matematicas fuera del aula

LAS MATEMTICAS FUERA DEL AULA: UN ENFOQUE CONSTRUC TIVISTA

Fco. Javier Redondas Maseda CPEB de Cerredo

Cerredo (Asturias)

Indice 1. Introduccin ....................................................................................................................... 1 2. Motivacin ......................................................................................................................... 2 3. Actividades......................................................................................................................... 2

3.1. Medida de altura de objetos. ...................................................................................... 3 3.2. Matemticas en el centro comercial. .......................................................................... 4

3.2.1. Estadstica de sectores comerciales.................................................................... 4 3.2.2. Estudio sobre superficies comerciales................................................................ 4

3.3. Matemticas pedaleando. ........................................................................................... 4 3.3.1. Clculo del nmero ......................................................................................... 5 3.3.2. Relaciones de transmisin de engranajes ........................................................... 5

3.4. Medicin de superficies planas. ................................................................................. 5 3.4.1. Parcelas con cuatro lados ................................................................................... 6 3.4.2. Parcelas poligonales de ms de 4 lados.............................................................. 7 3.4.3. Parcelas no poligonales ...................................................................................... 7

3.5. Trigonometra............................................................................................................. 8 3.5.1. Construccin del gonimetro ............................................................................. 8 3.5.2. Realizacin de medidas en el exterior................................................................ 8

3.6. Ros, fuentes y cursos de agua. ................................................................................ 10

1. Introduccin

Segn el Programa para la Evaluacin Internacional de Alumnos (PISA), puesto en marcha por la OCDE desde 1997, la competencia matemtica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcin que desempean las matemticas en el mundo, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos.

En nuestro mundo actual, cada vez son ms frecuentes las situaciones en las que los ciudadanos nos vemos enfrentados a una multiplicidad de tareas que entraan conceptos matemticos de carcter cuantitativo, espacial, probabilstico o de algn otro tipo. La informacin en forma de tablas, diagramas o grficos, donde se tratan temas como el clima, la economa, la medicina o los deportes aparece habitualmente en los distintos medios de comunicacin (peridicos, revistas, televisin e Internet).

Las matemticas fuera del aula: un enfoque constructivista

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Por tanto, en la enseanza de las matemticas resulta necesario tomar el mundo real como referente a la hora de plantear problemas y cuestiones, de modo que los resultados obtenidos puedan asociarse a una mejor comprensin de nuestro entorno. Un enfoque constructivista puede ayudar en esta tarea, en el sentido en que sea necesario plantear una ecuacin o aplicar una destreza de resolucin de problemas ante una cuestin general, en vez de buscar una situacin real que se pueda adaptar a un procedimiento matemtico que se est enseando.

2. Motivacin

Segn los resultados del anteriormente mencionado informe sobre competencias matemticas de los alumnos de secundaria, en las ltimas ediciones los alumnos espaoles aparecen en puestos sensiblemente por debajo de la media, lo cual parece deberse principalmente, no a sus destrezas en el clculo, sino a serias dificultades en la fase de planteamiento del problema, es decir, que se percibe una falta de asociacin entre la tradicional enseanza de las matemticas y los distintos aspectos de nuestra vida en los que esta disciplina est presente.

Resulta necesario, entonces, tomar como referencia diversos elementos de nuestro entorno fsico: las dependencias del centro de enseanza, medios de transporte, lugares de ocio, etc. Conviene tener presente la cantidad de informacin que recibimos sobre distintos temas de actualidad como las variaciones de algunos parmetros e indicadores econmicos y sociales, algunos sencillos como el aumento o disminucin del paro, del precio de la vivienda o las oscilaciones burstiles y otros ms complejos desde el punto de vista matemtico como la disminucin del ritmo de encarecimiento de la vivienda o la ralentizacin del crecimiento del producto interior bruto Por ltimo, sin ser por ello menos importante, los ciudadanos se ven en la necesidad de leer formularios, interpretar horarios de trenes y autobuses, llevar a cabo transacciones monetarias de forma satisfactoria, decidir cul es la mejor compra en el mercado, etc.

En este artculo se muestran algunos ejemplos que sirven de orientacin para trasladar la clase de matemticas de secundaria fuera del aula, es decir, al mundo real, con el objetivo de que se puedan aplicar conceptos y procedimientos matemticos para solucionar problemas cotidianos.

Al mismo tiempo la salida fuera del espacio fsico habitual del aula supone, en la mayora de los casos, un aliciente y un estmulo a los alumnos en su proceso de aprendizaje y constituye un elemento de motivacin que los induce a una participacin ms activa en las distintas actividades que se planteen.

3. Actividades

En este apartado se relacionan una serie de ejemplos que pueden ser aplicados fuera del aula, en situaciones muy diversas. Algunos de ellos se pueden realizar dentro del horario normal de clase y para otros se necesita algo ms tiempo, de modo que se plantee como una actividad complementaria o extraescolar.

De todos modos, estos ejercicios se pueden integrar en las planificaciones de otras actividades ms amplias o compaginar en tiempo y espacio con salidas extraescolares propuestas con otras reas, tales como visitas a museos o espacios de inters medioambiental


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o tecnolgico, viajes de estudios, etc. Esto confiere, sin duda, un carcter ms interdisciplinar a estas actividades, dotndolas de un valor aadido desde el punto de vista pedaggico y didctico.

3.1. Medida de altura de objetos.

Una cuestin que se suele plantear en situaciones cotidianas cuando uno est simplemente dando un paseo puede ser cul ser la altura de este rbol?, o del campanario de la iglesia?, pues bien, es tambin una buena cuestin a plantear a nuestros alumnos.

Aunque el concepto aritmtico de regla de tres o el concepto geomtrico de semejanza de tringulos son bastante universales, su nomenclatura como tal ha variado a lo largo de la historia ms reciente de de didctica de las matemticas, prescindiendo de ella en algunas ocasiones.

Dejando de lado este tipo de consideraciones, podemos determinar la altura de objetos cotidianos que resultan difciles de medir directamente. De este modo, utilizando la sombra que proporciona cualquier objeto vertical un da soleado podemos medir su altura utilizando la semejanza entre el tringulo que forma el objeto y su sombra y el que forma tambin con su sombra un objeto vertical de altura conocida.

En este caso planteamos la ecuacin:

c

x

a

b =

a

b c

x ?


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que resolveremos utilizando lo las destrezas usuales.

3.2. Matemticas en el centro comercial.

En algunas actividades extraescolares se opta por realizar una visita a un centro comercial, dejando a nuestros alumnos un tiempo suficiente para la comida y para realizar un breve recorrido por las distintas dependencias del lugar.

3.2.1. Estadstica de sectores comerciales

Podemos aprovechar esta ocasin para realizar una actividad matemtica consistente en clasificar los distintos locales comerciales por categoras (alimentacin, textil, calzado, cafeteras, etc.), para ello se puede hacer un recorrido por toda la superficie del centro o bien utilizar un plano o una relacin de establecimientos que suele haber en alguno de los puntos de entrada.

A partir de los datos obtenidos podemos realizar los siguientes ejercicios:

Calcular el porcentaje del nmero de cada tipo de establecimientos sobre el total.

Representar en un grfico circular el nmero o porcentaje de establecimientos de cada categora.

Calcular el nmero de personas que entran en los distintos espacios en un tiempo determinado.

3.2.2. Estudio sobre superficies comerciales

A partir de un plano que se puede encontrar sobre un panel informativo o sobre un folleto que nos pueden facilitar en alguna oficina del centro se puede calcular la escala utilizada. Para ello debemos medir alguno de los espacios reales que aparecen representados en el plano; estas medidas podemos realizarlas en algn espacio comn (pasillo, entrada,) o en el interior de un establecimiento, procurando no interferir en la propia actividad comercial del centro. Una alternativa ms operativa que utilizar una cinta mtrica para realizar la medicin completa consiste en medir nicamente una baldosa del suelo y contar el nmero de baldosas.

Una vez obtenida la escala, se puede realizar una grfica de barras o circular representando el espacio ocupado por cada categora de establecimientos.

Finalmente, nuestros alumnos pueden redactar un breve informe acerca de la distribucin del espacio comercial, teniendo en cuenta tanto el nmero de establecimientos como el espacio total ocupado por ellos y as obtener unas conclusiones sobre los espacios con ms oferta o demanda comercial.

3.3. Matemticas pedaleando.

Las bicicletas y los nios o adolescentes aparecen frecuentemente asociados cuando el tiempo es apacible; adems, en los ltimos aos estos medios de locomocin o instrumentos de ocio se han ido especializando para diferentes situaciones: tenemos bicicletas infantiles, de montaa, de carretera, de paseo, etc.


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Un paseo en bici puede servirnos para realizar una serie de ejercicios matemticos, derivados del funcionamiento de los distintos elementos mecnicos de la bicicleta.

3.3.1. Clculo del nmero

Un ejercicio muy simple consiste el medir el dimetro de la rueda, desde el suelo hasta el punto ms alto, pasando por el eje.

A continuacin medimos la distancia recorrida con una vuelta completa de la rueda, para ello podemos colocar la rueda de modo que la vlvula de aire ocupe la posicin ms baja, seguidamente desplazamos la bicicleta hasta que la rueda quede de nuevo en la misma posicin, hacemos una lnea en el suelo en cada caso y anotamos la distancia.

Si dividimos esta distancia entre el dimetro obtendremos un nmero ligeramente superior a 3. Si consideramos este nmero en varias medidas llegaremos fcilmente al nmero , de un modo muy similar a como lo hicieron los antiguos griegos.

3.3.2. Relaciones de transmisin de engranajes

Podemos comparar que, en bicicletas diferentes o con diferentes combinaciones de velocidad, el recorrido es diferente con una vuelta completa de los pedales, y esta comparacin podemos realizarla de modo cualitativo y tambin cuantitativo.

Centrndonos en las distintas combinaciones de engranajes podemos calcular el nmero de dientes de cada catalina sin necesidad de contarlos, para ello debemos tener en cuenta la relacin de transmisin en un mecanismo de cadena de rodillos:

2211 znzn =

siendo: 1n el nmero de vueltas de los pedales 1z el nmero de dientes de la catalina 2n el nmero de vueltas de la rueda trasera 2z el nmero de dientes del pin que se encuentra engranado con la catalina

correspondiente.

As, tomando siempre una referencia precisa, podemos calcular el nmero de vueltas que da la rueda con 10 vueltas de los pedales.

El principal problema estriba en que raramente obtendremos un nmero de vueltas completas de la rueda y que tendremos un error en la apreciacin de la fraccin de la ltima vuelta. Podemos disminuir la propagacin de este error si tomamos un nmero mayor de vueltas de los pedales, al dividirse por un mayor nmero.

3.4. Medicin de superficies planas.

La medicin de parcelas o fincas fue una de las primeras aplicaciones de las matemticas desde las primeras civilizaciones.


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Se trata de un tipo de cuestiones que, a menudo, resultan relativamente fciles de calcular sobre un plano, pero que se complican ms de lo esperado cuando se debe realizar directamente sobre el terreno.

Resulta fundamental contar con un conjunto de estaquillas, una cinta mtrica de 25 m o de 50 m y un rollo de cordel.

3.4.1. Parcelas con cuatro lados

Si la parcela a medir tiene una forma cuadrada o rectngular el clculo es sencillo, pero esto no lo conocemos a priori, por lo que tendremos que determinar previamente si se trata de uno de estos dos polgonos.

Esta operacin es bastante simple, basta con comprobar si las dos diagonales miden lo mismo y, adems, los lados son iguales dos a dos. En caso afirmativo, la medida de la superficie es sencilla.

Sin embargo, en la mayor parte de los casos, las parcelas no son rectangulares, ni siquiera rombos, trapecios, etc. Por tanto deberemos proceder a dividirla en dos tringulos.

A continuacin calcularemos el rea total como la suma de la de cada uno de los tringulos por separado. Para calcular el rea de un tringulo aplicaremos la conocida ecuacin:

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hbS =

Es en este momento donde surgen los primeros problemas importantes a la hora de abordar esta cuestin: saber cual es la base y cual la altura. En primer lugar podemos considerar la base como el lado mayor del tringulo y la altura se puede determinar mediante dos procedimientos:

1. Trazando una lnea perpendicular a la base que pase


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por el vrtice opuesto, tal como se detalla grficamente en la figura, lo cual en la prctica se convierte una labor muy complicada y dificultosa.

2. Buscando la menor distancia desde el vrtice opuesto hasta la base, que se puede llevar a cabo mediante un cordel, atando un extremo en una estaquilla en dicho vrtice y moviendo el otro por la lnea de la base hasta encontrar la menor longitud.

Otra alternativa que puede resultar ms operativa consiste en hacer un plano a escala de la finca en cuestin y determinar estos parmetros grficamente con la ayuda de instrumentos bsicos de dibujo.

3.4.2. Parcelas poligonales de ms de 4 lados.

La cuestin se complica a medida que lo hace la forma de la parcela, si esta consta de ms de 4 lados, debemos aplicar el procedimiento de triangulacin descrito en el apartado anterior, con la salvedad de que en vez de 2 tringulos tendremos un nmero superior, con lo que tendremos ms trabajo cuantos ms lados haya, aunque el grado de dificultad no es mayor, tal como se ilustra en las figuras siguientes:

Es importante tener en cuenta que para poder representar el plano de estas parcelas debemos realizar un nmero de medidas de distancia igual al nmero de lados de los tringulos representados, para no cometer errores en los distintos ngulos, es decir, en la primera figura deberemos tomar 7 medidas y en la segunda deberemos realizar 11 mediciones. Del mismo modo, en el caso de la finca de 4 lados con forma irregular se debern realizar 5 medidas.

3.4.3. Parcelas no poligonales

Si la finca tiene lados curvos, la mejor opcin consiste en hacer una lnea poligonal que se aproxime a la curva y, a continuacin, proceder como en el caso anterior.


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3.5. Trigonometra

Los alumnos deben construir un instrumento simple de medida a fin de determinar la altura y distancias de objetos de gran tamao en el exterior utilizando los conceptos trigonomtricos bsicos: seno, coseno y tangente.

3.5.1. Construccin del gonimetro

Comenzaremos diseando el instrumento de medida, que consiste bsicamente en un semicrculo graduado en tramos de 5 que se dibujar en una cartulina. Es importante la precisin en el trazado de las marcas de medida, a fin de conseguir una precisin aceptable en las medidas que luego se realizarn.

En el dimetro del semicrculo ir colocado o pegado un pequeo tubo (puede servir una pajita de sorber). En el centro del crculo se debe fijar un hilo en cuyo extremo opuesto se colocar una anilla metlica u otro objeto relativamente pesado, de forma que, al colocarlo verticalmente, sobrepase el borde del semicrculo y el peso de la anilla mantenga el hilo perfectamente estirado y sin curvaturas. La figura siguiente ilustra ms claramente la apariencia del instrumento y la configuracin de la escala numrica.

3.5.2. Realizacin de medidas en el exterior.

Se trata de un instrumento de gran funcionalidad para determinar alturas relativas entre dos puntos utilizando los parmetros trigonomtricos bsicos.


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Podemos determinar la diferencia de altura entre dos puntos con la ayuda de una cinta mtrica del siguiente modo: una pareja de alumnos se colocar en dos puntos con diferente altura, cada uno dispondr de una vara de igual altura que colocar verticalmente a su lado. El alumno que dispone del gonimetro lo colocar en la parte superior de la vara y mirar a travs del tubito hacia el extremo superior de la otra vara, al tiempo que el hilo tensado permitir medir el ngulo.

Con ayuda de una cinta mtrica se medir la distancia entre ambos puntos, con lo cual podemos trazar un tringulo rectngulo imaginario, enterrado y colocado verticalmente, del cual conocemos la hipotenusa (la lnea que une a los dos alumnos) y uno de los ngulos, pudiendo determinar fcilmente el cateto vertical, que representa la diferencia de altura entre los dos puntos.

En el ejemplo de la figura podemos determinar, teniendo en cuenta la semejanza de tringulos, que el ngulo que forma la hipotenusa con el cateto horizontal es de 15 , y si la distancia entre los dos alumnos es de 50 metros:

msenmsendh 9.121550 ===

Podemos extrapolar este procedimiento a la determinacin de alturas de rboles, edificios, etc. En este caso, si el terreno no es llano deberemos medir en primer lugar la diferencia de alturas entre el punto de referencia y la base del rbol para, posteriormente, determinar la altura total del rbol.

h?

50 m

80 m


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En el ejemplo de la figura se puede apreciar que el ngulo medido es de 30 y la distancia del observador al rbol es de 80 m, con lo cual resulta fcil determinar que la altura del rbol es de:

mmh 2.4630tan80 ==

Obviamente resulta necesario aadir la altura del ojo del observador, si no se opta por la posibilidad de medir el ngulo en posicin tumbada en vez de hacerlo de pie. Tambin se deben tener en cuenta las posibles diferencias de altura entre la base del rbol y la posicin del observador.

3.6. Ros, fuentes y cursos de agua.

Cuando nos encontramos un curso de agua, podemos realizar algunas mediciones para determinar algunos de los parmetros bsicos como la velocidad de la corriente, el caudal, etc.

La determinacin de la velocidad se puede realizar midiendo el tiempo que un objeto flotante tarda en recorrer una distancia conocida entre dos puntos de referencia.

El caudal es la cantidad de agua por unidad de tiempo que fluye por el cauce y se pued expresar en trminos de l/s, m3/min, etc. Para su clculo debemos conocer la velocidad de la corriente y la seccin de la corriente, aplicando a continuacin la frmula:

vScaudal =

Siendo S la seccin y v la velocidad.

El clculo de la velocidad se realiza como explicamos anteriormente y para determinar la seccin es ms aconsejable elegir un canal o acequia artificial con forma de rectngulo o trapecio.

En el caso de una fuente el caudal se puede determinar midiendo la cantidad de tiempo que tarda en llenarse un recipiente de capacidad conocida.

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