matemÁtica solucionario serie nÚmeros y operaciones...
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NÚMEROS Y OPERACIONES 1
Secuencias de actividadesEducación Secundaria
Claudia ComparatoreLiliana Kurzrok
SOLUCIONARIOMATEMÁTICA
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MAM
TS112
ISBN 978-987-576-536-8
Números y operaciones
Secuencias de actividadesEducación Secundaria
Serie
Tem
átic
a
Matemática | Serie TemáticaSecuencias de actividades • Geometría 1 • Geometría 2 • Geometría 3 • Geometría 4 • Probabilidad y estadística
• Números y operaciones 1 • Números y operaciones 2 • Números y operaciones 3• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 1• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 2
Matem
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Serie Temática
Índice Capítulo 1: Los números naturales ............................................................. 3Capítulo 2: Los números racionales ........................................................... 7Capítulo 3: Operaciones con números racionales ............................... 10
Solucionario
Este solucionario desar-rolla la propuesta didáctica de Matemática
Gerente general Claudio De Simony Directora Alina Baruj
AutoresLiliana Kurzrok (coord.)Claudia Comparatore
EditorasLiliana KurzrokClaudia Comparatore CorrectoraLaura Susin
Jefa de arteEugenia EscamezCoordinación de Diseño gráfico Diego Lucero
Fotografías Archivo ClarínJefa de Preprensa y fotografía Andrea BalbiSelección de imágenes Silvina PiaggioDanae Tzicas
© Tinta fresca ediciones S.A. Corrientes 526 (C1043AAS) Ciudad Autónoma de Buenos Aires
Serie Temática
MATEMÁTICA | NÚMEROS Y OPERACIONES 1
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ISBN 978-987-576-536-8
Números y operaciones Secuencias de actividades
Educación Secundaria
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Secuencias de actividades • Geometría 1 • Geometría 2 • Geometría 3 • Geometría 4 • Probabilidad y estadística
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NÚMEROS Y OPERACIONES 1
capítulo 1
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ISBN 978-987-576-536-8
Números y operaciones Secuencias de actividades
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1.000.000 2.000.000
1.200.000 1.600.000 1.750.000
3.000.000 4.000.000
3,08 millones 3.500.000 3,8 millones
5.000.000 7.000.000
5.075.000 5.750.000 5.999.999
Capítulo 1: Los números naturales
Página 5 1. a. 937.000, 10.070.000, 2.370.000, 259.000, 4.000.000. b. Se usa esta forma de escribir los números para ocupar menosespacio y que la lectura sea más directa.2. a. 99.990 b. 999.900 c. 10.100.000 d. 900.000e. 9.999.999 f. 4.200.0433. Es el b.4. a.
b.
c.
Páginas 6 y 7 5. a. Beatriz sumó más puntos, le lleva 3.870 puntos de ventaja.b. Para alcanzarlo tiene que hacer como mínimo, 896.130 puntos. Tiene una sola forma de sumar esa cantidad de puntos porque puede contestar hasta nueve preguntas de cada nivel.c. 2.222.222d.
Participante Hora-cio
Luisa Eduar-do
Estela Alejo
Nivel 1 4 2 0 0 6
Nivel 2 5 6 2 4 6
Nivel 3 6 7 0 0 8
Nivel 4 4 8 8 6 7
Nivel 5 5 3 0 8 9
Nivel 6 2 0 3 1 0
6. a. 3.802.009 b. 5.008.0407. a. 1.350 = 1 × 1.000 + 3 × 100 + 50b. 23.140 = 23 × 1.000 + 1 × 102 + 4 × 10c. 2.115.002 = 2 × 106 + 1 × 105 + 15 × 103 + 28. b., d. 9. a., b., d., c.10. a. 500.000 b. 80.000.000 c. 21.000 d. 345.00011. a. 7 × 10
6 b. 1,8 × 10
7 c. 4,5 × 10
10 d. 2,3 × 10
8
Páginas 8 y 912. a. Forman 20 filas.b. Tienen que ubicarse 36 deportistas en cada una.c. Pueden ubicarse en 30 filas de 60 deportistas cada una y en 40 filas de 45 deportistas cada una, pero no es posible que se ubiquen en 80 filas porque 1.800 no es múltiplo de 80.13. Por ejemplo: 480 × 1 = 240 × 2 = 120 × 4 = 60 × 8 = 30 × 16.Hay 12 productos diferentes porque 480 tiene 24 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 80, 96, 120, 160, 240, 480.14. a. 16 baldosas. b. 64 filas. c. 8 filas.d. Por ejemplo: 192 filas de 4 baldosas, 6 filas de 128 baldosas.
15.a. i. 92 × 42 = (184 : 2) × 42 = (184 × 42) : 2 = 7.728 : 2 = 3.864.ii. 184 × 7 = 184 × (42 : 6) = (184 × 42) : 6 = 7.728 : 6 = 1.288.iii. 92 × 84 = (184 : 2) × (42 × 2) = (184 × 42) : 2 × 2 = 184 × 42 = 7.728.iv. 46 × 21 = (184 : 4) × (42 : 2) = (184 × 42) : 4 : 2 = (184 × 42) : 8 = 7.728 : 8 = 966.b. Por ejemplo: 368 × 42, 184 × 84, 92 × 21.16. Ese número es 20 porque 27 × 20 = 540.17. a. 468 = 234 × 2. b. Ana lo dice porque al multiplicar un número por 100 todas las cifras de ese número se corren dos lugares hacia la izquierda y las últimas dos cifras se transforman en ceros.c. Este procedimiento se puede usar en cualquier producto por 98. Se puede extender a productos por 980, 9.800, 998, entre otros. d. i. 368 × 98 = 368 × (100 – 2) = 368 × 100 – 368 × 2 =36.800 – 736 = 36.064ii. 458 × 998 = 458 × (1.000 –2) = 458 × 1.000 – 458 × 2= 458.000 – 916 = 457.084iii. 975 × 980 = 975 × (1.000 – 20) = 975 × 1.000 – 975 × 20 = 975.000 – 19.500 = 955.500iv. 365 × 890 = 365 × (1.000 – 100 – 10) = 365 × 1.000 – 365 × 100 – 365 × 10 = 365.000 – 36.500 – 3.650 = 24.850
Páginas 10 y 1118. i. 35 ii. 27 iii. 105 iv. 135 v. 4519. a. Sí, porque 9 es divisor de de 18, entonces también lo es de 24 ×18.b. No, porque 7 no es divisor de 24 ni de 18 y es primo, luego no es divisor de 24 × 18.c. Sí, porque 24 × 18 = 12 × 2 × 18 = 12 × 36. d. Sí, porque 24 × 18 = 3 × 8 × 9 × 2 = 3 × 9 × 8 × 2 = 27 × 16.e. No, porque 7 no es divisor de 24 × 18 y 21 es múltiplo de 7. Entonces 21 no es divisor de 24 × 18.20. Se puede dividir por cualquiera de los divisores de 48para obtener resto 0: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.21. a. 165 17 entonces 165 = 9 × 17 + 12 12 9b. Se puede proponer esta única cuenta con esas condiciones, ya que el dividendo queda determinado por el divisor, el cociente y el resto: divisor × cociente + resto = dividendo, en este caso: 17 × 9 + 12 = 165.22. a. Por ejemplo 43 39 4 1 b. Se pueden proponer infinitas cuentas, porque el cociente puede ser cualquier número natural y el dividendo se obtiene multiplicando al cociente por 39 y sumando 4 al resultado.23. a. Por ejemplo 63 48 15 1b. Tres divisiones porque el producto entre el cociente y el divisor tiene que ser 63 – 15 = 48, y el divisor tiene que ser mayor que 15, que es el resto. Los únicos son: 48 y 1, 24 y 2 y 16 y 3.24. a. Por ejemplo 503 18 17 27b. Infinitas. El divisor debe ser mayor que 17. Dividendo = divisor × 27 + 17.25. Ninguna porque el producto entre el cociente y el divisor tiene que ser 160 – 94 = 66, con lo cual el mayor divisor posible es 66, pero el divisor tiene que ser mayor que 94, que es el resto.26. 11, porque, al sumárselos al resto anterior, el resultado es 25, que es el divisor, entonces el nuevo cociente será una unidad mayor al anterior y el nuevo resto será 0.27. a. Sí, el cociente es 17 y el resto es 14.b. Sí, el cociente es 23 y el resto es 14.28. a. El cociente es 18 y el resto es 19.b. Como 19 = 18 + 1, el cociente es 25 + 1 = 26 porque 18 entra una vez más y el resto es 1.
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SOLUCIONARIO
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29. Tiene tres cifras, porque 3 × 100 = 300 y 3 × 130 = 390, entonces, como 385 está entre 300 y 390, el cociente tiene que estar entre 100 y 130. El cociente de la división de 2.354 por 54 tiene dos cifras porque 54 × 10 = 540 y 54 × 100 = 5.400, entonces, como 2.354 está entre 540 y 5.400, el cociente tiene que estar entre 10 y 100.
Páginas 12 y 1330. Es siempre un número de 4 cifras en el cual se repite dos veces el número de dos cifras que se pensó al principio. Sucede lo mismo con cualquier número de 2 cifras que se lo multiplique por 101 porque, como 101 = 100 + 1, entonces, al usar la propiedad distributiva, multiplicar por 101 es lo mismo que multiplicar por 100, multiplicar por 1 y sumar los dos resultados. Al multiplicar el número de 2 cifras por 100 se obtiene un número de 4 cifras en el cual las 2 últimas son ceros y las 2 primeras son las del número original. Al sumarlo éste ocupa las 2 últimas cifras, cumplién-dose así lo observado para cualquier número de 2 cifras.31. El número que se obtiene es un número de seis cifras en el cual se repi-te dos veces el número original. Esto sucede porque 11 × 13 × 7 = 1.001, con lo cual multiplicar por 11, por 13 y luego por 7 es lo mismo que multi-plicar por 1.001. 32.a. 150 × 170 = (15 × 10) × (17 × 10) = (15 × 17 ) × (10 × 10) = 255 × 100 = 25.500b. 30 × 17 = (2 ×15) × 17 = 2 × (15 × 17) = 2 × 255 = 510c. 150 × 34 = (15 × 10) × (17 × 2) = (15 × 17) × (10 × 2) = 255 × (10 × 2) = (255 × 10) × 2 = 2550 × 2 = 5.100d. 750 × 34 = (5 ×150) × 34 = 5 × (150 × 34) = 5 × 5.100 = 25.50033. a. Sí, se pueden usar estas maneras para resolver cualquier cuenta de multiplicar por 9 y 99.b. La propiedad distributiva y el producto por la unidad seguida de ceros.c. i. 3.700 × 9 = 3.700 × 10 – 3.700 = 37.000 – 3.700 = 33.300ii. 4.500 × 99 = 4.500 × 100 – 4.500 × 1 = 450.000 – 4.500 = 445.500iii. 640 × 999 = 640 × 1.000 – 640 = 640.000 – 640 = 639.36034. Por ejemplo:a. 7.500 × 900 = 7.500 × (1.000 – 100) = 7.500.000 – 750.000 = 6.750.000. 7.500 × 900 = (7.500 × 9) × 100 = [7.500 (10 – 1)] × 100 = (7.500 × 10 – 7.500) × 100 = (75.000 – 7.500) × 100 = 67.500 × 100 = 6.750.000 b. 256 × 1.001 = 256 × (1.000 + 1) = 256 ×1.000 + 256 =256.000 + 256 = 256.256 256 × 1.001 = (250 + 6) × 1.001 = 250 × 1.001 + 6 × 1.001 = 250 × (1.000 + 1) + 6 × (1.000 + 1) = 250 × 1.000 + 250 + 6 × 1.000 + 6 = 250.000 + 250 + 6.000 + 6 = 250.250 + 6.006 = 256.256 c. 850 × 990 = 850 × (1.000 – 10) = 850 × 1.000 – 850 × 10 = 850.000 – 8.500 = 841.500. 850 × 990 = (900 – 50) × 990 = 900 × 990 – 50 × 990 = 900 × (1.000 – 10) – 50 × (1.000 – 10) = 900.000 – 9.000 – (50.000 – 500) = 891.000 – 49.500 = 841.500d. 345 × 111 = 345 × (100 + 10 + 1) = 345 × 100 + 345 × 10 + 345 = 34.500 + 3.450 + 345 = 38.295345 × 111 = 345 × (101 + 10) = 345 × 101 + 345 × 10 = 34.845 + 3.450 = 38.295 e. 970 × 999 = 970 × (1.000 – 1) = 970 × 1.000 – 970 = 970.000 – 970 = 969.030 (1.000 – 30) × 999 = 1.000 999 – 30 × 999 = 999.000 – 29.970 = 969.030 f. 246 × 901 = 246 × (900 + 1) = 246 × 900 + 246 = 221.400 + 246 = 221.646 246 × 901 =(250 – 4) × 901 = 250 × 901 – 4 × 901 = 225.250 – 3.604 = 221.64635. b. y e.: b. por la propiedad asociativa de la multiplicación, e. por la propiedad distributiva y porque 10 : 2 = 5.
Aprender con la calculadora1. a. Es cierto pero solo es correcto al dividir por 10.b. No es cierto, el resto es 1.2. Se hace 487 : 17 y da 28,647059…Por lo tanto en cociente es 28, para calcular el resto se hace 17 × 28 = 476 y se lo resta a 487, queda 11 de resto.3. En una calculadora común da 115,5 y con la científica da 183. La diferencia se debe que en la calculadora común cada vez que se aprie-ta una tecla de operación se resuelve la cuenta planteada, sin embargo en esta cuanta hay que realizar la multiplicación y la división y luego sumar.4. a. i. 420 + 2 = 422 ii. 35 × 14 = 490b. Se usa la memoria para guardar los cálculos intermedios.
Páginas 14 y 1536. Se pueden hacer 12 tortas diferentes.37. 24 maneras.38. a. 60 formas diferentesb. Es cierto porque el diagrama muestra que para resolver se multipli-ca 5 × 3 y luego por la cantidad de pantalones que es 4. El resultado es 5 × 3 × 439. 720 maneras40. a. 60 posibilidades. b. 20 ×19×18=6.84041. a. 30 tríos posibles. b. 1.140 tríos posibles.42. Hay 24 claves posibles.43. Puede armar 24 claves.44. a. 125 papelitos.b. 25 papelitos, porque el primer dígito no puede cambiar.c. 75 papelitos, porque el primer dígito puede ser 4, 5 o 6.d. 25 papelitos.45. a. 720 anagramas.b. No, porque la A se repite dos veces por lo tanto hay la mitad deanagramas, es decir 360.
Páginas 16 y 1746. a. No alcanza, porque, por ejemplo, 385 × 10 = 3.850, 385 × 5 = 3.850 : 2 = 1.925. Entonces 385 × 15 = 3.850 + 1.925 = 5.775. Si las carpetas costasen $15 ya no alcanzaría para 385 carpetas.b. No alcanza, porque, por ejemplo, 250 × 4 = 1.000 y las camperas cuestan más de $250.c. Sí, alcanza, porque 420 × 10 = 4.200, o sea que 10 pasajes cuestan $4.200 y 5 cuestan la mitad, o sea $2.100, que es menos de $2.600.47. a. iii. 589.987 : 10 porque entre las cuentas con mayor dividendo es la que menor divisor tiene.b. iv. 789.365 : 99 por la misma razón que a.c. iv. 198 × 10 8 porque la única multiplicación con una potencia de 10 mayor es 4 × 10 9 , pero, si bien su exponente es uno más, 4 tiene dos cifras menos que 198.48.a. Mayor. Porque 20.000 × 30.000 es menor que 23.352 × 35.400 y ya es mayor a 500.000.b. Mayor. c. Menor. d. Mayor, porque, como 87.986 es mayor que 80.000 y 65 es mayor que 10, entonces 87.986 × 65 es mayor que 80.000 × 10 = 800.000 que es mayor a 500.000.e. Mayor. 49. a. Verdadera. Porque, como 356.489 es mayor que 350.000 y 487.386 es mayor que 450.000, entonces la suma dada es mayor que 350.000 + 450.000 = 800.000.b. Verdadera. Porque, como 1.000.000 – 700.000 = 300.000 y el segun-do número de la cuenta es mayor que 700.000, entonces el resultado es menor.
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NÚMEROS Y OPERACIONES 1
capítulo 1
c. Falsa. Porque el resultado de la multiplicación tiene las 6 cifras del pri-mer factor más las 7 cifras de la potencia de 10, o sea 13 cifras totales.d. Verdadera. Como la potencia de 10 es 14 y el primer factor no tiene ceros, entonces el producto tiene 14 ceros.e. Verdadera. Porque 5 × 100.000.000 = 500.000.000 y como 598.587.897 – 500.000.000 = 98.587.897 es menor que 100.000.000, resulta que en esta división 5 es el cociente y 98.587.897 es el resto.50. Terminó a las 16:41.51. a. Falsa. Porque 7 horas y media se escribe 7,5.b. Vedadera. Porque 30 minutos es media hora.c. Falso porque 1 __ 10 de hora so 6 minutos y 1 __ 6 de hora son 10 minutos.d. Verdadero porque 1 __ 3 de hora son 20 minutos.e. Falso porque 3,5 son 3 horas y media, es decir 3 horas y 30 minutos.52. Ariel, porque 3 __ 4 de hora son 45 minutos.53. Mide 35° 14’.54. a. Un octavo son 45° y media vuelta es 180°.b. 1 __ 4 de vuelta.55. 139°35´
Páginas 18 y 1956. a. 81 chicas. b. 10 tríos.57. a. 2
4 b. 3
6 c. 10
5
58. a. 1 b. 1.000.000.000 c. 512 d. 4.096 e. 2.401 f. 3259. a. i. 128 ii. 128 iii. 16.384 iv. 97 v. 625 vi. 390.625 vii. 625b. i. y ii. son iguales porque al multiplicar potencias de igual base el resultado es una potencia de igual base que las anteriores y exponen-te igual a la suma de los anteriores. También son iguales entre sí v. y vii. porque 2 + 3 = 5.60.a. i. ( 57 ) 2
= 57 × 2= 5
14 v. 57
× 57 = 5
7+7= 5
14 vii. 528
: 514
= 528 – 14
= 514
b. Los anteriores son los únicos que tienen el mismo resultado.61. a. i. 81 ii. 27 iii. 81 iv.10.000 v. 10.000 vi. 100b. Tiene el mismo resultado i y iii. También iv. y v.62. a. Falsa. Por ejemplo (2 + 3)
2 = 5
2 = 25 pero 2
2 + 3
2 = 4 + 9 = 13.
b. Verdadera, Porque (a×b)c=(a×b)×(a×b)×…×(a×b)=a×…×a×b×…×b=ac×bc
c veces c veces c veces
c. Verdadera. Porque ( a__b)c=(a__b)×(a__b)×...×(a__b)=a×a×…×a_____________b×b×…×b=ac __
bc
c veces d. Verdadero. Porque am×a
n=a×a×...×a×a×a×a×...×a=am+n
m veces n veces m+ n veces 63. a. y e. son iguales porque (23+15)4 = (23+15)2 + 2 = (23+15)2 × (23+15)2
b. y f. son iguales porque 185 ×182 = 185 + 2= 187.64. b. y d.
Página 2065.a. 2 b. 4 c.5 d.1066.a. 3 b.10 c.2 d. 667. √
___ 64 = 8
3 √_______
262.144 = 64 3 √___
27 = 3 4 √___
16 = 268. a. 9 b. 20 c. 20 d. 7 e. 2 f. 5.69. a. y e. porque la radicación es distributiva respecto del producto.c. y f. porque la radicación es distributiva respecto del cociente.70. No es cierto, porque la potenciación y la radicación no son distri-butivas respecto de la suma y la resta.
Aprender con la calculadora
1. 2. 3. a. 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10. b. 10.000 + 10.000 + 10.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.4. a. vii y viii, porque la radicación es distributiva respecto al producto y 6 = √
___ 36 . i y ix, porque se conmutan las operaciones de suma y resta
de forma correcta. v. y x., porque la suma es conmutativa.b. i. 270.112 ii. 14.439.991 iii. 3.491 iv. 5.261 v. 3.495 vi.92 vii. 198 viii. 198 ix. 270.112 x. 3.495 xi. 3.5295. La calculadora devuelve: 5,84606102850, que se interpreta: 5,846061028 × 1050, que es la notación científica del número: 5846061028000000000000000…0000, con 50 ceros después del últi-mo 8. Sin embargo éste no puede ser el resultado correcto de la poten-cia pedida. Como 437.283 no es múltiplo de 10, porque no termina en cero, tampoco pueden serlo sus múltiplos, o sea que 437.283 9 no es múltiplo de 10, mientras que el resultado que devuelve la calculadora sí lo es, porque termina en 0.
Páginas 22 y 2371. Sí, son correctos. Paula determina si un número es divisor de otro mirando el resto del cociente entre ambos. Nico analiza si un número es múltiplo de otro a partir de los valores de las tablas.72. a. y c., a. porque 1.200 = 12 × 100 y c. porque 360 = 12 × 30.73. 34, 68, 340, 1.700. Se pueden encontrar infinitos múltiplos de 17 porque se los obtiene multiplicando a 17 por cualquier número natural.74. a. Sí, porque 18 es par o porque 42 es par.b. Sí, porque 25 es múltiplo de 5. c. Sí, porque 42 es múltiplo de 7.d. Sí, porque 25 × 42 × 18 = 5 × 5 × 2 × 21 × 18 = 5 × 10 × 21 × 18.e. Sí, porque 25 × 42 × 18 = 25 × 14 × 3 × 9 × 2 = 25 × 14 × 27 × 2.f. Sí porque 25 × 42 × 18 = 5 × 5 × 3 × 14 × 18 = 5 × 15 × 14 × 18.g. No, porque 25, 42 y 18 no son múltiplos de 11, y 11 es primo.h. No, porque 26 = 2 × 13, con lo cual si un número es múltiplo de 26 debe serlo también de 13, pero como 25, 42 y 18 no son múlti-plos de 13, y 13 es primo, entonces el producto no es múltiplo de 13, y entonces tampoco lo será de 26.75. No es múltiplo de 6 porque el primer sumando lo es, pero, al sumar-le 2, este será el resto de dividir el resultado de toda la cuenta por 6.76. Como 36 es 9 × 4, el primer término es múltiplo de 9 y como 5 es menor que 9, el resto es 9 y el cociente es 4 × 17 × 23.77. Sí, porque 25.478 × 4 + 25.478 × 3 = 25.478 × (4 + 3) = 25.478 × 7.78. a. No, porque es mayor que 48. b. Sí, porque 48 = 12 × 4.c. No, porque es mayor que 48. d.e. Sí, porque 48 = 6 × 8.f. Sí, 1 es divisor de todos los números. g. Sí, porque 48 = 24 × 2.h. No, porque 48 = 36 × 1 + 12, es decir que al dividir 48 por 36 el resto no es 0, es 12.79. a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. b. 360, 6.000, 480.000.c. Hay infinitos números que tienen más divisores que 60, basta con multiplicar a 60 por cualquier número natural para obtenerlos.
Página 24 y 2580. Son ciertas las dos afirmaciones, porque los números pares van de 2 en 2, y si se le suma 4 a un número par se obtiene el par siguiente del siguiente.
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SOLUCIONARIO
81. Sí, porque en la justificación no se usan los números como ejem-plo, sino que se analiza las relaciones entre ellos.82. a. Falso, por ejemplo 13 + 15 = 28 que es par.b. Es cierto porque si un número es 2 por otro y se lo multiplica por cualquier otro seguirá siendo par.c. Falso si un número par se multiplica por cualquier número el resul-tado seguirá siendo par.d. Falso si un número par se multiplica por cualquier número el resul-tado seguirá siendo par.83. Es siempre impar porque (2 × n + 1) × (2 × n + 1) = 4 × n × n + 4 × n + 1.84. Los números impares se pueden obtener como el siguiente de un par, es decir 2 × un número natural + 1. Al sumar tres impares, los tres núme-ros pares sumados van a dar par, pero al sumar tres veces 1, se obtiene un impar que sumado al anterior da impar. Lo mismo sucede si se suman 5. Si se suman 4, los cuatro números pares sumados dan par, y los cuatro 1 sumados también, al sumarlos se obtiene un número par.85. Los números 60, 72, 84, 90, 96 son los que tienen 12 divisores y es la máxima cantidad de divisores de los números menores que 100.86. a. Es correcto porque analiza todos los posibles divisores para investigar si con alguno da resto 0.b. 83, 37, 57 y 29.c. 36 = 2 × 2 × 3 × 3 1.200 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 49 = 7 × 7 68 = 2 × 2 × 17 77 = 7 × 11 1.235 = 5 × 13 × 19.Hay una única manera porque los factores son números primos y estos no se pueden escribir como producto de otros primos.
Páginas 26 y 2787. Dentro de 28 días.88. Tendrá que distribuirlas en 28 sobres de 6 figuritas cada uno.89. Por ejemplo: 45 y 72. Para hallarlos se puede descomponer 360 como producto de números primos. Los números propuestos son el producto de algunos de ellos de forma tal que aparezcan todos los factores primos tantas veces como en 360 en alguno de los dos números. En el ejemplo: 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, 45 = 3 × 3 × 5 y 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, donde los tres factores 2 del 360 aparecen en el 72, los dos factores 3 aparecen tanto en el 45 como en el 72, y el único factor 5 aparece en el 45.90. a. 33 y 22. Cada uno es el producto de 11 por otro número primo.b. Infinitos porque hay infinitos los números primos.c. 3 y 7. Se pueden encontrar infinitos porque cualquier par de núme-ros primos tiene como divisor común mayor a 1.91. a. Los equipos estarán formados de 8 chicos.b. Se formarán 7 equipos.92. Tenían que formar 25 chicos.93. a. mcm (18.000, 16.200) = 24 × 34 × 53 = 162.000.DCM (18.000, 16.200) = 23 × 32 × 52 = 1.800.b. 15.200 = 25 × 52 × 19, 57.500 = 22 × 54 × 23.mcm (15.200, 57.500) = 25 × 54 × 19 × 23 = 8.740.000, es el producto de todos los factores primos que aparecen en ambos números, con el máximo exponente.DCM (15.200, 57.500) = 22 × 52 = 100, es el producto de los factores pri-mos comunes a ambos números, con el mínimo exponente.94. Para que los números sean coprimos, en su escritura como pro-ducto de factores primos, los primos que están en una factorización deben ser diferentes a los de la factorización del otro,.
Página 28 y 2995. a. 48.750 : 2 : 5 b. 10 × 5.370 – 48.750 c. iii. y iv.96. Sirven las cuentas: a. , b. y d.97. a. iii. b. Tienen que vender 2.736 rifas.c. (1.780 + 2.450 × 4 + 350 × 6) : 5. d. Tienen que venderlas a $137.e. (1.780 + 2.450 × 4 + 350 × 6) : 100.
98. Por ejemplo:a. Entre 8 hermanos decidieron comprarle una camioneta al padre. Tienen que pagar $9.000 al contado y 20 cuotas de $4.500 cada una. ¿Cuánto aporta en total cada uno?b. Un comerciante debe a un banco 12 cuotas de $8.700, a otro 12 cuotas de $3.800 y a un amigo $800. ¿Cuánto debe en total?c. En una empresa van a comprar 50 televisores de $1.200 cada uno, 80 computadoras de $1.300 cada una, pero le devuelven al proveedor 30 reproductores de DVD que están fallados, con un costo de $200 cada uno. ¿Cuánto tienen que pagar?d. Julián tenía ahorrados $10.000 e hizo cuatro extracciones de $1.300 cada una. ¿Cuánto dinero le queda?
Página 30 Aprender con la calculadora1. Sumar 100. 2. Sumar 1.000. Sumar 10.000.3. Restar 75.900. Restar 5.987. Restar 75.980.4. Restar 985.053. 5. Restar 974.023.510.6. Sumar 1.000.000.7. Hay que considerar si el número que se quiere obtener es mayor o menor para elegir entre sumar y restar. Luego hay que identificar cuales son las cifras que quedan igual y cuales son las que cambian, así como su posición. Por último se suma o se resta, según corresponda, un número formado por: ceros en las posiciones de las cifras que quedan igual, y las diferencias con el número buscado en las cifras que cambian.8. El mínimo valor que hay que sumarle es 20.9. 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 110.a. Multiplica por 10. b. 5 veces.11. a. 81 ; 6.561.b. i y ii, porque los resultados serán siempre potencias de 9.
Páginas 31 y 32 Integrar lo aprendido1. a. 5.079.099 b. 495.230 c.1.923.000 d.150.580.4202. Por ejemplo: a. 8 × 105 + 7 × 104 + 6 × 103 + 4 × 102 + 2 × 10 + 6b. 7 × 107 + 5 × 106 + 5 × 105 + 9 × 104 + 7 × 103 + 3 × 102 + 2 × 10 + 5c. 3 × 108 + 6 × 107 + 9 × 106 + 569 × 103 + 5 × 102 + 69d. 98 × 106 + 26 × 10 + 23.
36.000 539.000 1.911.000
a. 36 × 1.000 539 × 1.000 1.911 x 1.000
b. 25 × 32 × 53 25 × 53 × 72 × 11 23 × 3 × 53 × 7 2 × 13
c. 3 × 104 + 6 × 103 5 × 105 + 3 × 104 + 9 × 103 1 × 106 +9 × 10 5 + 1 × 10 4 + 1 × 10 3
4. No es correcta. 56.823 × 1.768 = (50.000 + 800 + 20 + 3) × (1.000 + 700 + 60 + 8) = 50.000 × 1.000 + 50.000 × 700 + 50.000 × 60 + 50.000 × 8 + 800 × 1.000 +800 × 700 + 800 × 60 + 800 × 8 + 20 × 1.000 + 20 × 700 + 20 × 60 + 20 × 8 + 3 × 1.000 + 3 × 700 + 3 × 60 + 3 × 8 = 100.463.064.5. Por ejemplo:a. 432 × (100 : 2) = (432 × 100) : 2 = 43.200 : 2 = (42.000 + 1.000 + 200) : 2 = 42.000 : 2 + 1.000 : 2 + 200 : 2 = 21.000 + 500 + 100 = 21.000 + 600 = 21.600 432 × (10 × 5) = (432 × 10) × 5 = 4.320 × 5 = (4.000 + 300 + 20) × 5 = 4.000 × 5 + 300 × 5 + 20 × 5 = 20.000 + 1.500 + 100 = 21.600. b. 586 × (10 + 2) = 586 × 10 + 586 × 2 = 5.860 + (500 + 80 + 6) × 2 = 5.860 + 500 × 2 + 80 × 2 + 6 × 2 = 5.860 + 1.000 + 160 + 12 = 6.860 + 172 = 7.032586 × (6 × 2) = 3.516 × 2 = 7.032
capítulo 1
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NÚMEROS Y OPERACIONES 1
98. Por ejemplo:a. Entre 8 hermanos decidieron comprarle una camioneta al padre. Tienen que pagar $9.000 al contado y 20 cuotas de $4.500 cada una. ¿Cuánto aporta en total cada uno?b. Un comerciante debe a un banco 12 cuotas de $8.700, a otro 12 cuotas de $3.800 y a un amigo $800. ¿Cuánto debe en total?c. En una empresa van a comprar 50 televisores de $1.200 cada uno, 80 computadoras de $1.300 cada una, pero le devuelven al proveedor 30 reproductores de DVD que están fallados, con un costo de $200 cada uno. ¿Cuánto tienen que pagar?d. Julián tenía ahorrados $10.000 e hizo cuatro extracciones de $1.300 cada una. ¿Cuánto dinero le queda?
Página 30 Aprender con la calculadora1. Sumar 100. 2. Sumar 1.000. Sumar 10.000.3. Restar 75.900. Restar 5.987. Restar 75.980.4. Restar 985.053. 5. Restar 974.023.510.6. Sumar 1.000.000.7. Hay que considerar si el número que se quiere obtener es mayor o menor para elegir entre sumar y restar. Luego hay que identificar cuales son las cifras que quedan igual y cuales son las que cambian, así como su posición. Por último se suma o se resta, según corresponda, un número formado por: ceros en las posiciones de las cifras que quedan igual, y las diferencias con el número buscado en las cifras que cambian.8. El mínimo valor que hay que sumarle es 20.9. 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 110.a. Multiplica por 10. b. 5 veces.11. a. 81 ; 6.561.b. i y ii, porque los resultados serán siempre potencias de 9.
Páginas 31 y 32 Integrar lo aprendido1. a. 5.079.099 b. 495.230 c.1.923.000 d.150.580.4202. Por ejemplo: a. 8 × 105 + 7 × 104 + 6 × 103 + 4 × 102 + 2 × 10 + 6b. 7 × 107 + 5 × 106 + 5 × 105 + 9 × 104 + 7 × 103 + 3 × 102 + 2 × 10 + 5c. 3 × 108 + 6 × 107 + 9 × 106 + 569 × 103 + 5 × 102 + 69d. 98 × 106 + 26 × 10 + 23.
4. No es correcta. 56.823 × 1.768 = (50.000 + 800 + 20 + 3) × (1.000 + 700 + 60 + 8) = 50.000 × 1.000 + 50.000 × 700 + 50.000 × 60 + 50.000 × 8 + 800 × 1.000 +800 × 700 + 800 × 60 + 800 × 8 + 20 × 1.000 + 20 × 700 + 20 × 60 + 20 × 8 + 3 × 1.000 + 3 × 700 + 3 × 60 + 3 × 8 = 100.463.064.5. Por ejemplo:a. 432 × (100 : 2) = (432 × 100) : 2 = 43.200 : 2 = (42.000 + 1.000 + 200) : 2 = 42.000 : 2 + 1.000 : 2 + 200 : 2 = 21.000 + 500 + 100 = 21.000 + 600 = 21.600 432 × (10 × 5) = (432 × 10) × 5 = 4.320 × 5 = (4.000 + 300 + 20) × 5 = 4.000 × 5 + 300 × 5 + 20 × 5 = 20.000 + 1.500 + 100 = 21.600. b. 586 × (10 + 2) = 586 × 10 + 586 × 2 = 5.860 + (500 + 80 + 6) × 2 = 5.860 + 500 × 2 + 80 × 2 + 6 × 2 = 5.860 + 1.000 + 160 + 12 = 6.860 + 172 = 7.032586 × (6 × 2) = 3.516 × 2 = 7.032
c. 650 × (20+5) = 650 × 20 + 650 × 5 =13.000 + 3.250 = 16.250650 × (50 : 2) = (650 × 50) : 2 = 32.500 : 2 = 16.250.d. 1.250 × (100 – 1) = 1.250 × 100 – 1.250 × 1 = 125.000 – 1.250 = 123.750. 6. Sí, es cierto, porque 30 × 150 = 30 × (100 + 50) = 3.000 + 1.5007. 28 × 60 = (7 × 4) × (3 × 20) = 7 × (4 × 3) × 20 = (7 × 12) × 20 = 84 × 208. 209. 1.410 : 24 da cociente 58 y resto 18. 1.410 : 58 da cociente 24 y resto 18.10. a. 64b. Sí, porque en todas las cifras se puede poner los mismos números, la cuenta que lo resuelve es 4 × 4 × 4 = 43.11. 45 12. 28 13. 5.04014. a. 24 b. 256 c.12 d. 32e. El b. porque todos los dígitos pueden ocupar todos las ubicaciones.15. Por ejemplo: 6, 10, 12, 20, 80.16. Hay más números que tienen una cantidad par de divisores. Y también hay números que tienen una cantidad impar de divisores: 9, 16 , 25 y 49 por ejemplo.17. 2: 1 y 2 3: 1 y 3 4: 1, 2, 4 5: 1, 5 6: 1, 2, 3, 6 7: 1, 7 8: 1, 2, 4, 8 9: 1, 3, 9 10: 1, 2, 5, 10 11: 1, 11 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 13: 1, 13 14: 1, 2, 7, 14 15: 1, 3, 5, 15 16: 1, 2, 4, 8, 16 17: 1, 17 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 19: 1, 1918. a. 10 = 3 + 7 14 = 7 + 7 16 = 11 + 5 18 = 11 + 7 228 = 5 + 223 b. Si cualquiera.19. a. Por ejemplo: 75.b. La respuesta no es única. Hay infinitos que se pueden obtener mul-tiplicando 25 por un número que sea coprimo con 4, de modo que no tenga otros factores en su descomposición que sean comunes con el 100 además del 25, dado que 100 = 25 × 4. 20. a. Por ejemplo, 32.b. La respuesta no es única. 600 = 23 × 3 × 52 y 2.400 = 25 × 3 × 52,se puede ver que 160 = 25
× 5 y 96 = 25× 3 son otras respuestas posibles.21. Tiene 95 figuritas.22. Sí es cierto. Pasa con todas las fechas porque en un año que no es bisiesto hay 365 días y al dividir 365 : 7 se obtiene 52 como cociente y 1 como resto. Esto quiere decir que 365 días son 52 semanas y 1 día.23.b. Sí es cierto porque los divisores menores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 y los de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142. La suma de los divisores de cada uno de ellos nos da el otro número.c. 1.184 y 1.210 sí lo son; 2.620 y 2.924 también son números amigos.d. Sí, porque sus divisores menores son: 1, 2, 4, 7 y 14, y su suma es 28.e. Por ejemplo: 6; 496 y 8.128.
Capítulo 2: Los números racionales
Página 33 1.a. 7 globos a cada uno. Le quedan 2 globos sin repartir.b. No, porque los globos no se pueden dividir en partes. 2. Le da 7 a cada uno y sobran 2. Los que sobran pueden repartirse y le da más a cada uno.3. a. i. 15 libros en cada caja. Le sobran 2. ii. 15 y 1 __ 2 cm. No sobra alambre.b. La cuenta que resuelven los chicos es la misma, pero en uno es posi-ble repartir lo que sobra y en el otro no.c. Dana puede repartir el alambre que sobra porque el metro de alambre puede cortarse. En cambio los libros no pueden cortarse.
Página 34 y 35 4. a. Sí, porque de las dos maneras reciben la misma cantidad cada uno.
b. Sí, porque 13 ___ 6 =2 tartas y 1 __ 6 .
c. Le sirve, en ese caso le da 26 ___ 12 a cada uno.
5. a. Sí es cierto. b. Reciben lo mismo.
6. 15 ___ 6 o 2 y 1 __ 2 .
7. a. En 3 partes. Porque así le da 2 __ 3 a cada uno.b. Es cierto.c. Le dio uno entero a cada uno, después repartió los otros 5 en 3 par-tes iguales cada uno y les dio 5 de esas partes a cada chico.
Página 36 y 378. 3 enteros y 4 __ 7 . 9. a. Ambos tienen razón. b. 8 y 2 __ 6 .
c. Sí, es cierto porque si un pan se divide en 6 partes iguales y una maes-tra se lleva 2 de esas partes, se está llevando lo mismo que si al pan se lo divide en 3 partes iguales y la maestra se lleva una de las partes.10. a. 21 y 6 __ 7 kg b. Sí. Es el resultado exacto de la cuenta.
11. a. Porque divide todos los alfajores en 3.
b. i. 9 ii. 9 iii. 7 iv. 3 v. 6 ___ 13 vi. 4 vii. 9
Página 38 y 3912. Le quedaron 4 __ 5 del total de caramelos. 50 entra 5 veces en 250, como su hermano se queda con 50, entonces Manuel se queda con 4 de estas partes.13. Los bombones de chocolate blanco son 18. 14. Es correcto porque al multiplicar por 1 __ 5 está encontrando la quinta parte, es decir divide en 5 partes el total. La multiplicar por 3, tiene lo que representa 3 __ 5 del total.15. Le sobraron $50.16. Había 17 panqueques. 17. Entre 5 amigos. 18. Es cierto, porque 75 remeras de 100 es lo mismo que 75 ____ 100 = 3 __ 4 por lo tanto le queda 1 __ 4 de las remeras. 19. a. 4 ___ 15
b. No cambia porque la unidad de la que se tratan las fracciones es el camino, no su longitud.
20. Es cierto que 2 __ 3 es más que 2 __ 5 pero al no saber cuánto dinero tenía cada uno no es posible saber quién gastó más.
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SOLUCIONARIO
Página 40 y 4121. a, b y c. En todos los casos hay que dividir los rectángulos en par-tes iguales y analizar cuántas de esas partes están sombreadas.22. b, d y f. En todos los casos hay que dividir las figuras en partes iguales y analizar cuántas de esas partes están sombreadas.
23. a. 2 __ 9 b. 5 ___ 12 c. 3 ___ 16
24. Lo que dice Ana es correcto. Sin embargo, la medida de Javier es más exacta que la de ella. Cuando se mide se elige una unidad de medida que se toma como referencia. En este problema fue el palito.
25. a. ii. 2 unidades, iii. 1 y 1 __ 2 de unidad, iv. 1 __ 2 unidad, v. 1 __ 4 de unidad.
b. 1 __ 2 unidad. c. No es falso, porque entra una vez y media.d. i. mide 4 unidades, ii. mide 8 unidades, iii. mide 6 unidades, iv. mide 2 unidades, v. mide 1 unidad.26. a. Mide 15 cm. b. Mide 16,5 cm. 27. a. 1 y 1 __ 2 b. 2 __ 3 .
Páginas 42 y 4328. Sí, porque cada porción de Ana tiene 2 barritas, entonces Ana le dio, en total, a cada uno, 6 barritas que es lo mismo que les da Silvia.29. Si, porque para repartir 15 alfajores entre 4 personas se puede:Dar 3 alfajores enteros a cada uno y repartir los 3 que sobran, cada uno en 4 partes iguales y entonces cada uno recibirá 3 3 __ 4 . Los 3 __ 4 representan 3 partes de 1 __ 4 . Pero si a cada parte de 1 __ 4 se la divide en 2 partes iguales, se obtienen 2 partes de 1 __ 8 . Entonces cada uno recibe 3 veces, 2 partes de 1 __ 8 . Es decir, 6 __ 8 . En total, cada uno recibe 3 6 __ 8 de alfajor, que es lo mismo que en el otro caso.30. a. c. y e. reciben lo mismo, b. y d. reciben lo mismo.31.a. 56 b. 27c. No es posible porque 12 : 3 = 4 pero 7 : 3 no da entero.d. No es posible porque 2 no es divisor de 5. e. 3f. No es posible porque 10 no es múltiplo de 7.g. No es posible porque 7 no es múltiplo de 2. h. 2032. Son equivalentes: a. y d.; b. y e.; c. y f..
33. Hay infinitas. Por ejemplo: a. 26 ___ 18 b. 7 __ 4 c. 355 ____ 120 d. 26 ___ 22 e. 1 ___ 17 f. 92 ____ 364
g. 50 ___ 26 h. 27 ___ 5 i. 1 __ 2 j. 8 ___ 14
Páginas 44 y 45
34. a. 2 __ 5 , 3 __ 8 , 7 ___ 25 , 9 __ 2 , 63 ___ 45
b. Los que tienen una cantidad finita de cifras decimales son los que pue-den escribirse como fracciones decimales. Es decir, los del ítem a.35. a. Hay diferentes maneras de resolver este problema. Por ejemplo: comprar: 30 caramelos; o 10 chupetines; o 2 sobres de figuritas y un alfa-jor; o un juguito, un sobre de figuritas, 3 chupetines y 1 caramelo.b. No le alcanza. Le faltan 5 centavos.36. a. i. 5 monedas de $1 y 7 de 1 centavo. ii. 3 monedas de $1 y una de 25 centavos. iii. 2 monedas de $1, una de 25 centavos y 9 de 1 centavo. iv. 8 monedas de $1, una de 50 centavos y 4 de 1 centavo. v. 4 monedas de $1, 2 de 10 centavos y 4 de 1 centavo. b. La dada es la que lleva la menor cantidad de monedas.37. a. 72 décimos y 728 centésimos. b. 2 décimos y 28 centésimos.c. 34 décimos y 340 centésimos. d. 982 décimos y 9.823 centésimos.e. 1 décimo y 14 centésimos.38. Es cierto. Se podría pensar en que para pagar justo $0,39 se usan39 monedas de 1 centavo.39. a. 7 b. 74 c. 17 d. 5; 73 e. 57 f. 457
Páginas 46 y 47
40. a. 3 1 __ 3 . b. 6 1 __ 3 . c. 7.41.
0 9 __ 10 1 _ 4 1 _ 2 1
42. Es correcto lo que dice Javier.
43.
0 1 _ 6 0,3 1 _ 3 1 _ 2
44.
0 4 __ 10 0,2 0,5
45. a. A = 3 __ 5 , B = 1. b. A = 33 ____ 100 , B = 36 ____ 100 .46.
0 6 __ 10 1
0,57
47. a. 20 cm, para que 1 ___ 20 sea 1 cm, porque 20 es el múltiplo común menor de todos los denominadores.b. 9 cm, para que 1 __ 9 sea 1 cm. c. 12 cm, para que 1 ___ 12 sea 1 cm.
Páginas 48 y 4948. Para todos los números se puede calcular la división entre el numerador y el denominador, obteniendo así la expresión decimal. El número dado estará entre la parte entera de la expresión decimal y el siguiente número natural.
a. 2 y 3 b. 0 y 1 c. 1 y 2 d. 0 y 1 e. 98 y 99 f. 56 y 57
49. a. 3 ___ 20 > 3 ___ 40 b. 67 ___ 8 < 68 ___ 8 c. 2 __ 9 = 18 ___ 81 d. 5 ___ 12 > 1 ___ 27
e. 3 __ 7 > 2 __ 5 f. 5 __ 6 > 2 __ 3 g. 9 __ 4 > 25 ___ 81 h. 13 ___ 27 < 3 __ 5
50. a. 2,65 ; 23 ___ 9 ; 2,555 ; 2,55
b. 1,25401 ; 1,254 ; 1,205 ; 1,0253
c. 7,65 = 7,650 = 153 ____ 20 ; 7,065
d. 2,25 = 18 ___ 8 ; 2,205 ; 2,025 ; 2,0025
e. 6,01 ; 5,83 ; 291 ____ 50
f. 3,25 ; 3,0045 ; 2,54
51. a. = b. > c. = d. < e. > f. <52. a. 52 litros. b. 18 litros.c. Es más oscura. Si se quiere la misma tonalidad que antes, para 4 litros de pintura roja se necesitan 52 ___ 3 litros de pintura amarilla.d. Es más claro. Si se quiere la misma tonalidad que al principio, para 3 litros de pintura roja se necesitan 13 litros de pintura amarilla.
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NÚMEROS Y OPERACIONES 1
capítulo 2
Páginas 50 y 51
53. a. i. 98 y 99 ii. 56 y 57 iii. 23 y 24 iv. 45 y 46
b.i. 1.960 _____ 20 y 2.000 _____ 20 ii. 5.601 _____ 100 y 5.700 _____ 100 iii. 1.170 _____ 50 y 1.200 _____ 50 iv. 1.110 _____ 35 y 1.600 _____ 35
c.i. 984 ____ 10 y 985 ____ 10 ii. 564 ____ 10 y 565 ____ 10 iii. 235 ____ 10 y 236 ____ 10 iv. 453 ____ 10 y 454 ____ 10 54. a. 1,9; 2 y 2,1 b. 4,28 ; 4,29 ; 4,295 c. 0,401 ; 0,402 ; 0,403d. 3,071 ; 3,072 ; 3,073 e. 0,1 ; 0,2 ; 0,25 f. 1,00351 ; 1,00352 ; 1,00353g. 10,02 ; 10,03 ; 10,04 h. 0,00251 ; 0,00252 ; 0,00253
55. a. Solo existe uno, el 9. b. 17 ___ 2 ; 18 ___ 2 ; 19 ___ 2 c. 73 ___ 9 ; 74 ___ 9 ; 80 ___ 9
56.a. i. Por ejemplo, 6 __ 4 .
ii. Hay 7: desde 11 ___ 8 hasta 17 ___ 8 , variando el numerador entre 11 y 17. b. Hay infinitos.
57. a. i. 1 __ 2 ii. 4 __ 9 . b. Hay infinitos.
58. a. i. No hay ninguno, porque 2 __ 3 = 6 __ 9 .
ii. 11 ___ 18 . Uno solo con ese denominador, porque 5 __ 9 = 10 ___ 18 y 2 __ 3 = 12 ___ 18 .b. y c. Infinitos, por la misma razón que en 55.c.59.a. i. 1,2 ii. 1,1 iii. 1,01 iv. 1,0001b. Infinitos números. Basta con agregar cifras decimales iguales a cero salvo la última, manteniendo las primeras cifras.60. a. 0,256. Hay infinitos, por la misma razón que en 58.b.b. Con dos cifras decimales no hay. Porque es lo mismo que hallar un número natural entre 25 y 26, que no hay.
61.a. 813 ____ 250 . Hay infinitos números posibles,similar al 59.
b. 3,258.Hay infinitos números posibles, similar al 58.e.c. 3,251. Hay 9 posibles, desde 3,251 hasta 3,259, variando los milésimos.62. No es correcto lo que dice Julián porque hay más números entre ellos. Por ejemplo: 4,537, 4,590001, 4,50000007. 63.a. i. 1,3 y 1,4 ii. 1,1 iii. 1,01b. Siempre se pueden encontrar números entre el mayor elegido en a. y 2.c. Las mismas conclusiones que en b.64. Entre dos números decimales cualesquiera siempre hay infinitos números decimales, por lo explicado en 59.b.
Página 52
65. 1 __ 2 , 1 __ 4 , 2 __ 5 , 3 __ 6 , 3 __ 8
66. a. En su expresión irreducible, el denominador es divisible solo por 2 y/o por 5.b. En su expresión irreducible el denominador es divisible por algún número que no es ni 2 ni 5.c. Sí es cierto porque cumple lo expuesto en b.67. Por ejemplo i. 5, 6, 21, 81, 1, 19, 10, 100, 25, 16ii. Por ejemplo: no es posible, 1 y 5. Es posible en los otros casos.iii. Por ejemplo: 8, 6, 14, 81, 100, 19, 4, 3, 32, 46.b. Seguramente no ya que en muchos casos hay varias opciones.
66. 1 __ 3 = 0,333... , 4 __ 3 = 1,333... , 5 __ 3 = 1,666... , 10 ___ 3 = 3,333... , 1 __ 6 = 0,1666...
67. 2 __ 7 = 0,285714... 10 ___ 14 = 0,714285... 8 __ 7 = 1,142857... 15 ___ 7 = 2,142857...
16 ___ 7 = 2,285714...
Páginas 53 y 54 Integrar lo aprendido
1. a. 41 ___ 5 b. 1 __ 7 c. 28 ___ 4 d. 89 ___ 3
2. a. 3 alfajores y 1 __ 3 . b. 23 alfajores y 1 __ 3 .
3. a. 1 __ 4 b. 2 __ 5 4.a. 4 __ 5 b. 5 __ 4
5.a. b.
6. 105 figuritas.
7. 1 __ 2 de la mitad, es decir, 1 __ 4 .
8. No se puede saber cuánta plata le queda porque habría que saber cuál es su sueldo. Solo se puede saber que le queda 4 ___ 15 del sueldo, pero no sabemos cuánta plata es.
9. 2 __ 5 = 0,40 y 3 __ 9 = 2 __ 6 .
10. a. 4,04; 4,12; 4,4; 5,009; 5,013; 5,08; 5,15; 5,3.
b. 4 __ 5 ; 0,81; 0,85; 0,8509; 77 ___ 90 ; 8 __ 9 . c. 6 __ 5 ; 1,23; 31 ___ 25 ; 9 __ 4 ; 2,251; 113 ____ 50 .
11. Se puede con 1 3 __ 5 , pero no con 3 __ 7 . 12. 20 unidades.
0 1 2 3
0,3 7 _ 4 5 _ 2
13. En la primera. 14. a. 2 cifras. b. 1 cifra c. 3 cifras d. 1 cifra15.a. = b. < c. < d. >
16. No, porque hay muchos números entre 1,8 y 1,85.
17. a. 2 __ 3 < 7 __ 3 < 15 ___ 3 < 231 ____ 3 . b. 2 ____ 231 < 3 ___ 15 < 3 __ 7 < 3 __ 2 .
c. 1 __ 4 < 5 ___ 15 < 3 __ 8 < 1 __ 2 . d. 3 ___ 15 < 1 __ 4 < 13 ___ 8 < 7 __ 3 .
18. a. 0,65; 0,66; 0,7 b. 1,31; 1,32; 1,33 c. 4,891; 4,8900012; 4,899
d. 0,352; 0,366; 0,37 e. 7,031; 7,032; 7,0308 f. 0,8; 0,86; 0,9
g. 0,4; 0,5; 0,6 h. 0,02; 0,05; 0,1 i. 0,61; 0,65; 0,606 j. 3; 4; 5
19. a. 7,54 b. 87,34 c. 90,35 d. 32,43
20. a. 234 _____ 1.000 b. 154 ____ 100 c. 25 ___ 10 d. 205 ____ 100 e. 25 ___ 10
f. 234 ____ 100 g. 9.203 _____ 1000 h. 9.203 _____ 100 i. 1.540 _____ 1.000
b. Son equivalentes b. con i. y c. con e..
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Litros de pintura blanca 1 3 __ 2 1 __ 2 2 __ 5
Litros de pintura roja 2 3 1 4 __ 5
buscado. Si se quiere hallar un número x tal que a__b×x=c__d, entonces
tomando x=b__a×c__d , queda: a__b×(b__a×c__d)=(a__b×b__a)×c__d=1×c__d=c__d .
19. Sí, porque multiplicar por 1 __ 2 es considerar la mitad del número.20. a. Multiplicar agranda si se multiplica por un número mayor que 1 pero si se multiplica por un número menor que 1, se achica.b. i. < ii. > iii. = iv. > v. < vi. <
Aprender con la calculadora1. Hay muchas maneras de resolverlo. Por ejemplo:a. 1 + 1 + 3 + 0,1 + 0,1 b. 1,11 + 1,11 + 1,111 + 1,111c. 30,03 + 1 + 1 + 0,1 + 0,1 – 1,11 – 0,11 d. 1,33 + 1,33e. 40,43 × 5 + 40,43 × 0,1 + 40,43 × 0,1 + 5 + 0,1 + 0,1 + 5 + 0,1 + 0,12. a. 1 : 10 b. 1 : 100 c. 5 : 10 d. 32 : 10 e. 9.823 : 1003. a. i. 1 __ 2 ii. 2 __ 5 iii. 1 1 __ 4 iv. 5 __ 4 b. No son distintos, están expresados de otra manera.
Páginas 62 y 63
21. 5 ___ 12 22. 3 __ 5 23. 2.681 km
24. 40 figuritas 25. 71 ____ 105 26. 27 ___ 80 27. $3.850
28. a. El segundo b. El primero c. Al segundo le falta menos
29. a. 9 ___ 20 del sueldo. b. $675
Páginas 64 y 65 30. a. 100 : 10 = 10 b. 68 : 2 = 34 c. 72 : 4 = 18 d. (78 × 2) : 3 = 5231. a. y b. Verdaderas, porque multiplicar por un número natural es sumar varias veces el mismo número.
c. Falsa. Por ejemplo: 4 × 1 __ 2 = 2. d. Falsa. 3 __ 5 × 5 __ 3 = 1, que es mayor que 3 __ 5 .
32. a. Es correcta. 3 __ 8 es 3 veces 1 __ 8 , entonces
3 __ 8 × 7 = (3 × 1 __ 8 ) × 7 = 3 × ( 1 __ 8 × 7), pero ( 1 __ 8 × 7) es 7 veces 1 __ 8 ,
es decir, 7 __ 8 , luego 3 × ( 1 __ 8 × 7) = 3 × 7 __ 8 .
b. Es incorrecta, porque 9 + 3 ___ 11 > 9 y 9 ___ 11 + 3 < 4.
c., d. y g. Son correctas. e., f. y h. son incorrectas.
33. a. Silvia: 1 __ 5 . Nacho: 14 ___ 13 . Javier: Cualquier número mayor que 3.
Ana: 19 ___ 8 .
b. Hay un solo número, salvo en el caso de Natalia.34. a. i. 1 ii. 0,1 iii. 23,4 iv. 122,345 v. 10 vi. 1 vii. 234viii. 1.223,45 ix. 100 x. 10 xi. 2.340 xii. 12.234,5b. Cuando se multiplica por una potencia de 10, se corre la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el número.35. a. Sí, es correcto. b. i. 23 ii. 42 iii. 35,5 c. i. 84 ii. 219 iii. 177,5
Páginas 66 y 67 36.a. Porque ya sabe multiplicar fracciones y todos los números racio-nales pueden escribirse de manera equivalente como fracción.b. Realiza la división del numerador por el denominador. c. Para que ambos resultados fueran números naturales y así no tener decimales. d. Sí, lo podría haber hecho, y le hubiera dado equivalente.e. Porque multiplicó por 1.000 y por 100, o sea que multiplicó por 100.000.f. El razonamiento de Ian es correcto porque si en un producto se mul-tiplica uno de los factores por otro número, el resultado también que-da multiplicado por ese número.37.a. Es cierto, da el mismo resultado porque al primer factor se lo divide por 10 y al segundo se lo multiplica por 10.
Capítulo 3: Operaciones con números racionales
Página 551. Sí, es correcto, porque tiene en total 3 partes de 1 __ 5 .2. a., b., e. y f.. Algunas justificaciones son:a. 1 __ 2 es equivalente a 2 __ 4 , se tienen entonces 3 partes de 1 __ 4 que es menos que 4 partes de 1 __ 4 que forman el entero.f. 2 __ 7 y 2 __ 8 son menores que 1 __ 2 , entonces, al sumarlos, da menor que 1.3. a. Son correctos los procedimientos. b. Como a Iael le quedan 13 centésimos, lo descompone en 10 centé-simos y 3 centésimos. Los 10 centésimos equivalen a 1 décimo y por eso pone el 1 sobre el 2 que también representan décimos.c. 13 centésimos = 10 cent. + 3 cent. = 1 décimo + 3 centésimos.4. a. 0,5, b. 1,1, c. 2,547
Páginas 56 y 575. a. Son correctos ambos procedimientos.b. El resultado es 1 __ 4 = 2 __ 8 .c. Son iguales porque las fracciones son equivalentes.6. a. El segundo es menor porque se le resta más.b. El primero es menor porque se le resta más.
7. a. 4 __ 5 b. 11 ___ 9 c. 3 __ 4 d. 3 __ 4 e. 1 __ 4 f. 1 ___ 10 8. a. 6 __ 5 b. 11 ___ 4 c. 1 __ 9 d. 17 ___ 35
9. a. Verdadera. b. Falsa. 10. a. $3,05 b. i. Gastón y Demián.ii. Demián consideró los 30 centavos como 10 centavos + 20 centavos. El 1 con el 0 forman el 10, al que le resta 5, y el 2 es el que cambia el 3, al que le resta 2.11. a. 0,2 b. 0,458
Páginas 58 y 5912. a. Falsa. El doble de 1 __ 2 es 1. b. Verdadera, porque 2 __ 5 + 2 __ 5 + 2 __ 5 = 6 __ 5 .
c. Falsa. El doble de 2 __ 2 es 2. d. Verdadera, porque 4 veces 1 __ 4 es 1.13. Sí, es cierto. Lo que dice Nacho se puede observar en el dibujo que proviene de dividir el largo en 8 partes y el ancho en 5 partes. Lo que dice Ana se deduce de que el área del predio es: L × A, y la de la pileta es: 5 __ 8 × L × 3 __ 5 × A = ( 5 __ 8 × 3 __ 5 ) (L × A).b. Por ejemplo, se puede tomar 1 __ 2 del ancho y 3 __ 4 del largo.
c. 2 ___ 12 del área.
14.
15. a. 3, b. 5 __ 2 , c. 5 __ 3 , d. 3 __ 4 , e. 1 __ 4
16. a. Lo que hace Luis es usar que cualquier número multiplicado por 1, da el mismo número y así armar el número necesario.
b. i. 24 ii. 45 ___ 8 iii. 1 ___ 28 iv. 18 v. 6 ___ 50 vi. 12 ___ 35
Páginas 60 y 61
17. a. 7 __ 3 b. 21 c. 1 __ 2 d. 9 __ 2 e. 4 ___ 15 f. 12 ___ 5
18. a. Lo que dice Ana es correcto.b. Sí, pasa lo mismo, siempre que el número no sea 0.c. El número buscado es el inverso del primer factor por el resultado
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11.
723
Páginas 72 y 7352. a. i. 45 ii. 375,4 iii. 1.222,345 iv. 312.754 v. 122.223,45b. i. 3.127,54. Se usa iv. ii. 1.222,2345. Se usa v. iii. 37,54. Se usa ii. iv. 122,2345. Se usa iii. v. Se corre la coma dos lugares a la izquierda.c. Cuando se divide por una potencia de 10, se corre la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tiene el divisor.53. a. Están usando que 0,1 = 1 ___ 10 y que multiplicar por un número es lo mismo que dividir por su inverso.b. i. 2.300 ii. 420.000 iii. 35.500.000c. i. 2.100 ii. 243.333,333… iii. 7.100.00054. a. 5,01 b. 2,53 55. 13,81536 : 3,28 = 4,212 y 13,81536 : 4,212 = 3,28.56. La cuenta depende de lo que se quiera averiguar. Si, por ejemplo, se quiere resolver el problema: “Tengo 9 figuritas para pegar en 4 páginas de un álbum y quiero pegar la misma cantidad en cada una. ¿Cuántas figuritas pego en cada página?”. Hay que hacer la cuenta de Julián y la respuesta es que pego 2 en cada página y sobra 1 sin pegar. En cambio, si se quiere resolver el problema: “Tengo que repartir $9 entre 4 chicos, todos deben recibir lo mismo y no debe quedar nada sin repartirse.”. Hay que hacer la cuenta de Bruno y cada uno recibe $2,25.
Páginas 74 y 7557. a. Para convertirla en una cuenta de números naturales. b. Por 1.000 sí. Por 10 también, pero no le hubiera quedado una división entre números naturales, con lo cual no le serviría para su objetivo.c. Porque busca una fracción equivalente a la anterior que sea irreducible.d. i. 35,23 ii. 0,2612 iii. 489,35 iv. 458,65.58.a. Producción personal.b. Sí, porque 58 enteros equivalen a 5.800 centésimos.c. Porque 58 son enteros y 19 son centésimos. d. Son 23 centésimos.e. Porque ya el 253 no entra más veces enteras en el dividendo.f. De hacer las diferencias entre los décimos y luego entre los centésimos.g. i. 15,25 ii. 23,45 iii. 48,35 iv. 36,53h. Producción personal
Páginas 76 y 77
59. a. 1 __ 4 b. 1 ___ 16 c. 32 ____ 243 d. 0,01 e. 5,832
f. 0,000001 g. 81 ___ 16 h. 1,331 i. 1 ___ 81 j. 65,61
60. a. 1 __ 3 b. 7 3 b. 5 2 __ 3 c. 9 ___ 10 d. ( 10 ___ 9 ) 3 e. 8 __ 7 f. 2,3 5 g. 1,84 h. 0,32
61. a. 1 __ 3 b. 1 __ 8 c. 5 ___ 11 d. 2 __ 5 e. 0,1 f. 1,1
62. Si un número es menor que 1 y positivo, al calcularle una raíz, se agranda. En cambio, si es mayor que 1, se achica.
a. 1 ___ 25 b. 27 ___ 64 c. 121 ____ 169 d. √____
1,44 e. 0,25 f. 0,008 g. √____
0,09 h. 3 √_____
0,064
63. a. Verdadera. b. Falsa. c. Falsa.
d. Verdadera. e. Verdadera. f. Verdadera.
64. a. 1.561 _____ 1.500 b. 73 ____ 144 c. 1.601 _____ 40 d. 167 ____ 300 e. 11 ___ 20
b. Por ejemplo: 25 × 3,8, 0,25 × 0,38, 25 × 0,38, 25 × 38, 0,025 × 3.80038. a. 1.742,336 b. 17,42336 c. 17.423,3639. a. 32 × 0,912, porque el primer factor es siempre el mismo, enton-ces hay que elegir el que tiene un menor segundo factor.b. 5,89 × 0,0912.40. a. Por ejemplo: 5 × 1 o 1 __ 5 × 25.b. Hay infinitas posibilidades, todas las que son de la forma: a__b×b×5____a , con a y b enteros distintos de 0.c. El resultado se mantiene igual porque 0,1 × 10 = 1.41. a. Por ejemplo: 19 × 1 __ 5 o 38 × 1 ___ 10 .b. Hay infinitas posibilidades, todas las que son de la forma: a__b×b×19_____a×5 , a y b enteros distintos de 0.c. No, no es cierto, el resultado queda multiplicado por 4.
Cantidad de kilogramosde carne 1
3 __ 4 1
1 __ 2
1 __ 2 3 5,5
Precio a pagar 16,20 12,15 24,30 8.10 48,60 89,10
42. a. $0.82 b. Es cierto porque 1 __ 4 = 0,2543. a. b. i. Sirve para completar la segunda columna a partir del dato.ii. No sirve para completar ningún casillero.iii. Sirve para completar la cuarta columna a partir del dato.iv. Sirve para completar la tercera columna a partir de la segunda.
Páginas 68 y 6944. a.
Cantidad de acelga (kg) 1 __ 8 1 __ 4 3 __ 8 3 __ 4
Personas que comen 1 2 3 6
b. i. Busca una fracción equivalente.ii. Para que el numerador sea múltiplo de 6.iii. Porque 6 __ 8 es 6 veces 1 __ 8 . Lo hace para separar en 6.iv. Igual que antes pero le hubiera quedado 2 ___ 16 .v. Como dividir por 6 es tomar la sexta parte, es lo mismo que multi-plicar por 1 __ 6 .
45. a. 1 __ 8 b. 2 ___ 15 46. 20 vasos.
47. a. i.1.000 frascos. ii. 2.000 frascos. iii. 4.000 frascos. iv. 8.000 frascos.b. Sí. c. 334 frascos, pero uno queda lleno en 1 __ 3 .
Páginas 70 y 7148.a. Como el área debe dar 5 ___ 12 , hay que encontrar un número que multiplicado por 1 __ 3 de por resultado 5 ___ 12 . Ese número es 5 __ 4 . Pero no es posible tomar para el largo de la edificación, 5 __ 4 del largo original, dado que al ser un número mayor que 1, se toma más largo de terreno del que se dispone. No se puede, entonces, edificar el edificio con esas características.b. Las dos formas de resolver el problema son correctas.
c. i. 9 __ 7 ii. 4 __ 5 iii. 8 ___ 15 iv. 20 ___ 21 v. 23 ___ 13 vi. 1
49.a. De 1 __ 4 son 70 envases enteros y sobra 1 __ 6 litro. De 1 __ 2 son 35 envases
enteros y sobra 1 __ 6 litro.
b. 23 envases enteros y sobra 5 ___ 12 litro.
50. 10 ___ 21 : 2 __ 3 = 5 __ 7 y 10 ___ 21 : 5 __ 7 = 2 __ 3 .
51. a. 27 ___ 8 b. 3 ___ 10 c. 16 ___ 35 d. 123 ____ 115 e. 15 ___ 13
12
SOLUCIONARIO
Aprender con la calculadora1. Es correcto lo que dice Silvia. Cuando se usa una calculadora hay
que ser precavido en como se ingresan los datos.
2. a. 8 ___ 27 b. 2 ___ 27 c. 8 __ 3 d. 4 ___ 14 e. 4 ____ 196 f. 16 ___ 14 g. 1 27 ____ 100 h. 499 13 ___ 50 i. 0
Página 78 Aprender con calculadora1. × 1002. 32,5×10=325; 32,5:100=0,325; 32,5:1.000=0,0325; 32,5×100=3.2503. – 40 4. – 0,008 5. Multiplicar o dividir por una potencia de 10.6. – 0,54 7. a. Multiplica por 1.000. b. Divide por 100.8. 4 : 7; 8 : 14; 12 : 21; 40 : 70. 9. 19 : 5; 38 : 10; 190 : 50; 57 : 15.
10.a. 39 : 5; 78 : 10; 117 : 15; 156 : 20. b. 39 ___ 5 , 78 ___ 10 , 117 ____ 15 , 156 ____ 20 .
c. Sí, son los resultados de las divisiones escritos en forma de fracción.
Páginas 79 y 80 Integrar lo aprendido1. a. Sí, es cierto. b. 11 ___ 60 del tiempo. c. A Ciencias Sociales.
2. No, es falso, porque la suma de las partes le da más del tiempo entero.
3. Pueden tomar, por ejemplo, 8 __ 9 × 2 __ 3 , es decir 8 __ 9 de un lado y 2 __ 3 del otro.
Hay infinitos pares de números que multiplicados den 16 ___ 27 , pero, en este caso, los dos números deben ser menores que 1.
4. 27 ___ 5 = 27 ___ 5 × 1 = 27 ___ 5 × ( 3 __ 8 × 8 __ 3 ) = ( 27 ___ 5 × 3 __ 8 ) × 8 __ 3 = 81 ___ 40 × 8 __ 3 .
5. Por ejemplo: a. 6. b. 0,3. c. 3 __ 2 d. 0,25 e. 1,01 f. 0,236. Ver explicación del punto b.7. a. 222,05 litros b. 12.823 ______ 60 litros c. 12.823 ______ 420 litros8. a. 155 b. 250 c. 1.528 d. 79. a. 10 veces. b. 1.000 veces para obtener 1, 10 veces para obtener 0,01 y 100 veces para obtener 0,1.10. Hay varias opciones. Por ejemplo, 40 lapiceras.11. a. 42 kilómetros. b. 4 horas y 12 minutos.12.
13. a. 1.312, b. 150 14. $18,025 15. Hay infinitos, basta con tomar cualquier número menor que 1.16. Hay infinitos, basta con tomar cualquier número menor que 1.
17. a. 3,54 b. 19 ___ 30 c. 1 __ 3 d. 0,25
18. a. Verdadera, porque entonces el denominador de su fracción irreducible equivalente va a ser divisible por 3.b. Falsa, por ejemplo: 6 ___ 15 es 0,4.c. Falsa, el ejemplo anterior sirve.d. Falsa, porque en ese caso se puede escribir como fracción decimal equivalente multiplicando numerador y denominador por 125, ya que 8 × 125 = 1.000.
capítulo 3
© T
inta
fre
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edic
ion
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. A.
| Pr
ohib
ida
su f
otoc
opia
. Ley
11.
723
Kilogramos de naranjas 1 6 4,5 22,5
Litros de jugo 5 __ 6 5 3,75 18,75