at00177501 02 mates2bach ccss t01 mec - … sistemas lineales_tema.pdfx + y – z = 0 2x – 3y + z...

I bloqueTartaglia (1499/1500-1557)

Cardano (1501-1576)

Viète (1540-1603)

Descartes (1596-1650)

Maclaurin (1698-1746)

Cramer (1704-1752)

Euler (1707-1783)

Laplace (1749-1827)

Gauss (1777-1855)

Tartaglia desarrolla fórmulas para la búsqueda deecuaciones de tercer grado (1535).

Viète crea un sistema único de símbolos algebrai-cos organizados con el que puede expresarse unaecuación y sus propiedades mediante fórmulas(1591).

Descartes inicia la geometría analítica y se centraen la aplicación del álgebra para ciertos proble-mas geométricos (1637).

Euler resuelve el problema conocido como pro-blema de los puentes de Königsberg (1736).

Gauss prueba rigurosamente el teorema funda-mental del Álgebra (1799).

Jacobi establece la teoría de los determinantes fun-cionales –jacobianos– (1840).

Sylvesterusa por primera vez el término «matriz» (1850).

•1453• Caída de Constantinopla.

•1517• Reforma protestante.

•1558• Subida de Isabel I de Inglaterra al trono.

•1609• Telescopio de Galileo.

•1660• Restauración monarquía en Inglaterra.

•1702• Comienzo de la guerra de la reina Ana.

•1859• Darwin: El origen de las especies.

Neumann es considerado el padre de la teoría dejuegos.Publica Teoría de juegos y comportamientoeconómico (1944).

•1936• Sublevación contra el gobierno legítimo de la Segunda República Española.

Cardano introduce un método regular para resolver ecuaciones de tercer grado (1545).

Maclaurinestablece lo que después popularizó Ga-briel Cramer como regla de Cramer (1748).

Grassmann inicia el análisis vectorial (1844).

Cayley define de forma abstracta la suma y la mul-tiplicación de matrices (1858).

Frobenius define «rango de una matriz» (1878).

Dantzig presenta el problema de la programaciónlineal y el método del simplex (1947).

•1718• Termómetro de Fahrenheit.

•1742• Termómetro centígrado.

•1767• Máquina vapor perfeccionada de Watt.

•1776• Declaración de Independencia delos Estados Unidos.

•1789• La Revolución Francesa.

•1804• Napoleón es coronado emperador.

•1815• Batalla de Waterloo.

•1869• Apertura del canal de Suez.

•1939• Estalla la II guerra mundial.

1500

1550

1600

1650

1700

1750

1800

1850

1900

1. Sistemas lineales2. Matrices3. Determinantes4. Sistemas lineales con parámetros5. Programación lineal

E l álgebra lineal es una parte de las matemáticas de gran utilidad hoy en díagracias a sus modelos matemáticos. Las matrices son una herramienta pode-

rosa para construir modelos que nos permiten resolver problemas de muy distin-ta índole. Por ejemplo:

– Modelos matemáticos algebraicos que se utilizan para estudiar la inversión deun capital y diversificar el riesgo de dicha inversión.

– Modelos matriciales que estudian la evolución de una población.

– Modelos para estudiar la producción de distintos sectores.

– Modelos con matrices utilizadas en informática para la búsqueda de páginas.Los buscadores que se utilizan a diario en Internet están basados en un mode-lo de estas características.

– Modelos con matrices de grafos –itinerarios– para ordenar y optimizar los trans-portes de aviones, barcos, trenes, etcétera.

Como se puede ver, son muchos los ámbitos en los que el álgebra lineal es unaherramienta básica en nuestros días.

ÁlgebraÁlgebra

Cauchy (1789-1857)

Jacobi (1804-1851)

Hamilton (1805-1865)

Grassmann (1809-1877)

Sylvester (1814-1897)

Cayley (1821-1895)

Frobenius (1849-1917)

Neumann (1903-1957)

Dantzig (1914-2005)

1 Sistemas lineales

Álgebra

Introducción

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones linea-les. Los sistemas lineales son una herramienta poderosa para traducir si-tuaciones problemáticas al lenguaje algebraico y resolverlas fácilmen-te. Para resolver los sistemas lineales se utiliza el método de Gauss.

Las ecuaciones se pueden interpretar en el plano y en el espacio. Un sis-tema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos rectas enel plano. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas son tres planos en el espacio.

En la fotografía se observan dos edificios cuyas fachadas pueden ase-mejarse a planos en el espacio que se cortan dando origen a rectas.

Organiza tus ideas

el método de Gaussel método de Gauss

heterogéneos homogéneos

(compatibles)

incompatibles compatibles

determinados indeterminados

se resuelven por

y se clasifican en

gráficamente

plano espacio

se interpretan

en el

Sistemas lineales

13

Álgebra

14

■ Piensa y calcula

Resuelve mentalmente el siguiente sistema:°§¢§£

2x + y – z = 0y + z = 6

z = 2

1. Sistemas de ecuaciones lineales

1.1. Clasificación de los sistemas

Los sistemas pueden ser:

Sistema escalonadoUn sistema escalonado es aquel que no tiene términos debajo de la diagonal delas incógnitas.

Ejemplo

1.2. El método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones enotro equivalente y escalonado:a) Se eliminan las ecuaciones que sean combinación lineal de las otras.b) Se intercambian las ecuaciones y las incógnitas, de forma que el primer

coeficiente de la primera incógnita de la primera ecuación sea el númeromás sencillo, a poder ser 1 o –1

c) Se hacen las transformaciones que permiten conseguir un sistema equiva-lente escalonado, y se resuelve.

d) Si quedan más incógnitas que ecuaciones, se pasan las incógnitas sobrantesal 2º miembro y se resuelve en función de ellas.

°§¢§£

3x + y – 2z + t = 4y + 5z – t = 9

4z + 2t = 6

°§¢§£

2x + y – z = 7y + 2z = 5

z = 2

a) Sistema compatible: sistema que tiene solución.• Sistema compatible determinado: sistema que tiene una única solución.• Sistema compatible indeterminado: sistema que tiene un número infi-

nito de soluciones.b) Sistema incompatible: sistema que no tiene solución.

Sistema lineal heterogéneoUn sistema lineal heterogéneo es aquel en el que no todos los términos in-dependientes son nulos.

Sistema lineal homogéneoUn sistema lineal homogéneo es aquel en el que todos los términos inde-pendientes son nulos.

Ejemplo

Sistema heterogéneo

Sistema homogéneo

°§¢§£

x + y – z = 0

2x – 3y + z = 0

3x + y + 2z = 0

°§¢§£

x + 2y – z = 2

3x – 4y + z = 0

x – y + 2z = 8

Sistemas equivalentesDos sistemas son equivalentes sitienen las mismas soluciones.

Las transformaciones que permi-ten obtener sistemas equivalen-tes son:

a) Multiplicar o dividir todos lostérminos de una ecuación porun mismo número distinto decero.

b) Eliminar ecuaciones que seancombinaciones lineales de lasotras ecuaciones.

c) Sustituir una ecuación por otraque sea combinación lineal deella con las restantes.

Tema 1. Sistemas lineales

15

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss y clasifícalo:

Se permuta la 1ª fila con la 2ª, y se escriben a la derecha las operaciones quehay que realizar:

ò ò

ò ò ò

ò

La solución del sistema es x = 2, y = 3, z = 1

El sistema es heterogéneo compatible determinado.

x = 2

y = 3

z = 1

°§¢§£

x + 7 = 9y = 3z = 1

y = 3

°§¢§£

x + 2y + 1 = 95y + 4 = 19

z = 1z = 1

°§¢§£

x + 2y + z = 95y + 4z = 19

5z = 5

2ª – 3ª

°§¢§£

x + 2y + z = 95y + 4z = 195y – z = 14

3 · 1ª – 2ª

2 · 1ª – 2ª

°§¢§£

x + 2y + z = 93x + y – z = 82x – y + 3z = 4

°§¢§£

3x + y – z = 8x + 2y + z = 9

2x – y + 3z = 4

1

1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gaussy clasifícalos:

a) b)


a) b)


a) b)


a)b) °

§§¢§§£

x + 2z = 33x + y + z = –1

2y – z = –2x – y – 2z = –5

°§¢§£

–x – y = 03x + 2y = 0

y + z = 0

°§¢§£

8x + 3y + 2z = 42x – y = 02x + 2z = 1

°§¢§£

2x + y + 4z = 1–x + 2y – 2z = 1

y + z = 2

°§¢§£

2x + y + z = 1x + 2y + z = 2x + y + 2z = 4

°§¢§£

x + y + 2z = 32x – y + z = 9x – y – 6z = 5

°§¢§£

x – y + z = 13x + y – 2z = 5x – 2y + z = 0

°§¢§£

x + 2z = 0x + y + 2z = –1

2x + 3y = 1

● Aplica la teoría

Consejo prácticoPoner en cada paso, a la derechade la ecuación, la combinación lineal que se realiza,mejora los cál-culos y ayuda al repasar las ope-raciones.

Evitar erroresCada ecuación solo se puede ope-rar con las anteriores.

El valor z = 1 se sustituye en la1ª y 2ª ecuación y se calcula elvalor de y en la 2ª ecuación.

El valor y = 3 se sustitu-ye en la 1ª ecuación, parapoder calcular x

Álgebra

16


Indica el número de soluciones que tienen los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) b) c) °¢£

x + y = 1x – y = 1

°¢£

x + y = 12x + 2y = 5

°¢£

x + y = 12x + 2y = 2

2. Estudio de los sistemas

2.1. Discusión de los sistemas

Ejercicio resuelto

Resuelve y discute el siguiente sistema:

Se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar:

ò ò

ò ò

La solución del sistema es x = z/2, y = z/2

El sistema es homogéneo compatible indeterminado.

x = z/2°¢£

x + z/2 = zy = z/2y = z/2

°¢£

x + y = z2y = z

°¢£

x + y – z = 02y – z = 0

°§¢§£

x + y – z = 02y – z = 02y – z = 0

4 · 1ª – 2ª

3ª – 3 · 1ª

°§¢§£

x + y – z = 04x + 2y – 3z = 03x + 5y – 4z = 0

°§¢§£

x + y – z = 04x + 2y – 3z = 03x + 5y – 4z = 0

2

Discutir un sistema consiste en clasificarlo:

DeterminadoCompatible

Heterogéneo IndeterminadoSistema Incompatible

Homogéneo Determinado(Compatible) Indeterminado

Al resolver un sistema por el método de Gauss, éste se clasifica según se ob-tenga:a) Una solución ò Compatible determinado.b) Menos ecuaciones que incógnitas ò Compatible indeterminado.c) 0 = N siendo N é�, N ? 0 ò Incompatible.

Se pasan los términos de laz al 2º miembro.

Se elimina la 3ª ecuación por-que es igual que la 2ª

°¢£

°¢£

°¢£

°§§§¢§§§£

Solución trivialUn sistema homogéneo es siem-pre compatible porque tiene la so-lución trivial,que es aquella en la quetodas las variables son ceros.


17

En la solución del sistema, las incógnitas están en función de z. Si se le da a zun valor variable, z = l, la solución se expresa en función de ese valor, obte-niéndose las ecuaciones paramétricas:

x = l/2, y = l/2, z = l con l é�

Si se le dan a l distintos valores, se obtienen las soluciones particulares delsistema:

Si l = 0 ò x = 0, y = 0, z = 0, que es la solución trivial.

Si l = 1 ò x = 1/2, y = 1/2, z = 1

Si l = 2 ò x = 1, y = 1, z = 2

……………………………

Ejercicio resuelto

Resuelve y discute el siguiente sistema:


ò ò

ò

Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 3, que es imposible.

El sistema no tiene solución.

El sistema es heterogéneo incompatible.

°§¢§£

x + y + z = 12y – 4z = 5

0 = 3

2ª – 2 · 3ª

°§¢§£

x + y + z = 12y – 4z = 5y – 2z = 1

2ª – 3 · 1ª

3ª – 1ª

°§¢§£

x + y + z = 13x + 5y – z = 8x + 2y – z = 2

°§¢§£

x + y + z = 13x + 5y – z = 8x + 2y – z = 2

3

5. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) b)


a) b)


a) b)


a)b)


a) b)


a) b) °§¢§£

x – y = zx + z = yy – z = x

°§¢§£

2x + y – z = 0x – y – z = 0

3x – 2z = 0

°§¢§£

3x + y – 2z = –8x + 2y + z = –1

2x – 3y + z = –3

°§¢§£

3x – y + 2z = 1x + 4y + z = 1

2x – 5y + z = –2

°§¢§£

x + 2y – 2z = 1–x – 3y + z = 63x + y + z = 2

°¢£

x + y + z = 02x + y + 2z = 0

°§¢§£

4x + y + 2z = 02x + y = 0x + z = 0

°§¢§£

–3x + y + 4z = 1–x – 3y – 2z = 1

y + z = –3

°§¢§£

x – 3y + z = 12x – y – 3z = 2x + y – 3z = 3

°§¢§£

x + y + 4z = 1–x + y – 2z = 1

y + z = 1

°§¢§£

x + z = –1x + y = 0x + z = –1

°§¢§£

x + 2y – z = 6x + y + 2z = 7

2x – y – z = 3


Solución en ecuacionesparamétricasLa solución de un sistema enecuaciones paramétricas se ob-tiene al escribir las incógnitas enfunción de unos parámetros.

Los parámetros se suelen repre-sentar con las letras griegas l(lambda) y µ (mu).

Álgebra

18


Representa en el plano las rectas del siguiente sistema e interprétalo gráficamente:°¢£

x + y = 0x – y = 0

3. Interpretación gráfica

3.1. Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas

Ejercicio resuelto

Resuelve gráficamente, clasifica e interpreta el siguiente sistema:

Se representan las rectas y se observa que el sistema es compatible determina-do. La solución es x = – 1, y = 2

3.2. Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas

Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio.

°¢£

x + 2y = 34x + y = –2

4

Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano.

Y

XP(–1, 2) x + 2y = 3

4x + y = –2

ClasificaciónSistema compatible

determinado

Interpretacióngráfica

Rectas secantes

Y

P(–1, 3)

X

Sistema incompatible

Rectas paralelas

Y

X

Sistema compatibleindeterminado

Rectas coincidentes

Y

X

ClasificaciónSistema compatible

determinado

Interpretacióngráfica

Los tres planos se cortan enun punto que es la solu-ción.

P

Sistema compatibleindeterminado

El sistema se reduce a dosecuaciones o a una.a) La solución es una recta.

b) La solución es un plano.

recta

Sistema incompatible

Los tres planos no tienenningún punto en común.Por ejemplo:


19

Ejercicio resuelto

Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente el si-guiente sistema:

Se elimina la 2ª ecuación porque es 4 · 1ª

Se elimina la 3ª ecuación porque es –3 · 1ª

El sistema se reduce a una ecuación:

2x – y + z = 3 ò z = 3 – 2x + y

La solución en función de parámetros es:

x = l, y = µ, z = 3 –2l + µ; l, µ é�

Al dar valores a l y m se obtienen los infinitos puntos de un plano. El sistemaes heterogéneo compatible indeterminado.

Ejercicio resuelto

Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente el si-guiente sistema:


ò ò

Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 11, que es imposible.

El sistema no tiene solución. Es un sistema heterogéneo incompatible.

°§¢§£

x – y + z = 22y – 4z = 2

0 = 112ª – 3ª

°§¢§£

x – y + z = 22y – 4z = 22y – 4z = –9

2ª – 1ª

3ª – 3 · 1ª

°§¢§£

x – y + z = 2x + y – 3z = 4

3x – y – z = –3

°§¢§£

x – y + z = 2x + y – 3z = 4

3x – y – z = –3

6

°§¢§£

2x – y + z = 38x – 4y + 4z = 12

–6x + 3y – 3z = –9

5

11. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpre-ta gráficamente los siguientes sistemas:

a) b)




°§¢§£

3x + 2y + 2z = 153x – 2y – 2z = –1–x + 3y + 3z = 3

°§¢§£

2x – y + 3z = 1x + 2y – z = 1x + y – 6z = –10

°§¢§£

x + y + z = 3x + y – z = 3

z = 0

°¢£

2x – y = 34x + y = 3

°¢£

3x + y = 43x + y = 2


InterpretacióngráficaLas tres ecuaciones representanel mismo plano.

InterpretacióngráficaLos tres planos no tienen ningúnpunto en común. Forman una su-perficie prismática.

Álgebra

20


Plantea un sistema de ecuaciones para resolver el siguiente enunciado:

«Encuentra dos números cuya suma sea 14 y el doble del mayor menos el menor sea 10»

4. Resolución de problemas

4.1. Procedimiento de resolución de problemas

Ejercicio resuelto

Encuentra dos números cuya suma sea 35 y que sean proporcionales a 2 y 3

a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas

1er número: x

2º número: y

Los números suman 35

Los números son proporcionales a 2 y 3

Hay que hallar los números.

b)Manos a la obra

ò

Resolviendo el sistema por sustitución:

Si x = 14 ò y = 35 – x ò y = 35 – 14 = 21 ò x = 14, y = 21

c) Solución y comprobación

Los números son 14 y 21

°§¢§£

14 + 21 = 3514 21— = —2 3

3x – 2(35 – x) = 0 òò 3x – 70 + 2x = 0 òò 5x = 70 òò x = 14

y = 35 – x°¢£

x + y = 353x – 2y = 0

°¢£

x + y = 353x = 2y

°§¢§£

x + y = 35x y— = —2 3

7

Para resolver un problema, se debe leer el enunciado tantas veces como sea ne-cesario, hasta identificar cuáles son las incógnitas, los datos, las relaciones ylas preguntas.En los problemas geométricos se debe hacer siempre un dibujo, y en todosellos, un esquema.El procedimiento se puede dividir en los siguientes pasos:a) Entérate: se escriben las incógnitas, los datos y las preguntas.b) Manos a la obra: se plantean las relaciones, se transforman en un sistema

y se resuelve.c) Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las preguntas que

hace el problema y se comprueba que cumplen las relaciones dadas.

Datos:

Incógnitas:x = 1er número

y = 2º número

con los

Suman 35

forman un

Sistema:

°¢£

x + y = 35x y— = —2 3

x + y = 35ò

=y3

x2ò

Proporcionalesa 2 y 3


21

Ejercicio resuelto

Hemos comprado un disco, un libro y una agenda. El precio del libro es eldoble del precio del disco, y también es el triple de la diferencia del precio dela agenda y el disco. Considerando que hemos pagado 140 €, calcula los pre-cios de los tres artículos.

a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas

Precio del disco: x

Precio del libro: y

Precio de la agenda: z

Se han pagado 140 € por los 3 artículos.

Hay que calcular el precio de cada artículo.

b)Manos a la obra

Ordenando las ecuaciones y resolviendo el sistema:

ò

c) Solución y comprobación

Se comprueba:

ò

Los precios son:

disco: 30 €, libro: 60 € y agenda: 50 €

°§¢§£

60 = 6060 = 60

140 = 140

°§¢§£

60 = 2 · 3060 = 3 (50 – 30)30 + 60 + 50 = 140

°§¢§£

x = 30y = 60z = 50

°§¢§£

x + y + z = 1402x – y = 03x + y – 3z = 0

°§¢§£

y = 2xy = 3(z – x)

x + y + z = 140

8

15. Si la altura de Carlos aumentase el triple de la dife-rencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos seríaigual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman515 cm. Ocho veces la altura de Toni es igual que nue-ve veces la de Carlos. Halla las tres alturas.

16. Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litrosde vino tinto, se obtiene un vino de 10 grados (10%de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan 20 litrosde blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vinode 11 grados. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco con 40 litros de vino tinto?

17. La edad de una madre es en la actualidad el triple dela de su hijo. Las edades del padre, la madre y el hijosuman 80 años, y dentro de 5 años, la suma de lasedades de la madre y del hijo será 5 años más que ladel padre. ¿Cuántos años tienen en la actualidad el pa-dre, la madre y el hijo?

18. Alba compra tres pantalones, dos camisas y un som-brero por 135 €. Natalia compra un pantalón, tres ca-misas y un sombrero por 100 €. Javier compra dospantalones, tres camisas y dos sombreros por 155 €.Si todos los artículos se han comprado al mismo pre-cio, ¿cuál es el precio de cada una de las prendas?


Datos:

con los

El precio del libroes el doble delprecio del disco

forman un

Sistema:

°§¢§£

y = 2x

y = 3(z – x)

x + y + z = 140

El precio dellibro es el triplede la diferenciaentre el preciode la agenda y

del disco

Se han pagado140 €

Incógnitas:x = precio del disco

y = precio del libro

z = precio de la agenda

y = 2x

y = 3(z – x)

ò

x + y + z = 140

ò

ò

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos

9. Clasifica y resuelve el siguientesistema:

°§¢§£

x – 3y + 2z = 0–2x + y – z = 0

x – 8y + 5z = 0

10. Clasifica y obtén todas las so-luciones del siguiente sistemade ecuaciones lineales:

°§¢§£

x + y + z = –12x – y + z = 0

–2x + 7y + z = –4

11. Un sistema de tres ecuacionescon dos incógnitas, ¿puedeser compatible determinado?En caso afirmativo, pon unejemplo.

ò ò

ò

La solución es x = –z/5, y = 3z/5

El sistema es homogéneo compatible indeterminado.

La solución en ecuaciones paramétricas es:

x = –l/5, y = 3l/5, z = l con l é�

x = –z/5°¢£

x – 9z/5 = –2zy = 3z/5y = 3z/5

°¢£

x – 3y = –2z–5y = –3z

°§¢§£

x – 3y + 2z = 0–5y + 3z = 0–5y + 3z = 0

2 · 1ª + 2ª

3ª – 1ª

°§¢§£

x – 3y + 2z = 0–2x + y – z = 0

x – 8y + 5z = 0

ò ò

ò ò

ò ò

x = –1 – z + = =

La solución es: x = , y =

El sistema es heterogéneo compatible indeterminado.

La solución en ecuaciones paramétricas es:

x = , y = , z = l con l é�–2 – l

3–1 – 2l

3

–2 – z3

–1 – 2z3

–1 – 2z3

–3 – 3z + 2 + z3

2 + z3

°§§¢§§£

–2 – zx + —= –1 – z3

–2 – zy = —3

y = (–2 – z)/3°¢£

x + y = –1 – z3y = –2 – z

°§¢§£

x + y + z = –13y + z = –23y + z = –2

3ª/3

°§¢§£

x + y + z = –13y + z = –29y + 3z = –6

2 · 1ª – 2ª

2 · 1ª + 3ª

°§¢§£

x + y + z = –12x – y + z = 0

–2x + 7y + z = –4

Sí puede ser compatible determinado.

Para poner un ejemplo es suficiente con escribir un sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas que sea compatible determinado y que la tercera ecuación sea combinación lineal de las otras dos. Por ejemplo, en el siguiente sistema la3ª ecuación es la suma de las dos primeras.

La solución del sistema es: x = 3, y = 2

El sistema es compatible determinado.

°§¢§£

x – y = 1x + 2y = 7

2x + y = 8

Clasificación y resolución de sistemas lineales

22

Ejercicios y problemas

12. Un agricultor tiene reparti-das sus 10 hectáreas de te-rreno entre barbecho, cultivode trigo y cultivo de cebada.La superficie dedicada al trigoocupa 2 hectáreas más que ladedicada a la cebada, mien-tras que en barbecho tiene6 hectáreas menos que la su-perficie total dedicada al cul-tivo de trigo y cebada. ¿Cuán-tas hectáreas tiene dedicadasa cada uno de los cultivos ycuántas están en barbecho?

13. Una empresa instala casas pre-fabricadas de tres tipos,A,B yC. Cada casa de tipo A nece-sita 10 horas de albañilería,2 defontanería y 2 de electricista.Cada casa de tipo B necesita15 horas de albañilería, 4 defontanería y 3 de electricista.Cada casa de tipo C necesita20 horas de albañilería, 6 defontanería y 5 de electricista.La empresa emplea exacta-mente 270 horas de trabajoal mes de albañilería,68 de fon-tanería y 58 de electricista.¿Cuántas casas de cada tipoinstala la empresa en un mes?

a) Incógnitas, datos y preguntas

Nº de hectáreas de barbecho: x

Nº de hectáreas de cultivo de trigo: y

Nº de hectáreas de cultivo de cebada: z

Área total de 10 hectáreas.

¿Cuántas hectáreas de cada cultivo y de barbecho hay?

b) Manos a la obra

ò ò

ò ò

ò ò x = 2

La solución del sistema es: x = 2, y = 5, z = 3

c) Solución

Dedica 2 hectáreas a barbecho, 5 hectáreas a cultivo de trigo y 3 hectáreasal cultivo de cebada.

y = 5°¢£

x + y = 10 – 3y = 2 + 3

z = 3

°§¢§£

x + y + z = 10y – z = 2

2z = 6

3ª – 2ª

°§¢§£

x + y + z = 10y – z = 2y + z = 83ª/2

°§¢§£

x + y + z = 10y – z = 2

2y + 2z = 16

1ª – 3ª

°§¢§£

x + y + z = 10y – z = 2

x – y – z = –6

°§¢§£

x + y + z = 10y = 2 + zx = y + z – 6


Nº de casas tipo A: x

Nº de de casas tipo B: y

Nº de de casas tipo C: z

¿Cuántas casas de cada tipo instala?

b) Manos a la obra

ò ò

ò ò x = 10

La solución es: x = 10, y = 6, z = 4

c) Solución

Se instalan 10 casas del tipo A, 6 del B y 4 del C

y = 6°¢£

2x + 3y = 54 – 16y = 14 – 8

°§¢§£

2x + 3y + 4z = 54y + 2z = 14

z = 4

2ª – 1ª

3ª – 2ª

°§¢§£

2x + 3y + 4z = 542x + 4y + 6z = 682x + 3y + 5z = 58

1ª/5°§¢§£

10x + 15y + 20z = 2702x + 4y + 6z = 682x + 3y + 5z = 58

Problemas con enunciado

23

Tem

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PAU

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos

14. En la XXI Olimpiada Nacio-nal de Química se contrataron5 autobuses de 54 plazas cadauno, incluida la del conductor,para el transporte de alumnos,profesores y acompañantes.Lasuma del 10% del número deprofesores y del 20% del nú-mero de acompañantes exce-de en una unidad al 10% delnúmero de alumnos.El núme-ro de alumnos duplicaría al deprofesores en el caso de quehubieran asistido 5 profesoresmenos. Determina el númerode alumnos,de profesores y deacompañantes.

15. La suma de las edades actua-les de los tres hijos de un ma-trimonio es 59 años.Hace cin-co años,la edad del menor eraun tercio de la suma de las eda-des que tenían los otros dos.Dentro de cinco años, el do-ble de la edad del hermano me-diano excederá en una uni-dad a la suma de las edades quetendrán los otros dos.Halla lasedades actuales de cada unode los hijos.


Nº de alumnos: x

Nº de profesores: y

Nº de acompañantes: z

5 autobuses a 54 plazas para alumnos, profesores y acompañantes.

b)Manos a la obra

ò ò

ò ò

ò x = 150


c) Solución

Viajan 150 alumnos, 80 profesores y 40 acompañantes.

y = 80°¢£

–x + y + 2z = 10y = 2z

y = 40

°§¢§£

–x + y + 2z = 10–y + 2z = 0

7z = 2803ª + 2 · 2ª

°§¢§£

–x + y + 2z = 10–y + 2z = 02y + 3z = 280

2ª + 1ª

3ª + 1ª

°§¢§£

–x + y + 2z = 10x – 2y = –10x + y + z = 270

10 · 1ª°§¢§£

0,1y + 0,2z = 0,1x + 1x + 0,0y + 0,0z = 2(y – 5)x + 0,0y + 0,0z = 270


b)Manos a la obra

ò ò

ò x = 23


c) Solución

El hermano mayor tiene 23 años; el mediano, 20, y el pequeño, 16

z = 16y = 20

°§¢§£

x + y + z = 594z = 64

3y = 60

1ª – 2ª

1ª – 3ª

°§¢§£

x + y + z = 59x + y – 3z = –5x – 2y + z = –1

°§¢§£

x + y + z = 59x – 5 + y – 5 = 3(z – 5)

x + 5 + z + 5 + 1 = 2(y + 5)

Edad actual

Hijo mayor

Hijo mediano

Hijo menor

x

y

z

Hace 5 años

x – 5

y – 5

z – 5

Dentro de 5 años

x + 5

y + 5

z + 5

Problemas con enunciado

24

25

Tem

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Ejercicios y problemasEjercicios y problemasPreguntas tipo test

PAU

El siguiente sistema es:

heterogéneo.

homogéneo.

No se puede clasificar porque tiene más ecua-ciones que incógnitas.

Ninguna de las anteriores.

Se llama sistemas equivalentes a:

los que tienen el mismo número de ecuaciones.

los que tienen las mismas soluciones.

los que tienen el mismo número de incógnitas.

Ninguna de las respuestas anteriores.

¿Cuál de estas transformaciones no produce un sis-tema equivalente?

Suprimir ecuaciones que sean combinación li-neal de las restantes.

Cambiar de orden las ecuaciones.

Sumar a una ecuación una combinación lineal delas restantes.

Suprimir una incógnita que tenga el mismo coefi-ciente en todas las ecuaciones.

En un sistema compatible determinado:

existen infinitas soluciones.

no existe solución.

existe una solución.

Ninguna de las respuestas anteriores.

Un sistema homogéneo:

es siempre compatible indeterminado.

es incompatible.

es siempre compatible.

es siempre compatible determinado.

La solución del siguiente sistema es:

x = 2/3, y = 1/3, z = 1

x = –16z/15, y –11z/15

x = 2/3 – 16l/15, y = 1/3 – 11l/15, z = l; l é�

No tiene solución.

Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas degaraje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganan-cias obtenidas por la venta de una plaza de garaje enla urbanización A son de 2 000 €, 4 000 € por unaen la urbanización B y 6 000 € por una en la urbani-zación C. Se sabe que se ha vendido un 50% más deplazas en la urbanización A que en la urbanizaciónC. Calcula el número de plazas de garaje vendidasen cada urbanización sabiendo que el beneficio ob-tenido por las vendidas en la urbanización C es iguala la suma de los beneficios obtenidos por las vendi-das en las urbanizaciones A y B.

Plazas en A, 38; en B, 8; en C, 19



No tiene solución.

En una fábrica de artículos deportivos se dispone de10 cajas de diferente tamaño: grandes, medianas ypequeñas para envasar las camisetas de atletismoproducidas, con capacidad para 50, 30 y 25 camise-tas, respectivamente. Si una caja grande fuera media-na, entonces habría el mismo número de grandes yde medianas. En total se envasan 390 camisetas. De-termina el número de cajas que hay de cada clase.

Hay 4 grandes, 2 medianas y 4 pequeñas.

Hay 5 grandes, 4 medianas y 1 pequeña.

No tiene solución.

Hay 5 grandes, 3 medianas y 2 pequeñas.

Raquel, Paula y Sara salen de compras y cada una ad-quiere una camiseta. El precio medio de las prendases de 14 €. La diferencia entre el precio de la cami-seta de Sara y el de la de Paula es el doble de la dife-rencia entre el precio de la camiseta de Paula y el dela de Raquel. Si a Raquel le hubiera costado su cami-seta el doble, sobrepasaría en un euro el precio dela de Sara. El precio de las camisetas de Raquel, Saray Paula es, respectivamente:

19 €, 13 € y 10 € 4 €, 5 € y 6 €

10 €, 13 € y 19 € 9 €, 15 € y 18 €

En el ejercicio anterior, ¿es posible saber el preciode las camisetas si la última condición se cambia por«Si a Paula le hubiera costado su camiseta el cuádruple,sobrepasaría en 42 euros el precio de la de Raquel»?

No. Es un sistema compatible indeterminado.

Sí.

No. Es un sistema incompatible.

Sí, la solución es la misma.

10

9

8

7

°§¢§£

3x – 3y + z = 1x + 4y + 4z = 2

5x – 10y – 2z = 0

6

5

4

3

2

°§¢§£

2x + y = 0x + y = 1x – 2y = 2

1

Contesta en tu cuaderno:

26

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos1. Sistemas de ecuaciones lineales


a) b)


a) b)


a) b)

2. Estudio de los sistemas


a) b)

23. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para el valora = 0:


a) b)


a) b)


a) b)

27. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los va-lores:

a) l = –1

b) l = 2

28. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los va-lores:

a) a = 1

b) a = 2

3. Interpretación gráfica

29. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpretagráficamente los siguientes sistemas:

a) b)


a) b)




°§¢§£

2x – y + 3z = 1x + 2y – z = –3x + 7y – 6z = –10

°§¢§£

2x + 3y – z = 3x + y – z = 2

x – 2z = 3

°§¢§£

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

°¢£

3x – y = 1x – y = –3

°¢£

2x + y = 38x + 4y = 12

°¢£

–x + y = 4x – y = –2

°¢£

x + y = 22x + y = 6

°§¢§£

x + z = 1y + (a – 1)z = 0

x + (a – 1)y + az = a

°§¢§£

x – y + lz = 2lx + ly – z = 5

(l + 1)x + ly – z = l

°§¢§£

2x + 3y – 4z = 14x + 6y – z = 2x + y + z = 10

°§¢§£

x + y – z = 12x – y + 3z = 4x + 4y – 6z = 0

°¢£

x + y + 2z = 12x + 2y + z = 2

°¢£

2x + 2y – 2z = 12x + y – 2z = 1

°§¢§£

x – z = 0x – y + z = 0x + y + z = 0

°§¢§£

2x – 3y + z = 0x + 2y – z = 0

4x + y – z = 0

°§¢§£

x + 2y + z = ax + y – az = a

2x + 3y + z = a

°§¢§£

–x + y – 3z = –24x + 2y – z = 52x + 4y – 7z = 1

°§¢§£

x + 2y – z = 2x + z = –2x – y = 1

°§¢§£

x + 2y + z = 92x – y + 2z = –2x + y + 2z = 8

°§¢§£

x + y + 2z = 22x – y + 3z = 25x – y + z = 6

°§¢§£

3x + y + z = 6x + 3y + z = –10x + y + 3z = 4

°§¢§£

x + y + z = 2x – y + 2z = 1

2x + y + 2z = 0

°§¢§£

x + z = 2x + y = 3x + y + z = 0

°§¢§£

5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x – 2y + 2z = –3

27

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Ejercicios y problemas34. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta

gráficamente los siguientes sistemas:


4. Resolución de problemas

36. Sonia ha comprado unos bolígrafos de 2 €, unos cua-dernos de 1 € y unas cajas de 3 €. Entre bolígrafosy cuadernos hay el triple que cajas. Considerando queha comprado 12 objetos y ha pagado 22 €, calcula elnúmero de bolígrafos, cuadernos y cajas que ha com-prado.

37. Calcula las edades actuales de una madre y sus dos hi-jos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel mo-mento; que dentro de 10 años la edad de la madre serála suma de las edades que los hijos tendrán en ese mo-mento; y que cuando el hijo mayor tenga la edad actualde la madre, el hijo menor tendrá 42 años.

38. Un bodeguero compra vinos de dos regiones diferen-tes A y B. Si se mezclan dos partes del vino de la regiónA con tres partes de la región B, cada litro cuesta3,3 €. Si se mezclan tres partes del vino de la región Acon dos partes de la región B, cada litro de esta mezclacuesta 3,2 €. Halla cuánto le ha costado al bodegueroel litro de cada vino adquirido.

39. Un tren transporta 470 viajeros, y la recaudación delimporte de sus billetes asciende a 4 250 €. Calculacuántos viajeros han pagado el importe total del bille-te, que asciende a 10 €, cuántos han pagado el 80% delbillete y cuántos han pagado el 50%, sabiendo que elnúmero de viajeros que han pagado el 50% es la mitaddel número de viajeros que pagaron el 80%

°§¢§£

3x + y = 04y + z = 0

3x + 2y + z = 1

°§¢§£

x + y + z = 3x + y – z = 3

2x + 2y = 5

40. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas:

a)

b)

41. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas:

a)

b)

42. Resuelve y clasifica el siguiente sistema para el valor dem = 3:

43. Resuelve y clasifica el sistema para los siguientes valo-

res de a:

a) a = –1

b) a = 2


a) b)

45. Discute el sistema y clasifícalo para los siguiente valo-

res de l:

a) l = 2

b) l = –1

°§¢§£

–x + ly + 2z = l2x + ly – z = 2lx – y + 2z = l

°§¢§£

x + y + 5z = 02x – 3y = 0x – y + z = 0

°§¢§£

–3x + y + 4z = 1–x – 3y – 2z = 1

y + z = –3

°§¢§£

x – y = 2ax + y + 2z = 0x – y + az = 1

°§¢§£

2x + y – z = 2x + y + 2z = 5

– x + (m + 2)z = 3

°§¢§£

x – y + z = 32x + y – 3z = 18x – 5y + 3z = 19

°§¢§£

2x + y + z = 6x + y + 2z = 4x + y + z = 1

°§¢§£

2x – y = 4–2x + y = – 4

x + 2y = 2

°§¢§£

2x + y – z = –1x – 2y + 2z = 2

3x – y + 2z = 4

Para ampliar

28

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos46. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) b)

47. Resuelve por Gauss, clasifica e interpreta gráficamentelos siguientes sistemas:

a) b)

48. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los valo-res de l:

a) l = 0

b) l = 3

49. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para a = 2:


a) b)

51. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los valo-res de a:

a) a = –1

b) a = 1

°§¢§£

(a + 1)x + 2y + z = a + 3ax + y = aax + 3y + z = a + 2

°§¢§£

3x – y = 03x + 4y = 0

y + 4z = 0

°§¢§£

–x – y = 03x + 2y = 0

y + z = 0

°§¢§£

ax + 2y + 6z = 02x + ay + 4z = 22x + ay + 6z = a – 2

°§¢§£

y + z = 1(l – 1)x + y + z = l

x + (l – 1)y – z = 0

°§¢§£

x – y + z = 6x + y = –7x + y + 2z = 11

°§¢§£

x + 2y – z = 1– y + z = 0

x + z = 1

°§¢§£

2x + y – z = –1x – 2y + 2z = 1

3x – y + z = 4

°§¢§£

x – y = 3x + 9z = 7

x – y + 6z = 6

52. Juan compró 4 entradas de adulto y 6 de niño por56 €, y Sara abonó 48 € por 5 entradas de adulto y2 de niño. ¿Cuánto valen las entradas de adulto y de niño?

53. Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En laprimera de ellas descuenta un 4% en un cierto productoA, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C.A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta,descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10%sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio ini-cial de C.

Se sabe que si un cliente compra durante la primeraoferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 €respecto del precio inicial; si compra en la segundaoferta tres productos A, uno B y cinco C, el ahorro esde 29 €; y si compra un producto A, uno B y uno C, sinningún tipo de descuento, debe abonar 135 €.

Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas.

54. Un cliente ha gastado 90 € en la compra de 12 artícu-los entre discos, libros y carpetas en una tienda. Cadadisco le ha costado 12 €; cada libro, 9 €; y cada carpe-ta, 3 €. Se sabe que entre discos y carpetas hay el tripleque de libros. Calcula cuántos artículos ha compradode cada tipo.

55. En una competición deportiva celebrada en un centroescolar participaron 50 atletas distribuidos, según laedad, en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles.El doble del número de atletas infantiles, por una par-te, excede en una unidad al número de atletas cadetesy, por otra parte, coincide con el quíntuplo del númerode atletas juveniles. Determina el número de atletasque hubo en cada categoría.

56. Una empresa desea disponer de dinero en efectivo eneuros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre lastres monedas ha de ser igual a 264 000 €. Se quiereque el valor del dinero disponible en euros sea el do-ble del valor del dinero en dólares, y que el valor deldinero en libras esterlinas sea la décima parte del valordel dinero en euros. Si se supone que una libra esterli-na es igual a 1,5 € y un dólar es igual a 1,1 €, ¿cuál esla cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que laempresa ha de tener disponible?

57. Una tienda tiene tres tipos de conservas, A, B y C. Elprecio medio de las tres conservas es de 1 €. Uncliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, yabona 58 €. Otro compra 20 unidades de A, y 30 deC, y abona 51 €. Calcula el precio de cada unidad deA, B y C.

Problemas

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Ejercicios y problemas58. Una heladería prepara helados de tres tamaños;

125 gramos, 250 gramos y 500 gramos cuyos preciosson 1 €, 2 € y 3 €, respectivamente. Un cliente com-pra 10 helados, con un peso total de 2,5 kg, y paga porellos 18 €

Halla el número de helados que ha comprado de cadatipo.

59. Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bol-sillo, L1, L2 y L3. El importe total de la edición es24 500 €. Los costes en euros, por unidad, son 5 €,3 € y 4 €, respectivamente. Se sabe que el número deejemplares de L3 es igual a los dos séptimos de los deltipo L2, y que si al triple del número de ejemplares deL1 se le suma el número de ejemplares de L3, se obtie-ne el doble de ejemplares de L2.

Averigua cuántos libros se han editado de cada tipo.

60. En una reunión hay 60 personas entre deportistas, ar-tistas y enseñantes. Se sabe que los enseñantes y losartistas duplican el número de deportistas.También sesabe que los deportistas y el doble de los artistas sonel doble de los enseñantes.

¿Cuál es el número de personas deportistas, artistas yenseñantes?

61. El señor García deja a sus hijos herederos de todo sudinero, con las siguientes condiciones: al mayor le dejala media de la cantidad que les deja a los otros dos más30 000 €; al mediano, exactamente la media de la can-tidad de los otros dos; y al pequeño, la media de la canti-dad de los otros dos menos 30 000 €.

Conociendo estas condiciones solamente, ¿pueden sa-ber los hijos cuánto dinero ha heredado cada uno? Jus-tifica la respuesta.

Para profundizar

62. Resuelve y clasifica el siguiente sistema:

63. Discute el siguiente sistema y clasifícalo:

64. Resuelve y clasifica el sistema para los siguiente valoresde m:

a) m = –3

b) m = 1

65. Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un totalde 5 320 €. El precio original era de 10 € por camise-ta, pero ha vendido en las rebajas una parte de ellascon un descuento del 30% del precio original, y otraparte con un descuento del 40%. Sabiendo que el nú-mero total de camisetas rebajadas fue la mitad del nú-mero de las que vendió a 10 €, calcula cuántas camise-tas se vendieron a cada precio.

66. Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, me-cedoras y sofás. Para la fabricación de estos tipos, se ne-cesitó la utilización de unidades de madera, plástico yaluminio, tal y como se indica en la siguiente tabla:

La compañía tenía en existencia 400 unidades de ma-dera, 600 unidades de plástico y 1 500 unidades de alu-minio.

Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas si-llas, mecedoras y sofás fabricó?

67. Un banco invirtió 2 millones de euros en tres empre-sas diferentes, A, B y C. Lo que invirtió en A era el do-ble de lo que invirtió en B. Al cabo de un año, la renta-bilidad de la operación ha sido del 10%. Las accionesde la empresa A han aumentado su valor un 10%, y lasde B, en un 30%. Si las acciones de la empresa C hanperdido un 10% de su valor, ¿qué cantidad se invirtióen cada empresa?

68. En una librería hubo la semana pasada una promociónde tres libros: una novela, un libro de poesía y un cuen-to. Se vendieron 200 ejemplares de la novela, 100 depoesía y 150 de cuentos. Sabiendo que la librería ingre-só por dicha promoción 8 600 €, que el precio de unejemplar de novela es el doble del precio de un cuentoy que el triple de la diferencia entre el precio del ejem-plar de poesía y del cuento es igual al precio de unanovela, calcula el precio al que se vendió cada libro.

Silla

Mecedora

Sofá

Madera Plástico Aluminio

1 unidad

1 unidad

1 unidad

1 unidad

1 unidad

2 unidades

2 unidades

3 unidades

5 unidades

°§§¢§§£

x + y + z = mx + y + mz = 1x + my + z = 1

mx + y + z = 1

°§§¢§§£

x – 2y – 2z + t = 4x + y + z – t = 5x – y – z + t = 6

6x – 3y – 3z + 2t = 32

°§§¢§§£

x + z = 11x + y = 3

y + z = 13x + y + z = 13

30

69. Resuelve el sistema siguiente. Clasifícalo e inter-prétalo gráficamente:

Solución:a) Para escribir cada línea de comentario en rojo,

en elige Comentar(Ctrl+T). Escri-be en un solo bloque el número y el título deltema, el nombre de los dos alumnos y Paso apaso. Para pasar de una línea a la siguiente, sincambiar de bloque, pulsa [Intro]

b) Haz clic en Calcular para crear nuevo blo-que.

c) Elige Comentar(Ctrl+T) y escribe:Ejercicio 69

d) Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentro delmismo bloque.

e) Para resolver el sistema, en eligey escribe las ecuaciones.

f ) Dibuja las dos rectas.


Solución:

Haz clic sobre los controles de la parte inferior iz-quierda para ver la imagen en distinta posición ytamaño.

Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda deWiris:

71. Encuentra dos números cuya suma sea 35 y seanproporcionales a 2 y 3

Solución:

72. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.

°§¢§£

x – y + z = 2x + y – 3z = 4

3x – y – z = –3

°¢£

x + 2y = 34x + y = –2

Paso a paso


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Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y, a lavista del resultado, clasifícalos:

73. 74.

75. 76.

77. 78.

Resuelve los sistemas siguientes. Clasifícalos e interpré-talos gráficamente:

79. 80.

81. 82.

83. 84.

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayudade Wiris:

85. Hemos comprado un disco, un libro y una agenda.El precio del libro es el doble del precio del disco, ytambién es el triple de la diferencia del precio de laagenda y el disco. Considerando que hemos paga-do 140 €, calcula los precios de los tres artículos.

86. Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas deterreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo decebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hec-táreas más que la dedicada a cebada, mientras queen barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superfi-cie dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántashectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivosy cuántas están en barbecho?

87. En un teatro, hay localidades de tres clases, A, B y C,cuyos precios son 3 €, 6 € y 12 €, respectivamente.Cierto día, la recaudación total fue de 6 600 €. Si sesabe, además, que de la clase A se vendieron tantaslocalidades como de las clases B y C juntas, y que dela B se vendió el doble que de la C, ¿cuántas locali-dades de cada clase se vendieron ese día?

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–5x + 2y – 2z = 7x + 2y + z = 3

5x – 2y + 2z = 8

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2x – y + z = 38x – 4y + 4z = 12

–6x + 3y – 3z = –9

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x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

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x + 2y = 22x + 4y = 4

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x – 2y = 2x – 2y = –2

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x – y = –42x + y = 1

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x + y + z = 13x + 5y – z = 8x + 2y – z = 2

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x + y – z = 04x + 2y – 3z = 03x + 5y – 4z = 0

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3x + y – z = 8x + 2y + z = 9

2x – y + 3z = 4

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2x – y = 3–6x + 3y = –9

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3x + y = 43x + y = 2

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2x – y = 34x + y = 3

Así funcionaRepresentar una función

En se elige Para ponerle color y ancho de línea, a continuación de la expresión de la función se escribe:

, {color = rojo, anchura_línea = 2}Los colores disponibles son: negro, blanco, rojo, verde, azul, cian, magenta, amarillo, marrón, naranja, rosa y gris.Los anchos de línea son cualquier número.

Resolver sistema

En se elige y se introduce el número de ecuaciones. Se escriben las ecuaciones y se pulsa el botón Calcular.Se pueden presentar 3 casos: a) Si el sistema es compatible determinado, escribe la solución.b) Si el sistema es incompatible, escribe [ ]c) Si el sistema es compatible indeterminado, despeja las primeras variables en función de las últimas.

Linux/Windows

Practica

32


Solución:Haz clic en Insertar Texto, escribe el título deltema, el nombre de los dos alumnos, Paso a pasoy el número del ejercicio.

1. Sistemas linealesAlba Maza SánchezÓscar Arias LópezPaso a pasoEjercicio 69

a) En la barra de menús elige Resolver/Siste-ma…, en el número de ecuaciones escribe 2 ypulsa el botón Sí.

b) Introduce las ecuaciones, una en cada cuadrode texto, y pulsa el botón Resolver.

[x = –1 ì y = 2]Gráficamentea) En la ventana Álgebra elige Ventana 2Db) Selecciona en la barra de menús

Ventana/Mosaico Verticalc) Escoge en la barra de menús

Opciones/Pantalla…/Rejilla• Mostrar/Líneas color azul claro.• En Intervalos escribe en Horizontal: 12 y en

Vertical: 12c) Selecciona, con el ratón, en la ventana Álgebra

la 1ª ecuación haciendo 3 veces clic sobre ella.d) Activa la ventana Gráficas-2D y haz clic en

Representar Expresión.e) Representa de igual forma la 2ª ecuación.f ) Elige Archivo/Incrustar.

El sistema es compatible determinado.La solución es x = –1, y = 2


Solución:Algebraicamentea) En la barra de menús de la ventana Álgebra eli-

ge Resolver/Sistema…, en el número de ecua-ciones escribe 3 y pulsa el botón Sí.

b) Introduce las ecuaciones, una en cada cuadrode texto, y pulsa el botón Resolver.

[ ]El sistema es incompatible.

Gráficamentea) Cierra la Gráficas-2Db) Haz clic en Ventana 3Dc) Selecciona en la barra de menús

Ventana/Mosaico Verticald) Selecciona, con el ratón, en la ventana Álgebra

la 1ª ecuación haciendo 3 veces clic sobre ella.e) Activa la ventana Gráficas-3D y haz clic en

Representar Expresión.f ) Representa los otros dos planos.g) Haz clic en Girar las gráficas.h) Elige Archivar/Incrustar.

Los tres planos forman una superficie prismática yno tienen ningún punto en común.

Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda deDERIVE:

71. Encuentra dos números cuya suma sea 35 y seanproporcionales a 2 y 3

Solución:

Planteamiento: °§¢§£

x + y = 35x y— = —2 3

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x – y + z = 2x + y – 3z = 4

3x – y – z = –3

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x + 2y = 34x + y = –2

Paso a paso


33

Tem

a 1

.Si

ste

ma

s li

ne

ale

s

Así funcionaResolución algebraica de un sistemaEn la barra de menús se elige Resolver/Sistema…, en el número de ecuaciones se escribe 2, 3 o el número de ecua-ciones que tenga el sistema y se pulsa el botón Sí.Se introducen las ecuaciones, una en cada cuadro de texto y se pulsa el botón Resolver.Se pueden presentar 3 casos:a) Si el sistema es compatible determinado, escribe la solución.b) Si el sistema es incompatible, escribe [ ]c) Si el sistema es compatible indeterminado, elimina las ecuaciones dependientes. Después se tiene que elegir

Resolver o despejar, en el cuadro Variables se selecciona la variable o variables que se quieran despejar y se haceclic en el botón Resolver.

Borrar gráficas en el espacioSe selecciona haciendo clic con el ratón y luego se pulsa la tecla [Supr]

Windows DeriveElige Resolver/Sistema…, introduce las ecuacio-nes y pulsa el botón Resolver.

[x = 14 ì y = 21]Los números son 14 y 21

72. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y, a lavista del resultado, clasifícalos:

73. 74.

75. 76.

77. 78.

Resuelve los sistemas siguientes. Clasifícalos e interpré-talos gráficamente:

79. 80.

81. 82.

83. 84.

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayudade DERIVE:

85. Hemos comprado un disco, un libro y una agen-da. El precio del libro es el doble del precio deldisco, y también es el triple de la diferencia del pre-cio de la agenda y el disco. Considerando que he-mos pagado 140 €, calcula los precios de los tresartículos.

86. Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas deterreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo decebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hec-táreas más que la dedicada a cebada, mientras queen barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superfi-cie dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántashectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivosy cuántas están en barbecho?

87. En un teatro, hay localidades de tres clases, A, B y C,cuyos precios son 3 €, 6 € y 12 €, respectivamente.Cierto día, la recaudación total fue de 6 600 €. Si sesabe, además, que de la clase A se vendieron tantaslocalidades como de las clases B y C juntas, y que dela B se vendió el doble que de la C, ¿cuántas locali-dades de cada clase se vendieron ese día?

°§¢§£

–5x + 2y – 2z = 7x + 2y + z = 3

5x – 2y + 2z = 8

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2x – y + z = 38x – 4y + 4z = 12

–6x + 3y – 3z = –9

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x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

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x + 2y = 22x + 4y = 4

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x – 2y = 2x – 2y = –2

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x – y = –42x + y = 1

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x + y + z = 13x + 5y – z = 8x + 2y – z = 2

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x + y – z = 04x + 2y – 3z = 03x + 5y – 4z = 0

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3x + y – z = 8x + 2y + z = 9

2x – y + 3z = 4

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2x – y = 3–6x + 3y = –9

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3x + y = 43x + y = 2

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2x – y = 34x + y = 3

Practica

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