3a parte del aula de matematicas para 'el mundo

7/25/2019 3a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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por Lolita Brain

La pasada semana presentamos un conjunto de nmeros muy especiales: los irra-cionales. De entre ellos, el conocido pi es uno de sus ms importantes repre-sentantes. Siendo irracional, pi es un nmero con infinitas cifras decimales que nosiguen ningn patrn peridico y que por tanto ser desconocido eternamente. Sucarcter mgico pero a la vez omnipresente en la Matemtica lo convierten enexcepcional. Son los caprichos de la Naturaleza los que ataron para siempre ala perfecta, la circunferencia, con un perfecto desconocido, pi.

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P I , UN CAPRICHODE LA N ATURALEZA

La necesidad de calcular la longitud de una circunferencia fue primordial para todas las civilizaciones, yaque esta figura se ve envuelta en mltiples aplicaciones cotidianas . De ah que a lo largo de la historia losdistintos pueblos hayan encontrado distintos valores de pi que usaban para los clculos geomtricosms elementales.

En el Papiro Rhind, el escribaAhmes calcula el rea de un cr-culo de dimetro 9 usandopi = 3,1405.

La famosa frmula para calcular el rea de un cr-culo, debida a Arqumedes (rea crculo = Pi xRadio x Radio) nos dice que pi es tambin larelacin que existe entre el rea del crculo -enrojo en la imagen- y el cuadrado construido sobreuno de sus radios -en verde en la figura-.

P i representa la constante universal que existeentre la longitud de cualquier circunferencia y sudimetro. Es por lo tanto el factor por el que hayque multiplicar la longitud del dimetro de una circun-ferencia para calcular su longitud.

QU ES PI?

PI A LO LARGO DE LA HISTORIA

MTODOS DE CLCULO DE PI

Aunque aparentemente los nmeros primos y pi nodeberan tener nada en comn, un producto curiosopermite calcular pi utilizando la serie de los nmeros

sucesivos...

FRMULA DE WALLIS

Egipto1650a.C.

En el Libro de los Reyes secitan las dimensiones de un cilin-dro de fundicin con un valor depi igual a 3.

La Biblias. IIIa.C.

En Sobre la medida el crculo,el gigante de Siracusa, Arqu-

medes calcul pi con un valorentre 3,1412 y 3,1428. Un xitohistrico.

Arqumedes215

a.C.

Este matemtico chino acot elvalor de pi entre 3,1410 y 3,1427que, aun siendo muy bueno, no loes tanto como el de Arqumedes.

Wang Fans. IIId.C.

La moderna computadoraENIAC, que ocupaba una habita-

cin, invirti 70 horas de proce-samiento para calcular las prime-ras 2.000 cifras de pi.

ENIAC1949

Usando un polgono inscrito denada menos que 2.832! lados,este matemtico que vivi enSamarcanda obtuvo pi con 17cifras decimales.

Al-Kashis. XVd.C.

GHIYATH AL-DIN

JAMSHIDMAS'UD AL-KASHI

(1380 - 1429)

ARQUMEDES DESIRACUSA

(287 - 212 a.C.)

PI Y LOS PRIMOS

E l mtodo que sigui Arqumedes para calcularuna excelente aproximacin de pi se basa en uti-lizar las reas de ciertos polgonos regulares ins-critos en un crculo. Las reas de estos polgonos

se aproximan al rea del crculo y esto permite cal-cular, y por tanto conocer, con mayor precisin api. Arqumedes utiliz la serie de polgonos de 6,12, 24, 48 y... 96 lados.

Adems de estos polgonos ins-critos se tienen que utilizar lospolgonos exteriores al crculocon el mismo nmero de lados.

De este modo calculamos pi porexceso.

CALCULANDO COMO ARQUMEDES

Para calcular el valor de pi se han utilizado mlti-ples mtodos, unos ms geomtricos y otrossencillamente curiosos. Te exponemos algunosde ellos.

Leibniz (1646 - 1716) encontr una bonita expre-sin de pi como suma de infinitos nmeros -loque se denomina serie numrica-. En sta deLeibniz se alternan sumando y restando, los inver-sos de los nmeros impares. No es una serie quese acerque a pi deprisa, lo que quiere decir que sehan de sumar muchos trminos para que el valorde pi obtenido contenga muchas cifras decimalescoincidentes con las de pi.

FRMULA DE LEIBNIZ

John Wallis (1616 -1703) encontr el valorde pi a travs de un pro-ducto con infinitos facto-res que multiplica lospares por un lado y por elotro los impares.


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Si hay un nmero que permanece unido a cada uno de nosotros desde la infancia es el mis-terioso tres catorce diecisisque aprendimos a escribir de nios en nuestra primera frmulaautntica: la que calculaba la longitud de la rueda de una bicicleta. El misterioso nmero es-taba bautizado con una letra griega, quiz la primera de nuestra vida, equivalente a la p. Ha-blamos del nmero PI, uno de los ms omnipresentes de toda laMatemtica. Su relacin con la circunferencia es la responsable de su ubicuidad, desdela Geometra hasta la Estadstica.

po r L olita Brain

ESE MISTERIOSO

NMERO PI

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PERO Q U ES PI?

A rqumedes de Sira-cusa (287 a.C.) mar-ca un antes y un des-pus tanto en la bs-queda de unaaproximacin del valorde PI como en la com-prensin del significadode esta constante. Ha-cia el 215 a.C. escribiSobre la medida del cr-culo, en la que utilizan-do la reduccin al ab-surdo y el mtodo deexhaucin de Eudoxollega a calcular sin cal-culadora! una aproximacin de un crculo por un polgonode nada menos que 96 lados, y concluye que PI est entre6.336/2.017 y 29.376/9.347, es decir, entre 31412989 y31428265, la mejor aproximacin de su tiempo y una de

las mejores de toda la historia.

Con el desarrollo del lgebra francs y la aparicin del ANLISIS a lo largo de los siglos XVII y XVIII, seencontraron frmulas asombrosas con sumas o productos de infinitos nmeros que proporcionan msy ms decimales de PI conforme se usan ms sumandos o factores.

La frmula deLeibniz essencilla: basta consumar y restaralternativamentefracciones con losimpares en eldenominador.Luego semultiplica porcuatro.

Con frmulas similares a stas y el uso de computadores fue posible calcular un nmero anteriormente inimaginable de cifras de PI. Sus primeros 100.265 decimalesse obtuvieron en 1961 en un IBM 7090. William Shanks pasar a la historia como el ms perseverante calculador de cifras de PI. Pas 20 aos calculando sus pri-meros 707 decimales. Pero en 1945 la computadora ENIAC descubri que haba cometido un error en el dgito 528 y... en todos los siguientes. En 1949 el ENIAC in-virti 70 horas de procesamiento para calcular las primeras 2.000 cifras de PI.

La frmula deWallis es muy fcilde calcular. Semultiplican losnmeros paresconsecutivos y sedivide por losimpares, repetidosdos veces.

La frmula deVite, aun siendoalgo ms difcil decalcular que suscompaeras, tieneel mrito de habersido descubiertaantes de lasprimeras ideas delanlisismatemtico deWallis o de Leibniz.

E l siempre inteligentsimo y brillan-te Mr. Spock, de la serie futuris-ta Star Trek, consigui salvara la tripulacin de la maldad deuna diablica computadora.Spock le orden que calcularael valor de PI y como PI es irra-

cional la computadora se quedpresa de un proceso sin fin. Mien-tras ella calculaba... ellos esca-paban.

En la escuela aprendemos que la longitudde la curva ms primitiva y regular queexiste, la circunferencia, es la longitudde su dimetro multiplicada por PI; o quela superficie de un terreno circular con-tiene PI veces al cuadrado del radio. Ytodo esto qu significa? Sencillamente,que si trazas una circunferencia con ra-dio 1 m., el rea limitada mide PI m2. Se-mejante y poco intuitivo nmero ha sido

conocido desde siempre, ya que la cir-cunferencia interes y ha sido objeto depersecucina lo largo de los siglos.Y esque PI, para ser tan comn, goza de atri-butos muy particulares: es irracional, lo quesignifica que tiene infinitas cifras decima-les no peridicas, o dicho de otro modo,siempre ser un desconocido; y ademses trascendente, pero eso es otra historiamuy compleja.

En el Chiu Chang Suan Ching, Nueve Cap-tulos sobre el Arte Matemtico, del siglo IIa.C., se utiliza PI con el grosero valor de 3, quepermaneci en uso mucho tiempo en China. Hayque remontarse al 130 d.C. para encontrar comovalor de PI la Raz de 10=31622. A mediados

del siglo tercero, el astrnomo Wang Fan estimPI como 157/50= 314 exacto, y acot que PI es-taba entre 3141024 y 3142704, acotacin que,

aunque muybuena, es peorque la que dioArqumedes 500aos antes.

ARQUMEDES Y PI

PI EN CHINA

EL PI ANALTICO

JOHN WALLIS(1616-1703)

GOTTFRIED LEIBNIZ(1646-1716)

PI, PROTAGONISTA DEL CINE

Para los egipcios, la mo-tivacin del conoci-miento del rea del cr-culo era la construccinde silos de forma cilndri-ca para guardar el grano.Eso les llev inicialmente

a estimar PI como 3, aun-que se conocen mejoresaproximaciones egipcias,como la tradicional de lose s c r i b a sPI=256/81=31605 , bas-tante exacta. Otro valorms tardo esPI=3+1/7=31428 . En elproblema 48 del PapiroRhind, en la imagen, elescriba Ahmes nos expli-ca cmo calcular el reade un crculo con dime-tro de nueve unidades.En su solucin se usa31405.

LOS EGIPCIOS Y PI

En el Libro de los Reyes (s. III a.C.) de la Biblia se recogeel pasaje:

Reyes 1.7.23. Hizo asimismo un mar de fundicin,de diez codos del uno al otro lado, redondo, y decinco codos de alto, y cealo en derredor un cor-dn de treinta codos.Si lo piensas bien, el valor que se utiliza para PI es de 3, se-guramente de origen egipcio. En el Talmud judo se si-gue considerando el mismo valor de PI, hecho asombrososi tenemos en cuenta que se escribi a partir del siglo IIId.C., y por tanto varios siglos despues de Arqumedes.

PI EN LA SAGRADA BIBLIA

FRANOISE VITE(1540-1603)

AULAD E E L M U ND O

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popularidad y aplicaciones. Fi esta l igado al denom inadorectngulo de oro y a la sucesin de Fibiona cci. Aparecerepetida mente en el estudio del crecimiento de las plantas,las pias, la distribucin de las hojas en un ta llo, la form acinde cara colas.. . .y por supuesto en cualquier estudio armnicodel arte. Qu lo ha ce tan repetidam ente recurrente?

SI MIDES UNA tarjeta de crditocualquiera, comprobars que larelacin entre su largo y su ancho esaproximadamente de FI. Esto es asi

porque de todos los rectngulosposibles es el ms agradable a lapercepcin. Las dimensionesestndares de las fotos tambin

suelen ser

LA ESTRELLA PENTAGONAL erasegn la tradicin, el smbolo de losseguidores de Pitgoras. Lospitagricos pensaban que el mundo

estaba configurado segn un ordennumrico, donde slo tenan cabidalos nmeros fraccionarios. Lacasualidad hizo que en su propiosmbolo se encontrara un nmeroraro: el irracional FI como puedes veren la figura, donde QN, NP y QPestan en proporcin urea.

EN EL CUERPO HUMANO elnmero ureo aparece en muchasmedidas: la relacin entre lasfalanges de los dedos es el nmeroureo, la relacin entre la longitud dela cabeza y su anchura es tambin

E L N M E R O D E O R O

Es hora d e reconocer en nuestro uso diario de los nme-ros a uno muy especial , que aparece repetidamente en las

conversaciones de ma tem ticas. Es el nmero de oro, Fi,tam bin conocido como la proporcin urea . Es uno delos conceptos matemticos que aparecen una y otra vezliga dos a la na turaleza y el arte, compitiendo con PI en

Aunque no fue hasta el sigloXX cuando el nmero de oro(conocido tambin comoseccin urea, proporcinurea o razn urea) recibi

su smbolo, FI (la sexta letra delabacedario griego, nuestra efe),su descubrimiento data de la po-ca de la grecia clsica (s. V a.C.),donde era perfectamente cono-cido y utilizado en los diseos ar-quitectnicos por ejmplo el Par-tenn, y escultricos. Fue segu-ramente el estudio de lasproporciones y de la media geo-

mtrica de un segmento lo quellev a los griegos a su descubri-miento. El valor numrico de FIes de 1,618.... FI es un nmeroirracional como PI, es decir, unnmero decimal con infinitas ci-fras decimales sin que exista unasecuencia de repeticin que loconvierta en un nmero peri-dico. Es imposible conocer todaslas cifras de dicho nmero (comonos pasa con PI) y nos conten-tamos con conocer unos cuantosdgitos suyos suficientes para lamayoria de sus aplicaciones.

LEONARDO DAVINCIrealiz este dibujo parailustrar el libro DeDivina Proportionedelmatemtico LucaPacioli editado en 1509.En dicho libro se

describen cuales hande ser las proporcionesde las construccionesartsticas. En particu-

lar, Pacioli propone unhombre perfecto en elque las relaciones entrelas distintas partes de sucuerpo sean las deldibujo adjunto. Resultaque la relacin entre la

altura del hombre y ladistancia desde elombligo a la mano es elnmero ureo.

EL CRECIMIENTO DE LAS CARACOLAS tambin tiene relacin con el nmero ureo. En eldiagrama adjunto puedes ver como la curva que define una caracola, una espiral logartmica,se puede construir a partir de un cuadrado ureo, colocando un cuadrado a continuacin delrectngulo anterior. Al crecer con esta curva como esquema el caracol crece mucho (geom-tricamente) por simple adicin (aritmticamente) manteniendo a la vez la misma proporcinentre sus partes.

EL PARTENN de Atenas es la construccin arquitectnicapor excelencia que utiliza el nmero de oro para organizar suestructura. El diagrama muestra el anlisis armnico delmismo.

QU MIDE EL NMERO DE ORO?Supn que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos trozos de tamaos distintos.Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividindolo de modo que la partemayor sea doble que la menor, o cuatro veces la menor etc. Ahora bien, slo existe unaforma de dividir tal segmento, de modo que la relacin (razno ratio) que guardan elsegmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento yel trozo mayor que las dos partes entre s. Para ello basta con que dividas la longitud delsegmento inicial entre Fi=1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor.

segmento mayor

segmento menor

segmento total

segmento mayor=

por Lolita Brain


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Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

De todos los rectngulos que es posible construir hay un grupo muy especial. Se tra-ta del rectngulo ureo o de oro. Se denomina as porque la razn que existe entresu lado mayor y el menor es un nmero muy especial denominado nmero de oro orazn urea. Esta simple idea le proporciona propiedades especiales. Es el nicocon la posibilidad de hacerlo crecer sin necesidad de tomar medidas. Su diagonaltiene asimismo una propiedad particular. Y adems se encuentra en innumerablesobras artsticas por el equilibrio que transmite. Es tan fantstico que todas las tarje-tas de crdito son rectngulos de oro.

UN RECTNGULO

MUY ESPECIAL IEL NMERO DE ORO

EL RECTNGULO DE LAS TARJETAS

L as tarjetas de crdito son todas igua-les en forma y tamao. Si las midescomprobars que sus lados miden 8,5y 5,3 cm respectivamente. Si efectas ladivisin de esas dos medidas obtienes

1,6, que es casi el nmero FI. Cuando enun rectngulo sus lados estn en estarazn se dice que es un rectngulo ureoo de oro. Veremos que sin necesidad demedir los rectngulos podemos saber sison o no ureos.

AS SE CONSTRUYE UN RECTNGULO UREO

P ara dibujar un rectngulo ureo no necesitamos ningn instrumento de medida. Siconoces el ancho del rectngulo que quieres construir te bastar con seguir lossiguientes pasos para dibujarlo.

1.- Primero dibuja dos cuadrados con elancho AB que queremos que tenga el rectn-gulo. Dibjalos uno junto al otro.

3.- Por el extremo inferior derecho traza unaperpendicular a la diagonal anterior (en pun-tos) que proporciona el punto C.

4.- El rectngulo que pasa por C (en naranja)es el rectngulo ureo que queramos dibu-jar. Fcil!

El segmento ABes el alto del rec-tngulo.

2.- Traza la diagonal del rectngulo que hasobtenido con los dos cuadrados.

CMO SABER SI UN RECTNGULO ES UREO?Esta propiedad no la tienen todos los rec-tngulos. Observa el de la figura. Cuandounimos los vrtices de dos copias delmismo rectngulo,esta recta corta encuatro puntos a losrectngulos, en lugarde hacerlo en slotres.

P uedes averiguar muy fcilmente si un rectngulo es ureo. Para ellobasta con colocar dos copias del rectngulo en cuestin, tal comoindica la figura. Tra-za la diagonal AC yprolngala. Si dichadiagonal pasa por N,tenemos un rectngu-lo ureo. Puedes pro-bar tambin con undocumento nacionalde identidad y com-probars que tambines de oro.

parte mayor

parte menorsegmento totalparte mayor

=

A B C

(AB)

BA

(AB)(BC) (AC)

C

=

1,61803...

8,5 cm.

5,3 cm.

D el mismo modo que el nmero PI encierra una presencia ubicua en lasmatemticas, hay otro nmero muy relacionado con la geometra queest ntimamente ligado al arte.Supn que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos partes detamaos distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplodividindolo de modo que la parte mayor sea triple que la menor, como en eldiagrama. En este caso se cumple que:

Ahora bien, slo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la rela-cin (razn oratio) que haya entre el segmento total y la mayor de las partessea igual a la que mantienen las dos partes entre s. Decimos que ambas par-tes se hallan en proporcin urea (La Divina Proporcindesde el Renacimien-to) y su valor es el denominado nmero de oro, FI=1,618... Un nmero, quecomo PI, tiene infinitas cifras decimales no peridicas. Siempre que la raznde dos magnitudes sea el nmero FI, decimos que estn en proporcin urea.

parte mayor

parte menor

3 unid.

1 unid.

4 unid.

3 unid.

segmento total

parte mayor= =

A

C

N


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La Geometra tiene dos teso-ros: uno es el Teorema de Pitgoras, elotro la Seccin urea. El primero puede serconsiderado una medida de oro, la segun-

da una joya preciosa.JOHANNES KEPLER

por Lolita Brain

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En la teora del arte hay un vocablo, euritmia, que expresa un hbrido entre tresprincipios fundamentales del diseo: la armona, la proporcin y el movimiento.El rectngulo ureo del que hablamos la pasada semana es un paradigma deestructura compositiva con euritmia. Ha sido utilizado como esquema composi-tivo a lo largo de todos los tiempos y en todas las artes. La catedral de NotreDame, el Partenn de Atenas, El sacramento de la ltima cena de Dal o laVenus de Milo son slo algunos ejemplos de obras de arte que comparten el usode la proporcin urea como elemento compositivo.

UN RECTNGULO

MUY ESPECIALY

I ILA GRAN PIRMIDE Y EL NMERO DE ORO

EN LA ARQUITECTURA MODERNA

FI TAMBIN EST EN LA PINTURA

Y DAL LO UTILIZ

O bserva que calculada la apotema de la pirmide a con elTeorema de Pitgoras, en el tringulo que trazamos al sec-cionar transversalmente la Gran Pirmide, se obtiene comocociente -razn- el nmero con cuatro cifras decimalesexactas.

L a pintura ha utilizado profusamente el rectngulo ureo comoesquema compositivo bsico, sobre todo a partir del Renaci-miento, como hicieron Durero o Leonardo da Vinci. Pero tam-bin en pocas modernas. Si observas El bao en Asnires deSeurat, el horizonte corta el cuadro longitudinalmente por la sec-cin urea de la altura del lienzo. Eso proporciona un rectnguloureo con la sien del baista sentado. Este rectngulo se utiliza acontinuacin (en la imagen son los rectngulos coloreados) comoun mdulo donde se enmarcan las restantes figuras del lienzo.

E n El sacramento de la lti-ma cena, Dal dispuso laobra en un lienzo que eraun rectngulo de oro. Lamesa se encuentra en laseccin urea de la altura dellienzo. Del mismo modo, losapstoles estn de espaldasen las secciones ureas delancho del lienzo. Adems,las ventanas del fondo sonparte de un dodecaedro,que es un poliedro formadopor pentgonos en el que se encuentra en muchas de

sus proporciones.

apotema

mitad lado

186,369

115,182

=

A

B

C

(AB)(AC) = =

1,61803...

1, 61804...

Fjate tambin enque si dividimostodas las medidas

del tringulo anteriorpor la mitad del lado,es decir, por 115,182,obtenemos un trin-gulo cuyos ladosmiden 1, y 1,2720,que es exactamentela raz cuadrada de.A este tringulo se ledenomina Tringulode Kepler.

L a Torre CN de Toronto, con sus 553,3metros de altura, es la torre de comu-nicaciones ms alta del mundo y fueconstruida entre 1973 y 1975. Tiene, a342 metros del suelo, una plataforma deobservacin, controles de radio y unrestaurante que la separa en dos sec-ciones. Dichas secciones no son arbi-trarias sino que dividen a la torre segnla proporcin urea.

AD

B

C

ACBC BCAB= = =ABDA

M uchas son las propiedades geomtricas atribui-das a la Gran Pirmide de Gizeh, la P irmide deKops. Una de ellas es que est levantada sobreun tringulo que mantiene la proporcin urea. Conms precisin, la relacin que existe entre la mitad dela base y la altura de los lados es precisamente.

1 , 6 1 8 0 4 . . .


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AULADE EL M UN DO

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Solemos asociar la belleza a algo que no es posible cuantificar objetivamente. Nos pare-ce que las cosas son hermosas exclusivamente en funcin de nuestra subjetividad, quenos hace ver la realidad ms o menos bonita. Pero, aunque para gustos se hicieron loscoloresy aceptamos sin ms el gustode cualquier persona, el hecho es que en general de-terminados rostros, edificios, plazas o composiciones nos resultan especialmente her-mosas. Las relaciones entre las partes y el todo nos sugieren un mayor equilibrio y, porende, una mayor belleza. Detrs de estas consideraciones est la idea de proporcin.

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La reconocida belleza de ELPARTENNde La Acrpolis ateniensese debe en buena parte al uso de la proporcin area en sus di-mensiones. Es uno de los primeros ejemplos arquitectnicos

en los que las relaciones entre sus elementos se hallan en di-cha relacin. Los griegos, desarrollaron sus matemticas sobrebases geomtricas y toda ella est expresada en trminos de ra-zones y proporciones entre segmentos. Encontraron en lasmatemticas una manera de crear armona en las artes.

LA ARMONA DE UN ROSTRO, uno delos elementos que nos conducena verms o menos belleza en l,tiene una estrecha relacin conlas proporciones que percibimosen l. La armona del rostro seanaliza geomtricamente mi-diendo las distancias entre lafrente y la barbilla, entre los ojosy la boca, entre la nariz y el men-tn..., y comparndolas entre s.La repeticin de patrones entreestas medidas y el valor de dichopatrn, es determinante a la hora

de decidir qu rostro es ms ar-monioso. Estudios recientes de ci-rujanos plsticos, demuestran es-tadsticamente, que aquellos ros-tros en los que estas relacionesentre las medidas de la cara obe-decen a la proporcin urea sonaquellos que nos producen unamayor sensacin de belleza.

Supn que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos partes de ta-maos distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas: por ejemplo divi-dindolo de modo que la parte mayor sea el doble que la menor, o cuatro

veces la menor. Ahora bien, slo existe una forma de dividir tal segmento, demodo que la relacin (razno ratio) que haya entre el segmento inicial y lamayor de las partes, sea igual a la que mantienen las dos partes entre s. De-cimos que ambas partes se hayan en proporcin urea (La Divina Proporcindesde el Renacimiento) y su valor es el denominadoNMERODE ORO, FI=1,618....Un nmero, que como PI, tiene infinitas cifras decimales no peridicas.

E

l famossimo dibujo

de Leonardo da Vincisirvi para ilustrar ellibro LADIVINAPROPOR-CIN del matemticoLuca Pacioli editado en1509.En dicho libro se descri-ben cules han debenser las proporciones delas creaciones artsti-cas. Pacioli propone unhombre perfecto en elque las relaciones entrelas distintas partes de sucuerpo sean proporcio-nes ureas. Estirandomanos y pies y haciendocentro en el ombligo sedibuja una circunferen-

cia. El cuadrado tienepor lado la altura delcuerpo, que ha de coin-cidir en un cuerpo

armonioso, con ocho

cabezas, y adems lalongitud entre los extre-mos de los dedos deambas manos cuandolos brazos estn exten-didos y formando unngulo recto con el tron-co. En este hombrearmnicamente perfec-to para Pacioli, elcociente entre la alturadel hombre, el lado delcuadrado, y la distanciadel ombligo a la puntade la mano, el radio de lacircunferencia, es elnmero ureo. Porsupuesto este canon noes el nico que han utili-

zado los artistas, pero suno de los ms usados.Y a ti, te parece armo-nioso?

1.618033...

EN EL R ETR AT O DE LA JOVEN HELENWILLS SE HAN DIBUJADO LAS LNEAS QUESE ESTUDIAN PARA UN ANLISIS

ARMNICO DEL ROSTRO. ALA DERECHA,LOS SEGME NT OS C ON EL MISMO COLOR

IDENTIFICAN LAS MEDIDAS QUE S E HALLAN

EN PROPORCIN UREA. POR EJEMPLO, LALONGITUD DE SUS ROSTRO (AB) ES FIVECES SU ANCHURA (CB), TAMBIN SUFRENTE (FD) ES FI VECES EL TAMAO DESU NARIZ (DE).

parte mayor

parte menor

segmento total

parte mayor

Q U M I D E E L N M E R O D E O R O

= ==

E

N EL PENTAGRAMA, la estrella

de cinco puntas formadacon las diagonales de unpentgono, aparece en laproporcin urea enmultitud de rela-ciones entre sussegmentos. Porejemplo, si AG mide1 unidad, la diagonalMG mide FI unida-des (1.618...), MG esFI veces MF, MF es Fi

veces MN. Los pitagricos tenan al penta-grama como smbolo. No es difcil imagi-nar por qu.Podemos encontrar manifestaciones de laproporcin urea en el arte en cualquierpoca. Por ejemplo, LEDAATMICA, unaobra de Salvador Dal de 1949, utiliza unesquema compositivo basado en la DivinaProporcin. Toda la composicin seenmarca en un crculo en el que unpentagrama organiza el espacio.

Dado un segmento AB, se dice que est divididoen media y extrema razn, cuando: "[...] si hay dela parte pequea a la parte grande la mismarelacin que de la grande al todo" (Vitrubio).

L A D I V I N AP R O P O R C I N por Lolita Brain


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H abitualmente hablamos en trminos de este cuerpoest bien proporcionado o que esta fachada mantieneunas proporciones hermosas. Qu queremos decircon ello? Sencillamente nos referimos a las relaciones quemantienen las dimensiones de las distintas partes. No setrata de las dimensiones en absoluto, sino a la correspon-dencia que existe entre ellas. Por ejemplo, una personapuede ser muy alta pero estar bien proporcionada o por elcontrario tener unas piernas muy largas en relacin con elcuerpo, aunque sea pequea. Las proporciones se perci-ben con la vista y son en este sentido subjetivas, pero lageometra nos permite cuantificarlas.

Los griegos pensaron sobre culsera el modo ms armnico dedividir un segmento cualquiera

en dos par-tes desigua-les. Y esti-maron quela mejor delas formasp o s i b l e ssera aque-lla en la que al comparar el segmen-to completo con la mayor de las par-tes resultara el mismo valor que al

comparar la mayor de las porcionescon la menor. De este modo, la sen-sacin que obtendramos al mirar el

todo y laparte mayorsera la mis-ma que alcom pa ra rlos dos seg-mentos. Yesta es la

razn urea, cuyo valor es 1,618 yal que se le puso de nombre FI (laletra f griega).

Volvemos hoy a un tema que hemos tratado varias veces en estos aos, desdedistintos puntos de vista. Se trata de las relaciones que existen entre las dimensio-nes de diferentes partes de nuestro cuerpo. El concepto de proporcin, que perte-nece a la Geometra ms pura y que cultivaron los griegos en su poca clsica,pas al dominio de la arquitectura, de la pintura y de la escultura bajo el prisma delo que podramos llamar la ciencia artsticao el arte geomtrico. Esto suceda en elRenacimiento. Pero sus premisas tenan mucho que ver con nuestro cuerpo.

por Lo lita Brain

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LAS PROPORCIONES

EN EL HOMBRE

Esta razn mide el tamao de la

nariz en contraste con la frente.

Aqu la nariz se compara con la

parte central de la cara.

Por ltimo relacionamos la mand-

bula con el tercio inferior del rostro.

Comparar el largo de la cara con

su ancho. Valores superiores a

1,6 proporciona rostros alargados

Esta proporcin determina el

tamao de la frente en relacin

con la parte superior de la cabeza.

Con esta comparacin se esta-

blece la amplitud del segmento

inferior del rostro.

Las medidas de la imagen se han tomado de

una radiografa autntica. Observa lo simila-

res que son los cocientes al valor 1,6. (Medi-

das en centmetros)

QU SON LAS PROPORCIONES?

EL ANLISIS ARMNICO

QU ES LA RAZN UREA?

LOS DEDOS Y LA PROPORCIN UREA

T tambin puedes hacer un anli-sis armnico de tu rostro y sabersi responde o no a la proporcinurea. Para ello necesitas slo unacmara digital, una impresora y unaregla. Procede como te indicamos acontinuacin:1.- Realiza una foto de primer planode tu cara con la cmara. Procuraaparecer en posicin recta respec-to de la horizontal y en el mismo pla-no con la cmara. Toma de referen-cia las imgenes de esta lmina.2.- Imprime la fotografa.3.-Ayudndote de la regla, toma lasmedidas que se reflejan en las seisimgenes de la lmina con la mayorprecisin que puedas.4.- En cada imagen, divide la mayorde las longitudes entre la menor.Cuanto ms se parezcan tuscocientes al valor de FI=1618,mayor ser el parecido de tu ros-tro a uno armnico.Por el contrario, si los valores sonmayores o menores, querr decirque tu rostro es alargado o ancho,que tu frente es amplia o que tunariz es larga. Pero no lo olvides, noes una cuestin de belleza absolu-ta, sino slo un canon de belleza detodos los posibles.

ANALIZA TU ROSTR0

El anlisis armnico de un rostro es un estudio de las proporciones que existen entre distintas medidas de la carade una persona. Para ello se toman como referencias algunos puntos importantes del rostro y se dividen lasdimensiones correspondientes. As es primordial comparar la longitud de una cara con su ancho, o la distancia

que separa la nariz de la barbilla con la que hay entre sta y los ojos. Las siguientes imgenes te proponen compa-rar una serie estndar de medidas que de siempre se han utilizado para estudiar la armona de una cara. En esteejemplo, si t mismo tomas la medidas sobre las imgenes, comprobars que siempre resulta el valor de FI=1,6.Este retrato es modelo de un rostro en proporcin urea. Pero no todas las caras son tan armnicas.

C omo es obvio, las dimen-siones de los dedos decada persona son distin-tas. Unas personas tienendedos largos y otras, cortos,incluso con independenciade su estatura. Pero en cam-bio, nuestros dedos, los deprcticamente todas laspesonas, obedecen a unpatrn de pro-po rc i onesmuy similar.La longitudde las falan-ges se hallanen proporcinurea. Ququiere deciresto? Que si divi-dimos la longitudde la primera falan-ge de cada dedo denuestras manos entrela longitud de la segun-da, nos resultar un valormuy parecido a 1,6. Y sihacemos lo mismo con elsegundo y el tercer huesosucede lo mismo.

A

longitud AB

longitud AC

longitud AC

longitud CB

C

=

B

Los bebsestn despro-por c i ona dos por el grantamao de sucabeza.


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Marcus Vitruvius (h. 46 a.C. -30 d.C.) fue un genial arqui-tecto romano que en su obra

Los diez libros de Arquitecturaexpres sus hiptesis sobre laarmona y las proporciones quedeban regir la arquitectura. Ensu opinin, el hombre deberaser el que proporcionara laarmona de todas las construc-ciones arquitectnicas. Desarro-ll modelos para las proporcio-nes de capiteles, columnas,basas, ventanas y paramentos,usando la proporcin urea.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) fue tam-bin un entusiasta de las proporciones yun magnfico gemetra. Adapt las ideas

de Vitrubio para crear una de las imgenesms famosas de la historia: El Hombre deVitrubio, que dibuj en 1492 en Venecia.En l aparece una interpretacin armnicadel cuerpo humano basada en la propor-cin urea. Es decir, el lado del cuadrado yel radio de la circunferencia de su dibujo sehallan en la relacin de FI=1,618. O bien, elombligo divide la altura de su hombreenproporcin urea: hay la misma raznentre la altura y el ombligo como entre stey el resto del cuerpo.

En dicha obra, Vitrubioescriba las siguientespalabras que definen su

hiptesis de la armona delcuerpo humano: "... y tam-bin el ombligo es el puntocentral natural del cuerpohumano, ya que si un hom-bre se echa sobre la espal-da, con las manos y los piesextendidos, y coloca la pun-ta de un comps en su ombli-go, los dedos de las manos ylos de los pies tocarn la cir-cunferencia del crculo queas trazamos".

Pocas imgenes perduran tanto a lo largo de la historia como la que estudiamos hoy. Laproporcin en la figura humana influy notablemente tanto en Arquitectura, con la finalidadde crear espacios para uso del hombre, como en Pintura y Escultura, para representar ade-cuadamente el cuerpo humano. La finalidad de tales normas es concretar todas las propor-ciones de una misma obra, resolviendo el problema de las relaciones entre las partes y eltodo de los edificios. Vitrubio cre un modelo que consiste en considerar la altura comomdulo y las otras partes del cuerpo como submltiplos de esa unidad.

po r L olita Brain

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EL HOMBREMS FAMOSO

Esquema de mdulos reflejado en el dibujo de Leonardo. La unidad es la

mano. Los nmeros indican las veces que las distintas medidas contienen a

dicha unidad.

Pero el canon de Leonardo es tambin aritmtico. Esto significa que toma una parte del cuerpocomo unidad y las restantes se obtienen como mltiplos de ella. l tom como unidad la medidade la mano hasta la mueca. Esta idea aritmtica fue desarrollada por el arquitecto y escultor

Alberti (1404-1472), quien en su tratado Sobre la pinturaestablece alternativamente el sistemaarmnico de Vitrubio y el aritmtico. Alberti tom como mdulo en pintura la cabeza humana y enescultura, el pie.

Prolonga el lado izquierdo delcuadrado. (verde)

Encuentra el punto medio de laaltura (M).

Traza la diagonal del rectnguloinferior en que ha quedado dividido elcuadrado. (azul)

Con centro en el punto medio de laaltura, traza un arco cuyo radio es ladiagonal anterior. (azul)

Este arco corta en Q al segmentoprolongado.

Con centro en B y radio hasta BQ,

traza un arco (rojo) que corta alcuadrado en O.

O estar a la altura del ombligo.

EL MODELO ARITMTICO DE LEONARDO

HALLA EL OMBLIGO CON COMPS

Recientemente, elarquitecto C. Cal-vimonte, as

como los estudiososK. Schrer y K. Irle,sostienen la existen-cia de un crculooculto en la imagende Leonardo. Esecrculo viene dadopor el punto en queel crculo corta alcuadrado (R) y surea es la mismaque la del cuadradode Leonardo. Propo-nen un mecanismopara aproximar lacirculatura de uncuadrado.

LAS LTIMAS INVESTIGACIONES

EL CANON DE LEONARDO

EL CANON DE VITRUBIO

Si abres las piernas hasta reducir tu altura en unadecimocuarta parte, y si extiendes y levantas losbrazos hasta que los dedos corazn lleguen al

nivel de la cima de la cabeza vers que el centrode los miembros extendidos se halla en elombligo, y que el espacio entre las piernasformar un tringulo equiltero". LEONARDO DAVINCI.

Y contina: "Y de la mismaforma que el cuerpo humanonos da un crculo que lorodea, tambin podemoshallar un cuadrado dondeigualmente est encerradoel cuerpo humano. Porque simedimos la distancia desdelas plantas de los pies hastala punta de la cabeza y luegoaplicamos esta mismamedida a los brazos extendi-dos, encontraremos que laanchura es igual a la longi-tud, como en el caso desuperficies planas que sonperfectamente cuadradas".

El ombligo es elcentro delcuerpo

El cuerpo es tanalto como ochomanos.

La cara es tanamplia como lamano

Los genitalesparten el cuerpoen dos mitadesiguales

VITRUBIO, UN TERICO DE LA ARQUITECTURA

3a parte del aula de matematicas para 'el mundo

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