7/31/2019 Matemticas.2 Bachillerato.Derivadas.Apuntes

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Matemticas. 13. Derivadas. 1

13. DERIVADAS.

Tasa de variacin media.

Se define la tasa de variacin media de una funcin f(x) en el intervalo [a, b] como:

( ) ( )ab

afbf.M.V.T

=

Si se nota por h la diferencia entre b y a (h = ba), la definicin puede expresarse:

( ) ( )h

afhaf.M.V.T

+=

La T.V.M. es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Derivada de una funcin en un punto.

Definiciones.

Se define la derivada o tasa de variacin instantnea de una funcin f(x) en el puntox = a como el siguiente lmite si existe y es finito:

( )( ) ( ) ( ) ( )

ax

afxflm

h

afhaflma'f

ax0h

=

+=

Se dice que f(x) es derivable en x = a cuando existe f(a).

Se dice que una funcin f(x) es derivable en un intervalo (a, b) cuando es derivable entodos los puntos de dicho intervalo.

La derivada por la derecha y la derivada por la izquierda en el punto x = a se definencomo los siguientes lmites, en caso de que existan y sean finitos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ax

afxflm

h

afhaflma'f

ax0h

=

+=

++

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ax

afxflm

h

afhaflma'f

ax0h

=

+=

Se define lafuncin derivada de f(x) como la funcin que a cada punto en el que f(x) esderivable le hace corresponder la derivada de dicha funcin en el punto considerado:

( )( ) ( )

h

xfhxflmx'f

0h

+=

Significado geomtrico.

f(a) es la pendiente de la recta que es tangente a la grfica de f(x) por el punto(a, f(a)).

La ecuacin punto pendiente de la recta que es tangente a la grfica de f(x) en el pun-to (x0, y0) es:

( ) ( )000 xxx'fyy =

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Matemticas. 13. Derivadas. 2

La ecuacin punto pendiente de la recta que es normal a la grfica de f(x) en el punto(x0, y0) es:

( )( )0

0

0 xxx'f

1yy =

Condiciones de derivabilidad.

Teorema.Si f(x) es derivable en x = a, entonces f(x) es continua en x = a.

Entonces, segn este teorema, si f(x) no es continua en x = a, tampoco es derivable en di-cho punto.

La derivada de una funcin f(x) en el punto x = a existe si, y slo si, f(a+) y f(a) exis-ten y son iguales.

Clculo de derivadas.

Tabla de derivadas (n representa un nmero real cualquiera y a un nmero mayor que0):

f(x) f(x)

n 0

xn nxn1

xx2

1

logaxalnx

1

ln xx

1

ax alna x

ex ex

sen x cos x

cos x sen x

f(x) f(x)

tg x xtg1xsecxcos

1 222

+==

cotg x xgcot1xeccosxsen

1 222

==

arcsen x2x1

1

arccos x2x1

1

arctg x2x1

1

+

arccotg x2

x1

1

+

Regla de la cadena. La derivada de una funcin compuesta viene dada por la si-guiente expresin:

( )( ) ( )[ ] ( )x'fxf'gxfg =o

Derivadas de sumas, productos y cocientes de funciones:

( ) ( )[ ] ( ) ( )x'gx'f'xgxf +=+

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )x'gxfxgx'f'xgxf +=

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Matemticas. 13. Derivadas. 3

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )xg

x'gxfxgx'f

xg

xf2

=

Derivacin logartmica. Se emplea para hallar la derivada de una funcin potencial

exponencial.Ej: .( )xxseny =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1x

x

xsenxcosxxsenlnxsen'y

xsen

xcosxxsenln

y

'yxsenlnxylnxsenlnyln

+=

+===

Derivacin en forma implcita. Se realiza cuando la funcin est definida de formaimplcita, mediante una ecuacin del tipo ( ) 0y,xf = , es decir, cuando la y no est despeja-da.

Ej: . Se deriva implcitamente como sigue:01yx 22 =+

y

x'yx2'yy20'yy2x2 ===+

Diferencial de una funcin.

Se define el diferencial de la funcin f(x) correspondiente a una variacin infinitesimalde la variable x (dx) como:

( ) dxx'fdy =

dx se denomina diferencial de x.

El valor del diferencial de una funcin en un punto representa la variacin infinitesimalque se produce en la ordenada de la recta tangente en dicho punto, cuando la variable vara

una cantidad infinitesimal.