matemáticas 2º eso anaya adaptacion curricular

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Nivel Segundo Curso ESO Ensenanza Secundaria Perfil alumnas/os edades entre 13 y 14 anos

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ADAPTACIN CURRICULAR2EDUCACIN SECUNDARIAMatemticasJ. Colera, I. GazteluEsta serie de Matemticas responde a un proyecto pedaggico creado y desarrollado por Anaya Educacin para la ESO. En su elaboracin han participado:Autores: Jos Colera e Ignacio GazteluCoordinacin editorial: Mercedes Garca-PrietoEdicin: Csar de la PridaDiseo de cubiertas e interiores: Miguel ngel Pacheco y Javier SerranoTratamiento infogrfico del diseo: Javier Cullar, Patricia Gmez y Teresa MiguelEquipo tcnico: Jos Luis Romn e Isabel PrezCorreccin: Sergio BorbollaIlustraciones: ngeles Peinador, Carlos Romanos, Bruno Romanos y Jess AguadoEdicin grfica: Olga SayansFotografas: Age Fotostock, Archivo Anaya (Agromayor, L.; Candel, C.; Cosano, P.; Leiva, de; Lezama, D.; Ortega, .; Padura, S.; Ramn Ortega, P./Fototeca Espaa; Valls, R.), Cristina Beltrami/www.duesecolidiscultura.it, Corbis/Cordon Press, Stockphotos.Agradecimientos a la nia: Icar de OliveiraAgradecemos la colaboracin de Leticia Colera.Unidad Contenidos Competencias1. La relacin de divisibilidad ........................... 82. Nmeros primos y nmeros compuestos...... 113.Mnimo comn mltiplo de dos nmeros ....................................................... 144.Mximo comn divisor de dos nmeros ....................................................... 175. Operaciones con nmeros enteros ................ 206. Operaciones con potencias ........................... 25Ejercicios y problemas............ 29Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 33 1 Divisibilidad ynmeros enterosPgina 7 2 Sistema de numera-cin decimal y siste-ma sexagesimalPgina 35 3 Las fraccionesPgina 511. El sistema de numeracin decimal ............... 362.Representacin y ordenacin de nmeros naturales ................................... 373. Operaciones con nmeros decimales ............ 404. Divisin de nmeros decimales .................... 415. Raz cuadrada de un nmero decimal........... 436. El sistema sexagesimal .................................. 447. Operaciones en el sistema sexagesimal .......... 46Ejercicios y problemas............ 48Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 501. Fracciones equivalentes ................................ 522.Reduccin de fracciones a comn denominador ................................. 533. Suma y resta de fracciones ............................ 544. Multiplicacin y divisin de fracciones ........ 565.Problemas aritmticos con nmeros fraccionarios ........................... 586. Potencias y fracciones .................................. 617. Fracciones y nmeros decimales ................... 64Ejercicios y problemas............ 65Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 681. Razones y proporciones................................ 702. Magnitudes directamente proporcionales ..... 713. Magnitudes inversamente proporcionales ..... 744. Los porcentajes ............................................ 765. Problemas con porcentajes ........................... 78Ejercicios y problemas............ 82Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 84ndice 4 Proporcionalidad yporcentajesPgina 693Esta serie de Matemticas responde a un proyecto pedaggico creado y desarrollado por Anaya Educacin para la ESO. En su elaboracin han participado:Autores: Jos Colera e Ignacio GazteluCoordinacin editorial: Mercedes Garca-PrietoEdicin: Csar de la PridaDiseo de cubiertas e interiores: Miguel ngel Pacheco y Javier SerranoTratamiento infogrfico del diseo: Javier Cullar, Patricia Gmez y Teresa MiguelEquipo tcnico: Jos Luis Romn e Isabel PrezCorreccin: Sergio BorbollaIlustraciones: ngeles Peinador, Carlos Romanos, Bruno Romanos y Jess AguadoEdicin grfica: Olga SayansFotografas: Age Fotostock, Archivo Anaya (Agromayor, L.; Candel, C.; Cosano, P.; Leiva, de; Lezama, D.; Ortega, .; Padura, S.; Ramn Ortega, P./Fototeca Espaa; Valls, R.), Cristina Beltrami/www.duesecolidiscultura.it, Corbis/Cordon Press, Stockphotos.Agradecimientos a la nia: Icar de OliveiraAgradecemos la colaboracin de Leticia Colera.Unidad Contenidos Competencias1. La relacin de divisibilidad ........................... 82. Nmeros primos y nmeros compuestos...... 113.Mnimo comn mltiplo de dos nmeros ....................................................... 144.Mximo comn divisor de dos nmeros ....................................................... 175. Operaciones con nmeros enteros ................ 206. Operaciones con potencias ........................... 25Ejercicios y problemas............ 29Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 33 1 Divisibilidad ynmeros enterosPgina 7 2 Sistema de numera-cin decimal y siste-ma sexagesimalPgina 35 3 Las fraccionesPgina 511. El sistema de numeracin decimal ............... 362.Representacin y ordenacin de nmeros naturales ................................... 373. Operaciones con nmeros decimales ............ 404. Divisin de nmeros decimales .................... 415. Raz cuadrada de un nmero decimal........... 436. El sistema sexagesimal .................................. 447. Operaciones en el sistema sexagesimal .......... 46Ejercicios y problemas............ 48Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 501. Fracciones equivalentes ................................ 522.Reduccin de fracciones a comn denominador ................................. 533. Suma y resta de fracciones ............................ 544. Multiplicacin y divisin de fracciones ........ 565.Problemas aritmticos con nmeros fraccionarios ........................... 586. Potencias y fracciones .................................. 617. Fracciones y nmeros decimales ................... 64Ejercicios y problemas............ 65Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 681. Razones y proporciones................................ 702. Magnitudes directamente proporcionales ..... 713. Magnitudes inversamente proporcionales ..... 744. Los porcentajes ............................................ 765. Problemas con porcentajes ........................... 78Ejercicios y problemas............ 82Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 84ndice 4 Proporcionalidad yporcentajesPgina 69Unidad Contenidos Competencias1. El lgebra: para qu sirve? ........................... 862. Expresiones algebraicas ................................ 883. Polinomios .................................................. 914. Extraccin de factor comun ......................... 93Ejercicios y problemas............ 94Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 961. Ecuaciones: significado y utilidad................. 982. Ecuaciones: elementos y nomenclatura ........1003.Primeras tcnicas para la resolucin de ecuaciones ...............................................1014. Resolucin de ecuaciones sencillas ...............1035. Ecuaciones con denominadores....................1056.Procedimiento general para la resolucin de ecuaciones de primer grado .....................1067. Resolucin de problemas con ecuaciones .....107Ejercicios y problemas............110Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 1121.Ecuaciones de primer grado con dos incgnitas .......................................1142. Sistemas de ecuaciones lineales .....................1163. Mtodo algebraico para la resolucin de sistemas lineales .......................................1174. Resolucin de problemas con ayuda de los sistemas de ecuaciones ........................118Ejercicios y problemas............120Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 1211. Teorema de Pitgoras. Aplicaciones .............1242. Ms aplicaciones del teorema de Pitgoras ...1263. Figuras semejantes .......................................1284. Semejanza de tringulos rectngulos. Aplicaciones...............................................130Ejercicios y problemas............132Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 133Unidad Contenidos Competencias1. Prismas ........................................................1362. Pirmides .....................................................1383. Poliedros regulares .......................................1404. Cilindros......................................................1415. Conos ..........................................................1426. Esferas .........................................................143Ejercicios y problemas............ 144Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 1461. Unidades de volumen ..................................1482. Volumen del prisma y del cilindro ...............1503. Volumen de la pirmide y del cono.............1514. Volumen de la esfera ....................................152Ejercicios y problemas............ 153Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 1541. Concepto de funcin ...................................1562.Crecimiento, decrecimiento, mximos y mnimos .....................................1573. Funciones de proporcionalidad:y = mx .......1584. Funciones lineales:y = mx + n .....................1605. Funciones constantes:y = k .........................162Ejercicios y problemas............ 163Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 1641.El proceso que se sigue para realizar estadsticas ................................1662. Tablas de frecuencias ...................................1683. Grficas estadsticas ......................................1694. Parmetros estadsticos .................................1715. Parmetros de posicin ................................174Ejercicios y problemas............ 176Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 177 5 lgebraPgina 85 6 EcuacionesPgina 97 7 Sistemas de ecuacionesPgina 113 8 Teorema de Pitgo-ras. SemejanzaPgina 123 9 Cuerpos geomtricosPgina 135 10 Medida del volumenPgina 147 11 FuncionesPgina 155 12 EstadsticaPgina 165Unidad Contenidos Competencias1. El lgebra: para qu sirve? ........................... 862. Expresiones algebraicas ................................ 883. Polinomios .................................................. 914. Extraccin de factor comun ......................... 93Ejercicios y problemas............ 94Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 961. Ecuaciones: significado y utilidad................. 982. Ecuaciones: elementos y nomenclatura ........1003.Primeras tcnicas para la resolucin de ecuaciones ...............................................1014. Resolucin de ecuaciones sencillas ...............1035. Ecuaciones con denominadores....................1056.Procedimiento general para la resolucin de ecuaciones de primer grado .....................1067. Resolucin de problemas con ecuaciones .....107Ejercicios y problemas............ 110Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 1121.Ecuaciones de primer grado con dos incgnitas .......................................1142. Sistemas de ecuaciones lineales .....................1163. Mtodo algebraico para la resolucin de sistemas lineales .......................................1174. Resolucin de problemas con ayuda de los sistemas de ecuaciones ........................118Ejercicios y problemas............ 120Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 1211. Teorema de Pitgoras. Aplicaciones .............1242. Ms aplicaciones del teorema de Pitgoras ...1263. Figuras semejantes .......................................1284. Semejanza de tringulos rectngulos. Aplicaciones...............................................130Ejercicios y problemas............ 132Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 133Unidad Contenidos Competencias1. Prismas ........................................................1362. Pirmides .....................................................1383. Poliedros regulares .......................................1404. Cilindros......................................................1415. Conos ..........................................................1426. Esferas .........................................................143Ejercicios y problemas............144Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin.......................1461. Unidades de volumen ..................................1482. Volumen del prisma y del cilindro ...............1503. Volumen de la pirmide y del cono.............1514. Volumen de la esfera ....................................152Ejercicios y problemas............153Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin.......................1541. Concepto de funcin ...................................1562.Crecimiento, decrecimiento, mximos y mnimos .....................................1573. Funciones de proporcionalidad:y = mx .......1584. Funciones lineales:y = mx + n .....................1605. Funciones constantes:y = k .........................162Ejercicios y problemas............163Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin.......................1641.El proceso que se sigue para realizar estadsticas ................................1662. Tablas de frecuencias ...................................1683. Grficas estadsticas ......................................1694. Parmetros estadsticos .................................1715. Parmetros de posicin ................................174Ejercicios y problemas............176Consolidaloaprendidoutili-zando tus competencias.Autoevaluacin....................... 177 5 lgebraPgina 85 6 EcuacionesPgina 97 7 Sistemas de ecuacionesPgina 113 8 Teorema de Pitgo-ras. SemejanzaPgina 123 9 Cuerpos geomtricosPgina 135 10 Medida del volumenPgina 147 11 FuncionesPgina 155 12 EstadsticaPgina 1657 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Los conocimientos matemticos de los antiguos egip-cios y babilonios eran extensos y muy prcticos. Pi-tgoras (siglo vi a.C.) aprendi de ellos, pero en su actividadmatemticaaportdoselementosquesu-pusieron una extraordinaria mejora:Enelestudiodelamatemticabusclasatisfac-cin intelectual y no aplicaciones prcticas.Impusoquelaspropiedadessedemostraranme-diante razonamientos lgicos.Pitgoras y sus discpulos rindieron un culto muy es-pecialalosnmeros,porqueeluniversoenteroes armona y nmero. Segn ellos, los nmeros lo re-gan todo: la msica, el movimiento de los planetas, la geometra Hablaban de nmeros rectangulares, triangulares,cuadrados,pentagonalesConsidera-ban que el nmero 10 era ideal (incluso sagrado), por-que era la suma de 1 + 2 + 3 + 4 y asociaban:1, AL PUNTO2, A LA RECTA3, AL PLANO 4, AL ESPACIOSe dedicaron con entusiasmo a la aritmtica, nombre que dieron al estudio de los nmeros y de sus propie-dades.Euclides (siglo iii a.C.) recopil, complet y sistema-tiz la mayor parte de los conocimientos matemticos desupoca.Aunquesumayorcontribucinfueala geometra, tambin dio un gran impulso a la aritmtica.1Divisibilidad y nmeros enteros GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.DEBERS RECORDAREl significado de la divisin y la relacin existente entre sus trminos.Cundo son necesarios los nmeros negativos.Cules son los nmeros enteros, cmo se ordenan y cmo se representan en la recta numrica.La prioridad de las operaciones en las expresiones con nmeros naturales.9 88 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 9 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Mltiplos y divisoresDosnmerosestnemparentadosporlarelacindedivisibilidadcuandosu cociente es exacto. ejemploLa divisin60 : 20es exacta.El nmero 60 contiene exactamente 3 veces a 20. 602003 860 es divisible entre 20.

60 es mltiplo de 20.20 es divisor de 60.aes mltiplo deb.Si la divisina : bes exacta bes divisor dea.Los mltiplos de un nmeroLos mltiplos de un nmero lo contienen una cantidad exacta de veces y se ob-tienen multiplicndolo por cualquier otro nmero natural. ejemploCalculamos la serie ordenada de mltiplos de 15:15 1 = 1515 4 = 6015 2 = 3015 5 = 7515 3 = 45 Los nmeros15 - 30 - 45 - 60 - 75 - son mltiplos de 15. Un nmero tiene infinitos mltiplos.aes mltiplo de 1. Todo nmero es mltiplo de s mismo y de la unidad.8a 1 = a aes mltiplo dea. Una propiedad de los mltiplos de un nmeroObserva que si sumamos dos mltiplos de 5, obtenemos otro mltiplo de 5.3 5+4 5 7 5=3 5 + 4 5 = (3 + 4) 5 = 7 5 La suma de dos mltiplos de un nmeroaes otro mltiplo dea.m a + n a = (m + n) a Si a un mltiplo dease le suma otro nmero que no lo sea, el resultado no es mltiplo dea.Los divisores de un nmeroLos divisores de un nmero estn contenidos en l una cantidad exacta de veces y, por tanto, lo dividen con cociente exacto. ejemploBuscamos todos los divisores de 75: 751 05750 753 15250 755 25150 7575 001 7525 003 7515 005Los divisores de 75 son81 - 3 - 5 - 15 - 25 - 75 Observa que van emparejados. Un nmero tiene una cantidad finita de divisores. Un nmero tiene al menos dos divisores: l mismo y la unidad.La relacin de divisibilidad 11 Busca,entreestosnmeros,parejasemparentadas por la relacin de divisibilidad:13151823819091922252432 Calcula mentalmente y contesta.a) Es 18 mltiplo de 5? Y de 6?b) Es 50 mltiplo de 10? Y de 9?c) Es 6 divisor de 20? Y de 300?d) Es 10 divisor de 75? Y de 750?3 Calcula con lpiz y papel y responde.a) Es 17 divisor de 153? Y de 204?b) Es 780 mltiplo de 65? Y de 80?4 Selecciona, entre estos nmeros:2030364050606575809096112120222300a) Los mltiplos de 10.b) Los mltiplos de 12.c) Los mltiplos de 15.d) Los mltiplos de 30.5 Encuentra, entre estos nmeros:123456789101215253050a) Los divisores de 60. b) Los divisores de 75.c) Los divisores de 90. c) Los divisores de 100.6 Escribe los cinco primeros mltiplos de 12 y los cin-co primeros mltiplos de 13.7 Calculatodoslosdivisoresdecadaunodelossi-guientes nmeros:12163071130150203Actividades 30605(exacta)30 es divisible entre 6. 30724(no exacta)30 no es divisible entre 7.Divisibilidad12 1 = 1212 2 = 2412 3 = 3612 4 = 4812 - 24 - 36 - 48 - 60 - Mltiplos de 1212 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12 : 3 = 412 : 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1Divisores de 129 88 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 9 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Mltiplos y divisoresDosnmerosestnemparentadosporlarelacindedivisibilidadcuandosu cociente es exacto. ejemploLa divisin60 : 20es exacta.El nmero 60 contiene exactamente 3 veces a 20. 602003 860 es divisible entre 20.

60 es mltiplo de 20.20 es divisor de 60.aes mltiplo deb.Si la divisina : bes exacta bes divisor dea.Los mltiplos de un nmeroLos mltiplos de un nmero lo contienen una cantidad exacta de veces y se ob-tienen multiplicndolo por cualquier otro nmero natural. ejemploCalculamos la serie ordenada de mltiplos de 15:15 1 = 1515 4 = 6015 2 = 3015 5 = 7515 3 = 45 Los nmeros15 - 30 - 45 - 60 - 75 - son mltiplos de 15. Un nmero tiene infinitos mltiplos.aes mltiplo de 1. Todo nmero es mltiplo de s mismo y de la unidad.8a 1 = a aes mltiplo dea. Una propiedad de los mltiplos de un nmeroObserva que si sumamos dos mltiplos de 5, obtenemos otro mltiplo de 5.3 5+4 5 7 5=3 5 + 4 5 = (3 + 4) 5 = 7 5 La suma de dos mltiplos de un nmeroaes otro mltiplo dea.m a + n a = (m + n) a Si a un mltiplo dease le suma otro nmero que no lo sea, el resultado no es mltiplo dea.Los divisores de un nmeroLos divisores de un nmero estn contenidos en l una cantidad exacta de veces y, por tanto, lo dividen con cociente exacto. ejemploBuscamos todos los divisores de 75: 751 05750 753 15250 755 25150 7575 001 7525 003 7515 005Los divisores de 75 son81 - 3 - 5 - 15 - 25 - 75 Observa que van emparejados. Un nmero tiene una cantidad finita de divisores. Un nmero tiene al menos dos divisores: l mismo y la unidad.La relacin de divisibilidad 11 Busca,entreestosnmeros,parejasemparentadas por la relacin de divisibilidad:13151823819091922252432 Calcula mentalmente y contesta.a) Es 18 mltiplo de 5? Y de 6?b) Es 50 mltiplo de 10? Y de 9?c) Es 6 divisor de 20? Y de 300?d) Es 10 divisor de 75? Y de 750?3 Calcula con lpiz y papel y responde.a) Es 17 divisor de 153? Y de 204?b) Es 780 mltiplo de 65? Y de 80?4 Selecciona, entre estos nmeros:2030364050606575809096112120222300a) Los mltiplos de 10.b) Los mltiplos de 12.c) Los mltiplos de 15.d) Los mltiplos de 30.5 Encuentra, entre estos nmeros:123456789101215253050a) Los divisores de 60. b) Los divisores de 75.c) Los divisores de 90. c) Los divisores de 100.6 Escribe los cinco primeros mltiplos de 12 y los cin-co primeros mltiplos de 13.7 Calculatodoslosdivisoresdecadaunodelossi-guientes nmeros:12163071130150203Actividades 30605(exacta)30 es divisible entre 6. 30724(no exacta)30 no es divisible entre 7.Divisibilidad12 1 = 1212 2 = 2412 3 = 3612 4 = 4812 - 24 - 36 - 48 - 60 - Mltiplos de 1212 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12 : 3 = 412 : 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1Divisores de 1211 1010 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 11 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Criterios de divisibilidadLos criterios de divisibilidad son una serie de reglas, muy simples, que permiten descubrir con rapidez si un nmero es mltiplo de 2, 3, 5, Divisibilidad por 2Un nmero de varias cifras siempre se puede descomponer en un mltiplo de 2 ms la cifra de las unidades:176=170+6999nmero mltiplo de 2 cifra unidadesY segn la propiedad que has estudiado en la pgina 18, para que el nmero sea mltiplo de 2, ha de serlo la cifra de las unidades.Un nmero es mltiplo de 2 cuando termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Divisibilidad por 5 y por 10Siguiendo razonamientos similares al anterior, se demuestra que: Un nmero es mltiplo de 5 si termina en 0 o en 5. Un nmero es mltiplo de 10 si termina en 0. Divisibilidad por 3 y por 9Un nmero de varias cifras siempre se puede descomponer en un mltiplo de 3 ms la suma de sus cifras. ejemplo234 = 200 + 30 + 4 8 200 = 99 + 99 + 230 = 9 + 9 + 9 + 3234=( 99+99+9+9+9) +( 2+3+4)9 9 9 nmero mltiplo de 3 suma de las cifrasEl primer sumando es mltiplo de 3. Para que el nmero sea mltiplo de 3, tambin ha de serlo el segundo sumando.Y el mismo razonamiento sirve para los mltiplos de 9. Un nmero es mltiplo de 3 si la suma de sus cifras es mltiplo de 3. Un nmero es mltiplo de 9 si la suma de sus cifras es mltiplo de 9. ejemplo1 25481 + 2 + 5 + 4 = 128Es mltiplo de 3.4 06384 + 0 + 6 + 3 = 138No es mltiplo de 3. Los divisores de un nmero permiten su descomposicin en forma de producto de dos o ms factores.Por ejemplo, los divisores de 40 son:40 - 20 - 10 - 8 - 5 - 4 - 2 - 140 = 8 5 = 2 2 2 5Los nmeros que, como el 40, se pueden descomponer en factores ms sim-ples, se llaman nmeros compuestos. Sin embargo, otros nmeros, como el 13, solo tienen dos divisores, 13 y 1, y, por tanto, no se pueden descomponer en forma de producto:13 = 13 18no se puede descomponerLos nmeros que, como el 13, no se pueden descomponer en factores se llaman nmeros primos. Un nmero que no se puede descomponer en factores es un nmero pri-mo. Un nmero primo solo tiene dos divisores: l mismo y la unidad. Los nmeros que no son primos se llaman compuestos.En la tabla de la izquierda, llamada la Criba de Eratstenes, se han marcado: Los mltiplos de 2 excepto el 28(4 - 6 - 8 - 10 - )8 2 Los mltiplos de 3 excepto el 38(6 - 9 - 12 - 15 - )8 3 Los mltiplos de 5 excepto el 58(10 - 15 - 20 - 25 - )8 5 y as sucesivamente8 7 ,11,13,17,19, Los nmeros que quedan, salvo el 1, son los nmeros primos.Estos son los nmeros primos menores que 100:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97Criba de Eratstenes1 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 703 3355577777192 2222 3 23 22 2 25 3 25 3 25 25 25 225 2 3 53355577731112 1111113 111313221313 17173 1719232329233323 237 371 72 73 74 75 76 77 78 79 8022 22 23222 23 32 2 322 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 1923 - 29 - 31 - 37 - 41 nota: El 1 no se considera primo porque no tiene dos divisores.Nmeros primosNmeros primos y nmeros compuestos 21 Descompn en dos factores los siguientes nmeros:93951531683255336632 Descompnlossiguientesnmerosenelmximo nmero de factores que sea posible:327281841322002213 Descompn en factores, de todas las formas que sea posible, el nmero 100.4 Separa,entrelossiguientesnmeros,losprimosde los compuestos:2939578391101111113243341ActividadesUn nmero es mltiplo de 2 cuando es par.PAR!Es mltiplo de 2.IMPAR!No esmltiplo de 2.Ten en cuentaUnnmeroformadopornueveses mltiplo de 3 y de 9.9 = 9 1 = 3 399 = 9 11 = 3 33999 = 9 111 = 3 3339, 99, 999, son mltiplos de 3 y de 9.Ten en cuenta11 1010 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 11 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Criterios de divisibilidadLos criterios de divisibilidad son una serie de reglas, muy simples, que permiten descubrir con rapidez si un nmero es mltiplo de 2, 3, 5, Divisibilidad por 2Un nmero de varias cifras siempre se puede descomponer en un mltiplo de 2 ms la cifra de las unidades:176=170+6999nmero mltiplo de 2 cifra unidadesY segn la propiedad que has estudiado en la pgina 18, para que el nmero sea mltiplo de 2, ha de serlo la cifra de las unidades.Un nmero es mltiplo de 2 cuando termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Divisibilidad por 5 y por 10Siguiendo razonamientos similares al anterior, se demuestra que: Un nmero es mltiplo de 5 si termina en 0 o en 5. Un nmero es mltiplo de 10 si termina en 0. Divisibilidad por 3 y por 9Un nmero de varias cifras siempre se puede descomponer en un mltiplo de 3 ms la suma de sus cifras. ejemplo234 = 200 + 30 + 4 8 200 = 99 + 99 + 230 = 9 + 9 + 9 + 3234=( 99+99+9+9+9) +( 2+3+4)9 9 9 nmero mltiplo de 3 suma de las cifrasEl primer sumando es mltiplo de 3. Para que el nmero sea mltiplo de 3, tambin ha de serlo el segundo sumando.Y el mismo razonamiento sirve para los mltiplos de 9. Un nmero es mltiplo de 3 si la suma de sus cifras es mltiplo de 3. Un nmero es mltiplo de 9 si la suma de sus cifras es mltiplo de 9. ejemplo125481 + 2 + 5 + 4 = 128Es mltiplo de 3.406384 + 0 + 6 + 3 = 138No es mltiplo de 3. Los divisores de un nmero permiten su descomposicin en forma de producto de dos o ms factores.Por ejemplo, los divisores de 40 son:40 - 20 - 10 - 8 - 5 - 4 - 2 - 140 = 8 5 = 2 2 2 5Los nmeros que, como el 40, se pueden descomponer en factores ms sim-ples, se llaman nmeros compuestos. Sin embargo, otros nmeros, como el 13, solo tienen dos divisores, 13 y 1, y, por tanto, no se pueden descomponer en forma de producto:13 = 13 18no se puede descomponerLos nmeros que, como el 13, no se pueden descomponer en factores se llaman nmeros primos. Un nmero que no se puede descomponer en factores es un nmero pri-mo. Un nmero primo solo tiene dos divisores: l mismo y la unidad. Los nmeros que no son primos se llaman compuestos.En la tabla de la izquierda, llamada la Criba de Eratstenes, se han marcado: Los mltiplos de 2 excepto el 28(4 - 6 - 8 - 10 - )8 2 Los mltiplos de 3 excepto el 38(6 - 9 - 12 - 15 - )8 3 Los mltiplos de 5 excepto el 58(10 - 15 - 20 - 25 - )8 5 y as sucesivamente8 7 ,11,13,17,19, Los nmeros que quedan, salvo el 1, son los nmeros primos.Estos son los nmeros primos menores que 100:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97Criba de Eratstenes1 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 703 3355577777192 2222 3 23 22 2 25 3 25 3 25 25 25 225 2 3 53355577731112 1111113 111313221313 17173 1719232329233323 237 371 72 73 74 75 76 77 78 79 8022 22 23222 23 32 2 322 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 1923 - 29 - 31 - 37 - 41 nota:El 1 no se considera primo porque no tiene dos divisores.Nmeros primosNmeros primos y nmeros compuestos 21 Descompn en dos factores los siguientes nmeros:93951531683255336632 Descompnlossiguientesnmerosenelmximo nmero de factores que sea posible:327281841322002213 Descompn en factores, de todas las formas que sea posible, el nmero 100.4 Separa,entrelossiguientesnmeros,losprimosde los compuestos:2939578391101111113243341ActividadesUn nmero es mltiplo de 2 cuando es par.PAR!Es mltiplo de 2.IMPAR!No esmltiplo de 2.Ten en cuentaUnnmeroformadopornueveses mltiplo de 3 y de 9.9 = 9 1 = 3 399 = 9 11 = 3 33999 = 9 111 = 3 3339, 99, 999, son mltiplos de 3 y de 9.Ten en cuenta13 1212 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 13 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Descomposicin de un nmero en factores primosElmayorniveldedescomposicinfactorialdeunnmerosealcanzacuando todos los factores son primos, pues, como ya sabes, estos no se pueden descom-poner en otros ms simples. ejemplos726308997102 2 2 3 36 factores primos 83 3 7 2 572 = 23 32630 = 2 32 5 7Paradescomponerunnmeroenfactoresprimos,convieneactuarordenada-mente. Observa cmo descomponemos el nmero 924:9242924 : 2 = 46284622462 : 2 = 23182313924 = 2 2 3 7 11 =231 : 3 = 778777= 22 3 7 1177 : 7 = 118111111 : 11 = 181Para descomponer un nmero en factores primos, lo dividimos entre 2 tan-tas veces como sea posible; despus, entre 3; despus, entre 5, y as sucesi-vamente entre los siguientes primos hasta obtener 1 en el cociente.Mltiplos y divisores de nmeros descompuestos en factores primosPara facilitar la comprensin del resto de la unidad, conviene que nos paremos a reflexionar sobre la estructura de los mltiplos y los divisores de un nmero que se presenta descompuesto en factores primos.Tomemos, por ejemplo, el nmero 150 descompuesto en factores primos:1502753255150 = 2 3 5 5551 Los mltiplos de 150 se obtienen multiplicando 150 por un nmero:150300 = 150 2 =2 3 5 5 2150450 = 150 3 =2 3 5 5 3 Un mltiplo de 150 contiene todos los factores primos de 150.150600 = 150 4 =2 3 5 5 2 2 Los divisores de 150 son, aparte de l mismo y de la unidad:150 = 2 75 =23 5 5150 = 3 50 =32 5 5150 = 5 30 =52 3 5 Un divisor de 150 se construye con algunos de los factores primos de 150.150 = 6 25 =2 35 5150 = 10 15 =2 53 5Cada uno de los mltiplos de un nmero contiene, al menos, todos los fac-tores primos de dicho nmero. Los divisores de un nmero estn formados por algunos de los factores pri-mos de dicho nmero.Cada divisor de 18, aparte de la uni-dad, est formado por algunos de los factores primos de 18:18 28 233 8238 233 8368 233 82 398 233 83 3188 233 82 3 3Observa10 Escribe factorizados, sin hacer ninguna operacin, tres mltiplos de 12 = 22 3.11 Escribefactorizadounnmeroqueseaalavez mltiplo dea = 2 3 3y deb = 2 3 5.12 Escribetresmltiploscomunesalosnmeros m=223yn = 22 5.13 Escribefactorizados,sinhaceroperaciones,todos los divisores de 75 = 3 5 5.14 Escribe un nmero que sea divisor dea = 2 3 5 y deb = 2 5 5a la vez.15 Escribetresdivisorescomunesalosnmeros m=2332yn= 22 3 5.ActividadesParadescomponerunnmeroen factoresprimos,tenencuentalos criterios de divisibilidad.6753Divisibles por 32253753Divisibles por 5255551675 = 33 52Recuerda5 Descompn mentalmente en el mximo nmero de factores.a) 12b) 16c) 18d) 20e) 24f)30g) 32h) 36i)40j)50k) 75l)1006 Copiaycompletaentucuadernolosprocesosde descomposicin factorial.5 8 8 2600 2300 3150 775 725 15 1588 = 2 2600 = 3 27 Descompn estos nmeros en el mximo nmero de factores:a) 270b) 360c) 630d) 750e) 1000f)11008 Descompn en factores los nmeros siguientes:a) 84b) 130c) 160d) 280e) 230f)400g) 560h) 594i)720j)975k) 2340l)52309 Calculalosnmerosquetienenlassiguientesdes-composiciones factoriales:a) 22 3 7b) 23 53c) 32 52 7d) 22 7 13Actividades13 1212 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 13 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Descomposicin de un nmero en factores primosElmayorniveldedescomposicinfactorialdeunnmerosealcanzacuando todos los factores son primos, pues, como ya sabes, estos no se pueden descom-poner en otros ms simples. ejemplos726308997102 2 2 3 36 factores primos 83 3 7 2 572 = 23 32630 = 2 32 5 7Paradescomponerunnmeroenfactoresprimos,convieneactuarordenada-mente. Observa cmo descomponemos el nmero 924:9242924 : 2 = 46284622462 : 2 = 23182313924 = 2 2 3 7 11 =231 : 3 = 778777= 22 3 7 1177 : 7 = 118111111 : 11 = 181Para descomponer un nmero en factores primos, lo dividimos entre 2 tan-tas veces como sea posible; despus, entre 3; despus, entre 5, y as sucesi-vamente entre los siguientes primos hasta obtener 1 en el cociente.Mltiplos y divisores de nmeros descompuestos en factores primosPara facilitar la comprensin del resto de la unidad, conviene que nos paremos a reflexionar sobre la estructura de los mltiplos y los divisores de un nmero que se presenta descompuesto en factores primos.Tomemos, por ejemplo, el nmero 150 descompuesto en factores primos:1502753255150 = 2 3 5 5551 Los mltiplos de 150 se obtienen multiplicando 150 por un nmero:150300 = 150 2 =2 3 5 5 2150450 = 150 3 =2 3 5 5 3 Un mltiplo de 150 contiene todos los factores primos de 150.150600 = 150 4 =2 3 5 5 2 2 Los divisores de 150 son, aparte de l mismo y de la unidad:150 = 2 75 =23 5 5150 = 3 50 =32 5 5150 = 5 30 =52 3 5 Un divisor de 150 se construye con algunos de los factores primos de 150.150 = 6 25 =2 35 5150 = 10 15 =2 53 5Cada uno de los mltiplos de un nmero contiene, al menos, todos los fac-tores primos de dicho nmero. Los divisores de un nmero estn formados por algunos de los factores pri-mos de dicho nmero.Cada divisor de 18, aparte de la uni-dad, est formado por algunos de los factores primos de 18:18 28 233 8238 233 8368 233 82 398 233 83 3188 233 82 3 3Observa10 Escribe factorizados, sin hacer ninguna operacin, tres mltiplos de 12 = 22 3.11 Escribefactorizadounnmeroqueseaalavez mltiplo dea = 2 3 3y deb = 2 3 5.12 Escribetresmltiploscomunesalosnmeros m=223yn = 22 5.13 Escribefactorizados,sinhaceroperaciones,todos los divisores de 75 = 3 5 5.14 Escribe un nmero que sea divisor dea = 2 3 5 y deb = 2 5 5a la vez.15 Escribetresdivisorescomunesalosnmeros m=2332yn= 22 3 5.ActividadesParadescomponerunnmeroen factoresprimos,tenencuentalos criterios de divisibilidad.6753Divisibles por 32253753Divisibles por 5255551675 = 33 52Recuerda5 Descompn mentalmente en el mximo nmero de factores.a) 12b) 16c) 18d) 20e) 24f)30g) 32h) 36i)40j)50k) 75l)1006 Copiaycompletaentucuadernolosprocesosde descomposicin factorial.5 8 8 2600 2300 3150 775 725 15 1588 = 2 2600 = 3 27 Descompn estos nmeros en el mximo nmero de factores:a) 270b) 360c) 630d) 750e) 1 000f)11008 Descompn en factores los nmeros siguientes:a) 84b) 130c) 160d) 280e) 230f)400g) 560h) 594i)720j)975k) 2 340l)52309 Calculalosnmerosquetienenlassiguientesdes-composiciones factoriales:a) 22 3 7b) 23 53c) 32 52 7d) 22 7 13Actividades15 1414 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 15 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.3La resolucin de ciertos problemas exige el manejo de los mltiplos comunes de varios nmeros. Veamos un ejemplo: ejemploDoa Rosita toma una pldora para el reuma cada 4 das y una cpsula para el corazn cada 6 das.Cada cunto tiempo coinciden ambas tomas en el mismo da?Ambas tomas coinciden en los das que son mltiplos comunes de 4 y 6, y se repiten cada 12 das.12 +1224 +1236 +1248 +12 Elmenordeestosmltiploscomuneses12yrecibeelnombredemnimo comn mltiplo de 4 y 6.Elmenordelosmltiploscomunesdedosomsnmeros,a,b,c,se llama mnimo comn mltiplo, y se expresa as:mn.c.m. (a, b, c, )Clculo del mnimo comn mltiplo (mtodo artesanal)Para obtener el mnimo comn mltiplo de dos nmeros: Escribimos los mltiplos de cada uno. Entresacamos los comunes. Tomamos el menor.Mnimo comn mltiplo de dos nmerosCalcular mn.c.m. (10, 15).Ejercicio resueltoMltiplos de 10810203040506070Mltiplos de 158153045607590105Mltiplos comunes830 - 60 - 90 El menor de los mltiploscomunes de 10 y 15 es 30. 8mn.c.m. (10, 15) = 30Clculo del mn.c.m. (4, 6)mltiplos de 4 8 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24mltiplos de 6 8 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36mltiplos comunes 8 12 - 24 - 36 - 48mn.c.m. (4, 6) = 12Clculo del mnimo comn mltiplo (mtodo ptimo)El mtodo anterior resulta apropiado para nmeros sencillos, pero se complica demasiado con nmeros mayores.Observaunanuevaformadecalcularelmnimocomnmltiploconlos nmeros descompuestos en factores primos. ejemploCalcular mn.c.m. (20, 30).Primer paso: Descomponer en factores primos.20230210220 = 22 515330 = 2 3 5555511Segundo paso: Elegir los factores primos del mn.c.m.Recordandoqueelmn.c.m.hadesermltiplode20yde30,yloms pequeo posible, hemos de tomar: 20Todos los factores primos de 20. 2 2 5Todos los factores primos de 30. mn.c.m. (20, 30) = 2 2 3 5El mnimo nmero de factores 2 3 5 que sea posible. 30Comprueba que todos los factores escogidos son imprescindibles, pues si se suprime cualquiera de ellos, deja de ser mltiplo de alguno de los nmeros.Tercer paso: Calcular, finalmente, el mn.c.m.mn.c.m. (20, 30) = 2 2 3 5 = 60Para calcular el mnimo comn mltiplo de varios nmeros:1.Se descomponen los nmeros en factores primos.2.Setomantodoslosfactoresprimos(comunesynocomunes)elevado cada uno al mayor exponente con el que aparece.3.Se multiplican los factores elegidos.Calcular mn.c.m. (75, 90).Ejercicio resuelto75390225545375 = 3 525515390 = 2 32 5 82 32 521551mn.c.m. (75, 90) = 2 32 52 = 450Ejemplomltiplos de 20 8 20 - 40 - 60 - 80 mltiplos de 30 8 30 - 60 - 90 - 120 mn.c.m. (20, 30) = 6015 1414 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 15 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.3La resolucin de ciertos problemas exige el manejo de los mltiplos comunes de varios nmeros. Veamos un ejemplo: ejemploDoa Rosita toma una pldora para el reuma cada 4 das y una cpsula para el corazn cada 6 das.Cada cunto tiempo coinciden ambas tomas en el mismo da?Ambas tomas coinciden en los das que son mltiplos comunes de 4 y 6, y se repiten cada 12 das.12 +1224 +1236 +1248 +12 Elmenordeestosmltiploscomuneses12yrecibeelnombredemnimo comn mltiplo de 4 y 6.Elmenordelosmltiploscomunesdedosomsnmeros,a,b,c,se llama mnimo comn mltiplo, y se expresa as:mn.c.m. (a, b, c, )Clculo del mnimo comn mltiplo (mtodo artesanal)Para obtener el mnimo comn mltiplo de dos nmeros: Escribimos los mltiplos de cada uno. Entresacamos los comunes. Tomamos el menor.Mnimo comn mltiplo de dos nmerosCalcular mn.c.m. (10, 15).Ejercicio resueltoMltiplos de 10810203040506070Mltiplos de 158153045607590105Mltiplos comunes830 - 60 - 90 El menor de los mltiploscomunes de 10 y 15 es 30. 8mn.c.m. (10, 15) = 30Clculo del mn.c.m. (4, 6)mltiplos de 4 8 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24mltiplos de 6 8 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36mltiplos comunes 8 12 - 24 - 36 - 48mn.c.m. (4, 6) = 12Clculo del mnimo comn mltiplo (mtodo ptimo)El mtodo anterior resulta apropiado para nmeros sencillos, pero se complica demasiado con nmeros mayores.Observaunanuevaformadecalcularelmnimocomnmltiploconlos nmeros descompuestos en factores primos. ejemploCalcular mn.c.m. (20, 30).Primer paso: Descomponer en factores primos.20230210220 = 22 515330 = 2 3 5555511Segundo paso: Elegir los factores primos del mn.c.m.Recordandoqueelmn.c.m.hadesermltiplode20yde30,yloms pequeo posible, hemos de tomar: 20Todos los factores primos de 20. 2 2 5Todos los factores primos de 30. mn.c.m. (20, 30) = 2 2 3 5El mnimo nmero de factores 2 3 5 que sea posible. 30Comprueba que todos los factores escogidos son imprescindibles, pues si se suprime cualquiera de ellos, deja de ser mltiplo de alguno de los nmeros.Tercer paso: Calcular, finalmente, el mn.c.m.mn.c.m. (20, 30) = 2 2 3 5 = 60Para calcular el mnimo comn mltiplo de varios nmeros:1.Se descomponen los nmeros en factores primos.2. Setomantodoslosfactoresprimos(comunesynocomunes)elevado cada uno al mayor exponente con el que aparece.3.Se multiplican los factores elegidos.Calcular mn.c.m. (75, 90).Ejercicio resuelto75390225545375 = 3 525515390 = 2 32 5 82 32 521551mn.c.m. (75, 90) = 2 32 52 = 450Ejemplomltiplos de 20 8 20 - 40 - 60 - 80 mltiplos de 30 8 30 - 60 - 90 - 120 mn.c.m. (20, 30) = 6017 1616 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 17 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.1 Calcula mentalmente.a) mn.c.m. (3, 5)b) mn.c.m. (6, 8)c) mn.c.m. (10, 15)d) mn.c.m. (20, 30)2 Copia y calcula mn.c.m. (30, 40).3040 1520 510 15 1 30 = 2 3 540 = 2 2 2 5 mn.c.m. (30, 40) = 3 Copia y calcula mn.c.m. (54, 60).5 46 0 1 1 54 = 60 = mn.c.m. (54, 60) = 4 Calcula por el mtodo ptimo el mnimo comn ml-tiplo deayben cada caso:a) a = 2 11b) a = 24 5c) a = 52 7b = 3 11b = 22 52b = 5 72d) a = 24 32e) a = 2 5 11f ) a = 23 3 5b = 22 3 5b = 3 5 11b = 22 32 55 Calcula.a) mn.c.m. (20, 25)b) mn.c.m. (28, 35)c) mn.c.m. (35, 40)d) mn.c.m. (36, 54)e) mn.c.m. (42, 63)f ) mn.c.m. (72, 108)g) mn.c.m. (99, 165)h) mn.c.m. (216, 288)6 Calcula.a) mn.c.m. (12, 18)b) mn.c.m. (21, 35)c) mn.c.m. (24, 36)d) mn.c.m. (36, 40)e) mn.c.m. (72, 90)f) mn.c.m. (90, 120)7 Calcula.a) mn.c.m. (4, 6, 9)b) mn.c.m. (6, 8, 9)c) mn.c.m. (12, 18, 30)d) mn.c.m. (24, 28, 42)e) mn.c.m. (60, 72, 90)f) mn.c.m. (50, 75, 100)8 Se apilan, en una torre, cubos de 30 cm de arista y, al lado, en otra torre, cubos de 36 cm de arista.A qu altura coinciden las cimas de ambas torres?9 UnafbricaenvamercancaaValenciacada6das yaSevillacada8das.Hoyhancoincididoambos envos. Cunto tiempo pasar hasta que vuelvan a coincidir?10 El autobs de la lnea roja pasa por la parada, frente a mi casa, cada 20 minutos, y el de la lnea verde, cada 30 minutos. Siambospasanjuntosalasdosdelatarde,aqu hora vuelven a coincidir? ActividadesMximo comn divisor de dos nmeros 4Tambin encontrars problemas que exigen el manejo de los divisores comunes a varios nmeros. Veamos un ejemplo: ejemploUna sociedad protectora de animales ha recogido 8 gatos y 12 perros que se han de transportar en jaulas iguales, lo ms grandes que sea posible, y de forma que en todas quepa el mismo nmero de individuos. Cuntos animales irn en cada jaula?Tanteando, se encuentran tres posibles soluciones: Primera solucin: jaulas con un inquilino.GGGGGGGGPPPPPPPPPPPP8 112 1 Segunda solucin: jaulas con dos inquilinos.GGGGGGGGPPPPPPPPPPPP4 26 2 Tercera solucin: jaulas con cuatro inquilinos.GGGGGGGGPPPPPPPPPPPP2 43 4Las soluciones coinciden con los divisores comunes de 8 y 12:1 - 2 - 4Elmayordeestosdivisorescomuneses4yrecibeelnombredemximo comn divisor de 8 y 12.Elmayordelosdivisorescomunesadosomsnmeros,a,b,c,se llama mximo comn divisor, y se expresa as:mx.c.d. (a, b, c, )Clculo del mximo comn divisor (mtodo artesanal)Para obtener el mximo comn divisor de dos nmeros: Escribimos los divisores de cada uno. Entresacamos los comunes. Tomamos el mayor.Ejercicio resueltoCalcular mx.c.d. (20, 30).Divisores de 20812451020Divisores de 30812356101530Divisores comunes81 - 2 - 5 - 10El mayor de los divisorescomunes de 20 y 30 es 10. 8mx.c.d. (20, 30) = 10Clculo del mx.c.d. (8, 12)divisores de 8 8 1 - 2 - 4 - 8divisores de 12 8 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12divisores comunes 8 1 - 2 - 4mx.c.d. (8, 12) = 4Es importante que te des cuenta de que cuando queremos calcular el mn.c.m. de dos numeros, y uno de ellos es mltiplo del otro, el mn.c.m. es el mayor de los dos nmeros. ejemploCalcular mn.c.m. (15, 30).15 = 3 530 = 2 3 5153 5mn.c.m. (15, 30) = 2 3 5 = 302 3 53017 1616 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 17 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.1 Calcula mentalmente.a) mn.c.m. (3, 5)b) mn.c.m. (6, 8)c) mn.c.m. (10, 15)d) mn.c.m. (20, 30)2 Copia y calcula mn.c.m. (30, 40).3040 1520 510 15 1 30 = 2 3 540 = 2 2 2 5 mn.c.m. (30, 40) = 3 Copia y calcula mn.c.m. (54, 60).5 46 0 1 1 54 = 60 = mn.c.m. (54, 60) = 4 Calcula por el mtodo ptimo el mnimo comn ml-tiplo deayben cada caso:a) a = 2 11b) a = 24 5c) a = 52 7b = 3 11b = 22 52b = 5 72d) a = 24 32e) a = 2 5 11f ) a = 23 3 5b = 22 3 5b = 3 5 11b = 22 32 55 Calcula.a) mn.c.m. (20, 25)b) mn.c.m. (28, 35)c) mn.c.m. (35, 40)d) mn.c.m. (36, 54)e) mn.c.m. (42, 63)f ) mn.c.m. (72, 108)g) mn.c.m. (99, 165)h) mn.c.m. (216, 288)6 Calcula.a) mn.c.m. (12, 18)b) mn.c.m. (21, 35)c) mn.c.m. (24, 36)d) mn.c.m. (36, 40)e) mn.c.m. (72, 90)f) mn.c.m. (90, 120)7 Calcula.a) mn.c.m. (4, 6, 9)b) mn.c.m. (6, 8, 9)c) mn.c.m. (12, 18, 30)d) mn.c.m. (24, 28, 42)e) mn.c.m. (60, 72, 90)f) mn.c.m. (50, 75, 100)8 Se apilan, en una torre, cubos de 30 cm de arista y, al lado, en otra torre, cubos de 36 cm de arista.A qu altura coinciden las cimas de ambas torres?9 UnafbricaenvamercancaaValenciacada6das yaSevillacada8das.Hoyhancoincididoambos envos. Cunto tiempo pasar hasta que vuelvan a coincidir?10 El autobs de la lnea roja pasa por la parada, frente a mi casa, cada 20 minutos, y el de la lnea verde, cada 30 minutos. Siambospasanjuntosalasdosdelatarde,aqu hora vuelven a coincidir? ActividadesMximo comn divisor de dos nmeros 4Tambin encontrars problemas que exigen el manejo de los divisores comunes a varios nmeros. Veamos un ejemplo: ejemploUna sociedad protectora de animales ha recogido 8 gatos y 12 perros que se han de transportar en jaulas iguales, lo ms grandes que sea posible, y de forma que en todas quepa el mismo nmero de individuos. Cuntos animales irn en cada jaula?Tanteando, se encuentran tres posibles soluciones: Primera solucin: jaulas con un inquilino.GGGGGGGGPPPPPPPPPPPP8 112 1 Segunda solucin: jaulas con dos inquilinos.GGGGGGGGPPPPPPPPPPPP4 26 2 Tercera solucin: jaulas con cuatro inquilinos.GGGGGGGGPPPPPPPPPPPP2 43 4Las soluciones coinciden con los divisores comunes de 8 y 12:1 - 2 - 4Elmayordeestosdivisorescomuneses4yrecibeelnombredemximo comn divisor de 8 y 12.Elmayordelosdivisorescomunesadosomsnmeros,a,b,c,se llama mximo comn divisor, y se expresa as:mx.c.d. (a, b, c, )Clculo del mximo comn divisor (mtodo artesanal)Para obtener el mximo comn divisor de dos nmeros: Escribimos los divisores de cada uno. Entresacamos los comunes. Tomamos el mayor.Ejercicio resueltoCalcular mx.c.d. (20, 30).Divisores de 20812451020Divisores de 30812356101530Divisores comunes81 - 2 - 5 - 10El mayor de los divisorescomunes de 20 y 30 es 10. 8mx.c.d. (20, 30) = 10Clculo del mx.c.d. (8, 12)divisores de 8 8 1 - 2 - 4 - 8divisores de 12 8 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12divisores comunes 8 1 - 2 - 4mx.c.d. (8, 12) = 4Es importante que te des cuenta de que cuando queremos calcular el mn.c.m. de dos numeros, y uno de ellos es mltiplo del otro, el mn.c.m. es el mayor de los dos nmeros. ejemploCalcular mn.c.m. (15, 30).15 = 3 530 = 2 3 5153 5mn.c.m. (15, 30) = 2 3 5 = 302 3 53019 1818 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 19 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.EjemploDivisores de 4012458102040123456101215203060Divisores de 60mx.c.d. (40, 60) = 20 Clculo del mximo comn divisor (mtodo ptimo)El mtodo que has aprendido en la pgina anterior resulta adecuado para nme-ros sencillos. En casos ms complicados, resulta mucho ms cmodo utilizar la descomposicin en factores, como se muestra a continuacin. ejemploCalcular mx.c.d. (60, 40).Primer paso: Descomponer en factores primos.40260220230210240 = 23 515360 = 22 3 5555511Segundo paso: Elegir los factores primos del mx.c.d.Recordando que el mx.c.d. ha de ser divisor de 40 y de 60, y lo ms grande posible, hemos de tomar:Los factores comunes de 40 y 60.40 = 2 2 2 5Ningn factor no comn.60 = 2 2 3 5El mximo nmero de factores que sea posible.mx.c.d. (40, 60) = 2 2 5Tercer paso: Calcular, finalmente, el mx.c.d.mx.c.d. (40, 60) = 2 2 5 = 20Para calcular el mximo comn divisor de varios nmeros:1.Se descomponen los nmeros en factores primos.2. Setomansolamentelosfactoresprimoscomunes,elevadocadaunoal menor exponente con el que aparece.3.Se multiplican los factores elegidos.Calcular mx.c.d. (150, 225).Ejercicio resuelto 15022253753753150 = 2 3 52255255225 = 32 52 83 52555511mx.c.d. (150, 225) = 3 52 = 751 Calcula mentalmente.a) mx.c.d. (4, 6)b) mx.c.d. (6, 8)c) mx.c.d. (5, 10)d) mx.c.d. (15, 20)e) mx.c.d. (18, 27)f)mx.c.d. (50, 75)2 Copia y calcula mx.c.d. (36, 48). 36 48 18 24 9 12 3 6 1 3 1 36 = 2 2 3 348 = mx.c.d. (36, 48) = 3 Copia y calcula mx.c.d. (80, 100). 80 100 2 40 2 25 5 10 2 1 180 = 100 = mx.c.d. (80, 100) = 4 Calcula por el mtodo ptimo el mximo comn divi-sor deayben cada caso:a) a = 3 7b) a = 24 32c) a = 52 7b = 5 7b = 22 33b = 5 72d) a = 3 5 11e) a = 23 52f ) a = 22 7 13b = 2 5 11b = 22 52 7b = 2 32 135 Calcula.a) mx.c.d. (20, 24)b) mx.c.d. (24, 36)c) mx.c.d. (54, 60)d) mx.c.d. (56, 70)e) mx.c.d. (120, 144)f ) mx.c.d. (140, 180)g) mx.c.d. (168, 196)h) mx.c.d. (180, 270)6 Calcula.a) mx.c.d. (24, 36)b) mx.c.d. (28, 42)c) mx.c.d. (63, 99)d) mx.c.d. (90, 126)e) mx.c.d. (165, 275)f)mx.c.d. (360, 450)7 Calcula.a) mx.c.d. (6, 9, 12)b) mx.c.d. (12, 18, 24)c) mx.c.d. (32, 40, 48)d) mx.c.d. (36, 60, 72)e) mx.c.d. (50, 60, 90)f)mx.c.d8 El dueo de un restaurante compra un bidn de 80 litros de aceite de oliva y otro de 60 litros de aceite de girasol, y desea envasarlos en garrafas iguales, lo ms grandesqueseaposible,ysinmezclar.Culserla capacidad de las garrafas?9 Un carpintero tiene dos listones de 180 cm y 240 cm, respectivamente, y desea cortarlos en trozos iguales, lo ms largos que sea posible, y sin desperdiciar madera. Cunto debe medir cada trozo?10 Se desea dividir un terreno rectangular, de 100m de ancho por 120 m de largo, en parcelas cuadra-das lo ms grandes que sea posible.Cunto debe medir el lado de cada parcela?ActividadesDel mismo modo que en el mn.c.m., cuando queremos calcular el mx.c.d. de dos nmeros, un multiplo del otro, el resultado es uno de ellos: en este caso, el menor. ejemploCalcular mx.c.d. (15, 30).Descomponemos los dos nmeros en factores primos:15 =3 530 = 2 3 5De este modo:mx.c.d. (15, 30) = 3 5 = 1519 1818 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 19 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.EjemploDivisores de 4012458102040123456101215203060Divisores de 60mx.c.d. (40, 60) = 20 Clculo del mximo comn divisor (mtodo ptimo)El mtodo que has aprendido en la pgina anterior resulta adecuado para nme-ros sencillos. En casos ms complicados, resulta mucho ms cmodo utilizar la descomposicin en factores, como se muestra a continuacin. ejemploCalcular mx.c.d. (60, 40).Primer paso: Descomponer en factores primos.40260220230210240 = 23 515360 = 22 3 5555511Segundo paso: Elegir los factores primos del mx.c.d.Recordando que el mx.c.d. ha de ser divisor de 40 y de 60, y lo ms grande posible, hemos de tomar:Los factores comunes de 40 y 60.40 = 2 2 2 5Ningn factor no comn.60 = 2 2 3 5El mximo nmero de factores que sea posible.mx.c.d. (40, 60) = 2 2 5Tercer paso: Calcular, finalmente, el mx.c.d.mx.c.d. (40, 60) = 2 2 5 = 20Para calcular el mximo comn divisor de varios nmeros:1.Se descomponen los nmeros en factores primos.2. Setomansolamentelosfactoresprimoscomunes,elevadocadaunoal menor exponente con el que aparece.3.Se multiplican los factores elegidos.Calcular mx.c.d. (150, 225).Ejercicio resuelto 15022253753753150 = 2 3 52255255225 = 32 52 83 52555511mx.c.d. (150, 225) = 3 52 = 751 Calcula mentalmente.a) mx.c.d. (4, 6)b) mx.c.d. (6, 8)c) mx.c.d. (5, 10)d) mx.c.d. (15, 20)e) mx.c.d. (18, 27)f)mx.c.d. (50, 75)2 Copia y calcula mx.c.d. (36, 48). 36 48 18 24 9 12 3 6 1 3 1 36 = 2 2 3 348 = mx.c.d. (36, 48) = 3 Copia y calcula mx.c.d. (80, 100). 80 100 2 40 2 25 5 10 2 1 180 = 100 = mx.c.d. (80, 100) = 4 Calcula por el mtodo ptimo el mximo comn divi-sor deayben cada caso:a) a = 3 7b) a = 24 32c) a = 52 7b = 5 7b = 22 33b = 5 72d) a = 3 5 11e) a = 23 52f ) a = 22 7 13b = 2 5 11b = 22 52 7b = 2 32 135 Calcula.a) mx.c.d. (20, 24)b) mx.c.d. (24, 36)c) mx.c.d. (54, 60)d) mx.c.d. (56, 70)e) mx.c.d. (120, 144)f ) mx.c.d. (140, 180)g) mx.c.d. (168, 196)h) mx.c.d. (180, 270)6 Calcula.a) mx.c.d. (24, 36)b) mx.c.d. (28, 42)c) mx.c.d. (63, 99)d) mx.c.d. (90, 126)e) mx.c.d. (165, 275)f)mx.c.d. (360, 450)7 Calcula.a) mx.c.d. (6, 9, 12)b) mx.c.d. (12, 18, 24)c) mx.c.d. (32, 40, 48)d) mx.c.d. (36, 60, 72)e) mx.c.d. (50, 60, 90)f)mx.c.d8 El dueo de un restaurante compra un bidn de 80 litros de aceite de oliva y otro de 60 litros de aceite de girasol, y desea envasarlos en garrafas iguales, lo ms grandesqueseaposible,ysinmezclar.Culserla capacidad de las garrafas?9 Un carpintero tiene dos listones de 180 cm y 240 cm, respectivamente, y desea cortarlos en trozos iguales, lo ms largos que sea posible, y sin desperdiciar madera. Cunto debe medir cada trozo?10 Se desea dividir un terreno rectangular, de 100m de ancho por 120 m de largo, en parcelas cuadra-das lo ms grandes que sea posible.Cunto debe medir el lado de cada parcela?ActividadesDel mismo modo que en el mn.c.m., cuando queremos calcular el mx.c.d. de dos nmeros, un multiplo del otro, el resultado es uno de ellos: en este caso, el menor. ejemploCalcular mx.c.d. (15, 30).Descomponemos los dos nmeros en factores primos:15 =3 530 = 2 3 5De este modo:mx.c.d. (15, 30) = 3 5 = 1521 2020 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 21 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Operaciones con nmeros enteros 5Suma y restaRecuerda algunas reglas bsicas para resolver expresiones con nmeros enteros:Para sumar (restar) dos nmeros: Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenan los sumandos. Sitienendistintosigno,serestanlosvaloresabsolutosyseponeelsigno del que tiene mayor valor absoluto. ejemplos+3 + 5 = +84 2 = 6+3 +5+82 463 + 8 = +5+3 7 = 43+8+5+374 Al suprimir un parntesis precedido del signo ms, los signos interiores no varan.+(3 + 8 2) = 3 + 8 2 Al suprimir un parntesis precedido del signo menos, se cambian los signos interiores: ms por menos y menos por ms.(3 + 8 2) = +3 8 + 2Para sumar ms de dos nmeros positivos y negativos: Se suman los positivos por un lado y los negativos por otro. Se restan los resultados y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. ejemplosa) 8 6 + 3 7 = 8 + 3 6 7 = 11 13 = 2b) +(+4) + (7) (+3) (5) = 4 7 3 + 5 = 4 + 5 7 3 = 9 10 = 1c) 9 (2 7 + 3) + (2 + 6)= 9 2 + 7 3 2 + 6 = 9 + 7 + 6 2 3 2 = = 22 7 = 15O bien, de otra forma:9 (2 7 + 3) + (2 + 6)= 9 (5 7) + (2 + 6) = 9 (2) + (+4) = = 9 + 2 + 4 = 151 Calcula mentalmente.a) 5 7b) 2 9c) 3 4d) 6 10e) 5 12f ) 9 15g) 12 + 17h) 22 + 10i)21 + 15j)3 6k) 1 9l)12 132 Resuelve.a) 10 3 + 5b) 5 8 + 6c) 2 9 + 1d) 7 15 + 2e) 16 4 6f ) 22 7 8g) 9 8 7h) 15 12 + 63 Calcula.a) 3 + 10 1b) 8 + 2 3c) 5 + 6 + 4d) 12 + 2 + 6e) 18 + 3 + 6f ) 20 + 12 + 5g) 7 3 4h) 2 13 54 Copia y completa como en el ejemplo. 7 4 6 2 + 5 + 3 4 = 15 16 = 1 a) 3 9 + 4 8 2 + 13 = = b) 15 4 + 12 3 11 2 = = 5 Calcula.a) 3 7 + 2 5b) 2 6 + 9 3 + 4c) 7 10 5 + 4 + 6 1d) 6 + 4 3 2 8 + 5e) 12 + 5 17 11 + 20 13f ) 16 22 + 24 31 + 12 156 Quita parntesis y calcula.a) (3) (+4) (8)b) (5) + (6) (3)c) (+8) (+6) + (7) (4)d) (3) (+2) + (9) + (+7)7 Resuelve de dos formas, como en el ejemplo. a) 10 (13 7) = 10 (+6) = 10 6 = 4b) 10 (13 7) = 10 13 + 7 = 17 13 = 4a) 15 (12 8) b) 9 (20 6)c) 8 (15 12) d) 6 (13 2)e) 15 (6 9 + 5) f ) 21 (3 10 + 11 + 6)8 Resuelve de una de las formas que ofrece el ejemplo: a) (8 13) (5 4 7)= (8 13) (5 11) = = (5) (6) = 5 + 6 = 1b) (8 13) (5 4 7) = 8 13 5 + 4 + 7 = = 19 18 = 1a) (4 9) (5 8)b) (1 6) + (4 7)c) 4 (8 + 2) (3 13)d) 12 + (8 15) (5 + 8)e) (8 6) (3 7 2) + (1 8 + 2)f ) (5 16) (7 3 6) (9 13 5)9 Ejercicio resueltoCalcular:6 [5 + (8 2)]a) Primera forma: deshaciendo parntesis.6 [5 + (8 2)] = 6 [5 + 8 2] = = 6 5 8 + 2 = 8 13 = 5b) Segundaforma:operandodentrodelospa-rntesis.6 [ 5 + (8 2)] = 6 [5 + (+6)] = = 6 [5 + 6] = 6 [+11] = 6 11 = 510 Calcula.a) 7 [1 + (9 13)] b) 9 + [8 (13 4)]c) 12 [6 (15 8)] d) 17 + [9 (3 10)]e) 2 + [6 (4 2 + 9)] f ) 15 [9 (5 11 + 7)]Actividades11 13928 6 + 3 798 + 3 6 79(8 + 3) (6 + 7)911 1392INGRESOINGRESOS GASTOSINGRESOGASTO GASTO21 2020 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 21 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Operaciones con nmeros enteros 5Suma y restaRecuerda algunas reglas bsicas para resolver expresiones con nmeros enteros:Para sumar (restar) dos nmeros: Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenan los sumandos. Sitienendistintosigno,serestanlosvaloresabsolutosyseponeelsigno del que tiene mayor valor absoluto. ejemplos+3 + 5 = +84 2 = 6+3 +5+82 463 + 8 = +5+3 7 = 43+8+5+374 Al suprimir un parntesis precedido del signo ms, los signos interiores no varan.+(3 + 8 2) = 3 + 8 2 Al suprimir un parntesis precedido del signo menos, se cambian los signos interiores: ms por menos y menos por ms.(3 + 8 2) = +3 8 + 2Para sumar ms de dos nmeros positivos y negativos: Se suman los positivos por un lado y los negativos por otro. Se restan los resultados y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. ejemplosa) 8 6 + 3 7 = 8 + 3 6 7 = 11 13 = 2b) +(+4) + (7) (+3) (5) = 4 7 3 + 5 = 4 + 5 7 3 = 9 10 = 1c) 9 (2 7 + 3) + (2 + 6)= 9 2 + 7 3 2 + 6 = 9 + 7 + 6 2 3 2 = = 22 7 = 15O bien, de otra forma:9 (2 7 + 3) + (2 + 6)= 9 (5 7) + (2 + 6) = 9 (2) + (+4) = = 9 + 2 + 4 = 151 Calcula mentalmente.a) 5 7b) 2 9c) 3 4d) 6 10e) 5 12f ) 9 15g) 12 + 17h) 22 + 10i)21 + 15j)3 6k) 1 9l)12 132 Resuelve.a) 10 3 + 5b) 5 8 + 6c) 2 9 + 1d) 7 15 + 2e) 16 4 6f ) 22 7 8g) 9 8 7h) 15 12 + 63 Calcula.a) 3 + 10 1b) 8 + 2 3c) 5 + 6 + 4d) 12 + 2 + 6e) 18 + 3 + 6f ) 20 + 12 + 5g) 7 3 4h) 2 13 54 Copia y completa como en el ejemplo. 7 4 6 2 + 5 + 3 4 = 15 16 = 1 a) 3 9 + 4 8 2 + 13 = = b) 15 4 + 12 3 11 2 = = 5 Calcula.a) 3 7 + 2 5b) 2 6 + 9 3 + 4c) 7 10 5 + 4 + 6 1d) 6 + 4 3 2 8 + 5e) 12 + 5 17 11 + 20 13f ) 16 22 + 24 31 + 12 156 Quita parntesis y calcula.a) (3) (+4) (8)b) (5) + (6) (3)c) (+8) (+6) + (7) (4)d) (3) (+2) + (9) + (+7)7 Resuelve de dos formas, como en el ejemplo. a) 10 (13 7) = 10 (+6) = 10 6 = 4b) 10 (13 7) = 10 13 + 7 = 17 13 = 4a) 15 (12 8) b) 9 (20 6)c) 8 (15 12) d) 6 (13 2)e) 15 (6 9 + 5) f ) 21 (3 10 + 11 + 6)8 Resuelve de una de las formas que ofrece el ejemplo: a) (8 13) (5 4 7)= (8 13) (5 11) = = (5) (6) = 5 + 6 = 1b) (8 13) (5 4 7)= 8 13 5 + 4 + 7 = = 19 18 = 1a) (4 9) (5 8)b) (1 6) + (4 7)c) 4 (8 + 2) (3 13)d) 12 + (8 15) (5 + 8)e) (8 6) (3 7 2) + (1 8 + 2)f ) (5 16) (7 3 6) (9 13 5)9 Ejercicio resueltoCalcular:6 [5 + (8 2)]a) Primera forma: deshaciendo parntesis.6 [5 + (8 2)] = 6 [5 + 8 2] = = 6 5 8 + 2 = 8 13 = 5b) Segundaforma:operandodentrodelospa-rntesis.6 [ 5 + (8 2)] = 6 [5 + (+6)] = = 6 [5 + 6] = 6 [+11] = 6 11 = 510 Calcula.a) 7 [1 + (9 13)] b) 9 + [8 (13 4)]c) 12 [6 (15 8)] d) 17 + [9 (3 10)]e) 2 + [6 (4 2 + 9)] f ) 15 [9 (5 11 + 7)]Actividades11 13928 6 + 3 798 + 3 6 79(8 + 3) (6 + 7)911 1392INGRESOINGRESOS GASTOSINGRESOGASTO GASTO23 2222 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 23 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.MultiplicacinPodemos calcular el producto de dos nmeros enteros teniendo en cuenta que una multiplicacin es una suma de sumandos iguales:(+3) (6) = Sumamos tres veces menos seis.+(6) + (6) + (6) = 6 6 6 = 18(3) (6) = Restamos tres veces menos seis.(6) (6) (6) = +6 + 6 + 6 = +18Sin embargo, para multiplicar con rapidez, aplicamos la siguiente regla:REGLA DE LOS SIGNOSEl producto de dos nmeros enteros es: Positivo, si los factores tienen signos iguales. Negativo, si los factores tienen signos diferentes. EJEMPLOS(+4) (+3) = +12 (5) (4) = +20 (+6) (4) = 24 (4) (+8) = 32DivisinLa divisin de nmeros enteros guarda con la multiplicacin las mismas relacio-nes que en los nmeros naturales:(+4) (+6) = +24 (+24) : (+4) = +6(4) (6) = +24(+24) : (4) = 6(+4) (6) = 24(24) : (+4) = 6(24) : (6) = +4En la divisin se aplica la misma regla de los signos que en la multiplicacin.Operaciones combinadasObserva el orden en que realizamos las operaciones para calcular el valor de la siguiente expresin:REGLA DE PRIORIDAD EN LAS OPERACIONESEn las expresionescon operacionescombi-nadas, hemos de atender: Primero, a las operaciones que estn den-tro de los parntesis. Despus, a las multiplicaciones y a las di-visiones. Por ltimo, a las sumas y a las restas.(2) (5 9) + 6 (3 5)9(2) ( 4) + 6 (2)9(+8) + (12)98 12 = 4+ + = ++ = + = = +REGLA DE LOS SIGNOS11 Multiplica.a) (+10) (2) b) (4) (9)c) (7) (+5) d) (+11) (+7)12 Observa los ejemplos y calcula. (3) (+2) (5) = (6) (5) = +3014243 (3) (+2) (5) = (3) (10) = +3014243a) (2) (3) (+4) b) (1) (+2) (5)c) (+4) (3) (+2) d) (6) (2) (5)13 Divide.a) (18) : (+3) b) (15) : (5)c) (+36) : (9) d) (30) : (10)e) (52) : (+13) f ) (+22) : (+11)14 Calcula el valor dexen cada caso:a) (18) : x = +6 b) (+4) x = 36c) x (13) = 91 d) x : (11) = +515 Calcula.a) (+3) (5) (+2)b) (4) (1) (+6) c) (2) (7) (2)d) (+5) (4) (3)16 Opera.a) [(+80) : (8)] : (5) b) [(70) : (2)] : (7)c) (+50) : [(30) : (+6)] d) (40) : [(+24) : (+3)]17 Calcula como en el ejemplo. 15 8 3 = 15 24 = 9a) 18 5 3b) 6 4 2c) 7 2 1618 Calcula.a) 18 15 : 3b) 3 30 : 6c) 20 : 2 1119 Calcula como en el ejemplo. 21 4 6 + 12 : 3 = 21 24 + 4 = 25 24 = 1a) 20 4 7 + 11 b) 12 6 5 + 4 2c) 15 20 : 5 3 d) 6 10 : 2 14 : 7e) 5 3 4 4 + 2 6 f ) 7 3 5 4 + 18 : 620 Observa el ejemplo y calcula. (3) ( 4) + ( 6) 3 = (+12) + (18) = 12 18 = 6a) 5 (8) (+9) 4b) 32 : (8) (20) : 5c) (2) (9) + (5) (+4)d) (+25) : (5) + (16) : (+4)e) (+6) (7) + (50) : (2)f ) (+56) : (8) (12) (+3)21 Calcula.a) 18 5 (3 8)b) 11 40 : (8)c) 4 (8 11) 6 (7 9)d) (4 5) (3) (8 2) : (3)22 Calcula.a) 5 (4) + 2 (3) b) 20 : (5) 8 : (+2)c) 2 (8) 3 (7) 4 (+3) d) 6 : (+2) + 5 (3) 12 : (4)23 Opera.a) (8) (+2) + (5) (3)b) (+40) : (8) (30) : (+6)c) (2) (9) + (24) : (3) (6) (4)d) (+27) : (3) (+3) (5) (6) (2)Actividades( 2) ( 59) +6 ( 35)42+8124Ten en cuenta23 2222 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 23 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.MultiplicacinPodemos calcular el producto de dos nmeros enteros teniendo en cuenta que una multiplicacin es una suma de sumandos iguales:(+3) (6) = Sumamos tres veces menos seis.+(6) + (6) + (6) = 6 6 6 = 18(3) (6) = Restamos tres veces menos seis.(6) (6) (6) = +6 + 6 + 6 = +18Sin embargo, para multiplicar con rapidez, aplicamos la siguiente regla:REGLA DE LOS SIGNOSEl producto de dos nmeros enteros es: Positivo, si los factores tienen signos iguales. Negativo, si los factores tienen signos diferentes. EJEMPLOS(+4) (+3) = +12 (5) (4) = +20 (+6) (4) = 24 (4) (+8) = 32DivisinLa divisin de nmeros enteros guarda con la multiplicacin las mismas relacio-nes que en los nmeros naturales:(+4) (+6) = +24 (+24) : (+4) = +6(4) (6) = +24(+24) : (4) = 6(+4) (6) = 24(24) : (+4) = 6(24) : (6) = +4En la divisin se aplica la misma regla de los signos que en la multiplicacin.Operaciones combinadasObserva el orden en que realizamos las operaciones para calcular el valor de la siguiente expresin:REGLA DE PRIORIDAD EN LAS OPERACIONESEnlasexpresiones conoperaciones combi-nadas, hemos de atender: Primero, a las operaciones que estn den-tro de los parntesis. Despus, a las multiplicaciones y a las di-visiones. Por ltimo, a las sumas y a las restas.(2) (5 9) + 6 (3 5)9(2) ( 4) + 6 (2)9(+8) + (12)98 12 = 4+ + = ++ = + = = +REGLA DE LOS SIGNOS11 Multiplica.a) (+10) (2) b) (4) (9)c) (7) (+5) d) (+11) (+7)12 Observa los ejemplos y calcula. (3) (+2) (5) = (6) (5) = +3014243 (3) (+2) (5) = (3) (10) = +3014243a) (2) (3) (+4) b) (1) (+2) (5)c) (+4) (3) (+2) d) (6) (2) (5)13 Divide.a) (18) : (+3) b) (15) : (5)c) (+36) : (9) d) (30) : (10)e) (52) : (+13) f ) (+22) : (+11)14 Calcula el valor dexen cada caso:a) (18) : x = +6 b) (+4) x = 36c) x (13) = 91 d) x : (11) = +515 Calcula.a) (+3) (5) (+2)b) (4) (1) (+6) c) (2) (7) (2)d) (+5) (4) (3)16 Opera.a) [(+80) : (8)] : (5) b) [(70) : (2)] : (7)c) (+50) : [(30) : (+6)] d) (40) : [(+24) : (+3)]17 Calcula como en el ejemplo. 15 8 3 = 15 24 = 9a) 18 5 3b) 6 4 2c) 7 2 1618 Calcula.a) 18 15 : 3b) 3 30 : 6c) 20 : 2 1119 Calcula como en el ejemplo. 21 4 6 + 12 : 3 = 21 24 + 4 = 25 24 = 1a) 20 4 7 + 11 b) 12 6 5 + 4 2c) 15 20 : 5 3 d) 6 10 : 2 14 : 7e) 5 3 4 4 + 2 6 f ) 7 3 5 4 + 18 : 620 Observa el ejemplo y calcula. (3) ( 4) + ( 6) 3 = (+12) + (18) = 12 18 = 6a) 5 (8) (+9) 4b) 32 : (8) (20) : 5c) (2) (9) + (5) (+4)d) (+25) : (5) + (16) : (+4)e) (+6) (7) + (50) : (2)f ) (+56) : (8) (12) (+3)21 Calcula.a) 18 5 (3 8)b) 11 40 : (8)c) 4 (8 11) 6 (7 9)d) (4 5) (3) (8 2) : (3)22 Calcula.a) 5 (4) + 2 (3) b) 20 : (5) 8 : (+2)c) 2 (8) 3 (7) 4 (+3) d) 6 : (+2) + 5 (3) 12 : (4)23 Opera.a) (8) (+2) + (5) (3)b) (+40) : (8) (30) : (+6)c) (2) (9) + (24) : (3) (6) (4)d) (+27) : (3) (+3) (5) (6) (2)Actividades( 2) ( 59) +6 ( 35)42+8124Ten en cuenta25 2424 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 25 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Potencias de nmeros enterosRecuerda que una potencia es una multiplicacin de factores iguales:an = a a a anvecesEXPONENTEBASE ejemplos(+4)2 = (+4) (+4) = +16(3)4 = (3) (3) (3) (3) = +81(3)5 = (3) (3) (3) (3) (3) = 243 Potencias de nmeros negativosEn las sucesivas potencias de un nmero negativo obtenemos, alternativamen-te, resultados positivos y negativos:(3)1 = 3 (3)2 = +9 (3)3= 27 (3)4 = +81Al elevar un nmero negativo a una potencia: Si el exponente es par, el resultado es positivo.(a)n (par)8positivo Si el exponente es impar, el resultado es negativo.(a)n (impar)8negativo24 Escribe en forma de potencia.a) (2) (2) b) (+5) (+5) (+5)c) (4) (4) (4) (4)d) (2) (2) (2) (2) (2) (2)25 Copia y completa en tu cuaderno.potencia base exponente valor(1)7(2)4(+3)3( 4)226 Escribe en forma de producto y calcula:a) (2)6b) (3)1 c) (+3)4d) (5)2 e) (10)5f ) (8)327 Obtnconayudadelacalculadoracomosehace en el ejemplo. 125812**====8{}a) 86b) (8)6 c) 115d) (11)5 e) 277f ) (27)7ActividadesOperaciones con potencias 6==Vasaaprender,ahora,algunaspropiedadesquefacilitanelclculoconpoten-cias. Por eso, es conveniente que las memorices y que ensayes su aplicacin en diferentes situaciones. Potencia de un productoComparalasdosexpresionessiguientesyobservaqueenambasseobtieneel mismo resultado. ejemplo(2 3)3 = 63 = 6 6 6 = 21623 33 = (2 2 2) (3 3 3) = 8 27 = 216 La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Potencia de un cocienteObserva otras dos expresiones que tambin tienen el mismo valor. ejemplo(6 : 3)3 = 23 = 2 2 2 = 863 : 33 = (6 6 6) : (3 3 3) = 216 : 27 = 8La potencia de un cociente es igual al cocientede las potencias del dividendo y del divisor.Calcular, por el camino ms sencillo, 56 26.56 26 = (5 2)6 = 106 = 1000000Ejercicio resuelto1.Calcular, por el camino ms sencillo, 123 : 43.123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 3 3 3 = 272.Calcular: (64 54) : 154(64 54) : 154 = (6 5)4 : 154 = 304 : 154 = (30 : 15)4 = 24 = 2 2 2 2 = 16Ejercicios resueltosNo te confundas(2 + 3)4 = 54 = 62524 + 34 = 16 + 81 = 97(2 + 3)4 ? 24 + 34 LapotenciadeunasumaNOES IGUAL a la suma de las potencias de los sumandos.8(a : b)n = an : bn8(a b)n = an bn25 2424 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 25 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Potencias de nmeros enterosRecuerda que una potencia es una multiplicacin de factores iguales:an = a a a anvecesEXPONENTEBASE ejemplos(+4)2 = (+4) (+4) = +16(3)4 = (3) (3) (3) (3) = +81(3)5 = (3) (3) (3) (3) (3) = 243 Potencias de nmeros negativosEn las sucesivas potencias de un nmero negativo obtenemos, alternativamen-te, resultados positivos y negativos:(3)1 = 3 (3)2 = +9 (3)3= 27 (3)4 = +81Al elevar un nmero negativo a una potencia: Si el exponente es par, el resultado es positivo.(a)n (par)8positivo Si el exponente es impar, el resultado es negativo.(a)n (impar)8negativo24 Escribe en forma de potencia.a) (2) (2) b) (+5) (+5) (+5)c) (4) (4) (4) (4)d) (2) (2) (2) (2) (2) (2)25 Copia y completa en tu cuaderno.potencia base exponente valor(1)7(2)4(+3)3( 4)226 Escribe en forma de producto y calcula:a) (2)6b) (3)1 c) (+3)4d) (5)2 e) (10)5f ) (8)327 Obtnconayudadelacalculadoracomosehace en el ejemplo. 125812**====8{}a) 86b) (8)6 c) 115d) (11)5 e) 277f ) (27)7ActividadesOperaciones con potencias 6==Vasaaprender,ahora,algunaspropiedadesquefacilitanelclculoconpoten-cias. Por eso, es conveniente que las memorices y que ensayes su aplicacin en diferentes situaciones. Potencia de un productoComparalasdosexpresionessiguientesyobservaqueenambasseobtieneel mismo resultado. ejemplo(2 3)3 = 63 = 6 6 6 = 21623 33 = (2 2 2) (3 3 3) = 8 27 = 216 La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Potencia de un cocienteObserva otras dos expresiones que tambin tienen el mismo valor. ejemplo(6 : 3)3 = 23 = 2 2 2 = 863 : 33 = (6 6 6) : (3 3 3) = 216 : 27 = 8La potencia de un cociente es igual al cocientede las potencias del dividendo y del divisor.Calcular, por el camino ms sencillo, 56 26.56 26 = (5 2)6 = 106 = 1000000Ejercicio resuelto1.Calcular, por el camino ms sencillo, 123 : 43.123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 3 3 3 = 272.Calcular: (64 54) : 154(64 54) : 154 = (6 5)4 : 154 = 304 : 154 = (30 : 15)4 = 24 = 2 2 2 2 = 16Ejercicios resueltosNo te confundas(2 + 3)4 = 54 = 62524 + 34 = 16 + 81 = 97(2 + 3)4 ? 24 + 34 LapotenciadeunasumaNOES IGUAL a la suma de las potencias de los sumandos.8(a : b)n = an : bn8(a b)n = an bn27 2626 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 27 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Ten en cuenta23 : 23 = 8 : 8 = 123 : 23 = 23 3 = 20Lapotenciacerodeunnmeroes igual a 1.20 = 1 Producto de potencias de la misma baseAlmultiplicardospotenciasdelmismonmero,seobtieneotrapotenciade dicho nmero.54 53 = 5 5 5 5 5 5 5 = 57 4 veces3 vecesObserva que el exponente del producto final es la suma de los exponentes de los factores.Para multiplicar dos potencias de la misma base,se deja la base y se suman los exponentes.Por ejemplo:a3 a2 = a3 + 2 = a5 Cociente de potencias de la misma baseAl dividir dos potencias del mismo nmero, se obtiene otra potencia de dicho nmero.57 : 53 = 54 54 53 = 57Observa que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.Para dividir dos potencias de la misma base,se deja la base y se restan los exponentes.Por ejemplo:a8 : a6 = a8 6 = a2 Potencia de otra potenciaAl elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la mis-ma base.(54)3 = 54 54 54 = 54 + 4 + 4 = 54 3 = 512 Observa que el exponente final es el producto de los exponentes de la expresin inicial.Para elevar una potencia a otra potencia, se dejala base y se multiplican los exponentes.Por ejemplo:(a2)4 = a2 4 = a88am : an = am n8(am)n = am n8am an = am + n1 Calcula como en el ejemplo y compara los resultados.2 Copia y completa las casillas vacas.a) (3 5)4 = 3 5b)83 63 = ( )c) (6 : 3)7 = 6: 3d)15: 5= ( : )4e) (a b)= 3 3 f ) m2 n2 = ( )2 g)(a : b)= a3 : 3 h)m4 : n4 = ( : )3 Reduce a una sola potencia como en el ejemplo. 25 (3)5 = [2 (3)]5 = (6)5a) 32 42b) (2)3 43c) (5)2 (+3)2d) 36 (2)64 Expresa con una sola potencia igual que en el ejemplo. (15)4 : (+3)4 = [(15) : (+3)]4 = (5)4 = 54a) 94 : 34b) (+15)3 : (5)3c) (20)2 : (4)2d) (18)4 : (6)45 Reflexiona y calcula de la forma ms sencilla.a) 53 23 b) 42 52 c) 252 42 d) 203 53 e) 165 : 85 f ) 183 : 63 g)214 : 74 h) 352 : 52 6 Copia y completa las casillas vacas.a) 52 53 = 5b) 64 63 = 6c) a5 a3 = a d) m3 m= m9e) 26 : 24 = 2 f ) 78 : 75 = 7g) a9 : a8 = a h) m8 : m= m6i)(42)3 = 4 j)(53)3 = 5k) (a2)2 = a l)(m4)= m127 Reduce a una sola potencia.a) 52 52b) 32 35c) 105 102d) a5 a5e) m7 mf ) x2 x68 Copia y completa en tu cuaderno.a) (6)3 (6)4 = (6) b) (+3)6 (+3)2 = 3c) (2)8 (2)2 = 2 d) (5)3 (+5)2 = (5)9 Reduce a una sola potencia.a) 25 27b) (2)3 (+2)6c) (12)2 (+12)2d) (+9)4 (9)210 Expresa con una potencia nica.a) 26 : 22 b) 38 : 35 c) 107 : 106d) a10 : a6 e) m5 : m f ) x8 : x411 Copia y completa en tu cuaderno.a) 59 : 53 = 5 b) (2)6 : (2)3 = (2)c) (4)8 : (+4)3 = 4 d) (+6)8 : (6)5 = (6)12 Reduce a una potencia nica.a) (7)8 : (7)5b) 109 : (10)4c) 124 : (12)d) (4)10 : (+4)613 Reduce a una nica potencia.a) (52)3 b) (25)2 c) (103)3d) (a5)3 e) (m2)6 f ) (x4)414 Reduce a una sola potencia.a) [(2)2]2b) [(+5)3]2c) [(+7)3]3d) [(4)2]4Actividades(4 3)2 = 122 = 14442 32 = 16 9 = 144 8(4 3)2 = 42 32 a) (3 5)2 = ...32 52 = ... b) (4 2)3 = ...43 23 = ... c) (12 : 3)2 = ...122 : 32 = ... d) (20 : 4)3 = ...203 : 43 = ... 27 2626 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 27 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.Ten en cuenta23 : 23 = 8 : 8 = 123 : 23 = 23 3 = 20Lapotenciacerodeunnmeroes igual a 1.20 = 1 Producto de potencias de la misma baseAlmultiplicardospotenciasdelmismonmero,seobtieneotrapotenciade dicho nmero.54 53 = 5 5 5 5 5 5 5 = 57 4 veces3 vecesObserva que el exponente del producto final es la suma de los exponentes de los factores.Para multiplicar dos potencias de la misma base,se deja la base y se suman los exponentes.Por ejemplo:a3 a2 = a3 + 2 = a5 Cociente de potencias de la misma baseAl dividir dos potencias del mismo nmero, se obtiene otra potencia de dicho nmero.57 : 53 = 54 54 53 = 57Observa que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.Para dividir dos potencias de la misma base,se deja la base y se restan los exponentes.Por ejemplo:a8 : a6 = a8 6 = a2 Potencia de otra potenciaAl elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la mis-ma base.(54)3 = 54 54 54 = 54 + 4 + 4 = 54 3 = 512 Observa que el exponente final es el producto de los exponentes de la expresin inicial.Para elevar una potencia a otra potencia, se dejala base y se multiplican los exponentes.Por ejemplo:(a2)4 = a2 4 = a88am : an = am n8(am)n = am n8am an = am + n1 Calcula como en el ejemplo y compara los resultados.2 Copia y completa las casillas vacas.a) (3 5)4 = 3 5b)83 63 = ( )c) (6 : 3)7 = 6: 3d)15: 5= ( : )4e) (a b)= 3 3 f ) m2 n2 = ( )2 g)(a : b)= a3 : 3 h)m4 : n4 = ( : )3 Reduce a una sola potencia como en el ejemplo. 25 (3)5 = [2 (3)]5 = (6)5a) 32 42b) (2)3 43c) (5)2 (+3)2d) 36 (2)64 Expresa con una sola potencia igual que en el ejemplo. (15)4 : (+3)4 = [(15) : (+3)]4 = (5)4 = 54a) 94 : 34b) (+15)3 : (5)3c) (20)2 : (4)2d) (18)4 : (6)45 Reflexiona y calcula de la forma ms sencilla.a) 53 23 b) 42 52 c) 252 42 d) 203 53 e) 165 : 85 f ) 183 : 63 g)214 : 74 h) 352 : 52 6 Copia y completa las casillas vacas.a) 52 53 = 5b) 64 63 = 6c) a5 a3 = a d) m3 m= m9e) 26 : 24 = 2 f ) 78 : 75 = 7g) a9 : a8 = a h) m8 : m= m6i)(42)3 = 4 j)(53)3 = 5k) (a2)2 = a l)(m4)= m127 Reduce a una sola potencia.a) 52 52b) 32 35c) 105 102d) a5 a5e) m7 mf ) x2 x68 Copia y completa en tu cuaderno.a) (6)3 (6)4 = (6) b) (+3)6 (+3)2 = 3c) (2)8 (2)2 = 2 d) (5)3 (+5)2 = (5)9 Reduce a una sola potencia.a) 25 27b) (2)3 (+2)6c) (12)2 (+12)2d) (+9)4 (9)210 Expresa con una potencia nica.a) 26 : 22 b) 38 : 35 c) 107 : 106d) a10 : a6 e) m5 : m f ) x8 : x411 Copia y completa en tu cuaderno.a) 59 : 53 = 5 b) (2)6 : (2)3 = (2)c) (4)8 : (+4)3 = 4 d) (+6)8 : (6)5 = (6)12 Reduce a una potencia nica.a) (7)8 : (7)5b) 109 : (10)4c) 124 : (12)d) (4)10 : (+4)613 Reduce a una nica potencia.a) (52)3 b) (25)2 c) (103)3d) (a5)3 e) (m2)6 f ) (x4)414 Reduce a una sola potencia.a) [(2)2]2b) [(+5)3]2c) [(+7)3]3d) [(4)2]4Actividades(4 3)2 = 122 = 14442 32 = 16 9 = 144 8(4 3)2 = 42 32 a) (3 5)2 = ...32 52 = ... b) (4 2)3 = ...43 23 = ... c) (12 : 3)2 = ...122 : 32 = ... d) (20 : 4)3 = ...203 : 43 = ... 29 2828 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.29 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 15 Calcula, si existen.a) (+1) b) (1)c) (+25)d) (36)e) (+100)f ) (100)g) (+121) h) (169)i ) (+400)j)(400)k) (+484) l ) (1 000)ActividadesRaz cuadrada de un nmero entero La raz cuadrada es la operacin inversa de elevar al cuadrado.a = bb2 = a Los nmeros cuya raz cuadrada es un nmero entero se llaman cuadrados perfectos. ejemplos49 = 772 = 49400 = 20202 = 40049 y 400 son cuadrados perfectos.Teniendo en cuenta el concepto de raz cuadrada, vemos que:Un nmero positivo tiene dos races cuadradas.(+16) =+4(+4)2 = +164(4)2 = +16Un nmero negativo no tiene raz cuadrada.(16) = xx2 = 168Imposible.(16)8No existe, porque no hay ningn nmero cuyo cuadrado d un resultado negativo. Mltiplos y divisores1Encuentracuatroparejasmltiplo-divisor entre los siguientes nmeros:143 12 124 364180 31 52 132 Responde justificando tu respuesta.a) Es 132 mltiplo de 11?b) Es 11 divisor de 132?c) Es 574 mltiplo de 14?d) Es 27 divisor de 1 542?3 Calcula.a) Los cinco primeros mltiplos de 10.b) Los cinco primeros mltiplos de 13.c) Los cinco primeros mltiplos de 31.4 Calcula.a) Todos los divisores de 18.b) Todos los divisores de 23.c) Todos los divisores de 32.5 Copia estos nmeros y selecciona:66 71 90 103 105156 220 315 421 708a) Los mltiplos de 2.b) Los mltiplos de 3.c) Los mltiplos de 5.6Copiaestosnmeros,rodeaconuncrculo los mltiplos de 3 y tacha los mltiplos de 9:33415487108112231341685 Nmeros primos y compuestos7 Escribe.a) Los diez primeros nmeros primos.b) Los nmeros primos comprendidos entre 50 y 60.c) Los nmeros primos comprendidos entre 80 y 100.d) Los tres primeros primos mayores que 100.8Mentalmente,sinlpiznipapel,separalos nmeros primos de los compuestos:4710151724314151679Descompn,mentalmente,enelmximo nmero de factores las siguientes cantidades:6 8 10 14 15 1820 24 25 27 30 4210 Descompn en factores primos.a) 48b) 54c) 90d)105e) 120f ) 135g) 180h)20011 Descompn en el mximo nmero de facto-res:a) 378b) 1144c) 1 872 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor12 Calcula.a) Los diez primeros mltiplos de 10.b) Los diez primeros mltiplos de 15.c) Los primeros mltiplos comunes de 10 y 15.d) El mnimo comn mltiplo de 10 y 15.13 Calcula mentalmente.a) mn.c.m. (2, 3)b) mn.c.m. (6, 9)c) mn.c.m. (4, 10)d) mn.c.m. (6, 10)e) mn.c.m. (6, 12)f ) mn.c.m. (12, 18)Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasEjercicios y problemas1.Calcular las siguientes races cuadradas:a) (+64)b) (+144) c) (36)a) Hay que preguntarse qu nmero elevado al cuadrado da 64.El nmero es el 8. Como sabemos que tiene dos races:(+64)=+88b) (+144) =+1212c) Los nmeros negativos no tienen raz cuadrada.Ejercicios resueltos29 2828 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.29 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 15 Calcula, si existen.a) (+1) b) (1)c) (+25)d) (36)e) (+100)f ) (100)g) (+121) h) (169)i ) (+400)j)(400)k) (+484) l ) (1 000)ActividadesRaz cuadrada de un nmero entero La raz cuadrada es la operacin inversa de elevar al cuadrado.a = bb2 = a Los nmeros cuya raz cuadrada es un nmero entero se llaman cuadrados perfectos. ejemplos49 = 772 = 49400 = 20202 = 40049 y 400 son cuadrados perfectos.Teniendo en cuenta el concepto de raz cuadrada, vemos que:Un nmero positivo tiene dos races cuadradas.(+16) =+4(+4)2 = +164(4)2 = +16Un nmero negativo no tiene raz cuadrada.(16) = xx2 = 168Imposible.(16)8No existe, porque no hay ningn nmero cuyo cuadrado d un resultado negativo. Mltiplos y divisores1Encuentracuatroparejasmltiplo-divisor entre los siguientes nmeros:143 12 124 364180 31 52 132 Responde justificando tu respuesta.a) Es 132 mltiplo de 11?b) Es 11 divisor de 132?c) Es 574 mltiplo de 14?d) Es 27 divisor de 1542?3 Calcula.a) Los cinco primeros mltiplos de 10.b) Los cinco primeros mltiplos de 13.c) Los cinco primeros mltiplos de 31.4 Calcula.a) Todos los divisores de 18.b) Todos los divisores de 23.c) Todos los divisores de 32.5 Copia estos nmeros y selecciona:66 71 90 103 105156 220 315 421 708a) Los mltiplos de 2.b) Los mltiplos de 3.c) Los mltiplos de 5.6Copiaestosnmeros,rodeaconuncrculo los mltiplos de 3 y tacha los mltiplos de 9:33415487108112231341685 Nmeros primos y compuestos7 Escribe.a) Los diez primeros nmeros primos.b) Los nmeros primos comprendidos entre 50 y 60.c) Los nmeros primos comprendidos entre 80 y 100.d) Los tres primeros primos mayores que 100.8Mentalmente,sinlpiznipapel,separalos nmeros primos de los compuestos:4710151724314151679Descompn,mentalmente,enelmximo nmero de factores las siguientes cantidades:6 8 10 14 15 1820 24 25 27 30 4210 Descompn en factores primos.a) 48b) 54c) 90d)105e) 120f ) 135g) 180h)20011 Descompn en el mximo nmero de facto-res:a) 378b) 1144c) 1 872 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor12 Calcula.a) Los diez primeros mltiplos de 10.b) Los diez primeros mltiplos de 15.c) Los primeros mltiplos comunes de 10 y 15.d) El mnimo comn mltiplo de 10 y 15.13 Calcula mentalmente.a) mn.c.m. (2, 3)b) mn.c.m. (6, 9)c) mn.c.m. (4, 10)d) mn.c.m. (6, 10)e) mn.c.m. (6, 12)f ) mn.c.m. (12, 18)Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasEjercicios y problemas1.Calcular las siguientes races cuadradas:a) (+64)b) (+144) c) (36)a) Hay que preguntarse qu nmero elevado al cuadrado da 64.El nmero es el 8. Como sabemos que tiene dos races:(+64)=+88b) (+144) =+1212c) Los nmeros negativos no tienen raz cuadrada.Ejercicios resueltos31 3030Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competencias GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 31 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.14 Calcula.a) mn.c.m. (12, 15)b) mn.c.m. (24, 60)c) mn.c.m. (48, 54)d) mn.c.m. (90, 150)e) mn.c.m. (6, 10, 15)f ) mn.c.m. (8, 12, 18)15 Escribe.a) Todos los divisores de 18.b) Todos los divisores de 24.c) Los divisores comunes de 18 y 24.d) El mximo comn divisor de 18 y 24.16 Calcula mentalmente.a) mx.c.d. (4, 8)b) mx.c.d. (6, 9)c) mx.c.d. (10, 15)d) mx.c.d. (12, 16)e) mx.c.d. (16, 24)f ) mx.c.d. (18, 24)17 Calcula.a) mx.c.d. (36, 45)b) mx.c.d. (48, 72)c) mx.c.d. (105, 120)d) mx.c.d. (135, 180)e) mx.c.d. (8, 12, 16)f ) mx.c.d. (45, 60, 105) Reflexiona, decide, aplica18 De cuntas formas distintas se pueden enva-sar 80 botes de mermelada en cajas iguales?Indica, en cada caso, el nmero de cajas necesarias y el nmero de botes por caja.19 Marta ha comprado varios balones por 69 .Elpreciodeunbalneraunnmeroexactode euros, sin decimales.Cuntosbaloneshacompradoycuntocostaba cada baln?20Enmicolegiohaydosclasesde2.ESO: 2.A, con 24 estudianres, y 2. B, con 30.Tenemos que hacer equipos con el mismo nmero de miembros, pero sin mezclar de las dos clases.Describetodaslasformasposiblesdehacerlos equipos.21Enunacuartelamientohay3 007soldados. Se pueden colocar en formacin, con un nmero exacto de filas y columnas?Justifica la respuesta. Suma y resta de nmeros enteros22 Calcula mentalmente.a) 5 9b) 5 11c) 13 9d) 22 30e) 21 33f ) 46 52g) 8 14h) 21 15i ) 33 22j ) 13 + 18k) 22 + 9l ) 37 + 2123 Calcula.a) 5 8 4 + 3 6 + 9b) 10 11 + 7 13 + 15 6c) 9 2 7 11 + 3 + 18 10d) 7 15 + 8 + 10 9 6 + 1124Quita parntesis y calcula.a) (+5) (3) (+8) + (4)b) (7) (+5) + (6) + (+4)c) +(9) (+13) (11) + (+5)d) (+8) + (3) (15) (+6) (+2)25 Calcula.a) 3 (5 + 7 10 9)b) 4 + (8 6 10) (6 10 + 4)c) (7 11 4) (9 6 13)d) (6 3 5) (4 7 + 15)26 Opera.a) 16 + [3 9 (11 4)]b) 8 [(6 9) (7 13)]c) (6 15) [1 (1 5 4)]d) (2 12 + 7) [(4 10) (5 15)]e) [9 (5 17)] [11 (6 13)]27 Quita parntesis y calcula.a) 6 (5 [4 (3 2)])b) 6 (7 [8 (9 10)])c) 10 + (11 [12 + (13 14)])d) 10 (9 + [8 (7 + 6)])e) [(3 8) 5] + (11 + [7 (3 4)]) Multiplicacin y divisin de nmeros enteros28 Opera aplicando la regla de los signos.a) (5) (6)b) (21) : (+3)c) (4) (+7)d) (+42) : (6)e) (6) (8)f ) (+30) : (+5)g) (+10) (+5)h) (63) : (9)i ) (9) (5)j ) (+112) : (14)29 Obtn el valor dexen cada caso:a) x (9) = +9 b) (5) : x = 1c) (5) x = 45 d) x : (4) = +3e) x (+6) = 42 f ) (+28) : x = 730 Calcula.a) (2) [(+3) (2)]b) [(+5) (3)] (+2)c) (+6) : [(30) : (15)]d) [(+40) : (4)] : (5)e) (5) [(18) : (6)]f ) [(8) (+3)] : (4)g) [(21) : 7] [8 : (4)]h) [6 (10)] : [(5) 6] Operaciones combinadas con nmeros enteros31 Calcula.a) 5 4 3b) 2 9 7c) 4 5 6 3d) 2 8 4 5e) 16 4 7 + 2 5 19f ) 5 6 21 3 7 + 1232 Opera dentro del parntesis y, despus, multi-plica.a) 3 (9 11)b) 5 (4 9)c) 5 (9 4) 12d) 1 + 4 (6 10)e) 6 (8 12) 3 (5 11)f ) 4 (13 8) + 3 (9 15)33 Calcula y observa que el resultado vara segn la posicin de los parntesis.a) 17 6 2b) (17 6) 2c) (10) 2 (3)d) [(10) 2] (3)e) (3) (+5) + (2)f ) (3) [(+5) + (2)]34 Calcula paso a paso.a) 5 (4) 2 (6) + 13b) 6 (+4) + (3) 7 + 38c) (2) (+8) (5) (6) + (9) (+4)d) (9) (+5) (8) (+7) (+4) (6) Potencias de nmeros enteros35 Calcula.a) (2)1b) (2)2c) (2)3d) (2)4e) (2)5f ) (2)6g) (2)7h) (2)8i)(2)936 Calcula.a) (5)4b) (+4)5c) (6)3d) (+7)3e) (8)2f ) (10)731 3030Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competencias GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD1 31 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 2. ESO. Material fotocopiable autorizado.14 Calcula.a) mn.c.m. (12, 15)b) mn.c.m. (24, 60)c) mn.c.m. (48, 54)d) mn.c.m. (90, 150)e) mn.c.m. (6, 10, 15)f ) mn.c.m. (8, 12, 18)15 Escribe.a) Todos los divisores de 18.b) Todos los divisores de 24.c) Los divisores comunes de 18 y 24.d) El mximo comn divisor de 18 y 24.16 Calcula mentalmente.a) mx.c.d. (4, 8)b) mx.c.d. (6, 9)c) mx.c.d. (10, 15)d) mx.c.d. (12, 16)e) mx.c.d. (16, 24)f ) mx.c.d. (18, 24)17 Calcula.a) mx.c.d. (36, 45)b) mx.c.d. (48, 72)c) mx.c.d. (105, 120)d) mx.c.d. (135, 180)e) mx.c.d. (8, 12, 16)f ) mx.c.d. (45, 60, 105) Reflexiona, decide, aplica18 De cuntas formas distintas se pueden enva-sar 80 botes de mermelada en cajas iguales?Indica, en cada caso, el nmero de cajas necesarias y el nmero de botes por caja.19 Marta ha comprado varios balones por 69 .Elpreciodeunbalneraunnmeroexactode euros, sin decimales.Cuntosbaloneshacompradoycuntocostaba cada baln?20Enmicolegiohaydosclasesde2.ESO: 2.A, con 24 estudianres, y 2. B, con 30.Tenemos que hacer equipos con el mismo nmero de miembros, pero sin mezclar de las dos clases.Describetodaslasformasposiblesdehacerlos equipos.21Enunacuartelamientohay3 007soldados. Se pueden colocar en formacin, con un nmero exacto de filas y columnas?Justifica la respuesta. Suma y resta de nmeros enteros22 Calcula mentalmente.a) 5 9b) 5 11c) 13 9d) 22 30e) 21 33f ) 46 52g) 8 14h) 21 15i ) 33 22j ) 13 + 18k) 22 + 9l ) 37 + 2123 Calcula.a) 5 8 4 + 3 6 + 9b) 10 11 + 7 13 + 15 6c) 9 2 7 11 + 3 + 18 10d) 7 15 + 8 + 10 9 6 + 1124Quita parntesis y calcula.a) (+5) (3) (+8) + (4)b) (7) (+5) + (6) + (+4)c) +(9) (+13) (11) + (+5)d) (+8) + (3) (15) (+6) (+2)25 Calcula.a) 3 (5 + 7 10 9)b) 4 + (8 6 10) (6 10 + 4)c) (7 11 4) (9 6 13)d) (6 3 5) (4 7 + 15)26 Opera.a) 16 + [3 9 (11 4)]b) 8 [(6 9) (7 13)]c) (6 15) [1 (1 5 4)]d) (2 12 + 7) [(4 10) (5 15)]e) [9 (5 17)] [11 (6 13)]27 Quita parntesis y calcula.a) 6 (5 [4 (3 2)])b) 6 (7 [8 (9 10)])c) 10 + (11 [12 + (13 14)])d) 10 (9 + [8 (7 + 6)])e) [(3 8) 5] + (11 + [7 (3 4)]) Multiplicacin y divisin de nmeros enteros28 Opera aplicando la regla de los signos.a) (5) (6)b) (21) : (+3)c) (4) (+7)d) (+42) : (6)e) (6) (8)f ) (+30) : (+5)g) (+10) (+5)h) (63) : (9)i ) (9) (5)j ) (+112) : (14)29 Obtn el valor dexen cada caso:a) x (9) = +9 b) (5) : x = 1c) (5) x = 45 d) x : (4) = +3e) x (+6) = 42 f ) (+28) : x = 730 Calcula.a) (2) [(+3) (2)]b) [(+5) (3)] (+2)c) (+6) : [(30) : (15)]d) [(+40) : (4)] : (5)e) (5) [(18) : (6)]f ) [(8) (+3)] : (4)g) [(21) : 7] [8 : (4)]h) [6 (10)] : [(5) 6] Operaciones combinadas con nmeros enteros31 Calcula.a) 5 4 3b) 2 9 7c) 4 5 6 3d) 2 8 4 5e) 16 4 7 + 2 5 19f ) 5 6 21 3 7 + 1232 Opera dentro del parntesis y, despus, multi-plica.a) 3 (9 11)b) 5 (4 9)c) 5 (9 4) 12d) 1 + 4 (6 10)e) 6 (8 12) 3 (5 11)f ) 4 (13 8) + 3 (9 15)33 Calcula y observa que el resultado vara segn la posicin de los parntesis.a) 17 6 2b) (17 6) 2c) (10) 2 (3)d) [(10) 2] (3)e) (3) (+5) + (2)f ) (3) [(+5) + (2)]34 Calcula paso a paso.a) 5 (4) 2 (6) + 13b) 6 (+4) + (3) 7 + 38c) (2) (+8) (5) (6) + (9) (+4)d) (9) (+5) (8) (+7) (+4) (6) Potencias de nmeros enteros35 Calcula.a) (2)1b) (2)2c) (2)3d) (2)4e) (2)5f ) (2)6g) (2)7h) (2)8i)(2)936 Calcula.a) (5)4b) (+4)5c) (6)3d) (+7)3e) (8)2f ) (10)73