apuntes de a. cabañó matemáticas ii geometrÍa del espacio...

Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II

GEOMETRÍA DEL ESPACIO R3

9.1 Rectas y planos en el espacio. 9.2 Producto escalar de vectores. Propiedades. 9.3 Norma de un vector. Distancia entre dos puntos. 9.4 Ángulo que forman dos vectores. Ortogonalidad. 9.5 Problemas métricos: determinación de distancias y ángulos. 9.6 Producto vectorial: área de un triángulo y de un paralelogramo. 9.7 Producto mixto. Volumen de un paralelepípedo. 9.1 Rectas y planos en el espacio. Sea E el conjunto de puntos del espacio ordinario y V el espacio vectorial real de los vectores

libres de dicho espacio ordinario. La aplicación f de ExE en V, tal que a cada par de puntos (A,B)εExE le hace corresponder en

vector geométrico de origen A y extremo B, es decir: f: ExE -> V cumple las siguientes condiciones: a) Para todo punto A se E y todo vector de V, existe un único punto B de E tal que f(A,B)=AB=v b) Cualesquiera que sean los puntos A, B y C de E, se verifica que: f(A,B)+f(B,C)=f(A,C) o sea AB+BC=AC Por cumplir f estas dos propiedades, se dice que E es un espacio afín asociado al espacio

vectorial V. - ECUACIONES DEL PLANO. Se llama ecuación de un plano a la condición necesaria y suficiente que deben verificar las

coordenadas de todo punto del plano. - Ecuación vectorial del plano que pasa por el punto y es paralelo a los vectores

y t , no paralelos entre sí.

)z,y,xA( 111

)v,v,v(=v 321 )t,t,t(= 321

(x, )t,t,t(+)v,v,v(+)z,y,x(=z)y, 321321111 µλ

Geometría

1


v A π t

a

x o tvax µλ+=≡π + - Ecuaciones paramétricas del plano.

t+v+z=zt+v+y=yt+v+x=x

331

221

111

µλ

µλµλ

- Ecuación implícita del plano.

0=

ttt

vvv

z-zy-yx-x

321

321

111

Si desarrollamos este determinante y simplificamos, nos quedará una expresión de la forma

π ≡ ax + by + cz + d = 0

- Ecuación del plano determinado por tres puntos.

0=

1zyx

1zyx

1zyx

1zyx

333

222

111

- ECUACIONES DE LA RECTA. Se llama ecuaciones de una recta a las condiciones necesarias y suficientes que deben verificar las

coordenadas de todo punto de una recta. - Ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector

.

)z,y,xA( 111

)v,v,v(=v 321

Geometría

2


(x, )v,v,v(+)z,y,x(=z)y, 321111 λ

v A r o

- Ecuación paramétrica de la recta

v+z=zv+y=yv+x=x

31

21

11

λ

λλ

- Ecuación continua de la recta vz-z=

vy-y=

vx-x

3

1

2

1

1

1

Si en esta última expresión algún denominador es nula, se considera nulo el numerador

correspondiente.

* POSICIONES RELATIVAS. 1. Posiciones relativas de dos planos. Sean los planos: A≡π 0=D+zC+yB+x 11111

A≡π 0=D+zC+yB+x 22222

Construimos las matrices:

M

CBA

CBA=

222

111

DCBA

DCBA=N

2222

1111

rg M rg N Posición relativa.

1 1 Coincidentes

1 2 Paralelos

2 2 Se cortan según una recta

Geometría

3


Se cortan según una recta. Paralelos 2. Posiciones relativas de dos rectas. Sean las rectas r y r' en forma paramétrica:

r

≡

c+z=zb+y=ya+x=x

0

0

0

λ

λλ

′′

′′′′

≡′

c+z=zb+y=ya+x=x

r

0

0

0

µ

µµ

Agrupamos ordenadamente y construimos las matrices:

M

′

′

′

c-c

b-b

a-a

=

′′

′′

′′

z-zc-c

y-yb-b

x-xa-a

=N

00

00

00

rg M rg N Soluciones Posición relativa

1 1 Para cadaλ hay un µ Coincidentes.

1 2 Sin solución Paralelas

2 2 Una única solución Se cortan

2 3 Sin solución Se cruzan

3. Posición relativa de recta y plano.

Sea el plano π y la recta dada en forma paramétrica 0=D+Cz+By+Ax≡

Geometría

4


≡ =r

c+z=zb+yya+x=x

0

0

0

λ

λλ

Se sustituye las componentes de la recta en el plano y se despeja el parámetro . λ

Cc+Bb+Aa

D)+Cz+By+Ax(-= 000λ

Se producen los siguientes casos: - Si el denominador es distinto de cero, λ es único y por lo tanto el plano y la recta se

cortan en un único punto. - Si el denominador es cero y el numerador distinto de cero, la recta y el plano son

paralelos. -Si el denominador y el numerador son los dos nulos, la recta estará contenida en el

plano. Recta y plano secantes Recta y plano paralelos Recta contenida en el plano. 4. Posición relativa de tres planos. Sean los planos:

π 0=D+zC+yB+xA0=D+zC+yB+xA0=D+zC+yB+xA

33333

22222

11111

≡≡≡

π

π

Construimos las matrices:

M

CBA

CBA

CBA

=

333

222

111

DCBA

DCBA

DCBA

=N

3333

2222

1111

Geometría

5


rg M rg N Solución Interpretación geométrica

1 1 CI Coincidentes

1 2 I Dos coincidentes y otro paralelo o los tres paralelos.

2 2 CI Se cortan según una recta. Dos coincidentes y uno secante.

2 3 I Dos se corta según una recta y otro paralelo a uno de los dos. Planos secantes dos a dos.

3 3 CD Se cortan en un punto.

Se cortan según una recta Dos coincidentes y uno secante. Secantes dos a dos Dos se cortan y otro paralelo. 9.2 Producto escalar de vectores. Propiedades. - Producto escalar. a αcos|b||a=|b

rrrr⋅⋅

- Propiedades del producto escalar. 1. El producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo. u⋅u≥0 2. El producto escalar es conmutativo.

Geometría

6


3. Homogénea. k(u⋅v)=(ku)⋅v 4. Distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores. u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w 9.3 Norma de un vector. Distancia entre dos puntos. Norma de un vector: se define como el producto escalar de un vector por sí mismo. ||a||=|a|·|a|=|a|2

Se define como módulo de un vector , a la raíz cuadrada positiva de la norma. Distancia entre dos puntos:

)z-(z+)y-(y+)x-(x+= 20

20

20d

Propiedades de la distancia: 1. d(P,Q)=d(Q,P) 2. Desigualdad triangular o de Schwarz d(P,Q)≤ d(P,R)+d(R,Q) 3. d(P,Q)=0 -> P=Q 9.4 Ángulo que forman dos vectores. Ortogonalidad. El coseno del ángulo formado por dos vectores se obtiene al dividir su producto escalar entre el producto de sus módulos.

||·||

cosvuvu=v)(u, ⋅

- Vector perpendicular a un plano. Sea el plano π las coordenadas del vector perpendicular a este plano serán: (A,B,C)

0=D+Cz+By+Ax≡

- Perpendicularidad entre recta y plano.

Sea el plano π y la recta 0=D+Cz+By+Ax≡cz-z=

by-y=

ax-xr 000≡ .

Para que exista perpendicularidad, los vectores (A,B,C) y (a,b,c) han de ser paralelos y por lo tanto proporcionales. - Perpendicularidad entre planos.

Sean los planos: 0=D+zC+yB+xA0=D+zC+yB+xA

22222

11111

≡≡

ππ

Para que sean perpendiculares sus vectores asociados han de ser perpendiculares y por lo tanto su producto escalar es nulo. Es decir: 0=CC+BB+AA 212121 ⋅⋅⋅ 9.5 Problemas métricos: determinación de distancias y ángulos. - Ángulo de dos rectas.

Sean las rectas de ecuaciones: cz-z=

by-y=

ax-xr 000≡

cz-z=

by-y=

ax-xr 000

′′′≡′ ′′′

El ángulo que forman estas dos rectas viene dado por:

c+b+ac+b+a

|cc+bb+aa|=222222 ′′′

′′′αcos

Geometría

7


- Ángulo de dos planos

Sean los planos: 0=D+zC+yB+xA0=D+zC+yB+xA

22222

11111

≡≡

ππ

el ángulo viene dado por el coseno de los vectores asociados

C+B+AC+B+A

CC+BB+AA=cos22

22

22

12

12

12

212121β

- Ángulo entre recta y plano

Sea el plano π y la recta 0=D+Cz+By+Ax≡cz-z=

by-y=

ax-xr 000≡ el ángulo que forman

ambos viene dada por el seno :

c+b+aC+B+A

cCbB+aA+=222222

γsen

- Distancia de un punto a un plano. Sea el punto de coordenadas y el plano π la distancia viene

dada por:

)z,y,xP( 111 0=D+Cz+By+Ax≡

C

D+2

1

+B+ACz+By+Ax=d22

11

9.6 Producto vectorial: área de un triángulo y de un paralelogramo. - El producto vectorial de dos vectores libres u y v es otro vector que se designa por uxv y que se define del siguiente modo:1. módulo |u|⋅|v|⋅sen (u,v) 2. dirección: Perpendicular a los vectores u y v 3. sentido : el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u a v. - El módulo del producto vectorial coincide con al área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v. - Expresión analítica del producto vectorial. Sea B=(u1,u2,u3) una base ortonormal, u=(x,y,z) y v=(x',y',z') dos vectores libres. El producto vectorial tendrá la expresión:

zyx

zyx

uuu

=uxv

′′′

321

- Area del triángulo. Sea ABC un triángulo; el área del triángulo es entonces la mitad del paralelogramo.

S(ABC)= 1/2 |AB x AC| - Vector director de una recta dada como intersección de dos planos.

Dada la recta el vector director vendrá dado por el producto vectorial:

′′′′≡

0=D+zC+yB+xA0=D+Cz+By+Ax

r

Geometría

8


CBA

CBA

uuu

=q′′′

321

r

9.7 Producto mixto. Volumen de un paralelepípedo.

Viene dado por:

wvu

wvu

wvu

=w)vxu

333

222

111

rrr⋅(

- El valor absoluto del producto mixto de tres vectores, es igual al volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores u,v y w. V=|det(AB, AC, AD)| - Volumen del tetraedro. El volumen del tetraedro es la sexta parte del volumen del paralelepípedo construido sobre sus aristas. V=1/6|det(AB,AC,AD)|

GEOMETRÍA EN R3 PROBLEMAS. 1º- Deducir las ecuaciones del plano que pasa por A(2,5,3) y es paralelo a los vectores v

y

(1,3,2)=r

(4,-2,2)=wr

2º- Deducir las ecuaciones del plano que pasa por A(5,-3,4) y B(-1,2,5) y es paralelo al vector

(2,1,-3)=vr

3º- Hallar las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por los puntos A(5,1,0) ,

B(3,7,-2) y es paralelo al eje OZ. 4º- Hallar las ecuaciones implícita y paramétrica del plano que pasa por el punto A(1,5,3) y contiene

a la recta intersección de los planos π y π . Hallar dos vectores paralelos al plano obtenido.

0=1+4z-3y+2x≡ 0=3+z+5y-7x≡′

5º- Hallar la ecuación del plano que pasa por A(3,2,4) y es paralelo al plano

. Hallar sus ecuaciones paramétricas y dos vectores paralelos a él. 0=3+5z-2y+3x≡π

Geometría

9


6º- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5,1,3) , B(-2,6,1) y C(7,1,-3). 7º- Deducir las ecuaciones de la recta que pasa por A(1,2,3) y es paralela al vector . (2,-1,2)=vr

8º- Hallar las ecuaciones paramétricas y continuas de la recta

≡r

0=8+7z-3y-5x0=3-2z+y-2x

9º- Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(5,1,-3),es paralela al plano

y corta a la recta 0=8-6z+4y-2x≡π

55-z=

4-2+y=

31-x

≡r

10º- Dados los planos π y π , hallar la ecuación de la

recta que pasa por el punto A(3,5,-2) y sea paralela a los dos planos. 0=8+4z-2y-3x≡ 0=4-6z-5y+x≡′

11º- Estudiar la posición relativa de las rectas:

3z=

11-y=

65+x

1 ≡r 2-7-z=

1-4-y=

23+x

r2 ≡

En caso de cortarse, hallar el punto común a ambas rectas y la ecuación del plano que las

contiene. 12º- Dado el plano π se pide: 0=26+12z+3y-4x≡ a) La ecuación normal b) Sus cosenos directores c) La distancia del origen de coordenadas al plano. 13º- Hallar las ecuaciones de una recta paralela al vector y que corte a las rectas (1,2,3)=vr

1z=

32+y=

21-xr ≡ y

−≡

2+z=y1+2z=x

s

14º- Hallar la distancia del punto A(5,-3,6) a al recta 1-3-z=

42+y=

21-x

≡r

15º- Dado el punto A(3,-6,5) y la recta 11-z=

6-5-y=

23+xr ≡ se pide:

a) Hallar el punto de intersección entre la recta r y la recta perpendicular a r que pasa

por A. b) Ecuación de esa perpendicular. c) Distancia de A a r. 16º- Calcular el ángulo que forman las rectas :

Geometría

10


51+z=

41+y=

31-x

≡r y 51-z=

4-2+y=

3-1+xs ≡

17º- Calcular el volumen del tetraedro de vértices: A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(0,1,0) , D(0,0,1). 18º- Calcular los valores de x e y para que el vector (x,y,1) sea ortogonal a los vectores y

.

(3,2,0)=vr

(2,1,-1)=wr

19º- Dados los puntos A(1,2,-3) y B(-3,0,1) se pide la ecuación del plano perpendicular al segmento

AB en su punto medio. 20º- Demostrar que el punto A(-1,1,0) no es coplanario con los puntos B(0,0,0) , C(1,2,1) , D(0,1,0) y

hallar la distancia del punto A al plano determinado por B,C y D. 21º- Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano de ecuación π y que

contiene a la recta r

0=z+y-x≡

−−

≡1=7z+4y+5x7=5z-3y+2x

22º- Hallar la perpendicular desde el punto P(1,1,1) a la recta y la distancia de

P a dicha recta.

≡1=3z+y+2x0=z+y+x

r

23º- Hallar el plano que, pasando por (0,0,1) , sea perpendicular a los planos π

y π

0=1+z-y+x≡0=3z+y-2x≡′

24º- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,0,2) y es perpendicular al plano

determinado por el origen de coordenadas y la recta

≡2-z=y1-2z=x

r

25º- Dado el punto A(1,3,0) y el plano π , hallar las coordenadas del punto A'

simétrico de A respecto de dicho plano. 0=1-z+2y+x≡

26º- Halla el área del triángulo equilátero que tiene un vértice en el punto A=(1,3,-1) y un lado sobre la

recta r dada por: r ≡ x-1 = -y+2 = -z 27º- Tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas A=(1,1,0) B=(-2,3,1) C=(4,-1,2) Determina las coordenadas del cuarto vértice D.

Geometría

11


PROBLEMAS RESUELTOS.- 1º-Hallar a y b para que las rectas siguientes sean paralelas:

Sol: a=1 ; b=-2

≡3=bz+3y+2x1=z-ay+2x

r z=6+2y=4xs ≡

2º-Dadas las rectas de ecuaciones 22-z=1-y=

2x

(1,1,-2)+(2,0,1)=z)y,(x, α

a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Calcular las distancias entre ellas. c) Trazar una recta que corte perpendicularmente a ambas.

Sol: a) Cruzan b) d(r,s)=2,06 c)

≡

λ

λ

λ

-53124=z

6-5362=y

4+5318=x

t

3º-Dados los planos de ecuaciones: ax-2z=15 2x+y+z=-7 x+y+az=-8a a) Determinar los valores de a para que los tres planos pasen por una recta. b) En este caso, determinar dos puntos de esta recta. Sol: a) a=-1 b) A(-15,23,0) B(1,-1,-8). 4º-Encontrar las ecuaciones de todos los planos paralelos al plano π y que disten de

éste 1 unidad de longitud. Sol: π π

1=2z+4y-4x≡5=2z+4y-4x −≡7=2z+4y-4x≡′ ′′

5º-Averiguar la posición relativa de las rectas: 43-z=

22+y=

31-xr ≡

4z=

23+y=

1-2+xs ≡

Sol: Se cruzan.

6º-Dada la recta r de ecuación 4z=

21-y=

32+x

hallar:

a) Las ecuaciones implícitas de otra recta cualquiera r' que sea ortogonal a r, pase por el punto A(0,-3,2) y no corte a r.

b) Un punto B en r y otro B' en r' de modo que el módulo del segmento BB' sea la distancia entre r y r'.

Sol: a) ≡r b) B(-40/29, 41/29, 24/29) B'(-32/13, 9/13, 2)

′0=6+2y+3x

2=z

7º-Determinar condiciones en el parámetro a para que la recta definida por las ecuaciones:

esté situada en el plano x+y+z+1=0

≡0=6-2z-6y+2x0=1-z+ay+3x

r

Geometría

12


Sol: ≡r

0=6-2z-6y+2x0=1-z+5y+3x

8º-Determinar, en función de x, la distancia de un punto de coordenadas (x,0,0) a la recta de ecuaciones:

¿Para qué punto (x,0,0) la distancia a dicha recta es igual a la distancia al plano x=0 ?

≡0=z+y0=y+x

r

Sol: a) |x|32=r)d(p, b) x=0

9º-Determinar t para que los puntos A(1,1,1) B(3,0,2) C(5,-2,2) D(2,1,t) sean coplanarios. Para el valor t

calculado anteriormente, obtener el área del polígono ABCD. Sol: t=2 22

=Area 5

10º-Dados los puntos A(3,-2,0) y B(1,-2,-2) y la recta de ecuación calcular la distancia

desde el punto B al plano que contiene a r y al punto A.. Sol:

z=y=xr ≡

0,973=386=d

11º-Hallar la ecuación del plano que pasa por P(0,0,1) y contiene a la recta

≡0=1-z-y-2x0=5-2z+3y-5x

r

Sol: π =4x-3y+7z-7=0 12º-Hallar la distancia del punto Q(5,5,-3) al plano π ≡ (-3,2,0)+(2,2,-1)+(0,0,4)=z)y,(x, µλ

Sol: a) d=11345

13º-Dado el sistema de ecuaciones lineales:

βαααβ

βααβα

=)z-(1+y+x2=z+y+x=)z-(1+y+x

a) Demostrar que si α=0, dicho sistema representa una recta y hallar sus ecuaciones

paramétricas.

b) Para que valores de α y ß representa un plano. Sol: b) 1=21= βα

14º-Calcular el ángulo que forma la recta r y el plano π : 3z=

1-2+y=

21-xr ≡ 0=z-y-x≡π

Sol: Recta paralela al plano 15º-Dado el plano de ecuación π y el punto A(1,0,2); sea B el pie de la

perpendicular de A a π y C(2,1,-2) un punto Se pide el área del triángulo ABC. Sol:

0=3-z+2y+2x≡

22=A

16º-Dadas las rectas de ecuaciones:

r −

≡4k-3=kz-3x3=2z-3x

−

≡4-k=2y-kx2=2z-3y

s

Geometría

13


determinar los valores de k para los cuales las rectas están en un mismo plano y buscar una

ecuación de este plano. Sol: K=-2 3x+2z-11=0

17º-Determinar el plano que pasa por la recta de ecuación: r −

≡3=z-2y-x5=z+y+x

y es paralelo a la recta de ecuación: 2174+z-=

31+y=

21-2xr ≡′

Sol: π≡ 13x-8y-z+9=0

18º-Hallar la distancia del punto A(1,2,3) a la recta y la ecuación del plano π que pasa por A y es

perpendicular a la recta. Sol: d=

0=y0=x

5 π 3=z≡ 19º-Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,0,1) y contiene a la recta de ecuación

1-z=

13+y=

21-x

≡r Sol: π 0=13-5z+3y-4x≡

20º-Sean las rectas: r ≡s

≡

3=z2t+1=y5t-3=x

2=z-2y+x0=z+y-3x

a) Hallar la ecuación de un plano que pasa por A(-1,-1,0) y es paralelo a las dos rectas. b) Hallar las intersecciones de dicho plano con los ejes coordenados. Sol: 14x≡π )(0,0,49/18(0,-7/5,0)(-7/2,0,0)0=49+18z-35y+ 21º-Comprobar que los puntos A,B,C forman un triángulo: A(1,1,1) B(0,-1,0) C(2,3,0). Hallar el área

de dicho triángulo. Sol: 5=A 22º-Obtener las coordenadas del punto simétrico del A(1,-3,7) respecto de la recta:

24-z=3+y=1-x≡r Sol: A'=(3,-1,5)

23º-Dadas las rectas

≡

λλλ

2=z-1=y+2=x

r2-2+z=

1-1-y=

11-xs ≡ estudiar su posición y, si fuese

posible, la ecuación del plano que las contiene. Sol:Las rectas se cruzan. No hay plano que las contengan.

24º-Hallar la distancia entre el punto (3,2,7) y la recta diagonal del primer octante del espacio . ℜ3

Geometría

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Sol: 14=d 25º-Una recta es paralela a los planos x+y=1 x+z=0 y pasa por el punto (2,0,0). Hallar sus ecuaciones.

Sol: 1-z=

1-y

12-x =

26º-Hallar la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos 2x+y-z=0 , x-

y+z+3=0 y pasa por el punto (3,2,1). Sol: π 3=z+y≡ 27º-Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1,0,-1) es perpendicular al plano x-y+2z+1=0 y

además es paralelo a la recta . Sol: ≡π

0=z0=2y-x

0=5-3z-4y-2x

28º-Sean los planos: π π π 1-=z+y+x1 α≡ αα =z+y+2x2 ≡ 1=z+y+x3 α≡ Se pide: a) Estudiar, según los valores del parámetro la posición relativa de los tres planos

anteriores. b) Hallar la intersección de los planos cuando α=2.

Sol: a) α No tienen ningún punto común. α Se cortan según una recta. 1= 2= α Se cortan en un punto. 21 ≠≠

b)

0=y1z=

11-x

≡ -r

29º-a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,3) y es perpendicular al plano de ecuación 2x-y+3z+5=0

b) Calcular la distancia del punto al plano.

Sol: a) 33-z=

1-2-y

21-x = b) 14=d

30º-Dados dos planos de ecuaciones 3x-y+z=1 x+y-2z=0 hallar un vector cuya dirección sea paralela a ambos. Sol: v=(1,7,4)

31º-Se consideran las rectas y .

≡0=3+y0=2-x

r

≡3=z+y1=2z-x

s

Se pide : -Estudiar la posición relativa de r y s.

-Hallar la mínima distancia entre ambas. Sol: Se cruzan 5511=dm

32º-Se considera la recta r y el punto P(3,4,1).Hallar el plano π que contiene a la recta r y al

punto P. Calcular la distancia de P a r. Sol: d=3

≡4z=y0=x

Geometría

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33º-Sean los planos de ecuaciones: x-y-1=0 2x+3y-5z+16=0 x+αy-z=0 donde α es un parámetro.

Probar que, salvo para un cierto valor de α, dichos planos se cortan en un único punto. Determinar dicho valor. Sol: α 0=0

34º-Calcular la ecuación de la recta que pasa por le punto (1,-1,2) y es perpendicular al plano

determinado por los puntos (1,0,1) (3,2,1) y (2,-1,0). Expresarla como intersección de dos planos.

Sol:

−

λ=12-z1=1=x

≡ yr

35º-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,1,1) es paralela al plano x-2y-z=0 y está en

un mismo plano que la recta 3z=

2y=

11-xr ≡ Sol:

≡1=y1-z=1-x

r

36º-Dados los puntos A(1,0,-1) y el plano π≡2x-y+3z=4 se pide: a) La ecuación de la recta que pasa por A es perpendicular a π. b) El punto simétrico de A respecto a π. c) De todos los planos que pasan por A y son perpendiculares a π, hallar el que pasa

por B(2,1,2). d) Ecuación del plano que pasa por A y es paralelo a π.

Sol: a) 31+z=

1-y=

21-x

b)A'=( 17/7, -5/7, 8/7 ) c) π d) π 0=3-z-y+2x1 ≡ 0=1+3z+y-2x2 ≡

37º-Calcula los planos bisectores de los planos x+y-z=0 x-y+z=0 simplificando al máximo el resultado.

¿Que ángulo forman los planos bisectores? ¿Es esta una propiedad general? Razonar la respuesta. Sol: -y≡π π α 0=z1 0=x2 ≡ 90”= 38º-Calcular el ángulo formado por las rectas de ecuaciones:

11-z=

13+y=

21-x

≡r 11-z=

3-1-y=

12-xs ≡ Sol: 90”=α

39º-Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1,2,3) y es paralela a la recta:

r Sol: −

≡4=3z+y-x1=z-3y+2x

53-z=

7-2-y=

81-x

40º-Hallar las coordenadas del punto de la recta 34+z=

35+y=

23+xr ≡ que equidista del origen de

coordenadas y del punto (3,2,1). Sol: P(1,1,2)

Geometría

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41º-Dada la recta y la recta s determinada por los puntos A(2,1,0) y B(1,0,-1) estudiar

su posición relativa y determinar un punto C de r tal que los segmentos CA y CB sean perpendiculares.

−≡ααα

=z=y+2=x

r

Sol: a) Se cortan b) C(2,0,0) C'(1,1,-1) 42º-Justificar que los puntos A(1,1,1) B(2,0,-1) C(5,2,1) y D(4,3,3) son los vértices consecutivos de un

paralelogramo y obtener la ecuación del plano que lo contiene. Sol: π 0=1+5z+8y-2x≡ 43º-a) Determinar la ecuación del plano π que pasa por le punto de coordenadas (1,-1,2) y es ortogonal a

la recta de ecuación

12-z=

3-1+y=

21-xr ≡

b) Hallar el punto de π cuya distancia al (3,-4,3) es mínima. Sol: a) -2x≡π b) P(5/7, -4/7, 13/7) 0=7-z+3y

44º-Calcular la distancia del punto (-2,4,-3) a la recta cuya ecuación es

32z-4=y

21+2z=x

Sol: d=1'4

45º-Hallar una recta que sea perpendicular al plano x-y+2z=-1 y que pase por el punto de dicho plano

que está más próximo al origen de coordenadas.

Sol: 2z=

1-y

1x =

46.- Hallar la ecuación del plano determinado por las rectas: r: x/1 = (y+1)/2 = (z-2)/1 y s: (x-2)/1 = (y-6)/-1 = (z-3)/2. Sol: 5x-y-3z+5=0 47.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-1,1,2) y es paralela a la recta r intersección de los planos: a: x+y-2z+3=0; b: 2x-y+z+1=0. Sol: {x+y-2z+4=0; 2x-y+z+1=0} 48.- Escribir la ecuación del plano que pasa por el origen y es paralelo a las rectas r: (x-1)/2 = (y-3)/3 = (z-1)/1 y s: x/0 = (y-1)/2 = z/-1. Sol: 5x-2y-4z=0 49.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,1,0) y es paralelo a las rectas r: {2x-y+z=0; x+y-z=2}; s: {y+z=3; x-y-z=1}. Sol: x=1 50.- Dados los puntos A(1,1,-1), B(0,1,1), C(-1,2,1) y D(1,1,1), hallar la ecuación del plano a que contiene a la recta que pasa por AB y es paralelo a la recta que pasa por CD. Sol: 2x+4y+z=5 51.- Hallar la ecuación del plano q que pasa por el punto A(0,1,1) y contiene a la recta: {x=1-λ; y=3+λ; z=4+2λ. Sol: x-5y+3z+2=0

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52.- Determinar la posición relativa del plano a: 2x-y+z-3 =0 y la recta de ecuación r: (x-1)/3 = (y-2)/1 = z/2. Sol: Se cortan 53.- Determinar m y n para que los planos 2x+my-4z+1=0 y 3x+9y+nz-3=0 sean paralelos. Sol: m=6, n=-6 54.- Determinar m para que los planos 3x+my-z+3=0 y 2x-y+mz-1=0 sean perpendiculares. Sol: m=3 55.- ¿Pertenece el plano 4x-5y+z+1=0 al haz determinado por la recta r: {x-3y+z-1=0; 2x+y-z+3=0} ?. Sol: Sí 56.- Hallar el baricentro de los triángulos y tetraedros siguientes: a) A(1,0,0), B(1,2,1), C(1,1,2) Sol: (1,1,1) b) A(2,1,-2), B(-1,2,0), C(4,3,1), D(3,-2,-3) Sol: (2,1,-1) c) A(1,2,-1), B(2,2,1), C(3,2,0) Sol: (2,2,0) 57.- Hallar las ecuaciones de los planos: a) Pasa por (2,0,3) y es paralelo al plano (x,y,z) = (0,1,3) + t(2,1,1) + v(-1,1,0). b) Pasa por (1,1,0), (3,1,4) y (0,2,-1) c) Pasa por (2,1,2) siendo paralelo al plano 2x-3y-z+3=0 d) Pasa por (1,1,1) y (2,0,-1) siendo paralelo a la recta (x-1)/2 = (y-2)/1 = (z+1)/3 Sol: a) x+y-3z+7=0; b) 2x+y-z=3; c) 2x-3y-z+1=0; d) x+7y-3z=5 58.- Ecuación de la recta que pasa por el punto (2,0,2) siendo paralela a la recta intersección de los planos: a: x+y-z=0 y b: 2x+2y-z=1 Sol: (x-2)/1 = y/-1 = (z-2)/0 59.- Plano que pasa por el (2,1,1) siendo paralelo al plano determinado por el punto (1,0,1) y la recta que pasa por (2,2,2) y tiene como vector director el (1,-1,3). Sol: -7x+2y+3z+9=0 60.- Ecuación de un plano que sea paralelo a las rectas r y s, y contenga al punto P(-1,0,2). r: [x=1+3t, y=t, z=-2-t} s: {x+y-3=0, 2x-y+2z=1} Sol: 5x-7y+8z=11 61.- Halla el punto de intersección de la recta r con el plano a: r:{x=2t ; y=t-1 ; z=3t+1 a: x-y+z+2=0 Sol: (-2,-2,-2) 62.- Estudia la posición relativa de las rectas: r: {x=t, y=-2t, z=1+t} s: {x=-8, y=2-8, z=1} Sol: Se cruzan 63.- Se consideran las rectas: r: {x=t, y=1-4t, z=2-t} s: {x=a, y=3-28, z=4-8} Determinar "a" para que las rectas se corten. Pueden ser iguales?. Sol: a = 1/3; No 64.- Comprobar si están alineados los puntos: (3,1,-2) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) Sol: no 65.- Calcular la posición relativa de las rectas: x+2y-z=0 x-z=0 3x+y+z=4 2x-y-z=1 Sol: se cortan en (1,0,1) x+y=0 x+y-z=1

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3x-2y=2 x+y+z=3 Sol: se cruzan 66.- Dados A=(1,0,-1) B=(a,2,3) determinar el valor de a para que el plano 2x-y+z=3 sea paralelo a la recta determinada por AB. Sol: a=0 67.- Dado el punto A=(3,1,-1) y la recta r: x-1 = y/2 = (z+1)/3. Determinar el punto B de la recta r, de tal manera que AB sea paralela al plano 3x-2y+z=4. Sol: (3,4,5) 68.- Calcula el producto vectorial de los vectores: V=(2,-1,0) W=(3,1,-1). Sol: (1,2,5) 69.- Siendo a=(1,0,-1) b=(1,1,1) c=(1,2,-3). Calcular a�(b�c), (a�b)�c. Sol: (4,4,4) (4,4,4) 70.- Hallar el volumen del paralelepípedo de aristas OA, OB, OC, siendo OA=(1,0,1) OB=(2,1,-1) OC=(2,2,-1) Sol: 3 u3 71.- Hallar el volumen del tetraedro ABCD siendo AB(1,4,2) AC=(1,0,0) AD=(2,1,-1). Sol: 1 u3 72.- Encontrar los valores de x para que el vector (x,1,2) sea ortogonal a (1,0,-1). Sol: x=2 73.- Area del triángulo determinado por los puntos A=(2,2,2) B=(1,-1,0) C=(0,1,2) Sol: 45/2 74.- Dados: A=(2,2,1) B=(1,-2,0) C=(2,0,1) D=(0,2,-2), demostrar que no son coplanarios y calcular el volumen del tetraedro que determinan. Sol: 1/3 u3 75.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A=(1,3,-1) y B=(4,2,-2) siendo perpendicular al plano x+y-z+3=0. Sol: x+y+2z=2 76.- Hallar la distancia del punto A=(0,0,1) a la recta r de ecuación: (x,y,z) = (t,2t+1,2t-2) Sol: 74 /3 77.- Dada la recta r: x/2 = y-2 = z+3 y el plano x+y=5. Hallar el ángulo que forman, y el punto de intersección. Sol: 60º; (2,3,-2) 78.- Calcular el ángulo que forman los planos: x-3y+4z-1=0, 2x+2y+z-3=0. Sol: 90 79.- Calcular la proyección ortogonal del punto P=(0,-1,-1) sobre el plano x+3y+2z=9 Sol: (1,2,1) 80.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A=(1,1,2) siendo perpendicular al plano x+y-2z=3 y paralelo a la recta {x-2y+z=0; x=1} Sol: 4x-2y+z=4 81.- Hallar la ecuación del plano que pasando por el punto A=(0,1,-2) tiene por vector director asociado v=(1,-1,1). Sol:x-y+z+3=0 82.- Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto A(1,3,-2) es perpendicular al plano x+y-z=3 Sol: (x-1)/1 = (y-3)/1 = (z+2)/-1 83.- Halla las ecuaciones implícitas de la recta proyección ortogonal de la recta (x,y,z) = (0,1,-1) + λ (1,0,2) sobre el plano x - 2y + z = 0. Sol: x-2y+z=0; 4x+y-2z=3 84.- Sean P(0,1,0), Q(0,3,0), R(1,1,2) y S(1,3,2) a) Comprobar que son coplanarios. b) Comprobar que PQRS forman un rectángulo. Sol: c) 25

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c) Calcular el área de dicho rectángulo.


85.- Hallar la distancia entre el punto (2,0,3) y la intersección de los planos π1:x+z-1=0 y π2: x+2y+z=3. Sol: d=3 86.- Halla el ángulo que forman los planos x+2y-z+3=0 y 3x-y+z=4. Sol: π/2 87.- Halla el plano que pasando por P(1,1,1), sea perpendicular a los planos x-y+z+3=0 y x+2z=1. Sol: 2x+y-z=2. 88.- Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB pasando por el punto A siendo: A(1,-1,0), B(0,1,0). Sol: x-2y-3=0. 89.- Halla el ángulo que forman el plano 3x+y-2z+7=0 y la recta {x-2y-8=0; x+z+8=0}. Sol: α = 78,5º 90.- Halla el simétrico del punto P (0,1,1) respecto al plano que pasa por los puntos: A(2,1,1), B(0,2,-1), C(1,-3,0). Sol:(2,1,-1). 91.- Dada la recta de ecuaciones (x-1)/0 = (y+1)/1 = (z+4)/2 y el punto P (1,2,2), halla el simétrico de dicho punto respecto de la recta. Sol: (1,0,-2) 92.- Distancia entre los planos paralelos 3x+4z-15=0; 3x+4z+10=0. Sol: 5 93.- Halla el plano que contiene a OY y dista 4 unidades del punto P(0,0,5). Sol: π1:3x+4z=0; π2:3x-4z=0 94.- Halla el plano que pasa por el (1,0,1), siendo el triángulo formado por las rectas en las que corta a los planos coordenados, equilátero. Sol: x+y+z=2 95.- Determina un punto de la recta {(x+1)/2=y/1=z/-1 que equidiste de los planos 4x+3z+4=0 y 2x+2y+z=2. Sol: (1,1,-1) 96.- Halla la recta que pasando por el (3,2,1) sea perpendicular y secante a la recta (x-1)/1 = (y-1)/-1 = z/-1. Sol: (x-3)/2=(y-2)/1=(z-1)/1 97.- Halla el plano que contiene a la recta (x-1)/2 = y/1 = (z-2)/-1 siendo perpendicular al plano 2x-y+2=0. Sol: x+2y+4z=9 98.- Halla el punto del plano x+y+z=5 que está sobre la recta que siendo perpendicular al plano A(2,2,1),B(1,0,0),C(0,1,2) pasa por el baricentro de dicho triángulo. Sol: (3,-1,3) 99.- Halla el área del triángulo de vértices los puntos de intersección del plano 3x+2y-3z=6 con los ejes de coordenadas. Sol: 22 100.- Discutir, según los valores del parámetro a, la posición relativa de las siguientes rectas: r: {x-y=-1;3y-z=6} s: {x-ay+2a-1=0;3x-az=3}. Sol: a=1 coincidentes; a�1 se cortan

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