matemática y razonamieno t lógico - radio fe y alegría ... · la suma de dos polinomios es 2. x....

Matemática y Razonamiento

Lógico9no. Semestre

Educación Media Técnica

apuntando a la adquisición de competencias que se han propuesto a lo largo de todos los semestres en esta área.

Asimismo las temáticas se relacionan con va-riadas situaciones problema del mundo real: personales, laborales, científicas, que mues-tran la necesidad de hacer uso de los concep-tos matemáticos para comprender esos fenó-menos o problemas, mientras nos permiten visualizar la utilidad de las matemáticas.

Como sabes, estás en un sistema semi-pre-sencial, donde eres el principal responsable de tus aprendizajes y es importante que tomes

El área de Matemática y razonamiento lógico se ha caracterizado, en la mayoría de los semestres, por privilegiar primero la comprensión de los objetos matemáticos, antes que la memorización de fórmulas o algoritmos. En la mayor parte de los temas se ha hecho énfasis en abordar el objeto matemático a través de sus diferentes representaciones (verbales, gráficas, simbólicas y numéricas), porque esto brinda la oportunidad de poner en funcionamiento diversos procesos cognitivos,

Presentación

158

conciencia de la forma cómo aprendes y cuáles son las mejores estrategias para que logres avanzar. Estos aspectos los puedes concretar a través de la au-toevaluación y coevaluación presente en algunas semanas. Al finalizar cada tema debes darte la oportunidad de reflexionar acerca de tu desempeño para establecer mejoras.

Para aprovechar tus aprendizajes al máximo te sugerimos, además de lo an-terior, que atiendas las siguientes recomendaciones: lee el material antes de los encuentros en el CCA; realiza las tareas asignadas; escribe tus dudas sobre lo que no entiendes para luego consultar con tu facilitador y compañeros; revi-sa los enlaces sugeridos en la web y el multimedia. Esto último es muy impor-tante para que puedas complementar, reforzar y aclarar lo que vas estudiando. No olvides que el trabajo en equipo es otra forma de construir saberes.

Esperamos puedas darle un uso eficiente y adecuado a esta guía, que con gusto ha sido diseñada para cumplir con la función de guiarte en el proceso de aprendizaje.

Presentación

159

Semana 1 Un acercamiento al área

Bienvenidos y bienvenidas a otro semestre lleno de saberes y de compartir experiencias. Estás muy cerca de la meta. ¡Sigue ade-lante! En este encuentro expon-dremos a grosso modo los temas que trataremos en el transcurso del semestre. Esta semana nos dedicaremos a estudiar proble-mas que vimos durante el semes-

tre anterior y algunos acertijos que podrás resolver con un poco de ingenio, mucho papel y bastante paciencia. Puedes compartirlos con tu familia y com-pañeros del CCA.

En esta sesión explorarás los conocimientos adquiridos en el semestre ante-rior a través de variados ejercicios y problemas. La idea es que tomes concien-cia de tus fallas (en caso de haberlas) para subsanarlas y que te traces unos objetivos y/o acciones que te permitan minimizarlas. ¡Manos a la obra!

1. Expresa el perímetro de la figura 1 como un polinomio.

Figura 1

2. La suma de dos polinomios es 2x2+x+8. Uno de los polinomios es x2+3. ¿Cuál es el otro?

3. ¿Qué significa hallar el logaritmo de un número?

4. La concentración de alcohol en la sangre puede medirse. Recientes in-vestigaciones médicas sugieren que el riesgo R (dado como un porcen-taje) de tener un accidente al conducir un vehículo puede calcularse a través de la ecuación: R=3ekx

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

3n + 2

3n + 2

n2 - 4 n2 - 4

Un acercamiento al áreaSemana 1

160

Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre, k es una cons-tante y e=2.71 aprox.

a) Imagina que una concentración de alcohol en la sangre de 0.06 resulta un riesgo de 10% (R=10) de tener un accidente. Encuen-tra la constante k de la ecuación.

b) Con este valor de k, ¿cuáles el riesgo si la concentración es 0.17?

c) Con el mismo valor de k, ¿qué concentración de alcohol corres-ponde a un riesgo de 100%?

d) La ley de determinado país establece que cualquier persona con un riesgo de 15% o mayor de tener un accidente no debe estar autorizada para conducir, ¿con qué concentración de alcohol en la sangre debe arrestarse a un conductor?

¿Sabías que una de las primeras causas de accidentes automovilísticos en Venezuela es el exceso de velocidad, generalmente ocasionado por la ebriedad (62%)? Y las probabilidades de tener un accidente se incrementan si la persona tiene entre 17 y 24 años de edad. ¡Toma conciencia! No abordes vehículos cuyos conductores es-tén bajo los efectos del alcohol, ni manejes en ese estado.

5. En una agencia de automóviles clasifican los autos en dos grupos: sen-cillos y de lujo. En el mes de agosto terminaron de vender los autos de ese año y en el mes de septiembre introdujeron los modelos del año si-guiente. En la tabla 1 se muestran las ventas en bolívares realizadas por dos vendedores en cada mes.

Tabla 1

Ventas de Agosto Ventas de Septiembre

Sencillo De lujo Sencillo De lujo

Vendedor 1 840.000 1.050.000 1.200.000 1.140.000

Vendedor 2 980.000 900.000 1.350.000 570.000

a) ¿Cuál fue el total de ventas en los meses de agosto y septiembre para cada uno de los vendedores y para cada modelo?

Semana 1Un acercamiento al área

161

b) ¿Cuál fue el incremento en bolívares de las ventas de agosto a septiembre?

c) Si ambos vendedores reciben un 5% de comisión sobre ventas, calcula la comisión que recibe cada uno en el mes de septiem-bre.

6. Observa la figura 2.

a) ¿Cuáles tendrán la lámpara encendida? Puedes comprobarlos armando los esquemas. ¿En cuáles se enciende la lámpara? ¿En cuales no se enciende la lámpara?, ¿por qué?

Figura 2

b) ¿Cuál o cuáles de los esquemas mostrados en la figura 3 son cir-cuitos electrónicos?, ¿por qué? ¿Cuáles son las condiciones que se deben cumplir para que haya circulación de la corriente eléc-trica?

Figura 3

De acuerdo a lo visto en la sección anterior, precisa las acciones que vas a emprender para obtener mejores resultados en el aprendizaje de este se-mestre. Para ello puedes escribir un decálogo de los aspectos que quisieras ir mejorando en el ámbito educativo; si lo deseas, puedes incluir aspectos de tu vida personal. Este decálogo debes colocarlo en un lugar visible de tu habita-ción para que siempre lo tengas presente y vayas chequeando cuáles de ellos han sido superados y en cuáles hay que seguir trabajando.

En este semestre estudiarás dos alternativas para resolver sistemas de ecua-ciones lineales: el método de Cramer y el de Gauss-Jordan. Con esto se busca que observes la diversidad de opciones que existen para solucionar proble-mas matemáticos y de otros contextos. Daremos continuidad al estudio de las

Vamos al grano

El reto es...

Un acercamiento al áreaSemana 1

162

Comprobemos y demostremos que…

operaciones básicas con polinomios (multiplicación y división de polinomios).Adquirirás destrezas en el manejo de herramientas que permiten agilizar los cálculos: los productos notables, y verás que la operación inversa de éstos: la factorización es útil para simplificar expresiones algebraicas complejas.

Resolverás problemas prácticos y teóricos, a través del estudio de los trián-gulos oblicuángulos. Para esto necesitamos analizar la Ley de los senos y la Ley de los cosenos, cuyas aplicaciones son numerosas en nuestra vida diaria y en otros ámbitos como, por ejemplo, la navegación y la aeronáutica.

Finalizaremos con un bloque de cuatro semanas dedicadas al estudio de la Física, en lo que concierne a temas como: Movimiento armónico simple (MAS) y ondulatorio. Estas temáticas son tratadas desde un enfoque más cualitativo que cuantitativo, con énfasis en el análisis de situaciones cotidianas y de la ciencia. Un tipo de movimiento oscilatorio es el sonido y para su estudio nos preguntamos: ¿qué es el sonido?, ¿cómo oímos? y ¿cómo viaja el sonido?, en-tre otras cuestiones que nos invitan a reflexionar sobre los avances tecnoló-gicos fundamentados en principios físicos que contribuyen a mejorar nuestra calidad de vida.

Para saber más…

Te invitamos a “echar un vistazo” a las temáticas trabajadas en este ma-terial y a revisar el DVD de este semestre. Lee con detenimiento “El opti-mismo de cada día” que encontrarás en el multimedia.

La lectura sugerida en “Para saber más” puede ayudarte a realizar el decálo-go propuesto en la sección “El reto es”. Verás que es necesario salir de vez en cuando de la rutina.¿Qué aspectos de tus estudios quieres cambiar durante este semestre? Cuando tomas una decisión, ¿con cuánta frecuencia te pre-guntas si esa será la mejor forma de hacer o decir las cosas? En este preciso momento toma una hoja (puedes realizar ilustraciones) y empieza a trabajar en el decálogo.

¡Más problemas!

1. El jardinero del rey es un hombre inteligente. Lo ha de ser porque siem-pre le dan órdenes raras que debe cumplir si no quiere perder el empleo

Aplica tus saberes

Semana 1Un acercamiento al área

163

real. El mes pasado le dieron la orden de que, en un terreno cuadrado, plantara 16 árboles ornamentales (iguales) colocados de tal manera que se vieran 10 hileras rectas de 4 árboles cada una. ¡Y lo consiguió! Tú en su lugar, ¿cómo lo habrías hecho?

2. Dibuja la figura 4 de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin recorrer la misma línea dos veces.

Figura 4

3. Un hombre murió y dejó un terrenito en el estado Mérida en el que ha-bía construido 4 hermosos chalets (ch) para sus cuatros sobrinos.

chch

chch

Pero había una condición: que sólo se lo podían quedar si conseguían dividir el terreno en 4 partes exactamente iguales en forma y superficie y que, en cada parte, hubiera uno de los chalets. ¿Cómo lo dividieron? ¡Ayúdalos a cobrar su herencia!

4. ¿Cuánto es un millón divido entre un cuarto? No uses calculadora.

A veces podemos pasarnos años sin vivir en absoluto, y de pronto toda nuestra vida se concentra en un solo instante. Oscar Wilde

A

K

B

H

G

I

J

C

F

E

D

L

Regla de CramerSemana 2

164

Semana 2 Regla de Cramer

Como recodarás en el 7mo semestre estudiamos los sis-temas de ecuaciones lineales (SEL) con tres incógnitas, los cuales se resolvieron emplean-do los métodos analíticos: sustitución, igualación y re-ducción. En esta ocasión para resolver dichos sistemas uti-lizaremos la regla de Cramer, que se basa en el cálculo de determinantes.

1. Los SEL que no tienen ninguna solución se conocen como:

a) Compatibles determinados.

b) Compatibles indeterminados.

c) Incompatibles.

2. Si el SEL tiene más de una solución se denomina:

a) Compatible determinado.

b) Compatible indeterminado.

c) Incompatible.

3. Si dos SEL tienen la misma solución, se conocen como:

a) Iguales.

b) Compatibles determinados.

c) Equivalentes.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

Semana 2Regla de Cramer

165

El reto es...

Los estudiantes del IRFA organizaron un evento deportivo y recreativo a fin de recoger fondos para arreglar los talleres. Para ello vendieron 110 helados en tres presentaciones: vasitos, barquillas y tinas. Recolectaron 1.038 Bs y los precios de cada helado eran: Bs. 7 el vasito, Bs. 8 la barquilla y Bs. 10 la tina. Si se sabe que entre barquillas y tinajas se compraron el 20% más que de vasi-tos, ¿qué cantidad de helados se compraron de cada uno? En este momento estás en condiciones de resolver el problema por los métodos ya estudiados. ¡Hazlo! Esperamos que al finalizar la lectura de este material puedas solucio-nar los SEL usando el método de Cramer.

Determinantes

Dada una matriz cuadrada A se llama determinante de A, abreviado: det (A), al número real que se obtiene a partir de los elementos de la matriz.

Por ejemplo, en una matriz de orden 2, su determinante se expresa así:

Ejemplos:

Hallar el determinante de las siguientes matrices:

a) b) c)

Recuerda que debes multiplicar los elementos de la diagonal principal y res-tarlos al producto de la diagonal secundaria.

a) (-3) · 6 - (-5) · 3 = -18 + 15 = - 3 b) 0 · 5 -12 · = 0 - 3 = -3

c) 4 · (-30) -12 · (-10) = -120 + 120 = 0

Determinante de orden 3

Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al núme-ro que se obtiene así:

Vamos al grano

-3 35 6

4 -1012 -30

0 1/412 5

det (A) = = a11· a12 - a21· a12

a11 a12a21 a22

Producto de la diagonal

principal

Producto de la diagonal

secundaria

1 4


166

= a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 - a11 · a23 · a32 - a12 · a21 · a32 - a12 · a21 · a33 - a13 · a22 · a31

Observa que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes.

La idea no es que memorices esa expresión. Hay una manera sencilla de encontrar el determinante de una matriz de orden 3, empleando la regla de Sarrus (en honor al matemático francés Pierre Sarrus), de la siguiente forma:

• Se escriben a la derecha de la matriz las dos primeras columnas.

• Se realiza el producto de los elementos que contiene cada flecha. Los productos de la diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +; la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo -.

• Finalmente realizamos la suma algebraica de los productos resultantes.

A través de un ejercicio se ejemplifica la regla:

Halla el determinante de la matriz B =

Se repiten las dos primeras columnas a continuación de la tercera.

Diagonal secundaria y paralelas

5 11 -1 5 11 -4 0 9 -4 0 2 3 8 2 3

Diagonal principal y paralelas

det (B)= 5 · 0 · 8 + 11 · 9 ·2 + (-1) · (-4) · 3 - (-1) · 0 · 2 -3 · 9 · 5 - 8 ·(-4) · 11

det (B) = 0 + 198 + 12 + 0 - 135 + 352 = 562 - 135 = 427

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Sea un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas de la forma:

det (A) =

5 11 -1 -4 0 9 2 3 8

Suma algebraica de los productos de la diagonal principal.

Suma algebraica de los productos de la diagonal secundaria.

a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33


167

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … +a1nxn= b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + … +a2nxn= b2 (1)

am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amnxn=bm

Los números reales aij se denominan coeficientes, los xi se llaman incógnitas y bj se denominan términos independientes.

En el caso de que las incógnitas sean 2, se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2; y, en el caso de tres, x, y, z, en lugar de x1, x2, y x3, pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matri-cial del modo siguiente:

Al usar tus conocimientos sobre la multiplicación de matrices, advertirás que el producto de la matriz A y la matriz X de las incógnitas, se corresponde con el miembro izquierdo del sistema de ecuaciones (1).

Regla de Cramer

La regla de Cramer (en honor a su inventor, Gabriel Cramer) es aplicable a sistemas en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Expresamos el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y se halla el determinante de la matriz A de coeficientes.

a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2na31 a32 a33 a3n

x1x2x3

xnam1 am2 am3 ··· amn

··· ··· ··· ··· ···

· =···

Matrix de Coeficientes

Matrix deincógnitas

b1b2b3

bm

···

Matriz de términos independientes


168

Sea det(A) el determinante de la matriz de coeficientes:

Y cada uno de los determinantes det(A)1 , det(A)2 , det(A)3..., det(A)n se forma a partir del determinante del sistema det(A), sustituyendo la columna de la incógnita que se está hallando por la columna de las constantes (matriz de términos independientes).

El valor de cada incógnita se calcula dividiendo el det(A)1 , det(A)2 , det(A)3..., det(A)n entre el determinante det(A). La solución del sistema de ecuaciones lineales, utilizando la regla de Cramer viene dada por:

x = y = z =

Es importante recordar que un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene una única solución, que es justamente la anterior.

Concretemos esta regla a través de la situación propuesta al inicio, conside-rando las siguientes incógnitas: x: cantidad de helados de vasitos; y: cantidad de barquillas; z: cantidad de helados en tinajas.

Al plantear el sistema de ecuaciones, obtenemos:

x+y+z=132 x+y+z=132 x+y+z=132

7x+8y+10z=1038 7x+8y+10z=1038 7x+8y+10z=1038

y+z=1.2x -1.2x+y+z=0 -12x+10y+10z=0

Multiplicamos por 10 la última ecuación para eliminar el punto y ordenamos el sistema.

• Expresamos el último sistema de ecuaciones en forma matricial; esto es:

• Se halla el determinante de la matriz de coeficientes A:

Aplicando Sarrus:

1 1 1 1 1 7 8 10 -7 8 -12 10 10 -12 10

det(A)1

det(A)det(A)2

det(A)det(A)3

det(A)

a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2na31 a32 a33 a3n

am1 am2 am3 ··· amn

··· ··· ··· ···

···

1 1 1 7 8 10-12 10 10

xyz

1321038

0· =


169

det (A)= 1· 8 ·10 + 1·10 · (-12) + 1 · 7 · 10 - 1 · 7 ·10 -1 ·10 ·10 -1 ·8 · (-12)

= 80 -120 -100 + 96= 176 - 220= -44

Como el determinante es distinto de cero se puede aplicar la regla de Cramer.

• Hallamos el determinante asociado a cada una de las incógnitas.

En la matriz del sistema A, sustituimos la primera columna de las x por la columna de términos independientes, pues x es la primera incógnita; así:

132 1 1 132 1 1038 8 10 1038 8 0 10 10 0 10

Observa que la primera columna ha sido sustituida por la columna de térmi-nos independientes.

Aplicamos Sarrus para obtener el determinante.

det(A)x =132 · 8 ·10 +1 ·10 · 0 +1 · 1038 ·10 -1 · 1038 ·10 -10 ·10 ·132 -1 · 8 · 0

=10560 + 0 -13200 + 0= -2640

La solución de x, será x= = = 60 helados de vasito.

• Hallamos el determinante asociado a la incógnita:

Se ha sustituido la columna de las y en el determinante del sistema por la columna de términos independientes.

1 132 1 1 132 7 1038 10 7 1038 -12 0 10 -12 0

det(A)y= 1 ·1038 ·10 +132 ·10 · (-12)+1 · 7 · 0 -132 · 7 ·10 -1·10 · 0 -1·1038 · (-12)

= 10380 - 15840 + 0 - 9240 - 0 +12456= 22836 - 25080= -2244

La solución de y, será y= = = 51 barquillas.

• Hallamos el determinante asociado a la incógnita.

En la matriz del sistema, sustituimos la tercera columna por la columna de términos independientes; así:

1 1 132 1 1 7 8 1038 -7 8 -12 10 0 12 10

det(A)x

det(A)

det(A)y

det(A)

-2640-44

-2244-44


170

det(A)z= 1· 8 · 0 +1 ·1038 · (-12) +132 · 7 · 10 -1 · 7 · 0 -1 · 10 ·1038 -132 · (-12) · 8

= 0 -12456 + 9240 - 0 -10380 + 12672= -22836 + 21912= -924

La solución de z, será z= = = 21 tinas

Para saber más…

Para reforzar la resolución de problemas de un sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, puedes observar el video que se muestra en la siguiente dirección web: http://goo.gl/fWABb

1. Halla el determinante de las siguientes matrices:

a) b) c) d)

2. Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas:

a) 3x-2y+z=-1 b) x+y+z=6 c) 3x+y+z=1

2x+y-z=2 x-y+2z=5 2x+2y+z=5

x-3y+z=0 x+y-z=0 x-y+z=0

3. Una empresa de computadoras ofreció servicio técnico: revisión, man-tenimiento y reparación (incluye costo de materiales y mano de obra) a tres departamentos de una escuela: Control de estudio y evaluación, Pedagogía y Sala telemática. En Control de estudio y evaluación se tie-nen dos computadoras: una recibió revisión y mantenimiento mientras la otra sólo mantenimiento (limpieza). En la sala telemática se revisaron 4 computadoras, se hizo mantenimiento a 3, por un costo de 720 Bs. A la computadora del departamento de Pedagogía se le hicieron los tres servicios (R, M, R) por un costo de 520 Bs. En total la escuela hizo un gas-to de 1520 Bs. ¿Cuánto es el costo de cada uno de los servicios?

Discute en el CCA con tus compañeros los problemas mostrados en “Aplica tus saberes”.

La tierra es suficiente para todos pero no para la voracidad de los consumidores. Gandhi


Aplica tus saberes

det(A)z

det(A)-924-44

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6 4 0 5

7 -8 21 -24

3 1 -0,6 2 2/3 1 -9 7 0


171

Semana 3 Eliminación de Gauss-Jordan

En esta sesión mostramos otra manera de resolver siste-mas de ecuaciones lineales. Este método, a diferencia de la regla de Cramer, es aplicable a matrices no cuadradas, es decir, sistemas donde el número de ecuaciones e incógnitas no ne-cesariamente son iguales.

La idea es presentarte una variedad de métodos de resolución de los siste-mas y que seas tú quien elija el que te parezca más conveniente según cada situación.

Una persona compró para su oficina 3 cajas de marcadores y 4 cuadernos (unidades) por 327 Bs.; en otra oportunidad compró una caja de marcadores y 2 cuadernos por 121 Bs. ¿Cuánto le costarán 6 cajas de marcadores y 8 cua-dernos?, ¿4 cajas de marcadores y 6 cuadernos?, ¿2 cajas de marcadores y 2 cuadernos?, ¿una caja de marcadores y un cuaderno? Intenta traducir todas las operaciones efectuadas al lenguaje algebraico. La idea es que visualices cómo obtener los respectivos resultados sin resolver directamente el sistema de ecuaciones.

El complejo recreativo Acuaticpark tiene 101 mesas, las cuales cuentan con 4, 6 y 8 asientos, siendo la capacidad total de asientos de 552. Varios partici-pantes del CCA, con motivo de su graduación, decidieron compartir en este hermoso lugar. Para la ocasión se ocupó la mitad de las mesas con 4 asientos, un octavo de las mesas con 6 asientos y un tercio de las de 8 asientos, para un total de 35 mesas. ¿Cuántas mesas de cada tipo se usaron ese día? ¿Cuántas personas asistieron? ¿Cuál es el menor número de mesas que podría ocuparse con las personas asistentes? Resuelve este ejercicio empleando los métodos conocidos hasta el momento. Al final de la semana puedes resolverlo em-pleando el método de Gauss-Jordan.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

Eliminación de Gauss-JordanSemana 3

172

Matriz ampliada

Una matriz ampliada contiene las partes esenciales del sistema (1).

La barra vertical se incluye sólo para separar los coeficientes de las incógni-tas de los términos independientes. Con esta notación no se usan las incóg-nitas, es decir, sólo se trabaja con los coeficientes y, para facilitar el manejo de éstos, se hace uso de las matrices. La idea es aprender a manejar las matrices ampliadas de manera que se obtenga la solución del sistema (1), si es que existe. El objetivo es empezar con la matriz ampliada de un sistema de ecua-ciones lineales y transformarla por medio de operaciones sobre filas o colum-nas en una matriz equivalente.

Una matriz ampliada puede transformarse en una matriz equivalente por filas (o columnas) si:

1. Se intercambian dos filas (o columnas) fi fj (significa que hay un in-tercambio, de las filas iésima por la fila jésima o viceversa).

2. Se multiplica una fila (o columna) por una constante no nula. fi K fj

3. Se suma un múltiplo constante de una fila (o columna) a otra fila (o co-lumna) dado. fi K fj + fi.

La flecha significa “es reemplazada por”.

Veamos la situación planteada en “¿Qué sabes de…?”. Llamemos M al precio de la caja de marcadores y C al precio del cuaderno. Tenemos que 3M+4C=327 y M+2C=121. Por ejemplo, si queremos hallar ¿cuánto costarán 6 cajas de mar-cadores y 8 cuadernos?, ¿qué se te ocurre? ¡Exacto! Basta con multiplicar por 2 la ecuación 3M+4C=327; esto es 6M+8C=654. Observa que se ha aplicado la

Vamos al grano

a11 a12 a13 ··· a1n b1a21 a22 a23 ··· a2n b2a31 a32 a33 a3n b3

am1 am2 am3 ··· amn bm

··· ··· ··· ··· ···

···

Semana 3Eliminación de Gauss-Jordan

173

transformación 2, se multiplicó la ecuación por una constante no nula (por 2 en este caso) en ambos lados de la igualdad.

Matrices reducidas

La forma simple que se habrá de obtener al aplicar esas operaciones se lla-ma matriz-reducida y debe cumplir con las siguientes condiciones:

1. Cada fila que tenga todos sus elementos nulos (ceros) está debajo de una fila que tenga al menos un elemento no nulo.

2. El primer elemento no nulo de cada fila es 1.

3. La columna que contenga el primer elemento1 de cada fila debe tener ceros tanto arriba como debajo de éste.

4. El primer 1 de cada fila debe estar a la derecha del primer 1 de la fila anterior.

Ejemplos de matrices reducidas: sería conveniente que verifiques que cum-ple las condiciones establecidas.

a) b) c) d)

Veamos mediante un ejemplo como se llegará a una matriz reducida.Resolvamos el siguiente sistema:

2x-y= 7 (2)

x+2y= 4

Se escribe la matriz ampliada del sistema 2.

Para obtener un 1 en la esquina superior izquierda, se intercambian las filas (condición 1).

f1 f2

Para obtener un cero en la posición a21 (esquina infe-rior izquierda), se multiplica f1 por (-2) y se suma a f2 (condición 2) esto modifica f2, pero no a f1. Algunos suelen escribir (-2) f1 fuera de la matriz (los números rojos representan -2f1), para ayudarse a prevenir erro-res aritméticos.

-2 +4 -8

f2 -2f1+ f2

1 0 2 0 1 -1

1 20 3 2 0 01 -1 0

1 0 4 0 0 1 3 00 0 0 1

1 2 00 -3 0 0 10 20 0 01 6

2 -1 7 1 2 4

1 2 4 2 -1 7

1 2 4 0 3 -1


174

Por la condición 2 el elemento no nulo de cada fila es 1, por esa razón aplicamos la operación 3 de filas equivalentes, para obtener 1 en la posición a22 , multi-plicamos por 1/3 (equivale a dividir por 3). Luego en-cima (o debajo) de cada 1 debe ir un cero, en la posi-ción a12 , para ello multiplicamos f2 por -2y se suma a f1

f1 1/3 f2

f1 -2f2 + f1

Observa que las operaciones de multiplicación y suma se realizan en ambos lados de la barra vertical.

Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan proporciona una forma sistemática de transfor-mar un sistema de ecuaciones dado en otro equivalente. Tomando la matriz ampliada del sistema y, mediante operaciones elementales en sus filas, la transformamos en la forma reducida. De esta manera, obtenemos un sistema equivalente al inicial más fácil de resolver.

Cuando los sistemas tienen más de dos ecuaciones y tres o más incógnitas se utilizará el método de Gauss-Jordan. Ahora, resuelve por eliminación de Gauss-Jordan:

2x -2y + z= 3

3x + y- z= 7

x-3y + 2z= 0

La representación matricial del sistema de ecuaciones viene dado por:

A partir de la matriz ampliada y aplicando el método de Gauss, obtenemos:

Se necesita un 1 aquí

f1 f3

Paso 1. Escoge la fila que no sea nula y trata de obtener un 1 en la parte supe-rior. Puedes dividir la fila por 2 o reem-plazar por la fila 3. En este caso hemos optado por esto último.

Se necesitan dos 0 aquí

f2 -3f1+f2

f3 -2f1+f3

Paso 2. Con múltiplos de la primera fila obtén ceros debajo del 1 que obtuviste en el paso 1. Por ejemplo, multiplicas por -3 la fila 1, el resultado lo sumas a la fila 2 y consigues el primer cero.

1 0 4 0 1 -1/3

2 -2 1 3 1 -1 1 -3 2

xyz

370

· =

2 -2 1 3 3 1 -1 71 -3 2 0

1 -3 2 0 3 1 -1 72 -2 1 3


175


f2 1/10 f2

Paso 3. Para obtener un 1, basta dividir por 10. Repite los pasos 1 y 2 con la sub-matriz (la que queda después de borrar la fila superior y la primera columna). Repite el proceso anterior (pasos 1 y 3) hasta conseguir la matriz reducida.


f2 4 f2 + f3


f3 (-5) f3

Se necesitan dos 0 aquí

f2 -2f3+f1

f2 7/10 f3+f2

Debes usar los múltiplos adecuados para obtener cero arriba del 1 de la ter-cera fila.

Para hacer cero el elemento -7/10 se multiplica 1 por 7/10 y se le suma ese producto.


f1 3 f2 + f1

Finalmente la matriz ya tiene la forma reducida y se puede escribir la solu-ción del sistema. Por simple inspección es la terna (2, 0,-1).

Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss-Jordan:

w + x - 3y -4z= -1

2w + 2x -y -2z= 3

w + x + 2y + 2z= 7

f2 -2f1+f2 f3 f2- f3

f3 -f1+f3

1 -3 2 0 0 10 -7 70 4 -3 3

1 -3 2 0 0 1 -7/10 7/10 1 4 -3 3

1 -3 2 0 0 1 -7/10 7/10 0 0 1 -1

1 -3 2 0 0 1 -7/10 7/10 0 0 -1/5 1/5

1 -3 0 2 0 1 0 00 0 1 -1

1 1 -3 -4 -1 2 2 -1 -2 31 1 2 2 7

1 1 -3 -4 -1 0 0 5 6 50 0 5 6 8

1 1 -3 -4 -1 0 0 5 6 50 0 0 0 -3


176

Para saber más…

Revisa el multimedia, allí encontrarás una serie de ejercicios para refor-zar y profundizar en las diferentes soluciones de un sistema de ecuacio-nes lineales.

1. Realiza una investigación sobre las distintas soluciones que se obtie-nen al aplicar el método de Gauss-Jordan. Puedes orientarte a través de las siguientes preguntas: ¿Cómo es la solución del sistema si una fila es múltiplo de la otra?, ¿cómo es la solución si luego de haber reducido el sistema tienes una fila de elementos nulos?, ¿cómo es la solucióndel sistema si el número de ecuaciones es menor que el número de incógni-tas?, entre otras.

2. Usa el método de Gauss-Jordan para resolver los sistemas de ecuacio-nes lineales e identifica si el sistema tiene una solución, si es infinita o no tiene.

a)

x1+2x3= 6

-3x1+4x2+6x3= 30

-x1-2x2+3x3= 8

b)

3x1+2x2-3x3+5x4= -2

-2x1+3x2+5x3+2x4= 0

x1+x2+x3+x4 = 1

-x2+x3-x4= -2

c)

2x-y= 0

3x+2y= 7

x-y= -2

d)

2x-y-3z= 8

x-2y = 7

e)

3x-4y-z= 1

2x-3y+z= 1

x-2y+3z= 2

f )

2x+3y-z= 1

x-2y+2z= -2

3. Resuelve el siguiente problema empleando el método de Gauss-Jordan.

Las edades de tres hermanos son tales que el quíntuplo de la edad del primero, más el cuádruplo de la edad del segundo, más el triple de la edad del tercero, es igual a 60. El cuádruplo de la edad del primero, más el triple de la edad del segundo, más el quíntuplo de la del tercero, es igual a 50. Y el triple de la edad del primero, más el quíntuple de la del segundo, más el cuádruplo de la del tercero, es igual a 46. Plantea y re-suelve el sistema de ecuaciones que permita determinar las edades de los hermanos.

Aplica tus saberes


177

1. Discutan con el facilitador en el CCA el informe de la investigación reali-zada. Luego formen grupos pequeños para resolver los problemas plan-teados en la sección anterior.

2. Autoevalúate. La finalidad de esta autoevaluación es hacer evidente la valoración del trabajo que has conseguido en relación a los sistemas de ecuaciones lineales, reconociendo cuáles han sido tus logros y dificulta-des para asumir las acciones necesarias para mejorar.

¿Qué sabías del tema? ¿Cómo lo has ido aprendiendo? ¿Qué sabes ahora?

3. Propuesta de mejora:

Saber no es suficiente; tenemos que aplicarlo. Tener voluntad no es suficiente: tenemos que implementarla. Goethe


Multiplicación y división de polinomiosSemana 4

178

Semana 4Multiplicación y división de polinomios

En esta sesión daremos conti-nuidad al estudio de las opera-ciones de polinomios, la multi-plicación y división. Para avanzar satisfactoriamente en este tópi-co debes recordar la propiedad distributiva y la propiedad de las potencias, temas vistos en semestres anteriores. Al finalizar esta semana estarás en la capa-cidad de efectuar operaciones de multiplicación y división de polinomios.

1. ¿Cuáles son los elementos de una división? ¿Cuándo una división es exacta?, ¿cuándo es inexacta?

2. Aplica las propiedades de potencia que corresponda en cada caso:

a) 5 · 52 · 53= b) y8 · y4 · y3= c) = d) =

Resuelve el siguiente problema: una caja con fondo cuadrado está hecha de una pieza cuadrada de cartón de 12 cm de lado. Se cortan cuadrados de lado x en las esquinas y los lados se doblan hacia arriba. Encuentra el volumen de la caja; esto lo puedes hacer empleando tus conocimientos de álgebra y geometría.

Luego de finalizada la lectura de esta semana retoma esta situación y expre-sa el volumen de la caja en términos de un polinomio (desarrolla la multipli-cación de los polinomios).

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

z6

z9

x7 x3

x-9


179

Vamos al grano

Veamos un ejemplo donde observes los distintos casos que se presentan en la multiplicación de polinomios.

Consideremos el producto de los polinomios R(x)=7x3+4x2-9 y S(x)=3x4+5x3-2x-3 (nótese que los polinomios están ordenados). En el cuadro de abajo, to-maremos al polinomio R(x) como operador, esto es, el que multiplicará a S(x) (polinomio multiplicado). Colocamos en cada fila del operador los términos de R(x) y a su lado colocamos a S(x). De esta manera garantizamos que se multipliquen todos los términos, como se indica en la primera fila mediante colores y líneas para ilustrar el procedimiento. En la columna del producto vemos la operación que se realiza término a término, estos resultados se colo-can en la cuarta columna como un polinomio ordenado. Finalmente se realiza la suma de los resultados de cada fila para obtener el producto R(x) · S(x).

Opera-dor

Polinomio multiplicado Producto Suma de términos

7x3 3x4+5x3-2x-3

7x3(3x4)+7x3(5x3)+7x3(-2x)+7x3(-3)

21x7 +35x6 -14x4 -21x3

+4x2 3x4+5x3-2x-3

4x2(3x4)+4x2(5x3)+4x2(-2x)+4x2(-3)

12x6 +20x5 -8x3 -12x2

-9 3x4+5x3-2x-3

-9(3x4)-9(5x3)-9(-2x)-9(-3)

-27x4 -45x3 +18x +27

21x7+47x6+20x5-41x4-74x3-12x2+18x+27

Si analizamos mejor el cuadro “intuimos” que se pueden presentar varios casos:

1. Si tanto el operador como el polinomio multiplicado son monomios: multiplicamos los coeficientes con sus signos y las variables. Sería el caso de los números en rojo en el cuadro. Si P(x)= 7x3 y Q(x)= 3x4, P(x) · Q(x)= 7x3(3x4)= 21x7

2. Si el operador es un monomio y el polinomio multiplicado es un polino-mio: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polino-mio (propiedad distributiva). Es el caso de cada una de las filas del cua-dro anterior, consideradas separadamente. Si N(x)= 4x2 y S(x)= 3x4+5x3-2x-3, N(x)·S(x)= 4x2(3x4)+4x2(5x3)+4x2(-2x)+4x2(-3)= 12x6+20x5-8x3-12x2


180

3. Si tanto el operador como el polinomio multiplicado son polinomios, se sigue todo el procedimiento presentado en el cuadro.

En general, en la multiplicación de polino-mios, los coeficientes se multiplican entre ellos; considerando los signos y las varia-bles siguen la regla del producto de poten-cias de igual base.

Responde: el producto de dos binomios es 2x2+5x+2. Si uno de los binomios es (x+2), ¿cuál es el otro binomio?

Para hallar el otro binomio tienes (esto es una de las maneras) que hacer uso de la división de polinomios. En el siguiente apartado verás cómo hacerlo.

División de polinomios

En la división de polinomios también se mantiene la relación entre los ele-mentos de la división usual: Dividendo= divisor x cociente + residuo. El pro-pósito de esta operación es, dado un polinomio dividendo y un polinomio divisor, conocer el cociente y residuo que verifica la igualdad anterior. El pro-cedimiento es similar al aplicado para dividir números, teniendo en cuenta, además, el trabajo con los signos y las potencias.

Vamos a estudiar el caso en el que el Dividendo y divisor son monomios, para posteriormente extender el estudio al caso de los polinomios.

Veamos algunos ejemplos. Dados Q(x)=66x5 y R(x)=-4x3, hallar Q(x)÷ R(x).

Se dividen los coeficientes con sus respectivos signos. = -

Se divide la variable teniendo en cuenta la división de potencia de igual base.

El resultado de dividir los monomios = - = x2

Sigamos ejercitando, para que desarrolles habilidades en las operaciones de polinomios. Halla el cociente de los siguientes monomios:

66-4

Q(x)R(x)

x5

x3

332

332

= x2


181

a) b) c) d)

a)

= 6x7-4

= 6x3

b)

= z10-6

= - z4

c)

= 0·4y9-8

= 0·4y

d)

= ?

El resultado del problema d), ¿es un polinomio?

Veamos mediante un ejemplo cómo se realiza la división de polinomios.

Dados P(x)=5x+4x3+2x2+6y Q(x)=x2-x+3, hallar P(x)÷Q(x)

Se ordenan los polinomios en forma decreciente y si el polinomio está in-completo puedes completarlo con 0x o dejar un espacio en el término que falte.

1. Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término de mayor grado del divisor, obteniendo así el primer término del cociente.

4x3+2x2+5x+6 x2-x+3 = 4x

4x

2. Multiplicamos ese término por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo. Bajamos después el siguiente término del dividendo.

4x3+2x2+5x+6 x2-x+3

-4x3+4x2-12x 4x

+6x2-7x+6

3. Volvemos a dividir el primer término (6x2) del resto parcial entre el pri-mer término del divisor, obteniendo así el segundo término del cocien-te. Repetimos el proceso del paso 2.

4x3+2x2+5x+6 x2-x+3

-4x3+4x2-12x 4x +6

0x3+6x2-7x+6

6x2+6x-18

-x-12

18x7

6x4

18x7

6x4

-6z10

20z6

-6z10

20z6

-310

-310

8·0y9

2y8

0·8y9

2y8

4x3

x2

5w7

2w9

5w7

2w9

4x · (x2-x+3) = 4x3 - 4x2 +12x

Su opuesto es -4x3+ 4x2 -12x


182


Como el grado del resto (-x-12) es menor que el grado del divisor, no se pue-de continuar dividiendo y 4x+6 es el cociente. Como puedes ver, esta división es inexacta porque su resto es distinto de cero.

Comprueba si el resultado es correcto empleando la igualdad: Dividendo= divisor x cociente + residuo. Al comprobar su veracidad por medio de esta relación estas ejercitando la multiplicación y suma de polinomios. ¡Hazlo!

Para saber más…

Consulta las siguientes direcciones web para profundizar en la división de polinomios:

http://li.co.ve/r3w http://goo.gl/iZ4Dc

En el problema inicial observa que si le quitas 2 veces la longitud de x a cada lado, queda 12-2x, el área de la base es (12-2x)· (12-2x), la altura de la caja vie-ne expresada por la longitud de x. El volumen de la caja será el producto del área de la base por su altura: V= (12-2x).(12-2x) · x= 4x3-48x2+144x. Verifica tu resultado.

Se puede obtener otras interrogantes: ¿para qué valor entero positivo de x el volumen de la caja es mayor?, ¿qué ocurre con el volumen de la caja si el valor de x es 6?

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones de polinomios.

a) P(x)= 9x4-8x+3/5x6 y Q(x)= 5x3-8x5+6x2+2x

b) R(z)= 6z4-2z7+8z y S(z)= 3z2+z-6

2. Divide los siguientes polinomios y clasifica la división obtenida en exac-ta o inexacta.

a) (6z2-z3+2z5-3z)÷(z4-z) b) (8x2-9x5+x4-3)÷(x2-3)

c) (x2+2x+6x4-4) ÷(x-2) d) (x4-y4)÷(x+y)

Nunca se ha logrado nada sin entusiasmo. Emerson

Aplica tus saberes


183

Semana 5 Productos notables. Parte I

Bienvenidos a otro encuentro con el saber matemático. En esta oportunidad estudiaremos los productos notables; la ventaja de estos es que nos permiten resolver de manera más sencilla e inmediata los productos que aparecen con cierta regularidad en algunos problemas. En esta sesión podrás visualizarlos aten-

diendo a la diversidad de formas de representarlos: algebraico, geométrico, numérico y verbal.

Para obtener mayores beneficios en el aprendizaje de esta semana necesitas tener conocimiento del cálculo de la superficie de los cuadriláteros y de ope-raciones algebraicas (traducir expresiones en lenguaje común al algebraico, reducción de términos semejantes…). Anímate a revisar estos temas en las guías de semestres anteriores.

1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) La suma de seis al cuadrado y de doce al cuadrado.

b) El cuadrado de la suma de seis y doce.

c) La diferencia de los cuadrados de treinta y diez.

d) El cuadrado de la diferencia entre sesenta y cuarenta y cinco.

Un árbol de 32m de altura es quebrado por un rayo en un día lluvio-so. Determina la altura de quiebre del árbol con respecto al suelo, si el tro-zo roto queda apoyado en el suelo formando un triángulo de 16m de base. Sugerencias: dado que el árbol forma un ángulo recto con respecto al suelo, el triángulo que se forma es…, así que aplica el teorema de Pitágoras.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

Productos notables. Parte ISemana 5

184

Figura 5

¿Cómo podemos expresar los valores o incógnitas correspondientes al cate-to e hipotenusa? Realicemos la siguiente analogía: comparemos un árbol con una línea recta para hacer el análisis.

a. b. c. d.

Recuerda que el teorema de Pitágoras expresa lo siguiente: (Hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2. Al sustituir nos queda: (32-x)2=x2+162. Ten presente que x representa la altura a la cual se rompió el árbol con respecto al suelo. La expresión del miembro izquierdo (32-x)2 es un producto notable, conocido como cuadrado de una diferencia. En lo que resta de esta sección, verás cómo se resuelven.

Cuadrado de una suma o producto de la forma (x+a)2

Figura 6

Vamos al grano

16 m

??

16 m

x32-x

32m

E Extremo

OrigenO

P 32m

32x

x

E

O

P

Longitud de árbol

Punto P de quiebre del árbol

Distribución de segmentos

en el árbol

Las relaciones entre los seg-

mentos

ab

(a+b

)

b

ab

b

a2a

a

b2

Semana 5Productos notables. Parte I

185

La longitud del lado del cuadrado que se muestra en la figura 6 es a+b. Con tus conocimientos de geometría sabes que el área del cuadrado se obtiene multiplicando la longitud de dos de sus lados, esto es (a+b)·(a+b). Al elevar la longitud de su lado al cuadrado se tiene: A= (a+b)·(a+b) (a+b)2= (a+b)·(a+b). Como observarás esto es el producto de binomios, ¡resuélvelo aplicando la multiplicación!

Por otro lado, si sumas las áreas del interior del cuadrado grande, obtienes: A= a2+a·b+a·b+b2=a2+2a· b+b2

Por tanto tenemos, que:

El cuadrado de la suma de un binomio (o dos monomios) es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segun-do más el segundo al cuadrado.

(a+b)2=a2+2a·b+b2

Primer término Segundo término

Observa los siguientes ejemplos:

1. Halla el cuadrado de la suma (3x+5)2

• Elcuadradodel1ertérminoes(3x)2=(3x)(3x)=9x2

• Eldobleproductodeambostérminoses2(3x)(5)=(6x)(5)=30x

• Elcuadradodel2dotérminoes52=5·5=25

Entonces (3x+5)2=9x2+30x+25

Recuerda que multiplicar un número por sí mismo es igual que elevarlo al cuadra-do, esto es a·a=a2. Con esta idea en mente, puedes inferir que (3x+5)· (3x+5)= (3x+5)2; es decir, cualquiera de los dos miembros de la igualdad representa el cuadrado de un suma.

2. Encuentra tres enteros consecutivos tales que las sumas de sus cuadra-dos sea 65 más que tres veces el cuadrado del más pequeño.

Una de las maneras de realizar el ejercicio es haciendo uso de las ecua-ciones. Traduzcamos esa información al lenguaje algebraico. Llamemos


186

z al menor de los números, así los otros números consecutivos serán, z+1 y z+2, elevamos al cuadrado cada uno de ellos: z2+(z+1)2+(z+2)2, luego con la información restante escribimos la ecuación:

z2+(z+1)2+(z+2)2= 65+3z2

Desarrollamos los productos notables obtenidos en el miembro izquier-do de la ecuación: (z+1)2= z2+2· z2·1+12= z2+2z+1 y (z+2)2= z2+2·z2·2+22= z2+4z+4

z2+z2+2z+1+z2+4z+4= 65+3z2

Agrupando términos semejantes: 3z2+6z+5= 65+3z2

Aplicando la propiedad de cancelación: z= 10

Así que los otros números consecutivos son 11 y 12. ¡Comprueba que estos son los correctos!

Cuadrado de una diferencia o producto de la forma (x-a)2

Aplicando tus conocimientos de multiplicación de polinomios, encontrarás el resultado del cuadrado de una diferencia (a-b)2= (a-b)· (a-b) ¿Te sorprende? Los resultados son similares al caso del cuadrado de una suma, sólo difieren en el signo del segundo término: (a-b)2= a2-2a·b+b2

Escribe el enunciado para esa igualdad.

Geométricamente, el cuadrado de una diferencia representa la región colo-reada (ver figura 7).

Figura 7

Haz uso de la suma de las áreas interiores del cuadrado, para hallar el cua-drado de una diferencia (a-b). ¡Inténtalo!

a

b

b

(a-b)2a-b

a-b


187

Veamos unos ejemplos:

1. (0.3x4-6)2

a) El cuadrado del 1er término es (0·3x4)2= (0·3x4)(0·3x4)= 0.09x8

b) El doble producto de ambos términos es -2(0·3x4)(6)= (0·6x4)(6)= 3·6x4

c) El cuadrado del 2do término es 62= 6·6= 36

d) Entonces (0.3x4-6)2 = 0·09x8-3·6x4+36

Ahora puedes desarrollar el producto notable propuesto en el problema inicial.

2. (32-x)2= (32)2-2·32· x+x2= 1024-64x+x2 Justifica el resultado.

Luego resuelve la ecuación y compara el resultado. La altura a la cual se rompió el árbol es de 12m.

Cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio cua-drado perfecto (observa que tiene tres términos).

Producto de una suma por su diferencia o de la forma (a+b)(a-b)

Consideremos los siguientes productos de dos binomios que sólo difieren en el signo, es decir, uno es una suma y el otro una diferencia.

*(x+6)·(x-6)= x2-6x+6x 36=x2-36

*(7+3x)·(7-3x)=72 -7·3x+7·3x+(3x)2 = 49 -·21x+21x 9x2= 49-·9x2

*(8 x2-10y)·(8x2+10y)=(8x2)2+8x2·10y-10y.8x2-(10y)2=64x4+80x2 y -80x2 y+100y2

¿Qué tienen en común los resultados de estos productos de binomios? Estos ejemplos sugieren la regla siguiente para multiplicar la suma y la diferencia.

El producto de la forma (a+b)(a-b), es igual al cuadrado del primer término (a2) menos el cuadrado del segundo término (b2).

En general, el producto de una suma por su diferencia se expresa así:

(a-b)(a+b)=a2-b2


188

Para saber más…

Estudiemos los dos primeros casos de la sección “¿Qué sabes de?”, ¿ves la diferencia entre las expresiones a) y b)?

a) La suma de seis al cuadrado y de doce al cuadrado: 62+122

b) El cuadrado de la suma de seis y doce: (6+12)2

Un error muy común que se comete al resolver productos notables, es asumir que (6+12)2= 62+122

Cuadrado de Suma de cuadrados una suma 324 ≠ 180

Como ves esta igualdad no es cierta, si resuelves el miembro derecho sólo tienes que elevar al cuadrado ambos números y sumar, mientras que en el miembro izquierdo al desarrollar el cuadrado de una suma obtenemos tres términos.

Incorrecto Correcto

(3+11)2= 32+112 (3+11)2= 32+2·3·11+112

Al comparar geométricamente las expresiones: (a+b)2 y a2+b2 de la fi-gura 7, verás que la primera representa el área total del cuadrado y la segunda sólo una parte del cuadrado más grande; por tanto, el área de esas expresiones no es equivalente.

1. Copia y completa la tabla 2.

Tabla 2

a b a2 b2 2ab (a+b)2 a2+b2

3 2 9 4 12 25 135 7

10 3-3 2

Observa los resultados de la tabla 2 y responde:

a) ¿(a+b)2 es igual a a2+b2?

Aplica tus saberes


189

b) ¿Qué número hay que sumarle a a2+b2 para que sea igual a (a+b)2?

2. Encuentra dos números positivos consecutivos tales que el producto de la suma y su diferencia más 8 sea igual a la suma de los cuadrados.

3. Calcula utilizando los productos notables:

a) (4x+1)2 b) (3z3-2)2 c) (2x-y3) 2 d) (x+5) 2

e) (x-6)·(x+6) f ) (2z - 1/5)2 g) (8a2b-y) 2 h) (2w+5)·(2w-5)

i) (6-m)·(6+m) j) (a+1)·(a-1) k) (4ab2+6xy)2

En el CCA formaran pequeños grupos para comparar los resultados de los ejercicios propuestos en la sección anterior. Luego de la discusión y los con-sensos generados en el grupo entreguen el trabajo al facilitador.

No permitáis que nadie venga a vosotros y se vaya sin ser mejor y más feliz. LeiAn-Jai


Productos notables. Parte IISemana 6

190

Semana 6Productos notables. Parte II

Esta semana continuamos descubriendo otros productos notables, en este caso los refe-ridos al cubo. Al finalizar esta-rás en la capacidad de:

• Identificar losproductosnotables y su desarrollo.

• Transformar una expre-sión algebraica a otra equivalente.

• Resolver ejercicios aplicando los diferentes casos de productos nota-bles.

• Valorarlosproductosnotablescomoherramientasquepermitenagili-zar los cálculos.

• Expresarmatemáticamenteloqueseindicaenciertasexpresionesver-bales.

1. ¿Qué significa hallar el cubo de un número?

2. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) La suma de cinco al cubo y de catorce al cubo.

b) El cubo de la suma de cinco y catorce.

c) La diferencia de los cubos de setenta y treinta y ocho.

d) El cubo de la diferencia entre ciento dieciséis y ochenta y siete.

e) El cubo del doble de cuatrocientos.

Comprender la relación geométrica y algebraica de los productos notables, así como la utilidad de estos en el cálculo mental.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...


191

Cubo de una suma (a+b)3

Para hallar el desarrollo del cubo de una suma, vamos a tomar como refe-rencia el cubo que se muestra en la figura 8. El lado del cubo es a+b, su volu-men se obtiene multiplicando la medida de ese lado por sí mismo tres veces: V=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)3.

Figura 8. Descomposición de un cubo

A la derecha del cubo se muestra la descomposición de éste, es decir, la suma de dichas partes es igual al volumen del cubo, (a+b)3. Se tiene que: (a+b)3= a3+b3+a2b+a2b+a2b+b2a+b2a+b2a =(a+b)3 =a3+b3+3a2b+3b2a

El cubo de una suma de dos términos es igual al cubo del primer tér-mino (a2) más el triple del cuadrado del primer número por el segundo (3 · a2 · b), más el triple del primero por el cuadrado del segundo térmi-no (3 · a · b2), más el segundo al cubo (b3).

El cubo de una suma (a+b)3, también puede hallarse multiplicando (a+b)2. (a+b)

Ejemplos:

1. Hallar (5x+2y4)3

a) El cubo del 1er término es: (5x)3=5x · 5x · 5x=125x3

b) El triple del cuadrado del primero por el segundo término es:

3·(5x)2·2y4=3·25x2·2y4=150x2y4

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo es:

Vamos al grano

a

b

a2b

a2b

a2ba3

b3

b2a

b2a

b2a


192

3·5x·(2y4)2=15x· 4y8 = 60xy8

d) El cubo del segundo término es: (2y4)3=2y4 ·2y4 ·2y4=8y12

Entonces: (5x+2y4)3=125x3+150x2y4+60xy8+8y12

2. (3x2+m)3=(3x2)3+3·(3x2)2·m+3·3x2·(m)2+(m)3

=27x6+3·9x4·m+9x2·m2+m3

=27x6+27x4m+9x2m2+m3

Cubo de una diferencia (a-b)3

Para hallar (a-b)3, podemos emplear nuestros conocimientos de potencia, para descomponerlo:

(a-b)3=(a-b)2(a-b) (se desarrolla el producto notable cuadrado de la diferencia).

=(a2-2ab+b2) (a-b) (se efectúa el producto de polinomios).

=a3-a2b-2a2b+2ab2+b2a-b3 (se reducen los términos semejantes).

=a3-3a2b+3ab2-b3

Escribe un enunciado que se ajuste a la igualdad anterior. Guíate por el cubo de una suma y ten en cuenta los signos.

Ejemplos:

1. (3a2-7xz4)3

a) El cubo del 1er término es: (3a2)3= 3a2 · 3a2 · 3a2= 27a6

b) El triple del cuadrado del primero por el segundo término:

3·(3a2)2·7xz4=3·9a4 ·7xz4=189a4xz4

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo es:

3·3a2·(7xz4)2= 9a2 · 49x2 · z8= 441a2x2 · z8

d) El cubo del segundo término es: (7xz4)3= 7xz4·7xz4·7xz4= 343x3z12

(3a2-7xz4)3= 27a3-189a4xz4+441a2x2· z8-343x3z12

2. (1-4y)3

(1-4y)3=13-3·12· 4y+3·1· (4y)2-(4y)3=1-12y+3·16y2-64y3=1-12y+48y2-64y3


193

Cálculo mental y productos notables

Veamos cómo podemos hacer uso de los productos notables para hallar el cuadrado de un número de manera sencilla y rápida y sin usar la calculadora. Para ello necesitas recordar los cuadrados de los primeros números y de otros elementales.

Números 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 30 40 50Cuadrados 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 400 900 1600 2500

Por ejemplo, si te piden hallar el cuadrado de 63, puedes descomponerlo como la suma de dos números, cuya suma sea el número inicial, es decir, 63= 60+3. Lo importante es saber elegir convenientemente la base que se eleva al cuadrado. Así, tenemos que (60+3)2= 602+2·60·3+32= 3600+360+9= 3969, es decir, 632= 3969. ¡Compruébalo con la calculadora!

Halla el cuadrado de 38. Puedes escribirlo como 38= 30+8 o 38= 40-2. En la primera expresión tendrías el cuadrado de la suma y en la segunda el cuadra-do de una diferencia: 382= (40-2)2=402-2·40·2+22= 1600-160+4=1444. Hállalo usando la suma de cuadrados.

Sigamos encontrando resultados maravillosos. Con cualquier número de dos dígitos que termine en 5, podemos obtener un patrón que nos permita hallar con facilidad el cuadrado de estos números. Estos pueden expresar-se como: 10x+5, si x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tendremos respectivamente: 10·0+5=5, 10 ·1+5 =10+5=15, 10·2+5=25,…, 75, 85 y 95.

El cuadrado del número, vendrá dado por:

(10x+5)2=(10x)2+10x·10+25=100x2+100x+25 Cuadrado de una suma.

=100x(x+1)+25

La expresión x(x+1) es el resultado de multiplicar las cifras de las decenas por su número consecutivo. Multiplicar el número por 100 y sumarle 25.

Veámoslo con un ejemplo concreto: (75)2=5625

Se efectúa la operación multiplicando la cifra de las decenas por otra mayor en una unidad (la cifra de la decena es: 7,7x8=56) y escribiendo 25 a continua-ción del resultado, esto da 5625.

Calculemos el cuadrado de 45, su decena es 4, se multiplica este por el nú-mero consecutivo 4x5=20 y a continuación de este colocamos 25, esto es: (45)2=2025 ¡listo!

Halla el resto de los números cuadrados de dos cifras que terminen en 5.


194

Aplica tus saberes

Con un poco de ejercitación podrás reali-zar los cálculos en cuestión de segundos ¡Sorprende a tus compañeros y familiares!

Con el cálculo mental no se debería buscar únicamente la rapidez o inme-diatez como si fuera un recetario, sino el análisis de las situaciones numéri-cas y la comprensión de conceptos relacionados con las operaciones y sus propiedades.

Para saber más…

Para reforzar el tema mediante la explicación clara de algunos videos, te sugerimos visitar la siguiente dirección web: http://li.co.ve/r3v

Resuelve los siguientes ejercicios:

a) (x-6)3 b) (9+y2)3 c) (4z-5)3

d) (5x+z3)3 e) (6-7y)3 f ) (5x2+w)3

¡Autoevalúate! Nunca Frecuentemente Siempre

Realicé los ejercicios propuestos en las últimas dos semanasConsulté los enlaces sugeridosConsulté las dudas con el facilitador

El buen humor gana batallas que la fuerza y la razón perderían. Juan C. Abella



195

Semana 7 Factorización. Parte I

El tema que estudiarás en esta sesión está muy relacionado con el de productos notables, la relación entre estos y la factori-zación, dado que son operacio-nes inversas. Así como la resta es la operación contraria de la adición, la factorización es una herramienta que permite sim-plificar expresiones algebraicas

complejas. La comprensión de la factorización, conjuntamente con su prácti-ca constante, te permitirá:

• Identificarexpresionesalgebraicasquepuedanfactorizarse.

• Reconocerlosdiferentescasosdefactorización.

• Aplicarcorrectamentelosmétodosdefactorizaciónenlasexpresionesalgebraicas.

1. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 3y-5

2. ¿Qué significan las soluciones de una ecuación de segundo grado?

3. Desarrolla el siguiente producto notable: (12x-5)(12x-5)

Con el estudio de esta semana podrás resolver problemas como el siguiente: un acuario en forma de prisma rectangular tiene un volumen de 2x3-20x2+50x ¿Cuál es la longitud del prisma en función de x de la longitud de la caja?

¿Qué sabes de...?

El reto es...

¡Empecemos!

Factorización. Parte ISemana 7

196

Los números pueden ser expresados como producto de dos o más números, así 60 se puede escribir de diversas maneras como:

60=12·5 60=10·6 60=(-10)·(-6) 60=10 ·2·3 60=5·22·3

El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.

Factorizar una expresión (un número, polinomio…) significa descomponer-la como producto de dos o más expresiones (factores). Cuando se factoriza una expresión, se obtiene una expresión equivalente a la original.

Los polinomios, al igual que los números, pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos (polinomios de menor grado).

Casos de factorización

Para realizar la factorización se pueden utilizar varias técnicas: sacar factor común, productos notables o aplicar la regla de Ruffini (esta última no será abordada en este semestre). A continuación esbozaremos algunos métodos; cabe agregar que estos son los más elementales y que no todas las expresio-nes pueden factorizarse con los citados en esta guía.

Caso 1. Factor común

Recordarás que en la multiplicación de un monomio con un polinomio uti-lizamos la propiedad distributiva para multiplicar cada término del monomio por el polinomio. Al factorizar hacemos lo contrario, “sacamos” el factor co-mún: número, letra o ambos (monomios) que aparecen en cada uno de los términos del polinomio.

Detalla los siguientes ejemplos:

a) 5x2y+5xy3 b) -2a2b+4a2b+6b2ax c) 3z4-6z3+18z2-9z d) 6x+18

Observa que en el ejercicio a) en todos los monomios aparece el 5, la x y la y, así 5xy es un factor común; en el b) el factor común es 2ab, ¿por qué? En el caso c) determina cuál es el factor común; en d) a simple vista pareciera que no tiene términos comunes, pero el 18 se puede descomponer como 6·3=18, reescribimos la expresión 6x+18=6x+3·6 y observamos que el 6 es común a los dos términos.

En general, ¿cómo factorizamos este tipo de expresiones?

Vamos al grano

Semana 7Factorización. Parte I

197

Se debe transformar la expresión polinómica dada en un producto, donde uno de los factores es común entre todos los términos y el otro se obtiene al dividir cada término del polinomio “original” entre el factor común.

Fíjate en la factorización del siguiente polinomio: 7m3z-21m2nz-56m2z

Relacionemos este caso con algunas de las formas de la función cuadrática, por ejemplo y=6x2+24x. Si tienes que hallar el punto de corte con el eje de las x, ¿qué tienes que hacer? Debes sustituir y=0 en la función, obteniendo así la ecuación de segundo grado: 0=6x2+24x. Cuando estudiamos la función cua-drática resolvimos esta ecuación mediante la fórmula general:

Esta fórmula fue abordada en semestres anteriores. Veamos que es posi-ble resolverla aplicando factor común: 0=6x(x+4). Cuando el producto de los factores es cero, al menos una de las cantidades es cero, así 6x=0 o x+4=0; al despejar la x de ambas ecuaciones, resulta que x=0 o x=-4. Es importante observar que en 6x2+24x=6x(x+4) el miembro derecho es la factorización y está expresado como el producto de dos factores de menor grado, 1, que el polinomio original, cuyo grado es 2.

Observa que m2z está en cada término, ade-más los coeficientes son múltiplos de 7. Así el factor común es 7m2z. Otra manera es cal-cular el máximo común divisor de los coefi-cientes y multiplicarlo por la menor potencia de mz (en este caso es m2z).

El M.C.D. de (7, 21, 56)=7, luego el factor común es 7m2z

Se divide cada término del polinomio entre el factor común.

(7m3 z)/(7m2 z)−(21m2 nz)/(7m2 z)−(56m2 z)/(7m2 z)=

m−3n−8

El polinomio es igual al producto del factor común por el polinomio obtenido en el paso anterior.

7m3z-21m2nz-56m2z =

7m2z · (m-3n-8)

-b± b2-4ac 2ax =


198

Caso 2. Factorización por grupos

Observa la siguiente expresión3xy+15x-4y-20

¿Hay factor común? Puede darse el caso que aunque no aparece factor co-mún en todos sus términos, es posible factorizarlo en grupos iguales de tér-minos y luego se aplica el caso 1.

El polinomio de 4 términos puede factorizarse en dos grupos, se eligen de tal manera que los polinomios que quedan al factorizarlos (factor común) sean iguales, como se muestra a continuación:

Otro ejemplo más: a(m+4n)+bm+4bn

Agrupamos los términos:

=a(m+4n)+b(m+4n) Factor común a y b

=(a+b)(m+4n) Factorizamos (m+4n)

Caso 3. Diferencia de cuadrados

Dado el siguiente polinomio: 9z2-16 ¿es posible escribirlo como el producto de dos factores? Revisa la semana 5, donde abordamos productos notables en este semestre. El caso del producto notable de la suma por su diferencia es igual a la diferencia de cuadrados, es decir:

(x-a) (x+a) = x2 -a2(1)

Suma por su diferencia Diferencia de cuadrados

La expresión 9z2-16 es una diferencia de cuadrados. Al reescribirla (3z)2-42, se corresponde con el miembro derecho de la igualdad notable (1), así que su factorización de (3z) 2-42 viene dada por el miembro izquierdo: (3z-4)(3z+4).

En general, para factorizar diferencia de cuadrados se halla la raíz cuadrada de cada término, y se escriben estos dos valores como el producto de la suma por su diferencia.

121n2-169m2= (11n+13m)(11n+13m) 121n2=11n x11n 169m2=13mx13m

Se obtiene la raíz cuadrada

(3xy+15x)+(-4y-20) 3x(y+5)-4(y+5) (3x-4) (y+5)


199

Observa otro ejemplo más:

a4-64b6= ( a2)2 - (8b3)2 Re-escribiendo.

= ( a2+8b3) ( a2- 8b3) Aplicando la diferencia de cuadrados.

Caso 4. Trinomios cuadrados perfectos

De acuerdo a lo estudiado en el tema de productos notables, sabes que el cuadrado de un binomio es (a±b)2=a2±2ab+b2, donde el lado derecho de la igualdad se denomina trinomio cuadrado perfecto y se puede escribir como un cuadrado de una suma o diferencia.

¿Cómo identificar si el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto? Observa el procedimiento a través del siguiente ejemplo: 4y2+81z2+36yz.

Un número cuadrado perfecto es aquel cuya raíz cuadrada es un número entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado per-fecto, ya que 9=3

1 9

1 3

1 3

1 3

Ordenas el trinomio en forma decreciente con respecto a una variable.

4y2-36yz+81z2

El primer y el segundo término son cuadra-dos perfectos.

4y2 81z2

Raiz

2y 9z

Y si el segundo término es el doble producto de las raices cuadradas de los términos, en-tonces el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto.

2·2y·9z= 36yz


200

¿Cómo se factorizan?

La función cuadrática puede aparecer también como trinomio cuadra-do perfecto. Por ejemplo, la función y=x2+12x+36, puede factorizarse así: y=x2+12x+36=(x+6)2. Esta forma es muy útil para buscar el punto de corte con el eje x, 0=(x+6)2. No tienes necesidad de aplicar la fórmula general. Observa que el único valor que anula al miembro derecho es -6, con lo cual la parábola tiene un punto de corte con el eje x.

Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias

Las fracciones algebraicas son aquellas en que su numerador y denomina-dor son polinomios.

Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, primero se factorizan numerador y denominador, de acuerdo a los casos estudiados y luego se di-viden (o cancelan) las expresiones iguales que aparecen en el numerador y denominador. Veamos algunos ejemplos simplificando las siguientes expre-siones algebraicas:

1.

=

Factoricemos el siguiente polinomio: 49x2-140x+100

Se ordena 49x2-140x+100

La raíz cuadrada de 49x2, es 7x. La raiz de 100, es 10.

Se extrae la raíz cuadra-da del primer y el tercer término (ordenado).

A=El doble producto de ambas 2·7x·10=140x

(7x-10)2=(7x-10)(7x-10)

La expresion factorizada es: 49x2-140x+100=(7x-10)2

Verificar que el produc-to doble de las raices sea igual al segundo término.

Se forma una suma (o resta) de las raices ele-vada al cuadrado, si el segundo término del trinomio es positivo (es negativo).

(a3-36a)(2a2-20a+72)

(a3-36a)(2a2-20a+72)

a(a2-36)2(a2-10a+36)

Se “sacó” factor co-mún tanto en el nu-merador como en el denominador.

Diferencias de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto


201

= =

= =

2. = = = =

Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización em-pleados.

3. Halla las soluciones de 2z3-16z2+32z=0

La ecuación está igualada a cero. Hay que factorizar e igualar sus factores a cero y resolver en términos de z.

2z (z2-8z+16)=0 z(z− 4)2=z(z− 4)(z-4)=0 z=0, z-4=0 z=4

Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización em-pleados.

Para saber más…

En la siguiente dirección web http://goo.gl/hrrDS puedes visualizar cómo resolver las ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización.

Retoma el problema propuesto al inicio, pues tienes los conocimientos ne-cesarios para darle solución, factorizando la expresión: 2x3-20x2+50x. Observa que x aparece en los tres términos, ¿qué casos aplicarías?

1. Entrega a tu facilitador estos ejercicios factorizando las expresiones, usando el caso más conveniente.

a) 20x3y2+25x2y3 b) 10a4b5x3+35a2b7x2 c) x(3ª+1)+6a+2

d) y(5x+2)-15x-6 e) x2-2x+1 f ) y2+6xy+9x2

g) 100y6-49y4 h)16a2-9


a(a-6)(a+6)2(a2-10a+36)

x2+2xyx2+2xy-4x-8y

x(x+2y)x (x+2y)-4(x+2y)

a(a-6)(a+6) 2(a-6)(a-6)

a(a-6)(a+6)2(a-6)2

x(x+2y)(x2+2xy)-(4x+8y)

x(x+2y)(x-4) (x+2y)

xx-4

a(a+6)2(a-6)

(a-6)(a-6)

Se identifica los casos de factorización y se procede a resolver.

Se usaron propiedades de la potencia para cancelar: =(a-6)1-1=(a-6)0=1

Aplica tus saberes

Factorización. Parte IISemana 8

202

En esta semana estudiaremos otro caso de factorización. Este será abordado desde diversas representaciones: algebraica, gráfica y verbal. Para compren-derlo a cabalidad debes tener claridad en los elementos bá-sicos de área y perímetro de fi-guras geométricas y manejar el lenguaje simbólico.

¿Qué es el perímetro de un polígono? El perímetro del paralelogramo que se muestra es 8x+8y. ¿Qué longitud tienen los lados que faltan? ¿Cuál es el área del polígono?

Figura 9

El área de la superficie de la caja es de 350cm2. La caja tiene 9cm de altura y tiene una base cuadrada. Encuentra la longitud de un lado de la base.

Figura 10

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

Semana 8Factorización. Parte II

x + y x + y

9

x


203

Vamos al grano

Es recomendable que resuelvas el problema por los métodos estudiados previamente. Esta semana hallarás otra forma alternativa de resolverlo.

Caso 5. Factorización de trinomio de la forma x2+(a+b)x+ab

En rectángulo de la figura 11 se ha dividido en cuatro partes.

Figura 11

Suma las áreas internas del rectángulo grande =

El área de todo el rectángulo = base x altura =

El área de todo el rectángulo es igual a la suma de las áreas de sus partes, es decir: x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

Los trinomios de la forma: x2+sx+m es posible factorizarlos si se pueden co-nocer los números que sumados a+b den “s” y multiplicados a·b den “m”. La factorización del trinomio queda de la siguiente manera:

x2+sx+m=(x+a)(x+b) (1)

Observa que desarrollar el producto de dos binomios con un término co-mún y factorizar un trinomio de la forma x2+(a+b)x+ab son procesos inversos.

Ilustremos este caso a través de dos problemas.

Situación problema 1. El perímetro de terreno rectangular es igual a 100m, y su área es igual a 600m2. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?

Sean a y b los lados del terreno, el perímetro viene dado por 2a+2b=100; simplificándola: a+b=50 (2) y su área ab=600 (3); despejemos b de la ecuación 2 para sustituirla en la ecuación 3; nos queda:

bx ab

ax

b

a

x2x

x


204

a(50-a)=600 50a-a2=600 a2-50a+600=0

Puedes hallar la longitud de los lados resolviendo la ecuación de segundo grado a través de la fórmula general. Sin embargo, esta semana te mostrare-mos otra manera de hallarle solución mediante la factorización del trinomio a2-50a+600. Observa que este tiene la estructura del miembro izquierdo de la igualdad (1), es decir, para factorizarlo debes buscar 2 números que sumados te den el coeficiente del término lineal a, 50, y multiplicados te den el término independiente, 600.

Si a=-10 y b=-40, s=50 y a·b=(-10).(-40)=400, por tanto, -10 y -40 no cumplen con la condición de que su producto no es 600. Probemos con otros valores.

Si x=-20 y z=-30 y x.y=(-20).(-30)=600, se tiene que -20 y -30 son los núme-ros que cumplen ambas condiciones. Por tanto la factorización del trinomio es: x2-50x+600=(x-20)(x-30). Si sólo quisiéramos factorizar la expresión seria hasta allí, pero estamos resolviendo la ecuación de segundo grado (x-20)(x-30)=0. Como el producto de los números es igual a cero, eso significa que al menos una de las cantidades debe ser cero, x-20=0 o x-30=0, así que los valores que hacen verdadera la igualdad son 20 y 30, que representan las lon-gitudes de los lados.

Veamos otros ejemplos factorizando los siguientes polinomios:

a) b2-7b+12. Dos números que sumen -7 y que multiplicados den 12. Los números son (-3) y (-4), ya que (-3)+(-4)=-7 y (-3)·(-4)=12. Por lo tanto b2-7b+12=(b-3)(b-4)

b) x2+x-20. Buscamos dos números que sumados den 1, que multiplicados den 20; tales números son (-4) y (5). Por lo tanto, x2+x-20=(x+5)(x-4).

Situación problema 2. En el problema propuesto en la sección “Para saber más” el área de la cara lateral de la caja es de 9x, hay 4 caras, entonces es 36x y la base es cuadrada, su área es x2, a esta cara se le opone otra de igual área, se tiene 2x2. La suma de estas áreas es igual al área total 2x2+36x=350. Al simplifi-car la expresión, nos queda x2+18x-175=0. Nuevamente se tiene una ecuación de segundo grado. Factorizamos x2+18x-175, buscamos dos binomios de la forma (x__b)(x__a).

Suma (a+b=18) Producto a·b=-175

10+8 80

20-2 42

25+(-7) 25 ∙ (-7)=-175 Los números que necesitamos

Propiedad distributiva

Operaciones básicas

Ecuación de segundo grado; nos queda...


205

Luego el polinomio factorizado es (x2+18x-175)=(x+25)(x-7). Aún falta calcu-lar la longitud de x, (x+25) (x-7)=0, x+25=0 o x-7=0. Se tiene que x=-25 o x=7. ¿Cuál de estos dos valores representa la longitud de x?, ¿por qué?

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, utilizando el método de factorización estudiado:

a) z2-2z-24=0 b) x2+7x+11=0 c) a2-1·5a+10=0

Seguramente no habrás tenido dificultad en hallar los valores que hacen cero a la primera ecuación, pero, en los otros dos casos la situación es más compleja. En lo que resta de la sesión nos abocaremos a generalizar el méto-do de factorización para ecuaciones de segundo grado. Es decir, veremos que es posible factorizar cualquier ecuación de segundo grado, sin necesidad de emplear la fórmula general. La presente propuesta es tomada de la tesis de maestría “Diseño de una secuencia didáctica, donde se generaliza el méto-do de factorización en la solución de una ecuación cuadrática”. La propuesta es muy enriquecedora porque integra el álgebra y la geometría. Este trabajo plantea una pregunta primordial: ¿se puede utilizar la factorización como mé-todo general en la solución de ecuaciones de segundo grado?

Pon mucha atención para que puedas re-solver cualquier ecuación cuadrática a tra-vés de la comprensión de los conceptos involucrados y no tengas necesidad de memorizar solo la fórmula general.

Retomemos el ejemplo del rectángulo.

¿Cuál es el perímetro del rectángulo? Si sumamos la longitud a y la longitud b, obtendremos la mitad del perímetro del rectángulo. Si multiplicamos los valores de a y b, entonces tendremos el área del mismo, a+b=semiperímetro y a·b=área.

En nuestro ejemplo tenemos: a+b=50 y a·b=600. La diferencia entre estos números es 10. Si generalizamos, la diferencia entre dos números igual a 10, se obtiene la expresión b-a=10. Si despejamos b, se tiene que: b=10+a.

a = 20

b = 30


206

La idea es relacionar las tres operaciones, a+b=s (s= suma de dos números), ab=m (m= producto de esos mismos números) y a-b=d (d= diferencia de los mismos números), de manera que nos permita obtener los valores de la ecua-ción de segundo grado.

Grafiquemos las ecuaciones s=a+b=50, d=b−a=10 y m=a·b=600, en el mis-mo plano cartesiano.

Figura 12. Relación entre multiplicación, suma y diferencia de dos números.

Observando la gráfica se deduce lo siguiente:

a) La gráfica que representa la suma y la resta de dos números es una recta. ¿Podrías indicar cuál recta corresponde a la suma y a la resta, respecti-vamente?

b) La gráfica que representa la multiplicación de dos números es una curva.

c) Las tres gráficas comparten un punto.

d) El punto (20,30) cumple con la condición de suma igual a 50 y producto igual a 600. Este mismo punto es la intersección de las dos rectas.

¿Es posible conocer la diferencia de dos números, si se conocen la suma y el producto de los mismos números?

Si relacionamos la suma y la resta, se forma un sistema de ecuaciones li-neales a+b=s (4) y a-b=d (5). Resuelve el sistema y comprueba que se obtie-ne a=(s+d)/2 y b=(s-d)/2. Se quiere establecer una relación entre la multipli-cación, la suma y la diferencia. Sustituyendo los valores a y b en a·b=m (6). Resulta:

a·b=m =m (s+d)(s-d)=4m (s2-d2 )=4m d2=s2-4m (7)

140

120

100

80

60

40

20

00 5 10 15 20 25 30 35

s+d2

s-d2

Producto notable suma por su diferencia


207

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado de la suma menos cuatro veces su multiplicación. Se establece así una relación entre la suma, diferencia y la multiplicación.

Verifiquemos estas relaciones en nuestro ejemplo: s=a+b=50, m=a.b=600 y d=a-b=10, así que d2=100. Ahora utilicemos la expresión d2=s2−4m=2500-2400=100. Se observa que la relación hallada (7) se cumple. Puedes hacerlo con otros pares de valores y verificar que se cumple la ecuación (7).

Al igual que el análisis algebraico que se realizó con los sistemas de ecua-ciones, se intenta establecer a partir de la figura 13 las relaciones entre las tres operaciones (la suma, la multiplicación y la diferencia de dos números. El cuadrado grande está formado por 4 rectángulos iguales, y un cuadrado pequeño.

Figura 13

Los cuatro rectángulos son iguales, cada uno de ellos tienen igual área a·b. Al estar ordenados de esta manera se forman dos cuadrados. ¿Qué área tiene el grande si sabemos que el lado de este es a+b? ¡Exacto!. El otro cuadrado que se observa es el pequeño que está limitado por los cuatro rectángulos. ¿Cuál es el lado de éste? Este último tiene por lados la diferencia (a-b) (dife-rencia de dos números).

El cálculo de áreas es respectivamente: área del cuadrado grande= (a+b)2, área del cuadrado pequeño= (a-b)2, área de un rectángulo= ab, y el área de los cuatro rectángulos= 4ab.

El área del cuadrado grande se obtiene sumando el área del cuadrado pe-queño y el área de los cuatro rectángulos idénticos. Se tiene (a+b)2=(a-b)2+4ab

Si lo que deseamos es el cuadrado de la diferencia, es decir, (a-b)2, entonces se resta 4ab, en ambos miembros de la ecuación anterior y se obtiene:

(a-b)2=(a+b)2-4ab

a

a

b

b


208

De acuerdo a la notación que hemos usado, realizamos el cambio de varia-bles, teniendo así la expresión obtenida en el análisis algebraico.

d2= s2-4m

Reforcemos los elementos trabajados en la figura 13, contestando las preguntas:

a) ¿Qué representara “s2”?

b) ¿Qué representa “d2”?

c) ¿Qué representar “m”?

d) ¿Qué representaría “4m”?

e) ¿Cómo encontrarías el área del cuadrado pequeño, si conocieras el área del cuadrado grande y el área de uno de los rectángulos? Escríbelo con tus palabras:

f ) De acuerdo a tu descripción anterior completa la siguiente expresión algebraica: d2 = -

g) Si conocemos la suma y la multiplicación de dos números, ¿qué pode-mos calcular con la expresión encontrada en el apartado anterior?

Para saber más…

Consulta los videos en los enlaces recomendados, que contienen una explicación clara y sencilla sobre la factorización. ¡No dejes de verlos!

http://goo.gl/3nXMw http://goo.gl/2QDCC

1. a) Observa detalladamente la tabla 3, revisa los valores de la primera fila, donde los números son 2 para a y 1 para b. Completa las filas restantes observando y deduciendo comportamientos. Puedes utilizar calculado-ra. Las dos últimas columnas, ¡son iguales!

Aplica tus saberes


209

Tabla 3. Relaciones entre la suma, multiplicación y diferencia de dos números

Números propuestos Suma Diferencia

(resta) Producto d2 s2-4m

a b s=a+b d=a-b m=a·b2 1 3 1 2 1 15 8 9

23 400 -16 -64-5 6

300 200001,5 -1041 420

b) Emplea el método que usaste para completar la tabla 3 y encuentra los números que sumados dan 7 y su producto es 12 y los números que sumados dan 7 y su producto es 9. Sugerencia: resuelve el sistema de ecuaciones que se forma.

c) Revisa los resultados obtenidos en la parte b), es decir, verifica la suma y la multiplicación de los números encontrados (utiliza aproximaciones en decimales).

Lleva los resultados de las actividades presentadas en este apartado y el anterior al CCA y compártelos con tus compañeros y facilitador.

1. Encuentra la factorización de los siguientes trinomios:

a) c2-4c+3 b) z2+9z+8 c) x2-x -12 d) t2+1·5t-10 e) x2-12x+9

2. Halla las raíces (los valores que hacen cero al polinomio) de esta expre-sión: x3-22x=9x2 a través de los métodos estudiados en las semanas 7 y 8.

3. Resuelve los siguientes problemas:

a) Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos.

b) La raíz cuadrada de la edad del padre nos da la edad del hijo y, dentro de 24 años, la edad del padre será el doble que la del hijo. Halla las edades.


Ley de los senosSemana 9

210

En el semestre anterior estu-diaste las razones trigonométri-cas para resolver triángulos con un ángulo de 90º. Sin embar-go, no todas las situaciones de nuestro entorno pueden repre-sentarse a través de triángulos rectángulos, naturalmente esto lleva a preguntarnos cómo re-solver triángulos que no tienen un ángulo de 90º, triángulos oblicuángulos. En esta sesión, para resolver tales triángulos aplicaremos la Ley de los senos y la de los cosenos (ésta última la abordaremos en la semana siguiente). ¡Anímate a seguir profundizando en el estudio de los triángulos!

Para avanzar satisfactoriamente en este tema responde: ¿qué son ángulos complementarios? ¿Qué son ángulos suplementarios?

Traza todas las alturas del siguiente triángulo.

La estación guardacostas Ribas está situada a 240km al sur de la estación Miranda. Un barco envía una llamada SOS de auxilio que es recibida por am-bas estaciones. La llamada a la estación Ribas indica que el barco se localiza a 35º al noreste; la llamada a la estación Miranda indica que el barco está a 30º al sureste.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

A

c

b

a

C

B

Semana 9Ley de los senos


211

Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no tienen un ángulo recto. Todo triangulo oblicuángulo es, o bien acutángulo (todos sus ángulos están comprendidos entre 0º y 90º) u obtusángulo (un ángulo 90°<θ<180°).

Resolver un triángulo significa hallar la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Necesitas conocer la longitud de un lado con otros dos ele-mentos, así es posible conocer el resto de las cantidades del triángulo. Hay 4 posibilidades por considerar:

Caso 1. Se conoce un lado y dos án-gulos (LAA o ALA).

Caso 2. Se conocen dos lados y el án-gulo opuesto a uno de ellos (LLA)

Caso 3. Se conocen dos lados y el án-gulo comprendido entre ellos (LAL).

Caso 4. Se conocen los tres lados (LLL).

Ley de los senos

Vamos a demostrar la Ley de los senos mediante las propiedades de los triángulos rectángulos estudiados en el semestre anterior. Trazamos la altura h desde uno de los vértices del triángulo. Usando las razones trigonométricas del seno en cualquiera de los triángulos obtenemos:

a) Triángulo acutángulo b) Triángulo obtusángulo

Figura 14

senα= y senβ= Despejando h de ambas igualdades se obtiene:

h=b·senα y h=a·senβ, entonces b·senα= a·senβ y = (1)

De manera similar se procede en el segundo triangulo:

senα= y senγ=(180°-γ)=

Vamos al grano

hb

mc

senαa

senβb

ha

ma

Se utiliza el hecho de que sen(180 -x)=sen x

α

c

b a

mh

γ

β α

c

b a

m

h

180°-γ

γ

β

C

C

A AB B


212

Por consiguiente, m=c·senα y m=a·senγ

Al igualar ambas expresiones: c·senα=a·senγ y = (2)

Al combinar las ecuaciones 1 y 2 obtenemos la Ley de los senos.

Para un triángulo con lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ, respec-tivamente se tiene:

= =

La Ley de los senos expresa que la razón entre el seno del ángulo opuesto a cada lado y la longitud de éste es constante.

La Ley de los senos se aplica a los casos 1 y 2 mencionados anteriormente. Veamos a través de ejemplos cada uno de los casos.

Caso 1. Conociendo dos ángulos y un lado (ALA)

El triángulo que se forma en el problema propuesto en la sección “El reto es” nos da información de dos ángulos y un lado. Tenemos que usar la Ley de los senos para resolver el triángulo. Para dar respuesta a la situación planteada tendrías que ver cuál es la menor distancia, si la longitud a: distancia estación Miranda-barco o longitud b: distancia estación Ribas-barco.

En el triángulo que se obtiene del problema puedes notar que los ángulos dados son exteriores al triangulo. Necesitamos conocer la medida de los án-gulos interiores ¿cómo hallarlos? ¡Exacto! En la figura 15 aprecias que ambos ángulos son complementarios, es decir, suman 90º.

Figura 15

senαa

senαa

senγc

senγc

senβb

c=240 km

β =60°

α =55°

γ =65°

a

b

A

B

C


213

El ángulo γ es muy fácil de encontrar, porque los ángulos internos de un triángulo suman 180º. Luego γ=180°-60°-55°=65°

Usamos la Ley de los senos para hallar las distancias a y b:

= a= a= =135.6 m

= b= b= =143.3 m

La estación Miranda está más próxima al lugar donde se encuentra el barco, por tanto el helicóptero deberá salir de esa estación. Ahora bien, empleando tus conocimientos acerca del movimiento rectilíneo uniforme puedes hallar el tiempo requerido para que el helicóptero llegue al barco.

Caso 2. Conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Un avión vuela desde la ciudad A hasta la ciudad B, que está a 200km de dis-tancia, luego cambia su rumbo a 40º y se dirige a la ciudad C, como se observa en la figura 16. Anímate a realizar el ejercicio.

a) Si la distancia entre A y C es de 450km, ¿qué distancia hay entre las ciu-dades B y C?

b) ¿Qué ángulo debe girar el piloto en C para volver a la ciudad A?

Figura 16

El ángulo interior y externo en B suma 180º por ser ángulos adyacentes, así que el ángulo interior en B es 140º, este ángulo se opone al lado b de 450km. Aplicamos la Ley de los senos para determinar el ángulo γ a.

= senγ = = =0.29

γ= sen-1 0.29=16.9°

Conociendo los ángulos β y γ, puedes determinar la medida del ángulo α

El tercer lado (la distancia de B a C), puede determinarse empleado nueva-mente la Ley de los senos:

sen55°a

sen60°b

sen140°450

150sen55°sen65°

150sen60°sen65°

200sen140°450

122.87sen65°

129.9sen65°

4sen140°9

sen55°150

sen65°150

senγ200

c=200 km BA

C

b=450 kmγ

α

β =140°


214

Aplica tus saberes

= a= =274.7km

De acuerdo a la ilustración, el piloto tendría que girar desde C con un ángulo de 180º-16.9º=163.1º (ver figura 17).

Figura 17

Para saber más…

Consulta la siguiente dirección web: http://goo.gl/6F4TA para profundi-zar sobre la Ley de los senos.

Reforcemos con otra situación…

Dos observadores miden simultá-neamente el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo resulta ser de 25º y el otro de 45º, respecti-vamente. Si los observadores están a 160km el uno del otro y el heli-cóptero se encuentra sobre la línea que los une, ¿qué tan alto vuela el helicóptero?

En esta situación sería conveniente trabajar con los dos triangulos que se obtienen al trazar la altura, aplicar la Ley de los senos y posteriormente igualar la longitud h de la dos ecua-ciones que resultan.

Tambien puedes realizarlo aplicando la razón trigonometrica tan θ. Hazlo y compara los resultados con tus com-pañeros del CCA.

sen140°450

450sen23.1°sen140

sen21.26a

300-x x

BA

Cγ=16.9°

α = 23.1°

β =140°

25° 40°300 m

α =25° β =40°h

c=300 m

γ=115°

BA

C


215

Las estrategias de evaluación esta semana consistirán en la resolución de problemas, la participación en el CCA y la autoevaluación.

En el CCA, en pequeños grupos, realizarán los ejercicios y problemas pro-puestos; luego, entréguenlos al facilitador.

1. En los siguientes ejercicios resuelve cada triángulo:

a) α=40°, β=20°, a=2 b) α=110°, γ=30°, c=3

c) β=70°, γ=10°, b=5 d) a=2, c=1, γ=25°

e) b=4, c=6, β=20° f ) a=3, b=7, α=70°

2. Resuelve los siguientes problemas:

a) Una avioneta al realizar su recorrido se encuentra con una fuer-te tormenta, por lo que debe cambiar su curso. Gira 25º hacia el norte y vuela 89km. Luego hace otro giro de 115º y se dirige hacia el curso original. Halla la distancia que recorrió de más la avioneta para evitar la tormenta, encuentra además el ángulo que debe girar para regresar al curso original (ver figura 18).

Figura 18

b) Para encontrar la distancia de la casa A a la casa B, un topógrafo determina que el ángulo BAC es de 40º; luego camina una dis-tancia de 100 pies y determina que el ángulo ACB es de 50. ¿Cuál es la distancia de A a B? (ver figura 19).

Figura 19


89 km 115°

25°


216

c) El teleférico transporta pasajeros desde el punto A que está a una distancia de 650m del punto B, que se halla en la base de un ce-rro, hasta un punto P situado en la cima del cerro. Los ángulos de elevación de P desde A y B son 21º y 65º respectivamente. Halla la distancia entre A y P y calcula la altura del cerro.

Figura 20

Autoevaluación

¿Qué dudas fueron aclaradas a través del video, propuesto en la sección “Para saber más”? ¿Qué acciones he realizado para comprender la temática? ¿Cuáles son las dificultades que se han presentado para la solución de los pro-blemas? ¿En qué debo seguir mejorando en la resolución de problemas don-de se aplique la Ley de los senos?

En momentos de crisis, solo la imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein


217

Semana 10 Ley de los cosenos

En esta semana seguimos re-solviendo situaciones de nues-tro entorno (navegación, altura de un avión, montaña, distancia entre ciudades, entre otras) que pueden modelarse mediante triángulos oblicuángulos. La Ley de los senos no resulta útil cuando conocemos los tres la-dos de un triángulo o dos lados

y el ángulo comprendido entre ellos. Para darle respuesta a estos casos, introdu-ciremos en esta sesión la Ley de los cosenos.

La famosa torre inclinada de Pisa tenía originalmente 184.5 pies de altura. Después de alejarse unos 123 pies de la base de la torre, se encuentra que el ángulo de elevación a la parte superior es de 60º. Encuentra el ángulo CAB indicado en la figura 21. Encuentra también la distancia de la perpendicular de C a AB.

Figura 21

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

A

C

B123 pies

60°

184.5 pies

Ley de los cosenosSemana 10

218

¡Beisbol a lo grande! Un diamante de beisbol de las ligas mayores es, en rea-lidad, un cuadrado de 90 pies por lado. El montículo del lanzador está a 60.5 pies de home sobre una línea que une a home con la segunda base.

1. ¿Qué tan lejos está el montículo de la primera base?

2. ¿Qué tan lejos está el montículo de la segunda base?

3. Si un lanzador mira hacia home ¿qué ángulo debe girar para visualizar la primera base?

La Ley de los cosenos establece que en todo triangulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

Matemáticamente lo expresamos así:

a2=b2+c2-2·b·c·cosα

b2=a2+c2-2·a·c·cosβ

c2=a2+b2-2·a·b·cosγ

El reto es...

Vamos al grano

α βa

b

c

γ

caja de bateo

caja del coach de tercera

Montículo diametro 18’ (5.47m)

caja del coach de primera

caja de bateo

circulo de espera circulo de espera

primera basetercera base

segunda base

linea de grama90’ (27.4m) 95’ (28.9m)

60’6” (18.39m)

linea de foul linea de fo

ul

infield (tierra

)

caja del receptor

Home

Semana 10Ley de los cosenos

219

Veamos de dónde provienen esas fórmulas. Coloquemos un triángulo en un sistema de coordenadas rectangular, de manera que el ángulo γ esté en el origen y el lado b del triángulo coincida con el eje positivo x, como se observa en la figura 22. Si γ es un ángulo agudo u obtuso las coordenadas de B son las mismas en ambos triángulos; empleando las razones trigonométricas se obtienen las coordenadas (x, y) del punto B.

a) El ángulo γ es agudo b) El ángulo γ es obtuso

Figura 22

Utilizamos la fórmula de la distancia para calcular c2

c2=(b-a· cosγ)2+(0-asenγ)2

c2=b2-2abcosγ+a2cos2γ-a2sen2γ Se saca factor común a2

c2=a2· (cos2γ+sen2γ)+b2-2abcosγ

Identidad trigonométrica cos2γ+sen2γ=1

c2=a2+b2-2abcosγ

De manera similar se procede a hallar el resto de las fórmulas equivalentes.

Caso 3. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

Hacemos una representación gráfica (figura 23) del problema inicial, para observar con detalle los datos proporcionados y luego aplicamos la Ley de los cosenos.

Figura 23

B= (acosγ · asenγ)

A=(b·0)

ca

b

y

x0

γ

B= (acos(180°-γ) · asen (180° γ)) = (acosγ · asenγ)

A=(b·0)

ca

b

y

x0180 -γ

γ

a= 60.5 pies

Monticulo del picher c1era base

Home

b= 90 pies

β α

γ= 45°


220

a) c2=a2+b2-2a·b·cosγ

Al sustituir los valores se obtiene:

c2= (60.5)2+902-2x60·5x90·cos45°

c2= 3660·25+8100-10890·cos45º=11760·25-7700·4=4059·85

c= 4059·85 c=63.72 pies

El montículo está a 63.72 pies de la primera base.

b) Dibujemos el triángulo con la información requerida.

Se tienen dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados. En este caso no puede aplicarse la Ley de los cosenos, ¿qué aplicamos entonces? ¡Muy bien!, la Ley de los senos es útil en este caso. Veamos:

= senδ= =0.998° δ≈87.1°

Luego θ=180°-45°-87·1°=47·9°.

Ahora procedemos a hallar la longitud del montículo del pícher hasta la se-gunda base:

= e= =66.9pies

Hay otra manera de encontrar la distancia del montículo del pícher hasta segunda base. Aplicando el teorema de Pitágoras, hallas la longitud de la hi-potenusa (la distancia de home a segunda base), al restarle la distancia home al montículo del lanzador, obtendrás la distancia pedida. Realízalo y comparte el procedimiento con tus compañeros del CCA.

Si un lanzador mira hacia home ¿qué ángulo debe girar para visualizar la primera base?

Caso 4. Conociendo tres lados (LLL)

El ángulo de giro es el ángulo β. Para hallarlo empleamos la Ley de los cose-nos y, dado que tenemos los tres lados (ver figura 24), podemos calcular dicho ángulo.

Figura 24

sen45°63.72

sen45°63.72

senδ90

sen47.9e

90·sen4563.72

63.72sen47.9°sen45°

a= 60.5 pies

Monticulodel picher

1era base

Home

b= 90 pies

βδ= 87.1°

c= 63.72 pies


221

b2=a2+c2-2·a·c·cosβ

Al sustituir los valores se obtiene:

902=(60.5)2+(63.72)2-2x60.5x63.72·cosβ

Efectuamos las operaciones:

8100=3660.25+4060.24-7710.12cosβ

379.51=-7710.12cosβ cosβ= cosβ=-0.0492

β=arccos (-0.0492) β=92.82º

Otra manera más sencilla de resolver esta pregunta es observar en la fi-gura que los ángulos δ y β son ángulos adyacentes, suman 180º, así que β =180º-87.1º=92.9º. Este sería el ángulo que tendría que girar el lanzador para visualizar primera base.

Para saber más…

Para profundizar en la Ley de los cosenos te recomendamos visitar las siguientes direcciones web:

http://goo.gl/SUqRY http://goo.gl/IuiMl

Otro problema similar al anterior está referido al beisbol de las Ligas Infantiles y con la explicación dada en los apartados anteriores estas en la capacidad de resolverlo.

De acuerdo con el Reglamento Oficial de beisbol de las Ligas Infantiles, un diamante es un cuadrado de 60 pies por lado. El montículo del lanzador está a 46 pies de home sobre una línea que une a home con la segunda base.

a) ¿Qué tan lejos está el montículo de la primera base?

b) ¿Qué tan lejos está el montículo de la segunda base?

c) Si un lanzador mira hacia home ¿qué ángulo debe girar para visualizar la primera base?

379.51-7710.12

Aplica tus saberes


222

Esta semana tus saberes se pondrán en evidencia a través de la resolución de problemas, la participación en el CCA y la lista de cotejo (aplicada por el facilitador).

Realiza los siguientes problemas y posteriormente comparte los resultados y las dudas con tus compañeros del CCA y facilitador.

1. Dos vehículos salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en ca-rreteras rectas que difieren de 84º en dirección. Si viajan a 90km/h y 60km/h, respectivamente, ¿a qué distancia aproximada se hallarán uno de otro al cabo de 20min? Sugerencia: realiza el triángulo que ilustra la situación.

2. Para encontrar las distancias entre las casas A y B, un topógrafo determi-nó que el ángulo ACB es de 70º; luego caminó a cada casa y midió 50 y 70 pies, respectivamente. ¿A qué distancia esta una casa de la otra?

Figura 24

3. Un avión vuela una distancia de 150 millas de la ciudad A a la ciudad B; luego cambia su rumbo 50º y se dirige a la ciudad C, que está a 100millas.

a) ¿Qué tan lejos está la ciudad A de la ciudad C?

b) ¿Qué ángulo debe girar el piloto en la ciudad C para volver a la ciudad A?

Figura 25



223

4. Lista de cotejo (para ser llenada por el facilitador)

Indicador Si No ObservaciónIdentificó los datos y condi-ciones proporcionados por el problema.Reconoció de acuerdo a los datos proporcionados en el problema cuál de las leyes aplicar.Realizó correctamente las re-presentaciones gráficas (los triángulos) del problema.Empleó correctamente los da-tos en la fórmula de la Ley de los senos.Empleó correctamente la Ley de los cosenos.Interpretó la solución del pro-blema de acuerdo al contexto.

Posteriormente el facilitador realiza la retroalimentación de este instrumen-to con los miembros del grupo.

Pon más fuerza en la nobleza de tu carácter que en la fuerza de tus juramentos. Solón

Movimiento oscilatorioSemana 11

224

Semana 11 Movimiento oscilatorio

En la naturaleza nos encon-tramos con movimientos en los cuales la velocidad y acele-ración no son constantes. Un movimiento que presenta tales características es el movimiento oscilatorio. Algunos fenóme-nos cotidianos, pueden aproxi-marse a éste, por ejemplo, el movimiento de una hamaca, el aleteo de una abeja, los lati-

dos del corazón, el movimiento del péndulo de un reloj (relojes antiguos). Un tipo de movimiento oscilatorio de gran relevancia en la física es el Movimiento Armónico Simple (MAS), el cual estudiarás en el transcurso de esta semana.

Explica de acuerdo a tus conocimientos adquiridos en el tema de movimien-to circular uniforme: ¿qué es período y frecuencia?, ¿cuál es la unidad de fre-cuencia?, ¿qué relación hay entre el período y la frecuencia?, ¿qué significa que la frecuencia de vibración de un cuerpo sea 20Hz?, ¿cuál es el período asociado a esta vibración? Imagina que un auto le da dos vueltas a una pista en cada minuto. Calcula la frecuencia y período.

¡A experimentar! Construye un péndulo simple. Para ello sujeta en el extre-mo de una cuerda (delgada y resistente), un cuerpo pesado de pequeñas di-mensiones (una piedra, una bola de metal, entre otras).

1. Fija el extremo libre de la cuerda a un soporte cualquiera (por ejemplo, a un clavo en una pared), de manera que la longitud del péndulo sea de casi 50cm. Ponlo a oscilar y usando un cronómetro o reloj que tenga segundero, mide el tiempo que necesita el péndulo para efectuar 20 oscilaciones (el movimiento de ida y vuelta). A partir de esta medición calcula el periodo del péndulo (tiempo que tarda en hacer una oscila-ción).

¿Qué sabes de...?

El reto es...

¡Empecemos!

Semana 11Movimiento oscilatorio

225

2. Aumenta la longitud del péndulo a 2m y repite el procedimiento descri-to en el problema anterior, determinando el nuevo valor del período de oscilación. Registra los datos en la tabla 4.

Tabla 4

Longitud del péndulo 20 oscilaciones Periodo

50cm

200cm= 2m

El período pendular, ¿aumentó, disminuyó o no se alteró cuando se in-crementó su longitud?

3. Sustituye el cuerpo colgado de la cuerda por otro de diferente masa, sin alterar la longitud del péndulo y mide su período. Registra los datos en la tabla 5.

Tabla 5

Masa 20 oscilaciones Periodo

Masa 1=

Masa 2=

¿Que ocurrió? ¿Se volvió mayor, menor o prácticamente no se modificó al cambiar el valor de la masa suspendida en la cuerda?

Para comprender este tipo de movimiento es necesario tener claridad en algunos conceptos básicos que son aplicables tanto al péndulo como al sis-tema masa-resorte, que estudiarás durante esta semana. El movimiento de ida y vuelta se llama oscilación y el tiempo que tarda en dar una oscilación (vibración, ciclo) se llama período. En la figura 26 el péndulo realiza una os-cilación completa, cuando se mueve del punto B hasta llegar nuevamente a él. El número de oscilaciones o vibraciones completas que el cuerpo efectúa en unidad de tiempo se conoce como frecuencia. Por ejemplo, si el péndulo va de B a B´ y luego vuelve a B, realizando esto 20 veces en 1 segundo, la fre-cuencia será f=20 oscilaciones/segundo, es decir, 20Hz. El tiempo que tarda en efectuar una oscilación es de 0,05s, es decir, su periodo es:

T= =0,05s.

f y T guardan entre sí una relación inversa T=

Vamos al grano

1s20

1f


226

Los objetos que oscilan tienen una posición de equilibrio, aquella en que se encuentra cuando no están oscilando. La distancia entre la posición de equili-brio a la posición extrema se denomina amplitud (A) del movimiento.

Figura 26

El movimiento oscilatorio es el realizado por un cuerpo cuando ocupa su-cesivamente posiciones simétricas respecto a una posición de equilibrio. Este se caracteriza porque en intervalos iguales de tiempo todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, entre otras), toman el mismo valor, por lo que se trata de un movimiento periódico.

Algunos ejemplos de este tipo de movimiento son: una lámina fija por un extremo y haciéndola vibrar por el otro extremo, el mover de un péndulo para desplazamientos pequeños, una masa unida a un resorte que comienza a os-cilar, una cuerda tensa, los electrones de una antena emisora o receptora, en-tre otros.

Péndulo simple

Un péndulo simple consta de un pequeño cuerpo de masa m atado al extre-mo de un hilo de masa despreciable e inextensible de longitud L.

Cuando el péndulo está en la posición de equilibrio, la tensión que se pro-duce en el hilo se equilibra con el peso de la masa pero, cuando se desplaza hacia una determinada amplitud, ya no ocurre lo mismo, por lo que aparece una fuerza F, que obliga al péndulo a moverse hasta la posición de equilibrio. La fuerza restauradora que mantiene al cuerpo en oscilación es la componen-te de su peso tangente a la trayectoria (ver figura 27).

Posición de equilibrio

Amplitud


227

Figura 27

Sistema masa-resorte

Al comprimir o estirar un resorte, se origina en él una fuerza restaurado-ra que tiende a llevarlo a su posición de equilibrio para recuperar su estado original. Si una pequeña masa m apoyada en una superficie horizontal sin fricción se sujeta al extremo a un resorte, que se encuentra fijo a una pared, como indica la figura 28, al comprimirlo y estirarlo y luego dejarlo en libertad de movimiento, la masa oscilará entre dos posiciones extremas debido a la fuerza F (Ley de Hooke) que se produce en el resorte, la cual es proporcional a la magnitud del desplazamiento x (siempre que el desplazamiento no sea tan grande), se expresa:

F=-kx

Donde k es la constante elástica y es distin-ta para cada resorte. El signo menos indica que se trata de una fuerza restauradora, es decir, que tiende a traerlo de vuelta a su po-sición de equilibrio (estas fuerzas estan pre-sentes en el sistema masa resorte y el pén-dulo). Así, cuando la posición x es positiva, la fuerza es negativa y, por tanto, dirigida hacia la izquierda y, si la posición x es negativa, ¿qué signo tiene la fuerza y hacia dónde se dirige?

Figura 28

mg

mgcosθ

mgsenθ

C

NAA1

θθ

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

B’

A

X

X

A

B

F

F

F

F


228

Al soltar el cuerpo se acelera debido a esta fuerza y su velocidad se irá incre-mentando conforme se acerca a la posición de equilibrio (0). A medida que el cuerpo se aleja de B, el valor de F disminuye, anulándose en el punto de equi-librio. Pero debido a la velocidad adquirida el cuerpo sobrepasa la posición de equilibrio y el resorte, al hallarse estirado en esta parte, ejerce una fuerza que todavía está dirigida al punto 0 y es de sentido contrario a la velocidad del cuerpo. El movimiento es, entonces, retardado y en el punto B´, simétrico B, la velocidad del cuerpo se anula.

En este tipo de movimientos el cuerpo va de una posición extrema y regresa a la posición inicial pasando siempre por la misma trayectoria.

Movimiento armónico simple

Un movimiento armónico simple (MAS) es un movimiento oscilatorio en el que la fuerza que actúa en el cuerpo es proporcional a su distancia respecto al punto de equilibrio y en ausencia de todo rozamiento.

Los dos sistemas físicos estudiados, el de masa-resorte y el péndulo son ejemplos de este tipo de movimiento.

Los movimientos oscilatorios que hemos considerado se refieren a sistemas ideales, es decir, el movimiento oscilatorio se mantendrá indefinidamente, pero las fuerzas disipativas (por ejemplo, la fricción), hacen que el móvil re-torne al reposo, a su posición de equilibrio estable, en este caso se dice que el movimiento armónico esta amortiguado.

Para saber más…

En las siguientes direcciones web, se explica de forma sencilla la resolu-ción de ejercicios de MAS. ¡No dejes de consultarlas!

http://goo.gl/QCr8S http://goo.gl/vehFS

Al realizar el experimento propuesto en la sección “El reto es” tendrás algunas conclusiones establecidas, algunas de las cuales puedes cons-tatar con el análisis que se realiza a partir de la fórmula del péndulo.

Aplica tus saberes


229

Sistema masa-resorte Péndulo simple

T = 2 π T = 2 π

*Cuanto mayor sea la masa del cuer-po, mayor será su período de oscila-ción, es decir, un cuerpo con mayor masa oscila más lentamente (tiene menor frecuencia).

*Cuanto mayor sea la constante elás-tica del resorte (resorte más duro), menor será su período de oscila-ción, o sea, tanto mayor será la fre-cuencia con que oscila el cuerpo.

*El período no depende de la am-plitud (A). Si hacemos oscilar un re-sorte con una amplitud de 10cm y otro de 20cm comprobaremos que el período de oscilación es el mismo en ambos casos.

*Cuanto mayor sea la longitud del péndulo, mayor será su período de oscilación.

*A medida que se aumenta el valor de la aceleración de la gravedad, el período del péndulo será menor, es decir, oscilará con mayor frecuencia.

*El período del péndulo no depende de su masa ni de su amplitud.

a = - x a = - x

La aceleración es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo respecto al punto de equilibrio.

Del experimento propuesto aún podemos seguir profundizando. Puedes obtener el valor local de la aceleración de la gravedad; para ello toma la lon-gitud del péndulo de 2m y, como ya conoces su período (lo calculaste en el paso 2), emplea la ecuación T=2π L/g; despeja la incógnita g. El valor de g obtenido, ¿se acerca razonablemente a los 9.8m/s2?

Veamos cómo pueden aplicarse las fórmulas mencionadas en los siguien-tes problemas:

1. Se conecta un muelle ideal de constante 400N m−1 a una partícula de masa 5kg. Se desplaza la partícula 8cm desde la posición de equilibrio y se suelta con velocidad nula. Determina:

a) La amplitud del movimiento.

b) La fuerza que ejerce el muelle en ese instante.

c) El período del movimiento y la frecuencia.

d) La aceleración de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio.

m k

k m

g L

L g


230

Solución

a) La amplitud es 8cm=0.08m, ya que es el máximo desplazamiento que se produce.

b) La fuerza que ejerce el resorte viene dada por la Ley de Hooke, F=-k.x, para una elongación de 0.08m y una constante elástica de 400N m-1, es:

F=-400Nm-1·0·08m=4x102· 8x10-2N=-32N ¿Qué significa el signo negativo?

c) Para hallar el período usamos la fórmula:

T=2π T=2π =2π 0.0125s2=2π·0·112s=0.7s

d) Puesto que la aceleración a es proporcional al desplazamiento x, cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio x=0cm, la aceleración es cero. Puedes comprobarlo si sustituyes el valor de x en la fórmula:

a= - x

2. El período de oscilación, T, de una masa m unida a un resorte es el doble T=2T’ que la de otra masa m’ unida a otro resorte de las mismas caracte-rísticas que el anterior. Establece la relación entre ambas masas.

Para la masa m´, su periodo de oscilación es T’

Para la masa m, su período de oscilación es T=2T’

Sustituyendo la fórmula del período en esta expresión, tenemos:

2π =2 2π 2π =2·2π =2 m =2 m´

m=4m´ Esto nos indica que la masa m es 4 veces mayor que la masa m´

Analiza y responde las siguientes preguntas:

1. ¿Por qué en la realidad el péndulo simple, al oscilar, tiende a disminuir su amplitud hasta cero?

2. Explica en qué puntos de un MAS la aceleración adquiere su valor máxi-mo.

3. Supón que en la figura 29 la distancia BB´ es igual a 10cm. Entonces, ¿cuál es la amplitud de vibración del extremo de la lámina?, ¿cuál es la distancia que el extremo de la misma recorre durante un intervalo de tiempo igual a dos períodos

m k

5kg 400 Nm-1

k m

m k

m k

m´ k

mk

m´k

m´ k



231

Figura 29. Ejemplo de un movimiento vibratorio

4. Un cuerpo realiza un MAS sujeto al extremo de un resorte. Di si el tiem-po que el cuerpo tarda en efectuar una oscilación completa aumentará, disminuirá o no se alterará, en cada uno de los siguientes casos:

a) El cuerpo es sustituido por otro de menor masa.

b) El resorte es sustituido por otro más duro.

c) El cuerpo se coloca en vibración con una menor amplitud.

5. ¿En qué proporción aumenta el período si la masa de un sistema masa-resorte se multiplica por 9?

6. El período del péndulo simple se midió en dos lugares diferentes, uno es un tercio mayor que otro. Determina la gravedad del segundo lugar sabiendo que el primero es la Tierra.

Lo que consigues siguiendo tu destino no es tan importante como en quién te conviertes siguiendo tu destino. Robert Anthony

B´

A

A

B

Movimiento ondulatorioSemana 12

232

Semana 12Movimiento ondulatorio

Cuando lanzas una piedra en un estanque con agua, se perturba la superficie de la misma y puedes observar que se forman círculos concéntricos, alrededor del pun-to donde cayó la piedra. Así se produce un movimiento que se propaga en forma de ondas. Este es uno de los tantos ejemplos del movimiento ondulatorio, llama-

do así porque se propaga en forma de ondas y, como ves, es más común de lo que imaginas.

Estamos sumergidos en un “mundo de ondas”, a través de las cuales, por ejemplo, las señales electromagnéticas llegan a los televisores y radios, o el sonido y la luz llegan a nuestros sentidos.

¿Qué es el movimiento armónico simple? ¿Qué tiene mayor período: un péndulo corto o uno largo? ¿Por qué la oscilación de un péndulo no depende de su masa?

¡A experimentar! Máquina de ondas

Materiales: cintas adhesivas de distinto tipo, 50 palitos de helado, soporte univer-sal u otro soporte, marcador y regla.

Montaje: puedes colocar la cinta adhe-siva de 2m en una mesa, colocando la cara del pegamento hacia arriba y sujetándola en los extremos con otros pedazos de cin-ta para que trabajes más cómodamente. Los palitos se pegan a la cinta adhesiva por su parte central y a espacios regu-lares, cada 5cm; para hacer estas marcas sobre la cinta adhesiva necesitas uti-

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...


233

lizar la regla. Trata de dejar por lo menos 10cm a cada extremo de la cinta para que lo puedas fijar al soporte universal. Luego de tener la “Maquina de ondas” debes darle vuelta a la cinta, ya que los palitos deben estar en la parte inferior. Utiliza unos soportes universales para pegar cada extremo de la cinta a estos, si no tienes, apóyate en otros objetos donde puedas ubicar los extremos de la cinta. También puedes cambiar la tensión de la cinta acercando o alejando los soportes. Por último empuja con un dedo hacia abajo el palito del extremo de la cinta y observa cómo esta perturbación afecta a todos los demás.

Luego de leer el material de esta semana responde: ¿qué tipo de onda se propaga a través de los palitos?, ¿qué sucede cuando la onda llega al otro extremo? Experimento tomado de http://li.co.ve/r3y

Figura 30. Propagación de un pulso a lo largo de una cuerda.

Imaginemos a una persona que sujeta una cuerda, moviéndola con su mano hacia arriba y hacia abajo (movimiento oscilatorio); con respecto a la posición inicial, se origina una perturbación en la cuerda. Si la cuerda se mueve de forma continua se tendrá una serie de pulsos alternados hacia arriba y hacia abajo. La serie de pulsos constituyen una onda que se propaga en la cuerda, los puntos más altos del pulso se llaman crestas y los puntos más bajos se llaman valles.

Una onda se origina a partir de la propagación en el espacio de una perturbación del medio, desplazándose en todas direcciones transpor-tando energía.

Vamos al grano


234

Al realizar el experimento, observaste cómo esta perturbación afecta a to-dos los palitos, es decir, la onda se propagó por el medio.

En la figura 31 se representa gráficamente una onda indicando sus elementos.

Figura 31. Características de una onda.

El máximo valor del desplazamiento a partir del equilibrio de un elemento del medio se denomina amplitud A de la onda y la longitud de onda es la dis-tancia entre crestas, valles o partes idénticas sucesivas de una onda. Se repre-senta con la letra griega λ (lambda). La rapidez de repetición en una vibración por segundo es la frecuencia. Así cuando una onda tenga una frecuencia de 50Hz, quiere decir que realiza 50 vibraciones por segundo.

En la figura 31, se hace una marca blanca sobre la cuerda, observa que mien-tras la onda se propaga a lo largo de la cuerda, la marca no se desplaza hori-zontalmente con la onda. Un punto cualquiera de la cuerda, al ser alcanzado por la ondulación oscilará mientras la onda pasa por él. Lo que se propaga es la perturbación y no el medio mismo.

Un movimiento ondulatorio es la propagación a través del espacio de un movimiento oscilatorio producido en un punto, llamado foco emi-sor de ondas.

El movimiento oscilatorio está relacionado con los fenómenos ondulatorios.

Cuando vibra la cuerda de un cuatro se producen oscilaciones de las molé-culas del aire que lo rodea y, por la interacción entre unas y otras, las oscilacio-nes se propagan en el espacio en forma de onda.

Las ondas que necesitan de un medio material para propagarse, se conocen como ondas mecánicas. Ejemplo de ellas son las sonoras, que se producen en los resortes o en la superficie de un líquido y las sísmicas que necesitan un medio sólido (Tierra) para propagarse.

A

A

Valle

Cresta

Amplitud

λ

λ

Longitud de onda


235

Sin embargo, existe otra clase de ondas que no necesitan de un medio elás-tico para transmitirse, pues se propagan en el vacío. Estas reciben el nombre de ondas electromagnéticas. Las ondas de radio, luminosas y los rayos X son un ejemplo de éstas.

Rapidez de una onda

Sabemos que la rapidez es definida como el cociente entre la distancia y el tiempo. La distancia en este movimiento representa la longitud de onda (λ) y el tiempo es el período (T). Como sabes la frecuencia es el inverso del período, así la fórmula para la rapidez de onda se puede escribir:

v = -ov = λ · f

De la fórmula anterior puedes despejar la longitud de onda, λ= o λ= v · T

Por otra parte, la frecuencia de la onda puede ser alterada por la persona que la produce. La rapidez de propagación de una onda es constante, si la persona produce una onda de baja frecuencia obtendrá una λ grande (figura 32).

Figura 32

Otra clasificación de las ondas de acuerdo a la dirección de vibración, son las ondas longitudinales y transversales.

En el movimiento de la cuerda (una manguera, un resorte, entre otros), las partículas de ésta, se mueven hacia arriba y hacia abajo formando un ángulo recto con la dirección de la rapidez de la onda.

Cuando el movimiento del medio es perpendicular a la dirección en que viaja la onda, se llama onda transversal.

Son ejemplos de ondas transversales, las ondas en las cuerdas tensas de los instrumentos musicales, en la superficie de los líquidos y las ondas electromagnéticas.

λT

vf

(a)(1) (2)

λ1

v1(b)

v2

λ2


236

No todas las ondas son transversales. Si comprimes un resorte, al soltarlo la onda se traslada horizontalmente y las moléculas vibrarán en esta direc-ción, es decir, el resorte se moverá hacia atrás y hacia adelante en la misma dirección en la que se transmitió la onda, comprimiéndose en unos casos y alargándose en otros.

En una onda longitudinal los puntos del medio en el cual se propaga vibran en forma paralela a su dirección de propagación.

Las ondas sonoras son un ejemplo de ondas longitudinales.

Figura 33. Ondas longitudinales y transversales.

Una de las características de las ondas longitudinales, es la formación de compresiones y expansiones. En la figura 33 se observan las compresiones, que están formadas por espiras muy juntas entre sí; en cambio, las dilatacio-nes o expansiones están formadas por espiras muy separadas.

Las ondas que viajan por el suelo, gene-radas por un terremoto son de dos cla-ses principales: ondas longitudinales y transversales.

Longitud de onda

Longitud de onda

Onda transversal

Onda longitudinal

Comprensión Expansión


237

Propiedades de las ondas

En el experimento observaste que cuando la onda llega al otro extremo, choca y se desplaza con sentido contrario. A este cambio de la dirección de la propagación se le llama reflexión; la onda que llega al extremo fijo es la onda incidente y la que se propaga en sentido contrario es la reflejada. Y si pasa de un medio a otro, al variar su velocidad, se desvía, fenómeno que recibe el nombre de refracción. Cuando la onda pasa de un medio a otro en el que la onda viaja más rápido, el rayo refractado se acerca a la normal mientras que, si pasa de un medio a otro en el que la onda viaja a menos velocidad, el rayo se aleja de la normal (ver figura 34).

Por ejemplo cuando las ondas en la superficie del agua chocan con un obs-táculo en el cual hay una abertura, se producen alteraciones en la estructura de las ondas originando el fenómeno que se conoce como difracción. La di-fracción es la propiedad que posee una onda de rodear un obstáculo al ser interrumpida su propagación parcialmente por él.

Reflexión Refracción Difracción

Figura 34. Propiedades de las ondas

Para saber más…

Te recomendamos visualizar una variedad de videos documentales acerca del movimiento ondulatorio, para seguir profundizando en esta temática que nos permite comprender mejor nuestro entorno desde el punto de vista físico. Puedes consultarlos en las siguientes direcciones web:

http://goo.gl/BRWJn http://goo.gl/IIr0P

Disfruta de un juego interactivo de ondas disponible en: http://goo.gl/F0JKx

Onda reflejada

Onda transmitida

Onda incidente Rayo

incidente Superficie

Línea normal

n1

n2

θ2

θ1

Rayo refractado

Onda incidente


238

En el experimento realizado se pueden introducir otras variantes, por ejem-plo, puedes observar cómo afecta el cambio de medio a la onda. El procedi-miento es similar al propuesto en la sección “El reto es”, pero ahora con dos cintas adhesivas distintas, por ejemplo Scotch y Masking Tape, uniendo am-bos en la mitad. El cambio de medio en la parte central producirá la refracción. Observa qué ocurre con la onda, ¿viaja más rápido, más lento o igual?

Las evidencias requeridas para esta semana son: informe escrito, participa-ción en el CCA y análisis de situaciones.

1. Cada participante entregará por escrito un informe sobre los videos re-comendados en la sección “Para saber más”, el mismo debe realizarse si-guiendo los criterios dados en el área de Lenguaje, para producir textos coherentes, utilizando los términos físicos correctamente y colocando algunas ilustraciones.

2. En la medida de las posibilidades del CCA, el facilitador proyectará los videos sobre el movimiento ondulatorio, posteriormente iniciará el con-versatorio en base a preguntas relativas al video.

3. Análisis de situaciones.

a) El medio en el que se propaga la onda ¿se mueve a través de ella? Describe un ejemplo que respalde tu respuesta.

b) En una larga fila de personas que esperan comprar tickets, la pri-mera persona sale y se presenta un pulso de movimiento cuan-do las personas avanzan para llenar el hueco. Cuando una per-sona da un paso hacia adelante, el hueco avanza por línea. La propagación de este hueco ¿es transversal o longitudinal?

c) Considera la “onda” (ola) en un juego de béisbol: las personas se ponen de pie y gritan cuando la ola llega a su lugar y el pulso resultante se mueve alrededor del estadio. Esta onda ¿es trans-versal o longitudinal?

Los grandes espíritus siempre han tenido que luchar contra la oposición feroz de mentes mediocres. Einstein

Aplica tus saberes



239

Semana 13Ondas sonoras

Hay sonido en todo nuestro al-rededor. Oímos voces, música y ruidos. Pero te has preguntado: ¿cómo se produce el sonido?, ¿a través de qué medios se propaga y en cuál de ellos con mayor rapi-dez? Estas interrogantes nos lle-van al estudio de un tipo especial de ondas, las ondas sonoras.

El sonido tiene diversas aplicaciones, por ejemplo, ayuda a algunos animales a comunicarse y a encontrar su alimento. Durante esta semana podrás cono-cer explicaciones a otros fenómenos acústicos que observas en tu día a día. Te invitamos a disfrutar de este tema tan fascinante y relevante para la ciencia, la tecnología y la música.

¿Qué es una onda? ¿Qué diferencia hay entre una onda mecánica y una elec-tromagnética? Calcula los siguientes logaritmos:

a) log = b) log = 10-6

Intenta darle una explicación a los siguientes planteamientos basados en tus ideas previas y, luego de leer el material, retómalos, pero en esta ocasión tu explicación debe estar basada en fundamentos físicos.

1. ¿Por qué se ve primero el rayo y después se escucha el trueno?

2. Si una campana suena dentro de un recipiente sellado de vidrio ya no la podremos oír si dentro de éste se hace el vacío, pero la seguiríamos viendo. ¿Qué indica esto acerca de las diferentes propiedades de las on-das sonoras y de las ondas luminosas?

3. Imagina que una onda sonora y una electromagnética tuvieran la mis-ma frecuencia. ¿Cuál tendría la mayor longitud de onda?

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

108

10-5

El reto es...

Ondas sonorasSemana 13

240

El sonido es una onda mecánica, por tanto precisa de un medio material para propagarse. Los fenómenos sonoros están relacionados con las vibra-ciones de los cuerpos. Siempre que algo vibra emite un sonido. Por ejemplo, cuando golpeas una puerta, un metal o tocan algún instrumento musical (guitarra, violín, piano), se emiten sonidos.

Una pregunta interesante es ¿cómo oímos? Cuando una persona habla, sus cuerdas vocales vibran y emiten un sonido, esta vibración envía una pertur-bación por el medio que la rodea que normalmente es aire, en forma de on-das longitudinales. Al penetrar estas ondas a nuestro oído, hacen que vibre la membrana del tímpano, estas vibraciones estimulan al órgano de la audición y generan los impulsos nerviosos hacia el cerebro, produciendo la sensación sonora.

El sonido es una vibración mecánica de las partículas de aire, cada una de estas transmite su estado de movimiento a las partículas vecinas y así sucesivamente, éstas al vibrar en la misma dirección del sonido se propagan como ondas longitudinales.

El ser humano puede percibir sonidos comprendidos entre los límites de fre-cuencia, 20Hz y 20.000Hz, fuera de estos intervalos los sonidos son inaudibles para el ser humano, aunque estos límites pueden variar un poco en función de la edad de las personas. Los sonidos por debajo de una frecuencia de 20Hz, se conocen como infrasonido y si su frecuencia es superior a 20.000Hz se denominan ultrasonido.

Algunos animales pueden detectar espectros más amplios que el ser huma-no, como, por ejemplo, el perro, el delfín y el murciélago, los cuales perciben o emiten ultrasonidos, que les permite encontrar objetos y alimentos. En el caso de los murciélagos, aun cuando son casi ciegos, pueden volar sin chocar con ningún obstáculo, emitiendo gritos agudísimos, que pueden llegar a los 1.200.000Hz. Estos se propagan por el espacio, al llegar a un obstáculo cual-quiera, son reflejados y vuelven al punto de partida como eco, proveyendo información acerca de los obstáculos que tiene delante y que no ve.

Vamos al grano


241

Asimismo el ultrasonido tie-ne aplicaciones en la industria y medicina. La ecografía es una técnica en la cual se emplean los ultrasonidos. El ecógrafo (el apa-rato) emite ondas de sonidos que rebotan en las estructuras internas del cuerpo, como ór-ganos, venas, arterias y el útero en período de embarazo; estos generan “ecos” de diferentes amplitudes dando lugar a imá-genes que permiten analizar los órganos por los que atraviesa. Se emplea también para romper cálculos de riñón sin necesidad de intervención quirúrgica. Sirve además para localizar objetos y medir la distancia entre ellos, por ejemplo, un submarino pue-de ser localizado en el fondo del mar al reflejar ultrasonidos enviados por el equipo de sonar del barco.

Intensidad del sonido

Coloquialmente, la intensidad del sonido la asociamos con el volumen. Físicamente, la intensidad (I) es una propiedad del sonido que se relaciona con la cantidad de energía que la onda transmite a través de cierta área. Cuanto mayor sea este valor más fuerte será la sensación de sonido que percibimos. El rango de amplitudes que el oído es capaz de detectar es muy grande, una unidad que se utiliza para medir la intensidad del sonido es el decibelio (dB). La mínima variación de presión que el oído es capaz de detectar son cero decibelios (0dB), y es lo que se considera como umbral de audición. En el otro extremo, la máxima variación que podemos soportar es de 120dB, y es lo que se considera como umbral del dolor.

Las exposiciones prolongadas a sonidos fuertes, a partir de 120dB (aprox.), pro-ducen daños irreversibles en el sistema auditivo.


242

Tono del sonido

El tono es la cualidad que nos permite clasificar un sonido como agudo o grave. ¿Qué características de las ondas nos produce esta diferencia entre el sonido agudo y grave? La frecuencia, el número de oscilaciones por segundo, nos da el tono. Los sonidos de baja frecuencia se escuchan como graves y los de alta frecuencia se aprecian como agudos. Por lo general, las mujeres tienen un tono de voz aguda (“fina”) y los hombres tienen un tono de voz grave. En lenguaje musical se dice que un sonido agudo es alto y un sonido grave es bajo.

En la música clásica, los cantantes se clasifican de acuerdo a las frecuencias que pueden emitir en sus notas musicales. Con solo escuchar la música, pue-des distinguir si el cantante es un bajo (con voz grave, masculina), un tenor (con voz menos grave, masculina), una soprano (voz aguda, femenina) o una contralto (voz grave, femenina).

Rapidez del sonido

La rapidez de una onda depende de las propiedades del medio en que se propaga; las ondas sonoras pueden viajar a través de cualquier medio mate-rial: sólido, líquido y gas.

Tabla 6. Rapidez del sonido en distintos medios.

Medio Rapidez(m/s) Medio Rapidez

(m/s) Medio Rapidez(m/s)

Aire (20ºC) 340 Agua (15ºC) 1450 Aluminio

(20ºC) 5100

Hidrógeno (0ºC) 1286 Caucho 54 Cobre

(20ºC) 3560

Oxígeno (0ºC) 317 Plomo (20ºC) 1230 Hierro

(20ºC) 5130

En la tabla 6 observa que la rapidez de las ondas sonoras en el aire a una temperatura de 20ºC, es de 340m/s, mientras que en los sólidos la rapidez del sonido es casi 15 veces mayor (en el caso del hierro) que la rapidez del sonido en el aire.

La rapidez del sonido depende de las condiciones del aire, como la temperatura y la humedad.

La rapidez en el aire cálido es mayor que en el aire frio; cuanto mayor es la temperatura de un gas, tanto mayor será su velocidad. Esto se debe a que la agitación de las moléculas de un gas aumenta con la temperatura.


243

Asimismo, la rapidez de las ondas electromagnéticas es de 300.000km/s o 300.000.000m/s. Si comparas la rapidez del sonido en el aire con la rapidez de la luz, puedes explicar, por ejemplo, porqué en una pista de atletismo, cuando se da la señal de partida, los competidores observan el humo de la pistola an-tes que el sonido, pues la luz emplea menor tiempo que el sonido en recorrer la misma distancia. Ahora puedes dar respuesta a una de las preguntas plan-teadas, en la sección “El reto es”.

A diferencia de la luz, el sonido no puede propagarse en el vacío, esto indi-ca que una persona no percibirá sonido alguno si no hay un medio material entre la fuente de vibración y su oído. Si no hay nada que se comprima y se expanda, no puede haber sonido.

Los objetos vibran de distintas formas cuando se golpean. Si golpeas una mesa de madera y un objeto metálico, las vibraciones que se producen serán distintas. Cada objeto vibra produciendo un sonido característico, cuando es perturbado con su frecuencia propia.

Resonancia

La resonancia es el fenómeno que se produce cuando los cuerpos vibran con la misma frecuencia, uno de los cuales vibra al recibir las frecuencias del otro. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresi-va la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza.

Por ejemplo, si se tienen dos diapasones idénticos (de igual frecuencia) co-locados sobre dos cajas huecas, al poner a vibrar al diapasón A, se observará que el diapasón B emite, de manera espontánea, el mismo sonido, debido a que las ondas sonoras generadas por el primero presionan a través del aire al segundo.

Esta respuesta no se daría en el diapasón B, si los diapasones tienen frecuen-cias naturales distintas.

Figura 34. Diapasones de igual frecuencia

A B


244

Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como la copa que se rompe cuando una soprano canta.

Para saber más…

En las siguientes direcciones web, puedes disfrutar de una serie de vi-deos, donde que se refuerzan los conceptos trabajados en esta semana.

http://li.co.ve/r3z http://li.co.ve/r30 http://goo.gl/7jEch

Los investigadores observaron que si la intensidad de una fuente se dupli-ca, I=2I1 no se produce el doble de “sensación” dos veces más intensa que la causada por I1. Esta sensación varía con el logaritmo de la intensidad sonora.

El nivel de intensidad sonora β se define como: β=log

Donde I es la intensidad de la onda sonora y I0=10-12 watts/m2 es el sonido menos intenso que un oído humano puede detectar.

El nivel de intensidad sonora β se expresa en unidades de bel (1B), en honor al inventor del teléfono, Alexander Graham Bell, aunque en la práctica se utili-cen submúltiplos de éste, como el decibel (1dB), 1dB= 0.1B.

Veamos cómo aplicar esa fórmula a través del siguiente ejercicio: en un ta-ller mecánico la intensidad del sonido ambiente es de 10-3W/m2. ¿Cuál es en B y dB, el nivel de intensidad sonora de este lugar?

Sustituimos el valor de la intensidad I0=10-12 watts/m2 y I=10-3W/m2 en la fórmula:

β=log = log109 β=9, hacemos la equivalencia B=90dB.

En una calle de tránsito intenso, el nivel de intensidad sonora es de 80dB. ¿Cuántas veces la intensidad del sonido en el taller mecánico es mayor que la intensidad del sonido en esta calle?

8=log 8=logI-log10-12 8=logI-(-12) 8-12=logI 10-4=I

Justifica cada uno de los pasos realizados. Consulta el “Concepto de logarit-mo y propiedades” en la guía de 8vo semestre (semana 2).

Aplica tus saberes

l l0

10-3

10-12

l10-12


245

La intensidad del sonido en el taller mecánico, Im, es diez veces mayor que la intensidad del tránsito, It, Im=10x10-4W/m2 Im=10xIt

1. Realicen en el CCA una breve exposición sobre algunos de los siguientes aspectos: oído humano, sonidos musicales, avances en el estudio del infrasonido y ultrasonido (ecografías, sonar, ondas sísmicas, entre otras) y propiedades del sonido, cuáles son las principales fuentes de conta-minación acústica de la zona en que resides). Reflejen en su exposición cómo estos avances han contribuido a mejorar las condiciones de vida de los seres humanos.

2. Análisis de situaciones:

a) Según la definición, una onda es una perturbación que se pro-paga por el espacio. ¿Qué es lo que se perturba en el caso de las ondas sonoras?

b) ¿Se puede hablar sin inconvenientes en el espacio sideral o en la luna?

c) Durante una tempestad una persona observa un relámpago y, después de 10s, escucha el ruido del trueno correspondiente. ¿A qué distancia se produjo la descarga eléctrica que provocó el re-lámpago y el trueno?

d) Un barco situado a 1000m de la orilla de la playa emite dos soni-dos simultáneos, uno por el aire y el otro por el agua:

• ¿Cuál sonido llegará primero?

• ¿Cuánto tiempo pasará hasta que llegue el otro sonido?

e) ¿Por qué los soldados rompen filas al pasar un puente?

Hay un libro abierto siempre para todos los ojos: la naturaleza. Jean Jacques Rousseau


Propiedades de las ondas sonorasSemana 14

246

Semana 14Propiedades de las ondas sonoras

El ruido es otra forma de so-nido pero, a diferencia de éste, nos resulta desagradable, hasta el punto que una exposición fre-cuente e intensa, de más de 85 decibeles, producto del tráfico automovilístico, trabajo de cons-trucción, fiestas, entre otros, trae consecuencias a nuestro sistema auditivo e incluso psíquico.

En esta sesión veremos cómo el estudio de las propiedades de las ondas so-noras puede brindarnos algunas pautas para minimizar los ruidos de un lugar, brindando mayor absorción y aislamiento acústico.

Realiza el siguiente crucigrama. 1

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¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?


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El reto es...

Horizontales

2. Ondas que requieren de un material para propagarse.

6. Cantante con voz aguda de música clásica.

8. Cambio de dirección de la onda cuando choca con un obstáculo.

9. Distancia máxima que alcanza una partícula respecto a su posición de equilibrio.

Verticales

1. Sonido que emiten los murciélagos.

3. Onda mecánica que se produce por movimientos bruscos de las placas tectónicas y que se propaga a través de la corteza terrestre.

4. El tiempo que tarda una partícula en realizar una oscilación completa.

5. Cualidad del sonido que está relacionada con la amplitud

7. Unidad de la frecuencia

Los estudiantes del último año de bachillerato se propusieron, como labor social, acondicionar un recinto de su liceo, para realizar eventos, como las graduaciones, conferencias, socialización de experiencias pedagógicas, entre otros. Ellos quieren que el ruido interior y exterior no afecte el normal desarro-llo de las actividades que allí se programarán.

¿En qué principios de las ondas sonoras deben basarse? ¿Qué factores de-ben tomar en cuenta para mejorar la acústica del lugar? ¿Qué tipo de materia-les deben utilizar para acondicionar el lugar? ¿Qué condiciones deben reunir los materiales a utilizar? Al momento de seleccionarlos debes asegurarte que el material que elijas sea el menos contaminante posible, para cuidar nuestro hogar, la Tierra.

Debemos evitar que la contaminación sonora se introduzca en las viviendas y lugares de trabajo. Esto es primordial para garantizar la salud de las perso-nas que allí residen y nos permite mejorar la productividad del trabajo.

Un recinto que se destine para aplicaciones que tengan que ver con el so-nido, como un estudio de grabación, salón de clases, auditorios, entre otros,

Vamos al grano


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debe reunir unas condiciones que le permitan desempeñar este papel de ma-nera óptima. Estudiaremos para ello algunas propiedades de las ondas sono-ras que puedan ayudarnos para tal fin.

Propiedades de las ondas sonoras

Las ondas sonoras se propagan en todas las direcciones. Cada vez que una onda sonora incide en una superficie, una parte de ella se refleja, otra parte lo absorbe en el material, dependiendo de las características de los materiales y el resto pasa o se transmite a través de la superficie.

Figura 36. Propiedades de las ondas sonoras

La onda sonora reflejada es grande si las superficies son rígidas, compactas y lisas, como paredes de cemento (hormigón), baldosas y ladrillos, éstas absor-ben una pequeña parte del sonido, prácticamente toda la onda cambia de di-rección, es decir, se refleja. Sin embargo, hay materiales que absorben la mayor parte de él, como la tela de una cortina o las láminas de corcho, entre otros.

A veces, cuando el sonido se refleja en las paredes, techos y pisos de un lugar, las superficies vuelven a reflejarlo varias veces. A estas reflexiones múl-tiples se les llama reverberación, la cual se produce con un retardo causado básicamente por la distancia física entre la fuente de sonido original y las pa-redes del recinto.

Sabrás por experiencia que, a medida que estés más lejos de la fuente so-nora, la intensidad decrece, razón por la cual la propiedad de reverberación es deseable en auditorios, esto ayudaría a subsanar el problema de la ate-nuación de la intensidad del sonido. El efecto de reverberación es deseable además en este tipo de recintos porque produce una sensación de calidez del sonido y de amplitud del recinto.

Sin embargo, si la reverberación es excesiva hace que el sonido pierda clari-dad y se vuelva confuso. La reverberación puede reducirse cubriendo las pa-redes y el techo del lugar con materiales suaves y porosos. Si las superficies reflectoras son muy absorbentes, el sonido decae rápidamente y el recinto será “acústicamente muerto”. Se debe buscar un equilibrio entre la reverbera-ción y la absorción.

MuroAbsorción

Transmisión

Reflexión


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Figura 37. Valores del tiempo de reverberación.

Cuando el sonido viaja en medios con distintas velocidades se refracta, se desvía. Al hablar en una habitación, alguien nos puede escuchar en otro lado contiguo a ésta, ello ocurre porque el sonido cambió de medio de propaga-ción. Decimos que se refractó desde el aire hacia el muro y se propagó por él. Luego volvió a refractarse pero desde el muro hacia el aire propagándose hasta la persona que nos escucha.

Aislamiento acústico

En el reto propuesto al inicio se pretende insonorizar el lugar, esto es, aislar-lo acústicamente, lo cual implica una doble dirección:

1. Evitar que el sonido que producimos salga al exterior (evitar la contami-nación acústica).

2. Evitar que el ruido exterior penetre y distorsione el sonido del lugar.

El aislamiento acústico se refiere al conjunto de materiales, técnicas y tecno-logías desarrolladas para aislar o atenuar el nivel sonoro en un determinado espacio.

Materiales acústicos

Los materiales acústicos se pueden describir como aquellos que tienen la propiedad de absorber o reflejar una parte importante de la energía de las ondas acústicas que chocan con ellos. Estos juegan un papel muy importante

Superficies altamen-te reflexivas aumen-tan el tiempo de reverberación.

“Embarrado”, discursos inentendibles.

Sonido “muerto”. Perdida de graves en el fondo de la habitación.

Sin reverberación. Se cumple la ley de los cuadrados inversos.

Ventaja Sonido musical mas rico.

Ventaja Mayor claridad para discursos. Ideal para salas de lectura.

Desventaja Perdida de claridad, dificultad en enten-der discursos.

Desventaja Menor riqueza y vo-lumen. No útil para música.

Superficies absorbentes acortan el tiempo de reverberación.

Auditorio de propósito general: voz y música.

1.5 2.5 s

1 s

3.5 s

5.5 s

3 s

0 s


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para lograr minimizar los efectos indeseados que pueden producirse cuando la onda sonora se desplaza en un recinto.

El objetivo de aislar es impedir la propagación de la energía sonora inciden-te, de tal forma que el aislante refleja gran parte de esta energía. Mientras que absorber consiste en disipar la energía de las reflexiones al transformarla en otras formas de energía, generalmente calor.

Materiales absorbentes

La función de estos materiales es absorber la mayor parte de la energía que reciben, de manera que reflejen la mínima cantidad de sonido. Se utilizan para atenuar el paso del ruido entre ambientes distintos en suelos, paredes y techos.

Por esta razón, cuando se quiere tener un espacio insonorizado, se recubre su parte interior o se rellena un doble tabique con materiales como el corcho, el aserrín o el plástico poroso. Los materiales absorbentes, por lo general, son porosos, ya que contienen numerosos huecos o espacios de aire dentro de su estructura. En los materiales porosos las ondas penetran en los orificios y el roce de las partículas de aire contra las paredes internas del material provoca una reducción en su movimiento, transformando la energía acústica en calor. Ejemplo de materiales porosos que absorben las medias y altas frecuencias son las alfombras, cortinas, tapices, ropa.

En la naturaleza se pueden encontrar ejemplos de materiales porosos: corcho, esponjas marinas, hueso reticular, madera, bambú, entre otras. Así como también ma-teriales sintéticos creados por el ser huma-no: espuma de poliuretano, poliestireno expandido, lana de vidrio, entre otros.

En el mercado existen variedad de materiales para el aislamiento, las más comunes son la madera, el icopor (se utiliza mucho como amortiguador para embalajes de objetos), fibra de vidrio, las lanas de poliéster, entre otras. Las lanas de poliéster de diferentes espesores sirven como óptimos materiales de aislamiento acústico. Una de sus ventajas con respecto a otros materiales absorbentes convencionales es que, en caso de exposición a las llamas, son ignífugas, además de ser económicas, hipoalergénicas y lavables. Algunas de ellas son producto de reciclado. Al reutilizar materiales contribuimos a reducir la contaminación de nuestro planeta.


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Figura 38. Icopor (comúnmente conocido como anime)

Para saber más…

Es importante que revises los enlaces que sugerimos a continuación, ya que estos van a servirte de apoyo para las actividades propuestas.

http://goo.gl/qcEdM http://li.co.ve/r31 http://li.co.ve/r32

La atenuación sonora depende de muchos parámetros que se deben tomar en cuenta al momento de aislar un recinto (salón de conferencias, auditorios, teatros, discotecas, estudios de emisoras radiales, entre otros), algunos de los cuales son:

• Masa:cuantomáspesadoseaelmaterial,mássonidoserácapazdedisi-par a través del mismo, trasmitiendo menos energía al otro lado del mis-mo. Por ejemplo, para el techo se emplean planchas de yeso laminado, así como para las paredes.

• Losaislantesdeberánsermaterialespesados,flexiblesycontinuos,paraatenuar el paso del ruido entre lugares distintos.

• Factormulticapa:setratadeelementosconstructivosconstituidosporvarias capas; cada elemento o capa tiene una frecuencia de resonancia que depende del material que lo compone y de su espesor. Si se dispo-

Aplica tus saberes


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nen dos capas del mismo material y distinto espesor, y que por lo tanto tendrán distinta frecuencia de resonancia, la frecuencia que deje pasar en exceso la primera capa, será absorbida por la segunda. A mayor espe-sor, mayor absorción.

• Lasfrecuenciasmásdifícilesdeatenuarsonlasbajasogravesdebidoaque tienen gran longitud de onda, se utilizan para ello cámaras de aire, se dejan espaciados vacíos entre las paredes así como dos techos falsos que ayudarían a evitar esto.

• Amortiguacióninterna:estaseutilizaparareforzarlaefectividaddelacámara de aire en donde se coloca material absorbente al interior de la pared, para disipar la energía sonora y convertirla en calor.

Para intentar dar respuesta al problema inicial, puedes seleccionar algunos materiales (poliestireno expandido, madera, concho aglomerado, espuma de poliuretano, hormigón, entre otros) y realizar un cuadro comparativo, aten-diendo a capacidad de absorción, impactos del material al medio ambiente, costos, disponibilidad en el mercado, entre otros. Posteriormente escoge cuál de ellos muestra un mayor beneficio, argumentando ¡claro está! el porqué de esta elección. Utiliza en tus razones los principios estudiados en esta sección. ¡Investiga! En los enlaces de la sección “Para saber más”.

Previa reunión en el CCA, elabora un breve informe de los materiales que uti-lizarías para dar respuesta a la situación inicial y discútelo con tus compañeros.

Somos dueños de nuestro destino. Somos capitanes de nuestra alma. Winston Churchill


Referencias

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