Listado de Problemas 1Matemáticas Especiales II para Física

Departamento de FísicaUniversidad Nacional de Colombia

14 de agosto de 2015

1. Las raíces de una ecuación cúbica general en x puedeninterpretarse (en el plano x y) como las interseccionesdel eje x con el gráfico de una cúbica de la forma

y = ax3 + bx2 + cx + d. (1)

a) Muestre que el punto de inflexión del gráfico ocu-rre para x = −b/3a.

b) Explique (geométricamente) por qué la sustitu-ción u = x + b/3a reduce la ecuación (1) a laforma y = au3 +mu+ n.

c) Verifique esto a través de un cálculo y encuentrelos valores de m y n.

2. Para resolver la ecuación cúbica u3 = 3pu+2q, procedade la siguiente manera:

a) Haga la inspirada sustitución u= s+ t, y deduzcaque u resuelve la cúbica si st = p y s3 + t3 = 2q.

b) Elimine t entre estas dos ecuaciones, obteniendoasí una ecuación cuadrática para s3.

c) Resuelva esta cuadrática para obtener dos valo-res posibles de s3. Por simetría, ¿cuáles son losvalores posibles de t3?

d) Dado que sabemos que s3 + t3 = 2q, deduzca lafórmula de Cardano:

u= (q+w)1/3 + (q−w)1/3 , (2)

donde w=�

q2 − p3�1/2

.

3. En 1591, más de cuarenta años después de la apariciónde la ecuación (2), François Viète publicó otro méto-do para resolver cúbicas. El método está basado en laidentidad cos 3θ = 4C3 − 3C , donde C = cosθ .

a) Sustituya u = 2p

pC en la ecuación cúbica redu-cida u3 = 3pu+2q para obtener 4C3−3C = q

pp

p .

b) Siempre que q2 ≤ p3, deduzca que las solucionesde la ecuación original son

u= 2p

p cos�

13(φ + 2mπ)

�

, (3)

donde m es un número entero yφ = cos−1�

qpp

p

�

.

4. Utilizando el método de Cardano–Viète, encuentre to-das las raíces de la ecuación cúbica x3−10x2+31x −30= 0.

5. Demuestre que ℜ (iz) = −ℑ (z).1

6. La definición de la relación > en el sistema de los nú-meros reales está basada en la existencia de un subcon-juntoP (los reales positivos) con las siguientes propie-dades:

a) Para todo número α 6= 0, bien α o −α (pero noambos) pertenecen a P .

b) Si α y β pertenecen aP , entonces α+β tambiénpertenece a P .

c) Si α y β pertenecen a P , entonces α ·β tambiénpertenece a P .

Cuando un conjunto como P existe, escribimos α > βsi y sólo si α − β pertenece a P . Demuestre que elsistema de los números complejos no posee un sub-conjunto P con las propiedades (a), (b), y (c). Ayuda:Argumente que ni i ni −i podrían pertenecer a esteconjunto P .

7. Éste es un hecho básico acerca de los enteros que tie-ne muchos usos en teoría de números: Si dos ente-ros pueden ser expresados como la suma de dos cua-drados, entonces también puede serlo su producto. En-tendiendo que cada símbolo denota un entero, estoafirma que si M = a2 + b2 y N = c2 + d2, entoncesMN = p2 + q2. Demuestre este resultado consideran-do |(a+ i b) (c + id)|2.

8. a) Si c es un número complejo fijo, y R es un númeroreal fijo, explique con una figura por qué |z − c|=R es la ecuación de un círculo.

b) Dado que z satisface la ecuación |z + 3− 4i|= 2,encuentre los valores máximo y mínimo de |z|, ylas posiciones correspondientes de z.

9. Use una figura para mostrar que, si a y b son númeroscomplejos fijos, entonces |z − a| = |z − b| es la ecua-ción de una línea recta.

1Aquí, ℜ (z) e ℑ (z) denotan la parte real y la parte imaginaria de z,respectivamente.

1

10. Considere la ecuación (z − 1)10 = z10.

a) Sin intentar resolver aún la ecuación, muestreque las 9 soluciones (¿por qué no 10?) yacen so-bre la línea vertical ℜ (z) = 1

2 .

b) Dividiendo ambos lados por z10, la ecuación tomala forma w10 = 1, donde w = 1 − 1/z. Use estasustitución para resolver la ecuación original.

c) Exprese las soluciones en la forma x + i y , verifi-cando de este modo la parte (a).

11. Sean A, B, C , D cuatro puntos sobre el círculo unitario.Si A+ B + C + D = 0, muestre que los puntos debenformar un rectángulo.

12. Considerando el producto (2+ i) (3+ i), muestre que

π

4= tan−1

�

12

�

+ tan−1�

13

�

. (4)

13. Dibuje eiπ/4, eiπ/2, y su suma. Expresando cada uno deestos números en la forma x + i y , deduzca que

tan�

3π8

�

= 1+p

2. (5)

14. Comenzando desde el origen, vaya una unidad hacia eleste, luego la misma distancia hacia el norte, luego 1/2de la distancia previa hacia el oeste, luego 1/3 de ladistancia previa hacia el sur, luego 1/4 de la distanciaprevia hacia el este, y así indefinidamente. ¿Hacia quépunto converge esta “espiral”?

15. Sea S = cosθ + cos3θ + cos5θ + · · ·+ cos (2n− 1)θ .Muestre que

S =sin nθ cos nθ

sinθ=

sin 2nθ2sinθ

. (6)

16. En la aproximación de campo lejano, la intensidad delpatrón de difracción para N rendijas delgadas está da-da por I ∝

E2�

, donde E es el campo eléctrico totalproveniente de las N fuentes puntuales:

E = E0 cos (ωt) + E0 cos (ωt +φ) + E0 cos (ωt + 2φ)++ · · ·+ E0 cos (ωt + (N − 1)φ) . (7)

Aquí ω es la frecuencia (angular) de la onda electro-magnética y φ es la diferencia de fase producida porla diferencia de camino óptico. Realizando la suma,elevando al cuadrado y tomando el valor medio en eltiempo, muestre que I puede escribirse como

I = Imáx

�

sin (Nφ/2)N sin (φ/2)

�2

, (8)

donde Imáx = I (φ = 0). Grafique para N = 2, 5,10.

17. Considerando (a+ i b) (cosθ + i sinθ ), muestre que

b cosθ + a sinθ =p

a2 + b2 sin�

θ + tan−1�

ba

��

.

(9)

18. Dados dos números iniciales S1 y S2, construyamos unasecuencia infinita S1, S2, S3, S4, . . . con esta regla: cadanuevo número es dos veces la diferencia de los dos an-teriores. Por ejemplo, si S1 = 1 y S2 = 4, obtenemos1,4, 6,4,−4,−16,−24, . . .. Nuestro objetivo es encon-trar una fórmula para el n-ésimo número, Sn.

a) Nuestra regla generadora puede ser escrita sucin-tamente como Sn+2 = 2 (Sn+1 − Sn). Muestre queSn = zn resuelve esta relación de recurrencia siz2 − 2z + 2= 0.

b) Resuelva la ecuación cuadrática para obtener z =1± i, y muestre que si A y B son números comple-jos arbitrarios, Sn = A(1+ i)n + B (1− i)n es unasolución de la ecuación de recurrencia.

c) Si sólo queremos soluciones reales de la relaciónde recurrencia, muestre que debemos tener B =A∗, y deduzca que Sn = 2ℜ [A(1+ i)n].

d) Muestre que, para el ejemplo inicial, A= −1/2−i,y escribiendo esto en su forma polar deduzca queSn = 2n/2p5cos

�

(n+4)π4 + tan−1 (2)

�

.

e) Compruebe que esta fórmula predice S34 =262 144, y use un computador para verificarlo.

Note que este método puede ser aplicado a cualquierrelación de recurrencia de la forma Sn+2 = pSn+1+qSn.

19. Con la misma relación de recurrencia que en el pro-blema 18, use un computador para generar los treintaprimeros términos de la secuencia dada por S1 = 2 yS2 = 4. Note el patrón repetitivo de ceros.

a) Con la misma notación anterior, muestre que estasecuencia corresponde a A = −i, de modo queSn = 2ℜ [−i (1+ i)n].

b) Haga un dibujo mostrando las ubicaciones de−i (1+ i)n para n = 1,2, . . . , 8, y explique así elpatrón de ceros.

c) Escribiendo A = a + i b, nuestro ejemplo corres-ponde a a = 0. En general, explique geométri-camente por qué un patrón repetitivo de cerosocurrirá siempre que a/b = 0,±1, o b = 0.

d) Muestre que S1/S2 =12 (1− a/b), y deduzca que

un patrón repetitivo de ceros ocurrirá si y sólo siS2 = 2S1 (como en nuestro ejemplo), S1 = S2,S1 = 0, o S2 = 0.

e) Use un computador para verificar estas prediccio-nes.

2

20. Utilice la técnica del problema 18 para encontrar unaexpresión general para el n-ésimo término de la secuen-cia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . .Demuestre que la secuencia formada tomando el cuo-ciente entre números de Fibonacci sucesivos, i.e., 2/1,3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, . . . ,tiende al número áureo, ϕ = 1

2

�

1+p

5�

.

21. El Teorema del Binomio dice que, si n es un enteropositivo, entonces

(a+ b)n =n∑

r=0

�

nr

�

an−r br , (10)

donde�

nr

�

=n!

r! (n− r)!(11)

son los coeficientes binomiales (¡no vectores!). El razo-namiento algebraico que conduce a este resultado esigualmente válido si a y b son números complejos. Useeste hecho para mostrar que si n= 2m es par, entonces

m∑

r=1

(−1)r+1�

2m2r − 1

�

= 2m sin�mπ

2

�

. (12)

22. Factorice xn − 1 en factores reales lineales y cuadráti-cos, para n= 2,3, . . . , 8.

23. Sea S el conjunto de las raíces-12 de la unidad, unade las cuales es ξ = eiπ/6. Note que ξ es una raíz-12primitiva de la unidad, en el sentido que sus poten-cias producen todas las raíces-12 de la unidad: S =�

ξ,ξ2,ξ3, . . . ,ξ12

.

a) Encuentre todas las raíces-12 primitivas de la uni-dad, y ubíquelas en el plano complejo.

b) Escriba en la forma

Pn (z) = (z − c1) (z − c2) · · · (z − cn) (13)

la factorización del polinomio Φ12 (z) cuyas raí-ces son las raíces-12 primitivas de la unidad. [Engeneral, Φn (z) es el polinomio (con el coeficien-te de la potencia más alta de z igual a 1) cuyasraíces son las raíces-n primitivas de la unidad; sele llama el n-ésimo polinomio ciclotómico].

c) Multiplicando inicialmente pares de factores quecorrespondan a raíces conjugadas, muestre queΦ12 (z) = z4 − z2 + 1.

d) Repitiendo los pasos anteriores, muestre queΦ8 (z) = z4 + 1.

e) Para un n arbitrario, explique por qué, si ζ es unaraíz-n primitiva de la unidad, entonces tambiénlo es ζ∗. Deduzca que Φn (z) tiene siempre gradopar y coeficientes reales.

f) Muestre que si p es un número primo entoncesΦp (z) = 1+ z + z2 + · · ·+ zp−1.

Bibliografía

[1] E. B. Saff, A. D. Snider, Fundamentals of Complex Analy-sis for Mathematics, Science, and Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1976).

[2] T. Needham, Visual Complex Analysis. Oxford Univer-sity Press, Inc., New York (2000).

[3] J. W. Brown, R. V. Churchill, Variable Compleja yAplicaciones. McGraw-Hill/Interamericana de España(2004).

[4] R. A. Silverman, Complex Analysis with Applications.Dover Publications, Inc., New York (1984).

[5] G. B. Arfken, H. J. Weber, Mathematical Methods forPhysicists. Elsevier, Boston, Amsterdam (2005).

[6] M. L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Scien-ces. Wiley, Hoboken, NJ (2006).

[7] R. Penrose, The Road to Reality. Alfred A. Knopf, NewYork (2006).

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