matemÁtica - wordpress.com · 2020-04-07 · a) 6x 12 2x 8 =+° =+° δ γ∧ ∧ b) 7x 5 2x 10 3x...

PABLO

EFFENBERGER

MATEMÁTICA7.° PRIMARIA CABA

I

CC 61075388ISBN 978-950-13-2592-8 #EducandoGeneraciones

Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.

• Ángulos cóncavos y convexos. Clasificación.

• Sistema sexagesimal de medición de ángulos.

• Ángulos complementarios y suplementarios.

• Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice.

• Polígonos convexos. Elementos.

• Ángulos interiores y exteriores de un polígono.

• Propiedades de las diagonales.

• Polígonos regulares. Construcción.

• Triángulos. Clasificación.

• Triángulos rectángulos. Propiedad pitagórica.

• Cuadriláteros.

• Paralelogramos, trapecios y romboides.

Ángulos y polígonos

Capítulo3


Ángulos. ClasificaciónTeoría

Los ángulos convexos se clasifican según su amplitud.

Nombrar y clasificar cada uno de los ángulos de la siguiente figura.

a) Un ángulo nulo:

b) Tres ángulos agudos:

c) Dos ángulos rectos:

d) Tres ángulos obtusos:

e) Dos ángulos llanos:

Observar la figura y nombrar los ángulos pedidos en cada caso.

1

2

a) tom∧

b) sob∧

c) pop∧

d) bot∧

e) mor∧

f) ros∧

Clasificar los siguientes ángulos.3

El plano queda dividido en dos ángulos: uno cóncavo y el otro convexo. Un ángulo es cóncavo cuando su amplitud es mayor a 180° y menor a 360°, si no es convexo.

Un ángulo es la región del plano delimitada por dos semirrectas con origen en común.

Amplitud Clasificación

= °α 0∧ nulo

° < < °0° < <α∧ agudo

= °α 90∧ recto

° < < °α90∧ obtuso

= °α 180∧ llano

= °α 360∧ de un giro

o

p

r

s

t

m

a

b

cd

eg

i

f

h

op

r

s

t

m

b

(cóncavo)

a

b c

abc

abc

42


5 La quinta parte de la diferencia entre α

∧ y β

∧ es igual a

β

∧. Si α

∧ = 123° 12' 42", ¿cuál es el valor de

β

∧?

Desafío

Teoría

Sistema sexagesimal de medición de ángulos

Resolver las siguientes operaciones.

a) 37° 54' 18" 52° 38' 42" 19° 51' 33"

b) 17° 45' 53" . 6

c) 113° 25' 13" 59° 38' 42"

d) 135° 44' 58" : 7

e) 57° 13° 28' 48" : 4

f) 27° 37' 41" 32° 16' 38" . 8

4

En el sistema sexagesimal, un giro completo corresponde a una amplitud de 360°.Cada grado se divide en 60 minutos (') y cada minuto en 60 segundos (").

1° 60' 1' 60" 1° 3 600"

Para operar con ángulos, se procede según los ejemplos:

29° 45' 38"

12° 56' 17"

30° 38' 26"

71° 139' 81"

2° 1' 60"

73° 140' 21"

120'

20'

74'

37° 14' 83"

38° 15' 23"

12° 43' 38"

25° 31' 45"

17° 49' 28"

7

119° 343' 196"

5° 3' 180"

124° 346' 16"

300'

46'17° 24' 15" 5

2° 120' 240" 3° 28' 51"

144' 255"

4' 0"

43


Ángulos complementarios y suplementariosTeoría

a) El complemento del triple de 19° 38' 53".

b) El suplemento de la mitad de 253° 17' 46".

c) El doble del complemento de 48° 53' 29".

d) La quinta parte del suplemento de 63° 41' 35".

a) y son complementarios.23 17' 28''4x

= °=

α

β

β

α

∧

∧ ∧

∧

b) y son suplementarios.138 22' 14''x : 3

= °=

α

β

β

α

∧

∧ ∧

∧

a) El complemento de un ángulo agudo es un ángulo .

b) El suplemento de un ángulo es un ángulo agudo.

c) El suplemento de un ángulo recto es un ángulo .

d) El complemento de un ángulo es un ángulo nulo.

e) El suplemento de un ángulo es un ángulo llano.

Completar con la clasificación del ángulo que corresponda en cada caso.

Calcular el ángulo pedido en cada caso.

Hallar el valor de x.

6

7

8

• Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 90°.

+ = °90

α β

∧∧ α

∧ y β∧ son complementarios

es el complemento de

es el complemento de

α β

αβ

∧

∧ ∧

∧

• Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 180°.

+ = °180α β

∧∧ α

∧ y β∧ son suplementarios

es el suplemento de

es el suplemento de

α β

αβ

∧

∧ ∧

∧

44


a) 6x 122x 8

= + °= + °

δ

γ

∧

∧b) 7x 5

2x 103x 25

= + °= + °= + °φ

α

β

∧

∧

∧

Teoría

11

Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice

• Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común, y los otros dos lados son semirrectas opuestas.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

• Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando sus lados son semirrectas opuestas.

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

α

∧ y β

∧ son adyacentes. α

∧ y β

∧ son opuestos por el vértice.

Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) Dos ángulos obtusos pueden ser adyacentes.

b) Dos ángulos opuestos por el vértice pueden ser suplementarios.

c) Dos ángulos adyacentes pueden ser iguales.

d) Dos ángulos obtusos pueden ser opuestos por el vértice.

e) El adyacente de un ángulo puede ser cóncavo.

f) El opuesto por el vértice de un ángulo puede ser llano.

Hallar la amplitud de α

∧ en cada una de las figuras.

a) b) c)

84+ = °γβ

∧ ∧37= °β

∧=α β

∧∧

9

10

Plantear la ecuación y hallar la amplitud de los ángulos de cada figura.

Desafío

152°

45


Repaso

Observar la figura y clasificar los siguientes ángulos.

Colocar P (posible) o I (imposible) y justificar la respuesta.

12

13

a) Dos ángulos suplementarios agudos.

b) El complemento de un ángulo obtuso.

c) Dos ángulos opuestos por el vértice y complementarios.

d) El complemento de un ángulo recto.

e) Dos ángulos adyacentes y opuestos por el vértice.

f) El suplemento de un ángulo nulo.

g) Dos ángulos adyacentes y complementarios.

h) Dos ángulos suplementarios iguales.

a) ω∧

5 . 27° 38' 47" 41° 46' 5"

ω

∧ es

b) δ∧

317° 29' 42" : 3 15° 49' 54"

δ

∧ es

c) φ∧

123° 29’’ 18° 38" . 4

φ

∧ es

d) μ

∧

252° 27' 32" : 4 193° 5' : 7

μ

∧ es

Hallar el valor de cada ángulo y clasificarlo.14

a) bod∧

b) gac∧

c) doe∧

d) ogf∧

e) feb∧

f) abc∧

g) eca∧

h) cbc∧

o

a

b

c d e

g f

46


Hallar el valor de los ángulos α∧

y β∧

en cada una de las siguientes figuras.

Plantear la ecuación y hallar los ángulos desconocidos.

Plantear y hallar la amplitud de cada uno de los ángulos.

15

16

17a) Dos ángulos son complementarios, y uno de

ellos es el triple del otro.

b) Dos ángulos son suplementarios y difieren

en 48°.

a) b) c)

a)

γ

6x14x10x

===

α

β

∧

∧

∧

b) φ

3x 132x 2

= + °= + °

β

∧

∧

c) δ

3x 30x 110

= + °= + °

α

∧

∧

d) 2x 56x 15

= + °= + °φ

α

∧

∧

36° 28' 57"

121° 37' 48"143° 36' 21"

108° 45' 36"

47


Teoría

Polígonos convexos

Un polígono es una figura cuyos lados son segmentos.

Propiedades de un polígono

Si designamos con n a la cantidad de vértices, lados, ángulos interiores y exteriores:

Polígonos regulares

Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales.

• Cada ángulo interior es igual a su suma, dividida el número de lados: ( )° −180 . n 2n

• Cada ángulo exterior es igual a 360° dividido el número de lados: 360° : n

Suma de los ángulos interiores y exteriores

Un polígono se puede dividir en n 2 triángulos. La suma de los ángulos interiores es igual a la suma de los ángulos interiores de los n 2 triángulos, y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

La suma de los ángulos interiores de un polígono es 180° . n 2

Por ejemplo: la suma de los ángulos interiores de un pentágono es 180° . 5 2 180° . 3 540°.

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es siempre 360°.

Elementos de un polígono

• Vértices: a, b, c, d y e

• Lados: ab, bc, cd, de y ea

• Ángulos interiores: a∧, b∧, c∧, d∧ y e∧

• Ángulos exteriores: α∧, β∧, δ∧, γ∧ y ω

∧

• Diagonales: ac, ad, bd, be y ce

• La cantidad de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es n 3, y la cantidad de triángulos en que se puede dividir un polígono es n 2.

Por ejemplo: en un hexágono, se pueden trazar 3 diagonales por vértices y quedan determinados 4 triángulos.

• La cantidad total de diagonales que tiene un polígono es ( )−n . n 3

2

Por ejemplo: un hexágono tiene 9 diagonales: ( )−

= =6 . 6 3

26 . 3

29

a

bc

d

e

( )n .2

180° . n 2

( )° (180 .°n

360° : n

48


a) c 6b 135

8d 81

= °= °= °

∧

∧

∧

b) ce

b 113b127

= °== °

∧

∧

∧

∧

Completar cada una de las siguientes frases.

Hallar.

Calcular la amplitud del ángulo a∧

en cada polígono.

18

20

19

21 Construir el siguiente logo en la circunferencia roja.

a) La amplitud del ángulo interior de un

pentágono regular.

b) La amplitud del ángulo exterior de un

dodecágono regular.

c) El polígono regular cuyo ángulo interior

tiene una amplitud de 135°.

d) El polígono regular cuyo ángulo exterior

tiene una amplitud de 24°.

a) Un polígono de siete lados se denomina .

b) El eneágono es un polígono de lados.

c) En un decágono se pueden trazar diagonales desde cada vértice.

d) En un se pueden trazar 12 diagonales desde cada vértice.

e) Un polígono que se puede dividir en dos triángulos es un .

f) Un octógono tiene un total de diagonales.

Desafío

a

b

c

d

a

b

c

d

e

49


TriángulosTeoría

a) gfe

b) abc

c) ocp

d) peo

e) geo

f) aog

g) ecd

h) hoc

a) s 6o 58 37'43''

7 24'45''= °= °

∧

∧b) g 56 31'27''= °

∧c) 138 29'15''= °α

∧

Clasificar los siguientes triángulos según sus lados y ángulos.

Calcular la amplitud de los ángulos interiores desconocidos en cada triángulo.

22

23

Un triángulo es un polígono de tres lados.

• La suma de sus ángulos interiores es 180°.

a m s+ + = °180∧ ∧ ∧

• Cada ángulo interior es adyacente con el exterior.

+ = + = + = °a m s 180βα γ

∧∧∧ ∧ ∧ ∧

• La suma de sus ángulos exteriores es 360°.

+ + = °360βα γ

∧∧ ∧

Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados o la amplitud de sus ángulos.

Según sus

lados

Según sus

ángulos

Escaleno: los tres lados tienen distinta longitud.

Rectángulo: tiene un ángulo recto.

Isósceles: tiene por lo menos dos lados iguales.

Oblicuángulo: no tiene ángulos rectos.

Equilátero: los tres lados son iguales.

Acutángulo: los tres ángulos son agudos.

Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

i d t l

a s+ +m = °180∧ ∧ ∧

d á l t i 360°

+ = + = + = °a m+ = s 180β γ

∧∧∧ ∧ ∧ ∧

g

+ + = °360βα γ

∧∧ ∧ s

m

a

o

s

t

d

e

g

a

b c

Los segmentos del mismo color son iguales.

o

p

a b

c

d

e

g

f

h

50


a) m∧ 41° 39' 27" b) ef 5cm

eh 12cmc) sq 28cm

qo 35cm

Teoría

27

Triángulos rectángulos. Propiedad pitagórica

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos agudos.Los lados del ángulo recto se denominan catetos y el otro, hipotenusa.

• Los ángulos agudos son complementarios: + = °90α β

∧ ∧.

• En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

• La altura correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles determina dos triángulos rectángulos iguales y es bisectriz del ángulo opuesto.

= =br arc y yr bc a 2φ∧∧

Hallar el valor de x en cada una de los siguientes triángulos.

Marcar con una X la opción correcta en cada caso.

Plantear la ecuación y hallar la amplitud de los ángulos agudos del triángulo.

a) b) c)

10 cm < y < 11 cm 11 cm < y < 12 cm 12 cm < y < 13 cm

8 cm < z < 9 cm 9 cm < z < 10 cm 10 cm < z < 11 cm

7 cm < x < 8 cm 8 cm < x < 9 cm 9 cm < x < 10 cm

24

25

26

Plantear y resolver.

El perímetro de un triángulo isósceles es 80 cm. Si su base mide 5 cm más que cada uno de sus lados iguales, ¿cuál es la altura del triángulo?

Desafío

p 4t 3x 1

x 5= + °= + °

∧

∧

A

B

C

a

bcr

p

r

m

x

y

9 cm8 cm

z

7 cm

x15 cm

13 cm

pr

t

A2 B2 C2

e

f

h

xo

q

sx

51


Repaso

Colocar SÍ o NO según exista algún polígono que cumpla con cada condición.

Calcular la amplitud de cada ángulo interior de los siguientes polígonos.

Hallar el valor del ángulo c∧

en el triángulo abc y clasificarlo.

28

29

30

a) Tiene veintiuna diagonales en total.

b) Se puede trazar una sola diagonal por cada uno de sus vértices.

c) La suma de sus ángulos interiores es igual a la de sus ángulos exteriores.

d) Tiene todos sus lados iguales, pero no sus ángulos.

e) No tiene diagonales.

f) Todos sus ángulos interiores miden 40°.

g) La suma de sus ángulos interiores es impar.

h) La suma de sus ángulos exteriores es 180°.

a) a 37 21'45''b 52 38'15''= °= °

∧

∧b) a 123 17'38''

b 28 21' 11''= °= °

∧

∧c) a 26 49' 51''

b 57 17'42''= °= °

∧

∧

a) o xr 3xa x 13t 5x 27

=== + °= + °

∧

∧

∧

∧

b) e b 40m 2bs b 5g b 15

= + °== + °= + °

∧

∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧

∧

ao

r

tb

e

g

m

s

52


a) a 2x 22e 4x 5g 3x

= + °= + °=

∧

∧

∧

b) o x 52p 4x 8= + °= − °

∧

∧

c) s 3x 2t 2x 13= + °= + °

∧

∧

d) 4x 4f x 26= + °= + °

α

∧

∧

Colocar SIEMPRE, A VECES o NUNCA según corresponda.

Plantear y resolver.

Calcular la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes triángulos.

Pintar los triángulos rectángulos.

31

33

34

32

a) En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos

iguales tiene una amplitud de 43° 38' 19". ¿Cuál

es la amplitud del ángulo desigual?

b) En un triángulo rectángulo, el ángulo

exterior a uno de sus ángulos agudos tiene

una amplitud de 108° 37' 24". Calcular la

amplitud de los ángulos agudos.

a) Un triángulo rectángulo es equilátero.

b) La hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos.

c) Un triángulo rectángulo es isósceles.

d) Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales.

e) Un triángulo obtusángulo es equilátero.

o

p

m

s

t

ba

eg

r

nf

4 cm

7 cm

5 cm

I

12 cm

9 cm

15 cm

II

11 cm

17 c

m 13 cm

III

10 cm

26 cm24 cm

IV

6 cm 11 cm

8 cm

V20 cm

15 cm

25 c

m

VI

9 cm

13 cm

15 cm

VII

1 cm

1 cm

2 cmVIII

53


CuadriláterosTeoría

Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) Un paralelogramo que tiene todos sus lados iguales es un cuadrado.

b) Los lados que tienen un extremo en común son opuestos.

c) Los lados paralelos de un trapecio se denominan bases.

d) Un paralelogramo que tiene todos sus ángulos iguales es un rombo.

e) Un cuadrilátero sin pares de lados opuestos paralelos es un romboide.

f) Un trapecio que tiene sus lados no paralelos iguales es isósceles.

35

• Pares de lados opuestos: ab y dc ad y bc

• Pares de ángulos opuestos: a y c b y d−∧ ∧ ∧ ∧

• Diagonales: ac y bd

• La suma de los ángulos interiores es 360°.

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Clasificación de los cuadriláteros

Los cuadriláteros se clasifican según la cantidad de lados opuestos paralelos.

a

b

c

d

• Paralelogramos: dos pares de lados opuestos paralelos.

• Trapecios: un par de lados opuestos paralelos.

• Trapezoides: ningún par de lados opuestos paralelos.

PARALELOGRAMO

RECTÁNGULO

CUADRADO

ROMBO

4 ángulos iguales

4 lados iguales

4 ángulosy lados iguales

TRAPECIO

TRAPECIO ISÓSCELES

TRAPECIO RECTÁNGULO

ROMBOIDEdos pares de ladosconsecutivos iguales

TRAPEZOIDE

54


Teoría

38

Propiedades de los paralelogramos

Paralelogramos especiales

Calcular la amplitud de los ángulos interiores de cada paralelogramo.

Calcular la longitud de los lados y el perímetro del siguiente rectángulo.

a) m 4x 10s 2x 60= + °= + °

∧

∧b) a 3x 10

h x 50= + °= + °

∧

∧

36

37

Dibujar la figura de análisis, plantear y calcular. En un rectángulo, se unen los puntos medios de cada uno de sus lados y se determina un rombo.

Si dos de sus lados consecutivos miden 18 cm y 24 cm, ¿cuál es el perímetro del rombo?

Desafío

= −== +

be 5x 1cm

ed 4x

yd 2x 5 cm

o

rs

m

y

b

d

e

a

g

f

h

• Los lados opuestos son iguales: ab dcad bc

• Los ángulos opuestos son iguales: ==

a c

d b

∧

∧

∧

∧

• Los ángulos no opuestos son suplementarios:

+ = °+ = °+ = °+ = °

a b 180b c 180

c d 180d a 180

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

• Las diagonales se cortan en su punto medio.

o

a b

cd

Rectángulo Rombo Cuadrado

• Cuatro ángulos rectos.

• Diagonales iguales.• Cuatro lados iguales.

• Diagonales perpendiculares.

• Lados y ángulos iguales.

• Diagonales iguales y perpendiculares.

55


Propiedades del trapecio y el romboideTeoría

Calcular la base roja en cada trapecio.

Calcular la amplitud de los ángulos interiores desconocidos en cada romboide.

39

40

Base media de un trapecio

41 Calcular el perímetro del trapecio isósceles.

Desafío

a) b) c)

a) g 57e 41= °= °

∧

∧b) u 28

b 143= °= °

∧

∧

La base media de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.La base media es igual a la mitad de la suma de las otras bases.

base media base mayor base menor

2

base menor

base media

base mayor

Romboide

• Tiene dos pares de lados consecutivos iguales: ab dacd bc

• La diagonal principal es bisectriz de los ángulos a∧ y c∧.

• Los ángulos b∧ y d∧ son iguales.

• Las diagonales son perpendiculares.

• La diagonal principal es mediatriz de la secundaria.

a

b

c

d

15 cm

23 cm

11 cm

14 cm

21 cm

25 cm

ae

gr

m

bu

z

19 cm

13 c

m

56


a) Rectángulo

ac 3x 1cm

ec 2x 1cm

re x 17 cm

= += += +

b) Romboide

ao 5x 1cm

sa 7x 3 cm

of x 9 cm

= += += +

Escribir los datos pedidos del siguiente cuadrilátero.

Calcular la amplitud de los ángulos interiores de cada cuadrilátero.

Calcular la longitud de los lados y el perímetro de cada cuadrilátero.

Hallar la longitud de las bases desconocidas del trapecio.

Construir los siguientes cuadriláteros con la información proporcionada.

42

44

45

46

43

a) b∧

27° 39' 53" b) φ∧

107° 16' 33"

a) Los pares de lados opuestos:

b) Los pares de lados consecutivos:

c) Los pares de ángulos opuestos:

d) Las diagonales:

a) Paralelogramo abcd. b) Cuadrado orst. c) Romboide efgh.

o

p

r

s

o

s

a

b

c e

g

f

9 cm

2x 3 cm

x 12 cm

o

rn

b

r

a c

e

v

m g

h

o

a

f

s

Repaso

57


Integración

Nombrar los ángulos pedidos en cada caso.

Dados los ángulos: α∧

= 97° 38' 15", β∧

= 62° 11' 32", ω∧

= 149° 21' 39" y δ∧

= 17° 19' 57".

Calcular.a) La quinta parte del suplemento de α

∧.

b) El cuádruplo del complemento de β∧

.

c) El complemento de la tercera parte de ω∧

.

d) El suplemento del séxtuplo de δ∧

.

Tres ángulos.

a) Agudos:

b) Rectos:

c) Obtusos:

d) Llanos:

Dos pares de ángulos.

e) Complementarios:

f) Adyacentes:

g) Opuestos por el vértice:

Hallar la amplitud de los ángulos α

∧ y β

∧.

Calcular la amplitud de los ángulos δ

∧ y γ

∧.

49

50

48

47

a) φ

∧

143° 36' 17" b) ω∧

16° 49' 32"

a) 3x 15x 9

= + °= + °γ

δ

∧

∧b) 8x 13

3x 2= + °= + °γ

δ

∧

∧

b

A

B

C D

o

p

q

r

s

m

e

g

i

f

A C D B

58


a) s 2xm 2x 15== + °

∧

∧b) f 3x

4x 6== + °

∧

p∧

Plantear la ecuación y hallar la amplitud de los ángulos interiores de cada triángulo.

Hallar la amplitud de los ángulos interiores desconocidos en los siguientes polígonos.

Plantear y responder.a) ¿Cuál es la amplitud de cada ángulo agudo en

un triángulo rectángulo isósceles?

b) Si el perímetro de un triángulo equilátero es de

51 cm, ¿cuánto mide cada lado?

c) ¿Cuál es la amplitud de cada ángulo exterior

de un triángulo equilátero?

d) ¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo

cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm?

a) La amplitud de α∧

.

b) La amplitud de cada ángulo interior.

c) El número total de diagonales.

Calcular en el siguiente polígono regular.51

54

52

53

a) b) c)

f

o

pq

s

m

52°

e r 137°

p t

o

170°s

a

b c

d

g

m

59


Integración

Contestar justificando la respuesta.a) Si dos triángulos rectángulos tienen igual hipotenusa, ¿son iguales?

b) ¿Todos los cuadrados que tienen igual diagonal son iguales?

c) El rectángulo y el rombo ¿son polígonos regulares?

d) ¿Todos los triángulos isósceles con igual base son iguales?

e) Un trapezoide ¿puede tener dos lados iguales?

f) Si dos romboides tienen las diagonales iguales, ¿son iguales?

Calcular el perímetro de los siguientes cuadriláteros.

Hallar la amplitud de los ángulos interiores de cada cuadrilátero.57

56

55

a) Paralelogramo b) Romboide c) Trapecio isósceles

a) r x 10m 7x 10= + °= + °

∧

∧

b) g 4x 5h x 10= + °= + °

∧

∧

c) b 10xd 5x==

∧

∧

d) j 2xc xa 7x 10

=== + °

∧

∧

∧

23 cm

25 cm

17 c

m

a

7 cm

2a 3 cm

2y

42 cm

y

o

p

r

m

tn

bd

j

a

c

e

g

i

f

h

60


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matemÁtica - wordpress.com · 2020-04-07 · a) 6x 12 2x 8 =+° =+° δ γ∧ ∧ b) 7x 5 2x 10 3x...

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