Sistemas de Ecuaciones2º Bachillerato

• Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir

de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Definición

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

mecuaciones

n incógnitas

Coeficientes del sistema

incógnitas

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

términosindependientes

A: matriz de los coeficientes

Expresiónmatricial del

sistema

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

El sistema puede ser escrito de la siguiente manera:

Matriz ampliada

X: matriz de las incognitas

B: matriz de los términos independientes

AX=B

nmnmmm

n

n

n

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

......

..........

......

......

......

=

mb

b

b

b

3

2

1

A* =

mmnmmm

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

......

............

......

......

......

321

33333231

22232221

11131211

Expresión matricial: ejemplo

El sistema 2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = –2

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =

2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =

2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial:

2 5 –3

1 –4 1

x

y z

=

1

– 2

Solución de un sistema de ecuaciones

Una solución del sistema:

es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que se verifican todas las ecuaciones:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

mnmnmmm

nn

nn

bsasasasa

bsasasasa

bsasasasa

332211

22323222121

11313212111

Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo

1

3

3

z

y

x

• Los valores

• Los valores

1

1

3

z

y

xson una solución del sistema por que:

Consideramos el sistema:

3 32

22

1

yx

zyx

zyx

son una solución del sistema por que:

3 )1(332

2)1()1(2 3

11)1(3

3 )3(3)3(2

2)1(32 3

1)1(33

Clasificación de un sistema según el número de soluciones

Sistemas deecuaciones lineales

Incompatible

Compatible

Sin solución

Con solución

Determinado

Indeterminado

Solución única

Infinitas soluciones

• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.

I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:

III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos.

Sistemas equivalentes: ejemplo

4422

13

322

zyx

zyx

zyx

22

13

322

zyx

zyx

zyx

322

13

22

zyx

zyx

zyx

12

552

22

zy

zy

zyx

3

552

22

z

zy

zyx

33 2

1EE

13EE

1223EEE

1332EEE

2332 EEE

Sistemas equivalentes

Sistemas de ecuaciones escalonados

Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.

53

432

y

yx

23

324

5324

z

zy

zyx

223

4532

zy

zyx

1

4

432

zyx

z

zx

Ejemplos:

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.

Resolución de sistemas de ecuaciones

Métodos de resolución:1. Método de Gauss.

2. Método de Cramer.

3. Método de la matriz inversa.

Resolución de un sistema escalonado: ejemplo

52

1483

92

z

zy

zyx

2

5z

Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:

6259 x

23

2014

y

Resolución de sistemas: método de Gauss

Se pueden dar los siguientes pasos:

I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.

II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.

III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).

IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.

un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.

El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener de un sistema:

,

;

;

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Método de Gauss: posibilidades

En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes posibilidades:

Incompatible

• Si no es incompatible, se considera el número de filas e incógnitas que quedan:

nº de ecuaciones = nº de incógnitas

compatible determinado

nº de ecuaciones < nº de incógnitas

compatible indeterminado

50

1483

92

zy

zyx

52

1483

92

z

zy

zyx92

1483 zyxzy 123 zyx

• Si alguna de las filas está formada por todos ceros menos el término independiente.

19103

1483

92

zy

zy

zyx

Método de Gauss: sistema compatible determinado

162

442

92

zyx

zyx

zyx

52

1483

92

z

zy

zyx

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

(2ª ec) (–1) + 3ª ec

Se despejan incógnitas hacia arriba

2

5

23

14206529

z

y

x

Método de Gauss: sistema incompatible

142

442

92

zyx

zyx

zyx

1983

1483

92

zy

zy

zyx

50

1483

92

z

zy

zyx

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

(2ª ec) (–1) + 3ª ec

La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible.

Método de Gauss: sistema compatible indeterminado

1483

92

zy

zyx

tz

ty

ttx

3

148

3

14829

8824

442

92

zyx

zyx

zyx

00

1483

92

zy

zyx

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

tz

ty

tx

3

8

3

14

3

2

3

13

Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t

Regla de Cramer: sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Esta solución puede ser expresada de la siguiente forma:

Se observa que:

• El denominador de las soluciones es el determinante de la matriz de los coeficientes.

• Cada numerador es el determinante de la matriz obtenida al sustituir la correspondiente columna de coeficientes por la los de términos independientes.

El sistema al ser resuelto por reducción se llega a:

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

;

2221

1211

222

121

1

aa

aa

ab

ab

x

2221

1211

221

111

2

aa

aa

ba

ba

x

aaaabaab

x 2122211

aaaaabba

x 2112112

Regla de Cramer: sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Si | A | 0, el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas A · x = B tiene solución única dada por:

Esta regla es válida para cualquier sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas y se llama regla de Cramer.

x1 =

b1 a12 a13 b2 a22 a23

b3 a32 a33

a11 a12 a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33

; x2 =

a11 b1 a13 a21 b2 a23

a31 b3 a33

a11 a12 a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33

; x3=

a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3

a11 a12 a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33

Regla de Cramer (demostración)

Sea S un sistema de Cramer (por definición es sistema compatible determinado). La solución se obtiene como un cociente entre el determinante de la incógnita correspondiente (el que se obtiene sustituyendo la columna de dicha incógnita por los términos independientes) y el determinante de la matriz de coeficientes.

D./ Como el sistema es compatible, (s1,s2,....sn) que es solución del sistema, es decir

B= s1C1+s2C2+....+snCn

det(C1,C2,.....B,....Cn) = det(C1,C2,........, s1C1+s2C2+....+snCn,.........Cn) =

det(C1,C2,...., s1C1....Cn) + det(C1,C2,..., s2C2,....Cn) +......+ det(C1,C2,....., snCn,....Cn)

Todos los determinantes, excepto el que tiene todas las columnas distintas son cero por tener dos columnas proporcionales. Luego

= det(C1,C2,....., siCi,,....Cn) = si det(C1,C2,....., Ci,....Cn) y despejando si se obtiene lo que queríamos.

ni1 )C,...C,...C,Cdet(

)C,...B,...C,Cdet(s

ni21

n21i

Resolución de sistemas: método de la matriz inversa

A . X = B

Si | A | 0 la matriz A es inversible.Multiplicamos por la izquierda a ambos miembros por A-1

.

A-1 . A . X = A-1 . B

I . X = A-1 . B

X = A-1 . B

Y esta última igualdad nos resuelve el sistema.

El sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

tiene la siguiente expresión matricial:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

x1

x2 x3

=

b1

b2 b3

Compatibilidad de sistemas. Teorema de Rouché

Enunciado: Un sistema de m ecuaciones con n incognitas, es compatible si y sólo si, los rangos de las dos matrices son iguales.

rg(A) = rg (A*)

Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

siendo A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

...

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

mmnmmm

n

n

n

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...

...............

...

...

...

* 3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

Teorema de Rouché: demostración

• Escribimos el sistema en forma vectorial (con las columnas)

C1x1+ C2x2+.........+Cnxn= B [Sistema S]Demostración

Cond. necesaria) Si S es compatible, existe al menos una solución (s1,s2,s3,....sn)tal que

C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B

Por tanto B es combinación lineal de las columnas C1,C2,....Cn y el rango de la matriz ampliada con esa columna B no varía. Luego rg(A) = rg(A*)

Cond. suficiente) Si rg (A ) = rg (A+) una fila o columna es combinación lineal de las demás. Sólo puede ser B porque el resto son iguales que las de A, luego:

C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B

Lo que quiere decir que los coeficientes (s1,s2,s3,....sn) son una solución del sistema por lo que el sistema es compatible.

Consecuencias: El rango indica el nº de ecuaciones linealmente independientes.SI el nº de incógnitas es mayor que el rango, el sistema tiene infinitas soluciones. Para

resolverlo se eligen r ecuaciones independientes y se pasan al segundo miembro las n – r últimas incógnitas, obteniéndose un sistema de r ecuaciones y r incógnitas que ya se puede resolver y que dependerá de n-r parámetros (grados de libertad)

Discusión de un sistema mediante el Teorema de Rouché

Sistemas deecuaciones lineales

Incompatible

Compatible

Sin solución

Con solución

Determinado

Indeterminado

Solución única

Infinitas soluciones

Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.• Sea A la matriz de los coeficientes y sea p su rango.• Sea A* la matriz ampliada y sea q su rango.

p q

p = q = n

p = q

p = q < n

Discusión y resolución de un sistema dependiente de un parámetro

• En ocasiones, alguno de los coeficientes o términos independientes pueden tomar cualquier valor: es un parámetro de sistema de forma que al darle valores obtenemos sistemas de ecuaciones diferentes.

• Discutir el sistema según los valores de dicho parámetro es averiguar según sus valores cuándo el sistema es compatible o incompatible, y en caso de compatibilidad si es determinado o indeterminado.

Los siguientes pasos pueden ser útiles para discutir un sistema:

Hallar los valores del parámetro que anulan al determinante de la matriz de

los coeficientes

Para dichos valores estudiar la naturaleza del sistema

Para los valores que hacen que el determinante de la matriz de los

coeficientes no sea nulo, estudiar la naturaleza del sistema

Sistema dependiente de parámetro: ejemplo

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

Las matriz de coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son:

5

32

23

zymx

zyx

zmyx

11

211

31

m

m

A

511

3211

231

*

m

m

A

42223231 22 mmmmmA

2104220 2 mmmmA

..... continuación .....

Sistema dependiente de parámetro (continuación) : ejemplo

111

211

311

A

5111

3211

2311

*A

CASO I. Cuando m = −1: Las matrices son

rg(A) = 2

rg(A*) = 3

El sistema es incompatible

112

211

321

A

5112

3211

2321

*A

CASO II. Cuando m = 2:Las matrices son

Su única solución se puede obtener mediante la regla de Cramer:

rg(A) = 2 =rg(A*) Compatible indeterminado

3

8 ,

3

51

tx

ty

tyx

tyxtz

23

322,

CASO III. Cuando rg(A) = rg(A*) = 3 = número de incógnitas

2 ,1m

Compatible determinado 422

2613115

213

32

2

mm

m

A

m

x

422

261315

231

321

2

mm

m

A

my

2

3

422

63351

311

21

2

2

mm

mm

A

m

m

z

Compatibles

es siempre solución del sistema

021 nxxx

Sistemas homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0.

Los sistemas homogéneos pueden tener, pues, una o infinitas soluciones:

Si el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo,el sistema es compatible determinado y tiene como única solución la solución trivial.

Si el determinante de la matriz de los coeficientes es nulo, el sistema es compatible indeterminado. Entre sus infinitas soluciones se encuentra la solución trivial.

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Interpretación geométrica de una ecuación linealcon dos incógnitas

Los puntos (x, y) que verifican la ecuación lineal a1x + a2y = b forman una recta; se dice que a1x + a2y = b es la ecuación de una recta en el plano.

Interpretación geométrica de un sistema con dos incógnitas

Las dos rectas sólo tienen un punto en común: el sistema es compatible determinado.

Las dos rectas no tienen puntos en común: el sistema es incompatible.

Las dos rectas tienen infinitos puntos en común: el sistema es compatible indeterminado.

Para resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones

1. Se identifican las incógnitas.

2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.

3. Se resuelve el sistema.

4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.