Matemáticas I1º

BACHILLERATO

Expresiones algebraicas

resto–(– 3x2 – 2x + 4)Se resta (–1) . D

cociente

Cociente delos términosde mayor grado

Cociente delos términosde mayor grado

x3

Cociente de polinomios

Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales que P = Q. D + R siendo grado(R) < grado(D)

Algoritmo de la división

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4– (3x5 + 2x4 –4x3)

6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6

Primer paso

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3– (3x5 + 2x4 –4x3)6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6

Segundo paso

– (6x4+ 4x3 – 8x2)– 3x2 – 3x + 6

3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4

x3 + 2x2– (3x5 + 2x4 –4x3)6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6

– (6x4– 4x3 – 11x2)– 3x2 – 3x + 6

Tercer paso

– x + 2

Se resta x3 . D

Se resta 2x2 . D

+ 2x2

Cociente delos términosde mayor grado

– 1

1

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Expresiones algebraicas Raíces de un polinomio

Un número a es una raíz o un cero del polinomio P, si P(a) = 0

Raíces enteras: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente

• Si a es raíz entera de P = Ax3 + Bx2 + Cx + D, entonces: P(a) =Aa3+Ba2+Ca+D=0• Por tanto: D = – (Aa3 + Ba2 + Ca ) = – a (Aa2 + Ba + C )• Como D es entero, a es entero y Aa2 + Ba + C es entero, entonces a divide a D

Teorema del resto: el resto de dividir un polinomio P entre x – a es P(a)

• Al dividir P entre x – a se obtiene: P=Q . (x – a) + r, con grado(r)<grado (x–a)= 1• Luego r es una constante, y tendremos: P(a) = Q . (a – a) + r: es decir P(a) = r

Se deduce que: a es raíz de P P es divisible por x – a

2

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Expresiones algebraicas

r

se suma

se multiplica por a

Regla de Ruffini

Para dividir un polinomio P= 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se aplica la Regla de Ruffini

Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12

a 2

Se opera:2 – 6 – 4 12

22

4

–2

– 4

–8

– 16

– 4

Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)

3

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Expresiones algebraicas Factorización

• Si P = Q . S se dice que los polinomios Q y S son factores de P• Teorema del factor: si x – a es factor de P, entonces a es raíz de P

La demostración es inmediata teniendo en cuenta que si x– a es factor de P entonces P = (x – a) . Q, de donde se deduce que P(a) = 0

Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4

1.– Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 – 2x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. La regla de Ruffini nos permite encontrar cuáles de ellos son ceros del polinomio.

1 0 –2 4–2 –2 4 –4

1 –2 2 0

2.– Por tanto P = (x + 2) (x2 – 2x + 2)

3.– Intentamos descomponer x2 – 2x + 2. Como la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales, en R no es posible descomponer más este polinomio.

4.– Pero queremos descomponer el polinomio en C, al resolver dicha ecuación obtenemos dos soluciones: 1 + i y 1 – i.

Por tanto: x3 – 2x + 4 = (x + 2).(x – 1 – i) (x – 1 + i) 4

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemasInterpretación geométrica de las soluciones de una ecuación de 2º grado

• Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son equivalentes a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a 0

Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación cuadrática tendrá dos, una o ninguna solución.

x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: i. No tiene soluciones reales: la parábola no

corta al eje x

y = x2 +1 y = (x +2)2

(x + 2)2 = 0 tiene una solución doble: –2. El

polinomio tiene una raíz real doble. La parábola

corta al eje x en un punto

x2 –2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos raíces reales distintas. La parábola corta al eje x en dos puntos

X

Y

y = x2 – 2

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemasNúmero de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

5x + y = 13 x + y = 1 Es un sistema con solución única.

x + y = 1x + y = 2 Es un sistema sin solución.

2x + 2y = 2 x + y = 1 Es un sistema con infinitas soluciones.

X

Y

x + y = 1

5x + y = 13

X

Y

x + y = 1 x + y = 2

X

Y

x + y = 12x + 2y = 2

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Sistemas de ecuaciones no lineales

• No hay un método general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no lineales.

• Pueden tener cualquier número de soluciones, en número finito o infinito.• Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es

encontrar todos los puntos en común a las rectas – curvas que forman el sistema

X

Y

• •

El sistema tiene dos soluciones: • x = 3, y = 4• x = 4, y = 3

Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en común que tienen la circunferencia x2 + y2 = 25, y la recta x + y = 7

x2 + y2 = 25x + y = 7

Ejemplo• Se despeja y de la segunda ecuación y se

sustituye en la primera.• Se obtiene: x2 – 7x + 12 = 0• Al resolver: x=3, x = 4• Sustituimos estos valores de x en la

segunda ecuación y se obtiene: y = 4, y = 3

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemasResolución de sistemas de ecuaciones lineales: método de Gauss

x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 6z = -1

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 - 3y + 10z = -19

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 2z = -5

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

(2ª ec) (–1) + 3ª ec

x = 9+2-5 = 6

y = 20 -14

-3 = -2

z = -52

x = 6y = -2

z = -52

Se despejan incógnitas hacia

arriba

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14

z = -52

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemasUn sistema de ecuaciones lineales sin solución

x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 4z = -1

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 - 3y + 8z = -19

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = -5

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

(2ª ec) (–1) + 3ª ec

La ecuación 0 = – 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no tiene solución. Como el sistema original es equivalente,

tampoco tiene solución.

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemasUn sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones

x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 4z = 4

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = 0

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

• La ecuación 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obteniéndose con ello un sistema equivalente al original. Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = –1), podemos obtener las otras incógnitas por sustitución hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solución: x= 5, y = 2, z = –1

• Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Inecuaciones de primer grado

• Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado.

• Puede ocurrir que: Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solución. Las que no están en ninguno de los casos anteriores son

equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, o x a

Ejemplos:

2x + 3 < 5x + 2 x > 1/3

1/3Soluciones: (1/3,+)

3 – 2x < 5 – 2x 0 < 2 Como esto es siempre cierto, son son solución todos los números reales. Soluciones: (– ,+)

5 – 3x 2 – 3x 3 0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Inecuaciones polinómicas

• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no

nulo que dependerá del signo de los factores.

Ejemplo: 2x2 – 2x + 1 x2 + 2x – 2 x2 – 4x + 3 0 (x – 1) . (x – 3) 0

x – 1

x – 3

(x – 1)(x – 3)

–

–

+

+

–

–

+

+

+

Soluciones: (–, –1] [1, + )

31Los puntos que son solución aparecen de color azul.

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Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Inecuaciones racionales

• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no

nulo que dependerá del signo de los factores.• Los ceros de los polinomios denominador no son soluciones porque no es posible la

división por 0.

Ejemplo: x – 4x + 3 0

4–3

x – 4

x + 3

(x – 4)/(x +3)

–

–

+

–

+

–

+

+

+

Los puntos que son solución aparecen de color azul.

Soluciones: (–, –3) [4, + )13

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