matemáticas y espacio
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Aplicación de las matemáticas a la ingeniería espacial
@karlozduarte
Agencia Espacial Mexicana
11 de octubre de 2016
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Objetivo de la charla
Mostrar la importancia de las matemáticas en el desarrollo espacial
Revisar algunos conceptos relacionados con misiones espaciales, diseño de naves espaciales y aplicaciones y explorar su relación con las matemáticas
Agenda
Introducción
Misiones espaciales
Diseño de naves espaciales
GNSS: ejemplo de una aplicación espacial
Reflexiones finales
Las matemáticas y el espacio están íntimamente ligados
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En muchas ocasiones ha sido el espacio el que ha inspirado la creación de nuevas áreas de las matemáticas y la física
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Leyes de Kepler
(T1/T2)2 = (R1/R2)
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Lo anterior llevó a Isaac Newton a formular:
empuje
Diseño de misiones espaciales
Una de las primeras decisiones que se tiene que tomar al diseñar una misión es escoger la órbita de la nave
Ejemplo de órbita LEO
Circular
Altura 500 Km
Inclinación45o
Traza terrestre
Órbita geoestacionaria (GEO)
Altura35788.1 Km
Periodo86170.5 seg
Inclinación0o
Posición orbital -114.9o
El Cinturón GEO
Órbita heliosíncrona
Traslaciónde la tierra
•La órbita del satélite tiene una precesión de 360° en un año• Mantiene la misma iluminación ecuatorial todo el tiempo–~10:30 AM en este ejemplo
Ángulo de iluminaciónecuatorial
Órbita heliosíncrona
Inclinación 97.049o
Altura400 Km
Paso por el Nodo descendente10:30am
Traza sobre la tierra de órbita heliosíncrona
Molniya
Período 12 h
Altura del apogeo:39850.5 Km
Altura del perigeo: 500 Km
Inclinación 63.3959o
Traza sobre la tierra de la órbita Molniya
Órbitas para viajes interplanetarios
Trayectoria de transferencia de Hohmann
En el espacio la línea recta no es lo más conveniente
Duración de un viaje de ida y vuelta a Marte
En el espacio la línea recta no es la más conveniente
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Elementos de un satélite o nave espacial
Elementos de un satélite o nave espacial
Subsistema de control de orientación(ADCS).
Subsistema de control de orientación(ADCS).
Básicamente, se trata de describir un sistema coordenado respecto de un marco inercial dereferencia, en donde se obtienen los parámetros de rotación de los ángulos en roll, pitch y yaw,conforme a las relaciones siguientes:
De manera combinada se tiene:
Subsistema de control de orientación(ADCS).
Imagen obtenida de Introduction to Spacecraft Design, Sandhoo & Hernández.
Control térmico
Subsistema de control térmico (TCS).
Transferencia de calor.
La transferencia de calor en los sistemas espaciales sepresenta en dos tipos:
• Conducción, modelada a partir de la ecuación deFourier.
• Radiación, basada en la ecuación de Stefan-Boltzman.
Comunicaciones
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Sistemas de propulsión espacial
Sistemas de propulsión espacial.
La medición de desempeño de un cohete se realiza mediantelas ecuaciones de un cohete:
Ejemplo de aplicación de un sistema espacial
Sistemas Globales de navegación por satélite (GNSS)
• Los sistemas GNSS consisten de 3 subsistemasprincipales:
• Segmento espacial
• Segmento de control
• Segmento de usuario
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Segmento espacial
Segmento de control Segmento de usuario
Sistemas de posicionamiento y navegación
Constelación GPS 6 planos orbitales
Inclinación55o
4 satélites por plano
Altura 20,200 Km
Periodo 12 h
Traza terrestre
Estructura de las señales GPS
Los satélites GPS transmiten ondas electromagnéticas
La ondas portadoras transportan
• Códigos para estimar la distancia entre el receptor y el satélite
• Mensaje de navegación con la posición del satélite
Estructura de las señales GPS
PortadoraL1: 1575.42 MHz
PRN: código C/ALongitud: 1,023 chipsFrecuencia: 1.023 Mchips por segundoPeriodo de repetición: 1 ms
Mensaje de navegaciónFrecuencia de transmisión: 50 HzDuración de un 1 bit: 20 ms
Información trasmitidaPortadora con modulación BPSK
Determinación de la distancia al satélite
c= 299,792,458 m/sd= tp*c
El receptor mide el tiempo quetarda en llegar la señal desdecada satélite.
La exactitud en la medición del tiempo es crucial.
1 microsegundo= 300 m1 ns= 30 cm
Cálculo de la posición del receptorEl receptor conoce la posición del satélite en el momento que envió la señal, a través del mensajede navegación.
P1(x1,y1,z1)P2(x2,y2,z2)
P3(x3,y3,z3)
d1d2
d3
Cálculo de la posición del receptor
Si consideramos que el reloj tiene un error con respecto al tiempo de los satélites, agregamos una incógnita más, por lo que necesitamos una observación adicional
Con la información de 4 satélites, el receptor puede calcularsu posición
Conclusiones
Las matemáticas y el espacio no pueden separarse
En cada rama de la ingeniería espacial y las ciencias espaciales se requiere de las matemáticas para describir fenómenos, diseñar sistemas y optimizar su funcionamiento, entre muchas cosas.
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Los avances de la ingeniería espacial dependen en gran manera del conocimiento de matemáticas avanzadas y en muchos casos se han tenido que crear nuevos conceptos matemáticos para desarrollar nuevas aplicaciones.
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