9a parte del aula de matematicas para 'el mundo

7/25/2019 9a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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po r L oli ta Brain

Habitualmente, cuando pensamos en el Álgebra lo hacemos en relación con la resolución deecuaciones y la manipulación de letras y números. La famosa letrax es la reina de esta vasta áreade las matemáticas. Pero en realidad las manipulaciones algebraicas que realizamos con estasletras (x , y , z, etcétera) no nos causan grandes problemas porque son básicamente representa-ciones de números, y su manipulación es resultado de las operaciones con números. Pero existeun tipo de Álgebra denominadaabstracta en la que los elementos que se manipulan ni tienen por quéser números ni suelen serlo. Constituye una de las áreas más ambiciosas de la Matemática porser aplicable a infinidad de entidades abstractas. Losgrupos son la primera teoría surgida en ella.

¿QUÉ ES UN

GRUPO? I

UN SENCILLO EJEMPLO

¿CÓMO OPERAMOS ESTAS TRANSFORMACIONES?

LA SUPERTEORÍA DE MATEMÁTICAS¿QUÉ ES UN GRUPO? LOS CREADO

Imaginemos tres naipes, sota,caballo y rey, extraídos de unabaraja. A partir de una posi-

ción de estas tres cartas pode-mos construir otras ordenacio-nes de ellas barajándolas demuchas formas. Podemosdejarlas como están, o pode-mos cambiar la primera con laúltima, o intercambiar la segun-da con la tercera. Sin embargo,por complicada que sea la for-ma de barajar las tres cartas,todas ellas se pueden obtenerpor combinación de alguna delas seis manipulaciones quemostramos en el diagrama

adjunto. En él se describen losresultados de realizar seistransformaciones básicassobre la sota, el caballo y el rey.Este es un grupo en el que sólohay seis elementos que llama-mos x1, x2, x3, x4, x5y x6.

Eddington decía a comienzos delsiglo XX que para entender elmisterio de lo desconocido del

universo eran necesarias unassupermatemáticas en las que lasoperaciones deberían ser tan des-conocidas como las cantidadessobre las que operasen. Él habla-ba también de la necesidad de unsupermatemático que no supieralo que realmente estaba haciendocuando realizara esas operacio-nes. Para él, esas supermatemáti- cas eran laTeoría de Grupos .

Ungrupo es un sistemade elementos, ya seafinito o infinito, en el

que existe alguna reglaque permite combinar-los, operarlos, entre sí.Además, el resultado deestas combinaciones hade proporcionar siempreelementos del mismoconjunto. En realidad,para que tal sistema seaun grupo, se exigen doscondiciones más queexploraremos en lasiguiente lámina.

La Teoría de Grupos surgió a mediados del siglo XIX de la manode dos creativos matemáticos: el malogrado francés Galois yel noruego Abel. Llegaron a la concepción de esta estructura

estudiando la forma de resolver ecuaciones de quinto grado. Deeste modo, el Álgebra Abstracta nació del Álgebra Clásica.

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

NIELS HENRIK ABEL

1802 - 1829

ARTHUR S TANLEYEDDINGTON

1882 - 1944

X1: acción de no barajar las cartas X2: resultado de intercambiar la primera yla segunda carta

X4: acción de intercambiar la segunday la tercera carta

X5: resultado de cambiar la sota con elcaballo, seguido de intercambiar ésta conel rey.

X6: efecto de cambiar la primera con lasegunda carta, seguido de intercambiarla primera con la tercera.

X3: efecto de cambiar la sota con el rey

EVARISTE GALOIS

1811 - 1832

Veamos en primer lugar que podemos definir una manerade operar entre sí estas formas de barajar los t res naipesy que al efectuar dicha operación obtenemos alguno de

los seis elementos de este grupo.Operar dos de estos ele-mentos, por ejemplo x2 con x3, supone aplicar la transfor-mación x2 a una ordenación de las tres cartas y aplicar alresultado la transformación x3. Es fácil comprobar que

obtenemos el mismo resultado que aplicando únicamentela transformación x6. Decimos entonces que:

Del mismo modo podemos realizarvarias transformaciones, unadetrás de la otra, y así comprobarí-

amos que operar x2 con x3 y despuésx4 produce el mismo resultado queaplicar directamente x3.



La semana pasada nos introdujimos en el mundo del Álgebra Abstracta comenzando a estu-diar una de sus más sencillas estructuras: los grupos. Para ello estudiamos el caso particularde las distintas formas de barajar tres cartas de una baraja y nos convencimos de la existenciade una operación interna entre unas formas simples de mezclar las cartas. Continuamos esta se-mana explorando algunas características de esta simple pero ambiciosa estructura algebraica.

¿QUÉ ES UN

GRUPO?YIIRESUMEN DE NUESTRO GRUPO

Si consideramos las seis formassimples de barajar tres cartasde una baraja, que se ilustran

en la imagen, (denominadasx 1...x 6 ) y establecemos como pro-ducto de ellas la operación de apli-car una mezcla a continuación deotra, observamos que siempreobtenemos un nuevo miembro deesta colección de seis transforma-ciones entre cartas. Estos seiselementos son lo que denomina-mos un grupo.

Existen muchos ejemplos de conjuntos con operaciones que tie-nen estructura de grupo, algu-

nos de los cuales son ampliamenteconocidos por todos. Entre ellos,los conjuntos de números más sen-cillos, los números de contar o lasfracciones son grupos.

El conjunto de losnúmeros ente-ros , los números de contar y losnegativos con la operación de lasuma es un grupo. Su elemento

neutro es el 0.

Todo conjunto de transformacio-nes obtenidas al permutar car-tas, letras o símbolos como el

ejemplo de las cartas que hemosdesarrollado son casos de un gru-po general denominadogrupo depermutaciones . El número decartas o símbolos que se permutanse denomina orden del grupo. Ennuestro ejemplo, el grupo está for-mado por seis elementos x 1, x 2 ,x 3 ,x 4 , x 5 , x 6 que se obtienen deintercambiar tres cartas. Se diceentonces que es un grupo de orden3.

De hecho podemos resumirtodas las posibles combina-ciones entre estas seis for-

mas de barajar las tres cartas enla tabla adjunta. Es la que sedenomina Tabla de un Grupo,que nos informa de los resulta-dos que obtenemos al combinarcualquiera de los elementos quelo constituyen. Seguro querecuerdas la tabla de sumar conla que aprendiste a sumar ente-ros. Lo que hacías era aprenderla tabla de un grupo: el de losnúmeros de contar con la suma.

Los grupos, además de tener una ley de composición interna,deben cumplir la propiedad asociativa. Esta propiedad obliga aque el resultado de aplicar varias transformaciones seguidas no

dependa del orden en que se apliquen.

En todo grupo debe existir un elemento singular, llamado elementoneutro, que tiene la propiedad especial deno hacer nada , es decir,

que operado con cualquier elemento lo deja invariante. En nuestroejemplo de las distintas formas de barajar tres cartas, el elementox 1que deja igual el mazo de cartas es el neutro.

En 1891, el cristalógrafo y geómetraruso E.S. Fedorov enunció su famo-so Teorema de Fedorov de clasifica-

ción de grupos cristalográficos planos en el que proporcionó una asombrosaaplicación de la teoría de grupos. En éldemostró que sólo existen 17 estructu-ras básicas posibles para obtenermosaicos periódicos que decoren el pla-no. Estas decoraciones resultan decombinar cuatro movimientos simples:TRASLACIÓN. La nueva loseta que añadi-mos es una loseta anterior desplazada auna nueva posición sin giros de ningúntipo.ROTACIÓN. La nueva loseta se obtienepor el giro de una anterior con centro enalgún punto determinado y con un ángu-lo concreto.REFLEXIÓN. Cada nueva loseta es la ima-gen especular de otra, con un eje desimetría dado.SIMETRÍA CON DESLIZAMIENTO. Se trata deuna reflexión seguida de una traslaciónen la dirección del eje de reflexión.

Cada uno de los 17 modos posibles reci-be una denominación que procede de lacristalografía.

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

Lo más asombroso es que los nazaríes queconstruyeron la Alhambra y que no conocíanla teoría de Fedorov realizaron mosaicospara decorar las paredes del palacio detodos los 17 grupos que, 400 años después,el ruso catalogara como los únicos posibles.

LA TABLA DE UN GRUPO UN GRUPO NUMÉ

EL GRUPO DE PE

UN GRUPO ES ASOCIATIVO

UN GRUPO TIENE ELEMENTO NEUTRO

UN ÉXITO DE LA T

po r L oli ta Brain

X1: acción de no barajarlas cartas

X2: resultado de inter-cambiar la primera y lasegunda carta

X4: acción de intercam-biar la segunda y la ter-cera carta

X5: resultado de cambiarla sota con el caballo,seguido de intercambiaraquélla con el rey

X6: efecto de cambiar laprimera con la segundacarta, seguido de inter-cambiar la primera conla tercera

X3: efecto de cambiar lasota con el rey



po r L oli ta Brain

En un artículo de 1726, el genial Leonhard Eulerpropuso -y resolvió- el primer pro-blema topológico de la historia: el de ‘Los puentes de Königsberg’ . Aparente-mente era un reto geométrico, pero él observó que las distancias no eran relevantesen él. Nació así la Topología, que es la ‘geometría de posición’ como la habíabautizado Leibniz. La Teoría de Grafos es una parte esencial de ella y estudialos ‘caminos’ en una red. Es fundamental en el diseño de redes eléctricas, en elenrutamiento de Internet e incluso para la geometría de las moléculas.

AULAD E E L M U ND O

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EL INSPECTOR DE CARRETERAS Y SU PROBLEMA

CÓMO ENCONTRARLA SOLUCIÓN GENERAL

NO SIEMPRE HAY UNALA SOLUCIÓN

Imaginemos un inspector de carreterascuyo trabajo consiste en viajar por lasvías que comunican una serie de ciu-

dades para determinar desperfec-tos, el estado del firme o la coloca-ción de las señales viales. Esevidente que para optimizar sutiempo y economizar kilómetros, sumáximo interés reside en disponerde una ruta que le permita revisarun determinado sistema de carre-teras sin pasar dos veces por lamisma vía. En sutrabajo, irá deuna ciudad aotra intentan-do pasar unasola vez por cadavía: ¿podrá hacerlo así encualquier red de carrete-ras?

No todos los sistemas de carreterastienen una solución a nuestro pro-blema. Existen configuraciones de

redes en las que obligatoriamentenuestro inspector deberá pasar almenos dos veces por un mismo tramopara realizar la inspección.

EL PROBLEMA DELINSPECTOR DE RUTAS

La ciudad alemana de Königsberg esmuy peculiar: tiene dos islas centra-les sobre el río Pregel que se unen

a tierra firme por siete puentes. El pro-blema sugiere la siguiente pregunta:¿es posible recorrer los siete puentessin pasar dos veces por ninguno deellos? A pesar de que la pregunta pa-rece trivial, no lo es en absoluto. Eulerobservó que aunque parece un proble-ma de geometría, no intervienen dis-tancias, longitudes o medidas. Observóque lo importante era la relación exis-tente entre los puntos y los caminos.

La solución de Euler al problema de los puenteses negativa: no es posible cruzar los siete puen-tes sin pasar dos veces por alguno de ellos. Delmapa de los puentes pasamos al esquema su-perior y de él podemos obtener la red de la de-

recha. En ella hay cuatro nodos de grado impar,y por tanto, sobre ella, no tiene solución el pro-blema del inspector de carreteras.

Comenzamos por cualquierciudad y realizamos cualquier

circuito. Por ejemplo el marcadoen verde.

A partir de cualquier ciudaddel camino anterior cubri-

mos otra parte del recorrido.

Estos dos caminos puedenunirse en uno solo que cubre

parte del recorrido total.

Repetimos el proceso anteriorcubriendo un circuito por el que

no hayamos pasado.

1

4

56

Para resolver este tipo de problemas, loprimero que hacemos es construir un dia-grama simple de la situación real. Las c iu-dades se convierten en nodos y lascarreteras en segmentos rectos oarcos. Para el caso propuesto, lasolución es pasar por las ciudadesen el orden numérico indicado.

Busquemos una ruta que solucione el problema del ins-pector de carreteras para la siguiente red que tiene todassus ciudades de grado par y por tanto solución.

En este caso es ine-vitable pasar dosveces por la carrete-ra que lleva al nodoa o al b

2

3

a

b

EL GRADO DE UNA CIUDAD

loli tabrain @ loli tabrain.com

L O S P UE N TE S D E K Ö N I G S B E R G

1

2

34

5

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ALGUNOS RESULTAIMPORTANTES

Si una ciudad tiene grado impar, elinspector debe necesariamentecomenzar o finalizar su trayecto enella.

RESULTADO 1

Si hay más de dos ciudades de gra-do impar en una red, el problema delinspector no tiene solución .

RESULTADO 2

No puede existir una red de carrete-ras que tenga una sola ciudad degrado impar. Si tiene una, por lomenos existe otra.

RESULTADO 3

Si una red de carreteras no tieneninguna ciudad de grado imparsiempre hay una solución para elproblema. Además, el inspectorpuede comenzar por la ciudad quedesee y terminará en ese mismolugar.

RESULTADO 4

Si una red tiene exactamente dosciudades de grado impar, el proble-ma del inspector tiene soluciónsiempre que la ruta escogidacomience en alguna de esas dosciudades.

RESULTADO 5

1

4

3

2

El grado de una ciudad, ode un nodo, es el número decaminos que llegan o salende él. Así, el orden de la ciu-dad de la imagen es dos.Nos interesa distinguir si elgrado de una ciudad de unared es par o impar. Esto va adeterminar cuándo el pro-blema del inspector derutas tiene o no solución.

Una ruta solución es la marcada porla serie numérica.




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Para representar la co rrespond encia entre tres a ctrices y su co lor de o jos, los ma temáti-cos construyen lo q ue llama n elPROD UCTO CARTESIANOdel conjunto A= {C ame ron Diaz,J ennifer Connelly, Liv Tyler} y el de O= {o jos a zules, ojos verdes} , que se representa co n

el siguiente diag rama q ue recoge todos los po sibles empa rejamientos entre ellos.

¿CÓMO SE REPRESENTA UNA RELACIÓN?

Las relac iones e ntre ob jetos o e ntida des son b as e fundamental de nuestro mundo. Cuandodecimos q ue una persona tiene los ojos a zules, q ue el número de lados que tiene un pentág o-no son cinco, o cuando a soc iamos a un país su número de ha bitantes, es tamos es tableciendorelaciones entre conjuntos con elementos distintos. Los matemáticos se preocuparon deenc ontrar un mod elo, una teoría q ue pudiera representar esta s co nexiones entre objetos y atri-butos. A estas estructuras se las d enominó correspondencias, q ue son la ba se d e las funcio-nes, sin las que la ma temática no sería lo que es.

por Lo lita Brain

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APLICACIONESDE CONJUNTOS

Conjunto originalConjunto final

Elementoimagen deCameronDiaz y LivTyler

Elementoimagen deJenniferConnelly

ACTRICES OJOS

CON DIAGRAMAS DE VENN Si incluimos a Audrey Tau-tou, ella no tiene IMAGENasociada, pues sus ojosson neg ros. Tampo cotenemos una APLICACIÓN.Es unaCORRESPONDENCIA.

Inyectiva (pero no sobreyectiva)

Todos los ojostienen parejaCameron y Livtienen ojos azulesCameron y Jennifertienen ojos difrentesLos ojos negrosno tienen pareja

Cameron Diaz

Verdes

Azules

Jennifer Connelly Liv Tyler

Sobreyectiva (pero no inye

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , )( , )

( , ,={

Actriz-ojos

},)(, )

(, )

Si asoc iamo s los ojos con las a ctricesno tenemos una APLICACIÓN porquelos ojos azules están en correspon-dencia condos actrices.Otra forma de representar una correspondencia es con diagramas

de Euler-Venn. Los conjuntos se representan con ó valos q ue co n-tienen los elementos y se trazan flechas q ueunen los elementos

que están relacionados. En es te caso , la correspondencia establecela relac ióntiene el color de ojos... en el seno d el conjunto de a ctrices.

So bre el diagrama del producto ca rtesiano, seleccionamo s (en verde) los pa res que es tablecen la relación que s e dese aexpresar: a ca da a ctriz le as ociamos e l color de sus ojos. Esta es la correspondenciaActriz-color de ojos seg ún el formalis-mo de la teoría de co njuntos.

De todas las correspondencias, las que nos interesan son aque-llas en las que todos los elementos iniciales tienen una pareja enel conjunto final y sólo una. Son las APLICACIONES .

VENN Y LA LJOHN VENN

(1834 - 1923)

Existen muchas for-mas de a cercarse alconcepto de fun-

ción en matemáticas.Nosotros va mos a utili-zar una que entroncacon lo que se deno mi-nó mate mátic as modernas y que sin serla que históricamenteaconteció, si es unaformulación modernaque involucra conjun-tos, elementos y rela-ciones. Fue d esa rrolla-da po r los pa dres de lalógica moderna, losbritánicos Boole yVenn, a medio ca minoentre la lógica y lasmatemáticas.

Las dos corres-p o n d e n c i a ssiguientes sona p l i c a c i o n e sdiferentes. Enuna, a elemen-tos distinos seles asocianimágenes dis-tintas . Es unaINYECCIÓN. En laotra, todos loselementos delconjunto finaltienen algunapareja del con-junto inicial. Esuna SOBREYEC-CIÓN.




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Lo primero que hemos detener en cuenta es que laciencia estudia los fenóme-

nos que cambian, o si se quiere,los cambios que sufren losfenómenos. Aquello que esinmutable se puede definir,pero sin cambio no hay análisis.Sin embargo, los procesos delUniverso, de la materia o de laenergía que varían, en generalcon el transcurso del tiempo,son los que preocupan a loscientíficos. Y para estudiarlosse asignan a cada momento o acada estado el valor de la mag-nitud que se estudia.

Disponemos de un litro de agua calentado a una cierta temperatura,pongamos 60

oC. Conforme pasa el tiempo, el agua irá perdiendo

calor y su temperatura descenderá progresivamente hasta estabili-zarse en un valor, supongamos que 20

oC al cabo de 50 segundos. A

cada instante de tiempo que consideremos oportuno podemos asig-narle la temperatura que tiene el agua en dicho momento.En este ejemplo:a) El dominio son los 50 segundos en los que transcurre el fenómeno.b) La imagen es el conjunto de temperaturas observadas

entre 60oC y 20

oC.

c) La regla es “la temperatura del agua en cada instante”.

Lo que es realmente difícil esencontrar la forma en la que

se pierde el calor, es decir, laexpresión de la regla que nos permi-

te poder saber cómo transcurre el fenómeno.Esta es y ha sido la labor permanente de los físicos.

UN EJEMPLO CALÓRICO

UN EJEMPLO MECÁNICO

Veíamos la semana pasada el modelo que los matemáticos utilizan para representar las rela-ciones entre entidades: las aplicaciones. Muy en especial, las aplicaciones que establecen rela-ciones entre números son capitales para poder entender nuestras matemáticas y la forma enque son útiles para explicar el mundo. Es importante recordar que, entre otras, las ciencias físi-cas y químicas estudian los cambios de las magnitudes: la cambiante posición de un móvil a lolargo del tiempo, la variación de temperatura de un cuerpo que se enfría, etc. Todos los cambiosse representan en matemáticas a través de las funciones.

por Lo lita Brain


¿QUÉ ES UNA

FUNCIÓN?

0 segundos

20 segundos

50 segundos

60oC

40oC

20oC

Cauchy realizó una extraor- dinaria labor para sistemati- zar el concepto de función.Pero no es el único.

AUGUSTIN CAUCHY

(1789-1857)Lagrange fue un impulsor de la teoría formalizada de funciones escrita en su ‘Mecánica Analítica’.

JOSEPH -LOUIS LAGRANGE

(1736-1813)

LA GRÁFICA DE UNA FUN

Si pudiéramos tomar una serie de fotografías a alta velocidad delmovimiento del balón, obtendríamos lo que se denomina la gráfi-ca de la función. Es la representación en el plano de las distintas

parejas ( tiempo , altura ) que dibuja el movimiento del balón. En estecaso, esta gráfica es una curva parabólica, motivo por el que sole-mos decir que el balón “ describe una parábola ”.

Cuando un portero de fútbol saca de puerta, el balón asciende hasta una determi-nada altura y luego comienza a caer. Podemos asignar, a cada instante en elque el balón está volando, la altura a la que se encuentra. Esto es una función

en la que:a) El dominio son los segundos que hay en el intervalo de tiempo que tarda el

balón en caer al suelo.b) La imagen sería el conjunto de alturas, medidas desde el suelo, a las que se

encuentra el balón sucesivamente en su desplazamiento.c) La regla que asocia tiempos (segundos) a alturas (metros) es la altura a la quese halla en cada instante el balón.

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?Con estas premisas, los matemáticos han construido la idea de función. Este

concepto se fue gestando a lo largo de la historia, con la participación demuchos matemáticos y va desde un uso más o menos intuitivo __ pero útil __ has-

ta la generalización de la que hoy hace gala.Con brevedad, una función está constituida por tres objetos :a) Un conjunto de partida llamado dominio( D )b) Un conjunto de llegada llamado imagen( I )c) Una regla (f ) que asigna, a cada elemento del dominio, uno y sólo un elementodel conjunto de imagen.

La imagen del elemento x

se calcula como

su doble más 1

¿QUÉ ESTUDIAMOS DE UN FENÓMENO FÍSICO?



A veces las ideas que transforman profundamente las ciencias son tan sencillas que conla vista puesta en el pasado sólo se puede exclamar: “¡Es imposible que no se le ocurrieraantes a nadie!” Una de esas ideas revolucionarias es la incorporación de un sistema decoordenadas para estudiar la Geometría. Aunque algunos matemáticos griegos comoApolonio de Pérgamo o Ptolomeo de Alejandría intuyeron de algún modo esta posibilidad,hubo que esperar al fecundo siglo XVII para que se hiciera realidad. Ésta es su historia.

por Lo lita Brain


LA GEOMETRÍACON NÚMEROS

Si hemos de buscar antecedentes históricos a lossistemas de coordenadas, debemos recordar aApolonio de Pérgamo, que en su estudio de lassecciones cónicas intuye el uso de números para suplir

a puntos. Y por supuesto, no podemos olvidar al granastrónomo Ptolomeo, que en su afán de crear un mapade la Tierra utiliza ideas similares a las de Descartes yFermat para posicionar puntos terrestres.

LOS CREADORES

SISTEMA DE COORDENADAS

¿CÓMO SE UTILIZAN?

ANTECEDENTES

RENÉDESCARTES

(1596-1650)

La idea elemental de Descartes y Fermat fue la siguiente. Elplano está compuesto por un conjunto de puntos. Tracemosun par de rectas perpendiculares que se cortarán en un puntoque llamaremos origen (O ). Llamemos a una de las rectas ejede abscisas (X ) y a la otra, eje de ordenadas (Y ). Por último,tomemos una unidad de distancia sobre cada uno de estosejes. Ya tenemos un sistema cartesiano de coordenadas.

Esta otra ecuación representa a larecta que pasa por el punto (0,-3)y tiene una pendiente de 3, mayorque la anterior.

Hecho esto, cada punto P del

plano, una entidad geométrica,queda asociado a una parejade números, una entidadalgebraica: sus coordenadascartesianas.Para ello, se trazan paralelas alos ejes OX y OY que cortan enlos puntosR y S a cada uno deellos. La distancia que separaa R del origen O es lacoordenada X (o abscisa de P )y la correspondiente distanciade S al origen, su coordenadaY (u ordenada).

Si observas eldiagrama, el punto P se corresponde con

la pareja de puntos(2,3), mientras queel punto Q está encorrespondenciacon la pareja (-3, 2).A partir de estossupuestos, lasacciones geométricas conellos se realizan através deoperaciones con lasparejas de números(2,3) y (-3,2).

MAPA DELATIERRA, DE PTOLOMEO DEALEJANDRÍA.

Independientemente, ambos dieron un saltocualitativo en la Geometría al comprender queera posible conocer las figuras geométricasestudiando los números y las ecuaciones.Hasta ellos, la Geometría era heredera de latradición griega, y el Álgebra, de la matemáticababilónica y árabe. Con ellos, ambos mundos,el de los números y el de las figuras, intimarontanto que acabaron por ser la misma cosa.

¿QUÉ INVENTARON D

PIERRE DEFERMAT

(1601-1665)

A dos gigantes de la matemática, yno sólo de ella, debemos la creaciónde la que con el tiempo pasó allamarse Geometría Analítica yGeometría Algebraica. Ellos sonnada menos que el filósofo raciona-lista por antonomasia, Descartes, y elirrepetible matemático enamorado delos números, Fermat, del que recor-daremos tan sólo su famoso ‘TercerTeorema’, que trajo decabeza a toda la matemática hastahace unos pocos años, cuando sedemostró su conjetura.

¿Y AHORA QUÉ HUna vez que tenemos definido elsistema de coordenadas, lasfiguras geométricas se conviertenen ecuaciones con las incógnitasX e Y .

RECTASEstos elementos fundamentalesde la Geometría se expresan através de ecuaciones de primergrado.

Esta ecuación representa a larecta que pasa por el punto (0,3)y tiene una pendiente (inclinación)de 2.

Si resolvemos este sistema deecuaciones como se hace en

Álgebra, determinaremos el puntoen el que se cortan las dos rectas,¡sin necesidad de dibujar!



AULA .717 . 12 . 99EL MUNDO

Viernes cultural. Lámina coleccionable

por Lolita Brain

Uno de los fenómenos más comunes de la física esel del movimiento. Hasta tal punto es importante, que el

estudio del cómo se mueven los cuerpos constituyeuna de sus partes fundamentales: la cinemática.

Si quisiéramos saber la causa por la que los cuerpos se

mueven de una determinada forma, hablaríamosde la dinámica. De todos los movimientos posibles,hay uno especialmente cotidiano: el que describen loscuerpos cuando se lanzan en La Tierra: el parabólico. Así que demos un paseo parabólico.

TUS PREGUNTA S POR L A RED: www.dailan.com/verenet/lolitabrainCORREO ELECTRÓNICO: [email protected]

CUA NDO L A NZ A MOS unobjeto al aire en laTierra, con un impulso

vertical (para queascienda) y otro horizon-tal (para que avance), elcuerpo describe siemprela misma trayectoria: una

parábola . En realidad, nonos parecerá que elobjeto describa esacurva. Pero si nos fijamosen un punto especial del

objeto, que los físicosllaman centro de masas,podremos comprobarque este punto sí quedescribe una parábola.La fotografía superior esuna exposición múltipledel movimiento de unamaza de ballet lanzada alaire. En color puedes verla parábola que describesu centro de masas (elpunto central).

EL MOVIMIENTO parabólico de uncuerpo se describe descompo-niéndolo en dos movimientos

independientes: uno horizontal, enel que no varía la velocidad, (salvo elrozamiento con el aire) y otro vertical en el que la velocidad vadescendiendo hasta el punto másalto y luego aumenta hasta tocar elsuelo. En el diagrama, puedes vercomo la flecha verde es siempreigual, mientras que la azul decrece yluego crece. El movimiento horizon-tal le llamamos uniforme y el vertical acelerado (por la gravedadde La Tierra)

CUA NDO SE L A NZA UN PR OYECTIL , éstedescribe una trayectoria parabólica.El cálculo delalcance nos dirá a qué

distancia del disparo caerá el proyectil,lo que es fundamental para acertar o noen el objetivo. La altura máxima quealcance el proyectil es importante siqueremos sortear un obstáculo entre elpunto de lanzamiento y el objetivo.Estos dos valores dependen de dosparámetros: la velocidad con la que sedispara el proyectil y el ángulo de tiro.

UNO DE L OS RESULTADOS más asombrosos relacio-nados con el movimiento parabólico es el queafirma que, si despreciamos el rozamiento con

el aire, el tiempo que tarda una pelota en caer alsuelo es el mismo si simplemente la dejo caer o sila impulso horizontalmente. En esta fotografía demúltiples exposiciones puedes comprobarlo: encada etapa las dos pelotas están a la misma altura,luego llevan la misma velocidad. Este asombrosoresultado fue descubierto por GalileoGalilei, y está tan lejos de nuestrosentido común que hasta elpropio Descartes dudó de laafirmación del maestro. En 1658se realizó una prueba experimen-tal que no confirmó exactamente latesis de Galileo, probablementepor errores de medición. Hoy sesabe que es cierto lo queGalileo postuló.

G A LILEO G AL IL EI (1564-1642)puede considerarse elpadre de la cinemática

clásica y del método experi-mental. Espíritu con grandesdotes intuitivas, rechazabatoda afirmación que nopueda comprobarse experi-mentalmente. Astrónomo, físico yprofesor dematemáticas,dedicóbuenaparte desuingenio

a estudiar la caída libre delos cuerpos y el lanzamientode proyectiles. En su obra“Consideraciones y demos- traciones matemáticas sobre dos ciencias nuevas” estudiadefinitivamente el movi-miento parabólico: el que

describen los proyectilescuando son lanzados.

Defensor delsistema de

Copérnico(1473-1543)que afirma quela Tierra giraalrededor del

Sol, laInquisi-ciónromana lecondenó aretractar-se de estasideasconsidera-dasheréticas.Son famosas las palabrasfinales de Galileo en esteproceso, “E pur si muove” (ysin embargo se mueve) enuna obstinada referencia almovimiento de la Tierra.

EST A FOTOGRAFÍA muestra en exposicio-nes múltiples la trayectoria quedescribe una pelota cuando se lanza al

aire. Entre una toma y la siguiente hay 4décimas de segundo. Como puedes

ver, la curva que describe es unaparábola. Esto mismo sucedecuando el portero de fútbol saca depuerta, cuando un tenista da un

golpe, cuando el jugador de golf realiza un drive , cuando un avión

lanza un fardo o una bomba, cuando sedispara un proyectil con un mortero o

cuando el jugador de beisbolrealiza un buen golpe. Porsupuesto, la pelota que lanzael pitcher también describeuna parábola. Para que ésto

suceda así se debe impulsar elobjeto tanto vertical como horizontal-mente. Es decir, si sólo dejas caer unapelota desde tu terraza, no describiráuna parábola, si no que caerá siguiendouna línea recta. Pero si la impulsas o

empujas a la vez que latiras, sí que trazará estacurva en el aire.

C U A N D O C A E N L A S C O S A

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