matemática ciclo superior 4 · 2020-03-17 · actividad de continuidad pedagógica n°4:...
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Matemática Ciclo Superior 4to
Las siguientes actividades están diseñadas para realizarse sin la presencia del docente. Todos los
temas cuentan con la explicación teórica y ejemplos que deben ser analizados detalladamente. Si esto
último no se realiza, se dificultará la realización de las mismas.
Pueden acompañar el estudio con libros de matemática, páginas webs y/o tutoriales de YouTube.
Las actividades se realizan en hoja aparte, para entregar cuando se retomen las clases.
A los alumnos que ya tienen el cuadernillo de matemática de 4to año, se les informa que estas
actividades son las mismas que se encuentran en la página 112 de dicho libro.
En este archivo se agregaron actividades extras previendo la posibilidad de una prolongación de
la cuarentena. Realizar solamente las que corresponden a las semanas de aislamiento.
Semana del 16 al 20 de marzo.
Actividad de continuidad pedagógica N° 1: Semejanza de figuras planas. El teorema de Tales 1
Leer la teoría y analizar detalladamente los ejemplos de las páginas 1, 2, 3 y 4. Luego hacer las
actividades de las páginas 4 y 5.
Actividad de continuidad pedagógica N°2: Semejanza de figuras planas. El teorema de Tales 2
Realizar las actividades de 15 a 18 de la página 6. Luego hacer los 8 ejercicios de la actividad de
revisión de la página 7.
Semana del 25 al 27 de marzo.
Actividad de continuidad pedagógica N°3: Relaciones trigonométricas
Leer la teoría y analizar los ejemplos en su calculadora de las páginas 8, 9 y 10. Hacer las actividades
1, 2, 3 y 4 que se encuentran en dichas páginas. Semana del 30 de marzo al 3 de abril.
Actividad de continuidad pedagógica N°4: Resolución de triángulos rectángulos
Analizar detalladamente los ejemplos de las páginas 11 y 12. Luego hacer, en la carpeta, la actividad
5 de la página 13.
Semana del 6 al 8 de abril.
Actividad de continuidad pedagógica N°5: Teoremas del seno y del coseno
Leer la teoría y analizar detalladamente los ejemplos de las páginas 13, 14 y 15. Luego hacer los tres
ejercicios de la página 15.
1
Semejanza de figuras planas. El teorema de Tales
Recordemos el teorema de Thales:
Si tres o más rectas paralelas
son cortadas por dos
transversales, la razón de las
longitudes determinadas en
una de ellas, es igual a la
razón de las longitudes de los
segmentos correspondientes
determinados en la otra.
AC
CA
BC
CB
AB
BA
Ejemplo I:
La razón es: 4
8,2
5,25,1
44,2
5,2
4
5,1
4,2
II)
cm
cm
cm
x
8
5
6
cmcm
cmx 6.
8
5
cmx 75,3
III)
cmcmcm
cm
cm
x
8416
84
16
cm
cm
cm
x
28
84
16
cmcm
cmx 16.
28
84
cmx 48
cm
cm
cm
y
28
84
4
cmcm
cmy 4.
28
84
cmy 12
cm
cm
cm
z
28
84
8
cmcm
cmz 8.
28
84
cmz 24
IV)
cm
cm
cm
x
9
3
15
cmcm
cmx 15.
9
3
cmx 5
V)
cm
cm
cm
x
5
7
1
cmcm
cmx 1.
5
7
cmx 4,1
cmcm
cm
cm
y
15
5
5
cm
cm
cm
y
6
5
5
cmcm
cmy 5.
6
5
cmy 61,4
En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque el tamaño sea distinto. En
dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se
llama razón de semejanza o escala al cociente entre dos longitudes correspondientes.
2
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos
son iguales y sus lados son proporcionales.
Razón de semejanza = cm
cm
cm
cm
cm
cm
8
4
10
5
6
321 Razón =
cm
cm
cm
cm
cm
cm
9
6
15
10
12
832
De la misma manera que se ha definido para triángulos, la semejanza se puede definir para polígonos
cualesquiera. Así, dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados
correspondientes proporcionales. Recordemos que se llama razón de semejanza o escala al cociente
de la longitud de un lado del polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.
Dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma, sus ángulos son respectivamente iguales (congruentes) y sus lados proporcionales. Es decir, uno de los polígonos es una ampliación o reducción del otro.
EA
AE
DE
ED
CD
DC
BC
CB
AB
BA
Ejemplos:
Razón = cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
4
6
8
12
5
5,7
2
323
Razón = cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
16
8
48,8
24,4
10
5
6
3 2
1
La semejanza tiene muchas aplicaciones a la resolución de problemas geométricos y situaciones
reales. A continuación veremos algunos ejercicios que se pueden resolver utilizando la semejanza.
Lo primero que debemos hacer es identificar los lados
proporcionales, teniendo en cuenta los ángulos congruentes.
En el esquema de la izquierda, los ángulos conguentes son
el agudo de la base y el recto. De esto se deduce que los
lados proporcionales son:
d con D ˄ h con H
Por lo tanto, aplicando el Teorema de Thales:
H
h
D
d o, lo que es lo mismo:
h
H
d
D
3
Ejemplo I
¿Cuál es la distancia entre el
chico y la base de la torre ?
(Los ángulos sobre el agua son
congruentes)
Los lado correspondientes
proporcionales son:
1,76 m con 16 m
˄ 3,3 m con x
m
m
m
x
76,1
16
3,3
mm
mx 3,3.
76,1
16
mx 30
d = 3,3 m + 30 m
md 3,33
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II) Hallar la altura del árbol
ayudándote de las sombras que
proyectan el árbol y una persona.
Los lado correspondientes
proporcionales son:
x con 1,4 m ˄
2,16 m con 0,84 m
m
m
m
x
84,0
16,2
4,1
mm
mx 4,1.
84,0
16,2
mx 6,3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III) Hallar la altura de la
casa ayudándote de la
sombra que proyecta el
árbol.
Los lado correspondientes
proporcionales son:
x con 4 m ˄
24 m con 12 m
m
m
m
x
12
4
24
mm
mx 24.
12
4
mx 8
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV) ¿A qué altura se encuentra el extremo superior de
la escultura, sabiendo que Paula la ve alineada con el
borde de la valla?
En la figura anterior se observa claramente que la
altura del extremo superior de la escultura
es x+1,6 metros. Elaboramos la figura de análisis.
Por semejanza los lados proporcionales son:
x con 0,5 m ˄ (0,9 + 4,6) m con 0,9 m
m
mm
m
x
9,0
6,49,0
5,0
mm
mx 5,0.
9,0
5,5
mx 50,3
mmh 6,150,3
mh 56,4
4
V) Sabiendo que el triángulo ABC es
semejante a CBA .
a) Calcular las medidas de BA y
CB .
b) Deducir la razón de semejanza que
pasa del triángulo ABC al CBA
a) Para ambos
cálculos utilizaremos
los lados en los que
tenemos su valor
como dato:
5AC y 2CA
AC
CA
AB
BA
5
2
4,8
BA
4,8.52BA
36,3BA
AC
CA
BC
CB
5
2
6,5
CB
6,5.52CB
24,2CB
b)
Razón = CA
AC
CB
BC
BA
AB
Razón = 2
5
24,2
6,5
36,3
4,8 2
5
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VI) Sabiendo que el trapecio ABCD es
semejante a DCBA .
Calcular las medidas de BA , CD y AD .
Para todos los cálculos
utilizaremos los lados
cuyo valor tenemos
como dato:
2BC y 8,0CB
BC
CB
AB
BA
2
8,0
3
BA
3.2
8,0BA
2,1BA
CB
BC
DC
CD
8,0
2
4,1
CD
4,1.8,0
2CD
5,3CD
CB
BC
DA
AD
8,0
2
6,1
AD
6,1.8,0
2AD
4AD
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ACTIVIDAD
1) ¿Son semejantes las figuras siguientes?
2) Los triángulos que forman esta figura
¿son semejantes?
3) Si tenemos dos rombos de 4 cm de lado,
¿son semejantes?
4) ¿Cuál es la razón de semejanza que pasa del trapecio de
mayor dimensión al de menor tamaño?
5) Si el dibujo de un rectángulo de 12 x 16 cm es ampliado con
una fotocopiadora y el rectángulo de la fotocopia mide 24 cm
en su lado mayor, ¿cuál la razón de semejanza de la
ampliación?
6) Si tenemos un folio con un texto que ocupa 128 x 200 mm,
¿cuánto ocupará el texto en una ampliación cuya razón es 1,5?
7) Utilizando un utensilio de medida, he multiplicado un
segmento por un factor que desconozco. Si el segmento original
medía 19,7 cm y el resultante mide 84,71 cm, calcula la razón
de semejanza.
5
8) A la vista de esta imagen, calcula h.
9) En la siguiente ilustración, calcula D si
conocemos h = 1,65 m; d = 2 m; H = 14,85 m
10) Calcula el valor de x en esta ilustración.
11) Para calcular la
profundidad de un
pozo, hasta no hace
mucho tiempo, se
utilizaba una vara de
un metro de largo que
se apoyaba en el suelo
y se iba separando del
borde del pozo hasta
que se veía el extremo
del fondo. Aquí tienes
una representación
esquemática:
12) Si en la figura
siguiente conoces
AB = 3 cm, BC = 1 cm,
DE = 8 cm, calcula CD.
Si te has separado a 75 cm del borde, ¿cuál será la profundidad del pozo si
tiene 1,5 m de diámetro?
13) En la siguiente figura,
sabiendo que las dimensiones
están en centímetros, calcula x e
y.
14) Calcula las dimensiones en milímetros de los lados del cuadrilátero
mayor.
6
15) Calcula x (todas las medidas están en metros).
a)
b)
c)
16) Calcula x en el
siguiente dibujo si:
a = 3 mm,
b = 4 mm,
c = 6 mm.
17) Del siguiente dibujo conocemos:
AC = 108 m, CE = 72 m, BF = 27 m.
¿Cuánto miden BC y CF?
18) Calcula x e y (las unidades son centímetros):
a)
b)
c)
d)
7
Actividad de revisión
1) a) ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para que dos polígonos sean semejantes?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
b) Un triángulo de lados 3, 6 y 7 cm, ¿es semejante a otro cuyos lados miden 9, 36 y 49 cm?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
c) Dos polígonos regulares con el mismo número de lados, ¿son semejantes?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
2) ¿Cuál es la razón de semejanza que pasa del
triángulo de menor dimensión al de mayor tamaño?
3) Calcula la altura de un depósito de agua que da
una sombra de 15 m de largo, si a la misma hora un
bastón de 1 m de alto da una sombra de 1,8 m de
largo.
4) Calcula x e y (las unidades son milímetros):
5) Sabiendo que el trapecio ABCD es semejante a
DCBA .
Calcular las medidas de DA y BC .
6) Halla x e y en la siguiente figura de análisis:
(no se encuentra a escala)
7) Calcula la altura de un edificio que proyecta
una sombra de 49 metros en el momento en que
un poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25
metros.
8) Las sombras de cuatro árboles miden, a las
cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros
y 4 metros, respectivamente. El árbol pequeño
tienen una altura de de 2,5 metros. ¿Qué altura
tienen los demás?
8
Relaciones trigonométricas
La trigonometría, enfocada en sus inicios sólo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos
en topografía, navegación y astronomía.
Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se
puede definir como "medida de triángulos".
Utilización de la calculadora en trigonometría Todas las calculadoras científicas disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno
y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:
● En algunos modelos se
introduce el valor del ángulo y
luego se pulsa la tecla de la razón
trigonométrica para obtener su
valor, mientras que en otros se
hace justamente al revés, primero
se pulsa la tecla de la razón
deseada, luego se introduce el
valor del ángulo y por último la
tecla de resultado (generalmente
=) nos muestra el resultado en la
pantalla.
● Las calculadoras científicas
utilizan tres sistemas de medida
angular, los radianes (RAD), los
grados sexagesimales (DEG) y los
gradianes centesimales (GRAD).
Es muy importante configurar la calculadora en el
modo deseado. Nosotros trabajaremos en DEG, para
ello presionaremos la tecla de “modo” hasta que
aparezcan las opciones: “Deg Rad Gra”,
marcaremos la opción que corresponda a “Deg”.
Luego de esto debe aparecer una “D” minimizada en
la pantalla superior.
Cálculo de la función trigonométrica de un ángulo.
En las calculadoras más modernas, para hallar la función trinonómetrica de un ángulo presionamos la tecla de
la función trinonómetrica correspondiente, luego el ángulo y por último el igual. El resultado lo expresaremos
con 4 cifras decimales, redondeando la cuarta cuando la quinta cifra es 6,7,8 o 9.
En el caso de que el ángulo se encuentre
en grados, minutos y segundos
utilizaremos la tecla de conversión de
grados a sexagesimales.
Por ejemplo, sen 63°53'41”= 0,897859012
redondeando: sen 63°53'41”= 0,8978
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ACTIVIDAD
1) Calcular con cuatro cifras decimales, redondeando la cuarta cifra decimal:
a) sen 35°= ................................ d) cos 30°27' = ................................. g) tg 32°24'3”= ................................
b) cos 63°= ................................ e) tg 74°12'= ..................................... h) sen 75°8'10” = .............................
c) tg 87°= ................................. f) sen 67°42'17” = ............................. i) cos 61°18” = ................................
9
Cálculo del ángulo. Para calcular el ángulo utilizaremos la función trigonométrica inversa de la siguiente manera:
1°) Presionamos la tecla “SHIFT”
2°) Presionamos la tecla de la función trinonómetrica
correspondiente.
3°) Ingresamos el valor numérico de la función
trinonómetrica
4°) Presionamos la tecla del igual.
5°) Si el resultado tienen cifras decimales, presionamos la
tecla de conversión de grados a sexagesimales. [ ° ’ ” ]
Por ejemplo, sen α = 0,4567
α = sen –1 0,4567 => α = 27,17436867
Presionamos la tecla [ ° ’ ” ] α = 27° 10' 27,73”
Redondeando los segundos: α = 27° 10' 28”
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
2) Determinar la amplitud del ángulo:
a) sen α = 0,1423 d) cos α = 0,6235 g) tg α = 3,1254
α = ............................................. α = ............................................. α = .............................................
b) cos α = 0,2362 e) sen α = 0,7820 h) sen α = 0,5216
α = ............................................. α = ............................................. α = .............................................
c) tg α = 0,9601 f) cos α = 0,2003 i) tg α = 10
α = ............................................. α = ............................................. α = ............................................. ----------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------
Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier
triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para
ello, veamos la figura a la derecha: Los ángulos con vértice
en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.
Los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un
cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.
Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de cuyos
lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden
ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.
Si consideramos el ángulo α Si consideramos el ángulo γ Cateto adyacente o contiguo es aquel que
forma parte del ángulo al cual se hace
referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma
parte del ángulo que se toma como
referencia y se encuentra enfrente de este.
Con el cuadro de la izquierda analizaremos
lo dicho:
Por convenio, como vemos en los
ejemplos, los trazos que son lados del
triángulo se pueden representar con las
letras mayúsculas correspondientes a sus
dos extremos, coronadas con una línea que
simboliza el segmento; o bien, con una
letra minúscula enfrentando a la
correspondiente mayúscula de los ángulos.
cateto adyacente cAB
cateto opuesto bCA
cateto adyacente bCA
cateto opuesto cAB
10
3) A partir del ángulo α indicado en cada triángulo; identificar el cateto opuesto, el adyacente y la hipotenusa:
a) b) c)
α α
α
d) e) f)
α
α α
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Razones trigonométricas
Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen
entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos.
Veamos un ejemplo, para un ángulo α:
Sea el ángulo BAC de medida α
(siempre menor de 90º) en el triángulo
rectángulo ABC. Los lados BC y BA
son los catetos y AC, la hipotenusa.
En el cuadro de la derecha mostramos
como se definen las razones
trigonométricas con respecto a alfa (α)
en este triángulo rectángulo.
Seno
Seno, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
Coseno
coseno, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa
Tangente
tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto
adyacente al mismo.
Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones
fundamentales que se pueden establecer entre un
ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo
del cual forman parte.
Una regla memotécnica muy utilizada es la
siguiente palabra:
S: seno
O: opuesto
H: hipotenusa
C: coseno
A: adyacente
H: hipotenusa
T: tangente
O: opuesto
A: adyacente
SOH CAH TOA
H
Osen
H
Acos
A
Otg
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
4) En función del ángulo y los lados que figuran como dato, identificar la función trigonométrica (seno,
coseno o tangente) que se debe utilizar:
a) b) c) a
α α
X h
Y α b b
d) m e) f) y
α
A B
k α x
α
11
Resolución de triángulos rectángulos
Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos sus magnitudes desconocidas, es decir
la longitud de sus lados y/o la medida de sus ángulos, a partir de las conocidas.
Es importante saber identificar cuál de las tres funciones trigonométricas se debe utilizar, se selecciona en
función de los datos y la incógnita. Veamos algunos ejemplos:
A) Si los datos son un lado y un ángulo, y la incógnita es otro lado.
Ejemplo I) A 87 metros de la Torre Eiffel se puede observar su cima con un ángulo de 75°. Calcular la altura de la torre.
Comenzamos identificando los
datos y la incógnita para seleccionar
la función trigonométrica a utilizar.
α = 75° A = 87 m O = x
La función trigonométrica que
vincula los catetos adyacente y
opuesto es la tangente.
A
Otg
m
xtg
8775
xtgm 75.87
xm 688,324
xm 69,324
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
II) Calcular x
Comenzamos identificando los
datos y la incógnita para
seleccionar la función
trigonométrica.
α = 53°
A = x
H = 6 m
La función trigonométrica que
vincula el cateto adyacente y la
hipotenusa es el coseno.
H
Acos
m
x
653cos
xm 53cos.6
xm 61,3
III) Una secalera se encuentra
apoyada en una pared formando un
ángulo de 60° con el suelo y
llegando a una altura de 4,33 metros.
Calcular la longitud de la escalera.
Identificamos los datos y la
incógnita. α = 60°
La altura de la pared: O = 4,33m
Longitud de la escalera: H = x
La función trigonométrica que
vincula el O y la H es el seno.
H
Osen
x
msen
33,460
60
33,4
sen
mx
mx 9998,4
mx 5
IV) Calcular la distancia que hay
entre el helicóptero y la roca.
Identificamos los datos y la
incógnita.
α = 52°
A = 470 m
H = x
La función trigonométrica que
vincula el cateto adyacente y la
hipotenusa es el coseno.
H
Acos
x
m47052cos
52cos
470 mx
mx 406,763
mx 41,763
12
B) Si los datos son dos lados y la incógnita es un ángulo.
V) De un triángulo
ABC, rectángulo en
B, se conocen:
AB = 10 cm y
BC = 6 cm.
Calcular el ángulo C.
C = x
A = 6 cm
O = 10 cm
VI) De un triángulo ABC, rectángulo en A, se
conocen a = 6 m y b = 4 m. Calcular el ángulo B.
Recordar que el lado “a” es el lado BC, el lado “b” es
el lado AC y el lado “c” es el lado AB.
B = x O = 4 m H = 6 m La función trigonométrica que vincula el cateto
opuesto y la hipotenusa es el seno.
H
Osen
m
mBsen
6
4ˆ
6
4ˆ 1senB
8103,41B
31,378441ˆ B
738441ˆ B
La función trigonométrica que vincula los catetos
adyacente y opuesto es la tangente.
A
Otg
cm
cmCtg
6
10
6
101tgC
0362,50C
84,10250 C
01250 C
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
VII) En la cima de un poste de 7,5 metros de altura
se liga un cable que se estaca a una distancia del
mismo, sobre el suelo. Sabiendo que el largo del
cable tirante es de 13,75 m, calcular el ángulo
formado entre el poste y el cable.
B = x A = 7,5 m H = 13,75 m
La función trigonométrica que vincula el cateto
adyacente y la hipotenusa es el coseno.
H
Acos
m
mB
75,13
5,7ˆcos
75,13
5,7cosˆ 1B
9442,56B
73,396556ˆ B
936556ˆ B
VIII) Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra
de 60 m de largo. Encuentra el ángulo de elevación
del sol en ese momento.
α = x A = 60 m O = 50 m
La función trigonométrica que vincula los catetos
adyacente y opuesto es la tangente.
A
Otg
m
mtg
60
50
60
501tg
8055,39
60,208439
028439
13
5) Calcular α o X según corresponda, las unidades están en centímetros:
a) b) c) 2
37° 28°
X 3
14 α X 1
d) 4 e) f) 5
α
7 X
8 9
42° α -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------
Teoremas del seno y del coseno
Triángulos oblicuángulos
Un triángulo oblicuángulo es aquel triángulo que no tiene
ángulos rectos.
Generalizamos el triángulo oblicuángulo de la siguiente forma:
Siendo: A el ángulo opuesto al lado a.
B el ángulo opuesto al lado b.
C el ángulo opuesto al lado c.
En la resolución de triángulos oblicuángulos se presentan cuatro casos:
Teorema del seno En todo triángulo la medida de los lados es directamente proporcional al seno de sus ángulos opuestos.
En un triángulo ABC; a, b y c son las medidas de los lados y; A, B y C respectivamente los ángulos opuestos,
se cumple que:
A) Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆˆˆ
Bsen
b
Asen
a
ˆˆ ;
Csen
c
Bsen
b
ˆˆ ;
Csen
c
Asen
a
ˆˆ
También se puede expresar de la siguiente manera:
B) c
Csen
b
Bsen
a
Asen ˆˆˆ
b
Bsen
a
Asen ˆˆ ;
c
Csen
b
Bsen ˆˆ ;
c
Csen
a
Asen ˆˆ
El teorema del seno se aplica para los casos LAA, ALA y LLA.
14
Teorema del coseno
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos
veces el producto de estas longitudes por el coseno del ángulo comprendido
entre ellos. En un triángulo ABC; a, b y c son las medidas de los lados y; A,
B y C respectivamente los ángulos opuestos, se cumple que:
Acbcba ˆcos...2222
Bcacab ˆcos...2222
Cbabac ˆcos...2222
El teorema del coseno se aplica para los casos LAL y LLL
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
Ejemplo I) Del triángulo oblicuángulo ABC, se conocen:
a= 12 cm, b = 4 cm y A = 45°. Calcular el ángulo B .
Recordar que el lado a es el lado BC y el lado b es el lado AC .
Datos: LLA => Teorema del seno
b
Bsen
a
Asen ˆˆ
cm
Bsen
cm
sen
4
ˆ
12
45
Bsencm
sencm ˆ
12
45.4
Bsen ˆ2357,0
Bsen ˆ)2357,0(1
B63288896,13
B857313
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
Ejemplo II) Del triángulo oblicuángulo ABC, se conocen:
b = 15 mm, B =70° y C = 45°. Calcular el lado c.
Recordar que el lado b es el lado AC y el lado c es el lado AB .
Datos: LAA => Teorema del seno
Csen
c
Bsen
b
ˆˆ
4570
15
sen
c
sen
mm
csen
mmsen
70
15.45
cmm 287,11
cmm 29,11
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
Ejemplo III) Del triángulo oblicuángulo ABC, se conocen:
a = 12 m, B = 50° y C = 105°. Calcular el lado b.
Recordar que el lado a es el lado BC y el lado b es el AC .
Primero debemos calcular el ángulo A .
La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es 180°
A + B + C = 180°
A + 50° + 105° = 180°
A + 155° = 180°
A = 180° – 155°
25A
Datos: ALA => Teorema del seno
Bsen
b
Asen
a
ˆˆ
5025
12
sen
b
sen
m
bsen
msen
25
12.50
bm 75,21
15
Ejemplo IV) Del triángulo oblicuángulo ABC, se
conocen a= 10 m, b = 15 m, c = 12 m. Calcular B .
Recordar que el lado a es el lado BC , el lado b es el
lado AC y el lado c es el lado AB .
Datos: LLL => Teorema del coseno
Bcacab ˆcos...2222
Bmmmmm ˆcos.12.10.2)12()10()15( 222
Bmmmm ˆcos.240144100225 2222
Bmmmm ˆcos.240144100225 2222
Bm
m ˆcos240
192
2
B240
19cos 1
B6,337285
B437285
Ejemplo V) Del triángulo oblicuángulo ABC, se
conocen b = 12 m, c = 10 m, B = 45° y C = 78°.
Calcular el lado a.
Para calcular el lado a, debemos tener previamente su
ángulo opuesto, lo calculamos con la propiedad de la
suma de los ángulos interiores de un triángulo.
A + B + C = 180°
A + 45° + 78° = 180°
A = 180° – 123° => 57A
Datos: LAL => Teorema del coseno
Acbcba ˆcos...2222
57cos.10.12.2)10()12( 222 mmmma 2222 71,130100144 mmma
229,113 ma => ma 64,10
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ACTIVIDAD
1) Utilizando el teorema del seno calcular: 2) Utilizando el teorema del coseno calcular:
a) El ángulo B .
(las unidades
están en cm)
Respuesta:
.........................
a) El lado x.
(las unidades están
en cm)
Respuesta:
.................................
b) El lado b.
Recordar que el lado
b es el opuesto al
ángulo B , o sea:
b = AC
Respuesta:
.................................
b) El ángulo x .
(las unidades están
en cm)
Respuesta:
...............................
3) Sabiendo que el ángulo a es agudo, calcular todos los datos faltantes utilizando el teorema del seno y/o del
coseno según corresponda:
Respuestas:
A ...............................................................
C ................................................................
b ................................................................