matemáticas conceptos y guía 7º cartilla 1

COLOMBIAMINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL

COORDINACIÓN PEDAGÓGICA Y EDITORIAL

Mary Luz Isaza Ramos

ASESORÍA PEDAGÓGICA Y DIDÁCTICA

Edith Figueredo de Urrego Ciencias Naturales y Educación Ambiental:(Biología, Física, Química, Educación Ambiental)

Cecilia Casasbuenas Santamaría Matemáticas

ADAPTACIONES Y/O PRODUCCIONES NACIONALES MATERIAL IMPRESO

Edith Figueredo de UrregoAna María Cárdenas Navas Biología y Educación Ambiental

Cecilia Casasbuenas SantamaríaVirginia Cifuentes de Buriticá Matemáticas

Patricia Arbeláez Figueroa Educación en Tecnología

Eucaris Olaya Educación Ética y en Valores Humanos

Alejandro Castro Barón Español

Mariela Salgado ArangoAlba Irene Sáchica Historia Universal

Antonio Rivera SerranoJavier Ramos Reyes Geografía Universal

Edith Figueredo de UrregoAlexander Aristizábal FúqueneCésar Herreño FierroAugusto César CaballeroAdiela Garrido de Pinzón Física, Química y Ambiente

Betty Valencia MontoyaEnoc Valentín González PalacioLaureano Gómez Ávila Educación Física

Edith Figueredo de UrregoMary Luz Isaza Ramos Horizontes de Telesecundaria

Mary Luz Isaza RamosEdith Figueredo de Urrego Perspectivas del Camino Recorrido

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA - MÉXICOCOORDINACIÓN GENERAL PARA LAMODERNIZACIÓN DE LA EDUCACIÓN

UNIDAD DE TELESECUNDARIA

COORDINACIÓN Guillermo Kelley SalinasGENERAL Jorge Velasco Ocampo

ASESORES DE Pedro Olvera DuránTELESECUNDARIAPARA COLOMBIA

COLABORADORES

ESPAÑOL María de Jesús Barboza Morán, María CarolinaAguayo Roussell, Ana Alarcón Márquez, MaríaConcepción Leyva Castillo, Rosalía MendizábalIzquierdo, Pedro Olvera Durán, Isabel RenteríaGonzález, Teresita del Niño Jesús Ugalde García,Carlos Valdés Ortíz.

MATEMÁTICAS Miguel Aquino Zárate, Luis Bedolla Moreno, MartínEnciso Pérez, Arturo Eduardo Echeverría Pérez,Jossefina Fernández Araiza, Esperanza IssaGonzález, Héctor Ignacio Martínez Sánchez, AlmaRosa Pérez Vargas, Mauricio Rosales Avalos,Gabriela Vázquez Tirado, Laurentino VelázquezDurán.

HISTORIA UNIVERSAL Francisco García Mikel, Ivonne Boyer Gómez,Gisela Leticia Galicia, Víctor Hugo Gutiérrez Cruz,Sixto Adelfo Mendoza Cardoso, Alejandro RojasVázquez.

GEOGRAFÍA GENERAL Rosa María Moreschi Oviedo, Alicia LedezmaCarbajal, Ma. Esther Encizo Pérez, Mary FrancesRodríguez Van Gort, Hugo Vázquez Hernández,Laura Udaeta Collás, Joel Antonio Colunga Castro,Eduardo Domínguez Herrera, Alma Rosa MaríaGutiérrez Alcalá, Lilia López Vega, Víctor LópezSolano, Ma. Teresa Aranda Pérez.

BIOLOGÍA Evangelina Vázquez Herrera, César Minor Juárez,Leticia Estrada Ortuño, José Luis HernándezSarabia, Lilia Mata Hernández, Griselda MorenoArcuri, Sara Miriam Godrillo Villatoro, EmigdioJiménez López, Joel Loera Pérez, FernandoRodríguez Gallardo, Alicia Rojas Leal.

INTRODUCCIÓN A LA Ricardo León Cabrera, Ma. del Rosario CalderónFÍSICA Y QUÍMICA Ramírez, Ma. del Pilar Cuevas Vargas, Maricela

Rodríguez Aguilar, Joaquín Arturo MelgarejoGarcía, María Elena Gómez Caravantes, FélixMurillo Dávila, Rebeca Ofelia Pineda Sotelo, CésarMinor Juárez, José Luis Hernández Sarabia, AnaMaría Rojas Bribiesca, Virginia Rosas González.

EDUCACIÓN FÍSICA María Alejandra Navarro Garza, Pedro CabreraRico, Rosalinda Hernández Carmona, FernandoPeña Soto, Delfina Serrano García, María delRocío Zárate Castro, Arturo Antonio ZepedaSimancas.

PERSPECTIVAS DEL Rafael Menéndez Ramos, Carlos Valdés Ortíz,CAMINO RECORRIDO Carolina Aguayo Roussell, Ma. de Jesús Barbosa

Morán, Ana Alarcón Márquez.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA - MÉXICOCOORDINACIÓN GENERAL PARA LAMODERNIZACIÓN DE LA EDUCACIÓN

UNIDAD DE TELESECUNDARIA

ASESORÍA DE CONTENIDOS

ESPAÑOL María Esther Valdés Vda. de Zamora

MATEMÁTICAS Eloísa Beristáin Márquez

INTRODUCCIÓN A LA Benjamín Ayluardo López,FÍSICA Y QUÍMICA Luis Fernando Peraza Castro

BIOLOGÍA Rosario Leticia Cortés Ríos

QUÍMICA Luis Fernando Peraza Castro

EDUCACIÓN FÍSICA José Alfredo Rutz Machorro

CORRECCIÓN DE Alejandro Torrecillas González, Marta EugeniaESTILO Y CUIDADO López Ortíz, María de los Angeles AndoneguiEDITORIAL Cuenca, Lucrecia Rojo Martínez, Javier Díaz

Perucho, Esperanza Hernández Huerta, MaricelaTorres Martínez, Jorge Issa González

DIBUJO Jaime R. Sánchez Guzmán, Juan SebastiánNájera Balcázar, Araceli Comparán Velázquez,José Antonio Fernández Merlos, Maritza MorillasMedina, Faustino Patiño Gutiérrez, Ignacio PonceSánchez, Aníbal Angel Zárate, Gerardo Rivera M. yBenjamín Galván Zúñiga.

ACUERDO DE COOPERACIÓN MINISTERIODE EDUCACIÓN DE COLOMBIA Y LA SECRETARÍA

DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE MÉXICO

Colombia ha desarrollado importantes cambios cualitativos en los últimos años como espaciosgeneradores de aprendizaje en los alumnos. En este marco el Ministerio de Educación deColombia firmó con la Secretaría de Educación Pública de México un ACUERDO DECOOPERACIÓN EDUCATIVA, con el propósito de alcanzar mayores niveles de cooperaciónen el ámbito educativo.

En el acuerdo, el Gobierno de México a través de la Secretaría de Educación Pública, ofreceal Gobierno de Colombia el Modelo Pedagógico de TELESECUNDARIA, como una modalidadeducativa escolarizada apoyada en la televisión educativa como una estrategia básica deaprendizaje a través de la Red Satelital Edusat.

El Ministerio de Educación de Colombia ha encontrado en el modelo de TELESECUNDARIA,una alternativa para la ampliación de la cobertura de la Educación Básica Secundaria en elárea rural y una estrategia eficiente para el aprendizaje de los alumnos y las alumnas.

El programa se inicia en Colombia a través de una ETAPA PILOTO, en el marco delPROYECTO DE EDUCACIÓN RURAL, por oferta desde el Ministerio de Educación deColombia en el año 2000, realizando las adaptaciones de los materiales impresos al contextocolombiano, grabando directamente de la Red Satelital Edusat los programas de televisióneducativa, seleccionando los más apropiados a las secuencias curriculares de sexto a novenogrado, organizando 41 experiencias educativas en los departamentos de Antioquia, Cauca,Córdoba, Boyacá, Cundinamarca y Valle del Cauca, capacitando docentes del área rural yatendiendo cerca de 1 200 alumnos en sexto grado. El pilotaje continuó en el año 2001 enséptimo grado, 2002 en octavo grado, y en el año 2003 el pilotaje del grado noveno.

En la etapa de expansión del pilotaje se iniciaron por oferta en el presente año 50 nuevasexperiencias en el marco del Proyecto de Educación Rural. Otras nuevas experiencias sedesarrollaron con el apoyo de los Comités de Cafeteros, el FIP y la iniciativa de GobiernosDepartamentales como el del departamento del Valle del Cauca que inició 120 nuevasTelesecundarias en 23 municipios, mejorando los procesos de ampliación de cobertura concalidad.

El Proyecto de Educación para el Sector Rural del Ministerio de Educación Nacional - PER,inició acciones en los diez departamentos focalizados y en ocho de ellos: Cauca, Boyacá,Huila, Antioquia, Córdoba, Cundinamarca, Bolívar y Norte de Santander se organizaron pordemanda 40 nuevas experiencias del programa de Telesecundaria a partir del año 2002.

Al presentar este material hoy a la comunidad educativa colombiana, queremos agradecer demanera muy especial al Gobierno de México, a través de la Secretaría de Educación Públicade México - SEP y del Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa - ILCE,el apoyo técnico y la generosidad en la transmisión de los avances educativos y tecnológicosal Ministerio de Educación de Colombia.

MATEMÁTICAS11

Sesiones Pág. Conceptos Básicos

1. ¿Tanto se puede hacer? 20 Las matemáticas actuales 2. ¡Así se hace! 23 Metodología de las matemáticas 3. La base de las matemáticas 26 Aritmética 4. La columna más fuerte 29 Álgebra (iniciación) 5. La línea en las figuras y en

los cuerpos 31 Geometría 6. Azares y certezas 33 Estadística y probabilidad 7. Lo sé todo 34 Evaluación diagnóstica 8. Bueno... eso creía 37 Análisis de resultados 9. iTambién con éste puedo! 39 Proyecto personal 10. iDemuestra que sabes! 41 Evaluación personal

11. ¿Qué tan grande o tan pequeño eres? 44 Estimación del orden de magnitudde un resultado

12. Generaciones interminables 50 Múltiplos de un número natural13. Siempre los mismos 54 Divisores de un número natural14. Todo queda en familia 57 Números primos y compuestos15. Desintegración familiar 61 Factorización16. Todos tienen algo en común 64 Mínimo común múltiplo17. Radiografía de un número 68 Algoritmo del mcm18. Uno de tantos 72 Máximo común divisor19. Anatomía de un número 74 Algoritmo del MCD20. Resuélvelos tú mismo 77 Problemas de mcm y MCD

CONTENIDO

NÚCLEO BÁSICO 1 - HORIZONTES DE LAS MATEMÁTICAS

NÚCLEO BÁSICO 2 - ARITMÉTICA

GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS12


21. Antes y después del cero 80 Los números enteros22. Sentidos opuestos 83 Números y cantidades con sentido23. No es lo mismo � que 90 Ubicación en la recta numérica24. El cero es mayor que muchos 95 El orden entre los enteros25. Resuélvelos tú mismo 99 Problemas en que se requiere sumar

o restar enteros26. En el mismo sentido 101 Adición de enteros con el mismo signo27. Sumando ganancias y pérdidas 107 Adición de enteros con diferente signo28. ¿Desaparece la sustracción? 113 Sustracción de enteros29. Un teclado sin música 119 La adición y la sustracción en la

calculadora30. Resuélvelos tú mismo 123 Problemas de adición y sustracción31. Comprender, más que recordar,

es dominar las matemáticas 124 Repaso parcial32. Interpreta la agrupación 126 Los paréntesis y su uso33. Cuál se resuelve primero 129 Jerarquía de operaciones34. Otra forma de representación 133 Literales35. Simplificación del lenguaje 137 Escritura algebraica36. Un sumando desconocido 142 Ecuaciones de la forma a + x = b y a – x = c37. Resuélvelos tú mismo 149 Problemas que se resuelven planteando

una ecuación38. Un factor desconocido 150 Ecuaciones de las forma ax = b y a ÷ x = c39. Resuélvelos tú mismo 154 Problemas que se resuelven planteando

una ecuación40. Comprender, más que recordar,

es dominar las matemáticas 156 Repaso parcial41. ¡Demuestra que sabes! 158 Demostración del aprendizaje dado42. Siempre positivos 160 Producto de enteros43. ¿Positivo o negativo? 165 Ley de los signos44. Repartir pérdidas y ganancias 169 Cociente de enteros45. Resuélvelos tú mismo 174 Problemas con enteros46. Comprender, más que recordar,

es dominar las matemáticas 175 Evaluación parcial

NÚCLEO BÁSICO 3 - INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

�

MATEMÁTICAS13


47. Comunicación con símbolos 179 Introducción al lenguaje algebraico48. Conviene identificarlas 184 Variables y constantes49. Un lenguaje diferente 188 Lenguaje algebraico50. Otra forma de comunicación 191 Significado del lenguaje algebraico51. Uno o varios 196 Expresiones algebraicas52. Potencialmente hablando 201 Producto de potencias53. Para hacernos más pequeños 206 Cociente de potencias54. Las superpotencias 211 Potencia de una potencia55. Una raiz que no crece 214 Raíz de una potencia56. El graduado 218 Grado de un polinomio57. Algo se conserva 222 Términos semejantes con coeficiente

entero58. Instinto de conservación 226 Términos semejantes con coeficiente

racional59. Valor constante 230 Valor numérico de un polinomio60. Uno depende de otro 233 Tabulación de polinomios61. Comprender, más que recordar,

es dominar las matemáticas 23762. Una reunión peculiar 239 Adición de polinomios63. Sumar para restar 242 Sustracción de polinomios64. Surtido rico 245 Operaciones combinadas65. Son de la misma especie 248 Producto de monomios66. El grande se come al pequeño 252 Producto de un monomio por

un polinomio67. La unión hace la fuerza 255 Producto de dos polinomios68. Un “entre” parejo 259 Cociente de monomios69. Todo entre lo mismo 263 Cociente de un polinomio entre

un monomio70. Gran distribución 267 Cociente de dos polinomios I71. Entre dos grandes 270 Cociente de dos polinomios II72. Comprender, más que recordar, es

dominar las matemáticas 27273. ¡Demuestra que sabes! 27474. Armando las piezas I 276

NÚCLEO BÁSICO 4 - ÁLGEBRA: MONOMIOS Y POLINOMIOS

MATEMÁTICAS

0 1-1-2-23 2 3

INTRODUCCIÓN

Has subido un escalón más en tu preparación. Seguramente que dedicación y esfuerzo tehan impulsado para llegar hasta aquí, tienes en tus manos una obra impresa que te serviráde apoyo para que afirmes tus conocimientos a través del trabajo individual y colectivo.

Las situaciones problemáticas, cuestiones y ejercicios que se te plantean contribuirán a quedesarrolles tus habilidades intelectuales, y estés cada día mejor preparado para resolver yformular problemas, lo mismo que para continuar tus estudios y desenvolverte con acierto enla vida diaria.

Nuestra meta es colaborar a tu desarrollo integral para que en el futuro puedas llegar a turealización como ser humano y contribuir al mejoramiento de la calidad de vida de tu familiay de tu comunidad.

MATEMÁTICAS19

HORIZONTES DE LAS MATEMÁTICAS

El propósito del primer núcleo del séptimo grado de matemáticas es hacer una reflexiónsobre la importancia de las matemáticas y sus aplicaciones. Conocer el tratamiento que sele dará a la aritmética, a la introducción al álgebra, a la geometría y al manejo de la informa-ción y de la probabilidad. Conocer cuál será la metodología para el estudio de las matemá-ticas y cuáles son las actividades permanentes que deben realizarse.

Efectuar una evaluación diagnóstica y hacer un análisis para detectar deficiencias. Elaborartu proyecto personal.

Núcleo Básico 1

ax+b = c


Todo lo que existe en el universo funciona con gran precisión. Los conocimientos matemáti-cos nos ayudan a entender cómo funciona.

En esta sesión comprenderás la influencia que tienen las matemáticas en la vida del hombre.

Observa el video y analiza la idea principal, posteriormente comenta tus inquietu-des con el grupo en general, en forma ordenada.

Con un compañero o compañera lee el siguiente texto:

LAS MATEMÁTICAS ACTUALES

El mundo se ha transformado debido a la gran influencia que las matemáticas han tenido enla vida del hombre.

Los cambios vertiginosos que ha tenido la humanidad en los últimos 50 años se han refleja-do en avances tecnológicos dentro de los cuales se puede identificar la televisión en colores,los satélites artificiales, los aviones supersónicos, la computación, la telefonía celular, etcé-tera.

Estos avances son en buena medida resultado de la aplicación de las matemáticas, lascuales han provocado un desarrollo constante en diversas áreas de la tecnología y la cien-cia.

Las matemáticas actuales han dado lugar a cambios sustanciales en el desarrollo del serhumano, ya que sin ellas no habría el progreso que se observa en los diversos sectoreseconómicos, tecnológicos, estéticos, etc.

Por ejemplo, el agua potable, desde que ha existido el hombre, ha sido el elemento funda-mental para su subsistencia, pero requiere ser almacenada y transportada a los centros depoblación, para lo cual es necesario construir, entre otros, presas, tuberías y canales parariego.

El hombre necesita saber cuánta agua se requiere para cubrir las necesidades de la pobla-ción y qué cantidad se debe cobrar por m3 durante un semestre, para poder cubrir las inver-siones necesarias para el suministro.

¿TANTO SE PUEDE HACER?

1 Las matemáticas actualesInfluencia de la matemática actual en la vida del hombre

MATEMÁTICAS21

Estos problemas y otros se pueden resolver si se aplican correctamente las matemáticas.

Como se puede observar, la influencia de las matemáticas es grande, ya que se encuentrapresente en muchas actividades cotidianas por sencillas que parezcan.

Las matemáticas son el resultado de la actividad pensante de hombres y mujeres, yestán presentes en mucho de lo que hacemos y de lo que nos rodea.

METODOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

Toda metodología tiene como finalidad señalar los procedimientos más adecuados para rea-lizar un trabajo en forma eficaz.

La metodología propuesta para el área de matemáticas ya la has vivenciado en los gradosanteriores.

Esta metodología sirve para propiciar la reelaboración del conocimiento en sus diferentestemas: aritmética, álgebra, geometría y medición, nociones de probabilidad y procesamientode información. Así como el desarrollo de habilidades intelectuales. Por ejemplo:

• La imaginación espacial que implica, en primer lugar, la exploración del espaciotridimensional y el desarrollo de las competencias básicas para desenvolverse en él: larealización de una serie de actividades como el empleo de modelos geométricos pararepresentar problemas, para establecer relaciones entre figuras planas; para llegar ageneralizaciones y expresarlas mediante fórmulas que involucran medidas de longitud,área y volumen.

• La estimación de resultados proporciona elementos para detectar y corregir errores deprocedimientos o apreciar si la solución obtenida corresponde a lo esperado.

• Las estrategias para resolver problemas involucran actividades que permiten estable-cer ciertas hipótesis en función de un problema y comprobarlas, solucionándolo.

Reflexiona sobre lo leído y comenta con un compañero(a) los siguientes aspectos:

1. En las actividades productivas que realiza el ser humano, ¿se aplican las matemáti-cas? ¿Por qué?

2. Explica tres ejemplos de actividades de tu comunidad en las cuales se aplican lasmatemáticas.

Con tu compañero(a), comenta la siguiente pregunta. Después escribe en tucuaderno aquello que más te interesa.


¿Qué influencias tienen las matemáticas en el desarrollo de tu comunidad?

El profesor preguntará a dos o tres integrantes de las parejas y los demás grupos participa-rán.

Continúa trabajando con tu compañero(a). Haz un dibujo como el de la ilustra-ción, agrega un puente y una casa. Posteriormente responde las preguntas.

1. Según tu punto de vista, ¿qué conocimientos se requieren para construir una carrete-ra? Explica...

2. ¿Cómo contribuyen las matemáticas a la satisfacción de las necesidades del hombre?

Compara tus respuestas con las de otra pareja y, si tienes más aportaciones, coméntalas.

De manera individual, contesta en tu cuaderno las siguientes cuestiones:

1. Escribe tres ejemplos de avances tecnológicos.

2. ¿Para asistir a la escuela aplicas las matemáticas? ¿Cómo?

3. ¿Cuándo se aplican las matemáticas en la cocina?

Comenta tus respuestas en sesión plenaria.

CARRETERA

RíO

CAMINO SIN TERMINAR

MATEMÁTICAS23

Tu experiencia como estudiante te ha permitido observar que cada materia tiene sus peculia-ridades. Una de ellas es su metodología. ¿Qué es la metodología? ¿Para qué sirve?

Observa el video. En él encontrarás comentarios a las preguntas formuladas, asícomo una propuesta de metodología de las matemáticas y de habilidades intelec-tuales que se pretenden desarrollar, además de las actividades que permanente-mente deben realizarse.

Trabaja en equipo de tres personas y efectúa una lectura comentada del siguientetexto:

METODOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

1. Se inicia con una situación problemática, eje del trabajo, que puede estar orientadatanto a la construcción de conceptos como a la resolución de problemas.

2. En este último caso, un vez comprendido el problema, se procede a la búsqueda delresultado, en forma individual o en equipo.

a) Según el significado del problema se escogen las operaciones pertinentes.

b) Se visualiza un plan, proponiendo diversas formas de solución (flexibilidad delpensamiento).

c) Se hace una estimación del resultado.

3. Se prueban las diversas formas de solución; se cambian las condiciones, usando losmismos datos, pero modificando el contexto.

4. Se presentan y se evalúan los procedimientos empleados, resaltando sus alcances ylimitaciones. (Aquí surge la necesidad de introducir nuevos conocimientos.)

5. Se entabla una discusión grupal para disipar dudas y resaltar dificultades cuando:

a) Los conocimientos previos no son suficientes y/o

b) La estrategia de solución no da resultado.

6. Se construye un modelo de solución.

¡ASÍ SE HACE!

2 Metodología de las matemáticasTratamiento de las matemáticas en 7º grado


7. Se verifica el modelo de solución, formulando preguntas y analizando los casos en losque funciona y en los que no funciona.

8. Una vez solucionado el problema, se puede partir del resultado y preguntar los datosnecesarios para obtener esa solución (reversibilidad del pensamiento).

9. Para completar la comprensión del problema se presentan problemas similares en dife-rentes situaciones y se intenta generalizar los procedimientos de solución (memoriageneralizada o generalización).

Es importante el trabajo en equipo porque éste permite generar una comunicación intensaen la que se aprende a argumentar, escuchar, tener orden y respeto por los demás integran-tes.

Durante el desarrollo del proceso de aprendizaje es necesario efectuar actividades perma-nentes que permiten una mejor comprensión. Éstas son:

a) Situaciones problemáticas para enriquecer los conocimientos anteriores y avanzar ha-cia la adquisición de otros nuevos que puedan ser útiles para enfrentar y resolver nue-vos problemas.

b) El cálculo mental, que permite obtener de manera rápida la solución de ejercicios yproblemas, además de abreviar tiempo y esfuerzo.

c) El uso de la calculadora en forma inteligente, lo cual nos permite el ahorro de tiempo,verificar resultados, encontrar nuevas relaciones entre números, comprobar un modelode solución, etcétera.

d) El uso de los instrumentos de dibujo para representar gráficamente una situación con elfin de tener una visión más clara de la misma, y elaborar diagramas, cuadros, etcétera.

Continúa trabajando en equipo y comenta con tus compañeros(as) los aspectosseñalados en esta propuesta de metodología para las matemáticas.

Compartan sus opiniones con las de otro equipo, discútanlas y enriquézcanlas con los apor-tes de todos.

Continúa trabajando con tu equipo y resuelve el siguiente problema:

La calculadora irremplazable

Un día compré una calculadora de bolsillo en $5 500, más tarde la vendí a un compañero en$6 500. Poco después, al darme cuenta de que no conseguía otra calculadora igual, decidícomprársela al mismo compañero, quien me la vendió en $7 500. Le sucedió lo mismo quea mí, y después de que me suplicó, finalmente le vendí la calculadora en$ 8 500.

MATEMÁTICAS25

¿Gané o perdí? ¿Cuánto gané o cuánto perdí?

Lee el problema nuevamente, subraya los datos y las preguntas del mismo.

Sin hacer ninguna operación, escribe una posible respuesta:

Plantea dos formas diferentes para resolver el problema.

Efectúa las operaciones de cada procedimiento y escribe el resultado obtenido en cada unade ellas.

¿Cómo son los resultados obtenidos? ¿Qué opinas sobre esto?

Verifica nuevamente tus procedimientos:

¿Qué sucedió?

Si no resolviste el problema en forma concreta, esto es, utilizando papeles que simulen eldinero, ¡inténtalo de esta forma!

¿Cuál fue el resultado obtenido?

Si los resultados que obtuviste en los tres procedimientos fueron diferentes, escribe cuál deellos es el correcto y por qué.

Comenta con otro equipo las respuestas obtenidas; complétalas o corrígelas.

Individualmente, resuelve el siguiente problema.

El gato en el pozo

Por cierta desgracia, un gato cayó en un pozo de 7.8 metros de profundidad. El gato logrósalir después de haber enfrentado varias dificultades, ya que los lados del pozo estabanhúmedos y resbaladizos. Por cada minuto de esfuerzo, el gato adelantaba 3 metros. Enton-ces quedaba demasiado cansado para esforzarse nuevamente y descansaba. Durante 1minuto de descanso, el gato resbalaba 2 metros. ¿Cuánto tiempo le llevó al gato salir delpozo?

Escribe tu estimación del resultado.

Plantea dos formas de resolver el problema. Una gráfica podría ayudarte.

Elige una de ellas y resuélvelo.

Compara tu resultado con el de otro compañero y completa si es necesario.


Los conocimientos de aritmética son básicos en el desarrollo del pensamiento matemático yen el aprendizaje de las matemáticas. ¿Qué debes aprender para lograr la comprensión deotras ramas de las matemáticas?

Si observas atentamente el video, tendrás idea de lo que es fundamental en esteaspecto. Al finalizar, comenta con dos compañeros lo que consideres más impor-tante.

Lee con dos compañeros(as) el texto:

ARITMÉTICA

Cuando una persona se introduce de manera formal en el estudio de las matemáticas, co-mienza su aprendizaje con la aritmética.

La aritmética es una rama de las matemáticas que tiene por objeto el estudio de los núme-ros.

Esta palabra, precisamente, tiene su origen en el vocablo griego arithmos, que significa nú-meros.

En el séptimo grado, continúa el estudio de la aritmética. Por lo tanto, resulta convenientetener un avance del contenido del curso, así como de algunos aspectos importantes en queel programa de estudio hace hincapié y de las actividades permanentes que se considerannecesarias para lograr los objetivos que propone el citado programa.

Lo que se estudiará de aritmética en este curso es:

1. La obtención del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor, a través de ladescomposición de los diversos números en sus factores primos.

2. La equivalencia y el orden de las fracciones (positivas y negativas).

3. Operaciones con fracciones y decimales (positivos y negativos).

4. Potencias de diez (con exponente positivo y negativo), así como la notación científica.

5. Estimación del orden de magnitud de un resultado (aproximación y redondeo).

6. Números con signo (operaciones).

LA BASE DE LAS MATEMÁTICAS

3 AritméticaTratamiento de los conocimientos aritméticos

MATEMÁTICAS27

Ahora bien, el conocimiento y manejo de las operaciones y los conceptos es importantehacerlo a partir de la solución de diferentes problemas.

El objetivo de este curso es lograr un avance importante en la adquisición de diversas técni-cas que facilitan la realización de operaciones con los diferentes números.

El manejo adecuado de los números con signo (positivo o negativo) servirá como anteceden-te para el estudio del álgebra.

También será útil manejar el uso de expresiones en las que se representa con un símbolouna cantidad desconocida, pues será menos difícil el acercamiento a esa rama de las mate-máticas.

Cabe aclarar que al hablar de expresiones simbólicas para representar cantidades descono-cidas, se hace referencia a algo que ya ha sido utilizado antes:

5 + x = 8 3 • x = 24x2

9= x3

46

=

Expresiones de este tipo serán un antecedente valioso para el estudio del álgebra en estecurso.

El programa señala que durante el desarrollo del curso se practicará constantemente elcálculo mental y la estimación de resultados. Además se usará como valioso auxiliar la cal-culadora de bolsillo. El uso de dicho instrumento deberá ser racional y moderado.

El cálculo mental es aquel que se realiza sin escribir los números con que se está operando;es muy útil porque ayuda a economizar tiempo y hace más ágil la obtención de resultadoscuando se opera con números de pocas cifras.

La estimación de resultados es importante cuando se trabaja para solucionar problemas,porque desde un principio se estima entre qué cantidades estará la respuesta, y así se tienela posibilidad de encontrar la estrategia más adecuada para llegar al resultado buscado.

La calculadora de bolsillo es un recurso de gran utilidad. Su uso es recomendable en lossiguientes aspectos:

1. Operaciones en que se manejan números con muchas cifras y/o punto decimal.

2. Elaboración de tablas de cuadrados y cubos.

3. Notación exponencial.

4. Verificación de resultados.

5. Comparación de decimales.


Desde luego, la calculadora debe usarse una vez que se han dominado los algoritmos de lasoperaciones.

Es muy importante insistir en que el séptimo grado tiene un gran contenido de álgebra y quese trata de una rama de las matemáticas que estudia las cantidades de la manera másgeneral posible; por lo cual, para tener éxito en todo lo algebraico, es necesario poseerconocimientos muy sólidos de aritmética.

Reúnete ahora con dos compañeros(as) para discutir las siguientes cuestiones.

1. ¿Qué se estudia en aritmética?

2. La palabra aritmética tiene su origen en el vocablo arithmos, ¿qué significa esto?

Muestra tus respuestas a otro equipo, defiéndelas y, si te equivocas, corrige.

Con tus compañeros de grupo analiza la importancia de practicar el cálculo men-tal en el estudio de la aritmética y resume en tu cuaderno la conclusión a la quehayas llegado.

Comenta tu resumen con otros grupos y enriquécelo con algo que te parezca importante delresumen de los otros compañeros.

Con el mismo grupo lee y discute las siguientes cuestiones, antes de resolverlas.

1. Presenten tres situaciones que requieran el uso de una fracción. En cada una de ellasel significado de dicha fracción debe ser diferente.

2. ¿Cómo orientarían a un compañero para que comprenda que dos o tres fracciones sonequivalentes?

3. Formulen dos problemas en cuya solución sea necesario realizar operaciones con frac-ciones.

4. Al realizar operaciones, ¿les gusta más trabajar con fracciones o con expresiones deci-males? ¿Por qué?

Comparen sus respuestas con las de otro grupo y coméntenlas. Tomen lo mejor de lasrespuestas de sus compañeros, si lo consideran adecuado.

MATEMÁTICAS29

Hay aspectos de las matemáticas cuyo estudio no has iniciado todavía sistemáticamente.Una de esas ramas de las matemáticas se introduce en este grado. Su importancia esenorme dentro del aprendizaje de las matemáticas.

Observa cuidadosamente el video. Conocerás algunas características notablesdel álgebra. Después, intégrate a un equipo de trabajo e intercambia ideas res-pecto a lo observado.

Lee con otros compañeros(as) el texto:

ÁLGEBRA

Cuando se cursa el séptimo grado, ya se ha estudiado aritmética durante todos los años devida escolar anteriores.

Ahora se estudiará otra rama de las matemáticas, que se llama álgebra y que es consideradacomo una generalización y extensión de la aritmética.

El conocimiento y uso de los números enteros (positivos y negativos), así como del lenguajesimbólico que se emplea en la resolución de problemas para representar cantidades desco-nocidas, y el manejo de las fórmulas en geometría sirven como antecedente para introducirseen el estudio del álgebra.

La palabra álgebra proviene del árabe; se origina en el vocablo alchebr, que significa reduc-ción. Una forma de definir esta rama de las matemáticas es:

Álgebra es una parte de las matemáticas cuyos objetivos son simplificar y generalizarlas cuestiones relativas a los números.

Para lograr sus objetivos, el álgebra requiere de un lenguaje especial que se conoce comolenguaje algebraico.

En el lenguaje algebraico se utilizan símbolos que generalmente son letras del alfabeto, a loscuales se les da el nombre de literales y cuyo valor puede ser desconocido y/o variable,según la situación de que se trate.

LA COLUMNA MÁS FUERTE

4 Álgebra (iniciación)Pensamiento algebraico en la secundaria


Ejemplos:

1. La edad de Pedro es el doble de la edad de Juan.

En el lenguaje algebraico, como no se conoce la edad de ninguno de los dos, se puederepresentar cualquiera de las edades con una literal y la representación de la otra dependeráde cuál se haya escogido como base para la representación simbólica.

Edad de Juan: xEdad de Pedro (doble de la edad de Juan): 2xO bien,Edad de Pedro: x

Edad de Juan (mitad de la edad de Pedro): x2

2. Se han comprado dos prendas de vestir y se han pagado en total $450 000.

Como no se conoce el costo de cada prenda, se utiliza una literal para representar cadaprecio. Entonces:

costo de una prenda: xcosto de la otra: yPor lo tanto:x + y = 450 000

El progreso que se logre en el aprendizaje del álgebra hará que cada vez se realice mejor elplanteo y solución de problemas. Lo cual requerirá que se empleen conocimientos adquiri-dos con anterioridad y tratará de hacer más accesible la comprensión de nuevos procedi-mientos.

El contenido de álgebra en el programa de séptimo grado de matemáticas es el siguiente:

1. Iniciación al lenguaje algebraico.

2. Monomios y polinomios.

3. El plano cartesiano.

4. Ecuaciones lineales de primer grado.

Es importante considerar que el álgebra ha sido, durante muchos años, uno de los temascentrales de la enseñanza de las matemáticas en la secundaria.

Algo que se debe tomar en cuenta es que en el ciclo de secundaria y en el nivel de educaciónmedia se cursarán materias como física, química, estadística, probabilidad, cálculo, etc., querequieren en particular un uso adecuado y funcional del álgebra.

MATEMÁTICAS31

Una deficiente preparación en esta área del conocimiento trae como consecuencia que mu-chos alumnos repitan algunas materias o incluso pierdan el año.

Sin embargo, los conocimientos de álgebra que se deben adquirir en la secundaria están alalcance de cualquier alumno que se dedique con empeño y constancia al aprendizaje deesta fascinante rama de las matemáticas.

Con base en la lectura anterior y con el mismo equipo de trabajo comenten cuáles conoci-mientos de los que ya tienen pueden considerarse como de iniciación al álgebra.

Si observas a tu alrededor, podrás notar que los objetos tienen gran parecido con algunasformas geométricas que ya has conceptualizado.

Observa el programa de video donde apreciarás que la geometría ha tenido unpapel muy importante a lo largo de la historia.

Comenta en grupo cómo ayuda la geometría a la solución de problemas cotidianos.

Lee el texto.

GEOMETRÍA

La geometría es de gran importancia para el estudio de las matemáticas, pues es la puertaque facilita la construcción de modelos para ciertos conocimientos matemáticos porque de-sarrolla habilidades y competencias que enriquecen nuestra forma de actuar y pensar.

En este grado, se pretende que la geometría integre los conocimientos adquiridos de mane-ra que su estudio no sea el de un tema más, sino una ayuda durante todo el año para queentiendas y analices otros conocimientos.

Para ello, es importante que aprendas a observar todo cuanto te rodea y analices las seme-janzas y diferencias que guardan las figuras y los objetos entre sí; esta observación será degran ayuda para que construyas conceptos, los modeles y, de esa forma, representes gráfi-camente situaciones reales. Avanzarás en el trazado de formas geométricas con la ayuda delos instrumentos básicos, como son las escuadras, el compás y el transportador.

Asimismo, la observación y manipulación de figuras y cuerpos te será de gran utilidad paraentender sus propiedades y aplicarlas en situaciones similares, de modo tal que propicien laresolución de problemas, no sólo de tu entorno, sino de lugares cercanos y lejanos. Por ello,

LA LÍNEA EN LAS FIGURAS Y EN LOS CUERPOS

5 GeometríaTratamiento de los conceptos geométricos


es conveniente que relaciones las cosas que te rodean con las formas geométricas queconoces, y resuelvas los problemas en el papel para trasladarlos, posteriormente, a situacio-nes palpables.

Así, cuando debas conocer la mejor forma de aprovechar un terreno, trazar canchas depor-tivas, conocer la capacidad de un estanque, etcétera, recordarás que resolviste problemasteóricos y podrás relacionarlos con lo que en ese momento se te presente.

Temas como el Teorema de Pitágoras, el dibujo a escala y otros te ayudarán a descubrirestrategias para la resolución de problemas.

Por otra parte, recordarás y aplicarás los conceptos y las fórmulas sobre perímetro, área yvolumen, que te serán de gran utilidad en la vida práctica.

Por lo tanto, debes recordar que la geometría no es solamente un aspecto más de las mate-máticas, sino un artificio que te ayudará a comprender mejor algunos aspectos del saberhumano.

Ahora discute con tus compañeros(as) por qué es importante que la geometría sea objeto deestudio.

Uno de los aspectos importantes de la geometría es la composición y descompo-sición de figuras. Copia en una hoja, con la ayuda de una escuadra, el siguientecuadro; recórtalo por las líneas punteadas.

De acuerdo con las indicaciones de tu profesor, intégrate en un equipo. Con tu equipo detrabajo forma figuras, utilizando las siete fichas. Algunas de ellas podrían ser:

MATEMÁTICAS33

¡Ensaya y trata de hacerlas!

¿Pudiste? ¿No? Inténtalo nuevamente. ¿Sí? Felicitaciones.

Trabaja individualmente y pon en juego tu creatividad.

1. Con regla y compás haz una composición geométrica.

2. Imagina que debes decidir cómo construir una casa y te solicitan hacer un plano. ¡Hazlo!

3. Se va a comprar el alambre para cercar un potrero de forma cuadrada. ¿Qué datosserían necesarios para decidir la cantidad de alambre que debe comprarse?

4. Dibuja dos círculos de tal manera que uno tenga el doble del diámetro del otro.a) ¿Qué relación hay entre sus perímetros? b)¿Qué relación hay entre sus áreas?

La radio, la televisión y el periódico manejan una serie de informaciones que son o puedenser motivo de estudio para la estadística y la probabilidad. Por ejemplo, los resultados delcenso de población o del campeonato de fútbol, las predicciones climatológicas, etcétera.

Observa el programa de video en el cual se mostrará el cómo y el para qué delestudio de la presentación y tratamiento de la información, así como de las nocio-nes de probabilidad en este grado.

Lee cuidadosamente el texto Estadística y probabilidad e identifica en él los te-mas y propósitos del curso séptimo grado para estas dos ramas de las matemáti-cas.

AZARES Y CERTEZAS

6 Estadística y probabilidadTratamiento de la estadística y la probabilidad


ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Actualmente, los procedimientos utilizados en la teoría de la probabilidad, así como en laestadística, han adquirido gran relevancia, pues son instrumentos muy útiles tanto en inves-tigaciones científicas como en el estudio de fenómenos sociales, económicos, agrícolas, etc.Aún en la vida cotidiana con frecuencia se aplican los principios de estas disciplinas.

La noción de probabilidad surge de considerar la diferencia esencial entre los fenómenosdeterministas y los azarosos, de modo que la comprensión de estos últimos se logra a travésde los resultados posibles en experimentos sencillos, con el propósito de orientar una acer-tada toma de decisiones.

En el tratamiento de estas dos disciplinas es importante considerar el entorno económico,social y cultural, así como aprovechar la información que presentan la radio, la televisión, elperiódico, etc., mediante un análisis de esas situaciones.

Reúnete con un compañero y busquen en una revista, en un periódico, o en untexto de la biblioteca información que esté presentada en una tabla o en una grá-fica estadística. Analícenla y escriban algunas conclusiones que puedan obtenersecon base en esa información.

Comparen su trabajo con el de otro equipo y discutan acerca de la importancia de las conclu-siones obtenidas con base en la interpretación de la información.

Una vez que ya cursaste el 6º grado, es necesario saber qué tantos conocimientos asimilas-te, debido a que varios de ellos sirven como base en este grado.

Es necesario que tengas en cuenta que en la medida en que más conceptos domines, másse te facilitará la comprensión de los temas de este nuevo curso.

Observa el video, ya que en él se te orientará sobre la forma de resolver el cues-tionario; posteriormente comenta ante el grupo cuál fue la idea principal del pro-grama.

En forma individual, contestarás un cuestionario que debes fotocopiar, cuya únicafinalidad es determinar el manejo de algunos temas vistos en el curso anterior. Esimportante que tanto tú como tu profesor sepan qué temas dominas y cuáles no,para poder iniciar el séptimo grado.

LO SÉ TODO

7 Evaluación diagnósticaResolución de un cuestionario

MATEMÁTICAS35

EVALUACIÓN DIAGNóSTICA

Nombre del alumno:

Número de aciertos: Recomendaciones:

Para resolver este cuestionario, lee atentamente cada enunciado y subraya la respuestacorrecta.

1. En el número 586 027 398, ¿a qué orden pertenece el cero?

a) Unidades de millón b) Decenas de millar c) Centenas de millar

2. Las gráficas en las cuales los datos se representan en forma de porcentajes son:

a) Las de barras b) Las circulares c) Los histogramas

3. Si la base de un rectángulo mide 6 m y su altura 4 m, ¿cuál es su perímetro?

a) 24 m2 b) 20 m c) 20 m2

4. La suma de 43

25

12

+ + es:

a) 6730

b) 6715

c) 730

5. Un número que no es divisor de 114 es:

a) 19 b) 12 c) 2

6. Si el diámetro de un círculo mide 4 cm, ¿cuál es su área?

a) 50.2656 cm2 b) 6.2832 cm2 c) 12.5664 cm2

7. En una sustracción, el sustraendo es 1 208 y la diferencia, 197, ¿cuál es el valor delminuendo?

a) 1 405 b) 1 011 c) 1 101

8. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado, se obtenga un número par?

a) 14

b) 13

c) 12


10. De las fracciones decimales 0.0392, 0.0394 y 0.1, la mayor es:

a) 0.0392 b) 0.1 c) 0.0394

11. Al redondear a centésimos 3.09732, se obtiene:

a) 3.1 b) 3.09 c) 3.097

13. El producto de 3 02 0 26. .× es:

a) 0.7842 b) 0.7862 c) 0.7852

14. Las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades son:

a) m, kg, s b) km, kg, s c) m, g, s

15. Una persona compró las siguientes cantidades de tela: 32

m, 25

m y 78

m.

Si necesitaba comprar 5 m de tela, ¿cuánto le faltó?

a) 2 140

m b) 2 340

m c) 2 3940

m

16. La fracción equivalente a 89

es:

a) 0.876 b) 0.8 c) 0.9

17. En un rectángulo cuya base mide 5 cm y tiene de altura 7 cm, se traza una diagonal,¿cuál es el área de uno de los triángulos que se obtienen?

a) 12 cm2 b) 35 cm2 c) 17.5 cm2

9. Al simplificar a su mínima expresión 5424

, se obtiene:

a) 2112

b) 72

c) 94

12. Si se necesitan 94

de cierta cantidad de pintura, la cantidad requerida es:

a) Menor de la que hay b) Igual a la que hayc) Mayor de la que hay

MATEMÁTICAS37

21. Una fracción común menor que 94

es:

a) 83

b) 72

c) 49

18. El cociente de 4.2 ÷ 0.03 es:

a) 140 b) 14 c) 1.4

Compara el cociente con el dividendo, ¿qué puedes decir?

19. Si se les pregunta a diferentes personas en qué mes del año nacieron, ¿cuál es suespacio muestral?

a) Febrero b) Agosto c) Los meses del año

20. La mamá de Juan compró un litro de leche; si ella tomó en el desayuno

26

ly su hijo

48

l,

¿qué cantidad de leche tomaron entre los dos?

a)

56

l b)

16

l c) 12

l

22. Al redondear a centenas el número 73 968 queda indicado como:

a) 7 300 b) 73 970 c) 74 000

Una vez que hayas terminado, intercambia tu trabajo con el de otro compañero para que él lehaga cuidadosamente y a lápiz algunas anotaciones. El profesor o la profesora recogen lostrabajos hasta la siguiente sesión, en la que se analizará el examen. El trabajo te serádevuelto al principio de la siguiente sesión.

El día de hoy analizarás los errores y aciertos que tuviste en la evaluación diagnóstica, pueste ayudarán a conocer los aspectos en los que tienes deficiencias.

Observa el programa de video. Comenta en tu grupo cómo puede ayudarte larevisión de tus conocimientos para iniciar los estudios de séptimo grado. Comen-ta, en grupo, las respuestas a las siguientes preguntas:

BUENO... ESO CREÍA

8 Análisis de resultadosDeterminación del nivel de conocimientos del sexto grado


1. ¿Has realizado anteriormente una prueba diagnóstica?

2. ¿En qué momento crees conveniente realizarla?

3. ¿Para qué crees que te pueda servir?

4. Ahora toma tu evaluación diagnóstica:

a) Marca cada respuesta con una paloma ( � ) si es correcta, y con una equis (X)los errores, de acuerdo con la clave que dará el profesor.

b) Anota en la parte superior el número de aciertos.

c) Escribe algunas recomendaciones que te guíen para la superación de los errores,si los hubo.

De acuerdo con el siguiente cuadro, puedes ubicar algunos de los temas dondetuviste éxito y también donde debes mejorar.

Después de observar la tabla anterior, contesta las preguntas y coméntalas en el grupo.

1. ¿En qué temas tuviste más errores?

2. ¿Qué temas dominas según los resultados obtenidos?

3. ¿Crees necesario realizar un repaso individual de los temas que no dominas?

Observa la siguiente escala y, de acuerdo con el número de aciertos que hayastenido, determina tu calificación.

TEMA NÚMERO DE LA PREGUNTA

Lectura y escritura de números 1

Múltiplos y divisores 5

Operaciones con racionales 4, 7, 13, 15, 18, 20

Simplificación y relación de orden entre fracciones 9, 10, 12, 16, 21

Sistemas de medidas 14

Redondeo 11, 22

Perímetro, área y volumen 3, 6, 17

Probabilidad y estadística 2, 8,19

MATEMÁTICAS39

ESCALA ESTIMATIVA

22 – 21 EXCELENTE20 – 18 MUY BIEN17 – 15 BIEN14 – 12 REGULAR11 – 0 MAL

Si tu calificación fue muy bien o excelente, ¡felicidades! Si fue regular o bien, debes conside-rarlo para que realices un repaso de los temas en que hayas tenido problemas. Si fue mal,tus conocimientos son muy deficientes y deberás hacer un análisis detallado de los resulta-dos obtenidos.

Para ello, intégrate en un equipo de estudio e investiga en las fuentes de consulta cercanaslos conocimientos en que tengas fallas. ¡Suerte!

iTAMBIÉN CON ÉSTE PUEDO!

9 Proyecto personalElaboración de un proyecto personal

Todo proyecto requiere de esfuerzo y perseverancia para lograr los objetivos propuestos,¡hay que vencer los obstáculos y no darse por vencido!

Observa con atención el video.

Contesta individualmente, en tu cuaderno, las siguientes preguntas, basándote en el progra-ma.

1. ¿Cuál fue la idea principal del programa?

2. ¿Cuál es tu meta para el 7º grado de matemáticas?

Para lograr una mejor comprensión del proyecto que debes elaborar, lee cuidado-samente el texto:

PROYECTO PERSONAL

El ser humano siempre ha tenido la inquietud de propósitos para poder satisfacer necesida-des físicas, económicas, políticas, profesionales o de otra índole. Así como tiene propósitos,también busca la manera de realizarlos y que no queden como un “buen intento”.

Por lo tanto, es bueno fijarse metas que se puedan alcanzar a corto plazo con el objeto decumplir los propósitos.


De lo anterior se deduce la necesidad de establecer un plan para alcanzar un objetivo deter-minado, lo que se convierte finalmente en un proyecto.

¿Qué es un proyecto?

Proyecto es la elaboración de un plan o de un programa de actividades que conduzcan aalcanzar un objetivo.

Así pues, puede decirse que un proyecto personal para el séptimo grado de matemáticascontendrá algunos de los siguientes elementos:

1. El nombre del proyecto

2. El objetivo

3. El plan

4. Las metas específicas

Ejemplo de un proyecto personal:

NOMBRE: “Mi proyecto para séptimo grado de matemáticas”.

OBJETIVO: Comprender el significado de las operaciones y aprender a razonar para solu-cionar los problemas que se plantean en cada núcleo y en la vida cotidiana.

PLAN: a) Asistir regularmente a las clases.b) Seguir las indicaciones del libro de matemáticas.c) Poner atención a los videos.d) Leer atentamente los textos.e) Atender las indicaciones del profesor.f) Resolver los problemas propuestos.

METAS: Adquirir el mayor cúmulo de conocimientos matemáticos en beneficio propio y demi comunidad.

Finalmente, es importante considerar el hecho de que no siempre lo que se planea se cum-ple al cien por ciento, pero también es cierto que la perseverancia nos lleva al éxito.

En tu cuaderno escribe tu “proyecto” para el séptimo grado de matemáticas. Con-sidera los aspectos enumerados.

1. Nombre 2. Objetivos 3. Plan 4. Metas

MATEMÁTICAS41

Comenta tu proyecto con tu profesor(a), él(ella) escogerá dos proyectos o los que considereconvenientes y les dará lectura. El grupo participará escuchando.

Haz en tu cuaderno una tabla como la siguiente para que anotes las calificacio-nes que obtengas en cada núcleo y el promedio correspondiente.

Esta actividad te ayudará a evaluar tu aprovechamiento después de cada núcleo, de estamanera vigilarás si tu proyecto personal se está realizando.

Considera también que si la calificación no es satisfactoria, tendrás que esforzarte paramejorarla.

Núcleo Calificación Promedio Observaciones

1

2

3

4

5

6

7

8

Registra tus promedios después de cada núcleo, si notas que hay que mejorar tu calificación,pregúntale a tu profesor(a) qué puedes hacer para ello, y él(ella) te orientará.

iDEMUESTRA QUE SABES!

10 Evaluación personalDemostración del aprendizaje logrado

En esta sesión se pretende que tengas un conocimiento general de los contenidos de lostemas que se tratarán en este nuevo curso que vas a llevar.

Observa el programa de televisión, ya que en él se te dará información de loscontenidos del segundo curso. Posteriormente, efectúa comentarios al respecto.

En forma individual, resuelve el siguiente cuestionario. Fotocópialo.


EVALUACIÓN DEL NÚCLEO

Alumno(a):

Número de aciertos: Calificación:

Contesta cada una de las preguntas que se te hacen:

1. ¿En dónde se aplican las matemáticas?

2. ¿Qué conocimientos son básicos para el estudio de las matemáticas?

3. Escribe con tus palabras lo que entiendes por un proyecto personal.

4. En aritmética emplearás la calculadora, ¿anteriormente la has usado? ¿En dónde?

5. ¿Para qué crees que te sirve el efectuar operaciones mentalmente, aparte de ayudartea resolver rápidamente algunas operaciones y problemas?

6. ¿Por qué consideras que es necesario efectuar una evaluación diagnóstica al inicio decada curso?

7. ¿Qué temas de los que estudiaste en el curso anterior te parecieron más difíciles?

8. ¿De qué manera puedes vencer este obstáculo?

9. Escribe los objetivos y las metas que te fijaste, y debes tratar de alcanzar, para aprove-char todos los conocimientos de este nuevo curso.

Una vez que termines tu evaluación, entrégala al profesor; él indicará la forma de revisarla.

MATEMÁTICAS43

ARITMÉTICA

El estudio de los números y sus relaciones no es para ti un conocimiento nuevo; sin embargo,su análisis y aplicación a situaciones concretas te ayudará a profundizar en temas básicosde las matemáticas y, así, comprender cuantitativamente el mundo que te rodea; establecerlas operaciones fundamentales con los números naturales, enteros y racionales, aplicándo-las en diferentes contextos, no sólo de tu vida diaria sino del saber humano en general.

Núcleo Básico 2


¿QUÉ TAN GRANDE O TAN PEQUEÑO ERES?

11 Estimación del orden de magnitud de un resultadoUso de la estimación del orden de magnitud

¿Te consideras un buen estimador? ¿Sabías que la estimación resulta una herramienta muypoderosa y ha sido usada y reconocida en todo el mundo? En seguida verás qué es laestimación en matemáticas.

RECUERDA. Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema:

¡De las 24 horas del día, Amalia dedica 13

a dormir, 14

a trabajar, 116

para transportarse,

112

a ver televisión y el resto a hacer ejercicio. ¿Cuántas horas dedica al ejercicio?

Observa el video y descubre las estrategias de los buenos estimadores y paraqué sirve la estimación.

Comenta con tus compañeros la idea central del programa.

Agrúpate en equipos de tres personas y efectúa una lectura comentada del texto:

ESTIMACIÓN DEL ORDEN DE MAGNITUD DE UN RESULTADO

Actualmente en muchas situaciones cotidianas resulta muy útil la estimación de resultados.Por ejemplo, al efectuar compras es necesario hacer una estimación de lo que se va a pagar,para saber si el dinero alcanza o para evitar un cobro indebido. En matemáticas resulta unaherramienta muy valiosa, ya que se puede prever el resultado aproximado de las operacio-nes aritméticas, o, si el cálculo estimado es cuidadoso, permite con frecuencia detectarerrores.

En primer lugar veamos cómo estimar el orden de magnitud de un número.Para poder desarrollar habilidades y actitudes que nos permitan hacer estimaciones, es im-portante tener presente la estructura del Sistema de Numeración Decimal.

Obsérvese el siguiente cuadro y los números que en él aparecen.

MATEMÁTICAS45

Períodos

Clases

Órdenes

El número 78 453 tiene una magnitud de quinto orden o un orden de magnitud en decenasde millar.

El número 956 tiene una magnitud de tercer orden o un orden de magnitud en centenas.

El orden de magnitud de un número se relaciona con el número de cifras que lo compo-nen. Este orden se enuncia con el número o nombre de ese orden.

4 312 tiene una magnitud de cuarto orden o un orden de magnitud en unidades de millar.

96 tiene una magnitud de segundo orden o un orden de magnitud en decenas.

Veamos ahora cómo estimar el orden de magnitud del resultado de las operaciones aritmé-ticas básicas.

Adición

Obsérvense las siguientes adiciones cuya suma ha sido obtenida por aproximación.

426 32 652 + 350 + 87 463 215 Resultado 4 278

900 estimado 123 000

Y sigue...

➔➔

MILLONES UNIDADES

MILLARESDE

MILLÓN

MILLARESUNIDADESDE

MILLÓN

SIMPLES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

CENTENAS

DECENAS

UNIDADES

7 8 4 5 39 5 6


En la primera adición el orden de magnitud de todos los sumandos es en centenas (tercerorden) y la suma aproximada también tiene el mismo orden de magnitud; se sumaron cente-nas y la suma fue en centenas.

En la segunda adición los sumandos mayores tienen un orden de magnitud en decenas demillar (quinto orden), pero la suma aproximada es en centenas de millar; tiene un orden demagnitud mayor que el de los sumandos. Con estas adiciones se ejemplifica la forma deobtener el orden de magnitud de la suma.

El orden de magnitud de la suma siempre es igual o mayor que el orden de magnitud delsumando mayor.

Multiplicación

Véanse las siguientes multiplicaciones cuyos factores han sido redondeados para obtenerun producto aproximado.

a) 1 825 1 800 b) 625 600

× 4 × 4 × 29 × 30

7 200 18 000

En la multiplicación se observa que el factor mayor (1 825) y el producto (7 200) tienen elmismo orden de magnitud (cuatro cifras cada uno).

En la segunda multiplicación puede observarse que el producto (18 000) tiene mayor ordende magnitud que el factor mayor (600).

Con la observación de estos dos productos se puede concluir que:

El orden de magnitud de un producto es igual o mayor (uno o más órdenes) que el orden demagnitud del factor de mayor orden de magnitud.

Sustracción

Analícense las siguientes sustracciones cuya resta es aproximada:

Resultado estimado

MATEMÁTICAS47

a) 62 438 b) 138 – 7 826 – 94 55 000 40

En la primera sustracción se puede observar que la resta tiene el mismo orden de magnitudque el minuendo (5 cifras cada uno).

En la segunda sustracción se observa que la resta (40) tiene un orden de magnitud menorque el minuendo (138).

De lo anterior se tiene que:

El orden de magnitud de una resta es igual o menor que el orden de magnitud delminuendo.

División

Obsérvense las siguientes divisiones cuyos términos han sido redondeados para obtener elcociente aproximado:

a) 78 ÷ 4 b) 936 ÷ 26

80 4 900 30 00 20 00 30

En la primera división se puede observar que el cociente tiene un orden de magnitud igual aldel dividendo.

En la segunda división se observa que el cociente tiene un orden de magnitud menor que eldel dividendo, por lo que se tiene:

El orden de magnitud de un cociente es igual o menor que el orden de magnitud deldividendo.

La estimación que se haga para el orden de magnitud del resultado en las operacionesde adición y multiplicación deberá ser mayor o igual que el orden de magnitud delsumando o factor de mayor valor. Y en las operaciones de sustracción y división elorden de magnitud del resultado deberá ser igual o menor que el orden de magnituddel minuendo o cociente.

La estimación del orden de magnitud de un resultado permite calcularlo aproximadamente,en forma mental y rápida.

Continúa trabajando en equipo para discutir las respuestas a:


1. ¿Por qué nuestro Sistema de Numeración está estructurado en clases?

2. En la clase que llamamos Unidades Simples, ¿cuál es el orden de cada una de dichasunidades?

3. a) Escribe un número cuya magnitud sea de quinto orden y que en el lugar de lasunidades sueltas y en el de las centenas tenga la cifra 0.

b) Escribe un número en el que haya 36 decenas y solamente ésas.c) Escribe tres números menores que 5 000 y mayores que 4 920.

4. ¿Qué relación puede existir entre el orden de magnitud de los sumandos y el de lasuma?

5. ¿Qué relación puede haber entre el orden de magnitud del cociente y el orden demagnitud del dividendo (en los números naturales)?

Comenta tus respuestas con compañeros de otro equipo, en caso de dudas consulta lalectura: Estimación del orden de magnitudes de un resultado.

Continúa con tu equipo y resuelve los siguientes ejercicios.

1. Completa el siguiente cuadro:

2. Escribe en tu cuaderno las operaciones propuestas y haz una estimación del orden demagnitud del resultado de cada una de ellas.

a) 48 + 367 + 2 458b) 2 864 × 97c) 684 ÷ 26

3. Analiza el siguiente cuadro, fotocópialo o hazlo en tu cuaderno; complétalo y respondelas preguntas propuestas al final.

Número Número de cifras Oden de magnitud

38 462 721

672 428

1 263 281

MATEMÁTICAS49

Los números bengalíes siguen el mismo principio del sistema usado internacionalmente. Sinembargo, los dígitos son diferentes y pueden confundirse algunas veces con numerales delSistema Internacional. En particular, el cuatro bengalí parece más bien el ocho del SistemaInternacional; lo mismo que el siete bengalí, que se parece al nueve.

Tomado de un texto escolar de M. Brown.

a) ¿Cuál es la base del sistema de numeración bengalí?

b) ¿Cómo se representa en este sistema el 47 y el 74?

c) ¿Por qué se utiliza el cero?

d) Representa en bengalí el 208 y el 4 507.

En forma individual, realiza en tu cuaderno lo que se te indica.

Sistema de numeración bengalíBengala es una región de la India


1. Considerando los números de cada rectángulo, encuentra el resultado aproximado decada una de las siguientes operaciones y escribe en tu cuaderno el orden de magnitudque tienen.

a) 84 327 b) 7 8693 + 1 764 – 2 4365 24 762

Redondea los números que intervienen en cada operación para encontrar el resultadoaproximado y escribe el orden de magnitud del mismo.

c) 360 × 485 × 23 = d) 63 934 ÷69 =

2. Escribe tu opinión acerca de la utilidad de la estimación de resultados y anota dossituaciones diferentes en donde se aplique.

¿Terminaste? Compara tus respuestas con la clave que se da. Detecta cuáles son tuserrores y corrígelos.

CLAVE

Cuando el valor de un número es varias veces mayor que el de otro, esto no indica que valgamás, sino que su valor numérico es mayor y, si además es divisible entre el menor, al segun-do se le conoce como múltiplo del primero.

Observa el video; procura no distraerte ya que en él hallarás información intere-sante.

Comenta con tus compañeros y tu profesor los aspectos del video que consideres más rele-vantes.

Para que comprendas mejor el tema, lee en grupo el texto:

a) 109 000, sexto orden;b) 50 000, quinto orden;c) 4 000 000, séptimo orden;d) 900, tercer orden.

GENERACIONES INTERMINABLES

12 Múltiplos de un número naturalPrecisión del concepto de múltiplo de un número

MATEMÁTICAS51

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL

Dentro de las matemáticas pueden establecerse relaciones entre los números como la deser mayor, menor o igual que otro, o como las de ser múltiplo o ser divisor de otro u otrosnúmeros. Aquí se verán aquellas que tienen que ver con la situación multiplicativa y especial-mente los conocimientos relacionados con múltiplos de un número natural.

• Si se tienen los números 3,12 y 27, ¿qué relaciones puedes establecer entre ellos?

• Las frases “12 es un múltiplo de 3” y “27 es un múltiplo de 3” ¿son verdaderas? Explicatu respuesta.

De lo anterior se concluye que 12 y 27 son múltiplos de 3. Ya sabes que para hallar múltiplosde un número se debe multiplicar el número dado por cualquier natural, incluyendo el cero,puesto que este también es un número natural.

Así algunos múltiplos de siete son:

7 × 0 = 07 × 1 = 77 × 2 = 147 × 3 = 217 × 4 = 28

Como se observa, el siete se multiplicó por números naturales y los productos obtenidos sonlos múltiplos de siete.

Con base en el ejemplo anterior, se tiene que:

1. Todo número natural es múltiplo de sí mismo.

7 × 1 = 7, siete es múltiplo de siete, es decir, es múltiplo de sí mismo.

2. Cualquier número natural es múltiplo de uno.

7 × 1 = 7, siete es múltiplo de uno, ya que es mayor y divisible exactamente.

3. El único número natural que no es múltiplo de otro, sino únicamente de sí mismo es eluno. Esto se debe a que el uno no es mayor ni divisible entre otro número naturaldiferente de 1.

4. Cero es múltiplo de cualquier número natural.

7 × 0 = 0, esto se debe a que 0 es un número natural. Es el único caso en que elmúltiplo es menor que el número.


5. La suma de varios múltiplos de un número es múltiplo de ese número.

Si se suman 0 + 7 + 14 + 21 + 28, la suma que se obtiene es 70; 70 cumple con las caracte-rísticas de ser mayor que siete y además divisible exactamente entre él.

Con base en lo expuesto, se tiene:

Para hallar los múltiplos de un número, se multiplica el número dado por cualquiernúmero natural, y para determinar si un número es múltiplo de otro, exceptuando elcaso del cero, se realiza una división: si ésta es exacta, el segundo número es múltiplodel primero. Asimismo, se debe tomar en cuenta que un número tiene un número infini-to de múltiplos.

Ahora comenta y responde las siguientes preguntas:

1. ¿Qué entiendes por múltiplo de un número?

2. ¿Qué determina si un número es múltiplo de otro?

3. ¿Por qué el cero es un múltiplo de cualquier número?

Lee tus opiniones ante el grupo, escucha las de los demás y enriquécelas con lo que consi-deres importante.

Forma un equipo de trabajo y contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo se determinan algunos múltiplos de un número natural dado?

2. ¿Cuál es el quinto múltiplo de 9, 13 y 38?

3. ¿Cómo sabes que un número es múltiplo de otro?

Compara tus respuestas con las de otro equipo; de existir duda, consulta con tu profesor.

Continúa con tu equipo de trabajo para que contestes lo que se te pide en cadacaso.

1. Con base en el siguiente esquema, di cuáles son los números que no son múltiplos de25.

MATEMÁTICAS53

25

60

175

40

3

25

105 30 1

90

15

120

5

2

10450

2. Auxiliándote con la calculadora, escribe en tu cuaderno si se cumple o no cada una delas expresiones que se dan a continuación y explica por qué.

a) 1 404 es múltiplo de 156

b) 104 128 es múltiplo de 32

c) 900 es múltiplo de 24

d) 6 570 es múltiplo de 18

e) 2 145 es múltiplo de 8

Compara tus respuestas con las de otros equipos; si existen errores, corrígelos.

En forma individual, contesta en tu cuaderno lo que se pide en cada caso.

1. Si un número a es divisor de otro número b, ¿qué puedes decir de b con respecto alnúmero a?

2. ¿Por qué el número 1 no es múltiplo de cualquier otro número?

3. ¿De qué número son múltiplos 30, 40 y 50?

4. En forma mental y con ayuda de la calculadora, halla cinco múltiplos mayores que 100,de los siguientes números: 17, 9, 35 y 41.

5. Si algunos de los múltiplos de un número son 84, 102, 136 y 153, ¿de qué número setrata?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si tienes errores, corrígelos y consul-ta con tu profesor en caso de duda.


SIEMPRE LOS MISMOS

13 Divisores de un número naturalPrecisión del concepto de factor o divisor de un número

Si tienes $8 000, ¿Ios puedes repartir exactamente entre dos de tus amigos, entre cinco oentre siete de ellos? Una manera de saber si es posible es por medio del manejo de loscriterios de divisibilidad, otra forma es saber si un número es divisor de otro. ¿Deseas saberen qué consiste esto?

Observa el video, ya que en él hallarás información que te ayudará a encontrar losdivisores de cualquier número natural. Posteriormente, comenta con tus compa-ñeros los aspectos que no hayas comprendido.

Lee el texto:

DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL

Como ya se vio, un múltiplo es un número se obtiene de multiplicar cierto número por otronatural; ahora bien, un divisor es un número que divide exactamente a otro número.

Para determinar si un número es divisor de otro, se aplican los criterios de divisibilidad, quefueron objeto de estudio en la G.A. sesión 2.30 del año anterior.

Ahora, para hallar todos los divisores de un cierto número se buscan las parejas de númeroso factores que al multiplicarse den como resultado ese número; para ello, se aplica el métodode ensayo y error. Esto indica que se deben ir multiplicando factores de manera que seobtenga el número buscado. Para esto, se debe tener en cuenta que un número tiene unacantidad limitada de divisores.

Ejemplos:

1. Hallar todos los divisores de 44.

44 × 1 = 4422 × 2 = 4411 × 4 = 444 × 11 = 442 × 22 = 441 × 44 = 44

2. Una vez que ya se tienen las parejas de números o factores que dan como producto 44,se toman éstos en forma ascendente o descendente, pues son los mismos; por lo tanto,los divisores de 44 son: 44, 22, 11, 4, 2 y 1.

MATEMÁTICAS55

3. Hallar todos los divisores de 96.

96 × 1 = 9648 × 2 = 9632 × 3 = 9624 × 4 = 9616 × 6 = 9612 × 8 = 968 × 12 = 966 × 16 = 964 × 24 = 963 × 32 = 962 × 48 = 961 × 96 = 96

Como los factores son los mismos leídos en forma ascendente o descendente, los divisoresde 96 son: 96, 48, 32, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2 y 1.

Para determinar si un número es divisor de otro, se aplican los criterios de divisibilidad.

Para hallar los divisores de un número, se buscan todas las parejas de números ofactores que den como producto ese número.

Forma pareja para que discutan lo que provoca cada pregunta:

1. ¿En qué casos aplicarías los criterios de divisibilidad para determinar si un número esdivisor de otro?

2. ¿Cuál crees que sea el inconveniente de buscar parejas de números para encontrardivisores de números mayores que 100?

3. ¿Por qué el número de divisores de un número se puede contar?

4. ¿Por qué el conjunto de divisores de un número también es el de sus factores?

Compara tus respuestas con las de otras parejas y lleguen a un consenso asesorados por suprofesor(a).

Sigue trabajando con tu compañero(a) para que resuelvas lo siguiente:

1. Mentalmente, determina si se cumple lo que se anota a continuación, aplicando loscriterios de divisibilidad.


a) 3 es divisor de 54 c) 5 es divisor de 200b) 2 es divisor de 29 d) 7 es divisor de 133

2. Con ayuda de la calculadora, determina si se cumple lo siguiente:

a) 18 es divisor de 4 230b) 32 es divisor de 2 000c) 84 es divisor de 46 032

Intercambia tu cuaderno con otra pareja para que compares tus respuestas; si existen erro-res, corrígelos.

En forma individual, contesta en tu cuaderno lo que se pide a continuación:

1. Escribe todos los divisores del número que se indica en cada caso.

a) 40 b) 16 c) 39 d) 24

2. En el siguiente esquema se dan cuatro de los cinco divisores de un número, encuentraese número.

Encuentra todas las parejas de números o factores que multiplicados den el número que setiene en cada caso y, posteriormente, escribe los divisores de cada número.

a) 20 b) 36 c) 51

Compara tus respuestas con las de otro compañero(a); en caso de tener errores, corrígelosy, si tienes dudas, consulta con tu profesor(a).

CLAVE

1.a) 1, 2, 4, 5, 8,10, 20, 40;b) 1, 2, 4, 8, 16;c) 1, 3, 13, 39.;d) 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.

2. 283.a) 4×5, 2×10, 20×1. 1, 2, 4, 5, 10, 20;b) 2×18, 3×12, 4×9, 6×6, 36×1. 1, 2, 3, 4,

6, 9, 12, 18, 36;c) 3×17, 1×51. 1, 3, 17, 51.

2

14

1

7

MATEMÁTICAS57

TODO QUEDA EN FAMILIA

14 Números primos y compuestosDistinción entre números primos y compuestos

En esta sesión observarás cómo se diferencian los número primos de los números compues-tos. Este tema ya lo estudiaste en grados anteriores.

RECUERDA. Con un(a) compañero(a) conversen y escriban aquello que saben acerca deestos números.

En primaria utilizamos fichas o puntos para representar los números, hagan algo parecidopara obtener fácilmente el conjunto de los factores de algunos números.

Trabajen con fichas o semillas, también pueden dibujar en sus cuadernos. Ojalá representenlos números hasta el 25.

• •• ••• •••• ••••• •••••• ••••••• •••••••• •••••••••

1 × 1 1 × 2 1 × 3 1 × 4 1 × 5 1 × 6 1 × 7 1 × 8 1 × 9

•• ••• •••• ••••• ••• •••• •••

•••

2 × 2 2 × 3 2 × 4 3 × 3

{1}; {1,2}; {1,3}; {1,2,4}; (1,5}; {1,2,3,6}; {1,7}; {1,2,4,8}; {1,3,9}

Trata de convertir los arreglos lineales en rectangulares. Escribe el conjunto de los factoreso divisores.

1. ¿Cuáles números tienen dos y solamente dos factores o divisores diferentes?2. ¿Qué puedes decir del número uno?3. ¿Recuerdas qué nombre reciben los números que tienen solamente dos factores?

Observa en el video los rasgos particulares tanto de los números primos como delos compuestos.

Intégrate a un equipo de trabajo y realiza una lectura comentada del texto:


NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

En ocasiones, al determinar los factores o divisores de uno o más números dados, se obser-va que algunos tienen varios divisores, otro tiene sólo uno y los demás, curiosamente, tienenúnicamente dos factores.

Ejemplos:

Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6,12.Los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18.El divisor de 1 es únicamente 1.Los divisores de 2 son 1 y el mismo 2.Los divisores de 5 son 1 y el mismo 5.

A los números que tienen dos divisores (el número 1 y a sí mismos) se les conoce comonúmeros primos.

A los números que tienen más de dos divisores se les conoce como números compues-tos.

Por lo que respecta al número 1, se dice que no es número primo ni tampoco númerocompuesto, ya que tiene únicamente un divisor.

¿Qué podrías decir con respecto al número 2?

En el siglo III a.C., un griego llamado Eratóstenes ideó un método a través del cual se podíanlocalizar los números primos. Una vez que realizó la identificación de dichos números, sutabla quedó como una criba, por lo que a este procedimiento se le conoce como Criba deEratóstenes, la cual consiste en colocar en una cuadrícula los números del 1 al 100 y aplicarlas siguientes reglas:

1. Se tacha el número 1 porque no es un número primo ni número compuesto.

2. Se tachan los múltiplos del 2, menos el 2.

Ejemplo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10,..., 100.

3. Se tachan los múltiplos de 3, menos el 3.

Ejemplo:

X X X X X

MATEMÁTICAS59

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., 100.


Ejemplo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., 100


Ejemplo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 21,..., 100

A continuación se muestra la tabla. En ella, los números que quedaron sin tachar son losnúmeros primos en tanto que los números tachados son los números compuestos, exceptoel uno.

X X

X XX X

Por lo tanto, los números que han quedado sin tachar en esta tabla o Criba de Eratóstenesson los números primos menores que 100, los cuales se presentan a continuación:

2, 3, 5, 7, 11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Con objeto de comprobar que sí son números primos, y que únicamente tienen dos diviso-res, se toman dos números cualesquiera que no estén tachados en la tabla y se hallan susdivisores.


Ejemplo:

83: el conjunto de sus divisores es {1,83}43: el conjunto de sus divisores es {1,43}

Los números compuestos menores que 100 son aquellos números naturales que han sidotachados en la tabla, con excepción del uno.

Con objeto de comprobar lo anterior, se toman de la tabla dos números (tachados) cuales-quiera y se hallan sus divisores.

Ejemplo: 8: el conjunto de sus divisores es {1, 2, 4, 8}

20: el conjunto de sus divisores es {1, 2, 4, 5, 10 y 20}

Con tu mismo equipo de trabajo comenta lo leído y, posteriormente, resuelve lassiguientes cuestiones:

1. ¿Qué número natural es divisor tanto de un número primo como de un número com-puesto?

2. ¿Habrá un número compuesto que tenga sólo dos divisores? ¿Por qué?

3. Utilizando la técnica empleada en la Criba de Eratóstenes, encuentren los númerosprimos y compuestos de los números naturales que se dan a continuación:

Comparen sus resultados con los de otro grupo e inviten a su profesor(a) a la discusión.

A continuación, resolverás individualmente un cuestionario:

1. ¿Cuál es el único número primo que es par?

2. Si un número natural tiene un solo divisor, ¿qué se puede decir de él?

3. ¿Puede existir un número primo con tres divisores? ¿Por qué?

4. Si se tiene un cuadrado de 9 cm de lado, ¿el valor de su área utilizará un número primoo uno compuesto? ¿Por qué?

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

MATEMÁTICAS61

Compara tus resultado con los que tu profesor proporcione y corrige los errores.

CLAVE

1. 2; 2. El número uno. Porque sólo tiene un divisor; 3. No. Porque los números primos sonaquellos que tienen sólo dos divisores; 4. Compuesto. Pues resulta de multiplicar dos númerosmayores que uno.

DESINTEGRACIÓN FAMILIAR

15 FactorizaciónDescomposición de un número en sus factores primos

Reflexiona lo siguiente.

En la multiplicación se trata de hallar el producto de los factores dados, pero ahora se trataráde hallar los factores de un número dado. ¿Crees que sea muy difícil?

RECUERDA. ¿Por qué hemos dicho, desde años anteriores, que los divisores de un númerotambién son sus factores?

Observa el video y después realiza un breve comentario de su contenido con tuscompañeros de grupo.

Lee en equipo el texto:

FACTORIZACIÓN

En algunos cálculos matemáticos se hace necesario hallar los factores de un número; esteproceso se conoce como descomposición en factores o simplemente factorización de esenúmero.

Ejemplo:

4 = 4 × 1 = 2 × 2 × 1

8 = 4 × 2 = 2 × 2 × 2 × 1

12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3 × 1

En los ejemplos anteriores se puede observar que un número puede factorizarse de diver-sas maneras; sin embargo, existe una forma muy útil en la aritmética para factorizar un nú-mero por medio de factores primos, la cual lleva a una factorización única.

El procedimiento para ello consiste en lo siguiente.


1. Se escribe el número que se quiere factorizar y a su derecha se traza una línea vertical.40

2. Se aplican los criterios de divisibilidad, efectuando las divisiones entre primos sucesi-vos en orden creciente, esto es, de menor a mayor. Los cocientes se van escribiendoen columnas debajo del primer dividendo.

40 2cocientes 20 2 factoressucesivos 10 2 primos

5 51

3. Cuando aparezca la unidad como cociente, se dice que la factorización de ese númeroha terminado.

40 2 20 2 10 2 5 5 1

4. Obsérvese que los factores primos de 40 son 2, 2, 2 y 5, los cuales se representancomo un producto.

40 = 2 × 2 × 2 × 5

La factorización o descomposición de un número natural en factores primos se usa comoherramienta para cálculos posteriores, como son la obtención del mínimo común múltiplo y elmáximo común divisor, así como la resolución de operaciones con fracciones.

Con base en esta lectura, trabaja en equipo y en tu cuaderno las siguientes cuestiones.

Analiza estas factorizaciones:

40 220 5 4 2 2 2 1

¿Son correctas las tres? ¿Por qué?

40 220 210 2 5 5 1

40 5 8 2 4 2 2 2 1

MATEMÁTICAS63

¿Cuál de las tres factorizaciones obedece a las divisiones entre primos sucesivos en ordencreciente? ¿Por qué?

Compara tus respuestas con las de tu compañero más cercano; si existen diferencias, con-sulta con tu profesor.

Reúnete con un compañero y discute la utilidad de los diagramas que vienen acontinuación.

Escribe el producto de los factores primos de cada caso. Escoge libremente dos números,que no sean primos y factorízalos utilizando el diagrama.

Compara tus resultados con los de otra pareja, si existen dudas, consulta con tu profesor.

Individualmente y en forma mental, resuelve los siguientes problemas.

1. Se tiene un rectángulo cuya área es de 35 cm2. Indica sus dimensiones (largo y ancho)de tal manera que sean números primos.

24

6

3 2

4

4 1

2 2

8

40

5

8 1

4

2 2

2


2. Se tiene un prisma cuadrangular cuyo volumen es de 105 cm3. Se desea saber lasmedidas del ancho, largo y altura. Si los números de las medidas son números primos,¿cuáles son sus dimensiones?

Compara tus respuestas con tu compañero más cercano; si no coinciden, consulta con tuprofesor.

CLAVE

TODOS TIENEN ALGO EN COMÚN

16 Mínimo común múltiploDeterminación del mcm de varios números

Una de las ideas relacionadas con la operación de multiplicar números naturales es la demínimo común múltiplo de varios números.

Dicha idea está en la base de muchos problemas de la economía, la ciencia y la tecnología,en los que se busca encontrar un mínimo de diversas cantidades.

En el siguiente video apreciarás algunas ideas del mínimo común múltiplo (mcm)¡Obsérvalo!

Lee en equipo el texto y, posteriormente, comenta ante el otro grupo la formacomo se obtiene el mínimo común múltiplo:

1. ancho = 5 cm y largo = 7 cm;2. ancho = 5 cm, largo = 3 cm, altura = 7 cm.

MATEMÁTICAS65

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Cuando se ordenan de menor a mayor los múltiplos de dos o más números, se observa quealgunos se repiten. A estos números que se repiten y que son comunes a los números da-dos, se les llama múltiplos comunes.

Ejemplo:

Obsérvense los primeros múltiplos de los números 4, 6 y 8.

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52...

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66...

Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88...

Los números encuadrados son algunos de los múltiplos comunes de los números 4, 6 y 8.

De ellos, hay uno que es de mucha utilidad para resolver una gran cantidad de situacionesproblemáticas: éste que es el menor de ellos, excepto el 0; recibe el nombre de mínimocomún múltiplo.

Aplicando lo anterior en el ejemplo mostrado, el mínimo común múltiplo de los números 4, 6y 8 es el 24. Esta expresión se simboliza así:

mcm (4, 6, 8) = 24

Muchos problemas de interés práctico se resuelven utilizando esta sencilla idea. Obsérvesela resolución del siguiente problema en el que se ejemplifica esa aplicación.

De la central de transportes de Bogotá salen buses cada tres horas rumbo a Cartagena;otros salen cada 4 horas con dirección a Valledupar y otros más, cada 6 horas hacia Pasto.Si a las 6 de la mañana de un día determinado coincide la salida de los buses, ¿después decuántas horas vuelve a coincidir la hora de salida de las tres líneas de buses?

Resolución

Es necesario encontrar el número de horas que tardan en salir los buses de cada línea yencontrar las horas de salida comunes (los múltiplos comunes de los intervalos 3, 4 y 6,exceptuando el cero, que en este caso carece de significado).


Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40...

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54...

Como en el problema se pide la hora de coincidencia inmediata después de la salida a las 6horas, se selecciona entonces el menor de los múltiplos comunes, esto es, el 12.

Por lo que el mcm (3, 4, 6) = 12.

Esto indica que los horarios de las tres diferentes líneas vuelven a coincidir después de 12horas a partir de las 6 de la mañana, esto es, a las 6 de la tarde.

Una manera de comprobar que 12 es el mínimo común múltiplo es ver si éste es divisibleentre 3, 4, y 6.

Con base en lo mostrado se tiene:

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunesa dichos números, que sea diferente de cero.

Sigue con tu equipo de trabajo y contesta lo que se pide en cada caso.

1. Mentalmente, obtén el mcm en los siguientes ejercicios:

a) mcm (3, 5, 6) b) mcm (4, 8, 10)

2. Con ayuda de la calculadora, determina el mcm para cada grupo de números:

a) mcm (8, 12, 15) b) mcm (10, 12, 19)

3. ¿Cuál debe ser la longitud mínima de una varilla de acero, de tal manera que puedapartirse exactamente en pedazos de 8 cm, 9 cm o 15 cm de longitud?

Compara tus resultados con otro compañero; en caso de existir dudas, consulta con tu profesor.

En forma individual, resuelve lo que se pide a continuación:

MATEMÁTICAS67

1. En tu cuaderno escribe los primeros ocho múltiplos de los números que aparecen en lacolumna de la izquierda; observa el primer renglón:

Con base en la tabla, completa en tu cuaderno las siguientes igualdades:

mcm (5, 10, 15) = ? mcm (2, 4, 5) = ? mcm (4, 5, 10) = ?

2. Se informa que los vuelos a tres ciudades distintas se realizan con las siguientes fre-cuencias:

A la ciudad X, un vuelo cada ocho días.

A la ciudad Y, un vuelo cada doce días.

A la ciudad Z, un vuelo cada quince días.

Si se sabe que el 10 de marzo hubo vuelos hacia las tres ciudades, ¿qué tiempo debetranscurrir para que coincidan nuevamente?

Compara con otro compañero o compañera tus resultados; en caso de que existan errores,corrígelos.

CLAVE

1. 4:0 4 81216202428mcm (5,10,15) = 30 5:0 5101520253035mcm (2, 4, 5) = 20 8:0 8162432404856mcm (4, 5,10) = 20 10:0102030405060702.120 días 15:015304560758095

Números Múltiplos

2 0 2 4 6 8 10 12

4

5

6

8

10

1215


RADIOGRAFÍA DE UN NÚMERO

17 Algoritmo del mcmConocimiento del algoritmo del mcm

En esta sesión vas a conocer el procedimiento para encontrar el mcm de dos o más númerosmediante su descomposición en factores primos.

Observa el programa de televisión, después realiza un breve comentario con tuscompañeros de grupo acerca de la obtención del mcm; en caso de que existandudas, consulta con tu profesor.

RECUERDA. Resuelve mentalmente los ejercicios siguientes:

Encuentra el mcm de las siguientes parejas de números:

a) 2 y 3 b) 5 y 15 c) 2 y 5

d) 4 y 8 e) 4 y 7 f) 3 y 7

Para que estés en condiciones de discutir cómo hacer para encontrar el mcm demás de dos números, lee en equipo el texto y contesta las siguientes cuestiones.

ALGORITMO DEL mcm

Un procedimiento sencillo para obtener el mcm de varios números es el de la factorizaciónsimultánea, el cual se detalla a continuación:

Ejemplo: halla el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8.1. Se escriben los números 4, 6 y 8 y, a su derecha, se traza una línea vertical

4, 6, 8 2

2. Aplicando los criterios de divisibilidad y factorizando en forma simultánea los números4, 6 y 8, se tiene que el primer factor primo es 2, al efectuar mentalmente las divisiones:

4, 6, 8 2 2, 3, 4

MATEMÁTICAS69

Aplicando el mismo criterio de divisibilidad, se ve que el 3 no es par, por lo tanto, se reescribeen el siguiente renglón, junto con los cocientes de los otros números al ser divididos:

4, 6, 8 2 2 3 4 2 1 3 2

Se aplica otra vez el criterio de divisibilidad entre dos, pero obsérvese que nuevamente el 3no es par, por lo tanto, se reescribe en el renglón de abajo, además de los cocientes respec-tivos:

4, 6, 8 2 2 3 4 2 1 3 2 2

3 1

Se aplica el criterio de divisibilidad para el último número que queda, 3, y se efectúa ladivisión, anotando en el siguiente renglón el cociente obtenido:

4, 6, 8 22 3 4 21 3 2 2

3 1 31

Su factorización termina cuando la unidad queda como residuo al final de la columna decada numero factorizado.

3. El mcm de los números 4, 6, 8 es el producto de los factores primos, es decir:

2 × 2 × 2 × 3

4. Finalmente, la representación será:

mcm (4, 6, 8) = 24

Los siguientes casos particulares para la obtención del mcm se presentan con tal frecuenciaque es conveniente tener reglas específicas.

Primer caso: dados dos números primos, el mcm de ellos es su producto.


Ejemplo:

El mcm de los números primos 7 y 11 es su producto, 77.

mcm (7, 11) = 77

Esto se puede comprobar de la siguiente manera:

7, 11 71, 11 11 7 × 11 = 77

mcm (7, 11) = 77

Segundo caso: dados dos o más números diferentes de cero, si uno de ellos es divisibleentre los demás, tal número es el mínimo común múltiplo de ellos.

Ejemplo:

En los números 3, 4 y 12 se puede observar que este último se divide exactamenteentre 3 y 4. Por consiguiente, el mcm de ellos es el 12.

mcm (3, 4, 12) = 12

Esto se puede comprobar de la siguiente manera:

3, 4, 12 23 2 6 2 2 × 2 × 3 = 123 1 3 3

1 1

mcm (3, 4, 12) = 12

Con la aplicación del mcm se pueden resolver problemas como el siguiente:

En un almacén se van a colocar bolsas de azúcar en dos costales; en uno de ellos, bolsas de12 kg y en el otro, sólo bolsas de 15 kg. Si se desea que los dos costales pesen lo mismo,¿cuál es el peso mínimo que puede tener cada costal?

Este problema puede resolverse encontrando el mcm de 12 y 15; al obtenerlo, por medio dela factorización simultánea, se tiene lo siguiente:

12, 15 26 15 2 2 × 2 × 3 × 5 = 603 15 31 5 5

1

MATEMÁTICAS71

mcm (12, 15) = 60

El peso mínimo que va a tener cada costal es 60 kg.

Esta no es la única aplicación del mcm; en algunos temas posteriores se verán otras.

Reúnete con una compañera o un compañero y, aplicando el procedimiento dedescomposición en factores primos, encuentra el mínimo común múltiplo de lossiguientes números:

a) (8, 32) b) (20, 30, 50)

Compara tus respuestas con las de otra pareja y, en caso de que existan diferencias, consul-ta con tu profesor.

Reúnete con dos compañeros más y forma un equipo para resolver en tu cuader-no los siguientes problemas:

1. En un almacén se van a colocar bolsas de arroz en dos costales; en uno de ellos,bolsas de 4 kg y en el otro, bolsas de 5 kg; si se desea que los dos costales pesen lomismo, ¿cuál es el peso mínimo que puede tener cada costal?

2. Martín cortó una pieza de tela en 16 partes iguales y Antonio cortó otra pieza de igualmedida en 20 partes iguales. Si en ambos casos no sobró tela y cada pieza de telamide un número entero de metros, ¿cuál es la menor longitud que tenían las piezas detela?

Intercambia con otro equipo los resultados obtenidos. En caso de que existan diferencias,consulta con tu profesor.

Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno:

1. En una fábrica se van a formar paquetes de jabones para cajas de diferente presenta-ción. Algunos paquetes se harán con jabones de 200 gramos y otros, de 450 gramos.Se desea que los dos tipos de caja pesen lo mismo. ¿Cuál es el peso mínimo quepuede tener cada caja?

2. ¿Cuál debe ser la longitud mínima de una varilla de acero para que pueda partirseexactamente en tramos de 8 cm, de 9 cm, o bien de 15 cm de longitud?

Intercambia tu cuaderno con el compañero más cercano; en caso de diferencia, consulta contu profesor.


CLAVE

a) 1 800 gramos;b) 360 cm.

UNO DE TANTOS

18 Máximo común divisorEstablecimiento del MCD de varios números

En esta sesión observarás que un número puede ser divisor de dos o más números y queello te puede ayudar a resolver algunos problemas.

Observa el programa de video y comenta con tus compañeros qué entendiste pormáximo común divisor.

Reúnete con un compañero, lee el texto:

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Si se buscan los divisores de dos o más números, se observa que uno o varios coinciden entodos ellos. Esos divisores comunes son de gran ayuda en la resolución de problemas coti-dianos.

Obsérvese el siguiente problema:

Juan tiene $15 000 y Luis $20 000. Ambos desean cambiar sus billetes por monedas de lamisma denominación y de la mayor posible. ¿Cuál es el mayor valor que pueden tener lasmonedas?

Para encontrar la mayor e igual denominación de las monedas se procede a buscar losdivisores de cada uno de esos números, teniendo en cuenta las monedas que circulan eneste momento (esta última condición debe actualizarse).

Divisores de $15 000 son 50, 100, 200, 500, 1 000Divisores de $20 000 son 50, 100, 200, 500, 1 000

Se observa que el mayor de los divisores comunes (pensando en las denominaciones de lasmonedas) es 1 000. El mayor valor de las monedas es 1 000.

Si se tratara de encontrar el MCD de 15 000 y 20 000, este será 5 000. ¿Por qué?

Máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número mayor que los dividea todos exactamente.

MATEMÁTICAS73

Para encontrar el MCD de dos o más números existen varios caminos. Algunos de ellos sonlos siguientes:

1. a) Se escriben los divisores de cada uno de los números.b) Se localizan los divisores comunes.c) Se selecciona el mayor de esos divisores.

2. Cuando se busca el MCD de dos o más números cualesquiera, es fácil encontrarlosobservando si el menor de ellos divide a todos los demás.

Ejemplo:

Encontrar el MCD de 12, 4 y 8. ...

De los números anteriores el 4 es el más pequeño y divide exactamente al 12 y al 8, con loque se puede afirmar que:

MCD (12, 4, 8) = 4

3. Si el número menor no divide a los otros números, entonces se procede a localizar losdivisores de ese número y dividir los otros entre cada uno de esos divisores. El mayorde ellos que divida a todos es el máximo común divisor.

Ejemplo:

Encontrar el MCD de 8, 15 y 28.

Se puede ver que el 8 es el número menor y no divide a 15 ni a 28; entonces se buscan losdivisores de 8.

Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8.

El 1 es divisor de los tres números, ya que el 1 es divisor de todos los números.

El 2 es divisor de 8 y 28, pero no de 15.El 4 es divisor de 8 y 28, pero no de 15.El 8 es divisor de 8 pero no de 15 ni de 28.

Por lo tanto, el MCD de 8,15 y 28 es el 1.

MCD (8,15, 28) = 1

Como se puede observar, este procedimiento es sencillo y mentalmente podemos llegar alresultado con facilidad.


Con tu compañero de lectura discute las respuestas a las siguientes preguntas:

1. ¿A qué se le llama máximo común divisor

2. ¿Cuál de las formas para encontrar el MCD te parece más sencilla? ¿Por qué?

Comenta tus respuestas con el grupo y corrígelas si es necesario.

Reúnete en un equipo con dos compañeros y resuelve los ejercicios siguientes:

1. Encuentra el MCD de los siguientes números, anotando en tu cuaderno el grupo dedivisores de cada uno de ellos.a) MCD (12, 20, 32) b) MCD (45, 15, 30)

2. Mentalmente busca el MCD de los números que se indican; para ello localiza entre losnúmeros el menor y resuelve los ejercicios:

a) MCD (12, 5, 24) b) MCD (30, 20, 10) c) MCD (20, 8, 12).

Compara tus ejercicios con los de otro equipo; corrige tus errores.

De manera individual, encuentra el MCD de los siguientes números con el métodoque gustes.

a) MCD (9,12,18) b) MCD (20, 50, 75)

Comenta con tu profesor tus resultados; si tus respuestas no son correctas, corrígelas.

CLAVE a) 3; b) 5.

ANATOMÍA DE UN NÚMERO

19 Algoritmo del MCDConocimiento del algoritmo del MCD

En matemáticas existen procedimientos que nos permiten resolver problemas de maneradirecta y sencilla. A continuación se presenta un procedimiento fácil para obtener el MCD.

Observa el programa de video. En él encontrarás información que te ayudará acomprender el algoritmo para obtener el MCD.

Comenta con tus compañeros y tu profesor la manera de aplicar el algoritmo en situacionescotidianas.

MATEMÁTICAS75

Con un compañero, realiza la lectura del texto.

ALGORITMO DEL MCD

Una vez que se ha establecido el concepto de MCD de dos o más números, se está enposibilidad de utilizar un procedimiento más sencillo para obtenerlo.

Para tal efecto, obsérvese con atención el desarrollo del siguiente problema que se le pre-sentó a un almacenista:

1. El almacenista tenía 16 calculadoras de bolsillo de color negro, 24 azules y 28 rojas;debía empacarlas de tal manera que en cada paquete hubiese igual número de calcu-ladoras del mismo color.

¿Cuál es el máximo número de paquetes que se puede formar? ¿Cuál es el mayor númerode calculadoras del mismo color que puede ir en el mismo paquete?

Dado el problema se procederá a obtener el MCD por medio del siguiente procedimiento.

a) Se factorizan simultáneamente los tres números hasta que se tenga un divisor co-mún.

Ejemplo:

16 24 28 2 8 12 14 2 4 6 7

b) Obsérvese que los números 4, 6 y 7 no tienen divisor común, con excepción del uno.Por lo tanto, se detiene el proceso y puede manifestarse que el MCD de los números16, 24 y 28 es el producto de los divisores comunes.

Por lo tanto:

MCD (16, 24, 28) = 2 × 2

El 4 indica el máximo número de paquetes que se pueden formar, de tal manera que cadapaquete contenga el mismo número de calculadoras del mismo color.

Ahora bien, se puede responder a la segunda pregunta si se considera lo siguiente:

El número máximo de calculadoras de cada color que se puede poner en 4 paquetes seobtiene si se divide el total de calculadoras entre el número de paquetes.Por lo tanto: 16 calculadoras negras 4 paquetes

= 4 calculadoras negras en cada paquete


24 calculadoras azules 4 paquetes

28 calculadoras rojas 4 paquetes

Luego, se tiene que en cada paquete hay 17 calculadoras de las cuales cuatro son negras,seis son azules y siete son rojas. Como se tienen cuatro paquetes, el total de calculadorasempacadas es 68.

Como se pudo apreciar, es posible resolver problemas en forma sencilla si se aplica el algo-ritmo del MCD.

Con la finalidad de confirmar lo aprendido, véase el siguiente problema:

2. Supóngase que se tienen 20 canicas de color rojo, 30 de color azul, 40 blancas y 50verdes y se quieren poner en bolsas, de tal manera que haya igual número de canicasdel mismo color en cada paquete.

¿Cuál es el máximo número de bolsas que hay que llenar?

¿Cuál es el mayor número de canicas del mismo color que pueden ir en cada bolsa?

Para solucionar este problema, se halla el MCD de 20, 30, 40 y 50.

20 30 40 50 210 15 20 25 5 1 3 4 5

Luego:

MCD (20, 30, 40 y 50) = 2 × 5 = 10

Esto indica que se formarán 10 bolsas.

El máximo número de canicas de cada color que se puede poner en 10 bolsitas se obtienedividiendo el total de canicas de cada color entre el número de bolsas esto es:

20 canicas rojas 10 bolsas

30 canicas azules 10 bolsas

= 6 calculadoras azules en cada paquete

= 7 calculadoras rojas en cada paquete

= 2 canicas rojas en cada bolsa

= 3 canicas azules en cada bolsa

MATEMÁTICAS77

40 canicas blancas 10 bolsas

50 canicas verdes 10 bolsas

Resulta entonces que en cada una de las diez bolsas habrá catorce canicas: dos rojas, tresazules, cuatro blancas y cinco verdes.

Resulta sencillo resolver situaciones como las anteriores, utilizando la descomposición denúmeros en factores primos y la obtención del máximo común divisor.

El algoritmo para hallar el MCD de dos o más números es un procedimiento mediante elcual se obtiene el mayor de los divisores comunes de dos o más números.

Comenta con tu compañero el procedimiento del MCD y expón tus dudas a tu profesor.

Individualmente, resuelve en tu cuaderno el problema siguiente, para lo cual ten-drás que utilizar la calculadora.

Una compañía constructora compró tres terrenos con las siguientes dimensiones: 1 440 m2,1 280 m2 y 800 m2, respectivamente; los desea fraccionar de tal manera que cada lote tengala misma extensión y que sean lo más grandes posible.

a) ¿Cuántos metros cuadrados tendrá cada lote?

b) ¿Cuántos lotes de igual medida y con la mayor extensión se obtendrán?

Compara tus resultados con los de la clave; si tienes errores, corrígelos.

CLAVE

a) 160 m2; b) 22 lotes.

RESUÉLVELOS TÚ MISMO

20 Problemas de mcm y MCDAplicación del concepto del mcm y del MCD en lasolución de problemas

¿Has pensado qué tipo de problemas se solucionan con la aplicación del mcm y el MCD?Esta sesión te servirá para profundizar en ello.

= 4 canicas blancas en cada bolsa

= 5 canicas verdes en cada bolsa


Observa el video. Comenta con tu grupo cómo resolvieron los problemas y siconoces otras formas de llegar al resultado.

RECUERDA. Contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:

¿Qué es el mcm de dos o más números? ¿Cómo puedes obtenerlo? ¿A qué se llama MCDde dos o más números? ¿Cómo se obtiene?

Con tu compañero, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

1. Se tienen 48 litros de aceite y 64 litros de vinagre. Si se envasan en recipientes delmismo tamaño, ¿de qué capacidad pueden ser los envases?

a) ¿Cuál es el mayor tamaño que puede tener el envase?

b) ¿Qué nombre recibe ese número con respecto a 48 y 64?

c) ¿Cómo obtuviste esos resultados?

2. Un señor cobra tres cheques de $250 000, $500 000 y $300 000, respectivamente. Sipide que le paguen los tres cheques con billetes de la misma denominación y de lamayor posible, ¿de qué valor serán los billetes?

Compara los resultados que obtuviste con los otros compañeros. Si no son iguales, realizanuevamente el procedimiento y corrígelos.

Individualmente, resuelve los problemas siguientes en tu cuaderno:

1. María compra 120 rosas y 80 claveles. Si desea hacer ramos de modo que cada unotenga la misma cantidad de flores del mismo tipo y de la mayor cantidad posible, ¿cuán-tas flores tendrá cada ramo y cuántos ramos saldrán en total?

2. Tres buses salen el mismo día de una terminal de transporte. El primero regresa cadaseis días, el segundo cada cinco y el tercero cada tres. ¿Cuántos días pasarán paraencontrarse todos nuevamente?

Comenta con tu profesor los resultados obtenidos y compara tus resultados con los de laclave. Si tienes errores, corrígelos.

CLAVE

1. 40 flores, 5 ramos ;2. 30 días.

MATEMÁTICAS79

Núcleo Básico 3

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Para la comprensión y el estudio de muchas situaciones problemáticas y la realización decálculos que conduzcan a solucionarlas, no es suficiente el empleo de los números natura-les. Veamos algunos casos:

• Recuerda que la sustracción entre números naturales estaba condicionada al hecho deque el minuendo fuese mayor que el sustraendo.

• Si utilizamos los números naturales para expresar las alturas de las montañas, ¿cuálesutilizaríamos entonces para expresar las profundidades de los yacimientos de petró-leo?


• ¿Has observado cómo indica un termómetro las temperaturas? ¿Qué significa el ceroen los termómetros? ¿Cuál es la temperatura promedio en tu ciudad?

• ¿Cómo diferenciar el hecho de avanzar y el de retroceder en un mismo camino, conrespecto a un árbol que se tome como referencia?

• ¿Cómo distinguir ganancias y pérdidas mediante expresiones numéricas?

Los números enteros que se estudian en este núcleo facilitan y permiten desde las matemá-ticas representar y resolver tales situaciones.

El empleo de los enteros y la iniciación en el uso del lenguaje algebraico son fundamentalespara el desarrollo del pensamiento matemático y proporcionan herramientas potentes paraexpresar y modelar situaciones de la vida cotidiana y de otras ciencias.

ANTES Y DESPUÉS DEL CERO21(85-1)

Los números enterosRepresentación de situaciones con sentidos opuestos

La idea de número natural es una de las más antiguas e importantes de las matemáticas. Sinembargo, esta clase de números, como ya comentamos, son insuficientes para describir,operar y, en último caso, registrar muchas situaciones que se dan regularmente.

Observa el video y amplía tu comprensión y tus conocimientos acerca de losnúmeros.

Comenta con tus compañeros de grupo sobre los casos en que se requiera el empleo de losnúmeros enteros.

Forma una pareja y realiza una lectura comentada del siguiente texto.

LOS NÚMEROS ENTEROS

Después de la creación de los números para contar, mujeres y hombres se encontraronsituaciones, como las ya comentadas, para las cuales resulta insuficiente la existencia denúmeros naturales. Por ello se creó una serie de números que permitiera modelar dichassituaciones. A esta serie se le llama números enteros, la cual se elaboró con base en lossiguientes acuerdos:

MATEMÁTICAS81

1. Para cada número diferente de 0, se propuso otro con el mismo símbolo, pero antepo-niéndole un signo menos (–), que en este caso no representa una sustracción, sino elsentido en que se avanza para llegar a él. A este número se le conoce como enteronegativo.

2. El número 0 no da lugar a un entero ni negativo ni positivo, pero se le considera comoelemento de esta serie.

3. Los números situados a la derecha del 0 se llamarán enteros positivos y los númerosrepresentados a la izquierda, enteros negativos.

En la recta puede observarse que para cada número a la derecha del 0 existe otro situado asu izquierda y a la misma distancia de éste, precedido del signo menos (–).

A la unión de ambas series (la que está a la derecha del 0 y la que está a la izquierda,incluyendo el 0) se le llama números enteros.

Así se puede decir que existen tres clases de números enteros: los enteros positivos, losenteros negativos y el 0.

Enteros positivos

Númerosenteros Cero

Enteros negativos

0 1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6

0 1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6

Enteros negativos Enteros positivos


Continúa trabajando en pareja y completa en tu cuaderno el siguiente diagra-ma.

Compara con otra pareja tu diagrama y, si hubo errores, corrígelo.

Integra un equipo y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.

1. Escribe frente a cada expresión otra que represente la situación opuesta.

Adelante Subir Perder

530 años antes de nuestra era. Ir de Bogotá a Cartagena.

Girar una vez en el sentido de las manecillas del reloj.

Sumar 15 a una cantidad. Restar 24 a una cantidad.

2. Usa la recta numérica para describir hasta qué punto llegó el cangrejo después derealizar los recorridos que abajo se indican. Para cada recorrido haz una recta.

El cangrejo siempre inicia cualquier recorrido en el cero.

Números

Enteros EnterosPositivos

No pertenece a los positivos ni a los negativos

0 1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6–7–8–9 7 8

MATEMÁTICAS83

3 pasos a la derecha, 4 pasos a la izquierda, 2 pasos a la derecha.

5 pasos a la izquierda, 2 pasos a la derecha, 2 pasos a la izquierda.

2 pasos a la izquierda, 4 pasos a la izquierda, 6 pasos a la derecha.

Compara tu ejercicio con el de otro equipo y corrige si tuviste errores.

Individualmente, efectúa el siguiente ejercicio en tu cuaderno. Describe el reco-rrido que se realizaría en la recta numérica en cada caso; se supone que siem-pre se parte de 0. Observa el ejemplo.

a) –5, 4, 3 Cinco lugares a la izquierda del cero, cuatro lugares hacia laderecha y tres lugares más a la derecha.

b) 2, –6, –3 c) –1, 1, 0, –4

Intercambia tu cuaderno con un compañero y revisa su ejercicio de acuerdo con la clave.Si tienes dudas, consulta con tu profesor.

CLAVE

b) Dos lugares a la derecha del cero, seis lugares a la izquierda, tres lugares más a laizquierda; c) Un lugar a la izquierda del cero, uno a la derecha, no hay desplazamientoy luego cuatro lugares a la izquierda.

SENTIDOS OPUESTOS

22(86-1)

Números y cantidades con sentidoDescripción de situaciones que se representan connúmeros enteros

Sin duda conoces situaciones que tienen significados contrarios, por ejemplo: alto y bajo;joven y viejo; limpio y sucio. Dentro de éstas también se marcan algunas en donde el signifi-cado opuesto entre una y otra depende de un punto de referencia, por ejemplo el hecho desubir o bajar de un piso a otro en un edificio; la altura de una casa y la profundidad de suscimientos; los años que han transcurrido antes o después del inicio de nuestra era, etcétera.

Observa el video en el cual comprenderás cómo los números enteros facilitanla representación de algunas situaciones con sentidos opuestos.

Reúnete con dos compañeros y efectúa una lectura comentada del texto si-guiente:


NÚMEROS Y CANTIDADES CON SENTIDO

En diversas situaciones, los números enteros tienen aplicación práctica, por ejemplo en larepresentación de pérdidas y ganancias comerciales, en la medición de ángulos, en localiza-ciones con respecto al nivel del mar, en temperaturas, en coordenadas geográficas, etcétera.

Representación de pérdidas y ganancias con números enteros

En las transacciones comerciales la contabilidad de pérdidas y ganancias de un negocio esde importancia fundamental. Lo mismo sucede en un hogar organizado cuando se requierellevar un control de los ingresos y los egresos.

Es tradicional asociar las ganancias de una transacción con números enteros positivos, laspérdidas con enteros negativos y el 0 con aquellas transacciones en donde no hay ni pérdi-das ni ganancias.

Por ejemplo, si en la contabilidad se anota una cantidad como $8 673 se está indicando queen la transacción se ganó esa cantidad de dinero; por el contrario, si se anota como –$8 673,la cantidad representa una pérdida.

Lo mismo se acostumbra hacer con respecto a los ingresos (enteros positivos), los egresos(enteros negativos) y la falta de ingresos y egresos (cero).

En el comercio también se representan los enteros negativos con cifras de color rojo, por ellocuando se tienen pérdidas se dice que se “está en rojo”.

Ángulos con sentido y números enteros

En geometría es útil considerar los ángulos como el resultado de la rotación de un rayoapoyado en su origen. Recuerda que en primaria construiste este concepto con base engiros de tu propio cuerpo y mediante su amplitud tomando como unidad la vuelta completa.

Rayo

El ángulo se forma cuando el rayo se mueve desde su posición inicial hasta su posición finalen la rotación.

• Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillasdel reloj, la medida del ángulo formado se expresa con núme-ros positivos.

• Si la rotación se da en el sentido de las manecillas del reloj, lamedida se representa con números negativos.

MATEMÁTICAS85

• Cuando la posición inicial y la posición final coinciden por no haber una rotación (y dehecho se tiene un solo rayo), se dice que se tiene un ángulo de cero grados.

Con estas convenciones se tienen ángulos positivos y negativos cuyas medidas se repre-sentan con números enteros.

Longitudes y números enteros

Muchas longitudes (medidas de segmentos de rectas) se pueden expresar con númerosenteros, de manera que permitan una descripción útil de algunas cantidades. En este apar-tado se muestra cómo los enteros pueden sustituir la descripción de alturas y profundidadesde la superficie terrestre en relación con “el nivel del mar”, o con cualquier otro punto de laTierra.

Así, al considerar el nivel del mar como cero, a las alturas se les atribuye una magnitudpositiva y a las profundidades, una negativa.

Con base en lo anterior, se afirma que el pico del monte está situado a 3 840 m y el subma-rino a –852 m.

Posición inicial

–105º

3 840 m

–852

0 m


Temperaturas y números enteros

Las temperaturas se miden con el termómetro. Uno de los más usuales es el de mercurio,cuya escala de medición está en grados centígrados.

Los cero grados (0 °C) de la escala en el termómetro corresponden a la temperatura decongelación del agua a nivel del mar, y los cien grados (100 °C) a la temperatura de ebullicióndel agua, también a nivel del mar.

Así, en esta escala, se conviene en asociar a los números positivos con las temperaturasmayores que 0 °C, y los negativos con las temperaturas menores de 0 °C.

En la escala del termómetro que se ilustra a continuación, se marcan las siguientes tempera-turas notables:

a) La máxima temperatura ambiental en nuestro planeta fue de 58 °C y se registró enAzizia, Libia (58 °C sobre cero), el 7 de septiembre de 1922.

b) La temperatura ambiental mínima en un sitio habitado se registró en Verjoiansk, Siberia,y fue de –67 °C (67 °C bajo cero).

c) La temperatura normal de una persona es de 37 °C.

Coordenadas geográficas y números enteros. Conexión con Ciencias Sociales

La longitud y la latitud son las coordenadas más importantes para localizar cualquier puntosobre la superficie terrestre, por ejemplo: una ciudad, un pueblo, un monte, etcétera.

Por otra parte, la latitud es la medida en grados que hay de un lugar cualquiera al Ecuador ypuede ser norte o sur. Las latitudes al norte se relacionan con los enteros positivos y laslatitudes al sur con los negativos.

La longitud también se mide en grados a partir del meridiano de Greenwich y puede serlongitud este u oeste. La longitud este se relaciona con los enteros positivos y la oeste conlos negativos.

–30 –20 –10 0 10 20 30 40 50 60 70

–30 –20 –10 0 10 20 30 40 50 60 70

MATEMÁTICAS87

En el mapamundi se puede observar que la península de Yucatán (México) se localiza en elpunto –75° de longitud y tiene una latitud de 20° aproximadamente.

Esto es, se localiza al oeste del meridiano de Greenwich y al norte del Ecuador.

¿Cuáles son las coordenadas geográficas de Colombia?

Es importante señalar que en la mayoría de los casos la elección del cero como puntode referencia de la unidad de medida y la asignación de números positivos o negativosde las magnitudes tratadas es meramente convencional; pero una vez determinadaesa convención, los números enteros describen esas situaciones de manera única.

Continúa trabajando en equipo y comenta las reflexiones promovidas por lassiguientes preguntas:

1. ¿Por qué es importante fijar un punto de referencia para ordenar cantidades, situacio-nes o eventos?


2. Cuando se toman los números enteros para representar o para modelar situaciones,eventos o cantidades, ¿cuál es el punto de referencia?

3. En la representación de pérdidas y ganancias, ¿cómo se asocian a ellos los númerosenteros?

4. Dibuja dos ángulos de un cuarto de vuelta, pero generados por rotaciones de sentidosopuestos.

Compartan sus reflexiones con las de otro equipo y traten de llegar a consensos.

Sigue trabajando con tus compañeros para resolver en tu cuaderno los ejerci-cios siguientes:

1. En cada caso digan si la medida de cada ángulo debe expresarse con números positi-vos o con números negativos.

2. Contesta las preguntas que se hacen con base en la ilustración que se te presenta enla siguiente página. Hazlo en tu cuaderno. Utiliza números enteros.

B

A

M

N

Y

X

MATEMÁTICAS89

a) ¿A qué altura, aproximadamente, se encuentra el avión?

b) ¿A qué profundidad se localiza el submarino?

c) ¿A qué profundidad o altura se ubica el barco?

d) ¿A qué altura está la gaviota?

e) ¿A qué profundidad nada el pez?

f) ¿Sabes a qué altura, en metros sobre el nivel del mar, se encuentra tu población?Anótala; si no sabes, investígala.

Compara tus respuestas con las de otro equipo y en caso de error corrige.

Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.

1. Contesta las preguntas:

a) En los registros comerciales, ¿cómo se representan las pérdidas?

b) Si se dice que la medida de un ángulo es de –312°, ¿cómo es su sentido y por qué?

c) La temperatura normal del cuerpo, ¿se anota con números positivos o negativos?

d) Las temperaturas en el Polo Norte, ¿cómo son?, ¿qué tipos de números se utilizanpara representarlas?


2. Utiliza números enteros para representar las siguientes situaciones:

a) Nadia tiene $8 000

b) Pepe debe $500

c) Lucio no perdió ni ganó en el negocio que cerró.

CLAVE

1. a) Con números negativos, con rojo, o entre paréntesis, b) Negativo, porque se da en elsentido de las manecillas del reloj, c) Positivos, d) Frías o bajo cero, negativos, e) Comenta estarespuesta con tus compañeros; 2. a) + $8 000, b) – $500, c) $0.

NO ES LO MISMO QUE23(87-1)

Ubicación en la recta numéricaIdentificar y ubicar enteros en la recta numérica

RECUERDA. Utiliza números enteros para representar las siguientes fechas:

a) El año 776 antes de nuestra era, iniciación de la era de las olimpiadas en Grecia.

b) El año 2000, cuando Colombia obtuvo una medalla de oro en levantamiento de pesasen las olimpiadas de Sydney 2000.

¿Sabías que los números enteros están colocados a la diestra y a la siniestra del cero?

Compara tus respuestas con las que se lancen a discusión.

Observa el programa de televisión, en él se mencionará la ubicación de losnúmeros enteros con respecto al cero.

Atiende las indicaciones de tu profesor para efectuar con tu grupo una lecturacomentada del texto Ubicación en la recta numérica. Haz énfasis en los con-ceptos de simétrico y valor absoluto de un número.

UBICACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Hasta el momento se han utilizado los números enteros para describir diferentes situacionesprácticas y para ello se recurrió a diversos esquemas, dibujos o ilustraciones.

MATEMÁTICAS91

Sin embargo, todas esas ilustraciones se podrían sustituir por una gráfica en la que se repre-senten únicamente los números enteros, sin que se señalen las cantidades a las que sepueden asociar. Tal gráfica es la recta numérica, que ya se ha utilizado para representarnúmeros naturales.

Recta numérica de los números naturales:

Obsérvese ahora la recta numérica de los números enteros:

La recta numérica de los números enteros es una ampliación de la recta de los númerosnaturales, en la que los números negativos se representan en sentido opuesto a los natura-les, utilizando la unidad de medida ya definida.

Observa que –1 está a igual distancia del 0, que 1.

Para muchos problemas en los que se utilizan cantidades o números muy grandes (fechashistóricas, longitudes sobre o bajo el nivel del mar), es conveniente utilizar rectas numéricasen las que las divisiones representan no una, sino un número mayor de unidades.

Enteros negativos Enteros positivos

En esta recta numérica cada división representa 100 unidades.


Como puede notarse, en la recta numérica de números enteros el punto de referencia es elcero (0), los enteros positivos se encuentran a su derecha y los enteros negativos a suizquierda.

Por lo tanto, para ubicar un número en la recta numérica debe considerarse su signo parasaber si se localizará a la derecha o a la izquierda del cero (0), en seguida a partir de éste secuenta el número de unidades que representa dicho número.

Ejemplo.

Ubicar en la recta el –5 y el 11.

Como –5 es negativo se localizará 5 unidades a la izquierda del 0, y como 11 es positivo seubicará 11 unidades a la derecha del 0.

En la recta numérica de números enteros, puedes ver que cada uno de los positivos y losnegativos que se generaron (sus opuestos) son simétricos con respecto al punto cero.Por esta razón se dice que cada uno de ellos es simétrico del otro.

Números naturalesEnteros negativos <SIMÉTRICOS> enteros positivos

–1 1–2 2–3 3–4 4–5 5

. .

. .

. . –1 000 1 000

. .

. .

Los números simétricos están a la misma distancia del cero, pero en sentidos opues-tos.

MATEMÁTICAS93

Por tal razón se dice también que sus valores absolutos son iguales.

En la recta numérica, se denomina valor absoluto a la distancia entre un punto numérico y elcero, sin importar su sentido o signo.

Así, el valor absoluto de –8 es 8, el de +4 es 4, etcétera. Obsérvese la recta numérica:

Valor absoluto = 8

Valor absoluto = 6

El valor absoluto se indica encerrando el número dentro de dos líneas verticales, por ejem-plo:

I 9 I = 9; se lee valor absoluto de 9 es igual a 9

I –18 I = 18; se lee valor absoluto de –18 es igual a 18.

Sin considerar la recta numérica puede decirse que el valor absoluto de un número (positivoo negativo) es el mismo número sin considerar el signo.

Reúnete con dos compañeros y contesta en tu cuaderno las siguientes pre-guntas:

¿Cuál es la diferencia entre una recta numérica de números naturales y otra de númerosenteros? ¿Cuál es el punto que se toma siempre de referencia en la recta numérica paraubicar los enteros positivos y los enteros negativos? ¿A qué números se les llama simétricosy cómo es su valor absoluto? ¿Dónde están colocados los enteros negativos en la rectanumérica? ¿Dónde están colocados los enteros positivos en la recta numérica?

Compara tus respuestas con las de otro equipo y, en caso de error, corrige.

Continúa trabajando en equipo y resuelve los siguientes ejercicios:

Ubica y escribe en tu cuaderno el simétrico de cada uno de los puntos designados con letras quese marcan sobre la recta numérica. Observa en el ejemplo, cómo el simétrico de A es –3.


Encuentra el valor absoluto de los números que se proporcionan:

a) I –386 I b) I 4 782 I

c) I 595 I d) I –595 I

¿Por qué el valor absoluto de 595 y –595 es el mismo?

Compara tus respuestas con las de otro equipo y, en caso de error, corrige.

En forma individual, resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. Escribe el número entero que representan los puntos señalados con las letras A, B, C,D, E. En esta recta cada división representa 10 unidades.

A = B = C = D = E =

2. Considerando la recta anterior, escribe el simétrico de cada número y además el valorabsoluto de cada pareja de números:

a) –10 b) +20 c) +30 d) –40 e) –50

Al concluir, compara tus respuestas con las de la clave y, en caso de error, corrige.

CLAVE

1.A = 40, B = 25, C = 0, D = –25, E = –50;2.a) 10, 10,b) –20, 20,c) –30, 30,d) 40, 40,e) 50, 50.

MATEMÁTICAS95

EL CERO ES MAYOR QUE MUCHOS24(88-1)

El orden entre los enterosIntroducir la idea de >, < o = entre los enteros

RECUERDA. Observa la siguiente recta numérica y utiliza los números enteros para decir elpunto donde se localiza cada corredor literal.

Compara tus respuestas con las del profesor y si tienes errores corrígelos.

Todo tiene un orden en esta vida, también hay orden en los números enteros y éste nosseñala cuándo un número es mayor, menor o igual que otro.

Observa el video en donde afianzarás tus conocimientos para establecer unarelación de orden entre dos números enteros.

Reúnete con un compañero y efectúa una lectura comentada del texto si-guiente:

EL ORDEN ENTRE LOS ENTEROS

Los números naturales son una serie ordenada. Esto significa que si se tienen dos númerosnaturales cualesquiera, siempre se puede indicar cuál de ellos es mayor, menor o igual queel otro.

Ya construimos explicaciones para comparar dos números naturales; sin embargo hasta elmomento no se tiene para los enteros negativos una razón clara que permita establecer esarelación entre dos de ellos o bien entre un entero negativo y otro positivo.

Para definir el orden entre dos números enteros vamos a ubicar algunos de ellos en la rectanumérica entera.

0 20 m 40 m 60 m


¿Cuál es mayor –3 o 3? ¿Por qué?¿Cuál es menor 3 u 8? ¿–3 o –7?

Veamos estos otros ejemplos:

8 > 3 porque 8 está a la derecha del 3–9 < 4 porque –9 está a la izquierda del 4–7 > –10 porque –7 está a la derecha del –10

6 > –6 porque 6 está a la derecha del –60 > –10 porque 0 está a la derecha del –10

Dados dos números enteros cualesquiera representados en una recta numérica:

a) Es mayor el que está a la derecha.b) Es menor el que está a la izquierda.c) Son iguales si les corresponde el mismo punto.

Observando la recta numérica, discute con tu compañero(a) si las siguientes afirmacionesson verdaderas o no y den ejemplos que ilustren sus discusiones.

1. Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo o bien, cual-quier entero negativo es menor que cualquier entero positivo. Ejemplo:

5 > –21 –30 < 15 –30 < 40

2. Cualquier número entero negativo es menor que cero; o bien el cero es mayor quecualquier entero negativo.

MATEMÁTICAS97

3. Cualquier número entero negativo es mayor que otro entero negativo, si el primer nú-mero está a la derecha del segundo número; o bien, cualquier entero negativo es me-nor que otro entero negativo, si el primero está a la izquierda del segundo.

Al verificar cada una de las afirmaciones anteriores en la recta numérica entera se puedeobservar que son ciertas.

Considerando el valor absoluto de los números negativos:

• Si se tiene dos números negativos, ¿cuál es el mayor?• Entre dos números negativos, ¿cuál es el menor?

Ejemplos:

–5 > –10 porque I –5 I < I –10 I

–240 < 50 porque I –240 I > I –50 I

Como resultado de las reflexiones anteriores se puede concluir que:

Al relacionar por su orden dos números enteros se cumple una y exclusivamente unade las siguientes tres posibilidades:

1. El primer número es mayor que el segundo.2. El primer número es menor que el segundo.3. El primer número es igual al segundo.

Estas tres posibilidades constituyen la propiedad de tricotomía del orden en los nú-meros enteros.

Otra propiedad importante del orden en los números naturales que se conserva para losenteros es la propiedad de transitividad. Con ella se pueden hacer afirmaciones como lassiguientes:

Si –8 < –5 y –5 < –3 entonces –8 < –3

Si 9 > 0 y 0 > –2 entonces 9 > –2

Concluyendo, se puede decir también que:

Los números enteros son una serie ordenada. Ya que si se tienen dos números enteroscualesquiera, siempre se puede establecer cuál de ellos es mayor, menor o igual que elotro.


Continúa trabajando con tu compañero(a) y completa los siguientes enunciados.

a) ¿Cómo utilizas la recta numérica para comparar números enteros?

b) ¿Es posible que un número entero negativo sea mayor que cero? ¡Explica!

c) ¿Cuántos enteros son mayores que –10? Represéntalos en una recta.

d) ¿Cuántos enteros son menores que –10? Represéntalos en una recta.

Continúa trabajando con tu compañero y resuelve en tu cuaderno los siguientesejercicios:

1. Coloca el signo >, < o =, según corresponda entre cada pareja de enteros y explica elporqué de esta relación.

–10 y –2; –28 y 5; 46 y 30; –286 y 0.

2. Ordena de mayor a menor los siguientes enteros.

23, –85, 0, –15, –7, 5, –3, 83.

3 Coloca el signo >, < o =, según corresponda y aplica la propiedad transitiva.

Ejemplo:

Como –3 > –9 y –9 > –10, entonces –3 > –10

a) Como –7 ? –6 y –6 ? –3, entonces ?

b) Como –20 ? 0 y 0 ? 50, entonces ?

Compara tus respuestas con las de otro equipo, en caso de diferencias averigua quién estáequivocado y si tienes errores corrige.

¿Has visto un caracolito? Te presentamos uno muy especial. Trabaja en tucuaderno.

1. Un caracol se desplaza en el sentido indicado por la flecha, sobre una recta graduada:

MATEMÁTICAS99

El caracol avanza una unidad por hora. Al mediodía él está en el punto de abscisa +3.¿Dónde se encontraría a las 11 a.m.?, ¿a las 9 a.m.?, ¿a las 8 a.m.?, ¿a las 6 a.m.? y ¿a las5 a.m.? Indica las diferentes posiciones utilizando los números negativos.

2. ¡El mismo caracol, otro día!

Al medio día, el caracol, que se desplaza en el sentido indicado por la flecha, está en laabscisa –3.

a) ¿Dónde se encontrará a las 13 horas?, ¿a las 15?, ¿a las 16?

b) ¿Dónde se encontraba a las 11 horas?, ¿a las 8?, ¿a las 9? y ¿a las 7?

3. Coloca el signo >, < o =, según corresponda entre cada pareja de enteros.

a) 45 80 d) –45 –80

b) 172 90 e) –172 –90

c) 25 36 f) –25 –36


Problemas en que se requiere sumar o restar enterosEstimación de resultados y cálculo mental

Cotidianamente se presentan situaciones en las que recurres a los cálculos matemáticospara buscar su solución.

Observa el video y comenta con tu equipo cómo se resolvieron los problemaspropuestos.

Intégrate a un equipo de tres y haz una estimación del resultado de cada unode los siguientes problemas, empleando el cálculo mental.

1. Una licuadora cuesta $67 500; si se han dado tres pagos de $7 500, ¿cuánto falta parapagar?

25(89-1)


2. Si Mercedes y sus dos hijas viajan de Cartagena a Barranquilla y el pasaje cuesta $13 000¿cuánto deberá pagar por las tres en un viaje de ida y vuelta?

3. Guille tiene 42 años. Si le sumamos la edad de Luis y le restamos 14 da por resultado40, ¿cuál es la edad de Luis?

Comenta con otros equipos por qué en la estimación de resultados hay diferentes aproxima-ciones.

Ahora forma una pareja y mentalmente estima el resultado de cada uno de lossiguientes problemas y regístralos en tu cuaderno.

1. Si la distancia entre Cartagena y Sincelejo por carretera es de 560 km y se llevanrecorridos 285 km, ¿cuántos kilómetros faltan por recorrer?

2. Un empleado independiente recibe quincenalmente tres cheques: uno por $750 000,otro por $245 000 y otro por $395 000. ¿Cuánto gana mensualmente?

3. La tía de Lucía y Gabriel dijo que si la acompañaban al mercado les repartiría en partesiguales el dinero que le sobrara. Si paga con un billete de $20 000 las compras de $14 500,¿cuánto le sobró? ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Compara con otra pareja y comenta tus resultados.

Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los siguientes problemas, y compa-ra tus respuestas con las que se dan en la clave; cualquier aproximación alresultado correcto es válido.

1. Marie Curie nació en 1867; a los 31 años descubrió el elemento radiactivo Polonio,cinco años después le otorgaron el Premio Nobel de Física; en 1911, le otorgaron porsegunda ocasión el Premio Nobel, ahora de Química, posteriormente muere en 1934.

a) ¿En qué año realizó su descubrimiento?

b) ¿Cuándo recibió el Nobel de Física?

c) ¿Qué edad tenía al obtener el Nobel de Química?

d) ¿A qué edad falleció?

2. El dióxido de carbono (CO2) está compuesto de oxígeno (O2) y de carbono (C). Si en 44 gde CO2 hay 32 g de O2, ¿cuántos gramos habrá de C?

3. Se desean llenar cuatro cajas de huevos. A cada una le caben 360, pero a la primera lefaltan 20 para llenarse, a la segunda le faltan 13 más que a la primera, la tercera tiene16 menos que la segunda y la cuarta tiene 10 más que la primera. ¿Cuántos huevostiene cada caja? ¿Cuántos huevos faltan en total para llenar las cuatro cajas?

MATEMÁTICAS101

4. Se va a sembrar caña en una parcela de 8 000 m2, entre tres personas, de tal maneraque a una le corresponde sembrar 1 500 m2 y a otra 4 750 m2. ¿Cuántos m2 le corres-ponde sembrar a la tercera persona?

CLAVE

1. a) 1989,b) 1903, c) 44 años, d) 67 años;2. 12 g;3. Primera caja 340 huevos, segunda caja 327 huevos, tercera caja 311 huevos, cuarta caja 350 huevos, faltan 112 huevos para llenar las cuatro cajas;4. 1 750 m2.

EN EL MISMO SENTIDO

Adición de enteros con el mismo signoManejo de la adición de enteros

El sumar números enteros es muy sencillo, en las sesiones que vienen aprenderás cómosolucionar problemas con esta operación, comprendiendo el significado de lo que realices.

RECUERDA. En la recta numérica, localiza los números siguientes, y anota la letra quecorresponde.

A 8 B –5 C 3 D –4

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay errores, corrige.

Observa el video, en donde verás la forma en que se suman los números enteroscon igual signo. Discute con tu grupo cómo se realizan los desplazamientospositivos y negativos en la recta numérica.

Reúnete con un compañero y lee el siguiente texto.

26(90-1)


ADICIÓN DE ENTEROS CON EL MISMO SIGNO

Los cambios de temperatura de un lugar, la altura entre un terreno y otro, los años transcurridosentre dos hechos son algunos ejemplos en donde se aplica la adición de números enteros.

Para definir la adición de números enteros se consideran los siguientes casos:

a) Adición de enteros positivos.b) Adición de enteros negativos.c) Adición de enteros positivos con enteros negativos.d) Adición de enteros positivos o negativos con el número cero.

Para ilustrar la adición y algunas otras operaciones con números enteros, estos pueden serinterpretados como desplazamientos sobre la recta numérica, considerando losdesplazamientos hacia la derecha como positivos y hacia la izquierda como negativos, loscuales se indican con flechas.

Como el 0 no es ni positivo ni negativo, de hecho no representa desplazamiento alguno.

Por ejemplo, se puede pensar en el número entero 3 como un desplazamiento cualquiera de3 unidades sobre la recta numérica. Algunas posibilidades se muestran a continuación.

Desplazamientos de 2 unidades hacia la izquierda pueden representarse con el enteronegativo –2 como se muestran a continuación:

Hechas estas consideraciones, se estudiará en seguida la adición de enteros en cada unode los casos señalados.

Adición de enteros positivos

Con los enteros positivos, como con los números naturales, la suma ya es conocida. Conviene,sin embargo, ilustrarlo en la recta numérica.

MATEMÁTICAS103

Ejemplo:

Sumar 4 + 5

a) Se representa con una flecha el primer sumando, iniciando desde 0

b) A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando, se inicia larepresentación del segundo sumando.

c) La suma o resultado es la distancia desde el 0 hasta el final del segundodesplazamiento.

Por lo tanto: 4 + 5 = 9

Esta representación gráfica ilustra una forma de sumar dos números enteros positivos.


Para sumar dos enteros positivos se suman los números en cuestión y el resultado es posi-tivo.

Adición de enteros negativos

Para adicionar dos números enteros negativos, por ejemplo –6 y –4, se seguirá el mismoprocedimiento del ejemplo anterior.

(–6) + (–4) =

a) Se representa con una flecha el primer número, iniciando desde 0.

b) A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando se inicia larepresentación del segundo sumando.

c) La suma es el entero representado por el desplazamiento que va desde el 0 hastael final del segundo desplazamiento.

MATEMÁTICAS105

Por consiguiente: (–6) + (–4) = –10. Obsérvese que el resultado es el simétrico de la sumade los valores absolutos de los sumandos.

El ejemplo anterior ilustra cómo sumar números enteros negativos.

Veamos esta situación: Juan le debe a Luis $23 508 y a Esteban $37 160, ¿cuánto debe entotal? Utiliza los enteros.

Las deudas se pueden representar con enteros negativos, entonces:

(–23 508) + (–37 160) = –60 668

Juan tiene en total una deuda de $60 668.

Para sumar dos números enteros negativos:

a) Se suman los valores absolutos de los sumandos, y

b) El resultado o suma es el simétrico de la suma obtenida, esto es, siempre es unentero negativo.

Con un compañero, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. Representa en la recta numérica las adiciones siguientes:

a) 5 + 4 =


b) (–8) + (–5) =

c) (–9) + (–6) =

Individualmente, resuelve en tu cuaderno los ejercicios siguientes:

1. Analiza la siguiente adición realizada en la recta numérica, y completa las cuestiones.

a) La adición se inicia en el punto...

b) El primer sumando es...

c) El segundo sumando es...

d) Por lo tanto, la suma es...

2. Realiza las siguientes operaciones:

a) 4 + 2 = b) (–6) + (–5) =

c) (–8) + (–10) = d) 12 + 8 =

MATEMÁTICAS107

Compara tus resultados con los de la clave. Si hay diferencias, verifica y corrige.

CLAVE

1.a) 0,b) –7,c) –6,d) –13;2.a) 6,b) –11,c) –18,d) 20.

SUMANDO GANANCIAS Y PÉRDIDAS

Adición de enteros con diferente signoManejo de la adición de enteros

No siempre los sumandos de una adición de enteros tienen signos iguales. Entonces losproblemas que los originan requieren nuevas comprensiones que te facilitarán encontrar elresultado.

Vamos con el fútbol.

En los dos últimos partidos entre los equipos que van adelante en la clasificación, los Vena-dos y los Chigüiros, los resultados fueron:

• En el primer encuentro, los Venados ganaron 3 puntos, mientras que los Chigüirosperdieron 2.

• En el segundo, los Venados perdieron 1 punto y los Chigüiros ganaron 6.

¿Cuál es en estos dos encuentros el balance de cada equipo? Exprésalo utilizando losnúmeros enteros.

Antes de estos dos últimos partidos, los Venados tenían 21 puntos y los Chigüiros 20.

¿Se modificó la clasificación?

RECUERDA. ¿A qué se le llama valor absoluto de un número?

Ve el video y haz anotaciones para comentarlas con el grupo.

Lee con un compañero el siguiente texto:

27(91-1)


ADICIÓN DE ENTEROS CON DIFERENTE SIGNO

A fin de comprender cómo sumar este tipo de números, como por ejemplo 5 y –2, se proce-derá de manera idéntica que en los casos anteriores.

a) Se representa con una flecha el primer número, iniciando desde 0.

b) A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando, se inicia larepresentación del segundo sumando.

c) La suma es el desplazamiento desde el 0 hasta el final del segundo desplaza-miento.

3 –2

5

Por lo tanto: 5 + (–2) = 3

Obsérvese ahora otra adición de este tipo, por ejemplo (–6) + 4.

a) Se representa con una flecha el primer sumando, iniciando desde 0.

MATEMÁTICAS109

b) A partir de donde llega la flecha que representa al primer sumando, se inicia larepresentación del segundo sumando.

4

–6

c) La suma es el desplazamiento desde 0 hasta el final del segundo desplazamiento.

+4 –2

–6

Por lo tanto: (–6) + 4 = –2

En la representación de estos dos ejemplos se observa que la adición de un entero positivoy un entero negativo puede tener resultado positivo o negativo, dependiendo de los númerosconsiderados.

Sin embargo, obsérvese que en ambos casos las sumas pueden obtenerse considerandoprimero los valores absolutos de los sumandos. Al mayor valor absoluto se le resta el menorvalor absoluto, y este resultado es positivo o negativo, si el sumando de mayor valor absolutoes positivo o negativo.

Analiza estas otras adiciones:

a) (–45 876) + 23 164 = –22 712, ya que

I –45 876 I – I 23 164 I = 45 876 – 23 164 = 22 712, y como

I –45 876 I > I 23 164 I el resultado obtenido es el simétrico de la resta; esto es

–22 712.

b) 164 312 + (–83 759) = 80 553, pues se tiene que:

I 164 312 I – I –83 759 I =164 312 – 83 759 = 80 553, y como


I 164 312 I > I –83 759 I, el resultado obtenido en la recta numérica es el resultado requerido,esto es, 80 553.

Discute con tu compañero(a) la siguiente conclusión:

Para sumar dos números enteros, uno positivo y uno negativo:

a) Se obtienen los valores absolutos de los sumandos.b) Se resta al mayor valor absoluto obtenido del valor absoluto menor.c) Si el sumando de mayor valor absoluto es positivo, el resultado es el obtenido de

la resta.d) Si el sumando de mayor valor absoluto es negativo, la suma es el simétrico de la

resta obtenida.

Una adición muy importante se presenta cuando los sumandos tienen igual valor absoluto.

Tener $63 504 y deber esa misma cantidad. Una vez realizado el pago, ¿cuál es la situacióneconómica de la persona?

63 504 + (–63 504) = 0, ya queI 63 504 I – I 63 504 I = 63 504 – 63 504 = 0.

La situación económica de la persona, con respecto al problema, es 0.

Analiza y justifica estas otras sumas:

(–56 108) + 56 108 = 0

(69 736) + (–69 736) = 0

Si los números enteros a sumar son simétricos, el resultado es 0.

Al realizar la adición de un número natural y el número 0 se observó que su suma siempreera el mismo número natural.

¿Te parece que esta propiedad se conserva en los enteros?

¿Cuáles serían los resultados de estas sumas?:

a) –356 + 0 b) 0 + (–1 564) c) 0 + 0 =

MATEMÁTICAS111

La suma de un número entero y el número cero siempre es el número entero dado.

Reúnete en equipo, y realiza los siguientes ejercicios y problemas.

1. Discutan oralmente las respuestas a las siguientes preguntas:

a) ¿En qué punto de la recta numérica se inicia la adición?

b) ¿Hacia dónde son los desplazamientos cuando el número es positivo?

c) ¿Hacia dónde son si el número es negativo?

2. Realiza en tu cuaderno las adiciones propuestas. Utiliza la recta numérica y anota elresultado.

a) 12 + (–5) =

b) (–8) + 7

c) 13 + 0 =

3. Halla las siguientes sumas:

(+5) + (+3) = (–5) + (–3) = (–5) + (+3) = (+5) + (–3) =


Verifica tus resultados con los de tus compañeros. Si hay errores, corrige.

Realiza individualmente, en tu cuaderno, los siguientes problemas:

1. Variaciones en los precios y adición de números enteros.

Utilicemos los enteros positivos para representar aumentos en los precios, y los negativospara indicar bajas en los mismos.

Así, +500 significa un aumento de $500; –500 es una baja de $500.

Completa:

a) (+500) seguido de (+300) = o (+500) + (+300) =

b) (–400) seguido de (–100) = o (–400) + (–100) =

c) (–1 500) seguido de (+800) = o (–1 500) + (+800) =

d) (+700) seguido de (–250) = o (+700) + (–250) =

e) (–900) seguido de (+1 200) = o (–900) + (+1 200) =

2. Escribe una pareja de números enteros cuya suma sea un entero positivo; en seguidaescribe otra cuya suma sea un entero negativo.

3. Juega y evalúate

Dados con números positivos y negativos.

Se juega con dos dados: uno rojo para avanzar y otro verde para retroceder, es decir, en elrojo considera los enteros positivos +1, +2, +3, +4, +5 y +6, y en el verde, los enteros nega-tivos –1, –2, –3, –4, –5 y –6.

MATEMÁTICAS113

Analiza los siguientes resultados:

Rojo Verde

• En un primer lanzamiento resultó +4 –2

• En un segundo lanzamiento, +6 –1

• En un tercer lanzamiento, +5 –3

a) ¿Después del tercer lanzamiento, sobre cuál casilla se estará?b) ¿Cuál puede ser el resultado de un cuarto lanzamiento para llegar a la casilla de llega-

da?c) ¿Hay otras soluciones? ¿Cuáles?

Compara tus resultados con los de tus compañeros y solicita la ayuda de tu profesor(a).Realiza tus adiciones nuevamente y, si son incorrectas, corrígelas.

¿DESAPARECE LA SUSTRACCIÓN?

Sustracción de enterosManejo de la sustracción de enteros

RECUERDA. La sustracción en los números naturales tenía sus restricciones, el minuendodebía ser mayor que el sustraendo. Ahora que conoces los números enteros, ¿te parece quesigue siendo válida esa condición?

Transforma sustracciones de naturales, en adición de enteros.

7 – 4 = 3 (+7) + (–4) = +3

12 – 7 = 5 (+12) + (–7) = +5

¿Cómo son los resultados de las sustracciones y los de las adiciones? Y si ahora tenemos:

7 – 9 = ? (+7) + (–9) = –2 ¡Se puede resolver!

5 – 8 = ?

12 – 20 = ?

38 – 52 = ?

28(92-1)


Para comprender el procedimiento de restar enteros, con los compañeros(as)

lee el texto que sigue:

SUSTRACCIÓN DE ENTEROS

En algunas situaciones de nuestra vida cotidiana, se requiere efectuar sustracciones dondeel sustraendo es mayor que el minuendo. Su solución es fácil y lógica gracias a los númerosenteros que ayudan a resolverlas.

Obsérvense los siguientes ejemplos:

1. Si tengo 5 cuadernos y en la escuela me piden 7, ¿cuántos me faltarán?

Este problema lo podemos interpretar como una sustracción, en donde el sustraendo (+7) esmayor que el minuendo (+5).

(5) – (7) =

La solución puede obtenerse en forma sencilla si se emplea la recta numérica, como semuestra a continuación:

a) Represéntese el desplazamiento del minuendo.

b) Represéntese el desplazamiento del sustraendo (+7) a partir de donde termina el des-plazamiento del minuendo, pero en sentido contrario como si fuéramos a sumar elopuesto de (+7) que es (–7).

c) La línea que va del 0 al final del sustraendo es el resultado o diferencia; la línea puntea-da señala el resultado de la resta.

MATEMÁTICAS115

resta

De donde (5) – (7) = –2 , porque –2 + (7) = 5 o también + (5) + (–7) = –2

2. (8) – (–3) = Recuerda que el opuesto de (–3) es (+3).

Se resuelve de la forma gráfica como sigue:

resta

Por lo tanto:

(8) – (–3) = 11 , porque 11 + (–3) = 8

Se debe recordar que el desplazamiento del sustraendo se inicia a partir de donde termina eldesplazamiento del minuendo, pero dirigido en sentido contrario, y que la línea que va del 0al final del sustraendo es la resta o diferencia.

Si se observan nuevamente los ejercicios anteriores saltará a la vista que la sustracción deenteros se convierte en una adición en la cual al minuendo se le suma el opuesto delsustraendo.

3. ( –9) – (–4) =


sustraendo resta

Entonces (–9) – (–4) = –5 , porque –5 + (–4) = –9

4. (–5) – (3) =

resta

Entonces (–5) – (3) = –8 , porque –8 + (3) = –5

5. ( –3) – (–9) =

resta

Por lo tanto (–3) – (–9) = 6 , porque 6 + (–9) = –3

De acuerdo con los ejemplos anteriores, se puede deducir que para efectuar la sustracciónde dos números enteros cualesquiera:

MATEMÁTICAS117

La resta o diferencia de dos números enteros se obtiene sumando al minuendo el simé-trico del sustraendo (el mismo número del sustraendo pero en sentido contrario).

Observa que no es que la sustracción desaparezca sino que se convierte en una adición deenteros. Es como si el signo (–) que representa a la operación significara “sumar elopuesto de”.

Así (–3) – (–9) significa

“a (–3) sumar el opuesto de (–9)”

(–3) + (–9) = + 6

Observa el video, toma apuntes acerca de aquello que te parezca importantecompartir y comentar con tus dos compañeros(as) de grupo.

Con tus dos compañeros de grupo contesta oralmente lo que se te pide a con-tinuación.

1. a) ¿En (18) – (6) cuál es el signo del resultado? ¿Por qué?

b) ¿En (7) – (21) cuál es el signo del resultado? ¿Por qué?

c) (5) – (–9) se puede escribir de otra forma. ¿Cuál? ¡Escríbela!

d) ¿De qué otra forma se puede escribir (–6) – (–2)? Representa la operación enuna recta numérica.

2. Completa los siguientes cuadros:

+3

+2

+1

–5

–1–2–3

–1

–2

–3

–2

–4

+3+2+1 +4

+3

+5

+3

+2

+1

–1–2–3

–1

–2

–3

–4

+3+2+1 +4

+2

+5

–5

–4

+4

+


3. Julio César y Augusto

Julio César nació en el año 110 a.C. y murió asesinado en el 44 a.C. Augusto nació en el 63 a.C.Llegó a ser emperador a la edad de 36 años y muere en el año 14 d.C.

a) Representa en una recta las fechas de nacimiento y muerte de los dos personajes.

b) ¿A qué edad murió Julio César?

c) ¿Cuántos años tenía Julio César cuando nació Augusto?

d) ¿Cuál era la edad de Augusto cuando murió Julio César?

e) ¿Cuántos años duró el reinado de Augusto?

Con un compañero(a) resuelve lo siguiente:

1. Completa el siguiente cuadro:

*Léase “a más el opuesto de b”.

a b a – b a + op (b)*

+9 +5

–15 –3

–9 +7

+8 –5

+5 –2

–4 +6

MATEMÁTICAS119

Comparando la columna de a – b y la de a + op (b), ¿qué puedes concluir? Escribe elresultado de tus observaciones.

2. Resuelve lo siguiente:

a) (20) – (11) = b) (2) – (14) =

c) (–15) – (10) = d) (–4) – (–8) =

e) (–16) – (–3) = f) (13) – (–6) =

g) (– 7) – (11) = h) (8) – (–19) =

3. Comprende el enunciado y haz lo pedido:

a) Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea –5.b) Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea +7.c) Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea –1.d) Da dos enteros de signos opuestos cuya suma sea +4.e) Da dos enteros de signos opuestos cuya suma sea –7.f) Da dos enteros cuya suma sea cero.

CLAVE

Para la proxima sesión trae una calculadora de bolsillo.

UN TECLADO SIN MÚSICA

La adición y la sustracción en la calculadoraUso de la calculadora para resolver

La rapidez con que avanza la tecnología actualmente requiere que nuestra preparación seamayor en algunos de sus campos.

RECUERDA. Con un compañero(a) completa el siguiente cuadro:

29(93-1)

a b a – b a + b

–3 –9

+13 +6

–15 –18

–12 +20

+8 +7

+3 +3

2. a) 9,b) –12,c) –25,d) 4,e) –13,f)19,g) –18h) 27.


Compara tu resultado con el de tus compañeros. Si hay errores, corrige.

Observa el video en el que verás algunas de las teclas principales de la calcu-ladora. Comenta con tus compañeros las ventajas que observas en su manejopara el cálculo de resultados.


LA ADICIÓN Y LA SUSTRACCIÓN EN LA CALCULADORA

Uno de los instrumentos de mayor importancia en la época actual para realizar cálculos yoperaciones de cierto grado de dificultad es la calculadora, pues ahorra tiempo en la realiza-ción de las operaciones haciendo la resolución de problemas más sencilla.

Para encontrar la suma de dos enteros positivos se utilizan dos teclas: +, =.

Obsérvese la adición siguiente:45 + 83 =

Se realiza oprimiendo las teclas en el orden en que aparecen, esto es:

4 5 + 8 3 =

y el resultado aparecerá en la pantalla de la calculadora:

1 2 8

De manera análoga se realiza la sustracción. Aquí se emplearán las teclas –, =.

3 2 5 – 7 8 5 =

y el resultado aparece en la pantalla:

– 4 6 0 o bien 4 6 0 –

Si en la adición uno de los sumandos es negativo, se oprimen las teclas +, –, = en el ordenque aparecen:

2 5 + – 7 8 =

y en seguida aparece el resultado:

MATEMÁTICAS121

– 5 3

Si la adición de enteros tiene más de dos sumandos se procede de la misma forma; esto es,se oprimen las teclas +, – en el orden que se dan en la operación:

3 2 + – 4 8 – 5 6 + 1 2 0 – 1 7 =

obteniendo el resultado:

3 1

Esta adición se puede realizar empleando las teclas M+, M– y MR. Observa lo siguiente:

a) La tecla M+ se emplea para almacenar los valores positivos.

b) La tecla M- se emplea para almacenar los valores negativos.

c) La tecla MR para obtener la suma o total.

Ejemplo:

Buscar la suma de:

48 + (–59) + 96 + (–258) + (–324) =

Para realizarla se suman los valores positivos, oprimiendo al final la letra M+ para quealmacene los valores positivos:

4 8 + 9 6 M+

Apareciendo el resultado:

1 4 4

Ahora se suman los valores negativos oprimiendo al final M– para que almacene elresultado de números negativos:


5 9 + 2 5 8 + 3 2 4 M–

Obteniendo el resultado:

6 4 1

En seguida se oprime MR y se obtiene el resultado:

– 4 9 7

La calculadora es de gran ayuda cuando se quiere comprobar el resultado de operaciones ocuando se requiere mayor rapidez en la resolución de un problema.

Reúnete con un compañero y propónganse adiciones y sustracciones para rea-lizarlas en la calculadora.

Con el grupo en pleno organicen un concurso para trabajar con la calculadora.

Realiza con un compañero(a) las operaciones siguientes en la calculadora; si-gue para ello los pasos que se señalan. Ten en la mano lápiz y papel para quevayas anotando los resultados.

1. (–45) + 89 + (–39) + 189 + (–79)

a) Suma los valores positivos. Oprime M+. ¿Cuál es el resultado?

b) Suma los valores negativos. Oprime la tecla M– (o INV M+). ¿Cuál es el resultado?

c) Oprime MR. ¿Cuál es el resultado?

2. 8 924 + (–3 456) + 15 925 + (–7 424)

a) Suma los valores positivos. Oprime M+. ¿Cuál es el resultado?

b) Suma los valores negativos. Oprime M–. ¿Cuál es el resultado?

MATEMÁTICAS123

c) Oprime MR. ¿Cuál es el resultado?

Compara tus resultados con otros compañeros. Si hay errores, corrígelos.

De manera individual, resuelve con tu calculadora las siguientes operaciones yanota los resultados en tu cuaderno.

1. 4 927 + 13 472

2. 8 724 –15 926

3. 45 + (–96) + (–128) + 294

4. 98 + (–35) + (–108) + (–227) + 95

5. 124 + (–98) + (–326) + 1 396 + (–87)

Compara tus resultados con los de la clave. Si hay errores, realiza nuevamente las operacio-nes y corrige.

CLAVE

1. 18 399;2. –7 202;3. 115;4. –177;5. 1 009.


Problemas de adición y sustracciónAplicación de la adición y la sustracción

Sumar o restar, he ahí el problema. Recordarás la adición y sustracción de enteros, lascuales aplicarás en la solución de problemas.

RECUERDA. Resuelve mentalmente los siguientes ejercicios:

a) (–25) + (+64) + (+25)b) ( + 3 709) + ( –408) + ( –3 709)c) (–21) + (+58) + (+20)d) (+7 881) + (+23) + (–7 882).

Observa el video y después comenta el tema principal con tus compañeros y tuprofesor(a).

30(94-1)


Coteja tus respuestas con otro compañero(a); si tus respuestas no son correctas, vuelve ahacer las cuentas.

Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los siguientes ejercicios:

a) Un comerciante invirtió $5 350 000 en mercancía. Al venderla obtuvo $9 480 000, ¿decuánto fue la pérdida o la ganancia? Anota al resultado el signo que le corresponda.

b) A un tanque de 45 litros de agua se le extraen 17 litros, después se le introducen 11litros y se le vuelven a extraer 21. Escribe la operación que representa esta situación yanota cuántos litros de agua quedan en el tanque.

c) Cinco niños jugaron con igual número de canicas cada uno y al terminar compararonsus pérdidas y ganancias. Los resultados de 4 de ellos fueron: 18 canicas, –10 cani-cas, –8 canicas y 12 canicas. ¿El quinto niño ganó o perdió canicas? ¿Cuántas? Anotael resultado con números enteros.

d) Cierto día la temperatura a las 11 de la mañana fue de 15 °C. Durante las siguientescuatro horas la temperatura varió así: en la primera bajó 3 °C, en la segunda subió 1 °C,en la tercera subió 4 °C y en la cuarta bajó 2 °C. ¿Cuál fue la temperatura a las 15horas? Represéntalo gráficamente.

Compara tus resultados con los de la clave y corrige si hay errores en operaciones y resulta-dos.

CLAVE

a) $4 130 000 (+); b) 45 – 17 + 11 – 21 = 18; en el tanque quedan 18 l; c) –12; d)+15 °C.

COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINARLAS MATEMÁTICAS

Repaso parcialIntegración de los conocimientos adquiridos

En esta sesión pondrás a prueba lo que hasta ahora has aprendido del núcleo, resolviendoejercicios y problemas.

Atiende el video junto con tus compañeros de grupo y tu profesor. A su término,coméntalo brevemente.

31(95-1)

MATEMÁTICAS125

Forma un equipo de trabajo y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. Compara cada pareja de números escribiendo entre ellos el signo >, < o =, segúncorresponda.

( –15, –16); (11, 12); (–1, 0); (–9, 6); (12, –25)

2. Realiza las siguientes adiciones y sustracciones de enteros:

a) (–1 234) + (–5 432) b) (–6 543) – (–7 825)

3. Escribe en el espacio correspondiente el número faltante.

a) 20 + (– ) = –80 b) + + (–35) = + 115

c) – – (+23) = –145 d) – (–10) = 50

4. a) Encuentra dos números enteros que cumplan las siguientes igualdades:

x + y = –5x – y = +25

b) Encuentra dos números enteros que cumplan:

x + y = –10x – y = –2

Individualmente, resuelve los siguientes problemas:

1. Un comerciante compró 12 kg de tomates especiales en $38 400; si al vender 6 kg harecuperado su inversión, la venta de los otros 6 kg es su utilidad. ¿Cuál es su utilidad?

2. El precio de un televisor a plazos es de $750 000. Di de cuota inicial $250 000, hepagado cuatro mensualidades de $125 000, ¿cuánto me falta pagar?

3. Un depósito de agua tiene una capacidad de 1 259 l , deaquí se reparten a 2 tanques 550 l y 435 l , respectiva-mente, ¿cuántos litros quedan en el depósito?

4. Los mayas fueron uno de los pueblos americanos quedesarrolló una cultura muy avanzada. Se cree que susprecursores llegaron a la península de Yucatán hacia elaño 2600 a.C., pero sólo hasta el año 650 a.C. desarro-llaron una cultura propia y original. Después del año 900d.C. fundaron varias ciudades en donde se encuentran


bellos monumentos de su cultura, como Chichén Itzá y Mayapán. Por esa época lasguerras entre estas ciudades debilitaron a sus habitantes y por ello, a la llegada de losespañoles en 1527, sucumbieron fácilmente Aún hoy quedan algunos descendientesde los mayas distribuidos en México, Guatemala y Honduras, que se dedican a la agri-cultura.

a) ¿Cuánto tiempo duró el esplendor de la cultura Maya?

b) ¿Cuánto tiempo trascurrió desde que llegaron los primeros precursores de los mayas ala península de Yucatán hasta que desarrollan su propia cultura?

CLAVE

1. $38 400; 2. $0; 3. 265 l; 4. a) 1 877 años, b) 1 950 años.

INTERPRETA LA AGRUPACIÓN

Los paréntesis y su usoSimplificación de expresiones con paréntesis

En muchas ocasiones es necesario y conveniente agrupar. Pero también se requiere inter-pretar correctamente una agrupación para poder simplificarla cuando se necesite. Esto ocu-rre en matemáticas con las operaciones. ¿Sabes simplificar expresiones con paréntesis?

RECUERDA. Algunos de éstos cálculos están equivocados

a) ( +3) + ( +25) = + 28b) ( – 47) + ( –5) = – 42c) ( –7) + ( +9) = +16d) ( +3) + ( –5) = –2

Muestra tus resultados al compañero más próximo y comenten el porqué del error.

Observa el video en el que se enseña el uso de los paréntesis para indicaroperaciones y su interpretación para simplificar expresiones contenidas en ellos.Al terminar, comenta con tus compañeros de fila lo que te haya parecido másimportante

Intégrate a una terna y realiza una lectura comentada del texto que sigue:

32(96-1)

MATEMÁTICAS127

LOS PARÉNTESIS Y SU USO

En ocasiones es necesario manejar expresiones que parecen muy complicadas. Esto ocurredebido a la forma en que están agrupadas diversas operaciones; es decir, cuando se requieranvarias operaciones sucesivas para llegar a una solución, hace falta emplear signos deagrupación que indiquen las operaciones que se van a efectuar en primer lugar y las que sevan a realizar después. Esos signos de agrupación son los paréntesis. Los hay redondos ( )y rectangulares [ ].

Por ejemplo:

(3 + 4) + 6

En este caso se está utilizando el paréntesis redondo y su función es la de indicar quéoperación se debe realizar primero. Es decir, se realiza la operación que está entre paréntesis(3 + 4) y el número que resulte se suma con el que está fuera del paréntesis, como se ve acontinuación.

(3 + 4) + 6 = 7 + 6 = 13

Véanse otros ejemplos:

a) 2 + (6 + 4) = 2 + 10 = 12

b) (3 + 5) – 1 = 8 – 1 = 7

c) 4 – (2 + 1) = 4 – 3 = 1

d) (6 – 2) + 7 = 4 + 7 = 11

e) 7 – (8 – 5) = 7 – 3 = 4

Cuando se trata de la multiplicación, es muy común utilizar paréntesis para indicarla, ya queel signo por ( × ) se puede confundir con la x (equis) que se utiliza con mucha frecuencia enmatemáticas para representar cantidades desconocidas. Lo mismo sucede con el punto deci-mal. Ve lo siguiente:

a) 4 (5 + 3) se interpreta como “cuatro por cinco más tres”, que se resuelve así:

4 (5 + 3) = 4 (8) = 32

b) (2 + 6) (3 + 1) se interpreta como “dos más seis por tres más uno” y se efectúa así:

(2 + 6) (3 + 1) = (8) (4) = 32

En algunos casos se hace agrupación de agrupaciones, por lo que se requiere paréntesis


rectangular [ ] y dentro de él se colocan los paréntesis redondos, como se ve en el siguienteejemplo.

6 [5 + (7 – 3) 4] =

Se debe considerar que cuando hay un signo de agrupación encerrado dentro de otro, debeefectuarse primero la operación indicada en el interior, como se ve en seguida.

6 [5 + (7– 3) 4] = 6 [5 + 4 (4)] = 6 (5 + 16) = 6 (21) = 126

Trabaja en tu cuaderno los siguientes ejemplos:

(5 + 6 + 2) + 8 = 13 + 8 = 21

30 – (6 + 5 + 4) = 30 – 15 = 15

(9 – 3) + (8 – 4) = 6 + 4 = 10

28 + [90 – (7 – 2)] = 28 + (90 – 5) = 28 + 85 = 113

(140 – 4) – [12 + (8 – 7 + 2 )] = 136 – (12 + 3) = 136 – 15 = 121

(8 + 6) 2 = (14) 2 = 28

(25 + 40) + 5 = 65 + 5 = 13

[(7 + 5) + 3] + [(7 – 1) + 2] = (12 + 3) + (6 + 2) = 4 + 3 = 7

La correcta interpretación de la agrupación de las operaciones por medio de paréntesis permitesimplificar expresiones que indican una serie de cálculos.

Esta simplificación de expresiones con paréntesis tiene gran aplicación en el álgebra, que esuna parte de las matemáticas que se estudia en la secundaria.

Si alguna idea no es clara, coméntala con tu grupo y con tu profesor(a).

Con la misma terna analiza y comenta las siguientes cuestiones.

a) ¿Cuándo es necesario el uso de más de un signo de agrupación?

b) Halla los siguientes resultados, compáralos y concluye en consecuencia.

(5 – 7) + 8 + ( 9 – 11)

5 – (7 + 8) + 9 – 11

MATEMÁTICAS129

(5 – 7) + (8 + 9 ) – 11

c) Cuando hay un signo de agrupación encerrado en otro, ¿cómo debe procederse?

Comenta tus respuestas con un compañero de otra terna. Si tienes errores, corrígelos.

Continúa con la misma terna y simplifica cada una de las siguientes expresionescon paréntesis. Trabaja en tu cuaderno.

a) (2 + 9) + 5 = b) (8 + 9) – 6 = c) [(11 × 6) – (3 – 2)] =

d) 2 (9 + 3) = e) 3 [4 + (6 – 2) 5] = f) [25 – (4 × 2)] – (5 –1) =

Muestra tu trabajo a los integrantes de otra terna. Si fallaste, corrige.

Individualmente, simplifica las siguientes expresiones con paréntesis.

a) [(8 + 2) ÷ 5] + [(6 – 3) ÷ 3] = d) (3 × 7 – [15 (8 ÷ 2)] =

b) [( 7 + 5) 4] + (–7 – 3) = e) 24 + [70 – (5 – 4)] =

c) 27 – (4 + 3 + 2) = f) 6 [7 + (4 – 1) 3] =

Compara tus respuestas con las de la clave, y si es necesario corrige.

CLAVE

a) 3;b) 38;c) 18;d) 2;e) 93;f) 96.

CUÁL SE RESUELVE PRIMERO

Jerarquía de operacionesDeterminar la prioridad de las operaciones

Cuando se tienen problemas en donde necesitas utilizar operaciones combinadas como lasuma, la resta, la multiplicación etc., para su solución se requiere que jerarquices las opera-ciones para que obtengas el resultado correcto, ¿qué tanto sabes de esto?

RECUERDA. Colocando paréntesis se puede variar el resultado de combinar varias opera-ciones.

De la expresión 7 × 3 + 2 × 5 – 6 obtén tres resultados diferentes, colocando paréntesis paracambiar la prioridad de las operaciones.

33(97-1)


Compara tu trabajo con el de otros compañeros.

Observa el video, en él se mostrará cómo se jerarquizan las operaciones fun-damentales. Después comenta con tus compañeros lo que te haya parecidomás importante.

Lee el texto:

JERARQUÍA DE OPERACIONES

Una correcta solución al obtener el resultado de un problema en donde se combinan lasoperaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación)requiere el establecimiento de un orden en dichas operaciones.

Ejemplo:

El sueldo diario de un obrero que trabajó de lunes a vienes es de $15 000. Gastó esasemana en comida $24 000 y en pasajes $10 000, además cobró $25 000 que le adeudaban,¿cuánto dinero le quedó esa semana?

La expresión 15 000 × 5 – 24 000 – 10 000 + 25 000 indica las operaciones que se necesitanpara obtener el resultado correcto.

¿Cómo se debe calcular el resultado de esta expresión para que responda a la pregunta delproblema? Hazlo en tu cuaderno.

Para evitar confusiones en el momento de realizar el cálculo de las operaciones, se debellevar un orden al operar.

1. Toda cifra debe estar agrupada con un signo.

2. Se debe potenciar y radicar en orden, de izquierda a derecha.

3. Hay que dividir o multiplicar en orden, de izquierda a derecha.

4. Debe sumarse o restarse en orden, de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Efectuar 8 + 6 ÷ 2 – 3 × 2 – 2

a) Se efectúa primero la división y la multiplicación, de izquierda a derecha.

b) Se realizan luego las sumas y las restas, de izquierda a derecha y se tiene:

MATEMÁTICAS131

Por lo tanto, la solución a la expresión es = 3.

Efectuar 5 (–7 + 3) – 14.

Cuando una expresión tiene operaciones indicadasdentro de un paréntesis, se procede a resolverlo de lasiguiente forma:

1. Se resuelven los elementos contenidos dentrodel paréntesis.

2. Se resuelve la multiplicación.

3. Se resuelve la resta.

En el caso de que existan dos o más paréntesis, entonces, se empieza de adentro haciaafuera.

Ejemplo: 4 4 3 7 4 62+( ) ÷ +( )[ ] +

5 (–7 + 3) – 14

–34

5 (–4) –14

–20 –14


1. Se resuelven primero los paréntesis:

4 [( 4 + 32) ÷ ( 7 + 4)] + 6

4 [ 11 ÷ 11 ] + 6

4 (+ 1) 6

4 6

Así, la solución a la expresión 4 4 3 7 4 62+( ) ÷ +( )[ ] + es = + 10.

Se concluye, entonces, que en toda expresión matemática se deben jerarquizar las opera-ciones que involucra, para poder llegar al resultado correcto.

La jerarquización de las operaciones señaladas se indica mediante el uso de paréntesis enlas expresiones.

Con un compañero(a) resuelve la expresión matemática:

[(40 ÷ 4) – ( 14 ÷ 2)] + (8 ÷ 2)

Muestra tus resultados a tu profesor, corrige si hay errores.

Forma una terna y resuelve lo siguiente:

Escribe en el paréntesis la letra que corresponde al resultado correcto de las siguientesoperaciones:

( ) (8 × 3) ÷ (6 × 4) a) 1 b) 16

( ) 54 ÷ 3 ÷ 2 × 3 a) 27 b) 3

( ) [(32 × 4) ÷ 6 – (4 × 2)] a) –2 b) 4

( ) 22 + 9 + 1 × 4 ÷ 2 a) 24 b) 13

MATEMÁTICAS133

Compara tus resultados con los de otra terna; si tienes errores, corrígelos.

De forma individual resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. (6 × 3) + [4 – 3 × 2 + (4 ÷ 2)] =2. 20 ÷ 5 × 3 + 2 ÷ 2 × 2 + 2 – 1 =

3. [(7 × 3) ÷ (3 × 22)] – 25 ÷ 5 =

Compara tus resultados con los de la clave, corrige si tienes errores.

CLAVE

1. 18;2. 15;3. 32.

OTRA FORMA DE REPRESENTACIÓN

LiteralesIniciación al uso de las literales

Con el objeto de que se puedan generalizar y crear modelos que permitan resolver proble-mas con datos diferentes pero con idéntico esquema de solución, para representar los nú-meros se emplean, además de las cifras insustituibles, otros símbolos que faciliten su inter-pretación.

34(98-1)

¿Sabes qué quiere decir A = l2 ¿Has utilizado esta fórmula? ¿Para qué? ¿Qué significa laletra A? ¿y la l? En ocasiones para expresar generalidades o patrones comunes a la solu-ción de algunos problemas —que pueden tener datos diferentes pero conservan un esque-ma similar para resolverlos—, no basta usar cifras, sino que se usan literales llamadas ex-presiones algebraicas; ¿las has utilizado?

Observa el video. Te enterarás qué son las literales y cómo se usan. Luegocomenta brevemente con dos compañeros lo que hayas entendido del tema.

Lee con un compañero(a) el texto Literales.

Escribe en tu cuaderno en qué casos has empleado las literales en tus estudios anteriores.

LITERALES

Las matemáticas tienen su propio lenguaje: el lenguaje matemático. Se trata de un lenguajetécnico en el cual no solamente se utilizan cifras para representar los números, sino también se

usan una serie de símbolos, como los de las operaciones fundamentales ( +, –, × , ÷, an, a ).


Para dar a entender lo que esto significa, considérese el siguiente ejemplo.

Se tiene un terreno de forma rectangular que mide 4 m de largo y 3 m de ancho. ¿Cuál es lamedida de su contorno?

En casos como éste, es conveniente auxiliarse de una figura que represente al terreno, en lacual se anotan las medidas en los lugares correspondientes, como se observa en el esque-ma siguiente:

Se sabe que en un rectángulo los lados opuestos tienen la misma medida y se puede obte-ner la medida de su contorno (o perímetro) sumando las medidas de los cuatro lados.

Entonces se tiene:

Medida del contorno: 4 m + 4 m + 3 m + 3 m = 14 m

Sin embargo, existe una infinidad de rectángulos con medidas diferentes. Las operacionesque aquí se han realizado solamente sirven para obtener la medida del contorno de unrectángulo que mide 4 m de largo y 3 m de ancho. Es necesario conocer una forma generalde obtener la medida del contorno de cualquier rectángulo.

En primer lugar, hay que recordar que al contorno de cualquier figura geométrica se le llamaperímetro y se denota con la letra P; además, se utilizan otras letras del alfabeto para repre-sentar el largo y el ancho de la figura.

Por ejemplo:

Para hacerlo así, es necesario convenir en que: a representa cualquier número entero—fraccionario o mixto— que será la medida del largo de un rectángulo cualquiera.

b representa cualquier número (entero, fraccionario o mixto) que es la medida del ancho deun rectángulo cualquiera. Entonces se tiene que:

4 m

4 m

3 m 3 m

a

a

b b

MATEMÁTICAS135

P a a b b= + + +

Pero hay que considerar que la suma a + a es parecida a “la adición concreta” de dos objetoscualesquiera de la misma naturaleza. Por ejemplo:

1 zapato + 1 zapato = 2 zapatos

1 lápiz + 1 lápiz = 2 lápices

entonces:

a a a+ = 2 y b b b+ = 2

Por lo tanto: P = 2a + 2b, lo cual significa que el perímetro de un rectángulo se obtienesumando el doble del largo (2a) con el doble del ancho (2b), o sea:

P a b= +2 2

De lo anterior se puede obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo, como semuestra a continuación:

a) Rectángulo

largo: 6 m y ancho: 2 m

P a b= +2 2

Se sustituye a y b por las medidas del rectángulo.

P = 2 (6 m) + 2 (2 m) = 12 m + 4 m = 16 m

b) Rectángulo

largo: 7 m y ancho: 4 m

P a b= +2 2

Sustituyendo:

P = 2 (7 m) + 2 (4 m) = 14 m + 8 m = 22 m

La expresión P a b= +2 2 sirve para obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo,siempre y cuando se conozca lo que éste mide de largo y de ancho. Por supuesto, es necesariosustituir correctamente a y b con las medidas del largo y ancho del rectángulo, y realizar lasoperaciones indicadas.

Cuando esto ocurre, una expresión como P a b= +2 2 , se considera como una fórmula o una


expresión algebraica que se puede aplicar para la obtención del perímetro de cualquierrectángulo.

En matemáticas, a las letras P, a, b se les llama literales y su función es representar en formageneral a cualquier número.

En las fórmulas:

A = l 2 A bh= A bh2

v dt

= A r= 2 etcétera, cada literal

representa cualquier número (natural, decimal, fracción común, negativo, etcétera).

El uso de las literales y de expresiones algebraicas tiene innumerables aplicaciones en elestudio de las matemáticas.

Con tu compañero(a) comenta los casos en los que hayas utilizado literales.

Forma un equipo de trabajo y resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestio-nes:

a) Si a = 5, entonces:

2a = 3a = 4a = 5a =

b) Si m = 3, entonces:

(m) (m) = m2 = (m) (m) (m) = m3 =

c) Si w = 2; x = 3, entonces:

(w) (x) = (2w + x) = wx

= ww

=

Muestra tus respuestas a un integrante de otro equipo. Si hay dudas, consulta con tu profe-sor. En caso de error, corrige.

Con el mismo equipo de trabajo, encuentra el valor de la velocidad (v), la dis-tancia (d) o el tiempo (t), de acuerdo con las fórmulas y los valores asignadosa las literales.

Fórmula : v dt

= d = 450 m ; t = 5 s v =

Fórmula : d = vt v = 12 m/s; t = 10 s d =

Revisa tus respuestas con las de los integrantes de otro equipo. Si es necesario, corrige.

MATEMÁTICAS137

En forma individual, encuentra el área (A) de algunos triángulos, dados losvalores de la base (b) y la altura (h), así como la fórmula respectiva.

a) Fórmula Ab h= ( )( )

2b = 3 cm h = 8 cm A =

b) b = 7 m h = 12 m A =

c) b = 9 cm h = 7 cm A =

Compara tus resultados con los de la clave. Si tienes errores, corrígelos.

CLAVE

a) 12 cm2;b) 42 m2;c) 31.5 cm2.

SIMPLIFICACIÓN DEL LENGUAJE

Escritura algebraicaManejo del lenguaje simbólico

Las matemáticas se expresan en su propio lenguaje. Para dominarlo, es necesario aprendera traducir del lenguaje común al lenguaje simbólico, propio de esta ciencia, lo cual se puederealizar mediante el uso de las literales y razonando adecuadamente.

Observa los videos 99 y 100 en los cuales se mostrará cómo es posible escribiren un lenguaje simbólico aquello que está expresado en un lenguaje común onatural. Luego, participa en una lluvia de ideas con todo el grupo. Tambiénobservarás cómo tabular valores numéricos de una expresión algebraica.

RECUERDA. Escribe las siguientes frases usando literales y los símbolos de las operacio-nes implicadas.

La suma de dos números cualesquiera es 24.

Si al producto de dos números cualesquiera le resto 3, el resultado es igual a 32.

El cuadrado de la suma de dos números.

El cubo de la diferencia de dos números.

Participa en una lectura comentada del siguiente texto:

35(99-1)


ESCRITURA ALGEBRAICA

En la resolución de muchos problemas se requiere aprender a sustituir literales de una fórmulapor los datos del problema, realizando, después, las operaciones indicadas. Esto es muyfrecuente en geometría cuando se realiza el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. Tam-bién ocurre en otras ramas de las matemáticas y con muchas ciencias; sin embargo, existenmuchos otros problemas para los cuales no hay una fórmula que conduzca a la solución.Cuando esto ocurre, es necesario razonar y así encontrar un camino que sea adecuado pararesolverlos. Aquí se requiere traducir el enunciado del problema —que está dado en unlenguaje común— al lenguaje propio de las matemáticas, que es un lenguaje simbólico.

El manejo del lenguaje simbólico, como es natural, se logra estudiando desde lo más ele-mental —aplicándolo siempre que sea posible— hasta adquirir seguridad después de haberpracticado con cierta intensidad. Consideremos los siguientes ejemplos:

Lenguaje común Lenguaje simbólico

Un número cualquiera a

La suma de dos números a + b

El cuadrado de la suma de dos números (a + b)2

La diferencia de dos números m – n

El cuadrado de la diferencia de dos números (m – n)2

El producto de dos números cd (cuando se usanliterales, no se requiereel signo para indicar lamultiplicación).

El cociente de dos números ac

El cubo de un número w3

La raíz cuadrada de un número c

El doble de un número 2x

El triple de un número 3y

La mitad de un número a2

MATEMÁTICAS139

La tercera parte de un número z3

Ahora se resolverán y tabularán problemas para ilustrar de manera sencilla la aplicación dellenguaje simbólico.

1. Héctor tiene cierta cantidad de dinero. Si recibe $200 000, la cantidad que tieneHéctor se triplica. ¿Cuánto tiene originalmente Héctor?

Haciendo uso del lenguaje simbólico, se tiene:

Cantidad que posee Héctor: x

Esa cantidad aumentada en $200 000: x + 200 000

La suma de esas dos cantidades es el triple de lo que tenía Héctor:

x + 200 000 = 3x

Cuando se tiene una suma de dos sumandos, entonces se obtiene uno de estos si de lasuma se resta el otro, por lo tanto:

3x – 200 000 = x y 3x – x = 200 000

De estas dos expresiones, la que resulta útil para avanzar hacia la solución del problema es:

Si de 3x se quita una x, quedan dos, entonces:

2x = 200 000

Ahora si 2x equivale a $200 000, una x equivale a la mitad de 200 000, que es 100 000, o sea:

x = 100 000

Esto significa que la cantidad que tiene Héctor es $100 000

Esto es cierto porque $100 000 + $200 000 = $300 000 y 300 000 es el triple de100 000, o sea, 3 veces 100 000

2. La fórmula B b h+( )2 representa el área de una figura plana. ¿Cuál es esa figura?

Haz una representación de ella y ubica cada uno de los literales en el sitio correspondiente.

Tabular la fórmula A = B b h+( )2, para los siguientes valores de B, b y h:

B = 8, b = 2, h = 3B = 6, b = 3, h = 2


Tabulando estos valores, se tiene que:

De esta forma, se pueden tabular los valores numéricos de cualquier expresión algebraicacuando se asignan determinados valores a sus variables.

3. Halla los valores numéricos de la expresión algebraica 2x –1 para los valoresx = 1, 2, 3, 4, 5.

Tabulando los valores de la variable x y los valores numéricos de la expresión 2x – 1, seobtiene:

Si tienes alguna inquietud, coméntala con tu profesor(a).

B = 5, b = 4, h = 4;B = 4, b = 3, h = 2;

Sustituyendo los valores en la fórmula A B b h= +( )2se obtiene:

para B = 8, b = 2 y h = 3, A = +( ) = ( ) =8 22

3 102

3 15

para B = 6, b = 3 y h = 2, A = +( ) = ( ) =6 32

2 92

2 9

para B = 5, b = 4 y h = 4, A = +( ) = ( ) =5 42

4 92

4 18

para B = 4, b = 3 y h = 2, A = +( ) = ( ) =4 32

2 72

2 7

B 8 6 5 4

b 2 3 4 3

h 3 2 4 2

A B b h= +( )215 9 18 7

x 1 2 3 4 5

2x – 1 1 3 5 7 9

Valores dela variable

Valoresnuméricos

MATEMÁTICAS141

Muestra tus respuestas a un compañero de otra pareja, y si tienes errores, corrígelos.

Con la misma pareja traduce en tu cuaderno, del lenguaje común al lenguajesimbólico, las siguientes expresiones.

a) La diferencia de los cuadrados de dos números.b) El producto de dos números.c) El triple de un número.d) La tercera parte de un número.e) El cubo de un número.f) La suma de los cuadrados de dos números.

Muestra tus respuestas a los compañeros de otra pareja. Si fallaste, corrige.

1. En forma individual, en tu cuaderno, expresa en lenguaje simbólico lo quese te pide.

a) La suma de tres números. b) La suma de dos números es 27.c) La diferencia de dos números es 8. d) Un número, más 5.e) Un número, más el doble de otro. f) Un número, menos 3.g) El doble de un número más el triple de otro.

2. En forma individual, tabula los valores numéricos de la expresión v dt

= .

Con un compañero(a) relaciona las expresiones del lenguaje común, que estánen la columna izquierda con las de la derecha (expresadas en lenguajesimbólico), colocando dentro de cada paréntesis el número que corresponda.

1. La mitad de un número ( ) n4

2. La suma de dos números ( ) a2

3. El cuadrado de un número ( ) bd

4. El cociente de dos números ( ) 2ª

5. La raíz cuadrada de un número ( ) b2

6. La cuarta parte de un número ( ) m

( ) x + y


para los valores de d y t que se dan a continuación: d = 35; t = 2; d = 48;t = 3; d = 43; t = 5; d = 37; t = 6,

Compara tus respuestas con las de la clave y corrige si tienes errores.

CLAVE

1.a) b + c + d;b) m + n = 27;c) x – y = 8;d) a + 5;e) c + 2m;f) y – 3;g) 2a + 36.

2.

Nota: las literales pueden ser diferentes a las de la clave, siempre y cuando la expresión seala que se pide.

UN SUMANDO DESCONOCIDO

Ecuaciones de la forma a + x = b y a – x = cObtención del valor de un sumando

En las matemáticas, la tendencia fundamental del álgebra es anotar de manera abreviadalas operaciones que deben efectuarse y sus resultados, de una forma simple y perfecciona-da que haga claro, sencillo y rápido su manejo.

RECUERDA.

1. Si a un número se le suma su simétrico, ¿cuál es el resultado?2. El inverso aditivo de un número, ¿cómo se obtiene?3. ¿Cómo representas la expresión: un número cualquiera disminuido en 4 unidades?4. Calcula:

a = (–3) – [(–5) + (+3)] + [(+7) – (+11)]

b = (+22) – [(+38 ) – (–57) – (+14)]

c = 8 – (–8) + [(–3 ) – (+3)] – [(+1) – (–1)]

Compara tus respuestas con otro compañero cercano. En caso de duda, pregunta a tuprofesor(a).

36(101-1)

d35484337

t2356

vdt

=17.5168.66.1

MATEMÁTICAS143

Lee con dos compañeros(as) el siguiente texto:

ECUACIONES DE LA FORMA a + x = b y a – x = c

Al ir a pagar la reparación de su carro le presentaron al señor Juan la siguiente cuenta queestaba manchada de tinta. ¿Se podrá saber cuánto le cobraron de mano de obra al señorJuan?

Con tus compañeros(as) de equipo resuelvan el problema.

Para saber el costo de mano de obra, se plantea la siguiente situación:

$1 985 000 + = $2 400 000

¿Qué número sumado con $1 985 000 da como resultado $2 400 000?

Para contestar esta pregunta, se tiene que hacer una resta de la siguiente forma:

2 400 000 Total – 1 985 000 Refacciones

415 000 Mano de obra

El número 415 000 sumado con $1 985 000, da como resultado $2 400 000. Por lo tanto, sepuede concluir que le cobraron $415 000 por mano de obra, porque

TALLER AUTOMOTRIZ“VELÁZQUEZ”

CUENTA DE GASTOS DE REPARACIÓN MODELO 5101

PROPIETARIO: Sr. Juan

Refacciones $1 985 000

Mano de obra

Total $2 400 000


$1 985 000 + $415 000 = $2 400 000

Las expresiones como 1 985 000 + = 2 400 000 reciben el nombre de ecuaciones.

Una ecuación cualquiera, como por ejemplo 9 + = 20, se puede escribir de la forma

9 + x = 20, en donde se utiliza una letra o variable que representa el número desconocido enlugar del cuadro.

En las ecuaciones se distinguen dos partes importantes: todo lo que está a la izquierda delsigno = se llama primer miembro de la ecuación y lo que está en la parte derecha del signo= se llama segundo miembro.

Obsérvese los ejemplos siguientes:

x + 20 = 45 primer miembro segundo miembro

28 = x – 12primer miembro segundo miembro

Una ecuación es una igualdad que sólo se satisface para determinado o determinados valo-res de la variable o variables que en ella intervienen; es decir, cuando se sustituye la variableo variables por esos valores, se obtiene el mismo valor numérico para los dos miembros dela ecuación.

Una igualdad tiene varias propiedades, pero en esta sesión sólo se mencionarán las quecorresponden a este tema.

Para una mejor comprensión de ellos, dibujen una balanza de brazos iguales en equilibrio,para simular una igualdad.

En sus cuadernos, vayan haciendo los cambios en los platillos de la balanza para ilustrarcada una de las propiedades.

MATEMÁTICAS145

1. Los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares.

Si a + b = c, entonces, c = a + b

2. Si un número es igual a otro y éste a su vez es igual a un tercero, entonces el primeroes igual al tercero.

Si a = b y b = c, entonces, a = c

3. Si dos igualdades tienen un miembro común, los otros dos miembros son iguales.

Si a + b = c y c = d + f, entonces, a + b = d + f

4. Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o se les resta el mismo número, laigualdad subsiste.

Si a = b, entonces, a + c = b + c

Si a = b, entonces, a – c = b – c

Con esta propiedad se puede resolver cualquier ecuación de la forma a + x = b ya – x = c en donde a, b, y c son constantes y x es la variable o incógnita.

Ejemplos:

Vayan resolviendo en sus cuadernos cada una de las ecuaciones. Leer no es suficiente paraaprender matemáticas, es necesario practicar.

Considérese la ecuación x + 37 = 82, en donde x es la incógnita.

Buscamos obtener otra igualdad en la cual la x quede sola en uno de los miembros de laecuación. Entonces es necesario “anular” aquellos términos que “acompañan” la incógnita.

Para resolverla, primero se resta 37 a sus dos miembros y se tiene que:x + (37 – 37) = 82 – 37

x + 0 = 82 – 37

x = 45

La solución de esta ecuación es 45. Para probar esto, se sustituye la x por el valor encontra-do y se observa que efectivamente


x + 37 = 82

45 + 37 = 82

82 = 82

De acuerdo con lo anterior, se puede concluir que para resolver cualquier ecuación de laforma a + x = b, basta con aplicar el inverso aditivo de un número.

Recuérdese que el inverso aditivo de un número es aquel que sumado con el número originalda como resultado cero. Así –5 es inverso aditivo de +5, porque

+ 5 – 5 = 0

Obsérvense con mucha atención los siguientes ejemplos:

a) x + 258 = 396; aplicando el inverso aditivo de 258, se tiene:

x + 258 – 258 = 396 – 258. Simplificando, resulta:

x = 38

Comprobación:

38 + 258 = 396

396 = 396

b) x + 35 = 112; aplicando el inverso aditivo de 35, se tiene:

x + 35 – 35 = 112 – 35. Simplificando, resulta:

x = 77

Comprobación:

77 + 35 = 112

112 = 112

MATEMÁTICAS147

c) x – 14 332 = 12 812; aplicando el inverso aditivo de –14 332, se tiene:

x – 14 332 + 14 332 = 12 812 + 14 332, simplificado, resulta:

x = 27 144

Comprobación:

27 144 – 14 332 = 12 812

12 812 = 12 812

d) Si a un número se le resta 86, el resultado es 392. ¿Cuál es ese número?

Resolución:

Sea x el número que se busca, entonces: x – 86 = 392 es la ecuación correspondiente.

Aplicando el inverso aditivo, se tiene:

x – 86 + 86 = 392 + 86. Simplificando, resulta: x = 478

Comprobación:

478 – 86 = 392, por lo tanto 392 = 392

El número es 478.

Comenten con otros grupos las inquietudes que les plantea este interesante tema.

Observa atentamente el video. En él afianzarás lo que sabes acerca de lasecuaciones y cómo resolverlas.

Forma una pareja y comenta las respuestas a las preguntas siguientes:

1. ¿Cuáles son las dos partes que se distinguen en una ecuación?

2. Transforma esta ecuación en otra más sencilla: a + x + 8 = 8 + 17 – 3

3. Traduce mediante una ecuación el siguiente problema:

En una caja había 48 chocolatinas de las cuales se vendieron 36.

¿Cuántas chocolatinas quedan?


4. Inventa un problema que origine la siguiente ecuación: x – 8 = 43

Compara tus respuestas con las de otras parejas; en caso de duda, consulta con tu profesor(a).

Continúa con tu compañero(a) y resuelve en tu cuaderno las ecuaciones si-guientes:

Ecuación: Resultado: Comprobación:

a) x – 56 = 27 x =

b) m – 125 = 448 m =

c) z + 3.485 = 21.78 z =

d) 34.377 = x + 5.635 x =

e) La suma de dos números es 476. Si uno de ellos es 389, ¿cuál es el otro número?

Compara tus resultados con los de otras parejas. Si tienes dudas, pregunta a tu profesor(a).

En forma individual, resuelve en tu cuaderno las ecuaciones siguientes:

1. 215 = a – 59 a =

2. x + 2 458 = 2 494 x =

3. x – 1.040 = 1.076 x =

4. x – ( –25) = 84 x =

5. (–36) + x = –15 x =

Consulta tus resultados con los de la clave. Si tienes errores, corrige.

CLAVE

1. a = 274; 2. x = 3; 3. x = 2.116;4. x = 59;5. x = 21.

MATEMÁTICAS149


Problemas que se resuelven planteando una ecuaciónAplicar la resolución de ecuaciones

Existen diferentes métodos para resolver problemas y cada persona puede emplear el quesea de su agrado. De esta forma sólo se tiene que comprender el problema, definir datos eincógnitas y establecer la ecuación o ecuaciones que deben resolverse para llegar a la solu-ción.

RECUERDA. ¿Es 27 la solución de cada una de las siguientes ecuaciones? Compruébaloen cada inciso y completa las expresiones poniendo sí o no en los espacios.

a) x + 39 = 66 27 es solución porque 27 + 39 es igual a 66

b) 475 + g = 500 27 es solución porque 475 + 27 es igual a 500

c) 298 = 271 + c 27 es solución porque 271 + 27 es igual a 298

Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo; si te equivocaste corrige loserrores.

Observa con atención el video que te mostrará cómo plantear ecuaciones pararesolver problemas.

Forma una terna, resuelve y comprueba en tu cuaderno los problemas siguien-tes por medio de ecuaciones.

a) La suma de dos números es 47.65 si uno de ellos es 38.9, ¿cuál es el otro?b) Si a un número se le resta 0.52, el resultado es 5.24, ¿cuál es el otro número?

Compara tus resultados con los de otras ternas. En caso de duda, pregunta a tu profesor(a).

En forma individual, resuelve en tu cuaderno los problemas siguientes por me-dio de ecuaciones.

1. Antes de ponerse a dieta, una señora pesaba x kilogramos. Si en la dieta reduce 15 kgy llega a pesar 56 kg, ¿cuál era su peso inicial?

2. De un tanque lleno de agua se utilizan 210 litros. Si después de eso aún le quedan 420litros, ¿cuál es la capacidad del tanque?

3. Se calcula que una cosecha será de x toneladas de maíz. Si debido a una sequía sólose cosecharon 450 toneladas y se sabe que se perdieron 85, ¿cuánto maíz se habríacosechado si no hubiese habido sequía?

37(102-1)


Compara tus respuestas con las de la clave para que verifiques si tienes errores. En caso deduda, consulta con tu profesor.

CLAVE

1. 71 kg;2. 630 l;3. 535 toneladas.

UN FACTOR DESCONOCIDO

Ecuaciones de las forma ax = b y a ÷ x = cObtención del valor de un factor

Muchos problemas se traducen al lenguaje matemático para buscar su solución y, al hacerlo,se obtienen ecuaciones. Al plantear y resolver acertadamente la ecuación, queda soluciona-do el problema. De esto se desprende que el manejo adecuado de las ecuaciones es nece-sario.

RECUERDA. Resuelve mentalmente el siguiente problema, luego plantea en tu cuaderno laecuación correspondiente y resuélvela.

Sebastián tenía 82 canicas. Regaló algunas a su hermano y ahora tiene 53. ¿Cuántas cani-cas regaló?

Revisa tu solución con un compañero de otra fila y corrige si es necesario.

Observa el video. Luego comenta con el compañero más cercano lo que con-sideres interesante.

Integra una terna y realiza una lectura comentada del texto:

ECUACIONES DE LA FORMA ax = b y a ÷ x = c

Pedro estaba estudiando para un examen de Física. Al llegar al tema de la densidad, seencuentra con este problema:

¿Cuál es el volumen de 81.9 g de aceite de olivo si su densidad es de 0.91?

En tus apuntes encuentra qué es densidad y la fórmula para obtenerla, cuando se cono-cen la masa (m) y el volumen (v) de un cuerpo.

38(103-1)

MATEMÁTICAS151

Las unidades en que se mide la masa y la densidad (g y g

cm3 ) por comodidad, no se

manejan durante el procedimiento para resolver la ecuación, solamente se trabaja con losnúmeros y al final se escribe la unidad correspondiente al resultado.

Esta expresión es una ecuación en la cual el primer miembro es 0.91 y el segundo es 81 9.x

.

La igualdad tiene la propiedad simétrica que dice: los dos miembros de una igualdad puedencambiar sus lugares, sin que ésta se altere. Así que se puede expresar como:

81 9 0 91. .x

=

Como 81 9 0 91. .x

= es lo mismo que 81.9 ÷ x, la igualdad puede verse 81.9 ÷ x = 0.91

Se trata de una ecuación de la forma a ÷ x = c, donde a y c representan cantidades conoci-das siendo x una cantidad desconocida. Es una división en la que se conoce el dividendo(81.9) y el cociente (0.91), pero se desconoce el divisor (x).

81.9 ÷ x = 0.91dividendo divisor cociente

En toda división, el dividendo es un producto de dos factores: el divisor y el cociente.

Por lo tanto:

El dividendo entre el divisor es igual al cociente.

D ÷ d = c

d mv

= masa por unidad de volumen

Se tiene entonces:

d = 0 91 3.g

cm; m = 81 9. g; v = x

O sea:

0.91g

cmg

3 = 81 9.x


x = 90

Lo cual se puede comprobar porque:

0.91 × 90 = 81.90 = 81.9

De acuerdo con esto, la solución del problema es 90 cm3.

Por otra parte, se aprecia que en una ecuación de la forma a ÷ x = c, la solución es:x = a ÷ c

Por ejemplo, podríamos decir: “si en una división el dividendo es 28 y el cociente, 7, ¿cuál esel divisor?”

28 ÷ x = 7

x = 28 ÷ 7

x = 4

Comprobación: 4 × 7 = 28

Considérese ahora el siguiente problema:

¿Se han comprado 12 gallinas en $216 000. ¿Cuál es el precio de cada una?

Y el dividendo entre el cociente es igual al divisor

D ÷ c = d

Como en la ecuación se desconoce el divisor, al aplicar D ÷ c = d se tiene:

81.9 ÷ 0.91 = c

Por la propiedad simétrica de la igualdad x = 81.9 ÷ 0.91

Como 81.9 = 819 décimos, si cada 10 se divide en diez partes se tienen 8 190 centésimos,mientras que 0.91 = 91 centésimos, entonces se puede dividir mediante el algoritmo de losnúmeros naturales.

o también 91 8 190 000

90

8 190 91

0 000 90

MATEMÁTICAS153

Aquí se entiende que 12 veces el precio de una gallina da como resultado $216 000. Por lotanto, el enunciado del problema se puede expresar como:

12x = $216 000, en donde x representa el precio que se desconoce.

La ecuación 12x = 216 000 tiene la forma ax = b, en donde a y b representan cantidadesconocidas, siendo x una cantidad desconocida.

12x = 216 000

Se trata de un producto de dos factores, en donde uno de ellos es desconocido. Como elvalor de uno de los factores se obtiene dividiendo al producto entre el otro factor, se tiene:

x = 216 000 ÷ 12

216 000 12096 18 000 entonces x = 18 000 00

Al realizar 18 000 × 12 = 216 000, se comprueba que 18 000 es la solución.

O sea que el precio de cada gallina es de $18 000.

Y también se aprecia que la solución de una ecuación de la forma ax = b es:

x = b ÷ a

Por ejemplo:

42x = 126 x = 126 ÷ 42 x = 3

Comprobación: 42 × 3 = 126

Las ecuaciones se aplican en la solución de muchos problemas. Por lo tanto es convenientelograr comprensión y soltura en el tratamiento de las mismas.

Con la misma terna, resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones.

a) En la ecuación ax = b, ¿qué representan a y b?

b) En la ecuación a ÷ x = c, ¿qué representa x?

c) En la ecuación ax = b, ¿qué representa cada una de las literales?


d) La solución de la ecuación ax = b, ¿cuál es?

e) La solución de la ecuación a ÷ x = c, ¿cuál es?

Muestra tus respuestas a un compañero de otra terna y, si tienes errores, corrígelos.

Continúa en terna y encuentra la solución de los siguientes problemas median-te el planteamiento de una ecuación.

a) En una escuela se vendieron 1 285 estampillas de la Cruz Roja. Si se recaudaron$1 542 000, ¿cuál es el valor de cada estampilla?

b) El área de un terreno de forma rectangular es de 140 m2 y su altura es de 7 m, ¿cuántomide de base?

Revisa tu trabajo con los integrantes de otra terna. Corrige si es necesario.

En forma individual, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas median-te el planteamiento de las ecuaciones correspondientes.

a) En un terreno de 3 250 m2 se han construido 13 casas. Si se destinó la misma cantidadde terreno para todas las casas, ¿cuántos metros cuadrados se emplearon para cadauna?

b) La producción de una fábrica de bombillos es de 87 000 al mes; si se distribuyen en 15bodegas que tienen la misma capacidad, ¿cuántos bombillos se guardan al mes encada bodega? Compara tus resultados con los de la clave y, si se requiere, corrige.

CLAVE a) 250 m2;b) 5 800 bombillos.


Problemas que se resuelven planteando una ecuaciónAplicar la resolución de ecuaciones

La representación simbólica de la relación que existe entre cantidades conocidas y descono-cidas (de las que se habla al describir una situación problemática) representa dar un granpaso hacia la solución del problema.

Observa el video y, cuando termine, intercambia ideas con dos compañeros enrelación con lo que te haya parecido más importante.

39(104-1)

MATEMÁTICAS155

Forma un equipo de trabajo y plantea en tu cuaderno una ecuación que repre-sente el enunciado de cada uno de lo siguientes problemas.

a) Un bus recorrió 980 km en 14 h, ¿cuál es su velocidad?

b) Un comerciante ha vendido 28 cajas de aceite por $2 688 000, ¿a qué precio vendiócada caja?

c) En una construcción se han pegado 84 840 tabiques en 7 días. ¿Cuántos tabiques sehan colocado cada día?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros de otro equipo y, en caso de error,corrige.

Con el mismo equipo de trabajo, resuelve en tu cuaderno los siguientes proble-mas.

Plantea la ecuación y verifica por medio de la calculadora de bolsillo.

a) Un automóvil recorrió 1 800 km a una velocidad promedio de 150 km por hora, ¿cuán-tas horas duró el recorrido?

b) El comité de acción social de una escuela mandó hacer 54 uniformes para los partici-pantes en una tabla rítmica y pagó $1 990 000 en total. ¿Cuál fue el costo de cadauniforme?

Revisa tus resultados con los de otro equipo. Los errores que encuentres, corrígelos.

Individualmente, resuelve y comprueba los siguientes problemas en tu cuader-no. Para cada uno de ellos plantea la ecuación que los represente en lenguajesimbólico. Verifica las soluciones utilizando tu calculadora de bolsillo.

a) Los padres de familia de una escuela primaria mandaron impermeabilizar los techos delas aulas y pagaron $1 955 000. Si cada uno aportó $85 000, ¿cuántos padres defamilia cooperaron?

b) En una ferretería hay un recipiente que contiene 151.4 l de aguarrás. Para ponerlo a laventa, lo repartieron en 40 envases con igual capacidad, ¿qué cantidad de aguarráshay en cada envase?

c) Las autoridades de una comunidad organizaron un concierto con motivo del inicio de laNavidad. Asistieron 1 023 personas y se recaudaron $8 184 000, ¿cuál fue el costo dela entrada?

Compara tus resultados con los de la clave. Si no coinciden, rectifica y corrige donde seanecesario.


Puedes usar tu calculadora para verificar.

CLAVE

a) 23 padres de familia;b) 3.785 l;c) $8 000.


Repaso parcialIntegración de los conocimientos adquiridos

Afirmar los conocimientos es muy conveniente. Una forma de lograrlo es repasar los temasestudiados con anterioridad, ya que al hacerlo se aprecian con mayor claridad algunosaspectos que pueden impedir que el manejo y aplicación de los conceptos sea eficaz.

Observa el video, en el cual se presentarán algunos temas de este núcleo queya has visto. Al término del programa, intercambia ideas con el grupo en rela-ción con los aspectos que más te interesan.

Forma una terna y resuelve los siguientes ejercicios.

1. En las siguientes expresiones indica cuál es la operación que debe realizarse primero.Escríbelas en tu cuaderno y halla sus resultados.

a) 11 + 6 × 52 – 3

b) (4 + 7) + 3

c) 20 + [(60 – (5 – 3))]

d) Simplifica la expresión (54 – 36) 11

e) Sustituye el valor de las literales en las siguientes expresiones y encuentra las respues-tas correspondientes.

Revisa tus respuestas con un compañero de otra terna. Si hay errores, corrígelos.

40(105-1)

m n m + n m – n1 –32 5

–4 1

MATEMÁTICAS157

Continúa en terna para que resuelvas y compruebes las siguientes ecuacionesen tu cuaderno. Verifica las soluciones en tu calculadora.

f) 23 + x =138

g) 82 – x = 10.25

h) 14x = 9.8

i) 42 ÷ x = 1.5

Muestra tus resultados a los integrantes de otra terna y corrige lo que sea necesario.

Con un(a) compañero(a) realiza lo que se te pide. Trabaja en tu cuaderno.

1. Traduce al lenguaje simbólico las siguientes expresiones del lenguaje común.

j) El doble de un número, menos el triple de otro.

k) La mitad de una cantidad, menos el cuadrado de otra.

l) La edad de una persona es igual a la tercera parte de la edad de otra, menos 5 años.

m) El cuadrado de un número más 8 es igual a 24.

n) Un número más su mitad es igual a 13.5

2. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno, Para cada uno plantea la ecuacióncorrespondiente a su enunciado. Verifica la solución por escrito y con tu calculadora,.

o) Un comerciante ganó $1 895 000.25 durante la primera semana de cierto mes. Alterminar, sus ganancias habían ascendido a $6 230 726.75, ¿cuánto ganó después deesa primera semana?

p) En una escuela primaria se inscribieron 1 028 alumnos y durante el año se retiraron 87,¿cuántos alumnos terminaron el curso?

q) José compró un terreno en $28 250 000. Después de 9 años lo vendió en $113 000 000,¿cuántas veces ha aumentado el valor original del terreno?

r) Un grupo de 23 personas organizan una excursión, para lo cual alquilan un transporteque les cobra $1 955 000 por el viaje, ¿Cuánto tiene que pagar cada persona?

Compara tus respuestas con los de la clave y corrige lo que sea necesario.


CLAVE

a) 52;b) (4 + 7);c) (5 – 3);d) 198;e)

f) x = 115;g) x = 71.75;h) x = 0.7;i) x = 28;j) 2a – 3b;

¡DEMUESTRA QUE SABES!

Demostración del aprendizaje dadoEvaluación personal de los avances logrados

En esta sesión podrás conocer lo que has asimilado respecto a los números con signo y lostemas de preálgebra.

Ten presente que en las evaluaciones de núcleo se trabaja simultáneamente con el video,con el libro de matemáticas y con tu cuaderno; en este último deberás contestar las pregun-tas que se formulen.

Observa la información que presenta el video. Es importante para tu evalua-ción. Atiende atentamente las instrucciones para resolver la primera parte delcuestionario.

I. Haz este cuadrado en tu cuaderno y escribe en el recuadro de cada casilla el númerode la pregunta correspondiente.

Obtén con los números de los recuadros las 3 sumas horizontales, las 3 sumas verticales ylas 2 sumas diagonales. Si en todas obtienes 15, las respuestas de la primera parte soncorrectas.

41(106-1)

mnm + nm – n1–3–24257–3

–41–3–5

k) mn2

2 −−;l) xy

=−−53

;m) c2 + 8 = 24;n) yy

+=2

135.;

o) $1 065.35;p) 941 alumnos;q) 4 veces;r) $85 000

( )PARÉNTESIS

[ ]LETRAS

ADICIÓN 0 <

31 ENTEROSPOSITIVOS

POTENCIA

–35

MATEMÁTICAS159

II. Escribe en tu cuaderno la frase completa y correcta que se produce en cadauno de estos ejercicios.

1. Se relacionan con las ganancias en una transacción comercial:

a) Enteros positivos b) El ceroc) Enteros negativos d) Las operaciones

2. Números que en la recta numérica se encuentran a la misma distancia del cero pero ensentidos opuestos.

a) positivos b) negativos c) simétricos d) naturales

3. Es una aproximación de la suma –507 con –890

a) 300 b) –1 400 c) –300 d) 1 400

4. Es el perímetro de un cuadrado que mide por lado 5 cm.

a) 25 cm b) 16 cm c) 9 cm d) 20 cm

5. Representa el triple de un número aumentado en 8 unidades.

a) x3

8+ b) x + 83

c) 3x + 8 d) 3 (x + 8)

III. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla, ten presente que el área del rectán-gulo se obtiene multiplicando la base por la altura:

A = (b) (h)

IV. Escribe en forma algebraica las siguientes expresiones.

d) La suma de tres números

e) El doble de un número

f) El cociente de dos números

V. Efectúa las siguientes operaciones:

g) (4 + 9) – (8 × 7 )=

b h A3 26 24

6 54

a)b)c)


h) 4 + (9 – 8) × 7 =

i) (4 + 9 – 8) × 7 =

j) ¿Cómo son los números y los signos de las operaciones?

k) ¿Cómo fueron los resultados de las tres operaciones?

l) ¿Por qué?

Espera las indicaciones de tu profesor para calificar.

SIEMPRE POSITIVOS

Producto de enterosMultiplicación de enteros con igual signo

Multiplicar números positivos y negativos requiere de un cuidado especial; en esta sesiónconocerás los casos de multiplicación de números enteros donde el producto siempre espositivo.

RECUERDA. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuáles son los elementos de una multiplicación?

b) ¿Cuál es la diferencia entre el conjunto de los números naturales y el de los enteros?

c) ¿Qué relación puedes establecer entre estos dos conjuntos de números?

d) ¿Podrías decir que ya sabes cómo multiplicar dos enteros positivos?

En seguida, discute con tus compañeros de grupo y tu profesor sobre la idea principal delprograma.

Reúnete en equipo de tres compañeros y realiza una lectura comentada deltexto siguiente:

PRODUCTO DE ENTEROS

Dado que en la multiplicación de números enteros se manejan enteros positivos y enterosnegativos, se pueden presentar los casos siguientes:

1. Los factores tienen el mismo signo.

2. Los factores tienen signos diferentes.

42(22)

MATEMÁTICAS161

Para facilitar la comprensión de la multiplicación entre enteros y especialmente saber cuál esel signo del producto, vamos a hacer las siguientes consideraciones.

• Multiplicar por 2 o duplicar se simboliza +2x• Duplicar y cambiar de sentido se simboliza –2x

Hemos definido así dos operaciones: multiplicar por +2 y multiplicar por –2.

1. Representemos en la recta numérica el procedimiento de aplicarle al entero +4 las dosoperaciones anteriormente definidas.

Trabaja simultáneamente en tu cuaderno, no te conformes con la mera lectura. Ya sabes quepara aprender es necesario practicar.

a) (+2) × (+4), ¿cuál es el duplo de +4?

(+2) × ( +4) = +8. El 4 se duplica.

b) (–2) × (+4), ¿cuál crees que será el resultado.

(–2 ) × (+4) = –8. El 4 se duplica y se invierte el sentido de la flecha.

2. Ahora veamos qué pasa cuando al entero (–4) le aplicamos las operaciones +2xy–2x

c) (+2) × (–4), ¿cuál crees que será el resultado?


(+2 ) × (–4) = –8. El –4 se duplica.

a) (–2) × (–4), ¿puedes dar el resultado y una explicación?

(–2) × (–4) = + 8. El –4 se duplica y se invierte el sentido de la flecha

Resumamos los cuatro casos:

Signos iguales Signos diferentes

(+ 2) × ( +4) = +8 (+2) × (–4) = –8

(–2) × (–4) = +8 (–2) × (+4) = –8

¿Empiezas a elaborar alguna conclusión? ¡Escríbela!

3. Resolvamos algunos problemas, utilizando los números enteros y sus operaciones.

a) Si se considera el depósito en un banco como positivo, entonces, ¿cuál sería el estadode cuenta de un señor que durante cinco días depositó $750 000.

Esta situación se resuelve con una multiplicación de números enteros, de donde:

(+ 5) (750 000) = 3 750 000

Observa que el uso de paréntesis evita utilizar el signo de la multiplicación ( × ).

Este producto también pudo haberse representado así:

(+5) 750 000 o también 5 × 750 000 o + 5 (750 000)

El estado de cuenta del señor después de los cinco días es de $3 750 000.

b) Esta otra situación es bien especial: considerando un retiro bancario como negativo,una persona retira del banco $500 000 diariamente durante seis días, ¿cuál era suestado de cuenta antes de retirar estas cantidades?

MATEMÁTICAS163

Nótese que hace retiros diarios (–$500 000) durante 6 días ya pasados (–6), entonces:

(–6) (–500 000) = 3 000 000Días pasados retiro cantidad que tenía antes

c) Aplica la propiedad distributiva para resolver:

(–4) × [6 + (–5)]

(–4) × [6 + (–5)] = (–4) × 6 + ( –4) × (–5), operando en ambos miembros

(–4) × 1 = –24 + 1234567123456712345671234567

(-4) = –24 +

12345671234567123456712345671234567

¿Cuál número debe esconder la tarjeta para que se cumpla la igualdad?

Debe ser –20, porque:

(–4 ) = –24 + 20 entonces (–4) × (–5) = +20

Observa que 20 es el resultado de multiplicar los valores absolutos de (–4) y (–5):

I –4 I × I –5 I = 4 × 5 = 20

En resumen:

Para multiplicar dos enteros se multiplican sus valores absolutos. Si los números tie-nen igual signo, el resultado es positivo. Si tienen signos diferentes, el resultado esnegativo.

4. ¿Qué pasa cuando el 0 es factor?

En la multiplicación entre números naturales recuerda que el 0 es “un aniquilador” porqueanula al producto de los factores diferentes de él.

¿Crees que con los enteros puede pasar algo similar?

Veamos:(0) × (–3) 0 × 5

(–5) × 0 5 × 0

Para todo número entero a, a × 0 es = 0


Siguiendo con el mismo equipo de trabajo discute y resuelve los ejercicios quea continuación se presentan:

1. Representa en la recta numérica los siguientes productos:

(–3) × (2) (–3) (–2)

3 × (–2 ) (2 × 5)

2. Expresa a –16 de tal manera que:−16 sea la suma de dos números enteros negativos.−16 sea la suma de dos enteros de signos diferentes.−16 sea la diferencia de dos números cuadrados.−16 sea el producto de tres números enteros.

3. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

• Para lo que sea verdadero da un ejemplo.• Para lo que sea falso da un contraejemplo, es decir, un ejemplo que muestre su

falsedad.

a) El producto de un número por –1 es el opuesto de ese número.

b) El producto de un número, diferente de 0, por su opuesto es negativo.

c) El cuadrado de un número negativo es negativo.

d) El cubo de un número negativo es negativo.

Compara tus respuestas con las de los demás equipos y corrige tus errores.

Haz en tu cuaderno los cuadros siguientes y en forma individual complétalos,haciendo los cálculos mentalmente.

Corrige los errores que hayas tenido, según los resultados que proporcione tu profesor.

× 11 5 25 10497

121

× –9 –4 –6 –20–5–8–1

–15–2

MATEMÁTICAS165

Observa con interés el video y discute con tus compañeros y con tu profesor enqué aspectos se mejoró la comprensión de los conceptos propuestos en estasesión.

Encuentra, individualmente, los productos que se piden.

1. (26 ) (14) =2. (–15) (–21) =3. (–46) (–91) =4. (80) (102) =5. (–94) (–78) =6. Un estanque se está desocupando a razón de 6 litros por hora.

a) Después de cinco horas, ¿cuántos litros menos tendrá el estanque?b) Hace cuatro horas, ¿cómo estaba el contenido del estanque respecto al de ahora?

7. La temperatura en París era –2 °C a las 8:00 a.m., en un día de otoño cuando la naturalezaverde parece haberse secado (se empieza a dormir para despertarse en primavera). Alanochecer la T.V. informó que hacía el triple de frío que en la mañana, ¿qué temperaturamarcaba el termómetro?

Comprueba tus resultados con la calculadora; si no coinciden, revisa tus procedimientos y laclave.

CLAVE1. 364;2. 315;3. 4 186;4. 8 160;5. 7 332;6. a) 30 litros menos, b) 24 litros más;7. –6 °C

¿POSITIVO O NEGATIVO?

Ley de los signosEstablecimiento de la ley de los signos

Ya viste cómo diversas situaciones nos llevan a multiplicar números enteros. ¿Qué se puedeaplicar de la multiplicación de números naturales? ¿Qué es diferente? ¿Cuál es la formamás práctica de hacerlo? En esta sesión ampliarás las respuestas a estos interrogantes.

RECUERDA. Resuelve con un(a) compañero(a), mentalmente, las siguientes multiplicaciones:

(+4) (+3) = (–5) (–4) = –(3) ( 0) =

(–1) (–1) = (+1) (+2) = (0) (3) =

Intercambien sus resultados con los de otra pareja. Si hay diferencias, encuentren las expli-caciones y corrijan donde sea necesario.

43(23)


Lee en silencio el texto:

LEY DE LOS SIGNOS

En la multiplicación de números enteros, se emplean las mismas tablas de multiplicar que seusan para los números naturales. Pero ya vimos que debe establecerse también si el pro-ducto es positivo o negativo. Ejemplo:

Un empleado pierde $2 500 cada vez que tiene un retardo en la hora de entrada a su trabajo.Ha llegado tarde durante cuatro días en un mes. ¿Cuánto dinero ha perdido ese mes?

Una forma de obtener la respuesta es realizar una adición.

( –2 500) + (–2 500) + (–2 500) + (–2 500) = –10 000

Esta adición equivale a una multiplicación en la cual los factores son cuatro y –2 500, sinimportar el orden. Por lo tanto:

4 (–2 500) = –10 000 y – 2 500 × 4 = –10 000

Se observa, como ya lo habíamos dicho, que si uno de los factores es positivo y el otronegativo el producto es negativo.

Lo que hasta aquí se ha expresado con respecto de la multiplicación de enteros hace notorioque hay dos casos diferentes.

1. Cuando los factores tienen el mismo signo.

2. Cuando los factores tienen diferente signo.

Repasemos estos casos, realizando los siguientes productos:

a) Multiplicar (+4) (+2)

b) Multiplicar (–3) (–2)

c) Multiplicar (–5) (+2)

d) Multiplicar (+3) (–4)

Hagamos una interpretación del significado de cada producto:

(+4) (+2) se puede pensar como: cuadruplicar +2(–3) (–2) se puede pensar como: el opuesto de triplicar –2(–5) (+2) se puede pensar como: el opuesto de quintuplicar +2(+3) (–4) se puede pensar como: triplicar –4

MATEMÁTICAS167

Así tendremos:

(+4) (+2) = +18 (–5) (+2) = –10(–3) (–2) = +6 (+3) (–4) = –12 signos iguales, signos diferentes,

el producto es positivo el producto es negativo

En todos los casos el producto se obtuvo multiplicando los valores absolutos de los dosenteros. Para determinar el signo se tiene en cuenta la denominada ley de los signos parala multiplicación expresada en esta sencilla tabla.

Por último, cuando se tienen que multiplicar más de dos factores se obtiene el producto dedos de ellos, dicho producto se multiplica por el siguiente y así hasta terminar.

Forma un grupo de tres integrantes y en tu cuaderno elabora una tabla demultiplicar para los números enteros siguientes:

( + ) ( + ) = +( – ) ( – ) = +( + ) ( – ) = –( – ) ( + ) = –

El amigo de mi amigo es mi amigo.

El enemigo de mi amigo es mi enemigo.

El amigo de mi enemigo es mi enemigo.

El enemigo de mi enemigo es mi amigo.

¡Esto sólo lo aplico con los números enteros!

Pepe me dijo que su profesor de álgebra le habíaenseñado esto:

(–3) (–2)

(–6)

(+30)

(–4) = –120

(–120)

(+5)


Comenta tus anotaciones de la tabla con compañeros de otro grupo. Si hay diferencias,discútelas. Si te falta tiempo, continúalo como trabajo extraclase. Si hay dudas, consulta contu profesor.

Observa el video, tratando de captar lo esencial; al terminar, participa en unbreve comentario general con todo el grupo.

Según lo presentado en el video, resuelve gráficamente las siguientes multipli-caciones; trabaja con el mismo grupo.

(–2) (–4) = (–2) (+3) =

Compara tu trabajo con el de otra terna de compañeros(as).

¿Cómo les parece esta otra forma de representar gráficamente la multiplicación de númerosenteros?

1. De manera individual, observa con atención las gráficas y anota en los es-pacios en blanco los factores y el producto que están representados encada una.

× –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4–4–3–2–1

01234

MATEMÁTICAS169

2. Encuentra mentalmente el valor de x que satisface la igualdad.

a) (x – 5) × 5 = –100 b) (x + 3) × (–5) = 10 c) (x + 4) × 7 = 0

d) x + =27

3 e) x −− 48

1= f) x3

8 17++ =

Muestra tus respuestas al profesor. Si hay algún error, realiza la corrección correspondiente.

CLAVE2. a) –15;b) –5;c) –4;d) 19;e) 12;f) 27.

REPARTIR PÉRDIDAS Y GANANCIAS

Cociente de enterosEstablecimiento de la ley de los signos en la división

Seguramente las operaciones básicas han resuelto muchos problemas de tu vida diaria. Enesta sesión la división de enteros te auxiliará a solucionar otras situaciones.

Ve el programa de televisión y observa la facilidad con la que puedes dividirnúmeros enteros una vez que conoces la ley de los signos.

Con otro compañero, lee el texto que viene a continuación.

44(24)


COCIENTE DE ENTEROS

Cociente es el resultado de una división y ésta es una operación que está íntimamenterelacionada con la multiplicación.

Analícese el siguiente problema que muestra esa relación:

Una persona adquiere una deuda de $3 500 000 y el compromiso de cubrirla en siete pagosiguales. ¿De qué cantidad deberá ser cada pago?

La deuda se presentará como una cantidad negativa, o sea, –3 500 000 y los siete pagoscomo +7.

De manera que la situación se puede representar así:

(+7) (x) = –3 500 000, donde x es la cantidad que se desea conocer.

Esto es una multiplicación en la que se desconoce un factor, pero se tiene el otro factor y elproducto de ambos.

( +7) (x) = –3 500 000factor factor producto

conocido desconocido

Para encontrar el factor desconocido se realiza una división donde el producto se convierteen dividendo y el factor conocido, en divisor.(–3 500 000) ÷ (+7) = x

De esta forma se sabe que los pagos serán de $500 000, pero esto representa una salidapor lo que el valor de x será de –500 000, porque:

–3 500 000 ÷ (+7) = –500 000

Dicho de otra forma, si siete es positivo y el producto de él con otro factor es negativo, por laley de los signos en la multiplicación se tiene que (+) (–) = –; así que el signo correspondientea la incógnita será negativo.

Por otra parte, si el problema se hubiese planteado como una deuda de $3 500 000, que secubrirá con pagos de 500 000, y se deseara saber cuántos pagos se tendrán que realizar,entonces el procedimiento sería el siguiente:

(–500 000 ) (x) = –3 500 000, donde –500 000 y –3 500 000 son deudas y por eso serepresentan como negativos.

De donde: (–3 500 000 ) ÷ (–500 000) = +7.

El valor de x es +7, o sea, serán siete pagos de $500 000 los que cubran la deuda

MATEMÁTICAS171

de $3 500 000. (Se considera positivo el siete, porque representa sólo una enumera-ción de eventos que se suceden.)

Relacionando la situación anterior con la ley de los signos en la multiplicación de enteros setiene: (–) (+) = –, así que el signo en el recuadro es el que corresponde a la incógnita.

Lo anterior muestra que la división es la operación inversa de la multiplicación:

Multiplicación División

(–500 000 ) (x) = –3 500 000 (–3 5000 000) ÷ –500 000 = +7 factor factor conocido desconocido producto dividendo divisor cociente

Al dividir números enteros, se presentan los siguientes casos:

a) Que el dividendo y el divisor sean positivos.

(+4) ÷ (+2) = + 2, porque (+2) (+2) = +4(+20) ÷ (+5) = + 4, porque (+5) (+4) = +20

b) Que el dividendo y el divisor sean negativos.

(–10) ÷ (–2) = +5, porque (–2) (+5) = –10 (–15) ÷ (–5) = +3, porque (–5) (+3) = –15

c) Que el dividendo sea positivo y el divisor sea negativo.

45 ÷ (–9) = –5, porque (–9) (–5) = + 4518 ÷ (–2) = –9, porque (–2) (–9) = + 18

d) Que el dividendo sea negativo y el divisor positivo.

(–36) ÷ (+6) = –6, porque (+ 6) (–6) = –36(–81) + (+9) = –9, porque (+ 9) (–9) = –81

Por lo que se puede decir que:( + ) ÷ ( + ) = +( – ) ÷ ( – ) = +( + ) ÷ ( – ) = –( – ) ÷ ( + ) = –

Lo anterior se conoce como ley de los signos para la división de números enteros.


Comenta con tu grupo la relación que hay entre esta ley y la ley de los signos de la multipli-cación.

Resuelve con tu compañero los ejercicios siguientes:

1. Completa las siguientes expresiones, aplicando la ley de los signos en la división:

a) Si ( + ) ( + ) = +, entonces + ÷ + =

b) Si ( + ) ( – ) = –, entonces – ÷ = –

c) Si ( – ) ( + ) = –, entonces ÷ – = +

d) Si ( – ) ( – ) = +, entonces + ÷ – =

En tu cuaderno, escribe y completa los siguientes enunciados:

a) Al dividir un números positivo entre otro positivo el cociente será...

b) Si se divide un número positivo entre uno negativo, el cociente tendrá signo...

c) El cociente de un número negativo entre uno positivo tendrá signo...

d) Si se divide un número negativo entre otro negativo el cociente será...

Consulta con tu profesor tus respuestas. Discute las diferencias que hayas tenido y corrige sihay errores.

Con el mismo compañero, resuelve en tu cuaderno los ejercicios que están enseguida.

1. Encuentra mentalmente el factor desconocido en cada una de las siguientes multiplica-ciones y anótalo en el paréntesis correspondiente.

a) (–8 ) ( ) = –32 b) ( ) ( 9 ) = –18

c) (–12) ( ) = –72 d) (15) ( ) = –75

2. Efectúa las operaciones mentalmente, escribe el resultado y justifícalo.

a) (16) ÷ (2) = e) (–81) ÷ (9) =

b) (32) ÷ (4) = f) (63) ÷ (–3) =

MATEMÁTICAS173

c) (60) ÷ (3)= g) (–30) ÷ (5) =

d) (81) ÷ (9) = h) (56) ÷ (–7) =

¿Cómo encontraste el signo de las divisiones anteriores? Revisa tus resultados, comparán-dolos con los de otros compañeros. Si hay errores, corrígelos.

Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los ejercicios siguientes:

1. Realiza las divisiones siguientes mentalmente y escribe el cociente:

a) (–36) ÷ (6) = b) (–39 ÷ (–13) =

c) (48) ÷ (–3) = d) (63) ÷ (9) =

2. Resuelve el problema siguiente, teniendo en cuenta que puedes utilizar los números en-teros.

Tres hermanos establecieron un negocio con participaciones iguales. Si contrajeron una deudade $42 735 000, ¿cuánto deberá pagar cada uno?

a) ¿Con qué signo se expresa la cantidad de personas que participaron? ¿Por qué?

b) ¿A qué cantidad asciende la deuda y qué signo lleva? ¿Por qué?

c) ¿Qué operación se debe realizar para encontrar el resultado?

d) ¿Qué signo tiene y por qué?

e) ¿Cuál es el resultado?

Compara tus resultados con los de la clave. Si no coinciden, realiza nuevamente los procedi-mientos.

CLAVE

1.a) –6, b) –16, c) 3, d) 7; 2. a) Positivo, porque es el conteo de personas,b) $42 735, negativo, porque es una deuda, c) División, d) Negativo, porque– ÷ + = –, e) –$14 245.



Problemas con enterosAplicación de las operaciones fundamentales con los enteros

Solucionar problemas es parte de nuestra vida diaria y nos ejercita en la labor de compren-derlos y analizarlos.

Observa con atención el video que te mostrará cómo solucionar problemas conlos números enteros.

RECUERDA. Contesta, individualmente y en forma breve, las siguientes preguntas:

a) ¿Qué signo corresponde a la suma de un entero positivo y uno negativo?

(–18) + 10 18 + (–10) (–20) + 35 20 + (–35)

b) ¿Qué sucede con el signo de un número entero cuando lo antecede el signo negativo?

el op (+5) el op (–7) el op (+16) el op (–9).

c) ¿Qué signo corresponde al producto de dos números con igual signo?

(–3 ) (–5) (–1) (–4) (–6) (–1) 3 × 8

d) ¿Qué signo corresponde al cociente de dos números con signo diferente?

(–18) ÷ 2 24 ÷ (–8) (–45) ÷ 9 36 ÷ (–3)

Lee en voz alta tus respuestas y corrígelas si son erróneas.

Reúnete con un(a) compañero(a), según te indique tu profesor(a), y resuelveen tu cuaderno los siguientes problemas:

a) ¿Qué número se tendrá que sumar a –67 para que el resultado sea –28. (Al finalizarcomprueba tu respuesta en la calculadora).

¿Su valor absoluto será mayor o menor que el de –67?

¿Se debe realizar una adición o una sustracción de valores absolutos?

¿Cuál es el número buscado?

b) Si de un tanque de 60 l de diésel se consumen 24 l , después se le introducen 20 l y seconsumen 53, ¿cuántos litros de diésel quedaron en el tanque? (Resuélvelo mentalmente.)

45(25)

MATEMÁTICAS175

c) ¿Qué número multiplicado por 12 da como producto 36?

¿Cómo se obtiene el factor desconocido, si se conoce uno y el producto de ambos?

¿Qué signo tiene el resultado?

¿Qué signo deberá tener el factor desconocido según la ley de los signos?

¿Cuál es el número solicitado?

d) En el desierto de los Leones la temperatura registrada en un día presentó las siguien-tes variaciones: a las 9 horas fue de 10 °C, a las 15 horas subió 22 °C, hasta las 17horas bajó 20 °C y hasta las 3 de la mañana bajó 25 °C más. ¿Cuál era la temperaturaa las 3 de la mañana? Anota el signo que corresponda al resultado.

e) ¿Cuál será el número que dividido entre –6 dé como cociente 138?

f) En un negocio se registraron pérdidas de $854 830 en una semana, obtén el promediodiario. (Considera los siete días).

¿Qué operación deberás realizar?

g) ¿Cómo representarías con números enteros las pérdidas?

Comprueba tu resultado en la calculadora.

Anota tus resultados en el pizarrón y comenta el procedimiento seguido para su obtención.Si hay desacuerdo con tus compañeros, recurre a tu profesor(a).


Evaluación parcialIntegración de los conocimientos adquiridos

En todo proceso de aprendizaje es importante hacer un alto para evaluar y reflexionar sobrelos temas que se han visto y recordar lo más relevante de cada uno de ellos.

Observa el video. En él se hace una remembranza de los temas aritméticostratados.

Comenta brevemente con tu profesor y tus compañeros lo más importante de cada tema.

46(26)


I. Con dos compañeros(as), contesta en tu cuaderno lo que se pide; en caso deduda, consulta las lecturas pertinentes con tu profesor(a).

1. ¿Cómo se determina el orden de magnitud de un número?

2. ¿Cómo es el orden de magnitud del resultado de una adición en relación con el de lossumandos?

3. Escribe: ¿a qué se llama divisor de un número? Si el divisor es 17, ¿cuáles valorespuede tomar el residuo?

4. ¿Cómo obtienes los múltiplos de un número?

5. ¿Cuál es la diferencia entre los números primos y los números compuestos?

6. ¿Qué diferencia existe entre la factorización para encontrar el mcm y el MCD de dos omás números?

7. ¿Cuáles son los cuatro casos que se manejan en la ley de los signos?

8. Comenta con tus compañeros de grupo el procedimiento que empleas para obtener elresultado de cada una de las operaciones con números enteros. En cada caso daejemplos que ilustren tus comentarios.

a) Adición con sumandos de diferente signo

b) Sustracción

c) Multiplicación

d) División

Compara tus respuestas con las de otro grupo, si hay diferencias, analiza tus resultados;corrige si hay errores.

II. Continúa trabajando individualmente y resuelve los siguientes ejercicios:

1. Escribe el orden de magnitud de los siguientes números:

a) 4 978 b) 12 836

2. Si se suman los números anteriores, ¿cuál será la estimación del orden de magnitud desu resultado? (No hagas operaciones).

3. Factoriza el número 90.

MATEMÁTICAS177

4. Obtén el mcm y el MCD de los siguientes números: 120 y 80.

5. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 42 + (–8) – (+30) = b) 8(–6) (–4) c) −−12030

=

Compara tus respuestas con las de un compañero y corrige tus errores. Comenta las dificul-tades con tu profesor(a).

III. En forma individual, resuelve los siguientes problemas:

1. Dos cintas de 50 m y 80 m de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de lamayor longitud posible.

a) ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?

b) ¿Cuántos pedazos se obtienen en total?

2. Amalia tenía un saldo a favor de $500 000 en su cuenta bancaria; en seguida depositó$180 000 y giró cheques por $400 000 y $350 000; al día siguiente depositó $290 000¿Cuál es su nuevo saldo? ¿A favor o en números rojos?

3. Una empresa comercial presenta ingresos diarios de $548 000 en promedio. ¿Quéingresos obtiene al cabo de 21 días de trabajo?

4.

5.

¿QUIÉN SOY?

Compara tus respuestas con las de otro compañero y esperen los comentarios de su profesor(a).

Si me multiplicas por –1 y me aumentasen 1 000 el resultado es 999.

¿Cuál es?

Escogí un número al cual le resté 12 y luego multipliqué elresultado por –9. Obtuve 900, ¿cuál fue el número escogido?


Núcleo Básico 4

ÁLGEBRA: MONOMIOS Y POLINOMIOS

El hombre, en su infatigable deseo de investigación, descubre el número con el cual repre-senta medidas de todo lo que le rodea. Sus estudios lo llevan a lograr su abstracción y conello logra la generalización de expresiones matemáticas.

Documentos antiguos muestran que los egipcios manejaban ecuaciones algebraicas en loscálculos que realizaban. A los árabes se atribuye el desarrollo del álgebra y en su lengua laspalabras al gebr significan ecuación o restauración: transposición de términos negativos.

El álgebra es el pilar de ramas de la matemática como la geometría y la trigonometría, y suuso se ha extendido a otras áreas de la ciencia.

En el desarrollo del presente núcleo se realiza un análisis de lo que son las expresiones

MATEMÁTICAS179

algebraicas, su identificación, sus características y aplicación práctica en la solución de pro-blemas que impliquen una adecuada traducción de un lenguaje común a uno algebraico.También se introduce al conocimiento de las operaciones como potencias de la misma base,como un antecedente necesario en la reducción o agrupación de términos semejantes parala resolución de operaciones con polinomios.

Estos conocimientos sirven y se aplican para expresar situaciones tales como buscar unárea, un perímetro, etcétera, o bien, para descubrir algunos sucesos o investigaciones quebeneficien al ser humano en su desarrollo.

COMUNICACIÓN CON SÍMBOLOS

Introducción al lenguaje algebraicoAnálisis de expresiones algebraicas ya conocidas

47

Cada lenguaje tiene características muy especiales. Un lenguaje simbólico es práctico por-que ayuda a simplificar y generalizar. Así es el lenguaje algebraico.

Si observas con interés el video, te iniciarás en el conocimiento de este lengua-je, además de introducirte en el panorama general del núcleo que comienza. Alfinalizar el programa, comenta con un compañero lo que más te haya llamadola atención.

Lee:

INTRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje es esencial para la comunicación. Un lenguaje de gran importancia para la cien-cia es el de las matemáticas.

Dentro del lenguaje de las matemáticas, es muy importante el lenguaje algebraico.

El álgebra es una rama de las matemáticas que tiene entre sus principales objetivossimplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números.

Cabe notar que 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 son símbolos que representan números, pero conestos no es posible generalizar.

Para iniciar el camino hacia la comprensión de este lenguaje, considérese lo siguiente:

� es un número natural.

Al hacer esta afirmación, debe entenderse que � representa cualquier integrante de la serie


de los números naturales (0, 1, 2, 3,...), que es infinita. Y a partir de ese momento, se puedeoperar con él como se opera normalmente con esa clase de números.

Si se suma con él mismo, se tiene:

� + � = 2�

La expresión 2� es el doble de �.

Por lo tanto, 2� está representando el doble de cualquier número natural.

Con la expresión 2� se está generalizando la forma de representar el doble de un númeronatural cualquiera.

Si se multiplica � por sí mismo, es decir, � × � se obtiene �2 y como � es cualquier númeronatural, la expresión �2 representa el cuadrado de cualquier número natural. Puede pensar-

se también en dividir

�2

y en ese caso la expresión

�2

representa la mitad de cualquier

número natural.

Pueden considerarse dos símbolos diferentes, como � y �, para representar dos númerosnaturales diferentes cualesquiera, y entonces operar con ellos.

Así, � + � representa, de una manera general, la suma de dos números naturales cuales-quiera.

De igual forma � – � está representando la diferencia de dos números naturales cuales-quiera y, por ejemplo, (� + �)2 será la representación del cuadrado de la suma de dos núme-ros naturales cualesquiera.

Esta representación simbólica permite apreciar que � + � y � + � representan la mismasuma y por lo tanto no es importante el orden de los sumandos.

Una generalización como ésta no se puede hacer usando cifras, ya que se haría referencia ados números en particular y aquí, en cambio, se alude a dos números cualesquiera, hacien-do válida la apreciación para cualquier pareja de naturales que sea sumada.

Usualmente, el lenguaje algebraico no se maneja con cualquier clase de símbolos como �,� y otros que pudieran escogerse de manera arbitraria, sino que se ha convenido en utilizarlas letras del alfabeto (a, b, c, x, y, z) para la representación algebraica, la cual permite que elcitado lenguaje adquiera un carácter universal.

Y lo usual es decir, por ejemplo:

Si a es un número natural, entonces 2a representa el doble de cualquier número natural.

a 3 representa la tercera potencia (o el cubo de cualquier número natural).

MATEMÁTICAS181

a5

representa la quinta parte de un número natural.

Por supuesto que esta forma de representación por medio del lenguaje algebraico se utilizatambién para los números enteros, racionales, etc., con la condición de que se diga quénúmeros se están representando.

Un ejemplo claro de este lenguaje general son las expresiones o “fórmulas” para obtenerperímetros, áreas y volúmenes de las figuras geométricas.

Ejemplo:

Se tiene un terreno de forma rectangular que mide 8.5 m de largo y 3.7 m de ancho. ¿Cuál essu área?

Es común auxiliarse con una figura.

3.7 m

8.5 m

Una forma de calcular el área es multiplicar largo por ancho. Si al largo se le llama base, alancho, altura, simbólicamente esto se puede expresar:

área = A,base = b,altura = h

de donde surge la expresión para el área: A = bh

Sustituyendo:

b = 8.5 mh = 3.7 m

Por lo tanto: A = 8.5 m × 3.7 m = 31.45 m2

A = 31.45 m2

Lo importante es que A representa cualquier número que sea la medida de la superficie del


rectángulo. Que b representa cualquier número que sea la medida del largo y h cualquiernúmero que sea la medida del ancho del rectángulo.

Precisamente el hecho de que se haga uso del lenguaje algebraico para expresar cómo seobtiene el área del rectángulo, trae como consecuencia que la fórmula A = bh (donde b y hson dos números cualesquiera) sirva para obtener el área de cualquier rectángulo, puesbasta sustituir las literales b y h con las medidas del rectángulo para obtener el producto.

Esta fórmula es una muestra de lo que se menciona en la definición de álgebra, como unaforma de simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números.

Reúnete con un compañero para compartir reflexiones alrededor de las siguientes pregun-tas:

1. ¿Por qué la comunicación es esencial para nosotros los humanos?

2. ¿Cómo interpretar cuando se dice que las matemáticas son un lenguaje? ¿Puedes darejemplos de las matemáticas como comunicación?

3. ¿Qué clase de lenguaje es el algebraico? ¿Cuáles crees que son las ventajas de estelenguaje?

Comparte tus reflexiones con tus compañeros de clase.

Continúa trabajando con un(a) compañero(a).

La expresión A bh=2

te ha servido para encontrar el área de una figura muy conocida.

1. Dibuja en tu cuaderno un modelo de esta figura.2. Coloca cada letra asociada a la dimensión que representa en la figura. ¿Qué represen-

ta b y qué, h?3. Mide en la figura y encuentra los valores particulares de b y h, seguramente en centí-

metros.

4. Cuando reemplaces estos valores en la expresión A bh=2

y realices las operaciones

indicadas, qué magnitud de la figura que dibujaste habrás encontrado? ¿En qué unida-des expresarás el A?

Discute las respuestas con tu compañero(a). Si hay errores, corrígelos.

Sigue trabajando con tu compañero(a). Vas a resolver el siguiente problema,pero lo harás siguiendo paso a paso las indicaciones y respondiendo algunoscuestionamientos.

MATEMÁTICAS183

En un jardín se ha formado un prado en forma de pentágono; mide 3 m por lado y 2 m deapotema: ¿cuál es su área?

1. Dibuja en tu cuaderno la figura y anota sus dimensiones en los lugares correspondien-tes.

2. ¿Cuál es la expresión o fórmula que te permite obtener el perímetro del pentágono, eneste caso regular.

3. ¿Cuál es la fórmula para obtener el área del pentágono?

4. En la fórmula del perímetro, ¿qué número sustituye a l, para poder obtenerlo?

5. En la fórmula del área, ¿qué número sustituye a p y qué número toma el lugar de a?

6. Obtén la medida del perímetro y anótala.

7. Aplica la fórmula y calcula el área. Anota las operaciones y el resultado.

8. La fórmula A P a=2

¿Es exclusiva para calcular el área de la figura del problema que

acabas de resolver? ¿Por qué?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Si hay diferencias y dudas consultacon tu profesor.

Individualmente, lee con atención las siguientes cuestiones y contesta en for-ma breve lo que se te pide.

1. En el lenguaje algebraico se emplean símbolos que no son números, ¿por qué?

2. La expresión v a= 3, ¿qué significa? ¿Quién puede ser v y quién a?

3. ¿En qué nos ayuda el uso de literales (letras del alfabeto) para representar los núme-ros?

4. Si m es un número natural, ¿a qué número natural representa?

5. Si c es un número entero, ¿es positivo o negativo? ¿Por qué?

6. Si x es un número decimal, ¿su valor es mayor o menor que la unidad? ¿Por qué?

El profesor designará a algunos estudiantes para que lean sus respuestas frente al grupo. Sino hay acuerdo, pueden aclarar sus conceptos para conseguirlo.


CONVIENE IDENTIFICARLAS

48 Variables y constantesConocimiento del concepto de variable y de constante

En esta sesión vamos a estudiar las características de los símbolos que se utilizan paraintegrar las diferentes expresiones. Algunos símbolos cambian de valor y otros no. ¿Sabesdistinguirlos?

Para responder a esta pregunta, observa atentamente el video. Te dará mayo-res recursos para avanzar en tu aprendizaje. Luego, comenta con tus compa-ñeros lo que hayas entendido.

Lee y analiza, con un(a) compañero(a) el siguiente texto:

VARIABLES Y CONSTANTES

En la vida diaria es común escuchar expresiones como “tiempos variables”, refiriéndose alpronóstico del clima. Esto significa que puede cambiar de calor a frío o aun que puede lloverinesperadamente. También se habla de que la temperatura de un enfermo “se ha mantenidoconstante durante las últimas 24 horas”, por ejemplo. Esto da idea de que la temperaturacorporal del paciente no ha variado durante ese lapso. En el mundo hay muchas cosas quesufren variación y otras que permanecen constantes.

En matemáticas también se presenta esta situación.

Para entrar en este aspecto, considérese algo muy común pero que no por eso deja de serimportante.

La fórmula para obtener el perímetro de un cuadrado puede expresarse como:

P = 4c, si se acepta que c representa la medida de un lado. Gráficamente se ve así. c

c c

c

MATEMÁTICAS185

Se sabe que el perímetro del cuadrado es calculado sumando las medidas de sus cuatrolados, o sea:

c + c + c + c = 4c

Pero 4c es también un producto, porque en lugar de tomar cuatro sumando iguales, se puedemultiplicar por 4 y entonces:

4 ( c ) = 4c

Por eso la fórmula se expresa:

P = 4c

Esta fórmula sirve para obtener el perímetro de cualquier cuadrado, porque siempre habrácuatro lados y se sumarán sus medidas o se multiplicará la medida de un lado por 4.

Ahora bien, si se analiza la fórmula con mayor detenimiento, se aprecia que cada vez que seaplique a un cuadrado diferente, variará el valor de P y el de c, pero el 4 permaneceráconstante.

Ejemplos:

Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 3 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:

P = 4c

Sustituyendo: P = (4) (3 m) P = 12 m

Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 7 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:

P = 4c

Sustituyendo: P = (4) (7 m) P = 28 m

Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 1.3 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:

P = 4c

Sustituyendo: P = (4) (1.3 m) P = 5.2 m

Al observar los ejemplos, es notorio que c y P variaron de acuerdo con las dimensiones delcuadrado, pero 4 no varió.

Es decir,


En este caso, c y P son variables y 4 es constante.

Existen muchos símbolos en el lenguaje algebraico y es conveniente saber distinguirlos conseguridad.

Para afirmar el concepto, se presentan otras expresiones algebraicas con el fin de identificarlas variables y las constantes que se encuentran en dichas expresiones.

A r= π 2

En esta fórmula, que permite encontrar el área de un círculo, las variables son r y A, porqueen círculos de tamaño diferente, la medida del radio será también diferente. Y al cambiar lamedida del radio, cambiará el área. En cambio, π y 2 son constantes para obtener el área decualquier círculo.

En la fórmula °C = 59

(°F –32), las variables son °C y °F, mientras que las constantes son

59

y 32.

En una expresión como x + 3 = y, si se le da un valor a x, se obtendrá un valor de y, como semuestra a continuación.

Se aprecia claramente que los valores de x y y son variables y el valor 3 es constante.

De todo lo anterior, se concluye que:

Cuando un símbolo (generalmente una letra) representa a un valor que no está definidoespecíficamente, ese símbolo es una variable.

Y que:

c P(3 m) (4) = 12 m(7 m) (4) = 28 m(1.3 m) (4) = 5.2 m

x x + 3 y0 0 + 3 32 2 + 3 54 4 + 3 76 6 + 3 9

MATEMÁTICAS187

Un símbolo que representa un número, específicamente en alguna expresión algebraica,es una constante.

Con tu compañero de trabajo, contesta:

1. Si se aplica la fórmula A bh=2

para calcular el área de varios triángulos, ¿qué sím-

bolos de la fórmula cambian de valor?

2. A esos elementos que cambian, ¿cómo se les llama?

3. En la misma fórmula, ¿qué elementos no cambian de valor?

4. ¿Qué nombre se les da a los elementos que no cambian?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si hay errores, corrígelos.

Con el mismo equipo de trabajo, en tu cuaderno, calcula el valor de la variableA, en la formula

A Pa=2

Revisa tus respuestas con otro equipo. Si hay errores, rectifica y, si fallaste, corrige.

Continúa con tu equipo, para que obtengas los valores de c, sabiendo queb – 4 = c y tomando en cuenta los valores asignados a b.

Con tus compañeros de equipo, compara tus respuestas. Si cometiste errores, corrige.

Individualmente observa las siguientes expresiones algebraicas y, en tu cua-derno, anota las variables y las constantes.

a) 3y = z – 4 variables: constantes:

P a A3 45 87 129 16

b b – 4 c47111622


b) A Dx=2

variables: constantes:

c) m nw

−−++ 3

variables: constantes:

d) v dt

= variables: constantes:

e) n a= 32

++ variables: constantes:

Al terminar, puedes comparar tus respuestas con las de la clave que se te proporciona. Si teequivocaste, corrige.

CLAVE

a) Variables: y, z,Constantes: 3, –4;b) Variables: A, D, xConstantes: 2;c) Variables: m, n, w, Constantes: 3;d) Variables: v, d, t,Constantes: ninguna;e) Variables: n, a,Constantes: 3, 2.

UN LENGUAJE DIFERENTE

49 Lenguaje algebraicoTraducción del lenguaje común al algebraico

Si puedes hablar de una misma cosa en diferentes idiomas, las cosas no cambian, la formade decirlas sí. Hoy descubrirás en el álgebra un lenguaje con el cual podrás hablar de lascosas, “matemáticamente”.

Observa el video y descubrirás que existe una forma matemática de represen-tar el mundo que te rodea. Después, comenta con tu grupo dónde has usadoanteriormente expresiones algebraicas.

Lee con un compañero o compañera:

LENGUAJE ALGEBRAICO

El planteamiento de problemas y su solución requiere un lenguaje simbólico que, de manerageneral, muestre la idea del problema y permita una solución eficaz y razonada.

MATEMÁTICAS189

Para llegar a ella es necesario utilizar un lenguaje matemático mediante el cual se señalentanto los datos conocidos como aquellos que se desean encontrar. Esas expresiones mate-máticas forman el lenguaje algebraico y están formadas por números, letras y signos deoperación.

El álgebra, para representar cantidades conocidas, emplea números racionales.

Ejemplo: 2, 34

, –8, 6, 13

, etc.

Las letras o literales simbolizan valores conocidos y desconocidos.

Las primeras letras del alfabeto representan valores conocidos a, b, c, d,...Las últimas letras del alfabeto representan valores desconocidos:...u, v, w, x, y, z.

Una misma letra tiene diferente valor si se diferencia por comillas o subíndices.

Ejemplo: a, a’, a”, a1, a2, etc.

Con estos criterios es posible representar algebraicamente expresiones verbales, como lassiguientes:

La edad de Miguel x

El valor de un cuaderno más el de un lápiz x + y

La diferencia entre lo que gana José y lo que gana Pedro es $32 000 x – y = 32 000

El costo de tres dulces de igual precio x + x + x

El área de un rectángulo es igual a la multiplicación del valor dela base por el de la altura A = bh

El perímetro de un triángulo es 45 m a + b + c = 45

La mitad de un número cualquiera x2

El cociente del perímetro de un círculo entre su diámetro Pd

Para indicar el producto de dos o más números cualesquiera basta con anotar las literales ensecuencia.

El producto de dos números ab

La mitad del producto de dos números, lo cual también ab2se puede definir como el semiproducto de dos números


La raíz cuadrada del producto de dos números ab

El producto de tres números diferentes disminuido en cinco unidades. xyz – 5

Algunas expresiones pueden simplificarse. Por ejemplo: x + x + x

expresa que el valor de x se suma tres veces. Esa expresión también se interpretacomo tres veces x : 3x

La expresión: a a a a

indica que a es factor cuatro veces, lo cual se puede expresar como una potencia: a 4

La interpretación algebraica de expresiones verbales y situaciones concretas hace más fácilla resolución de un problema.

El lenguaje algebraico permite generalizar expresiones verbales y solucionar diversas situa-ciones.

Con otro compañero, escriban sus impresiones sobre lo que, para ustedes, significa el len-guaje algebraico, su utilidad en la comunicación de ideas matemáticas y algunos usos quepuedan hacer de él. Socialicen con otros compañeros.

Con tu mismo compañero, resuelve los siguientes ejercicios.

1. Responde en tu cuaderno las preguntas siguientes:

a) ¿Qué símbolos se utilizan para representar las cantidades conocidas?

b) ¿Qué representan las letras?

c) ¿Con cuáles letras se ha acordado representar valores conocidos y con cuáles,valores desconocidos?

2. Haz en tu cuaderno las representaciones que indican cada paso, en el sentido de lasflechas.

Un númerocualquiera

Ese mismonúmero más lamitad de otronúmero

La suma de esosnúmeros menosel doble de untercer número

La expresión anteriormenos 8 unidades

➔➔➔

MATEMÁTICAS191

Compara tus resultados con los de otros compañeros, para aclarar dudas.

Individualmente, realiza los siguientes ejercicios.

Escribe en tu cuaderno la expresión algebraica equivalente:

a) Dos helados del mismo precio valen $800.

b) El costo de un lápiz y una pluma es $4 800.

c) La diferencia de la edad de Luis menos la de Elsa es de 25 años.

d) La mitad de un número menos el triple de otro.

e) La raíz cuadrada de un número cualquiera.

f) El doble de un número, más la raíz cuadrada de otro, menos el cubo de un tercernúmero.

Compara tus resultados con los de la clave. Si hay diferencias, verifica tus procedimientos.

CLAVE

a) 2x = 800b) x + y = 4 800c) m – n = 25

d) xy2

3 −−

e) xf) 23 abc ++−−

OTRA FORMA DE COMUNICACIÓN

50 Significado del lenguaje algebraicoTraducción del significado del lenguaje algebraico al común

Aprender a traducir al lenguaje común el lenguaje algebraico nos va a permitir entender ycomprender mejor muchas situaciones que parecen ocultas.

Observa el video, en él encontrarás información que te ayudará a descifrar elsimbolismo algebraico.

Después comenta con tus compañeros de grupo y tu profesor la idea principal del programa.


Posteriormente, con un compañero lee y analiza cuidadosamente para queestés en posibilidades de discutir cuál es la operación que domina en una ex-presión algebraica.

SIGNIFICADO DEL LENGUAJE ALGEBRAICO

Las matemáticas son un lenguaje universal, o sea, que los símbolos son iguales aquí y encualquier parte del mundo.

El lenguaje algebraico permite usar expresiones con elementos indeterminados en situacio-nes como, por ejemplo, cuando una persona dice “x día de la semana”, se observa que usóuna letra del abecedario; cuando dice “x o y cosas”, se están empleando dos letras del abe-cedario.

En los problemas matemáticos se acostumbra sustituir los símbolos que representan núme-ros por letras.

Pero en matemáticas también hay ocasiones en que las letras y los signos se usan pararepresentar algunas operaciones, es decir, en que a través de estos símbolos se generalizaun proceso.

Por ejemplo, para hallar el perímetro de un polígono regular se aplica la siguiente fórmu-la: P = nl, donde los símbolos indican que el perímetro del polígono se obtiene multipli-cando el número de lados de dicha figura por la medida de uno de ellos.

Esta interpretación de la fórmula se conoce como traducción del lenguaje algebraico al len-guaje común.

En una fórmula aparece un conjunto de símbolos que expresan una o varias operaciones,las cuales se mencionan de acuerdo con la importancia y el dominio que indica la expresión,lo que se muestra en las siguientes expresiones.

Ejemplos de traducción del lenguaje algebraico al lenguaje común:

x un número cualquiera.

x + y la suma de dos números.

a – b la diferencia de dos números.

ab el producto de dos números.

ab

el cociente de dos números.

MATEMÁTICAS193

a b+2

la semisuma de dos números. (Aquí aparece una adición como dividendo, lo

cual implica que domina la división, de ahí el prefijo semi-.)

a b−−2

la semidiferencia de dos números. (Aquí domina la división.)

ab3

la tercera parte de un producto. (Aquí domina la división.)

2d el doble de un número.

4cd el cuádruple de un producto.

x + 3; un número aumentado en 3.

y – 5; un número disminuido en 5.

a2 un número al cuadrado o el cuadrado de un número.

x raíz cuadrada de un número.

En los ejemplos anteriores se observa que existen símbolos que están relacionados median-te un signo de operación.

¿Qué pasa cuando en una fórmula aparecen varias operaciones?

¿Cuál va antes y cuál, después?

En los ejemplos que están a continuación se darán algunos lineamientos generales.

a) Aquí aparecen dos operaciones, un cociente y una diferencia, la operación quedomina es la diferencia, por lo tanto se leerá:

La mitad de un número menos tres unidades, o la diferencia de la mitad de unnúmero y tres unidades.

b) Aquí aparecen una suma y un cociente. La operación que domina es el cocien-te, por lo tanto se leerá:

La octava parte de la suma de dos números, o el cociente de la suma de dosnúmeros entre ocho.

c) Aquí aparecen dos productos y un cociente.La operación que domina es el segundo producto, por lo tanto, se leerá: El doblede un número por la mitad de otro.

x2

3−−

a b+8

22

xy( )


d) Aquí aparecen una potencia y un cociente, la operación que domina es el co-ciente, por lo tanto, se leerá:

La tercera parte del cuadrado de un número, o el cociente del cuadrado de unnúmero y tres.

e) Aquí aparecen una raíz cuadrado, un producto y un cociente, la operación quedomina es la raíz, por lo tanto, se leerá:

La raíz cuadrada del cociente del doble de un número y otro.

Es de gran importancia que aprendas a traducir el lenguaje algebraico al lenguaje común, yaque esta forma te va a permitir comprender y entender los planteamientos de muchos proble-mas.

Con un compañero traduce del lenguaje algebraico al lenguaje común, y vice-versa, según sea el caso. Escribe en tu cuaderno.

a) y

b) La diferencia de dos números.

c)x y+

5

d) El cociente del cubo de un número entre 4.

e) 2x + 6

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Continúa trabajando con tu compañero o compañera y relaciona la columna dellenguaje algebraico con la columna del lenguaje común, colocando en cadaparéntesis la letra correcta. Hazlo en tu cuaderno.

a) 3 3ab ( ) El cuadrado de la suma de dos números.

b) −− cd

( ) El cociente de dos números.

c) xy ( ) El doble de un número.

d) x + 2x + 3x ( ) La diferencia de un número menos 7.

x 2

2

2dg

MATEMÁTICAS195

CLAVE

a) La semidiferencia de dos números; b) La suma de un número más 10 unidades, c) El produc-to de dos números más dos unidades; d) El cuadrado de un número más el cuadrado de otro;e) La raíz cuadrada de una semidiferencia de dos números.

e) a b+2

( ) El cociente de la suma de dos números entre dos.

f) y – 7 ( ) El quíntuplo de un número.

g) 5c ( ) El triple de un número por el cubo de otro.

h) a b+( )2 ( ) El producto de dos números.

i) c d+ ( ) La raíz cuadrada de la suma de dos números.

j) 2x ( ) La suma de un número más el doble, más el tripledel mismo número.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros, si tienes duda consulta con tu profesor.

Continúa trabajando, ahora, en forma individual, y traduce al lenguaje comúnlas expresiones algebraicas. Trabaja en tu cuaderno.

Lenguaje algebraico Lenguaje común

a) a b−−2

b) x ++10

c) ab + 2

d) a x2 2+

e) a b−−2


UNO O VARIOS

51 Expresiones algebraicasClasificación de expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas se utilizan en matemáticas con mucha frecuencia. A continua-ción se mostrará su clasificación.

Observa el video y reflexiona acerca de la importancia del manejo de las expresiones algebraicas.

Comenta brevemente la idea principal del programa con tu profesor y tus compañeros.

Lee con un(a) compañero(a):

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas tienen una gran aplicación. Con ellas es posible resolver proble-mas en los que intervienen variables que representan números (naturales, enteros raciona-les), lo cual permite generalizar, tanto en lo que se refiere a las cantidades como a losalgoritmos de las operaciones que se realizan con ellas.

Cuando nos referimos a una expresión algebraica decimos:

Una expresión algebraica es aquella que está formada tanto por números como por letras consus exponentes y signos de operación.

Ejemplos:

x x

a

b a

c

–y 2 –y 2 –y 2

a + b + c

a – b b

a

2x

a

α

–3y 2

a b⋅

b

MATEMÁTICAS197

Según sus características, algunas expresiones algebraicas pueden llamarse:

1. Monomio

2. Binomio

3. Trinomio

4. Polinomio

La expresión algebraica más simple se conoce con el nombre de término o monomio, la cualtiene los siguientes elementos:

a) Coeficiente

b) Variable(s)

c) Exponente(s)

Ejemplos:

–5x 2; 2x 3

a) El coeficiente es el factor numérico, que en los ejemplos anteriores está expresado por–5 y 2.

Los coeficientes se escriben antes de las expresiones literales; x 2 y x 3, respectivamente enlos ejemplos anteriores.

Cuando no se escribe el coeficiente, se sobreentiende que éste es igual a 1.

Ejemplo:

x x2 21=

Un coeficiente puede ser racional.

Ejemplo:

a) La variable o variables están representadas por letras minúsculas del abecedario; enlos ejemplos, es x.

b) El exponente es un número racional; en los ejemplos, son 2 y 3.

12

3x coeficiente racional


En el siguiente cuadro se muestran los elementos de cada uno de los términos

En el siguiente cuadro se muestran los elementos de cada uno de los términos de la columnade la izquierda.

Cuando no se escribe el signo en el término, éste es considerado como positivo; también seobserva que si no se escribe el coeficiente o el exponente, éstos son considerados con unvalor de uno.

Las expresiones con dos o más términos se llaman polinomios.

Sin embargo, de manera particular, se da un nombre especial a las expresiones de dos y trestérminos, llamándoles respectivamente binomios y trinomios.

Un binomio es aquella expresión que está constituida por dos términos.

Ejemplos:

a) x 3 – 3x b) 2x – y 3 c) a 2 = b 2

Un trinomio es aquella expresión algebraica que está formada por tres términos.

Ejemplos:

a) 3x 2 + 2x – 2 b) 2y + 3y 2 + 5 c) a + x + 1

Existe un caso muy especial cuando se tiene un término donde no aparece físicamentevariable alguna, se le identifica como término independiente.

coeficiente variable

exponente–5 x 2

Término Coeficiente Variables Exponentesa) –2a3 –2 a 3b) –x 3y 2 –1 x, y 3, 2c) –ab 2 –1 a, b 1, 2d) n 1 n 1e) 1 1 1

MATEMÁTICAS199

Ejemplo:

2x 3 + 3x – 1

término independiente(no tiene variable)

En la expresión anterior, el término independiente es –1.

Estas expresiones se emplean cotidianamente y en muchas actividades del ser humano, asícomo en todas las ciencias como son: física, química, biología...

Intégrate a un equipo y analiza los siguientes aspectos:

a) ¿Cuándo una expresión algebraica se puede caracterizar como un monomio? Escribeejemplos.

b) ¿Qué significa polinomio?

c) Entonces, un binomio, ¿cuántos términos tiene?

d) Y un trinomio, ¿cuántos términos tiene?

En equipo de trabajo, realiza las siguientes actividades:

1. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

2. Con base en la tabla contesta lo siguiente, en tu cuaderno:

a) ¿Existe término independiente en las tres expresiones? ¿Por qué?

b) ¿ Cuántas variables tiene cada expresión? ¿Cuáles?

Expresión Coeficientes Exponentes Términoalgebraica x y x y independiente

2x – y 3

x 3 – 3y3x – 5y 2 + 2


c) ¿Qué expresión tiene mayor número de términos? ¿Con qué nombre se le identifica?

3. Escribe en tu cuaderno el número de términos de estas expresiones.

a) ab

b) x x2 4

55

++ ++

c) x 2 + 3x

4. Escribe un ejemplo de monomio.

5. Escribe un ejemplo de trinomio.

Compara tus respuestas con las de tu grupo de trabajo y corrige en caso de existir errores.

En forma individual realiza lo que se te indica.

Relaciona las siguientes columnas en tu cuaderno, colocando la letra correspondiente encada paréntesis.

a) Se representa con una letra ( ) Expresión algebraica

b) Término que no contiene variables ( ) Coeficiente

c) Es el factor numérico de un término algebraico ( ) Binomio

d) Está formada tanto por números como por ( ) Término independienteliterales con sus exponentes. ( ) Variable

e) Expresión que consta de dos términos ( ) Trinomio

Compara tus respuestas con las de otro compañero; si tienes dudas, manifiéstaselas a tuprofesor.

CLAVE

(d), (c), (e), (b), (a).

MATEMÁTICAS201

POTENCIALMENTE HABLANDO

52 Producto de potenciasConocimiento del procedimiento para multiplicarpotencias de la misma base

Dentro de las matemáticas existen formas de abreviar algunas operaciones; una de ellas esuna adición con sumandos iguales, la cual se abrevia con una multiplicación, mientras queuna multiplicación de factores iguales se abrevia mediante el uso de una potencia.

Observa el video, ya que en él encontrarás información interesante que te per-mitirá comprender mejor el tema.

Con un compañero lee y analiza.

PRODUCTO DE POTENCIAS

Para entender bien el producto de potencias se deben tener en cuenta los siguientes con-ceptos:

Potencia: es el producto de varios factores iguales.

Base: es el número o variable que se repite como factor.

Exponente: es el número que indica cuántas veces se toma como factor la base.

La forma general de representar una potencia es:

a n, en donde a es un número racional y n un número natural.

De aquí se tiene que a es la base y n el exponente.

Una multiplicación de factores iguales se puede expresar como una potencia indicada deuna misma base.

Ejemplos

3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 36

La base es 3, el exponente es 6; la forma de leer la potencia indicada de 36 es: 3 elevado a lasexta potencia.


m m m m⋅ ⋅ = 3

La base es m y el exponente es 3; la forma de leer la potencia indicada de m3 es:Eme elevada al cubo o eme elevada a la tercera potencia.

(4x) (4x) (4x) (4x) (4x) = (4x)5

La base es 4x, el exponente es 5; la potencia indicada (4x)5 se lee: la quinta potencia delcuádruple de un número.

Una potencia indicada se puede expresar mediante una descomposición de factores iguales.

Ejemplos:

73 = 7 × 7 × 7

(5b)4 = (5b) (5b) (5b) (5b)

c c c c c c c c c8 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Si una potencia se representa en forma general como an, en donde n es un número natural,entonces se tienen los siguientes casos:

1. a0 = 1. La justificación de esta igualdad se dará posteriormente; por el momento, estoindica que cualquier número elevado a la potencia cero, siempre da como resultado launidad.

2. a1 es = a. Esto indica que todo número elevado a la primera potencia siempre da porresultado el mismo número.

Ejemplos:

(12d )0 = 1

181 = 18

e0 = 1

(13ƒ)1 = 13ƒ

Obsérvense los siguientes ejemplos: 52 × 54

Cada potencia indicada se descompone en sus factores.

52 = 5 × 5, dos factores

54 = 5 × 5 × 5 × 5, cuatro factores

MATEMÁTICAS203

La multiplicación de las potencias indicadas se expresa con todos los factores; se suman losexponentes de ellos, conservando la misma base.

52 × 54 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56

2 factores 4 factores

Obsérvese que el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los factores,esto es:

52 × 54 = 52+4 = 56

m m3 8⋅

Cada potencia indicada se descompone en sus factores.

m m m m3 = ⋅ ⋅

m m m m m m m m m8 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La multiplicación de las potencias indicadas se expresa con todos sus factores; se sumansus exponentes, conservando la misma base.

m m m m m m m m m m m m m m3 8 11⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

3 factores 8 factores

Obsérvese que el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los factores,esto es:

m m m m3 8 3 8 11× = =+

De lo anterior se tiene lo siguiente:

1. Las potencias indicadas tienen la misma base, esto es, 5 y m.

2. Cada una de las potencias indicadas se descompone en sus factores.

3. Se suma el número de factores y la suma es el exponente que corresponde a cadabase.

Por lo tanto, se tiene que la forma general de representar un producto de potencias de lamisma base es:

a a am n m n× == ++ en donde a, m y n son racionales.


( 3a)4 (3a)9 = (3a)13

(z 9) (z 0) = z 9

(r) (r ) = r2

(7x)0 (7x)0 = 1

De lo anterior se concluye que:

El producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma delos exponentes.

En tu cuaderno contesta lo que se te pide:

1. ¿Qué entiendes por potencia?

2. El exponente en una potencia, ¿qué indica?

3. Si se tiene 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8, ¿qué potencia indicada se obtiene y por qué?

4. Si la base de una potencia indicada es b 2 y su exponente es 1, ¿qué resultado seobtiene y por qué?

5. Explica qué sucede cuando se multiplican dos potencias de la misma base.

Lee tus respuestas ante el grupo, como lo indique tu profesor y, si es necesario, corrige.

Continúa con dos compañeros y resuelve lo que se te pide. Trabaja en tu cua-derno.

1. ¿Cómo se leen las siguientes potencias?

m 2 73 910

Ejemplos:

23

23

23

23

2 5 2 5 7( ) ( ) = ( ) = ( )++

47

47

47

0 12 12( ) ( ) = ( )

MATEMÁTICAS205

2. ¿Se puede efectuar la multiplicación de (m 7) (n 6)? ¿Por qué

3. Explica la forma en que resolverías

38

38

8 0x x( ) ( )4. En los ejercicios que se tienen a continuación observa bien cuál es la base en cada

potencia indicada; posteriormente, obtén el producto de esas potencias.

a) (6b)0 (6b)9 =

b) (8c 7d 9)3 (8c 7d 9)8 =

c) (16x)3 (16x)0 (16x)4 =

Confronta tus respuestas con las de otros compañeros del grupo.

Trabaja en tu cuaderno y resuelve lo siguiente:

1. Escribe dentro del paréntesis las potencias indicadas que hacen falta para que se cumplala igualdad.

a) ( )2 ( ) = 343

b) ( )4 ( )3 = 128

c) ( )2 ( )2 = 81

2. Usa lápices de colores para que encierres con un círculo de un mismo color aquellaspotencias que se puedan multiplicar ( por ser de la misma base ), en el esquema siguiente:

85 b 6 a 8 b 7 c 2 38 m 9

xy 201 b 8 5x 7y 6 4c 9 n 0

c 3x n10

a 8b 3 8z c 7 80

83 8y (7b)9 1022

124

x


3. Halla el producto de las siguientes potencias indicadas, basándote en las preguntas.

a) (5m 2n 5)7 (5 m 2n 5)0

¿Cuál es la base de las potencias indicadas?

¿Cuál es el resultado?

b) 43

43

43

23

22

20

x x x( ) ( ) ( )

¿ Cuál es la base de las potencias indicadas?

¿Qué exponente tendrá el producto de las potencias indicadas?

El producto de las potencias indicadas es:

¿Te resultó fácil identificar la base en estos ejercicios? ¿Por qué?

Intercambia tu cuaderno con otro(a) compañero(a) y coteja los resultados con los de la clave,en caso de existir dudas, consulta con tu profesor.

CLAVE

1. (7)2 (7) = 343; (2)4 (2)3 = 128; (3)2 (3)2 = 81;2. 85, 83, 80, b6, b8; n10, n0; c, c7.;3. a) 5 m2 n5; 1; (5 m2 n5)7

b) 43

2 x; 5; 43

25

x ()

PARA HACERNOS MAS PEQUEÑOS

53 Cociente de potenciasAplicación de la división de potencias de la misma base

En esta sesión analizarás formas sencillas para hallar el cociente de potencias cuando lasbases son iguales.

Invita a un compañero para leer y analizar los siguientes desarrollos:

MATEMÁTICAS207

COCIENTE DE POTENCIAS

Vamos a analizar cómo proceder cuando se presenta una división de potencias de la mismabase.

Veamos un ejemplo:

Observamos:

x 5 es una potencia, x 3 es una potencia

Es un cociente de potencias donde las bases son iguales: x

¿Cómo se resolverá este ejercicio?

Recuérdese que en la potencia de un número el exponente nos indica las veces que se tomala base como factor.

Por lo tanto, representando con factores cada una de las potencias, se tiene:

xx

x x x x xx x x

5

3 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Indicando los cocientes, uno a uno, se tiene:

xx

x x x x xx x x

5

3 1 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Simplificando y considerando que todo número dividido entre sí mismo da la unidad, setiene:

xx

x x x5

321 1 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Efectuando el producto:

xx

x x5

3 1 1 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

¿Qué se concluye de esto?

Que cuando hay un cociente de potencias de la misma base, el resultado es una potenciacon la misma base y el exponente es la resta de los dos exponentes del cociente.

En nuestro caso tenemos, en forma directa:

xx

x x5

35 3 2= =−

xx

5

3


Otros ejemplos:

a) bb

b b b b b b b bb b b

b b b b b b b bb b b

b b b b b b b8

35 5

1 1 1 1 11 1 1 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

y, en forma más corta

bb

b b8

38 3 5= =−−

b) aa

a a a aa a a

a a4

3 1 1 11

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ =

aa

a a a4

34 3 1= = =−−

¡Se puede obtener el resultado más rápido si sólo se restan los exponentes y se escribe lamisma base!

Para cualquier caso podemos generalizar:

aa

am

nm n= −− , donde m y n son racionales y a ≠ 0

¿Y qué ocurre cuando los exponentes de las potencias son iguales?

Por ejemplo:

xx

3

3

Sabemos que,

xx

x x xx x x

xx

xx

xx

3

3 1 1 1 1= ⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Pero también se puede realizar aplicando la resta de los exponentes, ¡debe dar lo mismo!

xx

x x3

33 3 0 1= = =−

De manera general se puede afirmar que

aa

a am

mm m o= = =−− 1 donde a ≠ 0.

MATEMÁTICAS209

Aún tendríamos otros caso, ¿qué sucede si el exponente del dividendo es menor que elexponente del divisor. Ejemplo:

xx

3

5

Sabemos que:

xx

x x xx x x x x x

3

5 21= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

Y, si se restan los exponentes

xx

x x3

53 5 2= =−− −−

Comparando los desarrollos anteriores se puede concluir que:

xx

xx

3

52

21= =−−

Generalizando se puede afirmar que:

aa

mm

−− = 1 siendo m un número racional y a ≠ 0

Observa el video, te ayudará a comprender mejor los desarrollos que acabasde realizar. Ahora podrás comentar con tus compañeros acerca del contenidodel programa.

Invita a un compañero para resolver los siguientes ejercicios en sus cuadernos.

a) ¿Qué tienen de especial las potencias que intervienen en los cocientes que acabas deestudiar?

¿Por qué para realizar esos cocientes de potencias se pueden restar los exponentes?

b) ¿Cómo explicarías a alguien que no sepa, que cualquier número elevado a la potencia0 es igual a 1.

c) ¿Cómo explicarías a alguien que x-–3 es lo mismo que 13x

?

Con un compañero completa los siguientes ejercicios en tu cuaderno.

a) mm

m7

37= =−−


Compara tus resultados con los de los otros compañeros, en caso de que existan diferenciasconsulta con tu profesor.

Relaciona en tu cuaderno la columna de la izquierda con la columna de laderecha, escribiendo en cada paréntesis el inciso correcto.

a) xx

8

7 = ( ) x 4

b) xx

7

8 = ( ) x

c) xx

= ( ) xy

d)x yxy

4 2

2 = ( ) (c – d)

e)c d

c d

−−−−

( )( )

=4

3 ( ) x 3

b) bb

b b2

22= = =−−

c)yy

y y2

42= =−−

d) xx

x7

5 = =−−

e) cc

cc5

14= = =−−

f)a b

a ba b a b

−−−−

−− −−−−( )( )

= ( ) = ( )3

33

g) rr

r3

2 = =−−

h)x y

xyx y xy

2 22 2= =− −−

MATEMÁTICAS211

Compara tus respuestas con las de tus compañeros, en caso de que haya diferencias con-sulta con tu profesor.

En forma individual, resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones:

a) ab

3

3 =

¿Se podrá llevar a cabo este cociente de potencias? ¿Por qué?

b) Un cociente de potencias solamente se llevará a cabo....

c) abab

= d) xx 2 = e) d

d

6

6 =

f)yy

4= g)

a b

a b

=( )=( )

=7

2 h) mm

4

9

CLAVE

a) ab

3

3. No, porque las bases no son iguales; b) Si las bases son iguales; c) 1; d) 1x

; e) 1; f) y3;

g) ab ++ ()5; h) 1

5 m

LAS SUPERPOTENCIAS

54 Potencia de una potenciaComprensión del algoritmo respectivo

Analizar y comprender las cosas nos ayuda a la deducción de reglas o leyes y en su posterioraplicación.

f) a ba b

3 3

5 5 = ( ) 12 2a b

g) xy

= ( ) 1

h) xx

5= ( ) 1

x


Con un compañero analiza el siguiente texto y, posteriormente, comenta lasideas principales.

POTENCIA DE UNA POTENCIA

Analiza las siguientes expresiones y sus significados.

73 = 7 × 7 × 7 b b b b b b b6 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

En las potencias se aprecia que el exponente indica el número de veces que la base se tomacomo factor. Este principio también se aplica cuando una potencia se eleva a otra potencia.

Ejemplos:

1. (52)3 , donde la base es 52 y el exponente de dicha base es 3, lo cual indica que aparecerá3 veces la base como factor:

(52)3 = (52) (52) (52)

Ahora, se tiene una multiplicación de potencias indicadas con la misma base, y al resolverse conserva la base y el exponente resulta de la suma de los exponentes de los factores.

(52) (52) (52) = 52+2+2 = 56

Por lo que: (52)3 = 56

Obsérvese que al multiplicar el exponente de la base (2) con el exponente de la potencia a laque se eleva (3) el producto es 6, el cual coincide con el exponente de la potencia resultante56.

(52)3 = 5(2)(3) = 56

Por lo que:

(52)3 = 56

2. (m 3)4, donde m 3 es la base y 4 el exponente o potencia de ella, y si se descompone ensus factores:

(m 3)4 = (m 3) (m 3) (m 3) (m 3) = m 3+3+3+3 = m 12

Por lo que

(m 3)4 = m12

MATEMÁTICAS213

Este ejercicio también se puede efectuar multiplicando el exponente de la base (3) con elexponente de la potencia a la que se eleva (4), su producto (12) es igual al exponente delresultado.

Esto es:

(m 3)4 = m (3)(4) = m12

Por lo que (m 3)4 = m12

Esto se lee “ eme al cubo elevado a la cuarta potencia es igual a eme a la décima segundapotencia”.

En general, si a es un número racional diferente de cero y m y n son racionales, se tiene:

a a a a a am n m m m m m( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ... con n factores

n sumandos

= =+ + + ( )( )a am m m m m n...

esto es:

a am n mn( ) =

Con base en lo expuesto se concluye:

La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

Observa, junto con tus compañeros, el video. Comenta en tu grupo los aportesque pueden enriquecer la lectura efectuada anteriormente.

Invita a un(a) compañero(a) y anoten sus respuestas en sus cuadernos:

1. En la expresión (c 7)4

a) ¿Qué representa el número 7?

b) ¿Qué representa el número 4?

c) La expresión (c 7)4 , ¿qué operación representa?

d) Expresa (c 7)4 como un producto de factores iguales.

e) Escribe el producto que se obtiene.


f) ¿Cómo podrías encontrar el resultado de esta potencia más fácilmente?

2. ¿Cuál procedimiento te parece más sencillo y por qué?

Comenta tus respuestas con otros compañeros.

Trabaja con tu compañero y contesta lo que se pide en cada caso.

Explica los pasos que sigues para resolver mn p( )

Compara tus respuestas con las que den otros compañeros. Si tienes dudas trata de aclararlascon ellos.

En forma individual, resuelve en tu cuaderno las siguientes potencias:

(a 7)3 = (b 20)5 = (c 8)2 = [(d 2 )3]2 = [(e 3)2]3 =

¿Pudiste resolver las dos últimas potencias? Sí o no.

En caso de ser afirmativa tu respuesta, ¿qué procedimiento usaste?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si hay diferencias, verifica con laclave.

CLAVE

a21; b100; c16; d12; e18.

UNA RAÍZ QUE NO CRECE

55 Raíz de una potenciaManejo de la radicación de potencias

Si raíz es sinónimo de origen, ¿qué significa extraer raíz a una potencia?

Observa atentamente el video, que te explicará esta idea de sinonimia.

Comenta ante tus compañeros tu interpretación del concepto.

La siguiente lectura te llevará a comprender un proceso inverso al anterior so-bre la potenciación.

MATEMÁTICAS215

RAÍZ DE UNA POTENCIA

La raíz consiste en buscar una cantidad que elevada a la potencia señalada por el índice delradical dé como resultado el subradical. Así se tiene que:

9 3= , porque 32 = 9

64 43 = , porque 43 = 64

Pero también podría ser una raíz negativa en el primer caso, pues al elevar al cuadrado –3 seobtiene 9. Obsérvese que esto no se cumple para el segundo ejemplo, ya que (–4)3 da comoresultado –64.

De igual forma, cuando se trata de obtener la raíz de una expresión algebraica lo que sepretende es conocer el término que elevado a la potencia señalada por el índice dé comoresultado el subradical.

Ejemplo:

x x2 = , porque (x)2 = x ⋅ x = x 2

x x2 = −− , porque (–x)2 = –x × –x = x 2

y y63 2= , porque (y 2)3 = y 2 × y 2 × y 2 = y 6

y y63 2= −− , porque (–y 2)3 = (–y 2) × (–y 2) × (–y 2) = –y 6

a a84 2= , porque (a2)4 = a2 × a2 × a2 × a2 = a8

a a84 2= −− , porque (–a2)4 = (–a2) × (–a2) × (–a2) × ( –a2) = a8

Cuando se extrae raíz para cierta cantidad, ésta podrá ser positiva o negativa.

Una forma práctica para operar raíces de una potencia es representar la raíz mediante expo-nentes racionales.

Por ejemplo

4 412= , porque 4 4 4 4 4 4

12

2 12

12

12

12

22 1

= ⋅ = = =++

8 8313= , porque 8 8 8 8 8 8 8

13

3 13

13

13

33 1

= ⋅ ⋅ = = =


En la notación racional de un radical, el índice del radical se escribe como el denomina-

dor del exponente: a an n=1

Ejemplos:

a a332= , porque a a a a a

32

2 32

32

62 3

= ⋅ = =

y y y6363 2= = , porque y y y y y y

63

3 63

63

63

183 6

= ⋅ ⋅ = =

8 8313= , porque 8 8 8 8 8 8

13

3 13

13

13

33

= ⋅ ⋅ = =

9 9414= , porque 9 9 9 9 9 9

14

4 14

14

14

14

= ⋅ ⋅ ⋅ =

Así, para obtener la raíz de una potencia, la base se eleva a una potencia que resulta dedividir el exponente de la potencia entre el índice de la raíz.

Por lo que podríamos enunciarlo de manera general así:

x xmnmn= porque x x x

mn

n mnn m

= =

Con un(a) compañero(a) efectúa las siguientes operaciones, ve el ejemplo:

1. (–a)3 = (–a) (–a) (–a) = –a3

2. (–x)2 =3. (–y)4 =4. (–m)7 =

Contesta brevemente las siguientes preguntas:

a) ¿Qué sucede con las potencias de bases negativas cuando se elevan a un exponentepar?

b) ¿Qué sucede con las potencias de bases negativas cuando se elevan a un exponenteimpar?

MATEMÁTICAS217

2. 4 = ¿Por qué puedes encontrar dos soluciones para este ejercicio?

814 = ¿Cuántas soluciones encuentras?

–83 = ¿Cuántas soluciones encuentras?

83 = ¿Cuántas soluciones encuentras?

Explica por qué las raíces cuyo índice es par tienen más de una solución.

b) ¿Encuentras una raíz de

–4 =? –164 = ? –x 2 =?

¿Tendrá solución cualquier raíz de un número negativo en el conjunto de números que cono-ces? Explica.

Expón al grupo tus respuestas, y, si hay divergencias, coméntalas para obtener una conclu-sión.

Individualmente, resuelve el siguiente ejercicio. Observa el ejemplo.

a) x x x662 3= = , porque x x3 2 6( ) = b) –m 43 =

c) a 4 = d) –n 23 =

e) a93 = f) –m 85 =

g) y 105 =

Compara tus resultados con los de otro compañero y, si tienes dudas, consulta con tu profesor.

CLAVE

b)−−−− mm 4 343 =,porquemmm

43

31234

== −−−−

c)aaa 4422 ==,porqueaa 224

()=

d)−−−− nn 2 323 =,porque−−−− nnn

23

3632

==

e)aaa 9 3933 ==,porqueaa 339

()=−−

f)−−−− mm 8 585 =,porquemmm

85

54058

== −−−−

g)yyy 10 51052 ==,porqueyy 2510

()=


EL GRADUADO

56 Grado de un polinomioOrdenación de un polinomio

Todas las cosas que te rodean precisan de un orden para así organizar mejor tu vida. Lospolinomios necesitan también un orden que ayude a analizar y resolver problemas más efi-cazmente.


GRADO DE UN POLINOMIO

Una expresión algebraica puede estar formada por uno o más términos que, de acuerdo consus exponentes, podrán ser de primero, segundo, tercero u otro grado.

Grado de un término y de un polinomio

Un término puede tener grado absoluto, para lo cual se suman los exponentes de susletras o literales así:

4x es de primer grado absoluto.

3x 2y es de tercer grado absoluto, pues x y y tienen exponentes 2 y 1, y2 + 1 = 3.

x 3y 2z es de sexto grado absoluto, pues x, y y z tienen exponentes 3, 2 y 1,y 3 + 2 + 1 = 6.

Un término puede tener un grado con relación a una letra o literal: es el exponente de dichaletra, así:

3s 2y es de segundo grado con relación a s, pues su exponente es 2; y de primer grado conrelación a y, pues su exponente es 1.

5x 4y 2z es de cuarto grado con relación a x, pues su exponente es 4; de segundo grado conrelación a y, pues su exponente es 2; y de primer grado con relación a z, pues su exponentees 1.

El grado de un polinomio con relación a una literal será el mayor exponente que tengadicha letra dentro del polinomio.

MATEMÁTICAS219

Ejemplos:

5x 3 + 4x 2 – 6x es de tercer grado, pues x, su única literal, tiene como exponente mayor al 3.

6x 5y + 4x 2y 3 – 2xy 2 es de quinto grado con relación a x, pues el exponente mayor de estaliteral en los tres términos es 5. Es de tercer grado con relación a y, pues su exponente mayores 3.

Ordenación de polinomios

Para efectuar con mayor facilidad las operaciones con polinomios, es conveniente ordenar-los en forma creciente o decreciente con respecto a una letra.

Al ordenar un polinomio en forma creciente, se inicia anotando el término independiente, ensegundo lugar el término de menor grado con relación a la letra señalada, el tercer términoserá el que tenga el exponente que siga de valor, y así sucesivamente, de izquierda a dere-cha.

Ejemplo:

El polinomio 8x + 4x 3 + 5 –7x 2 se ordena, en forma creciente, de esta manera:

5 + 8x – 7x 2 + 4x 3

El polinomio 8x 3y 2 – 9x 2y – 8xy 2 – 6x se ordena, en forma creciente con respecto a x, deesta manera:

–6y – 8xy 2 + 9x 2y + 8x 3y 2

Para ordenar un polinomio en forma decreciente, se anota como primer término el que tengamayor exponente en relación con una letra determinada, el segundo término será aquel quetenga el exponente que siga en valor, y así sucesivamente. Por último se anota el términoindependiente.

Ejemplos:

El polinomio 8 + 8x 2y 4 – 6x 3y – 3xy 2 se ordena en forma decreciente con relación a x

–6x 3y + 8x 2y 4 – 3xy 2 + 8

y con relación a y:

8xy 4 – 3xy 2 – 6x 3y + 8


La forma más conveniente de ordenar un polinomio es la decreciente o descendente, puespermite un mejor análisis de las expresiones y facilita la resolución de ecuaciones, temasque se verán posteriormente.

Observa el video donde verás que los polinomios se gradúan de acuerdo consus exponentes. Después, comenta con tus compañeros los aspectos que hanhecho claridad a la lectura realizada.

Responde con tu compañero las siguientes preguntas, en tu cuaderno.

1. ¿Cómo se obtiene el grado absoluto de un término?

2. ¿Cómo se sabe el grado de un término en relación con una letra?

3. ¿Cómo se conoce el grado de un polinomio?

Discute tus respuestas con otros compañeros. Si tuviste errores, corrígelos.

Resuelve en equipo los ejercicios siguientes. Trabaja en tu cuaderno.

1. ¿Cuál es el grado de los términos siguientes?

x 6a3 3y 6

2. Anota el grado que se pide de la siguiente expresión: 3a2b3c

grado absoluto

en relación con a

en relación con b

en relación con c

3. Anota el grado de los polinomios siguientes:

4x 4– 6x + 3x 3 –8

9x 6y 5 + 6xy – 9 + 7xy 3 grado en relación con x

grado en relación con y

4. Ordena los polinomios siguientes como se indica:

8x 4 – 6x + 9 – 3x 3 orden ascendente

MATEMÁTICAS221

orden descendente

3a 4 – 2a 2 + 9 – 6a orden ascendente

orden descendente

3x 4 + 3xy 3 + 6x 2y 2+ 9 orden ascendente con respecto de x

orden descendente con respecto de x

orden ascendente con respecto de y

orden descendente con respecto de y

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenta los problemas que tuviste entu equipo para resolver los ejercicios anteriores. Si hay errores, corrígelos.

Individualmente, resuelve los ejercicios siguientes:

1. Tomando como base la expresión x4y, contesta:

a) ¿Cuál es su grado absoluto?

b) ¿Cómo lo localizaste?

c) ¿Cuál es el grado con respecto de x?

d) ¿Cuál es el grado con respecto de y?

e) ¿Cómo se localiza el grado de un término con respecto de una literal?

2. Contesta las preguntas referentes al polinomio 8x 3 – 6xy 2 + 4x 2y.

a) ¿Cuál es el grado con respecto de x?

b) ¿Cuál es el grado con respecto de y?

c) ¿Cómo obtuviste el grado con respecto de las literales?

3. Ordena el siguiente polinomio en la forma que se indica.

9x 3y – 4x 2y 4 + 12 – 5x 4y 3

a) Orden ascendente con respecto de x

b) Orden descendente con respecto de x


c) Orden ascendente con respecto de y

d) Orden descendente con respecto de y

e) ¿Qué criterio seguiste para ordenar el polinomio anterior?

Intercambia tus ejercicios con otro compañero y revisa con la clave. Si hay divergencias,acláralas con tus compañeros.

CLAVE

1. a) Quinto grado; b) Sumando los exponentes de las literales; c) Cuarto grado; d) Primer grado; e) Identificando el exponente que tiene;2. a) Tercer grado; b) Segundo grado; c) Identificando el mayor exponente de dicha letra;3. a) 12 – 4x2y4 + 9x3y – 5x4y3; b) –5x4y3 +9x3y – 4x2y4 + 12; c) 12 + 9x3y – 5x4y3 – 4x2y4; d) –4xy4 – 5x4y3 + 9xy + 12.

ALGO SE CONSERVA

57 Términos semejantes con coeficiente enteroReducción de términos semejantes con coeficiente entero

Si reduces un papel a cenizas, no conserva ninguna cualidad original; pero si sólo reducessu tamaño, no cambian sus características fundamentales. En álgebra también se puedenhacer reducciones y conservarán la esencia de su origen.

Así verás en el video cómo al reducir términos semejantes no se afectan sus“cualidades”.

Invita a un(a) compañero(a) para leer y analizar el siguiente texto:

TÉRMINOS SEMEJANTES CON COEFICIENTE ENTERO

Se realiza el inventario de una papelería y se dan los siguientes informes: en mostrador hay123 cuadernos cuadriculados, 95 cuadernos rayados, 27 cajas de plumas de tinta negra, 34cajas de plumas de tinta azul, 18 cajas de gomas para borrar, 16 cajas de lápices y 49 cajasde sacapuntas; y, en bodega, se tienen 418 cuadernos cuadriculados, 649 cuadernos raya-dos, 43 cajas de plumas de tinta negra y 17 cajas de lápices; pero 15 cuadernos cuadricula-dos se mojaron, 11 cuadernos rayados tenían las hojas manchadas y 2 cajas de lápices serompieron (lo que significa una pérdida para la papelería).

Para tener una información más clara de la existencia de artículos, es conveniente reunirtoda la información. Así se tiene que:

MATEMÁTICAS223

a) Cuadernos cuadriculados: 123 + 418 – 15 = 526

b) Cuadernos rayados: 95 + 649 – 11 = 733

c) Cajas de plumas de tinta negra: 27 + 43 = 70

d) Cajas de plumas de tinta azul: 34

e) Cajas de gomas de borrar: 18

f) Cajas de lápices: 16 + 17 – 2 = 31

g) Cajas de sacapuntas: 49

Para hacer este inventario se procedió así:

• Se sumó el número de cuadernos de la misma clase y se restó el número de ellosinservibles.

• Los datos correspondientes a elementos de los cuales sólo hay un número en existen-cia permanece.

Si llamamos con una letra a cada uno de los artículos en existencia, podemos hacer unaconvención así:

Cuadernos cuadriculados : cCuadernos rayados: rCajas de plumas de tinta negra: nCajas de plumas de tinta azul: aCajas de goma de borrar: bCajas de lápices: lCajas de sacapuntas: s

Si alguien quisiera tener la suma del número de artículos de la papelería podría expresarloasí:

123c + 418c – 15c + 95r + 649r – 11r + 27n + 43n + 34a + 18b + 16l + 17l –2l + 49s y si, luego,se suman y se restan los artículos de la misma clase, se tendrá:

526c + 733r + 70n + 34a + 18b + 31l + 49s.

No podrían realizarse más sumas porque cada término representa la existencia de artículosde la misma clase.

De igual manera procederemos para hacer más sencillas las expresiones polinómicas contérminos semejantes.


Ejemplos:

4a2 y –6a2 son términos semejantes, pues las literales y sus exponentes son iguales, aunquelos coeficientes sean diferentes.

–2xy – 2x3 no son términos semejantes, pues aunque tengan el mismo coeficiente y la mis-ma literal, el exponente es diferente.

Así, cuando se tienen términos semejantes, se pueden reducir conforme al siguiente señala-miento.

1. Cuando los términos semejantes tienen un coeficiente de igual signo, éstos se su-man y el resultado llevará el signo que ellos tenían, seguido de la parte literal:

7m + 8m = 15m; –9x –3x = 12x.

2. Cuando los términos semejantes tienen coeficiente con diferente signo, se restan losvalores absolutos y al resultado se le da el signo del sumando con mayor valor absolu-to, seguido de la parte literal:

–3m 2 + 8m 2 = 5m 2; 12xy –21xy = –9xy

3. Cuando los términos semejantes son más de dos y sus coeficientes tienen signodiferente, se agrupan en uno los de signo positivo y en otro los de signo negativo,después se reducen ambos términos conforme se señala en el punto anterior:

–4a + 8a – 9a + 7a = –13a + 15a = 2a.

Cuando exista un término que no tenga semejante para reducirse, se conserva en la expre-sión resultante con el signo negativo o positivo que originalmente tenía.

De todo lo anterior, se puede concluir que:

Para reducir o agrupar términos semejantes con coeficiente entero, se realiza una adi-ción algebraica de ellos y el resultado conserva la misma parte literal.

Reúnete con dos compañeros y contesta las preguntas, en tu cuaderno.

a) ¿Serán semejantes dos términos cuyas letras son las mismas, pero su orden es dife-rente? ¿Por qué?

b) ¿Qué hace que dos o más términos sean semejantes?

c) ¿Qué papel desempeñan los coeficientes en términos semejantes?

MATEMÁTICAS225

Compara tus respuestas con las de tus compañeros; si hay divergencia, coméntala y obténuna conclusión.

Copia en tu cuaderno y une con una línea los términos semejantes al que estáen el círculo.

Reduce o agrupa mentalmente los siguientes términos y escribe el resultado.

a) 4m 2n – 6m 2n – 3m 2n = b) 8ab + 3ab –7ab =

c) –3a2 + 7a2 + 2a2 –14a2 = d) 2xy + 8xy + 11xy – 24xy =

e) –14x 3 + 8x 3 – 9x 3 – 6x 3 = f) 23mn + 14mn –33mn =

g) –12y 2 – 30y 2 + 4y 2 =

h) ¿Qué parte de cada término usaste para realizar la reducción o agrupación?

i) ¿Qué hiciste con la parte literal?

j) Explica, en forma breve, el procedimiento realizado.

Comprueba los resultados de las operaciones con la calculadora.

CLAVE

a) –5m2n; b) 4ab; c) –8a2; d) –3xy; e) –21x3; f) 4mn; g) 38y2;h) El coeficiente; i) Se conserva; j) Para reducir términos semejantes con coeficiente entero, serealiza una adición algebraica de ellos y el resultado conserva la misma parte literal.

−2 3 2x y 7 2y x ++8 2y x −−3yx

11 2x y −−11 3x y

4 2x y xy 2

9 2 2x y −−5 2x x

xy 2

−−6 2x y −−9 2y x


INSTINTO DE CONSERVACIÓN

58 Términos semejantes con coeficiente racionalReducción de términos semejantes con coeficiente racional

Reducir términos algebraicos que sean semejantes requiere de un cuidado especial ; enesta sesión conocerás la forma de reducir aquellos que lo sean, pero que además tengancoeficiente racional.

Observa el video con atención. Posteriormente, comenta las dudas que tengasante el grupo.

Invita a un compañero para leer y analizar el siguiente texto:

TÉRMINOS SEMEJANTES CON COEFICIENTE RACIONAL

Si se tiene la siguiente expresión algebraica:

−− ++ ++ −− ++ −−45

0 4 0 3 78

8 42 3 2 3x x x x x. .

¿Qué términos son semejantes?, ¿cómo son sus coeficientes?, ¿se podrán agrupar o redu-cir los términos semejantes?

Las respuestas a estas preguntas se encuentran efectuando el siguiente análisis:

Los términos 0 4 3. x y −− 78

3x así como −−45

2x y 0 3 2. x son semejantes porque son como par

tes de x3 o de x2.

Los coeficientes de estos términos están en forma de fracción común y decimal.

Por lo tanto, sí se pueden reducir términos semejantes, pero es necesario expresar los coefi-cientes en forma de fracción común o decimal.

Si los coeficientes se expresan como fracción decimal, se tiene:

−− 78

0 875= . −− −−45

0 8= .

Una vez que los coeficientes están expresados como fracciones decimales, se procede aescribirlos en la expresión original.

MATEMÁTICAS227

–0.8 x2 + 0.4 x3 + 0.3 x2 – 0.875 x3 + 8 x – 4

Ya identificados los términos semejantes, se procede a reducir; el resultado conserva laparte literal, y los términos no semejantes se conservan, ya que éstos no se reducen conningún otro término, en este caso 8x y –4.

Coeficientes de x2: –0.8 + 0.3 = –0.5

Coeficientes de x3: 0.4 – 0.875 = – 0.475

Se ordenan los términos en forma decreciente.

–0.475x3 – 0.5x2 + 8x – 4

Este es el resultado de reducir términos semejantes en una expresión algebraica.

Los coeficientes se expresan en forma de fracción común y se convierten aquellos que esténcomo fracción decimal a común.

0 4 410

. = 0 3 310

. =

Los coeficientes se escriben en la expresión algebraica original.

−− ++ ++ −− ++ −−45

410

310

78

8 42 3 2 3x x x x x

Se subrayan de igual forma los términos semejantes.

−− ++ ++ −− ++ −−45

410

310

78

8 42 3 2 3x x x x x

Los términos semejantes se reducen mientras que los no semejantes se conservan, ya queno se reducen con ningún otro término, estos son 8x y –4.

Coeficientes de x2

−− ++ −− ++ −−45

310

8 310

510

= = simplificando: −− 12

Coeficientes de x3:

410

78

16 3540

1940

−− −− −−= =


Se colocan los términos en orden decreciente.

−− −− ++ −−1940

12

8 43 2x x x

Es más recomendable emplear fracciones comunes, ya que hace el procedimiento más sen-cillo, pues al usar fracciones decimales se tendrá el inconveniente de que existirán fraccio-nes decimales periódicas.

Con base en lo anterior, se tiene:

Para reducir términos semejantes con coeficiente racional, se deben convertir los coefi-cientes en fracción común y posteriormente se reducen dichos términos; con esto sefacilita el procedimiento de la reducción.

Forma un equipo de trabajo como lo indique el profesor, y contesta lo que sepide a continuación:

1. ¿Cuándo dos o más términos algebraicos son semejantes?

2. Al reducir términos algebraicos semejantes, ¿qué les sucede a los coeficientes y qué alas letras?

3. ¿Cómo reducirías o agruparías los términos semejantes en una expresión algebraicaen donde algunos tienen coeficientes en forma de fracción común y otros en forma defracción decimal?

4. En las siguientes expresiones algebraicas subraya los términos semejantes y luegoescribe por qué son semejantes.

−− ++ ++0 25 15

3 27 6 6 6 77. .m n m n m n

37

0 26 4 2 23 6 3 2 3 2 3 6c d c d c d c d++ .. ++ −− .

Lee tus respuestas ante el grupo y, si no coinciden, consulta con tu profesor.

En forma individual, resuelve en tu cuaderno lo siguiente:

1. Subraya de la misma forma los términos que sean semejantes en la expresión algebraica:

43

3 5 37

18

0 53 2 3 4 4 3 3 3d e d e d e d e d++ −− −− .. −− −−. .0 26 2

MATEMÁTICAS229

a) Escribe por qué esos términos son semejantes.

b) Expresa como fracción decimal el coeficiente del término semejante que aparece comofracción común. ¿Qué dificultad se te presentó?

c) Ahora, el coeficiente del término semejante que aparece como fracción decimal,exprésalo como fracción común.

d) ¿Cuál de estas formas te pareció más sencilla? ¿Por qué?

e) Convierte los coeficientes de la expresión algebraica en la forma que consideraste mássencilla.

f) Reduce los términos semejantes.

g) ¿Qué términos no son semejantes? ¿Por qué?

h) Escribe la expresión algebraica que se obtiene después de realizar la reducción detérminos semejantes.

2. Una vez que ya analizaste la forma de reducir términos semejantes, ahora, en las si-guientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes.

a) 3 0 22 35

47

26 3 6 3p p p p−− −− ++ ++.

b) −− ++ −− .. −−37

0 9 95

7 6 4 6 7 6a b a b a b a b. 0 31 7 6

Intercambia tu cuaderno con otro compañero para que compares tus resultados; en caso deque los resultados sean diferentes, consulta la clave.

CLAVE

1. 43

026 3232 dede ,. −−; a) Porque tienen las mismas literales y los mismos exponentes.

b) 43

13333333 =....; c) –0.26=−−26100

; d) Queda abierta;

e) 43

3510

37

26100

510

18

13333 ,,,,,,...., −−−−−−−−−−

3.5, –0.42857, –0.26, –0.125, –0.5; f) 322300

32 de; g) 3534 .de, −−37

43 de, 18

3 d, –0.5; Porque

no tienen las mismas literales y los mismos exponentes que los dos anteriores;

h)322300

3510

37

18

510

3234433 dededed ++−−−−−−; 2. a) 125

2246700

63 pp ++++;

b) 517700

910

7646 abab −−


VALOR CONSTANTE

59 Valor numérico de un polinomioObtención del valor numérico de un polinomio

¿Has oído hablar de que el valor de las monedas de cada país depende de la reserva en oroque tienen sus bancos?

Así se podría decir que dicho valor es inconstante o variable.

Observa el video donde conocerás más casos de valores que son inconstan-tes por estar supeditados a ciertas variables.

Con un compañero lee y analiza el siguiente texto:

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Un polinomio consta de dos o más términos y, a su vez, cada término podrá tener una o másliterales, las cuáles representan valores indeterminados. Pero, ¿qué sucede cuando a esaliterales se les otorga un valor?

Obsérvese:

Se tiene el polinomio –4x + 2y – 5m2 y se asignan arbitrariamente los valores:

x = 3; y = 8; m = –2

Para encontrar el valor numérico del polinomio es necesario conocer el valor numérico decada uno de los términos que lo forman.

Recuérdese que, cuando aparecen en un mismo término dos o más literales sin que entreellas haya un signo de + o –, se trata de una multiplicación y sucederá lo mismo con lasliterales y su coeficiente.

De esta forma, se tiene que:

–4x = (–4) (3) ; –4x = –12

+2y = (+2) (8); +2y = +16

–5m2 = (–5) (–2)2; –5m2 = –20

Una vez determinado el valor de cada término del polinomio, se reducen todos hasta encon-trar un solo valor que será el que corresponda a todo el polinomio, o sea:

MATEMÁTICAS231

–12 + 16 – 20 = –16

Por lo tanto, el valor numérico de –4x + 2y – 5m 2 = –16 cuando x = 3; y = 8; m = –2

Véanse otros casos.

Para el mismo polinomio –4x + 2y – 5m 2, se le asignan los siguientes valores a las literales:

x = –8; y = 5; m = 1

Se determina el valor numérico de cada término:

–4x = (–4) (–8) ; –4x = +32

+ 2y = (+2) ( 5) ; +2y = +10

–5m2) = (–5) (1)2; –5m2 = – 5

Ahora se reducen todos los valores numéricos hasta tener uno solo que será el que corres-ponda al polinomio,

+ 32 + 10 – 5 = 37

Por lo tanto, el valor numérico de –4x + 2y – 5m 2 = 37 cuando x = –8; y = 5; m = 1.

Obsérvese un ejemplo más para el mismo polinomio.

Los valores de las literales son:

x = −− 13

; y = −− 25

; m = 12

El valor numérico de cada término del polinomio es:

−− −− −−4 4 13

x = ( )( ) ; −− ++4 43

x =

++ ++ −−2 2 25

y = ( )( ) ; ++ −−2 45

y =

−− −−5 5 12

22

m = ( )( ) ; −− −−5 54

2m =


Al reducir los valores numéricos de todos los términos, se tiene:

++ −− −− −− −−43

45

54

80 48 7560

4360

= =

Así que el valor numérico del polinomio −− ++ −− −−4 2 5 4360

2x y m =

El valor numérico de un polinomio depende del valor que se asigne a las literales que loforman, y, por tanto, del valor numérico que corresponde a sus términos.

Con un compañero, responde en tu cuaderno.

a) ¿Qué es un polinomio?

b) ¿Qué operación representan dos o más letras juntas o un número y una o más letrasjuntas?

c) ¿Cómo se asignan los valores a las variables?

d) ¿De qué depende el valor de un polinomio?

Continúa con tu compañero, y anota el número (del 1 al 5) que le correspondaa cada paso, según el orden en que se realizan; hazlo en tu cuaderno.

Asignar el valor numérico al polinomio ( )

Determinar el valor numérico de cada término ( )

Enunciar el polinomio ( )

Reducir los valores obtenidos ( )

Asignar el valor a las letras ( )

Lee en voz alta el orden asignado y, si tuviste errores, corrígelos.

Únete a otros compañeros y completa el siguiente cuadro en tu cuaderno; efec-túa las operaciones mentalmente.

MATEMÁTICAS233

Cambia tu trabajo con un compañero de otro equipo y comprueba los resultados con lacalculadora. Si hubo errores, coméntalos con él.

Individualmente, resuelve el siguiente ejercicio en tu cuaderno y anota el resul-tado en el lugar que corresponda.

Dado el polinomio –4a2b + 2a –3b + 5ab y los valores a = –1 , b = 12

anota lo que se te pide:

a) a2 = b) –4a2b = c) +2a = d) –3b = e) +5ab =

f) –4a2b + 2a – 3b + 5ab =

g) ¿Consideras que el procedimiento anterior es el mejor, o existirá algún otro que tambiénsea conveniente? Explica.

CLAVE

a) a2 = (1)2 = 1;b) −−−−−−−−−− 44112

42

2 22ab=()()()==;

c) +2a = (2) (–1) = –2;d) −−−−−− 3312

32

b=()()=;

e) ++−−−− 55112

52

ab=()()()==f) –4a2b + 2ab – 3b + 5ab = –8

UNO DEPENDE DE OTRO

60 Tabulación de polinomiosElaboración de una tabla de valores

En matemáticas, cuando se desea representar con mayor interés una información relevantedentro de un texto, podemos utilizar una tabla de valores; ésta concentra los elementos indis-pensables para continuar un determinado proceso, como podría ser graficar alguna expre-sión. ¿Te gustaría saber cómo elaborar una tabla de valores de una expresión algebraica?

Valor numérico de m n x y –5m +2n2 –3x +6y3

–5m + 2n2 – 3x +6y 3

139 8 –8 –1 2 –40 128 +3 48–4 3 7 –1 18 –21

0 1 –6 2–3 5 –4 0 50 0


Realiza las actividades que a continuación se indican.

Observa atentamente el video; cuando termine, comenta con un compañerocercano la idea principal expuesta.

Lee con atención.

TABULACIÓN DE POLINOMIOS

Como ya se ha dicho, el valor de un polinomio está determinado por los diferentes valoresque se asignan a las variables, ya que.

Si a = 1 entonces 3a + 5 = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8Si a = 2 entonces 3a + 5 = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11Si a = 3 entonces 3a + 5 = 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14Si a = 4 entonces 3a + 5 = 3(4) + 5 = 12 + 5 = 17

Esta información se puede colocar en una tabla:

Este cuadro representa la tabulación de la expresión 3a + 5, cuando su variable adquiere losvalores de 1 a 4.

Tabular un polinomio consiste en ordenar en una tabla sus valores numéricos de acuerdo conlos distintos valores que se aplican a las variables.

También es posible tabular expresiones con más de una variable y asignar valores a cadauna de ellas.

Ejemplo: Tabular la expresión 3x 2 – 2 y para los siguientes valores de x y y.

x = –5, y = 2; x = 2, y = –3;

x = –3, y = –4; x = –1, y = 1

Cuando x = –5 y y = 2

a 3a + 51 82 113 144 17

MATEMÁTICAS235

3(–5)2 – 2(2) = 75 – 4 = 71

Cuando x = 2 y y = –3

3(2)2 – 2(–3) = 12 + 6 = 18

Cuando x = –3 y y = –4

3(–3)2 – 2(–4) = 27 + 8 = 35

Cuando x = –1 y y = 1

3(–1)2 – 2(1) = 3 – 2 = 1

Es importante tener presente la tabulación de polinomios, para que posteriormente puedaaplicarse este conocimiento con representaciones gráficas de expresiones algebraicas.

Reúnete con dos compañeros y, después de analizar las siguientes preguntas,contéstalas.

1. Además de una tabla de valores, ¿conoces otra forma de representar matemáticamen-te una información sobresaliente? ¿Cuál es?

2. ¿Qué necesitas para calcular el valor numérico de una expresión algebraica?

3. ¿Qué operaciones realizas para obtener todos los valores de un polinomio?

4. ¿Se puede tabular una expresión de distintas variables?

5. Expresa con tus palabras el procedimiento para tabular un polinomio.

Compara tus respuestas con las de otro equipo; si no coinciden, consulta con tu profesor.

Trabaja con el compañero más cercano y elabora en tu cuaderno una tabla devalores del polinomio 2x2 + y, para los siguientes valores de x y y.

x = 1, y = 2; x = 4, y = 3; x = 2, y = 5; x = 5, y = 1

x y 3x 2 – 2y–3 2 71

2 –3 18–3 –4 35–1 1 1


Compara tus resultados con los que dé tu profesor; si tienes errores, revisa tus procedimien-tos.


1. ¿Recuerdas una expresión para calcular el área de un triángulo si conoces la base y laaltura? Escríbela.

A =

2. Encuentra mentalmente los valores del área de un triángulo de base b y altura h, cuan-do tienen los valores siguientes:

b = 6, h = 3; A =b = 8, h = 5; A =b = 11, h = 4; A =b = 15, h = 6; A =

3. Completa, en tu cuaderno, la tabla con los valores de 2 35

2 3 7 8x y x y−−

El profesor elegirá algunos compañeros para completar la tabla en el tablero. Observa lascorrecciones que haga el profesor y compara tus respuestas. En caso necesario, consulta laclave.

CLAVE

x y 2x 2 + y

b h A35

1115

bhA=6398520

1142215645

MATEMÁTICAS237

En esta sesión se pretende que aclares y precises tus ideas con respecto de las bases delálgebra, lo cual te facilitará su comprensión y estudio.

Observa con atención el video, ya que por medio de él podrás dar respuesta atus dudas.

Integra un equipo de trabajo como lo indique tu profesor, para responder lossiguientes cuestionamientos:

1. En el lenguaje algebraico, ¿cómo se representan los números desconocidos?

2. De la expresión algebraica 2 35

2 3 7 8x y x y−− , contesta lo siguiente:

a) ¿Cuántos términos tiene? Entonces, ¿cómo se llama?

b) ¿Cuál es el coeficiente del segundo término?

c) ¿Cuáles son los exponentes de x en cada término?

d) ¿A x y y cómo se les llama?

e) ¿Cuál es el grado de dicha expresión con respecto a y?

3. Dada la expresión 3a2b5 + 8b4c2 – a8b3c4, ¿cuáles son las variables y cuáles, las cons-tantes? Explícalo.

4. En una potencia indicada, ¿qué representa la base y qué, el exponente?

5. Si tienes una multiplicación de dos potencias indicadas con la misma base, ¿cómoobtienes el producto de ellas?

6. ¿Cuál es la razón por la que el cociente que se obtiene de mm

8

15 es 17m

?

7. Explica con tus palabras cómo extraer una raíz determinada de una potencia.

8. ¿Qué entiendes por grado de un polinomio con respecto de una letra?


Evaluación parcial de lo desarrolladoIntegración de lo aprendido

61


9. ¿Cuándo dos términos algebraicos son semejantes?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Aclara tus dudas.

Sigue con tu equipo de trabajo. Comenten y expliquen a qué se refiere cadauna de las siguientes expresiones.

En forma individual, resuelve los ejercicios que se dan a continuación:

1. Escribe en el lenguaje usual cómo se lee la expresión 2x 2 – 1.

2. Escribe el grado del siguiente polinomio con respecto de x y ordénalo en forma descen-dente.

−− ++ ++ −− ++ −− ++4 34

0 23 3 0 1 12 2 5 9 7 8 6 12 9 12 4x y x y x y x y x y x. .

3. El resultado de y 94 es:

4. Reduce los términos que sean semejantes en el siguiente polinomio y ordénalo conrespecto de y.

37

0 5 8 813

53

4 5 2 5 4 5 5 4 2 5y z y z y z y z y z−− ++ −− −−.

5. En el polinomio –4x3y + 5x2y2 – 2xy 3 – 2, si x = 2 y y = –1, ¿cuál es su valor numérico?

Término expresadoúnicamente confactores

El triple del producto de dosnúmeros, elevado al cubo

Factor numérico deuna expresiónalgebraica

Símbolos que tienenun valor específico

Indica el número de veces que setoma la base como factor

16 16 169 3 12( )( ) = x xy y2 22−− ++ , si x = 3, y = 1Entonces

x xy y2 22 4−− ++ =kk

k13

85=

4 8 22 9 6 3 5x y x y y x−− ++ −−el grado es 9 respecto de y

x x7 8 56( ) =

3 7 8 5 82 2 2a a a a a a++ −− −− +++

MATEMÁTICAS239

Intercambia tu trabajo con otro compañero y compara las respuestas con la clave; si tieneserrores, corrígelos.

CLAVE

1. El doble del cuadrado de un número disminuido en una unidad.

2. EI grado es 9; 01023334

41 9127861259422 .. xyxyxyxyxxy ++−−++−−−−++

3. y49; 4. −−++−− 8

13597

136

544525 yzyzyz; 5. 54

UNA REUNIÓN PECULIAR

62 Adición de polinomiosManejo de la adición de polinomios

¿Cómo realizar la adición de varios polinomios?

Observa con atención el video, donde se mostrará algo al respecto. Despuéscomenta brevemente con tus compañeros acerca del contenido.

Compara tus resultados con tu compañero más cercano; si existen diferencias, consulta contu profesor.

Lee con tus compañeros el siguiente texto para ampliar el conocimiento queadquiriste con el video.

ADICIÓN DE POLINOMIOS

En una fábrica hay una máquina que produce botellas, algunas de las cuales resultan defec-tuosas. Cada botella sin defecto produce una ganancia de x pesos y cada botella defectuosaproduce una pérdida de y pesos. En el mes de abril, la máquina produjo 15 000 botellas sindefecto y 400 defectuosas, durante el mes de mayo la producción fue de 12 500 sin defectoy 300 defectuosas. ¿Cuál es la ganancia neta total obtenida durante los meses de abril ymayo?

La ganancia neta obtenida cada mes es igual a la ganancia producida por las botellas sindefecto menos las pérdidas obtenidas debido a las botellas defectuosas.

La ganancia por cada botella sin defecto se representa con la variable x y las pérdidas porcada defectuosa con y.

Así la ganancia de cada mes se representa de la siguiente forma:


Ganancia de abril 15 000x – 400y

Ganancia de mayo 12 500x – 300y

La ganancia total obtenida de abril y mayo es igual a la ganancia de abril más (+) la gananciade mayo.

Ganancia de abril y 15 000x – 400ymayo.

+ 12 500x – 300y

27 500x – 700y

La operación que se utilizó para solucionar el problema es una adición de polinomios.

Para facilitar la adición de polinomios se colocan en forma vertical y se procura que lostérminos semejantes coincidan en la misma columna.

En este ejemplo:

(3x 2 + 3x – 5) + (7x + x 2) + ( 8 – 4x + 6x 2)

Se ordenan los polinomios en orden decreciente:

3x 2 + 3x – 5x 2 + 7x

6x 2 – 4x + 8

Se efectúan las adiciones de los coeficientes y al resultado se le coloca la misma parte literal.

3x 2 + 3x – 5x 2 + 7x

6x 2 – 4x + 8

10x2 + 6x + 3

Ahora contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Se puede sumar 4m + 6m? ¿Por qué?

b) 5a + 4b, ¿se pueden sumar? ¿Por qué?

Compara tus respuestas; si existen diferencias, consulta con tu profesor(a).

MATEMÁTICAS241

Con un compañero, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

a) En un salto triple, Luis realizó las siguientes marcas: en la primera parte 3 m, en lasegunda 2 m, y en la tercera 1 m. ¿Qué distancia brincó en total?

b) En un frutero hay 6 plátanos y 2 naranjas; si se agregan 3 plátanos y 8 naranjas, ¿cuántosplátanos y naranjas tendremos en total? Representa plátanos con p y naranjas con n?

Compara tus resultados con los de otros compañeros; si existen diferencias, consulta con tuprofesor.

Busca un compañero y resuelve los ejercicios siguientes:

a) 3x + y b) 6a + 4b c) 3ab + 4c+ 2x +a – b + ab

5ab – c

Realiza las siguientes adiciones acomodando los sumandos verticalmente.

a) (x + 2) + (2x + 3) =

b) (5a2 + b) + (3a2 + 2b) + (a2 + b) =

c) (5x 2 + 3x + 2) + (8x – 4) + (6x 2 + 10) =

Compara tus resultados con los de tus compañeros; si existen diferencias, consulta con tuprofesor.

Resuelve las siguientes cuestiones en forma individual:

a) (–5x 2 + 3xy + 3) + (2x 2 – 8xy + 9) + (2xy – 6) =

b) (4a – 2b) + (a – b) + (a + b + c) =

c) (3x 2 + 5y) + (2y 2 + 9y) + (8y + 4x 2) =

Compara tus resultados con los que aparecen en la clave. Corrige en caso de que tengaserrores.

CLAVE

a) –3x2 – 3xy + 6; b) 6a – 2b + c; c) 9x2 + 22y.


SUMAR PARA RESTAR

63 Sustracción de polinomiosConocimiento de la sustracción de polinomios

Ya sabes sumar y restar monomios: esto lo hiciste agrupando términos semejantes. Ahora,¿cómo se te ocurre que podrías restar polinomios?

Observa atentamente el video; posteriormente, participa con tu grupo, me-diante una lluvia de ideas, para dar respuesta a la pregunta planteada ante-riormente.

Lee y analiza cuidadosamente el siguiente texto y comenta con tu compañeromás cercano la idea principal de la lectura. Si tienes dudas, consulta con tuprofesor.

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Son muchas las operaciones necesarias para resolver situaciones problemáticas, por ejem-plo, para comparar áreas de figuras.

Ejemplo: hallar la diferencia entre los perímetros de las siguientes figuras:

a + b a – 1

a – 1 a – 1 a – 1 a – 1

a + b a – 1

P1 = 4a + 2b – 2 P2 =

P1 – P2 =

Para encontrar la diferencia buscada es necesario conocer el sustraendo, el cual se obtienesumando a –1 cuatro veces P2 = 4a – 4.

Una vez que se tienen los dos perímetros, se plantea la sustracción de 4a + 2b – 2 menos4a – 4. Ésta se indica encerrando en paréntesis el minuendo y el sustraendo y separándoloscon el signo menos.

MATEMÁTICAS243

(4a + 2b – 2) – (4a – 4) = 2b + 2

minuendo sustraendo

¿Cómo resolver una sustracción de polinomios?

En esta operación se aplican los conocimientos sobre la sustracción de números racionales,donde la diferencia se encuentra sumando al minuendo el inverso aditivo del sustraendo.

El inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiando el signo de sus términos.

4a – 4; su inverso aditivo es –4a + 4

Se procede a sumar: (4a + 2b – 2) + (–4a + 4) = 2b + 2

El procedimiento para resolver una sustracción de polinomios consiste en sumar al polinomiominuendo el inverso aditivo del polinomio sustraendo.

Después se reducen términos semejantes, si los hay.

Ejemplo:

(4x 2y – 6x – 3) – ( –2x 2y + x – 8) =

1. Como el inverso aditivo del polinomio sustraendo es 2x 2y –x + 8, la sustracción setransforma en adición.

(4x 2y – 6x – 3) + (2x 2y – x + 8)

2. Conmutando términos

4x 2y + 2x 2y – 6x – x – 3 + 8 =

3. Reduciendo o agrupando términos semejantes, encontramos el polinomio diferencia.

4x 2y + 2x 2y – 6x – x – 3 + 8 = 6x 2y – 7x + 5—— —— == ==

Una manera más cómoda de resolver una sustracción de polinomios es hacerla en formavertical.

Ejemplo:

(–3a3 + 2a2 + 5) – (6a3 – 4a2 + 1) =


1. Se transforma en adición, utilizando el inverso aditivo del sustraendo.

( –3a3 + 2a2 + 5) + ( –6a3 + 4a2 –1) =

2. Se escribe el inverso del sustraendo debajo del minuendo, de tal manera quecorrespondan los términos semejantes.

–3a3 + 2a2 +5+ –6a3 + 4a2 –1

3. Se reducen términos semejantes.

–3a3 + 2a2 + 5+ –6a3 + 4a2 – 1

–9a3 + 6a2 + 4

Participa en un grupo de tres compañeros, intercambia ideas y escribe en tucuaderno las conclusiones respecto de:

a) ¿Cómo encuentras el inverso aditivo de un polinomio?

b) ¿De qué manera reduces términos semejantes?

c) Escribe el procedimiento que te parezca más sencillo para resolver una sustracción depolinomios

d) Explica el caso particular que representa la sustracción siguiente:

(–4a3b + a2 – 2) – (4a3b – a2 + 2) =

Con la participación de tu profesor(a), los equipos leerán sus comentarios hasta llegar aconclusiones de grupo. Corrige si tienes errores.

En forma individual, contesta lo que se te pide:

1. Identifica los elementos de la sustracción.

(–4a2b + 2a – 1) – (2a2b – 6a)

Polinomio sustraendo:Polinomio minuendo:Inverso del polinomio sustraendo:Polinomio diferencia:

MATEMÁTICAS245

2. Escribe dos polinomios cuya diferencia sea igual a cero.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros; corrige lo necesario.

Resuelve individualmente.

Se tienen dos terrenos, A y B, con las medidas que se indican.

Considerando la figura anterior, escribe con los símbolos correspondientes lo que se plan-tea.

1. Representa el perímetro de B.

2. Representa el perímetro de A.

3. Representa la operación B – A.

4. ¿Cuál es la diferencia entre A y B?

El profesor elegirá algunos compañeros para que muestren sus resultados; si son diferentes,el profesor te auxiliará; en caso necesario, consulta la clave.

CLAVE

SURTIDO RICO

64 Operaciones combinadasResolución de adición y sustracción combinadas

Al concluir la sesión podrás notar qué sencillo es adquirir destreza en la realización de ope-raciones de adición y sustracción combinadas.

Observa en el video los aspectos que te llevarán a resolver estas operacionestan especiales.

x

yA B

43

23

1. x + 2x; 2. x + 2y; 3. ( x + 2y) – ( x + 2y); 4. x. 43

23

23

13

x


Después del programa, comenta con tu grupo de qué manera la información que te dieron teservirá para realizar este tipo de operaciones.

Intégrate a un equipo y realiza la lectura siguiente.

OPERACIONES COMBINADAS

Para afirmar el conocimiento de adiciones y sustracciones de polinomios, se proponen ejer-cicios en los que después de obtener una suma, se tenga que restar otro polinomio o dondeel resultado de una sustracción se deba sumar a otro polinomio.

Ejemplos:

De x 3 – 9x 2y + 7y 3 restar el polinomio que resulte de sumar:

x 3 + 8x 2y – 3xy 2 + 2y 3 con – 6x 2y + 2xy 2 – 4y 3

Cuando se tiene que resolver una operación de este tipo, se puede proceder así

1. Se identifica el minuendo, que en este caso es:

x3 – 9x 2y + 7y 3

2. Se obtiene el sustraendo, sumando las expresiones dadas:

x 3 + 8x 2y – 3xy 2 + 2y 3

– 6x 2y + 2xy 2 – 4y 3

x 3 + 2x 2y – xy 2 – 2y 3

3. Una vez obtenida la suma, que será el sustraendo, se procede a restarla del minuendo,o sea: (x 3 – 9x 2y + 7y 3) – (x 3 + 2x 2y –xy 2 – 2y 3). Se ordena en columnas, pero anotan-do el simétrico del sustraendo (inverso aditivo), para sumarlo con el minuendo.

x 3 – 9x 2y + 7y 3

–x 3 – 2x 2y + xy 2 + 2y 3

– 11x 2y + xy 2 + 9y 3

MATEMÁTICAS247

La adquisición de práctica para realizar estas operaciones servirá de base para avanzargradualmente hacia la realización de cálculos más complicados en los que se opera conexpresiones algebraicas.

Continúa trabajando con tu equipo y en tu cuaderno resuelve los siguientesejercicios.

1. Encuentra la suma de:

(9a2 – 7a + 8) + (–5a2 – 2a – 3)

2. Realiza la siguiente operación:

(12x 2 – 6) – (– 8x 2 + 2x)

Al terminar, compara tus resultados con otro equipo y corrige tus errores.

Individualmente, realiza en tu cuaderno, completando los espacios en blanco,las expresiones algebraicas que faltan e identifica el minuendo y el sustraendo.

Aplica el cálculo mental y, posteriormente, comprueba tus resultados con la calculadora,operando los coeficientes de términos semejantes:

1. De 9x 3 + 9x 2 – 4, sumado con 2x 3 + 2, restar –2x 3 – 2

+ 9x 2 – 4 11x 3 + 9x 2 – 2

2x 3 + 2 2

11x 3 13x 3 + 9x 2

2. De 8x 3 + 6x 2 – 4xy + 8 restar x 2 + 4xy – 2xy 2 + 4y 3 más 2xy – 4xy2 – 2y3

x 2 + 4xy – 2xy 2 + 4y 3

2xy – 4xy 2 – 2y 3 – x 2 6xy + 6xy 2 – 2y 3

x 2 6xy2 + 2y 3 8x 3 + 5x 2 – 10xy + 6xy 2 – 2y 3 + 8

Compara tus resultados con los que dé tu maestro y corrige en caso de error.


Reflexiona sobre las siguientes cuestiones y anota tu conclusión.

1. ¿Qué aspecto, en la resolución de estas operaciones combinadas, te costó más trabajo?¿Por qué?

2. ¿Qué crees que es lo más importante de tener en cuenta en este tipo de ejercicios?

CLAVE

SON DE LA MISMA ESPECIE

65 Productos de monomiosMultiplicación de dos monomios

Cuando dices que dos o más seres son de la misma especie, ¿a qué te refieres?

Observa atentamente el video y deduce el porqué de señalar al producto demonomios como de la “misma especie” que ellos.

Lee y analiza, en compañía de un(a) amigo(a) de tu clase, el siguiente texto:

PRODUCTO DE MONOMIOS

Cuando tienes que encontrar el producto de dos monomios, es necesario reflexionar sobre elproducto de potencias con igual base, o bien, sobre el producto de potencias con basediferente; temas estos sobre los cuales ya conoces cómo proceder. Además has de tenerespecial cuidado con sus signos.

sustraendo

9x3 + 9x2 – 4 11x3 + 9x2 – 2

2x3 + 2 2x3 + 2

11x3 + 9x22 13x3 + 9x2

minuendo sustraendo

x2 + 4xy – 2xy2 + 4y38x3 + 6x2 – 4xy + 8

2xy – 4xy2 – 2y3 – x2 – 6xy + 6xy2 –2y3

x2 + 6xy – 6xy2 + 2y38x3 + 5x2 – 10xy + 6xy2 – 2y3 + 8

minuendo

MATEMÁTICAS249

Ejemplos:

a) (m 2) (–m 3) m 2 y –m 3 tienen igual basem 2 es de signo + y –m 3 es de signo –

(m 2) (–m 3) = –m 2+3 = –m 5

El resultado da un monomio de signo –, porque multiplicaste (+) × (–). Como las bases soniguales, sumaste los exponentes.

b) (–a 2) (–b 2) –a 2 y –b 2 tienen bases diferentes –a 2 y –b 2 tienen signo negativo

(–a 2) (–b 2) = +a 2b 2

Como a es diferente de b, el producto quedará indicado y la multiplicación de dos monomioscon signo (–) tendrá como producto un monomio positivo, o sea, (+).

Veamos con un ejemplo los pasos a seguir en la multiplicación de dos monomios:(–6m) (2m2).

Primero: se multiplican los coeficientes, teniendo cuidado al multiplicar sus signos:

(–6) (2) = –12

Segundo: se multiplican las bases; si son iguales, puedes proceder sumando los exponentes;si son diferentes, se deja expresada la multiplicación: (m) (m2) = m3.

Nota: es conveniente escribir las letras en orden alfabético.

Tercero: se coloca el producto literal en seguida del producto de los coeficientes: –12m3

Otros ejemplos:

a) (–9ab ) (–6a 2bx 3):

(–9) (–6) = +54; (ab) (a 2bx 3) = a3b 2x 3

Por lo tanto: (–9ab) (–6a 2bx 3) = 54a 3b 2x 3


b) 12

26

2 3 2x y x y( )( )12

26

212

2 3 2 5 3( )( ) = ( )( ) =; x y x y x y

Por lo tanto:

12

26

212

16

2 3 2 5 3 5 3x y x y x y x y( )( ) = =

c) (2mn) (–xy):

(2) (–1) = –2; (mn) (xy) = mnxy

Por lo tanto: (2mn) (–xy) = –2mnxy

d) (–0.5b3) (1.2ab 2):

(–0.5) (1.2) = –0.60; (b 3) (ab 2) = ab 5

Por lo tanto: (–0.5b 3) (1.2ab 2) = –0.60ab 5

Contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:

a) ¿A qué se le llama monomio?

b) ¿Será monomio la expresión – 3 + y? ¿Por qué?

c) Que operación indica la expresión (5y) + (3m)?

Comenta ante el grupo tus respuestas u observaciones.

Trabaja con dos de tus compañeros.

a) Escriban y expliquen cómo proceden para multiplicar dos o más monomios. Si tienendudas, comenten con su profesor.

b) Cada uno de ustedes proponga una multiplicación de monomios para que sea realizadapor los otros dos compañeros. Tú deberías corregir la que has propuesto.

MATEMÁTICAS251

Con los mismos dos compañeros resuelve las operaciones mentalmente y formala figura. Para ello, busca el punto que corresponda al resultado del inciso a);en seguida, localiza el punto con el resultado de b) y únelo con a), y asísucesivamente. Copia el cuadro en tu cuaderno.

a) −− −−6 3 2x x( ) ( ) b) 2 3 2 3mn m n( ) ( )

c) 7 8a ab( ) ( )−− d) −− −−5 13

2 3xy x y( ) ( )e) 2

614

xy a( ) ( ) f) 46

15

3 4m m( ) ( )−−

g) 8 3 43 2 2m n o pq( ) ( )−− h) −− −−2 32 3 2m n m n( ) ( )

i) 5 14

2 3 2ab a b( ) ( ) j) 26

75

xy xy( ) ( )−−

k) 27

15

2 3m m n( ) ( )−− l) −( ) ( )6 5ay y−−


a) 46

29

2 3x x( ) ( )= b) −− −−8 82 2a b a b( ) ( )=

18 2x

18 3x

6 3 4m n −−6 2 3m n

−−56 2a b

1430

2 2x y

30 2axy−− 2

355m n

235

5 5m n 1430

2 2x y

−− 53

4 3x y

53

4 3x y

224

axy−− 4

307m

−−32 3 2 2m n o pq

−−6 2 2m n

−− 1430

2 2x y

54

4 4a b

6 4 4m n


Ahora, contesta brevemente las siguientes preguntas, en tu cuaderno.

g) ¿Cómo son los términos del inciso b)?

h) ¿De qué otra forma podrías escribir ese producto?

i) ¿Cómo son los términos del inciso f)?

j) ¿Se podrá escribir ese producto como el del caso anterior?

Compara tus respuestas con las de la clave y, si tienes dudas, pregunta a tu profesor.

CLAVE

a) 854

427

55 xx =; b)64a4b2;c) 3560

712

2222 mnmn =;d) 14x2x3y3;

e)183

6 43434 abcabc =;f) –25x2;g) Iguales;h) (–8a2b)2; i) Simétrlcos;j) No. Porque

la potencia es la expresión abreviada de una multiplicación de factores iguales, y éstos no lo son.

¿Has oído decir que el pez grande se come al pequeño? Pues, aunque en matemáticas nose trata de peces, algo semejante sucede,

Reúnete con un compañero y realiza la lectura comentada del siguiente texto:

PRODUCTO DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Como ya se dijo, un polinomio es una expresión algebraica formada por dos o más términos(monomios) que se separan entre sí con signos más (+) o menos (–):

–4x + 2y – 3m; 5a2b – 2a3 + 8b – 6b 2

EL GRANDE SE COME AL PEQUEÑO

66 Producto de un polinomio por un monomioDominio de la multiplicación de un polinomio por un monomio

c) 710

56

mn mn( ) ( ) = d) −− −−2 72 3 2x y a x( ) ( ) =

e) 9 23

2 3 2abc a b( ) ( ) = f) 5 5x x( ) ( ) =

MATEMÁTICAS253

Así que, cuando se desea multiplicar un polinomio con un monomio, se recurre a la propie-dad distributiva de la multiplicación. Obsérvese el ejemplo:

(ab) (2ax – 3by + 4ab)

Se multiplica el monomio por cada término que forma parte del polinomio:

(ab) (2ax) = 2a2bx

(ab) (–3by) = –3ab2y

(ab) (+4ab) = 4a2b2

El resultado estará formado por la adición algebraica de todos ellos, es decir:

(ab) (2ax – 3by + 4ab) = 2a2bx – 3ab2y + 4a2b2

Nótese que deben tenerse en cuenta los signos de los coeficientes, y la forma de procedercon los exponentes cuando la base era la misma y, cuando no lo era, se dejó expresada lamultiplicación; además de que las letras de cada término aparecen en estricto orden alfabético.

Asimismo, la multiplicación de un monomio por un polinomio también se puede representaren forma vertical y el resultado que se obtenga será el mismo.

Ejemplos:2ax –3by + 4ab

ab

2a2bx –3ab2y + 4a2b2

(–6ax) (–8mx + 4ay –2mn) = 48amx 2 –24a2xy + 12amnx; porque:

(–6ax) (–8mx) = +48amx 2

(–6ax (+4ay) = –24a2xy

(–6ax) (–2mn) = +12amnx

o también:

–8mx + 4ay – 2mn – 6ax

48amx2 –24a2xy + 12amnx

De esto se puede concluir que, al multiplicar un polinomio por un monomio, el resultado es


también un polinomio cuyos términos son el producto del monomio por cada término delpolinomio factor y, ya sea que la multiplicación se exprese en forma horizontal o en formavertical, el resultado será el mismo.

Trabaja con tu compañero.

Los productos indicados en a) y b) son pasos planteados por un estudiante, necesarios enuna multiplicación de un monomio por un polinomio.

a) 23

14

2m m( ) ( ) = b) 23

18

3m n( ) ( ) =

c) ¿Cuál es el monomio que multiplica? ¿Por qué lo reconoces?d) Hay en los dos productos un factor que no se repite, ¿cómo conformarían ellos un

polinomio? Escríbelo.

e) Enuncia la operación inicial.

Compara tus resultados con los de otros compañeros.

Observa el programa con atención y juega a la lotería con lo que se te expusoen él y lo indicado en el aspecto de Aplicación de lo aprendido. Juega a lalotería con tus compañeros, de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Se presentarán multiplicaciones de monomios por polinomios. Tú tendrás que resolverlasmentalmente y subrayar la opción correcta.

El que “cante” primero lotería será el ganador, siempre y cuando sus resultados sean co-rrectos.

1. a) b)−− ++2

32 2x x y −− ++2

344

3 2x x y

2. a) b)−− ++ −−5

1622

32

ab ab ab −− ++ −−516

32

2 3 2a b a b ab

10 35 152 4 2 4x y x y x y++ ++

8 4 2 2mn m n++ 8 42 3 3m m n++

10 35 152 2 3 4xy x y xy++ ++

a b ab ab2 2 3++ −− −− −− ++a b ab ab2 2 3

15

45

x y++ 15

45

x xy++

3. a)

4. a)

5. a)

6. a)

b)

b)

b)

b)

MATEMÁTICAS255

Si tienes dudas, consulta con algún compañero o con tu profesor, pero sólo al finalizar todoslos puntos.

Individualmente, resuelve los ejercicios:

a) 15

26

13

210

2 2 3a a a a( ) −( ) =++

b) −− −− ++ −−6 5 6 22 2xy x y xy( ) ( ) =

c) 3 4 13

mn ab mn++( ) ( ) =

d) 27

53

38

15

2 3 3( ) ( ) =d d d++ −−

Compara tus resultados con los de otros compañeros y, si existen discrepancias, consultacon tu profesor.

CLAVE

a) 230

115

183

355 aaa ++++; b)12x2y3 + 10x2y2 –12xy4;c) mnabmn 2243

++

d) 1021

656

235

23 ddd ++−−

LA UNIÓN HACE LA FUERZA

67 Producto de dos polinomiosObtención del producto de dos polinomios

Sumar esfuerzos cuando se tiene un problema, ayuda a resolverlo. Eso tú lo sabes, pero tepreguntarás: ¿qué tiene que ver esto con el producto de polinomios? Bueno, sólo tienes querealizar las siguientes actividades para entenderlo.

Invita a un compañero de tu grupo para observar el video. Comenta con élcómo se obtiene el producto de dos polinomios y dónde se puede aplicar estaoperación.

Lee el siguiente texto y comenta con tus compañeros de grupo los pasosnecesarios para obtener el producto de polinomios.


PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS

Existen situaciones en las que es necesario encontrar el producto de dos polinomios. Uno deestos casos es cuando se requiere hallar el área de un rectángulo; por ejemplo, en la figurasiguiente la base tiene un valor y + 2 y la altura, x + 5.

Para obtener su área se efectúa la multiplicación (x + 5) (y + 2). Recuérdese que, paraobtener el producto de un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada unode los términos del factor polinomio. Así, para hallar el producto de dos polinomios se multiplicantodos los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio,y se agrupan términos semejantes, si los hay.

Véase el ejemplo:

(x + 5) (y + 2) = x (y + 2) + 5 (y + 2) = xy + 2x + 5y + 10

Gráficamente el área del rectángulo se representa así:

Existe otra forma de realizar la multiplicación de dos polinomios y es anotarlos en formavertical, siguiendo un proceso parecido al de la multiplicación de números de varios dígitos.

Por ejemplo (– 6m + 4n) (5m – 8n) se anota así:

–6m + 4n 5m – 8n

5

+

x

2+y

5

+

x

2+y

5y

xy

10

2x

MATEMÁTICAS257

Se multiplica cada uno de los términos del polinomio inferior por todos los términos delpolinomio superior, con la variante de que se comienza por el lado izquierdo a multiplicar yanotar.

–6m + 4n

5m – 8n

–30m 2 + 20mn

Los productos parciales siguientes se anotan de manera que los términos semejantes quedenen una misma columna, y se reducen éstos para obtener el producto final.

–6m + 4n

5m – 8n

–30m 2 + 20mn

+ 48mn – 32n 2

–30m 2 + 68mn – 32n 2

En general, de cualquiera de las dos formas se puede obtener el producto de dos polinomios,ya que en ellas se multiplican todos los términos del primer polinomio por cada uno de lostérminos del segundo polinomio.

Analiza con tu compañero de trabajo lo aprendido en la lectura, para así contestarlas siguientes preguntas:

a) ¿Cómo se obtiene el producto de un monomio por un polinomio?

b) ¿Qué tiene en común el procedimiento anterior con el que se usa para la multiplicaciónde dos polinomios?

c) Al obtener los productos parciales, ¿cuál es el paso siguiente?

d) ¿Qué aplicación puedes ilustrar?

e) Si se quiere usar el procedimiento vertical, ¿cómo se procede?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si tienes dudas, coméntalas con elprofesor.


Forma un equipo de trabajo y contesta los ejercicios siguientes:

1. En tu cuaderno, representa gráficamente el producto de (2x + 1) (5y + 4)

2. Encuentra el producto multiplicando parcialmente, en tu cuaderno.

−− ++ ++24

13

12

4t t( ) ( ) = ______ ( ___ + _____ ) + ______ ( ___ + _____ )

= ______ – ___ + _____ + _____

3. Resuelve directamente las multiplicaciones que siguen:

( –5r + 1) (2r + 4) =

– 7m + 2n 3m – 5n

Compara tus respuestas con las de otro equipo, y si existen dudas, coméntalas con tu profesor.

Resuelve individualmente el problema, contestando las preguntas siguientes:

Encuentra el área de un rectángulo cuyas dimensiones son 13

4a ++ de base y 12

2a ++ de altura.

a) Anota en lenguaje común las dimensiones anteriores.

Base: Altura:

b) En tu cuaderno, representa el rectángulo y sus dimensiones.

c) ¿Qué operación se debe efectuar para obtener el área?

d) Encuentra el área, utilizando las dos formas de obtener el producto de dos polinomios.

Compara tus respuestas con la clave. Si tienes dudas, pregunta a tu profesor.

MATEMÁTICAS259

UN “ENTRE” PAREJO

68 Cociente de monomiosObtención del cociente de un monomio entre otro

La palabra monomio significa “un término”. Ahora verás cómo realizar una división entremonomios, término a término; este conocimiento te ayudará a comprender las divisionesalgebraicas en general.

Observa el video y comenta con tus compañeros qué conocimientos del añopasado te sirven para comprender este tema.

2 a 8

a a2 a

13

a)Base: el tercio de un número más cuatro. Altura: la mitad de un número más dos.b)

23

+

11 426 2

a +4

c)Multiplicación de polinomios

d)13

412

213

12

2412

216

23

42

8 2 aaaaaaaa ++++++++++++++++ ()()=()()==

=16

166

8 2 aa ++++

13

4 a++

12

2 a++

16

42

2 aa ++

23

8 a++

16

166

8 2 aa ++++

CLAVE


−− 42

22

2r sr s

r=

Forma un equipo de trabajo y lee.

COCIENTE DE MONOMIOS

Ya sabes que la división es la operación inversa de la multiplicación. Ella nos permite sabercuántas veces cabe una cantidad en otra. El número que se va a dividir es el dividendo, elque divide es el divisor y el resultado es el cociente.

En álgebra se aplica también esta operación en diversos casos: división de monomios, co-ciente de un polinomio entre un monomio, y cociente de dos polinomios. Véanse los ejemplossiguientes de monomio entre monomio y sus componentes.

dividendo cocientedivisor

(–16m 4n 3) ÷ (–4m2n) = 4 m 2n 2

dividendo divisor cociente

Para efectuar la división algebraica se necesita recordar conceptos de la división entre nú-meros enteros.

El cociente de dos números positivos es un número positivo.El cociente de dos números negativos es un número positivo.El cociente de dos números con diferente signo es un número negativo.

Para efectuar el cociente algebraico es necesario recordar el cociente de potencias y lapotencia cero. En general:

y

Donde m y n son números racionales y m ≠ 0.

Cuando se divide algebraicamente se pueden presentar los siguientes casos:

1. Que los términos tengan potencias de la misma base.

aa

am

nm n= −−

a0 1=

MATEMÁTICAS261

Ejemplos:

2. Que en los términos se encuentren potencias con bases diferentes.

Cuando se da este caso no se pueden dividir las potencias, pues no son de la misma base;recuérdese que éstas representan diferentes valores.

Ejemplos:

−−−−

++75

1 4 1 4ac

ac

ac

= =. .

183

64 3x yxz

x yz−−

−−=

Se puede comprobar una división, multiplicando el cociente por el divisor y el producto debecoincidir con el dividendo, Ejemplo:

252

12 53 2

2 2r sr

r s= −− .

−− −−12 5 2 252 2 3 2. r s r r s( ) ( ) =

Primero se dividen los números enteros y por último las po-tencias de la misma base. Todo ello se hace mentalmente,de ser posible.

Nótese en este ejemplo que al aplicar el cociente de poten-cias se obtuvo r 0s y se sabe que r 0 = 1, de donde se tieneque: –2r 0s = –2(1)s y el uno al multiplicarse por los otrosfactores no se escribe.

Aquí el exponente de la potencia del divisor es mayor que eldel dividendo, por ello se maneja como fracción la literal.

Obsérvese que cuando las potencias son diferentes se si-guen presentando como cociente.

Se realiza la división de coeficientes y potencias de la mis-ma base y se mantiene el cociente de potencias de distintabase

−− −−142

74

22x

xx=

−− −−14 2 7( ) ÷ =

x x x x4 2 4 2 2( ) ÷ ( ) = =−−

84

24 2

4r s

r ss

−−−−=

123

4 1 42

3mm m m

= =


Como se observa, este proceso es de utilidad para encontrar el dividendo cuando se conoceel divisor y el cociente en una operación. Véase el ejemplo siguiente:

473x

xy= −−

−− −−7 4 283 4xy x x y( ) ( ) =

Nótese que el dividendo se obtiene del producto del cociente por el divisor.

Cuando en la división el componente faltante es el divisor, es necesario efectuar la divisióndel dividendo entre el cociente, por ejemplo:

4812

4 2z yy= −−

4812

44 2

4z yy

z y−−

−−=

En conclusión, para encontrar el cociente de un monomio entre otro monomio se siguen lossiguientes pasos:

Dividir los coeficientes con su signo y las potencias de la misma base, considerandopara ello el cociente de números enteros y el de potencias de la misma base.

Con tus compañeros de equipo y usando la siguiente división explica con tuspalabras cómo procedes para realizarla.

93

3 2

2

x yxy−−

Resuelve individualmente.

Encuentra los cocientes que siguen y comprueba los resultados, auxiliándote con la calcula-dora.

−− 21515

4 3 2

2 2r s tr st

= 634 224m n m( ) ÷ ( ) =

−−−−723

14abcxy

= 325

xyxyz−−

Compara tu trabajo con el de otro compañero; si encuentras incongruencias, consulta con tuprofesor.

MATEMÁTICAS263

Resuelve individualmente los ejercicios que siguen:

1. Encuentra los cocientes.

a)125

15

5 4

3

p qp

= b)−−360

32

3

2

qr

2. Halla el componente que falta en cada división.

a) 20 44 2 2m n m n= −− b)15

3p

qp

= −−

Coteja tus resultados con la clave; si tienes dudas, coméntalas con tu profesor.

CLAVE

1. a) 8.3 p2q2; b) 1123

2

.qr

; 2. a) –5m2n b) –45q

TODO ENTRE LO MISMO

69 Cociente de un polinomio entre un monomioComprensión de la división de un polinomio entre un monomio

¿Has oído la frase célebre “divide y vencerás”? Ahora, en álgebra se puede enunciar como“divide y reducirás”. Esto es porque al efectuar divisiones algebraicas se reducen coeficien-tes, literales y exponentes.

Observa el video ya que de él obtendrás información que te facilitará entenderla forma de dividir un polinomio entre un monomio.

Comenta ante el grupo aquellos aspectos que sean nuevos para ti.

Lee y analiza con un(a) compañero(a).

COCIENTE DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

A través de un ejemplo y aplicando la división entre enteros y el cociente de potencias con lamisma base, podrás comprender cómo hallar el cociente de un polinomio entre un monomio.

Si se tiene:

(6x – 12x 2 + 13x) ÷ 3x


Una forma sencilla de llevar a cabo esta división es expresándola en notación fraccionaria.

6 12 33

3 2x x xx

−− ++

Obsérvese que el polinomio es el dividendo y el monomio es el divisor, asimismo el monomioes el divisor común a todos y a cada uno de los términos del polinomio, por lo que la divisiónse indica uno a uno, es decir, se divide cada uno de los términos del polinomio entre elmonomio, por lo que esta expresión se puede representar así:

63

123

33

3 2xx

xx

xx

−− ++

Ya sabes cómo efectuar cada división:

63

23

2xx

x=

−− −−123

42x

xx=

++ ++33

1xx

=

Así pues, el cociente final se representa con las expresiones obtenidas:

6 12 33

2 4 13 2

2x x xx

x x−− ++ −− ++=

Ahora, se verá un ejemplo en donde intervienen otras letras:

−− ++ −− ++15 18 30 33

3 2 2 3 4

3c d c d cd d

d

Primero se indican las divisiones entre monomios:

−− −−153

53

3

3

2c d

dc

d=

++183

62 2

3

2c dd

cd

=

−− −−303

103

3cd

dc=

++ ++33

4

3d

dd=

MATEMÁTICAS265

Aquí se observa que la letra que no es común al divisor es c; por lo que ésta permaneceintacta en el dividendo y sólo se reduce la letra común. También obsérvese que hay ocasio-nes en que la literal d, al aplicar el cociente de potencias con las mismas bases, aparece enel dividendo y en el divisor.

El cociente se representa con las expresiones obtenidas.

−− ++ −− ++ −− ++ −− ++15 18 30 33

5 6 103 2 2 3 4

3

3

2

2c d c d cd dd

cd

cd

c d=

Con base en los ejemplos mostrados, se tiene que:

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos delpolinomio entre el monomio; los coeficientes deben tener en cuenta los signos y lasletras el cociente de potencias con la misma base.

Con tres de tus compañeros, contesta lo que se pide a continuación.

Si se tiene: (8m 9n 2 – 10m 7n 4 – 20am 5n 6 + 12m 3n 8) ÷ 2m 2

1. ¿De qué otra forma se puede expresar esta división?

2. ¿Cuál es el divisor?

3. Al dividir los coeficientes, ¿qué obtienes?, ¿qué pasa con los signos?

4. ¿Qué letra de los términos del dividendo se puede reducir o simplificar con las deldivisor? ¿Por qué?

5. A la letra que no se reduce, ¿qué le sucede?

6. Explica brevemente el procedimiento que usarías para resolver una división de estetipo.

Lee ante el grupo tus respuestas, y comenta tus procedimientos.

Continúa con tus compañeros y marca con un mismo color las expresionesalgebraicas de los círculos que dan como cociente el que se indica en el si-guiente esquema. Hazlo en tu cuaderno.


En forma mental, obtén el cociente que se pide y luego escríbelo.

1. 22

2 3a bab++ =

2. 8 32 16 44

3 2x x xx

++ −− −−

Compara tus resultados con los de otro compañero; si tienes errores, corrígelos

En forma individual, obtén el cociente de las expresiones siguientes:

1. (8m 9n 2 –10m 7n 4 –20m 5n 6 + 12m3n 8) ÷ 2m 2

¿ Te pareció fácil la resolución?

2. (x 4 – 5x 3 –10x 2 + 15x + 8) ÷ –5x

¿Se te presentó alguna dificultad? Explica cuál fue.

COCIENTE 3 4 102 2m mn n−− ++

++4020

3mm

++202

2mnm

++ 2212

2mm

++62

2mm

++62

3mm

−−62

2mnm

++12mm

2

2

MATEMÁTICAS267

Compara tus resultados con los de la clave. Si existen errores, corrígelos.

CLAVE

GRAN DISTRIBUCIÓN

70 Cociente de dos polinomios IConocimiento del algoritmo de la división de dos polinomios

En esta sesión, verás lo fácil que es dividir polinomios siguiendo algunos pasos.

Observa atentamente el video donde se señalan los pasos que se siguen paradividir polinomios.

Con tus compañeros, realiza la lectura, analizando y aplicando lo que conocessobre división de números enteros.

COCIENTE DE DOS POLINOMIOS I

Al efectuar una división, lo que se busca es una expresión llamada cociente que multiplicadapor el divisor dé como producto el dividendo.

La división de polinomios resulta sencilla si se sigue un procedimiento análogo al que cono-ces para la división entre números enteros.

Ejemplo 1

Dividir: 21 32 44 3

2x xx

−− ++++

1. Se ordenan los polinomios del dividendo y del divisor en forma descendente. En rela-ción con una letra determinada, en este caso, con respecto a x:

21x 2 + 4x – 32 3x + 4

2. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendoentre el primero del divisor:

1. 4m7n2 – 5m5n4 – 10m3n6 + 6mn8;2. −−++++++−− xxxx

32

5238

5


213

72x

xx=

3. El resultado se anota como cociente y se multiplica por el divisor cuyo producto seanota debajo del dividendo:

21x 2 + 4x – 32 3x + 4 21x 2 + 28x 7x

4. Se resta la expresión anotada, cambiando de signo los términos:

21x 2 + 4x – 32 3x + 4 –21x 2 – 28x 7x

– 24x – 32

5. Se repite el proceso tomando el residuo como dividendo:

−−243

8xx

= −

Se anota como cociente y se efectúa la multiplicación:

21x 2 + 4x – 32 3x + 4–21x 2 – 28x 7x – 8

– 24x – 32 – 24x – 32

Se resta el producto, cambiando de signo los términos anotados:

21x 2 + 4x – 32 3x + 4–21x 2 – 28x 7x – 8

– 24x – 32 + 24x + 32

0 + 0

MATEMÁTICAS269

6. El proceso se continúa hasta que el residuo sea cero o de grado inferior que el divisor.

Si el residuo es cero como en el caso anterior, se dice que la división es exacta.

Para comprobar si el cociente obtenido es correcto, se le multiplica por el divisor y el resulta-do debe ser el dividendo.

7x – 8 3x + 4

21x 2 – 24x + 28x – 32

21x 2 + 4x – 32

Reúnete con un compañero y contesta las preguntas siguientes:

Para que resulten más fáciles, háganlo siguiendo paso a paso la división de:

4a 3 + 4a + 14a 2 entre 2 + 2a

1. ¿Cuál es el primer paso para efectuar la división de polinomios?

2. ¿Cómo se encuentra el primer término del cociente?

3. ¿Qué debe hacerse para restar al dividendo el producto del cociente y el divisor?

4. ¿Cómo se comprueba la división?

Lee tus respuestas ante el grupo y discute sobre las que no coincidan. Corrige si es nece-sario.

Realiza con tu compañero las divisiones siguientes. Comprueba el resultado,haciendo la multiplicación en el lado derecho.

Dividir: (25 + 6x 3 + 17x – 27x 2 ) ÷ (4 – x)

¿Tus resultados fueron correctos? ¡Felicidades! ¿Hubo incongruencias? Revisa tus procedi-mientos.

De manera individual, realiza en tu cuaderno la siguiente división, justificandocada paso, como se muestra en el primer cuadro:


a)

b)

Compara tus resultados con la clave adjunta. Si existen diferencias, haz nuevamente laoperación y corrígela.

CLAVE

a) x3 + 6x2 + 9x – 8x + 3 –x3 – 3x2x2

3x2

b) x3 + 6x2 + 9x – 8x + 3 3x2 + 9xx2 + 3x

–3x2 – 9x 0 – 0

Dividir el primer término del dividendo en-tre el primero del divisor y encontrar elproducto para restarlo al dividendo.

Dividir el residuo entre el divisor y multi-plicar el cociente por el divisor y restar elproducto al dividendo.

ENTRE DOS GRANDES

71 Cociente de dos polinomios IIEjercitación del algoritmo de la división de dos polinomios

¿Te has fijado qué haces cuando deseas dominar un juego o alguna actividad en la quequieres ser mejor? Pues ahora se te da la oportunidad de hacer lo mismo con el tema queviste en la sesión anterior.

x x x x3 29 8 6 3++ ++ ++ ++( ) ÷ ( )

x x x x3 26 9 8 3++ ++ ++ ++Ordenar en forma decreciente lospolinomios e indicar la división

MATEMÁTICAS271

Observa el video que te ayudará a resolver algunas dudas, o bien, te confirma-rá lo aprendido.

RECUERDA. Dados los siguientes pasos, discute, con un(a) compañero(a), cómo los enu-meraras desde 1 hasta 6, según un orden que te permita resolver divisiones de polinomios.

Intercambien con otra pareja sus resultados para discutirlos.

Forma un equipo y resuelve las siguientes operaciones en tu cuaderno.

–6x 2 + 3x + 18 2x + 3 15a 2b 3 – 9ab ab – 1

Presenta tus resultados en el tablero y, si hay dudas, exponlas al grupo o a tu profesor.

En forma individual, resuelve las divisiones y relaciona ambas columnas.

a) x 2 – 7x + 6 x – 1 ( ) 4x + 3

b) 12x 2 – 7x – 12 3x – 4 ( ) 4xy + 4

c) 2x 3 + 5x 2 – x – 1 2x – 1 ( ) x + 6

d) 8 x 2y 2 – 4 xy + 6 2xy – 3 ( ) x 2 + 3x + 1

Continuar el proceso hasta que elresiduo sea cero o un término degrado inferior que el divisor

Dividir el primer término del dividendoentre el primero del divisor.

Tomar como dividendo el residuo yrepetir el proceso.

Ordenar los polinomios del dividen-do y del divisor en forma descenden-te con respecto de una literal.

El cociente se multiplica por el divisory su producto se anota debajo deldividendo.

Restar la expresión anotada ycambiar de signo los términos.


Compara tus respuestas con las de la clave y, si tienes dudas, consulta con tu profesor.

CLAVE

(b), (d), (a), (c)

COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ESDOMINAR LAS MATEMÁTICAS72El lenguaje algebraico en tu entornoIntegración de lo aprendido

“Estudiando lo pasado, se aprende lo nuevo”. De este proverbio japonés puede deducirse laimportancia que tiene todo lo que se ha aprendido para la construcción de nuevos conoci-mientos.

Observa atentamente el video, te recordará lo que estudiaste en este núcleo, yasí reafirmarás los cimientos para aprendizajes posteriores

De acuerdo con tu profesor, integra un equipo de trabajo y resuelve los ejercicios.

1. Contesta en forma breve las preguntas siguientes.

a) ¿A qué se le llama variable?

b) ¿A qué se le llama constante?

c) ¿Qué es necesario hacer para obtener el producto de dos o más potencias de lamisma base?

d) ¿Cómo se obtiene el cociente de potencias con igual base?

e) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?

2. Resuelve las operaciones siguientes:

a) m 2n 3 b) x 4

c) 6a 2b + 8a – 6ab – 4ab + 9a =

d) 12

24

0 5 2 1m x m x++ −− ++. . =

e) (5xy – 3x 2 + 5y) + (9x 2a2 – 3a + 8xy) =

MATEMÁTICAS273

f) (2a 2b –3ab) – (–6a 2b –2ab 2) =

g) 14

26

3xy x y( ) ( )h) 7

423

5 2a b ab ab++ −− −−( ) ( ) =

i) 56

24

3 6 7 22 2m n m m n++ −− −− ++( ) ( ) =

j) (2xy – 8a) ÷ (2xy – 2) =

k) (8a 2) ÷ (–2a) =

I) (–5m + 10n + 15mn) ÷ (–5m) =

Compara tus resultados con otro equipo y corrige los errores.

En forma individual, resuelve los siguientes ejercicios:

a) Expresa en lenguaje algebraico “el doble de un número menos el cuadrado del mismo”.

b) En la expresión A r= π 2, las variables son... y las constantes son...

c) La expresión –b, según su número de términos se conoce con el nombre de:

d) La expresión 4x + 2y –3 + 5a2 se conoce con el nombre de...

e) El orden descendente de la expresión –6x 2 + 8 + 3x 3 – 2x es ...

f) Al reducir la expresión 2m 2 – 3m + 5m 2 + 7m 2 – 8m + 9, queda...

Relaciona ambas columnas, en tu cuaderno:

1. 3 93

2a b ab( ) ( )−− ( ) –y 2; y 2

2. (–7ab 2) (6ab + 4a – 5b) ( ) y 2

3. (8x 2y – 24x 2y3 – xy) ÷ (xy) ( ) –7a2b2 – 2ab

4. y 84 ( ) –9a3b 2

5. (x 2y)4 ( ) x 9y 3


6. (5a 2b 2 + 2ab) – (3 a 2b 2 – ab) ( ) –42a2b3 – 28a2b2 + 35ab 3

7. (10x3y 4) ÷ (–2x 2y2) ( ) x 8y 4

8. 4ab – 6ab + 2a 2b 2 – 9a 2b 2 ( ) –5xy 2

9. (x4y) (x 5y2) ( ) 8x – 24xy 2 – 1

10. y6 ÷ y 3 ( ) 2x 2b 2 ÷ 3ab

Compara tus resultados con la clave y corrige si tienes errores.

CLAVE

¡DEMUESTRA QUE SABES!

73 El álgebra y túDemostración de lo aprendido

“Pobre del estudiante que no aventaje al maestro”. Esta frase de Leonardo da Vinci te invita asuperarte cada día. Demuestra tú ahora que en este núcleo lograste superar las dificultades.

Observa con atención el video, te invitará a jugar para demostrar que sabes.Sigue las instrucciones y usa la sopa de letras que aparece en seguida.

El ganador será quien encuentre primero las respuestas.a)2x –x2; b) variables A, r; constantes π, 2; c) monomio; d) polinomio; e) 3x3 – 6x2 – 2x + 8;f)14m2 – 11m + 9; Relación de columnas: 4, 10, 8, 1, 9, 2, 5, 7, 3, 6.

S O P G J U O B R E I F EE E I O U S N R O P J U CM I G M E A U I I S E E OE X A U O N A E M P S R EJ E J E N N U E O X E T EA X E S L D O I N M O E IN P O L I N O M I O D N CT O E A T U V R B A N S IE N R R E N P U E L U N ES E O P R I M E R O G E NA N T V A R I A B L E S TA T L A L U I S A O S X ES E C O N S T A N T E U S

MATEMÁTICAS275

Ahora, resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

a) 14

23

95

32

16

110

x y x y++ −− ++ −− ++ =

b) Si a = 3 y b = 2, ¿cuál es el valor de –6a 2b?

c) Ordena en forma descendente la expresión –3x + 9x 3– 2x 2 + 6

d) En la expresión –2m 3, encierra en un círculo el exponente; en un cuadro, el coeficien-te y subraya la letra.

e) De las siguientes expresiones, encierra en un cuadro las que sean términos semejantes de –2a 2b 3.

–ab 3 –a 2b 3 –2a 2b 3 2a 2b 3 a3b

f) En la fórmula A Pab

= , encierra en un círculo la constante.

g) Dados los valores siguientes de las letras, encuentra el valor numérico del polinomio.Haz el cuadro en tu cuaderno.

h) Dada la figura y los datos que contiene, escribe en tu cuaderno:a

bA B C

m n –2m + 3n 2

12

–1

3 2

–4 12

12

12

0 –3

15

a

12

a


Área de A = Área de B =

Área de C = Área de A + B + C =

Área de A + B = Área de C – (A + B)=

Área de B – A =

Cuando hayas terminado, espera las indicaciones del profesor para organizar una plenaria y,junto con tus compañeros, corregir el trabajo hecho.

ARMANDO LAS PIEZAS I

74 Panorámica de lo aprendidoIntegración de los tres primeros núcleos

Arma las piezas de tus conocimientos para que tengas un panorama generalde lo que hasta ahora se ha visto en los tres núcleos. Observa el video.

Con dos de tus compañeros, resuelve en tu cuaderno lo que se te indica acontinuación.

I. Completa el siguiente diagrama con cinco actividades de tu comunidad don-de se apliquen las matemáticas.

APLICACIÓN DE LASMATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS277

II. Completa el diagrama, en tu cuaderno, escribiendo en lenguaje algebraico o en leguajecomún, según corresponda.

III. Completa el diagrama en tu cuaderno, y escribe el procedimiento que usas o la opera-ción a la que se hace referencia.

5 32

m n++

Lenguaje algebraico Lenguaje común

Adición

Operaciones confracciones comunes

Procedimiento

Sustracción

División

Se multiplican los numerado-res y los denominadores,

quedando los productos en elmismo orden.

3 2 9x y++ −−

El cuadrado de un númeromás el doble del mismo

número

El doble del producto de dosnúmeros, disminuido en cinco

unidades.


IV. Haz el dibujo y colorea los círculos que contengan un divisor de 12.

IV. En esta ruleta hay múmeros primos y números compuestos, colorea en tu cuaderno,con rojo, los primeros y con negro, los segundos. En seguida, defínelos como tú loscomprendas.

Números primos:Números compuestos:

MATEMÁTICAS279

VI. Completa, escribiendo el signo o la expresión que haga falta; realiza las operaciones enla línea recta (horizontal o vertical). Hazlo en tu cuaderno.

Compara tu trabajo con el de otro grupo y si tienes dudas o errores corrige con tus compa-ñeros.

x

3 2 2a b 9 2 3a b a b2

3 2ab 6 2a b

ab 18 4 4a b

× – ×

matemáticas conceptos y guía 7º cartilla 1

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