Ecuaciones

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5.1 Igualdades y ecuaciones

•

Igualdades numéricas

Definición: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas del mismo valor unidas por el signo igual.

Ejemplo: ¿Son igualdades numéricas?

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s

•

Ecuaciones

Definición: Una ecuación

es una igualdad con números y letras que expresa una condición que deben cumplir las letras. Estas letras se llaman incógnitas.

Ejemplo:

Ecuación de 1º

grado 1 incógnita

Ecuación de 2º

grado 1 incógnita

Sistema de ecuaciones 1º

grado 2 incógnitas

Sistema de ecuaciones 1º

grado 3 incógnitas

Sistema de ecuaciones 2º

grado 2 incógnitas

34y4x210yx

92 4 6

0

x y zx y

z y

2 2 22 2x yxy

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Definición: Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las incógnitas para que se verifique la igualdad.

Definición: Resolver una ecuación es hallar sus soluciones.

Definición: Despejar una incógnita es dejarla sola igualada a su valor.

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5.2 Resolución de una ecuación

•

Ecuaciones equivalentes

Definición: Dos o más ecuaciones son equivalentes

si tienen las mismas soluciones.

Ejemplo: Veamos que x=1 es solución de ambas ecuaciones.

2x

4)2x(2 2

2x 2 Pues yo

prefiero la 2ª, je, je..

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•

Reglas de la suma y el producto

Ejemplo:

Método (Regla de la suma): Si a los dos miembros de una ecuación les sumamos o restamos un mismo número, o expresión algebraica, obtenemos otra ecuación equivalente.

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Ejemplo:

Método (Regla del producto): Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número, o expresión algebraica, distintos de cero, obtenemos otra ecuación equivalente.

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•

Pasos para resolver una ecuación

Ejemplo:

Método:1.

Una vez que no queden productos pendientes, quitamos denominadores

2.

Quitamos paréntesis3.

Separamos números y letras

4.

Agrupamos5.

Despejamos

Observación: Este método puede ser más lento, pero quizás más seguro porque evita algunos fallos de signos.

anton

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Ejemplo:

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5.3 Resolución de un problemamediante ecuaciones

•

Pasos a seguir

Ejemplo: Hace 10 años la edad de Alicia era la mitad que la de Santiago, mientras que su abuela tenía 95 años; pero hoy en día la edad de Santiago es los 16/9 de la de Alicia. ¿Cuáles son las dos edades?

Método:1. Tabla de datos (circunstancias) y elección de la

incógnita (lo que me piden). Detectar datos innecesarios.

2. Planteamiento.3. Resolución.4. Comprobación.

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Paso 1: Tabla de datos y elección de la incógnita.

Dentro del texto debes distinguir dos tipos de datos. Los que presentan las circunstancias de los protagonistas y los que se refieren a las “aventuras” o a lo ocurrido. También debes tener claro lo que te piden.

ENUNCIADO: “Hace 10 años la edad de Alicia era la mitad que la

de Santiago, mientras que su abuela tenía 65 años; pero, hoy en día, la edad de Santiago es los 16/9 de la de Alicia. ¿Cuáles son las dos edades?”

Datos circunstancias: Hace 10 años la edad de Alicia era la mitad que la de

Santiago, pero, hoy en día…

Datos de lo ocurrido: pero, hoy en día, la edad de Santiago es los 16/9 de la

de Alicia.

Incógnita: ¿Cuáles son las dos edades

Sobra: mientras que su abuela tenía 95 añosan

tonioj

rolda

n.es

Si tienes dos datos desconocidos y no sabes a quien llamar X, te recomiendo que escojas el valor más pequeño –si es posible saberlo- ya que de ese modo evitaremos las restas y divisiones, que siempre dan lugar a más errores. En nuestro caso, al ser Alicia más joven, llamaremos X a su edad más temprana, es decir, hace 10 años.

Con los datos circunstanciales puedes crear una tabla de datos, un esquema o un dibujo que resuman dichas circunstancias y que definan a la incógnita X.

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Paso 2: Planteamiento

Con los datos de lo ocurrido puedes preparar la ecuación. Habitualmente estos datos son los que no usaste en la tabla. Debes traducirlos del “castellano” al “algebraico” con suma atención.

Así la ecuación resultante sería:

)10(9

16102 xx

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Paso 3: Resolución

Por último, lleva el valor de la X a la tabla de datos, para iniciar la comprobación.

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Paso 4: Comprobación

La comprobación se hace con los datos de lo ocurrido, usando como valores los datos de circunstancia.

¿Es verdad que hoy en día la edad de Santiago es 16/9 de la de Alicia?

O lo que es lo mismo…

anton

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Ejemplo: De un depósito de agua lleno se saca la mitad de su contenido, y después, un tercio del resto. En el recipiente quedan 200 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Paso 1: Tabla de datos y elección de la incógnita.

X=total del depósito

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Paso 2: Planteamiento

Así

pues:

Paso 3: Resolución

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Paso 4: Comprobación

La comprobación se hace con los datos de lo ocurrido, usando como valores los datos de circunstancia.

¿Es verdad que la suma de las partes es 600L?

O lo que es lo mismo… ¿600=300+100+200?

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Ejemplo: Los cuadrados de dos números consecutivos se diferencian en 23 unidades. ¿Cuáles son los dos números?

Paso 1: Tabla de datos y elección de la incógnita.

Paso 2: Planteamiento.

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Paso 3: Resolución.

Luego los números son 11 y 12.

Paso 4: Comprobación.

¿Es verdad que la diferencia de los cuadrados de los números es 23?

O lo que es lo mismo…

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5.4 Ecuaciones de 2º

grado

•

Coeficientes, fórmula y resolución

Definición: Una ecuación de 2º

grado

es aquella que tiene la forma

donde a, b y c son los coeficientes, siendo a≠0, y x la incógnita.

2 0ax bx c

Ejemplo:

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Método: Para resolver una ecuación de 2º

grado debemos hacer tres pasos:

1) Si fuera necesario, transformarla en otra equivalente de la forma

2) Buscar los valores de sus coeficientes a, b y c.

3) Encontrar el valor de la incógnita x a partir de la fórmula:

2 0ax bx c

2 42

b b acxa

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Ejemplos:

2 0ax bx c

anton

iojrol

dan.e

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Ejemplos:

anton

iojrol

dan.e

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Ejemplos:

anton

iojrol

dan.e

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Ejemplos:

¿Te acuerdas…?

anton

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•

Ecuaciones incompletas

Definición: Son aquellas en las que el coeficiente b, el c, o ambos son iguales a cero.

Método:•

b=0: Se despeja la X paso a paso, de menor a mayor prioridad.

•

c=0: Se saca la X factor común.

•

b=0,c=0: Siempre sale X=0.

anton

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