Matemáticas 18

Lecc 1ª Logarítmos y Ecuaciones Exponenciales.

Lecc 2ª Si la base es mayor que 1 los números menores que la unidad tienen logarítmos negativos.

Lecc 3 ª Logarítmo de un Producto.

Lecc 4 ª Logarítmo de un Cociente de dos números.

Lecc 5ª Logaritmos de una Potencia - Logaritmos de una raíz - Antilogarítmos.

Lecc 6ª Ecuaciones con Logaritmos.

Lecc 7ª Logaritmos Decimales.

Lecc 8ª Logarítmos decimales o de Briggs - Logarítmos Neperianos - Ecuaciones Exponenciales.

 

1LOGARITMOS Y ECUACIONES EXPONENCIALES

La palabra logaritmo procede de dos palabras griegas: lógos que significa: razón, relación, manera, estilo,… y arithmós que significa número.

Los logaritmos fueron una herramienta muy importante antes de que surgieran las calculadoras científicas y los ordenadores. Anteriormente, cuando teníamos que realizar operaciones con números grandes teníamos que recurrir a los logaritmos por ejemplo, calcular:    

  

Se comenzaron a utilizar hacia el siglo XVII.

¿QUÉ ENTENDEMOS POR LOGARITMO DE UN NÚMERO?Lo primero que debes hacer es relacionar logaritmo de un número (abreviadamente escribimos log) con exponente.Presta mucha atención palabra por palabra:Logaritmo de un número es el exponente al que tenemos que elevar una base para obtener un número:

En el primer ejemplo, tenemos la base 10, elevada a un exponente o logaritmo 2 y obtenemos el número100. Dicho de otro modo, el logaritmo de 100 en base 10 es igual a dos. Podemos escribir el primer ejemplo:

A la base 10 la elevamos al logaritmo del número 100 (que es el exponente al cual hemos de elevar 10 para obtener el número 100.

El valor de la base se escribe como subíndice de la abreviatura de logaritmo: 

En el segundo ejemplo: 3 es el logaritmo en base dos del número 8. Dicho de otro modo, el logaritmo de 8 en base 2 es igual a 3.

Equivale a escribir: Si elevamos la base al valor del logaritmo obtenemos

el número:

En el tercer ejemplo tienes lo mismo; la base 3 elevada al exponente 4 es igual al

número, en este caso, 81, luego:

El logaritmo en base 3 del número 81 es igual a 4.

Es lo mismo que escribir:

Descomponiendo a 81 en factores primos:

Posiblemente tengas un poco lío. Procura leer despacio entendiendo cuanto lees.

Respuestas: A): 4,  B):3,  C): 2,  D):  –2: E): – 6

Soluciones:

Siendo x el valor del logaritmo de podemos escribir:

Si las bases son iguales también lo serán los exponentes, luego,

Sea x el valor del logaritmo de podemos escribir:

Si x es el valor del logaritmo de escribimos:

Sabemos que 0,5 elevando al cuadrado es igual a 0,25.

0,5 podemos escribir como sustituyendo este valor obtenemos:

Recuerda que una potencia con exponente negativo podemos escribirla como la unidad

dividida por dicha potencia pero con exponente positivo:

Al revés, si tienes una potencia con numerador, la unidad y el denominador es una potencia con exponente positivo puedes escribir, sin numerador pero la potencia con exponente negativo:

Siguiendo con el ejercicio: de donde vemos que

Debajo tienes la secuencia completa:

E)    La secuencia completa será:

2SI LA BASE ES MAYOR QUE 1 LOS NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD TIENEN LOGARITMO NEGATIVO

 

Si la base ha de ser mayor que 1

17.2   ¿Cuál es el logaritmo en base 10 del número 1000?

Respuesta: 3

 

17.3   ¿Cuál es el logaritmo en base 10 del número 10?

Respuesta: 1

 

17.4 Cuál es el logaritmo en base 10 del número 1?

Respuesta: 0

Solución:Sabemos que un número elevado a cero vale la unidad. Podemos escribir:

17.5 ¿Cuál es el logaritmo en base 10 del número 0,1?

Respuesta: – 1

Solución:

17.6 Halla el logaritmo de en base 10.

Respuesta: – 3

 

LA BASE ¿PUEDE SER CERO O UN NÚMERO NEGATIVO?

La base SIEMPRE tiene que ser mayor que cero.

Analizamos el caso en que la base fuera 0: siendo K  el número, x  el valor del logaritmo. Esto quiere decir que:

nunca podría valer K.

La base NO debe ser negativa porque si analizas los ejemplos siguientes:

vemos que si a x le das el valor 4  te queda:

Es correcto por tener el exponente par, pero si el exponente

tuviese un valor impar: si a x le das el valor 5 te queda:

El resultado es incorrecto porque 32 no es igual a  – 32 , es el opuesto. En este caso el ejercicio no tiene solución.Para evitar errores, hemos de tener en cuenta que la base SIEMPRE debe ser positiva.

 

¿TIENEN LOGARITMO LOS NÚMEROS NEGATIVOS?

Los números negativos NO tienen logaritmo.Porque siendo la base positiva, todas sus potencias, ya sean pares o impares, son positivas y nunca negativas.

 

3LOGARITMO DE UN PRODUCTO

Anteriormente dijimos que los logaritmos son una herramienta que nos facilita el cálculo de operaciones aritméticas.Es importante que comprendas lo que tienes a continuación realizado paso a paso. Lee y escribe comprendiendo.Supongamos que tenemos que multiplicar 32x16  y este cálculo lo hacemos utilizando logaritmos en base 2.

Podemos escribir:

(1)

Tomando logaritmos  en base 2 en el producto 32x16 tenemos: que

puedo escribir a su vez: lo que equivale a:

vale 5 + 4  porque si calculamos el valor de:

compruebo que el logaritmo de la base es igual al exponente del número, por lo tanto:

Sustituyo los valores 5 y 4 por los valores que tengo en (1)

Como resumen:

Tienes más arriba la demostración del cálculo del logaritmo de un producto es igual: a la suma de los logaritmos de sus factores:

Ejemplo:

Escribe el producto de axb  tomando logaritmos:

17.7 Expresa el producto: con logaritmos de base 10

Respuesta.

4LOGARITMO DEL COCIENTE DE DOS NÚMEROS

 

 

Supongamos que tenemos que DIVIDIR y este cálculo lo hacemos utilizando logaritmos en base 2.

Esto quiere decir que:

Tomando logaritmos tengo:

El porque si calculas el es decir

que

 

  Sustituyo 12 y 8 por sus valores en (2):

 

Tienes más arriba la demostración del cálculo del logaritmo de un cociente es igual: al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Verás que las sumas o restas de logaritmos las dejamos indicadas. Para poder realizarlas precisamos saber los valores de dichos logaritmos.

Existen unas TABLAS DE LOGARITMOS donde se incluyen los valores de los logaritmos de todos los números y que su utilización en el día de hoy que al disponer de calculadoras científicas y ordenadores han quedado obsoletas.

17.8 Escribe el logaritmo en base 5 de:  

Respuesta:

5LOGARITMO DE UNA POTENCIA

Partimos de:

donde a es la base K el número y x el valor del logaritmo.          

                      

La igualdad anterior equivale a  

                      

En ambos miembros del signo = tomo logaritmos:

                      

Ambos miembros elevo a la potencia n :

                      

Como sustituyo el valor de x por su valor y obtengo:

                      

La secuencia completa sería:

                      

                      

De donde observo que el logaritmo de una potencia es igual: al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base de dicha potencia.

Ejemplo:

Escribir el logaritmo en base

Resultado: exponente por el logaritmo de la base de la potencia:

porque el logaritmo en base 3 del número 243 es igual:

17.9     Escribe el logaritmo de en base 4.

Respuesta: 24

Solución:

Comprobación:

Otra solución más simple sería:

 

LOGARITMO DE UNA RAÍZ.

Debes recordar que a las raíces las podemos transformar en potencias:El radicando es la base de la potencia y el ÍNDICE DE LA RAÍZ EL DENOMINADOR DEL EXPONENTE.En el caso de que el radicando estuviese elevado a un número, éste será el numerador del exponente.Observa los ejemplos siguientes:

Una vez que hayas transformado la raíz en potencia aplicas lo estudiado en el LOGARITMO DE UNA POTENCIA.

Ejemplo:

Escribe el logaritmo en base Escribimos en forma de potencia:

A partir de ahora aplicamos lo estudiado en el LOGARITMO DE UNA POTENCIA:

Quizá te pueda resultar más cómodo recordar que el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

17.10 Escribe el logaritmo en base 7 de la expresión:

Respuesta:

17.11    Desarrolla el logaritmo en base 3 del producto:

Respuesta:

 

17.12  Toma logaritmos en base 8:

Respuesta:    

17.13    Toma logaritmos en base 10 en la expresión y calcula el resultado del logaritmo de esta expresión sabiendo que el logaritmo en base 10 del número 2 es 0,301030 y el logaritmo en base 10 de tres : 0,4771213.

Respuesta: 0,161499959

Solución: Hallo el m.c.m. de los índices; m.c.m.(2,3,5) = 30

 

ANTILOGARITMOS.

Se trata de hacer lo contrario de lo que has hecho hasta ahora. Has aprendido a tomar logaritmos en una expresión. Ahora se trata de saber que expresión procede el desarrollo que tenemos delante:Ejemplo:

¿De qué expresión procede:

Se trata de

17.14   ¿De qué expresión procede

Respuesta:

17.15   ¿De qué expresión procede

Respuesta:

17.16   ¿De qué expresión procede

Respuesta:

 

6ECUACIONES CON LOGARITMOS.

Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está acompañada del logaritmo.

Vamos a analizar la siguiente ecuación:

¿Cuánto vale x?

Has de llegar a una ecuación en la que en ambos lados del signo igual aparezcan ambos términos entre paréntesis y el símbolo del logaritmo (log) con su base por delante de cada uno de los dos miembros.Debes comenzar a escribir la procedencia de la expresión en la cual hemos desarrollado el logaritmo.

La ecuación de donde procede es:

Observa que tienes a ambos lados del signo = los logaritmos de dos expresiones; es

como si tuvieras: (raíces en ambos lados del  signo “=”). Puedes eliminar las raíces y te queda que x = 5.

Lo mismo en podemos eliminar los logaritmos:

 Esto es válido para cualquier valor que tenga la base.Si tomas logaritmos en esta última expresión llegarás a (1).

Cuando en ambos lados del signo igual tengo el símbolo del logaritmo puedo eliminarlos SIEMPRE LOS TENGA A CADA TÉRMINO DENTRO DE PARÉNTESIS O CORCHETES. Otro ejemplo:

El miembro a la izquierda del signo = puedo escribirlo: y el término de la

derecha del signo =, porque si al logaritmo en base 3 de 9 le doy el valor m tendré:   

Compruebo que el logaritmo de 9 en base 3 vale 2.Ahora escribimos:

Elimino los logaritmos:

y nos queda:

17.17     Calcula el valor de x en la ecuación:

Respuesta: 9

  Solución:    Tomamos logaritmos en una base cualquiera:       

Podemos transformar en la igualdad siguiente:

Podemos eliminar y nos quedará:

Dividimos por 2 ambos miembros de la igualdad:

17.18    Calcula el valor de x en la ecuación: 

Respuestas: 5 y – 20

Solución:

Esta ecuación procede de:

Simplificando y haciendo operaciones tenemos:

7LOGARITMOS DECIMALES.

Se conocen con este nombre a los logaritmos cuya base es 10. Se escribe log sin indicar su base (se entiende que su ésta es 10).

17.19  Calcula el valor de x en la ecuación:                       

Respuesta: x = 32

Solución:Lo resolvemos paso a paso.

17.20    Calcula el valor de x en la ecuación:

Respuesta: x = 3

17.21   Calcula el valor de x en la ecuación:    

Respuesta: x = 4

17.22   Calcula el valor de x en la ecuación:

Respuesta: x = 2

Solución:

17.23    Halla el valor de x en la ecuación:  

Respuesta: x = 4

17.24   ¿Cuánto vale el logaritmo de

Respuesta: 3

Solución:

Siendo x el valor del logaritmo de 7 en base 7 elevado a un tercio: puedo escribir teniendo en cuenta la definición de logaritmo y haciendo las operaciones correspondientes paso a paso:

Lo que equivale a escribir:

17.25     ¿Cuánto vale el

Respuesta:

17.26   ¿Podemos decir por lo visto en estos dos últimos ejercicios, que el logaritmo de la base elevado a un valor fraccionario la respuesta es el del valor fraccionario INVERTIDO?

Respuesta: SÍ

17.27  ¿Puedes asegurar que el es igual a cero?

Respuesta: SÍ porque el logaritmo de la unidad en cualquier base vale cero.

y la unidad puedo escribirla como un número cualquiera (seis en este caso) elevado a cero. Este razonamiento puedo aplicarlo para cualquier valor numérico de la base.

17.28  Calcula los valores de x e y en el sistema:

Respuestas: x=4 y x=5

Solución:

Cuando conozco el valor de la suma y el producto de dos números, para saber cuales

son, recurro a la ecuación de 2º grado, en la que el coeficiente de (a) es 1, el coeficiente de (b) x  el valor de la suma cambiada de signo y el valor del término independiente (c), el producto de ambosnúmeros. La ecuación de segundo grado la escribo en función de la variable v (o cualquier otra que no sean x e y porque los valores que voy a obtener se refieren a estas incógnitas:

17.29    Calcula los valores de x e y en el sistema:

Respuestas:

Solución:

17.30   Calcula los valores de x e y en el sistema:

Respuestas:

Solución:El sistema puedo escribirlo:

Elimino los logaritmos quedándome y haciendo operaciones en la segunda ecuación:

Sustituyo y en la primera ecuación por el valor que vemos que tiene en la segunda ecuación:

Simplificando ambos miembros del  signo = por 10:    

Sustituyo el valor conocido en la segunda ecuación:

17.31   Calcula el valor de x en la ecuación:

Respuesta:

Solución:

A le doy el valor m.

Esto quiere decir que,

 De este modo consigo una expresión más sencilla:

Haciendo operaciones: 

Tomamos la primera respuesta:

Si podemos escribir: Si las bases de ambas potencias son

iguales también lo serán sus exponentes: y siguiendo la definición de

logaritmo tendremos:

 

17.32   Halla el valor de x en la ecuación:

Respuestas:

Solución:

 

17.33   Resuelve el sistema:

Respuestas:

Soluciones:1ª  Solución:

Resolvemos por deducción. Para ello, la 1ª ecuación escribimos: 

Si a le damos el valor 100, tendrá el valor 10, y resolviendo el sistema:

sumando las dos ecuaciones:

Cambiando de signo a la segunda ecuación y sumándolas después:

2ª Solución:Para facilitar cálculos a x+y  le damos el valor a:                                 y a x-y  le damos el valor b:                                   x+y= a                                    x-y=b

Despejamos a en la primera ecuación:

En la segunda ecuación tomamos logaritmos y obtenemos:

 que es lo mismo que escribir teniendo en cuenta a qué es igual el logaritmo de un cociente:

Quitando paréntesis:

que a su vez podemos escribir:

Si a log b  le damos el valor m la última ecuación se nos ha transformado en: 

  Como el término de grado 2 en la ecuación de 2º grado ha de ser positivo y ordenando la última ecuación, tenemos:               

       

 Si a log b le damos el valor 1: es decir,

Si a log a  le damos el valor 2; es decir,

y a partir de aquí, los valores de ambas incógnitas nos es muy sencillo calcularlas:

8LOGARITMOS DECIMALES O DE BRIGGS

Los logaritmos decimales son los que has venido utilizando en los últimos ejercicios, que como se te dijo, cuando no escribimos la base, se entiende que es 10 el valor de la misma y la escribimos log. Los logaritmos de base 10 se deben al matemático inglés de la universidad de Oxford, Henry Briggs el año 1624.

LOGARITMOS NEPERIANOS

Los primeros logaritmos se deben al matemático escocés John Napier o Neper hacia el año 1600. La base de estos logaritmos es un número irracional cuyo valor es:                          2,7182818284590452354…Recuerda que números irracionales son los que escribimos con infinitas cifras decimales y que, además,  no son periódicas. A esta base se la conoce con el nombre número e. Por lo tanto, base e o base 2,7182818284590452354…es lo mismo. Los logaritmos neperianos se escriben: L(5) que significa logaritmo neperiano de 5 o

logaritmo de 5 en base e o también, ln(5).Debemos a Briggs el cambio a una base sencilla, no obstante, si sigues estudiando cursos superiores de matemáticas son los neperianos quienes tienen mayor importancia.

ECUACIONES EXPONENCIALES

Se llaman ecuaciones exponenciales a las que la incógnita aparece como exponente.

Ejemplo:

Estas ecuaciones no son desconocidas para ti ya que hemos hecho uso al tratar los logaritmos.

17.34  Calcula el valor de x en la ecuación:

Respuesta:

Solución:

1) Esta ecuación podemos escribirla:

Si dividimos por 3 a ambos miembros de la igualdad obtenemos:

 Si las bases son iguales, también lo serán los exponentes

2) Más fácil: Descomponiendo 729 en sus factores primos transformamos:

de donde,

17.35  Calcula el valor de n en la ecuación:

Respuesta:

Solución:

La ecuación del enunciado podemos escribirla: 

Observo que el exponente:

 son los términos de una progresión aritmética.No conozco el valor del último término de una progresión de n términos en la que el primero vale 1 y la diferencia de la progresión 2.

Aplico la fórmula para conocer el valor del último término:

     

Haciendo uso de la fórmula de la suma de una progresión aritmética:

y sustituyendo por los valores numéricos que conocemos obtengo:

de donde la suma vale:

Retomo la ecuación.

que puedo escribirla:

Transformo la raíz cuadrada en potencia y me queda:

Elevando una potencia a otra:

Si las bases son iguales, también lo serán sus exponentes:

 

17.36   En la ecuación: ¿Cuánto vale x?

Respuesta:

Solución:

Recuerda que en un producto de dos potencias que tienen los mismos exponentes

puedes multiplicar las bases dejando el mismo exponente:

17.37  Calcula el valor de x en la ecuación:  

Respuesta:

17.38   Calcula el valor de x en la ecuación:

Respuesta:

17.39   Calcula el valor de x en la ecuación:  

Respuesta:

17.40   Calcula los valores de x e y en el sistema:

Respuestas:

17.41   Calcula los valores de x en la ecuación:  

Respuestas:

17.42    Calcula los valores de x e y en el sistema:

Respuestas:

17.43     Calcula los valores de x e y en el sistema: 

Respuestas:

17.44     Calcula los valores de x e y en el sistema:

Respuestas:

17.45    Cuánto vale x en la ecuación:   

Respuesta:

Solución:

1) Se entiende que el número de raíces en el formato del enunciado son infinitas. ¿Crees que si al Océano Atlántico le quitas una gota de agua lo notarán los ecologistas?Si tienes infinitas raíces, una menos, ni se nota.

Si te fijas bien, el exponente es la suma de los infinitos términos de una progresión

geométrica de razón

El valor de la suma, en este caso, viene dada por:

Reemplazando las letras por sus valores:

Vemos que: podemos escribir como:

17.46   Calcula el valor de x en la ecuación:

Respuesta:

Solución:

La ecuación podemos escribirla:   

Si a le sustituimos por m tendremos:

Haciendo aplicación de:

Tomando la solución vemos que es decir, de donde de

donde