísticos, obtener información práctica

y establecer conclusiones a partir de ellos.• Identificar y calcular parámetros estadísticos de centralización y

de dispersión.• Identificar la dependencia funcional entre dos variables estadísti-

cas y realizar predicciones a partir del análisis de dicha depen-dencia.

Material complementario• Elaborar tablas de valores estadísticos y calcular las frecuencias

correspondientes.• Identificar y calcular parámetros estadísticos de centralización.• Confeccionar diagramas de sectores y de barras a partir de los

datos de una tabla de valores.• Calcular parámetros estadísticos de dispersión.• Analizar la existencia de datos atípicos en una serie.

© grupo edebé 144






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ A partir de un enlace dado, conocer diversos ejemplos de variables estadísticas bidimensionales. (Página 258).@ A partir de un enlace dado, visualizar un ejemplo de relación de dependencia estadística. (Página 263).@ Conocer una aplicación interactiva con la que practicar la representación de datos y el cálculo de correlaciones entre dos variables estadísticas. (Página 265).


• Estadística. (Resolución de problemas).• Enlaces web.

© grupo edebé 145



• Distinguir los diferentes tipos de variables estadísticas.• Elaborar e interpretar tablas de distribución de frecuencias, tanto con los datos sin agrupar como agrupados.• Construir los diferentes tipos de gráficos estadísticos.• Leer e interpretar información estadística expresada mediante tablas de distribución de frecuencias o mediante gráficos.• Conocer, calcular e interpretar los parámetros de centralización y de dispersión de una distribución estadística.• Mostrar hábitos de precisión, orden y claridad en el tratamiento de la información por medios estadísticos.



© grupo edebé 146


METODOLOGÍA






• Recursos digitales • Calculadora, ordenador y











Estructura de la Unidad 11: Estudio de otras funciones– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de conocer y

aplicar los estudios estadísticos en situaciones reales y contextualizadas.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 147





unidad.– Crónica matemática: interpretar unos cuadros de texto acerca de las letras del teclado de un ordenador y de

las aplicaciones profesionales de las matemáticas. Resolver una actividad relativa a los contenidos de la unidad. Conectarse a una página de Internet y observar las cifras de accidentalidad en las carreteras españolas.

© grupo edebé 148


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 151


UNIDAD DIDÁCTICA 12: Técnicas para contar


Competencia matemática (M)• Reconocer situaciones cotidianas en las

que intervienen las teorías combinatorias.

• Presentar de forma clara y razonada el proceso seguido y las soluciones obtenidas al resolver problemas de combinatoria.

• Presenta de forma clara y razonada el proceso seguido y las soluciones obtenidas al resolver problemas de combinatoria. (M)

• Reconoce situaciones cotidianas en las que intervienen las teorías combinatorias. (M)

• Utilizar distintas técnicas de conteo, como los diagramas en árbol, las tablas de contingencia, el principio multiplicativo o la combinatoria.

• Diferenciar de manera razonada los distintos tipos de configuraciones.

• Apreciar la utilidad de la combinatoria en la resolución de problemas de contar.

• Identificar problemas de contar en la vida cotidiana y las posibles configuraciones existentes.

• Distinguir entre variación ordinaria y variación con repetición.• Conocer el concepto de número factorial.• Conocer el concepto de número combinatorio.• Conocer y comprender las propiedades de los números

combinatorios.• Analizar el tipo de configuración mediante el empleo de las

preguntas clave.• Conocer y aplicar correctamente las fórmulas de las distintas

configuraciones estudiadas: variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias y combinaciones ordinarias.

• Utilizar el desarrollo del binomio de Newton mediante la aplicación de números combinatorios.

Competencia en comunicación lin-güística (CL)• Organizar la información, sintetizarla e

integrarla en los conocimientos previos para ordenarla y reelaborarla de la forma más adecuada al contexto.

• Organiza, sintetiza e integra la información en los conocimientos previos para reelaborarla de la forma más adecuada al contexto. (CL) • Presentar de manera clara y ordenada el proceso de

resolución de problemas de contar.Tratamiento de la información y competencia digital (TI-D)• Utilizar las tecnologías digitales para

efectuar recuentos de configuraciones y cálculos de combinatoria.

• Utiliza las tecnologías digitales para efectuar recuentos de configuraciones y cálculos de combinatoria. (TI-D)

Competencia para aprender a apren-der (AA)• Manejar de forma eficiente un conjunto

de recursos, técnicas y estrategias tanto en el trabajo individual como en el colectivo para emprender nuevos aprendizajes y garantizar su eficacia.

• Maneja recursos, técnicas y estrategias para contar y los aplica a nuevos aprendizajes. (AA)

• Realizar el recuento gráfico de configuraciones mediante el diagrama en árbol y la tabla de contingencia.

• Aplicar el principio multiplicativo para sucesos consecutivos, es decir, elecciones seguidas.

• Diferenciar las características que definen los distintos tipos de configuraciones mediante el empleo de diagramas en árbol.

• Adquirir un método de análisis ordenado y sistemático en la resolución de problemas de contar.

© grupo edebé 152


CONTENIDOS

C P V

• Diagramas en árbol. • Principio multiplicativo. • Tabla de contingencia.• Combinatoria. • Variaciones ordinarias, variaciones con repetición, per-

mutaciones ordinarias y combinaciones ordinarias. • Números factoriales y números combinatorios. • Triángulo de Tartaglia. • Binomio de Newton.

• Utilización del vocabulario propio de la combinatoria para recibir y transmitir información.

• Representación de diagramas en árbol. • Representación gráfica mediante tablas o esquemas

distintos de los diagramas en árbol. • Utilización del principio multiplicativo en los diagramas

que cumplan las condiciones necesarias.• Identificación de los distintos tipos de configuraciones

mediante el empleo de diagramas en árbol. • Aplicación de las fórmulas de variaciones ordinarias, va-

riaciones con repetición, permutaciones ordinarias y combinaciones ordinarias.

• Deducción de las fórmulas de las configuraciones estu-diadas.

• Cálculo de números factoriales y de números combina-torios.

• Aplicación de las propiedades de los números combina-torios.

• Resolución sistemática de problemas de contar.

• Valoración de la precisión, la simplicidad y utilidad del lenguaje de la combinatoria para representar comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana.

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de las técni-cas para contar para conocer y resolver diversas situa-ciones relativas al entorno.

• Hábito de utilizar el lenguaje empleado en combinatoria. • Confianza en las propias capacidades para afrontar pro-

blemas y efectuar cálculos con variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias y combinaciones ordinarias.

• Interés y respeto por las estrategias y soluciones a pro-blemas numéricos distintas de las propias.

• Uso racional de la calculadora para efectuar cálculos en los problemas de combinatoria.


Educación cívica y del consumidor. El profesor/a puede aprovechar las actividades de la unidad que se refieren a repartos entre grupos para fomentar actitudes equitativas y justas

© grupo edebé 153




1. Recuento gráfico de configuraciones• Reflexionar sobre cada uno de los resultados posibles que se pueden obtener en un caso concreto de la vida cotidiana y leer el nombre que reciben.• Leer la definición de configuración.• Representar gráficamente, mediante el empleo de un diagrama en árbol, un caso concreto de recuento de configuraciones.• Distinguir, a partir del ejemplo analizado, entre diagrama regular y no regular.• Fijarse en las preguntas que plantea un problema de contar.• Observar, a partir del ejemplo analizado, que el número de configuraciones resulta de multiplicar opciones y leer en qué consiste efectuar un recuento aplicando el principio multi-

plicativo.• Analizar la posibilidad de aplicar el principio multiplicativo según si el diagrama en árbol es regular o no.• Observar, en un ejemplo resuelto, la resolución de un problema mediante el empleo de un diagrama en árbol y fijarse en que no se puede aplicar el principio multiplicativo.• Leer la definición de tabla de contingencia.• Observar un ejemplo concreto de aplicación de una tabla de contingencia.

2. Combinatoria• Reflexionar acerca de que algunas veces no resulta práctica la utilización del diagrama en árbol o la aplicación del principio multiplicativo y percatarse de la existencia de otras

técnicas más prácticas.• Leer la definición de combinatoria. • Representar gráficamente, mediante el empleo de un diagrama en árbol, un caso concreto de recuento de configuraciones; analizar la importancia del orden de colocación de los

elementos y que no aparecen elementos repetidos, y leer el nombre que reciben dichas configuraciones.• Leer la definición de variaciones ordinarias y deducir la fórmula que permite calcular el número de variaciones ordinarias.• Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo del número de variaciones ordinarias a partir de la fórmula. • Fijarse en que, en las variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k, k debe ser menor o igual que n.• Representar gráficamente, mediante el empleo de un diagrama en árbol, un caso concreto de recuento de configuraciones; analizar la importancia del orden de colocación de los

elementos y que existe repetición de elementos, y leer la definición de variaciones con repetición.• Deducir la fórmula que permite calcular el número de variaciones con repetición y observar la aplicación de dicha fórmula en el ejemplo anterior.@ Analizar las variaciones a partir de una aplicación interactiva.• Analizar un ejemplo de recuento de configuraciones en el que importa el orden de colocación de los elementos; no aparecen elementos repetidos e intervienen todos los elemen-

tos en cada configuración, y leer el nombre que reciben dichas configuraciones.• Leer la definición de permutaciones ordinarias; deducir la fórmula que permite el número de permutaciones ordinarias, y observar la aplicación de dicha fórmula en un ejemplo.• Fijarse en que las permutaciones son un caso especial de variaciones.• Observar la tecla de la calculadora que permite obtener directamente el valor de un número factorial.• Fijarse en el valor de los números 1! y 0!.• Observar en unos ejemplos resueltos la aplicación del cálculo del número de permutaciones ordinarias.• Fijarse en que también puede darse el caso de permutaciones con repetición y en la fórmula correspondiente a dicha situación.

© grupo edebé 154


• Representar en una tabla un caso concreto de recuento de configuraciones; analizar que no importa el orden de colocación de los elementos y que no aparecen elementos repe-tidos, y leer la definición de combinaciones ordinarias.

• Deducir la fórmula que permite calcular el número de combinaciones ordinarias. • Fijarse en la existencia de combinaciones con repetición y en su fórmula.• Observar la aplicación del cálculo del número de combinaciones ordinarias en unos ejemplos resueltos.@ Calcular números combinaorios utilizando una aplicación interactiva.• Observar en una tabla la definición y las propiedades de los números combinatorios, su cálculo utilizando el triángulo de Tartaglia y su utilización en el desarrollo del binomio de

Newton.

3. Resolución de problemas• Leer el texto en el que se enumeran las tres preguntas claves que permiten clasificar los diferentes tipos de configuraciones estudiados: variaciones ordinarias, variaciones con

repetición, permutaciones ordinarias y combinaciones ordinarias.• Analizar un esquema que permite clasificar las distintas configuraciones de manera ordenada y sistemática atendiendo a las respuestas dadas a las preguntas clave.• Apreciar en los ejemplos resueltos la manera de abordar los problemas de contar mediante el planteamiento de las tres preguntas clave.

© grupo edebé 155


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer y utilizar las técnicas para contar y la combinatoria.• Elaborar un diagrama en árbol para determinar cuántas banderas distintas de tres franjas verticales se pueden crear a partir de cuatro

colores diferentes.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Utilizando un diagrama en árbol determinar cuántos menús distintos se pueden elaborar eligiendo los platos de entre una lista que

contiene diversas posibilidades de elección.• Calcular cuántas secuencias posibles de montaje tienen las siete piezas que componen un motor sabiendo que algunas de ellas deben

colocarse según determinadas condiciones.@ Con los enlaces facilitados, obtener información sobre el desarrollo de los playoff de la NBA y, a partir de una hoja de cálculo, determinar los distintos enfrentamientos que podrían tener lugar en las Finales de Conferencia.

COMPLEMENTARIAS En el apartado 1 y desde el inicio de la unidad, es conveniente que el profesor/a plantee situaciones de la vida real que presenten un re -cuento de configuraciones. De este modo, el profesor/a motiva al alumno/a en la investigación de situaciones y consigue introducirlo en el análisis de los problemas de contar. Con la finalidad de que se familiarice con el concepto de configuración y su representación gráfica, puede ser útil plantear trabajos en equipo que requieran una manipulación visual. Por ejemplo:

- Confeccionar un mural con todas las posibles plantas obtenidas si se tuvieran 2 tipos de raíz (axonomorfa y fasciculada), 2 tipos de tallo (herbáceo y leñoso) y 4 tipos de hojas (entera, dentada, serrada y lobulada).

- Escribir en un pentagrama algunas de las posibles melodías que podrían componerse a partir de la escala musical si consideramos cada nota diferente y que estas han de ir colocadas en distintas posiciones.

En el apartado 2, una de las dificultades que suelen encontrar los alumnos/as es la distinción de cada una de las configuraciones. Así, es preciso que se efectúe inicialmente, mediante un ejemplo, un diagrama en árbol que permita diferenciar cada uno de los tipos de configu-raciones estudiadas. La introducción de los nuevos conceptos puede provocar dificultades de comprensión en el alumno/a por lo que el profesor/a tendría que tratar de crear en la clase un lenguaje común, usando significados próximos al entorno social y cultural del alumno/a, y conseguir, a partir de ellos, un acercamiento progresivo y comprensivo a estos nuevos conceptos. Es necesario que el alumno/a conozca las fórmulas para cada tipo de configuración por lo que el profesor/a deberá insistir en el cálculo de estas fórmulas y, más tarde, en su comprobación mediante el razonamiento lógico utilizado en los diagramas en árbol.

En el apartado 3 es conveniente que el profesor/a destaque la importancia del planteamiento de las tres preguntas clave para la clasifica-ción de las configuraciones en los problemas de contar. A partir del esquema de las diferentes configuraciones, el alumno/a adquiere una visión global de todo lo aprendido en la unidad.

© grupo edebé 156



1. Recuento gráfico de configuraciones Ficha 1. Diagramas en árbol.

2. Combinatoria Ficha 2. Combinatoria.

2. Combinatoria Ficha 3. Actividad 3.

3. Resolución de problemas Ficha 3. Actividades 1, 2 y 4.


Libro del alumno Sumar números combinatorios. Utilizar las propiedades de los números combinatorios para hallar el

valor de una incógnita. Aplicar las fórmulas correctas para la obtención del número total de

configuraciones. Hallar las configuraciones posibles a partir de la elaboración de un

diagrama en árbol. Resolver problemas de contar aplicando el principio multiplicativo. Aplicar las propiedades de las probabilidades a la resolución de un

problema. Calcular el cociente de dos probabilidades conociendo la probabili-

dad condicionada de ambos.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación) Escribir las configuraciones posibles a partir de la elaboración de un

diagrama en árbol. Aplicar el principio multiplicativo en problemas de contar que cum-

plan las condiciones necesarias. Escribir las fórmulas de las distintas configuraciones estudiadas. Aplicar las fórmulas correctas para la obtención del número total de

configuraciones. Clasificar y calcular números factoriales y combinatorios. Utilizar los números combinatorios y el binomio de Newton para ob-

tener una potencia de un binomio. Formular las preguntas clave para deducir el tipo de configuración y

efectuar su cálculo. Resolver un problema de contar que no se limita a la aplicación

directa de la fórmula de un tipo de configuración.

Libro del alumno Confeccionar diagramas de árbol para organizar y ordenar los recuen-

tos de configuraciones. Reconocer situaciones cotidianas susceptibles de ser tratadas median-

te las teorías combinatorias. Aplicar el principio multiplicativo en la resolución de problemas de con-

tar. Elegir en cada momento la técnica para contar adecuada y justificar su

utilización. Efectuar recuentos de configuraciones utilizando una hoja de cálculo.

Material complementario Obtener el número total de configuraciones aplicando las fórmulas co-

rrectas. Elaborar un calendario para organizar los datos y facilitar los recuen-

tos. Decidir si para una situación determinada importa el orden de coloca-

ción de los elementos y pueden aparecer elementos repetidos o no. Seleccionar la información útil de una tabla. Aplicar las técnicas para contar en la resolución de problemas

contextualizados.

© grupo edebé 157






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Utilizar una aplicación interactiva para analizar las variaciones. (Página 282).@ Utilizar una aplicación interactiva para calcular números combinatorios. (Página 287).


• Combinatoria. (Actividad.)• Técnicas para contar. (Resolución de problemas)• Enlaces web.

© grupo edebé 158



• Identificar problemas de contar en la vida cotidiana y las posibles configuraciones existentes.• Conocer el concepto de número factorial.• Conocer el concepto de número combinatorio.• Conocer y comprender las propiedades de los números combinatorios.• Analizar el tipo de configuración mediante el empleo de las preguntas clave.• Conocer y aplicar correctamente las fórmulas de las distintas configuraciones estudiadas: variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones ordinarias y

combinaciones ordinarias.• Utilizar el desarrollo del binomio de Newton mediante la aplicación de números combinatorios.• Realizar el recuento gráfico de configuraciones mediante el diagrama en árbol y la tabla de contingencia.



© grupo edebé 159


METODOLOGÍA






• Recursos digitales (• Calculadora, ordenador y











Estructura de la Unidad 12: Técnicas para contar– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de conocer y

utilizar las técnicas de recuento y la combinatoria en situaciones reales y contextualizadas.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 160





unidad.– Crónica matemática: leer unos textos sobre los retratos robot y sobre una nota histórica relacionada con el

estudio de la combinatoria. Leer unas notas históricas relacionadas con el triángulo de Tartaglia. Divertirse razonando: averiguar cuál de los bolsillos presenta un mayor número de formas de sacar cuatro monedas mediante diagramas en árbol.

© grupo edebé 161


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 164


UNIDAD DIDÁCTICA 13: Probabilidad


Competencia matemática (M)• Reconocer situaciones y fenómenos

próximos en los que interviene la probabilidad y ser capaz de efectuar predicciones sobre el valor de la probabilidad de un suceso.

• Aplicar adecuadamente las técnicas de cálculo realizando estimaciones ajustadas de la realidad para resolver problemas prácticos de probabilidad.

• Reconoce situaciones y fenómenos próximos en los que interviene la probabilidad. (M)

• Aplica adecuadamente las técnicas de cálculo realizando estimaciones ajustadas de la realidad para resolver problemas prácticos de probabilidad. (M)

• Efectúa predicciones sobre el valor de la probabilidad de un suceso. (M)

• Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio.

• Asignar probabilidades utilizando la ley de Laplace, los diagramas en árbol y la combinatoria.

• Resolver situaciones de la vida cotidiana aplicando conceptos de probabilidad.

• Distinguir entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas de la vida cotidiana.

• Identificar sucesos imposibles, probables y seguros.• Conocer la definición experimental de probabilidad y

reconocer situaciones de equiprobabilidad.• Reconocer la independencia o la dependencia de dos

sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio.• Realizar operaciones con sucesos.• Calcular la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa

de un suceso.• Elaborar diagramas en árbol para establecer el espacio

muestral de un experimento aleatorio en el que las realizaciones se repiten varias veces.

• Calcular la probabilidad en un experimento compuesto a partir del diagrama en árbol.

• Comprobar experimentalmente que, al aumentar el número de realizaciones de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso se estabiliza.

• Valorar la presencia de la probabilidad en la vida cotidiana.

• Adquirir una actitud de interés por calcular el grado de certeza de que se produzca una situación.

• Mostrar interés por conocer las prestaciones de un programa informático para estudiar la probabilidad.

Competencia en comunicación lingüística (CL)• Leer fluidamente e interpretar textos

de la vida cotidiana con información relacionada con la probabilidad.

• Lee e interpreta textos de la vida cotidiana con información relacionada con la probabilidad. (CL)

• Describir el espacio muestral, reconocer los sucesos elementales y determinar los resultados de un suceso de un experimento aleatorio.

© grupo edebé 165


CONTENIDOS

C P V

• Experimentos deterministas y experimentos aleatorios. • Espacio muestral y suceso elemental. • Suceso, suceso seguro, suceso imposible, suceso

contrario, sucesos compatibles y sucesos incompatibles.

• Unión, intersección y diferencia de sucesos. • Suceso complementario o contrario a uno dado. • Frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un

suceso. • Probabilidad de un suceso• Regla de Laplace. • Propiedades de la probabilidad.• Experimentos compuestos. • Sucesos dependientes y sucesos independientes. • Probabilidad en sucesos independientes. • Probabilidad condicionada.

• Determinación de los sucesos elementales y del espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Aplicación de los conceptos de suceso contrario, sucesos compatibles y sucesos incompatibles para la resolución de problemas.

• Operaciones con sucesos. • Elaboración de tablas de frecuencias absolutas y

frecuencias relativas de sucesos.• Aplicación de la regla de Laplace al cálculo de la

probabilidad en una situación de equiprobabilidad. • Aplicación de las propiedades de la probabilidad para

la resolución de problemas.• Reconocimiento de sucesos independientes y de

sucesos dependientes. • Elaboración de diagramas en árbol en el caso de

experimentos aleatorios compuestos y cálculo de las probabilidades de cada suceso.

• Aplicación de la probabilidad condicionada.

• Valorar la utilización adecuada y precisa del lenguaje probabilístico en la descripción de situaciones relacionadas con el azar.

• Constancia en la búsqueda de soluciones de las situaciones matemáticas planteadas relacionadas con el azar.

• Disposición favorable para utilizar la probabilidad en la resolución de algunos problemas de la vida cotidiana.

• Sentido crítico frente a informaciones de carácter probabilístico y frente a resultados obtenidos en el cálculo de probabilidades.


Educación cívica y para la salud. A lo largo de la unidad, el profesor/a ha de cuidar de no transmitir un concepto positivo del juego de azar. Puede aprovechar las distintas actividades para informar a los alumnos del riesgo que comporta el juego, individual y socialmente.

© grupo edebé 166




1. Concepto de probabilidad• Comparar diversas experiencias de la vida cotidiana que tienen resultados determinados o no determinados para reconocer la diferencia entre experimentos deterministas y

experimentos aleatorios.• Leer la definición de experimentos deterministas y la de experimentos aleatorios.• Fijarse en la necesidad de especificar qué se entiende por resultado de un experimento.• Considerar un experimento aleatorio y determinar sus posibles resultados para introducir los conceptos de espacio muestral y de suceso elemental.• Leer las definiciones de espacio muestral y suceso elemental, y observar la manera de representarlas.• Observar, en un ejemplo de experimento aleatorio, el espacio muestral y los sucesos elementales.• Observar la determinación del espacio muestral de dos experimentos aleatorios en dos ejemplos resueltos.• Considerar un experimento aleatorio y caracterizar distintos aspectos por sus resultados para introducir el concepto de suceso.• Leer la definición de suceso.• Reconocer que un suceso es un subconjunto del espacio muestral del experimento aleatorio; leer el nombre de los sucesos elementales que lo forman, y leer el significado

de la expresión ocurrir un suceso.• Fijarse en qué sucesos se identifican con los sucesos formados por un único resultado así como en que al obtener un resultado se verifiquen simultáneamente varios

sucesos.• Reflexionar acerca de las circunstancias en que ocurrirán dos sucesos de un experimento aleatorio para introducir los conceptos de suceso seguro y de suceso imposible, y

observar su representación.• Observar dos sucesos de un experimento aleatorio para introducir el concepto de suceso contrario, y observar su representación.• Considerar dos sucesos de un experimento aleatorio y observar ciertas características de ambos para introducir los conceptos de suceso compatible y de suceso

incompatible.• Observar en una tabla las operaciones que pueden efectuarse con los sucesos de un experimento aleatorio: unión, intersección, diferencia y suceso complementario.• Observar en un ejemplo resuelto la realización de diversas operaciones con sucesos aleatorios.• Observar en una tabla los resultados obtenidos al realizar 400 veces un experimento aleatorio para introducir el concepto de frecuencia absoluta de un suceso y leer su

definición.• Reflexionar que para comparar el comportamiento de un suceso cuando varía el número de experiencias realizadas no es suficiente conocer su frecuencia absoluta.• Observar los cocientes obtenidos al dividir las frecuencias absolutas de dos sucesos entre el número total de experiencias realizadas para introducir el concepto de

frecuencia relativa de un suceso y leer su definición y la fórmula para calcularla.• Fijarse en que la frecuencia relativa puede expresarse en forma de fracción, en tanto por uno o en porcentaje.• Reflexionar sobre el significado de la palabra probable como calificativo que expresa la posibilidad de que ocurra un suceso y considerar la necesidad de medir el grado de

certeza de que ocurra dicho suceso para llegar al concepto de probabilidad.• Observar cómo se representa la probabilidad y leer que la probabilidad es una regla que asigna a cada suceso un número comprendido entre 0 y 1.• Leer el significado de que la probabilidad de un suceso sea 0 y el de que sea 1.• Fijarse en el valor de la probabilidad del suceso imposible y en el del suceso seguro.• Observar, en un ejemplo, el comportamiento de las frecuencias relativas de dos sucesos de un experimento aleatorio para llegar a asignar a cada suceso el valor al que se

© grupo edebé 167


aproximan las frecuencias relativas al aumentar el número de realizaciones del experimento y leer el nombre que recibe este valor.• Leer la definición de probabilidad de un suceso.• Fijarse en un texto referente a la ley de los grandes números y en una nota histórica acerca de la probabilidad.

2. Cálculos probabilísticos• Observar la probabilidad que se puede suponer a los diferentes sucesos elementales de un experimento aleatorio para llegar al concepto de situación de equiprobabilidad y

leer la definición de situación de equiprobabilidad.• Leer la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades.• Fijarse, en una situación de equiprobabilidad, en la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales de un experimento aleatorio.• Leer un texto referente a un modelo de probabilidad. • Observar, en un ejemplo resuelto, la aplicación de la regla de Laplace en una situación de equiprobabilidad.• Reflexionar acerca de que algunos problemas en los que no se da una situación de equiprobabilidad se pueden reformular de modo que se transformen a dicha situación.@ Simular el cálculo de distintas probabilidades con la ayuda de una aplicación interactiva.• Observar en un ejemplo resuelto la reformulación de un problema para que se dé una situación de equiprobabilidad.• Fijarse en qué consiste una tabla de contingencia.• Leer en una tabla las propiedades de la probabilidad y observar en dos ejemplos resueltos cómo obtener la probabilidad de un suceso aplicando dichas propiedades.

3. Probabilidad en experimentos compuestos• Leer que el diagrama en árbol permite hallar la probabilidad de cada suceso elemental de un experimento aleatorio compuesto. • Observar, en un ejemplo resuelto, el cálculo de la probabilidad de un suceso elemental de un experimento aleatorio compuesto con la ayuda de un diagrama en árbol.@ Simular el cálculo de probabilidades en un experimento aleatorio compuesto utilizando una aplicación interactiva. • Fijarse en la unión y la intersección de dos sucesos.• Observar dos sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio en los que el hecho de que se verifique uno de ellos no influye en el hecho de que se verifique el otro y

viceversa; calcular y fijarse en algunas igualdades entre distintas probabilidades, y leer el nombre que reciben dichos sucesos.• Observar dos sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio en los que el hecho de que se verifique uno de ellos influye en el hecho de que se verifique el otro y

viceversa; calcular y fijarse en una desigualdad entre dos probabilidades, y leer el nombre que reciben dichos sucesos.• Leer la definición de sucesos independientes y la de sucesos dependientes.• Observar en dos ejemplos resueltos el cálculo de la probabilidad en sucesos independientes.• Fijarse en la fórmula para sucesos independientes que se deriva del principio de probabilidad compuesta.• Leer la fórmula de la probabilidad de un suceso condicionada a otro suceso y la del principio de la probabilidad compuesta.• Advertir que la conmutatividad de la intersección de dos sucesos permite escribir de otra manera la fórmula de la probabilidad compuesta.• Observar, en un ejemplo, el cálculo de la probabilidad de un suceso sin ninguna información previa y compararla con la que se tiene si se dispone de información previa; leer

el nombre que recibe dicha probabilidad, y comprobar su fórmula.• Observar en tres ejemplos resueltos la aplicación de la probabilidad condicionada.


© grupo edebé 168


OTRAS ACTIVIDADES


MOTIVACIÓN • Resolver la actividad inicial en la que surge la necesidad de conocer y familiarizarse con el cálculo de la probabilidad y con la relación de esta con otras áreas del conocimiento (biología, etc.).

• Calcular las probabilidades de obtener determinados resultados en aplicación de una de las leyes de Mendel relacionada con la herencia genética.

COMPETENCIAS BÁSICAS ACTIVIDADES DE TRABAJO SISTEMÁTICO DE CB• Calcular la probabilidad de elegir alguna rueda defectuosa de coche y/o moto a partir de los porcentajes de fabricación de ambos tipos de

neumáticos.• Calcular la probabilidad de que alguno de los regalos que se reparten en unas carreras populares les toque a determinadas personas, en

función del sexo y/o del tipo de carrera en la que han participado.@ Mediante diversos enlaces, buscar información sobre la obtención del número utilizando algunos métodos conocidos. Calcular también el valor de en función del número de intentos realizados al aplicar dichos métodos.

ACTIVIDADES FINAL BLOQUE-III• Elaborar los datos de una función en una hoja de cálculo a partir del trayecto y de la velocidad que lleva un autobús; trazar la gráfica

correspondiente y calcular algunos datos relativos a dicho recorrido.• Determinar la expresión algebraica que relaciona el consumo de combustible de un avión con la distancia recorrida en las maniobras de

despegue y aterrizaje. Calcular algunos datos relativos a dichos consumos y distancias.• Determinar la probabilidad de obtener determinados dígitos al escribir aleatoriamente un número de dos cifras distintas compuestas por

las cifras 3, 9, 1 y 5.• Determinar algunas características y la gráfica de una función exponencial dada a partir de su tabla de valores.• Realizar un estudio estadístico comparativo a partir de las temperaturas medias mensuales de dos ciudades y del que hay que calcular

algunos datos descriptivos y diversos parámetros de centralización y dispersión. • A partir de una distribución estadística dada en intervalos, determinar algunos parámetros de centralización y dispersión.• Calcular la probabilidad de obtener determinados resultados en extracciones de cartas en una baraja española.

PROYECTO BLOQUE-III: Matemáticas para interpretar el entorno.

Fase 1: EscogeTeniendo en cuenta que a veces una variable puede influir sobre otra y, en cambio, en otras ocasiones no, debatir con los compañeros las cuestiones que se proponen, la mayoría de ellas relacionadas con la estadística.

Fase 2: PlanificaEl proyecto se planifica en cinco fases: Análisis de la situación, Sensibilización, Recogida de la información, Cálculos y conclusiones y, finalmente, Aprender a aprender. Cada una de estas fases conlleva la realización de diversas cuestiones sobre las que los alumnos deberán informarse previamente

© grupo edebé 169


para que sus respuestas sean las adecuadas.

Fase 3: DesarrollaLos alumnos deben buscar noticias que contengan aspectos estadísticos observando la temática que tratan, su presentación, las variables que mencionan y si están relacionadas entre sí, etc. El objetivo es redactar una nota de prensa sobre la renta per cápita de 30 países para lo cual los alumnos/as disponen de diversos enlaces en los que basarse. A continuación deberán presentar los resultados mediante gráficos y acompañarlos de cálculos relacionados con parámetros estadísticos; finalmente deberán obtener las conclusiones finales y abrir una vía de debate sobre la objetividad/subjetividad de dichas conclusiones o de la manipulación de los datos, y si todos estos pueden variar en función de las circunstancias.

Fase 4: ReflexionaPara evaluar el proyecto y con la ayuda de la elaboración de un diario personal sobre las actividades realizadas y algunas cuestiones que se plantean, se utilizará el dossier individual del alumno con las evidencias correspondientes a las tareas ejecutadas, adjuntando la rúbrica de evaluación en la que se contemplan las competencias y su grado de consecución por parte de los alumnos.

COMPLEMENTARIAS • En el apartado 1, es importante comparar diversas experiencias cotidianas del entorno del alumno/a, que tienen resultados deterministas o aleatorios, para que reconozcan las diferencias. También se debe explicar el concepto de suceso a partir de la caracterización de diversos aspectos del resultado de un experimento aleatorio. Debe insistirse en el significado de la palabra probabilidad como el término que expresa la posibilidad de que ocurra una situación y valorar que, a veces, es necesario medir el grado de certeza de esta situación para llegar al concepto de probabilidad. Para ello, es útil estudiar el comportamiento de las frecuencias relativas de los sucesos elementales de un experimento aleatorio, y deducir de ellas la probabilidad de un suceso al que se le asigna un valor entre 0 y 1.

• En el apartado 2, es necesario que los alumnos identifiquen las situaciones de equiprobabilidad ya que son los casos en los que es posible aplicar la regla de Laplace. Resultaría conveniente explicar los pasos a seguir en los experimentos en los que las realizaciones se repiten en varias ocasiones:

- Utilizar técnicas combinatorias para contar el número de casos posibles y el número de casos favorables, en lugar de elaborar

un diagrama en árbol y contar el número de resultados del espacio muestral. - Aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso.

Se ha de insistir en la utilidad de conocer las principales propiedades de la probabilidad como una herramienta que sirve de ayuda para calcular probabilidades.

• En el apartado 3, se debe insistir en el hecho de que la probabilidad condicionada es útil en aquellos experimentos aleatorios que pueden descomponerse en varias etapas y en los que es conveniente representarlos en forma de árbol. Debe insistirse en la idea intuitiva de sucesos independientes y dependientes, utilizando ejemplos como en el caso del lanzamiento de dos monedas, o dos dados o la extracción de cartas sin reposición; de todos ellos puede derivarse la definición numérica de la independencia de sucesos.

© grupo edebé 170



1. Concepto de probabilidad Ficha 1. Concepto de probabilidad.

2. Cálculos probabilísticos• Ficha 2. Cálculos probabilísticos.

1. Concepto de probabilidad Ficha 3. Actividades 1, 3, 4, 5 y 7.

3. Probabilidad en experimentos compuestos• Ficha 3. Actividades 2 y 6.


Libro del alumno• Identificar si un experimento es aleatorio o determinista, y

determinar el espacio muestral.• Identificar el tipo de suceso de un experimento.• Hallar la frecuencia relativa de un experimento.• Ordenar de menor a mayor distintas probabilidades de diversos

experimentos aleatorios simples.• Calcular la probabilidad de un experimento aleatorio simple y de un

experimento compuesto a partir de un diagrama en árbol.• Aplicar las propiedades de las probabilidades a la resolución de un

problema.• Calcular el cociente de dos probabilidades conociendo la

probabilidad condicionada de ambos.

Material complementario (ficha fotocopiable de evaluación)• Distinguir entre experimento aleatorio y determinista.• Describir el espacio muestral, los sucesos elementales y

determinados sucesos de un experimento aleatorio.• Calcular las probabilidades de determinados sucesos para

experimentos aleatorios simples.• Calcular las probabilidades de determinados sucesos para

experimentos aleatorios compuestos aplicando diagramas en árbol.• Hallar el porcentaje o la probabilidad de un determinado suceso en

un experimento compuesto a partir del diagrama en árbol y los conceptos de probabilidad condicionada.

• Determinar si dos sucesos aleatorios son independientes.• Calcular la probabilidad de un suceso aleatorio para que sea

independiente de otro, conociendo la probabilidad de que se verifiquen los dos sucesos a la vez.

Libro del alumno • Identificar los sucesos elementales de un experimento aleatorio.• Calcular la frecuencia relativa de un suceso.• Ordenar probabilidades de sucesos elementales.• Calcular la probabilidad de sucesos elementales.• Elaborar un diagrama en árbol para determinar la probabilidad de un

suceso.• Calcular la probabilidad condicionada de un suceso.

Material complementario• Interpretar información referente a un sondeo electoral y efectuar

cálculos probabilísticos diversos a partir de los datos reflejados en él.• Confeccionar gráficos estadísticos para mostrar los resultados de los

cálculos efectuados.• Calcular probabilidades asociadas a un problema de genética.• Calcular la probabilidad de sucesos elementales aplicando la regla de

Laplace.

Actividades Final Bloque-III• Estudiar y describir las características de diversos tipos de funciones

(lineales, algebraicas, exponenciales, etc.), sus gráficas y cálculos relacionados.

• Realizar un estudio estadístico de una distribución bidimensional, calculando parámetros de centralización y dispersión y obteniendo las conclusiones que corresponden.

• Realizar un estudio estadístico de una distribución dada en intervalos de valores, calculando parámetros de centralización y dispersión.

• Adjudicar probabilidades a determinados experimentos aleatorios, aplicando la regla de Laplace.

© grupo edebé 171






ACTIVIDADES TIC

Libro del alumno@ Utilizar una aplicación interactiva para simular el cálculo de distintas probabilidades. (Página 307).@ Utilizar una aplicación interactiva para simular el cálculo de probabilidades en un experimento aleatorio compuesto. (Página 311).


• Probabilidad. (Resolución de problemas)• Enlaces web.

© grupo edebé 172



• Conocer la definición experimental de probabilidad y reconocer situaciones de equiprobabilidad.• Reconocer la independencia o la dependencia de dos sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio.• Realizar operaciones con sucesos.• Calcular la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de un suceso.• Elaborar diagramas en árbol para establecer el espacio muestral de un experimento aleatorio en el que las realizaciones se repiten varias veces.• Calcular la probabilidad en un experimento compuesto a partir del diagrama en árbol.• Comprobar experimentalmente que, al aumentar el número de realizaciones de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso se estabiliza.• Describir el espacio muestral, reconocer los sucesos elementales y determinar los resultados de un suceso de un experimento aleatorio.



© grupo edebé 173


METODOLOGÍA

















Estructura de la Unidad 13: Probabilidad– Actividad inicial y de motivación acompañada de una imagen para presentar la necesidad de reconocer y

utilizar los conceptos relacionados con la probabilidad así como determinar su cálculo.– Competencias básicas: relación de las competencias básicas fundamentales que deben adquirirse a partir del






© grupo edebé 174





unidad.– Crónica matemática: leer unos cuadros de texto sobre las leyes de Mendel (número de personas zurdas),

sobre el número π y el cálculo de una probabilidad en cuyo resultado aparece dicho número. Buscar en Internet información sobre un gen que determina la propensión de una persona a ser zurda. Comprobar la teoría de los Seis grados de separación.

– Actividades de evaluación de las CB del Bloque-III.– Proyecto Final Bloque-III: Matemáticas para interpretar el entorno.

© grupo edebé 175


1 ...

...…

......

...

2 …

......

......

...

3 …

......

......

...

4 …

......

......

...

5 …

......

......

...

6 …

......

......

...

7 …

......

......

...

8 …

......

......

...

…...

......

......

..


© grupo edebé 178

matemáticas 4 eso edebé · web viewseguir cada uno de los pasos de los procedimientos para...

Documents