geometría analítica matemáticas i

Geometría analítica Matemáticas I

Departamento de Matemáticas. I.E.S. “Fuente Lucena”. Alhaurín el Grande 58

GEOMETRÍA ANALÍTICA

ÍNDICE Pág 1.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. 58 2.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS . 58 3.- PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. 59 4.- ECUACIÓN DE LA RECTA. 62

4.1.- Características de la función lineal. 63 4.2.- Casos particulares de la función lineal. 64 4.3.- Ecuación de la recta definida por un punto y la pendiente. 64 4.4.- Ecuación de la recta definida por dos puntos. 66 4.5.- Ecuación vectorial de la recta. 67 4.6.- Ecuaciones paramétricas. 67 4.7.- Ecuación continua. 68 4.8.- Ecuación canónica de la recta. 69 4.9.- Ecuación general de la recta. 70

5.- INCIDENCIA DE RECTA Y PUNTO. 72 6.- INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS. 73 7.- POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL PLANO. 74 7.1.- Rectas secantes 75 7.2.- Rectas coincidentes 76 7.3.- Rectas paralelas 78 8.- ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS. 79 9.- CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. 80 10.- CONDICION DE PARALELISMO. 82 11.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. 83 12.- SUPERFICIE DE UN TRIANGULO. 86 ANEXO I: RELACIÓN DE EJERCICIOS. 89

ANEXO II: RELACIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS 93



1. GEOMETRÍA ANALÍTICA.

A partir del siglo XVII se comenzó el estudio de las relaciones existentes entre la Geometría y

el Álgebra, disciplinas que hasta entonces se consideraban totalmente independientes.

El estudio de esta relación supuso el nacimiento de una nueva rama de las matemáticas, denominada GEOMETRÍA ANALÍTICA.

Así podemos decir que: la geometría analítica tiene por objeto el estudio de la geometría

mediante procedimientos de cálculo propios del análisis matemático.

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

Vamos a ver cómo podemos calcular la distancia que existe entre dos puntos cualesquiera de

un plano. Para ello consideremos dos puntos A y B de coordenadas conocidas:

��, �� y ��, ��

Si trazamos por el punto A una recta horizontal y por el B una vertical, se nos forma un

triángulo �� rectángulo en .

Podemos ver que la distancia (d) que queremos calcular entre el punto � y el �, es la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo, la cuál sabemos calcular mediante el teorema de Pitágoras.

Vamos a ver cuánto miden los catetos: Cateto� = � − �� = � − �� Cateto� = �� − � = � − ��



Conocidos los catetos aplicamos el teorema de Pítágoras que ya conoces:

Hipotenusa �� = ��cateto�� + �cateto��⟹ � = �� − �� + �� − ��

Luego la distancia entre dos puntos cualesquiera de un plano, conocidas sus coordenadas, podemos obtenerla mediante la expresión:

��, �� = �� − �� + �� − ��

Si te fijas bien la distancia entre dos puntos se corresponde con el módulo del vector

determinado por ellos. Recuerda que:

� − �� es el valor de la componente horizontal del vector �� − ��es el valor de la componente vertical del vector ��

Ejemplo 1:

Halla la distancia existente entre los puntos ��1,−3� y ��−4,7�

�� = 1, �� = −3, � = −4, � = 7

��, �� = �� − �� + �� − �� = �−4 − 1� + !7 − �−3�" = ��−5� + �10� =√25 + 100 = √125 = 5√5'

3. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.

Vamos a deducir las coordenadas del punto medio de un segmento cualquiera del plano,

conociendo las coordenadas de sus extremos.



Vamos a deducirlo haciendo uso de los vectores para que recuerdes un poco, y si quieres intentes reproducir el apartado anterior del mismo modo.

Tenemos el vector ��, cuyo origen y extremo tienen de coordenadas:

��, �� y ��, ��

Vamos a intentar averiguar las coordenadas del punto (.

Por ser ( punto medio podemos asegurar que el módulo del vector �(�� es justo la mitad del

módulo del vector ��: )�(��) = 12 )��)�∗�

Expresamos el vector �(�� mediante sus componentes: �(�� = �+� − ��,+ − ��

Expresamos de igual forma el vector �� = �� − ��, � − ��

Si ahora sustituimos dichos vectores en la expresión ( )∗ obtenemos:

�+� − ��,+ − �� = 12 �� − ��, � − �� De donde deducimos:

+� − �� = 12 �� − ��y+ − �� =12 �� − ��

Despejando +� y + de ambas expresiones, llegamos a determinar las coordenadas del punto medio M:

+� = 12 �� + �� =�� + �2 �+ = 12 �� + �� =

�� + �2

Es decir las coordenadas del punto medio de un segmento resultan de calcular la media

aritmética de las correspondientes coordenadas de sus extremos.

Ejemplo 2:

Dado un segmento de extremos ��−1,−1� y ��5,2�, determinar su punto medio.

Considerando que las coordenadas del punto medio de un segmento resultan de calcular la media aritmética de las correspondientes coordenadas de sus extremos, obtenemos:

� = �� + �2 = −1 + 52 = 42 = 2� =�� + �2 = −4 + �−2�2 = −62 = −3



Luego el punto medio del segmento AB es ( )2, 3M −

4. ECUACIÓN DE LA RECTA.

Ya conocemos del curso anterior que la función lineal tiene como expresión � = +� + .,

siendo su representación gráfica una recta.

Pues bien, vamos a seguir el camino contrario, es decir, vamos a ver que dada una línea recta, su función es siempre una función lineal �� = +� + .�

Sobre una recta tomamos un punto cualquiera /��, �� y por él trazamos una recta paralela al eje Y. Desde el punto de intersección de la recta y el eje de ordenadas (Y) trazamos una recta paralela al eje de abscisas (X).

Como vemos se forma un triángulo rectángulo △/�, siendo la tangente del ángulo 1 (que vamos

a designar por la letra +):

23 1 = /4444�4444 = + Por otro lado sabemos que /4444 = � − . y que �4444 = �; sustituimos en la expresión anterior obteniéndose:

+ = � − .�

Despejamos y obtenemos:



� = +� + .

A esta expresión se le llama función lineal, función polinómica de primer grado o ecuación explicita de la recta.

4.1 Características de la función lineal.

En cualquier función lineal es preciso distinguir dos características fundamentales:

� Pendiente. � Ordenada en el origen.

La pendiente es el coeficiente m del término de primer grado (x).

La pendiente está relacionada con el ángulo que forma la recta con el semieje horizontal positivo (es la tangente de dicho ángulo).

� El ángulo formado será mayor cuanto mayor sea la pendiente, siendo agudo u obtuso según que la pendiente sea positiva o negativa.

� Dos rectas que tienen la misma pendiente son paralelas o coincidentes y viceversa.

La ordenada en el origen es el término independiente. Su valor es la longitud del

segmento del eje vertical comprendido entre el origen de coordenadas y la recta.

De lo anterior deducimos que dos rectas que tengan la misma ordenada en el origen cortan al eje de ordenadas (Y) en el mismo punto. Ejemplo 3:

La función � = 3� + 1 tiene como pendiente + = 3, de lo que deducimos que el

ángulo que forma dicha recta con el semieje positivo es agudo, la recta es creciente.

La ordenada en el origen es 5 = 1, lo que nos indica que la recta corta al eje de ordenadas en � = 1, es decir en el punto (0,1).

La función � = −� + 2 tiene como pendiente + = −1, lo que significa que el ángulo formado con el semieje positivo de abscisas es obtuso, la recta es decreciente.

La ordenada en el origen es 5 = 2, es decir la recta corta al eje Y en el punto (0,2).



4.2 Casos particulares de la función lineal.

1. Si la pendiente es cero (+ = 0), la función lineal toma la forma � = 5, que es una función constante y cuya gráfica es una recta paralela al eje de abscisas (6).

2. Si la ordenada en el origen es cero (5 = 0), la función lineal toma la forma � = +�,

cuya representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

3. En el caso en que pendiente y ordenada en el origen sean cero (+ = 0 y 5 = 0), la función lineal toma la forma � = 0, que es una función constante cuya gráfica es una recta que coincide con el eje de abscisas (6).

4.3 Ecuación de la recta definida por un punto y la pendiente.

Como hemos visto anteriormente si conocemos la ordenada en el origen y la pendiente, ya tenemos definida la ecuación de la recta en forma explícita. Si nos fijamos la ordenada en el origen es en realidad un punto, un punto por donde pasa la recta y que está situado sobre el eje de ordenadas (Y).

Pues bien una recta también puede quedar determinada conociendo su pendiente y un punto cualquiera por donde pase, sin necesidad de que este punto esté sobre el eje de ordenadas (Y).

Consideremos una recta definida por su pendiente + y un punto /7(�7, �7):



Tomamos sobre la recta un punto cualquiera /(�, �) y por él trazamos una paralela al eje de ordenadas. Del mismo modo por el punto /7(�7, �7) trazamos una paralela al eje de

abscisas, con lo cual se nos forma un triángulo rectángulo △//7, en el cual se verifica que:

+ = tg 1 = /4444/744444

Ahora bien, como /4444 = � − �7 y /744444 = � − �7, sustituimos en la expresión anterior

y obtenemos:

+ = � − �7� − �7

De donde resulta:

� − �7 = +(� − �7)

Esta es la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, en la cual conocemos la

pendiente (m) y el punto de coordenadas ( )0 0,x y

Ejemplo 4:

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto �(-1,3) y tiene de pendiente + = 2. �7 = −1; �7 = 3; + = 2

Sustituyendo en la ecuación punto-pendiente:

� − 3 = 2!� − �−1�" ⟹ � − 3 = 2�� + 1� ⟹ � − 3 = 2� + 2 ⟹ � = 2� + 5

Ejemplo 5:

Determina la ecuación de la recta que pasando por el punto ��4, -2�, forma un ángulo de 45º con el semieje horizontal positivo. Si nos fijamos nos dan un punto por donde pasa la recta (B) y la pendiente sería la tangente del ángulo �tg 45 = 1�, luego:

�7 = 4;�7 = −2; + = tg 45 = 1 Sustituyendo en la ecuación punto-pendiente:

� − �−2� = 1�� − 4� ⟹ � + 2 = � − 4 ⟹ � = � − 6



4.4 Ecuación de la recta definida por dos puntos.

La ecuación de la recta de la cual conocemos dos puntos por donde pasa, la vamos a considerar un caso particular de la ecuación punto-pendiente, ya que si conocemos dos puntos de la recta, podemos determinar fácilmente cuál es su pendiente, y una vez conocida esta, con cualquiera de los dos puntos que conocemos, aplicamos la ecuación punto-pendiente.

¿Cómo podemos calcular la pendiente de una recta conociendo dos puntos de la misma? Recuerda como calculábamos las componentes de un vector sabiendo las coordenadas del origen y del extremo (revisa tus apuntes de vectores).

De todas formas, y aunque con las indicaciones anteriores no es necesario, vamos a dar una expresión: � − �� − �� = � − �� − ��

Los puntos conocidos serían los de coordenadas (x�, y�) y (x, y)

Ejemplo 6:

Determinar la ecuación explícita de una recta que pasa por el origen de coordenadas y

por el punto A(-3,4).

Nuestra recta pasa por los puntos A(-3,4) y B(0,0). Pues bien, podemos aplicar directamente la expresión que nos da la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, o bien conociendo los dos puntos calcular la pendiente y aplicar la fórmula punto pendiente. Vamos a hacerla de las dos formas y verás que son iguales.

Aplicamos directamente la formula de la recta que pasa por dos puntos:

Consideramos x� = 0; y� = 0;x = −3;y = 4

� − 0� − 0 =

4 − 0−3 − 0 ⟹

�� =

4−3⟹ −3� = 4� ⟹ � = −43�

Calculamos la pendiente y aplicamos la fórmula punto-pendiente:

La pendiente la podemos obtener calculando las componentes del vector que tiene por

origen y extremo los puntos �0,0� y �−3,4�, que como sabes eran:

� = −3 − 0 � = 4 − 0

Luego la pendiente sería m = − @A y como conocemos dos puntos por donde pasa la

recta, pues aplicamos la fórmula punto-pendiente. Elegimos el punto �0,0�, por comodidad.



� − 0 = − 43 (� − 0) ⟹ � = − 4

3 �

4.5 Ecuación vectorial de la recta.

Consideremos una recta definida por un punto conocido /7(�7, �7) y por la dirección de

un vector B� = BCD� + BEF�

Para determinar su ecuación vectorial tomamos sobre la recta un punto cualquiera

/(�, �), y dibujamos los vectores G/7��, G/��/7/��. Podemos comprobar que el vector /7/�� tiene la misma dirección que el vector B�, de forma que será igual al producto de un escalar por B�:

/7/�� = 2 · B�, siendo 2 un número real.

Ahora bien, como podemos comprobar en el dibujo OP�� = OP7�� + P7P��, por lo que

podemos sustituir en esta última expresión el valor de P7P��, con lo cual nos quedaría:

G/�� = G/7�� + 2 · B�

Esta expresión es la ecuación vectorial de la recta.

Si te fijas bien la recta queda determinada por un punto y por un vector director, es decir

por un vector con la misma dirección que nuestra recta.

4.6 Ecuaciones paramétricas.

Si en la ecuación vectorial de la recta consideramos que:

G/�� = �D�+ �F� G/7�� = �7D�+ �7F� B� = BCD�+ BEF�

La ecuación vectorial se convertiría en:

�D�+ �F� = ��7D�+ �7F�� + 2!BCD�+ BEF�" ⟹ �D�+ �F� = �7D�+ �7F�+ 2BCD�+ 2BEF�⟹ �D�+ �F�= ��7 + 2BC�D�+ !�7 + 2BE"F�

Si recuerdas dos vectores son iguales cuando lo son sus componentes, luego deducimos:

� = �7 + 2BC� = �7 + 2BE

Estas dos igualdades reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta. Si te

fijas las podemos considerar como una forma distinta de expresar la ecuación vectorial.



Ejemplo 7:

Una recta se halla definida por el punto A(4,3) y la dirección del vector v�� = −3ı� + ȷ�.

Expresar su ecuación vectorial y determinar sus ecuaciones paramétricas.

De acuerdo con lo expuesto antes y considerando un punto / cualquiera de la recta, su ecuación vectorial es:

G/�� = G/7�� + 2 · B�

Las ecuaciones paramétricas podemos determinarlas a partir de la expresión anterior:

G/�� = G�� + 2 · B� ⟹ �D� + �F� = 4D� + 3F� + 2(−3D� + F�) = 4D� + 3F� − 32D� + 2F�= (4 − 32)D� + (3 + 2)F� ⟹ � = 4 − 32� = 3 + 2

También podíamos haber procedido directamente considerando:

�7 = 4; �7 = 3;BC = −3;BE = 1

y sustituir en la expresión de las ecuaciones paramétricas.

4.7 Ecuación continua.

Si en las ecuaciones paramétricas de la recta despejamos el parámetro 2 en ambas ecuaciones obtenemos:

2 = � − �7BC �2 = � − �7BE

Igualando ambas expresiones resulta:

� − �7BC = � − �7BE

A esta expresión se le llama ecuación continua de la recta.

Ejemplo 8:

Determinar las ecuaciones continua y explícita de la recta definida por el punto P�3,1� y el vector v�� = −3ı�+ ȷ�

En principio bastaría con sustituir los valores en la expresión anterior considerando que:

�7 = 3;�7 = 1;BC = 5;BE = −2



� − �7BC = � − �7BE ⟹ � − 35 = � − 1

−2

Para obtener la ecuación explícita bastaría con operar:

� − 35 = � − 1

−2 ⟹ −2(� − 3) = 5(� − 1) ⟹ −2� + 6 = 5� − 5 ⟹ 5� = −2� + 11⟹ � = − 2

5 � + 115

4.8 Ecuación canónica de la recta

Ecuación canónica de la recta es aquella que viene determinada por los segmentos que

ésta intercepta sobre los ejes de coordenadas. Su expresión es: �

N + �5 = 1

Vamos a intentar llegar a esta expresión:

Como ya sabemos, la pendiente de la recta (+) es igual a la tangente del ángulo 1 (tg 1).

Por otro lado también sabemos la relación que existe entre las razones trigonométricas

de ángulos suplementarios, en el caso de la tangente es: tg 1 = − tg(180 − 1)

Pues bien, basándonos en los razonamientos anteriores:

+ = tg 1 = − tg(180 − 1) = − tg P = − 5N

Es decir,

+ = − 5N

Tomando como referencia la ecuación explícita de la recta, y = mx + b, sustituimos m

por su valor y obtenemos:

� = − 5N � + 5

Operamos:

N� = −5� + N5

Dividiendo toda la expresión entre ab obtenemos: N�

N5 = − 5�N5 + N5

N5 ⟹ �5 = − �

N + 1 ⟹ �N + �

5 = 1



Esta expresión es la ecuación canónica de la recta, donde 5 es la ordenada en el origen y N es el segmento que la recta intercepta sobre el eje de abscisas (6). Ejemplo 9:

Determina la ecuación explícita de la recta que intercepta sobre los ejes de coordenadas

los segmentos N = 2 y 5 = −3.

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: �

2 + �−3 = 1

Como nos piden la ecuación explícita, pues operamos para ponerla en esa forma:

�2 + �

−3 = 1 ⟹ −3� + 2� = −6 ⟹ � = 32 � − 3

Fíjate que el hecho de que los segmentos que intercepta la recta sobre los ejes

cartesianos sean N = 2 y 5 = −3, también puede interpretarse como que la recta pasa por los puntos (2,0) y (0, −3) con lo cual también hubiésemos podido resolver el ejercicio de otra forma mediante la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, o bien calculando la pendiente y usando la forma punto-pendiente.

4.9 Ecuación general de la recta.

Si en cualquiera de las distintas ecuaciones de la recta que hemos visto anteriormente,

procediésemos a quitar denominadores, si los hubiese, y a pasar todos los términos al primer miembro igualando a cero, obtendríamos una expresión del tipo:

�� + �� + = 0

A esta expresión se le denomina ecuación general o ecuación implícita de la recta.

Ejemplo 10:

Obtener la ecuación general de la recta

y = 23 x + 5

4

Procedemos a quitar denominadores en primer lugar y después pasamos todo al primer

miembro igualando a cero:

� = 23 � + 5

4 ⟹ 12� = 8� + 15 ⟹ 8� − 12� + 15 = 0



Algunas consideraciones:

1. Si tenemos una recta dada por su ecuación general, basta despejar la � para pasarla a forma explícita:

�� + �� + = 0 ⟹ � = − �� −

�

ya está en forma explícita.

2. De lo anterior deducimos que la pendiente de una recta dada por su ecuación general es:

+ = − ��

3. Del mismo modo la ordenada en el origen sería:

. = − �

Ejemplo 11:

Dada la recta 3x + 6y + 2 = 0, determinar su pendiente, ordenada en el origen y

ecuación explícita.

+ = − 36 = − 1

2 . = −26 = −

13 � = −

12 � −

13

4.9.1 Casos particulares de la ecuación general.

1. Si � = 0, la ecuación corresponde a una recta paralela al eje horizontal.

Si � = 0, la ecuación �� + �� + = 0 queda �� + = 0, de donde

despejamos y obtenemos que � = − RS y, como recordarás, − R

S es la

ordenada en el origen (.), luego tendríamos � = ., que, como ya sabemos, corresponde a una recta paralela al eje horizontal.

2. Si � = 0, la ecuación corresponde a una recta paralela al eje vertical.

Si B = 0, la ecuación Ax + By + C = 0 queda Ax + C = 0, de donde

despejando x obtenemos x = − TU. Designando a la constante − T

U por a,

tenemos x = a, expresión que no corresponde a función alguna, pero que, sin embargo, es expresión de una recta vertical.

3. Si = 0, la ecuación corresponde a una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Al ser C = 0, la ecuación Ax + By + C = 0A queda Ax + By = 0, de

donde despejando y obtenemos y = − UV x, y, como recordarás, − U

V es la



pendiente (m) de la recta., luego tendríamos y = mx, ecuación que como ya sabes corresponde a una recta que pasa por el origen de coordenadas.

4. Si � = = 0, la ecuación corresponde a una recta que coincide con el eje de

abscisas (X)

Razónalo tú.

5. Si � = = 0, la ecuación corresponde a una recta coincidente con el eje de ordenadas (Y).

Razónalo tú.

NOTA: Para el razonamiento ten en cuenta lo que implica que � = 0, � = 0 y = 0.

5. INCIDENCIA DE RECTA Y PUNTO.

Se dice que una recta y punto son incidentes cuando el punto está contenido en la recta.

Si tenemos la recta �� + �� + = 0 y el punto /(�7, �7), para que ambos sean incidentes, es

decir, para que el punto pertenezca a la recta, es condición necesaria y suficiente que las coordenadas del punto satisfagan la ecuación de la recta, es decir debe verificarse que:

��7 + ��7 + = 0

Ejemplo 12:

¿Son incidentes la recta � = 2� − 1 y los puntos /(2,3) y W(3,4)?

Para que punto y recta sean incidentes, es decir, que el punto pertenezca a la recta, sus

coordenadas deben satisfacer la ecuación de esta última; vamos a comprobarlo. �7 = 2,�7 = 3

Así: 3 = 2 · 2 − 1 ⟹ 3 = 3

Luego efectivamente el punto /�2,3� y la recta son incidentes, es decir, el punto /�2,3�

pertenece a la recta � = 2� − 1.

Veamos qué ocurre con el punto W�3,4�:

�7 = 3,�7 = 4 Así:

4 = 2 · 3 − 1 ⟹ 4 = 5

Pero, obviamente, 4 ≠ 5



Luego el punto W(3,4) y la recta � = 2� − 1 no son incidentes, es decir, el punto W no pertenece a la recta.

Si en unos ejes de coordenadas representamos la recta � = 2� − 1 y los puntos / y W,

veremos como el punto / cae sobre la recta mientras que el W no.

6. INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS.

En el plano, cualquier par de rectas que no sean paralelas o coincidentes se cortan en un

punto y solo uno. Para determinar las coordenadas de ese punto de intersección de dos rectas basta con resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas.

Los valores de x e y que son solución del sistema de ecuaciones, satisfacen las dos

ecuaciones, lo que supone que al satisfacer la primera pertenece a la primera recta, y al satisfacer la segunda ecuación pertenece a la segunda recta. Si un punto pertenece a dos rectas distintas, eso implica que las dos rectas se cortan en ese punto.

Ejemplo 13:

Dadas las rectas � − 3� + 7 = 0 y 2� + 3� − 4 = 0, hallar las coordenadas de su punto de

intersección.

Según lo anteriormente expuesto deberemos resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta:



Y� − 3� + 7 = 02� + 3� − 4 = 0Z ⟹ Y� − 3� = −72� + 3� = 4 Z

Resolviendo por reducción:

Y� − 3� = −72� + 3� = 4 Z ⟹ [� − 3� = −72� + 3� = 4 Z3� = −3⟹ � = −3 3⁄ = −1

A continuación sustituyendo el valor de � en alguna de las ecuaciones obtenemos el valor de

�:

Sustituimos en la primera ecuación:

−1− 3� + 7 = 0 ⟹ −3� = −6 ⟹ � = −6−3 = 2

De donde � = 2

Es decir, el punto �-1,2� es el punto donde se cortan ambas rectas. Lo podemos comprobar representando gráficamente ambas rectas:

7. POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

Como hemos visto el punto de intersección de dos rectas se calcula resolviendo el sistema de

ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas.

Por otra parte también sabemos, que cuando resolvemos un sistema de ecuaciones de dos incógnitas nos podemos encontrar con los siguientes casos:



a. Que tenga una única solución, como ocurre en el ejemplo 13. A este tipo de

sistemas de ecuaciones se les llama compatible determinado. b. Que tenga infinitas soluciones. A este tipo de sistema se le llama compatible

indeterminado. c. Que no tenga solución. A este tipo de sistema se le llama incompatible.

Estas posibilidades de solución de un sistema de ecuaciones determinan las posiciones que

pueden ocupar dos rectas en el plano.

Vamos a analizarlas antes de pasar a un estudio más detallado

a. Si al resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de dos rectas obtenemos una única solución eso lo interpretamos como que esas dos rectas sólo tienen un punto en común, por lo cual esas rectas se cortan en un único punto, luego son rectas secantes.

b. Si al resolver el sistema encontramos que éste tiene infinitas soluciones, eso quiere decir que ambas rectas tienen infinitos puntos en común lo cual nos indica que ambas rectas son coincidentes, son la misma recta.

c. Si al resolver el sistema vemos que este no tiene solución, ello nos indica que ambas rectas no tienen punto en común lo que nos lleva a considerar que ambas rectas deben ser paralelas.

7.1 Rectas secantes.

Un sistema lineal compatible determinado admite una sola solución, es decir, un único valor

de x y un único valor de y, siendo estos dos valores las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas.

Vamos a ver qué condiciones deben cumplir dos rectas secantes de forma que con sólo

observar sus ecuaciones podamos decidir si son secantes o no. Para ello vamos a proceder a resolver el sistema de ecuaciones formado por dos rectas cualesquiera:

Y�� + �� + � = 0�� + �� + = 0Z Resolvemos el sistema por el método de reducción. Multiplicamos la primera ecuación por � y la segunda por −�� y obtenemos:

Y �� + �� + �� = 0−�� − �� − �� = 0Z Sumando ambas igualdades:

Dos rectas son secantes cuando el sistema formado por sus ecuaciones es compatible determinado.



(�� − ��)� + (�� − ��) = 0 Despejamos y obtenemos:

� = �� − �� − ��

Procediendo de forma análoga podemos obtener el valor de x:

� = �� − �� − ��

Para que las rectas sean secantes el sistema debe ser compatible determinado, es decir debe

tener una única solución, y para que esto sea así cada fracción anterior debe tener un valor numérico concreto, lo que implica que sus denominadores deben ser distintos de cero, ya que si fuesen cero, el resultado sería una indeterminación. Luego:

�� − �� ≠ 0 ⟹ �� ≠ �� ⟹ �� ≠ ��

Luego la condición para que dos rectas sean secantes es que los coeficientes de � y los

coeficientes de � no sean proporcionales. Ejemplo 14:

Las rectas definidas por las ecuaciones Yx + y + 3 = 0−x + 2y + 4 = 0Z son secantes, ya que los

coeficientes de x e y no son proporcionales: 1

−1 ≠ 12

Lo puedes comprobar resolviendo el sistema de ecuaciones y verás cómo tiene una única

solución o bien representando gráficamente ambas rectas. 7.2 Rectas coincidentes.

Un sistema compatible indeterminado admite infinitas soluciones para � e infinitas soluciones para �, es decir que existen infinitos puntos comunes, lo que solo es posible si las dos rectas coinciden.

Vamos a determinar las condiciones que deben cumplir dos rectas cualesquiera para que

sean coincidentes y podamos saberlo a partir de, sus ecuaciones.

Dos rectas son coincidentes cuando el sistema formado por sus ecuaciones es compatible indeterminado.



Consideramos las ecuaciones de dos rectas cualesquiera:

Y�� + �� + � = 0�� + �� + = 0Z

Procedemos a resolver el sistema llegando a las mismas soluciones que en el caso anterior:

� = �� − �� − �� =�� − �� − ��

Para que el sistema sea compatible indeterminado debe tener infinitas soluciones y para que

esto ocurra tanto el numerador como el denominador de ambas fracciones debe ser cero, luego:

�� − �� = 0 ⟹ �� = ��⟹ �� =

��

�� − �� = 0⟹ �� = ��⟹ �� =

�

�� − �� = 0⟹ �� = ��⟹ �� =

�

De modo que para que dos rectas sean coincidentes los coeficientes de �, los coeficientes de

�, y los términos independientes deben ser proporcionales.

�� =

�� =

�

Ejemplo 15:

Las rectas definidas por las ecuaciones Y3� − � + 2 = 06� − 2� + 4 = 0Z son coincidentes, ya que los

coeficientes de �, los coeficientes de �, y los términos independientes son proporcionales: 3

6 =−1−2 =

24

Puedes resolver el sistema de ecuaciones y verás que tiene infinitas soluciones y si

representas ambas rectas dibujarás una encima de la otra.

7.3 Rectas paralelas.

Un sistema incompatible no admite solución alguna, lo cual podemos interpretar como que las dos rectas que representan no tienen ningún punto en común por lo que necesariamente han de ser paralelas.

Dos rectas son paralelas cuando el sistema formado por sus ecuaciones es incompatible



Vamos a determinar la condición para que dos rectas sean paralelas a partir de sus

ecuaciones. Consideramos las ecuaciones de dos rectas cualesquiera:

Y�� + �� + � = 0�� + �� + = 0Z Procedemos a resolver el sistema llegando a las mismas soluciones que en el caso anterior:

� = �� − �� − �� =�� − �� − ��

Para que el sistema sea incompatible el denominador debe ser cero y los numeradores no. Luego:

�� − �� = 0 ⟹ �� = ��⟹ �� =

��

�� − �� ≠ 0⟹ �� ≠ ��⟹ �� ≠

�

�� − �� ≠ 0⟹ �� ≠ ��⟹ �� ≠

�

De forma que para que dos rectas sean paralelas los coeficientes de � y los coeficientes de �

deben ser proporcionales, pero no los términos independientes. Ejemplo 16:

Las rectas definidas por las ecuaciones Y2� − � + 3 = 04� − 2� + 1 = 0Z son paralelas ya que los

coeficientes de las � y de las � son proporcionales, no siéndolo los términos independientes. Puedes representar gráficamente las rectas para comprobarlo.

24 =

−1−2 ≠

31

También puedes comprobar que el sistema no tiene solución si intentas resolverlo.

8. ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS.

Consideremos dos rectas r� y r, cuyas ecuaciones son Zy = m�x + n�y = mx + n_

Queremos determinar el ángulo 1 formado por ellas.

Vamos a designar como α� y α a los ángulos que forman dichas rectas con el semieje positivo de abscisas y, como recordarás del apartado 4, se tiene que:



+� = tg α� + = tg α

De la gráfica podemos, deducir que α� es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes: α� = ∠ABP + ∠BPA

Por otro lado sabemos que: ∠ABP = α y ∠BPA = α

De estas relaciones obtenemos: α� = α + α ⟹ α = α� − α ⟹ tg α = tg(α� − α)

Aplicando la fórmula de la tangente de una diferencia de ángulos obtenemos:

tg α = tg(α� − α) = tg α� − tg α1 + tg α� · tg α = +� − +1 + +� · +

Es decir:

tg α = tg(α� − α) = +� − +1 + +� · +

Ejemplo 17:

Dadas las rectas � = 3� + 3 e � = 2� − 1, calcular el ángulo que forman.

Como ya sabemos el valor de sus respectivas pendientes, que coinciden con la tangente

trigonométrica, es +� = 3 y + = 2, aplicando la fórmula obtenida anteriormente:



tg α = +� − +1 + +� · + = 3 − 21 + 3 · 2 = 1

7 ⟹ tg α = 0b1428571 ⟹ α = arctg(0b1428571) = 8°7′48′′

En el caso de que nos hubiesen dado las ecuaciones de las rectas de forma distinta a la

explícita, pues nos bastaría con calcular la pendiente y aplicar la anterior expresión.

9. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.

Si tuviésemos dos rectas perpendiculares sabríamos que el ángulo que forman es 90°, con lo

cual:

tg 90 = +� − +1 + +� · + ⟹ ∞ = +� − +1 + +� · + ⟹ 1 + +� · + = 0 ⟹ +� · + = −1 ⟹ +� = −1+

Es decir, la condición de perpendicularidad es:

+� = −1+

La expresión anterior la podemos interpretar diciendo:

La conclusión anterior nos permitir decidir si dadas varias rectas, éstas son perpendiculares con sólo fijarnos en sus pendientes, así como calcular ecuaciones de rectas perpendiculares que cumplan determinadas condiciones. Ejemplo 18:

Una recta r tiene de ecuación 2x − y − 3 = 0. Determinar la ecuación de una recta

perpendicular a r que pase por el punto P(−1,3).

Si la recta a calcular ha de ser perpendicular a la que conocemos, sus pendientes deben ser inversas y cambiadas de signo, luego como conocemos la pendiente de r , también podemos conocer la pendiente de cualquier recta perpendicular a ella.

La pendiente de g es + = 2, ya que g ≡ � = 2� − 3. Esto nos permite saber que la

pendiente de cualquier recta perpendicular a g ha de ser i� . Luego ya conocemos la pendiente

de la recta que buscamos, así como un punto por donde pasa /(−1,3), luego nos basta con utilizar la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.

“La condición para que dos rectas sean perpendiculares es que sus pendientes sean inversas y cambiadas de signo.”



� − �7 = +(� − �7) ⟹ � − 3 = − 12 (� + 1) ⟹ � − 3 = − 1

2 � − 12 ⟹ � = − 1

2 � + 52 ⟹ 2�

= −� + 5 ⟹ � + 2� − 5 = 0

Ejemplo 19:

Dadas las rectas 2� + 6� + 7 = 0 y 9� + �� − 1 = 0, determinar el valor de � para que

ambas rectas sean perpendiculares.

Ya conocemos la condición de perpendicularidad (pendientes inversas y cambiadas de signo), pues vamos a determinar las pendientes de ambas rectas: 1ª recta:

2 7 1 7

6 3 6

xy x

− −= = − − . La pendiente sería el coeficiente de la x, es decir, 1

3− . Así,

1

3m = − .

2ª recta:

9 1 9 1xy x

B B B

− += = − + . De igual forma que el caso anterior, 9

mB

= −

Ya hemos calculado las pendientes de ambas rectas pero para que sean perpendiculares sus pendientes han de ser inversas cambiadas de signo, luego procedemos a realizar esa operación, con lo cual nos quedaría:

1 93 9 3

3 9 3

BB B− = ⇒ = − ⇒ = − = −

Luego para que las dos rectas sean perpendiculares, B debe valer -3.

10. CONDICIÓN DE PARALELISMO.

Dos rectas paralelas forman entre ellas un ángulo de 0º, con lo cual:

1 2 1 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2

tg0 0 0 11 1

m m m mm m m m m m

m m m m

− −= ⇒ = ⇒ − = ⇒ ⋅ = − ⇒ =+ ⋅ + ⋅

La expresión anterior la podemos interpretar:

Ejemplo 20:

“La condición para que dos rectas sean paralelas es que tengan la misma pendiente”



Una recta r tiene de ecuación 3 2 5 0x y− + = . Determinar otra recta s, paralela a ella, que pase

por el origen de coordenadas. Analizando el enunciado deducimos que la pendiente de la recta s será la misma que la pendiente de la recta r por ser ambas paralelas y además la pendiente de r la podemos determinar fácilmente. Por otro lado nos dan un punto por donde debe pasar la recta s, luego conociendo un punto por donde pasa s y su pendiente podemos determinar su ecuación mediante la forma punto-pendiente. Primero calculamos la pendiente de r que será la misma que la de s:

3 5 3

2 2

xy m

− −= ⇒ =−

Ya sabemos que s pasa por el origen de coordenadas (0,0) y que tiene como pendiente 3

2, luego:

( ) ( )0 0

3 30 0

2 2y y m x x y x y x− = − ⇒ − = − ⇒ = o 3 2 0x y− =

11. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Consideremos una recta r cuya ecuación general sería 0Ax By C+ + = , y el punto ( )0 0,P x y .

Deseamos conocer la distancia entre ese punto P y la recta r. Si nos fijamos podemos considerar que pueden existir muchas distancias distintas dependiendo del punto de la recta r que consideremos respecto a P.

r r

Vamos a considerar como distancia del punto P a la recta r, a la distancia mínima existente entre ambos, que es la determinada por una recta perpendicular a r trazada desde el punto P.



r La distancia entre el punto P y la recta r será la distancia existente entre dos puntos, el punto P y un punto de la recta r que será el punto de intersección de la misma con la recta perpendicular a ella trazada desde P.

Visto esto, parece lógico que para determinar la distancia entre dos puntos deberemos conocer los dos puntos (las coordenadas de P ya las conocemos). ¿Cómo podemos determinar las coordenadas del punto Q? El punto Q es el punto intersección de la recta r y una perpendicular a ella que pasa por P, luego si supiésemos la ecuación de esta recta (vamos a llamarla s), con solo resolver el sistema de ecuaciones formado por ambas rectas ya tendríamos las coordenadas de Q.

Tenemos el problema de no conocer la ecuación de la recta s. Pero sí podemos conocerla ya que sabemos la ecuación de la recta r y que ambas son perpendiculares, por lo que sus pendientes



son inversas y cambiadas de signo. Es decir, conocemos la pendiente de la recta r, luego la de s será la inversa cambiada de signo. Ya conocemos a pendiente de s, y además conocemos un punto por donde pasa, el punto P de coordenadas x e y, con lo cual mediante la ecuación de la recta en forma punto-pendiente calculamos la ecuación de la recta s. Ahora solo debemos resolver el sistema formado por ambas para conocer el punto de intersección de ambas, Q, y después calcular la distancia entre P y Q, tal como hemos visto al comienzo del tema. Vamos a verlo con un ejemplo concreto: Ejemplo 21:

Calcular la distancia existente entre el punto ( )1,3P − y la recta 2 1 0x y+ − =

Primeramente vamos a representar gráficamente la situación:

La pendiente de la recta r es 1

2− , luego la pendiente de cualquier recta perpendicular a ella será

la inversa cambiada de signo, es decir 2 ( )2m = .

Ahora vamos a calcular la ecuación de la recta s, que es perpendicular a r y pasa por el punto P.

Como sabemos, su pendiente ( )2m = y un punto por donde pasa, ( )1,3P − , hallamos la

ecuación de la recta s en la forma punto-pendiente:

( )3 2 1y x− = + ⇒ 2 5 0x y− + = ecuación de la recta s



Ahora calculamos el punto de intersección de ambas rectas, para lo cual resolvemos el sistema de. ecuaciones formado por ambas:

2 1 0

2 5 0

x y

x y

+ − = − + =

Resolviendo el sistema encontramos que:

9

5x = −

7

5y =

El punto de intersección de las rectas perpendiculares r y s es 9 7

,5 5

Q −

.

Ahora solo nos queda calcular la distancia entre los puntos P y Q: Como recordarás,

( ) ( )2 2 2 2

2 2

2 1 2 1

9 7 4 8( , ) 1 3

5 5 5 5d P Q x x y y = − + − = − + + − = + =

16 64 80 4 5

25 25 25 5= + = =

12. SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO.

En este apartado vamos a intentar determinar el área de un triángulo conociendo únicamente las coordenadas de los vértices. Ya sabemos que el área de un triángulo nos viene dada por la expresión:

1

2A = base·altura

1

2A b h = ⋅

Pues bien, lo que tendremos que hacer es averiguar cuánto valen la base y la altura. Para ello, elegimos un lado como base y calculamos la distancia entre los dos puntos que la determinan, con lo cual ya sabemos lo que mide la base.



En el triángulo de la figura las coordenadas de los vértices serán ( )1 1,A x y , ( )2 2,B x y y

( )3 3,C x y . Vamos a elegir como base el lado AC, con lo cual la medida de la base será la

distancia entre el punto A y el punto C, que pasamos a calcular:

( ) ( )2 2

3 1 3 1( , )d A C x x y y= − + −

Ahora necesitamos conocer la medida de la altura, que en nuestro triángulo y una vez que hemos tomado como base el lado AC, sería la distancia que hay desde el vértice B hasta la recta que contiene al lado AC. El cálculo de esa distancia no lo vamos a hacer aquí por lo dificultoso que resultaría hacerlo de forma general, pero el proceso sería el descrito en el apartado 11 (distancia de un punto a una recta). Una vez que tenemos ambas medidas nos bastaría con aplicar la formula del área de un triángulo. Debemos decir que existe una expresión que nos daría directamente el área de un triángulo conocidas las coordenadas de sus vértices, pero creemos importante que se conozca el proceso lógico por el cual se abordaría esta situación ante el desconocimiento u olvido de la misma. La expresión sería:

( )( ) ( )( )2 1 1 3 1 3 2 1

1

2A x x y y x x y y= − − − − −

Ejemplo 22:

Calcular el área del triángulo cuyos vértices tienen de coordenadas A(3,2), B(6,7) y C(11,3).



El triángulo sería el siguiente:

Ahora debemos calcular h, que sería la distancia del punto B a la recta que contiene al lado AC. Para calcular h, revisa el apartado 11(distancia de un punto a una recta)

1. Calculamos la ecuación de la recta que contiene al lado AC (recuerda la ecuación de la recta que pasa por dos puntos)

2 3 28 13 0

3 11 3

yx y

x

− −= ⇒ − + =− −

es la ecuación de la recta 1

8m⇒ =

2. Calculamos la ecuación de la recta perpendicular a la que contiene al lado AC y que pase

por el punto B:

Su pendiente sería 8m′ = − y pasa por B(6,7), usando la forma punto pendiente:

( )7 8 6 8 55 0y x x y− = − − ⇒ + − =

es la ecuación de la recta que contiene a la altura.

3. Calculamos el punto de corte de ambas rectas perpendiculares:

8 13 0 427 1598 55 0 65 65

x yx y

x y

− + = ⇒ = =+ − =

4. Calculamos la distancia entre el punto de corte de las dos rectas y el vértice B(6,7), que

seria la medida de la altura:

2 2 2 2427 159 37 296

6 765 65 65 65

h− = − + − = + =



88985 1369 37 37 65

4225 65 6565u= = = =

5. Calculamos el área del triángulo:

21 1 37 65 3765 18'5

2 2 65 2A b h A u= ⋅ ⇒ = = =

También podíamos haber procedido aplicando directamente la expresión que nos da el área de un triángulo cuando conocemos las coordenadas de sus vértices:

( )( ) ( )( )2 1 1 3 1 3 2 1

1

2A x x y y x x y y= − − − − − =

( )( ) ( ) ( ) 21 1 376 3 2 3 3 11 7 2 37 18'5

2 2 2u= − − − − − = ⋅ = =



RELACIÓN DE EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 1) Determinar las ecuaciones paramétricas, continua, general y explícita e indicar el valor de la

pendiente de la recta:

a) De dirección dada por ( )2, 3v = −r

y que pasa por el punto ( )4, 2A −

b) Paralela a la anterior pasando por el origen de coordenadas.

c) Perpendicular a la anterior pasando por el punto ( )4, 2A − .

2) Determinar las ecuaciones continua, general y explícita e indicar el valor de la pendiente de la

recta:

a) Que pasa por los puntos ( )3, 1M − y ( )1, 4N −

b) Perpendicular a la anterior que pase por el punto ( )2,0P

3) Determinar las ecuaciones paramétricas, continua y general e indicar la pendiente de la recta:

a) Paralela a la de ecuación 2 3

1 2

x y+ −=−

que pase por el punto ( )1, 1A − .

b) Perpendicular a la anterior pasando por el punto de intersección de las rectas

2 2 0x y− − = y 4 1x y+ =

4) Indicar si los puntos dados pertenecen a la recta que se indica:

a) ( )1, 1A − , ( )2,0B , ( )1,3C − , ( )2,5D − , ( )0, 1E − , ( )3, 5F − a 2 1 0x y+ − =

b) ( )0,3A , ( )2, 1B − , ( )1,0C − , ( )3, 5D − , ( )7,2E − a 2 1

3 1

x y− +=−

5) Sean los puntos ( )2,0A , ( )4,4B y ( )1,3C . Hallar:

a) Ecuación general de la recta que pasa por A y B.

b) Distancia entre A y B, y distancia de C a la recta que pasa por A y B.

c) Área del triángulo formado por los puntos A, B y C a partir de lo anteriormente obtenido.

6) Hallar el valor de “d” para que la recta 3 5 0x dy+ − = pase por el punto ( )1,2A − .

7) Halla la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas

2 3 13 0x y− + = y 5 4 2x y+ = y sea perpendicular a la recta 2 4 3 0x y+ − =

8) Halla la ecuación de la recta que forma un ángulo de 30º con el sentido positivo del eje OX y

pasa por el punto ( )2,1P −



9) Hallar el ángulo que forman entre si las rectas:

a) 1

25

xy

− = +−

y 2 2

3

x t

y t

= − =

b) 3 4 0x y+ − = y 3 7 0x y− − =

10) Hallar el valor que debe tomar “a” para que la recta 3 2 0ax y+ − = forme con la de ecuación

2 3 0x y− + = un ángulo cuyo coseno sea 2

5

11) Determinar “a” y “b” sabiendo que las rectas 2 3 0x y b+ − = y 6 1 0x ay− − = son

perpendiculares y la primera pasa por el punto (1,0).

12) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a 2 3 7 0x y− + = que la corte en el punto medio

del segmento que sobre ésta interceptan los ejes de coordenadas.

13) Una recta de ecuación 2 9x y+ = es mediatriz de un segmento AB , donde A(2,1). Hallar las

coordenadas de B.

14) Sean las rectas ( )2 1 3 0mx m y+ − + = y ( ) ( )4 7 2 8 0m x m y− − + − = ; determinar:

a) El valor de m para que sean perpendiculares.

b) El valor de m para que sean paralelas y la distancia. entre ellas para m∈� .

15) Un triángulo tiene por vértices ( )4, 7A − , ( )6,3B y ( )2,5C − . Calcular su área y la del

triángulo que resulta de unir los puntos medios de sus lados. ¿Qué relación hay entre ambas superficies?

16) Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo cuyos lados están sobre las rectas

5 2 1 0r x y≡ − + = , 5 9 0s x y≡ − − = y 4 3 13 0t x y≡ + − = . Obtener el área del triángulo.

17) Calcular “m” y “n” para que las rectas 2 5 0mx y− + = y 6 8 0nx y+ − = sean

perpendiculares y la primera pase por el punto ( )1,4P .

18) Determinar el valor de “k” para que las rectas 3 2 8 0x y+ − = y 5 0kx y− + = formen entre

sí un ángulo de 45º

19) Dada la recta de ecuación 2 3

5 3

x y− += , determina dos puntos de la misma, un vector

director y las ecuaciones paramétricas y segmentaria.

20) Dada la recta de ecuación 4 3 0x y+ − = , halla un punto de dicha recta, un vector director, su

pendiente y la ecuación continua.



21) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto ( )3,2P y es paralela a la recta

5 4 20 0s x y≡ + − = , y hallar la ecuación de la recta r′ , que pasando por el punto P sea

perpendicular a la recta s.

22) Dado el triángulo de vértices ( )1,2A , ( )3, 1B − y ( )1, 2C − − , hallar:

a) La ecuación de la mediatriz correspondiente al lado AB. b) La ecuación de la recta que contiene a la altura que pasa por A. c) La ecuación de la mediana que pasa por el vértice B.

23) Hallar el ángulo formado por dos rectas: 2 3 5 0x y+ − = y 3 5 7 0x y− + = (De dos formas:

utilizando el coseno y utilizando la tangente).

24) ¿Serán perpendiculares las rectas 5 4 2 0x y− + = y 5 1y x= + ? ¿Y paralelas?

25) En el triángulo de vértices ( )2,2A , ( )5, 3B − y ( )3,6C . Calcular:

a) La longitud de la altura que pasa por el vértice A. b) La longitud de la mediana que pasa por B. c) El área del triángulo.

26) Hallar el punto simétrico del ( )3,2A respecto al punto ( )4,2P −

27) Hallar el punto simétrico de ( )5,2A respecto a la recta 5 0x y+ − =

28) En el paralelogramo ABCD los vértices conocidos son ( )6,2A , ( )0, 1B − y ( )2,6C

.Obtener las coordenadas del vértice D.

29) Sea la recta 7 4 0x y+ − = . Determinar los puntos de intersección de esta recta con los ejes

de coordenadas y la ecuación segmentaria de dicha recta.

30) Un rectángulo ABCD tiene por base el segmento AB que la recta 3 6 0x y+ − = intercepta

con los ejes de coordenadas, siendo el vértice D el punto ( )2,8 . Determinar los otros tres

vértices, el perímetro del rectángulo y su área.

31) Hallar la ecuación de una recta que pase por el origen de coordenadas y forme con la recta

2 0x y− + = un ángulo de 60º.

32) Calcular el valor de “m” para que las rectas 3 1y x= − + y 2 3 0mx y+ − = sean:

a) Paralelas.

b) Perpendiculares.

c) Formen un ángulo de 30º



33) Sea un paralelogramo ABCD , en el que el lado AB está sobre la recta 2 4y x= + , y el lado

BC sobre una recta de pendiente 1

2− , siendo ( )2,8A y ( )5, 1C − . Determinar los dos otros

vértices, el centro del paralelogramo y su área.

34) En el triángulo de vértices ( )1,1A , ( )5,2B y ( )4,2C − , hallar:

a) Ecuación de la recta que contiene al lado BC

b) Ecuación de la recta que contiene a la altura que pasa por C

c) Ecuación de la mediana que pasa por el vértice A

d) Ecuación de la mediatriz correspondiente al lado AC

e) Longitud de la altura que pasa por A y de la mediana que pasa por C

f) Perímetro y superficie del triángulo.

35) Un paralelogramo tiene su centro en el punto ( )2,3M y dos de sus lados están sobre las

rectas 2y x= e 1

2y x= . Hallar sus vértices y su área.

36) Las rectas 3 4 8 0x y+ − = y 5 6 3 0x y+ − = junto con los ejes de coordenadas forman un

cuadrilátero. Se pide su perímetro y su superficie.

37) Calcular el valor de k y de m para que la recta 2 1

2

x y

k

− += pase por el punto ( )5, 3− y sea

perpendicular a la recta 4y mx= − .



PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA.

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector determinado por esos dos puntos y que viene dado por la expresión:

( ) ( ) ( )2 2

2 1 2 1,d A B x x y y= − + −

Sustituyendo las coordenadas de los puntos en la anterior ex presión obtenemos:

( ) ( ) ( )2 2 2 210 4 7 1 100 4 36 8 48 0a a a a= − + − ⇒ = − + ⇒ − − =

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos como valores de a:

1 12a = y 2 4a = −

Lo cual nos indica que a puede tomar dos valores distintos y en ambos casos se cumpliría la condición exigida, como podemos ver en la gráfica.

La solución es:

1) Dados los puntos ( ),1A a y ( )4,7B , calcular a para que la distancia existente

entre ellos sea igual a 10 unidades.

4a = −

12a = −



Evidentemente para que los segmentos PR y RQ sean iguales, las distancias de P a R y de R

a Q deben ser iguales, por lo que R es el punto medio del segmento PQ . Por lo tanto

hallamos el punto medio del segmento PQ .

1 2 3 1 21

2 2 2m

x xx

+ −= = = = 1 2 6 2 84

2 2 2m

y yy

+ += = = =

El triángulo sería

2) Dados los puntos ( )3,6P y ( )1,2Q − , determinar un punto R alineado con

ellos tal que PR RQ= .

3) Calcular las longitudes de las medianas de un triángulo cuyos vértices son los puntos ( )2,2A , ( )6,2B y ( )4,8C .



Como ya sabemos, las medianas son las rectas que unen cada vértice del triángulo con el punto medio de sus respectivos lados opuestos. Por lo tanto deberemos hallar las coordenadas de los puntos medios de cada lado y después hallar las distancias desde ellos a sus vértices opuestos. .Hallamos los puntos medios: Punto medio del lado AB

1 2 2 6 84

2 2 2m

x xx

+ += = = = 1 2 2 2 42

2 2 2m

y yy

+ += = = = ( )4,2ABM⇒

Punto medio del lado AC

1 2 2 4 63

2 2 2m

x xx

+ += = = = 1 2 2 8 105

2 2 2m

y yy

+ += = = = ( )3,5ACM⇒

Punto medio del lado BC

1 2 6 4 105

2 2 2m

x xx

+ += = = = 1 2 2 8 105

2 2 2m

y yy

+ += = = = ( )5,5BCM⇒

Una vez determinados los puntos medios de cada lado deberemos hallar la distancia desde cada uno de esos puntos a los vértices opuestos, con lo cual tendremos las longitudes de las tres medianas del triángulo.

Longitud de la mediana sobre el lado AB



Será la distancia entre los puntos ( )4,8C y el punto medio del lado AB, ( )4,2ABM

( ) ( ) ( )2 2, 4 4 8 2 6ABd C M u= − + − =

Longitud de la mediana sobre el lado AC

Será la distancia entre el punto ( )6,2B y el punto medio del lado AC, ( )3,5ACM

( ) ( ) ( )2 2, 6 3 2 5 18 3 2ACd B M u= − + − = =

Longitud de la mediana sobre el lado BC

Será la distancia entre el punto ( )2,2A y el punto medio del lado BC, ( )5,5BCM

( ) ( ) ( )2 2, 2 5 2 5 18 3 2BCd A M u= − + − = =

Debemos hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección de otras dos rectas. Para determinar cuál es ese punto deberemos resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos rectas.

2 3 13 0

5 4 2

x y

x y

− + = + =

Resolvemos el sistema obteniendo: 2x = − 3y =

Luego la recta buscada debe pasar por el punto (-2,3). Además de pasar por ese punto, la recta buscada debe ser perpendicular a la recta de ecuación

2 4 3 0x y+ − = , por lo que su pendiente debe ser inversa y cambiada de signo a la de esta

última. Hallamos la pendiente de la recta 2 4 3 0x y+ − = , para lo cual la expresamos en forma

explícita, con lo que la pendiente sería el coeficiente de la “x”:

2 3

4 4y x= − +

La pendiente de la recta a la que debe ser perpendicular la que buscamos es 1

2− , luego la

pendiente de la nuestra debe ser la inversa cambiada de signo, es decir 2.

4) Halla la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas 2 3 13 0x y− + = y 5 4 2x y+ = y sea perpendicular a la recta 2 4 3 0x y+ − =



Ya conocemos un punto por donde pasa nuestra recta, ( )2,3− y también conocemos su

pendiente ( )2m = , con lo cual la podemos determinar mediante la ecuación de la recta en

forma punto-pendiente:

( )0 0y y m x x− = −

Sustituyendo:

( )3 2 2y x− = + , que en forma explicita es: 2 7y x= +

La solución es:

Ya sabemos que si dos rectas son paralelas sus pendientes deben ser iguales. También conocemos que si dos rectas son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Por tanto vamos a determinar las pendientes de ambas rectas y ver si cumplen alguna de la condiciones anteriores.

La pendiente de 5 4 2 0x y− + = es 5

4m = (Ponla en forma explícita y compruébalo)

La pendiente de 5 1y x= + es 5m =

Luego nuestras rectas no son paralelas ni perpendiculares, pues sus pendientes ni son iguales ni son inversas cambiadas de signo.

La ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 2 3 13 0x y− + = y 5 4 2x y+ = y es perpendicular a la recta 2 4 3 0x y+ − = es:

2 7y x= +

5) ¿Serán perpendiculares las rectas 5 4 2 0x y− + = e 5 1y x= + ? ¿Y paralelas?

6) Calcular el valor de “m” para que las rectas 3 1y x= − + y 2 3 0mx y+ − = sean:

a) Paralelas. b) Perpendiculares c) Formen un ángulo de 30º



SOLUCIÓN APARTADO A Para que ambas rectas sean paralelas deben tener la misma pendiente. La pendiente de la

primera recta es 2

m− (Compruébalo poniendo su ecuación en forma explícita). La pendiente

de la segunda recta es -3. Para que ambas sean paralelas debe ocurrir:

3 62

mm− = − ⇒ − = − ⇒ 6m =

SOLUCIÓN APARTADO B Para que dos rectas sean perpendiculares sus pendientes deben ser inversas y cambiadas de signo.

Del apartado anterior conocemos las pendientes de ambas rectas y 32

m − −

, con lo cual

para que sean perpendiculares debe ocurrir:

1

2 3

m− = ⇒2

3m = −

SOLUCIÓN APARTADO C El ángulo formado por dos rectas nos viene dado por la expresión:

1 2

1 2

tg1

m m

m mα −=

+, siendo 1m y 2m las pendientes de las rectas.

Sustituyendo en esta expresión las pendientes de nuestras dos rectas y la tangente de 30, podemos despejar m:

( )1 2

1 2

6 63 6 6 32 2 2tg30

3 2 31 2 3 2 3 31 3 12 2 2

m m mm m m m

m m mm m m m

− −− +− − −= = = = = ⇒ = ⇒−+ − −+ − ⋅ −

( )3 18 2 3 3 3 3 3 3 2 3 18 3 3 3 2 3 18m m m m m⇒ − = − ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒

( )( )

( )( )( )( )

2 3 9 2 3 9 1 32 3 18

3 3 3 3 1 3 3 1 3 1 3m

+ + −+= = = =+ + + −

( )( )( )

( )2

2

2 3 3 9 9 3 2 6 8 3 8 3 62'62

6 33 1 3

− + − − −= = =−−

�

geometría analítica matemáticas i

Documents