matematicas ejercicios resueltos soluciones los numeros reales 1º bachillerato cc nn

10

Tema 1LOS NÚMEROS REALES

«Prueban que la diagonal del cuadra-do es inconmensurable con el lado,mos-trando que si se admite que es conmen-surable, un número impar sería igual queuno par» (Aristóteles, Analíticos poste-riores. I, 23).

Platón y Aristóteles (los dos personajes del centro de la imagen).Detalle de La Academia de Atenas de RAFAEL.Museos vaticanos.

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Tema 1. Los números reales 11

En el Teeteto de Platón (147d-148b) secuenta cómo Teodoro había demostra-do que las raíces de los enteros no cua-drados perfectos son irracionales.

π es la relación entre la longitud y el diá-metro de una circunferencia.

e es la base de un sistema de logaritmosque estudiarás mas adelante.

Φ (número aureo) es la proporciónentre la diagonal y el lado de un pentá-gono regular (considerada perfecta en laantigua Grecia).

1. Números irracionalesComplementando a los números racionales (fracciones de números

enteros) se encuentran los números irracionales.

Ejemplos de números irracionales son:

• 1,23456789101112131415…

• 0,102030405060708090100110120130…

• 3,1122334455667788991010111112121313…

Un número irracional no es el cociente de dos enteros. Esta caracte-rística ya fue estudiada por la escuela pitagórica la cual incluso demostró la«irracionalidad» de algunos números, en particular del número medianteuna brillante demostración basada en el método de reducción al absurdo.

Demostración de que es irracional:

Supongamos que lo que se quiere demostrar es falso, esto es, supon-gamos que es un número racional.

Si es racional entonces se puede escribir como la fracción irreduci-

ble , es decir: con a y b enteros y primos entre sí.

Si entonces ; por tanto a2 es un número

par (es múltiplo de 2) luego a no puede ser impar pues si lo fuera su cua-

drado sería impar. Así pues a es par luego a = 2k.

Si a = 2k entonces a2 = 4k2 y por tanto 4k2 = 2b2 o lo que es lo mismob2 = 2k2 y se deduce, igual que antes, que b2 es par y por tanto b es par.

Hemos obtenido que tanto a como b son pares, luego no son primosentre si y este resultado contradice la hipótesis inicial; por tanto es nece-

sario negarla y concluir que no es un número racional.2

ab

a b2

22 2= ⇒ =2 22 =

ab

2 =ab

ab

2

2

2

2

Además del comentado otros irracionales famosos son:

π, e, Φ = . Aquí los tienes con sus 30 primeras cifras decimales:

π = 3,141592653589793238462643383279...

e = 2,718281828459045235360287471352...

Φ = 1,618033988749894848204586834363...

1 52

+

2

El conjunto de los números irracionales se denota por I.

Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales noperiódicas.

El método de reducción al absur-do es un método de demostración queconsiste en suponer cierto lo contrariode lo que se quiere demostrar y llegarasí a una contradicción o absurdo.

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12

En resumen: Un número irracional es un decimal con infinitas cifrasdecimales no periódicas que no puede escribirse como el cociente dedos números enteros.

2. Aproximaciones decimales y erroresDado que un número irracional tiene una expresión decimal infinita no

periódica, sólo es posible escribirlo mediante una aproximación decimal fini-ta. Los números 3,14 o 3,1416 son aproximaciones decimales de π, asícomo 1,618 es una aproximación decimal de Φ. En la práctica no tiene sen-tido decir, por ejemplo, que la longitud de un poste es 4 m, ni tampocodecir que esta longitud es 5,656854249 m, por tanto es necesario trabajarcon aproximaciones decimales que acarrean un error que debemos conocer.

2

Dicho redondeo se hace hasta un orden y este orden determina elnúmero de cifras que se consideran.

Una vez conocido el orden del redondeo se sigue la siguiente regla:

Si el valor exacto de un número a se sustituye por a' se ha cometido unerror denominado error absoluto

E = |a – a'|.Se llama error relativo al cociente entre el error absoluto y el real

Si e se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de error relativo.

ea a

a= | – '|

| |

1. Si la primera cifra que no se considera es menor que 5 el número sedeja como está.

2. Si es mayor o igual que 5 se suma una unidad a la última cifra con-servada (si ésta es 9 se reemplaza por un 0 y se aumenta en 1 lacifra anterior).

Redondear un número es aproximarlo con otro con el menor error posible.

Dado el número A = 4,256197 se tiene:a) Redondeo entero: A = 4.

b) Redondeo a centésimas (a 10–2) : A = 4,26 (pues la primer cifra no considerada es 6).

c) Redondeo a milésimas (a 10–3) : A = 4,256 (pues la primera cifra no considerada es 1).

d) Redondeo a cienmilésimas (a 10–5) : A = 4,25620 o también A = 4,2562.

Ejemplos

1

Muchas obras de arte han sido construi-das con dimensiones áureas, como elTemplo de la Concordia de Agrigento enSicilia.

Cuando se realiza una medida se come-ten errores que pueden ser sistemáticos(originados por defectos en los instru-mentos de medida) o accidentales (debi-do a imperfecciones cometidas por ellector).

error

absoluto

a' a

valor

obtenido

valor

exacto

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Como en la práctica no suele conocerse el valor exacto de un núme-ro a, no es posible hallar el error absoluto ni el relativo, entonces lo quese hace es determinar cotas o márgenes de error, es decir, númerospositivos mayores que el valor absoluto del error.

En la práctica es costumbre presentar los resultados correspondientesa datos científicos (a) de forma que se observe tanto el valor estimado (a')como la cota del error (ε) de la forma: a = a' ± ε.

ε es la letra griega épsilon.

Se dice que a' es un valor aproximado de a con error menor que ε si|a – a'| < ε. Al número ε se le llama cota del error absoluto.

a – ε a + εa

a´

Ejemplos

Al medir la longitud de un puente de 500 m se ha obtenido un valor de 499 m y al hallar la anchura de una callede 20 m se ha obtenido 21 m. En ambos casos el error absoluto es 1 m y esto indica que considerar solamen-te el error absoluto no da idea clara de la calidad de la medida.

Los respectivos errores relativos son:

En el puente: = 0,002 = 0,2 %. En la calle: = 0,05 = 5 %.

El menor error relativo cometido en la medida del puente deja claro que es más exacta dicha medida que la rea-

lizada para hallar la anchura de una calle.

120

1500

2

Ejemplos

Sabemos que π = 3,141592654… entonces:

3,14 es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,14| < 0,01.

3,15 también es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,15| < 0,01.

Se ha medido la longitud de una hoja del cuaderno de un alumno y se ha obtenido que dicha longitud está entre21,7 cm y 21,8 cm. Como la verdadera longitud l de la hoja es desconocida, parece razonable decir que dichalongitud es el valor medio 21,75 cm y asignar una cota de error de 0,05 cm. Para esta forma se puede decir quela longitud l de la hoja es l = 21,75 ± 0,05 cm.

3

4

Ejercicios

1

2

3

4

Dados los números A = ; B = 2 + ; C = π – se pide dar de cada uno un redondeo de orden:

a) entero; b) a décimas; c) a centésimas; d) a milésimas.

352717

Da el error absoluto y el relativo que se comete al hacer los redondeos anteriores.

Se ha medido una longitud de 500 m con un «metro» cuya longitud exacta es de 98 cm. Determina el error abso-luto y el error relativo cometido.

Sabiendo que 1,414 213 562… Indica cuál es la cota de error cometido al redondear como:

a) 1; b) 1,41; c) 1,414 21.

22 ≈

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14

3. Raíces de índice nEl concepto de raíz cuadrada se puede ampliar para representar las solu-

ciones de la ecuación xn = a mediante el símbolo (radical de índice n).an

El ejemplo anterior pone de manifiesto que las raíces de índice par sóloexisten si el radicando es positivo o nulo mientras que las raíces de índiceimpar existen siempre y tienen el mismo signo que el radicando.

Operaciones

Un radical no varía si se multiplican o dividen el índice y el exponentedel radicando por un mismo número no nulo.

a apn pmnm=

a) = 2 pues 24 = 16; b) = – 3 pues (– 3)3 = –27

c) = 15 pues 153 = 3375; d) no existe pues x6 ≥ 0 para todo valor de x.−36633753

−273164

Cociente

Producto

a

b

ab

bn

nn= ≠( )0

Potencia a anp

pn( ) =

Ejemplos

5

Ejemplos

6

= raíz cúbica; = raíz cuarta43

Comprueba si tu calculadora dispone dela tecla para obtener raíces de cual-quier índice.

an n nb a b× = ×¡Cuidado!

a+b a + bn n n

Las operaciones entre radicales de distinto índice se deben realizartransformándolos previamente a un mismo índice. Para ello ten en cuentala regla siguente:

a) 32

b)

3 × = × = = =

= = =

2 32 2 64 4 4

224

7

2247

32

3 3 3 33

5

55 5 22 2

4 4 2 2

55

42

24 44

=

( ) = = =c)

La expresión = x implica que x n = a siendo n el índice de la raíz,

a es el radicando y x es la raíz n-sima de a. Evidentemente = a.ann

an

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Ejemplos

7 a) (multiplicando índice y exponente por 2)

b) (simplificando por 4)

c)

d)a

b

a

b

ab

23

4

812

312

8

312= =

2 3 2 3 2 3 64823 36 46 3 46 6× = × = × =

b b812 23=

6 6 363 26 6= =

La raíz de una raíz es otra raíz que tiene el mismo radicando y su índi-ce es el producto de los índices.

a apn np=

Ejemplos

8 a) b) )a a x x c3 6 8 22 3 2= = =; ; ·

Raíz de raíz

Extracción e introducción de factores

Puedes extraer factores de un radical cuando en él hay factores deexponente mayor o igual que el índice.

La introducción de factores siempre es posible y la operación se reali-za elevando el factor al índice del radical.

Factor es aquello que multiplica. En el radi-

cando de hay dos factores y en el de

hay dos sumandos, no factores.a b+

ab

Ejemplos

Extraer los factores posibles de los radicales:

a) o también si dividimos 9 : 3 = 3 ⇒ = x3

b) Para extraer factores del radical , hacemos:

Introducción de factores:

2 3 2 3 32 3 9625 5 25 5 25 75x x x x x x x= = =( ) ·

a a a a a a a a a94 44 44 4 4 2 4= = =· · · ·a94

x 93x x x x x x x x93 33 33 33 3= = =· · · · ;

a) b)93 94x a;9

10

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16

Racionalizar una fracción es tranformarla en otra equivalente que nocontenga ningún radical en el denominador.

Ejercicios

5

6

7

8

9

Usa la descomposición factorial de los radicandos y calcula:

Calcula:

Calcula:

Extrae los factores posibles de los radicales:

Escribe de la forma los radicales: an

a) 27443 b) 0 00164 , c) 493 d) −5123

a) 2 9 273 · b) 2 12 3 234 2 23· · · c)9

27

23

6

a b

ad)

2 8

16

35

3

x x

x

·

a) 2 2 2 2 4+ + + + b) 27 24 36 c) 2 2 2 2 4 d) 2564

a) 2565 b) 3 4 63 x y c) 8 3 12x y d) 36 8 56 a a

a) 3 23 4 2x y y b) −3 43ab a c) ( )a b a b− + d)32

23

3x x

4. Racionalización

Análogamente:

Se hace:

Algunos de los posibles casos son:

1. El denominador es un radical cuadrático:

2. El denominador es un radical de índice n:

m

a

m

apn

3. El denominador es una suma o diferencia con al menos un radical cua-drático:

m

a b

m a b

a b a b

m a ba b+

= −

+ −= −

−·( )

( )·( )

·( )

m

a b

m a b

a b a b

m a ba b−

= +

− += +

−·( )

( )·( )

·( )

m

a

m a

a a

m a

a

m aa

= =

( )=·

·

·2

Haremos:m

a

m a

a a

m a

a

m apn

n pn

pn n pn

n pn

p n pn

n p= = =

−

−

−

+ −

−·

·

· · nn

a

Se multiplica y se divide por el radicalcuadrático del denominador.

En este caso debes operar con el radical«conveniente» a fin de conseguir índicesy exponentes iguales.

Aquí se multiplica y se divide por laexpresión conjugada del denominador,sabiendo que la expresión conjugada deA – B es A + B y recíprocamente.

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Ejemplos

11 a)

b)

10

3 5

10 5

3 5 5

10 53 5

2 53

2

3

2 3

3 33

23

3 2

= = =

=

·

·

··

·

· 33

3

33

32 9

3

2 93

1

3 2

1 3 2

3 2 3 2

= =

+= −

+ −=

· ·

·( )

( )·( )

(c)

33 23 2

3 2−−

= −)

Ejercicios

10 Racionaliza los denominadores: a) b) c) d)5

7e)

22

5+ 3

3

6

3

2 12

2

4 25; ; ; ;

−

5. Potencias de exponente fraccionarioEl concepto de potencia se amplía al caso de exponente fraccionario

definiendo:

Admitimos que las reglas para el cálculo con potencias de exponenteentero siguen siendo válidas para potencias con exponente fraccionario.

Si el exponente es negativo, el signo menos corresponde al numerador.

Así, por ejemplo: 3 313

12 1− −= =

am n mn a/ =

Ahora podemos justificar la propiedad

En efecto:

También: a a a a a apn p n p

np n pn np= ( ) = ( ) = = =

×1 1

11 1 1

a a a apmnmpmnm

pn pn= = =

a apn pmnm=

Si no dispones de la tecla la tecla

de tu calculadora también te permi-

te calcular raíces de cualquier índice.

Ejemplos

12 a) b) c)3 3 4 4 64 8 8 818

1 3 3 3 2 3 1 3 13 3a a/ / /; ;= = = = = =− − == =1

8

123

Ejercicios

11 Opera las siguientes expresiones y da el resultado sin exponentes fraccionarios:

a) b)4

6c) d)(2

1/23 2

235 2

1 21 2 1 2 3 4· ; ; ;/

// / /

−−a b c aa)1/3( ) ( )/ /3 2 1 4 5 1 6a ab −

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18

6. El conjunto de los números reales:La recta real

El teorema de Tales permite representar a los números racionales en la

recta. Por ejemplo, para representar los números y se haría:− 23

35

Al representar los números racionales en la recta no debes pensar queésta se llena por completo, pues hay «huecos» que serán rellenados porlos irracionales.

Para representar algunos números irracionales puedes hacer la siguien-te construcción basada en las relaciones del teorema de Pitágoras.

El conjunto formado por los números racionales Q y los irracionales Irecibe el nombre de conjunto de los números reales R.

0 3

5

1–1 2

3

–

1

2

3

1

2

3

4

5s

20 1

111

2 52–3–

2

5

3

Los números irracionales llenan los huecos dejados por los racionalesy de esta forma a todo número real se le puede hacer corresponder unúnico punto de la recta y recíprocamente. Los números reales llenan porcompleto la recta. Esta recta se llama recta real.

Todo número racional o irracional se dice que es un número real.

20 1 5 3–1 9

10

–7

4

–5

2

– –2–3 2

5

RELACIONES

Los números naturales están contenidosen el conjunto de los números enteros

NN ZZ

Los números enteros están contenidosen el conjunto de los números racionales

ZZ QAsí pues:

NN ZZ Q

Entre Q e I no hay ninguna relación deinclusión aunque ambos forman el con-junto R de los números reales

RR = Q ∪ ILuego:

NN ZZ Q RR

⊃⊃⊃

⊃⊃

⊃

⊃

Si se trata de una fracción propia (numera-dor menor que el denominador), setoman desde el cero tantas partes igualescomo indica el denominador. Uniendo laúltima con el 1 y trazando paralelasobtienes los puntos que representan lasdiferentes fracciones propias todas conigual denominador.

Si la fracción es impropia (numeradormayor que el denominador) se escribe en

la forma donde c es el cocien-

te y r el resto de la división de a entre b.

Ahora la fracción ya es propia.rd

ab

= c +rd

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Si a y b son dos reales tales que a ≤ b, la notación utilizada es:

Intervalo cerrado [a, b] Intervalo abierto ]a, b[

Intervalo semiabierto a la izquierda ]a, b] Intervalo semiabierto a la derecha [a, b[

Los números a y b son los extremos del intervalo.

Observa que en un intervalo cerrado por un extremo indica que dichoextremo sí pertenece al intervalo. Si el intervalo es abierto, el extremono pertenece.

Se puede generalizar el concepto para definir los intervalos de extremoinfinito.

7. Intervalos

Un conjunto de números reales es un intervalo de R si, y solamen-te si, contiene todos los números comprendidos entre dos cualesquie-ra de sus elementos.

a bx

a ≤ x < b

Semirrectas cerradas Semirrectas abiertas

a x

bx bx

[a, +∞[ = {x ∈ R y a ≤ x} ]a, +∞[ = {x ∈ R y a < x}

]–∞, b] = {x ∈ R y x ≤ b} ]–∞, b[ = {x ∈ R y x < b}

Como casos extremos hay que citar el intervalo {a} = [a, a] y el inter-valo vacío Ø = ]a, a[.

El conjunto R sería pues el intervalo ]–∞, +∞[.

a bx

a ≤ x ≤ b

a bx

a < x < b

a x

a bx

a < x ≤ b

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20

Sea x un número real. Se llama valor absoluto o módulo de x y seescribe |x | al número positivo definido así:• si x es positivo o nulo entonces |x | = x• si x es negativo entonces |x | = –x.

Ejemplos

Determina el conjunto P = (]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[) ∪ ]2, 5[

Llamando A = ]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[

Por tanto P = [–1, 2[ ∪ ]2, 5[

13

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

]–3, 2 [

[– 1, 5]

]–4, 3 [

A

]2, 5 [

P

Ejemplos

a) |8| = 8; |7,5| = 7,5; |–5,8| = 5,8; |–1| = 1; b) |π – 3| = π – 3 pues π – 3 es positivo.14

Ejercicios

12

14

13

¿Verdadero o falso?

a) [2, 3[ ]2, 3[; b) ]2, 3[ [2, 3[; c) [1, 3] ]– ∞, 3]; d) [–3, 2] [– 4, 4]

Determina el conjunto A = {[1, 4[ ∪ ]5, 8]} ∩ {[–1, 2] ∪ ]3, 6[ ∪ ]7, 9]}

Determina el conjunto B = {]–1, 2[ ∩ [0, 3[ ∩ ]–5, 1[} ∪ ]1, 3].

⊃⊃⊃⊃8. Valor absoluto: distancia en la recta

Propiedades

Cualesquiera que sean los números x e y se verifica:

La intersección de dos intervalos es un intervalo pero la unión de dosintervalos no es necesariamente un intervalo. Observa el ejemplo siguiente:

1. |x | = |–x | 2. |x · y | = |x | · |y |

3. (con y ≠ 0) 4. |x + y | ≤ |x | + |y |xy

xy

=| || |

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Además, si α ≥ 0 es fácil comprender que:

Propiedades de la distancia

Cualesquiera que sean los números reales x, y, z se verifica:

1. d(x, y ) ≥ 0 y d(x, y ) = 0 si y sólo si x = y

2. d(x, y ) = d(y, x )

3. d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) (propiedad triangular)

Ejemplos

a) |3 – 7| = |7 – 3| = 4; b) |(– 8) × 4| = |– 8| × |4| = 8 × 4 = 32

c) d) |– 8 + 5| ≤ |– 8| + |5| pues |– 8 + 5| = 3 y |– 8| + |5| = 8 + 5 = 13| |

| |54

54

54

54−

=−

= − =

15

|x | = α |x | ≤ α |x | > α

x = – α ó x = α– α ≤ x ≤ αx ∈ [– α, α]

x < – α ó x > αx ∈ ]– ∞, – α[ ∪ ]α, +∞[

Equivale a

Gráficamente−α α0

x

−α α0

x

−α α0

x

d(x, y)

x y

La distancia entre dos puntos x e y de la recta real se define:d(x, y ) = |x – y |

Ejemplos

a) d(3, 8) = |3 – 8| = 5;

b) d(–2, 5) = |(–2) –5| = |–7| = 7;

c) d(–8, –4) = |–8 – (–4)| = |–8 + 4| = |–4| = 4

16

Ejercicios

15

17

16

Da el valor absoluto de los siguientes números: a) 4,6; b) π + 3; c) 5 – ; d) 5–2; e) –32; f) 28000.

Calcula: ||–2| – |–4| – |–3 × 5|| – |2 × (–5)|

Halla x en las ecuaciones siguientes: a) |x | = 7; b) |x – 2| = 3; c) |2 – 3x | = 1

26

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22

Ejemplos

Resolver la inecuación:

Se multiplica toda la inecuación por el m.c.m. (3, 6, 2) que es 6: 2(x – 3) – 23 ≥ 18(x – 1) – 3(4x + 3)

Se realizan las operaciones indicadas: 2x – 6 – 23 ≥ 18x – 18 – 12x – 9

Transponiendo términos queda: 2x – 18x + 12x ≥ –18 – 9 + 6 + 23

Simplificando: –4x ≥ 2

Para despejar x es necesario dividir por –4 con lo que la desigualdad cambia de sentido:

La solución es o el intervalo

Gráficamente:

− ∞ −⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥,

12

x ≤ −12

x ≤ −12

xx x

−− ≥ − − +

33

236

3 112

4 3( ) ( )17

9. Inecuaciones de primer grado conuna incógnita

En ocasiones el enunciado de un problema se traduce al lenguaje alge-braico mediante el uso de desigualdades. En tales casos hay que resolverinecuaciones en las que es necesario utilizar las siguientes propiedades:

1. Si a < b entonces a + c < b + c

2. Si a < b y c > 0 entonces a × c < b × c y

3. Si a < b y c < 0 entonces a × c > b × c y ac

bc

>

ac

bc

<Aunque estas propiedades se han escri-to con los signos < y > siguen siendoválidas para los demás símbolos de des-igualdad.

0–11

2–

Ejercicios

18

19

Resuelve las siguientes inecuaciones y expresa la solución gráficamente sobre la recta y como un intervalo:

Mismo ejercicio:

b) 3x + 2 – (5x + 1) ≤ – (2x + 3) + x – 6;

a) b) c)5x – 9

3d)2

13

0100

10 07 5

233x

x xx− ≤ − > >

+−−; ; ; 66 3 4≤ − x

c)x x x−

−−

>−2

31

56

3;

a)6 5

39 8

411 10

120

−−

−−

−<

x x x;

d) 21 2

32

2x

x x−

+> +

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EJERCICIOS RESUELTOS

¿Verdadero o falso?a) La diferencia de dos números irracionales es un irracional.b) El producto de dos números decimales es un decimal.c) La raíz cuadrada de un entero positivo es un número irracional.

d) Todo racional se puede escribir de forma única de la forma con a y b primos entre sí.

Solución:

a) Falso. Los números y son irracionales y A – B = 2 que no es irracional.

b) Falso. Los números y son decimales y sin embargo C × F = 1.

c) Falso. Si el número es cuadrado perfecto su raíz cuadrada no es irracional. Así los números 1, 4, 9, 16, … n2

tienen raíz cuadrada entera.d) Verdadero. Es una propiedad de los números racionales.

Demuestra que es irracional.Solución:

Por reducción al absurdo.

Supongamos que es racional, esto es, supongamos que con a y b enteros y primos entre si.

Entonces , luego a2 = 3b2 (*) y así a2 es múltiplo de 3, por tanto a2 = 3k y así a debe ser múltiplo de 3 pues

si no lo fuera su cuadrado tampoco lo sería.

Si a = 3p es a2 = 9p2 y de (*) tenemos que 9p2 = 3b2, es decir b2 = 3p2 y razonando análogamente, b sería tam-bién múltiplo de 3 en contra de la hipótesis de que a y b eran primos entre sí.

Por tanto es necesario negar la hipótesis, no es racional luego es irracional.

Representa en la recta real los números , y .

Solución:

Partiendo de la representación de hecha en el tema sólo hay que considerar que:

y así es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y .

Análogamente: luego es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2.

Por último: luego es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y .

La representación sería:

566 1 52 2= +( )

55 1 22 2= +

233 1 22 2= +( )

2

653

3

ab

2

23=

3 =ab

3

3

F = =611

0 54,�C = =116

183,�

B = 2A = +2 2

ab

1

2

3

20 1 2 5

2

53

3

6

6

1

11 1

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Da un redondeo con la precisión p indicada de los siguientes números:

a) (p = 10–4); b) (p = 10–2) c) (p = 10–1); d) (p = 10–3)

Solución:Observando las expresiones decimales de cada uno de los números, los redondeos buscados son:

a) b) c) d)

a) Calcula la expresión del área de un triángulo equilátero en función de su lado.

b) Calcula el área de los triángulos equiláteros de lados 1 cm y cm.

c) ¿El área de los triángulos equiláteros es siempre un número irracional?

Solución:a)

Luego

b) Si l = 1 cm es cm2.

Si cm es cm2.

c) No, basta considerar por ejemplo el triángulo equilátero de lado cuya área es

Calcula y da un resultado simplificado.

Solución:Como m.c.m.(2, 3, 4) = 12 se transforman todos los radicales en otros equivalentes de índice 12.

2 4 23 23 4ab a b b· ·

S = = =( ) ·

.12 3

412 3

432

4 22cm

124

S = =( )3 3

43 3

4

2l = 3

S =3

4

S =×

=l l

l23

23

4

2

h = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = =l l l l l l22

22 2

2 434 2

3

3

113

0 077≈ ,113

3 7≈ , ;127438

0 29≈ , ;1317

0 7647≈ , ;

113

113

127438

1327

24

4

5

6

l2

lh

l2

2 4 2 2 4 23 23 4 3 612 2 412 312ab a b b ab a b b⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =( ) ( ) ( )

= 22 4 2 2 4 26 6 1812 4 8 412 3 312 6 4 3 6 8 18 4a b a b b a a b b b⋅ ⋅ = 3312 =

17 14 2512 2 5 2122 2 2= =a b ab a b

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Simplifica la expresión:

Solución

Racionalizamos el radicando:

Calcula y simplifica la expresión:

Solución:

Racionaliza los siguientes denominadores:

Solución:

Simplifica la expresión

Solución:

Racionalizando cada uno de los sumandos:

Pues todos los denominadores son 1 excepto el primero que es –1.

1

2 5

1

2 3

1

3 2

1

2 1

2 54 5

2 34 3

3 23 2

2

++

++

++

+=

−−

+−

−+

−−

+− 11

2 1

5 2 2 3 3 2 2 1 5 1

−

= − + − + − + − = −

1

2 + 5+

1

2 + 3+

1

3 + 2+

1

2 + 1

a)

b)

3

2 5

3 5

2 5 5

3 52 5

3 510

3 32

23

2 23

= =⋅

=

=⋅xy

x y

xy xy

x 223 23

2 23

3 33

2 23233 3

3y xy

xy xy

x y

xy xyxy

y xy⋅

=⋅

=⋅

=

cc)

d)

2

3 2

2 3 2

3 2 3 2

3 2 2

3 2

3 2 27

3

2−=

+− +

=+

−=

+

+

( )

( )( )

22 2

5 4 2

3 2 2 5 4 2

5 4 2 5 4 2

15 12 2 10 2

−=

+ +− +

=+ +( )( )

( )( )

++−

=+−

1625 32

31 22 217

a) b) c) d)3

2 5

3 2

3 2

3 2 2

5 4 2

2

23; ; ; .

xy

x y −

+

−

ab

ba

ab

ba

a bb a

ab

32

32

26 6=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

ab

ba

3

3 1

3 1

3 1 3 1

3 1 3 1

3 1

3 1

32

2 2

−

+=

− −

+ −=

−

−=

( )( )

( )( )

( )

( )

−−

−=

−=

−

⋅=

−1

3 1

3 1

2

3 1 2

2 2

6 22

( )

3 – 1

3 + 17

8

9

10

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Convierte en potencias de exponente fraccionario las expresiones siguientes:

a) ; b) ; c) ; d)

Solución:

Resuelve la ecuación: |x + 6| = |x – 2|

Solución:

Cada uno de estos valores absolutos es en realidad una distancia. Sean A y B los puntos de abscisa –6 y 2 res-pectivamente y sea M el punto de abscisa x.

La ecuación |x + 6| = |x – 2| equivale a que MA = MB luego M es el punto medio del segmento AB.

Por tanto la solución de la ecuación inicial es x = –2.

a) b) c) d)5 532

32

21 2 31 3

4 1 4= =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = +//

/( )x y x y 22 2 2 2 22 34 3 4= ⋅ = = /

2 2x +y432

35

Representa como intervalos los conjuntos de números que verifiquen:

a) |x | ≤ 2 b) |x – 2| ≤ 4 c) |x | ≥ 3 d) d(x, 3) < 2 e) d(x, –1) ≤ 1

Solución:

a) |x | ≤ 2 equivale a –2 ≤ x ≤ 2, luego: x ∈ [–2, 2]

b) |x – 2| ≤ 4 equivale a –4 ≤ x –2 ≤ 4, luego: –4 + 2 ≤ x ≤ 4 + 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 6. Así: x ∈ [–2, 6]

c) |x | ≥ 3 equivale a x ≤ –3 ó x ≥ 3. Si x ≤ –3 entonces x ∈ ]–∞, –3]. Si x ≥ 3 entonces x ∈ [3, +∞]. Por tanto, |x | ≥ 3equivale a: x ∈ ]–∞, –3] ∪ [3, +∞[

d) d(x, 3) < 2 equivale a |x – 3| < 2 o bien –2 < x –3 < 2 ⇔ –2 + 3 < x < 2 + 3 ⇔ 1 < x < 5. Es decir x ∈ ]1, 5[

e) d(x, –1) ≤ 1 equivale a |x – (–1)| ≤ 1, es decir: |x + 1| ≤ 1 ⇔ –1 ≤ x + 1 ≤ 1 ⇔ –1 –1 ≤ x ≤ 1 – 1⇔ x ∈ [–2, 0]

11

12

13

01 5

[ [

–2

[ [0

0–2 2

[ [

0–2

[6

[

0–3 3

[ [

26

0

A M B

–6 2–2

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Resuelve la inecuación:

Solución:

Multiplicándola por el m.c.m. (3, 2, 6) que es 6:

2x – 3(5x – 4) ≤ 6x – (12 – 5x)

2x – 15x + 12 ≤ 6x – 12 + 5x

Transponiendo:

2x – 15x – 6x – 5x ≤ –12 – 12

–24x ≤ –24

De donde: . Se ha cambiado el sentido de la desigualdad porque se ha dividido por un número negativo.

La solución es x ≥ 1 o bien x ∈ [1, +∞[

Gráficamente:

x ≥2424

1=

x xx

x

3

5 4

2

12 5

6−−

−−≤≤ −−

−−


Solución:

Desarrollando el producto del primer miembro:

luego: 4x – 10 ≥ 4x + 3 ⇒ 0 ≥ 13

y como esta desigualdad es falsa, la inecuación propuesta no tiene solución.


Solución:

Operando en cada miembro:

multiplicando la inecuación por 10, que es el m.c.m. (2,5) se obtiene:

–15x + 26 ≤ 20x + 8 – 35x + 18 ⇒ –15x – 20x + 35x ≤ 8 + 18 – 26

Es decir: 0 ≤ 0

Y como esta expresión es siempre cierta, cualquier valor de x es solución de la inecuación.

−+ + − +

32

135

245

72

95

xx

x≤

xx x

x2

135

2 245

72

95

++ −− ++ −− −−⎛⎛⎝⎝⎜⎜

⎞⎞⎠⎠⎟⎟

≤

2 54 3

2x

x−

+≥

25

2

4 3

2x

x−−

++⎛⎛⎝⎝⎜⎜

⎞⎞⎠⎠⎟⎟

≥

14

15

16

01

[x

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FORMULARIO

Errores y cota de error

Si el valor exacto de un número a sesustituye por a' el error absoluto es

E = |a – a'| y el error relativo es

Se dice que a' es un valor aproximadode a con error menor que ε si |a – a'| < ε e siendo ε la cota del errorabsoluto.

ea a

a=

−| '|| |

Raíces de índice n

La expresión implica que x n = a.a xn =

Intervalos

El intervalo se llamay es un conjunto denúmeros x tales que

[a, b] cerrado a ≤ x ≤ b

]a, b[ abierto a < x < b

[a, b[semiabierto a

la derechaa ≤ x < b

]a, b]semiabierto a la izquierda

a < x ≤ b

[a, +∞[ ó ]–∞, a] semirrecta cerrada x ≥ a ó x ≤ a

]a, +∞[ ó ]–∞, a[ semirrecta abierta x > a ó x < a

Valor absoluto

Se llama valor absoluto o módulo del número real x y se escribe |x | al número positivo definido así:• si x es positivo o nulo entonces |x | = x • si x es negativo entonces |x | = –x

|x | = α equivale a x = α ó x = – α

|x | ≤ α equivale a – α ≤ x ≤ α o bien x ∈ [– α, α]

|x | > α equivale ax < – α o bien x ∈ [–∞, α[

x > α o bien x ∈ ]α, +∞[

Distancia entre puntos

La distancia entre dos puntos x e yde la recta real es:

d(x, y ) = |x – y |

28

( )a an p pn=a

b

ab

bn

nn= ≠( )0a b a bn n n× = ×

a am n mn/ =a apn np=a apn pmnm=

0–

0

[ [–

0

[–

[ {

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EJERCICIOS FINALES

Dí qué números pertenecen a Q y cuáles a I.

a) ; b) ; c) ;

d) 4,323232…; e) 2,010010001…

f) ; g) ; h) π2

¿Es cierto que ? Razona la respuesta.

En la figura siguiente es OB = 7 cm y CD = 5 cm.

355113

= π

23

7 324,)

0 04,410

Da el valor exacto y un redondeo a milésimas de lamedida del segmento AB.

Da la medida exacta y un redondeo a centésimas delos segmentos AB, BC y BD del tangram siguiente:

¿Cuál es el error absoluto y relativo que se cometeal redondeara) 16,7528 a milésimas?

b) π a centésimas?

c) a enteros?

d) 1,2345678… a diezmilésimas?

Expresa de la forma a = a' ± ε una medida de la quese sabe que su valor está entre:a) 24,96 y 25,12b) 10,52 y 10,84

2

c) –6,4 y –6,28d) 5 y 6Indica en cada caso cuál es la cota del error abso-luto cometido.

En un reconocimiento médico se establece la esta-tura de un individuo en 183 cm cuando su estaturareal es 181 cm. La longitud de una pista de atletis-mo es de 100,5 m cuando debería ser de 100 m.¿Cuál de las dos medidas comete menor errorabsoluto? ¿Cuál tiene menor error relativo?

Indica qué porcentaje de error relativo se cometecuando se hace un redondeo a décimas del núme-ro 15,86352.

Ordena en forma creciente los radicales:

Escribe de la forma con b lo menor posible:

Justifica que:

(con a > b)

(con a > b)

Calcula:

a)

b)

c)

12

2 4 872

64

32452

812

18 64

576

4 6 4

4 6 4

+ + + −

− + −

66 3 34 3

6 10 8

12

8135

811

103993

5 8 3 32 8 16 24

− + −

− − +d)118

c)1

2 1

1

3 23 1

++

+= −

b) ( )a b ab a b+ − = −2 4

a) ( ) ( )a b a b a b a b2 2− +( ) = + −

f) 324 xye) x x3 63 − ;

d) x y2 2− ;c) 3 2 56 4 7 115 ⋅ ⋅ ⋅x ;

b) 20003 ;a) 1200 ;

a bn

2 3 6 3 43 4 4 3; ; ; ; .

20

21

22

23

24

25

28

29

30

31

27

26

O

DBA

C

D

B

A

C

8 cm

8 cm

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EJERCICIOS FINALES

30

32

33

35

36 41

40

39

38

37

Calcula y da el resultado utilizando una sola raízcomo máximo.

Mismo ejercicio:

Calcula y simplifica:

Justifica que:

Simplifica:

A

B

=−

+

= − +

5 2

5 2

17 2 30 17 2 30·

3 2

6

2 3

2 33 2 2

12

−+

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

a)

b)

c)

( )( )

( ) ·

( )(

10 25 10 25

2 31

2 3

5 3 5

3 3

23

− +

−−

−

aa

++

− −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

9

5 3 3 5 5 5 3 3

21

2

4

2

3 3

)

( )( )

( )

d)

e)

f) a b (( )a ab b23 3 23+ +

f)2

32

23

3 34

ab a b

a b

·e)

8

2

64 a

a;d)

3 24

12

4

3

a;

c)50

50

3

4;b)

8

2

4

;a)200

25

3

3;

Introduce en el radical todos los factores posibles:

Calcula:

Escribe las siguientes expresiones bajo un soloradical y simplifica el resultado:

Racionaliza:

Escribe sin radicales las siguientes expresiones:

i)8

4 3 45

xy

x yh)

2

3 24

a

a;g)

3

33;

f)22

+−

xx

;e)85

;d)6

2;

c)15

3;b)

25

15;a)

1

5;

h) x y235( )g) a b3

3( ) ;

f) ( ) ;43 4e) 4 8 2563 4 ;

d) 919

33 ;c) 2 3 9 ;

b) 2 2;a) 83 ;

108 2 56 1715 0 6253 3 3 3, , , ,− + −

f)3 22 34a b abe)( ) ;a b a−

d)( ) ;a b a b+ −c)2 3 23xy y ;

b)3 2a b;a)4 2;

D = − +⎡⎣

⎤⎦( )( )2 1 2 12

C = −( )2 3 3 5 2

a)

b)

c)

d)

5 15 75

2 8 32

2 8 64

30 7

3 4

4 8

4 56 26

· ·

· ·

· ·

·

x x x

55 180

3 8 24

2 3 18

45

34 3 56

3

a a

ab a b a b

xy z z y

·

· ·

· ·

e)

f) 224

a)1

3; b) 93 ; c) 2

14

4 + ;

d) 8; e)5 3 3

15 3

3·;

x

xf) 8 83 +

34

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a) 512x ; b) ( ) ;4 2

23x c) 4

12

−;

d) 5 312· ;

−e)

5

2 112 −

; f) ( )112−

−x

a) 4 212x x= b) 27 323 2 3a a= /

c) 4 0 512

−= , d)

5

3 5

53

=

Escribe las siguientes expresiones sin exponentesfraccionarios ni negativos:

¿Verdadero o falso?

Indica qué números representan los puntos P, Q, Ry S representados a continuación.

Del 45 al 53. Determina los números reales queverifican la ecuación o inecuación propuesta.

a) |x | = 5; b) |x | = ; c) |x – 2| = 5

a) |x – 1| = 0; b) |x + 5| = 3

a) |x + 2| + 3 = 0; b) |2x – 3| – 1 = 0

a) |x | ≤ 5; b) |x | ≥ 1; c) |x | <

a) |x – 4| ≤ 4; b) |2x – 1| < 3

a) |3 – 2x | ≤ 3; b) ≥ 2x −12

54

32

a) |–x – 2| < 1; b) |–x + 1| >

|x + 3| = |x – 1|

Calcula las intersecciones siguientes:

A = ]–2, 5[ ∩ [–1, 7]

B = ]–∞, 6] ∩ [–3, 10]

Calcula las uniones siguientes:

C = ]– 6, 8] ∪ [–3, 10[

D = ]–∞, 3[ ∪ [0, 12]

Expresa como un intervalo el conjunto de valoresde x que verifican:

a) x > 5 b) x ≥ 3x < 8 x < 4

c) x < 1 d) –2 < x ≤ 10x ≥ –4 –8 < x < 5

Expresa como intervalos:

a) [–1, 3] – {0}

b) [2, 5[ – {2}

c) RR – {–2, 3}d) RR – [–5, 0[

Del 58 al 62. Resuelve las siguientes inecuacionesy representa la solución sobre la recta real.

4x – 2(x – 3) > 7 + 3x

4 54

2−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

> −x

x

26

514

xx

x−+

−≥

xx

xx

−−

+ −−6 2

42 2

32

≤

x x x+−

+ −12

35

2 32

≥

xx

−= +

22

1| |

12

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

0 1 2 3P Q

2

1 1

20 1–2 –1 RS

{ {{ {

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AUTOEVALUACIÓN

32

El error absoluto cometido al redondear 15,1326 a milésimas es:

2 0,003 0,0004 nada de lo anteriorDCBA

1

El error relativo cometido al redondear hasta centésimas es:

0,004 menor de 2 milésimas nada de lo anteriorDCBA

2

2 141

2

− ,

2

La diagonal de un cuadrado de lado mide:

2 nada de lo anteriorD2 2C2BA

23

La altura de un triángulo equilátero de lado mide:2

3

nada de lo anteriorDCBA

4

36

33

6

3

2

6

El número es igual a:

0,3419952 nada de lo anteriorDCBA

2,56 1,083 3–5

15

53 1483 ,

La expresión es igual a:4ab · a b

a b

2 3 26

2 33


6

24 6

512

a

b23 ab4 46 a b

Al racionalizar la expresión queda:4x

xy+

5

x – 534


7

4 5 55

34 x yy

xx

+ +−

4 5 55

34x xy

xx

+ +−

( ) 4 5 525

34 x yy

xx

+ +−

( )

El número es igual a:5 1

5 + 1

12

12

–

–1 nada de lo anteriorDCBA

8

3 5

2

−

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Si un número x verifica que –2 ≤ x + 2 ≤ 1 entonces:

x ∈ [–2, 3] x ∈ [– 4, –1] x ∈ ]– 4, 3[ nada de lo anteriorDCBA

9

La solución de la inecuación es:

]–∞, 0[ [0, +∞[ no tiene solución nada de lo anterior DCBA

2x + 13

–x – 1

59x + 8

15≤

10

MISCELÁNEA MATEMÁTICA

Los secretos pitagóricosLos Pitagóricos habían considerado como núcleo dogmático de su Filo-

sofía que «los números son la esencia del universo», sin embargo su pro-pio Teorema atenta contra los fundamentos de su doctrina pues el cuadra-do, que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona unaterrible realidad: su diagonal no es conmensurable con el lado. Lo mismosucede entre la diagonal y el lado del pentágono. Así pues los números(ellos llamaban números solamente a los enteros positivos) no podíanmedirlo todo. La Geometría no medía siempre con exactitud. Apareció lamagnitud inconmensurable, lo irracional –no expresable mediante razo-nes–, «el alogon», y provocó una crisis sin precedentes en la Historia de laMatemática. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedabanafectadas y debían ser reconstruidas todas las pruebas pitagóricas de losteoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes geométri-cas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los pitagóricos sobrela cuestión irracional y la leyenda del castigo por su divulgación. La conmo-ción que el nuevo ente provocó en la Matemática griega queda reflejada enel siguiente escrito de Jámblico (Vida Pitagórica. XXXIV, 246-247, p. 141). «Se dice que el primero que reveló la naturaleza de la conmensurabilidade inconmensurabilidad a los indignos de participar de tales conocimientosfue aborrecido [por la comunidad pitagórica] hasta el punto de que no sólolo expulsaron de la vida y de la vivienda en común, sino que incluso le eri-gieron una tumba como si él, que había sido una vez compañero, hubieseabandonado la vida entre los hombres. [...] Otros afirman que la divinidadse enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo comoun impío en el mar por sacrílego al haber revelado la doctrina de los núme-ros irracionales y la inconmensurabilidad.»

Pitágoras. Detalle de la Academia deAtenas de Rafael.

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