Carrera: Ingeniera en Sistemas Computacionales.

MATEMTICA S Haga clic para modificar el estilo de subttulo del patrn DISCRETASProfesor: Ing. Victor Ramirez Minjares. Unidad 2. Principios de conteo 28 Febrero

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Objetivos y propsitos: Matemticas DiscretasObjetivo general de la asignatura.

El alumno conocer los conceptos, herramientas y tcnicas de las matemticas discretas para su uso y aplicacin en la solucin de problemas de cmputo.

Propsito de la asignatura en la computacin.

Las matemticas discretas son de gran utilidad para describir objetos y problemas reales, en modelos abstractos aptos para ser resueltos en las ciencias de la computacin.6/7/12 UNIDEP "MATEMTICAS

Contenido temtico: Matemticas DiscretasContenido temtico. 1. Lgica 1.1 Proposiciones 1.2 Operaciones lgicas 1.3 Cuantificadores 1.4 Demostraciones 1.5 Principio de induccin matemtica 2. Principios de conteo 2.1 Principios de suma y producto 2.2 Combinaciones 2.3 Permutaciones 2.4 Coeficientes binomiales 3. Relaciones de recurrencia 3.1 Funciones generadoras 3.2 Solucin 6/7/12 a relaciones de recurrencia UNIDEP "MATEMTICAS

UNIDEP "MATEMTIC AS DISCRETAS" ING. VICTOR RAMIREZ MINJARES.

Criterios de evaluacin:EXAMEN ORDINARIO 50 %

ACTIVIDADES EXTRACLASE EVIDENCIAS) 30 % - Trabajos de investigacin.

(PORTAFOLIO

DE

- Reportes de lectura y de material audiovisual. - Ejercicios y problemas.

ACTIVIDADES EN CLASE 10 %. - Trabajos de investigacin. - Reportes de lectura y de material audiovisual.6/7/12 UNIDEP - Ejercicios y problemas. "MATEMTICAS

2. Principios de conteo

2.1 Principios de suma y producto

Conteo.

El problema de conteo es tan antiguo como el inicio del conocimiento humano. Los nmeros se inventaron para contar. Sin embargo, el problema moderno de conteo va ms all de la escritura y utiliza el conocimiento de la teora de conjuntos como base para contar elementos de un conjunto de posibilidades que no se pueden enumerar por la cardinalidad tan grande.

Principios bsicos.

Para precisar los conceptos a los que se van a hacer referencia primero se va a distinguir un fenmeno determinstico de uno probabilstico.

a)

Un fenmeno determinstico es aquel del que siempre se esta seguro de cual va a ser el resultado. Por ejemplo, si se suelta un objeto a cierta distancia del piso se esta seguro que ste va a estar sujeto a la fuerza de gravedad y va a llegar al piso.

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Ejemplos de fenmenos probabilsticos.

(Un fenmeno probabilstico o evento es un proceso fsico que tiene un nmero de posibles resultados)

De una coleccin de objetos tomar uno para colocarlo en una caja. Dado un nmero n de objetos colocar cierto nmero en m cajas. Asignar ocina a un cierto nmero de profesores. Llenar una boleta de carreras de caballos con un posible resultado para los dos primeros lugares.

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UNIDEP "MATEMTICAS DISCRETAS" ING. VICTOR RAMIREZ La combinatoria es una disciplina que se ocupa de estudiar tcnicas de conteo y enumeracin de conjuntos, MINJARES.Integracin de los principios de suma y producto. en especial cuando la cantidad de elementos que poseen es muy grande (de modo que una lista extensiva sera imposible o imprctica). Aplicada a la teora de probabilidades permite en muchos casos determinar la cantidad de elementos de un espacio muestra finito y la cantidad de elementos de algn evento de inters.

Presentamos dos reglas bsicas de la combinatoria:

Principio de suma.

Ejemplo. Supongamos que un evento A se puede realizar de "m" maneras y otro evento B se puede realizar de "n"maneras diferentes, adems, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A B ), entonces el evento UnA o el evento de automvil se venden en 6 tiendas en Los Cabos o en 8 tiendas de repuesto B se realizarn de (m + n) maneras.

Ensenada. De cuntas formas se puede adquirir el repuesto? Solucin: Por el principio de suma: Los Cabos Ensenada. 6 formas + 8 formas = 14 formas

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Ejemplo: Para viajar de Buenos Aires a San Pablo se puede optar por tres compaas areas o por cinco empresas de autobs. Cuantas maneras diferentes existen para contratar el viaje? Solucin. 3 compaas areas o 5 empresas de autobs. 3 +5 = 8 maneras distintas.

Ejemplo: Se desea cruzar un ro, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. De cuantas formas se puede cruzar el ro utilizando los medios de transporte sealados? Solucin: 3 botes o 2 lanchas o 1 deslizador. 3 + 2 + 1 = 6 maneras de cruzar el ro.

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Principio de multiplicacin/producto.

Si un evento o suceso "A" puede ocurrir , en forma independiente, de "m" maneras diferentes y otro suceso de "n" maneras diferentes, entonces el nmero de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es "m . n"

Ejemplo. En la etapa final de ftbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B) ,ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campen y subcampen). De cuntas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares? EXPLICACIN: El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro equipos. El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros tres equipos que restan Por el principio de multiplicacin, se observa que el evento del primer lugar se presenta de 4 maneras y el del segundo lugar de 3 maneras distintas, entonces el nmero de maneras totales ser : 4 x 3 = 12

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Ejemplo.

Una moneda de $ 10, una de $ 50, una de $ 100 y una de $ 500, se lanzan al aire y se observan los sellos y caras que aparecen. Cuntos resultados experimento?Primer razonamiento:

posibles

tiene

este

Cada moneda introduce 2 posibilidades, y por el principio multiplicativo, tendremos entonces: 2 x 2 x 2 x 2 = 2 elevado a la cuarta = 16.

Segundo razonamiento:

Ver el Diagrama de rbol, donde queda explcitamente que las posibilidades de"MATEMTICAS 6/7/12 UNIDEP este Espacio Muestral son 16:

Diagrama de rbol.

Un diagrama de rbol es una representacin grfica que ilustra las formas en las que se llevan a cabo las agrupaciones de elementos.

Veamos este ejemplo, si llamamos a las diferentes camisetas y a los distintos pantalones, obtendramos el diagrama de rbol que se muestra a continuacin.

Si contamos los resultados, comprobamos que obtenemos los 20 que indicaba el principio de la multiplicacin.

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Ejemplo. Una persona desea construir su casa, para lo cul considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lmina galvanizada y por ltimo los acabados los puede realizar de una sola manera cuntas maneras tiene esta persona de construir su casa? N1= maneras de hacer cimientos = 2 N2= maneras de construir paredes = 3 N3= maneras de hacer techos = 2 N4= maneras de hacer acabados = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa. Ejemplo. Ana y Mara vieron a dos hombres alejarse en automvil frente a una joyera, justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la polica, las dos jvenes dieron la siguiente informacin acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dgitos). Mara estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el ltimo dgito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa era una C o una G y que el primer dgito era definitivamente un 7. Cuntas placas diferentes tendr que verificar la polica? C/G Q/O 7 0a9 ----- ----- ----- ----- ----| | | | | 6/7/12 x 10 x 2 x 2 x 1 0a9 83 ----| UNIDEP "MATEMTICAS 10 x 2 = 800 placas diferentes.

Es claro que hay problemas que requieren del uso de una mezcla de los principios de suma y producto. En esta seccin se van a resolver ejemplos con esta mezcla de principios de suma y producto.

Ejemplo. Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las prximas vacaciones de verano, para salir del pas, como por ejemplo, ir de Chihuahua al Paso Texas tiene 3 medios de transporte. Si desea ir del Paso Texas a las Vegas tendra 2 medios de transporte y si fuera del Paso Texas a Disneylandia tendra cuatro medios diferentes de transporte.a)

Cuntas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?,

Solucin: V = maneras de ir a las Vegas. D = maneras de ir a Disneylandia)

Principio de multiplicacin.

V = 3 x 2 = 6 maneras D = 3 x 4 = 12 maneras)

Principio de adicin.

V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia

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b) Cuntas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?

Solucin.

V = maneras de ir y regresar a las Vegas. D = maneras de ir y regresar a Disneylandia.

Principio de multiplicacin.

V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras

Principio de adicin.

V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir"MATEMTICAS 6/7/12 UNIDEP a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo.

Ejemplo.

Se quiere acomodar doce libros en una repisa. Hay ocho libros de Historia y cuatro libros de Literatura. Calcular de cuntas maneras diferentes se pueden acomodar los libros si los libros de cada materia deben estar juntos.

Solucin.

Principio de multiplicacin.

Libros de historia 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320 Libros de literatura 4x3x2x1 = 24 T

Principio de suma.

Total de formas de acomodarlos 40320 + 24 = 40344

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Actividad en clase.

a) Una biblioteca tiene una coleccin especial de 41 libros de historia , 53 de filosofa, 217 de novelas y 250 de matemticas. Los libros de historia, filosofa y novelas son de autores diferentes y los libros de matemticas son de mismo autor. Utilizando el principio de suma determina la cantidad de autores diferentes existentes en esa coleccin especial de libros.

b) Se tienen tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. Determina la cantidad de lugares disponibles para ir a almorzar.

c) Un estudiante que est terminando su bachillerato, debe decidir si estudia en el Tecnolgico o en la Universidad. Si decide estudiar en el Tecnolgico, tendr que decidir si estudia Ing. en Sistemas Computacionales, Ing. Mecnica o Ing. Electrnica. Si decide estudiar en la Universidad, tendr que decidir si estudia Ing. Civil, Ing. Mecatrnica, Ing. Qumica o Licenciado en Fsica. Cuntas opciones tiene para elegir su carrera profesional considerando que no puede estudiar 2 carreras al mismo tiempo? Aplique el principio de suma. 6/7/12 UNIDEP "MATEMTICAS

e) Una persona desea construir su casa, para lo cul considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lmina galvanizada y por ltimo los acabados los puede realizar de una sola manera cuntas maneras tiene esta persona de construir su casa?

f) Cuntas placas para automvil pueden ser diseadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro nmeros, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y nmeros, b. No es posible repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.

Nota: Considerando 26 letras del abecedario y los dgitos del 0 al 9. 6/7/12 UNIDEP "MATEMTICAS

g) Cuntos nmeros telefnicos es posible disear, los que deben constar de seis dgitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los nmeros y es posible repetir dgitos, b. El cero no debe ir en la primera posicin y no es posible repetir dgitos, c. Cuntos de los nmeros telefnicos del inciso b empiezan por el nmero siete?, d. Cuntos de los nmeros telefnicos del inciso b forman un nmero impar?.

Solucin:

a.

9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 nmeros telefnicos

b.

9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 nmeros telefnicos

c.

1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 nmeros telefnicos

6/7/12 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 nmeros telefnicos UNIDEP "MATEMTICAS d. 8

Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cul ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solucin:

M = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca 6/7/12 UNIDEP "MATEMTICAS General Electric

Tres pueblos, designados como A, B y C, estn intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido.

De cuntas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?

2 + 4.3 = 14 (reglas de la suma y del producto)

Cuntos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A?

6/7/12 UNIDEP 14.14 = 196 (regla del producto)

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2.2 Combinaciones. 2.3 Permutaciones.

Qu diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinacin" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinacin de manzanas, uvas y bananas": no importa en qu orden pusimos las frutas, podra ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinacin de la cerradura es 472": ahora s importa el orden. "724" no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

As que en matemticas usamos un lenguaje ms preciso:

Si el orden no importa, es una combinacin.

6/7/12 UNIDEP Si el orden s importa es una permutacin.

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As que lo de arriba se podra llamar "cerradura de permutacin"! Con otras palabras:

Una permutacin es una combinacin ordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutacin... Posicin.

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Combinacin.

Una combinacin, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el mismos dentro del arreglo. En una combinacin nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos (Cuntos grupos se pueden formar y con qu elementos se forman?). Existen combinaciones sin repeticin y con repeticin, (recuerda que ahora el orden no importa): Bsicamente una combinacin es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) constituyen dicho arreglo. Sin repeticin: como nmeros de lotera (2,14,15,27,30,33)

UNIDEP "MATEMTICAS DISCRETAS" ING. VICTOR RAMIREZ lugar o posicin que ocupan los MINJARES.

n = nmero de elementos que se desean combinar. r = tamao o cardinalidad de las combinaciones posibles.

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UNIDEP "MATEMTICAS DISCRETAS" ING. VICTOR RAMIREZ MINJARES.n = nmero de elementos que se desean combinar. r = tamao o cardinalidad de las combinaciones posibles considerando elementos repetidos en una seleccin. Ejemplo. Si tengo 5 letras {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos tomando 3 de ellos, pudindose repetir los elementos en un mismo grupo, como por ejemplo:

Combinaciones con repeticin: aaa aab aac aad aae bbb bba bbc bbd bbe ccc cca ccb ccd ccce ddd dda ddb ddc dde eee eea eeb eec eeed abc abd abe bdc bde 6/7/12 cad cbe dae dce UNIDEP "MATEMTICAS cae

Actividad en clase.

Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices?

Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vrtices.

No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Se sabe que un pentgono tiene 5 vrtices, uniendo 2 vrtices se forman lneas rectas y uniendo 3 vrtices se forman tringulos.

En una pastelera hay 6 tipos distintos de pasteles. De cuntas formas se pueden elegir 4 pasteles?.

Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces. Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repeticin.

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Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

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1. Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9? Las cifras se pueden repetir. La cifra de las centenas no puede ser cero. Variaciones con repeticin. Solucin: se forman 900 nmeros diferentes.

2. Un entrenador de ftbol dispone en la6/7/12 UNIDEP "MATEMTICAS

Permutacin. Bsicamente una permutacin es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Permutacin sin repeticin: Por ejemplo, cmo podras ordenar 16 bolas de billar? Despus de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

En una permutacin sin repeticinn es el nmero de cosas que puedes elegir, y eligesrde ellas (No se puede repetir, el orden importa)

As6/7/12tu primera eleccin tiene 16 posibilidades, y tu que UNIDEP "MATEMTICAS siguiente eleccin tiene 15 posibilidades, despus 14, 13, etc.

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Permutacin con repeticin:

Sea A un conjunto de n elementos tales que haykgrupos con nielementos Permutacin con repeticin. idnticos.

Llamaremos permutaciones con repeticin de esos n elementos a las posibles n1, n2, , agrupaciones que podamos hacer, teniendo en cuenta que dos elementos de un nk mismo grupo son indistinguibles. n El nmero de permutaciones con repeticin viene dado por:

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En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras.

De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

Al tener tres bolas blancas, a efectos de ordenacin se consideran iguales, lo mismo ocurre con las rojas y las negras.Las posibles ordenaciones son:

En una competicin deportiva participan 4 equipos de 3 atletas cada uno. De cuntas formas diferentes pueden llegar los equipos? A la hora de elaborar la clasificacin por equipos los atletas se consideran idnticos.

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ACTIVIDADES EN CLASE.

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar?

En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nueve banderas?

Se tiene una serie navidea con focos de colores, de los cuales 4 son amarillos, 3 rojos y uno azul, De cuantas formas pueden acomodarse los focos?

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ACTIVIDAD EXTRACLASE (INTEGRAR AL PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS)

Investigar los siguientes conceptos:

Qu es un grafo y los tipos de grafos que existen? Indicar con ejemplos (maneras de representar un grafo). Grafo simple. Grafos planos. Grafos conexos. Grafos regulares. Caminos. Grafos eulerianos. rboles. rboles dirigidos. Ciclos de Euler y Hamilton. Ruta mas corta de Dijkstra

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Coeficientes binomiales.

Los coeficientes binomiales, nmeros combinatorios o estudiados en combinatoria que corresponden al nmero de formas en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposicin, se pueden usar otras definiciones equivalentes.

UNIDEP "MATEMTICAS DISCRETAS" ING. VICTOR RAMIREZ MINJARES. combinaciones son nmeros

El coeficiente binomial calcula la cantidad de combinaciones tomados en grupos de m smbolos.

posibles de n smbolos

El nmero de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto de n, puede denotarse de varias formas: nota 2 , , , o . As, en el ejemplo anterior se tiene entonces que C(6,2)=15, puesto que hay 15 formas de escoger 2 objetos a partir de un conjunto con 6 elementos.

Los nmeros C(n,k) se conocen como coeficientes binomiales, pero es frecuente referirse a ellos como combinaciones de n en k, o simplemente n en k. Por tanto, la primera definicin es:

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Finalmente, existe una tercera forma de definir los coeficientes binomiales, la cual da origen a DISCRETAS" ING. su nombre. Sin embargo, esta definicin obscurece el significado combinatorio de los VICTOR nmeros, pues la equivalencia con las definiciones anteriores no es evidente. RAMIREZ

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MINJARES.

Veamos el siguiente ejemplo:

Por un lado, se sabe que (x+y) =x+3xy+3xy+y, por lo que el coeficiente binomial dexyes 3. C (3,2) = 3. Por otro lado, al desarrollar los factores, aparecer un trminoxy cada vez que se elija dos colores parax(dejando el color restante paray).

Podemos pensar que los factores de (x+y)=(x+y)(x+y)(x+y) estn coloreados de azul, rojo y verde respectivamente.

El nmero de formas de escoger 2 colores entre 3 posibles opciones es precisamente C(3,2) = 3, como se estableci con anterioridad. ms tcnicos, suele es que el En contextos La conclusin usarse una forma diferente de expresar el teorema coeficiente mediante el uso de sumatorios: de Newton dexyes necesariamente C(3,2).

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UNIDEP "MATEMTICAS DISCRETAS" ING. VICTOR RAMIREZ Los coeficientes binomiales son la base misma de la combinatoria. Veamos porque. Tomemos MINJARES. de nuevo un binomio, por ejemplo (a + b ) 3 y desarrollmoslo para encontrar los coeficientes

Interpretacin combinatoria.

binomiales de sus trminos.

Nota: exactamenteLuego quitemos las parntesis, pero sin cambiar el orden en los productos.

Hay

maneras de escoger un conjunto de p elementos entre n Y agrupemos los trminos que contienen el mismo nmero de a, (y de b): elementos.

El primerparntesis contiene todas las palabras constituidas de unby dosa. En este caso, es fcil ver que hay exactamente tres. En el caso general, para contar las palabras, hay que aplicar la conmutatividad, pues las palabras que contienen el mismo nmero de a y b darn el mismo trmino:

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Existen

subconjuntos de cardinal p en un conjunto de cardinal n.

Este punto de vista permite hallar la frmula para los coeficientes binomiales. En efecto, para elegir el primer elemento, hay n posibilidades, luego para escoger el segundo quedan n-1 posibilidades y as sucesivamente hasta el elemento nmero p, que tiene n-p+1. El orden en el que se ha elegido estos p elementos no importa, se poda haber obtenido el mismo subconjunto de p elementos en otro orden. Hay p! permutaciones posibles de estos p elementos, es decir p! maneras de obtener el mismo conjunto. Por lo tanto hay

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ACTIVIDAD EN CLASE ENCONTRAR LOS COEFICIENTES BINOMIALES DE:

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