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TrigonometriaTRANSCRIPT
Introducción:
La palabra Trigonometría se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición, es decir; medición de triángulos.
2.1 Ángulos
Medir ángulos ha sido una actividad desde épocas milenarias.
Tales de Mileto (ca. 630‐545 A. C. ) quien se presume eradiscípulo de Pitágoras calculaba la altura de edificaciones a partirde obtener los ángulos.
Trigonometría
Teodolito electrónico
Actualmente se utiliza un teodolito para medir ángulos en tierra firme.
Este instrumento es indispensable en trabajos topográficos y de la construcción paraconocer cotas, desniveles de terreno, etc., así como calcular distancias.
Trigonometría
Actualmente se utiliza un teodolito para medir ángulos en tierra firme.
Este instrumento es indispensable en trabajos topográficos y de la construcción paraconocer cotas, desniveles de terreno, etc., así como calcular distancias.
¿Cómo lo hacia Tales de Mileto?
El sol ilumina el objeto por lo que seproduce una sobra y lo que se observa esun triangulo rectángulo (de 90°)
aquel que tiene un Angulo recto, esdecir
El sol ilumina el objeto por lo que seproduce una sobra y lo que se observa esun triangulo rectángulo (de 90°)
aquel que tiene un Angulo recto, esdecir :
El triangulo tiene 3 ángulos (a, b y c) y3 lados ( A, B y C) en donde :
C Hipotenusa, A Cateto adyacente,
B Cateto opuesto.
α
β
χA
B
C
Recordar…
α
β
χ
La suma de los ángulos debe ser 180°
°=++ 180χβαComo c tiene 90 °
βαβα
−°=°=°−°=+
909090180
Llamado ángulo complementario
Triángulos rectángulos.
Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que: conocemos el tercer lado.
A2 + B2 = C2Eso sí, debemos saber si los lados
que conocemos son catetos A
B
C
Medida de ángulosParamedir ángulos se utiliza:
Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360partes iguales.
Un grado tiene 60 minutos (') y unminuto tiene 60 segundos ('').1º = 60' = 3600''1' = 60''
Radianes
Un radián (rad) es la medida del ángulo central de unacircunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de suradio.
360º = 2π rad180º= 1 π rad
Ejemplos:Paramedir ángulos se utiliza:
cambiar 30 ° a radianes
rad6180
30 ∏=
°∝=
_______
3∝
=∏∏ 180 3
.180 ∏°
∏°= 60
3180=∝=
30° rad
cambiar π/3 rad a gradoscambiar π/3 rad °
°°
=∝∏
30180
Ejercicio:Expresa los siguientes ángulos en los dos sistemas de medida:
G. sexagesimal 60 º 210º
Radianes 2π/3 5π/6
Tus resultados se parece a estos?
G. sexagesimal 60 º 120 210º 150°
Radianes π/3 2π/3 7π/6 5π/6
2.2 Funciones Trigonométricas:
αsecante
cosecante
seno
coseno αα
αsen
αcosαtan
αcotan
αcosec
αsec
2.2 Funciones Trigonométricas:
Seno de ángulo agudo:
CA
==hipotenusa
opuesto catetosen α
α
β
χA
B
C
α1 AC
BC
2.2 Funciones Trigonométricas:
Seno de ángulo agudo:
CA
==hipotenusa
opuesto catetosen α
Coseno de un ángulo agudo:
CB
==hipotenusa
adyacente cateto cosα
α1 AC
BC
α
β
χA
B
C
α1 AC
BCα
β
χA
B
C
2.2 Funciones Trigonométricas:
Tangente y cotangente de un ángulo agudo
BA
==adyacente cateto
opuesto catetotan α α
β
χA
B
C
AB
==opuesto cateto
adyacente catetocotan αα1 AC
BC
2.3 Gráficas trigonométricas
6π
3π
2π
32π
65π π
67π
34π
23π
35π
311π π2
4π
43π
45π
47π
21
21
−
23
23
−
1
1−
22
22
−
0
a
COS a
0 6π
4π
3π
2π
32π
65π
43π π 6
7π45π
34π
23π
35π
47π
311π π2
1 22
−22
−22
22
21
−21
−21
21
23
−23
−23
23 0 0 11−
Gráficas de la función coseno
f(x)=cos x
Gráficas de la función tangente
33
−
1
1−
6π
3π
2π
32π
65π π
67π
34π
23π
35π
311π π2
4π
43π
45π
47π0
33
3−
3 f(x)=cos x
Gráficas de la función Tangente
f(x)= tg x
Gráficas de la función cotangente
f(x)=cotg x
33
−
1
1−
6π
3π
2π
32π
65π π
67π
34π
23π
35π
311π π2
4π
43π
45π
47π0
33
3−
3
Gráficas de la función Tangente
f(x)= t x1
1−
6π
3π
2π
32π
65π π
67π
34π
23π
35π
311π π2
4π
43π
45π
47π0
Gráficas de la función Tangente
f(x)= t x1
1−
6π
3π
2π
32π
65π π
67π
34π
23π
35π
311π π2
4π
43π
45π
47π0
f(x)=cosec x
Identidades Trigonométricas
f(x)= t xRelación fundamental de trigonometría
1cos22 =+ ααsenSi en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
222 acb =+
Expresándolo de otra forma:
α
ba
cα
2.4 Identidades TrigonométricasRelación fundamental de trigonometría
1cos22 =+ ααsen1.‐ Si en el triángulo rectángulo
BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
222 acb =+2.‐ Expresándolo de otra forma:
c
b
a
α
1ac
ab 22
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
3.‐ O lo que es lo mismo:( ) ( ) 1cossen 22 =α+α
4.‐Expresándolo de otra forma:
1cossen 22 =α+α
2.4 Identidades TrigonométricasRelación fundamental de trigonometría
Si es el ángulo complementario de , hay un triángulo rectángulo quelos tiene como ángulos agudos y se tiene que:β α
( )βαβ −== o90 coscossen
( )βαβ −== o90sen sen cos
1
cos
sen α
α
βα
Suma diferencia de dos ángulos
( ) =β+αsen
( ) =β−αsen β⋅α−β⋅α sencoscossen
β⋅α+β⋅α sencoscossen
( ) =β+αcos
( ) =β−αcos β⋅α+β⋅α sensencoscos
β⋅α−β⋅α sensencoscos
( ) =β+αtg
( ) =β−αtgβ⋅α+β−α
tgtg1tgtg
β⋅α−β+α
tgtg1tgtg
Ángulo Mitad(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)
( ) =α+αsen
( ) =α+αcos
( ) =α+αtg
=α2sen =α⋅α+α⋅α sencoscossen
=α⋅α−α⋅α sensencoscos
=α⋅α−α+α
tgtg1tgtg
α⋅α⋅ cossen2
=α2cos α−α 22 sencos
=α2tgα−α2tg1
tg2
=α2sen α⋅α⋅ cossen2=α2cos α−α 22 sencos
=α2tgα−α2tg1
tg2
Ángulo Mitad(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)
=α2cos =α−α 22 sencos =α−α− 22 sensen1 α− 2sen21
=α2sen2 α− 2cos1
=α2sen 22cos1 α− 2
2cos1 α−±=αsen
=α2cos =α−α 22 sencos =α+−α 22 cos1cos 1cos2 2 −α
=α2cos2 α+ 2cos1
=α2cos2
2cos1 α+
=αtg
22cos1 α+
±=αcos
α+α−
±2cos12cos1
2cos1
2sen α−
±=α
2cos1
2cos α+
±=α
α+α−
±=α
cos1cos1
2tg
Ángulo Mitad(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)
1.‐ Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: 222 acb =+
2.‐ Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2
2
2
2
2
2
2
ba
bc
bb
=+
3.‐ Expresándolo de otra forma:
( ) ( )22 eccosgcot1 α=α+
α=α+ 22 eccosgcot1
2
2
2
2
2
2
ca
cc
cb
=+
α=α+ 22 sectg1
( ) ( )22 sectg1 α=α+
ba
c
α
Funciones trigonométricas
Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo a , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.
El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo.
Pero no es necesario tener todo el rectángulo, bastacon tener la recta que une con el origen.
α
αPαP
αP
DEFINIMOS para un ángulo a , medido a partir de la recta l contra las manecillas del reloj:
αsen
la abscisa de
la ordenada de
αcos
αP
αP
Funciones trigonométricas
Ley del CosenoEl cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
( ) =−+= 222 mcha
=+−+= 222 mcm2ch
=+−+−= 2222 mcm2cmb
(en AHC)
=+−+−= 2222 mcm2cmbcm2cb 22 −+=
(Como en AHC m = b . cos A)Acoscb2cba 222 ⋅−+=
Bcosca2cab 222 ⋅−+=
Ccosba2bac 222 ⋅−+=Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:
Ley del SenoLos lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
La ley de seno sirve para relacionar los lados de un triángulo conlos ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.
⎭⎬⎫
⋅=⋅=
BsenahAsenbh
C
C ⇒⋅=⋅⇒ BsenaAsenbBsen
bAsen
a=⇒
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:
hA
C
BA
ab
c
Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:
⎭⎬⎫
⋅=⋅=
BsenchCsenbh
A
A BsencCsenb ⋅=⋅⇒
Csenc
Bsenb
=⇒