matematicas ejercicios resueltos soluciones numeros complejos 1º bachillerato o 2º bup

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1 Las expresiones en las que intervienen el nº i reciben el nombre de números complejos. El número i se llama unidad imaginaria. Todo número complejo tiene la forma: La expresión: se llama forma binómica. Al número “a” se le llama parte real del número complejo El número “b” se llama parte imaginaria. Si b= 0, el número complejo se reduce a un número real. - Los números reales son un subconjunto de los números complejos. - Ejemplo: son números reales y también complejos, con la parte imaginaria nula. Si “a” = 0 el número complejo se reduce a un imaginario puro. Ejemplo: Si a= 0 y b= 0 se llama número complejo 0 y se escribe: 0 +0i - Número complejos conjugados son los que tienen la misma parte real y las partes imaginarias opuestas: Ejemplos: Números complejos iguales son los que tienen iguales las partes reales y las imaginarias, por ejemplo:

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Nivel 1º Bachillerato o 2º de BUP Pruebas de Acceso a la Universidad.Opción Ciencias Puras Perfil Alumnas/os 17 o18 años

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Page 1: Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Numeros Complejos 1º Bachillerato o 2º BUP

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Las expresiones en las que intervienen el nº i reciben el nombre de números complejos. El número i se llama unidad imaginaria. Todo número complejo tiene la forma: La expresión: se llama forma binómica. Al número “a” se le llama parte real del número complejo El número “b” se llama parte imaginaria. Si b= 0, el número complejo se reduce a un número real.

- Los números reales son un subconjunto de los números complejos. - Ejemplo: son números reales y también complejos, con la parte imaginaria nula. Si “a” = 0 el número complejo se reduce a un imaginario puro.

Ejemplo: Si a= 0 y b= 0 se llama número complejo 0 y se escribe: 0 +0i - Número complejos conjugados son los que tienen la misma parte real y las partes imaginarias opuestas: Ejemplos: Números complejos iguales son los que tienen iguales las partes reales y las imaginarias, por ejemplo:

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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS. Siempre debemos recordar lo siguiente: SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS. La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales entre sí, y las partes imaginarias, también entre sí. Vamos a ver algunos ejemplos prácticos. PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS. Se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto a la

suma y teniendo siempre en cuenta que i2 = - 1 Ejemplo práctico: Otro: Vamos a tratar de resolver un ejercicio sencillo, para verlo un poquito más claro: Calcular x e y par que (2+xi) + (y-3i) = 7 + 4i Igualamos las partes reales con las imaginarias y llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:

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Por tanto x = 7 e y = 5. Y ejercicio resuelto. Otro ejemplo. Vamos a multiplicar dos nºs imaginarios: Lo primero que vemos es: -6i y + 6i, se anulan por tanto = 0.

¿Y nos acordamos que i2 = - 1 ? Entonces la solución, será: 4 – 9 (-1) = + 13

Recordar, en este caso concreto: (3i).(-3i)= = -9i2 = -9 (-1) = + 9 COCIENTE DE NUMEROS COMPLEJOS:

- La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador.

Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Vamos a ver un ejemplo: Otro ejemplo: POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS. Esta operación se efectúa desarrollando la potencia del binomio (a+bi) y, teniendo en cuenta las potencias del numero i. Creo que antes de empezar, deberíamos desarrollar las potencias de i, para “verlas de forma gráfica e irlas memorizando:

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iº = 1

i1 = √-1

i2 = - 1

i3 = - i

i4 = 1 A partir de aquí “tomar buena nota” de esto que os digo: “Todas las potencias de i se repiten de 4 en 4.” “Las potencias de i, cuyo exponente es múltiplo de 4 son iguales a 1 “ Entonces un método práctico: Para calcular las potencias del número “i” dividiremos el exponente entre 4, y calculamos la potencia del número “i” que tienen por exponente el resto de la división. Cómo es lógico, vamos a ver algunos ejemplos: MÓDULO Y ARGUMENTO DEL NÚMERO COMPLEJO. Al número complejo (a+bi) se le hace corresponder el punto de coordenadas: A(a,b). A este punto “A” se le llama “aaafffiiijjjooo””” dddeeelll nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo (((aaa+++bbbiii))) A cada número complejo le hacemos corresponder siempre un punto del plano.

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Si unimos el origen “O” con el punto “A” obtenemos el vector: A cada número complejo le corresponde un “vector” Módulo del número complejo: a+bi es el módulo del vector Se representa: Argumento del número complejo: a+bi es el ángulo que forma el semieje positivo de las abcisas con la recta que contiene el vector Se representa: arg (z) = α Si ahora aplicamos la definición de la tangente trigonométrica de un ángulo: En la expresión: hay infinitos ángulos que cumplen la igualdad. Si restringimos el valor de x: solamente hay 2 ángulos que difieren en ∏ y tienen la misma tangente. Entonces “ojito” para saber cual es el “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL.

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FORMA TRIGONOMÉTRICA Y POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO. a = r. cos x b = r. sen x Vamos a sustituir esos valores en la expresión del número complejo en forma binómica: A la expresión: se la llama forma trigonométrica del complejo a+bi.

Otra forma de representar el número complejo (a+bi) es rx que se llama módulo-argumental polar donde: R = módulo X = argumento Corolario: dos número complejos escritos en forma polar sssooonnn iiiggguuuaaallleeesss, siempre y cuando sus mmmóóóddduuulllooosss sean iguales y sus aaarrrggguuummmeeennntttooosss difieran en siendo k un número entero. Siendo Z el conjunto de los números enteros Un número imaginario lo podemos representar de las siguientes formas: Forma binómica Forma Trigonométrica Forma Polar

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PRODUCTO Y COCIENTE DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR. Debemos de tener en cuenta lo siguiente: 1º.- La suma y resta de números complejos no es cómoda hacerla en forma polar, dando lugar probablemente a múltiples errores. Para ello pasaremos mediante la expresión trigonométrica a forma binómico y de esta forma haremos las operaciones pertinentes. 2º.- Por el contrario el producto, cociente, potencia y radicación son operaciones simples cuando el número complejo está en forma polar. PRODUCTO DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR. Lo primero que haremos es escribir los números complejos en forma trigonométrica, y operamos con ellos como en forma binómico: Por tanto el producto de complejos en forma polar, viene dado por: Y lo definimos: el producto de 2 números complejos en forma polar, es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo el ppprrroooddduuuccctttooo de los módulos y por aaarrrggguuummmeeennntttooo, la suma de los aaarrrggguuummmeeennntttooosss... AAAhhhooorrraaa vvvaaammmooosss aaa vvveeerrr uuunnn cccaaasssooo eeessspppeeeccciiiaaalll::: MMMuuullltttiiipppllliiicccaaarrr uuunnn nnnººº cccooommmpppllleeejjjooo pppooorrr iii:::

--- SSSiiieeemmmppprrreee dddeeebbbeeerrreeemmmooosss ttteeennneeerrr eeennn cccuuueeennntttaaa qqquuueee eeelll nnnººº “““ iii ””” tttiiieeennneee cccooommmooo mmmóóóddduuulllooo 111 yyy cccooommmooo aaarrrggguuummmeeennntttooo 999000ººº...

Por tanto cuando multiplicamos un nº complejo por “ i “, ocurre:

- El Módulo queda multiplicado por 1: NO varia - El Argumento: es igual al argumento inicial más 90º.

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Esto quiere decir que geométricamente equivale a un giro de 90º en sentido “contrario” a las agujas del reloj. Ahora vamos a representarlo gráficamente: DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR. El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss... Ahora es un buen momento, para ver un ejemplo. Vamos a calcular el valor de x para que el cociente: sea: a) Un número real positivo. Los números reales positivos tienen como argumento 0 radianes. El número 5 0i = 5 de módulo. El argumento será: ∏ - x = 0 x = ∏ radianes.

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b) Un número real negativo. Los números reales negativos tiene como argumento ∏ radianes = 180º.

- 5 + 0i = -5 de módulo. Argumento: ∏ - x = ∏ Por tanto x = 0 radianes. c) Un número imaginario puro positivo. Un ejemplo de número imaginario puro positivo es: 3i Los números imaginarios puros tienen de argumento: Por tanto: POTENCIAS Y RAICES DE Nºs COMPLEJOS EN FORMA POLAR. Partimos de la potencia de un número complejo en forma trigonométrica. La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa nnn---ééésssiiimmmaaa dddeeelll mmmóóóddduuulllooo y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: “““ nnn “““ vvveeeccceeesss eeelll aaarrrggguuummmeeennntttooo del complejo dado.

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Radicación de un número complejo en forma polar: Supongamos que la raíz n-ésima del número complejo Entonces tenemos: Si damos valores enteros a k desde 0, hasta n-1 obtenemos “ n “ argumentos distintos que cumplen la condición impuesta. Para k ≥ 0 se obtienen argumentos que difieren de los anteriores en un número entero de 2 ∏ radianes y coinciden con alguno de los anteriores. Podemos enunciar lo siguiente: LLLaaasss rrraaaíííccceeesss nnn---ééésssiiimmmaaasss dddeee uuunnn nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo sssooonnn nnnúúúmmmeeerrrooosss cccooommmpppllleeejjjooosss qqquuueee tttiiieeennneeennn dddeee mmmóóóddduuulllooo lllaaa rrraaaííízzz nnn---ééésssiiimmmaaa dddeee mmmóóóddduuulllooo yyy pppooorrr aaarrrggguuummmeeennntttooo::: Toda esta teoría, más ampliada queda del modo siguiente: Los algebristas del los siglos XV y XVI, al buscar una solución para algunas ecuaciones de segundo grado, por ejemplo x2 + 1 = 0, se encontraron con x = ± −1 . Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de “definir” nuevos números de la forma: iba ⋅+ donde a y b son números reales e i es −1 , que permitieran resolver cualquier ecuación de segundo grado. Estos nuevos números se llaman números complejos ( C ). Ejemplo: La ecuación de segundo grado: x x2 6 34 0− + = tiene como solución:

2

1006 −±=x que expresaremos como i

ix ⋅±=⋅±= 53

2

106

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Definición.

SSee llllaammaa nnúúmmeerroo ccoommpplleejjoo aa ttooddaa eexxpprreessiióónn ddee llaa ffoorrmmaa z a bi= + ddoonnddee aa yy bb ssoonn nnúúmmeerrooss rreeaalleess;; ii eess llaa uunniiddaadd llllaammaaddaa iimmaaggiinnaarriiaa,, ddeeffiinniiddaa ppoorr llaass eeccuuaacciioonneess:: 1−=i oo 12 −=i ;; aa eess llaa ppaarrttee rreeaall yy bb eess llaa ppaarrttee iimmaaggiinnaarriiaa ddeell nnúúmmeerroo ccoommpplleejjoo..

Si a = 0, el número complejo bibi =+0 , es un número imaginario puro; si b = 0, se obtiene el número real aia =+ 0 Dos números complejos son iguales si: ( ) ( ) dccaidciba ==⇔⋅+=⋅+ ; es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por separado. Un número complejo es igual a cero si: 0;00 ==⇔=⋅+ baiba Representación gráfica. Sobre el eje de abcisas se representa la parte real a del número complejo y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b. El número complejo ( , )a b queda representado por el punto P(a,b) del plano de coordenadas. A cada número complejo ( , )a b corresponde un punto P que se llama su afijo, y recíprocamente, a cada punto corresponde un número complejo. De este modo queda establecida una aplicación biyectiva entre los puntos del plano y los números complejos. Si escribimos ( ) ( )z a b a b= = +( , ) , ,0 0 y consideramos la relación vectorial correspondiente, podemos escribir: z a bi= + que llamaremos forma binómica del numero complejo z . Cuando aparezca escrito como ( , )a b diremos que está en forma cartesiana.

El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP→

que se puede considerar la representación vectorial del número complejo ( , )a b . La longitud r del

vector OP→

se llama módulo del número complejo a bi+ y su expresión es r a b= +2 2 Complejos conjugados y complejos opuestos.

Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. Se expresan de la forma siguiente: z a bi= + y biaz −= . Gráficamente son simétricos respecto del eje real (eje de abcisas).

Dos números complejos se llaman opuestos si tienen opuestas sus dos componentes. Se expresan de la forma siguiente: z a bi= + y − = − −z a bi . Gráficamente son simétricos respecto del origen de coordenadas.

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Propiedades: zz = 2121 zzzz +=+ ( )zz −=−

2121 zzzz ⋅=⋅ 2

1

2

1

z

z

z

z=

zzz ⋅=2 2

Rezz

z+=

2Im

zzz

−=

Forma trigonométrica de un complejo. Designemos por α y r ( r ≥ 0 ) las coordenadas polares del punto P( a , b ) tomando por polo el origen de coordenadas y por eje polar, la dirección positiva del eje OX. En este caso tenemos las expresiones siguientes:

( ) ( ) ( )α⋅+α⋅=⋅α⋅+α⋅=⋅+⇒

α⋅=α⋅=

SeniCosriSenrCosribaSenrb

Cosra

La expresión ( )α⋅+α⋅ SeniCosr se llama forma trigonométrica del número complejo iba ⋅+ y las magnitudes r y α se expresan en función de a y b mediante

las fórmulas: a

bArcTgTg

a

bbar =α⇒α=+= ;22

El número r se llama módulo y α argumento del número complejo iba ⋅+ . Si α∈[ 0, 2π [, obtenemos el argumento principal.

Operaciones con números complejos. En forma binómica

Suma y resta: Producto:

Cociente: ( )( )a bi

c di

ac bd

c d

bc ad

c di

++

=++

+−+2 2 2 2

Raíz cuadrada: Si ( )a bi x yi a bi x yi x y xyi+ = + ⇒ + = + = − +2 2 2 2

igualando las partes real e imaginaria resulta el sistema: x y a

xy b

2 2

2

− ==

Operaciones con números complejos. En forma trigonométrica

Producto: ( )( )

( ) ( )[ ]β+α⋅+β+α⋅⋅=⋅β⋅+β⋅=α⋅+α⋅=

SeniCosrrzzndoMultiplica

SeniCosrz

SeniCosrzSean

2121

22

11

Cociente:

EEEnnn lllaaa ppprrráááccctttiiicccaaa pppuuueeedddeeesss aaappplll iiicccaaarrr lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddiiissstttrrriiibbbuuutttiiivvvaaa ttteeennniiieeennndddooo eeennn

cccuuueeennntttaaa qqquuueee i2 1= −

EEEnnn lllaaa ppprrráááccctttiiicccaaa ssseee mmmuuullltttiiippplll iiicccaaa nnnuuummmeeerrraaadddooorrr yyy dddeeennnooommmiiinnnaaadddooorrr pppooorrr eeelll cccooonnnjjjuuugggaaadddooo dddeeelll dddeeennnooommmiiinnnaaadddooorrr

( ) ( ) ( ) ( )icbdadbcadicbia ⋅+⋅+⋅−⋅=+⋅+

( ) ( ) ( ) ( )idbcadicbia ±+±=+±+

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( )( )

( ) ( )[ ]β−α⋅+β−α⋅=

β⋅+β⋅=α⋅+α⋅=

SeniCosr

r

z

zDividiendo

SeniCosrz

SeniCosrzSean

2

1

2

1

22

11

Operaciones con números complejos. En forma polar La forma trigonométrica de un complejo sugiere que éste quede perfectamente determinado por su módulo r y un argumento α.

Si escribimos ( )α⋅+α⋅=α SeniCosrr también tenemos una expresión que pone de manifiesto los valores del módulo y un argumento. Se le conoce por forma polar de un número complejo.

El producto en forma polar quedaría: ( ) ( ) ( ) β⋅αβ+αβα =⇒⋅=⋅ n

nn rrsrsr iaconsecuenc Como

El cociente en forma polar quedaría: β−αβ

α

=s

r

s

r

Forma de Moivre para el producto.

( )

α⋅+α⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∑∑

==

n

kk

n

kknn SeniCosrrrzzz

112121 LL

Forma de Moivre para la potencia.

( )α⋅+α⋅= nSeninCosrz nn

Consecuencia: Considerando un complejo de módulo la unidad: ( ) ( )α⋅+α=α⋅+α nSeninCosSeniCos n y desarrollando el primer miembro según la fórmula del binomio de Newton e igualando las partes reales e imaginarias, podremos expresar αnSen y αnCos en función de αSen y αCos .

Raíces n-ésimas de un complejo.

Definición: z1 es una raíz n-ésima de z si z zn1 =

Teorema: Todo complejo z ≠ 0 tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas en C.

Sea ( )Φ⋅+Φ⋅= SeniCosRz un complejo no nulo.

EEElll mmmóóóddduuulllooo dddeeelll cccoooccciiieeennnttteee eeesss eeelll cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss... UUUnnn aaarrrggguuummmeeennntttooo dddeeelll cccoooccciiieeennnttteee eeesss lllaaa dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

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Supongamos que ( )α⋅+α⋅ SeniCosr es una de sus raíces n-ésimas. Deberá verificarse: ( )[ ] ( )Φ⋅+Φ⋅=α⋅+α⋅ SeniCosRSeniCosr n , es decir;

( ) ( )Φ⋅+Φ⋅=α⋅+α⋅ SeniCosRnSeninCosr n Deberán coincidir los módulos: nn RrRr =⇒= (su valor aritmético, real y positivo) Para que los complejos de módulo unidad

Φ⋅+Φα⋅+α⋅ SeniCosnSeninCos y coincidan, nα y Φ deberán ser dos argumentos del mismo complejo. En otras palabras, π+Φ=α kn 2 de donde:

n

kπ+Φ=α 2

Resumiendo: Las raíces n-ésimas de z son de la forma:

( )1,2,1,022 −=Ζ∈

π+Φ⋅+π+Φ⋅ nkkn

kSeni

n

kCosRn

L

La raíz n-ésima de número real A, distinto de cero, también tiene n valores, puesto que en número real es un caso particular del número complejo y puede ser representado en forma trigonométrica:

( ) ( )π⋅+π⋅=<⋅+⋅=> SeniCosAAASiSeniCosAAASi 0;000

Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas de z

Se observa que todas las raíces tienen el mismo módulo: n R . Por ello, los afijos de la n raíces están situados sobre la circunferencia de centro el origen y radio n R .

Si Φ es un argumento de z, un argumento de z1 es n

Φ . Si dividimos los 2π

radianes en n partes, cada una de ellas mide n

π2 radianes.

Así el afijo de z2 se obtiene girando el de z1 en n

π2 radianes; el de z3

girando el de z2 otra vez un ángulo de n

π2 radianes, y así sucesivamente.

Solución de la ecuación binomia.

La ecuación Ax n = se llama binomia. Las raíces de esta ecuación serán:

Si A es un número real positivo:

π⋅+π⋅=n

kSeni

n

kCosAx n 22

Si A es un número real negativo:

π+π⋅+π+π⋅=n

kSeni

n

kCosAx n 22

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Si A es un número complejo, los valores de x se hallan según la expresión general.

Función exponencial de exponente complejo y sus propiedades.

Sea yixz += , si x e y son variables reales, z es una variable compleja. Consideremos la función exponencial de variable compleja: yixz eezf +==)( Los valores complejos de la función f(z) se definen del modo siguiente:

( )ySeniyCosxyix ee ⋅+⋅=+ Propiedades:

Sean z, z1 y z2 números complejos y m un número entero, entonces:

2121 zzzz eee ⋅=+ 2

121

z

zzz

e

ee =−

( ) zmmz ee ⋅= ziz ee =π+2 Se cumplen las reglas de derivación de la función exponencial de

variable real. Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo.

Consideremos un número imaginario puro, la fórmula de Euler expresa la relación entre la función exponencial de exponente imaginario y las funciones trigonométricas y es: ySeniyCosyie ⋅+= de la podemos deducir las expresiones de seno y coseno en función de ellas.

−=

+=⇒

⋅−=⋅+=

iySen

yCos

ySeniyCos

ySeniyCosyiyi

yiyi

yi

yi

ee

ee

ee

2

2

Forma exponencial de un número complejo:

Sea z un número complejo en forma trigonométrica: ( )α⋅+α⋅= SeniCosrz donde r es el módulo y α un argumento. Según la fórmula de Euler:

ii ee rzSeniCos αα ⋅=⇒=α⋅+α y todo número complejo puede ser representado en forma exponencial.

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Núm Concepto Observaciones

1 Unidad imaginaria

2 Forma binónica de un complejo

a+bi donde a y b son números reales cualesquiera.

a se llama parte real

b se llama parte imaginaria

Si a vale cero (tiene la forma bi) el número se llama imaginario puro.

3 Representación gráfica de los números complejos

Afijo es el punto en el plano que representa al nº complejo.

Las partes reales se representan sobre abscisas y las imaginarias sobre ordenadas.

Complejos iguales: cuando son iguales sus partes real e imaginaria.

Complejos conjugados: conjugado de a+bi es a-bi . Si z representa al complejo, el conjugado es

los conjugados son simétricos con respecto al eje horizontal.

Complejos opuestos: opuesto de a+bi es -a-bi . Si z representa al complejo, el conjugado es

los opuestos son simétricos con respecto al origen de coordenadas.

4 Suma de complejos en forma binómica.

Se suman ("por su cuenta") las partes reales y las partes imaginarias.

5 Producto de complejos en forma binómica.

Se aplica la propiedad distributiva y se tiene en

cuenta que

6 Cociente de complejos en forma binómica.

Es decir, se multiplica y divide por el conjugado del denominador

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7 Potencias de la unidad imaginaria

8 Potencias de complejos en forma binómica.

Se calculan utilizando el binomio de Newton y teniendo en cuenta los valores de las potencias de unidad imaginaria.

9 Forma polar de un número complejo. Módulo y argumento.

Módulo :

Argumento:

Forma polar:

10 Forma trigonométrica de un número complejo.

Nota: esta forma es también muy útil para recordar las fórmulas de paso de la forma polar a la binómica. Basta efectuar el producto indicado en la forma trigonométrica para obtener la forma binómica esta forma es también muy útil para recordar las fórmulas de paso de la forma polar a la binómica. Basta efectuar el producto indicado en la forma trigonométrica para obtener la forma binómica.

11

Complejos iguales, conjugados y opuestos en formas polar y trigonométrica.

Complejos iguales: módulos iguales y argumentos difieren en un número entero de vueltas.

Complejos conjugados:

12 Suma de complejos en forma polar

Lo más cómodo es pasarlos antes a binómica

13 Producto de complejos en forma polar

Producto de dos complejos: a) MODULO: el producto de los módulos b) ARGUMENTO: la suma de los argumentos.

14 Cociente de complejos en forma polar

Cociente de dos complejos: a) MODULO: el cociente de los módulos b) ARGUMENTO: la diferencia de los argumentos.

Nota: para calcular el inverso de un complejo basta considerar que 1 es un número complejo que tiene por módulo la unidad y por argumento 0 (o 360º)

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Potencias de complejos en forma polar. En forma trigonométrica. Fórmula de Moivre.

En el caso de que el módulo sea 1, se tiene la siguiente fórmula (fórmula de Moivre):

16 Radicación de complejos en forma polar

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1.- Escribe de todas las formas posibles el siguiente complejo: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo: Bueno colegas bueno, ahora de nuevo a recordarse del valor de las razones trigonométricas más usuales. ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor Rascándose la cabeza, nos damos cuenta que corresponde a un ángulo de 60º, Por tanto el argumento será: Ahora, vamos a expresarlo de todas las formas posibles: Forma binómica Forma trigonométrica Forma Polar 2.- Escribe de todas las formas posibles el siguiente complejo: El número i. 1º.- Calculamos el módulo del número: El módulo = 1. Porque el número complejo i, tiene la forma: 0 + 1 i Hemos visto anteriormente, que cuando a = 0 y b › 0, el argumento es Por tanto arg ( i ) = radianes = 90º Forma binómica Forma trigonométrica Forma Polar

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3.- Escribe de todas formas posibles el siguiente complejo: Hasta aquí sin ningún problema, pero ojitooooooooooooooooooo, porque el coseno es NEGATIVO, ya que el ángulo está localizado en el 3º cuadrante. Pero lo mismo que lo anterior, es negativo, porque nos estamos refiriendo a ángulos situados en el 3º cuadrante. Por tanto: Es el momento de sustituir los valores que hemos calculado de las razones trigonométricas: Forma Binómica Forma Tringonométrica Forma Polar

4.- Calcular: 1º Paso: Pasamos el complejo a forma polar: a) Calculamos su módulo: b) Calculamos su argumento: Otra ves, tenemos que echar mano de nuestra memoria: ¿cuál es el ángulo cuya tangente tiene como razón ¿ Pues el ángulo de 60º Por tanto:

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5.- Calcular las raíces cúbicas del complejo 8 i Al ser un problema de radicación, debemos de pasar el número a forma polar. Es el momento de calcular el módulo: Vamos a aplicar la fórmula de la radicación de un complejo en forma polar. Para ello la vamos a escribir y, así acordarnos de ella. Vamos a sustituir valores: Para ello le daremos valores a k, hasta n-1, en este caso como es la raíz cúbica, tienes de índice 3, daremos valores comprendidos entre 0, 1 y 2. 6.- Resolver la siguiente ecuación: Vamos a despejar z en la ecuación dada. El número complejo es de la forma: 1 + 0 i El módulo será: Su argumento, será: Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores:

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Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 5 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3 y 4 Para k = 0 Para k= 1 Para k = 2 Para k= 3 Para k = 4 7.- Calcular el módulo y argumento del nº complejo: Lo primero que haremos es representaros gráficamente para saber en que cuadrante se encuentran, para calcular sus argumentos. 1º.-Módulo de 2º.-Módulo de 3º.-Módulo de Ahora es el momento de calcular los argumentos correspondientes a cada número:

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Y según vemos en el dibujo precedente: corresponde al 1º cuadrante. Y lo mismo que en el apartado anterior: corresponde al 1º cuadrante. Si echamos otro vistazo al dibujo hecho al principio del ejercicio, corresponde su situación al 4º cuadrante. Por tanto el ángulo será: 360º - 30º = 330º Es el momento de que a partir de los resultados obtenidos, procedamos a sustituir los valores y dar el resultado solicitad en el enunciado del ejercicio. Módulo: Argumento: Pero como cada giro de la circunferencia son 360º: 435º-360º = 75º. 8.- Escribir el número complejo: en forma polar. Lo primero, haremos un dibujo, para ver mucho mejor, su posición. Lo primero que haremos, será calcular el módulo del número.

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Ahora procedemos a calcular su argumento: Y además sabemos que está situado en el 4º cuadrante. Por tanto el ángulo correspondiente (cada giro = 360º). Será: 360º-60º = 300º Por tanto el nº pedido es: 9.- Expresar en forma polar el siguiente nº complejo: Lo primero que haremos, para buscarnos una ayuda visual, es representarlo gráficamente: El ángulo corresponde al 1º cuadrante Como siempre, para tener un método propio, vamos a calcular su módulo: Módulo: Argumento: Por tanto el nº pedido es: 10.- Expresar el número complejo i en forma polar. Lo primero que haremos, para buscarnos una ayuda visual, es representarlo gráficamente: El ángulo corresponde al 1º cuadrante El número tiene la forma: 0 + 1 i Camo siempre, comenzaremos por calcular su módulo: Módulo:

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Ahora le toca el turno al cálculo del argumento: Por tanto el nº pedido es: 11.- Expresar el número complejo 3 i en forma polar. Lo primero que haremos, para buscarnos una ayuda visual, es representarlo gráficamente: El ángulo corresponde al 1º cuadrante El número tiene la forma: 0 + 3 i Comenzaremos por calcular su módulo: Módulo: Ahora le toca el turno al cálculo del argumento: Por tanto el nº pedido es:

12.- Expresar el número complejo - i en forma polar. Para buscarnos una ayuda visual, lo representaremos gráficamente. De esta forma, siempre sabremos en que cuadrante estamos trabajando. El ángulo corresponde al 3º cuadrante El número tiene la forma: 0 - 1 i Vamos a comenzar calculando, como siempre su módulo:

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Módulo: Y ahora le toca el turno al argumento del número complejillo. Argumento: Por tanto el nº pedido es: 13.- Expresar el número complejo 1 en forma polar. Para buscarnos una ayuda visual, lo representaremos gráficamente. De esta forma, siempre sabremos en que cuadrante estamos trabajando. El ángulo corresponde al 1º cuadrante El número tiene la forma: 1 + 0 i Como siempre y, siguiendo nuestro método, vamos a comenzar calculando su módulo: Módulo: Argumento: Por tanto el nº pedido es: 14.- Expresar el número complejo en forma polar. Más de lo mismo, lo representaremos gráficamente. De esta forma, siempre sabremos en que cuadrante estamos trabajando. El ángulo corresponde al 2º cuadrante

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Siguiendo nuestro método establecido, vamos a comenzar por calcular su módulo: Módulo: Argumento: Al estar localizado el ángulo en el 2º cuadrante, ¿qué es aquello que debemos de tener en cuenta para dar la solución? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh: 180º-35º = 145º Ángulo real. Por tanto el nº pedido es: 15.- Expresar el número complejo -1 en forma polar. Más de lo mismo, lo representaremos gráficamente. De esta forma, siempre sabremos en que cuadrante estamos trabajando. El ángulo corresponde al 2º cuadrante El número tiene la forma: -1 + 0 i Siguiendo nuestro método establecido, vamos a comenzar por calcular su módulo: Módulo: Argumento: Por tanto el nº pedido es: 16.- Pasar a forma binómica el siguiente nº expresado en forma polar:

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Esta ya difiere de toda la serie de los ejercicios anteriores. 1º.- Vamos a pasar el número dado a la forma trigonométrica. La vamos a recordar: Cos 210º = cos 180º = cos 30º Acordarse de ángulos que difieren en 180º+α = Signo negativo porque está situado en el 3º cuadrante. Sen 210º = sen 180º = sen 30º Acordarse, de nuevo de ángulo que difieren en 180º+α = Signo negativo porque está situado en el 3º cuadrante. Ahora sustituimos estos valores en la fórmula y obtenemos: Por tanto la solución es: 17.- Expresar el nº complejo en forma binómico. El ángulo se encuentra en el 4º cuadrante. Ángulo correspondiente al 4º cuadrante, por tanto el ángulo es referido al 1º cuadrante: 360º-330º = 30º. Aquí aplicamos las razones trigonométricas del ááánnnggguuulllooo ooopppuuueeessstttooo... Por tanto la solución es:

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18.- Expresar el nº complejo en forma binómico. Por de pronto, sabemos que el número está localizado en el 3º cuadrante, sobre el eje de ordenadas, por tanto no tiene parte real, tan solo imaginaria. Por este motivo: cos 270º = 0 El sen de 270º = sen 180º + α = sen 90º. Angulos que difieren 180º+ α Como el seno es negativo en el 3º cuadrante, sabemos que sen 270º = - 1 El número será: Por tanto la solución es: 19.- Expresar el nº complejo en forma binómico. Por de pronto ya sabemos que el ángulo está localizado en el 2º cuadrante. Esto lo estamos utilizando, para saber que signos le corresponden a cada una de las razones trigonométricas. Buenooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo, como está localizado en el 2º cuadrante, ¿Qué razones trigonométricas utilizaremos? AAArrrrrreeeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa... AAA vvveeerrr cccoooñññooo,,, nnnaaadddaaa dddeee nnnaaadddaaa,,, eeehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh... BBBuuueeennnooo,,, ssseeerrrááánnn lllaaasss dddeee lllooosss ááánnnggguuulllooosss ααα yyy 111888000ººº --- ααα EEErrraaa mmmuuuyyy dddiiifffíííccciii lll,,, eeehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh... MMMeeennnuuudddooo cccaaarrreeetttoooooooooooooooooooooooooooooo ooosss hhhaaabbbíííaaa qqquuueeedddaaadddooo... 111ººº...--- ÁÁÁnnnggguuulllooo cccooorrrrrreeessspppooonnndddiiieeennnttteee::: 111888000ººº --- 111333555ººº === 444555ººº

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Por estar en el 2º cuadrante, el ssseeennnooo eeesss pppooosssiiitttiiivvvooo y el cccooossseeennnooo nnneeegggaaatttiiivvvooo. Ojitooooooo con los signos. Por tanto: Por tanto la solución es: 20.- Expresar el nº complejo en forma binómico. Por de pronto ya sabemos que el ángulo está localizado en el 2º cuadrante. Y además sobre el eje de las abcisas. ¿Por quééééééééééééééééééééééééééééééééééé Porque el ángulo es de 180º. Por tanto tampoco tiene parte imaginaria ¿Cuál es el valor del seno de 180º? Es 0. Por estar en el 2º cuadrante, es: nnneeegggaaatttiiivvvooo Por tanto la solución es: Era muy difícil, verdaddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd. 21.- Calcular en forma polar: ¿Qué os vendrá a la memoriaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, es eso. Pues muy bien. El producto de nºs en forma polar, se calcula de esta forma: El Módulo = Es el producto de los módulos. El Argumento = Es la suma de los argumentos de ambos nºs. Muy biennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.

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Por tanto la solución es: 22.- Calcular en forma polar: ¿Nos acordaremos de cómo se efectúa la división de dos números en forma polar? Pues de la forma siguiente: El Módulo = Es el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss de ambos números El Argumento = Es la rrreeessstttaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss de ambos números Vamos a efectuar cálculos: Por tanto la solución es: 23.- Calcular en forma polar: Esto que tenemos delante es una potencia de números complejos. Tenemos que acordarnos de la teoría, para poder calcularlos. El Módulo: Se obtiene eeellleeevvvaaannndddooo eeelll mmmóóóddduuulllooo aaa lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa indicada. El Argumento: Se obtiene mmmuuullltttiiippplll iiicccaaannndddooo eeelll aaarrrggguuummmeeennntttooo pppooorrr eeelll ííínnndddiiiccceee dddeee lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa dada. Por tanto la solución es: 24.- Expresar el número complejo en forma polar. Vamos a representarlo gráficamente, para ver un montón de datos. El ángulo corresponde al 4º cuadrante Lo primero es seguir siempre con nuestro método establecido. Vamos a calcular el:

( )3 60º5

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Módulo: Argumento: ¿Cuál es el ángulo cuya razón trigonométrica de la tangente = √3? Es el ángulo de 60º Cómo está en el 4º cuadrante, su relación con respecto al primero será: 360º-60º = 300º Ahora damos valores a k en la fórmula correspondiente hasta n-1 y obtenemos: Los valores de “ n 2 pueden ser 0, 1 y 2, ya que el índice de la raíz es 3. 25.- Resolver la siguiente ecuación: Al ser una raíz cúbica, debe de tener 3 soluciones. Por tanto faltan 2, que debemos de calcular. Doy por supuesto, que ya sabéis que las dos soluciones que nos faltan, son número complejos. El número dado, tiene la forma: - 1 + 0 i. Vamos a representarlo gráficamente, para hacernos una idea mucho mejor de que es lo que vamos a calcular. Una imagen, valeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee……………………………….. Cómo por ejemplo, ésta:

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¿ O nooooooooooooooooooooooo? Pero en realidad, el dibujo del problema, es el siguiente: El ángulo corresponde al 2º cuadrante El número tiene la forma: -1 + 0 i Vamos a calcular siguiendo nuestro método personal: Módulo: Argumento: El ángulo es de 180º Por tanto, ya hemos llegado a la siguiente expresión general: El nº tiene forma: Como siempreeeeeeeeeeeeeeeee……………… le daremos valores a k, hasta n-1. Al ser una raíz cúbica los valores que puede asumir serán: 0, 1 y 2. El siguiente paso, consiste en pasar los números a forma trigonométrica, para poder sustituir razones trigonométricas conocidas: Por tanto, 1ª solución:

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Por tanto, 2ª solución: El ángulo correspondiente a este ángulo en el 1º cuadrante, sería: 360º-300º = 60º Peroooooooooooooooooooooo: como estamos en realidad trabajando en el 4º cuadrante, debemos tener especial precaución con los signos: Sabemos que en el 4º cuadrante: El Seno es NEGATIVO y el Coseno es POSITIVO. Por tanto: Por tanto, 3ª solución: 26.- Resolver la siguiente ecuación: Vamos a proceder a resolver esa ecuación de 2º grado: Las soluciones son: 27.- Resolver: Lo primero que haremos, para verlo mucho más clarito es representarlo gráficamente. No os canséis nunca de dibujaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaar, os ayudará una enormidad. El ángulo corresponde al 1º cuadrante. Veis, ya tenemos una buena ayuda. Como siempre y siguiendo nuestro método propio, establecido por “nosotras/os mismas/os” vamos a calcular:

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Módulo: Argumento: ¿Cuál es el ángulo cuya razón trigonométrica tiene por valor 1 como tangente? Venga a bucear en nuestra memoria que es muy fácil: Y apareció nuestro almacén de datos o disco duro. Bueno para algunas/os está duro de miedo. Está relleno de serrín. Bueno a lo que vamos: El ángulo es el de 45º Pues siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii, es cierto, es así de cierto. Entonces, el paso siguiente es pasar el número a fffooorrrmmmaaa pppooolllaaarrr... Biennnnnnnnnnnnnnnn, ya tenemos calculado el argumento. Entoncesssssssssssssssssssssssssssssssss, ahora tenemos que darle valores a k, hasta n-1. En este caso los valores que puede asumir oscilan entre: o,1,2 y 3 por ser una raíz cuarta. Y listo.

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28.- Los afijos de los números complejos z1, z2 y z3 son los vértices de un triángulo equilátero cuyo incentro es el origen de coordenadas. Sabiendo que z1= 1+i, calcular z2 y z3, ¿Sabemos lo que es el incentro? Ah nooooooooooooooooooooooooooooooooo. Bueno os recuerdo: Es el punto donde se cortan las 3 bisectrices interiores de un triángulo. Por tanto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Y además es el radio de la circunferencia inscrita. ¿Valeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee colegas? Vamos a dibujar la figura:

El radio tiene por módulo el de z1

Vamos a calcularlo: Módulo: Argumento:

¿Cuál es el ángulo cuya razón trigonométrica tiene por valor 1 como tangente? Vengaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa a bucear en nuestra memoria que es muy fácil: Y apareció nuestro almacén de datos o disco duro. Ese disco duro es nuestra memoria, no es una Consola de videojuegos, precisamenteeeeeeeeeeeeeeeeeee. Bueno a lo que vamos: El ángulo es el de 45º Como siempre, y siguiendo nuestro método, pasamos el número a fffooorrrmmmaaa pppooolllaaarrr:::

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Por tratarse de un triángulo equilátero, los vértices están equidistantes: 360º: 3 = 120º Entonces: Y: Y problema resuelto. ¿Era difícil? Buenooooooooooooooooooooooooooooooo 29.- Considerando el número complejo z = 1 + 3i, se efectúa un giro de centro cuyo centro es el origen de coordenadas y una amplitud de 30º. Calcular el número complejo z’ transformado por z en el citado giro. Bueno tranquissssssssssssss Con calmaaaaaaaaaaaaaaa. Tenemos que resolverlo. ¿Y si hacemos un dibujo? Por el dibujo, ya sabemos algo, que el ángulo está localizado en el 1º cuadrante, antes de efectuar el giro. Como siempre, y siguiendo con nuestro método propio, vamos a calcular: Módulo:

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Argumento: Como no es un valor conocido como razón trigonométrica, con una calculadora obtenemos que corresponde a un ángulo: 71º 33’ Por tanto lo siguiente y de acuerdo a nuestro método, es pasar el número a forma polar: Antes de efectuar el giro. En el momento en que procedemos a efectuarlo, el número dado pasa a ser: 30.- Calcular la siguiente raíz: Lo primero que haremos, será pasar el número dado a forma polar. Ahora le damos valores a k, hasta n-1. En este caso los valores que puede asumir serán: 0,1,2 y 3, ya que se trata de una raíz cuarta. Ángulo 1º cuadrante A continuación, pasamos el número a forma trigonométrica y obtenemos:

¿Quién puede tener tan mala leche, para inventar una cosa de este calibre?

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Ya hemos conseguido dar la primera solución del ejercicio. El ángulo está localizado en el segundo cuadrante. Por tanto tenemos que aplicar las razones trigonométricas de α y 180º-α. El ángulo correspondiente es: 180º-135º = 45º Ojitooooooooooooooooooooooooooooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! y especial precaución con los signos. En el 2º cuadrante: El seno es pppooosssiiitttiiivvvooo y el coseno nnneeegggaaatttiiivvvooo. Por tanto: Ya hemos conseguido dar la segunda solución del ejercicio. El ángulo está localizado en el tercer cuadrante. El ángulo correspondiente al 1º, será: 225º-180º = 45º. Por tanto tenemos que aplicar las razones trigonométricas de α y 180º+α. En el 3º cuadrante: El seno y el coseno son: nnneeegggaaatttiiivvvooosss... Por tanto: Ya hemos conseguido dar la tercera solución del ejercicio. El ángulo está localizado en el cuarto cuadrante.

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Por tanto tenemos que aplicar las razones trigonométricas de α y -α. En el 3º cuadrante: El seno es nnneeegggaaatttiiivvvooo y el coseno es pppooosssiiitttiiivvvooo... EEEl ángulo correspondiente referido al primero, será: 360º-315º = 45º. Y con esta cuarta solución, hemos terminado de resolver el ejercicio. 31.- Calcular x para que el cociente: sea un número imaginario puro. ¿Qué pasaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, estamos todo el personal esperando a ver si suena la flauta por casualidad, o nos vamos a poner a currar de una vez? ¿A estas alturas alguien se acuerda de cómo se efectúa la división de números racionales? ¿ Nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ? Vamos a recordarlo: COCIENTE DE NUMEROS COMPLEJOS:

- La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador. Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhoraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa siiiiii…. ¿Y nos acordaremos de esto? Porque es necesario, si queremos seguir avanzado para resolverlo. Bien, vamos a sustituir ese valor en la expresión que hemos obtenido:

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Por si alguna/algún no se ha dado cuenta todavía, lo único que hemos hecho ha sido sustituir el valor de i2 por -1. Echando un vistazo a lo que hemos conseguido, se me ocurre pensar en una cosa: Tenemos un lío montado de mucho lereleeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee. A ver como le metemos mano a ese melocotón de ahí arriba, para poder continuar. Se me ocurre: Aislar las partes imaginarias, por ejemplo: ¿Cuál es en realidad el “meollo” del problema, o ejor de qué quieren que nos acordemos para poder resolver este ejercicio? De esto atontadas/atondados: Si el número tiene que ser imaginario puro, LA PARTE REAL TIENE QUE SER CERO. Buenooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo, pues no es tan difícil Basta con igualar la parte real a 0 y resolver esta ecuación, para ver el resultado. Por tanto la solución, es x = -2 32.- Representa gráficamente los siguientes número complejos y di cuales son reales, cuales imaginarios y, de éstos, cuáles son imaginarios puros.

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Respuestas: Son reales: 7, 0 y – 7 Imaginarios: Imaginarios Puros: Ahora vamos a representarlos gráficamente: 33.- Obtener las soluciones de las siguientes ecuaciones y representarlas gráficamente: Representación gráfica de estas dos soluciones:

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Representación gráfica de estas dos soluciones: Representación gráfica de estas dos soluciones: Representación gráfica de estas dos soluciones: 34.- Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: 1º.- Opuesto: - 3 + 5 i Conjugado: 3 + 5 i Representación gráfica de estas dos soluciones:

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2º.- Opuesto: - 5 - 2 i Conjugado: 5 + 2 i Representación gráfica de estas dos soluciones: 3º.- Opuesto: 1 + 2 i Conjugado: - 1 + 2 i Representación gráfica de estas dos soluciones:

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4º.- Opuesto: 2 - 3 i Conjugado: - 2 - 3 i Representación gráfica de estas dos soluciones: 5º.- Opuesto: - 5 Conjugado: 5 Representación gráfica de estas dos soluciones: 6º.- Opuesto: 0 Conjugado: 0 Representación gráfica de estas dos soluciones: 7º.- Opuesto: - 2 i Conjugado: - 2 i Representación gráfica de estas dos soluciones:

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8º.- Opuesto: 5 i Conjugado: 5 i Representación gráfica de estas dos soluciones:

35.- Sabemos que i2 = - 1. Calcular: 1º.- Antes de comenzar, este ejercicio, es para refrescar nuestra memoria, sobre las potencias de i. Lo vamos a volver a escribir, para refrescarlo: “Todas las potencias de i se repiten de 4 en 4.” “Las potencias de i, cuyo exponente es múltiplo de 4 son iguales a 1 “ Entonces un método práctico: Para calcular las potencias del número “i” dividiremos el exponente entre 4, y calculamos la potencia del número “i” que tienen por exponente el resto de la división. iº = 1 i1 = i

i2 = - 1

i3 = - i

i4 = 1 Solución:

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2º.- Echando un vistazo a la tabla anterior, tenemos la solución: Solución: 3º.- Solución: 4º.- Solución: 5º.- Solución: “Las potencias de i, cuyo exponente es múltiplo de 4 son iguales a 1 “ 6º.- Solución: 7º.- Solución: 8º.- Solución: 36.- Efectúa las siguientes operaciones y simplificar el resultado: 1º.- Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Vamos a ello:

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Solución: 2º.- Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Vamos a ello: Solución: 3º.- Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Es una multiplicación: Por tanto, una vez hechas operaciones, resulta: Solución: 4º.- Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Es una multiplicación: Por tanto, una vez hechas operaciones, resulta: Solución: 5º.- Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Es una multiplicación:

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Antes de continuar multiplicando por el segundo paréntesis, vamos a efectuar operaciones en el 1º, para simplificar la operatoria y tratar de evitar errores, or hacerlo muy complicado. Ahora si, vamos a efectuar la multiplicación final de ambos paréntesis: Por tanto la solución del ejercicio es: Solución: 6º.- ¿Y nos acordamos a estas alturas de cómo se efectúa la división de números complejos? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo. Bueno, llegado este momento, vamos a recordarnos de la teoría, para poder continuar o al menos iniciar la resolución de este ejercicio.

- La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador.

Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador ¿Y cuál es esa historieta del complejo del numerador? Para los No muy burros, es el denominador cambiado de signooooooooooooooooooooooo. Por tanto el complejo en este caso será: ( 4 + 2 i) ¿Difícil, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh?

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Vamos a efectuar operaciones en el numerador, teniendo en cuenta como siempre, que la expresión i2 = - 1 Solución: 7º.- Es el mismo ejemplo que el ejercicio anterior. Tratan de que nos acordemos de cómo se efectúa la división de números complejos, teniendo en cuenta que quieren que nos demos cuenta de utilizar el “complejo del denominador” No tiene otra complicación, ni dificultad añadida. Además nos obligan a recordar el tema de potencias de números complejos, para darnos cuenta de los cambios que tenemos que hacer en determinados momentos de los cálculos.

- La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador.

Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador Si el denominador es 3 + i, el conjugado será la misma expresión, cambiada de signo, en este caso, sería: 3 – i. Vamos a efectuar operaciones en el numerador, teniendo en cuenta como siempre, que la expresión i2 = - 1 Este resultado, todavía lo podemos “pulir un poco” para dar un resultado, un poquito más coherente. Nos quedaría:

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Solución: 8º.- - La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador. Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas. Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi . Resumiendo el conjugado de un número complejo, es el propio numero complejo, cambiado de signo la parte imaginaria.

Seguimos haciendo operaciones en el numerador y denominador, teniendo en cuenta el valor de la potencia i2. Solución: 9º.- Vamos a racionalizar el denominador. Para ello multiplicamos el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador: Ya hemos hecho la transformación de i2 = - 1. Solución:

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10º La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador. Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Ya hemos hecho la transformación de i2 = - 1 Solución: 11º Vamos a racionalizar el denominador. Para ello multiplicamos el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador: Ya hemos hecho la transformación de i2 = - 1 Solución: 12º Lo primero que vamos a hacer, es multiplicar por 3 todo el paréntesis: Y aunque parezca mentira, ejercicio resuelto. Solución:

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13º Lo primero que vamos a hacer es elevar – 3 i al cuadrado, para seguir haciendo operaciones. Vamos a racionalizar el denominador. Es el momento idóneo, para ello: Ya hemos sustituido el valor de i2 por – 1 Solución: 37.- Obtener polinomios cuyas raíces, sean: a) Ahora es otro gran momento, para ir haciendo operaciones y deshacer los paréntesis: Ya hemos hecho la transformación de i2 = - 1 Solución: Si resolvéis esta ecuación de 2º, es la mejor prueba, para ve que es cierto. Podemos sacar esta conclusión: Cuando dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales.

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b) Lo mismo que el ejemplo anterior, vamos a multiplicar entre sí las dos raíces, añadiendo una incógnita, por ejemplo la x. Hacemos la transformación de i2 = - 1 y nos queda: La prueba, es el resolver, está ecuación. Por tanto, Solución: Cuando dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales. 38.- Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi)2 sea un número imaginario puro? Lo primero que debemos preguntarnos es: ¿ Cuándo un número complejo es imaginario puro? La Respuesta: Cuando la parte real es nula. Es decir vale 0, de de otro modo: Cuando el número imaginario NO tiene parte real. Vamos a desarrollar el cuadrado, dado en el enunciado: Haremos hecho la transformación de i2 = - 1 El siguiente paso, es igualar la parte real a 0, para ver de encontrar una solución. Y resolvemos la ecuación propuesta con este paso. Soluciones: 39.- Representar gráficamente la suma z1 +z2 y comprobar que z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.

Lo primero que haremos, es sumar los dos números complejos: La suma de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales entre sí, y las partes imaginarias, también entre sí.

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Vamos a representar gráficamente este resultado obtenido, junto con los dos números dados en el enunciado: 40.- Pasar a forma polar los siguientes números complejos: a).- 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo: Bueno colegas bueno, ahora de nuevo a recordar el valor de las razones trigonométricas más usuales. ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor Rascándose la cabeza, nos damos cuenta que corresponde a un ángulo de 60º, Por tanto el argumento será: Por tanto la solución, es: b).- 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo:

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Bueno colegas más de lo mismo: toca de nuevo, recordar el valor de las razones trigonométricas más usuales. ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor Rascándose la cabeza, nos damos cuenta que corresponde a un ángulo de 30º Por tanto el argumento será: Por tanto la solución, es: c).- 1º.- Calculamos el módulo del número: Antes de continuar, debemos acordarnos que i = -1, para sustituir este valor. 2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo: Como el nº tiene forma: a + b.i en este caso b= 1, ya que 1 . i = i ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor -1.Rascándose la cabeza, nos damos cuenta que corresponde a un ángulo de 45º. Peroooooooooooooooooooooooooooooooooooooo la tangente de 45º = 1, con signo positivo y aquí tenemos un signo negativo. Bien vamos a traer a nuestra memoria esta parte de la teoría: Entonces “ojito” para saber cual es el “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. ¿Por qué no hacemos un dibujo? ¿En qué cuadrante se encuentra éste ángulo? En el 2º. Nos viene al ”pelo” porque la tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante.

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Por tanto el ángulo será: 90º + 45º = 135º Por tanto el argumento será: Por tanto la solución, es: d).- 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo: Con la ayuda de una calculadora, y teniendo en cuenta que la tangente, es negativa en el 2º y 4º cuadrante, llegamos a la conclusión que: Por tanto la solución, es: e).- Este es un número imaginario puro. Es decir No tiene parte real. 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo: ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor Rascándose la cabeza, nos damos cuenta que corresponde a un ángulo de 90º. Por tanto la solución, es: 41.- Escribir en forma binómica los siguientes números complejos: a).- ¿Halaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa? Y por donde comenzamos, será la primera pregunta que cada una/uno nos planteamos. Y la siguiente pregunta ¿para qué coño vale esto de los números complejos o imaginarios?

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Respuesta: Es necesario saberlos y punto pelota. Y el que o, la que no esté de acuerdo, que se PONGAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA. Vamos a traer a nuestra memoria algún recuerdo de la “teoría” que debemos de saber. Para eso se estudió: Forma binómica Es la forma más sencilla de representarlo. ¿Cuál es la siguiente duda qué nos surge? Bueno, las de Dios diremos cada uno de nosotras/nosotros. Si somos un poquito lógicos, que para ello no sirven las dichosas matesssss, ¿en qué forma viene dado en el enunciado este complejo? Creo que en forma trigonométrica. Pues vamos a efectuar operaciones en esta forma, y veamos a donde nos conduce. Basta recordar, esto que escribimos a continuación. a = r. cos x b = r. sen x Vamos a sustituir esos valores en la expresión del número complejo en forma binómica: A la expresión: se la llama forma trigonométrica del complejo a+bi. Creo que es un buen momento, para comenzar a solucionar el ejercicio: ¿Y ahora, quéééééééééééééééééééé´pasa? ¿Cómo nos tragamos este marrónnnnn? Si no somos ni burras/burros, tenemos que pensar que tendremos que buscar en grados sexagesimales, la correspondencia en radianes. Para ello, tenemos una figura, preciosaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, para usarla de vez en cuando.

Es necesario evolucionar y aprender, para ser un poco menos burras/burros

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Es esta que sigue a continuación: Otro problema resuelto, ehhhhhhhhhhhhhh Se corresponde con un ángulo de 30º. Ya que Que alguien diga que no sabe los valores del seno y coseno de un ángulo de 30º. Entonces es un buen momento, para sustituir estos valores del ángulo de 30º en la fórmula que hemos obtenido anteriormente. Por tanto la solución, es: b).- Ahora, ya somos un poquito lógicos, ¿en qué forma viene dado en el enunciado este complejo? Creo que en forma trigonométrica. Pues vamos a efectuar operaciones en esta forma, puesto que ya hemos solucionado el ejercicio anterior. Pero como siempre en la vida: Nada es fácil y en este ejercicio nos introducen una nueva variante y, es facilitarnos un ángulo del que “aparentemente” no conocemos sus razones trigonométricas, para poder sustituirla en la fórmula correspondiente. Poro no es así, puesto que tenemos una “cachola” para pensar un pelínnnnnnnnn. ¿Qué hacer, bwana? Algo tan sencillo, como situar el ángulo en el primer cuadrante, teniendo “excesiva” precaución en mantener los signos del 2º cuadrante, que es en realidad el ángulo dado. Entonces, para que nadie se “hernie mentalmente” 135º-90º = 45º. ¿Alguna burra o algún burrancán, no se acuerda de los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 45º? Sencilla respuesta: Que las repaseeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee.

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Ahora es el momento de ir a la fórmula correspondiente y sustituir los valores correspondientes. Por tanto, el ángulo de 135º, traspaso al primer cuadrante, respetando los signos, equivalen a un ángulo de 45º. Con recordarnos del valor de estas razones, ya podemos sustituir en la fórmula correspondiente. Vamos a continuar efectuando operaciones: Por tanto, la Solución es:

c).- El ángulo de 45º, es más de un giro a la circunferencia. Por tanto, lo primero que vamos a hacer es restar un giro completo que equivale a 360º. 495º-360º = 135º Con lo cual es el mismo ángulo del ejemplo anterior, por tanto el resultado es el mismo., Obviamente, no vamos a volver a repetir los cálculos

d).- Procedemos, como venimos haciendo hasta ahora, manteniendo un criterio propio, para tratar de buscar una solución al ejercicio planteado. ¿Cuál es el ángulo correspondiente al dado en el enunciado, referido al 1º cuadrante, para tratar de buscar unos valores de las razones trigonométricas conocidas y poder sustituir estos valores en la fórmula a aplicar? De entrada, ya sabemos una cosa: Que el ángulo de 240º está localizado en el 3 cuadrante. Por tanto en ese 31 cuadrante, tanto el seno como el coseno son NEGATIVOS. ¿Y qué ángulo corresponde, referido al 1º cuadrante? Hacemos esta resta: 240º-180º = 60º.

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Por tanto las razones conocidas, serán las referidas a ángulos de 60º. Vamos a comenzar las sustituciones en la fórmula correspondiente: Si observamos, nos damos cuenta que los 2 signos son negativos, tanto seno como coseno, por estar el ángulo localizo en el 3º cuadrante. Seguimos haciendo operaciones. Multiplicamos ambas expresiones, por el 3 que multiplica a todo lo que está dentro del paréntesis y obtenemos el resultado final. Por tanto, la Solución es: 42.- Escribir en forma binómico y en forma polar el complejo: Echando un vistazo, vemos que ese número complejo nos lo dan en la forma trigonométrica, por tanto es muy sencillo dar la solución para pasarlo a forma polar. Sin hacer ningún tipo de operaciones, el número, expresado en forma polar: Solución = Ahora, vamos a dar la otra solución que nos queda, y es pasarlo a forma binómica. Seguimos haciendo operaciones, multiplicando el 8 por las dos expresiones dentro del paréntesis: Solución 43.- Sean los números complejos

a) Expresa z1 y z2 en forma binómica. b) z1 .z2 y z2/z1 y pasa los resultados a forma polar c) Compara los módulos y los argumentos de z1.z2 y z2/z1 con los de z1 y

z2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.

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a) Vamos a expresar los números dados en forma binómico, para ellos no tenemos más que en la fórmula correspondiente, sustituir los valores de las razones trigonométricas Seguimos haciendo operaciones y, multiplicamos el 4 por los sumandos del paréntesis: La primera solución, es: En la 2º parte de esta cuestión, nos facilitan un ángulo de 210º. Lo que tenemos que hacer, es tratar de ver le equivalencia con un ángulo del 1º cuadrante, para poder utilizar los valores de las razones trigonométricas conocidas. Siempre con la precaución de los signos del seno y coseno, en función de en que cuadrante está ubicado el ángulo dado. En este caso 210º, corresponden al 3º cuadrante. En este cuadrante, tanto el seno como el coseno, tienen signo negativo. Para calcular el ángulo correspondiente al 1º cuadrante, como siempre hacemos la siguiente resta: 240º-180º = 60º Este es el ángulo correspondiente al 1º cuadrante. Vamos a comenzar las sustituciones en la forma correspondiente, relativa a ángulos de 60º. La segunda solución a este apartado, es:

b) Vamos a efectuar el producto z1 . z2 ¿Alguna/alguno se acuerda como se multiplican los números complejos? ¿Noooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo………………..? Bueno, vamos a recordar la teoría. Se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto de la suma y teniendo siempre en cuenta que i2 = - 1

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a + bi -c - di Llegados a este punto, mucho “cuidado” Nos aparece la expresión i2. Es el momento

de sustituir por su valor numérico ya que i2 = -1. Entonces este producto bd nos queda: Bien ya tenemos los cuatro sumandos, resueltos, es cuestión de “articular la suma”: Esta sería la solución en forma binómico, vamos a pasarlo a forma polar. Otra forma de representar el número complejo (a+bi) es rx que se llama módulo-argumental polar donde: R = módulo X = argumento Si r = 12 y x = 60º+210º = 270º El nº obtenido, en forma polar es: Ahora vamos a efectuar el COCIENTE de los dos números complejos. Antes de seguir, creo que sería conveniente, traer a nuestra memoria, esa parte de la teoría:

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La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador. Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Si el denominador es: Por tanto, ya podemos comenzar con la división: Ahora vamos a racionalizar el denominador: Vamos a efectuar operaciones: Vamos a comenzar por hacer operaciones con el denominador, puesto que es la parte más sencilla. Es una elección como otra cualquiera. 2 + 2 √3 i 2 – 2 √3 i 4 + 4 √3 i

- 4√3 i - (4.3.i2)

4 – 0 -12i2 Como i2 = - 1 El denominador será: 4 + 12 = 16 Ahora seguimos con el numerador: Lo primero que debemos de hacer, es simplificar para hacer la operación más sencilla. Y podemos dividir todo entre 2.

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Aquí si multiplicamos

Por otro lado, hacemos el cambio de i2 = -1 El numerador nos queda: Por tanto: Este es el resultado en forma binómico. Y tenemos que pasarlo a forma polar. ¿Cómo coño haremos, nos estamos preguntando? 1º Paso: Pasamos el complejo a forma polar: a) Calculamos su módulo: b) El Argumento: como estamos hablando en realidad, del cociente de dos número complejos, el citado argumento vendrá dado, por la “diferencia” de los argumentos, de los ángulos dados. Por tanto, será: 210º -60º = 150º. La solución a este apartado, es:

c).- El producto de 2 números complejos en forma polar, es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo el ppprrroooddduuuccctttooo de los módulos y por aaarrrggguuummmeeennntttooo, la suma de los aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

44.- Efectúa estas operaciones y expresa el resultado en forma polar y en forma binómica.

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a).- El producto de 2 números complejos en forma polar, es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo el ppprrroooddduuuccctttooo de los módulos y por aaarrrggguuummmeeennntttooo, la suma de los aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

En forma binómico, sería: El sen de 180º = -1 y el Cos de 180º = 0. b).- El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss... En forma binómico, sería: c).- El producto de 2 números complejos en forma polar, es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo el ppprrroooddduuuccctttooo de los módulos y por aaarrrggguuummmeeennntttooo, la suma de los aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

En forma binómico, sería: Ya sabemos una cosa el ángulo de 120 está localizado en el segundo cuadrante. Los valores de las razones trigonométricas que conocemos se corresponden con el 1º cuadrante. Entonces vamos a ver que ángulo le corresponde: 120º-90º = 30º. Aplicaremos los valores del ángulo de 30º, teniendo en cuenta que el seno en el 2º cuadrante es positivo y el coseno es “negativo”

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d).- Por el enunciado, conocemos dos datos fundamentales: 1º.- Que es un cociente de complejos 2º.- Que el ángulo de Y como son 2 veces Por tanto el enunciado dado, nos queda reducido al siguiente: El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss... En forma binómico, sería: Seguimos haciendo operaciones y multiplicamos los sumandos del paréntesis, por 5.

e).- 1º.- Siguiendo nuestro método establecido, calcularemos el módulo. 2º.- Calculamos el argumento. ¿Cuál es la razón trigonométrica, cuya tangente toma el valor de √3? Se corresponde con el ángulo de 60º en el 1º cuadrante. Ahora, mucha precaución con el signo negativo. Nos tenemos que preguntar, siguiendo un orden lógico.

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¿En qué cuadrantes es negativa la tangente? Respuesta: En el 2º y en el 4ª. Como 60º está en el primer cuadrante, esta respuesta no nos vale. Por tanto el ángulo está localizado en el 4º cuadrante. ¿Qué equivalente tiene en el 1º cuadrante? Lo de siempre, haremos la resta correspondiente: 360º-60º = 300º. Por tanto: El número equivale a: Es el momento de efectuar la potencia. Para ello, vamos atraer a nuestra memoria la teoría: La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa nnn---ééésssiiimmmaaa dddeeelll mmmóóóddduuulllooo y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: “““ nnn “““ vvveeeccceeesss eeelll aaarrrggguuummmeeennntttooo del complejo dado. Sustituyendo valores en esta fórmula anterior, obtenemos:

Tenemos un ángulo de 1500º. Por tanto como tendremos que dar resultados en función de ángulos relativos a un giro de la circunferencia, es decir de 360º, ¿Qué haremos? Dividimos 1500º: 360º(que es un giro de circunferencia = 2 П k) = 60º. Por tanto ya estamos en condiciones de dar el resultado en forma binómica: Continuamos haciendo operaciones. Lo primero multiplicar el paréntesis y, a continuación simplificar, para llegar al resultado pedido. Por tanto en forma binómica es: f).- 4 i Este ejercicio es un caso especial, para que nos acordemos de algo esencial, que hemos visto en la teoría, en el momento oportuno.

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--- SSSiiieeemmmppprrreee dddeeebbbeeerrreeemmmooosss ttteeennneeerrr eeennn cccuuueeennntttaaa qqquuueee eeelll nnnººº --- “““ iii ””” tttiiieeennneee cccooommmooo MMMóóóddduuulllooo 111 yyy cccooommmooo aaarrrggguuummmeeennntttooo --- 999000ººº...

Por tanto cuando multiplicamos un nº complejo por “ i “, ocurre:

- El Módulo queda multiplicado por 1: NO varia - El Argumento: es igual al argumento inicial más 90º.

Esto quiere decir que geométricamente equivale a un giro de 90º en sentido “contrario” a las agujas del reloj. Por tanto, la Solución es: 45.- Dados los complejos obtener en forma polar: a) z. w El producto de nºs en forma polar, se calcula de esta forma: El Módulo = Es el producto de los módulos. El Argumento = Es la suma de los argumentos de ambos nºs. La solución de este primer apartado, es: b) El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss... En todos los ejercicios, siempre nos proponen algo oculto, para evitar que tan solo, tomemos los datos del enunciado y nos dediquemos a sustituir valores en unas fórmulas que conocemos de memoria. Por tanto, siempre deberemos estar alerta, para tratar de “localizar” lo “oculto” y darle la solución correcta. En este ejercicio, concretamente, eso “oculto” se trata de que en el denominador, el paso previo antes de sustituir los valores dado en el enunciado, efectuemos una potencia de números complejos.

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Vamos a ello: Para ello, vamos atraer a nuestra memoria la teoría: La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa nnn---ééésssiiimmmaaa dddeeelll mmmóóóddduuulllooo y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: “““ nnn “““ vvveeeccceeesss eeelll aaarrrggguuummmeeennntttooo del complejo dado. El denominador quedaría, de la forma siguiente: Ahora, si el momento de sustituir valores en la fórmula del cociente: La solución, a este apartado es: c) En ese caso eso “oculto” que en realidad, salta a la vista, es lo siguiente: En el denominador, tenemos una combinación de un producto por una potencia. Será conveniente calcular primero la potencia y a continuación, efectuar el producto correspondiente, para simplificar cálculos. Estas son elecciones personales, que cada uno tiene que hacer a su manera. Pero es bueno, el tener un método propio, para reducir al máximo el nº de errores. Yo voy a proceder a “deshuesar el ejercicio” a mi manera. Lo primero que voy a hacer, es calcular la potencia del numerador. Es lo más sencillo y ya es un camino andado. Numerador: Listo para sustituir en el enunciado Denominador:

1º: Calculo la potencia de t2 2º.- Calculo el producto: Ya lo he calculado. Ahora sustituyo en el enunciado. Ahora aplicaré la fórmula del cociente de nºs complejos.

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El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss... Ahoraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa si nos encontramos con lo “oculto”. ¿Por qué? ¿Cómo interpretamos este argumento negativo? Arreaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa……… Vamos a darle vueltas al coco un ratito, porque es sencillo, ya que en casi todos los ejercicios estamos haciendo transformaciones de ángulos, para “recolocarlos” en unos cuadrantes u otros. Este es el caso. Por tanto, muy despacito, usando la lógica, cada uno a su manera. Vamos a recordarnos de algo que hemos visto en la teoría: 1º.- Argumento del número complejo: a+bi es el ángulo que forma el semieje positivo de las abcisas con la recta que contiene el vector 2º.- En la expresión: hay infinitos ángulos que cumplen la igualdad. Restringiendo el valor de x: solamente hay 2 ángulos que difieren en ∏ y tienen la misma tangente. Entonces “ojito” para saber cual es el “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Puede parecer un poco complicado a simple vista, pero lo vamos a “ver gráficamente” para hacerlo muy sencillo y, entendernos. ¿Normalmente, qué estamos haciendo para “encuadrar argumentos de ángulos” y “recolocarlos” en el 1º cuadrante, para poder sustituir el valor de sus razones trigonométricas conocidas? Hasta ahora, siempre procedíamos: 360º - “el ángulo que queríamos “recolocar” y este resultado, nos decía a que ángulo se correspondía en el 1º cuadrante. Como en este caso dado, el argumento es negativo, procedemos de la forma inversa: 360º + “el argumento negativo(que en este caso es el “recolocado), nos dirá a que ángulo se corresponde en realidad.

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Resumiendo: lo hacemos al “revés de lo que veníamos haciendo, porque partimos de la base que tenemos el ángulo “recolocado” y queremos calcular el ángulo real. Por tanto y, dejando de enrollarnos como pulpos, aplicamos: 360º+(-60º) = 300º Nunca perdamos de vista una cosa importante: Cuando hablamos de argumentos de ángulos, los resultados pueden considerarse como el cálculo de la tangente, que obtenemos al dividir el coeficiente de la parte imaginaria entre el coeficiente de la pare real del número complejo. Por tanto, siempre estamos hablando de equivalencias de cálculos de tangentes. Esto nos tiene que servir “siempre” para tener presente el signo de esta razón trigonométrica en el cuadrante correspondiente Si no está muy bien explicado, lo siento. No lo se exponer mejor. Y que no sirva para enrollarossssssssssssssssssss, sino tan solo para aclararosssssss….. en todo momento. La tangente “negativa” en el 4º cuadrante. Por ello -60º del 1º cuadrante, son realmente 300º . Es un poco rollito, pero nos sirve, para no olvidarnos de estos matices. d) En el numerador, tenemos una combinación de un producto por una potencia. Será conveniente calcular primero la potencia y a continuación, efectuar el producto correspondiente, para simplificar cálculos. Numerador: 1º.- El cálculo de la potencia, es: 2º.- El producto de los dos factores: Ahora es el momento de sustituir los valores, en la fórmula dada en el enunciado: Aquí, está la “variante” a la que estamos llamando lo “oculto”. ¿Cómo interpretamos este resultado obtenido? Algo tan sencillo, como que el argumento del nº complejo es un ángulo de 0º.

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Y 0º ¿qué significado tiene? Tan sencillo, como que se trata de un número real. Por tanto no tiene parte imaginaria. Por tanto: La solución, a este apartado es: 46.- Calcular las raíces sextas de 1. Representarlas y expresarlas en forma binómica. Supongamos que la raíz n-ésima del número complejo Entonces tenemos: Si damos valores enteros a k desde 0, hasta n-1 obtenemos “ n “ argumentos distintos que cumplen la condición impuesta. Para k ≥ 0 se obtienen argumentos que difieren de los anteriores en un número entero de 2 ∏ radianes y coinciden con alguno de los anteriores. Podemos enunciar lo siguiente: LLLaaasss rrraaaíííccceeesss nnn---ééésssiiimmmaaasss dddeee uuunnn nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo sssooonnn nnnúúúmmmeeerrrooosss cccooommmpppllleeejjjooosss qqquuueee tttiiieeennneeennn dddeee mmmóóóddduuulllooo lllaaa rrraaaííízzz nnn---ééésssiiimmmaaa dddeee mmmóóóddduuulllooo yyy pppooorrr aaarrrggguuummmeeennntttooo::: El número complejo es de la forma: 1 + 0 i El módulo será: Su argumento, será: Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 6 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3,4 y 5. Ya sabemos algo importante. Es un numero real, ya que carece de parte imaginaria. Para k = 0

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Para k = 1 Para k = 2 Para k = 3 Para k = 4 Para k =5 Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = 1 Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo. Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo. Angulo del segundo cuadrante, seno con signo positivo y coseno signo negativo. Angulo del segundo cuadrante, seno con signo positivo y coseno signo negativo

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Angulo del tercer cuadrante, seno y coseno con signo negativo. Angulo del cuarto cuadrante, seno negativo y coseno con signo positivo. Ahora es el momento de representarlo gráficamente: 47.- Resolver la ecuación Vamos a despejar z en la ecuación dada. El número complejo es de la forma: 1 + 0 i El módulo será: Su argumento, será: Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Ya sabemos algo importante. Es un número real, ya que carece de parte imaginaria Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 3 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1 y 2. Para k = 0 Para k =1

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Para k =2 Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = 3 Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo. Angulo del segundo cuadrante, seno con signo positivo y coseno signo negativo Angulo del cuarto cuadrante, seno negativo y coseno con signo positivo. 48.- Calcular En este tipo de ejercicios, lo primero que se nos debería de ocurrir es hacer un dibujo, para ver donde está ubicado la i del enunciado. Vamos a ello, para “verlo” mucho más claro: Ya sabemos algo importante. El nº i, está situado sobre el eje de las ordenadas y el ángulo está localizado en el 3º cuadrante. Vamos a tratar de calcular el módulo del número. Para ello, ya sabemos que tiene la forma de: a + b i. Es un número imaginario puro.

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Lo primero, antes de sustituir en la fórmula, para calcular su módulo:

Por tanto: Ahora, le toca el turno al argumento: ¿Y cuál es el ángulo que tiene como valor de la razón trigonométrica ∞? La respuesta es: Existen dos ángulo que cumplen con este requisito, el de90º y el de 270º. ¿Cuál será de ambos? Pues el de 270º, ya que tiene signo negativo. Por tanto: arg (z) = 270º Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 3 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1 y 2. Ya sabemos algo importante. Es un número imaginario puro, ya que carece de parte real. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = 1

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Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo Angulo del tercer cuadrante, seno y coseno con signo negativo. Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 180º + α ¿Qué razones aplicaremos? Traspasamos el ángulo al primero cuadrante, como siempre: 360º - 330º = 30º Angulo del cuarto cuadrante, seno negativo y coseno con signo positivo. 49.- Resolver la siguiente ecuación: Vamos a despejar x en la ecuación dada. El número complejo es de la forma: 1 + 0 i El módulo es: Su argumento, será: Puesto que está situada sobre el 2º cuadrante. Afijo negativo. Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 4 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2 y 3. Ya sabemos algo importante. Es un número imaginario puro, ya que carece de parte real. Para k = 0 Para k = 1

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Para k = 2 Para k = 3 Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. La fórmula correspondiente es: Sabemos que el módulo r = 1 Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo. Valores aplicadas: 180º-135º = 45º. Las del ángulo de 45º. Angulo del segundo cuadrante, seno con signo positivo y coseno signo negativo Valores aplicadas: 270º-225º = 45º. Las del ángulo de 45º. Angulo del tercer cuadrante, seno y coseno signo negativo. Valores aplicadas: 360º-315º = 45º. Las del ángulo de 45º. Angulo del cuarto cuadrante, seno negativo y coseno con signo positivo. 50.- Resolver la siguiente ecuación: Vamos a despejar x en la ecuación dada. El módulo, es: El número complejo es de la forma: 1 + 0 i. Es un número real Su argumento, será:

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Puesto que está situada sobre el 2º cuadrante. Afijo negativo. Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 6 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3,4 y 5. Ya sabemos algo importante. Es un número imaginario puro, ya que carece de parte real. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Para k = 3 Para k = 4 Para k = 5 Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. La fórmula correspondiente es: Sabemos que el módulo r = 2 Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo. Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo. Valores aplicadas: 180º-150º = 30º. Las del ángulo de 30º. Angulo del segundo cuadrante, seno con signo positivo y coseno signo negativo.

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Valores aplicadas: 180º + 30º = 210º. Las del ángulo de 30º. Ángulos que difieren

en 180º + α. Angulo del tercer cuadrante, seno y coseno signo negativo. Valores aplicadas: 360º-330º = 30º. Las del ángulo de 30º. Angulo del cuarto cuadrante, seno negativo y coseno con signo positivo. 51.- Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo son los resultados de las siguientes operaciones: a).- z . w Ya veréis como este ejercicio es muy sencillo de hacer. Parece que nos da un poco de miedo, pero con un razonamiento sencillo, no lo va a ser. z y w son raíces sextas de 1 ya que: b).-

c).- z2 c).- z3 52.- Calcular las siguientes raíces y representar gráficamente sus soluciones. a)-

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1º.- º Vamos a calcular el módulo correspondiente. Ya sabemos que el número es de la forma a + 0 i 2º.- Vamos a calcular su argumento: Hay dos ángulos que pueden cumplir esta condición, el de 0º y el de 180º. Como la raíz tiene signo negativo, significa que el ángulo pedido es de 180º. Es un argumento negativo. Vamos a aplicar la fórmula de la radicación de un complejo en forma polar. Para ello la vamos a escribir y, así acordarnos de ella. Vamos a sustituir valores: Para ello le daremos valores a k, hasta n-1, en este caso como es la raíz cúbica, tiene de índice 2, daremos valores comprendidos entre 0 y 1. Para k = 0 Para k = 1 Estas raíces, gráficamente, las representamos: b)- 1º.- Vamos a calcular el módulo correspondiente. Ya sabemos que el número es de la forma a + 0 i Antes de hacer el cálculo del módulo, vamos a efectuar esta operación:

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Por tanto el módulo de esta raíz, será: 2º.- Vamos a calcular su argumento Hay dos ángulos que pueden cumplir esta condición, el de 0º y el de 180º. Como la raíz tiene signo negativo, significa que el ángulo pedido es de 180º. Es un argumento negativo. Vamos a aplicar la fórmula de la radicación de un complejo en forma polar. Para ello la vamos a escribir y, así acordarnos de ella. Vamos a sustituir valores: Para ello le daremos valores a k, hasta n-1, en este caso como es la raíz cúbica, tiene de índice 3, daremos valores comprendidos entre 0, 1 y 2. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Vamos a pasar estos números a forma binómica, para poder representarlos: Angulo del primer cuadrante: Seno y coseno positivos. Angulo del segundo cuadrante: coseno Negativo y Seno Positivo Hemos aplicado la fórmula de 360º-300 = 60º

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Angulo del cuarto cuadrante: Seno negativo y Coseno positivo. Su representación gráfica es: c)- Antes de calcular el módulo, con objeto de facilitar el cálculo del mismo, vamos a efectuar operaciones independientes: por una parte vamos a calcular el módulo del numerador, suponiendo que no hubiese denominador, ni tan siquiera la raíz cúbica. En resumen tomamos como nº dado: 1 - i El módulo de este número, sería: Ahora, hacemos lo mismo con el denominador: 1º.- Ahora es el momento de calcular el módulo verdadero. Sustituimos los valores calculados: Era un poco liante, pero ya tenemos el módulo calculado. Ahora vamos con el argumento, que lo mismo que con el módulo, vamos a efectuar cálculos por separado, a ver a donde nos conducen. La parte del numerador: 1 – i su argumento sería: Por tanto, cuando la tangente, toma como valor – 1, el ángulo correspondiente es: 315º

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Por tanto argumento de 1-i (numerador) = 315º La parte del denominador: 1 + i. Su argumento sería: Por tanto, cuando la tangente, toma como valor 1, el ángulo correspondiente es: 45º Por tanto argumento de 1+i (denominador) = 45º El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss... El complejo de la parte del numerador, en realidad, sería: El complejo de la parte del denominador, en realidad, sería: El cociente de ambos, sería: Con lo cual el argumento del numerador es de: 270º. Ya tenemos todos los datos, podemos comenzar a calcular las raíces: Vamos a aplicar la fórmula de la radicación de un complejo en forma polar. Para ello la vamos a escribir y, así acordarnos de ella. Vamos a sustituir valores: Para ello le daremos valores a k, hasta n-1, en este caso como es la raíz cúbica, tiene de índice 3, daremos valores comprendidos entre 0, 1 y 2. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Ahora vamos a pasarlos a forma binómica, para poder representarlos gráficamente:

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Angulo del primer cuadrante: Seno y coseno positivos. Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 180º+ α. Angulo del tercer cuadrante, seno y coseno signo negativo. Valores aplicadas: 360º-330º = 30º. Las del ángulo de 30º. Angulo del cuarto cuadrante, seno negativo y coseno con signo positivo. Su representación gráfica, es: d)- 1º.- Vamos a calcular el módulo correspondiente. Ya sabemos que el número es de la forma 0 + b i 2º.- Vamos a calcular su argumento: El ángulo que cumple esta condición, es el de 90º. Vamos a aplicar la fórmula de la radicación de un complejo en forma polar. Para ello la vamos a escribir y, así acordarnos de ella. Vamos a sustituir valores:

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Para ello le daremos valores a k, hasta n-1, en este caso como es la raíz cúbica, tiene de índice 3, daremos valores comprendidos entre 0, 1 y 2. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Para representar gráficamente estas soluciones, vamos a pasar estos resultados a forma binómica. Ángulo correspondiente al 1º cuadrante: Seno y Coseno positivos. Ángulo correspondiente al 2º cuadrante: Seno Positivo y Coseno Negativo. Hemos aplicado la fórmula: ángulos que difieren en 180º - α Su representación gráfica es la siguiente: 53.- Calcular en forma binómica, los siguientes números complejos: a).- Vamos a recordar un poco la teoría una vez hemos echado un vistazo. Y para evitar errores, comos siempre, vamos a utilizar nuestro método propio. Comenzamos haciendo operaciones tan solo con el numerador, que es un producto de complejos.

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Se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto de la suma y teniendo siempre en cuenta que i2 = - 1 Ahora ya estamos en condiciones de resolver íntegramente el ejercicio propuesto, quedando reducido a un cociente de números complejos.

La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador. Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. La solución es: b).- Lo mismo que en el ejercicio anterior. Tenemos un cociente de complejos, pero siguiendo nuestras normas, vamos a efectuar operaciones con el denominador por si solo, ya que es un producto de complejos. Ahora ya estamos en condiciones de resolver íntegramente el ejercicio propuesto, quedando reducido a un cociente de números complejos. La solución es: c).-

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Comenzamos haciendo operaciones tan solo con el numerador, que es un producto de complejos. Ahora haremos globalmente el ejercicio, puesto que es un simple cociente de números complejos: La solución es: d).- Vamos a tomar cada fracción de forma individual, para efectuar su propio cociente. 1ª Fracción: 2ª Fracción: Ahora llega el momento de hacer la suma total: Es una suma de fracciones normal y corriente La solución es: 54.-Dado el número complejo prueba que: a).- Lo primero que podemos hacer es: Elevar al cuadrado el valor de z, dado en el enunciado, para después poder sustituir este valor, en la ecuación dada en este apartado.

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Ahora vamos a sustituir el valor de z y de z2 en la ecuación dada. z z2

Seguimos haciendo operaciones:

Con lo cual queda perfectamente demostrado que se cumple. b).- Lo primero que hacemos es sustituir el valor de z, por el dado en el enunciado. Seguimos haciendo operaciones: Como en el apartado anterior a), habíamos calculado el valor de z2 vemos que efectivamente también se cumple esta igualdad, con lo cual queda demostrado que es cierta. Cosas que hemos hecho en las operaciones: 1º.- Unificamos denominador 2º.- Es un cociente de complejos. 3º.- Es el valor de z2 obtenido en el apartado a.

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55.- Calcula m y n para que se verifique la siguiente igualdad: Así, a primera vista, parece que no nos da un “buen rollito” porque no tenemos ni puñetera idea de por donde meterle mano. Y una preguntita sin mala leche: ¿Y si jugamos un poquito a ordenarlo de otra manera? Porque al ser un número complejo, tiene una parte real y otra imaginaria. Aquí parece que con toda la mala uva del mundo, están mezclados este concepto al que aludimos. Es lo que venimos hablando de “cosas ocultas” Y no estamos hablando de Ovnis, ni otras cosas raras. Bueno, entonces, tanto el número 2 y la letra n, serán las partes reales del número. Vamos a colocarlo, utilizando este criterio y nos queda: Ya hemos dado un pequeño pasito hacia delante. Tenemos el número ordenado. Tiene su parte real y también la imaginaria. Biennnnnnnnnnnnnnn…………….. en el 2º miembro de la ecuación, tenemos una parte real y otra imaginaria. Y ahora otra preguntita sin mala “enjundia, ehhhhhhhhhhhh”. ¿qué pasará si igualamos la parte real del 1º termino con la del 2º y la parte imaginaria del 1º, con la del 2º miembro, también? Si no probamos, jamás llegaremos a ningún sitio. Pues amoooooooooooooooooooojjjjjjjjj ayyyyyyyyyyyyyyyyyyyáááááááááááááááááá. 56.- Determinar k, para que el cociente: sea igual a 2 – i. Lo primero que vamos a hacer, es efectuar esta división de complejos. Hemos sustituido el valor de i2 por -1

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Antes de continuar, vamos a efectuar un pequeño cambio, para “prepararnos a nuestra manera” el numerador. Vamos a agrupar por un lado las partes reales y por otra parte las partes imaginarias del resultado obtenido anteriormente. Operaciones que hemos hecho: 1º.- Separar partes reales de imaginarias. 2º.- Cambiar de lugar términos y sacar factor común i. Ahora es el momento para resolver el ejercicio propuesto: Esta es la ecuación tal cual queda, para resolver. Con igualar las partes reales 2 y las imaginarias a –i = -1, ya tenemos la ecuación propuesta. La solución es: k = 3 57.- Calcular a y b de modo que se verifique Lo primero que haremos, es desarrollar el cuadrado. Ahora la ecuación dada, nos queda de la forma siguiente:

Hemos cambiado el valor de i2, por su valor = -1 En este tipo de problemas, siempre se procede de la misma forma: Se igualan las partes reales y las parte imaginarias. Se resuelve la ecuación y listo. Ahora sustituimos este valor en la primera ecuación, para obtener el resultado.

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Por tanto: Si y si 58.- Dados los complejos 2 – ai y 3 - bi. Calcular a y b para que su producto sea igual a 8 + 4i. El enunciado expresado en forma matemática, nos queda de la forma siguiente: Vamos a hacer operaciones: Ya hemos cambiado el valor de i2 por -1 Aplicamos el método establecido: Igualar las partes reales entre sí y, las imaginarias lo mismo. Sustituimos este valor de b en la 1ª ecuación: Y ejercicio resuelto. 59.- Calcula el valor de a y b para que se verifique la siguiente igualdad: Lo primero que vamos a hacer, es sacar denominador, multiplicándolo por la 1º parte de la igualdad.

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Vamos a efectuar el cambio de valor de i2 por -1, para a continuación igualar las partes reales entre si y las imaginarias, también. Sustituimos el valor de en la 2ª ecuación y resolvemos: Y asunto liquidado. 60.- Calcular el valor de b para que el producto (3-6i) (4+bi) sea: a) Un número imaginario puro b) Un Número real. Lo primero que debemos de hacer, es efectuar el producto y separar las partes imaginarias de las partes reales. Ya hemos cambiado el valor de i2 por -1

a) ¿Para que un número complejo sea imaginario puro, qué condición tiene que cumplir?

Algo tan sencillo como: Que su parte real no exista, sea nula, es decir sea CERO. Aquí estaba eso que llamamos nosotros de alguna forma “oculto”. Es tan solo saber “leer” lo que dice el enunciado. Por tanto, vamos a igualar a 0, la parte real.

b) ¿Para que un número complejo sea un número real, qué condición tiene que cumplir?

Algo tan sencillo como: Que su parte imaginaria no exista, sea nula, es decir sea CERO. Aquí estaba eso que llamamos nosotros de alguna forma “oculto”. Por tanto, vamos a igualar a 0, la parte imaginaria. Ejercicio resuelto.

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61.- Calcular a para que (a -2i)2 sea un número imaginario puro. Lo primero que debemos de hacer, es desarrollar el cuadrado. Ya hemos cambiado el valor de i2 por -1 y hemos agrupado partes reales e imaginarias. c) ¿Para que un número d) complejo sea imaginario puro, qué e) condición tiene que cumplir? Algo tan sencillo como: Que su parte real, sea nula, es decir sea CERO. Por tanto, vamos a igualar a 0, la parte real y resolver. 62.- Calcula x para que el resultado del producto (x+2+ix) ( x-i) sea un número real. Procedemos como siempre, lo primero, vamos a efectuar el producto: A continuación, vamos a agrupar partes reales e imaginarias. ¿Para que un número complejo sea un número real, qué condición tiene que cumplir? Algo tan sencillo como: Que su parte imaginaria sea CERO. Por tanto, vamos a igualar a 0, la parte imaginaria. 63.- Representar los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados y, expresarlos en forma POLAR. a) 1 - i Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número:

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2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 315º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 4º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es: Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el Opuesto al dado, será: Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 135º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 2º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. Bueno, es por esto: “ojito” para saber cual es el “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: En forma POLAR este Opuesto es: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte imaginaria. Por tanto el conjugado al dado, será: 1 + i 1º.- Calculamos el módulo del número:

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2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 45º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 1º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 3ª respuesta. El nº Conjugado es: 1 + i En forma POLAR este Conjugado es: Es el momento de representarlos todos ellos gráficamente y ver de forma clara, lo que decíamos sobre el tema de argumentos y afijos. b) - 1 + i Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 135º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 2º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es:

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Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el Opuesto al dado, será: 1 - i Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 315º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 4º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: 1 - i En forma POLAR este Opuesto es: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte imaginaria. Por tanto el conjugado al dado, será: - 1 - i 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 225º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 3º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL.

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Por tanto 3ª respuesta. El nº Conjugado es: -1 - i En forma POLAR este Conjugado es: Es el momento de representarlos todos ellos gráficamente y ver de forma clara, lo que decíamos sobre el tema de argumentos y afijos. c) Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 30º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 1º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es: Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el Opuesto al dado, será: Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento:

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¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 210º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 3º cuadrante. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: En forma POLAR este Opuesto es: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte imaginaria. Por tanto el conjugado al dado, será: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 150º y 330º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 4º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 3ª respuesta. El nº Conjugado es: En forma POLAR este Conjugado es: Es el momento de representarlos todos ellos gráficamente y ver de forma clara, lo que decíamos sobre el tema de argumentos y afijos. Vamos a representarlo:

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d) Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 30º y 210º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 3º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es: Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el Opuesto al dado, será: Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 30º y 210º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 1º cuadrante.

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Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: En forma POLAR este Opuesto es: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte imaginaria. Por tanto el conjugado al dado, será: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 150º y 330º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 2º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 3ª respuesta. El nº Conjugado es: En forma POLAR este Conjugado es: Es el momento de representarlos todos ellos gráficamente y ver de forma clara, lo que decíamos sobre el tema de argumentos y afijos. e) – 4 Lo primero que sabemos, es que se trata de un número real., ya que no tiene parte imaginaria. Por tanto el número es de la forma: 1 + 0 i Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número:

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2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 0º y 180º. Está situado sobre el eje de abcisas. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por tanto el ángulo es de 180º Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es: Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el Opuesto al dado, será: 4 Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 0º y 180º. Está situado sobre el eje de abcisas. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por tanto el ángulo es de 0º Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: 4 En forma POLAR este Opuesto es: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte imaginaria. Por tanto el conjugado al dado, será: 4 Por tanto, el OPUESTO Y EL CONJUGADO, SON EL MISMO NUMERO.

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e) 2i Ya sabemos que el número complejo es un imaginario puro, puesto que no tiene parte real. El número es de la forma: 0 + b i. Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 90º. Está situado sobre el eje de ordenadas. Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es: Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el Opuesto al dado, será: - 2 i Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 270º. Está situado sobre el eje de ordenadas. Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: - 2 i En forma POLAR este Opuesto es: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte imaginaria. Por tanto el conjugado al dado, será: - 2 i Por tanto, el OPUESTO Y EL CONJUGADO, SON EL MISMO NUMERO.

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f) Ya sabemos que el número complejo es un imaginario puro, puesto que no tiene parte real. El número es de la forma: 0 + b i. Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 270º. Está situado sobre el eje de ordenadas. Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es: Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el Opuesto al dado, será: Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 90º. Está situado sobre el eje de ordenadas.

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Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: En forma POLAR este Opuesto es: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte imaginaria. Por tanto el conjugado al dado, será: Por tanto, el OPUESTO Y EL CONJUGADO, SON EL MISMO NUMERO. h) Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 60º y 240º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 1º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es: Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el Opuesto al dado, será:

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Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 60º y 240º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 3º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: En forma POLAR este Opuesto es: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte imaginaria. Por tanto el conjugado al dado, será: 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 120º y 300º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 4º cuadrante. Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente. “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto 3ª respuesta. El nº Conjugado es:

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En forma POLAR este Conjugado es: 64.- Escribir en forma binómica los siguientes números complejos: a) b) Si П = 180º, c) d) e) Si П = 180º,

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65.- Calcular en forma polar: a) 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo: ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor 1. Existen 2 ángulos que tienen ese valor, son los de 45º y 225º. La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante. Sabemos que el módulo es negativo, por tanto se corresponde con el ángulo de 225º Por tanto el argumento será: Por tanto la solución, es: b) 1º.- Calculamos el módulo del número: 2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo: ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor - √3. Existen 2 ángulos que tienen ese valor, son los de 120º y 300º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Sabemos que el módulo es positivo, por tanto se corresponde con el ángulo de 300º Por tanto el argumento será: Por tanto la solución, es: 66.- Calcular y representar gráficamente el resultado de los siguientes números complejos:

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a) Lo primero que tenemos que descubrir es lo que llamamos “oculto” y en este caso, si echamos un vistazo al numerador, vemos algo raroooooooooooooooooooooooooo……………… Tenemos “i” elevado a – 7. Es decir elevado a una potencia negativa. ¿Qué debemos de hacer? Pasarlo a un exponente positivo. ¿Y cómo? De la forma siguiente: 1º.- Hacemos este cambio: 2º.- Sacamos denominadores. Ahora vamos a sustituir el valor de, de acuerdo a la potencia dei: “Todas las potencias de i se repiten de 4 en 4.” “Las potencias de i, cuyo exponente es múltiplo de 4 son iguales a 1 “ Entonces un método práctico: Para calcular las potencias del número “i” dividiremos el exponente entre 4, y calculamos la potencia del número “i” que tienen por exponente el resto de la división.

i 14 = 3 de cociente y 2 de resto, por tanto el exponente igual a 2

i 8 = 4 de cociente y 0 de resto, por tanto igual a 1. Volvemos a sustituir el valor de i2 por -1. Por tanto la solución, es:

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b) Aquí vamos a ser cuidadosos con las operaciones, para no cometer errores. Hay un montón de ellas y vamos a ir paso paso. Ahhhhhhhh ¿Por dónde Haciendo operaciones comenzamos? con el numerador Entonces: 1º.- Vamos a calcular el numerador en forma polar. 2º.- Calcularemos el denominador en la misma forma. 1º Parte. Calculo del numerador: 1º.- Como siempre vamos a calcular el módulo: 2º- Ahora le toca el turno al argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 315º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 4º cuadrante. Es el ángulo de 315º “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Por tanto el numerador nos queda de la forma siguiente: Por el momento lo dejamos “aparcado” aquí, hasta calcular el valor del denominador. 2º Parte. Calculo del denominador: 1º.- Calculamos el módulo del número:

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2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 30º y 210º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 1º cuadrante. Es el ángulo es el de 30º Por tanto el denominador nos queda de la forma siguiente: Es el momento de sustituir estos valores en el enunciado: Vamos a efectuar esta división de complejos en forma polar. Recordatorio de la teoría: El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss... Lo tenemos todo preparado, para elevar al cubo numerador y denominador y, ver como nos queda. Vamos a hacer las operaciones de forma “gráfica” para que todas/todos los veáis muy claro. Estamos trabajando con potencias y raíces. Ahora es el momento de simplificar: Esto en cuanto al módulo NO NOS OLVIDEMOS DEL ARGUMENTO, que también está elevado al cubo: Como es una potencia de complejos, tendremos que recordarnos como se procede con el argumento:

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La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa nnn---ééésssiiimmmaaa dddeeelll mmmóóóddduuulllooo y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: “““ nnn “““ vvveeeccceeesss eeelll aaarrrggguuummmeeennntttooo del complejo dado. El módulo de esta potencia, es lo que hemos calculado. Por tanto su argumento es: 285º x 3 = 855º. Por tanto hemos llegado al siguiente resultado en forma polar: Nos encontramos con un ángulo de 885º, por tanto sería conveniente expresarlo, en forma de otro, cuyas razones trigonométricas conozcamos, y poder expresarlo en forma binómica. Recordar: Cada giro de la circunferencia son 360º. Por tanto 2 giros son 720º. Si tenemos 855º -720º = Estamos en el 3º giro y describiendo un ángulo de 135º. Por tanto: El número está situado en el 2º cuadrante. Aplicamos las fórmulas de los ángulos que difieren 90º + α Volvemos a hacer las operaciones forma “gráfica” para que no se pierda nadie en la resolución del ejercicio. Vamos a multiplicar el módulo por los factores que hay dentro del paréntesis: Por tanto la solución, es: 67.- Calcular y representar gráficamente el resultado de los siguientes números complejos: a)

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Lo primero que haremos como siempre, es calcular su módulo: 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor - √3. Existen 2 ángulos que tienen ese valor, son los de 120º y 300º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Sabemos que el módulo es positivo, por tanto se corresponde con el ángulo de 300º Por tanto el argumento será: Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Ya sabemos algo importante. Es un número real, ya que carece de parte imaginaria Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 3 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1 y 2. Para k = 0 Para k =1 Para k =2 Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = 2

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Para efectuar los cálculos anteriores, nos hemos servido de una calculadora, ya que las razones no son las de ángulos conocidos. Su representación gráfica, es: b) Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: Vamos a efectuarlo por partes, para que resulte fácil el cálculo y ver otra posibilidad en vez de hacerlo de forma directa, como hemos venido haciendo hasta ahora: Sabemos que el número tiene la forma: 1 +0 i. Por tanto no tiene parte imaginaria. Pero en el enunciado, tenemos una raíz cuarta. Por tanto el módulo verdadero, será la raíz cuarta de 16. Por tanto el valor del módulo es: 2 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 270º. Está situado sobre el eje de ordenadas. Y su módulo, además es negativo. Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Ya sabemos algo importante. Es un número real, ya que carece de parte imaginaria Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 4 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2 y 3. Para k = 0

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Para k =1 Para k =2 Para k = 3 Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = 2 Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 90º + α Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 180º + α Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en α y – α Su representación gráfica, es: c) Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número:

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Vamos a efectuarlo por partes, para que resulte fácil el cálculo y ver otra posibilidad en vez de hacerlo de forma directa, como hemos venido haciendo hasta ahora: Sabemos que el número tiene la forma: 0 +1 i. Por tanto no tiene parte imaginaria. Pero en el enunciado, tenemos una raíz cúbica. Por tanto el módulo verdadero, será la raíz cúbica de 8. Por tanto el valor del módulo es: 2 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 90º. Por tanto, el número está situado sobre el eje de ordenadas. Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Ya sabemos algo importante. Es un número real, ya que carece de parte imaginaria Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 3 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1 y 2. Para k = 0 Para k =1 Para k =2 Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = 2

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Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 90º + α Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 180º + α Su representación gráfica, es: 68.- Calcular pasando a forma polar y binómica, los siguientes números complejos: a) Lo primero que se nos ocurrirá, será colocarlo de otra forma, ya que nosotros estamos acostumbrados a verlo de la forma siguiente: Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: Vamos a efectuarlo por partes, para que resulte fácil el cálculo y ver otra posibilidad en vez de hacerlo de forma directa, como hemos venido haciendo hasta ahora:

Pero en el enunciado, tenemos una potencia. Por tanto el módulo verdadero, será la potencia de 2 elevado a la quinta. Por tanto el valor del módulo es: 32 2º.- Calculamos su argumento:

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¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 60º y 240º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 1º cuadrante. Por tanto el ángulo es el de 60º. El: “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo. A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL. Vamos a ver cual es el número pedido. Hemos calculado el argumento. Es un ángulo de 60º Ahhhhhhhhhh Está todo elevado a Por tanto el módulo que habíamos calculado era 25. la 5ª, en el enunciado. Y con el argumento, haremos lo mismo. Por tanto: Antes de elevar a la 5ª el resultado, tenemos: Aquí tenemos lo “oculto de marras”. Consiste en elevar Este resultado a la 5ª, ya que es una potencia: Por tanto: 1ª Solución: El número en forma polar es: Ahora vamos a darlo en forma binómica: Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = 32 Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en α y – α 2ª Solución: El número en forma binómica es: b)

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¿¿¿AAA dddóóónnndddeee vvvaaannn??? VVVuuueeelllvvvaaannn ¿¿¿CCCrrreeeeee qqquuueee sssooommmooosss ccciiieeennntttííífffiiicccooosss pppooorrrfffaaaaaaaaaaaaaaaaaa………...¿¿¿QQQuuuééé pppaaasssaaa??? dddeee lllaaa NNNAAASSSAAA??? EEEssstttooo nnnooo hhaayy qquuiieenn lloo rreessuueellvvaa Buenoooooooooooooooooooooooooooooooo,con mucha calma, a ver como le metemos mano. 1º.- Tenemos un producto de dos números complejos. Yo aportaría una idea. ¿Por qué no calculamos primero en forma Polar el 1º factor. Después veremos. Pero siempre es conveniente simplificar los cálculos, lo máximo posible. Vamos a ello. 1ª Operación.- Calculamos el módulo del número: “Ojitoooooooooooooooooooooooo” lo que llamamos oculto, se nos presente en forma de potencia. Tenemos un complejo elevado a la 6ª. Por tanto cuando calculemos el módulo y argumento, al final ese resultado, debemos de efectuar una potencia. Era lo oculto. Pero antes de nada, vamos a colocar el primer factor, tal cual estamos acostumbrados a verlo: “”””” Ojo con este resultado”””””””””” Al final deberemos de elevarlo a 6. 2ª Operación.- Calculamos el argumento del número: ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor - √3. Existen 2 ángulos que tienen ese valor, son los de 120º y 300º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Sabemos que el módulo es negativo, por tanto se corresponde con el ángulo de 120º

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“”””” Ojo con este resultado”””””””””” Al final deberemos de elevarlo a 6. Entonces, hasta ahora, el número que hemos calculado es: Como ya nos quedan más operaciones que hacer con este factor, es la hora de efectuar la potencia que tenemos pendiente y, ya tendremos LISTO definitivamente Este paso. ¡¡¡¡A mí también me huele muy mal la respuesta obtenida!!!!!!!!!!!! ¿La trampa, dónde está? Sencillamente en darse cuenta de esto: 720º = 2 giros completos a la circunferencia. Por tanto el resultado final es: Hay que tener muy mala leche, para poner tantas trampas en el mismo ejercicio. Por tanto el primer factor, es: 2º.- ¿Por qué no calculamos segundo factor en forma Polar. Vamos a calcular el módulo correspondiente: Ahora le toca el turno al argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 150º y 330º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 4º cuadrante. Entonces el ángulo es el de 330º. Por tanto el segundo factor, es:

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Ahora ya es el momento de efectuar el producto que nos indicaban en el enunciado. Ya tenemos el resultado en forma polar: Ahora vamos a pasarlo a forma binómica. Ya tenemos el resultado en forma binómica: c) Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: Vamos a efectuarlo por partes, para que resulte fácil el cálculo y ver otra posibilidad en vez de hacerlo de forma directa, como hemos venido haciendo hasta ahora: ***** Ojo nos falta calcular la raíz cuarta de este módulo******* Por tanto: Este es el módulo pedido en el enunciado. Ya le tenemos calculado. Ahora vamos a calcular el argumento: ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor - √3. Existen 2 ángulos que tienen ese valor, son los de 120º y 300º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Sabemos que el módulo es negativo, por tanto se corresponde con el ángulo de 120º Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 4 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2 y 3. Para k = 0

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Para k =1 Para k =2 Para k = 3 Ahora vamos a darlo en forma binómica: Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 90º + α Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 180º + α Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en α y – α d) Este el primer caso un poquito raro que se nos da y que no habíamos visto hasta ahora. El número complejo tiene esta forma: Por tanto es una división de complejos. El numerador es un número real. Entonces, el numerador en forma polar, será: Ahora vamos a calcular el denominador en forma polar.

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Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por: 1º.- Calculamos el módulo del número: Vamos a efectuarlo por partes, para que resulte fácil el cálculo en vez de hacerlo de forma directa. Aquí la trampa o lo oculto, radica en que tanto este módulo que hemos calculado, como el argumento que vamos a calcular es necesario ELEVARLO a la 5ª potencia. Por tanto: No olvidarossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss…. 2º.-Vamos a calcular el argumento. ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 315º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 4º cuadrante. Es el ángulo de 315º Por consiguiente el numerador lo TENEMOS QUE ELEVAR A LA 5ª. Por tanto el denominador nos queda de la forma siguiente: El ejercicio dado nos queda de la forma siguiente: El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss... En todos los ejercicios, siempre nos proponen algo oculto, para evitar que tan solo, tomemos los datos del enunciado y nos dediquemos a sustituir valores en unas fórmulas que conocemos de memoria. Por tanto, siempre deberemos estar alerta, para tratar de “localizar” lo “oculto” y darle la solución correcta. Este ejercicio, tiene mogollón de trampas o cosas “ocultas” Ya vereis

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Si no andamos muy vivos, no hay quien lo resuelva. Por tanto cuidado, para salvar cada obstáculo planteado. 1º Paso que recomiendo: Simplificar. El nº dado, nos queda: 2º Paso recomendable: Racionalizar el complejo. Nos queda de la siguiente forma: Tenemos un lío de mucho lereleeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee montado. ¿Por dónde comenzar a deshuesar esta cabronada? La madre que le parió al mono este. ¿De qué se reirá, porque la cosa no está para muchas coñas.? No se por donde seguirrrrrrrrrrrrrrrrrrr.. Auxiliooooooooooooo Tranquiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii el personal, vamos despacio a ser lógicos y razonables y con criterio, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh. 1ª pregunta: ¿Cuántos grados tenemos en el denominador? Son 1.575º. Bien, se me ocurre una cosa: ¿Y si lo dividimos entre 360º? Que es un giro completo a la circunferencia? 1575 360 Es decir. Estamos en el 4º giro y con un ángulo de 135º 135 4

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Por consiguiente, el número complejo, ya ha dado otro cambio y nos queda: Ya no podemos hacer nada más, tan solo efectuar la división: Y nos quedaría, de la forma siguiente: Me cago en su leche, ¿un argumento negativo? Nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo puede serrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr Otra “trampa, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh. Vale, pero vamos a ser lógicos y acordarnos de esta parte de la teoría: Corolario: dos número complejos escritos en forma polar sssooonnn iiiggguuuaaallleeesss, siempre y cuando sus mmmóóóddduuulllooosss sean iguales y sus aaarrrggguuummmeeennntttooosss difieran en siendo k un número entero. Siendo Z el conjunto de los números enteros ¿Y si damos un giro completo a la circunferencia, qué ocurrirá? El argumento va a ser positivo. Y eso es lo que pretendemos: Siendo k = 1 2 . 1 . П = 360º 360º + ( - 135º) = 225º. Ya estááááááááááááááááááááááááááá´ Por tanto el número dado en forma polar es: Ahora vamos a darlo en forma binómica: Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = Por tanto el número dado en forma binómica es: Este ejercicio es completito y con muchas “cosas ocultas o trampas”.

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e) Biennnnnnnnn, en este caso, tenemos un cociente de números complejos. Vamos a proceder por partes. Vamos a calcular el numerador. 1º.-Su módulo, es el siguiente: 2º.- Su argumento, será: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 315º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 4º cuadrante. Es el ángulo de 315º Vamos a calcular el denominador. 1º.- Su modulo es el siguiente: 2º.- Su argumento, será: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 135º y 315º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante. Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 2º cuadrante. Es el ángulo de 135º Por tanto el número dado, nos queda de la forma siguiente: Vamos a simplificar en este momento, se nos irán las raíces de 2.

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Por tanto el número en forma polar, nos queda de la siguiente forma: Ahora vamos a darlo en forma binómica: Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones: Sabemos que el módulo r = Por tanto el número en forma binómica, es: Es un número real. Y está situado sobre el eje de abcisas. 69.- Calcular m para que el número complejo 3 - m i tenga el mismo módulo que Bueno, tampoco es para ponerse asíiiiiiiiiiiií……………………. Vamos a ver que somos capaces de hacer. Pero sin desesperarse. Fijaos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Tenemos dos números complejos. Veremossssssssssss por donde salir…… Comienza la operación “de desguace” Un acosa antes de nadaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa. Si nos fijamos tendremos que montar una ecuación. Pero tenemos 2 incógnitas que son “m” e “i”. ¿Pero sabemos los valores que puede tomar “i” Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii,coño. 1º número dado en el enunciado: 3 – m i. ¿Y si lo colocamos en forma de raíz? Por supuesto no varía su valor absoluto. ¿Cómo lo haremos? Asíiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii…………………..

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Elevando al cuadrado cada factor dentro de una raíz cuadrada. ¿De acuerdo? Parece que no, pero hemos dado un paso importante. ¿Por qué? Porque podemos “sustituir” el valor de i2 por – 1, y de esta forma eliminamos una “posible” incógnita. Aquí nos plantamos y vamos a hacer con el otro complejo, otra operación: Elevando al cuadrado: Es la operación contraria a la anterior. Aquí está lo culto o la trampa de todos los ejercicios. Fijaos: El primer factor “No aparecen raíces” Por tanto respuesta explícita. En el segundo, aparecen las raíces. Por tanto respuesta implícita. Entonces, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones: ¿Y si igualamos entre sí, las partes reales? ¿Por qué? Por que nos piden calcular el “módulooooooooooooooooooooooooooooooooooooo” Por tanto las dos soluciones, son: 70.- Expresar en forma polar z, su opuesto y su conjugado en cada uno de estos casos: a) En estos ejercicios, se trata de recordarnos cual es el opuesto y el conjugado de un número complejo. Como siempre, tendremos que seguir con nuestro método establecido: 1º.- Calculamos el módulo:

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2º.- Calculamos el argumento: ¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor - √3. Existen 2 ángulos que tienen ese valor, son los de 120º y 300º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Sabemos que el módulo es positivo, por tanto se corresponde con el ángulo de 300º El número z, en forma polar es: Ahora vamos a calcular su opuesto. Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Gráficamente son simétricos respecto del origen de coordenadas. Por tanto el opuesto al número dado, será: Seguimos, como siempre con nuestro método personal, vamos a calcular el módulo: Ahora vamos a calcular su argumento: ¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado? De entrada la cumplen, los ángulos de 120º y de 300º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Y su módulo, también es negativo. Por tanto el ángulo es el de 300º. Por tanto el Opuesto en forma Polar, será: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. El conjugado es: Vamos a calcular su módulo:

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Ahora procedemos con el argumento: ¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado? De entrada la cumplen, los ángulos de 60º y de 240º. La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante. Pero su módulo es positivo. Por tanto el ángulo es el de 60º. Por tanto el conjugado en forma Polar, será: b) Como siempre, lo primero vamos a calcular el módulo correspondiente: Ahora procederemos a calcular su argumento: ¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado, es decir 1? De entrada la cumplen, los ángulos de 45º y de 225º. La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante. Pero su módulo es negativo. Por tanto el ángulo es el de 225º. Por tanto el número dado, en forma Polar, será: Vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el opuesto al número dado, será: Seguimos, como siempre con nuestro método personal, vamos a calcular el módulo Si “observamos” el módulo no varía. Ahora vamos con el argumento:

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¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado, es decir 1? De entrada la cumplen, los ángulos de 45º y de 225º. La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante. Pero su módulo es positivo. Por tanto el ángulo es el de 45º. Por tanto el número opuesto, en forma Polar, será: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. El conjugado es: Vamos a calcular su módulo: Si seguimos observando, el módulo, sigue sin variar. Ahora calculemos su argumento: ¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado, es decir - 1? De entrada la cumplen, los ángulos de 135º y de 315º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Pero su módulo es negativo. Por tanto el ángulo es el de 135º. Por tanto el número conjugado, en forma Polar, será: c) Como siempre, lo primero vamos a calcular el módulo correspondiente: Ahora calculemos su argumento:

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¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado? De entrada la cumplen, los ángulos de 150º y de 330º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Pero su módulo es negativo. Por tanto el ángulo es el de 150º. Por tanto el número dado, en forma Polar, será: Vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Por tanto el opuesto al número dado, será: Seguimos, como siempre con nuestro método personal, vamos a calcular el módulo Si “ seguimos observando” el módulo sigue sin variar en ningún caso. Ahora vamos con el argumento: ¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado? De entrada la cumplen, los ángulos de 150º y de 330º. La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante. Pero su módulo es positivo. Por tanto el ángulo es el de 330º. Por tanto el número opuesto, en forma Polar, será: Ahora vamos a calcular su Conjugado: Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. El conjugado es: Vamos a calcular su módulo:

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Si seguimos observando, el módulo, sigue sin variar. Ahora calculemos su argumento: ¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado? La cumplen los ángulos de 30º y de 210º La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante. Pero su módulo es negativo. Por tanto el ángulo es el de 210º. Por tanto el número conjugado, en forma Polar, será: 71.- Representa el polígono regular que tiene por vértices los afijos de la siguiente raíz: A cada número complejo le hacemos corresponder siempre un punto del plano. A este punto, se le llama “aaafffiiijjjooo””” dddeeelll nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo (((aaa+++bbbiii ))) Vamos a buscar las soluciones de este número complejo. Sabemos que es de la forma: 0 + b i . Es decir es un número imaginario puro. No tiene parte real. 1º.- Calculamos su módulo: Pero este no es el verdadero módulo, ya que es una raiz 5ª. Por tanto el verdadero es: En este caso da la casualidad que no varía. 2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de 90º. Por tanto, el número está situado sobre el eje de ordenadas. Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores:

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Ya sabemos algo importante. Es un número imaginario puro, ya que carece de parte real. Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 5ª de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3 y 4. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Para k = 3 Para k = 4 El polígono representado gráficamente es: 72.- Representa el polígono regular que tiene por vértices los afijos de la siguiente raíz: Sabemos que es de la forma: 1 + 0 i . Es decir es un número real. No tiene parte imaginaria. 1º.- Calculamos su módulo:

Pero este no es el verdadero módulo, ya que es una raiz 6ª. Por tanto el verdadero es: Lo mismo que el caso anterior, da la casualidad que no varía.

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2º.- Calculamos su argumento: ¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de 0º y 180º. Por tanto, el número está situado sobre el eje de abcisas. Como su módulo es negativo. El ángulo es de 180º Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Ya sabemos algo importante. Es un número real, ya que carece de parte imaginaria. Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 6ª de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3,4 y 5. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Para k = 3 Para k = 4 Para k = 5 El polígono representado gráficamente es: 73.- Representa el polígono regular que tiene por vértices los afijos de la siguiente raíz: Como siempre vamos a comenzar calculando su módulo.

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Pero este tampoco es el módulo real del número dado. Ya que el enunciado nos dice que es una raíz 4ª. Por tanto para calcular el módulo “verdadero” será necesario calcular al raíz 4ª del módulo que hemos calculado. Ahora vamos a calcular su argumento: ¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos calculado? La cumplen los ángulos de 30º y de 210º La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante. Pero su módulo es positivo. Por tanto el ángulo es el de 30º. Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 4ª de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2 y 3. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Para k = 3 El polígono representado gráficamente es:

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74.- Calcula dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus argumentos y la suma de su módulos 8. Este ejercicio, tiene toda la pinta de que va a resolverse con un sistema de ecuaciones. Nos dan los datos, para que busquemos igualdades. Lo primero, vamos a buscar un “nombre” a estos números que nos piden. Les vamos a llamar: Y les “bautizamos” de esa manera, porque nos hablan de módulos y argumentos. Ahora vamos a comenzar por “traducir” los datos del enunciado. Debemos de acostumbrarnos a “traducir” que en realidad, no es otra cosa que “interpretar” lo que está escrito. 1º.- La primera igualdad que podemos establecer sobre el enunciado es la siguiente: Nos dice que su cociente sea 3. Un cociente de número de complejos en forma POLAR, debe tener módulo y argumento. Pues con estos datos, vamos a expresar esta primera igualdad: Fijaos que sencillo, una vez “traducido” el mensaje dado: Puesto que es un número real, carece de parte imaginaria. Por tanto el argumento tiene que ser el de 0º Por tanto la primera ecuación, que podemos articular, es la siguiente: La vamos a dejar “aparcada de momento. Con esta ecuación sola no vamos a ninguna parte. Nos hacen falta más ecuaciones. Puesto que al menos, ya tenemos dos incógnitas 2º.- La segunda igualdad que podemos establecer sobre el enunciado es la siguiente:

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Nos dicen que la suma de sus argumentos, sea igual a: Volvemos a traducir y podemos establecer, en lo referente a sus argumentos: Pero, pero, pero aquí tenemos que ser cautos, porque hay “algo oculto” que le estamos llamando a lo que debemos de interpretar. No lo podemos dejar escapar, porque entonces no podríamos resolver el ejercicio. ¿Os preguntaréis y qué es eso “oculto”? Pues algo tan sencillo como esto: En el apartado anterior, hemos “armado una ecuación” como el cociente entre los dos números, y hemos llegado a la conclusión de que esa división, era igual a 3º. ¿Qué significado tiene realmente? Pues es éste y, por cierto, de vital importancia: Por tanto, sin querer o queriendo, pero dándonos cuenta, en este 2º apartado, ya hemos montado un sistema de dos ecuaciones, que es el siguiente: Por tanto resolviendo esta ecuación, ya podemos calcular el argumento del número pedido. Pero sin “lanzarnos”, vamos a seguir “traduciendo” el enunciado, puesto que todavía nos queda la tercera parte por “interpretar” Obviamente, se tratará de buscar una ecuación, para “arrimarla” a la que teníamos “aparcada” y poder estar en disposición de calcular el módulo del número pedido. 3º.- La tercera igualdad que podemos establecer sobre el enunciado es la siguiente: Nos dicen: La suma de sus módulos sea 8. Bien, será esta: Muy bien colegas, ya tenemos todos los datos escritos. Ahora tan solo nos queda una cosa: Poner en orden y agrupar módulos con módulos y argumentos con argumentos. Y daremos las soluciones pedidas. Las ecuaciones son:

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En cuanto a módulos: En cuanto a argumentos: Y resolviendo estos dos sistemas de ecuaciones, resolveremos el ejercicio. 1º.- Vamos a calcular el módulo: Ahora sustituimos este valor en la que teníamos despejado “r “y nos queda: Los módulos de los números pedidos, son: r = 6 y s = 2. 2º.- Vamos a calcular sus argumentos: Por tanto el resultado final pedido, son los números siguientes: 75.- ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente: Vamos a efectuar el cociente de este complejo:

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Ya hemos hecho el cambio de – 12 = 1 Ahora nos conviene separar la parte real de la parte imaginaria. Aquí estaba lo “oculto” ¿Qué tiene que ocurrir para que un número sea imaginario puro? Pues que su parte real sea igual a 0. Entonces, con igualar la parte real a 0 y resolver esa ecuación habremos dado con la solución. Tiene dos soluciones: 76.- Calcula en función de x, el módulo de Vamos a efectuar la división de este número complejo: Ya hemos hecho el cambio de 12 = - 1 Ya tenemos hecha la división y separadas las partes reales de las imaginarias. Por tanto el valor absoluto de z, será igual a:

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Por tanto el módulo z = 1 77.- Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir: esté representado en la bisectriz del primer cuadrante. Al cualquier número complejo (a+bi) se le hace corresponder el punto de coordenadas: A(a,b). A este punto “A” se le llama “aaafffiiijjjooo””” dddeeelll nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo (((aaa+++bbbiii))) A cada número complejo le hacemos corresponder siempre un punto del plano. ¿Os dais cuenta de la importancia que tiene el tener claro la teoría? Sin ella, es imposible llegar a ningún razonamiento lógico. Dicho esto vamos a buscar lo “oculto” y a “traducir” el mensaje del enunciado. Nos dicen : …………” para que esté representado en la bisectriz del 1º cuadrante”. ¿Qué es una bisectriz de un ángulo? Es una recta, que divide a un ángulo en dos partes iguales. Esto en lenguaje de andar por casa, ya que la verdadera definición de bisectriz, es: Es una semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Por tanto este puñetero galimatías, si lo queremos traducir para resolver nuestro problema, ¿qué significado tiene?: Para las burras y los burros: que a = b. Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii, así de sencillo. Arreaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa no era tan difícil el asunto. Por tanto, vamos a igualar la parte real y la imaginaria. Primero resolveremos el cociente.

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Ya hemos hecho el cambio de 12 = - 1

Ha de cumplir la condición de a = b Y como los número complejos son de la forma: a + b . i La solución es: x = 14 78.- La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 10. ¿Cuáles son esos números? Lo primero que haremos, será “bautizar” a cada uno de los números. A uno le llamaremos z y a su conjugado le llamaremos Los conjugados se representan, como el mismo número con un guión encima del mismo. La siguiente fase, consiste en “traducir” los datos del enunciado. 1º La suma de ellos es 8. Bueno traducido, significa: 2º.- La suma de sus módulos es 10. Traducido: Fijarse como los expresamos: Significa que estamos hablando de valores absolutos, es decir prescindiendo de los signos. Conclusión: Por enunciado se tiene que cumplir en la segunda ecuación: ¿Nos preguntamos todas/todos, para qué vale esto? Bien, la respuesta ahora mismo. Primero un ligero matiz. Vamos a escribir los números dados en el enunciado en forma de complejos.

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Y su conjugado: Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. Ahora viene la respuesta que estamos esperando, desde hace un ratito. Sustituimos estos valores en la 1ª ecuación: Por tanto: Ya tenemos calculada la parte REAL del complejo. Ahora vamos a calcular el módulo de la parte imaginaria. El módulo de un número complejo es: ¿Qué ecuación hemos establecido al principio cuando hemos “traducido”? Esta: y habíamos calculado su valor que era 5. Por tanto, esa raíz cuadrada para calcular el módulo de la parte imaginaria, ¿qué condición tiene qué cumplir? Y seguimos traduciendo. Pues que sea igual a 5. Lo expresamos de la forma siguiente: Bueno vamos a calcular el valor de b. Lo primero que haremos es elevar al cuadrado, para eliminar la raíz. Por tanto el módulo de la parte imaginaria, será Las soluciones son: 79.- La suma de dos números complejos es 3 + i. La parte real del primero es 2, y el cociente de este número entre el segundo es un número real. Calcular ambos números.

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Lo primero que vamos a hacer, es “bautizar” esos números que nos piden. A uno le llamaremos, por ejemplo “z” y al otro, por ejemplo “w”. Por otra parte, todos debemos de saber que un complejo es de la forma: a + b i Bien, vamos a expresar los números “bautizados” en forma binómica: Ahora llega el momento de “traducir” el enunciado, para establecer igualdades: Lo 1º que nos dice es que su suma sea 3 + i Traducido significa esto: Lo 2º que nos dice el enunciado es que la parte real del primer número es 2: Traducido significa esto: Por tanto llegamos la conclusión siguiente: Si la suma de los 2 números es: 3 + i, como la parte real suma 3, ¿cuál es el módulo del otro número? No es tan dificillllllllllllllllllll: 3 -2 = 1 Por tanto No perder de vista, algo importante, que hasta este momento, hemos estamos calculando tan solo de módulo del número complejo. Ahora le toca el turno a la parte imaginaria. Tenemos que la suma del ambos números es: 3 + i, que es lo mismo que 3 + 1. i ¿Cuál es el factor que multiplica a “i”? Hemos escrito que es 1. Por tanto la suma de b + d tiene que ser igual a 1. Lo expresamos de esta forma: Por tanto, despejando b: Si seguimos traduciendo el enunciado, la 2ª parte del mismo, nos dice que hagamos el cociente de ambos números. Bien vamos a ellos, después ya veremos a que lo vamos a igualar. Estos módulos son los que hemos calculado previamente.

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Ya hemos hecho la sustitución correspondiente de i2 = - 1 Seguimos haciendo operaciones: Aquí hemos agrupado la parte real por un lado y la imaginaria por otro. Si seguimos “traduciendo” el enunciado, ¿que nos dice del cociente de éstos números? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh que z/w tiene que ser un número REAL. ¿ Y cuándo hablamos de números complejos, para qué un número sea real, qué condición tiene qué cumplir? Algo tan sencillo como que: Su parte imaginaria sea igual a 0. Creo que con igualar la parte imaginaria a 0, tendremos el ejercicio resuelto. Buenooooooooooooooooooooooooooo lo que faltaba una ecuación y “2” incógnitas. ¿Qué haréééééééééééé´para continuar? Algo tan sencillo, como traer a la memoria, Esto, que habíamos calculado anteriormente: Por tanto, despejando b: Lo sustituimos en la ecuación que tenemos y ya está. Los números pedidos son: Y ejercicio resuelto.

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80.- Representar gráficamente los resultados de obtener al calcular el número complejo: y calcula el lado del triángulo formado al unir estos tres puntos. Vamos a efectuar el problema, siguiendo con nuestro método establecido, para cálculos de números complejos. 1º.- Calculamos su módulo: Pero este no es el módulo real. Nos falta calcular la raíz cúbica de este número. Para comenzar las cosas bien, vamos a ver como nos queda el resultado anterior: Por tanto el módulo real, será: 2º.- Vamos a calcular su argumento: ¿Qué ángulos tiene como valor esta razón trigonométrica? Pues las cumplen los ángulos de 45º y 225º. Como el módulo es negativo y la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante, el ángulo es el de 225º. Por tanto el número en forma polar, será: Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 3ª de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1 y 2. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2

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El polígono representado gráficamente es: ¿Cómo podremos calcular la longitud del lado? Como estamos con temas de trigonométrica, ¿pro qué no aplicamos el teorema del coseno? 81.- Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa el resultado en forma binómica: a) Por tanto es un número imaginario puro, ya que no tiene parte real. b) c)

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Es una ecuación de 2º grado. Vamos a resolverla: d) 82.- Resuelve la siguiente ecuación: Por tanto su módulo es 2 y su argumento 180º. Ya que es “i” y como la raíz tiene el signo -, la tangente está localizada en el 2º cuadrante, sobre el eje de abcisas. Por tanto el número en forma polar, es: Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Ya sabemos algo importante. Es un número imaginario puro, ya que carece de parte real. Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 5ª de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3 y 4. Para k = 0 Para k = 1 Para k = 2 Para k = 3

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Para k = 4 83.- Resuelve la siguiente ecuación: 84.- Resuelve la siguiente ecuación: 85.- Resuelve la siguiente ecuación: 86.- Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones: a) Por tanto el módulo será 1. Ahora calculamos su argumento: Los ángulos que cumplen esta condición, son los de 0º y 360º. Al ser el módulo positivo y la tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante. Por tanto el ángulo es el de 0º. Es un número real. Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 4 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2 y 3.

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Para k = 0 Para k= 1 Para k = 2 Para k= 3 b) El Argumento de i, por tanto es = 180º. Está situado sobre el eje de abcisas y el módulo(la raíz) es negativa. Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar: Vamos a sustituir valores: Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 4 de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2 y 3. Para k = 0 Para k= 1 Para k = 2 Para k= 3