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TutorialMT-a5

Matemática 2006 Tutorial Nivel Avanzado

Proporcionalidad y porcentajes II

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Proporcionalidad y porcentajes Marco Teórico 1. Proporcionalidad.

1.1 Razón: Cuociente entre 2 cantidades homogéneas.

a : antecedente a

b = k b : consecuente

k : valor de la razón

1.2 Proporción: Igualdad de 2 razones.

ab

= cd

ó a : b = c : d

donde a y d: extremos ; b y c: medios 1.3 Teorema fundamental de las proporciones: En toda proporción se verifica que

el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

ab

= cd

⇔ a · d = b · c con a,b,c,d ≠ 0

1.4 Concepto de proporcionalidad directa:

Dos cantidades son directamente proporcionales, si y solo si, su división es constante.

x d.p. y ⇔ xy

= k

1.5 Concepto de proporcionalidad inversa:

Dos cantidades son inversamente proporcionales, si y solo si, su producto es constante.

x i.p. y ⇔ x ⋅ y = k

1.6 Serie de razones: es la igualdad de 2 o más razones (tiene 2 notaciones)

ab

= cd

= ef

= ... = k ó

a : c : e ... = b : d : f ... (a , c , e ... : antecedentes) (b , d , f ... : consecuentes)





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1.7 Proporción compuesta: es aquella en que intervienen más de dos variables.

Ejemplo: 5 operarios producen en 7 días 400 unidades de un producto. ¿Cuántas unidades del mismo producto pueden producir 14 operarios en 9 días?

Nuestras variables son: operarios, días y unidades.

Explicaremos un método muy útil para resolverlo. Siempre es conveniente dejar la incógnita al medio, que en este caso es unidades.

Operarios Unidades Días (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable 5 400 7 con la incógnita, que en este caso es unidades) 14 x 9 (Operarios y unidades son directamente proporcionales, unidades y días son también directamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas)

5 ⋅ x ⋅ 7 = 14 ⋅ 400 ⋅ 9 (Despejando x)

x = 14 · 400 · 95 · 7

(Simplificando)

x = 1440 ∴1440 unidades pueden producir 14 operarios en 9 días

2. Porcentajes:

Corresponde siempre a una proporción directa.

Se representa como: a% = a100

2.1 Porcentajes más utilizados expresados como fracción:

20 % = 15

, 40 % = 25

, 60 % = 35

, 80 % = 45

25 % = 14

, 75 % = 34

, 33,3 % = 1003

% = 33 13

% = 13

2.2 Porcentajes sucesivos: corresponden a: p% del q% de a

Se resuelve transformando los porcentajes a fracción y la palabra “ de “ por multiplicación.



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Ejemplo:

Calcular el 20% del 60% del 75% de 25

20100

⋅ 60100

⋅ 75100

⋅ 25 (Simplificando y multiplicando fracciones)

⇒ 15

⋅ 35

⋅ 34

⋅ 25 = 94

∴ El 20% del 60% del 75% de 25 es 94

2.3 Sean Pv : precio de venta, Pc : precio de costo ó precio de compra, g : ganancia, p : pérdida

Entonces: Pv = Pc + g (La ganancia ó pérdida, siempre se consideran Pv = Pc – p con respecto al precio de costo, salvo que el ejercicio indique otra cosa)

2.4 Interés compuesto:

C = k ( 1 + i ) n donde: C : capital acumulado K : capital inicial n : período i : tasa de interés compuesto

3. Volumen del cubo y la esfera:

V cubo = a3 V esfera = 43

π ⋅ r3

donde: a : arista del cubo r : radio de la esfera





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Ejercicios

1. Un auto consume P litros de bencina cada 1,5 Km, en zona recta y plana. Al entrar en una zona de cuesta pronunciada, consume Q litros de bencina cada 4 Km. Si recorre M Km en zona recta y plana y N Km en zona de cuesta pronunciada, ¿cuánto dinero gastó en este viaje, si el litro de bencina cuesta $ B?

A) $ B (2 PM + QN)

B) $ 2 PM3

+ QN4

C) $ B12

(2 PM + QN)

D) $ B12

(8 PM + 3 QN)

E) $ B (8 PM + 3 QN)

2. Se tiene un canasto con 250 manzanas, de las cuales 120 son rojas y el resto verdes. ¿Cuántas manzanas verdes se deben agregar, para que por cada 22 verdes hayan 5 rojas?

A) 90 B) 120 C) 150 D) 350 E) 398

3. Dos perros y medio en dos días y medio comen dos kilos y medio de alimento. ¿Cuántos kilos de alimento come un perro en un día ?

A) 25

Kilos

B) 23

Kilos

C) 1 Kilo

D) 32

Kilos

E) Ninguno de ellos



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4. 3 hermanos se deben repartir una herencia de $ 5.600.000, de modo que, lo que recibe el menor con el del medio estén en la razón de 2 : 3 y el del medio con el mayor en la razón de 4 : 5. ¿Cuánto recibe cada uno?

Mayor Medio Menor

A) $ 3.600.000 $ 1.200.000 $ 800.000 B) $ 2.600.000 $ 1.800.000 $ 1.200.000 C) $ 2.400.00 $ 1.920.000 $ 1.280.000 D) $ 1.280.000 $ 1.920.000 $ 2.400.000 E) Ninguno de ellos

5. Pedro tiene 13 años más que Juan, si en 4 años más, la razón entre sus edades es 3 : 2. ¿Qué edad tienen ambos?

A) 20 y 7 años B) 25 y 12 años C) 30 y 17 años D) 35 y 22 años E) 39 y 26 años

6. La cantidad de un antibiótico, debe ser administrada a ciertos pacientes en forma directamente proporcional a su peso e inversamente proporcional a su edad. Si a un paciente de A Kg. de peso y B años de edad se le prescribió 50 mg de antibiótico, entonces, ¿cuál es la cantidad de antibiótico para una persona de C años que pesa D Kg. ?

A) AD50 BC

mg

B) AC50 BD

mg

C) 50 BCAD

mg

D) 50 ADBC

mg

E) 50 BDAC

mg





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7. La suma, la diferencia positiva y el producto de 2 números son entre sí como 2 : 1 : 9. ¿Cuáles son los números?

A) 18 y 6 B) 17 y 3 C) 9 y 3 D) 3 y 2 E) No se puede determinar

8. Si el lado de un cuadrado aumenta en un 60%, entonces, ¿en qué porcentaje aumenta su área?

A) 36 % B) 60 % C) 136 % D) 156 % E) 160 %

9. El radio de una esfera aumenta en un 20 %. ¿En qué porcentaje aumenta su volumen?

A) 20 % B) 44 % C) 72,8 % D) 144 % E) Ninguno de ellos

10. El volumen de un cubo es 1.728 cm3. ¿En qué porcentaje se debe aumentar la arista, para que su volumen sea 4.096 cm3?

A) 23,68 %

B) 33,3 %

C) 66,6 %

D) 133 %

E) 133,3 %



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11. Si el precio de un artículo aumenta en un 10 % y luego se le hace un descuento de un 10%. Su precio :

A) No varía B) Aumenta en un 1 % C) Disminuye en un 1 % D) Aumenta en un 10 % E) Disminuye en un 10 %

12. Un artículo tiene marcado el precio para la venta de $ 12.000 con IVA incluido, teniendo el comerciante una ganancia del 5 %. ¿Cuál es el precio de costo, aproximadamente?

(IVA: 19%)

A) $ 5.218 B) $ 5.580 C) $ 9.580 D) $ 9.604 E) $ 9.720

13. Si un artículo cuesta $ 5.693, se le hace un descuento del 20 %, luego al precio resultante se le recarga un 40 % y finalmente a este último precio se le hace un descuento del 40 %, entonces, podemos afirmar que :

A) El precio final comparado con el precio inicial, tiene un descuento del 20 % B) El precio final comparado con el precio inicial, tiene un descuento del 32,8 % C) El precio final comparado con el precio inicial, tiene un descuento del 67,2 % D) El artículo finalmente cuesta $ 4.554 aproximadamente E) Ninguna de ellas

14. ¿Cuál es la tasa de interés compuesto que permite acumular un capital de $ 1.331.000 al cabo de 3 meses, siendo el capital inicial de $ 1.000.000?

A) 5 % B) 7 % C) 10 % D) 12 % E) 15 %





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15. El 70 % de los animales de una granja son mamíferos, y de ellos el 25 % se utilizan para trabajar. Además, el 15 % de los mamíferos se utilizan para la alimentación de los habitantes de la granja. ¿Qué porcentaje de los animales de la granja, son mamíferos, pero no se utilizan para trabajar ni para la alimentación de los habitantes de la granja?

A) 30 % B) 42 % C) 52 % D) 60 % E) 70 %

Respuestas

Preg. Alternativa1 D2 E3 A4 C5 D6 E7 A8 D9 C10 B11 C12 D13 B14 C15 B



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Solucionario

1. La alternativa correcta es la letra D)

Este ejercicio corresponde a una proporción directa, ya que a mayor cantidad de Km, mayor consumo de bencina.

Nuestras variables son : Litros y Km

Recta plana:

Litros Km (Como es proporción directa se multiplica cruzado)

P 1,5

x M

1,5 ⋅ x = P ⋅ M (Despejando x)

x = P · M1,5

(Transformando 1,5 a fracción)

x = P · M1510

(Simplificando y dividiendo fracciones)

x = 2 PM3

litros

Cuesta pronunciada:

Litros Km (Como es proporción directa se multiplica cruzado)

Q 4

y N

4 ⋅ y = Q ⋅ N (Despejando y)

y = Q · N4

litros

⇒ Consumo de bencina en zona recta y plana es 2 PM3

litros y consumo de bencina en

zona de cuesta pronunciada es Q · N4

litros.





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Además el litro de bencina cuesta $ B

⇒ El gasto del viaje es B ⋅ 2 PM3

+ B ⋅ Q · N4

(Factorizando)

B ( 2 PM3

+ QN4

) (Sumando fracciones)

B ( 8 PM + 3 QN12 ) (Expresando de otra forma)

B12

(8 PM + 3 QN)

∴ Gastó en el viaje $ B12

(8 PM + 3 QN)

2. La alternativa correcta es la letra E)

Hay 250 manzanas, de las cuales 120 son rojas ⇒ 130 son verdes

Sea x: manzanas verdes que se deben agregar y deben estar en la razón de 22 : 5

⇒ 130 + x120

= 225

(Aplicando Teorema fundamental de las proporciones)

5 (130 + x ) = 22 ⋅ 120 (Distribuyendo y multiplicando)

650 + 5x = 2640 (Despejando x)

x = 19905

x = 398

∴ Se deben agregar 398 manzanas verdes



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3. La alternativa correcta es la letra A)

Este ejercicio corresponde a una proporción compuesta.

Nuestras variables son: perros, días y kilos.

Perros Kg. Días (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable 2,5 2,5 2,5 con la incógnita, que en este caso es kilos) 1 x 1 (Perros y kilos son directamente proporcionales, kilos

y días son también directamente proporcionales)

(Siguiendo el orden de las flechas)

2,5 ⋅ x ⋅ 2,5 = 1⋅ 2,5 ⋅ 1 (Despejando x)

x = 2,52,5 · 2,5

(Simplificando)

x = 12,5

(Transformando 2,5 a fracción)

x = 12510

(Simplificando y dividiendo fracciones)

x = 25

∴ Un perro en un día come 25

kilos de alimento.

4. La alternativa correcta es la letra C)

Sea x: menor, y: medio, z: mayor

x + y + z = 5.600.000

a) x : y = 2 : 3 (Utilizando la otra notación)

x2

= y3

= k (Separando en razones)

x2

= k (Despejando x)





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x = 2k

y3

= k (Despejando y)

y = 3k

b) y : z = 4 : 5 (Utilizando la otra notación)

y4

= z5

= k (Separando en razones)

y4

= k (Despejando y)

y = 4k

z5

= k (Despejando z)

z = 5k

⇒ De a) y b) tenemos:

x = 2k y = 4k (Como y tiene 2 valores distintos, debemos igualarlos) y = 3k z = 5k x = 2k / ⋅ 4 y = 4k / ⋅ 3 y = 3k / ⋅ 4 z = 5k / ⋅ 3 ⇒ x = 8k, y = 12k, z = 15k

Como x + y + z = 5.600.000 (Reemplazamos x, y, z) 8k + 12k + 15k = 5.600.000 (Reduciendo términos semejantes) 35k = 5.600.000 (Despejando k)

k = 560000035

(Simplificando)

k = 160000

x = 8k (Reemplazando k) x = 1.280.000 y = 12k (Reemplazando k) y = 1.920.000 z = 15k (Reemplazando k) z = 2.400.000

∴ El mayor recibe $ 2.400.000, el del medio $ 1.920.000 y el menor $ 1.280.000



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Si Pedro tiene 13 años más que Juan, entonces, la diferencia entre ambas edades es 13. Si P: Pedro, J: Juan ⇒ P – J = 13

Si en 4 años más, la razón entre sus edades es 3 : 2 ⇒ P + 4 : J + 4 = 3 : 2

∴ 1) P – J = 13 2) P + 4 : J + 4 = 3 : 2

Utilizando el método de sustitución:

P – J = 13 (De la ecuación 1), despejamos P)

P = 13 + J (Reemplazando P en la segunda ecuación)

13 + J + 4 : J + 4 = 3 : 2 (Utilizando la otra notación)

17 + JJ + 4

= 32


2 ( 17 + J ) = 3 ( J + 4 ) (Distribuyendo) 34 + 2J = 3J + 12 (Despejando J) J = 22

P = 13 + J (Reemplazando J) P = 35

∴ Las edades son 35 y 22 años

6. La alternativa correcta es la letra E)

Cantidad directamente proporcional al peso ⇒ cantidadpeso

= k

Cantidad inversamente proporcional a la edad ⇒ cantidad ⋅ edad = k

∴ cantidadpeso

∙ edad = k

50A

∙ B = k





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cantidadD

∙ C = k (Reemplazando k)

cantidadD

∙ C = 50BA

(Despejando cantidad)

cantidad = 50BDAC

∴ La cantidad de antibiótico que se necesita para una persona de C años y que pesa D Kg.

es 50BDAC

mg

7. La alternativa correcta es la letra A)

Sean x e y los números.

x + y : x – y : xy = 2 : 1 : 9 (Separando en razones)

x + y2

= x - y1

= xy9

(Separando en proporciones)

a) x + y2

= x - y1


x + y = 2 ( x – y ) (Distribuyendo)

x + y = 2x – 2y (Despejando x)

x = 3y

b) x - y1

= xy9


9 ( x – y ) = xy (Distribuyendo)

9x – 9y = xy (Reemplazando x por 3y)

9 ⋅ 3y – 9y = 3y ⋅ y (Multiplicando)

27y – 9y = 3y2 (Reduciendo términos semejantes)

18y = 3y2 (Igualando a 0)

3y2 – 18y = 0 (Dividiendo por 3)

y2 –6y = 0 (Factorizando)

y ( y – 6 ) = 0



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y1 = 0 ó y2 = 6 (La solución y = 0, queda descartada, ya que en el caso de proporciones, todos sus componentes deben ser distintos de 0)

∴ y = 6 ⇒ x = 3 ⋅ 6 x = 18

Los números son 18 y 6


Sea a: lado del cuadrado.

Lado aumentado en un 60% : a + 60% de a (Transformando el porcentaje a fracción)

a + 35

a (Sumando fracciones)

85

a

Entonces, el área del cuadrado inicial es el 100% y el área del cuadrado resultante al aumentar su lado en un 60% es x%.

Como es una proporción directa:

Cantidad %

a2 100

( 85

a)2 x

a2 x = 6425

a2 ⋅ 100 (Despejando x y simplificando)

x = 256

⇒ La nueva área es 256%

∴ El porcentaje en que aumenta su área es 156% (256% - 100%)





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Sea r : radio de la esfera.

El radio aumentado en un 20% : r + 20% de r (Transformando el porcentaje a fracción)

r + 15

r (Sumando fracciones)

65

r

Entonces, el volumen de la esfera inicial es el 100% y el volumen de la esfera resultante al aumentar su radio en un 20% es x%.

V esfera = 43

π ⋅ r3

Como es una proporción directa:

Cantidad %

43

π ⋅ r3 100

43

π ⋅ ( 65

r)3 x

43

π ⋅ r3 x = 43

π ⋅ ( 65

r)3 ⋅ 100 (Despejando x y resolviendo potencias)

x = 43

π ⋅ 216125

r3 · 100 · 34π ⋅ r3

(Simplificando)

x = 216 · 45

(Multiplicando y dividiendo)

x = 172,8

⇒ El nuevo volumen es 172,8%

∴ El porcentaje en que aumenta su volumen es 72,8% (172,8% - 100%)



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10. La alternativa correcta es la letra B)

V cubo = (arista)3

V1 cubo = 1728 V2 cubo = 4096

a3 = 1728 / √a3 b3 = 4096 / √a3

a = √1728 3

b = √4096 3

a = 12 b = 16

Si la arista inicial es 12 cm, entonces,para que el volumen sea 4096, la arista debe medir 16 cm, es decir, debe aumentar en 4 unidades.

Para determinar en qué porcentaje debe aumentar la arista, 12 es el 100% y 4 es el x%.

Como es proporción directa:

Cantidad %

12 100

4 x

12x = 4 ⋅ 100 (Despejando x y simplificando)

x = 1003

∴ El porcentaje en que debe aumentar la arista es 1003

% ó 33,3 %


Sea x : precio del artículo.

Si x se aumenta en un 10% : x + 10% de x (Transformando el porcentaje a fracción)

x + 110

x (Sumando fracciones)

1110

x

Luego, a 1110

x se le descuenta en un 10%

1110

x – 10% de 1110

x (Transformando el porcentaje a fracción)





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1110

x - 110

∙ 1110

x (Multiplicando fracciones)

1110

x - 11100

x (Restando fracciones)

110x - 11x100

(Restando)

9910

x ⇒ El precio final es el 99% de x

∴ El precio final disminuye en un 1% (100% - 99%)


Pv =(Pc + g) + IVA donde: Pv: precio de venta, Pc: precio de costo, g: ganancia con respecto al precio de costo

12000 = (Pc + 5% de Pc) + 19% de (Pc + 5% de Pc) (Transformando los porcentajes a fracción)

12000 = Pc + 5100

Pc + 19100

( Pc + 5100

Pc) (Simplificando)

12000 = Pc + 120

Pc + 19100

(Pc + 120

Pc) (Distribuyendo)

12000 = Pc + 120

Pc + 19100

Pc + 192000

Pc (Sumando fracciones)

12000 = 2000Pc + 100Pc + 380Pc + 19Pc2000

(Reduciendo términos semejantes)

12000 = 2499Pc2000

(Despejando Pc)

Pc = 12000 · 20002499

(Multiplicando y dividiendo)

Pc = 9603,84 (Aproximando)

Pc = 9604

∴ El precio de costo es aproximadamente $ 9.604



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Sea x : precio del artículo (El precio del artículo $ 5.693, no lo consideraremos)

Si x se descuenta en un 20% : x – 20% de x (Transformando el porcentaje a fracción)

x - 15

x (Restando fracciones)

45

x (Este precio se recarga en un 40%)

45

x + 40% de 45

x (Transformando el porcentaje a fracción)

45

x + 25

∙ 45

x (Multiplicando fracciones)

45

x + 825

x (Sumando fracciones)

20x + 8x25


28x 25

(Este precio se descuenta en un 40%)

28x 25

- 40% de 28x 25

(Transformando el porcentaje a fracción)

28x 25

- 2 5

∙ 28x 25

(Multiplicando fracciones)

28x 25

- 56x 125

(Restando fracciones)

140x - 56x125


84x 125

(Dividiendo)

0,672 x (Transformando a porcentaje)

67,2% x

∴ El porcentaje real de descuento es 100% - 67,2% = 32,8 %





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario


C = k ( 1 + i )n donde: C : capital acumulado K : capital inicial n : período i : tasa de interés compuesto

1331000 = 1000000 ( 1 + i )3 (Despejando (1 + i )3 )

13310001000000

= ( 1 + i )3 (Simplificando)

13311000

= ( 1 + i )3 / √a3

13311000

3 = 1 + i (Aplicando propiedad de raíces)

1331

1000

3

3= 1 + i

1110

= 1 + i (Despejando i)

1110

- 1 = i (Restando fracciones)

110

= i

i = 10%

∴ La tasa de interés compuesto es 10%


Sea x: animales de la granja.

El 70% de los animales de la granja son mamíferos : 70% de x. El 25% de los mamíferos se utilizan para trabajar : 25 % del 70% de x. El 15% de los mamíferos se utilizan para alimentación : 15% del 70% de x.



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario

⇒ El 25% del 70% de x , más el 15% del 70% de x: se utilizan para trabajar y para alimentación.

Lo que equivale a: 40% del 70% de x.

∴ El 60% del 70% de x : no se utilizan para trabajar ni para alimentación. (Transformando los % a decimal)

0,6 ∙ 0,7 x (Multiplicando)

0,42 x (Transformando a porcentaje)

42% x

∴ El % de los animales de la granja que no se utilizan para trabajar ni para alimentación es 42 %





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario

Mis notas

matemáticapeabingenieria/comagui/n... · 2009. 6. 14. · cepech preuniversitario, edición 2006 6...

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