matematicas discretas(2)

conalep

Colegio Nacional de Educacin Profesional Tcnica

PROFESIONAL TCNICO EN INFORMTICA

Manual Terico Prctico del Curso - Mdulo Ocupacional:MATEMTICAS DISCRETAS

3er. Semestre

e-cbncEducacin-Capacitacin Basadas en Normas de Competencia

Capacitado por

conalep

InformticaMatemticas Discretas

PARTICIPANTESCoordinadores Director General: Secretario Acadmico: Director de Diseo de Contenidos: Autores: Antonio Argelles. Juan Carlos Tllez Mosqueda. Carlos Tato Palma. Ma. Cristina Martnez Mercado. Jorge Barbiere Meja.

Instituto de Tecnologa Educativa, Comunicacin y Consultora S.C. Directora General: Director de Investigacin y Consultora: Director Tcnico:

Guadalupe J. Mateos Raymundo. Juan Carlos Snchez Gonzlez. Gabriel Carbajal Vilchis.

Informtica Informtica Manual del curso - mdulo ocupacional Matemticas DiscretasD. R. 2000 CONALEP. Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, incluida la portada, por cualquier medio sin autorizacin por escrito del CONALEP. Lo contrario representa un acto de piratera intelectual perseguido por la Ley Penal. E-CBNC Av. Conalep N 5, Col. Lzaro Crdenas, C. P. 52140, Metepec, Estado de Mxico.

Informtica

2


NDICE

Participantes I. Mensaje al alumno II. Cmo utilizar este manual III. Propsito del curso - mdulo ocupacional IV. Normas de competencia laboral V. Especificaciones de evaluacin VI. Mapa curricular del curso mdulo ocupacional Captulo 1 Algoritmos Mapa curricular de la unidad de aprendizaje 1.1.1. Conceptos bsicos 1.1.2. Representacin de grficas 1.1.3. La ruta ms corta 1.1.4. rboles 1.1.5. Ordenamientos 1.2.1. Principios bsicos de conteo 1.2.2. Permutaciones y combinaciones 1.2.3. Algoritmos 1.2.4. Recursin 1.3.1. Representacin de nmeros en otras bases 1.3.2. Induccin matemtica Prcticas de ejercicio y Listas de cotejo Resumen Autoevaluacin de conocimientos Captulo 2 Lgica y conjuntos Mapa curricular de la unidad de aprendizaje 2.1.1. Conjunto finito 2.1.2. Operaciones con conjuntos 2.1.3 Relaciones 2.1.4. Funciones 2.2.1. Proposiciones Conectivos elementales Tablas de verdad

5 6 8 9 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 27 29 33 34 35 36 37 38 39 40 41 41 42

Informtica

3

InformticaMatemticas Discretas 2.2.2. Proposiciones condicionales y equivalencia lgica 2.2.3. Cuantificadores 2.3.1. Circuitos combinatorios 2.3.2. lgebra booleana 2.3.3. Funciones booleanas Prcticas de ejercicio y Listas de cotejo Resumen Autoevaluacin de conocimientos Respuestas a la autoevaluacin de conocimientos por captulo Glosario Bibliografa Predominio del curso - mdulo ocupacional de E-CBNC 43 43 44 45 47 49 61 62 63 65 73 75

Informtica

4


I. MENSAJE AL ALUMNO

CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL CURSO MDULO OCUPACIONAL

MATEMTICAS DISCRETAS!

Esta modalidad requiere tu participacin e involucramiento activo en ejercicios y prcticas con simuladores, vivencias y casos reales para propiciar un aprendizaje a travs de experiencias. Durante este proceso debers mostrar evidencias que permitirn evaluar tu aprendizaje y el desarrollo de la competencia laboral requerida.

Este curso - mdulo ha sido diseado bajo la Modalidad Educativa Basada en Normas de Competencia, con el fin de ofrecerte una alternativa efectiva para el desarrollo de habilidades que contribuyan a elevar tu potencial productivo, a la vez que satisfagan las demandas actuales del sector laboral.

El conocimiento y la experiencia adquirida se vern reflejados a corto plazo en el mejoramiento de tu desempeo de trabajo, lo cual te permitir llegar tan lejos como quieras en el mbito profesional y laboral.

Informtica

5


II. CMO UTILIZAR ESTE MANUAL

Las instrucciones generales que a continuacin se te pide que realices, tienen la intencin de conducirte a que vincules las competencias requeridas por el mundo de trabajo con tu formacin de profesional tcnico. Redacta cuales seran tus objetivos personales al estudiar este curso - mdulo ocupacional. Analiza el Propsito del curso - mdulo ocupacional que se indica al principio del manual y contesta la pregunta Me queda claro hacia dnde me dirijo y qu es lo que voy a aprender a hacer al estudiar el contenido del manual? si no lo tienes claro pdele al docente que te lo explique. Revisa el apartado especificaciones de evaluacin son parte de los requisitos que debes cumplir para aprobar el curso - mdulo. En l se indican las evidencias que debes mostrar durante el estudio del curso - mdulo ocupacional para considerar que has alcanzado los resultados de aprendizaje de cada unidad. Es fundamental que antes de empezar a abordar los contenidos del manual tengas muy claros los conceptos que a continuacin se mencionan: competencia laboral, unidad de competencia (bsica, genricas especficas), elementos de competencia, criterio de desempeo, campo de aplicacin, evidencias de desempeo, evidencias de conocimiento, evidencias por producto, norma tcnica de institucin educativa, formacin ocupacional,Informtica

mdulo ocupacional, unidad de aprendizaje, y resultado de aprendizaje. Si desconoces el significado de los componentes de la norma, te recomendamos que consultes el apartado glosario de trminos, que encontrars al final del manual. Analiza el apartado Normas Tcnicas de competencia laboral Norma tcnica de institucin educativa. Revisa el Mapa curricular del curso - mdulo ocupacional. Esta diseado para mostrarte esquemticamente las unidades y los resultados de aprendizaje que te permitirn llegar a desarrollar paulatinamente las competencias laborales que requiere la ocupacin para la cual te ests formando. Realiza la lectura del contenido de cada captulo y las actividades de aprendizaje que se te recomiendan. Recuerda que en la educacin basada en normas de competencia laborales la responsabilidad del aprendizaje es tuya, ya que eres el que desarrolla y orienta sus conocimientos y habilidades hacia el logro de algunas competencias en particular. En el desarrollo del contenido de cada captulo, encontrars ayudas visuales como las siguientes, haz lo que ellas te sugieren efectuar. Si no haces no aprendes, no desarrollas habilidades, y te ser difcil realizar los ejercicios de evidencias deconocimientos y los de desempeo.

6


Imgenes de referencia:

Estudio individual

Investigacin documental

Consulta con el docente

Redaccin de trabajo

Comparacin de resultados con otros compaeros

Repeticin del ejercicio

Trabajo en equipo

Sugerencias o notas

Realizacin del ejercicio

Resumen

Observacin

Consideraciones sobre seguridad e higiene

Investigacin de campo

Portafolios de evidencias

Informtica

7


III. PROPSITO DEL CURSO - MDULO OCUPACIONAL

Al finalizar el curso - mdulo ocupacional, el alumno solucionar problemas mediante las matemticas discretas para la realizacin de programas de cmputo.

Informtica

8


IV. NORMAS DE COMPETENCIA LABORAL

Para que analices la relacin que guardan las partes o componentes de la NTCL o NIE con el contenido del programa del curso - mdulo ocupacional de la carrera que cursas, te recomendamos consultarla a travs de las siguientes opciones:

Acrcate con el docente para que te permita revisar su programa de estudio del curso - mdulo ocupacional de la carrera que cursas, para que consultes el apartado de la norma requerida. Visita la pgina WEB del CONOCER en www.conocer.org.mx en caso de que el programa de estudio del curso - mdulo ocupacional esta diseado con una NTCL. Consulta la pgina de Intranet del CONALEP http://intranet/ en caso de que el programa de estudio del curso - mdulo ocupacional est diseado con una NIE.

Informtica

9


V. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIN

Durante el desarrollo de las prcticas de ejercicio tambin se estar evaluando el desempeo. El docente mediante la observacin directa y con auxilio de una lista de cotejo confrontar el cumplimiento de los requisitos en la ejecucin de las actividades y el tiempo real en que se realiz. En stas quedarn registradas las evidencias de desempeo. Las autoevaluaciones de conocimientos correspondientes a cada captulo adems de ser un medio para reafirmar los conocimientos sobre los contenidos tratados, son tambin una forma de evaluar y recopilar evidencias de conocimiento.

Al trmino del curso - mdulo debers presentar un Portafolios de Evidencias 1, el cual estar integrado por las listas de cotejo correspondientes a las prcticas de ejercicio, las autoevaluaciones de conocimientos que se encuentran al final de cada captulo del manual y muestras de los trabajos realizados durante el desarrollo del curso - mdulo, con esto se facilitar la evaluacin del aprendizaje para determinar que se ha obtenido la competencia laboral. Deberas asentar datos bsicos, tales como: nombre del alumno, fecha de evaluacin, nombre y firma del evaluador y plan de evaluacin.

El portafolios de evidencias es una compilacin de documentos que le permiten al evaluador, valorar los conocimientos, las habilidades y las destrezas con que cuenta el alumno, y a ste le permite organizar la documentacin que integra los registros y productos de sus competencias previas y otros materiales que demuestran su dominio en una funcin especfica (CONALEP. Metodologa para el diseo e instrumentacin de la educacin y capacitacin basada en competencias, Pg. 180).1

Informtica

10


VI. MAPA CURRICULAR DEL CURSO MDULO OCUPACIONAL

Curso - Mdulo Ocupacional

Unidad de Aprendizaje

Resultados de Aprendizaje 1.1. Desarrollar algoritmos mediante grficas, ordenamientos y rboles para la solucin de problemas. 10 hrs. 1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o y recursin a partir del clculo del nmero de elementos en un conjunto finito para el desarrollo de algoritmos en la solucin de problemas 10 hrs. 1.3. Realizar operaciones aritmticas a partir de los sistemas de numeracin con base 2, 3 y 16 para la solucin de problemas 10 hrs. 2.1. Realizar operaciones mediante la utilizacin de los conceptos bsicos del lgebra de conjuntos para la solucin de problemas 15 hrs. 2.2. Generar tablas de verdad, utilizando conectivos y cuantificadores para la determinacin del valor de verdad de proposiciones lgicas 15 hrs. 2.3. Solucionar problemas mediante el lgebra booleana para la construccin de circuitos combinatorios 12 hrs.

1. Mtodo de Conteo y Recursin por medio de Grficas 30 hrs.

Matemticas Discretas 72 hrs.

2. Lgica y Conjuntos 42 hrs.

Informtica

11


Informtica

12


CAPTULO 1

METODOS DE CONTEO Y RECURSIN POR MEDIO DE GRFICAS

1

Al finalizar el captulo, el alumno elaborar algoritmos utilizando las tcnicas de programacin estructurada para la solucin de problemas.

Informtica

13


MAPA CURRICULAR DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE



Resultados de Aprendizaje 1.1. Desarrollar algoritmos mediante grficas, ordenamientos y rboles para la solucin de problemas. 10 hrs. 1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o y recursin a partir del clculo del nmero de elementos en un conjunto finito para el desarrollo de algoritmos en la solucin de problemas 10 hrs. 1.3. Realizar operaciones aritmticas a partir de los sistemas de numeracin con base 2, 3 y 16 para la solucin de problemas 10 hrs.




Informtica

14


SUMARIO Conceptos bsicos Representacin de grficas La ruta ms corta rboles Ordenamiento Principios bsicos de conteo Permutaciones y combinaciones Algoritmos Recursin Representacin de nmeros en otras bases Induccin matemticas

en forma precisa. 2. Univocidad. Los resultados intermedios correspondientes a cada paso de la ejecucin estn definidos unvocamente y slo dependen de los datos de entrada y de los resultados de los pasos anteriores. 3. Finitud. El algoritmo termina despus de la ejecucin de una cantidad finita de instrucciones. 4. Datos de Entrada ( input ). El algoritmo recibe datos que ingresan. 5. Datos de Salida ( output ). El algoritmo recibe datos que egresan. 6. Generalidad. El algoritmo se aplica a un conjunto de datos de entrada. Vrtice.-Punto en que concurren dos lados de un ngulo. Arista.- Lnea resultante de la interseccin de dos superficies. Grfica.-Representacin de datos numricos por medio de lneas que hacen visible la gradacin o relacin de estos datos. DE rbol.- Es un grafo simple en el cual existe un nico camino entre cada par de vrtices, constituyen una de las subclases ms tiles de lo grafos y en su trazo se asemeja a un rbol con su ramificacin hacia abajo. Lazo.- Es un arco que se forma al regresar el sentido al mismo punto. Camino.- Un camino de longitud n de v a w es una sucesin de lados que va de v a w y15

RESULTADO DE APRENDIZAJE1.1. Desarrollar algoritmos mediante grficas, ordenamientos y rboles para la solucin de problemas.

1.1.1. CONCEPTOS BSICOSEXPLICARA EL ALGORITMOS. DESARROLLO

Un algoritmo es un conjunto limitado ( o finito ) de instrucciones que tienes las siguientes caractersticas: 1. Precisin. Las instrucciones se enuncian

Informtica


la cual tiene n lados distintos entre s. Circuito.- Es un camino de v a v y es de la forma ( Vo, V1, V2,...,Vn) Grfico Conexo.- Se dice que un grafo G es conexo si para cualquier par de vrtices u y w, distintos entre s, existe un camino de v a w. MATRIZ DE ADYACENCIA Si se desea analizar un grafo utilizando una computadora, se necesita una representacin ms formal. Un primer mtodo de representacin de un grafo lo constituye la matriz de adyacencia. Para obtener la matriz de adyacencia de este grafo se selecciona un orden arbitrario para los vrtices, por ejemplo a, b, c, d, e. A continuacin, se le asigna a las filas y las columnas de una matriz el mismo orden dado a los vrtices. Un elemento de la matriz es 1 si los vrtices correspondientes a la fila ( o rengln ) y a la columna de dicho elemento estn unidos por un lado, y 0 en caso contrario. La matriz de adyacencia para este grafo est dad por:a b c d e a 0 1 0 0 1 b 1 0 1 0 1 c 0 1 1 0 1 d 0 0 0 0 1 e 1 1 1 1 0

MULTIPLICACIN DE MATRICES CUADRADAS. Para multiplicar la matriz A por la matriz B se requiere que el nmero de columnas de A sea igual al nmero de filas de B. A 1 = 4 3 6 2 1

B

1 = 4

2 7

-1 0

a b c d a c Resultado ax + by cx + dy Un rbol binario.- Es uno con raz en el cual cada vrtice tiene un hijo a la derecha o un hijo a la izquierda, o un hijo a la derecha y uno a la izquierda, o bien, ningn hijo.

1.1.2. REPRESENTACIN GRFICAS

DE

a

b c

c

e

Cuando utilizamos un mapa de carreteras, nos interesa ver cmo llegar de un pueblo a otro por medio de las carreteras que se indican en el mapa. En consecuencia, tratamos con dos clases distintas de objetos para definir una relacin. Si V denota el conjunto de pueblos y A el conjunto de carreteras , podemos definir una relacin R sobre V

Informtica

16


como a R si podemos viajar de a a b son de doble sentido, entonces tambin tenemos b R a. Si todas las carreteras son de doble sentido, tenemos una relacin simtrica. Una forma de representar cualquier relacin es enumerar los pares ordenados que son sus elementos. Aqu sin embargo es ms conveniente usar un diagrama como sigue:

Sea V un conjunto finito no vaco , y sea E V X V. El par ( V, E ) es un grafo dirigido ( sobre V) , o digrafo ( sobre V ) , donde V es el conjunto de vrtices, o nodos y E es su conjunto de aristas. Escribimos G = (V, E) para denotar tal digrafo. La figura anterior proporciona un ejemplo de un grafo dirigido sobre V = {a,b,c,d,e) con E= { (a,a), (a,b), (a,d), (b,c )}. La direccin de una arista se indica al colocar una flecha dirigida sobre ella, como se ve. Para cualquier arista, como (b,c) decimos que la arista es incidente con los vrtices b,c; b es adyacente hacia c, mientras que c es adyacente desde b. Adems, el vrtice b es el origen , o fuente, de la arista ( b , c) y el vrtice c es el trmino, o vrtice terminal . La arista ( a, a) es un ejemplo de un lazo y el vrtice e que no tiene aristas incidentes es un vrtice aislado.

de una grfica regresando al punto de partidanos interesa nicamente encontrar la ruta mas corta de un vertice a otra grfica. Consideraremos un sistema de carreteras e intersecciones. Una persona desea viajar desde su automovil desde una interseccin A del sistema hacia otra interseccin B. En general hay muchas rutas disponibles de A a B. El problema consiste en determinar una ruta para la cual la distancia recorrida sea la menor posible, es decir la ruta ms corta. Suena similar? en trminos puramente matemticos, recurriendo al lenguaje de teora de grficas, el problema de la ruta ms corta consiste en determinar una trayectoria de menor peso total que une a cualquiera dos vrtices de una grfica ponderada conexa. As planteando el problema, y de acuerdo con la experiencia que hemos adquirido, ya te podrs haber imaginado la cantidad de situaciones prcticas que este problema matemtico representa. Si recordamos que le peso de las aristas pueden representar distintas variables (distancia, tiempo, costo, etc.) y que los vrtices pueden representar distintos objetos (ciudades, intersecciones de calles, etc.), el problema de la ruta ms corta estar involucrado en cualquier problema prctico de la vida real en el que el objetivo sea encontrar la manera ms eficiente de interconectar a cualesquiera dos de estos objetos. Una posible manera de resolverlo es recurrir a la fuerza bruta como ya hemos hecho antes, enlistando de una manera sistemtica todas las posibles rutas (trayectorias) entre los dos vrtices en cuestin, calculando el peso total de cada una de ellas, y seleccionando la de menor peso total. Como ya sabemos este no es un procedimiento eficiente cuando la grfica involucrada tiene mu-

1.1.3. LA RUTA MS CORTACuando se quiere visitar todos los vertices

Informtica

17


chos vrtices, y el trabajo se vuelve inmanejable incluso para una supercomputadora. Lo que necesitamos es un algritmo eficiente para determinar la ruta ms corta en el que el trabajo necesario no crezca muy rpidamente cuando el tamao de la grfica crece. Afortunadamente en el problema de la ruta ms corta nos encontramos nuevamente ante una de esas situaciones excepcionales en donde todo funciona muy bien y en donde, como en el problema de los rboles generadores mnimos, contamos con un algoritmo simple, ptimo y eficiente. El algoritmo que se usa para encontrar una trayectoria ptima se atribuye a E. W. Dijistra, nacido en los pases bajos en 1930, y considerado como uno de los tericosoriginales de las ciencia de la computacin moderna El algoritmo de dijistra, llamado as en su honor, permite encontrar la trayectoria ms corta de un vrtice de una grfica hacia cada uno de los otros vrtices de la grfica.

Es l numero de subrboles de ese nodo. - Camino de un nodo Es el conjunto de aristas a travs de las cuales se pasa desde el nodo raz a ese nodo. Todo rbol est compuesto por una jerarqua de elementos llamados nodos. El nivel superior de la jerarqua tiene un slo nodo, al que se llama raz. Excepto la raz, todo nodo est vinculado a otro nodo de nivel superior que llamaremos antecesor o padre. Ningn elemento puede tener ms de un antecesor. En cambio, todo elemento puede tener uno o ms elementos relacionados con l, en un nivel inferior, a los que llamaremos descendientes o hijos. Los elementos que no tienen descendientes se llaman hojas y las lneas que unen unos nodos con otros ramas. Se dice que un rbol es N-ario cuando el nmero mximo de descendientes de cada uno de los nodos es N. Todo rbol N-ario puede convertirse en un rbol binario equivalente y, frecuentemente, es sta la forma de representar un rbol en la memoria central del computador, por ser ms simples los procesamientos relacionados con ellos. - rboles binarios Un rbol binario es una estructura que puede estar formada por: Ningn elemento (rbol vaco). Una raz y un nmero finito de nodos. Cada uno de ellos estar constituido por dos subrboles distintos (ocasionalmente vacos) llamados subrbol izquierdo y subrbol derecho del rbol binario. La altura y profundidad de un rbol binario

1.1.4. RBOLESEs una estructura no lineal en la que cada elemento esta relacionado con dos o ms elementos. Un rbol consta de un conjunto de nodos en las que adems de la propia informacin contiene direccin de otros nodos de menor importancia o jerarqua y cumple las siguientes condiciones: a) Existe un nodo raz b) El resto de los nodos se distribuye en un nmero n de subconjuntos distintos. c) Cada uno de estos subconjuntos es un subrbol de nodo raz.

- Grado de un nodo

Informtica

18


es el nmero de nodos que constituye el camino ms largo desde la raz hasta un hoja. Un rbol vaco tiene una profundidad nula. Decimos que un rbol binario est equilibrado si la diferencia entre las alturas de los dos subrboles de cada uno de los nodos del rbol es como mximo igual a la unidad, es decir, si para todo nodo del rbol se cumple:Valor abs (altura (subrbol-izq) - altura (subrbol-der) =1

T1, T2, T3,...,Tk los subrboles de T, de izquierda a derecha a) El recorrido en orden previo de T visita primero r y despes recorre los vrtices de T1 en orden previo, despus los vrtices de T2 en orden previo y as sucesivamente, hasta recorrer los vrtices de Tk en orden previo. b) El recorrido en orden posterior de T recorre en orden posterior los vrtices de los subrboles T1, T2, T3,...,Tk para despus llegar a la raz.

Operaciones Las operaciones usuales sobre un rbol binario son: - Recorrido del arbol. - Insercin de elementos. - Eliminacin de elementos. Existen tres modos estndar de recorrer un rbol binario de raz R. Estos tres algoritmos, denominados preorden, orden central y postorden, son los siguientes:los procesamientos relacionados con ellos. Existen tres modos estndar de recorrer un rbol binario de raz R. Estos tres algoritmos, denominados preorden, orden central y postorden, son los siguientes: Preorden: R - A - B. Orden central: A - R - B. Postorden: A - B - R. Ejemplo:Sea T = ( V, E ) un rbol con raz r. Si T no tiene otros vrtices, entonces la misma raz es el recorrido en orden previo y orden posterior de T. Si |V| > 1 , sean

1.1.5. ORDENAMIENTOSSean L1 y L2 dos listas ordenadas con nmeros ascedentes, donde Li contiene ni elementos, i=1,2 . Entonces L1 y L2 pueden intercalarse en una lista ascedente L con un mximo de n1+n2 1 comparaciones. Para intercalar las listas L1 , L2 en la lista L, utilizamos el siguiente algoritmo. PASO 1 : Hacemos L igual a la lista vaca PASO 2: Comparamos los primeros elementos de L1 , L2 . Eliminamos el menor de ellos de su lista correspondiente y lo colocamos al final de L. PASO 3: Para las listas actuales L1 , L2 ( cada vez que se ejecuta el paso 2 se modifica una de estas listas), hay dos casos. a) Si alguna de las listas L1 , L2 es vaca, entonces la otra se concatena al final de L, lo que completa la insercin. b) 2. En caso contrario, regresamos al paso

Cada comparacin de un nmero de L1 con

Informtica

19


uno L2 hace que un elemento se coloque al final de la lista L, por lo que no hay ms de n1+n2 comparaciones. Cuando una de las listas L1 , L2 es vaca, no necesitamos ms comparaciones, por lo que el nmero mximo de comparaciones necesarias es n1+n2 1. Trabajo en equipo Revisa en grupo los conceptos de vrtice, arista, grfica dirigida, lazo, camino, circuito, grfica conexa, rbol y subgrfica. Resuelve por equipos los problemas de los puentes y agente viajero de Koenigsberg. Representa en forma grupal una grfica dada por su matriz de adyacencia. Realizacin del ejercicio Realiza multiplicaciones de matrices cuadradas. Localiza la potencia de matrices de adyacencia de grficas. Redaccin de trabajo Define en grupo las grficas ponderadas y revisa el algoritmo de Dijkstra para la ruta ms corta y el algoritmo deInformtica

burbujeo para el ordenamiento de un arreglo de datos. Realizacin del ejercicio Soluciona los problemas. Recopila y define rbol libre, rbol con raz, rbol binario y rbol generador de una grfica.

RESULTADO DE APRENDIZAJE1.2. Operar tcnicas de conteo y recursin a partir del clculo del nmero de elementos en un conjunto finito para el desarrollo de algoritmos en la solucin de problemas.

1.2.1. PRINCIPIOS BSICOS DE CONTEOCONTEO Si una actividad puede realizarse en t pasos y el paso 1 se puede hacer en n1 formas, el paso 2 puede hacerse en n2 formas,..., y el paso t, en nt formas, entonces el nmero de actividades posibles en n1* n2 ........ nt Ejemplo Cuntos arreglos o cadenas de longitud 2 se pueden formar usando las letras ABC, si se permite repetir letras? Se tienen tres posibilidades para la eleccin de la primera letra y tres posibilidades para

20


la segunda. Se desprende que hay 3 * 3 = 9 arreglos posibles, ejemplo:Cuntos arreglos de ocho bits comienzan con 101 o bien 111? Una cadena de ocho bits que comience en 101 se puede construir en cinco pasos sucesivos: seleccionar el cuarto bit, seleccionar el quinto bit,..., seleccionar el octavo bit. Ya que hay dos maneras diferentes de seleccionar cada bit, por el Primer Principio del conteo, hay 2* 2 * 2 * 2 * 2 = 25 = 256

P(n,r) = n! / ( n-r )! Ejemplo:De cuntas maneras se puede seleccionar un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero de un grupo de 10 personas? Como una ordenacin consta de un presidente (primera eleccin), un vicepresidente (segunda eleccin), un secretario (tercera eleccin), y un tesorero (cuarta eleccin); es necesario contar el nmero de ordenaciones de cuatro personas seleccionadas de un grupo de 10. La solucin es: P(10,4) = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040 El nmero de combinaciones r de un conjunto de n objetos distintos es C(n,r) = n! / (n-r)!* r!

1.2.2. PERMUTACIONES COMBINACIONESPERMUTACIN.

YEjemplo:De cuantas maneras se puede seleccionar de un grupo de cinco hombres y seis mujeres, un comit de dos hombres y tres mujeres? Se descubre que es posible seleccionar los dos hombres de C(5, 2) = 10 Maneras y las tres mujeres de C(6, 3 ) = 20 Maneras. El comit puede formarse en dos pasos sucesivos: elegir a los hombres y despus a las mujeres. Por el Primer Principio del Conteo, el nmero total de comits es:

Una permutacin de objetos implica orden mientras que una combinacin no toma en cuenta el orden de los objetos considerados. 1) Una permutacin r de X, donde r = 2 i-1< para i= 1,2,...,n, Entonces, en particular, para i = n se tiene que:

= ( X )8

Informtica

27


n! >= 2n-1 Es posible relacionar las ecuaciones anteriores observando que: (n+1) ! = (n+1) (n!) Ahora bien : (n+1) ! = (n+1) (n!) >= (n+1) 2 n-1 >= 2 * 2n-1 >= 2n

Realiza un resumen sobre el tema. Investigacin documental Demuestra por equipos las propiedades de los enteros utilizando el principio de induccin matemtica.

Consecuentemente es verdadera . Se ha terminado as el Paso inductivo. Puesto que se han verificado el Paso Bsico y el Paso Inductivo, el principio de Induccin matemtica establece que es verdadera para todo entero positivo n.

Trabajo en equipo Representa en grupo nmeros reales en base 2, 3 y 16. Realiza en grupo las cuatro operaciones elementales en otras bases. Revisa en grupo el principio de induccin matemtica. Realizacin del ejercicio Realiza ejercicios.

Informtica

28


PRCTICAS DE EJERCICIO Y LISTAS DE COTEJOPortafolios de evidencias

Desarrollo de la Prctica Unidad de Aprendizaje: 1 Prctica Nm.: 1 Nombre de la Prctica: Algoritmo del mtodo de burbuja. Propsito: Al finalizar la prctica, el alumno realizar la prueba de escritorio para el algoritmo de la burbuja para conocer el procedimiento de ordenacin Escenario: Aula Materiales Hojas Lpiz Goma Duracin: 4 hrs. Maquinaria y equipo Herramienta

Informtica

29


Procedimiento 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Escribir un algoritmo guardando la sangra debida entre cada instruccin. Escribir Inicio Escribir i se le asigna 1 Escribir repetir Escribir NoIntercambio se le asigna trufe Escribir desde j se le asigna hasta n-i hacer Escribir s A[j] > A[j+1] Escribir entonces Intercambio (A[j], A[j+1]) Escribir NoIntercambio se le asigna false Escribir fin-si Escribir fin-desde Escribir i se le asigna y+1 Escribir hasta-que NoIntercambio = Trufe Escribir Fin Realizar una prueba de escritorio a este algoritmo.

Informtica

30


Lista de cotejo de la prctica nmero: 1 Algoritmo del mtodo de burbuja. Fecha: Nombre del alumno: Instrucciones: A continuacin se presentan los criterios que van a ser verificados en el desempeo del alumno mediante la observacin del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeo. Desarrollo 1. Escribi un algoritmo guardando la sangra debida entre cada instruccin. 2. Escribi Inicio 3. Escribi i se le asigna 1 4. Escribi repetir 5. Escribi NoIntercambio se le asigna trufe 6. Escribi desde j se le asigna hasta n-i hacer 7. Escribi s A[j] > A[j+1] 8. Escribi entonces Intercambio (A[j], A[j+1]) 9. Escribi NoIntercambio se le asigna false 10. Escribi fin-si 11. Escribi fin-desde 12. Escribi i se le asigna y+1 13. Escribi hasta-que NoIntercambio = Trufe 14. Realizar una prueba de escritorio a este algoritmo. 15. Escribi Fin S No No aplica

Informtica

31


Observaciones: Docente: Hora de inicio: Hora de trmino: Evaluacin:

Informtica

32


RESUMEN

Un algoritmo es una lista de instrucciones precisas diseadas para resolver un tipo de problema particular, no solamente un caso especial. En general, esperamos que todos nuestros algoritmos reciban una entrada y nos proporcionen el resultado necesario como salida. De igual modo, un algoritmo debe proporcionar el mismo resultado si repetimos el valor para la entrada. Esto sucede cuando la lista de instrucciones es tal que cada resultado intermedio proveniente de la ejecucin de cada instruccin es nico y slo depende de la entrada (inicial) y de cualquier resultado que se pudiera haber obtenido en cualquier de las instrucciones precedentes.

Este captulo describe un conjunto de mtodos distintos para un mismo objetivo. El anlisis matemtico de algunos de estos algoritmos muestra sus ventajas e inconvenientes y hace consciente al estudiante de la importancia del anlisis en la eleccin de buenas soluciones para un problema dado. La divisin en mtodos para realizar la ordenacin interna y externa pone de relieve la influencia crucial de la representacin de los datos en la seleccin de algoritmos aplicables y en su complejidad. El espacio asignado a los algoritmos de ordenacin no sera tan amplio en este manual si no fuera por que este tipo de algoritmos constituye un vehculo idneo para ilustrar muchos principios de programacin.

Informtica

33


AUTOEVALUACIN DE CONOCIMIENTOSPortafolios de evidencias

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Qu es el lgebra Booleana? Cules son las operaciones bsicas del lgebra boolena? Qu es un algoritmo? Qu es una funcin? Qu es una combinacin? Qu es una permutacin? Cul es el procedimiento para realizar circuitos combinatorios? Qu es una tabla de verdad? Qu la induccin matemtica?

10. Qu procedimiento se sigue para hacer una induccin matemtica?

Informtica

34


CAPTULO 2

LGICA Y CONJUNTOS

2

Al finalizar el captulo, el alumno realizar operaciones aplicando algebra de conjuntos para la solucin de problemas.

Informtica

35


MAPA CURRICULAR DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE



Resultados de Aprendizaje 1.1. Desarrollar algoritmos mediante grficas, ordenamientos y rboles para la solucin de problemas. 10 hrs. 1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o y recursin a partir del clculo del nmero de elementos en un conjunto finito para el desarrollo de algoritmos en la solucin de problemas 10 hrs. 1.3. Realizar operaciones aritmticas a partir de los sistemas de numeracin con base 2, 3 y 16 para la solucin de problemas 10 hrs.




Informtica

36


SUMARIO Conjunto finito Operaciones con conjuntos Relaciones Funciones Proposiciones Proposiciones condicionales y equivalencia lgica Cuantificadores Circuitos combinatorios lgebra booleana Funciones booleanas

to de todos los x tales que... Las propiedades que van despus de | nos ayudan a determinar los elementos del conjunto descrito. Tenga cuidado La notacin { x | 1

matematicas discretas(2)

Documents